Mathematics | Discrete mathematics » Geometriai alapok, felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok • Felületek matematikai definíciója – A háromdimenziós tér egy altere – Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabola vezérgörbéjű donga z= 4f a 2 x +C 2 Elliptikus paraboloid z = ha x 2 a 2 + hb y 2 b 2 Hiperbolikus paraboloid, nyeregfelület Nyeregfelület z = h1 x 2 a 2 - h2 y 2 b 2 Nyeregfelület Felületre fektethető egyenesek az alkotók Az alkotók vetületei által bezárt szög szerint, • derékszögű • ferdeszögű Torznégyszög 4f z= xy ab Konoid 2 æ ö f ç 4x ÷ z= y 1 ÷ b çè a 2 ø Forgásfelületek gömb ellipszoid hiperbolikus hiperboloid Felületek • A felületekről kétféleképpen lehet gondolkozni – 3D objektum • Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét – 2D objektum • A kettő között Gauss görbületre vonatkozó tétele teremt kapcsolatot Felületek • 3D objektum: a 3D-s Euklideszi teret két

részre osztja • 2D objektum: két paramétert használunk – pl. a Föld felszínén hosszúsági és szélességi körök – így könnyebb, mint x,y,z koordinátákkal Felületek • A vonal hossza nem változik, ha hengerré görbítem • de a henger rádiusza nem kezelhető a 2D-s felület segítségével Külső és belső geometriai jellemzők • Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét – Túl „szigorú” definíció – Bizonyos tulajdonságok a felület „rögzítettsége” nélkül is megmaradnak, mások nem • A „rögzített” és a „felszabadított” felületen is megmaradnak a belső jellemzők • Csak a háromdimenzióban rögzített felületen érvényesek a külső tulajdonságok Görbület 1. • Síkban: – Görbület: a görbe érintőjének az ívhossz szerinti irányváltozási sebessége DY k= Ds Görbület 2. • A vizsgált pontban a görbéhez símuló kör sugarának reciproka 1 k= R Görbület 3. • Az y = f(x)

függvénnyel leírt görbe görbülete: k= f ¢¢( x) (1 + f ) 3 2 2 ¢( x) Reguláris pont • A felületen felvett P ponton átfektetett síkok a felületből különböző vonalakat metszenek ki. • Ha e vonalaknak a P pontban van érintőjük és valamennyi érintő közös síkban fekszik, akkor ezt síkot érintő síknak a P pontot reguláris pontnak hívjuk Szinguláris pont • A reguláris pont definíciójának nem megfelelő pontot szinguláris pontnak nevezzük. • Az ilyen pontnak nem érintő síkja, hanem érintő kúpja van. Görbület 4. • Síma felület, nincs él • P reguláris pont körüli felület • Görbe görbülete olyan síkokban melyekben az n normális benne van • Merőleges az érintő síkra és mivel síma a felület ezért csak egy sík van Görbület 5. • Több görbe is generálható, mivel a sík elforgatható a t érintő vektor körül • Meusnier tétel Meusnier tétel 1. • Egy felület P pontjában a t

irányvektorú érintő egyeneshez tartozó metsző síkok által kimetszet felületi görbék közül a normálishoz is illeszkedő sík által kimetszet görbe P pontbeli görbülete a legkisebb. • Az érintő síkkal a szöget bezáró síkmetszet görbülete: kn ka = sin a Meusnier tétel 2. 1 1 = a r sin a r = a sin a Görbület 6. • Ahogy a görbe mentén haladunk az n normális is elfordulhat df ¹0 • A felületben „csavarás” (twist) van, ha k = ds Görbület 7. • Hogyan változik a görbület és csavarás Q függvényében? • Vegyünk egy felületet X, Y, Z koordinátákkal Z=Z(X,Y) X-Y sík érinti a felületet Görbület 8. • Fejtsük Taylor sorba P pont körül 1 1 2 Z = k11 X + k12 XY + k 22Y 2 +  2 2 • tehát k11 , k12 , k 22 teljesen leírja a felületet a P pont körül • (Bizonyítás) • A Q forgatás lényegében egy kört ír le • Mohr kör Görbület 9. • Egyértelműen leírja a felület görbületét a P pontban

