Gazdasági Ismeretek | Befektetés, Tőzsde » Befektetési döntések

Befektetés idöntések 1. Alapvető pénzügyi számítások 1.1 A különböző időpontban esedékes pénzek cseréje - a pénz időértéke A gondolatmenetet a pénzáramlás, vagy cash flow meghatározásával kell kezdenünk. (A kifejezés ma már nálunk is meghonosodott, a köznyelvben nem is fordítják le, bár az esetek többségében szakszerűtlenül használják. A pénzügyi szaknyelvben mindkettő, akár váltakozva is használható) A pénzáramlás idődimenzióval rendelkező pénzmennyiségek sorozata. Bárki listát készíthet pl az adott évben megkapott jövedelmeiről, (ilyet készít az adózó, vagy a munkahelye pl. az adóbevallás 1 rovatának kitöltéséhez) Ez azonban nem pénzáramlás, hiszen e művelet során nem tüntetjük fel, - vagy, ha feltüntetjük, akkor nem tulajdonítunk jelentőséget annak, hogy - mikor, melyik hónapban, melyik napon kaptuk kézhez az adott összegeket. Ugyanígy készíthető el bármelyik költség, tehát

pénzkiadás jellegű rovat is Amikor összeadjuk a bevételeket, vagy a kiadásokat, ugyancsak egy-egy pénzmennyiséget kapunk. Egyik forintösszeg ugyanolyan értékű, mint a másik. Ezt az összeget csak nagyon erős egyszerűsítő feltételezéssel tekinthetjük egy pénzáramlás elemének. Azt kell feltennünk, hogy az év során folyamatosan keletkező jövedelmeket egyetlen időpontban, az adóév utolsó napján kaptuk kézhez. A továbbiakban a példákban is azzal az egyszerűsítő feltételezéssel élünk, hogy a pénzmozgások az adott periódus - esetünkben az adott év, hónap, stb. utolsó napján történnek Ilyen feltételezésekkel gyakran fogunk élni a pénzáramlások előrejelzése, pl. egy tőkeköltségvetés készítése során is Mindenesetre pénzáramlásról csak akkor beszélhetünk, ha - akár egyszerűsítő feltételezésekkel is, de feltüntetjük, és jelentőséget tulajdonítunk a pénzmozgás időpontjának. Ha különböző előjelű

pénzáramokkal, pénzbevételekkel és pénzkiadásokkal van dolgunk, a pénzkiadásokat negatív, a pénzbevételeket pozitív előjelű számok jelentik. A pénzáramlás ábrázolása tipikusan kétféle lehet: táblázat, vagy oszlopdiagram. A táblázatban a számok előjele, az oszlopdiagramon pedig az oszlopoknak az iránya jelzi, hogy bevételről, vagy kiadásról van-e szó. Tekintsük az alábbi példát! Egy befektetés induló tőkeszükséglete 20 mFt, várható bevétele a következő három évben 10 mFt, 12 mFt, és 8 mFt. Ábrázoljuk mindkét módon a példában leírt pénzáramlást! 1.1 ábra A pénzáramlás ábrázolása a) Táblázat PERIÓDUS C0 C1 C2 C3 PÉNZÁRAM - 20 10 12 8 b) Oszlopdiagram 15 10 5 0 0 1 2 3 -5 -10 -15 -20 Cash flow A fenti példában a periódusidő egy év volt. Nem minden esetben van ez így, előfordulnak a gyakorlatban napi, havi, vagy más periódusidejű pénzáramlások is. Mivel a befektetési lehetőségek

többsége hosszú távú, a pénzügyek egyik legalapvetőbb kérdése annak tisztázása, mi a viszony egy mai és egy holnapi (idei, ill. jövő évben esedékes) Ft ($, DM, stb) értéke között Érdemes-e megvalósítani pl. egy olyan projektet, amely a fent ábrázolt pénzáramlással rendelkezik? Vajon össze lehet-e adni minden további nélkül a különböző időpontban keletkező jövedelmeket? Egyenlő értékű-e a különböző időpontokban megkapott ugyanakkora összeg? Az előző példát tekintve, ugyanolyan értékű az a projekt is, amelyben más a bevételek sorrendje? A kérdés tehát az, milyen módon tulajdonítsunk jelentőséget az időnek? Az emberek mindennapi tapasztalata továbbá, hogy inflációs időkben, amikor az általános árszínvonal évről évre emelkedik, akkor a pénz vásárlóereje csökken, tehát a ma megkapott pénz reálértéke nagyobb a jövőben esedékes pénz reálértékénél. Az alábbiakban az inflációtól (vagy a

deflációtól, amikor a pénz vásárlóereje nő) az elemzés során eltekintünk, azaz változatlan vásárlóerejű pénzben kifejezett értékeket fogunk összehasonlítani. Ez a második lényeges egyszerűsítő feltevés az első fejezetek során. Az emberek azt is tudják, hogy a ma kapható, vagy kifizetendő összeg biztos, a jövőbeli bevétel, vagy kiadás pedig csak fizetési ígéret, tehát bizonytalan. A döntés mindenképpen kockázatos Az alábbiakban a befektetésből fakadó pénzáramokat biztosnak, kockázat-mentesnek tekintjük. Ez a harmadik lényeges egyszerűsítő feltevés az első fejezetek során. Ha mind az inflációtól, mind a kockázattól eltekintünk, van-e még valami, ami meghatározza a különböző időpontban esedékes pénzösszegek értékét? Ha a pénzáramlást biztosnak tekintjük, és az infláció/defláció hatását is kiküszöböltük, a jelenbeli pénz akkor is értékesebb, mint a jövőbeni pénz, mert az egyén a ma

megkapott pénzt most különböző módon befektetheti, és ezzel a jövőben hozamra tehet szert. Ez az összefüggés kevésbé nyilvánvaló az emberek többsége számára, ezért most részletesebben elemezzük. Először azt a kérdést kell megvizsgálnunk, mekkora az a hozam, amelyre a befektetők ilyen feltételek mellett számíthatnak. Ennek megértéséhez gondoljuk át a következőket! Ha a különböző befektetési lehetőségek közül valamelyik mellett döntünk, és pénzünket ebben a formában lekötjük, ezzel elvonjuk más lehetséges felhasználási lehetőségek, ill. az így megszerezhető jövedelmek elől Helyes döntés csak akkor hozható, ha összevetjük az alternatívákat, és a legjobbat választjuk. Egy piacgazdaságban tehát mindenképpen megfontolandó, van-e a befektetésnek jobb alternatívája? Mekkora hozamról mondunk le, amikor a pénzünket más alternatívákkal szemben egy bizonyos vagyontárgyba fektetjük, azaz mekkora a befektetés

alternatívaköltsége opportunity cost-ja? Ha valamelyik befektetési forma mellett döntünk, ezzel az összes többiről is lemondunk. Melyik tekinthető tehát annak, amelynek hozama meghatározza a befektetés alternatívaköltségét? Ha összevetjük a különböző befektetési lehetőségeket, azok jelentős mértékben eltérő hozamokkal rendelkeznek. Azonos időszakban pl tőzsdei részvényspekuláció, vagy határidős ügyletek révén pl. a bankbetétek, vagy az állampapírok hozamának sokszorosát lehet elérni, de igen nagyot lehet veszíteni is. E befektetések különböző mértékben kockázatosak Az állampapírok hozama minden országban valóban biztosnak vehető, és a megfelelő futamidejű állampapírok hozamát tekintik kockázatmentes hozamnak, amelyet maga az állam garantál. Magyarországon az 1 millió Ft-ot meg nem haladó nevesített bankbetéteket törvényi szabályozás és garanciák révén kockázatmentesnek vehetjük. Mivel az

állampapírok forgalma viszonylag szűk körű, az alábbiakban a megfelelő futamidőhöz kapcsolódó bank-kamatlábat tekintjük kockázatmentes hozamnak. A befektetők többségéről azt feltételezzük, hogy magasabb kockázatot csak magasabb várható hozam mellett vállalnak. Ha a kockázatosabb ügyletek ugyanakkora hozammal kecsegtetnének, mint a kockázatmentesek, a befektetők nem választanák őket, hiszen komolyabb erőfeszítés nélkül juthatnak a bankbetétek révén biztos jövedelemhez. Hatékony tőkepiacokon a befektetések várható hozama a befektetés kockázatának függvénye A kockázatos aktívák hozama a kockázatmentes hozam felett ún. kockázati prémiumot is tartalmaz A hozam összetevői  Kockázatmentes hozam  Kockázati prémium 2 Mivel a hozam az idő előrehaladtával gyarapszik, a felületes szemlélő számára úgy tűnhet, hogy a kockázatmentes befektetések esetén a hozam magának az idő múlásának köszönhető. Az

elfogadott terminológia azonban ezt a hozamot ma is a pénz időértékének nevezi. (Természetesen a párnacihában tartott pénz bármennyi idő elteltével sem gyarapszik.) A pénz időértéke a kockázatmentes befektetési alternatíva hozama. Ekkora kockázatmentes jövedelemről mondunk le, amikor a pénzünket egy bizonyos vagyontárgyba fektetjük, ahelyett, hogy a kockázatmentes alternatívát választanánk. Ha a befektetések különböző kockázatúak, és a hozamuk arányos a kockázattal, akkor csak a hasonló kockázatú befektetések hozamai vethetők közvetlenül össze. Mivel 3 feltevésünknek megfelelően a befektetéseket kockázatmentesnek tekintjük, csak a pénz időértékét, tehát a kockázatmentes befektetési alternatíva hozamát tekintjük a biztos befektetések alternatívaköltségének, a kockázati prémium értékét tehát egyelőre zérusnak vesszük. Egy biztos pénzáramlású befektetés csak akkor tekinthető gazdaságilag

elfogadhatónak, gazdasági profitot eredményezőnek, ha hozama legalább akkora, mint csak a kockázatmentes befektetési alternatíva hozama. A pénz időértékének figyelembevétele a döntéshozatal során biztosítja, hogy a befektetés kalkulálható hozama eléri legalább a kockázatmentes hozamnak megfelelő nagyságot. 1.2 A pénzügyi számítások alaptípusai Az előző részben azt állítottuk, hogy a pénz időértékének figyelembevétele a döntéshozatal során biztosítja, hogy a befektetés kalkulálható hozama eléri legalább a kockázatmentes hozamnak megfelelő nagyságot. Az alábbiakban azt fogjuk szemügyre venni, hogyan kell ezt számítani, ill. alkalmazni Kezdjük az elemzést egy nagyon egyszerű példával. Szerencsés úr el akarja adni balatoni vízparti telkét. Két vevő jelentkezik, egyikük 10 mFt-ot ígér azonnali fizetésre, másikuk 11,5 mFt-ot, de egy év múlva kívánja kifizetni. Melyik ajánlatot fogadja el? A válaszadásnál

vegye figyelembe, hogy mindkét vevő szavahihető, tehát biztosan fizet, továbbá Önnek nincsenek sem most, sem a jövőben olyan pl. fizetőképességgel kapcsolatos problémái, amelyek befolyásolnák a döntést. Az eladónak különböző időpontban felmerülő összegeket kell értékelni, azaz a lehetséges alternatívák értékét össze kell hasonlítani. Döntése attól függ, melyik ajánlattal jár jobban Azt kell tehát eldöntse, melyik ér számára többet: 10 mFt ma, vagy 11,5 mFt jövőre. Gazdasági döntéshozatal esetén feltétlenül mérlegelendő, van-e a befektetésnek jobb alternatívája? Mekkora jövedelemről mondunk le, amikor a pénzünket egy bizonyos vagyontárgyba fektetjük, azaz mekkora a befektetés alternatívaköltsége (opportunity cost)? Az összehasonlítás, azaz az időérték figyelembevétele kétféleképpen végezhető el. 1. Változat - összehasonlítás a jövőben Az első ajánlat mai értéke egyértelmű, hiszen ma fizetne a

vevő. Ahhoz hogy összehasonlítsuk a jövőbeni pénzmennyiséggel, meg kell tudnunk, mennyit ér ez az összeg egy év múlva? A kérdés azonban fordítva is felvethető: mennyit ér ma a jövőre ígért 11,5 mFt? Azaz, meg kell tehát találni a pénzösszegek jelenlegi vagy más néven jelenértékét /PV - present value/. 2. Változat - összehasonlítás a jelenben A második ajánlat jövőbeni értéke egyértelmű, hiszen jövőre fizetne a vevő. Ahhoz hogy összehasonlítsuk a jelenbeli pénzmennyiséggel, meg kell tudnunk, mennyit ér ez az összeg ma? Az így kapott érték a jelenérték. 3 1.21 Alapfogalmak: jövőérték - jelenérték - nettó jelenérték Ha az első ajánlatot fogadja el, a ma megkapott pénzt különböző módon befektetheti. Az előző pontban tárgyaltak szerint a legegyszerűbb kockázatmentes befektetési forma a bankbetét. Jövőérték A ma befektetett pénzösszeg jövőbeni értéke kamatszámítás révén határozható meg. A ma

befektetett pénzösszeg jövőbeni értéke vagy jövőértéke (FV - future value) egy év múlva a felkamatozott (kamatfaktorral felnövelt) érték FV  PV  Fr  PV 1  r  ahol FV = a jövőbeni érték (jövőérték) PV = a jelenlegi érték (jelenérték) Fr  1  r  = a kamatfaktor r = a piaci kamatláb Jelenérték A jelenérték kiszámításához a fenti műveletet meg kell fordítanunk. Azt az értéket kell meghatároznunk, amelyiknek a felnövekedett (felkamatozott) értéke éppen 11,5 mFt. Ezt a folyamatot diszkontálásnak, a szorzótényezőt diszkonttényezőnek nevezzük. Egy jövőbeni pénzösszeg jelenlegi értéke vagy jelenértéke (PV - present value) a jelenre diszkontált érték. Ez azzal az összeggel egyenlő, amelyik a jövőbeni időpontra adott kamatláb mellett éppen a jövőértéknek megfelelő nagyságra növekszik fel: Alkalmazva a fenti jelöléseket PV  FV  Pr  FV ahol Pr  1 ; 1 r 1 a

diszkontfaktor 1 r Oldjuk meg a példánkat kétféleképpen! Ha a kamatláb 12 %, a példabeli számokkal: FV  101 012 ,   10112 ,  112 , A ma befektetett 10 mFt jövőbeni értéke egy év múlva a felkamatozott érték, 11,2 mFt. Ez kisebb, mint a második ajánlat, tehát ön akkor dönt racionálisan, ha a második vevő ajánlatát fogadja el. Ha a kamatláb pl 18 %, akkor az első ajánlat az előnyösebb, hiszen jövőre 11,8 mFt-ot ígér. 15 % az a kamatláb, amely esetén ezen szempont szerint nem tud dönteni, hiszen bármely ajánlat elfogadása esetén egyformán jól jár. PV  11 , 5  1  10 , 27 1, 12 Ez nagyobb, mint a második ajánlat, tehát az eladó akkor dönt racionálisan, ha a második vevő ajánlatát fogadja el. Ha a kamatláb pl 18 %, akkor az első ajánlat az előnyösebb, hiszen a második ajánlat jelenértéke 15 % az a kamatláb, amely esetén ezen szempont szerint nem tud dönteni, hiszen bármely ajánlat

elfogadása esetén egyformán jól jár. Látjuk, hogy mindkét eljárás azonos eredményre vezetett. Mindkét esetben a különböző időpontbeli jövedelmek tőkeként való hasznosítását vetettük egybe, azaz a jövedelmeket tőkésítettük, hiszen a pénzjövedelemnek nem önmagában vett tulajdonsága az, hogy gyarapszik. Ez kizárólag valamely tőkésítés, jövedelmező befektetés révén érhető el. 4 Eddig azonos előjelű pénzáramokat vetettünk össze, de az esetek többségében különböző előjelű pénzáramokkal, bevételekkel és kiadásokkal van dolgunk. A befektetések tipikus pénzárama a 0 évben negatív, a további években pedig pozitív előjelű. Azt kell megvizsgálnunk, megéri-e megvalósítani a befektetést, azaz többet hoz-e a konyhára, mint amennyibe került. Nettó jelenérték Kezdjük a vizsgálódást egy példával! Tegyük fel, hogy Szerencsésné asszony vásárolni akar egy vízparti telket befektetési célból, tehát

pusztán az értéknövekedésre spekulál. A telek most 10 mFt-ba kerül Biztos benne, hogy egy év múlva 11 mFt-ért el tudja adni. Érdemes-e megvásárolnia a telket? A befektetés 1 mFt ill. 10 % biztos nyereséget jelent Ha az éves kamatláb ennél nagyobb, pusztán spekulációs céllal nem érdemes az ingatlanba fektetni a tőkéjét, hiszen minden százalékpontnyi kamatkülönbség jövôre 100 eFt extra nyereséget jelent neki, ha a bankba teszi a pénzt. Közelítsünk a jelenérték felől. Tegyük fel, hogy a piaci kamatláb 12% Ekkor a jövő évi bevétel jelenértéke 9,82 mFt, azaz már ekkora bankba tett összeggel is elérné a 11 mFt bevételt. A bevétel jelenértéke kisebb, mint a kiadásé. Ha a pénzkiadásokat negatív, a bevételeket pozitív előjelű számok jelentik, ezek összevonásával egy pozitív, vagy - mint példánkban is láthatjuk - negatív számot kapunk, amit az ügylet nettó jelenértékének nevezünk (NPV - Net Present Value).

