Gazdasági Ismeretek | Befektetés, Tőzsde » Tőzsdei szakvizsga felkészítő, értékpapírszámtani modul

Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő TŐZSDEI SZAKVIZSGA FELKÉSZÍTŐ É R T É K PA P Í R S Z Á M TA N I M O D U L Hetedik, átdolgozott kiadás 2004, Közép-Európai Brókerképző Alapítvány Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő tankönyv szerzői: Tőzsdei Szabályzatok: Dr. Bíró Viktória Fecser Ildikó Értékpapírszámtan: Száz János Közgazdaságtan: Bangó Zsolt Dunavölgyi Mária Farkas Ádám Fazakas Gergely Friedrich István Jaksity György Király Júlia Martin Hajdu György Nagy László Réz András Szeles Nóra Szenes Mónika (Andrási Miklós, Bótor Anikó, László Géza, Nagy Kálmán, Rotyis József, Sulyok-Pap Márta és Szabó László szövegeinek felhasználásával) Szerkesztette: Martin Hajdu György May Réka Szigel Gábor Tamás Budapest, 2004. 2 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő TA R TA L O M J E G Y Z É K I. KAMATSZÁMÍTÁS 1 1. JÖVŐÉRTÉK, JELENÉRTÉK 1 2. IDŐARÁNYOS ÉS

KAMATOSKAMAT-SZÁMÍTÁS 3 3. NÉVLEGES KAMATLÁB, EFFEKTÍV KAMATLÁB, FOLYTONOS KAMATLÁB 5 4. A HOZAMGÖRBE 9 5. FORWARD KAMATLÁBAK 10 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 13 II. A KOCKÁZAT ÉS AZ ELVÁRT HOZAM 14 1. A RÉSZVÉNYEK HOZAMA 14 2. A RÉSZVÉNYEK KOCKÁZATA (VARIANCIÁJA) 15 3. A BEFEKTETŐK HOZAM-KOCKÁZAT PREFERENCIÁI 16 4. A RÉSZVÉNYPORTFÓLIÓ HOZAMA ÉS KOCKÁZATA 19 5. A NEM DIVERZIFIKÁLHATÓ KOCKÁZAT MÉRTÉKE 22 6. A RÉSZVÉNYEK ELVÁRT HOZAMA ÉS A CAPM 24 7. AZ IDŐBENI DIVERZIFIKÁCIÓ 26 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 27 III. PÉNZÁRAMLÁSOK 29 1. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK 29 2. KÖTVÉNYEK PÉNZÁRAMLÁSA, SZINTETIKUS KÖTVÉNYEK 31 3. EGYÉB PAPÍROK PÉNZÁRAMLÁSA 33 4. PROJEKTEK PÉNZÁRAMLÁSA 34 5. FOLYTONOS PÉNZÁRAMLÁS 35 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 35 IV. ÁRFOLYAM ÉS HOZAM 38 1. ALTERNATÍVA KÖLTSÉG, ARBITRÁZS 38 2. JELENÉRTÉK- (PV) ÉS BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA (IRR-) SZÁMÍTÁS 39 3. BEFEKTETÉSI DÖNTÉSEK AZ NPV ÉS A HOZAM (IRR)

ALAPJÁN 41 4. EX POST HOZAM 43 5. ADÓZÁS UTÁNI HOZAM 43 6. A VÁLTÓ ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA 44 7. KAMATLÁB ÉS DISZKONTLÁB 46 8. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK ÁRFOLYAMA 46 9. A KÖTVÉNYEK ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA 49 10. A RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMA 51 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 53 V. AZ ÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE 55 1. KÖTVÉNY DURATION ÉS VOLATILITÁS 57 2. KÖTVÉNY KONVEXITÁS 59 3. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE 61 3 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 62 VI. KÖTVÉNYEK ÉS RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA 64 1. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA 64 2. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÉS BRUTTÓ ÁRFOLYAMA 65 3. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM-ALAKULÁS BINOMIÁLIS MODELLJE 67 4. A KOCKÁZATÉRZÉKETLEN BEFEKTETŐ 68 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 70 VII. HATÁRIDŐS ÁRFOLYAMOK 72 1. AZONNALI DEVIZAÁRFOLYAMOK 72 2. A HATÁRIDŐS DEVIZAÁRFOLYAMOK ÉS A KAMATPARITÁS 75 3. ÉRTÉKPAPÍROK HATÁRIDŐS

(FORWARD) ÁRFOLYAMA 78 4. A HATÁRIDŐS ÁRFOLYAM ÉS A VÁRHATÓ JÖVŐBENI PROMPT ÁRFOLYAM 81 5. HOZAMGÖRBE-ELMÉLETEK 82 6. A HOZAMGÖRBE KISZÁMÍTÁSA KÖTVÉNYADATOKBÓL 84 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 85 VIII. OPCIÓK ÁRAZÁSA 87 1. VÉTELI ÉS ELADÁSI OPCIÓ 87 2. AZ OPCIÓK ÉRTÉKE LEJÁRATKOR 89 3. OPCIÓS ALGEBRA 91 4. A FUTURES MINT ÖSSZETETT OPCIÓ 92 5. PARITÁSOK ÉS ARBITRÁZS AZ OPCIÓS PIACOKON 93 6. ÖSSZETETT OPCIÓS POZÍCIÓK 95 7. A BINOMIÁLIS OPCIÓÉRTÉKELÉS 100 8. A BLACK–SCHOLES-KÉPLET 105 9. DELTA, GAMMA, THETA, VEGA, RHO 109 10. WARRANTOK 110 11. ÁTVÁLTHATÓ KÖTVÉNYEK 111 ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK . 114 4 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A TŐZSDEI SZAKVIZSGA FELKÉSZÍTŐ TELJES TARTALMA KÖZGAZDASÁGTANI MODUL – 1. RÉSZ I. A PÉNZÜGYI KÖZVETÍTŐ RENDSZER SZEREPE A GAZDASÁGBAN 1 II. GAZDASÁGPOLITIKAI ALAPVETÉS 33 III. ÉRTÉKPAPÍROK 51 IV. AZ ÁLLAMPAPÍRPIAC 68 KÖZGAZDASÁGTANI MODUL – 2. RÉSZ V. A RÉSZVÉNYEK

PIACA 110 VI. A VÁLLALATOK PÉNZÜGYI ELEMZÉSÉNEK ALAPJAI 138 ÉRTÉKPAPÍRSZÁMTANI MODUL I. KAMATSZÁMÍTÁS 1 II. A KOCKÁZAT ÉS AZ ELVÁRT HOZAM 14 III. PÉNZÁRAMLÁSOK 29 IV. ÁRFOLYAM ÉS HOZAM 38 V. AZ ÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE 55 VI. KÖTVÉNYEK ÉS RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA 64 VII. HATÁRIDŐS ÁRFOLYAMOK 72 VIII. OPCIÓK ÁRAZÁSA 87 TŐZSDEI SZABÁLYZATOK MODUL I. A BUDAPESTI ÉRTÉKTŐZSDE STÁTUSZA 1 II. SZEKCIÓTAGSÁG, KERESKEDÉSI JOG 10 III. A TŐZSDEI BEVEZETÉS ÉS FORGALOMBANTARTÁS SZABÁLYAI 18 IV. KERESKEDÉS 32 V. ELSZÁMOLÁS 52 VI. ÉRTÉKTÁRI TEVÉKENYSÉG 67 5 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő I . K A M AT S Z Á M Í T Á S 1. JÖVŐÉRTÉK, JELENÉRTÉK Van két alapvető kérdésfeltevés1: 1. példa Mennyit ér a betét 2 év múlva, ha most elhelyezünk 1,600 Ft-ot évi 25% kamatláb mellett? 2. példa Mennyi pénzt kell betétbe elhelyezni évi 25% kamatláb mellett, hogy 2 év múlva 1,600

forintunk legyen? Az első kérdésre adott választ jövőérték- (FV – future value) számításnak, a másodikra adott választ jelenérték- (PV – present value) számításnak nevezik. Legyen: n – a befektetés időtartama (években mérve), r – az éves kamatláb (együtthatós formában: 25%=0.25) Ekkor a két kérdésre adott konkrét, illetve általános válasz: 1. FV = 1,600*1.252 = 2,500 Ft FV = PV (1 + r ) 2. n (1) PV = 1,600/1.252 = 1,024 Ft PV = FV −n = FV (1+r ) n (1+r ) (2) Az (1) képlet a kamatos kamatozás képlete, a (2)-t diszkontképletnek nevezik. Mindkettő azon alapszik, hogy a kamatozási periódus elteltével tőkésítik a kamatot, így minden időszak végén (1+r)-szeresére nő a betét értéke Mindkét képlet árfolyamképlet: – az (1) a jelenbeni pénz jövőbeni pénzben kifejezett árfolyama, – a (2) a jövőbeni pénz jelenbeni pénzben kifejezett árfolyama. Az értékpapíroknál többnyire a jövőbeni kifizetés(ek

sorozata) rögzített, így a (2) képlettel kell számolni. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a teljes Értékpapírszámtan részben a hazai szabályoktól eltérően, illetve a nemzetközi jelölésekkel összhangban a tizedesvesszőt pont jelöli, míg az ezres helyi értéket vessző (pl. 1,62515) (A szerk) 1 Ez a fejezet a tőzsdei szakvizsga értékpapírszámtan blokkjának a tömör összefoglalása. Nem bevezetésjelleggel íródott, célja inkább az ismeretek felelevenítése és rendszerezése, valamint mintapéldák bemutatása. Akik kezdők az értékpapírszámtanban (tehát járatlanok pl a jelenérték-számításban, a kötvények árazásában), azoknak e fejezet elolvasása előtt ajánljuk figyelmébe a Brealey–Myers: Modern vállalati pénzügyek c. könyv 2–12, 23–28, illetve 34 fejezeteit 1 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Az 1/(1+r)n tényezőt diszkonttényezőnek (diszkontfaktornak – DF) is szokás nevezni, és a továbbiakban DF(n,r) módon

jelöljük: DF (n, r ) = 1 (1+r )n (3) Zérus kamatláb mellett az n év múlva 1 Ft értéke 1 mostani forint, illetve tetszőleges kamatláb mellett a jelenbeni 1 Ft értéke 1 Ft: DF(n,0) = 1 és DF(0,r) = 1 Látható a 3.1 táblázatból, hogy a kamatláb változása nagyobb mértékben változtatja a távolabbi jövedelmek jelenértékét, mint a közelebbiekét n r 1 2 3 4 5 2% 0.9804 0.9612 0.9423 0.9238 0.9057 5% 0.9524 0.9070 0.8638 0.8227 0.7835 10 15 20 25 0.8203 0.7430 0.6730 0.6095 0.6139 0.4810 0.3769 0.2953 10% 0.9091 0.8264 0.7513 0.6830 0.6209 11% 0.9009 0.8116 0.7312 0.6587 0.5935 12% 0.8929 0.7972 0.7118 0.6355 0.5674 15% 20% 0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972 0.3855 0.3522 0.3220 0.2472 0.2394 0.2090 0.1827 0.1229 0.1486 0.1240 0.1037 0.0611 0.0923 0.0736 0.0588 0.0304 3.1 táblázat Diszkontfaktorok DF(n,r): n év múlva kapott 1 Ft jelenértéke r kamatláb mellett 0.8333 0.6944 0.5787 0.4823 0.4019 0.1615 0.0649 0.0261 0.0105 3. példa Mennyi

pénzt kell a bankban elhelyezni, ha a kamatláb 10%, és 5 év múlva 1,000 forintra van szükségünk? Mennyivel kevesebb betétet kellene elhelyezni, ha a kamatláb 12% lenne? PV = 1,000*DF(5,10) = 620.9 Ft PV = 1,000*DF(5,12) = 567.4 Ft A megtakarítás: 53.5 Ft 2 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő (1+i)t (1+i) t -n i3 FV i2 PV3 i1 PV2 PV1 0 3.1 ábra Bankbetét: a jövőbeni érték nagysága a kamatláb és az idő függvényében n t 3.2 ábra Zérókupon-kötvény: a jelenbeni érték nagysága a kamatláb és az idő függvényében 2. IDŐARÁNYOS ÉS KAMATOSKAMAT-SZÁMÍTÁS Nagyon kényelmetlen probléma a tört hosszúságú kamatozási periódus helyes kezelése. Ez a helyzet, ha ki kell számítani 1 éves lekötés mellett egy betét értékét másfél év múlva, vagy 9 hónapos lekötés esetén 1 év múlva stb. 4. példa Betétbe elhelyezünk 1,600 Ft-ot évi 25% kamatláb mellett. Mennyit ér a betét 35 év múlva, ha évente történik a

tőkésítés? FV = 1,600*1.253*1.125 = 3,5156 Ft Amennyiben a befektetés n egész kamatozási időszakból és t hosszúságú tört időszakból (t<1) áll, akkor a betét értéke az n+t időszak múlva: [ ] FV = PV (1+r ) (1+rt ) n (4) A (4) képlettel leggyakrabban a t = 0 vagy az n = 0 formában találkozunk. Az előbbi eset az (1) képlet, az utóbbiban csak a tört periódus van, azaz még nem értük el az első tőkésítési időpontot: FV =PV (1+rt ) t <1 (4a) 3 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 4. példa (folytatás) Amennyiben az előző feladatban nem a (4) képletnek megfelelően, hanem az (1) képlettel számoltunk volna – megengedvén, hogy az n törtszám is lehessen, akkor kisebb számot kaptunk volna eredményül: FV = 1,600*1.2535 = 3,4939 Ft Az eltérés oka, hogy az utolsó fél évre nem 12.5% kamatot számoltunk volna, hanem 1.2505–1 = 118%-ot A 3.3 ábra az éven belüli sima kamatozás és az évenkénti kamatos kamatozás kapcsolatát

mutatja Ft D C A B 1 2 3 Év 3.3 ábra Az évenkénti kamatos kamatozás és az éven belüli lineáris kamatozás A 3.3 ábrán látható, hogy mindig a kamatperiódus közepén a legnagyobb az eltérés a két görbe között, azaz a lineáris (tört vonalú görbe) és tört kitevőjű (folytonos görbe) kamatszámítás között 5. példa Az eltérés nagysága az év közepén a lineáris és a törtkitevőjű kamatoskamat-számítás között egy 10 milliós nagyságú befektetésnél a különböző kamatlábszintek mellett: 5% : 10 millió * (1.025–10505) = 3,049 Ft 10%: 10 millió * (1.050–11005) = 11,912 Ft 20%: 10 millió * (1.100–12005) = 45,549 Ft 30%: 10 millió * (1.150–13005) = 98,246 Ft Látható, hogy a hatszor akkora kamatlábnál az eltérés nem hatszoros, hanem 32-szeres. A hazai gyakorlatban mindkét számítási mód elterjedt. A bankbetéteknél a (4) formulát használják, a kötvénypiacon pedig a törtkitevős megoldást, ami nem mindig

helyénvaló. Ez utóbbira még visszatérünk 4 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A probléma nem abból fakad, hogy az időszak 1 évnél rövidebb, hanem abból, hogy a tőkésítési periódusnál rövidebb. Egy 9 hónapos befektetési időtartamnál 3 hónapos lekötéssorozat esetén ez 3 egész periódust jelent, viszont a 6 hónapos lekötésnél (6 hónaponkénti tőkésítésnél) ugyanúgy tört időszaki kamatozást jelent, mint az 1 éves lekötés esetén. A tört időszaki probléma akkor nem merülhet fel, ha az elképzelhető legrövidebb kamatelszámolási időszakot vesszük, aminek minden más egész számú többszöröse. Ilyen a folytonos (pillanatonkénti) kamatelszámolás, aminek jó gyakorlati megfelelője a naponkénti kamatozás (1 napos betétek) A látra szóló betét nem azonos ezzel, mert ott is csak évente egyszer számolják el a kamatot. Ugyanígy nem jelent naponkénti kamatozást, ha egy időszakra (pl. 1 hónapra) a napi átlagos állomány

alapján számolják ki a kamatot. A döntő az, hogy milyen időszakonként számítják ki a kamatot és írják hozzá a tőkéhez 3. NÉVLEGES KAMATLÁB, EFFEKTÍV KAMATLÁB, FOLYTONOS KAMATLÁB Alapprobléma: miként hasonlítható össze két eltérő kamatelszámolási periódusú befektetés? 6. példa Melyik jobb befektetés: * havi 2% kamat, vagy * félévente 12.5% kamat? Az összehasonlíthatóság kedvéért 1 évre vonatkozóan szokás megadni a kamatláb nagyságát. Ezt alapvetően háromféleképpen lehet megtenni: a) a kamatozási periódus hosszát nem változtatva adjuk meg az éves kamatlábat (névleges kamatláb), b) a kamatozási periódus hosszát 1 évre átszámítva adjuk meg az éves kamatláb nagyságát (effektív kamatláb), c) a kamatelszámolási periódust minden határon túl csökkentve, folytonos kamatozásra átszámítva adjuk meg az éves kamatláb nagyságát (folytonos kamatláb). Az éves névleges kamatlábat (angolul: nominal vagy stated

interest rate, vagy annual percentage rate (APR) = éves százalék) sima időarányosítással kapjuk. A névleges kamatláb használata csak alternatív kifejezési mód, mindegy, hogy úgy adunk meg egy betéti konstrukciót, hogy az: – havonta 2% kamatot fizet, vagy – évi 24% kamatlábú befektetés, havonkénti kifizetéssel. A névleges kamatlábhoz mindig hozzá kell tenni a kamatfizetés gyakoriságát is, mivel azt nem standardizáltuk. Eltérő hozamot jelent az évi 24% kamatláb, ha évente egyszer, havonta vagy éppen hetente történik a kamatfizetés Ezt az eltérést veszi figyelembe az effektívkamatláb-számítás Az effektív kamatláb (effective annual rate) az év közben kapott kamatok újrabefektetési lehetőségét is figyelembe vevő (kamatos kamatozással számított) éves kamatláb. Ha az évi k% kamatot m részletben fizetik ki, akkor egy kifizetés során az éves kamat 1/m-ed részét fizetik csak ki. A már felvett kamatot újra be lehet fektetni,

így 1 év alatt a befektetett PV összeg (figyelembe véve a felvett öszszegek újrabefektetését is): 5 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő FV = PV (1+k m ) m (5) összegre növekszik fel, ahol FV az év végi érték. Az effektív kamatlábat úgy is értelmezhetjük, hogy az eredeti évi m-szeri kamatfizetést milyen kamatláb mellett cserélhetjük fel évi egyszeri kamatfizetéssel. 6. példa (folytatás) A havi 2% kamatláb esetén m=12: – egyszerű arányosítással: k= 12*2 = 24% éves kamatláb – kamatos kamattal: 1.0212 = 12682, azaz r=2682% éves hozam A félévenkénti 12.5% kamatláb esetén m=2: – egyszerű arányosítással: k= 2*12.5 = 25% éves kamatláb – kamatos kamattal: 1.1252 = 12656, azaz r=2656% éves hozam A félévenkénti 12.5% kamatfizetésnek bár nagyobb a névleges, de kisebb az effektív kamatlába, és így kevésbé jó befektetés Az évenkénti kamatfizetések száma (m) általában legalább 1, ugyanis a hoszszabb, 5-20 éves

hitelek kamatait is elszámolják legalább évente egyszer, és még ha esetleg nem is fizetik ki (pl. kamatos kamatozású kötvény), akkor is tőkésítik Az effektív kamatláb (m=1) mellett a folytonos kamatozás (m=∞) a másik standard érték az m-re, amire az összehasonlítás érdekében átszámolják a különböző kamatfizetési gyakoriságú konstrukciókat. A névleges kamatlábat k-val, az effektív kamatlábat r-rel, a folytonos kamatlábat i-vel jelölve: (1+k m )m =1+r =e i (5a) ahol e ≈ 2.71828 a természetes alapú logaritmus alapszáma Az (1+r)t, illetve eit egyaránt egy olyan 1-nél nagyobb számot jelöl, amely megmutatja, hogy t év alatt hányszorosára nő a befektetés értéke. A folytonos kamatláb használata számos előnnyel jár, így pl matematikailag sokkal kényelmesebben kezelhető, mint az (1+r)t függvény, ha az r, illetve t változásainak hatását vizsgáljuk.2 A jövőérték és a jelenérték képletei a folytonos kamatlábbal

felírva: FV = PV e it (1a) PV = FV e − it (2a) ahol t az évek száma (és nem feltétlenül egész érték). Táblázatkezelő, vagy akár csak egy fejlettebb zsebszámológép birtokában igazán nem jelent problémát az ex használata, legfeljebb csak szokatlan kezdetben. Bizonyos esetekben, pl az opciós árazás Black-Scholes-modelljében pedig csak a folytonos kamatláb használata az elvileg helyes. Használjuk bátran, és szokjuk meg minél előbb! 2 6 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Az (5a) képlet megfordítása alapján a folytonos kamatláb (kamatintenzitás) nagysága: i=ln(1+r ) (6a) illetve i=mln(1+k m ) ahol ln(x) az x szám e alapú logaritmusa. (6b) 6. példa (folytatás) A két folytonos kamatláb: i = 12 ln(1.02) = 12*0.0198 = 02376 = 2376% i = 2 ln(1.125) = 2*0.1178 = 02356 = 2356% Tehát: havi 2% kamatláb = 2*12% = évi 24% névleges kamatláb = 1.0212–1 = évi 2682% effektív kamatláb = ln 1.2682 = évi 2376% folytonos kamatláb

Általában igaz, hogy az effektív kamatláb nem kisebb, a folytonos kamatláb pedig mindig kisebb, mint a névleges kamatláb. Ennek oka, hogy az előbbi esetben kevesebb, utóbbi esetben sűrűbb kamatfizetésre cseréljük az eredeti évi m-szeri tőkésítést Nézzük meg a kamatfizetés gyakoriságának a hatását az effektív kamatlábra 4 különböző névleges kamatláb mellett, feltéve, hogy: – félévente (m=2), – negyedévente (m=4), – havonta (m=12), – hetente (m=52), – naponta (m=365), – pillanatonként, folyamatosan (m=∞) fizetik a kamatokat: Kifizetések száma Névleges kamatlábak éves szinten 1 5.00% 10.00% 20.00% 30.00% 2 4 12 52 365 5.06% 5.09% 5.12% 5.12% 5.13% 10.25% 10.38% 10.47% 10.51% 10.52% 21.24% 21.55% 21.94% 22.09% 22.13% 32.25% 33.55% 34.49% 34.87% 34.97% végtelen 5.13% 10.52% 22.14% 34.99% 7 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Relatíve az a legjelentősebb eltérés, hogy évente vagy félévente fizetnek kamatot.

Magasabb kamatlábak esetén nagyobb a jelentősége, hogy éven belül hányszor van kamatfizetés Látható, hogy gyakorlatilag alig van különbség a napi kamatelszámolás és a folytonos kamatozás között. A törtkitevő (nem egész évet jelentő t) és az effektív kamatláb használata lényegében a folytonos (napi) kamatozás feltételezésén alapul, mivel: (1+r)t = et ln(1+r) = eti A 3.2 táblázat mindkét irányban használható: ex és ln(x) táblaként is, attól függően hogy „balról jobbra vagy jobbról balra” használjuk it eit it eit it eit 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 1.0000 1.0202 1.0408 1.0618 1.0833 1.1052 1.1275 1.1503 1.1735 1.1972 1.2214 1.2461 1.2712 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 1.2840 1.3499 1.4191 1.4918 1.5683 1.6487 1.7333 1.8221 1.9155 2.0138 2.1170 2.2255 2.3396 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.4596 2.7183 3.0042 3.3201 3.6693

4.0552 4.4817 4.9530 5.4739 6.0496 6.6859 7.3891 8.1662 3.2 táblázat A folytonos kamatlábhoz (it) tartozó növekedési együtthatók (eit) Látható, hogy kicsi százalékoknál nincs lényeges különbség a folytonos és az éves kamatozás (növekedés) között, azonban az eltérés elég hamar jelentőssé válik. 7. példa Évi 8% folytonos kamatláb mellett mennyi lesz a befektetett 1,500 Ft tőkénk értéke 3 év múlva? FV= 1,500 e3*0.08= 1,500 e024= 1,500*1.2712= 1,90687 Az (1a) és (6a) képletek alapján: it =ln(FV / PV ) (6c) 8 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő azaz a folytonos kamatláb folytonos növekedési ütemként is értelmezhető. Tehát a 8%-os kamatláb azt jelenti, hogy ha nem vesszük ki év végén a kamatot, akkor tőkénk 8%-kal nő 8. példa Betétünk 3.5 év alatt 15,000 Ft-ról 23,000 Ft-ra nőtt Mekkora volt a tőkénk (folytonos) növekedési üteme? Mekkora az ezzel ekvivalens effektív kamatláb? it = ln(23/15) = ln(1.5333) = 04274 i =