• Mindig van két pont ahol a „twist” zérus, ezek a fő görbületi irányok Euler tétel 1. • A P reguláris ponton átmenő normálmetszetek közül azt a kettőt, melyek P pontbeli görbülete algebrai értelemben szélső értékű, fő normálmetszetnek, ezek P pontbeli érintőjét fő görbületi iránynak nevezzük. • A két fő normálmetszet síkja egymásra mindig merőleges. • Az 1. főgörbületi iránnyal F szöget bezáró normálmetszet görbülete: k1 + k 2 k1 - k 2 kF = k1 ×cos F + k 2 ×sin F = + ×cos(2F ) 2 2 2 2 Euler tétel 2. • Tehát a felületi pont görbületi viszonyait egy kétdimenziós másodrendű tenzor írja le é kx K=ê k ë xh kxh ù ú kh û • A főgörbületi irányokban nincsen a felületnek elcsavarodása Tenzor tulajdonságok • Invariáns: a választott koordinátarendszertől független mennyiség • Átlaggörbület: H= kx + kh 2 k1 + k 2 = 2 • Szorzatgörbület (Gauss féle szorzatgörbület):

det(K ) = K = kx ×kh - k 2 xh = k1 ×k 2 Számítási módszer • Adjuk meg a felület egy pontját a Descartes féle koordinátarendszerben az r helyzetvektorral: r = i ×x + j ×y + k ×z ( x, y ) • Jelöljük a z(x,y) parciális deriváltjait ¶z p= ¶x ¶z ; q= ¶y ¶2z r= 2 ¶x ¶2z ; s= ¶x ¶y ¶2 z ; t= 2 ¶y Görbületek invariánsai H= ( ) ( r ×1 + q - 2 ×p ×q ×s + t ×1 + p 2 ( s ×1 + p + q K= r ×t - s (1 + p 2 2 +q ) 2 2 2 ) 3 2 2 2 ) Görbület • Eddig külső tulajdonságokat használtunk • A görbékhez hasonlóan a felület görbülete is definiálható • „történelmi” Gauss szorzatgörbület db K= dA • dA a felületen értelmezett kis terület • db a dA által bezárt térszög • Ennek a levezetését kiséreljük meg . Térszög 2 • Kúp esetén a térszög: A / r • Dimenzió nélküli • Hasonló a szög definícióhoz: a/r Teljes kör: 2rp Max. szög: 2p Teljes gömb felszíne: 4r2p Max.

térszög: 4p Térszög • Hogy néz ki egy tetszőleges felület esetén? • A felület minden pontját „vetítsük” egy egység sugarú gömbre • Az A pont és vetített párja A’ pont normálisa párhuzamos • A gömbön adódó terület a térszög, hiszen r = 1 Térszög példa 1. Egy pont: K=0 Egy vonal: K=0 Térszög példa 2. 2 2 X Y • Vegyük a felületet Z = + 2 R1 2 R2 • R1 és R2 a fő görbületi sugarak • X és Y a fő görbületi irányok • Az egység sugarú gömb egy kis része 1 2 1 2 z= x + y 2 2 Térszög példa 2. • A meredekség az X és az Y irányban: X ¶Z , = ¶X R1 Y ¶Z = ¶Y R2 • Hasonlóan a gömbön: ¶z = x, ¶x ¶z =y ¶y • A vetítés miatt ¶Z ¶z = , ¶X ¶x ¶Z ¶z = ¶Y ¶y így X x= , R1 Y y= R2 Térszög példa 2. • vagy elemi darabokra is dX dY dx = , dy = R1 R2 • A terület az eredeti felületen • és a gömbön db = dx dy • így db K= dA 1 K= R1 R2 dA = dX dY Térszög,

egy él • Felület éllel • Az él mentén nem meghatározott a normális így egy ívet definiál • K=0 • Egy él készítése egy lapon nem változtatja meg a Gauss görbületét Térszög, két él • Két élet készítünk melyek m szöget zárnak be • Eredetileg egy pont • Két él a gömbön, melyek m szöget zárnak be Térszög, tető idom • Vegyünk egy tető idomot • A gömbön az ívek által bezárt külső szögek Van egy tétel mely kimondja: Az egység gömbön a főkörökkel egybe eső ívek által bezárt felület nagysága megegyezik a felületi excesszussal Térszög, tető idom Egy n pontú síkbeli poligon esetén a åb sík ,i = (n - 2) p Egy n pontú gömbi poligon esetén: bgömb,i = p - k gömb,i åb åb gömb ,i = np - åb b = 2p - å k gömb ,i - åk sík ,i gömb ,i = np - åk gömb ,i b az excesszus és a térszög gömb ,i - (n p - 2p ) Térszög, tető idom, eredmény • Mindegy hogy hány él van a