Jelöljük C 0 -lal a mai pénzkiadást (befektetés), C 1 -gyel a jövő évi bevételt, akkor a nettó jelenérték NPV  C0  C1  Pr A nettó jelenérték lehet pozitív, negatív, vagy zéró.  Ha az érték pozitív, akkor a befektetés kalkulált hozama meghaladja az alternatív (esetünkben a kockázatmentes) befektetés hozamát, tehát gazdasági profitot eredményez.  Ha az érték negatív, akkor a befektetés kalkulált hozama nem éri el az alternatív (esetünkben a kockázatmentes) befektetések hozamát, tehát ha van is esetleg pozitív többlet, gazdasági értelemben mindenképpen veszteséges.  Ha az érték nulla, akkor a befektetés kalkulált hozama éppen akkora, mint az alternatív (esetünkben a kockázatmentes) befektetés hozama, tehát a választás közömbös. Mindkét esetben ugyanakkora lesz az eredmény. Megfogalmazhatjuk a befektetések értékelésénél alkalmazható egyik legfontosabb alapszabályt, az ún. nettó

jelenérték-szabályt: Elfogadhatunk minden olyan projektet, amelynek nettó jelenértéke pozitív (legalább nulla), de egyet sem, amelyiké negatív! A példa adatait használva NPV  10  11 1  0,18 1,12 Az ügylet nettó jelenértéke negatív, tehát nem érdemes megvásárolni a telket. A tananyag 2 fejezetében további befektetés-értékelési szabályokkal is megismerkedünk. Az alapfogalmak megismerése után rátérünk a pénzügyi számítások alaptípusainak tárgyalására. 1.22 Jövőérték számítás (kamatszámítás) Az alapfogalmak megismerése után rátérünk a pénzügyi számítások alaptípusainak tárgyalására. Az alábbiakban ismerkedjünk meg azokkal az alapfogalmakkal, amelyeket alkalmazni fogunk az elemzés során. 5 Kamat Kamatozási időtartam Kamatláb (r) A kamatláb érvényességi ideje Konverziós periódus a tőkének a kamatozási időtartam alatti növekménye, pénz időértékének mértéke az a teljes

időtartam, amelyre a kamat jár a kamatláb érvényességi idejére vonatkozóan a kamat és a tőke induló értékének hányadosa, a pénz időértékének időegységre vonatkozó mértéke (mértékegysége) az időegységnek tekintett meghirdetett időtartam (külön megjelölés hiányában egy év) a kamat tőkésítésének - az induló tőkeértékhez csatolásának - időtartama Jövőérték és jelenérték több periódus figyelembevételével Tegyük fel, hogy Önnek van pénze, amelyet bankba óhajt tenni egy éves időtartamra. A kamatláb 9 %, érvényességi ideje, és a konverziós periódus egyaránt egy év. Az év végén ön a következő lehetőségek közül választhat: A/ kiveszi az alapösszeget kamatostul B/ felveszi a kamatot, de a tőkét leköti még egy évig újabb kamatozásra C/ nem vesz ki pénzt, hanem a kamatot hozzácsatoltatja a tőkéhez további kamatozásra A/ változat Egy év múlva a tőkéjének minden Ft-ja (1+r)-szeresére

növekszik FV  1 1  r   1 1,09  1,09 Ezzel ön kikerül a pénzpiacról B/ változat Ekkor az első év végén minden befektetett forint után 0,09 kamatbevételhez, a második év végén 1,09 bevételhez (tőke + kamat) jut. Ha a kamatot benn hagyja a bankban, a második év végén 1,18 Ft-ja lesz Ez az egyszerű kamatozás: FV  11  r   r  1  2r  118 , C/ változat Ebben az esetben tőkéje nagyobb mértékben nő, hiszen a kamat is kamatozik a második év végére. Ez a kamatos kamatozás. Ha a kamatláb a második évre is ugyanakkora nagyságú, a felnövekedett érték: FV  11 ,   r1 r  1 r  1 2r  r 2  11881 2 A kamatos kamat összetett kamat, az egyszerű kamaton felül a kamat kamatját is tartalmazza. Egyszerű kamatozás esetén tipikusan kisebb, mint egy év, tehát t  1, kamatos kamatozás esetén tipikusan nagyobb, mint egy év, tehát t  1. Egyszerű kamatozás

esetén a kamat az idő lineáris függvénye, kamatos kamatozás esetén a kamat az idő exponenciális függvénye. Ha T < 1, akkor a lineáris, ha T > 1, akkor a kamatos kamatozás adja a nagyobb értéket. Az értékelés alapszabálya: A rövidtávú (egy évnél rövidebb távú) befektetéseknél az alternatíva-költséget a lineáris kamatozás, hosszú távú (egy évnél hosszabb távú) befektetéseknél az alternatíva-költséget a kamatos kamatozás módszerével vesszük számba, mert ez a jobb befektetési alternatíva! A már megismert kamatszámítást jövőérték-számításnak is nevezzük. A jelenérték, a kamatláb és az időtartam ismeretében meghatározható egy ún. elismervény típusú befektetés (pl bankbetétek) jövőbeli értéke A lineáris kamatszámítás formulája: FV  PV 1 rt Mivel a kamat ebben az esetben az idő lineáris függvénye, arányosan halmozódik fel. Egy befektetés T-dik periódusra felnövekedett

értékének általános jövőérték-formulája a kamatláb változatlanságának feltételezésével: FV  PV  FrT  PV 1  r  T 6 Mivel a kamat ebben az esetben az idő exponenciális függvénye, hatványozottan halmozódik fel. Vegyes kamatozás Vegyes kamatozásról akkor beszélünk, ha valamely konstrukcióban az egyszerű és a kamatos kamatszámítást kombinálják. FV  PV 1  rt1 1  r  1  rt 2  T ahol t1  n1 n és t2  2 a tört időszakok kamatozási időtartama  n n n a kamatnapok száma n* az év napjainak a száma (360, 365, vagy a tényleges) T az egész kamatozási időszakok száma Ha pl. 1991 szeptember 28-án 10 %-ra elhelyezett 1000 betétjét 1996 Június 29-én veszi fel, 1576,1 Ft -ra számíthat, feltéve, hogy a kamatláb nem változik, és az év tényleges napjait vesszük figyelembe. 0 ,1  9 4  0 ,1  1 8 1    FV  1000  1    1 ,1 4   1   

1.5 7 6 ,1   365  366  A vegyes kamatozás pontos értékét lehet közelíteni kamatos kamatszámítással is, ha a kamatozás összes napját (tört) években fejezzük ki. Ez valamivel kisebb értéket ad, mivel egy évnél rövidebb időtartamra a kamatos kamat kisebb, mint az egyszerű kamat, példánkban az időszakot 4,75 évnek véve az érték 1.572,3 F V  1 0 0 0  1 ,1 4 , 7 5  1.5 7 2 , 3 Ha évközben változik a kamatláb, akkor az egész években is lineáris kamattal számolunk. Kovácsné asszony 1992. november 25-én betett a bankba 567000 Ft-ot A betétet 1994 november 24-én megszüntette. Mekkora összeget kapott, ha a bank a betétkor 28%-os kamattal számolt, amely 1993 július 1-én 26%-ra, 1994. január 1-én 24%-ra mérséklődött? (Az év 365 napos, a kamatok tőkésítése december 31-én történik.) 0 .28  36  0 .28  181 0 26  184  0 .24  328   FV  567 .000  1     899 .368 ,3 Ft  1

  1  365 365 365 365     Eddig két elemű pénzáramlásokkal foglalkoztunk. Mivel azonban az azonos időpontra felkamatozott jövőértékek összeadhatók, a hosszabb futamidejű, és több elemű pénzáramok jövőértéke is könnyen meghatározható. A T periódusú befektetés jövőértékének általános formulája a kamatláb változatlanságának feltételezésével: FV  C11  r  T 1  C2 1  r  T 2 . CT 1  r  T T T   Ct 1  r  T t t 1 A következő három évben évente 10 mFt, 12 mFt, és 8 mFt összegeket helyez el a bankban. Mekkora a számla jövőbeni értéke a 3. év végén (az utolsó betét elhelyezésekor) évi 20 %-os kamatláb mellett? FV  101, 22  12 1, 2  8  36,8 1.23 Jelenérték számítás (diszkontálás) A jövőérték, a kamatláb és az időtartam ismeretében meghatározható egy ún. ígérvény típusú befektetés (pl

értékpapírok) jelenbeli értéke elméleti árfolyama. Lineáris diszkontálás 7 A lineáris diszkontálást az egy éven belül lejáró követelések leszámítolására, pl. váltók diszkontálására alkalmazzák. A diszkontláb (d) a vele egyenértékű kamatláb érvényességi idejére vonatkozóan a kamat és a felnövekedett tőkeérték hányadosa, az ún. előleges kamatláb A lineáris diszkontálás általános formulája: PV  FV 1 dt ahol d a diszkontláb Lineáris diszkontálásnál t  1 A kamatláb és a vele egyenértékű diszkontláb összefüggése: d r 1  rt r d 1  dt Mennyiért lehet ma leszámítoltatni a 90 nap múlva lejáró 1.000000 névértékű váltót, ha az évi kamatláb 20 %-os? (Váltóleszámítolás esetén az év napjainak száma szokás szerint 360.) A 20 %-os évi kamatlábbal egyenértékű diszkontláb: t = 0,25 d = 0,2/(1+0,20,25) = 0,1905 PV = 1.000000  (1 - 0, 1905  0,25) = 952375 A T-dik

időpontban esedékes változatlanságának feltételezésével: PV  FVT  PrT  FVT pénzáram általános jelenérték-formulája a kamatláb 1 1  r  T A formula az egy évnél hosszabb futamidejű, egyetlen jövőbeni fizetést ígérő befektetések, pl. a kamatszelvény nélküli kötvények, (zero-coupon bond) leszámítolására, elméleti árfolyamának meghatározására szolgál. Mennyi a három éves futamidejű 1.000000 Ft névértékű diszkontjegy kibocsátáskori elméleti árfolyama 20 %-os kamatláb feltételezésével? PV  10. 000  5. 787 1, 23 Az ígérvény típusú, azaz jövőbeli fizetési ígéretet megtestesítő befektetések (pl. az értékpapírok) zöme több perióduson keresztül megvalósuló pénzáramot jelent. Mivel a jelenértékek (az azonos időpontra felkamatozott jövőértékekhez hasonlóan) összeadhatók, az alábbi formulák segítségével a több perióduson keresztül megvalósuló jövőbeni fizetési

ígéretet jelentő befektetések, pl. beruházási projektek, értékpapírok jelenbeli értékének, (elméleti árfolyamának), ill. nettó jelenértékének meghatározására szolgálnak 8 Egy T periódusú befektetés jelenértékének és nettó jelenértékének általános formulája a kamatláb változatlanságának feltételezésével: T C1 C2 CT Ct PV   2 . T   t  1  r  1  r  1  r  t  1 1  r  T C1 C2 CT Ct . NPV  C 0       2 T t  1  r  1  r  1  r  t  0 1  r  Ezek alapján (kiegészítve az alternatívaköltségre vonatkozó adatokkal) meghatározhatjuk legelső példánk nettó jelenértékét, és eldönthetjük, érdemes-e megvalósítani az adott körülmények között, vagy sem. Egy befektetés, várható nettó készpénzbevétele a következő három évben Érdemes-e megvalósítani évi 20 %-os kamatláb mellett? NPV  20  10 mFt, 12

mFt, és 8 mFt. 10 12 8    1, 296 2 1, 2 1, 2 1, 2 3 Mivel az NPV pozitív, érdemes a projektet megvalósítani. Nyugodtan betársulhat az üzletbe 1.24 Hozamszámítás A befektetési döntéseknél az egyik legfontosabb szempont, hogy mekkora hozamot biztosít az ígért pénzáramlás. A jelen- és jövőérték, valamint a futamidő ismeretében meghatározható valamely befektetés hozama. A hozamot korábban a tőke növekményeként, ill. a tőkenövekedése ütemeként, hozamrátaként definiáltuk, amely két elemű pénzáramlások és egy éves futamidő esetén könnyedén meghatározható. r FV 1 PV A problémák a több elemű pénzáramlás feltételezésével merülnek fel. Két különböző futamidejű befektetés hozama csak akkor hasonlítható össze, ha azonos időtartamra vonatkoztatjuk. Ez tipikusan egy év, tehát a vagyon-növekedés éves átlaghozamát kell megkeresnünk. A befektetés kalkulált éves átlag-hozama a befektetés

belső megtérülési rátája (IRR - internal rate of return). Értéke egyenlő azzal a kamatlábbal, amely mellett a befektetés nettó jelenértéke nulla A továbbiakban, ha egy befektetés kalkulálható, ill. a jelen időpontban kalkulált hozamáról beszélünk, mindig a belső megtérülési rátát értjük rajta. A T periódusú befektetések hozamszámítási formulája két elemű pénzáram esetén: IRR  T FV 1 PV Ön 3 év múlva lakást szeretne venni, amelynek ára akkor 2,3 mFt lesz. Jelenleg 1 mFt-ja van Legalább mekkora kamatozású befektetési lehetőséget kell találnia, ha ebből a pénzből akarja megvásárolni? IRR  3 2, 3  1  0, 32 Legalább évi 32%-os hozamú befektetést kell találjon. 9 A hozamszámítás általános formulája: C0  C1 C2 CT   . 0 2 1  IRR 1  IRR 1  IRR T vagy T  t0 Ct 1  IRR t 0 A belső megtérülési ráta legfeljebb három elemű

pénzáramlás esetén egyértelműen, (másodfokú egyenlettel), több elem esetén közelítő számítással határozható meg. Mekkora annak a kötvénynek a kalkulált hozama, amelynek névértéke 1000, évi 5 % kamatot fizet, a törlesztése egy összegben, a második év végén történik, és jelenlegi árfolyama 900 ? 900  50 1050  1  IRR 1  IRR 2 A másodfokú egyenletet az egyszerűsítés érdekében érdemes a kamattényezőre megoldani, majd a pozitív gyököt 1-gyel csökkentve kapjuk a belső megtérülési rátát. Legyen x = 1 + IRR 50 1050  2 x x 2 900 x  50 x  1050  0 900  IRR  0,108 5.25 Futamidő számítás A jelen- és jövőérték, valamint a hozam ismeretében meghatározható valamely befektetés futamideje. A futamidő számítás közelítő formulája két elemű pénzáram esetén: t log FV  log PV log1  r  Mennyi idő alatt duplázhatja meg a pénzét 24 % évi kamatláb mellett? t

ln 2  3, 22 ln 1, 24 Mivel ével kamatozást feltételezünk, 4 év alatt. A pontos számításhoz vegyes kamatozást - tehát a tört időszakra vonatkozóan lineáris kamatozás kellene figyelembe venni. 1.26 Kamatozási konstrukciók - a kamatlábak típusai Kamatszámítás és diszkontálás évközi konverzió esetén Eddig azt feltételeztük, hogy a kamatozás ill. diszkontálás periódusa egy év Sok befektetésnél a kamatkonverzió (a kamatok tőkésítése) évente többször, pl. félévente, negyedévente, naponta, vagy akár folyamatosan is történhet. A tényleges kamatláb ezért különbözik a meghirdetett, ún névleges kamatlábtól 10 Névleges kamatláb (k): a kamatláb érvényességi idejére a bank által meghirdetett kamatláb. Érvényességi ideje tipikusan, ill. egyéb megjelölés hiányában egy év Az évi névleges kamatláb nem veszi, az esetleges évi többszöri konverziót, ezért különböző konstrukciók esetén nem jelent

összehasonlítható értéket. A hozamok összehasonlítása érdekében egyenértékű kamattényezőket kell meghatározni. Tényleges (effektív) kamatláb (r) : a kamatok évközi újra-befektetésével számított éves kamatláb Mivel az eddigiekben nem vizsgáltuk az évközi konverziók hatását, a névleges és tényleges kamatláb értéke éves szinten megegyezett, nem okozott zavart az r jelölés. A tényleges kamatláb meghatározásához vizsgáljuk meg először egy példán az évközi konverzió hatását! 1000 Ft-ot tesz a bankba egy évre, 10 % évi névleges kamatláb és féléves konverziós periódus mellett. Mekkora összeget vehet fel az év végén? Fél év elteltével az évi névleges kamatláb felének megfelelő összeget csatolják a tőkéhez, majd ez kamatozik az év végéig ugyancsak a félévi névleges kamatlábnak megfelelően. A tőkeérték 6 hónap múlva: 1000 1,05 = 1050 Év végén: 1050 1,05 =1000 1,052 = 1102,5 Az év végi

érték általános formulája: k  FV  PV  1    m ahol m k az évi névleges kamatláb m az évközi konverziók száma Az év végén esedékes FV érték jelenértékének általános formulája évi m konverzió esetén: k  PV  FV  1    m m A kamattényező értékét 1-gyel csökkentve megkapjuk a tényleges kamatlábat, amely már éves szinten összehasonlítható hozamot jelent. Az éves tényleges kamatláb általános formulája: k  r  1    m m 1 A kamatok évközi újra-befektetésével az éves tényleges kamatláb nagyobb, mint a névleges kamatláb. Példánkban az évi tényleges kamatláb 10,25 %. Folyamatos kamatozás Folyamatos kamatozás esetén a felnövekedett összeg meghatározására m értékét minden határon túl növelni kell, tehát m   11 Legyen k/m = 1/x, ekkor: k x  1  FV  PV  1     PV  e k x    és

r  ek  1 10 % évi névleges kamatláb és folyamatos kamatozás mellett az évi tényleges kamatláb 10,517 %. Ha az évi többszöri, ill. folyamatos kamatozás mellett betétünket t évig tartjuk, a betét felnövekedett értéke a t-dik év végén k  FV  PV  1    m mT FV  PV  ekT ill. Az évi többszöri, ill. folyamatos kamatozás mellett a t-dik év végén kapott összeg jelenlegi értéke: k  PV  FV  1    m  mT PV  FV  ekT ill. Az r tényleges kamatláb melletti évi egyszeri kamatozás egyenértékű k névleges kamatláb mellett évi mszeri kamatozással, tehát a tényleges kamatláb egy évre vonatkozóan összehasonlíthatóvá teszi a különböző konverziós periódusú betétek hozamait. A különböző kamatfizetési konstrukciók összehasonlíthatóak egy másik módszer, a folytonos kamatláb segítségével is. Folytonos kamatláb (kamatintenzitás) A folytonos kamatláb az az i

kamatláb, amely mellett egy éves folyamatos kamatozás révén a tőkeérték egyenértékű az r tényleges kamatláb melletti évi egyszeri kamatozás révén nyerhető értékkel. A különböző kamatfizetési konstrukciók egyenértékű kamattényezői k  1    m m  1  r  ei i  ln1  r  és i  m ln1  k / m Féléves kamatozás esetén mekkora a 20 % évi névleges kamatlábbal egyenértékű tényleges és folytonos kamatláb? r = 1,12 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21 i = ln 1,21 = 0,1906, vagy i = 2 ln 1,1 = 0,1906 12 5.3 Járadékszámítás Miután megismerkedtünk a pénzügyi számítások alaptípusaival, rátérünk a szabályos pénzáramlások értékelésére. 1.31 Örökjáradék Örökjáradéknak a vég nélküli, állandó pénzáramokat nevezzük. Ilyenek pl a konzolok /lejárat nélküli kötvények/ Az örökjáradék a gyakorlati életben meglehetősen ritka pénzáramlás. Azért tanulmányozzuk mégis,

mert segítségével nagyon egyszerűen levezethető az évjáradék jelenértéke, másrészt nagyon jól használható bizonyos lejárat nélküli pénzáramok közelítő értékeinek, pl. földértékelésnél, vagy részvények elméleti árfolyamának meghatározására. Tegyük fel, hogy egy föld évente 100.000 Ft földjáradékot biztosít tulajdonosának Mennyiért adná el ezt a földet, ha Ön lenne a tulajdonos? A feladat így is megfogalmazható: Ha a kamatláb pl. 10 %, mekkora pénzösszeg eredményez évente 100000 Ft biztos jövedelmet a földtulajdonosnak? Éppen ekkora összeg fejében lesz csak hajlandó lemondani az eddigi biztos járadékról. A megoldásnál először intuitív módon járunk el, úgy kezeljük a problémát, mintha egyetlen évre vonatkozna. Mivel a kamat a tőke indulóértékének és a kamatlábnak a szorzata, ismerve a kamatlábat, a kamat mennyiségét, és a kamatozási időtartamot, meghatározhatjuk a tőke induló értékének a