0.4274/35 = 01221, azaz 1221% Az éves – nem folytonos – növekedési ütem, azaz az effektív kamatláb ez esetben: 1.5333(1/35) = 11299,azaz 1299% A természetes alapú logaritmust gyakran használják a részvényárfolyamok változékonyságának, a volatilitásnak a mérésekor. A napi árfolyamváltozásokat ln(St+1/St) módon a két egymást követő nap záró árfolyamai hányadosának logaritmusával mérik a (6c) képlet alapján 9. példa Egy betét nagysága 1 hét alatt 180 Ft-ról 181 Ft-ra nőtt. Mennyi a folytonos kamatláb nagysága? Hányszorosára nőne a betét 1 év alatt ilyen ütemben? Mekkora az effektív kamatláb? i = 52*ln(181/180) = 520.0055 = 02881, azaz 2881% eit = e0.2881*1 = 1.3339 r = 33.39% 4. A HOZAMGÖRBE A különböző lejáratú hitelek éves effektív kamatlábát a lejárat függvényében ábrázolva az ún. hozamgörbét kapjuk A t időtartamú hitelek kamatlábát rt módon jelöljük a továbbiakban A hozamgörbe alakja normál esetben

enyhén emelkedő, mivel a hosszabb lejáratú hitelek kamatlába több okból is magasabb a rövid lejáratú hitelek kamatlábánál (lásd 3.4 a) ábra) A kamatszint emelkedésekor a görbe változatlan alakban tolódik fölfelé, a lejárati kamatlábstruktúra módosulásakor a görbe alakja változik. A két változás többnyire együtt jelentkezik Ha a rövid lejáratú kamatlábak átmenetileg erőteljesen megnőnek (pl. egy átmenetinek ítélt inflációs hullám miatt), akkor a hosszú lejáratú hitelek kamatlába is megnő, de csak kisebb mértékben (a piac nem számít arra, hogy a jelenlegi inflációs és kamatszint mondjuk 5 év múlva is ilyen magas lesz), és ekkor a hozamgörbe csökkenő (inverted yield curve). A fordított állású hozamgörbét létrehozó okok miatt lehet a 34 b) görbe alakjából a rövid lejáratú kamatlábak jövőbeni csökkenésére számítani A túlságosan meredek hozamgörbe a jövőbeni rövid lejáratú kamatlábak emelkedését

jelzi előre. Gyakran az egyszerűség kedvéért az rt=r feltételezéssel élnek (kimondva vagy kimondatlanul), azaz a futamidőtől függetlenül beszélnek „a kamatlábról”. Ez egyenértékű egy vízszintes hozamgörbe feltételezésével (34 c) ábra) 9 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Kamatláb (r) Kamatl b(r) (r) Kamatláb l b (r) (r) Kamat Kamatláb Id (t) Idő 3.4 a) ábra A normál hozamgörbe Idõ (t) Idõ (t) 3.4 b) ábra A fordított állású hozamgörbe 3.4 c) ábra A vízszintes hozamgörbe 5. FORWARD KAMATLÁBAK A hozamgörbe egyes pontjaiból határidős, ún. forward kamatlábak számíthatók A határidős kamatláb olyan hitelügylet kamatlába, amely a jövőben esedékes, de a kamatláb nagyságát már a jelenben rögzítik Ennek módja lehet határidős kamatláb-megállapodás (FRA: Forward Rate Agreement) vagy határidős tőzsdeiértékpapír-vásárlási (interest rate futures) ügylet. Bármiféle árfolyam vagy kamatláb lehet

számított érték (amilyennek lennie kellene más árfolyamok és kamatlábak alapján), vagy tényleges, a piacon megfigyelt érték. Mi most a hozamgörbéből számítható (ún implied rate) értéket határozzuk meg Egy 3 év futamidejű hitelügylet kamatát rögzíthetjük előre minden évre azonos szinten, amint ez a szokásos eljárás, de tekinthetjük egy olyan hitelügyletnek is, amely 3 egymást követő 1 éves hitelek sorozata, ahol mindegyik év kamatlábát előre rögzítik (nem feltétlenül azonos szinten). Általában minden m+n év futamidejű hitelügyletet felfoghatunk egy m éves spot (azonnali kezdetű) + egy n éves forward (határidős) hitelügylet együtteseként. Jelölje r1 illetve r2 az 1 és 2 éves futamidejű hitelek kamatlábát, f2 pedig a 2. évre vonatkozó 1 éves futamidejű hitel kamatlábat. Mivel minden érték a jelenben rögzített és ismert, szükségszerűen fennáll: (1+r2 )2 =(1+r1 )(1 + f 2 ) (7) A bal oldal a két évre

szóló lekötés, a jobb oldal esetén határidős ügylettel rögzítettük a második évi kamatlábat, így egyik esetben sincs a jövőbeni kamatlábak ismeretlenségéből fakadó bizonytalanság. A (7) nem állna fenn, ha a kétéves befektetést két egymást követő 1 éves spot ügylet együtteseként valósítanánk meg, ez esetben a 2. évi kamatláb nagysága csak a 2 év elején derülne ki 10. példa Mennyi a 2. évre vonatkozó határidős kamatláb (f2), ha az 1 éves kamatláb r1 = 10%, a kétéves r2 = 12%? 1+f2 = (1.12)2/110 = 12544/110 = 11404 f2 = 14.04% 10 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A kétéves futamidejű kamatlábat úgy is tekinthetjük, mint az 1 éves spot és a 2. évre vonatkozó határidős kamatláb (mértani) átlagát Jelöljük rn módon a (0, n) időszakra vonatkozó n éves spot kamatlábat, fn módon az (n-1, n) időszakra vonatkozó 1 éves forward kamatlábat. A hozamgörbéből felírhatjuk a forward kamatlábak sorozatát és

megfordítva 11. példa Írjuk fel a hozamgörbe 1-5 évekre szóló részét, ha: r1 = 10% f2 = 10% f3 = 11% f4 = 12% f5 = 12% Ez alapján: = (1+r1)(1+f2) = 1.1000*1.10 = 121 (1+r2)2 (1+r2) = 1.2100(1/2) = 11000 3 (1+r3) = (1+r2)2 *(1+f3) = (1+r1)(1+f2)(1+f3) = 1.2100*1.11 = 13431 (1+r3) = 1.3431(1/3) = 11033 (1+r4)4 = 1.3431*1.12 = 15043 (1+r4) = 1.5043(1/4) = 11075 5 (1+r5) = 1.5043*1.12 = 16848 (1+r5) = 1.6848(1/5) = 11100 Ezek alapján a kérdezett spot kamatlábak: r1 = 10.00% r2 = 10.00% r3 = 10.33% r4 = 10.75% r5 = 11.00% A 4 éves futamidejű kamatláb 10.75% értéke nem más, mint a 1033% és a 1200% súlyozott átlaga, ahol azonban a 10.33%-nak nagyobb a súlya, ezért is esik a 1075% közelebb hozzá, mint a 12.00%-hoz Képletszerűen az általános összefüggés: (1+rn )n =(1+rn−1 )n−1 (1+ f n ) (8) illetve 11 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő n ( 1+rn ) (1+ f n )= (1 +rn−1 )n−1 (8a) 12. példa Mennyi a 2., 3, 4 és 5 évre vonatkozó forward

kamatlábak nagysága, ha a hozamgörbe: r1 = 10% r2 = 12% r3 = 14% r4 = 16% r5 = 18% f2 = (1.12)2/11000 -1 = 12544/11000 – 1 = 01404 = 1404% f3 = (1.14)3/12544 -1 = 14815/12544 – 1 = 01811 = 1811% f4 = (1.16)4/14815 -1 = 18106/14815 – 1 = 02221 = 2221% f5 = (1.18)5/18106 -1 = 22878/18106 – 1 = 02635 = 2635% Látható, hogy ez esetben a forward kamatlábak gyorsabban emelkednek, mint a spot kamatlábak. Ha a hozamgörbe nem emelkedne ennyire meredeken, hanem pl csökkenne, akkor a forward kamatlábak is csökkennének. 12 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Melyik igaz az alábbi állítások közül? A kamatlábszínvonal emelkedésekor a hozamgörbe: a) alakja nem változik, csak a helyzete. b) meredekebbé válik. c) laposabbá válik. d) hosszabbá válik. 2. Egy betét háromhavonta 5% kamatot fizet Mekkora az éves névleges és tényleges kamatlába? a) névleges: 5% b) névleges: 20% c) névleges: 15% d) névleges: 20% tényleges: 20.0%

tényleges: 121.6% tényleges: 54.0% tényleges: 21.6% 3. Tegyük fel, hogy az 1 éves kölcsönökre szabott kamatlábplafon 36% Valamely bank úgy próbálja meg ezt megkerülni, hogy növeli a kamatfizetés gyakoriságát, és az év 360 napján tőkésíti az időarányos kamatot. Hány százalék az így biztosított hozam? a) 36% b) 360*36% c) 100*1.01360% d) 100*(1.001360-1)% 4. Valaki 20% kamatláb mellett betétbe helyezett 1,000 Ft-ot, ami 2 év alatt 1,440 Ft-ra nőtt Közben a piaci kamatláb 25%-ra növekedett. Mekkora a betételhelyezés hozama? a) 44/2=22%, mert ennyi kamat halmozódott föl. b) 25%, mert ennyi a pillanatnyi piaci kamatláb. c) 20%, mert ilyen ráta mellett fektette be. d) 14.40%, mert ennyiszeresére nőtt a befektetés értéke 5. Mekkora lesz 1,000 Ft befektetésünk értéke a negyedik év végén, ha a befektetés folytonos kamatozással évi 10% kamatot ígér? a) 1,464 Ft b) 1,480 Ft c) 1,492 Ft d) 3,170 Ft HELYES VÁLASZOK: 1 – a, 2 – d, 3

– d, 4 – c, 5 – c 13 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő I I . A K O C K Á Z AT É S A Z E LV Á R T H O Z A M Ebben a pontban értelmezzük a részvények éves hozamát, és ennek ingadozása lesz a példa a kockázat mérésére, illetve annak meghatározására, hogy a többletkockázat mely részét fizeti meg a piac magasabb hozam formájában, és mi módon határozható meg ez a hozamtöbblet. 1. A RÉSZVÉNYEK HOZAMA A részvények éves hozama: ahol: r= D1 +(P1 − P0 ) D1 P1 − P0 = + P0 P0 P0 r D1 P0 P1 = hozam = tárgyévi osztalék = év eleji árfolyam = év végi árfolyam (9) azaz: ⎛D ⎞ hozam = osztalékhozam ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + éves árfolyamnyereség ⎝ P0 ⎠ ⎛ P1 − P0 ⎜⎜ ⎝ P0 ⎞ ⎟⎟ ⎠ Az árfolyamnyereség úgy értendő, mintha az év elején vettük volna a részvényt, év végén pedig eladnánk. Ha több éven keresztül megtartjuk a papírt, akkor a közbenső évek árfolyamnyereségei/veszteségei nem realizált

nyereségek/veszteségek A (9) képlet a pénz időértéke szempontjából igen lazán kezeli az osztalékfizetés időpontját: nem veszi figyelembe, hogy az éven belül mikor és hány részletben fizetik az osztalékot. 13. példa Határozzuk meg az egyes évek hozamait az árfolyam- és osztalékadatokból: Év Év végi árfolyam 1993 1994 1995 1996 1997 1998 10.0 $ 10.0 $ 8.0 $ 12.0 $ 12.0 $ 15.0 $ Osztalék 1.00 $ 0.00 $ 1.60 $ 1.80 $ 2.40 $ Árfolyam- Osztaléknyereség hozam 0% + –20% + 50% + 0% + 25% + Átlag: 10% 0% 20% 15% 20% Hozam = 10% = –20% = 70% = 15% = 45% = 24% Több év átlagos hozamát az egyes évek hozamának számtani átlagaként szokás számolni. Azonban a számtani átlagolás elvi problémákat is felvet. 14 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 14. példa Az A és B részvények egyike sem fizet osztalékot a vizsgált két évben, mindkettő árfolyama kezdetben 20 $. Az A részvénynek előbb csökken, majd nő 10 $-ral az árfolyama,

a B részvénynél fordítva: előbb nő, majd a következő évben csökken 10 $-ral az árfolyama Mennyi az átlagos hozama a két részvénynek? A részvény B részvény Árfolyam Hozam Árfolyam Hozam 20$ 10$ 20$ Σ 20 $ 30 $ 20 $ Σ –50% 100% 25% 50.0% –33.3% 8.3% A végeredményt tekintve a két részvény egyformán szerepelt: ha 2 éven át megtartjuk a befektetésünket, az időszak végén ugyanúgy 20 $-t ér, mint kezdetben, a hozam mindkét részvénynél zérus. A számtani átlag viszont mindkét esetben pozitív értéket mutat, ráadásul eltérőt A mértani átlagolás használata mindkét esetben a zérus hozamot eredményezi: (0.5*2)0.5–1 = 0 és (1.5*2/3)0.5–1 = 0 2. A RÉSZVÉNYEK KOCKÁZATA (VARIANCIÁJA) Egy részvény éves hozama valószínűségi változó. A részvény kockázatát ennek szórásával mérjük Minél nagyobb a szórás, annál kockázatosabb a részvény A várható hozamot (és az ettől való átlagos négyzetes eltérést):

– idősorból, vagy – a lehetséges kimenetek valószínűségeloszlásából számíthatjuk. 15. példa: A hozam szórásának számítása idősorból A 13. példában az átlagos hozamtól (évi 24%) való eltérés: Év Hozam % Eltérés %pont Négyzetes eltérés 1994 1995 1996 1997 1998 10 –20 70 15 45 –14 –44 46 –9 21 196 1,936 2,116 81 441 24 0 4,770 Szórásnégyzet: Szórás: 4,770/4 = 1,192.5 1,192.505 = 345 százalékpont 15 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Mint a példából is láthattuk, kis elemszám esetén a korrigált szórásnégyzetből (eltérés-négyzetösszeg/(N–1), ahol N az évek száma) számítandó a szórás. A hozamok eloszlása több év megfigyeléseit alapul véve egy papír esetén általában jól közelíthető normális valószínűségeloszlással (3.5 ábra), azaz a várható érték körüli hozam egyben a leggyakoribb is Sr sg Sűrűség 68.3% 95.5% 99.7% −3σ −2σ −σ +σ +2σ +3σ Hozam 3.5 ábra A

normális valószínűségeloszlás A 3.5 ábra segít a szórás gyakorlati értelmezésében: – 68.3% a valószínűsége annak, hogy valamely év hozama nem tér el jobban az átlagos hozamtól, mint a szórás mértéke; – 95.5% valószínűséggel a szórás kétszeresénél kisebb lesz az eltérés az átlagtól; – 99.7%, hogy a szórás háromszorosánál kisebb lesz az eltérés 3. A BEFEKTETŐK HOZAM-KOCKÁZAT PREFERENCIÁI A kockázat tehát (a szórás jellegénél fogva) szimmetrikus fogalom. A nagyobb kockázat nemcsak nagyobb vesztési, de nagyobb nyerési lehetőségeket is jelent Nem azonos tehát valamilyen kárvalószínűség-fogalommal A befektetők mégis többnyire kockázatelutasítók: két azonos várható hozamú lehetőség közül a kisebb szórásút választják 16. példa Választhat az alábbi 3 lehetőség közül: a) kap 1 millió Ft-ot; b) pénzfeldobás alapján vagy 0 vagy 2 millió Ft-ot kap; c) -pénzfeldobás alapján vagy 1 millió Ft-ot

fizet, vagy 3 millió Ft-ot kap. Melyiket választaná? A várható jövedelem mindhárom esetben 1 millió Ft. 16 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Annak oka, hogy a befektetők többsége az a) variációt választja, a vagyon csökkenő mértékben növekvő hasznossági függvényében keresendő. Vagyonunk megduplázásának többlethasznossága kisebb, mint a teljes vagyonunk elvesztése fölött érzett fájdalom Ebben az összefüggésben a nagyobb kockázatú befektetési lehetőség nagyobb lehetséges vagyonnövekményt és nagyobb lehetséges vagyonvesztést jelent, kisebb várható összhasznossággal. Hasznoss g Hasznosság + - + - W-V W W+V vagyon 3.6 ábra A vagyon hasznossági függvénye és a különböző kockázatú befektetések A kockázat elutasító befektetői magatartásból adódik, hogy a befektető csak nagyobb várható hozam, ún. kockázati prémium fejében hajlandó nagyobb kockázatot vállalni 16. példa (folytatás) Az előbbi

példában szereplő 3 választási lehetőség közül Ön milyen kockázati prémium (KP1 és KP2) értékek mellett nem tudna választani a 3 lehetőség közül, milyen kockázati prémiumok mellett tartaná egyformán vonzónak a 3 lehetőséget? a) b) c) 50% 1 millió 0+KP1 millió –1+KP2 millió 50% 1 millió 2+KP1 millió 3+KP2 millió A pótlólagos kockázat vállalásáért elvárt kockázati prémium (KP) általában annál nagyobb, minél nagyobb a kockázat szintje. 17 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 3.7 ábra A befektetők hozam-kockázat közömbösségi görbéi A két tengely, a hozam és a kockázat mutatja azt a két tényezőt, amelynek különböző kombinációiban kell elhelyeznie a pénzügyi befektetőnek a vágyait és lehetőségeit, rangsorolnia az alternatívákat. Egyegy görbe emelkedése mutatja, hogy a befektető a nagyobb kockázatot milyen plusz várható jövedelem, mekkora kockázati prémium fejében hajlandó vállalni Látható,

hogy minél nagyobb a kockázat (minél inkább jobbra vagyunk a vízszintes tengely mentén), annál nagyobb a szükséges hozamnövekmény (annál meredekebb a görbe). Valamely közömbösségi görbétől balra fent elhelyezkedő pontok jelentik a kedvezőbb lehetőségeket, a magasabb hozamot (adott kockázat mellett) vagy alacsonyabb kockázatot (adott hozam mellett). Az ábrán a B, C, D pontok mindegyike nagyobb hozamot és kockázatot képvisel, mint az A pont A döntéshozót – az ábra szerint – a B pont nagyobb hozama még nem kárpótolja eléggé a nagyobb kockázatért, míg a D pontot már kedvezőbbnek tartja A-nál. Az A és a C közül pedig nem tud egyértelműen választani. 18 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 4. A RÉSZVÉNYPORTFÓLIÓ HOZAMA ÉS KOCKÁZATA A portfólió: értékpapír-együttes. Az elnevezés az értékpapírtárca szóból ered A portfólió várható hozama a benne szereplő papírok várható hozamának súlyozott számtani átlaga:

N rp =∑ wi ri (10) i =1 ahol: N = a portfólióban szereplő papírok száma wi = az i. papír részaránya ri = az i. papír várható hozama A portfólió szórása sajnos nem számítható a szórások számtani átlagaként. Igaz az összefüggés azonban a szórásnégyzetre, azaz a varianciára: a portfólió varianciája a benne szereplő papírok kovarianciáinak (sij) súlyozott számtani átlaga: N N s 2p =∑∑ wi w j sij (11) i =1 j =1 ahol: sij = az i. és j papír kovarianciája, sii = si2 = az i. papír varianciája (szórásnégyzete) A kovariancia a két változó (ez esetben a két papír hozamának) együttmozgását méri, a variancia (szórásnégyzet) a változó önmagával vett kovarianciája, ez esetben a hozam változékonyságának a mértéke. A korrelációs együttható3 (-1≤Rij≤1) definíciója alapján két változó kovarianciája a korrelációs együttható és a szórások szorzata: sij = Rij si s j N (12) N N N s 2p =∑∑ wi

w j sij =∑∑ wi w j Rij si s j i =1 j =1 3 (11a) i =1 j =1 A korrelációs együttható szintén a két változó együttmozgását méri, és az alábbi képlettel számítható: R xy = ∑ ( x −x )( y − y ) ∑ (x − x) ∑ ( y − y) i i 2 i 2 i 19 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A (11a)-ból látható, hogy a negatív korrelációk csökkentik a portfólió varianciáját. A (11a) két részvényből álló portfólióra felírva: s 2p =w12 s12 + w22 s22 +2w1 w2 R12 s1 s2 (11b) Ez alapján a két papírból kialakított portfólió hozama és kockázata (szórása) a befektetési arányok (w1 és w2=1–w1) függvényében: Hozam B 0.2A+08B 0.9A+01B A Szórás 3.8 ábra A portfólió hozama és szórása a befektetési arányok függvényében 17. példa Variancia, kovariancia és korreláció számítása az A és B papír éves hozamaiból: rAt rBt (rAt - rA)2 (rBt - rB)2 (rAt -rA)* (rBt -rB) 9.0 14.0 19.0 7.0 5.0 –9.0 –2.0 8.0 17.0 8.0

9.0 5.0 4.0 9.0 3.0 2.0 9.0 7.0 2.1 41.5 131.0 0.3 6.5 274.1 91.3 0.2 89.2 3.2 7.7 1.5 4.9 7.7 10.4 17.8 7.7 0.6 2.6 17.9 –14.0 1.2 –7.1 53.3 40.3 1.2 7.3 Összeg: Átlag: 7.6 Négyzetgyök: 6.2 636.2 79.5 8.9 61.6 7.7 2.8 102.9 12.9 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 20 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Várható hozam: (Ko)variancia: Szórás: Korreláció: A 7.6% 79.5 8.9% B 6.2% 7.7 2.8% A és B 12.9 12.9/(89*2.8) = 052 A 3.9 ábra a korrelációs együttható értékének hatását mutatja egy kételemű portfólióban: minél negatívabb a korreláció, annál jobban csökkenthető a portfólió szórása Ha nem tökéletes a korreláció, akkor még enyhe pozitív korreláció mellett is jó esély van arra, hogy a 38 ábrán a bal alsó (A) pontból kiindulva – ez a kisebb kockázatú és kisebb várható hozamú papír – a kockázatosabb részvényből egyre többet bevonva a portfólióba, az együttes szórás (a portfólió kockázata)

nem nő, hanem csökken! Ez a helyzet a 3.9 ábra minden olyan görbéjén, amely előbb balra kanyarodva halad felfelé Ha R=–1, akkor a két papírba való befektetési arányok megfelelő megválasztásával a kockázat teljesen megszüntethető. Hozam r=-1 r=-1/2 r=0 r=1/2 r =1 Kockázat 3.9 ábra A korrelációs együttható hatása a portfólió hozam-kockázat viszonyára Azt a jelenséget, hogy több kockázatos papír együttes kockázata kisebb, mint az egyedi kockázatok nagysága, diverzifikációnak nevezik. Ha egyidejűleg fektetünk esernyőgyártásba és napelemekből energiát előállító vállalkozásba, akkor várhatóan elkerüljük a nagy nyereségeket és veszteségeket, hiszen mikor az egyiknek jól megy, a másiknak szükségszerűen rosszabbul (negatív korreláció). Ha azonos hozamú részvények közül akarunk egy olyat kiválasztani, amelyet a portfóliónkba bevonva a legjobban csökken (vagy legkevésbé nő) a portfóliónk kockázata, akkor

nem biztos, hogy a legkisebb szórású papírt fogjuk választani, hanem azt, amelyik a már meglevő részvények ingadozását a legjobban ellensúlyozza: lehetőleg kicsi varianciát és ideális esetben negatív kovarianciát ad a portfólióhoz. 21 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ha sok részvényből áll a portfólió, akkor a 3.10 görbét úgy lehet tekinteni, mint egy határoló görbét, ami a leginkább balra fenn elhelyezkedő pontokból áll Ezeket nevezik hatékony portfóliónak: az adott kockázat mellett maximális várható hozamot biztosító kombinációk összessége. Ezekre a pontokra az is igaz, hogy az adott várható hozamot a legkisebb szórás mellett ígérik. A görbe „belsejében” levő pontok nem hatékonyak: adott szórás mellett lehet olyan portfóliót találni, amelyiknek várható hozama nagyobb, vagy amelynek adott hozam mellett kisebb a kockázata. Hozam Kockázat 3.10 ábra A lehetséges és a hatékony portfóliók Ebből

következik, hogy a befektető nem minden esetben kapja meg az általa vállalt (szórással mért) kockázatnak megfelelő kockázati prémiumot: ha a kialakított portfóliója nem hatékony, az a saját hibája. A piac értékítélete a kockázattal kapcsolatban csak a hatékony portfóliókban tükröződik 5. A NEM DIVERZIFIKÁLHATÓ KOCKÁZAT MÉRTÉKE A portfólióba egyre több papírt bevonva egy darabig jelentősen csökken a kockázat, azonban egy ponton túl (általában 15-20 papír után következik ez be) nem csökken a portfólió varianciája. Ennek oka, hogy egy N részvényből álló portfólió varianciája N db varianciából és N(N–1) kovarianciából áll. Ha minden papír azonos 1/N részarányt képvisel a portfólióban, akkor: A portfólió = N * Átlagos + (N2-N) Átlagos varianciája N2 variancia N2 kovariancia 1 Átlagos 1 Átlagos = ⎯ * variancia + (1 - ⎯ ) kovariancia. N N 22 = Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Az N növelésével a

portfólió varianciája az átlagos kovarianciához közelít. Kellően nagy N esetén a varianciákból álló rész (a papírok önmagukkal vett kovarianciája) eltüntethető lenne, azonban a kovariancia miatt mégsem csökkenthető minden határon túl a portfólió szórása. A portfólió kockázatát tehát két részre oszthatjuk: – a kellő diverzifikációval (kockázatmegosztással) megszüntethető ún. specifikus kockázatra és – a diverzifikációval sem kiküszöbölhető ún. szisztematikus (vagy piaci) kockázatra Hozam Diverzifikálható Diverzifik lhatókockázat kockázat Nemdiverzifikálható piaci kockázat Részvények számaa portfólióban 3.11 ábra A piaci és a specifikus kockázat A piac csak a nem specifikus (nem diverzifikálható) kockázatot ismeri el kockázati prémiummal, azaz csak a szisztematikus (piaci) kockázatot díjazza. A specifikus kockázatot a befektető nem köteles vállalni, jutalom sem jár érte Ha valaki minden pénzét

egyetlen részvénybe fekteti, az magánügy, az ebből eredő kockázatot a piac nem honorálja magas hozammal (alacsony árfolyammal) A piaci kockázat a gazdaság egészének működéséből fakad, ettől nem tudunk szabadulni akkor sem, ha többféle vállalkozásban veszünk részt részvénytulajdonosként. A többi kockázat (ágazat vagy vállalat) specifikus kockázat, amelytől jól fejlett részvénypiaccal rendelkező országban diverzifikációval, azaz a befektetés több irányba történő szétosztásával meg lehet szabadulni. Valamely részvény hozamának ingadozásából azt a részt fizeti meg a piac, amely a gazdaság egészének – praktikusan: a részvénypiac egészének – ingadozásából fakad. Azt kell tehát mérni, hogy a piac egészének 1%-os fellendülésekor az adott részvény hozama várhatóan hány százalékot fog változni. Ezt a mutatót nevezik bétának A béta nem más, mint annak az y=a+bx típusú egyváltozós regressziós egyenletnek

a becsült b(éta) együtthatója, amelynek a független változója a piac egészének hozama, a függő változója pedig az adott részvény hozama. 23 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő AArrészvény szv ny hozama hozama B részvény hozama Piaci hozam Piaci hozam a) b) 3.12 ábra Részvények karakterisztikus egyenese A 3.12 a) ábrán látható A részvény hozamának ugyan szemmel láthatóan nagyobb a szóródása, de kevésbé mozog együtt a részvénypiac egészével, mint a 3.12 b) ábrán látható B részvény hozama, ezért kisebb a szisztematikus kockázata. A specifikus kockázat jó portfólióválasztással eltüntethető A hozamokhoz illesztett regressziós egyenes a részvény karakterisztikus egyenese, ennek a meredeksége a béta. Mekkora a béta átlagos értéke? Ez azonos azzal a kérdéssel: hány százalékkal változik átlagban a részvények hozama, ha az átlagos részvényhozam 1%-kal változik? A válasz: 1%-kal, tehát a béta átlagos

értéke 1. A kockázatmentes befektetés bétája zérus Általában a rövid lejáratú állampapírokat (T-bill) tartják ilyennek A negatív béta elvileg azt jelenti, hogy az adott vállalkozás fellendülés idején néz szembe nehézségekkel, recesszió idején kivirágzik. (Pl a felszámoló cégek lehetnének ilyenek, ha kizárólag ezzel foglalkoznának) A portfólió bétája a benne szereplő részvények bétájának súlyozott számtani átlaga: N β p =∑ wi β i (13) i =1 ahol βp = a portfólió bétája wi = az értékpapírok súlya βi = az értékpapírok bétája 6. A RÉSZVÉNYEK ELVÁRT HOZAMA ÉS A CAPM Az egyedi részvényekre vonatkozóan a részvénytől elvárt hozamot a béta (a releváns kockázat) függvényében felrajzolva az értékpapír-piaci egyenest (SML – Security Market Line) kapjuk, aminek egyenlete: 24 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő r =r f + β (rm − r f ) (14) ahol: rf = a kockázatmentes kamatláb rm = a részvénypiac