tető idomban ugyanazt kapjuk • Határesetben egy kúp lesz • A ponthoz tartozó excesszus meghatározható • Ez módszer tetszőleges poligonokból álló felület esetén alkalmazható Poligonizált felület • A felületet felosztjuk tetszőleges poligonokra • A felület közepeit összekötjük • Ez a felületnek egy közelítését adja Poligonizált felület • Csak a középponttokban értelmezhető az excesszus és a térszög • A Gauss görbület a pontokban koncentrálódik, többi helyen zérus a görbület • A pontokhoz rendelhető a poligon területe • A Gauss görbület jól közelíthető excesszus b K» = A pont körüli terület Következmény • Láttuk hogy a tető idomnál a térszög nem változik még ha él alakul is ki • Az él „nyúlásmentes” módon jön létre, hiszen minden hosszmérés változatlan értéket adna • Ha nem nyúlásmentes az alakváltozás akkor a Gauss görbület megváltozik Theorema Egregium •

(Kimagasló Jelentőségű Tétel) • Gauss (1777-1855) felületelmélete – Összefüggés a felület görbülete és belső geometriai jellemző között – Egy felület Gauss görbülete meghatározható a felületen végzett hossz mérésekből Theorema Egregium • A tétel „jelentősége”, hogy habár a Gauss görbület definíciója függ attól hogy a felület hogyan helyezkedik el a térben, a Gauss görbület csak „belső tulajdonságokból” kiszámolható, a környező tér ismerete nélkül r = i ×x + j ×y + k ×z ( x, y ) ¶z p= ¶x ¶z ; q= ¶y ¶2z r= 2 ¶x ¶2z ; s= ¶x ¶y K= ¶2 z ; t= 2 ¶y r ×t - s 2 (1 + p 2 +q ) 2 2 Theorema Egregium • Másik megfogalmazás: – Egy felület K szorzatgörbülete nem változik meg, ha nyúlás- és torzulásmentes alakváltozásnak vetjük alá. Theorema Egregium, következmény • Egy gömb Gauss görbülete: R-2 • Egy sík Gauss görbülete: 0 • Következmény: – Egy gömböt nem

lehet kihajtogatni síkba, torzulások nélkül – Térképészet: • A Földről soha nem lesz tökéletes térkép Pontok osztályozása 1. Ha a pontban igaz, hogy: • K > 0 : Elliptikus pont – Elliptikus felületi pontban a két főgörbület azonos előjelű • K < 0 : Hiperbolikus pont – Hiperbolikus felületi pontban a két főgörbület eltérő előjelű • K = 0 : Parabolikus pont – Parabolikus felületnél az egyik főgörbület zérus Pontok osztályozása 2. • K számlálója eldönti az előjelet így K= r ×t - s 2 (1 + p 2 G = r ×t - s +q ) 2 2 2 alapján: – G > 0 : elliptikus pont – G < 0 : hiperbolikus pont – G = 0 : parabolikus pont Elliptikus pont Hiperbolikus pont aszimptota: Olyan normálmetszet melynek a görbületi középpontja a végtelenben van Parabolikus pont Síkpont Felületek osztályozása • A különféle osztályba sorolt pontok a felületen egységesen vagy vegyesen fodulhatnak

elő • Ha minden ponton ugyanolyan osztályba tartozik, akkor a felület is osztályozható 3 féle pont egy felületen Speciális felületek • Vonalfelület: A felület minden pontján át legalább egy alkotó, egy teljesen a felületen fekvő egyenes húzható (henger, kúp, konoid) • Olyan felület melynek minden pontján át két alkotó szerkeszthető csak kettő van: – Hiperbolikus paraboloid – Hiperbolikus hiperboloid Hiperbolikus paraboloid és hiperboloid Hiperbolikus paraboloid Hiperbolikus hiperboloid Speciális felületek • Transzlációs felületek: Egymással párhuzamos síkmetszetek egymással egybevágó görbék • Forgásfelületek: Egy vezérgörbét megforgatunk egy tengely körül Speciális felületek • Vannak olyan vonalfelületek, melyek érintősíkja az alkotó mentén azonos • Az alkotó két oldalán fekvő felületrészek egymáshoz képest elforgathatók anélkül, hogy a felület vonalelemei hosszváltozást

szenvednének • Kifejthető felület • Ki nem fejthető felület, torz felület