nagyságát. PV = kamat / r = 100.000 / 0,1 = 1000000 Ugyanerre az eredményre fogunk jutni akkor is, ha ennek (de csak ennek) a lejárat nélküli pénzáramlásnak pontosan meghatározzuk a jelenértékét azaz a járadék tőkésített értékét. A pénzáramok értékelését eddig általában a jövőérték meghatározásával kezdtük. Örökjáradékok esetében azonban a jövőérték meghatározása értelmetlen, minden esetben végtelen. A jelenérték meghatározásához írjuk fel először az örökjáradék pénzáramlását! Év 0 Pénzáram 1 2 C C . T T+1 T+2 C C C . Örökjáradék jelenértéke Az örökjáradék jelenértéke a következő diszkontált pénzáramok sorozata PV   C C C   .   2 t 1  r 1  r  t 1 1  r  ahol C a járadéktag 13 Legyen c/(1+r) =a és 1/(1+r)=q. A formula ekkor felírható az alábbi formában:    PV  a 1  q  q .  a  q t 2 t0 A

zárójelben lévő kifejezés egy végtelen geometriai sorozat, amelynek quotiense 1-nél kisebb szám, ezért véges a határértéke a végtelenben. Behelyettesítés után az alábbi formulát kapjuk: PV  C r Mennyiért érdemes pl. ma megvásárolni egy évi 10000 Ft hozamot biztosító konzolt 10 %-os kamatláb mellett? A kérdéses konzolt 10.000 / 0,1 = 100000 Ft-ért érdemes megvenni A formula a járadék értékét a fizetés kezdő időpontját megelőző évre adja meg. Ha az örökjáradék fizetése későbbi időpontban kezdődik, pl. A t+1-dik évtől kezdődően, akkor a formula az örökjáradék értékét a t-dik évre vonatkozóan adja meg. A jelenérték meghatározásához a 0-dik időpontra kell diszkontáljuk, tehát meg kell szorozzuk a t periódusú diszkonttényezővel. Mennyiért érdemes pl. ma megvásárolni10 %-os kamatláb mellett azt az évi 10000 Ft hozamot biztosító konzolt, amelyik a fizetések sorozatát 3 év múlva kezdi meg? Mivel a

formula az örökjáradék értékét a 2. évre vonatkozóan adja meg, a jelenérték meghatározásához meg kell szorozzuk a 2 periódusú diszkonttényezővel. PV  C 1  r 1  r T PV  10.000 1   82.645 0,1 1,2 2 Így a konzol tehát kevesebbet, csak 82.645 Ft-ot ér Növekvő tagú örökjáradék A növekvő tagú örökjáradék olyan vég nélküli, állandó pénzáramlás, amelyben a járadéktag konstans ütemben nő. Írjuk fel a pénzáramlást! Év 0 Pénzáram 1 2 C C(1+g) 3 C(1+g)2 . T C(1+g) T-1 T+1 C(1+g) T T+2 . C(1+g) T+1 A növekvő tagú örökjáradék jelenértéke a következő diszkontált pénzáramok sorozata  C 1 g C1  g  C1  g    C PV    .   2 3 1  r 1  r  t 1 1  r  1  r  t 2 t 1 ahol g a növekedés évi üteme 14 Növekvő tagú örökjáradék jelenértéke A jelenérték meghatározásához az előző módszert választjuk,

ahol a=C/(1+r) megegyezik a korábbi kifejezéssel, és q = (1+g)/(1+r). Ekkor azt kapjuk, hogy PV  C rg Tegyük fel, hogy fenti örökjáradékunk hozama évi 5 %-kal nő, vagyis az első év végén 10.000, a második év végén 10.500 stb Ft-ot biztosít tulajdonosának Mennyiért érdemes ma megvásárolni? A kérdéses konzolt 10.000 / 0,05 = 200000 Ft-ért érdemes megvenni 2.32 Évjáradék (annuitás) Az évjáradék, vagy annuitás a pénzügyek területén az egyik leggyakoribb szabályos pénzáramlás. Hogy csak a leggyakoribb formákat említsük, találkozhatunk vele biztosításoknál, fogyasztói hitelek törlesztésénél, lízingdíjaknál, egyes értékpapírok értékelésénél, stb. Az évjáradék olyan egyenlő nagyságú fizetések sorozata, amelyet meghatározott ideig pl. T perióduson keresztül kapunk/adunk. A jelen- és jövőértékek meghatározásához írjuk fel először az évjáradék pénzáramlását! Év 0 Pénzáram 1 2 3 C C

C . T C Kezdjük a jelenérték meghatározásával. Évjáradék jelenértéke Egy T periódusú (esetünkben T éves) évjáradék pénzáramának jelenértéke a következőképpen írható fel: C C C PV    .  2 1  r 1  r  1  r T T  t 1 C 1  r t A jelenérték meghatározható az örökjáradékhoz hasonlóan, azzal a különbséggel, hogy itt egy geometriai sorozat első T elemének összegző formulájára van szükség. Ismerve az örökjáradék jelenérték-formuláját, ennél azonban egyszerűbben és szemléletesebben is eljuthatunk a jelenértékhez. Tekintsük az alábbi két örökjáradékot, amelyek közül az egyik a következő (az első) évben, a másik a T +1ik évben kezdi meg a fizetések sorozatát. 15 Év 0 1. örökjáradék 1 2 . T T+1 T+2 . C C C C C C C C C C 2. örökjáradék Vegyük észre, hogy egy T éves évjáradék nem más, mint a két örökjáradék

különbsége. Az évjáradék jelenértékét az örökjáradékok jelenértékeinek különbségeként kaphatjuk. 1  1 C C    C  ArT PV   C  T T   r r 1  r   r r 1  r   A formula a járadék értékét a fizetés kezdő időpontját megelőző évre adja meg. A zárójelben lévő kifejezés az ún. annuitás jelenérték-tényező, amely T éven keresztül folyósított 1 Ft összegű évjáradék jelenértékét adja meg r kamatláb mellett. Jele ArT . (Tulajdonképpen nem más mint a diszkonttényezők összege) A formula az évjáradék alapesetét határozza meg, amikor a fizetések az értékelés időpontját követően, egy év múlva kezdődnek. Az amerikai típusú lottónyereményt rendszerint több éves évjáradék formájában kaphatja meg a szerencsés nyertes. Mekkora annak az 1 millió $ névértékű nyereménynek a mai értéke, amelyet 20 éven keresztül, évi egyenlő - 50.000 $ - részletekben

fizetnek ki, ha az éves kamatláb 8 %?  1  1   50.000  9,8181  490907 PV  C  A020, 08  50.000   20   0,08 0,081  0,08  A nyeremény mai értéke tehát 490.907 $ Esedékes annuitás jelenértéke Az előző példában, ill. az alapformula levezetésekor az évjáradék alapesetét vizsgáltuk Ha az első részletet azonnal kifizetik, (ez ugyanaz, mintha a fizetések az év elején történnének) azt névértéken kell figyelembe venni, és az annuitás-tényező megválasztásakor eggyel kevesebb évet kell figyelembe venni. Az esedékes annuitás jelenértéke ezért mindig nagyobb, mint a normál (késleltetett) annuitásé.  PV  C 1  ArT 1  Mekkora az előbbi nyereménynek a jelenértéke, ha az elsô részletet azonnal kifizetik?   PV  50.000 1  A019, 08  50000  9,6036  530180 . A nyeremény mai értéke ebben az esetben 530.180 $ Annuitás felnövekedett értéke Ha a jövőben egy

összegben történő kifizetésre takarékoskodik, célszerűbb lehet az évjáradék felnövekedett értékét meghatározni. Ennek, azaz 1 Ft T éven keresztüli befizetése felnövekedett értékének formulája r kamatláb mellett FV  C  S T r T S  1 r T r t 1 Tt T 1 r  1   r 16 ahol SrT az annuitás jövőérték-tényezője Gépkocsi-vásárlásra spórol, amely 5 év múlva 1 mFt-ba kerül. Mennyit kell évente félretennie, és bankba tennie, ha egyenlő összegeket kíván megtakarítani, és az éves kamatláb 20 %? C 1 1 1    0,1343797 5 T Sr 1  0,1  1 7,4416 0,1 Tehát évente 134380 Ft-ot kell elhelyeznie a számlán. Növekvő tagú évjáradék Kövessük az előző eljárást! Tekintsük az alábbi két növekvő tagú örökjáradékot! Év 0 1.Pénzáram 1 2 3 C C(1+g) C(1+g)2 . T T+1 T+2 C(1+g) T-1 C(1+g) T C(1+g) T+1 C(1+g) T C(1+g) T+1 2. Pénzáram . A

növekvő tagú annuitás jelenértéke nem más, mint két növekvő tagú örökjáradék különbsége, amelyek közül az első az első év végén, a második a T +1-ik végén kezdi meg a fizetéseket, s az első örökjáradék C, a második C(1+g) T nagyságú jövedelmet biztosít a fizetés első évében tulajdonosának. A jelenérték a két örökjáradék jelenértéke különbségeként határozható meg. A növekvő tagú évjáradék jelenérték-formulája T T  1 C1 C1 1  g  1 1  g     C1  ArT, g PV     C1    r  g r  g 1 r T  r  g r  g 1  r T     A zárójelben lévő kifejezés a növekvő annuitás jelenérték-tényezője, amelynek jele ArT, g . Növekvő tagú annuitás jövőérték-formulája FV  C1  S ahol T r,g  1  r  T  1  g  T    C1    r  g   SrT, g a növekvő évjáradék jövőérték-tényezője

Visszatérve a gépkocsi-vásárlásos példához, és feltételezve, hogy megtakarításait évi 10 %-kal növelni tudja, mekkora lesz az első évi betét? C1  1 S05,2;0,1  1  0,113920 8, 7781 Az első évi betét tehát 113.920 Ft kell legyen 17 Jegyezzük meg a következőket! 1. 2. Az összes járadék - formula (az évjáradék formulája csakúgy, mint az örökjáradéké) feltételezi, hogy az első pénzáram az év végén (egy év múlva) esedékes, a jelenérték-formula tehát a fizetések kezdőévét megelőző évre adja meg a járadék értékét. A növekvő tagú járadékok formulái csak akkor értelmezhetőek, ha r>g. 2. Befektetési döntések Az alábbiakban számos olyan fogalommal találkozhat, ami mindennapi életében is gyakran előfordul. Némelyek közülük a szakmai nyelvben is ugyanazt jelentik, mások a pénzügytan tanulmányozásakor új jelentéseket kapnak. Egyes idegen eredetű szavakat, amelyek már meghonosodtak a

magyar nyelvben (mint pl portfólió, likviditás, stb.) anélkül használunk, hogy igazából tudnánk, mit is jelentenek Éppen ezért, mielőtt a közepébe vágnánk a tananyag ismertetésének, érdemes tisztázni néhány olyan alapfogalmat, amelyek segítségével írjuk le a következő fejezetek mondanivalóját. Kezdjük a tanulást néhány olyan fogalom tisztázásával, amelyekkel a mindennapi élet, ezen belül a gazdasági élet fogalmai között gyakran találkozunk. Ilyen pl az érték megannyi fogalma, sajátos értelmezései A pénzügyek területén az érték általában a tőkeérték, amely valamely vagyontárgy vagy vállalakozás azon képességét jelenti, hogy működtetése nyomán a tulajdonos, ill. a befektető számára pénzáramot, nettó készpénzbevételt hoz. Az értékelés ezen - rendszerint különböző időpontokban felmerülő - hozadékok, pénzáramok számbavételét, egyenértékesítését, s ennek révén a vagyontárgy piaci

értékének megállapítását célozza. A piaci érték az a mérték, amelyben az üzletfelek a különböző tranzakciók - vásárlás, bérlet stb. - során a piacon szabad akaratukból megállapodnak. (Bizonyos esetekben ettől eltérő érték-fogalom használatos, pl a számvitel területén a könyv szerinti érték, vagy vállalat-felszámolás esetén a likvidációs érték és mások. Jelen tananyagban, ha külön nem jelöljük, értéken a fenti értelemben vett piaci értéket értjük.) A befektetés általában a magánszemélyek, ill. a vállalkozások portfóliójának kialakítását jelenti, eredménye tehát maga a portfólió. A portfólió - a kifejezést általában nem szokták lefordítani - vagyonkompozíciót, befektetési kombinációt jelent, azaz azon vagyontárgyak összességét ill. összetételét, amelyekkel a a magánszemélyek, ill a vállalkozások rendelkeznek. A vállalatok és a magánszemélyek nagyszámú vagyontartási forma, ill.

befektetési lehetőség között válogathatnak. A vagyontárgyak, amelyekre a befektetés irányul, lehetnek reáljavak, mint pl az ingatlanok, gépek, berendezések, vagy financiális javak, mint pl. az értékpapírok (kötvények, részvények) A befektetés célja - a vállalati ill. a magánvagyon értékének maximalizálása, azaz az így kialakított portfólió a lehető legnagyobb értékű legyen. (Természetesen itt nem a dolgok szubjektív értékére gondolunk, pl hogy emberek különböző okokból nagyra értékelnek és ezért ragaszkodnak bizonyos dolgokhoz, pl. családi örökség lévén nem tudnak tőle megválni, habár esetleg nem is hozza, hanem viszi a pénzt.)A befektetőnek célja elérése érdekében olyan vagyontárgyat kell vásárolni, amely többet ér, mint amennyibe kerül. Ahhoz, hogy helyes döntést hozzon, legtöbb esetben nem elég az intuíció, szükség van a vagyontárgyak értékelésének elméleti alapjaira is. Ellenkező esetben a

befektető magatartása inkább emlékeztet egy szerencsejátékoséra, mintsem egy racionális, a lehetőségeket körültekintően mérlegelő döntéshozóéra. E fejezetben felvázoljuk a befektetések mérlegelésének szempontjait, valamint a befektetési döntések lépéseit. 18 A befektetések mérlegelésének szempontjai hasonlóak mind a magánszemélyek, mind a vállalatok esetében. Ha elfogadjuk a befektetés céljaként a portfólió értékének maximalizálását, akkor elsődleges szempont a befektetés hozama kell hogy legyen. Egy befektetés hozamát többféleképpen értelmezhetjük. Lehet maga a vagyon növekménye, a befektetés induló értéke feletti többlet. Dimenziója ekkor pénzmennyiség, pl 1 mFt, vagy 10000 $ Ennél gyakrabban használják a hozam fogalmát százalékos értékként, azaz a vagyon befektetésből származó növekménye hány százaléka a vagyon induló értékének. Ebben az esetben helyesebb a hozamráta kifejezés, ennek

ellenére az egyszerűség, valamint a tradíciók miatt e jegyzetben is gyakran hivatkozunk hozamként rá. Azonos hozamú befektetések jelentős mértékben különbözhetnek a befektetés kockázata tekintetében. A befektetések kockázatán a közkeletű értelmezés a kedvezőtlen eredmény, a veszteség bekövetkezésének lehetőségét érti. Minél nagyobb eszerint a veszteség bekövetkezésének valószínűsége, annál kockázatosabbnak tekinthető a befektetés. A pénzügytan kockázaton a befektetés hozamának bizonytalanságát érti Nem mindegy ugyanis, hogy a hozamot az állam garantálja-e, mint pl. az állampapírok esetén, vagy ismerősünk névtelen ismerőse toboroz befektetőket alapítandó vállalkozásához, amelynek keretében zseniális ötletét kívánja megvalósítani, s ráadásul első alkalommal kísérletezik vállalatalapítással. A kockázat kérdéseit a 4 fejezetben részletesen is tárgyaljuk. Addig csak megelőlegezzük azt a fontos

összefüggést, amely szerint valamely befektetés várható hozama arányos a vállalt kockázattal. A harmadik szempont, amit a befektető mérlegel, a befektetés likviditása. Ezen azt értjük, hogy mennyi idő alatt, és milyen költségek árán tehető pénzzé a befektetés. A hosszabb távú befektetési lehetőségek lekötik, befagyasztják a tőkét, amelyet így lehetetlen más célra fordítani. Ha a magánszemély, vagy a vállalat napi fizetési (likviditási) problémával szembesül, (ez, tehát a fizetőképesség a likviditás másik szokásos értelmezése), azokat a vagyontárgyakat teheti gyorsan és viszonylag alacsony költséggel pénzzé, amelyeknek kiterjedt másodlagos piaca van. Ilyenek pl az értékpapírok Ez a szempont nem mutat szoros összefüggést sem a hozammal, sem a kockázattal. A tőzsdén jegyzett részvények pl a legkockázatosabb, az állampapírok a legkevésbé kockázatos befektetések, s mindkettő a legmagasabb likviditású

csoportba tartozik. A befektetések mérlegelésének szempontjai tehát esetenként egymásnak ellentmondóak, nem könnyű tehát a helyes döntés. Habár a mérlegelési szempontok azonosak, az új befektetések alkalmával a döntések lépései jelentősen eltérnek a magánszemélyek és a vállalkozások esetében. A magánbefektetők első lépésben arról döntenek, mennyit fordítsanak a vagyon - a jövőbeni fogyasztás lehetőségének növelésére, azaz mennyi legyen a megtakarítás, a jelenbeli fogyasztásról való lemondás. 1. Fogyasztás - megtakarítás  MENNYIT? Második lépésben arról kell határozni, ilyen formában tartsák a vagyonunkat? 2. Befektetési lehetőségek  MILYEN FORMÁBAN? A vállalkozások először azt kell felmérjék, hogy milyen jövedelmező befektetési lehetőségek kínálkoznak. 1. Befektetési lehetőségek  MILYEN FORMÁBAN? Második lépésként gondoskodniuk kell a befektetés finanszírozásáról. Ha saját forrásaik

(az amortizáció, az újrabefektetett nyereség) nem biztosítanak elegendő fedezetet, külső forrásokat kell bevonniuk a megvalósítás érdekében (pl. hitelfelvétel, kötvény-kibocsátás, részvénykibocsátás útján) 2. Finanszírozás - forrásszerzés  MENNYIT? Ez a különbség első ránézésre meghökkentő lehet, és ellentmondani látszik számos vállalat befektetési politikájának, és a jelenlegi szűkös forrásbevonási lehetőségeknek egyaránt. A 3 fejezetben igyekszünk bebizonyítani állításunk helyességét, tehát azt hogy hatékony tőkepiacok esetén a jövedelmező befektetési lehetőségekhez mindig található megfelelő forrás. 19 2.1 A befektetések értékelésére alkalmazható módszerek A befektetési döntések során nagyszámú módszerrel élnek a vállalatok, vállalkozások. Közülük néhány évtizedes hüvelykujj-szabályként működik, elsősorban a megtérülési idő számítására vonatkozó módszerek.