átlagos hozama rm–rf = piaci kockázati prémium r = az adott részvény elvárt hozama β = az adott részvény kockázata Hozam rm rf Béta (kockázat) 1 3.13 ábra Az értékpapír-piaci egyenes A (14) képlet egy adott részvény elvárt hozamát, a (9) képlet ugyanazon részvény tényleges hozamát adja meg. A kettő között az árfolyam változása teremti meg az összhangot: ha megnő az elvárt hozam, és nem változik az osztalék, akkor az árfolyam csökkenése révén teljesül a befektetők elvárása. Például ha megnő a részvény kockázata (bétája), akkor csökken a részvény kereslete, egészen addig a pontig, amíg a kereslet csökkenéséből eredő árfolyamcsökkenés nem növeli a hozamot a nagyobb kockázattal összhangban levő szintre. Az elvárt hozam (14) két részből tevődik össze: – az időnek betudható rész (a jelenbeni fogyasztástól való tartózkodás jutalma a kamat), – a kockázatnak betudható rész: ez arányos az

átlagos kockázati prémiummal, illetve az adott részvény kockázatosságával (bétájával). A (14) képlet szerint az átlagosnál kevésbé kockázatos részvények (béta<1) hozama az átlagos részvényhozam (ún. piaci hozam: rm) alatt van, az egynél nagyobb bétájú részvények hozama pedig átlag feletti. A negatív bétájú részvények hozama kisebb, mint a kockázatmentes kamatláb – bár ezek is kockázatos befektetések. Azonban jó adalékok a portfólióhoz, így az emiatt megnövekedett kereslet következtében olyan magas az árfolyamuk, hogy hozamuk még a kockázatmentes kamatlábnál is kisebb. 25 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A CAPM (Capital Asset Pricing Model), azaz a részvényárfolyamok tőkepiaci elmélete szerint az egyes befektetések hozama az értékpapír-piaci egyenesen kell hogy feküdjék. Ha egy befektetés hozama az egyenes fölött található, akkor az adott papír alulárazott (és megfordítva), és szükségszerű, hogy

megnövekedjék a papír iránti kereslet, aminek folytán felmegy az árfolyama, tehát leesik a hozama arra a szintre, ami a papír kockázatából (bétájából) adódik. A CAPM szerint csak egy oka lehet a különböző befektetések eltérő várható hozamának: a kockázat eltérő mértéke. Egy részvény elvárt hozama annál nagyobb: – minél nagyobb a kockázatmentes kamatláb, – minél nagyobb az átlagos részvénypiaci hozam, – minél nagyobb a részvény kockázata. A 3.13 ábrán az értékpapír-piaci egyenes: – felfelé tolódik el, ha nő a kockázatmentes kamatláb; – a függőleges tengellyel való metszéspontját változatlanul hagyva az egyenes meredekebbé válik, ha nő az átlagos részvénypiaci hozam, miközben nem változik a kockázatmentes kamatláb; – nem változik, ha megváltozik valamely részvény bétája (ekkor a görbe mentén történik elmozdulás). 7. AZ IDŐBENI DIVERZIFIKÁCIÓ A részvény hozama valószínűségi változó. A

diverzifikációval kialakított portfólió hozama tehát valószínűségi változók összege Ugyanígy valószínűségi változók összege azonban több év együttes hozama is A CAPM-elemzés csak egy periódusra koncentrál, egyetlen periódus (év) hozamingadozásait vizsgálva keresi a kockázat mérésének adekvát módját. Ha rit az i. részvény hozama a t évben, akkor az egyik esetben i, a másik esetben t szerint összegezünk A praktikus végkövetkeztetés a részvénybefektetőknek kettős: a kockázat csökkentése érdekében – többféle részvénybe kell fektetni, – több éven keresztül érdemes tartani a portfóliót. Az alábbi táblázatot egy diverzifikált portfólió (az S&P 500 index) 1950–1980 közötti éves hozamai alapján számították. Az átlagos hozam 10% körüli, az ingadozás tartománya aszerint, hogy hány éven keresztül tartottuk a portfóliót: 1 év max.: 526% min.: –265% 5 év 23.9% –2.4% 10 év 19.6% 1.2% 15 év

16.9% 4.3% 20 év 12.1% 6.5% 25 év 10.3% 7.9% Sok befektetési tanácsadó könyv idézi az angol közmondást: „ne tedd az öszszes tojást egy kosárba!” Ezt többnyire úgy értelmezik, hogy ne egyetlen részvényben tartsuk a pénzünket. Ugyanakkor már az is több „kosárnak” számít, ha az egyetlen részvényt nem egyetlen évig tartjuk meg. A diverzifikációból adódó befektetési alapelv kettős: nem a „legjobb” részvényt kell megkeresni, hanem egy részvényegyüttest kell kialakítani, és nem kell állandóan váltogatni a benne szereplő részvényeket, hanem célszerű hoszszabb idő átlagában tartani azokat. 26 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ez természetesen az átlagos befektetőre vonatkozó okos tanács. Rövid távon könnyen lehetnek az átlagosnál szerencsésebb befektetők, hosszú távon azonban ritka az átlagosnál okosabb befektető a részvénypiacon4. Mindez persze a hatékony piacokra vonatkoztatva igaz Hatékonynak (némi

egyszerűsítéssel) akkor tekinthetünk egy piacot, ha a háromszor olyan jó termék háromszor annyiba kerül A pénzügyi befektetéseknél a „háromszor olyan jó” egzaktabbul értelmezhető, mint a tejföl a piacon, és részben ebből, részben a befektetők nagy számából következik, hogy a nagy pénzügyi piacok általában közel vannak a piaci hatékonyság kritériumaihoz. Nem mindig a legjobb vállalat részvényeinek (blue chip részvények) megvásárlása a legjobb befektetés, hiszen ha a háromszor olyan jó vállalat részvénye négyszer annyiba kerül, akkor ez a rosszabb befektetés. A jó vállalatok megtalálásában rejlő esetleges extraokosságunkat a piaci hatékonyság formájában megjelenő, a publikum okosságát kifejező tényező semlegesíti A hatékony piaci árazás miatt lehetséges, hogy jó teljesítményt mutassanak a véletlenszerűen összeállított portfóliók. Alig hatékony piacokon azonban nem szabad bízni az árakban, nem

célszerű találomra összeválogatni a portfóliót. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Az ABC társaság részvényeinek árfolyama január 1-jén 2,000 Ft, év végén 1,600 Ft, és májusban 100 Ft osztalékot fizetett. Mekkora a társaság részvényeinek hozama? a) –15.00% b) 31.25% c) 5.00% d) –8.00% 2. Mi a szelvényhozama annak az 500 Ft névértékű 8%-os fix osztalékot biztosító elsőbbségi részvénynek jelenleg, amelynek az árfolyama 380 Ft? a) 10.5% b) 8.0% c) 7.6% d) nem meghatározható 3. Van három részvény A korrelációs együtthatók értéke: A és B részvény között: – 0.6 A és C részvény között: + 0.5 B és C részvény között: – 0.1 4 A bennfentes információt itt nem tekintjük az okosság részének. A kérdéssel kapcsolatban bovebben lásd Malkiel: Bolyongás a Wall Streeten (Bankárképzo, 1992) címu könyvét. 27 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Melyik két részvény között lehet legjobban megosztani a kockázatot, ha egy

kétrészvényes portfóliót állítunk össze? a) A és B között b) A és C között c) B és C között d) A és A között 4. Az alábbi, a hatékony portfóliókkal kapcsolatos állítások közül melyik igaz? a) Egy olyan portfóliót, amelyik csak szisztematikus kockázatot tartalmaz, hatékony portfóliónak nevezhetünk. b) Minden portfólió hatékony, ha egymással negatív korrelációban lévő befektetésekből állítjuk össze. c) Egy portfólió akkor hatékony, ha adott kockázat mellett maximális hozamot ad, de adott hozamot nem feltétlenül a legkisebb kockázattal biztosítja. d) Egy portfólió akkor hatékony, ha varianciája (és ezzel szórása) minimális. 5. A CAPM-egyenlet segítségével adjon becslést egy részvény elvárható hozamára nézve, ha a kockázatmentes kamatláb 10%, a béta együttható 16, és az átlagos piaci kockázati prémium 5% a) 10% b) 15% c) 18% d) 21% HELYES VÁLASZOK: 1 – a, 2 – a, 3 – a, 4 – a, 5 – c 28

Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő III. PÉNZÁRAMLÁSOK Mielőtt rátérnénk az árazási kérdésekre, áttekintjük, mit is árazunk be: a jövőbeni pénzáramlások alapeseteit, így: – a szabályos, – az értékpapírokból adódó, illetve – a beruházási projektekből eredő pénzáramlások jellegzetességeit, meghatározásuk módját és kapcsolódásaikat tárgyaljuk, mielőtt kiszámítanánk jelenbeni pénzben kifejezett értéküket. 1. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK A cash flow (CF) vagy pénzáramlás jelentése: jövőbeni kifizetéssorozat. Tetszőleges számú kifizetést megtestesíthet, és a kifizetések is tetszőleges nagyságúak lehetnek. Általában a pozitív számok pénzbeáramlást (cash inflow), a negatív számok pénzkiáramlást (cash outflow) jelölnek A pénzáramlást két vektorral adhatjuk meg: az egyik vektor a kifizetési időpontokat, a másik a pénzmozgások nagyságát adja meg. Szokás még indexelt változók sorozatával is

megadni, ahol az indexben az időpont szerepel A CF elemeit a továbbiakban Ct módon adjuk meg, ez a t időpontban esedékes összeg nagyságát jelöli. 1) A legegyszerűbb pénzáramlás az egyetlen elemből álló cash flow. Ennek klasszikus példái a váltó, a kamatos kamatozású kötvény és a zérókupon-kötvény. A zérókupon-kötvény olyan kötvény, amelynek nincs kamatszelvénye, és csak egyetlen jövőbeni időpontban teljesít kifizetést Kibocsátása diszkont árfolyamon történik Klasszikus példája a diszkont kincstárjegy 18. példa Egy 5 éves kamatos kamatozású kötvényt 12% névleges kamatlábbal a névértékén lehet kibocsátani, ha 12% a piaci kamatláb. Ha a névérték 10,000 Ft, akkor a kötvény 10,000*1.125 = 17,623 Ft kifizetését ígéri 5 év múlva. A kamatos kamatozású és egy, egyéb paramétereiben azonos zérókupon-kötvény cash flowja: Év kamatos kamatozású kötvény 1. 2. 3. 4. 5. 0 0 0 0 17,623 zérókuponkötvény 0 0 0

0 10,000 29 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A két kötvény között csak annyi a különbség, hogy az első 1.7623-szor akkora kifizetést ígér, így az ára is ennyiszerese kell hogy legyen a kamatszelvény nélküli kötvényének. Mivel a kamatos kamatozású kötvényt 10,000 forintért lehet kibocsátani, a zérókupon-kötvény kibocsátási árfolyama: 10,000/17623 = 5,674 Ft Minden cash flow-t el lehet úgy képzelni, mint megfelelően kiválasztott számú és lejáratú zérókuponkötvények összessége. 2) Az annuitás a legszabályosabb pénzáramlás: minden eleme azonos nagyságú, és a kifizetések azonos időtávonként esedékesek. Az annuitás évjáradékot jelent, de az egyenletes nagyságú havi (negyedévenkénti stb.) kifizetéseket is annuitásnak nevezik Az annuitáson belül a törlesztés és a kamatfizetés összege állandó, ezen belül egyre csökken a kamat aránya, és kifizetésről kifizetésre nő a törlesztésnek nevezhető rész.

(A hazai gyakorlatban, pl az OTP Bank Rt ilyen konstrukciójú hiteleinél az egész pénzáramlást törlesztésnek nevezik – teljesen megalapozatlanul egy torz megszokás alapján) Az annuitásnál Ct=C minden t értékre. Az annuitás szabályos a kifizetések nagyságát és időközét tekintve, de esetleges, hogy hány darab kifizetés van hátra. A standard hosszúságú annuitás az örökjáradék 3) Az örökjáradék olyan speciális annuitás, amely végtelen elemszámú. Mivel az örökjáradék lejárat nélküli pénzáramlás, ezért értéke független attól, hogy hány kifizetés történt már a múltban (= nem fogy el). Az örökjáradék létezhet értékpapír formájában, de bankbetétből is származtatható. 19. példa Betétben elhelyezünk 100,000 forintot. A kamatláb évi 12%, évi egyszeri kamatfizetéssel A kamatot minden év végén kivesszük. Milyen kifizetéssorozatra számíthatunk? Az első év végén 12,000 forintot veszünk kézhez. A

következő év elején ismét 100,000 Ft lesz a kezdő betét, így a jövő évi kamat is 12,000 Ft lesz, és így tovább. Évi 12,000 Ft örökjáradékra tehetünk szert, ha a kamatláb állandó marad. Egy n éves annuitás előállítható egy jelenben és egy n év múlva kezdődő örökjáradék különbségeként. Évi 8 Ft és n=5 év példáján: +8 + +8 + +8 + +8 + +8 + +8 + –8 +8 + –8 +8 + –8 +8 + –8 +8 + –8 +8 + –8 4) Növekvő tagú örökjáradék: olyan örökjáradék, amely kifizetésről kifizetésre állandó (g) százalékkal nő (g: growth). 30 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 20. példa Betétben elhelyezünk 100,000 forintot. A kamatláb évi 12%, évi egyszeri kamatfizetéssel A kamat 1/3-át minden év végén kivesszük. Milyen kifizetéssorozatra számíthatunk? Az első év végén 12,000 forint a kamat. Ebből 4,000 forintot veszünk kézhez, 8,000 forintot tőkésítünk. A következő év elején 8%-kal nagyobb lesz a

kezdő betét, így a jövő évi kamat is 8%-kal több (12,960 Ft) lesz, és így tovább. Évi 8%-kal növekvő, az első évben 4,000 Ft-ot fizető örökjáradékra tehetünk szert, ha a kamatláb állandó marad. A növekedési ütem = kamatláb * újrabefektetési ráta. Esetünkben: 12%*(1–1/3) = 8%. 2. KÖTVÉNYEK PÉNZÁRAMLÁSA, SZINTETIKUS KÖTVÉNYEK Amerikában és Nyugat-Európában az a jellemző, hogy a kötvényeket egy öszszegben törlesztik a lejáratkor, és évente kétszer fizetnek kamatot. Az amerikai államkötvényeknél és vállalati kötvényeknél a jellemző névérték 1,000 dollár. Magyarországon félévenkénti kamatfizetés és 10,000 Ft névérték jellemző. 21. példa Írjuk fel annak az 50,000 font névértékű, 12% kamatozású, 20 év futamidejű angol kormányzati (GILT-) kötvény pénzáramlását, amelyet 17 évvel ezelőtt bocsátottak ki. (Tehát 1999ben fizetik vissza) A kötvény évente kétszer (a III és IX hónapban) fizet

kamatot márc. szept 1997. 3,000 3,000 1998. 3,000 3,000 1999. 3,000 53,000 Az amerikai és európai gyakorlatban is előfordul a résztörlesztéses kötvény. Szemben a hazai gyakorlattal, ahol minden kötvényesnek kifizetik a résztörlesztést, a nemzetközi gyakorlatban az a bevett szokás, hogy bizonyos kötvényosztályokat (bizonyos sorszámokat) kisorsolva, azokat teljes egészében visszafizetik, a többi kötvényes viszont nem kap törlesztést. (A résztörlesztés tehát nem az egyes kötvényekre, hanem a kötvényesek összességére vonatkozik) A másik hazai sajátosság a kamatprémium. Ezt a kibocsátók némelyike önként ajánlotta fel utólag a kötvényeseknek bizonyos évekre, amikor a kibocsátást követően felment a piaci kamatláb. (Megjegyzendő, hogy ez a fajta jótékonykodás meglehetősen idegen a fix kamatozású instrumentumok szellemétől) Nézzük meg egy konkrét hazai kötvény pénzáramlási vektorát: 31 Tőzsdei Szakvizsga

Felkészítő 22. példa Legyen ez a kötvény a BUBIV 1988 májusában. A kötvény névleges kamatlába 11%, kiegészítve 3% kamatprémiummal 1988-ra A kifizetési időpont minden évben december 9, a törlesztés 1988 és 1991 között 4 egyenlő részletben történik A kamatokat mindig a fennálló névérték után számolják. Dátum 88. 12 09 89. 12 09 90. 12 09 91. 12 09 Fennálló névérték 100.0 75.0 50.0 25.0 Törlesztés Kamat 25.0 25.0 25.0 25.0 + 11.00 + 8.25 + 5.50 + 2.75 Kamatprémium + 3.0 = + 3.0 = + 3.0 = + 3.0 = Pénzmozgás 39.00 33.25 30.50 27.75 Az egy összegben törlesztő, rendszeresen kamatot fizető kötvények pénzáramlását úgy is tekinthetjük, mint egy annuitás és egy zérókupon-kötvény együttesét: 23. példa Futamidő: 5 év névleges kamatláb: 12%, piaci kamatláb: 15% pénzáramlás: 1. 12 12 – 2. 12 12 – 3. 12 = 12 + – 4. 12 12 – 5. 112 – 112 Árf.: 8994 = = = 12 12 12 + 12 12 40.22 + – – – – 100 49.72

Ebből következik, hogy ha az 5 éves, 100 Ft névértékű zérókupon-kötvény árfolyama 49.72, és az 5 éves (évi 1 Ft-ot fizető) annuitás árfolyama 3.352, akkor a 12% névleges kamatlábú 5 éves kötvény árfolyama nem térhet el a P = 12*3.352 + 4972 = 4022 + 4972 = 8994 értéktől Egy kötvényportfólió pénzáramlását többféle kötvényből is összeállíthatjuk. Ha kétféle összeállítás árösszege nem egyezik meg, akkor arbitrázslehetőség áll fenn. 24. példa Van 10-10 db kötvényünk az A, B, C kötvényekből. Mindhárom névértéke 100 Ft, futamideje 5 év, névleges kamatlábuk: 0%, 10%, illetve 20% Árfolyamaik: 80, 82, 90 Van-e arbitrázslehetőség? A portfólióban szereplő kötvények pénzáramlása: 32 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Év 1. 2. 3. 4. 5. A – – – – 100 B 10 10 10 10 110 C 20 20 20 20 120 A+B+C 30 30 30 30 330 Észrevehetjük, hogy a pénzáramlásokra fennáll az A+C=2B összefüggés: 1. 2. 3. 4. 5.

A 0 0 0 0 100 + + + + + + C 20 20 20 20 120 = = = = = = 2*B 2* 10 2* 10 2* 10 2* 10 2*110 = = = = = 20 20 20 20 220 Az A+C=2B összefüggésnek kellene fennállnia az árfolyamokra is, azonban 80+90 > 2*82, így 170–164=6 nyereségre tehetünk szert, ha eladunk 1-1 db A, illetve C, és veszünk 2 db B kötvényt. Összesen 60 nyereségre tehetünk szert, ha a portfóliót az alábbiak szerint módosítjuk: A: 10 0 B: 10 30 C: 10 0 24. példa (folytatás) Az A, B, C kötvények futamideje azonos, névleges kamatlábuk: 0%, 5%, és 8%. Milyen összefüggésnek kell fennállnia az árfolyamuk között? 8*PB = 5PC + 3PA, azaz mindkét oldal évi 40 kamatot és lejáratkor 800 törlesztést biztosít. 3. EGYÉB PAPÍROK PÉNZÁRAMLÁSA A részvények pénzáramlására – amely az osztalékkifizetések sorozatából áll – jellemző, hogy: – elvileg lejárat nélküli, – valamely ütemben növekvő, – bizonytalan nagyságú. Az első két tulajdonságból adódóan

az osztaléksorozatot mint növekvő tagú örökjáradékot szokták kezelni, a harmadik tulajdonság pedig a nagyobb elvárt hozam formájában jelentkezik. A biztosítást is lehet úgy tekinteni, mint kárkifizetés-sorozat vásárlását. Ennek sajátossága az előzőekhez képest, hogy nemcsak a kifizetés nagysága függ a véletlentől, hanem a kifizetések időpontjai, illetve a kifizetések száma is (pl casco esetén: hányszor törjük össze az autónkat) A kifizetések időpontjai alapján a következő pénzáramlástípusokba sorolhatjuk az egyes cash flowkat: 33 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő – előre ismert nagyságú kifizetés egyetlen jövőbeni időpontban, – előre ismert nagyságú kifizetéssorozat egymást szabályos időközönként követő véges számú időpontban, – előre ismert nagyságú kifizetéssorozat egymást szabályos időközönként követő végtelen számú időpontban, – bizonytalan számú kifizetés. A kifizetések

nagysága lehet: – előre ismert szabályos sorozat, – előre ismert tetszőleges sorozat, – előre nem ismert véletlen jellegű sorozat. 4. PROJEKTEK PÉNZÁRAMLÁSA 25. példa Írjuk fel annak a projektnek a működési és nettó CF-ját, amely az első évben 1,000 árbevételt eredményez, amely aztán a 2-5. évben évi 6%-kal nő Az első év folyó költségeinek nagysága 600, és ez is 6%-os ütemben nő Az első évi forgótőke-szükséglet 450 (a készleteket a 0 év végén kell feltölteni), ez évi 50 egységgel növekszik. A nyereségadó kulcsa 30% A beruházási költség a 0. évben 1,600 Az amortizációs kulcs évi 125% Az 5 év végén felszabadul az addig lekötött forgótőke, és a befektetett tárgyi eszközöket 900-as maradványértéken lehet majd várhatóan eladni 0. 1. árbevétel 2. költség* 3. nyer adó 4. műk CF 0.0 5. beruházás –16000 6. forgótőke –4500 7. nettó CF –20500 8. amortizáció 1. 1000.0 –600.0 –60.0 340.0

2. 1060.0 –636.0 –67.2 356.8 3. 1123.6 –674.2 –74.8 374.6 –50.0 –50.0 290.0 306.8 –200.0 –2000 * amortizáció nélkül 34 4. 1191.0 –714.6 –82.9 393.5 5. 1262.5 –757.5 –181.5 323.5 –50.0 –50.0 324.6 343.5 –200.0 –2000 900.0 650.0 1873.5 –200.0 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A nyereségadót a nyereségből (1+2+8 sor) lehet kiszámítani, aminek a meghatározásához szükséges az amortizáció (8). Az amortizáció olyan költség, amely nem jár pénzkiadással, így a működési cash flow az 1+2+3. Az 5 év végén felszabadul az addig lekötött forgótőke (650). A tárgyi eszközök könyv szerinti értéke 1,600–5*200=600, az eladási ár a feltételezés szerint 900, a különbözet után adót kell fizetni (0.3*300=90) az értékesítés évében (5. év végén) A tőkében lekötött, illetve felszabaduló eszközök nagyságával módosítva kapjuk a nettó pénzáramlást (7=4+5+6), ami pénzforgalmi szempontból a

beruházási projekt lényege: a beruházásba fektetett 0. évi 2,0500 forintot az 1-5 évi cash flow-elemek sorozatára váltottuk át: 2,0500 +290.01, +30682, +32463, +34354, +1,87355 5. FOLYTONOS PÉNZÁRAMLÁS Az előző példában jogos feltételezni, hogy a gépek eladásából származó bevétel az 5. év végén egy összegben folyik be, míg az 5. évi 1,2625 Ft árbevétel az év folyamán egyenletesen áramlik be, a 757.5 Ft folyó költség is folytonosan elosztva jelentkezik az év folyamán Ez utóbbiakat folytonos pénzáramlásnak nevezzük. Különbség van aközött, hogy évente egyszer akarunk felvenni 365,000 forintot a bankból, vagy naponta 1,000 forintot. A továbbiakban Ct módon jelöljük a diszkrét pénzáramlásokat, és C(t) módon a folytonosakat. Az előbbi egy vektor (számsorozat), utóbbi egy folytonos függvény Az előbbinél úgy állapíthatjuk meg, hogy egy adott időintervallumban mennyi kifizetést történt, hogy összeadjuk az erre az

időszakra eső CF elemeket területet [ ∫ C( t) dt] . [∑ C ] , utóbbinál pedig kiszámítjuk a C(t) függvény alatti t ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Egy kötvény hátralévő futamideje két év, most még az idei kamatfizetés előtt vagyunk Névleges kamatlába 20%, és két egyenlő részletben, a két utolsó évben törleszt. Írja fel a kötvény hátralévő cash flow-ját, ha az elvárt hozam 20%! a) PV = 100 +20 = 120% b) 20, 70, 60 c) 70, 60 d) (50 +20 +20) = 90, 60 35 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 2. Mi jellemzi az alábbi állítások közül egy annuitással törlesztő kötvény cash flow-ját? a) A pénzáramlás nagysága az esedékes törlesztések miatt évről évre csökken. b) A rögzített nagyságú törlesztés miatt évről évre több kamat kifizetésére jut lehetőség. c) A kamatfizetés végig állandó, ha a kamatláb a futamidő alatt változatlan. d) Évről évre nő a tőketörlesztés nagysága. 3. Mi a konstrukciója annak a

kötvénynek, amelynek cash flow-ja a következő? 1,500 Ft 1,500 Ft 1,500 Ft 6,500 Ft 5,750 Ft a) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés, 30% névleges kamatláb, 10,000 Ft névérték b) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés, 15% névleges kamatláb, 10,000 Ft névérték c) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés az utolsó három évben, 15% névleges kamatláb, 10,000 Ft névérték d) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés az utolsó két évben, 15% névleges kamatláb, 10,000 Ft névérték 4. Melyik cash flow jellemzi: – egy névértéken kapható, – 5 éves futamidejű, – évente egyenletesen törlesztő, – 10%-os névleges kamatozású, kamatszelvényes kötvény kibocsátáskori vásárlását mint befektetést? év a) b) c) d) 0. –100 –100 –100 –100 1. 30 10 30 28 2. 30 10 28 26 3. 30 10 26 24 4. 30 10 24 22 5. 30 110 22 20 5. Egy 100 Ft névértékű kötvény szelvényíve (összevonva a kamat és a törlesztő szelvények értékét) a

következő: 1. év 30 Ft 2. év 28 Ft 3. év 26 Ft 4. év 24 Ft 5. év 22 Ft 36 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Melyik állítás helyes az alábbiak közül? a) A pillanatnyi piaci kamatláb a névleges kamatlábbal egyezően 10%. b) Az egyenletes törlesztésű kötvény futamideje 5 év. c) Hiányzik a 6. év 20 Ft értékű szelvénye d) -Az annuitás konstrukciójú kötvényre egyenletesen csökkenő kamatprémiumot biztosítottak minden évre. HELYES VÁLASZOK: 1 – b, 2 – d, 3 – d, 4 – c, 5 – b 37 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő I V. Á R F O LYA M É S H O Z A M Az előző pontban áttekintettük, hogy: – miként határozható meg az egyes értékpapírok, illetve beruházások cash flow-ja, azt megelőzően pedig, hogy – milyen hozamot várnak el a befektetők a különböző futamidejű befektetéseiktől (hozamgörbe), illetve a kockázatos befektetéseiknél mekkora az elvárt hozam nagysága (CAPM). Ezek összekapcsolásával fejezhetjük ki a

pénzáramlások jelenlegi értékét, azaz hogy a (2) diszkontképletben mit kell diszkontálni (Ct), és mivel (r). Az egyes speciális pénzáramlások jelenérték-formuláinak bemutatása előtt tisztázzuk az árfolyam és hozamszámítás kapcsolatát 1. ALTERNATÍVA KÖLTSÉG, ARBITRÁZS Egy 5 éves futamidejű zérókupon-kötvény vásárlása egyben lemondás egy 5 éves bankbetétről. Valamely befektetési forma választása a többi elvetését jelenti, ezek hozamáról lemondunk, ez a választott befektetés opportunity cost-ja, vagy más néven alternatívaköltsége. A kötvényvásárlás alternatívaköltsége a banki betéti kamatláb, legalább ekkora hozamot várunk el a kötvénytől is, ellenkező esetben ugyanis nem lenne értelme ezt választani. Ha az 5 éves betéti kamatláb 10%, akkor a zérókupon-kötvény árfolyama nem lehet más, mint 100/1.105 = 621 A bankbetét értéke ugyanis ennyi idő alatt 1105-szeresére nő, és 621 Ft elhelyezése esetén

lesz 5 év múlva 100 Ft 62.10 Ft0 kötvény vásárlás (10%) ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ bankbetét (10%) 100.00 Ft5 Ha a kötvény árfolyama valamely irányban észrevehetően eltérne a 62.1-es árfolyamtól, arbitrázslehetőség keletkezne Másként fogalmazva: e fölött az árfolyam fölött mi nem akarjuk megvenni a papírt, ez alatt az árfolyam alatt pedig mások nem hajlandók eladni nekünk. Amennyiben egy piac hatékonyan működik, feltételezhetjük, hogy a választandó befektetési formánkkal egyező kockázatú és futamidejű befektetési formák hozama ismert és egymással egyező (az arbitrazsőrök tevékenységének eredményeként). A mi befektetésünknek is ezt a hozamot kell adnia, ez alapján tudjuk meghatározni az egyes értékpapírok árfolyamát. Ezt az irányadó hozamot (az alternatívaköltséget) a kötvények esetén piaci kamatlábnak nevezzük 38 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 2. JELENÉRTÉK- (PV) ÉS BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA

(IRR-) SZÁMÍTÁS A cash flow jelenlegi értékét a cash flow-elemek jelenértékeinek összegeként számítjuk. Amennyiben a hozamgörbe nem vízszintes, akkor a különböző kifizetéseket különböző kamatlábakkal kell diszkontálni: n PV = ∑ t =1 Ct (15) (1 + rt ) t 26. példa Mennyi a jelenértéke az alábbi 5 éves pénzáramlásnak, ha a hozamgörbe évi 1 százalékponttal emelkedik, és az 1 éves kamatláb szintje 11%? Év 1 2 3 4 5 rt 11.0% 12.0% 13.0% 14.0% 15.0% Ct 15.00 15.00 15.00 15.00 115.00 A (15) képlet alapján a CF elemek jelenértéke és ezek összege: Év 1 2 3 4 5 rt 11.0% 12.0% 13.0% 14.0% 15.0% Ct 15.00 15.00 15.00 15.00 115.00 PV 13.51 11.96 10.40 8.88 57.18 101.92 A nettó jelenértéket úgy kapjuk meg, hogy a jelenértékből levonjuk a CF piaci vételárát (P): NPV = PV − P (16) A gyakorlatban a (15)-ös jelenértékképletnek az alábbi formáját használják: n PV = ∑ t =1 Ct (15a) (1 + r ) t azaz az egyszerűség

kedvéért a futamidőtől függetlenül egyetlen kamatlábbal dolgoznak (vízszintes hozamgörbe feltételezése). 39 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A képletből látható, hogy az árfolyam és a hozam mindig ellentétesen változnak: ha nő a piacon a kamatláb, akkor csökken az árfolyam, illetve ha csökken valamely papír árfolyama, akkor – rögzített jövőbeni kifizetések mellett – növekszik a hozama. A magasabb kamatláb azt jelenti, hogy ugyanazt a jövőbeni jövedelmet kevesebb jelenbeni pénzbefektetéssel (alacsonyabb árfolyamon) tudjuk megszerezni A (15a) képletben az n és a Ct-k sorozata adott, és az r-hez keressük a PV értékét. A fordított irányú számítás, vagyis amikor adott PV-hez keressük az r-et, a hozamszámítás vagy belső megtérülési ráta (IRR – Internal Rate of Return) számítás, azaz: – jelenérték-számítás (PV-): r PV – belső megtérülési ráta számítás (IRR-): PV r adott n és Ct mellett.5 27. példa

Mennyi a hozama (belső megtérülési rátája) annak a befektetésnek, amelynél az előző példában szereplő pénzáramlás megszerzése 101.93 millió Ft-ba kerül? Mennyi a befektetés nettó – azaz költséggel csökkentett – jelenértéke (NPV)? Kiszámítva a 101.93-as befektetett összeghez tartozó hozamot (IRR-t), és minden kifizetést azzal diszkontálva, a jelenérték természetesen ugyanaz, csak az egyes jelenérték-összetevők térnek el. A 14.4% hozam a 11%-15% kamatlábak egyfajta súlyozott átlagaként értelmezhető: Év 0 1 2 3 4 5 rt 14.4% 14.4% 14.4% 14.4% 14.4% IRR = Ct –101.92 15.00 15.00 15.00 15.00 115.00 14.4% PV 13.11 11.45 10.01 8.75 58.60 101.92 = PV NPV = 101.92–10192 = 0 Látható, ha a CF megszerzésének költsége nagyobb, mint 101.92, akkor az NPV negatív, ellenkező esetben pozitív Az IRR az a minden futamidőre azonos nagyságú kamatláb, amelynek segítségével számolva a jelenértéket az NPV zérus. 5 Amíg a

jelenérték-számítás egy képletbe történő közvetlen behelyettesítéssel megoldható, addig az IRR számításánál a megfelelő r megtalálása – amellyel diszkontálva éppen az adott árfolyamot kapjuk – elég kényelmetlen iterációsorozatot jelent. Szerencsére a táblázatkezelő programok mind rendelkeznek olyan beépített pénzügyi függvénnyel [IRR(CF)], amely a megadott CF-hoz azonnal kiszámolja a megfelelő diszkonttényezőt. Ekkor a CF vételárát negatív számként, a CF nulladik elemeként bele kell foglalni a pénzáramlást tartalmazó tartományba. 40 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő PV, NPV PV NPV r 3.14 ábra A CF jelenértéke és nettó jelenértéke a diszkontláb függvényében Az ábrán a PV-függvényt P (= –C0) nagysággal lefelé eltolva kapjuk meg az NPV-függvényt. Ezt a jobbra lejtő görbét kapjuk, ha a CF elemei pozitívak és a C0 negatív. Ez a helyzet az értékpapír-vásárlásnál: a kezdeti pénzkiadást

folyamatos pénzbeáramlás követi Az ilyen esetekben a nagyobb vételár nemcsak kisebb NPV-t jelent, hanem kisebb hozamot (IRR-t) is: ha jobban lefelé toljuk a felső görbét, akkor a vízszintes tengellyel való metszéspont is balrább kerül. 3. BEFEKTETÉSI DÖNTÉSEK AZ NPV ÉS A HOZAM (IRR) ALAPJÁN Egy beruházási vagy befektetési javaslatot akkor racionális elfogadni, ha a nettó jelenértéke pozitív (azaz amit vásárolunk, az többet ér jelenbeni pénzben kifejezve, mint amennyibe kerül). A belső megtérülési ráta szabálya szerint akkor kell megvalósítani egy befektetési lehetőséget, ha annak belső megtérülési rátája magasabb, mint az alternatívaköltség (piaci kamatláb). Ha az NPV(r) a jelenérték-számításhoz használt kamatláb monoton csökkenő függvénye, akkor a két mutató ugyanazokat a befektetési lehetőségeket javasolja megvalósítani: ha a piaci kamatláb kisebb, mint az IRR, akkor az NPV is szükségszerűen pozitív – a

metszésponttól balra a függvény a vízszintes tengely fölött van. Nem ilyen egybehangzó eredményt ad a két mutató, ha az eldöntendő kérdés nem a befektetés elfogadása vagy elvetése, hanem két egymást kizáró projekt közötti választás. 28. példa Melyik jobb befektetés, ha: – az A befektetés 10 Ft-ból 22 Ft-ot, – a B befektetés 100,000 Ft-ból 132,000 Ft-ot eredményez 1 év alatt. NPVB = 20,000 Ft ha r =10% NPVA = 10 Ft IRRA = 120% IRRB = 32% Fontos! Példánkban az A alternatíva csak ebben a nagyságrendben valósítható meg, kizárt, hogy 1,000-szeres volumenben ugyanilyen jövedelmezőséget produkáljon. 41 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Az NPV a nagyobb tömegű, az IRR (mint fajlagos mutató) a nagyobb arányú nyereséget preferálja. A 3.15 ábrán a C befektetési lehetőség görbéje meredekebben csökken, ha nő az alternatívaköltség: több éven át biztosít jövedelmet, mint a D befektetés, igaz, az egyes években kisebb

összegben A hosszabb futamidő miatt ha nő az alternatívaköltség, akkor a távolabbi jövedelmek jobban leértékelődnek, gyorsabban csökken az NPV. NPV r1 r2 IRR r3 D befektetés C befektetés 3.15 ábra Az IRR és az NPV rangsorolásának eltérése Az IRR-mutató egyértelműen a D befektetést mutatja jobbnak, belső megtérülési rátája nagyobb, mint a C befektetésé (r3>r2). Ugyanakkor, ha az alternatívaköltség (piaci kamatláb) kisebb, mint r1, akkor a C befektetés NPV-je nagyobb. Az NPV(r) függvény nem mindig csökken, ha nő az alternatívaköltség. Ha előbb van pénzbeáramlás és később -kiáramlás (pl hitelfelvétel hitelnyújtás helyett), akkor az NPV(r) függvény növekvő Ha olyan beruházási projekttel foglalkozunk, amely kezdetben és a későbbiekben is jelentős kiadásokkal jár (bányamegnyitás, majd -bezáráskor rekultiváció), azaz (több) előjelváltás van a CF-ban, akkor több kamatláb mellett is lehet az NPV zérus,

azaz több IRR lehetséges. NPV IRR IRR1 IRR2 3.16 ábra A több IRR esete 42 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Gyakori, hogy beruházási lehetőségek közül a hozam (belső megtérülési ráta, IRR) alapján választanak. Ennek számos gyenge pontja van6 Általános szabály: ne az IRR, hanem az NPV alapján rangsoroljunk, illetve fogadjunk el befektetési lehetőségeket! Ennek egyik oka, hogy az IRR feltételezi, hogy a hozamgörbe vízszintes, ami komoly torzításokhoz vezethet, ha nem ez a helyzet [Az NPV-t számolhatjuk a (15) képletből, az IRR-t csak a (15a)-ból.] A másik ok, hogy az IRR feltételezi, hogy a menet közbeni jövedelmeket az IRR-nek megfelelő rátán lehet újrabefektetni. 4. EX POST HOZAM Ex post (utólagos) hozam: a beváltott szelvényeket a mindenkori piaci kamatlábnak megfelelően újrabefektetve kiszámítjuk a befektetés lejáratkori értékét, majd a lejáratkori érték és a kezdő érték hányadosából kiszámítjuk, milyen

átlagos éves növekedési ütemnek (kamatlábnak) megfelelően növekedett a tőkénk. 29. példa Az alábbi befektetés belső megtérülési rátája 60%: 0. –1,000 = –1,000 1. 800*1.6 = 1,280 2 2. 200*1.6 = 512 A befektető az 1. évi 1,280 és 2 évi 512 forintot r=060 kamatlábbal diszkontálva kapja a P=1,000 jelenértéket. Az IRR=060=60% értéket úgy értelmezi, hogy befektetésének várható hozama 60% Ha a piaci kamatláb r=10%, akkor a 2. év végén 5122 + 1.10*1,2801 = 1,9202 azaz a befektetés a 2 év alatt 1,920/1,000 = 1.92-szeresére növekedett, ami 1.9205–1 = 0386 = 386% éves utólagos hozamnak felel meg. A számpéldánkban akkor lett volna az utólagos hozam is 60%, ha az első évi jövedelmet is 60% mellett lehetett volna újrabefektetni. Az IRR-számítás feltételezi, hogy a kamatláb nagysága időben változatlan, és minden futamidőre azonos 5. ADÓZÁS UTÁNI HOZAM A befektetőket az adózás utáni hozamok érdeklik. 30. példa A betéti

kamatláb évi 10%, a kamatadó 20%. Mennyi az adózás utáni hozam? A befektetés a következő átváltást jelenti: 1000 › 1101 – 0.2*101 = 1081 Az adózás utáni hozam tehát 8%. 6 Részletesebben lásd Brealey-Myers: Modern vállalati pénzügyek. 5 fejezet 43 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ha az adókulcsot T-vel (Tax), az adózás előtti hozamot r*-gal jelöljük, akkor a (15)-ös jelenértékképletet az rt = rt* (1 − T) (17) módon kell értelmezni, azaz adózás utáni kulcsokat kell behelyettesíteni a képletbe. Az eltérő adókulcsú befektetéseket csak az adózás utáni helyzetet figyelembe véve lehet összehasonlítani. 31. példa Tegyük fel, hogy valamely országban a bankbetétek kamatlába 15%, a betétek utáni kamat adókulcsa 20%. Adott két kötvény, mindkettő 2 év múlva kerül törlesztésre, az egyik önkormányzati kötvény, névleges kamatlába 5%, és a jövedelme után nem kell adót fizetni, a másik kötvény névleges

kamatlába 20%, és a kamatszelvény után 25% adót kell fizetni, de az árfolyamnyereség adómentes. Mekkora a két kötvény árfolyama? A bankbetét adózás utáni hozama (1–0.2)*15%=0.8*15=12% Adózás után ugyanazt a hozamot (12%-ot) kell hozni mind a három kötvénynek, hiszen mindhárom kockázatmentes. A kötvényárfolyamok: P = 5/1.12 + 105/1122 = 8817, illetve P = -0.75*20/1.12 + (100+075*20)/1.122 = 15/112 + 115/1122 = 10507 Ha nem a befektető, hanem pl. a hitelfelvevő vállalat szempontjából nézzük az adózás kérdését, akkor figyelembe kell venni, hogy míg a vállalat a részvény osztalékát az adózás utáni nyereségéből, addig a kötvény kamatát az adózás előtti nyereségéből fizeti A vállalat által megvalósítandó beruházási projekt vagy a teljes vállalati CF jelenértékének kiszámításánál figyelembe kell venni ezt az adómegtakarítást, ami a kamat adózás előtti fizetéséből ered. Ezeket a módosított

tőkeköltség-formulákat nem tárgyaljuk.7 6. A VÁLTÓ ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA A váltó esetében a kamat tömegének szokásos vetítési alapja nem a folyósított, hanem a visszafizetendő (a váltón feltüntetett) összeg. Ezt az arányszámot – a kamatlábtól való megkülönböztetésül – diszkontlábnak nevezik. A régi magyar szaknyelvben az előbbit utólagos kamatozásnak, a diszkontláb használatát előleges kamatozásnak nevezték. 7 Részletesebben lásd Brealey–Myers: Modern vállalati pénzügyek. 15–16 fejezet 44 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 32. példa Például 1 évre számolva 6%-os kamatláb esetén 100 Ft folyósításához 106 Ft visszafizetés tartozik, 6%-os diszkontláb esetén a 100 Ft viszszafizetéshez 94 Ft folyósítás tartozik. A 6%-os diszkontláb ez esetben 6/94 = 6.4%-os kamatlábat jelent Ha egy t (≤1) év múlva esedékes C összegről szóló váltót vásárolunk, akkor a váltó árfolyama: PV = (1 − dt ) C (18)

ahol d az éves diszkontláb nagysága. A váltó esetében az év 360 napból áll, tehát az eltelt hónapokat 30 nappal kell számításba venni. 33. példa Váltó árfolyama: C, d, t › PV Mennyit ér május 14-én egy december 20-án lejáró váltó, amely 100,000 Ft kifizetését ígéri, ha az irányadó diszkontláb 32%? A napok száma: 7*30+6 = 216 C = 100,000 Ft d = 32% = 0.32 t = 216/360 = 0.60 év, innen PV = (1–0.32*0.6)*100,000 = 80,800 Ft A (18) képlet alapján nemcsak adott diszkontlábhoz határozható meg az árfolyam, hanem fordítva is: adott árfolyamhoz milyen diszkontláb (d) tartozik. 34. példa Váltó hozama: C, PV, t › d Egy 3,400 Ft-ról szóló váltót, amely 39 nap múlva lejár, eladtak 3,358 forinton; a kérdés, hány százaléknyi kamat vonatott le? [Forrás: Weninger: Politikai számtan (Bp., Athenaeum 1875) 11o] C = 3,400 Ft PV = 3,358 Ft t = 39/360 = 0.11 év k = 42/3,358 * 360/39 = 11.55% névleges kamatláb d = 42/3,400 * 360/39 = 11.40%

diszkontláb 45 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 7. KAMATLÁB ÉS DISZKONTLÁB A diszkontláb (d) átszámítása kamatlábra (k) és fordítva a (t≤1) esetben: d= k (1 + kt ) (19) k= d (1 − dt ) (20) 35. példa Egy 3 hónapos váltót évi 24% diszkontlábnak megfelelően diszkontálnak. Hány százalék éves (névleges) kamatlábnak felel ez meg? A 24/4 = 6% diszkont levonása azt jelenti, hogy 94 Ft-ért vesszük meg a 3 hónap múlvai 100 Ft-ot, azaz: 94 6 ⎯ 100 d = 24% = 0.24 t = 3/12 = 1/4 k = 0.24/(1–024/4) = 024/094 = 02553 = 2553% Általában a diszkontálásra használt kamatlábat (illetve elvárt hozamot) is diszkontlábnak nevezik a rövidség kedvéért (meglehetősen pongyolán és félreérthetően). 8. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK ÁRFOLYAMA a) Az örökjáradék képlete: PV = C r (21) ahol C az évenkénti kifizetések nagysága. 36. példa Mennyi pénzt érdemes adni 4% kamatláb mellett évi 16,000 Ft örökjáradékért? PV =

16,000/0.04 = 400,000 Ft, ugyanis 400,000 Ft-ot kell betétbe helyezni ahhoz 4% kamatláb mellett, hogy évi 16,000 Ft kamatot kapjunk. 46 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A folytonos örökjáradék képlete8: PV = C C = ln (1 + r ) i (21a) ahol i a folytonos kamatláb, r az effektív kamatláb. 36. példa (folytatás) Mennyi pénzt kell betétbe helyezni ahhoz 4% kamatláb mellett, hogy évi 16,000 Ft folytonos örökjáradékot (kb. napi 44 Ft-ot) kapjunk? PV = 16,000/ln1.04 = 407,948 Ft, azaz kb. 8,000 forinttal többet kell elhelyezni, ha nem az év végén egy összegben, hanem napi bontásban akarjuk felvenni az évi 16,000 forintot b) Az annuitás képlete: PV = C ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 1 − r ⎜⎝ (1 + r ) n ⎟⎠ (22) mivel az annuitás két örökjáradék különbsége. 37. példa Mennyi hitelt kapunk az OTP-től évi 20% kamatláb mellett, ha évenként egyszeri 10,000 Ft kifizetését vállaljuk 8 évre? PV = 10,000/0.2 * (1–1/1.28) = 50,000 *0.7674 = 38,3716

Ft A teljes örökjáradék értéke 50,000 Ft, annak 76.7%-át képviseli az első 8 év kifizetése A 9 évtől kezdődő évi 10,000 Ft-okat a magas (20%-os) kamatláb értékeli le ennyire. 8 A szokásos jelenérték képlet a következőképpen is felírható a folytonos kamatozással: Ct −t PV = ∑ = ∑ C t (1 + r ) = C t e − it t (1 + r ) (16a) Ez a képlet diszkrét (nem folytonos) pénzáramlásokra vonatkozik, lényegében ugyanaz, mint a (16) képlet. A folytonos pénzáramlásokra felírt változat: T PV = ∫ C( t ) e − it dt 0 Ha a C(t) helyére C-t írunk és az integrálást nem a 0,T idő-intervallumra, hanem a (0,∞) intervallumra végezzük, akkor kapjuk a (21a) képletet. 47 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A (22a) képlettel megadott értéket szokás annuitásfaktornak (AF) nevezni, ami nem más, mint az n éven át fizetett évi 1 Ft jelenbeni pénzben kifejezett árfolyama. 1⎛ 1 ⎞ PV = ⎜1 − ⎟ = AF( n, r ) r ⎝ (1 + r ) n ⎠ n r

1 2 3 4 5 2% 98.04 194.16 288.39 380.77 471.35 5% 95.24 185.94 272.32 354.60 432.95 10 15 20 25 898.26 1284.93 1635.14 1952.35 772.17 1037.97 1246.22 1409.39 10% 90.91 173.55 248.69 316.99 379.08 (22a) 11% 90.09 171.25 244.37 310.24 369.59 12% 89.29 169.01 240.18 303.73 360.48 614.46 588.92 565.02 760.61 719.09 681.09 851.36 796.33 746.94 907.70 842.17 784.31 3.3 táblázat Annuitásfaktorok 100*AF(n,r): n éven át kapott évi 100 Ft jelenértéke r kamatláb mellett 15% 86.96 162.57 228.32 285.50 335.22 20% 83.33 152.78 210.65 258.87 299.06 501.88 584.74 625.93 646.41 419.25 467.55 486.96 494.76 Zérus kamatláb mellett az n éven keresztüli 1 Ft-ok értéke n mostani forint: AF(n,0) = n c) A növekvő tagú örökjáradék értéke: ∞ PV = ∑ t =1 C 0 (1 + g) (1 + r) t t = C1 r−g (23) 38. példa Mennyi pénzt érdemes adni 10% kamatláb mellett évi 5%-kal növekvő örökjáradékért, amelyik az első évben 8 Ft-ot fizet? PV = 8/(0.10–005) = 8/005

= 160 Ft A (23) képletből a g=0 esetben a (21)-et kapjuk vissza. A (23) képlet a részvények árfolyamának meghatározásakor használatos 48 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 9. A KÖTVÉNYEK ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA A lejáratkor egy összegben törlesztő kötvény árfolyamképlete nem más, mint az állandó nagyságú kamatfizetések alkotta annuitás értéke plusz a törlesztés diszkontált értéke, ha c jelöli a kötvény névleges kamatlábát (coupon): ⎛ n 100 c ⎞⎟ c ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 100 + + = − PV = ⎜⎜ ∑ 1 t ⎟ n n⎟ ⎜ r ⎝ (1 + r ) ⎠ (1 + r ) n ⎝ t =1 (1 + r ) ⎠ (1 + r ) (24) PV = c AF ( n, r ) + 100 DF ( n, r ) (24a) azaz: 39. példa Mennyi az árfolyama annak a kötvénynek, amelyet 10 év múlva törlesztenek, ha névleges kamatlába 12%, és a pillanatnyi piaci kamatláb 15%? P = 12*AF(10 év,15%) + 100DF(10 év,15%) = 12 * 5.0188 + 2472 = 60223 + 2472 = 84943 A kötvényhozamok alábbi fajtái ismeretesek: 1) A névleges

kamatláb (coupon rate): a névérték százalékában fejezi ki az éves kamatfizetés nagyságát. 2) A szelvényhozam (coupon yield, current yield; egyszerű hozam): a névleges kamatláb és a pillanatnyi nettó piaci árfolyam hányadosa, azaz: CY = c P (25) 40. példa Legyen a névleges kamatláb c=8%, az árfolyam PV=80%. A szelvényhozam: CY = 8/80 = 0.10 = 100% Ha az árfolyam kisebb a névértéknél, akkor a szelvényhozam nagyobb a névleges kamatlábnál, mert a CY számítása figyelembe veszi, hogy (az előző példában szereplő) 8 Ft kamatot nem 100 Ft-ért vesszük, hanem csak 80 Ft-os árfolyamon. 3) Az egyszerű lejáratig számított hozam (simple yield to maturity – SYTM; korrigált hozam): a szelvényhozam + a lejáratig számított árfolyamnyereség (-veszteség) egy évre jutó nagysága. Mivel ez utóbbit a pénz időértékét figyelmen kívül hagyva, leegyszerűsítve kalkulálja a formula, innen az elnevezés. 49 Tőzsdei Szakvizsga

Felkészítő SYTM = c (100 − P) / n + P P (26) 40. példa (folytatás) Legyen a névleges kamatláb 8%, az árfolyam 80%. A lejáratig hátralevő idő 5 év A lejáratig 20 Ft árfolyamnyereségre teszünk szert, azaz átlagban évi 4 Ft-ra. SYTM = 8 (100 − 80) / 5 + = 10% + 5% = 15% 80 80 A SYTM képlete figyelmen kívül hagyja, hogy a 20/80=25% árfolyamnyereséget egy összegben a lejáratkor realizáljuk, vagy résztörlesztéses konstrukció esetén egyes részeit már korábban is. 4) A lejáratig számított hozam (redemption yield, yield to maturity – YTM; tényleges hozam): a kötvény belső megtérülési rátája a pillanatnyi (bruttó) piaci árfolyam és a még be nem váltott szelvények alapján számítva. n P=∑ t =1 Ct (27) (1 + YTM) t 40. példa (folytatás) Az előző példa adataival: Év Ct 0. 1. 2. 3. 4. 5. IRR = –80 8 8 8 8 108 13.8% 5) Ex post hozam: a beváltott szelvényeket a mindenkori piaci kamatlábnak megfelelően

újrabefektetve kiszámítjuk a befektetés lejáratkori értékét, majd kiszámítjuk, milyen átlagos éves növekedési ütemnek (kamatlábnak) megfelelően növekedett a tőkénk. 50 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 40. példa (folytatás) Az előző példa adataival, feltételezve, hogy a piaci újrabefektetési ráta 10%: év 0. 1. 2. 3. 4. 5. Ct -80 8 8 8 8 108 Beváltott szelvények értéke 8.0 8+ 8.0*1.1 8+16.8*1.1 8+26.5*1.1 108+37.1*1.1 148.8/80 = 16.8 = 26.5 = 37.1 = 148.8 = 1.860 5 év alatt a 80 Ft 148.8 Ft-ra növekedett, azaz 186-szorosára Ez évi: 1.86(1/5) = 1132 132% Az ex post és a befektetéskor a lejáratig számított hozam akkor egyezik meg, ha utólag tényleg az IRR-nek megfelelő rátán lehetett újrabefektetni a szelvényjövedelmeket. A zérókupon-kötvény esetén a névleges kamatláb és a szelvényhozam zérus, az SYTM és az YTM egyaránt csak árfolyamnyereséget tükröz, és igen egyszerűen számítható. 41. példa Legyen egy 5