Többségük azonban nem, vagy korlátozottan veszi figyelembe a pénz időértékét, ezért nem is foglalkozunk veülk részletesen. Az alapfogalmak elsajátítása során megismertük a befektetés fogalmát, célját, a befektetési döntések legfontosabb lépéseit, ill. a befektetések értékelésénél alkalmazható alapvető módszert, a nettó jelenértékszabályt Az alábbiakban a befektetések értékelésére alkalmazható alternatív szabályokkal ismerkedünk meg A fejezet további részeiben e módszereket alkalmazzunk az értékpapírok ill. a beruházások értékelésére A befektetések értékelésére alkalmazható, a pénz időértékét figyelembevevő módszerek:    Nettó jelenérték Belső megtérülési ráta Jövedelmezőségi index Mivel a nettó jelenérték és a belső megtérülési ráta fogalmát és számítási módját már megismertük, ehelyütt csak megismételjük az előző fejezetben elsajátítottakat. Nettó jelenérték

Egy T periódusú befektetés nettó jelenértékének általános formulája: NPV   C0  T C1 C2 CT Ct      C  .  0 2 T t 1  r  1  r  1  r  t 1 1  r  A befektetési döntések mérlegelésének nettó jelenérték-szabálya: Elfogadhatunk minden olyan projektet, amelynek nettó jelenértéke nem negatív! Ha befektetésünk kockázatmentes, csak ebben az esetben lesz legalább olyan vonzó, ill. jövedelmező, mint a kockázat-mentes alternatíva, tehát csak ekkor hoz a normál-profit feletti gazdasági profitot! A befektetési döntések tipikusan alternatívák közötti, egyfajta rangsorolást követő választást jelentenek. Befektetések rangsorolása a nettó jelenérték-módszer alapján A nettó jelenérték a befektetés hozamát, az induló tőke feletti többlet jelenlegi értékét abszolút számként, pénzmennyiségként adja meg. Ha különböző projekteket értékelünk, és a befektetések

induló tőkeszükséglete azonos, az elfogadási rangsor a nettó jelenértékek sorba rendezése útján nyerhető: először a legnagyobb, majd a kisebb nettó jelenértékű befektetéseket fogadjuk el! Ha olyan különböző projekteket értékelünk, amelyeknél a befektetések induló tőkeszükséglete eltérő, szükség lehet a projektek jövedelmezőségének, megtérülésének relatív hozammutatók alapján való összevetésére is. Erre használják a belső megtérülési ráta, és a jövedelmezőségi index mutatóit A nettó jelenérték-módszer lehetséges alternatívái a befektetési döntéseknél A nettó jelenérték-módszer legfontosabb és leggyakoribb vetélytársa a belső megtérülési ráta. 20 Belső megtérülési ráta (IRR) A befektetés belső megtérülési rátája (IRR - internal rate of return) a befektetés kalkulált éves átlag-hozama. Más megközelítésben a befektetések befektetés belső megtérülési az a kamatláb, amely

mellett a befektetés nettó jelenértéke nulla A belső megtérülési ráta számításának általános formulája: 0   C0  C1 C2 CT  2 . 1  IRR  T 1  IRR 1  IRR  A belső megtérülési ráta-módszer alkalmazásának alapszabálya: Ha a befektetések pénzáramlása tipikus, elfogadhatjuk azokat a projekteket, amelyeknél a belső megtérülési ráta legalább, akkora, mint az elvárt megtérülési ráta, ill. a tőke alternatíva-költsége! Mivel az IRR kalkulált hozam-mutató (éves átlagos hozamráta), ennek alapján a befektetők legfontosabb elvárásának megfelelően, és könnyen összehasonlíthatók a különböző befektetési lehetőségek. Az elfogadási rangsor a belső megtérülési ráták sorba rendezése útján nyerhető: először a legnagyobb, majd a kisebb hozamú befektetéseket fogadjuk el! A módszer alkalmazásánál azonban számos nehézség merül fel. Az IRR-módszer helyes alkalmazását a beruházási

projektek értékelésekor mutatjuk be. Jövedelmezőségi index A jövedelmezőségi index a projekt jövőbeni pénzáramának jelenértékét viszonyítja a befektetés induló értékéhez. (profitability index - PI) A jövedelmezőségi index számításának általános formulája: PI  PV NPV  1 C0 C0 A jövedelmezőségi index a befektetések megtérülési mutatója: a jövőbeni pénzáramok jelenértékéből hányszor térül meg a befektetés A jövedelmezőségi index-módszer alapszabálya: Elfogadhatjuk azokat a projekteket, amelyeknél a jövedelmezőségi index értéke legalább 1! A jövedelmezőségi index értéke akkor egyenlő eggyel, ha egy tipikus pénzáramlású projekt értékelésekor az alkalmazott diszkontráta egyenlő a belső megtérülési rátával. Ennél az értéknél a nettó jelenérték egyenlő nullával. 2.2 Befektetés értékpapírokba Az előzőekben tárgyalt módszereket alkalmazzuk az értékpapír-befektetési

döntésekre. A pénzügyi innovációk nyomán ma már számtalan értékpapír-konstrukció létezik. Ezek közül ehelyütt csak, a kötvények és a részvények alaptípusainak értékelésére szorítkozunk. Az értékpapírok értékelése elméleti árfolyamuk és/vagy hozamuk meghatározását jelenti. Az értékpapírok elméleti árfolyama egyenlő a jövőbeni hozamainak jelenértékével Az értékpapírok hozama egyenlő a jelenbeli árfolyamukra vetített belső megtérülési rátával Az értékpapírok közül először a fix hozadékú (pénzáramlású) értékpapírokat, a kötvényeket vizsgáljuk meg. 21 2.21 Kötvények árfolyama A kötvény olyan értékpapír, amely hitelviszonyt testesít meg. A kölcsönvevő és a kölcsönadó megegyeznek az alapösszeg, vagy névérték /principal, face value/ visszafizetésének (törlesztés) a kamatfizetés idejére, mértékére és módjára vonatkozóan. A pénzügyi termékek innovációja révén ma már

számtalan kötvénykonstrukció létezik, sok közülük átmeneti formát képvisel Az alábbiakban csak az alaptípusokat vesszük számba A kötvények alaptípusai:  Konzol kötvény  Diszkont kötvény  Kamatos kamatozású kötvény  Kamatszelvényes kötvény Konzol kötvény értékelése A konzolok olyan kötvények, amelyeknek nincs lejárata, tehát örökjáradék jellegű, permanens jövedelmet biztosítanak tulajdonosuknak, elméleti árfolyamuk ezért az örökjáradék jelenérték-formulájával határozható meg. (Ilyeneket kormányok bocsátottak ki, közülük pl ma is vásárolható néhány XVIII századi angol konzol) Konzol kötvény elméleti árfolyama PV   C C C   .   2 t 1  r 1  r  t  1 1  r  PV  C r A kötvények értékelésénél mindig a hátralévő futamidőt kell figyelembe venni. Mivel a konzol kötvény hátralévő futamideje mindig végtelen, ha a kamatláb változatlan, elméleti

árfolyama minden időpontban megegyezik kibocsátáskori elméleti árfolyamával Diszkont kötvény értékelése A diszkont kötvény (vagy kamatszelvény nélküli - zéró-kupon kötvény) a kötvények legegyszerűbb fajtája, amely egy fix összeg, a névérték (F - face value), fizetését ígéri egy meghatározott jövőbeni időpontban, a kötvény lejáratakor. (Ehelyütt egy évnél hosszabb futamidőt feltételezünk A magyar piacokon kapható diszkont-kincstárjegyek 3, 6 és 12 hónapos futamidejűek, azok árfolyamát - ill. árfolyamukból a hozamot lineáris diszkontálással határozhatjuk meg) Diszkont kötvény pénzáramlása 0 Időpont Cash flow 1 2 . - P0 T F Diszkont kötvény elméleti árfolyama PV  F 1  r  T A kötvények árfolyamát százalékos formában jegyzik, ezért célszerű az elméleti árfolyamot is így számolni: 1 PV  1  r  T F Tehát a diszkontkötvény árfolyama egyenlő a megfelelő diszkontfaktor

értékével 22 Kamatos kamatozású kötvény értékelése A kamatos kamatozású kötvény egy fix összeg, a kötvény saját névleges kamatlábának (c), és eredeti futamidejének (n) megfelelő kamatos kamattal felnövelt névérték fizetését ígéri egy meghatározott jövőbeni időpontban, a kötvény lejáratakor. Kamatos kamatozású kötvény pénzáramlása 0 Időpont Cash flow 1 2 . T F(1+c)n - P0 Kamatos kamatozású kötvény kibocsátáskori elméleti árfolyama F 1  c  PV  1  r n PV 1  c  F 1  r  n n n ill. A kamatos kamatozású kötvény pénzáramlása függ az eredeti futamidőtől, árfolyama ezért nemcsak a hátralévő, hanem az eredeti futamidőnek is a függvénye. Kamatos kamatozású kötvény elméleti árfolyama T évvel a lejárat előtt PV  F 1  c PV 1  c  F 1  r T n 1  r T n ill. ahol n = az eredeti futamidő T= a hátralévő futamidő

Kamatszelvényes kötvény értékelése A kamatszelvényes kötvény olyan értékpapír, amelyben a kibocsátó kötelezettséget vállal arra, hogy a kötvényben rögzített feltételek (a kötvény konstrukciója) szerint a futamidő alatt, a kötvény saját kamatlábának megfelelő, a kötvény fennálló névértékére vetített kamatot (esetleg egyéb járulékokat, vagy szolgáltatásokat) fizet, ill. teljesít, és visszatörleszti a névértéket A kamatszelvényes kötvény alaptípusa a névértéket egy meghatározott jövőbeni időpontban, a kötvény lejáratakor egy összegben törleszti. Amortizálódó kötvényről beszélünk, ha a futamidő közbenső évei során is van valamilyen konstrukció szerinti (pl. egyenletes, vagy türelmi idő után megkezdett) törlesztés. Kamatszelvényes kötvény pénzáramlása Időpont Cash flow 0 1 2 . T - P0 K1 + T1 K2 + T2 . KT + TT K t = a t-dik periódus során fizetett kamat T t = a t-dik periódus során

esedékes törlesztés 23 Kamatszelvényes kötvény elméleti árfolyama PV  T K1  T1 K2  T2 KT  TT Kt  Tt     .  2 T t 1  r  1  r  1  r  t 1 1  r  Lejáratkor egy összegben törlesztő kamatszelvényes kötvény pénzáramlása 0 Időpont Cash flow 1 - P0 C 2 C . . T C+F E kötvénytípus esetében T 1 = T 2 = . = T T-1 = 0 és T T = F Mivel a fennálló névérték a futamidő alatt változatlan, a fix kamatozású kötvény kamata is állandó. (C-coupon) Lejáratkor egy összegben törlesztő kamatszelvényes kötvény elméleti árfolyama Ha észrevesszük, hogy az ilyen kötvény pénzáramlása egy portfóliót alkot: kamatai egy évjáradékot képeznek, a törlesztés pedig tekinthető egy diszkont kötvénynek. Az árfolyam számítására egyszerűsítő formulát alkalmazhatunk: PV  c  ArT  PrT F PV  C  ArT  F  PrT ahol c = C/F Az annuitás-tényezőt a tényleges

periódusokkal, és az azoknak megfelelő kamatlábbal kell figyelembe venni! Ennek megfelelően, ha éves kamatozás van, akkor a T periódusszám egyenlő az évek számával, és az r kamatláb a névleges piaci kamatlábbal. Ha a kamatfizetés pl. félévente történik, akkor a periódusszám megduplázódik, a névleges kamatláb pedig megfeleződik, azaz a féléves névleges kamatlábakkal dolgozunk. PV  C2  Ar2T2  F  Pr22T ill. PV c 2T  2  Ar 2  Pr22T F Amortizálódó kötvények A fejlett piacgazdaságokban igen ritka, Magyarországon azonban előfordul – elsősorban vállalati kötvények esetében - ez a kötvényfajta, amelynél a törlesztés több részletben történik, azaz a törlesztések mértékében a kötvény fennálló névértéke csökken, amortizálódik. A kötvények pénzáramlását a változó törlesztési és kamatfeltételek alapján kell felírni, és az általános értékelési formula alapján kell az elméleti

árfolyamot meghatározni. A kötvények árfolyama és a piaci kamatláb A kötvényeket általában a névértékhez közelálló árfolyamon bocsátják ki, mert az újonnan kibocsátott kötvények kamata igazodik a piaci kamatlábhoz. A kötvény T-dik időszaki tényleges árfolyama ( P T ) hatékony piacokon - az arbitrazsőrök tevékenysége nyomán - megegyezik az elméleti árfolyamával. Ezért az árfolyamára vetített belső megtérülési ráta megegyezik a piaci kamatlábbal. 24 A fix kamatozású kötvények árfolyam-alakulásának szabályai  Az árfolyam és a piaci kamatláb Ha c = r , azaz a kötvény saját kamatlába megegyezik a piaci kamatlábbal, akkor a kamatozó kötvények árfolyama megegyezik a névértékkel Ha c > r , azaz a kötvény saját kamatlába nagyobb, mint a piaci kamatláb, akkor a kamatozó kötvények árfolyama nagyobb, mint a névérték, tehát a kötvényt prémiummal lehet értékesíteni. Ha c < r , azaz a kötvény

saját kamatlába kisebb, mint a piaci kamatláb, akkor a kamatozó kötvények árfolyama kisebb, mint a névérték, tehát a kötvényt diszkonttal lehet értékesíteni  A piaci kamatláb változásának hatása A kötvények árfolyama csökken a piaci kamatláb növekedésével, és növekszik a piaci kamatláb csökkenésével.  A kötvényárfolyamok időbeli alakulása A kötvények árfolyama a lejárathoz közeledve konvergál a névértékhez (kamatos kamatozású kötvény esetén a lejáratkori felkamatozott értékhez) Az árfolyam/alakulás fenti szabályai az arbitrazsőrök tevékenysége révén valósulnak meg, amelynek következtében kiegyenlítődnek a pénz- és tőkepiaci hozamok. A kamatszelvényes kötvények nettó és bruttó árfolyama Az eddigiekben számított elméleti árfolyam ún. nettó, vagy tiszta árfolyam, amely a kamatfizetés napjára, a kamatfizetés utáni időpontra vonatkozik. A két kamatfizetés között az időszakra jutó kamat

időarányosan halmozódik. Az ezzel megnövelt árfolyam az ún bruttó árfolyam, amely tartalmazza felhalmozódott kamatot Bruttó árfolyam = nettó árfolyam + felhalmozódott időarányos kamat Kamatfizetés után a két árfolyam átmenetileg megegyezik. A magyar értékpapírpiacokon a kötvényeket bruttó árfolyamon jegyzik. A nettó árfolyamot úgy kapjuk, hogy a két kamatfizetés között lineárisan felhalmozódott kamatot levonjuk az árfolyamból. 2.22 A kötvények hozama A kötvények hozamának meghatározására több mutatót is használnak. Ezek némelyike nagyon könnyen megragadható, vagy számítható, de a korrekt hozamfogalmak mind IRR jellegű mutatók. A kötvények hozamát többnyire a befektetési döntés meghozatala érdekében előzetesen kalkuláljuk a várakozásaink alapján. Ha a körülmények menetközben megváltoznak, a legtöbb kötvény tényleges hozama eltér az előzetesen számított hozamtól, ezért utólag is mindig érdemes

elvégezni a számításokat. Az alábbiakban a leggyakoribb kötvénytípus, a lejáratkor egy összegben törlesztő kamatszelvényes kötvény esetében használatos hozamfogalmakat tekintjük át. A kötvényhozamok fajtái   Névleges hozam A kamat és a névérték hányadosa (a kuponráta) C c F A kötvény névleges kamatozását mutatja meg. Egyszerű hozam (szelvényhozam - SY - simple yield) A kamat és a vételár hányadosa C SY  P0 25 A névleges és az egyszerű hozam-mutatók csak a kamatszelvényből fakadó hozadékot mutatják. Nem veszik figyelembe a kötvény hátralévő futamidejét, és a törlesztésből vagy az eladási árból fakadó árfolyamnyereségnek vagy veszteségnek a hozamra gyakorolt hatását.  Lejáratig számított egyszerű hozam (SYTM - simple yield to maturity) Egy évnél hosszabb hátralévő futamidejű, lejáratig megtartani szándékozott kötvények esetében az egyszerű hozamhoz hozzáadjuk az árfolyamnyereség

vagy veszteség egy évre jutó hányadát, amelyet a névérték és a vételár különbségének a hátralévő futamidőre adódó számtani átlagaként számítunk ki. SYTM   C F  P0  P0 P0  T Tartási periódusra jutó egyszerű hozam (SHPY - simple holding period yield) Egy évnél hosszabb futamidőre tartani szándékozott (a tervezett tartási periódusnál hosszabb hátralévő futamidejű) kötvények esetében az egyszerű hozamhoz hozzáadjuk az árfolyamnyereség vagy veszteség egy évre jutó hányadát, amelyet a várható eladási ár és a vételár különbségének a hátralévő futamidőre adódó számtani átlagaként számítunk ki. SHPY  C PT  P0  P0 P0  T A tartási periódusra jutó és a lejárati egyszerű hozam-mutatók figyelembe veszik valamennyi a tartásból fakadó pénzáramlást, de figyelmen kívül hagyják a futamidő során menetközben megkapott pénzösszegek újra-befektetési lehetőségét. Ezt csak a

belső megtérülési ráta jellegű mutatók tartalmazzák  Lejárati hozam (YTM - yield to maturity) Az a kalkulált hozam, amelyre akkor számíthat a befektető, ha a kötvényt lejáratig megtartja, azaz a kötvény árfolyamára vetített belső megtérülési ráta. A kötvények hozamának általános formulája P0  T K1  T1 K2  T2 KT  TT Kt  Tt     .  2 T t 1  IRR  1  IRR 1  IRR  t 1 1  IRR  Lejáratkor egy összegben törlesztő kamatszelvényes kötvény hozama P0  T Ct C C CF F     .  2 T t  1  IRR 1  IRR 1  IRR    T 1  1  IRR IRR t 1 26  Tartási periódusra jutó hozam (HPY - holding period yield) A kötvénytartás belső megtérülési rátája, az a kalkulált hozam, amelyre akkor számíthat a befektető, ha a kötvényt lejárat előtt a T-dik periódus végén P T árfolyamon eladja. P0  T C  PT Ct PT

C C .      2 T t  1  IRR 1  IRR 1  IRR 1  IRR T t 1 1  IRR  A továbbiakban a kötvények hozamán a kalkulálható belső megtérülési rátát értjük. A belső megtérülési ráta elemzésekor említettük a számítási és egyéb nehézségeket. A tartási periódusra jutó hozam és lejárati hozam egyszerű mutatói jól alkalmazhatóak az IRR jellegű mutatók közelítő értékeiként, ill. becsléseiként. Az eddigi hozam-mutatók a befektetési döntés pillanatában fennálló körülmények, ill. a jövőre vonatkozó akkori várakozások alapján kalkulált mutatók voltak. Ha a feltételek megváltoznak, mindenképpen érintik a befektetésből realizált tényleges hozam nagyságát. Ez csak a folyamat végén, utólag (ex post) számítható ki .  Tényleges (ex post) hozam A kötvények tényleges (ex post) hozamát a szelvények befektetési lehetőségeit figyelembe véve, utólag lehet

számolni. A menetközben beváltott szelvények értékét a befektetésük tényleges kamatlábával felkamatoztatva meghatározzuk a befektetés T-ik időpontra felnövekedett értékét, és ennek valamint a befektetés induló értékének segítségével számítjuk ki a tényleges hozamot. IRR  T FV 1 P0 ahol T T t t 1 i t FV   C t  1  ri  2.23 Részvények árfolyama A részvények lejárat nélküli értékpapírok, amelyek valamely részvénytársaság tőkéjének tulajdoni hányadát képezik, és jogosultságot jelentenek arra, hogy tulajdonosuk osztalék formájában részesedjen a társaság jövedelméből. A részvények alaptípusai:  Elsőbbségi részvények  Közönséges részvények Elsőbbségi részvények értékelése Az osztalék-elsőbbségi részvények közbenső formát jelentenek a kötvények és a közönséges részvények között. Hozamuk, a preferált osztalék fixnek tekinthető, és a közönséges

részvényeknél előbbre soroltak a követelések kielégítési rangsorában, tehát ennyiben a kötvényekhez állnak közel. Adózás szempontjából birtokosaik általában kedvezményeket élveznek, és éppen ezért vásárolják azokat. Más vonatkozásban (pl a felelősség) a közönséges részvényekkel azonos státuszúak, s a kötvényekkel szemben, amelyek kamatát az adózatlan eredményből fizetik, a preferált osztalék forrása a közönséges részvényekhez hasonlóan az adózott eredmény. Az elsőbbségi részvények lejárat nélküli, fix hozadékú értékpapíroknak tekinthetők, elméleti árfolyamuk ezért az örökjáradék formulával határozható meg, de mivel kockázatosabb értékpapírok, mint a kötvények, a piaci kamatlábnál magasabb az elvárt hozamráta, amelyet a diszkontálásnál alkalmaznak. 27 Elsőbbségi részvények elméleti árfolyama PV0  ahol DIVp re DIV p a preferált osztalék r e az elvárt hozamráta Közönséges

részvények értékelése A közönséges (vagy törzs-) részvények értékelését a jövőbeli pénzáramlás értelmezésével és számszerűsítésével kell kezdeni Közönséges részvények pénzárama A közönséges részvények vásárlásakor a befektető számára a jelenbeli pénzáram a vételár, azaz az aktuális piaci ár (P 0 ). (A vételár a részvény élete folyamán a névértékhez viszonyítva bármilyen lehet, a kibocsátáskori árfolyam azonban legalább akkora, mint a névérték. Tipikusan magasabb, hiszen az értékpapírt a kibocsátó - ha a piaci viszonyok ezt megengedik - igyekszik ázsióval - a névérték feletti árfolyamon - értékesíteni. Diszázsióval, tehát névérték alatti árfolyamon - a kötvénnyel szemben - részvényt kibocsátani nem lehet.) A közönséges részvények esetében kétféle jövőbeni pénzáramot kell figyelembe venni. Egyrészt, a legtöbb részvény rendszeresen osztalékot fizet, másrészt a

részvénytulajdonos a papír eladásakor megkapja a részvény napi árfolyamának megfelelő összeget. Ha a részvény eladási árfolyama nagyobb, mint a vételi árfolyam volt, akkor árfolyamnyereséget, ha kisebb, akkor árfolyamveszteséget könyvelhet el a befektető. Ennek megfelelően a részvény értékét a jövőbeni osztalékok, és a jövőbeni árfolyam is meghatározzák. Mindkettő azonban meglehetősen bizonytalan. Az osztalék-kifizetési ráta (a vállalat adózott eredményéből a részvényeseknek osztalék formájában juttatott rész ill. az adózott eredmény hányadosa) a vállalati nyereségre vonatkozóan lehet stabil, de a részvény névértékére vonatkozóan nem fix, az osztalék tehát kockázatosabb jövedelemforma, mint a kötvények utáni kamat, vagy a preferált osztalék. A jövőbeni árfolyamok alakulására a vállalat teljesítményén túl valamennyi olyan tényező hat, amelyek egy ország tőkepiacát meghatározzák. Mindezen

bizonytalanságok ellenére jól alkalmazható közelítő formulákat lehet találni a részvények értékelésére. Osztalékot fizető részvények értékelése Az elemzést kezdjük az osztalékot fizető részvények árfolyamának meghatározásával. Vegyük a legegyszerűbb esetet, amikor a befektető a részvényt egy perióduson keresztül tartja meg. Legyen, ekkor PV0  ahol PV 0 DIV1 P  1 1  re 1  re a jelenbeli elméleti árfolyam a jövőbeni árfolyam P1 DIV 1 a következő évi (a folyó év végén fizetendő) osztalék, az elvárt hozamráta. re Az elvárt hozamráta - a legkockázatosabb értékpapírról lévén szó - magasabb, mint a kötvények és az elsőbbségi részvények értékelése során alkalmazott diszkontráta, a hasonló kockázatú papírok várható hozamrátájával egyenlő. Egy év távlatában az osztalék viszonylag nagy bizonyossággal becsülhető, de hogyan határozható meg a következő évi árfolyam? 28 PV 1 - re

alkalmazva a fenti képletet, a kifejezés a 2. periódus végi árfolyamot tartalmazza PV1  DIV2 P  2 1  re 1  re Mivel hatékony piacokon az aktuális árfolyam megegyezik az elméleti árfolyammal, behelyettesítés után a jelenérték kifejezése PV0  DIV2 P2 1   DIV2  P2   DIV1  DIV1     2    1  re   1  r e  1  r e  1  re   1  re  2 P 2 -re a 3. periódus végi árfolyamot kell meghatározni, és így tovább T periódust figyelembe véve a részvényárfolyam T PV0   t 1 DIVt PT t  1  re 1  re T Az árfolyam tehát függ az értékelési időszak osztalék-kifizetéseitől, a befektetők elvárt hozamrátájától és a periódus végi árfolyamtól. Mivel a részvény egy lejárat nélküli értékpapír, az értékelést végtelen időhorizonton kell végezzük. Mivel az utolsó periódus árfolyamának értéke a jelenértéken belül végtelen

időhorizonton elhanyagolható mértékű (tart a nullához), az általánosított osztalékértékelési modell figyelmen kívül hagyja. Általánosított osztalékértékesítési modell  DIVt t t 1 1  re  PV0   Az általánosított modell megengedi, hogy az osztalék-kifizetést örökjáradéknak tekintsük, és akár konstans, akár változó osztalékokkal számoljunk. Konstans ill. konstans ütemben növekvő osztalékot fizető részvények értékelése Konstans ill. konstans ütemben növekvő osztalék-kifizetést feltételezve a részvények árfolyamára az örökjáradék jelenértéke kifejezés alkalmazható. Ha az információ a jelenlegi hozamra vonatkozik, a számítást a növekvő örökjáradék esetében korrigálni kell. PV0  DIV1 re ill. PV0  DIV1 DIV0 1  g   re  g re  g Az általánosított osztalékértékelési modell a stabil osztalékfizető ún. cash-cow (fejőstehén) típusú részvények

értékelésére alkalmazzák. Nem alkalmas viszont bizonyos esetekben, pl az olyan kiugró fejlődést mutató vállalatoknál, amelyek osztaléka a normálisnál (az elvárt hozamrátánál) nagyobb ütemű növekedést mutat legalább néhány éven keresztül, vagy azoknál, amelyek teljes nyereségüket visszatartják, és újra befektetik, tehát egyáltalán nem fizetnek osztalékot. Ezeket growth-share néven, növekedési részvényekként emlegetik. A normálisnál nagyobb ütemben növekvő osztalékot fizető részvények értékelése Ha előre tudjuk vetíteni a gyors, a normálisnál nagyobb növekedés időszakát, amikor a vállalat pl. technológia-váltást hajt végre, amelyet követően a növekedési ütem normális szintre lecsökken, és stabilizálódik, e részvények értékelésére a T periódusú értékelési formulát alkalmazhatjuk. Az árfolyam ennek megfelelően két részből fog összetevődni: a T éves gyors növekedési szakasz hozamainak és a T

-dik periódus végi árfolyamának jelenértékéből. Utóbbira már nyugodtan alkalmazhatjuk a növekvő örökjáradék formuláját, hiszen a normális növekedési ütem stabilizálódik. 29 T PV0   t 1 ahol DIV0 1  g1  t 1  re t  PT 1  re T T  t 1 DIV0 1  g1  1  re t t  1 1  re T  DIV 1  g  T 1  g   0 1 2     r e  g2   g 1 a normálisnál nagyobb növekedési ütem g 2 a normális növekedési ütem Osztalékot nem fizető részvények értékelése Valamivel nehezebb az osztalékot nem fizető részvények esete, hiszen itt az osztalékértékelési modellek egyike sem alkalmazható, hiszen zérus árfolyamot eredményezne, holott ezek közé tartoznak az igen magas árfolyamú, és a legnagyobb árfolyam-növekedést produkáló ún. blue chip (elsőrangú) részvények Nem igaz tehát hogy a befektetők kizárólag az osztalékot

értékelik: e vállalatok esetében a növekedési lehetőségeket, és így a jövőbeni osztalékfizetési képességet veszik számba. De hogyan? Ehhez először meg kell becsülnünk a modell paramétereinek, /g, re/ értékét. A növekedési ütem becslése Ha a vállalat összes folyó nyereségét osztalékként kifizeti, és eltekintünk a részvény- ill. kötvénykibocsátástól, a vállalat összes beruházása az amortizációval lehet egyenlő (nincs nettó beruházás). Ekkor a vállalat következő évi nyeresége - egyébként változatlan körülmények között - megegyezik a jelenlegivel. Nyereségnövekedés akkor lehetséges, ha van pozitív nettó beruházás, azaz a nyereség egy részét visszatartják, és jövedelmezően befektetik. E1  E0  RE0  rRE ahol E0 E1 RE 0 r RE az idei nyereség, a következő évi nyereség (earnings), a visszatartott és újra-befektetett nyereség (retained earnings), az újra-befektetett nyereség hozama

(leggyakrabban a saját-tőkearányos nyereség – ROE – mutatójával szokták meghatározni) A kifejezés mindkét oldalát elosztva E 0 -lal, E1 E0 RE 0    rRE E0 E0 E0 A baloldal értelmezhető 1+g -ként, így g RE 0  rRE E0 A növekedés üteme egyenlő az újra-befektetési hányadnak (RE0/E0) és a visszatartott nyereség hozamának szorzatával. A növekedési lehetőségek jelenértéke Ha egy vállalat minden nyereségét osztalékként kifizeti, részvényének elméleti árfolyama PV0  DIV1 EPS1  re re Ha ma egy vállalat belekezd egy projektbe, azt ma növekedési lehetőségként (growth opportunities) értékelik, és ennek jelenértékét kell számba venni (PVGO). PV0  EPS1  PVGO re 30 Az árfolyam tehát két részből áll: a tőkésítés nélküli értékből és a tőkésítés révén keletkező pótlólagos értékből. Természetesen feltételezzük, hogy PVGO >0, így a részvény árfolyama nagyobb, mint a

projekt nélkül volt, ellenkező esetben az árfolyam csökken. Árfolyam/nyereség ráta (P/E ráta) A részvényekkel kapcsolatban gyakran emlegetik az árfolyam/nyereség rátát (price-earnings ratio). Ha az előző kifejezésbe az elméleti árfolyamot a tényleges árfolyammal helyettesítjük, majd elosztjuk EPS 1 -gyel, akkor P0 1 PVGO   EPS1 re EPS1 A kifejezés baloldala az árfolyam/nyereség arány, amely magas/nő, ha a növekedési lehetőségek egy részvényre jutó jelenértéke magas/nő, és alacsony/csökken, ha a részvény kockázata magas/nő. Az utóbbi megállapítás kézenfekvő, ha a figyelembe vesszük, hogy a részvények értékelésénél használt diszkontráta, az elvárt hozamráta a papír kockázatával. 2.24 A részvények hozama A részvények kalkulált hozama egyenlő a jelenlegi árfolyamukra vetített belső megtérülési rátával A szabályos pénzáramlású (cash-cow) részvények hozama az örökjáradék formuláiból

származtatható IRR  DIV1 P0 IRR  ill. DIV0 1  g  DIV1 g g P0 P0 Ha összevetjük ezt a formulát az egy éves tartási periódusra jutó hozam formulájával, láthatjuk, hogy e részvényeknél az osztalék növekedési üteme megadja az éves árfolyamnyereség mértékét is. HPY  DIV1 P1  P0  P0 P0 Az elvárt hozamráta becslése re meghatározásának legegyszerűbb esetei a korábbi formuláinkból határozhatók meg. Ha az osztalék-kifizetés  konstans, akkor  konstans ütemben nő DIV1 . P0 DIV1 re  g P0 re  31 2.3 Beruházások értékelése Az alábbiakban a befektetések értékelésére vonatkozó szabályokat alkalmazzuk a beruházások értékelésére. Csak azokat az eseteket tárgyaljuk, amelyek a már korábban ismertetett általános szabályoktól valamelyest eltérnek. Különböző nagyságrendű, egymást kölcsönösen kizáró projektek Ha nincs a döntésnek tőkekorlátja, azaz a projektek

egyidejűleg megvalósíthatóak, a befektetéseket mindhárom szabály alapján lehet rangsorolni, és az elfogadásról dönteni. Ha a projektek különböző nagyságrendűek, vagy megvalósításuk egymást kölcsönösen kizárja, azaz a projektek egyidejűleg - pl. tőkekorlátok miatt - nem megvalósíthatóak azokat rangsorolni kell Különböző nagyságrendű, ill. egymást kölcsönösen kizáró projektek rangsorolásakor az NPV, ill az IRR és PI szabályok alkalmazása eltérő (ugyanakkor az IRR és PI szabályok alkalmazása egymással megegyező) sorrendet eredményez. Melyik módszer adja a helyes megoldást? Mivel az NPV abszolút számként, pénzmennyiségként mutatja a vagyongyarapodás jelenértékét, nem mindegy, hogy ezt mekkora tőkelekötéssel érhetjük el, vagyis a befektetés induló összegére vetítve melyik alternatíva bizonyul a legjobbnak! A projekteket a tőke-jövedelmezőség alapján rangsoroló belső megtérülési ráta módszer

alkalmazása azonban számos - részben technikai, részben tartalmi nehézséggel jár. Nehézségek a belső megtérülési ráta - módszer alkalmazásánál   Ha két periódusnál hosszabb időtartamú befektetésnél szeretnénk a módszert alkalmazni, csak különböző iterációs módszerek állnak rendelkezésünkre. Ha a befektetések pénzáramlása nem tipikus,  Néhány esetben a belső megtérülési ráta nem számítható, mert az egyenletnek nincs gyöke  Néhány esetben több belső megtérülési ráta számítható! Ha a projekt megvalósítása folyamán a pénzáramok előjele váltakozik, az egyenletnek több gyöke van , annyi belső megtérülési rátát kapunk tehát, ahányszor a pénzáram előjelet vált.  Néhány esetben a belső megtérülési ráta - szabály ellenkező előjellel alkalmazható! Ha a bevétel az időszak elején, a kiadások pedig később jelentkeznek (pl. hitelfelvétel esetén), az alapszabály ellenkező

előjellel alkalmazható, tehát akkor kívánatos a projekt elfogadása, ha az irr kisebb, mint az alternatív források költsége.  A kamatlábak szerkezete A valóságban rövid- és hosszú távú kamatlábak léteznek, amelyek egymástól eltérőek. Kettőnél több elemű pénzáramlás esetén az IRR maga egy kalkulált átlag-kamatláb, ezért nem lehet összehasonlítani egyetlen létező kamatlábbal sem.  Újra-befektetési feltevés Kettőnél több elemű pénzáramlás esetén a befektetés tényleges (ex post) hozama csak akkor egyezik meg a kalkulált hozammal, ha a közbenső bevételeket ugyanekkora hozamra fektetik be! Minél nagyobb az eltérés az IRR számított értéke és a lehetséges alternatívák hozama között, annál kisebb a valószínűsége, hogy a kalkulált hozam megfelelően tükrözi a várható tényleges hozamot! Mindezek alapján az IRR-módszer csak bizonyos esetekben egyenértékű alternatívája az NPV-módszernek, míg a

nettó jelenérték minden esetben könnyen kiszámítható, ezért általánosan ajánlható eljárás. Hogyan járjunk el tehát a különböző nagyságrendű, egymást kizáró projektek esetében? 32 Elképzelhető, hogy jobban járunk, ha a nagyobb költségvetésű projekt elfogadása helyett a kisebbet választjuk, és a maradék pénzből -jobb híján - a kockázatmentes befektetést valósítjuk meg (feltéve, hogy a kisebb költségvetésű projekt nem megismételhető). Ezért meg kell vizsgálni, hogy érdemes-e pótlólagos tőkelekötéssel a nagyobb költségvetésű projektet megvalósítani! Az IRR módszer helyes alkalmazása Ha a pénzáramok időbeli lefutása eltérő, tehát az egyik projekt esetében az időszak elején, a másiknál az időszak végén jelentkeznek a nagyobb értékek, akkor az első projekt belső megtérülési rátája nagyobb lesz, mint a másodiké. Ebben az esetben körültekintően kell eljárnunk az IRR szabály alkalmazásakor

Annak a projektnek nettó jelenértéke, amelyiknél kisebb a belső megtérülési ráta, a kamatláb növekedésével gyorsabban csökken. Meg kell keresnünk azt a kamatlábat, amely mellett a két befektetés nettó jelenértéke egymással megegyezik. Ezt a pótlólagos (növekményi, különbségi) pénzáramok segítségével számolhatjuk ki A pótlólagos pénzáramok értékelése A pótlólagos pénzáramokat úgy kaphatjuk, ha a nagyobb projekt pénzáramlásából rendre kivonjuk a kisebb projekt megfelelő adatait. Emlékezzünk rá, hogy a kockázatmentes befektetés esetében a kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva az NPV értéke 0, az IRR megegyezik a diszkontrátával, a PI értéke 1. Ha pótlólagos pénzáramok értékelésekor is a különböző szabályok alkalmazásával elfogadható eredményeket kapunk, akkor pótlólagos tőkelekötéssel érdemes a nagyobb költségvetésű projektet megvalósítani, mert a befektető jobban jár, nagyobb hozamot

realizál, mint a kisebb projekt és a kockázatmentes befektetés kombinációja esetén! Ha az érvényes diszkontráta eltér a különbségi pénzáramokból számított értéktől, akkor azt a projektet kell elfogadni, amelynek nettó jelenértéke az érvényes diszkontráta mellett nagyobb, akkor is, ha az adott projekt belső megtérülési rátája kisebb. Tekintsük az alábbi projekteket! Melyiket érdemes elfogadni, ha a tőke alternatíva-költsége 10 %? Projekt/Időszak A B 0 - 100 - 500 Pénzáramlás (mFt) 1 50 400 2 80 200 Számítsuk ki a projektek nettó jelenértékét, és belső megtérülési rátáját és a jövedelmezőségi indexet! Projekt A B NPV 11,57 28,93 IRR 17,87 14,83 PI 1,116 1,058 Az NPV-szabály szerint a B, az IRR- és PI-szabályok szerint az A projektet kellene elfogadnunk. Írjuk fel most a pótlólagos pénzáramlást és számítsuk ki valamennyi mutatót! Projekt/Időszak B- A Projekt B-A 0 - 400 NPV 17,36 Pénzáramlás (mFt)