éves kamatszelvény nélküli kötvény árfolyama 80. SYTM = (100–80)/80/5 = 0.25/5 = 500% YTM = (100/80)(1/5) –1 = 1.25(1/5) – 1 = 456% Ez esetben az általában bonyolult IRR-számítás egyetlen gyökvonásból áll. Megjegyzendő, hogy a belső megtérülési ráta (IRR-) számítás csak a zérókupon-kötvény kötvény típusú befektetés esetén helyes elméletileg, itt ugyanis nem merül fel az újrabefektetési rátával kapcsolatos probléma, mivel csak egyetlen jövőbeni kifizetésről van szó. 10. A RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMA A (9) képlettel értelmeztük a részvény hozamát, a (14) képlettel megadtuk a kockázat függvényében a részvény hozamának elvárt nagyságát, a kettő összekapcsolásából meghatározhatjuk azt a részvényárfolyam-nagyságot, amely biztosítja a kívánt hozamot. Ehhez tételezzük fel, hogy a vállalat által fizetett osztalékok egyenletesen, évi g százalékkal nőnek. Ekkor az árfolyam is évi g%-kal nő A (9)-ben ekkor

elvégezhetjük a P1=P0(1+g) helyettesítést: r= D 1 P1 − P0 D 1 (1 + g) P0 − P0 D 1 + = + = +g P0 P0 P0 P0 P0 51 (9a) Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ebből azt kapjuk, hogy P0 = D 1 D 0 (1 + g) = r −g r −g (28) Valamely részvény árfolyamának kiszámítása tehát a következő séma szerint történik: rf, rm, béta r r, g, D1 P 42. példa Mennyi az elvárt hozama és az árfolyama az A részvénynek, ha a kockázatmentes kamatláb: 6%, az átlagos részvényhozam: 10%, a bétája: 0.8, utolsó osztaléka: 100 Ft, növekedési üteme: 4.2%? A részvény elvárt hozama = 6 + 0.8*(10–6) = 9.2% árfolyama= 100*1.042/(0092–0042) = 1042/005 = 2,084 Ugyanezt a képletet kapjuk abban az esetben is, ha a növekvő tagú örökjáradék értékét megadó (23) képletbe a C1 helyére behelyettesítjük a D1-et mint első cash flow-elemet, és a kamatláb helyett a részvény elvárt hozamát: P0 = D 0 (1 + g) C1 D1 = k−g r − g rf + β ( rm − rf ) − g

Ha a növekedési ütem nem állandó, akkor nem használhatjuk az ezen alapuló (23) formulát, csak az általános diszkontképletet: n P0 = ∑ t =1 ahol k r Ct (1 + k ) t ∞ ∑ t =1 Dt (1 + r ) t = kamatláb = részvénytől elvárt hozam A részvények értékelésénél is alkalmazható tehát a kötvények beárazására is használt (14a) általános diszkont formula. Mivel sikerült (a CAPM révén) elméletileg is megalapozott diszkontrátát találni, tudjuk, hogy milyen mértékben kell megemelni a kamatlábat a kockázatnak megfelelően. 52 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Egy olyan kifizetéssorozatot kell értékelnie, ahol 6 éven át évente 100 forintot kap minden év végén Az elvárt hozam évi 25% Mekkora a követelés jelenértéke? (AF: annuitásfaktor, DF: diszkontfaktor) a) 100 * DF (6 év, 25%) = 26.2 Ft b) 100 * AF (6 év, 25%) = 295.1 Ft c) 100 * 1.256 = 3815 Ft d) 100 * 1.0625 = 4292 Ft 2. Egy három

hónapos váltó diszkontálásához használt diszkontláb évi 24% Hány százalékos kamatlábnak felel ez meg? a) 24.00% b) 6.00% c) 24/(100–6)*100 = 24/0.94 = 2553% d) 6/(100–24)*100 = 6/0.76 = 789% 3. A Bambi-kötvényt négyéves időtartamra, 10,000 Ft-os névértékkel bocsátották ki Kamatlába fix 20%, törlesztése 40-60%-os arányban a két utolsó évben várható. Három évvel a kibocsátás után, közvetlenül az idei kifizetések után vagyunk. A kötvény Bobó brókernél 6,200 Ft, a piacon az elvárt hozam 25% Mekkora a kötvényvásárlás nettó jelenértéke? a) +4,560 b) +5,760 c) +1,000 d) – 440 4. Az ABC társaság elsőbbségi részvényei után változatlanul 15% osztalékot fizet A piaci kamatláb 30%, a részvény névértéke 10,000 Ft. A osztalékkifizetések jelenértékei alapján mekkora a részvény árfolyama? a) 15,000 Ft b) 7,000 Ft c) 12,000 Ft d) 5,000 Ft 53 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 5. Április 20-án egy olyan váltót

szeretnénk megvásárolni, amely június 20-án 40 ezer forintot fizet A diszkontláb évi 30%. Mekkora a váltó reális árfolyama? a) PV = 40,000/1.3(1/6) = 38289 Ft b) PV = 40,000/(1.3/125) = 38,461 Ft c) PV = 40,000*0.95 = 38,000 Ft d) PV = 40,000/1.05 = 38,095 Ft HELYES VÁLASZOK: 1 – b, 2 – c, 3 – d, 4 – d, 5 – c 54 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő V. A Z Á R F O LYA M K A M A T L Á B - É R Z É K E N Y S É G E A (15a) diszkontképletet eddig arra használtuk, hogy adott kamatláb (r) és időtartam (t) értékekhez megállapítsuk a méltányos árfolyam (fair price) számszerű értékét. Most viszont nem a kapott eredmény nagysága érdekel bennünket elsősorban, hanem az, hogy miként változik az értékpapír árfolyama, ha változik az r, illetve a t értéke Ehhez a P(r,t) függvény vizsgálata szükséges, tehát az értékpapír-árfolyamot most nem egy számként kezeljük, hanem olyan értékként, amely változik az idő és a piaci

kamatláb függvényében. Az értékpapír árfolyamváltozása a matematikusok számára a P(r,t) függvény teljes differenciálját jelenti: dP ( r , t ) = dP ( r , t ) dr dr + dP ( r , t ) dt (29) dt ahol dP/dr az árfolyam kamatláb szerinti parciális deriváltja, és dr a kamatláb (r) kis megváltozása. A (29) jelentése alapján az árfolyam két okból változik: 1) változik a kamatláb, illetve 2) változik a hátralevő időtartam. Ebben az alpontban nem foglalkozunk az idő múlásával (dt=0), csak azt vizsgáljuk, hogy mi történik az árfolyammal, ha a kamatláb hirtelen megválto- zik. A n P ( r, t) = ∑ t =1 Ct (1 + rt ) t forma vizsgálata helyett gyakran a vele ekvivalens, ám matematikailag kényelmesebben kezelhető P ( i, t ) = ∑ C t e − it formát fogjuk vizsgálni, ahol i=ln(1+r). A diszkontgörbéhez húzott érintő meredeksége:9 dP ( i, t ) di dP ( r , t ) dr 9 = ∑ − t C t e − it ∑ − t C (1 + r ) = (30a) −t t 1+ r (30)

A közvetett függvény deriválási szabályából adódóan: dP ( r , t ) dP ( r , t ) di dP ( r , t ) 1 = = dr di dr di 1 + r mivel i=ln(1+r) és ln(x) = 1/x, ezért di/dr = 1/(1+r). 55 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ismervén az érintő meredekségét, könnyen kiszámolhatjuk az adott nagyságú kamatlábváltozáshoz tartozó árfolyamváltozást. rfolyam Árfolyam P r Hozam 3.17 ábra Az árfolyam változása a hozam függvényében 43. példa Mekkora egy C=1,000 $ névértékű zérókupon-kötvény árfolyama 4 év és 3 hónappal a lejárat előtt (t=4.25 év), ha a piaci kamatláb (elvárt hozam) évi 22%? PV(r,t) = 1,000/1.22425= e-425*0.19885 = 42951 Mennyi az 1% kamatlábváltozáshoz (dr=0.01) tartozó árfolyamváltozás (dP)? dP/dr = –4.25*429.5/122 = –1,4692 dP = –1,496.2*0.01 = –1496 Ha kiszámítjuk az r=23%-os kamatlábhoz tartozó árfolyamot, akkor az új árfolyam P=414.86, azaz az árfolyamváltozás dP = -1465 A nem túl jelentős

eltérés oka a 3.17 ábráról leolvasható: a (30) képlet alapján számolva a nagyon kicsi kamatlábváltozáshoz tartozó árfolyamváltozást kapjuk meg. Az eltérés annál nagyobb, minél nagyobb a kamatláb változása. 56 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 1. KÖTVÉNY DURATION ÉS VOLATILITÁS Duration (hátralevő átlagos futamidő): az egyes kifizetésekig hátralevő időtartamok súlyozott számtani átlaga. A súlyokat (vt) az egyes kifizetések jelenértékeinek relatív súlyai adják az összjelenértéken belül, azaz: D = ∑ t vt ahol v t = C t (1 + r ) −t ∑ C t (1 + r ) −t (31) amiből behelyettesítéssel adódik: ∑ t C (1 + r ) D= ∑ C (1 + r ) −t t (31a) −t t A duration értéke a kifizetések időbeli súlypontját mutatja. A zérókupon-kötvénynél nem igényel semmiféle számítást a duration meghatározása: egyetlen kifizetési időpont van, az addigi időtartamot kellene átlagolni, így a hátralevő átlagos

futamidő természetesen megegyezik a hátralevő futamidővel. Tehát az n éves zérókupon-kötvény duration-je n év, mivel ez az egyetlen átlagolandó időtartam. A többi esetben ki kell számítani, hogy az árfolyamon (jelenértéken) belül milyen részarányt képviselnek az egyes kifizetések 44. példa Mennyi a duration értéke annak a kötvénynek, amelynek névleges kamatlába k=12% és futamideje n=5 év, ha a piaci kamatláb r= 20%? t 1 2 3 4 5 Ct 12 12 12 12 112 PV(Ct) 10.0 8.3 6.9 5.8 45.0 76.1 vt 13.1% 11.0% 9.1% 7.6% 59.2% 100.0% tvt 0.13 0.22 0.27 0.30 2.96 3.89 Látható, hogy a 4. évi 12 Ft súlya (76%) alig több mint fele az első évi 12 Ft-nak (131%) Ez az arány annál kisebb, minél nagyobb a piaci kamatláb. Első pillanatban meglepő dolog, hogy a kifizetések relatív nagyságaival súlyozott átlagos futamidő függ a piaci kamatláb szintjétől. Ez a jelenérték-számításból következik, és minél magasabb a piaci kamatláb, relatíve

annál jobban leértékelődnek a távolabbi kifizetések, így a duration csökken Két kötvény közül, amelyek csak a névleges kamatlábukban különböznek, annak nagyobb a durationértéke, amelyiknek kisebb a névleges kamatlába: a közeli időpontok relatív súlyai kisebbek. 57 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Az örökjáradék duration-je: D= (1 + r ) (32) r azaz ha 10% a piaci kamatláb, akkor az örökjáradék átlagos futamideje 1.1/01 = 11 év, ha r=20%, akkor D=1.2/02= 6 év, vagyis rövidebb, mint egy 12, illetve 6 éves zérókupon-kötvényé! Az árfolyamváltozás és a duration kapcsolata a (29) és (31) alapján: D dP = P* dr (1 + r ) (33) A képletből látható, hogy ha a 3.17 ábrán szereplő érintő meredeksége nem is azonos a duration értékével, minél nagyobb a D értéke, annál jobban csökken a papír árfolyama a hozam növekedésekor A 3.18 ábrán szereplő két kötvény árfolyama és hozama azonos, az átlagos futamidejük

azonban eltérő. A piaci kamatláb csökkenésére számítva az A papírt érdemes vásárolni, ennek jobban változik az árfolyama. A piaci hozam emelkedésére számítva viszont a kisebb átlagos futamidejű B papírt kell választani, ennek a hozam emelkedésekor kevésbé csökken az árfolyama (3.18 ábra) Árfolyam rfolyam B A P0 B kötvény A kötvény Piaci kamatláb r0 3.18 ábra A duration felhasználása két kötvény közötti választáskor A portfólió duration-je a portfólióban szereplő értékpapírok durationjeinek az árfolyamértékekkel súlyozott számtani átlaga. A (30) képlet az árfolyam pénzben (forintban, dollárban stb.) mért változását mutatja a hozam függvényében. Az árfolyam abszolút nagyságú változása mellett fontos az árfolyam relatív (százalékos) változása Ezt méri a kötvény volatilitása Kötvények volatilitása: a kötvényárfolyam kamatláb-érzékenysége, vagyis a piaci kamatláb 1 százalékpontos

változása hány százalékkal változtatja meg a kötvény árfolyamát? Szokásos közelítő számítása: megnöveljük 0.1 százalékponttal a kamatlábat, majd kiszámítjuk, hogy hány százalékkal csökkent a kötvény árfolyama. Ennek tízszerese a kamatláb-érzékenység 58 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A volatilitás és a duration közötti kapcsolat: Volatilitás ( % ) = mivel D (1 + r ) dP dr = −D P (1 + r ) 44. példa (folytatás) Az előző példában az r=20% hozamhoz tartozó árfolyam P=76.08 volt Az r=20.1% hozamhoz tartozó árfolyam P=7583 A százalékos eltérés a két árfolyam között: (P1–P0)/P0 = (75.83–7608)/7608 = –032% Volatilitás: 10*0.32% = 32% A duration alapján számolva: 3.89/120 = 32% 2. KÖTVÉNY KONVEXITÁS Konvexitás (Cx): a kötvényárfolyam hozam szerinti második deriváltja. A 3.17 ábra érintőjének változik a meredeksége, ha változik a piaci kamatláb Ezt a változást méri a konvexitás. Ez egyben az

árfolyamgörbe gömbölyűségének a mérőszáma is Ha az árfolyamgörbe egyenes lenne, akkor egységnyi kamatláb-növekedéshez ugyanakkora árfolyamcsökkenés tartozna, mint amekkora az árfolyam növekedése lenne a kamatláb csökkenésekor. Az árfolyamgörbe azonban nem egyenes: az árfolyam csökkenése kisebb, mint az árfolyam növekedése ugyanolyan abszolút értékű, de ellentétes irányú kamatlábváltozáskor: kötvények esetében annál jobb, minél nagyobb az árfolyamgörbe konvexitása. rfolyam Árfolyam Pd Árfolyam + Pd - Pu rd r ru Pu + - r rd r ru 3.19 ábra A konvexitás: az árfolyamnövekedés és -csökkenés eltérése 59 r Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A nagyobb konvexitás nagyobb árfolyamnyereséget és kisebb árfolyamveszteséget jelent a long pozícióban levő befektetőnek. Számára az árfolyamgörbe nagyobb gömbölyűsége kívánatos Árfolyam rfolyam A B P0 A B r r0 3.20 ábra A konvexitás felhasználása

két kötvény közötti választáskor A 3.20 ábrán az (r0,P0) pontban az A és B kötvények árfolyama, hozama és durationje azonos, az egyetlen eltérés, hogy az A kötvény konvexitása nagyobb. Ebből viszont az is következik, hogy akármilyen irányba változik a kamatláb, az A kötvény a jobb befektetés! Az árfolyam hozam szerinti második deriváltja: Cx = d 2 P( i , t ) di 2 = ∑ t 2 C t e − it (34) Szokásos közelítő számítása (legalább 7 tizedesre kell számolni): Cx = 108 ahol P: Pu: Pd: [( P u − P) − ( P − Pd ) P ] = 10 8 Pu + Pd − 2 P P (35) az árfolyam az r kamatlábnál, az árfolyam az ru = r+0.01% kamatlábnál, az árfolyam az rd = r–0.01% kamatlábnál A portfólió konvexitása a portfólióban lévő papírok konvexitásának az árfolyamértékekkel súlyozott átlaga. Annál nagyobb valamely papír vagy portfólió konvexitása, minél nagyobb a bennük megtestesülő kifizetéssorozat időbeni szórása. 60

Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 45. példa A piaci kamatláb legyen 10%. Adott két kötvényportfólió, mindkettő értéke 100 egység, és mindkettő hozama 10%. Az A portfólió 1 db 8 éves zérókupon-kötvényből áll, amelynek árfolyamértéke 100. A B portfólió 50 árfolyamértékű 4 éves zérókupon-kötvényből és 50 árfolyamértékű 12 éves zérókupon-kötvényből áll. Mindkét portfólió durationje is azonos: 8 év (0.5*4+0.5*12 = 8). FV Év 4. 8. 12. Duration: A portfólió 214.4 8 év B portfólió 73.2 156.9 8 év Hozam (r): Árfolyam (P): 10.00 % 100.00 10.00 % 100.00 Hozam (ru): Árfolyam (Pu): 10.01% 99.9273025 10.01% 99.9273091 Hozam (rd): Árfolyam (Pd): 9.99% 100.0727570 9.99% 100.0727637 Konvexitás (Cx): 59.50 72.73 A példából is látható, hogy a B portfólió árfolyama jobban emelkedik, illetve kevésbé csökken, mint az A portfólióé, mivel kevésbé koncentrálódnak a kifizetések a 8. év körül 3. A

RÉSZVÉNYÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE A részvény árfolyama a P=D1/(r–g) formula alapján számítható, ahol r=rf+béta(rm–rf). A képletből látható, hogy az elvárt hozam (r) 1 százalékpontos emelkedése ugyanolyan mértékben csökkenti a részvény árfolyamát, mint a hosszú távú növekedési kilátások (g) 1 százalékpontos csökkenése. Az r– g különbségtől függ, hogy az r növekedése vagy a g csökkenése milyen mértékben csökkenti a részvény árfolyamát. 46. példa Egy részvény várhatóan 5 dollár osztalékot fizet, a kockázatát tükröző elvárt hozam 11%, a hosszú távú növekedési ütem 7%. Hány százalékkal változik meg a részvény árfolyama, ha a kamatláb növekedése miatt 1%-kal megnő az elvárt hozam? Az új árfolyam (P1) és az eredeti árfolyam (P0) hányadosa: 61 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő . − 007) 11 − 7 P1 5 / ( 012 = 0.8 = 80% = = . − 007) 12 − 7 P0 5 / ( 011 Az új árfolyam a régi

árfolyam 80%-a, tehát ez esetben a kamatláb egy százalékpontos emelkedéséhez az árfolyam 20%-os csökkenése tartozik. Látható, hogy a százalékos változás nagysága független az osztalék szintjétől. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Mit jelent, ha A és B kötvénynek ugyanaz az árfolyama, de A-nak nagyobb a konvexitása? a) A-nak nagyobb a hátralévő átlagos futamideje, így ugyanazzal a hozammal értékelve kisebb a kockázata. b) Ha a hozam 1%-kal változik, akkor a B papír árfolyama kisebb arányban változik, mint az A-é. c) Ha a hozam emelkedik, A értéke kevésbé csökken; ha a hozam csökken, A értéke jobban nő, mint a B-é. d) A portfóliók halmaza konvex görbe, ezért B biztos, hogy nem fekszik a portfóliófelhő bal felső burkoló görbéjén, így nem hatékony. 2. Egy értékpapír árfolyama 15%-os kamatlábnál 8,100 Ft A kamatláb 151%-ra emelkedik Mekkora lesz a papír új árfolyama, ha árfolyam-érzékenysége 2.1%? a) 8,100 (1 – 0.0021)

= 8,08299 Ft b) 8,100 (1 – 0.021) = 7,92990 Ft c) 8,100/1.21 = 7,93340 Ft d) 8,100/1.0021 = 8,08303 Ft 3. Egy papír 3 év múlva 100,000 Ft-ot fizet vissza A piaci kamatláb 20%, a papír árfolyama 57,870 Ft, amikor 21%-ra nő a piaci kamatláb, amelynek következtében az értékpapír árfolyama 56,447 Ft-ra csökken. Mekkora a papír árfolyam-érzékenysége? a) 1.27% b) 3.14% c) 1.83% d) 2.45% 62 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 4. Adott két kötvény Az első kockázatos vállalati kötvény, évi 12% kamatot fizet, hátralévő futamideje 4 év A második zérókupon-államkötvény, 10%-os elvárt hozammal számítottuk ki az árfolyamát, amely a hátralévő öt év futamidő miatt 621%-nak adódik Melyik kötvénynek kisebb a durationje? a) Nem lehet megmondani, csak ha ismernénk a másik kötvénytől elvárt hozamot is, és ez minden bizonnyal több, mint 10%. b) A vállalati kötvény durationje nagyobb, mert magasabb a névleges kamatlába és mert

várhatóan nagyobb a hozama is. c) A második kötvény durationje nagyobb, mert csak az ötödik évben teljesít kifizetést. d) Nem lehet megmondani, mert eltérő idővel ezelőtt bocsátották ki őket, és mert a hátralévő futamidejük is eltér. 5. Egy 8 év futamidejű zérókupon-kötvény 25 év múlva jár le Mekkora az átlagos hátralévő futamideje? a) 8 év b) 4 év c) 2.5 év d) 5.5 év HELYES VÁLASZOK: 1 – c, 2 – a, 3 – d, 4 – c, 5 – c 63 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő VI. KÖTVÉNYEK ÉS RÉSZVÉNYEK Á R F O LYA M Á N A K I D Ő B E L I A L A K U L Á S A A (29) képlet alapján két összetevőre bontottuk az értékpapírok árfolyamváltozását: az r, illetve a t megváltozásából adódó komponensekre. Az V fejezetben a dr hatását vizsgáltuk egy adott pillanatban (dt=0), most változatlan kamatlábat feltételezve (dr=0) vizsgáljuk az árfolyam alakulását az idő megváltozásával. 1. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÁRFOLYAMÁNAK

IDŐBELI ALAKULÁSA Az idő múlása kétféleképpen jelenik meg a kötvények árfolyamképletében: – ha egy szelvény beváltásra kerül, az adott Ct eltűnik a képletből (a pénzáramlás egyre kevesebb elemből áll); – két beváltás között egyszerűen folyamatosan csökken a t értéke. A 3.21 ábra mutatja a nettó árfolyamok időbeli alakulását Lejáratkor a nettó árfolyam megegyezik a névértékkel Ha a névleges kamatláb kisebb, mint a piaci kamatláb, akkor a nettó árfolyam alulról, ha nagyobb, akkor felülről közelít a névértékhez. Nettó Nett árfolyam rfolyam 116.8 20% 15% 100 10% 83.2 Idõ 80 81 82 83 84 85 3.21 ábra A nettó árfolyamok időbeli alakulása 10%, 15% és 20% névleges kamatláb, valamint k=15% piaci kamatláb mellett 1980. júl 31. Cash flow: Nettó árfolyam: 83.2 100.0 116.8 1981. júl 31. 1982. júl 1983 júl 1984 júl 1985 júl 31. 31. 31. 31. 10.0 15.0 20.0 10.0 15.0 20.0 10.0 15.0 20.0 10.0 15.0 20.0

110.0 115.0 120.0 85.7 100.0 114.3 88.6 100.0 111.4 91.9 100.0 108.1 95.7 100.0 104.3 100.0 100.0 100.0 A feltételezett piaci kamatláb: 15% 64 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 2. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÉS BRUTTÓ ÁRFOLYAMA A bruttó árfolyam = nettó árfolyam + felhalmozódott időarányos kamat. Közvetlenül a kamatfizetést követően a két árfolyam átmenetileg megegyezik. A nettó árfolyamot szokták még tiszta árfolyamnak (clean price) is nevezni. A felhalmozódott kamat számításánál 365 nappal és a névleges kamatlábbal számolnak. 47. példa Mennyi a tiszta árfolyama annak a kötvénynek, amelynek névleges kamatlába 12%, kamatfizetési időpontja március 31., és június 16-án a jegyzett árfolyama 94? Tiszta árfolyam = 94 – 12*(77/365) = 94 – 2.53 = 9147 A felhalmozódott kamat tehát 2.53 A bruttó árfolyamok alakulása: Árfolyam Árfolyam Árfolyam 115 100 120 116.8 110 115 100 100 83.2 Idõ 80 81 82 83 84 85 80 a) n=5

év, c=15%, k=15% 81 82 83 84 Idõ 85 b) n=5 év, c=10%, k=15% 3.22 ábra A bruttó árfolyamok alakulása 1980. 1981. 1981. aug. 1 júl 31 aug 1 Cash flow: 10.0 15.0 20.0 Bruttó árfolyam: 83.2 95.7 85.7 100.0 115.0 100.0 116.8 134.3 114.3 Nettó árfolyam: 83.2 85.7 85.7 100.0 100.0 100.0 116.8 114.3 114.3 1982 júl.31 1982. aug. 1 10.0 15.0 20.0 1983. júl.31 80 81 82 83 84 85 Idõ c) n=5év, c=20%, k=15% 1983. aug. 1 10.0 15.0 20.0 1984. júl.31 1984. aug. 1 10.0 15.0 20.0 1985. júl.31 110.0 115.0 120.0 98.6 115.0 131.4 88.6 100.0 111.4 101.9 115.0 128.1 91.9 100.0 108.1 105.7 115.0 124.3 95.7 100.0 104.3 110.0 115.0 120.0 88.6 100.0 111.4 88.6 100.0 111.4 91.9 100.0 108.1 91.9 100.0 108.1 95.7 100.0 104.3 95.7 100.0 104.3 100.0 100.0 100.0 A feltételezett piaci kamatláb: 15% 65 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A magyar kötvényekre nem alkalmazható a (24) formula a résztörlesztések és a kamatprémiumok miatt, így itt

többnyire nem marad más, mint formula nélkül elemenként (kamat és törlesztő szelvényenként) számolni és azt összegezni. A magyar kötvényárfolyam-jegyzés két sajátosságát kell kiemelni: – a jegyzés nem az eredeti, hanem a pillanatnyilag fennálló névértéket tekinti 100%-nak; – a vállalati kötvényeknél a közölt árfolyam tartalmazza a legutolsó kifizetés óta felhalmozódott kamatot is (azaz a bruttó árfolyamot jegyzik). 48. példa 1988. május 5-én a Szegedi Telefonkötvény árfolyama 74% volt Érdemes volt-e aznap ebbe a papírba fektetni, amelynek névleges kamatlába 7% volt, ha más lehetőségeink 12%-os hozamot biztosítottak volna? A kötvény még meglevő szelvényíve a kibocsátáskori névértéket 100-nak tekintve: Dátum 1989.0331 1990.0331 1991.0331 1992.0331 1993.0331 1994.0331 1995.0331 1996.0331 Fennálló névérték 80 70 60 50 40 30 20 10 Törlesztés + Kamat = 10 10 10 10 10 10 10 10 5.60 4.90 4.20 3.50 2.80 2.10 1.40