1 350 IRR 13,85 2 120 PI 1,043 Mindhárom szabály szerint megvalósítható a nagyobb projekt. 33 Ábrázoljuk eddigi eredményeinket! NPV 100 B 80 60 A 40 20 IRR 0 0 10 13,85 14,83 17,87 20 -20 -40 2.1 ábra A megtérülés közömbösségi rátája Az így számított IRR a megtérülés közömbösségi rátája. Ennél a kamatlábnál mindkét projekt jelenértéke ugyanakkora. Mivel az érvényes alternatíva-költség kisebb, mint a közömbösségi megtérülési ráta, ezen érték mellett a B projekt nettó jelenértéke nagyobb, azt kell választanunk! A pótlólagos pénzáramok elemzésekor, ha körültekintően alkalmazzuk őket, mindhárom módszer alkalmazható. Van azonban olyan eset, amikor csak az NPV módszer ajánlható Befektetési kombináció A nettó jelenértékek összeadhatók, és együttes értékük maximalizálható. Ez az, amely az NPV-szabályt előtérbe helyezi az alternatív DCF-módszerekkel (diszkontált cash-flow alapú

módszerekkel) szemben, hiszen ezzel a tulajdonsággal sem az IRR, sem a PI módszer nem rendelkezik. Ha a tőkekorlátok a befektetési alternatívák közül többnek a megvalósítását is lehetővé teszik, a megvalósítható befektetési kombinációk közül azt kell választani, amelynél a projektek együttes jelenértéke a legmagasabb. Különböző élettartamú beruházások Eddigi példáinkban számos egyszerűsítő feltételezéssel éltünk, feltettük például, hogy a beruházási alternatívák azonos élettartamúak. A befektetési döntések többsége esetében különböző időhorizontú változatok adódnak. Ha a befektetési alternatívák élettartama különböző, pl ugyanolyan funkciójú, de különböző élettartamú gépek esetében, amennyiben a termelést folytatni akarják, azokat időről időre pótolni kell. A döntés ilyen meggondolás alapján csak akkor lehet korrekt, ha az előrejelzések alapján cserék sorozatára végezzük el a

számítást. Ennek jó módszere, ha évi egyenértékes pénzáramlások segítségével összehasonlítjuk össze őket Az éves költség-egyenértékes (equivalent annual cost - EAC) a működés időtartamára kalkulálható méltányos bérleti díj A költségek jelenértékéből a működés éveinek megfelelő periódusszámú annuitásfaktor segítségével egy évjáradék járadéktagja számítható ki: EAC  PV ArT Azt a projektet kell elfogadni, amelynél az évi átlagos költség alacsonyabb. Tekintsük az alábbi példát! 34 Két azonos funkciójú, és azonos éves pénzbevételt eredményező beruházás költségei különböznek. A 0 Időszak pénzárama a beruházás, a többi a fenntartás költségeit jelöli (a diszkontráta 10 %) Gép/Időszak Költségek (mFt) 1 2 15 15 10 10 0 30 50 A B 3 10 Számítsuk ki a költségek jelenértékét! Gép A B Költségek jelenértéke 56,032 74,869 A B változat költségeinek jelenértéke magasabb,

de három működési periódusra vonatkozik, míg az A variáns jelenértéke alacsonyabb, de csak két periódus a működési időtartama. Ahhoz, hogy eldönthessük, valójában melyik az olcsóbb megoldás, ki kell számolni az éves költség-egyenértékeseket. Az A gép esetében 2 éves, a B gép esetében 3 éves járadékot kell számolni. EAC A 32,286 EAC B 30,105 Az alacsonyabb évi átlagos költségű változatot, tehát a B gépet kell elfogadni. 2.4 Tőkeköltségvetés Eddigi ismereteink összefoglalásaként elkészíthetjük egy beruházási projekt tőkeköltségvetését. Mivel a beruházási projektek általában hosszabb futamidejűek, a kevesebb nehézséggel járó NPV-módszert választjuk a projekt értékelésére. Ehhez először meg kell határoznunk a beruházás várható pénzáramlását, és meg kell találni a megfelelő diszkontrátát. A diszkontráta meghatározásához a kockázat és hozam kapcsolatának ismerete nélkül továbbra is

feltételezzük, hogy a vállalatok ismerik a hasonló kockázatú projektek várható hozamát. A pénzáramok számbavétele beruházási projektek esetében lényegesen bonyolultabb, mint az értékpapíroknál. A pénzáramok számbavételének alapelvei:  Mindig a tényleges készpénz-mozgásokat vizsgáljuk! A vállalkozások éves beszámolója során készített eredmény-kimutatás számos olyan tételt tartalmaz, amelyek számviteli szempontból az adott évet terhelik, de nem jelentenek készpénzmozgást, vagy ellenkezőleg, tényleges készpénzmozgást jelentenek, de az eredményben ez nem tükröződik. Ha pl Egy épületet vásárolnak, amelynek költsége 100 mFt, és a jelenlegi amortizációs normák szerint évente 2 %-ot lehet amortizációként elkönyvelni, a 100 mFt tényleges kifizetés helyett az adott évben 2 mFt jelenik meg amortizációs költségként, amely az épület további élettartama alatt végig elszámolható, miközben a továbbiakban nem

jár vele pénzmozgás. 35  Minden releváns készpénzmozgást vegyünk figyelembe! A projekt megítélésekor azokat a pénzáramokat vegyük figyelembe, amelyek a döntés szempontjából relevánsak, de csak azokat. A működési (operatív) pénzáramlás - OCF - szempontjából a legfontosabb a forgótőke változásából fakadó pénzáramlás. A befektetés rendszerint megnöveli a forgóeszköz-szükségletet készpénzigény, hitelre történő eladások, készletek, stb. Révén, tehát a működés időtartamára forgóeszköz-befektetéssel is kell számolni, amelynek az évi változását figyelembe kell venni a pénzáramok megváltozásakor. A forgóeszköz-állomány növekedését pótlólagos készpénz-kiadásként, csökkenését készpénzbevételként kell tekinteni.  Felejtsük el a már kifizetett költségeket! A múltban már felmerült és kifizetett költségek nem változnak aszerint, hogy elfogadjuk, vagy elvetjük a projektet.  Ne

feledkezzünk meg az alternatív hasznosítási lehetőségekről! A beruházási döntéseknél alapvető fontosságú az alternatív hasznosítási lehetőségekkel rendelkező vagyontárgyak értékelése. Ha a vállalat rendelkezik ilyenekkel, pl Másra is használható épülettel, járművel, berendezéssel, készpénzkiadásként figyelembe kell venni ezek piaci értékét is! Miért? Egyrészt, ha nem lenne meg kellene vásárolni (bérelni, lízingelni, stb.), Másrészt, ha nem a projektnél alkalmazzák, el lehetne adni (bérbe , lízingbe adni, stb). A projektnek önállóan kell megfelelnie az elfogadási kritériumoknak. Ha a befektetés nem hoz legalább akkora hasznot, mint amennyit e vagyontárgyak alternatív hasznosítása révén kapnánk, nem szabad megvalósítani! Ha ezek beszámításával is pozitív a projekt NPV-je, csak akkor jövedelmezőnek a befektetés. Az általunk készített egyszerűsített tőkeköltségvetés pénzárama két részből áll, a

befektetés összes pénzáramából, és a működési pénzáramból. (A cash-flow harmadik elemét, a pénzügyi tevékenységből származó pénzáramot egyelőre figyelmen kívül hagyjuk.) A cég egy gyártósor beállítását tervezi. - a berendezés 20 mFt -ba kerül - a nettó forgótőke állomány a beruházás évében 5 mFt, a működés során az adott évi árbevétel fele, a 4. évben 0. - a berendezés után évi 20 %-os lineáris leírást alkalmazhat a cég. - úgy tervezik, hogy a berendezést 3 éven át működtetik, s a 4. Év végén várhatóan 10 mFt-ért eladják Ugyanekkor behajtják a vevőköveteléseket, és a készleteket is értékesítik könyv szerinti értéken. - a projekt 3 évi működtetése során az első évben 20 mFt árbevételre számítanak, amely évente 4 mFt-tal növelhető. A működési költségek az első évben 10 mFt-ot tesznek ki amely évente 2 mFt -tal növekszik. - a vállalatnak van egy jelenleg használaton kívüli

épülete, amely alkalmas a gyártásra. A hasonló épületek méltányos bérleti díja évi 2 mFt. - a tőke alternatíva-költségét 15 %-nak célszerű tekinteni. - a cég nem fizet osztalékot, adókulcsa ezért 18 %-os. 1. 2. Érdemes-e megvalósítani a projektet? Hogyan változik a projekt értéke, ha az előrejelzések szerint mind a bevételek, mind a működési költségek évente csak 1 mFt-tal növekszenek? mFt Beruházás Berendezés Kumulált amortizáció A gép maradványértéke Opportunity cost (épület) Forgótőke az év végén Forgótőke változása Pénzáram a forgótőke változásából 0 - 20 5 5 -5 1 4 16 -2 10 5 -5 2 4 12 -2 12 2 -2 3 4 8 -2 14 2 -2 4 9,64* 0 - 14 + 14 36 A beruházás összes pénzárama - 25 -7 -4 -4 23,64  adózás utáni tőkenyereség = piaci érték - (piaci érték - maradványérték)(adókulcs) = = 10 - (10-8)  0,.18 = 9,64 Eredménykimutatás Árbevétel Működési költség Amortizáció

Adózás előtti eredmény Adó (18 %) Adózott eredmény Cash flow Adózott eredmény Amortizáció Működési pénzáram A beruházás összes pénzárama A projekt összes pénzárama  25  0 0 1 20 10 4 6 1,08 4,92 1 4,92 4 8,92 -7 1,92 - 25 - 25 2 24 12 4 8 1,44 6,56 2 6,56 4 10,56 -4 6,56 3 28 14 4 10 1,8 8,2 3 8,2 4 12,2 -4 8,2 mFt 4 mFt 4 23,64 23,64 1,92 6,36 8,2 23,64    0,54 2  115 1,15 1,153 1,154 , A projekt nettó jelenértéke 0,54 mFt, tehát még éppen érdemes megvalósítani. 2. Megoldás Beruházás Berendezés Kumulált amortizáció A gép maradványértéke Opportunity cost (épület) Forgótőke az év végén Forgótőke változása Pénzáram a forgótőke változásából A beruházás összes pénzárama 0 - 20 5 5 -5 - 25 1 4 16 -2 10 5 -5 -7 2 4 12 -2 10,5 0,5 - 0,5 - 2,5 3 4 8 -2 11 0,5 -0,5 - 2,5 mFt 4 9,64* 0 - 11 + 11 20,64  adózás utáni tőkenyereség = piaci érték - (piaci érték -

maradványérték)(adókulcs) = = 10 - (10-8)  0,.18 = 9,64 Eredménykimutatás Árbevétel Működési költség Amortizáció Adózás előtti eredmény Adó (18 %) Adózott eredmény 0 1 20 10 4 6 1,08 4,92 2 21 11 4 6 1,08 4,92 mFt 3 22 12 4 6 1,08 4,92 4 37 mFt Cash flow Adózott eredmény Amortizáció Működési pénzáram A beruházás összes pénzárama A projekt összes pénzárama  25  0 - 25 - 25 1 4,92 4 8,92 -7 1,92 2 4,92 4 8,92 - 2,5 6,42 3 4,92 4 8,92 - 2,5 6,42 4 20,64 20,64 1,92 6,42 6,42 20,64     2,45 1,15 1,152 1,153 1,154 A projekt nettó jelenértéke - 2,45 mFt, tehát nem érdemes megvalósítani. 3. A bizonytalanság kezelése a gazdasági döntések során Eddigi vizsgálódásaink során a befektetési döntések kimenetelét biztosnak tekintettük, holott ez csak az esetek jól körülhatárolt körében feltételezhető. A valóságban szinte az összes gazdasági döntést a bizonytalanság körülményei

között kell meghozni. A továbbiakban értelmezzük a bizonytalanság és a kockázat fogalmát, számba vesszük mérési problémáit és beillesztjük az alapmodellbe. 3.1 Alapfogalmak A kockázat fogalma A gazdasági döntések bizonytalanságán általában a lehetséges kimenetek (hozamok) változékonyságát értik, kockázaton pedig a kedvezőtlen eredmény, a veszteség bekövetkezésének lehetőségét, azaz minél nagyobb a veszteség bekövetkezésének valószínűsége, annál kockázatosabbnak tekinthető a befektetés. A továbbiakban bizonytalanság és kockázat fogalmait szinonimákként kezeljük, és a lehetséges kimenetek változékonyságát tárgyunk szempontjából értelemszerűen a befektetések hozamainak ingadozását értjük rajta. A kockázat típusai A kockázat minden gazdasági jellegű tevékenység szükségszerű velejárója. Típusait aszerint különböztetik meg, milyen tényező változására vezethető vissza. Beszélhetünk üzleti,

finanszírozási, adó-, csőd-, befektetési, ország-, árfolyam-, kamat-, stb. kockázatokról A pénzügyi elmélet jó néhány típus mérését már megoldotta Közülük legfontosabb az üzleti és a finanszírozási kockázat mérése.  üzleti kockázat - az árbevétel ill. A működésből származó jövedelem ingadozása, amelyet főként a gazdaság általános állapota, ill. A vállalat költségszerkezete determinál  finanszírozási kockázat - az adózás előtti jövedelem ingadozása a tőkeáttételből fakadó kamatterhek miatt A kockázat mérése Az üzleti és a finanszírozási kockázat legegyszerűbb mérőszámai a tőkeáttétel fokára vonatkozó mutatók, amelyek a költségszerkezet alapján számíthatók, és az adott üzletmenet kockázatosságát mutatják. Működési tőkeáttétel foka (DOL - degree of operating leverage) A működési tőkeáttétel foka azt mutatja meg, hogy az értékesítés adott szintjén hány %-kal változik

a kamat és adózás előtti jövedelem (ebit) az értékesített mennyiség 1 %-os változásának hatására. 38 Ahol DOLQ  EBIT / EBIT Q( P  AVC ) / Q( P  AVC )  TFC  Q / Q Q / Q DOLQ  Q( P  AVC ) Q( P  AVC )  TFC EBIT = kamat és adózás előtti jövedelem P = egységár AVC = átlagos változó költség TFC = összes fix költség Q = értékesített mennyiség Ha a vállalat többféle terméket gyárt, akkor az értékesített mennyiség helyett az árbevételre lehet számolni a működési tőkeáttétel fokát. Ekkor DOLS  S  VC S  VC  S  VC  FC EBIT Ahol S = árbevétel A működési fedezet foka a fedezeti pont közelében a legmagasabb. A fedezeti pont a mennyiségre ill Az árbevételre vetítve: TFC P  AVC TFC SF  AVC 1 P QF  Finanszírozási tőkeáttétel foka (DFL - degree of financial leverage) Finanszírozási tőkeáttétellel működik egy vállalat, ha fix költségekkel

járó finanszírozási forrásokat vesz igénybe, pl. Bankhitelt vesz fel, vagy kötvényt bocsát ki Ebben az esetben az egy részvényre jutó nyereség ingadozása nagyobb mértékű, mint finanszírozási tőkeáttétel nélkül. A finanszírozási tőkeáttétel foka azt mutatja meg, hány %-kal változik az egy részvényre jutó nyereség a kamat és adózás előtti jövedelem változásának hatására. A finanszírozási tőkeáttétel foka a kamat és adózás előtti jövedelem adott szintjén: DFLEBIT  Ahol EBIT EPS / EPS  EBIT / EBIT EBIT  INT  DIVp / (1  T ) INT = kamatteher DIVp = elsőbbségi részvények osztaléka T = marginális adóráta A teljes (vagy kombinált) tőkeáttétel foka A teljes (vagy kombinált) tőkeáttétel foka azt mutatja meg, hány %-kal változik az egy részvényre jutó nyereség az árbevétel változásának hatására. DCLS  DOLS  DFLS  EBIT S  VC EPS / EPS S  VC    EBIT EBIT  INT

 DIVp / (1  T ) EBIT  INT  DIVp / (1  T ) S / S A kifejezésből látható, hogy a magas működési tőkeáttétel kiegyensúlyozható alacsonyabb finanszírozási tőkeáttétellel, és fordítva. 39 3.2 Befektetések kockázata A jövőre vonatkozó, pl. fejlesztési, befektetési döntéseknél elengedhetetlen befektetéstől a jövőben várható jövedelem felmérése, számszerűsítése. Az alapmodellben biztos pénzáramokat diszkontáltunk kockázatmentes kamatláb, mint alternatíva-költség feltételezésével. Kockázatmentes hozam Az állampapírok hozama minden országban valóban biztosnak vehető, de bármely más pénzáram, amelyet az alapmodell levezetésekor biztosnak feltételeztünk, legyen szó akár a reáltőke beruházásokról, akár a különböző vállalati értékpapírokba történő befektetésekről, már nem, vagy csak korlátozottan Magyarországon az 1 mFt-ot meg nem haladó bankbetétek törvényi szabályozás és

garanciák révén kockázatmentesek. Mivel az állampapírok forgalma szűk körű, és hozamuk az átmeneti állapotokból következően bizonyos anomáliákat mutat, az alábbiakban ( és a gyakorlatban is ) a megfelelő futamidőhöz kapcsolódó bank-kamatlábat tekintjük kockázatmentes kamatlábnak. A kockázat beillesztésére vonatkozó lehetséges alternatívák a következők:  a kockázatos pénzáramokat a kockázattal módosított diszkontrátával diszkontáljuk;  megkeressük a kockázatos pénzáram megfelelő kockázatmentes egyenértékesét, és ezt a kockázatmentes kamatlábbal diszkontáljuk;  kalkuláljuk az ún. módosított jelenértéket A fenti eljárások a leggyakrabban javasolt módszerek, de léteznek egyéb, a gyakorlatban gyakran alkalmazott módszerek is. Az alábbiakban csak az első módszer ismertetésével foglalkozunk A kockázat mérésével kapcsolatban két kulcsfogalmat kell megismerni:  Melyik az eredmény, amelyik a legnagyobb

valószínűséggel következik be, azaz milyen a döntés várható eredménye,  Mekkora a lehetséges kimenetek szóródása, a legvalószínűbb eredménytől való várható eltérése. A várható érték A várható érték, vagy középérték (mean) kifejezése: T ~ ~ E ( X )   pi  X i i 1 ~ ahol E ( X )  a valószínűségi változó várható értéke (súlyozott számtani átlag) Pi = az i-dik esemény bekövetkezésének valószínűsége ~ X i  az i-dik esemény, a valószínűségi változó i-dik értéke (az i-dik állapothoz tartozó hozam) T = a lehetséges állapotok száma Példa Egy vállalat két befektetési lehetőség (X és Y) közül választhat, de csak egyet valósíthat meg. A projektek hozama a gazdaság állapotától függően változik: 40 Hozam (eFt) A gazdaság állapota Recesszió Átlagos Fellendülés X 8000 10000 12000 Y 0 10000 24000 Ha a gazdaságban recesszió van, az X ha fellendülés, akkor az Y projekt a

kedvezőbb a vállalat számára, átlagos körülmények között mindkettő egyformán vonzó. Ahhoz, hogy a vállalat eldönthesse, melyiket válassza, ismernie kell, hogy a gazdaság lehetséges állapotai milyen valószínűséggel következnek be. Tegyük fel, hogy 60 %-os valószínűséggel átlagos állapot, míg 20 - 20 %-os valószínűséggel recesszió ill. Fellendülés várható. Az egyes projektek várható értékét a lehetséges kimeneteknek a valószínűségekkel súlyozott számtani átlagaként nyerhetjük: X A gazdaság állapota (1) Az állapot valószínűsége (2) Recesszió Átlagos Fellendülés (3) 8000 10000 12000 várható profit 0,2 0,6 0,2 Y A gazdaság állapota (1) Az állapot valószínűsége (2) Recesszió Átlagos Fellendülés 0,2 0,6 0,2 Profit Profit (3) 0 10000 24000 várható profit 10800 Várható profit (4)=(2)*(3) 1600 6000 2400 10000 Várható profit (4)=(2)*(3) 0 6000 4800 Mivel esetünkben a valószínűségi változó

diszkrét értékeket vehet fel, a középérték nem minden esetben lesz létező érték - itt pl. Az X projektnél létező, az Y projektnél nem létező érték Példánkban az y projekt várható értéke nagyobb, ezért, ha a befektetőt csak ez érdekli, (ha tehát a befektető attitűdje kockázat-semleges) akkor, biztosan y-t fogja választani. Azonos várható értékű valószínűségi változók tényleges értékei egymástól lényegesen különböző szóródást, azaz az átlagtól való eltérést mutathatnak, amely eltérések nagysága és gyakorisága igen fontos mérlegelési szempont mind a kockázatkerülő, mind a kockázatkedvelő, elhanyagolható azonban a kockázat-semleges befektetők esetében. Mielőtt e magatartásformákat definiálnánk, meg kell ismernünk a szóródás mérésével A szóródás legáltalánosabb mérőszámai a variancia és a szórás. Variancia A variancia, vagy szórásnégyzet a valószínűségi változó várható

értékétől való eltéréseinek négyzetes összege:   T ~ ~ 2 ~ ~   E X i  E ( X )   pi ( X i  E ( X )) 2 2 x i 1 Szórás 41 A szórás a variancia négyzetgyöke. Értéke értelemszerűen csak pozitív lehet Ez a gyakrabban használt mutató, mivel dimenziója megegyezik az alapadatokéval.  x  E X i  E ( X )  ~ ~ 2 T  p ( X~ i 1 i i ~  E ( X )) 2 A szórás mutatójának fontos tulajdonsága, hogy normális eloszlást mutató valószínűségi változó esetében annak valószínűsége, hogy az aktuális érték a főátlagnak a szórás, ill. A kétszeres szórás által meghatározott környezetébe esik, kb. 68 %, ill 95 % Bizonyos esetekben - mint pl Később, a portfólió-elemzés során - a variancia mutatója alkalmasabb lehet az elemzésre. A fenti példát folytatva a varianciát és az elméleti szórást a következőképpen számíthatjuk ki: X A gazdaság állapota (1) Recesszió Átlagos

Fellendülés Az állapot valószínűsége (2) Eltérés [xi - E(X)] (3) 0,2 0,6 0,2 - 2000 0 2000 Eltérésnégyzet [Xi - E(X)]2 (4) 4000000 0 4000000 Eltérésnégyzet*valószínűség (5) = (2) * (4) 800000 0 800000 variancia = 600000 szórás = 1264,91 Y A gazdaság állapota (1) Recesszió Átlagos Fellendülés Az állapot valószínűsége (2) 0,2 0,6 0,2 Eltérés [xi - E(X)] (3) - 10800 - 800 13200 Eltérésnégyzet [Xi - E(X)]2 (4) 116640000 640000 174240000 Eltérésnégyzet*valószínűség (5) = (2) * (4) 23328000 384000 34848000 variancia = 58560000 szórás = 7652,45 Példánk szerint az y projekt tehát számottevően kockázatosabb, mint az x. A példában az alapadatok, és így a szórás dimenziója is pénzmennyiség (eFt). A pénzügyi számításokban azonban leggyakrabban hozamrátákkal, tehát %-os értékekkel számolunk. A gyakorlati (empirikus) szórás számításakor, amikor pl. Idősorokból - tehát egyenlő valószínűségű állapotokat

feltételezve - számítunk szórást, nem az állapotok számával (t) osztjuk el az eltérésnégyzetek összegét, hanem t-1 - gyel, hogy korrigáljuk a szabadsági fokok veszteségét. Az események számának növekedésével a két számítás eredménye közötti különbség elhanyagolhatóvá válik. A gyakorlati szórás képlete: x  1 T ~ ~ ( X t  E ( X )) 2  T  1 t 1 Példánkban a gyakorlati szórás nagysága, ha a gazdaság lehetséges állapotait egyenlően valószínűnek feltételeznénk, az a projekt esetében 2000, a b projekt esetében 7000 lenne. 42 3.3 A kockázattal szembeni magatartás típusai A kockázattal szembeni magatartás típusait legjobban azzal lehet érzékeltetni, hogyan viszonyulnak egy ún. Fair játékhoz. Fair játékról akkor beszélünk, ha a játék átlagban zéró gazdasági profitot ígér: pl Ha 50-50 %-os eséllyel nyerhetünk, vagy elveszíthetünk egy ugyanakkora összeget, mondjuk 100 Ft-ot. Ha akár a

nyerés, akár a vesztés esélye nagyobb, a játék nem fair, hiszen átlagban pozitív, vagy negatív gazdasági profitot eredményez. A kockázatellenes egyén elutasítja a fair játékot, hiszen fél az esetleges veszteségtől, elfogadhat azonban egy pozitív profittal kecsegtető játékot. Minél nagyobb a kockázatellenesség mértéke, annál nagyobb várható profit szükséges ahhoz, hogy az ilyen ember legyőzze az esetleges veszteségtől való félelmét. Azonos kockázatú játékok közül a magasabb várható értékűt, azonos várható értékű játékok közül az alacsonyabb kockázatút preferálja. Közömbösségi görbéit az alábbi ábra mutatja Várható érték Szórás 3.1 sz ábra Kockázatellenes egyén közömbösségi térképe A kockázatsemleges magatartás jellemzője, hogy az egyént nem érdekli más csak a játék várható értéke, azaz mekkora nyereséget jelent a játék átlagban. Minden további nélkül elfogad egy fair játékot,

közömbös az azonos várható értékű, de különböző kockázatú játékok közötti választás tekintetében, s azonos kockázatú játékok közül a magasabb várható értékűt preferálja. Közömbösségi görbéit az alábbi ábra mutatja Várható érték Szórás 3.2 sz ábra Kockázatsemleges egyén közömbösségi térképe A kockázatkedvelő egyént a megszerezhető magas hozam motiválja, akármilyen minimális is a valószínűsége. Minden esetben elfogad egy fair játékot, s azonos várható értékű játékok közül tehát a magasabb kockázatút, azonos kockázatú játékok közül a magasabb várható értékűt preferálja. Közömbösségi görbéit az alábbi ábra mutatja. 43 Várható érték Szórás 3.3 sz ábra Kockázatkedvelő egyén közömbösségi térképe Példánk esetében a kockázatsemleges és a kockázatkedvelő egyén biztosan az y projektet választaná. A kockázatellenes egyén esetében a döntés attól függ,

mekkora a kockázatellenesség mértéke, azaz elégséges-e számára a 800 eFt-os átlagosan várható többlethozam a nagyobb kockázat vállalására. 3.4 Részvények hozama és kockázata A variancia és szórás mutatói alkalmasak az egyes részvények árfolyama ill. Hozama ingadozásának mérésére. A részvények hozama az osztalékjövedelem és az árfolyamnyereség/veszteség összege A részvényvásárlás jövedelmezőségét a hozamráta mutatja, amely a hozamot a befektetett tőke %-ában fejezi ki: Rt 1  Div t 1  Pt 1  Pt , Pt ahol Rt+1 = a t+1-ik időszak hozamrátája DIVt+1 = a t+1-ik időszak osztalékjövedelme Pt+1 =a t+1-ik időszak árfolyama Pt = a t-ik időszak árfolyama A fenti formula a részvény egy éves tartására vonatkozó hozamrátát adja meg. Ha a részvények történelmi hozamrátáiból idősorokat képezünk, tetszőleges, t éves tartamú periódusra is kiszámíthatjuk az éves átlagos hozamrátát az alábbi

formula segítségével: RT  T T  (1 R )  1 t 1 t Az alábbiakban számítsuk ki a két részvényre (A és B) vonatkozóan hozamok várható értékét és a(z elméleti) szórást. A példa az egyszerűség kedvéért egyenlően valószínűnek feltételezi a gazdaság lehetséges állapotait A gazdaság állapota Depresszió Recesszió Átlagos Fellendülés Várható profit A részvény hozama (%) - 20 10 30 50 17,5 B részvény hozama (%) 5 20 - 12 9 5,5 44 A részvény A gazdaság állapota (1) Hozamráta Eltérés [ri - e(r)] ( 3) (2) Depresszió Recesszió Átlagos Fellendülés - 0,20 0,10 0,30 0,50 - 0,375 - 0,075 0,125 0,325 B részvény A gazdaság állapota (1) Hozamráta (2) Eltérés [ri - e(r)] ( 3) 0,05 0,20 - 0,12 0,09 -0,005 0,145 - 0,175 0,035  Depresszió Recesszió Átlagos Fellendülés  Eltérésnégyzet [ri 2 e(r)] (4) 0,140625 0,005625 0,015625 0,105625 0,267500 variancia = 0,066875 szórás = 0,2586

Eltérésnégyzet [ri - e(r)]2 (4) 0,000025 0,021025 0,030625 0,001225 0,052900 variancia = 0,01325 szórás = 0,1150 Érdemes megvizsgálni, mutatnak-e valamilyen összefüggést egymással a különböző értékpapírok hozamai. A kapcsolat statisztikai mérőszámai az ún. kovariancia és a korrelációs együttható Kovariancia A kovariancia a két változó értékei várható értéküktől való eltéréseik szorzatának várható értéke, diszkrét értékek esetén az események valószínűségeikkel súlyozott számtani átlaga.  x,y   T ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  E ( X i  E ( X ))(Yi  E (Y ))   pi ( X i  E ( X ))(Yi  E (Y )) i 1 Vegyük észre a variancia kovariancia-jellegét! A kovarianciája. variancia voltaképpen a változó önmagával való A kovariancia pozitív, negatív és zérus értéket egyaránt felvehet, amely a kapcsolat irányát mutatja. (az eltérésszorzat értéke akkor pozitív, ha mindkét papír aktuális

hozama egyszerre van saját átlagos értéke felett, ill. Alatt, és negatív, ha az egyiké az átlagérték felett, másiké pedig alatta található.) Mértékét azonban nehezen lehet értelmezni, ezért önmagában általában nem használják, de más fontos mutatószámokat erre vezetnek vissza. 45 Korrelációs együttható A korrelációs együttható voltaképpen a kovariancia standardizált mértéke.  x, y   x, y  x y A korrelációs együttható - 1 és + 1 közötti értéket vehet fel. Mivel a szórás értéke mindig pozitív, ezért a korrelációs együttható előjele megegyezik a kovariancia előjelével. Ha értéke 0, akkor a változók értéke egymástól függetlenül alakul, ha 0-tól különbözik, akkor valamilyen függvényszerű kapcsolat van a két változó között. + 1 esetén tökéletes pozitív, - 1 esetén tökéletes negatív korrelációról beszélünk Ekkor az egyik változó a másik lineáris függvénye: Y = a + bx,

ill. Y = a - bx A fentiek alapján számítsuk ki x és y részvények hozamai közötti kovarianciát és korrelációs együtthatót. A gazdaság állapota (1) Depresszió Recesszió Átlagos Fellendülés  Hozam -ráta (rx) (2) - 0,20 0,10 0,30 0,50 Eltérés [rxi -e(rx)] ( 3) - 0,375 - 0,075 0,125 0,325 Hozamráta (ry) (4) 0,05 0,20 - 0,12 0,09 Eltérés [ryi - e(ry)] Eltérésszorzat [rxi - e(rx)][ryi - e(ry)] ( 5) - 0,005 0,145 - 0,175 0,035 (6)=(3)*(5) 0,001875 - 0,010875 - 0,021875 0,011375 - 0,019500 kovariancia = - 0,004875 korrelációs együttható = - 0,1639 Példánkban a két részvény hozama gyenge negatív korrelációt mutat. 3.4 Kockázat és hozam - a kockázat piaci ára A fejlett piacgazdaságok részvényeinek hozamrátái hosszú idő átlagában meghaladják a kockázatmentes hozamrátát. A különbség a kockázatos aktívák többlethozama, az ún kockázati prémium Ez az a többlet, amiért egyes kockázatellenes befektetők is vállalják,

hogy megtakarításaikat részvényekbe fektessék. Ha pl A kockázatmentes hozam 5 %, akkor példánkban A részvény kockázati prémiuma 12,5 %, B részvény kockázati prémiuma 0,5 %. A kockázati prémium voltaképpen a hozam és a kockázat kapcsolatát fejezi ki, meghatározása ezért a modern pénzügyek központi kérdése. Több alternatív elmélet létezik ma már a kockázati prémium levezetésére és nagyságának meghatározására. Közülük a legismertebb az ún Tőkepiaci árfolyamok elmélete (capital asset pricing model -CAPM), amelynek elméleti megalapozója, H. Markowitz, és kimunkálója, W Sharpe másokkal együtt 1990-ben megkapta a közgazdasági Nobel-díjat. A CAPM levezetéséhez elengedhetetlen a portfólióelmélet alapjainak ismerete, ezért az alábbiakban először ezzel foglalkozunk 3.41 Hozam és kockázat részvényportfóliók esetén Az eddigiekben egyes részvények várható hozamát, szórását és a közöttük meglévő

kovarianciát ill. Korrelációt számítottuk ki. A befektetők azonban általában nemcsak egy-egy részvényt, vagy más értékpapírt 46 tartanak, hanem pénzüket, és (mint látni fogjuk, ezzel a kockázatot is) megosztják a különböző befektetések között. Ezt a jelenséget diverzifikációnak nevezik, és ezzel befektetéseik ún portfóliót képeznek Az alábbiakban a két ill. Több kockázatos papírból álló portfólióra értelmezzük a várható érték, a variancia és a szórás fogalmait. Portfólió várható értéke és szórása Vegyük először a legegyszerűbb esetet, egy két részvényből álló portfóliót! Ha a befektető a arányban x és (1-a) arányban y részvényt vásárol (0<a<1), az így kialakított portfólió hozamrátája R p  aRX  (1  a ) RY , és a hozamok várható értéke - felhasználva a várható érték azonosságait egyenlő a részvények várható értékeinek súlyozott átlagával: Portfólió

várható értéke ~ ~ ~ E ( R p )  aE ( R X )  (1  a ) E ( RY ) A portfólió varianciája - a variancia azonosságainak felhasználásával - az alábbi formában írható fel: Portfólió varianciája 2 2  2p    xi x j  ij i 1 j 1   a 2  2x  (1  a ) 2  Y2  2 a (1  a )  XY  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2  2 a (1  a ) XY  X  Y 2 p Az első kifejezés a kétpapíros portfólió általános formulája, második az x és y papírokra a kovariancia ill. A korrelációs együttható segítségével kifejtett formula. A portfólió szórása egyenlő a variancia négyzetgyökével. p  2 2  x x  i j ij i 1 j 1 A későbbi kiterjesztés érdekében már most érdemes a formulákat mátrix-formába fejteni: A A B B x  x A x B  AB 2 A 2 A x A x B  AB x B2  2B Számítsuk ki a fenti példa adataival a két részvényből álló portfólió jellemző mutatóit,

amelyben a =0,6, és 1-a=0,4! Portfólió várható értéke: E(rp) = 0,6  0,175 + 0,4  0,055=0,127 Portfólió varianciája: 2p = 0,6  0,066875 + 0,160,013225 + 2  0,6  0,4  (- 0,004875)) = 0,023851 47 Portfólió szórása:  p  0, 023851  0,1544 A diverzifikáció hatása Ha megfigyeljük a portfólió szórásának számított eredményét, láthatjuk, hogy nagysága lényegesen kisebb, mint az egyedi szórások súlyozott átlaga, amelynek eredménye 0,2012 lenne. Ez azzal magyarázható, hogy x és y részvények hozamai gyenge negatív korrelációt mutatnak egymással. De nem szükséges feltétel a negatív korreláció. Ha a részvények nem mutatnak tökéletesen pozitív korrelációt egymással, ez már elégséges ahhoz, hogy a portfólió szórása kisebb legyen, mint az egyes részvények szórásának súlyozott átlaga, azaz a diverzifikáció csökkenti a befektetés kockázatát. Tekintsük ehhez ismét a portfólió

varianciájának képletét!  2p  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2  2a (1  a ) XY  X  Y Vizsgáljuk meg a kifejezést xy különböző értékei mellett! Ha xy = + 1, akkor  2p  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2  2a (1  a )  X  Y és  p  a A  (1  a )  B azaz a szórások súlyozott számtani átlaga. Ha xy = - 1, akkor  2p  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2  2a (1  a )  X  Y és  p  a A  (1  a )  B Ha ab = 0, akkor  2p  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2 és  p  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2 Ha a részvények szórása adott, a portfólió varianciája és szórása a részvények részarányának a függvénye.  ha xy = + 1, a portfólió szórása a részarányok lineáris függvénye, és a várható érték-szórás koordinátarendszerben egy egyenes mentén található, amely a két részvényt reprezentáló pontokat köti össze.  ha