0.70 Pénzmozgás (Ct) 15.60 14.90 14.20 13.50 12.80 12.10 11.40 10.70 A legközelebbi szelvénydátum (365-35)/365 = 0.904 év múlva lett volna esedékes, a többi egy-egy évvel később. A 12% kamatlábbal diszkontált értékek: Időtáv T 0.85 1.85 2.85 3.85 4.85 5.85 6.85 7.85 Kifizetés Ct 15.60 14.90 14.20 13.50 12.80 12.10 11.40 10.70 Diszkontálva Ct/1.12t 14.08 12.01 10.22 8.67 7.34 6.20 5.21 4.37 68.10 Figyelembe kell még venni, hogy az így kapott árfolyam az eredeti névértékre, a jegyzett pedig a még fennálló névértékre vonatkozik. A jegyzett árfolyam az eredeti névértékre vetítve 74*0.8 = 5920, ami alacsonyabb a 6810-nél, azaz a 74-es jegyzett árfolyamnál a szelvényív hozama magasabb 12%-nál. 66 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 3. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM-ALAKULÁS BINOMIÁLIS MODELLJE Amit a fentiekben elmondtunk a részvényárfolyamokról a (28) képlettel a várható hozamok alapján, az az összefüggések csontváza, az

árfolyam-alakulás centruma. A rövid távú tényleges árfolyamváltozások véletlenszerűek e körül a „fundamentális érték” körül A részvényárfolyam-alakulás egy bolyongási folyamat (random walk). Ennek oka, hogy a pillanatnyi árfolyam minden rendelkezésre álló információt tükröz, ami a részvény jövőjét illetően pillanatnyilag rendelkezésre áll (racionális várakozások) Az árfolyam változását új hírek váltják ki, amelyek definíciószerűen véletlen jellegűek: ellenkező esetben nem lennének hírek. A szabályozott piacokon az egymást követő részvényárfolyam-változásoknak megvan a standard mértéke (pl. a NYSE-n ez 1/8 $) Az egyszerűség kedvéért vegyük ezt 1 $-nak: az árfolyam a megelőzőtől 1 $-ral térhet el fölfelé vagy lefelé Az árfolyamok lehetséges nagyságai az egymást követő változások sorozatában, ha az induló árfolyam 100, az alábbiak: Változás: 0 1 2 3 4 5 105 104 103 102 102 101

100 103 101 100 101 100 99 99 98 99 98 97 97 96 95 Ha minden árfolyam-emelkedés q valószínűséggel következik be, akkor annak valószínűsége, hogy n egymást követő árfolyamváltozásból pontosan k esetben emelkedjen és n–k esetben csökkenjen az árfolyam: ⎛ n⎞ q k = ⎜ ⎟ q k (1 − q ) ⎝ k⎠ n− k (36) azaz binomiális eloszlást követ. Valószínűség-számításból tudjuk, hogy ha az n értéke nagy, akkor a (36) jól közelíthető a normális eloszlással, különösen jól, ha a q értéke 0.5 körüli (Esetünkben a q értéke többnyire 0.5 körüli – a részvényekben meglevő hosszú távú növekedés miatt annál egy kicsivel nagyobb szám) Az árfolyamváltozást nemcsak úgy képzelhetjük el, hogy azonos dollárösszeggel változhat fölfelé vagy lefelé az árfolyam, hanem úgy is, hogy a növekedés százaléka állandó, tehát az árfolyam vagy uszorosára nő, vagy u-ad részére csökken. Ha a felfelé változás (up)

együtthatója u=125, akkor a lefelé (down) változás együtthatója d=1/u=1/1.25=08, és a fenti folyamat a következőképpen alakul: 67 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Változás (n): 0 1 2 3 4 5 305 244 195 156 125 100 195 156 125 100 80 125 100 80 64 80 64 51 51 41 33 Pusztán a szemléletesség kedvéért választottunk ilyen nagy számot (25%-os változás), valójában itt is az u 1-nél nem sokkal nagyobb szám. E multiplikatív folyamat annyiban reálisabb az additív folyamatnál, hogy az előzőnél pl. egy idő után törvényszerűen szembe kellene nézni a negatív árfolyamok kérdésével. A (36) képlet most is érvényben marad, és az eloszlás ugyanúgy normális eloszlással közelíthető, csak az egyes oszlopokban szereplő árfolyamértékek mások. Ekkor nem az árfolyamok, hanem a logaritmusuk közelíthető normális eloszlással, azaz az árfolyam pillanatnyi értékét adottnak véve (példánkban P=100) egy adott jövőbeni

időpontra várható árfolyamok lognormális eloszlást követnek Emlékeztetünk arra a valószínűség-számításban ismeretes tényre, hogy a normális eloszlással általában akkor találkozunk, ha nagyszámú véletlen tényező együttes hatására alakul a folyamat A jövőbeni árfolyamok a fenti séma szerint sok egyedi, egymástól független kis árfolyamváltozások eredőjeként alakulnak ki Ezt jelenti a bolyongási folyamat, és teljesen összhangban van a hatékony piacok feltételezésével A fenti leírást az árfolyamok alakulásáról – történetesen hogy az előttünk álló rövid időszakban az árfolyam csak két dolgot tehet: meghatározott mértékben nő vagy csökken – binomiális modellnek nevezik. Ennek segítségével határozzuk meg, hogy kit tekintünk kockázatérzéketlen (kockázatsemleges) befektetőnek. 4. A KOCKÁZATÉRZÉKETLEN BEFEKTETŐ 49. példa Legyen a kamatláb évi 10%, valamely részvény azonnali (prompt) árfolyama legyen

100. Az elkövetkező időszak végére vagy u=1.25-szörösére nő, vagy d=1/u=08-szorosára csökken a részvény árfolyama. A részvényárfolyamnak milyen valószínűséggel kell emelkednie, hogy a részvény várható hozama megegyezzék a kötvény hozamával? A kötvénybefektetés: biztos befektetés. 100 0 1101 68 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A részvénybefektetés: bizonytalan befektetés. 1251 q 1000 1-q 801 Amennyiben q=0.6, akkor a várható jövőbeni érték: 0.6*125+0.4*80 = 75+32 = 1071 ami tehát a lehetséges veszteség ellenére várhatóan nyereséges lesz, de nem vonzó befektetés, hiszen a kockázatvállalás ellenére még annyit sem hoz, mint a biztos befektetés. Amennyiben q=0.8, akkor a várható jövőbeni érték: 0.8*125+0.2*80 = 100+16 = 116 1 azaz a kockázati prémium nagysága 6. Vízválasztó szerepe van annak a valószínűségnek, ahol a kockázati prémium zérus, azaz ahol a várható részvényhozam megegyezik a

kötvényhozammal Jelöljük ezt a számított (implikált) valószínűséget p-vel, megkülönböztetésül a szubjektív valószínűségbecsléssel (vagy más módon) adott q valószínűségtől. Nagysága: S(1+r)=pSu+(1–p)Sd 1+r=p(u–d)+d ahol S a részvény jelenlegi árfolyama p= (1 + r ) − d (37) u− d 49. példa (folytatás) (1 + r ) − d = 110 . − 080 110 − 80 30 2 p= = = = u− d 125 . − 080 125 − 80 45 3 Ha tehát 2/3 valószínűséggel megy fel az árfolyam, akkor a várható értéke 2/3*125+1/380 = 110. Ha pedig például az u=2 (azaz d=0.5), akkor p = (1.1–05)/(2–05) = 06/15 = 040 a várható érték: 0.4*200+0.6*50 = 110 A kockázatérzéketlen befektető nem lát különbséget az alábbi 3 befektetés között: 69 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 125 200 2/3 0.4 1.0 100 110 = 100 = 100 1/3 0.6 80 A várható árfolyam: 110 Az árfolyam szórása: 0 50 110 110 21.2 73.5 Mint látni fogjuk, sokszor eléggé meglepő

módon nem a q, hanem a számított p értékkel fogunk kalkulálni. Így járunk majd el az opciók értékelésénél, amikor kockázatmentes (fedezett) pozíciót hozunk létre, így a kockázat figyelmen kívül hagyható, a befektetőt kockázatérzéketlennek lehet tekinteni. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? Ha a szelvénykamat kisebb, mint a piacon más befektetési formákkal elérhető hozam, akkor: a) az ár egyenlő a névértékkel. b) az ár nagyobb, mint a névérték. c) az ár kisebb, mint a névérték. d) az ár lehet kisebb is és nagyobb is, mint a névérték. 2. Egy kötvény negyedévente fizet kamatot, évi 24%-ot Az előző kamatfizetés óta egy hónap telt el Nettó árfolyama 96%, névértéke 20,000 Ft, az elvárt piaci hozam 22%. Mennyi a kötvény reális adásvételi árfolyama? a) 98% b) 26,000/(1+0.22/6) = 25,080 Ft c) 19,200 Ft d) 96 + 22/12 = 97.833% 3. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? Valamely

kötvényen a felhalmozódott kamat (a bruttó és a tiszta árfolyam eltérése): 70 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő a) kifizetése megváltoztatja a szelvényhozamot. b) a kamatfizetést követően a legnagyobb. c) negatív, ha a piaci kamatláb nagyobb a névleges kamatlábnál. d) erős piaci túlkereslet esetén nagyobb a szokásosnál. 4. Egy kötvény bruttó árfolyama 982% Az utolsó kamatfizetés óta 93 nap telt el, a kötvény éves kamata 25% Mekkora a tiszta árfolyama? a) 91.54% b) 90.96% c) 92.17% d) 91.83% 5. Egy kötvény augusztus 1-jén fizet 15% kamatot 93 nappal a kamatfizetés után a kötvény nettó árfolyama 87% Mekkora a bruttó árfolyama? a) 83.18% b) 90.82% c) 98.18% d) 102.0% HELYES VÁLASZOK: 1 – c, 2 – a, 3 – a, 4 – d, 5 – b 71 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő V I I . H A T Á R I D Ő S Á R F O LYA M O K 1. AZONNALI DEVIZAÁRFOLYAMOK A devizaárfolyamokat 4 tizedes pontosságig szokás jegyezni. A bid (vételi) árfolyam az az

árfolyam, amelyen az árfolyamot jegyző vásárolni, az offer (eladási) árfolyam pedig amin eladni hajlandó. A kettő különbsége a devizakereskedő haszna, a spread (marge). A két árfolyam átlaga a középárfolyam bid 1.6620 – 0.5992 – offer 1.6690 EUR/USD 0.6017 USD/EUR (Frankfurt) (New York) Látható, hogy a reciprok jegyzésnél a bid és az offer felcserélődik, mert a dollár vásárlási árfolyama egyben a euró eladási árfolyama. 1.1 A keresztárfolyam Középárfolyamokból könnyű keresztárfolyamot számolni. Ha: 1 USD = 1.8000 EUR, és 1 USD = 1.6000 SFR, akkor: 1 SFR = 1.8/16 = 11250 EUR (Az eredménynek 1-nél nagyobbnak kell lennie, hiszen az euróból a dollárért is többet kellett adni, mint a svájci frankból.) Amennyiben a vételi és eladási árfolyamokból kívánjuk kiszámítani a keresztárfolyamokat, akkor külön figyelmet érdemel, hogy melyik valutát vesszük éppen, és melyiket adjuk el. Az árfolyamjegyző szempontjából

nézve az adásvételt a vásárlást (+), az eladást (–) módon jelölve tegyük fel, hogy a dollár árfolyama euróban: 1.7500 – 1.8500 EUR/USD svájci frankban: 1.5500 – 1.6500 SFR/USD, akkor a közvetlen svájci frank/ euró konverziók árfolyamai: EUR/SFR: 1.0606 – 1.1936, mivel árfolyamjegyzőként úgy vehetnénk frankot euróért, hogy vennénk 1.75 euróért 1 dollárt, ezt pedig eladnánk 1.65 frankért Tehát a frank vásárlási ára: EUR(− ) EUR(− ) USD(+ ) 1.75 = =1.0606 EUR / SFR SFR (+ ) SFR(+ ) USD (− ) 1.65 A frank eladási árát megfordítva kapjuk: EUR(+ ) EUR(+ ) USD(− ) 1.85 = =1.1936 EUR / SFR SFR (− ) SFR(− ) USD (+ ) 1.55 72 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 1.2 A valutakosár A valutakosár a kosárban szereplő valuták és a hozzájuk tartozó súlyok együttese. A forintot régebben az export és az import valutaszerkezetének megfelelő kosárhoz rögzítették, amelynek pontos összetétele nem volt nyilvános Később,

1991 december 9-e után az 50% ECU – 50% USD immár nyilvánosan ismert kosarat használták. Ezt váltotta fel az 50% EUR – 50% USD-kosár 1993 augusztus 1-jétől 1994 május 16 óta a 70% ECU – 30% USD-kosár, 1997 január 1 óta pedig a 30% USD – 70% EUR összetételű kosár volt használatban. 1999 január 1-jétől a forint valutakosarának tartalma 70% euró és 30% USD 2000 január 1-jétől gyakorlatilag azonban megszűnik a forint valutakosárhoz történő rögzítése, mivel az 100%-ban eurót fog tartalmazni10 A forint leértékelése (vagy felértékelése) a kosárhoz képest történik, és nem változtatja meg a forintban kifejezett árfolyamok egymás közti arányait. A rögzítés olyan mindennapos forintárfolyam-kiigazítást jelent, hogy az új árfolyamok tükrözzék az új keresztárfolyamokat, de összességében az árfolyamszint ne változzon a kosárhoz képest Számtani átlagolást alkalmazva és Di-vel jelölve a kosárban szereplő n valuta

közül az i-dik valutát, vi-vel ennek a súlyát, és a dollárt választva kulcsvalutának, a rögzítés formulája: Ft 1 D v i i1 = 1 ∑ Ft 0 i =1 D i0 n (38) azaz a tárgyidőszaki és a bázisidőszaki árfolyamok hányadosainak súlyozott átlaga 1 kell legyen. A (38) összefüggésből a tárgyidőszaki Ft/USD-árfolyamot kell kifejeznünk, a többi árfolyam már adódik a tárgyidőszaki keresztárfolyamokból. Ft 1 USD 1 Ft 1 n Ft 1 D USD 1 D = v i i1 = ∑ i1 ∑ Ft Ft USD 1 0 0 i =1 i =1 D i0 D i0 n n ∑v i =1 i 1 =1 Ft 0 D i1 D i 0 USD 1 Átosztással kapjuk a számtani átlag alapú kosárrögzítés képletét, amelyet 1991. december 19-e előtt a Ft esetében is használtak: Ft 1 = USD 1 1 n ∑v i =1 (40) 1 i Ft 0 D i1 D i 0 USD 1 10 Ez természetesen azóta már bekövetkezett. Az utóbbi évek fejleményeinek leírása a Közgazdaságtani modulrészben található meg, az értékpapírszámtani fejezetben a valutakosarakra vonatkozó számítást

azonban továbbra is a forint példájával közöljük (a szerk.) 73 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A keresztárfolyamokra: Ft 1 Ft 1 D i1 = : USD 1 USD 1 USD 1 50. a) példa Legyen a kosár fele euró, fele dollár, és a bázisidőszaki árfolyamok: 1 USD = 1.5 EUR, valamint 1 USD = 75 Ft a tárgyidőszaki keresztárfolyam: 1 USD = 2.0 EUR Milyen tárgyidőszaki Ft árfolyamok mellett nem változik a Ft árfolyamszintje? Ft1 1 2 = = =85.7143Ft USD1 0.5 05 1 1 + + 50 * 2 75 100 75 Ft1 85.7143 = =42.8571Ft EUR1 2.000 Látható, hogy a EUR-árfolyam csökkent (50 42.9), és a dollárárfolyam nőtt (75 857) Ha a kosár kizárólag dollárból állna, akkor a dollárárfolyam nem változna. (75), és a Ft jobban erősödne a gyengülő EUR-hez képest (75/2=375) Ha a kosár kizárólag euróból állna, akkor a euróárfolyam nem változna. (50), és a Ft együtt gyengülne a euróval a dollárhoz képest (50*2 = 100.0) Az eredményeket a (39) képletbe visszahelyettesítve:

Bázis Tárgy Tárgy/bázis USD 50 42.8571 42.8571/50= 0.8571 EUR 75 85.7143 85.7143/75= 1.1429 0.5* 0.8571 + 05 * 1.1429 = 1 74 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 1991. december 19-e óta mértani átlagolással számolják ki Magyarországon a valutakosár alapján a valutaárfolyamot A mértani átlagolás általános képlete: ⎡ Ft Di1 ⎤ γ i Ft1 = ∏⎢ 0 ⎥ USD1 ⎣ Di 0 USD1 ⎦ (40a) ahol γi hatványkitevő az egyes valuták aránya. A (40a) képlet konkrét formája a mai magyar kosárrögzítés esetére (figyelembe véve a csúszó leértékelést is): Ft1 ⎛ Ft 0 ⎞ 0.3 ⎛ Ft 0 EUR1 ⎞ 07 ⎟ ⎜ ⎟ (1 +α 100 ) =⎜ USD1 ⎜⎝ USD0 ⎟⎠ ⎜⎝ EUR0 USD1 ⎟⎠ (40b) ahol a jelölések megegyeznek a korábbiakkal, és α a tárgynaphoz tartozó leértékelési mérték százalékban. 50. b) példa A bázisidőszaki Ft/EUR-árfolyam 108, az EUR/USD-árfolyam 1.824 A tárgyidőszaki EUR/USD-keresztárfolyam 1.830 Mekkora a tárgyidőszaki

Ft/USD-árfolyam, ha a kosárban 30% dollár és 70% euró van? Ft/USD1 = (197)0.3 *(108 1.83)07 = 197447 2. A HATÁRIDŐS DEVIZAÁRFOLYAMOK ÉS A KAMATPARITÁS A határidős forint/dollár konverzió keretében jövőbeni forintot váltunk át jövőbeni dollárra a jelenben rögzített árfolyamon. Kétféleképpen tehetünk szert előre ismert árfolyamon 1 év múlva 1 dollárra a) prompt dollárvásárlás és dollárbetét-elhelyezés: Ft0 USD0 USD1 75 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő b) Ft-betételhelyezés és határidős dollárvásárlás: Ft0 Ft0 USD1 Az a) esetben nem kell most 1 dollárt vásárolni, elég 1/(1+r$t) dollárt, hiszen ez t idő alatt éppen 1 dollárra kamatozódik fel. A b) esetben ahhoz hogy lejáratkor F forinttal rendelkezzünk, elégséges, ha a jelenben F/(1+rFtt) forintunk van. Mivel mindkét esetben a lejáratkor végül is 1 dollárral rendelkezünk, a két megszerzési mód költsége azonos kell hogy legyen: F S = 1 + rFt t 1 + r$ t

ahol S: F: rFt: r$: (41) a spot piaci árfolyam, a határidős árfolyam, a forintkamatláb, a dollárkamatláb. Ebből átrendezéssel kapjuk a határidős devizaárfolyam képletét: F=S 1 + rFt t 1 + r$ t (42) 51. példa Legyen S=200 Ft/USD, r$=8% és rFt=20% egy évre. Mennyi a féléves Ft/USD termin árfolyam? F = 200*1.10/104 = 211538 HUF/USD 192.307 Ft0 211.538 Ft1 S F 0.9615 USD0 1.0000 USD1 Ahhoz, hogy határidőre 1 dollárunk legyen, nem kell most 1 dollárt vásárolni, csak 1/1.04=09615-et Ehhez 1923 Ft kell Az S=200 Ft/$ árfolyamban megfizetjük az időszak végén keletkező 0.08 $ kamatot is, az F árfolyamon a határidős vásárlással ezt nem kapjuk meg. 76 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A (42) képletet úgy is értelmezhetjük, mint amelynek bal oldala egy tényleges (outright) határidős ügylet, a jobb oldala egy szintetikus határidős ügylet. Ha a (42) képlet nem teljesülne, akkor arbitrázslehetőség keletkezne 51. példa

(folytatás) Ha a határidős árfolyam pl. 215 Ft/$ lenne, akkor érdemes lenne – 1 dollárt határidőre eladni, – 192.307 Ft hitelt felvenni, – ezt 0.9615 dollárra spot átváltani, – ezt dollárban kamatoztatni. Lejáratkor van 1 dollárunk a betétből és az érte kapott 215 Ft-ból törlesztés, és kamat címén kifizetünk 211.538 Ft-ot, a maradék a tiszta profit Ha ellenkezőleg, a határidős árfolyam kisebb lenne, mint 211.538 Ft, akkor az előbbi 4 ügyletet az ellenkező irányba megkötve jutnánk kockázatmentes profithoz A 3.23 ábra mutatja, hogy ugyanazon alapösszefüggésből miként állíthatók elő az egyszerű egyenletrendezés szabályait követve új megfogalmazásai a (41), illetve (42) képletnek a) HUF 0 HUF 1 HUF 0 = b) USD1 USD0 USD1 HUF 1 HUF 0 HUF 1 USD0 USD1 = USD1 c) HUF 0 HUF 1 Szintetikusdollár betét = USD0 USD1 Szintetikushatáridõs ügylet USD0 USD1 3.23 ábra A 3.23 c) ábra jobb oldala egy dollár betét, a

bal oldala egy forintbetéttel előállított szintetikus dollárbetét Az ennek megfelelő képlet az ún kamatparitás: 1 + r$ t = S 1 + rFt t F (43) 77 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A kamatparitás nem a különböző devizanembeli kamatlábak szükségszerű azonosságát mondja ki, hanem azt, hogy a kamatláb-különbözetnek tükröződnie kell a termin és a prompt árfolyam százalékos eltérésében. Másképp fogalmazva: a külföldi befektetőt nemcsak a forintkamatláb érdekli, hanem a forint megszerzési és eladási árának viszonya, azaz a külföldi a (43) jobb oldala alapján számol. A (43) nem teljesülése esetén lép életbe a kamatarbitrázs: hitelfelvétel az egyik, hitelkihelyezés a másik devizában, kiegészítve az át- és visszaváltással. Ezek hiányában csak a két hitelművelet nem ad zárt hurkot, nem arbitrázs az ügylet, hanem nyitott pozíciót kapunk. HUF0 HUF1 USD 0 USD1 3.24 ábra A kamatarbitrázs 3. ÉRTÉKPAPÍROK

HATÁRIDŐS (FORWARD) ÁRFOLYAMA Az értékpapírok birtoklása jövedelmet (osztalék, kamat stb.) biztosít, amelyet vagy: a) abszolút összegben (Ft-ban, dollárban) adhatunk meg egy adott időszakra (részvény osztaléka, kötvény kamatszelvénye), vagy b) százalékos hozam formájában adhatunk meg (deviza kamatozása, részvényindex osztalékkifizetései). A határidős árfolyam meghatározásakor most nem foglalkozunk a tárolási költségekkel, illetve az ún. kényelmi hozammal, ami az azonnali felhasználhatóságból ered (long Brent olaj futures kötéssel nem lehet elmenni a legközelebbi benzinkútig) – ezt a két tényezőt elsősorban az árucikkeknél (commodity) nehéz figyelmen kívül hagyni. Legyen: 0 – a jelenlegi időpont, t – a határidős ügylet lejáratának időpontja (a t–0 különbséget években mérjük), S – az azonnali árfolyam, St – a lejáratkori prompt árfolyam, K – a határidős kötésben rögzített árfolyam (teljesítési

árfolyam – delivery price): az ügylet megkötésekori forward árfolyam, amin a forward ügylet végül is lebonyolódik majd, F – a jelenlegi forward árfolyam, f – a forward ügylet értéke, q – a papír által a (0, t) időszakban biztosított jövedelmek százalékos hozama, r – a folytonos kamatláb a (0, t) időtartamra. 78 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 3.1 A határidős árfolyam nagysága a lejáratig adott összegű jövedelmet biztosító papírra Ha a jelenben megvesszük a papírt, akkor: – a jelenben S forintot kell fizetni, – a t időpontban rendelkezünk a papírral, – a t időpontig kapjuk a papírból eredő (osztalék, kamat stb.) jövedelmet Jelölje ezek jelenértékét I. Ha határidőre vesszük meg a papírt, akkor: – az F forintba kerül, amely a t időpontban fizetendő, – a t időpontban rendelkezünk a papírral, – a t időpontig nem kapjuk a papírból eredő jövedelmet. A papír prompt megvásárlásával valójában

két dolgot veszünk meg: – I forintért a t időpontig esedékes kifizetéseket, – S–I forintért a t időpont után esedékes kifizetéseket. Az (S–I) értéket szokták korrigált prompt árfolyamnak is nevezni. Az (S–I) a t időpontbeli papír jelenbeni árfolyama, az F ugyanennek t időpontbeli árfolyama Csak a fizetés időpontjában van különbség, így fenn kell állnia az F = (S − I ) e r t (44) összefüggésnek. Hasonló eredményre jutunk, ha a következő két portfóliót tekintjük a 0 időpontban: A portfólió: egy long forward kötés + Ke–rt összegű pénz B portfólió: egy db papír, amelynek megvásárlásához I összegű hitelt vettünk fel. A lejáratkorra (t időpontra) az A portfólió pontosan 1 db akkori papírral lesz azonos, hiszen a Ke–rt összegű pénz és a K határidős vásárlási szerződés birtokában biztos, hogy az akkori árfolyamtól függetlenül pontosan 1 papírunk lesz. A B portfólió is pontosan 1 db papír

birtoklását jelenti lejáratkor, mivel az addigi jövedelmek révén visszafizetjük a tartozást. Így a két portfólió jelenértéke is azonos: f + K e − rt = S − I (45) Innen a forward kötés értéke: f = (S − I ) − K e − rt = ( F − K) e − rt (45a) Látható, hogy az az F határidős árfolyam, amelyet K helyébe helyettesítve az f értéke nullának adódik, megegyezik a (44) képlettel. A határidős ügylet megkötésének pillanatában a forward ügylet értéke zérus, ezért nem fizetnek egymásnak a partnerek A forward ügylet hátralevő időtartama alatt az f értéke pozitív, illetve negatív is lehet, a pillanatnyi árfolyamtól függően (K az a rögzített árfolyam, amin mi kötöttük meg a határidős ügyletet, az F a mindenkori forward árfolyam.) A lejáratkor az f értéke a forward ügylet nyeresége/vesztesége, azaz a lejáratkori prompt árfolyam és az eredeti forward árfolyam (K) különbsége. 79 Tőzsdei Szakvizsga

Felkészítő 52. példa Adott egy 4 éves futamidejű kötvény, árfolyama 92%, névértéke 10,000 Ft, névleges kamatlába 20%, félévenkénti kamatfizetéssel. (Ez 245% hozamnak felel meg) Mennyi a 9 hónapos határidős árfolyama a kötvénynek, ha az 1 évnél rövidebb hitelek kamatlába évi 23% (ami 20.7% folytonos kamatlábnak felel meg), és a soron következő kamatfizetés fél év múlva esedékes? I= 1,000*e–0.5*0.207 = 90168 S–I= 9,200–901.68 = 8,29832 F= 8,298.32*e0750.207 = 8,29832*1.168 = 9,69203 Mennyi ennek a forward kötésnek az értéke 3 hónap múlva, ha akkor a prompt árfolyam S=93%, és a kamatláb nem változik? Mekkora lesz ez esetben az akkori 6 hónapos forward árfolyam? I= 1,000*e–0.25*0.207 = 94957 S–I= 9,300–949.57 = 8,35043 F= 8,350.43*e0.5*0.207 = 8,35043*1.109 = 9,26101 f= 8,350.43 – 9,69203*e–0.5*0.207 = 8,35043 – 8,73907 = –38864 Azért vált negatív értékűvé a forward értéke, mert a prompt árfolyam csak kevéssé

emelkedett. Ha 3 hónap múlva a prompt árfolyam 92*e0.25*0.207 = 9689 lenne, akkor az ehhez tartozó 6 hónapos forward árfolyam megegyezne az eredeti 9 hónapos forward árfolyammal, és a forward pozíció értéke továbbra is zérus lenne. Megjegyzendő, hogy a short forward pozíció értéke: +388.64 Általában a kötvényeket, részvényeket szokás úgy kezelni, mint amelyek előre ismert összegű jövedelmet biztosítanak a határidős ügylet lejáratáig. A devizákat és a részvényindexet szokás úgy tekinteni, mint amelyek folyamatos jövedelmet biztosítanak (az indexben szereplő sokféle részvény osztalékfizetése időben szétszóródott), és inkább százalékos nagyságukkal, mint abszolút öszszegükkel számolhatunk. 3.2 A határidős árfolyam nagysága a lejáratig adott százalékos hozamú (q) jövedelmet biztosító papírra Tekintsük a két következő portfóliót a 0 időpontban: A portfólió: egy long forward kötés + Ke–rt összegű

pénz, B portfólió: e–qt db papír, és a folyamatosan realizált jövedelmet folyamatosan a papírba fektetjük. Láttuk, hogy lejáratkorra (t időpontra) az A portfólió pontosan 1 db akkori papírral lesz azonos. A B portfólió is pontosan 1 db papír birtoklását jelenti lejáratkor, mivel az addigi folyamatos újrabefektetés révén az állomány eqt-szeresére növekszik (ezért választottuk az induló állományt e-qt nagyságúnak). Így a két portfólió jelenértéke is azonos: f + K e − rt = S e − qt (45b) Innen a forward kötés értéke: 80 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő f = S e − qt − K e − rt = ( F − K) e − rt (45c) a határidős árfolyam pedig: F = Se ( r − q ) t (44a) Ha az I=0 illetve a q=0, azaz az értékpapír a határidőig nem biztosít jövedelmet, akkor a (44) és (44a) egyaránt az F = Se rt (44b) formulára egyszerűsödik: ekkor a határidős ügylet csak annyit jelent, hogy később fizetünk, és annyival többet,

amilyen mértékben a bankban kamatozna a pénzünk. A devizák esetén a q helyébe a külföldi, az r helyébe a belföldi kamatlábat helyettesítve a kamatparitás összefüggését kapjuk, így erre most nem hozunk újabb példát. 4. A HATÁRIDŐS ÁRFOLYAM ÉS A VÁRHATÓ JÖVŐBENI PROMPT ÁRFOLYAM Első lépésben tekintsünk el a lejáratig esedékes jövedelmektől (I=0). A kockázatos eszközök árfolyama ekkor várhatóan az elvárt hozam nagyságának megfelelően nő Legyen ennek nagysága k A jelenbeni prompt árfolyam és a határidős árfolyam a kockázatmentes hozamnak (r) megfelelő százalékkal tér el egymástól, a jelenbeni prompt árfolyam és a jövőbeni várható prompt árfolyam pedig a kockázatos hozamnak (k) megfelelő százalékkal. 53. példa Valamely részvény árfolyama 60 $. Az elkövetkező fél éven belül nem fizet osztalékot A részvény elvárt névleges hozama évi 20%. Mennyi a 6 hónapos termin árfolyama, ha a kamatláb évi 10%? F =

60*1.05 = 63 $ Mennyi a fél év múlva várható azonnali árfolyama? S1 = 60*1.10 = 66 $ Felvetődik a kérdés, hogy nincs-e 3 dollárnyi arbitrázslehetőség? Nincs, mert a részvényvásárlás + a short forward kockázatmentes befektetés (ismerjük a vételárat és az eladási árat) hozama csak a kockázatmentes kamatláb lehet. A részvényvásárlás + a lejáratkori azonnali árfolyamon való eladás viszont kockázatos befektetés. Míg a 63 fix szám, addig a 66 lehet akár 56 vagy 76 is Mennyi a forward árfolyam és a lejáratkorra várható prompt árfolyam, ha a részvény fél év múlva 1 $ osztalékot fizet? A 60 dollárnyi befektetés féléves kockázatmentes hozama ekkor is 3 $ kell hogy legyen, a részvény kockázatának megfelelő befektetés pedig 6 $. Mivel ebből 1 $ az osztalék, az árfolyamnyereség 2 $, illetve várhatóan 5 $ kell hogy legyen F = 60*1.05–1 = 63–1 = 62 $ S1 = 60*1.10–1 = 66–1 = 65 $ 81 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 5.

HOZAMGÖRBE-ELMÉLETEK A hozamgörbe alakját az alapján magyarázhatjuk, hogy az egyes lejárati tartományokban mi a kereslet-kínálat viszonya. Ennek megértésére válasszunk ki két pontot: az egyéves és a kétéves lejáratot – az előbbi (egy 1 éves zérókupon-kötvény) képviselje a rövid, utóbbi (egy 2 éves zérókupon-kötvény) a hosszú távú befektetéseket. A kiválasztott két kötvény jelenti a befektetések kínálati oldalát A keresleti oldalt egy-egy befektető: az előbbi 1 évre, utóbbi 2 évre szeretne befektetni Egy lehetséges magyarázat, hogy a rövid távú befektető a rövid lejáratú papírt, a hosszú távú befektető a hosszú lejáratú papírt preferálja. Az emelkedő hozamgörbe magyarázata ekkor: a hosszú lejáratra relatíve kevesebb a megtakarító és több a hitelfelvevő, a rövid lejáratnál pedig a megtakarítók vannak többségben: tehát a rövid lejáratú kamatláb alacsonyabb Kérdés, hogy miként lehet hosszú

papírt felhasználni a rövid befektetéshez és fordítva? A válasz alapján újabb magyarázatot adhatunk a hozamgörbe alakjára vonatkozóan. Egy fix kamatozású papír lejárat előtti eladása egyenértékű azzal, ha a papírt lejáratig megtartjuk és a hátralevő időre az aktuális piaci kamatlábon hitelt veszünk fel. a) 1 éves kötvényt vásárol b) 2 éves kötvényt vásárol, 1 éves határidőre eladja 1. év ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯ c) 2 éves kötvényt vásárol, 1 év múlva prompt eladja ⎯⎯⎯⎯ 2. év ⎯⎯⎯ ←⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ← ⎯ ⎯ Az a) és b) eset kockázatmentes, és azonos esetet jelent, a c) eset viszont kockázatot rejt magában: előre ismeretlen, hogy milyen áron lehet majd eladni a kötvényt 1 év múlva, így az első évre jutó hozam sem ismert. A 2 évre befektető 3 lehetősége: 1. év 2. év ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ a) 2 éves kötvényt vásárol b) 1 éves kötvényt vásárol, és most határidőre

vásárol még egyet a 2. évre c) 1 éves kötvényt vásárol, és majd lejáratkor vásárol egy újabb 1 évest a 2. évre ⎯⎯⎯ ⎯ ⎯ Az a) és b) eset kockázatmentes, és azonos esetet jelent, a c) eset viszont kockázatot rejt magában: előre ismeretlen, hogy milyen áron lehet majd 1 év múlva megvenni a kötvényt a második évre. Legyen r1 és r2 az 1 és 2 éves kamatláb, 1f2 a határidős 1 év múlvai 1 éves kamatláb, E(1r2) pedig az 1 év múlvai 1 éves azonnali kamatláb várható értéke a jelenlegi ismereteink szerint. A lehetőségek táblázatba foglalva: Kockázat nincs van 1 évre - befektetés 2 évre 1+r1 = (1+r2)2 /(1+1f2) (1+r2)2 = (1+r1)(1+1f2) (1+r2)2/(1+1r2) (1+r1)(1+1r2) 82 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Látható, hogy a különbség az ismeretlen 1r2 és az ismert 1f2 használatából ered. 54. példa Legyen az 1 éves kamatláb 20%, a 2 éves 24%. Mi a célszerű befektetési stratégia a rövid, illetve hosszabb távra

befektetőnek, ha a második évre várható 1 éves kamatláb magasabb, illetve alacsonyabb, mint a határidős kamatláb? A kamatparitás alapján a határidős kamatláb a második évre 28.1% Legyen a második évre várható 1 éves kamatláb 29%. Az 1 évre befektető az első év végén a várhatóan magas kamatláb miatt csak alacsony árfolyamon tudja majd eladni a kétéves kötvényét, így eredő hozama alacsony: 1.24*1.24/129–1= 192% Ha a várható kamatláb alacsonyabb, mint a határidős kamatláb, mondjuk 27%, akkor érdemes az első évben a kétéves kötvényt birtokolni, mert az év végén várhatóan jó áron lehet majd eladni: 1.24*1.24/127– 1= 21.1% Az 1 éves kötvény alternatíva 20% hozamot biztosít mindkét esetben A két évre befektető akkor választja a kétéves kötvény helyett a két egymást követő 1 éves kötvényt, ha a második évre várható kamatláb nagyobb, mint a határidős kamatláb. 1.20*1.281 = 124*1.24 = 1538, azaz évi

240% hozam 1.20*1.290 = 1548, azaz évi 244% hozam 1.20*1.270 = 1524, azaz évi 235% hozam A hosszabb távra befektető akkor fog rövid lejáratú kötvényt vásárolni, ha a jövőbeni várható kamatláb magasabb, mint a határidős kamatláb. A rövid távra befektető akkor fog hosszú lejáratú kötvényt vásárolni, ha a jövőbeni várható kamatláb alacsonyabb, mint a határidős kamatláb. Mindkét esetben a jövőbeni kamatláb alkalmas viszonyítási értéke a határidős kamatláb. A kamatparitást ez esetben arra használtuk, hogy segítségével kifejezhessük az 1f2 értékét, ami az 1r2-vel közvetlenül összehasonlítható formában tartalmazza az r1-ben és r2-ben rejlő információt Az ún. várakozási elmélet szerint a hozamgörbe alakjából a rövid lejáratú kamatláb jövőbeni alakulására lehet következtetni Az érvelés két láncszeme: 1) A különböző lejáratú kamatlábakból kiszámítható a határidős kamatláb. 2) A határidős

kamatláb a jövőbeni prompt kamatláb előrejelzése. Az emelkedő hozamgörbéből ez alapján a rövid kamatláb jövőbeni emelkedése olvasható ki. A fordított állású hozamgörbéből számított határidős kamatláb kisebb a jelenlegi rövid kamatlábnál, így a jövőbeni kamatláb is várhatóan kisebb lesz. Ezzel a logikával egybeesik az a magyarázat, hogy ha az infláció csak átmenetileg nő meg, akkor a rövid kamatlábak nagyobbakká válnak a hosszú kamatlábaknál – hiszen ez utóbbiakba nem épül bele a teljes futamidőre a jelenlegi kamatszint –, és együtt jár a rövid kamatlábak várható visszaesése a fordított állású hozamgörbével. A vízszintes hozamgörbe a kamatlábak változatlanságát jelzi előre. 83 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 6. A HOZAMGÖRBE KISZÁMÍTÁSA KÖTVÉNYADATOKBÓL 55. példa Adott 6 kötvény árfolyama: három kötvény névleges kamatlába 10%, a másik háromé 20%. Futamidejük rendre 1, 2, 3 év.

Árfolyamaik: Futamidő 1 év 2 év 3 év 10% 93.220 83.606 75.882 20% 101.695 98.911 96.694 Ez alapján a hozamaik (IRR): Futamidő 1 év 2 év 3 év 10% 18.0% 20.8% 21.8% 20% 18.0% 20.7% 21.6% Vízszintes hozamgörbe esetén mind a 6 hozam azonos lenne. Akármilyen meglepőnek is tűnhet, ez a 6 árfolyam, illetve hozam konzisztens. Kérdés, miként állapítható meg, hogy milyen hozamgörbét tükröznek? Először a 3 éves kamatlábat határozzuk meg. 2 db 10%-os szelvényű kötvény az első 2 évben azonos 1 db 20%-os szelvényű kötvénnyel, a 3 évben pedig 100-zal több a cash flowelem Az árkülönbözet ennek a 3 évbeli 100 Ft-nak az ára: 2*75.882–96694 = 55070 (100/55.070)1/3 = 18161/3 = 1220 Azaz a 3 éves kamatláb 22%. Hasonlóan a 2 éves kamatláb: 2*83.606–98911 = 68301 (100/68.301)1/2 = 14641/2 = 1210 Azaz a 2 éves kamatláb 21%. Az 1 éves kamatláb 18%. Könnyen utána lehet számolni, hogy a 18%, 21%, 22% sorozatból álló hozamgörbével

diszkontálva a 6 kötvényt, pont a fenti árfolyamokat kapjuk. Amennyiben elfogadjuk, hogy a számpéldában szereplő 3 éves kamatláb egyensúlyban van a 2 éves kamatlábbal – azaz egyformán jó befektetés 2 évre befektetni 21% mellett, illetve 3 évre a 22% mellett –, akkor csak látszatra ígér magasabb hozamot a 10% szelvényű 3 éves kötvény, mint a 20% névleges kamatozású. A köztük levő 02% hozamtöbblet az eltérő durationből adódik: a kisebb névleges kamatozású papír átlagos futamideje valamivel hosszabb, a hozamtöbblet ez esetben kizárólag ebből fakad, a két kötvénybefektetés egyformán jó. Az IRR alapján való sorolás ez esetben is félrevezető 84 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 55. példa (folytatás) A 3 éves futamidőre a 75.882, illetve 96694 árfolyamok a 10%, illetve 20% szelvényű kötvényre azonos hozamgörbét tükröznek (Az IRR-mutatók 218%, illetve 216%) Ha a 20% szelvényű papír árfolyama kisebb lenne, mint

az egyensúlyi érték (96.694 helyett mondjuk 96.690), akkor egyértelműen ez jobb befektetés, de az IRR mutatója még mindig alatta maradna a 10% szelvényűnek. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Mennyi a határidős árfolyama a féléves dollárnak, ha a prompt árfolyam 100 Ft, a Ft-kamatláb 6 hónapra évi 24%, a dollárkamatláb 8%? a) 100*1.24/108 b) 100*1.12/104 c) 100*1.08/124 d) 100*1.04/112 2. Mit tenne, ha a dollár azonnali árfolyama decemberben 19711 HUF/USD lenne, 25%-os éves kamat mellett forinthitelt, 65%-os kamat mellett dollárhitelt vehetne fel, és ugyanilyen kamatlábak mellett hitelt is nyújthatna, és a tőzsdén a júniusi dollár-futures éppen 216.5 HUF/USD-árfolyamon állna? a) Forintban hat hónapos hitelt venne föl 25%-os éves kamat mellett, a spot piacon átváltaná dollárra, dollárban kihelyezné 6 hónapra évi 6.5%-os kamat mellett, és a dollárját határidőre eladná forint ellenében a tőzsdén. b) Nem tenne semmit, ez a határidős

árfolyam egyensúlyinak tekinthető. c) Dollárban hat hónapos hitelt venne föl 6.5%-os kamatlábra, majd ezt befektetné forintban egy azonnali átváltást követően 25%-os kamatláb mellett. d) Forintját átváltaná dollárra, és várná a forint leértékelését, hiszen a kamatkülönbözet ezt indokolja. 3. Önnek néhány hónap múlva várhatóan 10 MFt körüli összegű bevétele lesz, és ezt az összeget szeretné kb. 1 évre befektetni úgy, hogy már most pontosan ismerje befektetése hozamát Az alábbiak közül mit tehet? a) Nem tehet semmit. b) A BÉT-en a bevétel várható időpontjára eső lejáratra 10 kötésnyi long pozíciót nyithat államkötvényre. c) A BÉT-en a bevétel várható időpontjára eső lejáratra 10 kötésnyi short pozíciót nyithat államkötvényre. d) A BÉT-en egyéves lejáratra 10 kötésnyi short pozíciót nyit államkötvényre. 85 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 4. Mennyi a 9 hónap múlva kibocsátandó 3 hónapos

diszkont kincstárjegy határidős árfolyama, ha az 1 éves kamatláb 24%, a 9 hónapos hitelek kamatlába is évi 24%? a) 100 b) 100/1.24 c) 100/1.18 d) 118/1.24 5. A 12% névleges kamatozású, 20 év futamidejű államkötvényre szóló jövő decemberi futures árfolyam 90%, miközben most decemberben e kötvény prompt árfolyama 88% Mennyi a pénzpiacon az egyéves fontkamatláb, ha nincs arbitrázslehetőség? a) 2.27% b) 15.91% c) 14.27% d) 3.91% HELYES VÁLASZOK: 1 – b, 2 – a, 3 – b, 4 – d, 5 – b 86 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő VIII. OPCIÓK ÁRAZÁSA A váltók és kötvények árazásánál az idő, a részvényeknél ezen túlmenően a kockázat megfelelő mérése és figyelembevétele játszotta a főszerepet. Az opciók vásárlásával feltételes jövedelmekre teszünk szert, mivel az opció értéke az opció tárgyának értékétől függ. A határidős ügyletek értéke ugyanúgy a határidős ügylet tárgyának árfolyamától függ.

Ezért szokták a határidős, opciós és az egyéb hasonló ügyleteket származtatott (derivatív) ügyleteknek nevezni. A – biztos jövőbeni, – bizonytalan jövőbeni, – feltételes jövőbeni jövedelmeknél más és más szerepet játszik a kockázat. A biztos jövőbeni jövedelmeknél (kötvény) eltekintettünk a kockázattól A részvénynél sok forrásból eredt a kockázat, ezek a diverzifikációval csökkenthetők voltak, kivéve a gazdaság egészének működéséből fakadó szisztematikus kockázatot. A származékos ügyleteknél – a jelen könyvben tárgyalt eseteknél – egyetlen forrása van a kockázatnak, és ez a származékos ügylet tárgyának árfolyamából fakad. Innen ered – amint azt hamarosan látni fogjuk –, hogy ezekben az esetekben a kockázat nemcsak csökkenthető, hanem megfelelő arányban párosítva az opció tárgyát és az opciós pozíciót, a kockázat meg is szüntethető, így a diszkontáláshoz a kockázatmentes

kamatláb használható Előbb azonban lássuk az opciókkal kapcsolatos alapfogalmakat 1. VÉTELI ÉS ELADÁSI OPCIÓ A vételi opció (call option) olyan kétoldalú ügylet, amelyben az egyik fél az opciós díj (option premium) jelenbeni megfizetése fejében jogot szerez arra, hogy egy meghatározott jövőbeni napon valamely termék megadott mennyiségét előre megállapított árfolyamon, az ún. kötési árfolyamon (exercise price, strike price) megvehesse. Az opciós ügylet másik résztvevőjét, aki a díj ellenében kötelezettséget vállal, az opció kiírójának (writer) nevezik. A vételi opció sémája: jogosult vásárolhat E árf.-on díj (C) ⎯⎯⎯ kötelezett (kiíró) el kell adnia E árf.-on Az opció tárgya (underlying asset) lehet pénzügyi termék is: deviza, értékpapír, arany, részvényindex, illetve ezekre szóló határidős pozíció is. Az opció lehívásának (exercise) nevezik, ha az opció jogosultja él a jogával. Európainak

nevezik az olyan opciókat, amelyeket csak a lejárat napján lehet lehívni, amerikainak azokat, amelyeket a lejáratig bármikor le lehet hívni. Lejárat után már nem lehet lehívni az opciót Az eladási opciónál (put option) a jogosult a díj ellenében arra szerez jogot, hogy lejáratkor a kötési árfolyamon adhassa el az opció tárgyául szolgáló árut az opció kiírójának. Bevett szóhasználat, hogy a jogosult long (hosszú), a kötelezett short (rövid) pozícióban van az opciós piacon azzal összefüggésben, hogy maga az opció is lehet adásvétel tárgya (traded options). 87 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő LC: long call = vételi jog SC: short call = eladási kötelezettség LP: long put = eladási jog SP: short put = vételi kötelezettség A vételi opció vevője vásárolhat, az eladási opció kiírója köteles vásárolni a kötési áron. Az előbbire a kötési árnál magasabb, az utóbbira a kötési árnál alacsonyabb prompt árfolyam

mellett kerül sor Amennyiben a lejárati napon a prompt (azonnali) árfolyam vételi opciónál alacsonyabb, illetve eladási opciónál magasabb, mint a kötési árfolyam, akkor a vételi opció jogosultja nem köteles vásárolni, az eladási opció jogosultja pedig eladni a kötési árfolyamon. Ez döntő különbség az opciós (régi magyar elnevezéssel: díjügylet) és a határidős (forward vagy futures) ügylet között: utóbbinál ugyanis a lejáratkori prompt árfolyamtól függetlenül megtörténik az adásvétel, emiatt viszont nincs is díjfizetés egyik fél részéről sem a másiknak az ügyletkötéskor. A várakozások változása miatti kereslet-kínálat ingadozás a határidős piacokon a határidős árfolyam változásában jelentkezik. Az opciós ügyleteknél a kötési árfolyamok rögzítettek, itt az opció vásárlója által fizetett díj, a prémium nagyságának változása hozza összhangba a keresletet a kínálattal. Tőzsdén kívül

tetszőleges kötési árfolyamra lehet ügyletet kötni. Az opciós tőzsdéken is egyszerre több (jellemzően 5) kötési árfolyamot jegyeznek, amelyek egyenlő lépésközökben növekedve fogják közre az aktuális prompt árfolyamot. Ha a prompt árfolyam drasztikusan elmozdul, akkor új kötési árfolyamot vesznek fel a listára Attól függően, hogy a jelenlegi árfolyam mellett a jelenben nyereséggel, veszteséggel vagy hozzávetőlegesen zérus eredménnyel lehetne érvényesíteni az opciós jogot, beszélnek: – ITM: in-the-money, – OTM: out-of-the-money, – ATM: at-the-money opcióról. Tehát egy opció ITM, ha vételi opció esetén a kötési árfolyam alacsonyabb (eladási opciónál pedig magasabb), mint a pillanatnyi prompt árfolyam. Az OTM-opció díja nyilván kisebb, mint az ITM-opcióé. OTM-opciót azért vásárolnak, mert ha az árfolyam kellő mértékben javul (vételi opciónál ha nő, eladási opciónál ha csökken), akkor a jogot az adott

kötési árfolyam mellett is nyereségesen lehet érvényesíteni. Ennek a reménynek a beteljesüléséhez viszont idő kell 88 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 2. AZ OPCIÓK ÉRTÉKE LEJÁRATKOR Az opciók értékelésének előfeltétele, hogy tudjuk, mennyit érnek a lejáratkor, hiszen a lejárat előtt – az opciós ügylet megkötésekor – az opció lejáratkori értékét adjuk-vesszük, ezt kell tudni beárazni. A kötési árfolyamot E-vel, a call-ért fizetett díjat C-vel, a put-ért fizetett díjat P-vel jelöljük a továbbiakban. A pillanatnyi árfolyam jele S (vagy S0), a lejáratkori prompt árfolyam S1 56. példa Legyen az ABC részvény árfolyama S=56 $. A úr fizet B úrnak 400 $-t, hogy 1 év múlva vehessen tőle 100 darab ABC részvényt darabonként E=55 $-ért Mennyi az opciós díj? Mi történik a lejáratkori prompt árfolyam különböző értékeinél? C = 400/100 = 4 $/db A vételi opció lehívás nélkül jár le: Árfolyam $ 45 50 55

Opció értéke 0 0 0 Jogosult nyeresége -4 -4 -4 Kiíró nyeresége 4 4 4 Opció értéke 5 10 15 Jogosult nyeresége 1 6 11 Kiíró nyeresége -1 -6 -11 Élve a vételi joggal: Árfolyam $ 60 65 70 A táblázatban a nyereség/veszteség számok 1 db részvényre vonatkoznak, így 100-zal szorzandók. Ezenfelül még korrigálni kell a fizetett díjra jutó kamattal Ha a kamatláb r=10%, akkor a táblázatban a jogosultnál mindenhol le kell vonni, a kötelezettnél hozzá kell adni darabonként 0.4 $-t a feltüntetett értékekhez S1=70, r=10% esetén tehát a jogosult árfolyamnyeresége: 100*15 fizetett díja: 100*4 ennek kamata: 100*0.4 összesen: 100*(15 – 4.4)=1,060 $ a teljes nyeresége A 3.25 ábra a call és a put opció értékét, a 326 ábra az opciós pozíciók nyereségét mutatja a lejáratkori prompt árfolyam függvényében. A 327 a) ábra a vételi jog révén elérhető vásárlási, a 327 b) ábra az eladási jog révén elérhető eladási árakat