- 1  xy  + 1, a portfólió varianciája ill. Szórása a részarányok kvadratikus függvénye, amelynek (a variancia ill. a szórás kifejezéseinek a szerinti deriválása útján nyerhető részarányok alapján) meghatározható a minimális értéke. A minimális kockázatú portfólióban X részvény  y2   xy részaránya: a   x2   y2  2 xy  ha xy = - 1, akkor a  y esetében a portfólió minimumvarianciájának (MV) és minimális  x  y szórásának értéke 0. Mivel a szórás értéke nem lehet negatív, a koordinátarendszerben egy törtvonalú lineáris függvény reprezentálja a lehetséges kombinációkat, amelynek egyenlete a MV-portfólió eléréséig ill. utána:  p  a X  (1  a )  Y  p  (1  a )  Y  a X 48 Az alábbi ábra összefoglalóan mutatja az előző megállapításokat. Várható érték Y MV =1  = -1 X -1< <1 Szórás 3.4 sz ábra A két

papírból álló lehetséges portfóliók halmaza xy különböző értékei mellett Jegyezzük meg jól a következőket: 1. Adott korrelációs együttható esetén a hozzátartozó görbe jelenti a két papírból álló lehetséges (megvalósítható) portfóliók halmazát. A görbének nem pozitív korreláció esetén mindig van egy visszahajló szakasza, amely igen érdekes jelenséget, és a diverzifikáció fontos tulajdonságát szemlélteti: a minimumvariancia-portfólióhoz szükséges részarányok eléréséig a kockázatosabb aktíva részarányának növelése csökkenti a portfólió kockázatát! Ez annak köszönhető, hogy az egyik hozam emelkedő tendenciájakor a másik csökkenést mutat. Ez a hatás a kockázatos aktíva elegendően nagy részarányának elérése után természetesen megfordul, és a portfólió kockázatának növekedését eredményezi. 2. A görbe visszahajló szakasza nem hatékony portfóliókat reprezentál, hiszen adott kockázati

szint mellett található magasabb hozamú kombináció is, nincs tehát olyan racionális (azaz adott kockázat mellett a hozamot maximalizáló) befektető, aki ezek közül választana. A hatékony portfóliók halmaza a görbének a minimumvariancia portfóliótól a maximális hozamú (100 %-ban a magasabb hozamú, kockázatosabb aktívát tartalmazó) portfólióig terjedő szakasza. Hatékony portfóliók több értékpapír esetén Korábbi formuláink általánosítása n értékpapírra igen egyszerű: N N  2p    xi x j  ij i 1 j 1 p  N N  x x  i j ij i 1 j 1 A megvalósítható portfóliók halmaza csak abban különbözik a két papírt feltételező halmaztól, hogy többségük a görbe alatti besatírozott területen található. A hatékony portfóliókat itt is a görbének a minimumvariancia portfólió és maximális hozamú portfólió közötti határoló vonala képviseli 49 Várható érték x x x x x

MV x Szórás 3.5 sz Ábra A megvalósítható portfóliók halmaza több értékpapír esetén A racionális (és kockázatellenes) befektetők választását a mindenki számára ugyanazon hatékony portfóliókból a kockázattal szembeni egyéni toleranciájuk határozza meg. Várható érték Y X x x x x x MV x Szórás 3.6 sz ábra Különböző mértékben kockázatellenes egyének választása kockázatos értékpapírokból álló portfóliók esetén A több kockázatos aktívából álló portfólió varianciájának mátrix-alakjából további fontos következtetésre juthatunk. Értékpapír 1 1 2 x1 x2 12 3 x12 12 x2 x1 21 x3 x1 31 . . . n x N x1 N 1 x N x2  N 2 2 Mivel  ij   ji , x22  22 x3 x2  32 3 x1 x313 x2 x3 23 . n x32  23 x1 x N 1N x2 x N  2 N x3 x N  3 N x N x3 N 3 x N2  2N a mátrix szimmetrikus, és az átlóban n varianciát, az átlón kívül n2-n kovarianciát

tartalmaz. 50 N N N N N N     xi x j  ij    xi x j  ij    xi x j  ij 2 p i 1 j 1 i  1 j 1 i j i  1 j 1 i j A papírok számának növekedésével a portfólió varianciája egyre kevésbé függ a benne lévő papírok varianciájától, ugyanakkor egyre inkább függ a papírok közötti kovarianciáktól. Ennek szemléltetésére vegyük a legegyszerűbb példát, egy olyan portfóliót, amelyben egyenlő részarányban n papír van, amelyeknek egyenlő egymással a varianciája, és egyenlő egymással az összes kovariancia is. Az általános formulának a feltételezéseknek megfelelő átalakítása után jól látható, hogy ha az aktívák száma tart a végtelenbe, a varianciaterminusok eltűnnek (határértékük 0), és a portfólió varianciájának értéke tart az átlagos kovariancia értékéhez. (a megállapítás igaz minden portfólióra, de bizonyítása lényegesen komplikáltabb.) N N

 p2    i 1 j 1 lim N  1 1 1  ij  2 N N N N   ii  i 1 1 N2 N N   i 1 j 1 i j ij N 1 1 1 1   ii  2  N 2  N  ij   ii  1   ij 2 N N N  N 1 1   ii  1   ij   ij N  N Ebből is látható, hogy a diverzifikációnak, bármennyire hatékony eszköze is a kockázat csökkentésének, vannak korlátai. A kockázatnak azt a részét, amely a diverzifikáció révén eltűnik, diverzifikálható, vagy egyedi, vagy nem szisztematikus kockázatnak, azt a részét, amely egy jól diverzifikált portfólióban is megmarad, nem diverzifikálható, vagy piaci, vagy szisztematikus kockázatnak nevezik. Portfólió varianciája p2 egyedi  i,m piaci N 3.7 sz ábra A diverzifikáció hatása a portfólió varianciájára A diverzifikáció költségekkel jár, ezért nem célszerű túlságosan sok papír között megosztani a

befektetéseket. Amerikai kutatások szerint - az ottani piac feltételeinek figyelembevételével - az optimális portfólió kb. 30 db értékpapírból (akár véletlenül is) összeállított csomag Optimális választás kockázatmentes kamatláb melletti hitelfelvétel ill. hitelnyújtás lehetősége esetén Az eddigiekben a kockázatos aktívák közüli választást modelleztük. Az alábbiakban bemutatjuk, hogy a befektetők javíthatják helyzetüket, ha van lehetőségük kockázatmentes kamatláb melletti hitelfelvételre ill. Hitelnyújtásra. 51 Tekintsük először a hitelnyújtás esetét. Ez azt jelenti, hogy a befektető vagyonának egy részét bankba teszi, és a kockázatmentes kamatlábnak megfelelő hozamot realizál. A kétpapíros portfólió képletéből láthatjuk, hogyan alakul az így kialakított portfólió várható értéke és szórása, ha az egyik papír (y) kockázatmentes:  2p  a 2  2x  (1  a ) 2  Y2  2a (1  a )

XY  X  Y A kockázatmentes értékpapír hozama biztos, varianciája ill. Szórása ezért 0 A kifejezés második és harmadik tagja egyenlő nullával, s a portfólió varianciája ill. Szórása kizárólag a kockázatos értékpapír részarányától és varianciájától ill. Szórásától függ:  2p  a 2  2X  p  a 2  2x  a X A portfólió várható értéke és szórása egy egyenes szakaszon helyezkedik el, amely a kockázatos értékpapírt reprezentáló pontot köti össze a kockázatmentes értékpapírt jelentő ponttal, egyenlete pedig a szórás a 0 és a piaci portfólió szórása közötti tartományban: ~ E(RX )  R f ~ E(Rp )  R f  p X A hitelfelvétel bekapcsolása azt jelenti, hogy a a kockázatmentes értékpapír negatív, a kockázatos értékpapír egynél nagyobb részarányban kerül a portfólióba. Ez esetben a vagyon nem korlátozza a befektetés nagyságát, hiszen ha a kockázatmentes kamatláb mellett

felvett hitelből magasabb várható értékű kockázatos papírt vásárolunk, a várható nettó hozam - a kockázatos értékpapír várható hozamának és a hitelért fizetendő kamatnak a különbsége - a kockázat növekedése mellett emelkedni fog. (ez a magatartás természetesen a kockázattal szembeni nagyobb toleranciát feltételez.) A lehetséges portfóliókat a hitelnyújtás esetét reprezentáló szakasz meghosszabbításaként nyerhetjük. Várható érték RA Rf A Szórás 3.8 sz ábra Egy kockázatos és egy kockázatmentes értékpapírból álló lehetséges portfóliók halmaza A fentieket általánosíthatjuk, ha a kockázatos értékpapír helyébe egy kockázatos papírokból álló portfóliót helyettesítünk. A lehetséges portfóliókat a hatékony portfóliók egy-egy pontján és a kockázatmentes befektetést reprezentáló ponton átmenő egyenesek jelentik. Közülük bármely (kockázatellenes) befektető számára a legjobb megoldást az

érintő portfólió jelenti, hiszen egyéb körülményeket változatlannak véve ekkor lesz minden elképzelhető esetben a kockázat egységére jutó várható haszon a legmagasabb. Ezt tőkepiaci egyenesnek (capital market line -CML) nevezik. Egyenlete ~ E ( Rm )  R f ~ p E(Rp )  R f  m 52 Várható érték CML M E(Rm) Rf MV  Szórás m 3.9 sz ábra A tőkepiaci egyenes (CML) A tőkepiaci egyenes egy nagyon fontos jelenségre mutat rá: a tökéletesen informált, homogén várakozásokkal bíró, racionális befektetők, ha van lehetőségük kockázatmentes kamatláb mellett hitelt nyújtani, vagy felvenni, tekintet nélkül a kockázattal szembeni toleranciájuk mértékére, valamennyien a kockázatos értékpapíroknak ugyanazt a kombinációját választják. Ez azt jelenti, hogy egy-egy befektető minden forgalomban lévő értékpapírnak ugyanakkora - saját tőkepiaci vagyonának az összes befektető vagyonára vetített súlyának

megfelelő - hányadát tartja. A különbség a döntés második lépcsője vonatkozásában mutatkozik meg: az erőteljesen kockázatellenes befektetők hitelnyújtással, a mérsékelten kockázatellenesek pedig hitelfelvétellel kombinálják az így kiválasztott portfóliót. Ez a stratégia azt eredményezi, hogy nincs túlkereslet vagy elégtelen kereslet egyetlen értékpapír iránt sem, a piac tehát megtisztul. Ha viszont minden befektető ugyanazt a kockázatos portfóliót választja, ez csak maga a piaci portfólió lehet. A piaci portfólió tartalmazza az összes értékpapírt a piaci részarányával súlyozva. (a piaci részarány egyenlő az értékpapír piaci értékének és az összes papír piaci értékének hányadosával.) Ez egyensúlyi árfolyamokat feltételez, nincs tehát benne olyan alul- vagy túlértékelt értékpapír, amely iránt túlkereslet vagy elégtelen kereslet mutatkozna. Ez más megközelítésben ugyancsak a megtisztult piaci

állapotokat jelzi Ennek belátására tegyük fel, hogy minden befektető információi, várakozásai és motivációja alapján ugyanazt a nem piaci portfóliót választaná. Ekkor egyes értékpapírok alulértékeltsége túlkeresletet, mások túlértékeltsége elégtelen keresletet jelent. A piac megtisztulását csak az árfolyamok megfelelő irányú mozgása eredményezi Az árfolyamok igazodása nyomán a befektetők szándékolt kereslete megegyezik a rendelkezésre álló kínálattal, vagyis pontosan annyi papírt és olyan áron akarnak vásárolni, amennyi a piacon van. Ez csakis akkor lehetséges, ha valamennyi befektető a piaci portfóliót választja. Ez egyben a piac megtisztulásának elégséges feltétele Mivel mind a piaci portfólió, mind a tőkepiaci egyenes egyensúlyi, megtisztult állapotokat feltételez, az eddigiek alapján meghatározható a kockázat egyensúlyi piaci ára. (a formulához úgy juthatunk, hogy meghatározzuk a hatékony portfóliók

görbéjének meredekségét a piaci portfóliót reprezentáló pontban, egyenlővé tesszük a tőkepiaci egyenes meredekségével, és kifejezzük belőle a kockázatos portfólió várható értékét.)   ~ ~ E ( Ri )  R f  E ( Rm )  R f i i   i ,m  m2 A formula voltaképpen a CAPM kifejezése. Eszerint az értékpapír hozamrátájának várható értéke két részből áll: a kockázatmentes kamatláb mellett kockázati prémiumot tartalmaz, amely nem más, mint a kockázat mennyiségének ( i ) és a kockázat piaci árának szorzata. A  i a modern vállalati pénzügyek kulcsfontosságú fogalma, amely az i-ik értékpapír hozzájárulását jelenti a piaci portfólió kockázatához. Ennek belátásához tekintsük ismét az n elemű portfólió mátrix-alakját! Értékpapír 1 2 3 . n 53 x1 x2 12 3 x12 12 x2 x1 21 x3 x1 31 x  x3 x2  32 . . . n x N x1 N 1 x N x2  N 2 1 2 2 2 x1 x313 x2

x3 23 2 2 x32  23 x1 x N 1N x2 x N  2 N x3 x N  3 N x N x3 N 3 x N2  2N Bármelyik sort tekintve látható, hogy minden kifejezés tartalmazza az adott értékpapír részarányát, ezért kiemelhető. A zárójelben lévő kifejezés pedig nem más, mint az adott értékpapír és a piaci portfólió közötti kovariancia. A második sort véve pl x2 ( x1 2,1  x2  2,2  x3 2,3 .  x N  2, N )  x2  2,m Az értékpapír hozzájárulása a piaci portfólió kockázatához tehát arányos a piaccal való kovarianciájával, ill. A papír részarányával (szigorúan véve az arányváltozásból fakadó kockázatnövekedés egyenlő a kovariancia kétszeresével, hiszen a részarány megjelenik a megfelelő oszlopokban is. Ha minden értékpapír együttes hatását vizsgáljuk, kétszer vennénk figyelembe.) Ha ezt a piaci kockázat egységére vetítjük, éppen az értékpapír -ját kapjuk. Fontos, és jól használható

tulajdonság, hogy a piaci portfólió bétájának értéke, amely az őt alkotó értékpapírok bétáinak a részarányukkal súlyozott számtani átlaga, egyenlő 1-gyel.  m ,m 1  2m N  m   xi i  i 1 Ha az értékpapírok hozamának várható értékét az értékpapírok bétáinak függvényében ábrázoljuk, az értékpapírpiaci egyeneshez (SML - security market line) jutunk. várható hozam (%) SML M Rm T Rf S 0 1 Az értékpapír Bétája 3.10 sz ábra Az értékpapírpiaci egyenes (SML) Hogyan bizonyítható. Hogy az értékpapírok hozamainak várható értéke az értékpapírpiaci egyenesen fekszik? Tekintsük az s értékpapírt, amelyiknek bétája kisebb, mint egy! Kelendő lesz ez a papír? Ha racionális befektetőket feltételezünk, akkor semmiképpen sem. A befektető  s -nek megfelelő hányadban a piaci portfólióba, 1- s -nek megfelelő hányadban a kockázatmentes értékpapírba helyezi el a pénzét, ugyanakkora

kockázat mellett növelheti a hozamot, tehát ezt a megoldást fogja preferálni. az S papír tehát túlértékelt, kereslet híján az árfolyamának egészen addig csökkennie kell, amíg a várható hozamrátája el nem éri a SML-nek megfelelő szintet. (ugyanígy beláthatjuk ezt a T papír vonatkozásában is, azzal a különbséggel, hogy az értékpapírpiaci egyenesnek megfelelő várható hozamot a befektető ebben az esetben kölcsön felvételével és a piaci portfólióba való befektetésével érheti el.) 54 Ha egy értékpapír várható hozamrájája az értékpapírpiaci egyenes felett helyezkedne el, a papír alulértékeltsége túlkeresletet okozna irányában, amelyet árfolyamemelkedés követne addig, amíg a várható hozamrátája el nem éri a SML-nek megfelelő szintet. A bétával kapcsolatosan be kell bizonyítanunk még, hogy nem az értékpapír teljes kockázatának, hanem a piaci, nem diverzifikálható, szisztematikus kockázatának mértéke.

Az könnyen belátható intuitív módon is, hogy egy racionális befektető nem hajlandó olyan tényezőért fizetni, amelyet a diverzifikáció révén eliminálhat. Ha matematikai formulával fejezzük ki az i-ik értékpapír hozamát a piaci portfólió hozamának függvényében, akkor egy ún. Egytényezős index-modellt írhatunk fel: ~ ~ Ri  ai  bi Rm  ~i Az első két tag egy valószínűségi változó (a piaci portfólió hozamrátája) lineáris függvénye, ahol ai és bi konstans, a harmadik tag pedig szintén egy valószínűségi változó, amelynek a piaccal való kovarianciája 0, és a véletlen (ebben a vonatkozásban a piaci portfólió hozamrátája változásától független) eltéréseket fejezi ki. Ha létrehozzuk a kifejezés varianciáját, azt láthatjuk, hogy két részből áll:  i2  bi2  m2   2 , i ahol az első tag definíció szerint a piaci kockázatot, a második az egyedi kockázatot fejezi ki. Lineáris

regresszió-számítás révén bebizonyítható, hogy bi értéke egyenlő i-vel. Ha a piaci ill. Az egyedi kockázatok mértékét standardizáljuk, azaz meghatározzuk, hogy a teljes kockázatból a piaci kockázat milyen arányban részesedik, bebizonyítható, hogy ez a hányad egyenlő a korrelációs együttható négyzetével. b 2 m2  i2 b 2 m2  i2   2i 1 i2 2 2  i2,m  2i i2,m i2 m2  2i  2i i ,m m  2i  2i 2  2  2 4  2  2 2 2   2  i ,m  2  1 i i  m i i  m i i2 m2 i i A korrelációs együttható négyzetét gyakran r2-ként jelölik. Kockázattal módosított diszkontráta A fentiek alapján már igen egyszerű a(z üzleti) kockázattal módosított diszkontráta meghatározása. A vállalat (vagy az üzletág) számított bétája és a CAPM segítségével meghatározható a befektetésből várható hozamráta, amely alkalmas

a kockázatos pénzáramok diszkontálására. (a finanszírozási kockázat a tőkeszerkezet elemzése nyomán illeszthető be a modellbe.)   Ri  R f  Rm  R f i A bétákat a általában múltbeli adatok alapján, idősorokból szokták számítani. Az ismertetett módszer azt feltételezi, hogy a múltbeli tendenciák a jövőben is fennmaradnak. Ez alkalmazásának alapvető elméleti, s mint a legutóbbi idők nagy tőzsdei összeomlásai is mutatják. effektív gyakorlati korlátja A magyar (és a többi, fejlődő piacokon – emerging markets - működő) gazdaságok számára azonban további gyakorlati akadályok is felmerülnek. A tőkepiacok, ezen belül az értékpapírpiacok az utóbbi évek dinamikus fejlődése ellenére sem elég fejlettek: kevés a nyilvános kibocsátású, még kevesebb a tőzsdén jegyzett ill. forgalmazott értékpapír, a számítható egyedi és ágazati béták volatilitása igen nagy. 55