ábrázolja, a lejáratkori prompt árfolyam függvényében, öszszevetve a jövőbeni prompt piaci, illetve határidős piaci ügyletekkel. 89 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Vételi opció értéke V teli opci rt ke Eladási opció értéke Long put Long call E E S Short call S Short put E E S S 3.25 ábra A call és put opció értéke Megjegyzendő, hogy az opció értéke sohasem negatív, mert nem kötelező lehívni. Long put nyeresége Long callcall nyeresége Long nyeres ge E E S S Short Shortcall callnyeresége nyeres ge Short put nyeresége S S E E 3.26 ábra Az opciós pozíciók nyereségfüggvénye Akármennyi is a lejáratkori prompt árfolyam, a jogosult maximális vesztesége a fizetett díj. Ennyi a kiíró maximális nyeresége. A nyereségküszöb (break even) – ahol sem a jogosult, sem a kötelezett nem nyer és nem veszít – ott van, ahol az árfolyamnyereség megegyezik a fizetett díj felkamatoztatott értékével. Vételi

jognál: S1–E = C(1+rt) azaz S1 = E+C(1+rt) Eladási jog nyereségküszöbe: 90 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő E–S1 = P(1+rt) azaz S1 = E–P(1+rt) V tel r Vételár Eladási ár c c a a E+C E=F E=F E-P b b C E=F S E=F 3.27 a) ábra Vételár call opcióval (a), határidős (b) és jövőbeni prompt ügylettel (c) S 3.27 b) ábra Eladási ár put opcióval (a), határidős (b) és jövőbeni prompt ügylettel (c) A 3.27 ábrákról látható, hogy az opciós ügylettel szinte mindig a legjobb árhoz közeli árat érhetjük el, akár magas, akár alacsony a lejáratkori prompt árfolyam, és akár vételről, akár eladásról van szó. Ennek a széles tartományon érvényesülő biztonságnak viszont ára van: nincsen olyan lejáratkori prompt árfolyam, amely mellett az opciós ügylettel lebonyolított vásárlás vagy eladás lenne a legjobb megoldás 3. OPCIÓS ALGEBRA Hasznos jelölést vezetünk be, hogy az összetett opciós pozíciókkal is

könnyen lehessen számolni. LC: (0,1) (E) Jelentése: a jobb oldali zárójelben megadjuk az opció kötési árfolyamát, a bal oldali zárójelben az opciós pozíció lejáratkori nyereségfüggvényének meredekségét a töréspont előtt és után. 3 db E=60-as kötési árfolyamú vételi jog esetén ennek értelmezése: 3 LC60: (0,3) (60) Ha lejáratkor az árfolyam pl. 50 $, akkor nem nyerünk többet vagy kevesebbet, ha az árfolyam egységnyivel nagyobb vagy kisebb lenne, ellenben ha 60 $ fölött van, akkor 1 $ árfolyam-növekedés a prompt árfolyamban 3 $ többletnyereséget jelent az opciós pozícióban. Ha egyértelmű, hogy éppen milyen kötési árfolyamra gondolunk, akkor a jobb oldali zárójelet el is hagyhatjuk. A négy opciós alappozíció nyereségfüggvényének meredekségei lejáratkor: vételi jog LC: (0, 1) eladási kötelezettség SC: (0,-1) eladási jog LP: (–1, 0) vételi kötelezettség SP: (1, 0) 91 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ha

különböző kötési árfolyamú opciókat akarunk együtt kezelni, akkor nem spórolhatjuk meg a jobb oldali zárójelet, mivel a LC60: (0,1,1) (60,70) LC70: (0,0,1) (60,70) felírás mutatja, hogy különböző kötési árfolyamú vételi jogok nyereségfüggvényeinek eltérő helyeken van a töréspontja. Amennyiben több kötési árfolyam is szerepel egyidejűleg, akkor változhat egyazon pozíció felírási módja: LC60: (0,1)(60) = (0,1,1) (60,70) = (0,0,1) (50,60) 57. példa Elő lehet-e állítani put opciókból is azt az eredő pozíciót, amit 60-as long call és 70-es short call jelent? LC60: (0,1,1) (60,70) SC70: (0,0,–1) (60,70) (0,1,0) (60,70) Ugyanez put opciókból: LP60: (–1,0,0) (60,70) SP70: (1,1,0) (60,70) (0,1,0) (60,70) Ezzel a pozícióval a későbbiekben mint függőleges különbözet (vertical spread) pozícióval találkozunk. 4. A FUTURES MINT ÖSSZETETT OPCIÓ Az európai opciókra vonatkozó következő összefüggés alapvető fontosságú:

LC: (0,1) vételi jog SP: (1,0) vételi kötelezettség LF: (1,1) vétel határidőn azaz: long futures = long call + short put Ez alapján beárazhatjuk a put opciókat: long put = long call + short futures azaz az eladási jog (LP) olyan határidős eladás, amelytől visszaléphetünk, tehát egy biztos (feltétel nélküli) határidős eladás (SF) és egy vételi jog (LC) együttese. 92 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 5. PARITÁSOK ÉS ARBITRÁZS AZ OPCIÓS PIACOKON 1) A put-call paritás azon alapul, hogy egy vételi jog és egy vételi kötelezettség együttesével szintetikusan előállítható egy long futures. Emiatt létezik arbitrázslehetőség a piaci futures és a szintetikus futures között: például határidőre vásárolunk (mindenképpen!) az opciós piacon, és az ezzel egyidejűleg létesített short futures révén eladunk a futures piacon. Egy E kötési árfolyamú (devizára vagy hitelügyletre vonatkozó) európai call opció vétele és egy

ugyancsak E kötési árfolyamú európai put eladása biztos, E árfolyamon történő vásárlást jelent lejáratkor. Ha a lejáratkori prompt árfolyam (S1) nagyobb a kötési árfolyamnál, akkor mi érvényesítjük a call opciónkat, ellenkező esetben velünk szemben használják fel a kiírt put opciót. Ugyanerre az időpontra futures ügylettel F árfolyamon eladva a szóban forgó instrumentumot, F–E bevételünk lesz a lejáratkor. Befektetésünk a jelenben a vásárolt és kiírt opciók prémiumának a különbözete: C–P E befektetésünk kockázatmentes, így profitunk a kamatlábnak megfelelő lehet csak: F − E = ( C − P)(1 + rt ) (46) A (46) összefüggést put-call paritásnak nevezik, mert megadja az európai vételi és az európai eladási opció prémiumának egyensúlyi viszonyát. Eszerint az azonos (E) kötési árfolyamú vételi és eladási opció díja akkor egyezik meg egymással, ha a futures piaci árfolyam (az adott határnapra

vonatkozóan) megegyezik ezzel a kötési árfolyammal. 58. példa Mi a teendő, ha egy papír futures árfolyama F=121 Ft, a vételi opció díja C=13 Ft, az eladási opció díja P=5 Ft, a kötési árfolyam E=110 Ft, a kamatláb 1 évre 10%, az opció lejárata 1 év? Mennyi pénzt lehet keresni 100 db papírra szóló opcióval lebonyolított arbitrázzsal? Most: 1) Veszünk 100 db vételi jogot: 1,300 Ft kiadás. 2) Kiírunk 100 db eladási jogot: 500 Ft bevétel. 3) Felveszünk 800 Ft hitelt 10%-ra. 4) 100 db-ra vonatkozó short futures pozíciót hozunk létre. 1 év múlva: 1) Vagy mi élünk a vételi joggal, vagy velünk szemben élnek az eladási joggal: vásárolunk 100 db papírt, kiadásunk 11,000 Ft. 2) Leszállítjuk a 100 papírt a futures piacon, bevételünk 12,100 Ft. 3) Visszafizetjük a hitelt (800), és megfizetjük a kamatot (80), kiadásunk 880 Ft. Tiszta nyereségünk: 12,100–11,000–880 = 220 Ft. 2) A konverzió (nem azonos a devizakonverzióval) szintén

az európai put és call díjának egymáshoz való viszonyát adja meg, azonban az opciós és a prompt piac közötti arbitrázs alapján. Ha egy prompt vásárlást opciós határidős eladással párosítunk (short call + long put + long prompt), akkor költségünk a jelenben a pillanatnyi prompt árfolyam (S0) és a vásárolt, illetve kiírt opciók prémiumának az összege: S0+P–C. 93 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Bevételünk határidőn E, függetlenül az akkori prompt árfolyamtól (S1). Így: (S 0 + P−C )(1+rt )×E (47) 59. példa Mi a teendő, ha egy papír prompt árfolyama S=100 Ft, a vételi opció díja C=18 Ft, az eladási opció díja P=6 Ft, a kötési árfolyam E=110 Ft, a kamatláb 1 évre 10%, az opció lejárata 1 év? Mennyi pénzt lehet keresni 100 db papírra szóló opcióval lebonyolított arbitrázzsal? Most: 1) Veszünk 100 db papírt: 10,000 Ft kiadás. 2) Kiírunk 100 db vételi jogot: 1,800 Ft bevétel. 3) Veszünk 100 db eladási

jogot: 600 Ft kiadás. 4) Felveszünk 8,800 Ft hitelt 10%-ra. 1 év múlva: 1) Vagy mi élünk az eladási joggal, vagy velünk szemben élnek a vételi joggal: eladunk 100 db papírt, bevételünk 11,000 Ft. 2) Visszafizetjük a hitelt (8,800), és megfizetjük a kamatot (880), kiadásunk 9,680 Ft. Tiszta nyereségünk: 11,000–9,680 = 1,320 Ft. 3) A box ügylet a különböző kötési árfolyamú, de azonos időpontra vonatkozó európai opciók közötti arbitrázsügylet. Amennyiben határidőre opciók segítségével X kötési árfolyamon vásárolunk (long call+short put) és Y kötési árfolyamon eladunk (short call+long put), a prémiumköltség (az általunk és nekünk fizetett díjak egyenlege) a jelenben Cx–Px–Cy+Py. A bevétel határidőn: Y–X Mivel nincs árfolyamkockázat: (C x − Px − C y + Py ) (1 + rt ) = Y − X (48) Mind a három, opciókkal kapcsolatos arbitrázsra (opció-futures, opció-prompt, opció-opció) jellemző, hogy nem egyetlen

opciós ügyletre, hanem mindig egy azonos kötési árfolyamú vételi és eladási opciós ügyletpárra vonatkoznak annak érdekében, hogy a jövőbeli árfolyamtól való függetlenség biztosítva legyen. 60. példa Mi a teendő, ha a kamatláb 1 évre 10%, a 75 Ft-on való vételi jog ára 19 Ft, a 100 Ft-on való vételi jogé pedig 9 Ft, a 75 Ft-on való eladási jog díja 2 Ft, a 100-on való eladásé 11 Ft? Az opciók lejárata 1 év. Mennyi pénzt lehet keresni 100 db papírra szóló opcióval lebonyolított arbitrázzsal? Most: 1) Veszünk 100 db vételi jogot 75-ön: 1,900 Ft kiadás. 2) Kiírunk 100 db eladási jogot 75-ön: 200 Ft bevétel. 3) Kiírunk 100 db vételi jogot 100-on: 900 Ft bevétel 94 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 4) Veszünk 100 db eladási jogot 100-on: 1,100 Ft kiadás. 5) Felveszünk 1,900 Ft hitelt 10%-ra. 1 év múlva: 1) Vagy mi élünk a 75 Ft-os vétel jogával, vagy nekünk adnak el 75 Ft-on: vásárolunk 100 db papírt, kiadásunk

7,500 Ft. 2) Vagy mi élünk a 100 Ft-on való eladási joggal, vagy velünk szemben érvényesítik a vételi jogukat: eladunk 100 db papírt, bevételünk 10,000 Ft. 3) Visszafizetjük a hitelt (1,900), és megfizetjük a kamatot (190), kiadásunk 2,090 Ft. Tiszta nyereségünk: 10,000–7,500–2,090 = 410 Ft. 6. ÖSSZETETT OPCIÓS POZÍCIÓK Mielőtt bemutatnánk a több opcióból álló pozíciókat, nézzük meg, miként fest egymás mellett két különböző kötési árfolyamú call, illetve put opció. 3.28 ábra 50, illetve 70 kötési árfolyamú opciók Látható, hogy a magasabb kötési árfolyamú call díja kisebb, a put díja viszont nagyobb, mint a kisebb kötési árfolyamhoz tartozó call, illetve put opció díja‚ természetesen azonos alapterméket és azonos lejáratot feltételezve. 61. példa Legyen az E1=50-es kötési árfolyamú call opció díja C50=8, az E2=70-es call opció díja C70=3. Milyen lejáratkori prompt árfolyam mellett lesz a két

stratégia nyeresége azonos? Ha lejáratkor az árfolyam 50 alatt van, akkor egyik opciót sem hívják le, mindkettő veszteséges. Az 50-es opció vesztesége 8, ami 5-tel több, mint a másik Az 50-70-es árfolyamtartományon a 70-es opció vesztesége változatlanul 3, az 50-es opció vesztesége viszont minden 1 Ft-nyi árfolyam-emelkedésnél 1 Ft-ot javul. Az 55-ös árfolyamnál az 5 egységnyi árfolyamnyereség pont kiegyenlíti a díjtöbbletet, így az 55-ös árfolyamnál egyezik meg a két opciós stratégia nyereségfüggvénye. (Vizuálisan úgy is okoskodhatunk, hogy az alsó görbe egységnyi meredekségű szakaszán 5 egységet kell jobbra menni ahhoz, hogy 5 egységgel feljebb jussunk – tehát az árfolyamnak 5-tel kell meghaladnia az 50-es értéket.) 95 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A 3.29 ábra mutatja, hogy miként változik meg a call nyereségprofilja, ha többet veszünk belőle (ha önmagával kombináljuk). 3.29 ábra Az LC50 és a 3 LC50

nyereségfüggvényei Ezek után nézzük meg azokat a nevezetesebb összetett pozíciókat, amelyek kizárólag opciókból épülnek fel. Ezeket két alapvető csoportba szokták sorolni: – különbözeti (spread) stratégiák, amelyek kizárólag call, vagy kizárólag put opciókból állnak, valamint – kombinációk, amelyekben szerepel call és put opció is. A különbözet (spread) esetén az eltérés a szóban forgó opciók között vagy – a kötési árfolyamok (függőleges különbözet – vertikális spread), vagy – a lejáratok (vízszintes különbözet – horizontális spread, más néven calendar spread), vagy – a kötési árfolyam és a lejárat (átlós különbözet – diagonális spread) között van. A függőleges különbözet nyeresége a lejáratkori árfolyam függvényében vagy növekvő (bull spread), vagy csökkenő (bear spread). Két függőleges különbözet különbözete a másodrendű differencia, művésznevén butterfly

(pillangó) 1. Növekvő különbözet: LC50 + SC70 (Elsőrendű vertikális spread) (0, 1, 1) (50,70) (0, 0,–1) (50,70) (0, 1, 0) (50,70) 2. Pillangó: LC50 + 2 SC70 + LC90 (0, 1, 1, 1) (50,70,90) (0, 0,–2,–2) (50,70,90) (0, 0, 0, 1) (50,70,90) (Másodrendű vertikális spread) (0, 1,–1, 0) (50,70,90) 3. Vízszintes különbözet: SC50 JUN + LC50 SEPT 4. Átlós különbözet: SC50 JUN + LC70 SEPT 96 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Ugyanez put opciókból felépítve: 1. Növekvő különbözet: 2. Pillangó: LP50 + SP70 (–1, 0, 0) (50,70) ( 1, 1, 0) (50,70) ( 0, 1, 0) (50,70) LP50 + 2 SP70 + LP90 (–1, 0, 0, 0) (50,70,90) ( 2, 2, 0, 0) (50,70,90) (–1,–1,–1,0) (50,70,90) ( 0, 1,–1, 0) (50,70,90) 3. Vízszintes különbözet: SP50 JUN + LP50 SEPT 4. Átlós különbözet: SP50 JUN + LP70 SEPT A pillangóról egyszerűen belátható, hogy két szomszédos különbözet különbözete. Figyelembe véve, hogy LC = –SC: LP50 + 2 SP70 + LP90 =

(LP50 + SP70) – (LP70 + SP90) Ezeket az ügyleteket természetesen az ellenkező irányba is meg lehet kötni. Így például a növekvő különbözet (bull spread) megfordítása a csökkenő különbözet (bear spread) Ezek nyereségfüggvényei egyszerűen a vízszintes tengelyre való tükrözéssel nyerhetők. Csökkenő különbözet: SC50 + LC70 (0,–1,–1) (50,70) (0, 0, 1) (50,70) (0,–1, 0) (50,70) A növekvő különbözet kifizetés- és nyereségfüggvénye: SC2 összesen árfolyam LC1 St < E1 0 0 0 E1 < St < E2 S t - E1 0 S t - E1 E2 < S t S t - E1 E2 - S t E2 - E1 97 nyereség - C1+C2 St - E1 - C1+C2 E2 - E1 - C1+C2 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 3.30 ábra Függőleges különbözetek (vertikális spreadek) nyereségei a lejáratkori árfolyam függvényében 62. példa Legyen az E1=50-es kötési árfolyamú call opció díja C50=8, az E2=70-es call opció díja C70=3. Milyen lejáratkori prompt árfolyam mellett lesz a növekvő

különbözeti stratégia nyeresége zérus? Mekkora a maximális veszteség, illetve nyereség? A fizetett díj: 8–3 = 5. A maximális veszteség 5 Ft, ha St<50. Ha St>70, akkor 20 egységnyi árfolyamnyereségünk lesz: mi vásárolhatunk 50-es, tőlünk vásárolhatnak 70-es árfolyamon. A maximális nyereség 20–5 = 15 Ft, ha St>70. Ha az árfolyam 50 és 70 között van, nyereségünk: St–50–5 = St–55 Ez akkor nulla, ha St=55, így ez a nyereségküszöb. A nevezetesebb kombinációk: 1. Szintetikus long futures: vételi jog + vételi kötelezettség LC50 + SP50 (0,1) (50) (1,0) (50) (1,1) (50) 2. Straddle (terpesz): vételi jog (E1) + eladási jog (E1) LC50 + LP50 ( 0,1) (50) (–1,0) (50) (–1,1) (50) 3. Strangle (széles terpesz): vételi jog (E2) + eladási jog (E1) LC70 + LP50 ( 0,0,1) (50,70) (–1,0,0) (50,70) (–1,0,1) (50,70) 98 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 4. Strip LC50 + 2 LP50 ( 0,1) (50) (–2,0) (50) (–2,1) (50) 5. Strap 2 LC50 +

LP50 ( 0,2) (50) (–1,0) (50) (–1,2) (50) A strangle olyan straddle, ahol nem esik egybe a két kötési árfolyam, a strip és a strap pedig aszimmetrikus straddle. Természetesen ezeket a kombinációkat is meg lehet kötni ellenkező irányba A terpesz kifizetés- és nyereségfüggvénye: árfolyam St < E E < St LC 0 St - E LP E - St 0 összesen 0 St - E b) Terpesz (straddle) (-1,1) Nyereség a) Szintetikuslong futures(1,1) Nyeres g 50 50 S F 70 S E c) Sz lesterpesz (strangle) (-1,0,1) Nyeres g Nyereség 50 nyereség E - St -C-P St - E -C-P d) Strip (-2,1) e) Strap (-1,2) Nyeres g Nyereség S Nyereség 50 S 50 S 3.31 ábra A kombinációk nyereségei a lejáratkori árfolyam függvényében 63. példa Legyen az E=50-es kötési árfolyamú call opció díja C=8, az ugyancsak E=50-es put opció díja P=2 Ft. Milyen lejáratkori prompt árfolyam mellett lesz a terpesz stratégia nyeresége zérus? Mekkora a maximális veszteség, illetve nyereség

? A fizetett díj: 8+2 = 10. 99 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A maximális veszteség 10 Ft, ha St=50. Ha St<50, akkor élhetünk az 50-es árfolyamon való eladás jogával, ebben az irányban akkor a legnagyobb a nyereségünk, ha a lejáratkori árfolyam (közel) zérus. Árfolyamnyereségünk 50, össznyereségünk 50–10=40. Ha St>50, akkor élhetünk az 50-es árfolyamon való vétel jogával, ebben az irányban a potenciális nyereségünk korlátlan. A nyereségküszöbök: 50+10 = 60, illetve 50–10 = 40. 7. A BINOMIÁLIS OPCIÓÉRTÉKELÉS A részvényekre szóló európai call opció értékének meghatározásakor eltekintünk a tranzakciós költségektől, az adóktól, az esetleges piaci tökéletlenségektől, illetve az opció időtartama alatti osztalékfizetésből származó bonyodalmaktól. Az árfolyam-alakulást úgy kezeljük, ahogyan a részvények időbeni alakulásával foglalkozó pontban leírtuk: minél tovább tekintünk előre, annál

nagyobb lehet az eltérés a jelenlegi árfolyamtól a folyamatos kis árfolyamváltozások eredőjeként. Az illusztráció kedvéért most is felnagyított változásokkal dolgozunk. Legyen valamely részvény prompt árfolyama S=100 Ft. Az elkövetkező időszak végére az árfolyam vagy 200 Ft, vagy 50 Ft. Mennyi annak a vételi jognak az értéke, amely 1 év múlva az E =110 árfolyamon való vásárlási jogot biztosítja számunkra, feltéve, hogy a kamatláb évi r=25%? Az opció lejáratkori értéke 200–110 = 90 Ft vagy nulla: 2001 (901) 501 (01) 1000 Az opció vásárlás tehát a következő befektetést jelenti: 200-110 C 901 azaz C0 0 01 Az opció által ígért kifizetéshez (pay-off) hasonlatossá tehetjük a részvénybefektetést, ha részben hitelből vásároljuk meg a részvényt. Ha annyi hitelt veszünk fel, hogy 1 év múlva a lejáratkor kamattal együtt pont 50 Ft-ot (a részvény jövőbeni lehetséges alsó értékét) kelljen visszafizetni,

akkor most saját zsebből 50/1.25 = 40 Ft-tal kevesebbet kell fizetni a részvényért 100 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A 40 Ft hitellel történő részvényvásárlás a következő befektetést jelenti: 200-50 100-40 1501 azaz 600 50-50 01 Ez a befektetés pontosan ugyanakkor ér 150-et, amikor az opció 90-et, és akkor 0-t, amikor az opció is. Ha nem egy részvényt veszünk, hanem csak delta = ∆ = (90–0)/(150–0) = 0.6 darabot (azaz pl. egy 100 db részvényre szóló opciós pozíciót egy 60 db-os részben hitelből vásárolt részvénybefektetéssel vetünk egybe), akkor a két befektetés azonos: 200-110 C 0.6*(200-50) = 0.6*(100-40) 0 0.6*(50-50) azaz 901 C0 901 azaz 360 01 01 Következésképpen C0 = 36 Ft, azaz a vételi jog értéke 36 Ft. Ezt a vételi jogot úgy sikerült beárazni, hogy: – megfelelő nagyságú hitelfelvétellel és – a vásárlandó részvények számának alkalmas megválasztásával lemásoltuk, szintetikusan

előállítottuk a vételi jog által ígért lejáratkori pozíciót. Ezután azt használtuk fel, hogy azonos termékeknek az ára azonos. Írjuk fel általánosan is a követett eljárást. Az alkalmazott jelölések: Cu = a vételi jog értéke lejáratkor, ha az árfolyam emelkedett (up), Cd = a vételi jog értéke lejáratkor, ha az árfolyam csökkent (down), B = az 1 db részvény vásárlásához igénybe vett hitel, ∆ = delta: az 1 db opció előállításához szükséges részvények száma. Definíciószerűen: Cu = max(uS–E, 0) és Cd = max(dS–E, 0). 101 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Az árfolyam emelkedésének valószínűségét q-val jelölve, a két befektetés egyezőségéből meghatározható a két ismeretlen. Cu q q C ∆(S-B) = 1-q ∆uS-∆B(1+rt) 1-q Cd ∆dS-∆B(1+rt) A lejáratkori értékek egyezősége alapján: Cu = ∆uS - ∆B(1+rt) Cd = ∆dS - ∆B(1+rt) amelyet ∆-ra és B-re megoldva: ∆= C u − Cd (u − d) S B= S

C u d − Cd u 1 + rt C u − Cd képleteket kapjuk. Ezek segítségével felírhatjuk a vételi jog értékét a jelenértékek egyezősége alapján: C = ∆ (S − B) = C u − Cd C u d − C d u (1 + rt − d ) C u + ( u − [1 + rt ]) C d − = u−d (1 + rt ) ( u − d ) (1 + rt )( u − d ) Felelevenítve a részvényeknél a kockázatérzéketlen befektetőkkel kapcsolatban bevezetett (37) jelölést: p= (1 + rt ) − d u−d 1− p = u − (1 + rt ) u−d A vételi jog értéke képletszerűen: C= p C u + (1 − p) C d 1 + rt (49) ami nem más, mint az opció várható lejáratkori értékének jelenértéke, a várható értéket olyan súlyozással számolva, amely a kockázatos befektetéseknek is a kockázatmentes kamatlábbal egyező hozamot biztosít. A formula sajátossága, hogy: – nem szerepel benne a q, az árfolyam-emelkedés előre adott nagysága, csak a számított p, amit valószínűségként értelmezhetünk [l. a (37) levezetését]; – nem

játszik benne szerepet a befektetők kockázati preferenciája, így a kockázatmentes kamatlábat használhatjuk. 102 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Számpéldánkban a vételi jog díja hitelfelvétellel számolva: C= (200 − 110) − 0 * ⎛100 − 200 − 50 ⎜ ⎝ 50 ⎞ ⎟ = 0.6 * 60 = 36 125 . ⎠ A vételi jog díja az ún. kockázatérzéketlen módszerrel számolva: p= 125 − 50 = 0.5 200 − 50 C= 0. 5 * 90 + 0. 5 * 0 45 = = 36 1.25 1. 25 Nézzük meg, hogyan módosul az előző számszerű eredmény, ha nem a vételi, hanem az eladási jog értékére vagyunk kíváncsiak, illetve ha más a kötési árfolyam, valamint ha több periódusra kiterjedő opciónk van. 64. példa E=110-es eladási jog díja Mennyi az E=110-es kötési árfolyamú eladási jog díja (P), ha t=1, u=2, S=100, r=25%? Pu= 0 Pd= 110–50 = 60 p=(125–50)/(200–50)=0.5 P= (0.5*60+0)/1.25 = 240 65. példa E=125-ös vételi jog díja Mennyi az E=125-ös kötési árfolyamú vételi

jog díja, ha t=1, u=2, S=100, r=25%? Cu= 200–125 = 75 Cd= 0 p=(200–125)/(200–50)=0.5 c= (0.5*75+0)/1.25 = 300 Ha több periódusra szól az opció, akkor az opció lejáratkori lehetséges értékeitől lépésről lépésre visszafelé haladva kell értékelni az opciós jogot. 66. példa 2 éves E=80-as vételi jog díja Mennyi az E=80-as kötési árfolyamú vételi jog díja, ha t=2, u=2, S=100, r=25%? A részvényárfolyamok és az opció értéke az egyes időszakok végén: 0. 1. 2. 0. 1. 2. év 400 Cuu= 320 200 Cu=? 100 100 C=? Cud = 20 50 Cd=? 25 Cdd = 0 Mivel p = (125–50)/(200–50) = 0.5 ezért az opciók értéke az 1. év végén: Cu = (0.5*320+0.5*20)/1.25 = 136 Cd = 0.5*20/1.25 = 8 103 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 0. 1. 2. 400 0. 1. 200 100 2. év Cuu= 320 Cu=136 100 Cud = 20 C=? 50 Cd = 8 25 Cdd = 0 Innen az opció értéke a 0. évben: C = (0.5*136+0.5*8)/1.25 = 576 Hasonlítsuk össze a részvényvásárlást mint befektetést a

vételiopció-vásárlással a t=2 éves periódusra: Befektetés 1 db részvénybe: 1 db opcióba: 400 320 200 136 100 100 57.6 20 50 8 25 0 100 Ft befektetése részvénybe: vételi opcióba: 400 555.6 200 236.1 100 100 100.0 34.7 50 13.9 25 0.0 Mindkét befektetés várható hozama a kamatlábbal egyező évi 25%, de az opció esetén sokkal nagyobb szórással. (Számpéldánkban a részvényvásárlásnál 25% a valószínűsége, hogy veszítünk, az opcióvásárlásnál ez 75% – igaz, ha nyerünk, akkor többet) 104 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 8. A BLACK–SCHOLES-KÉPLET Ha tovább folytatjuk az előző gondolatmenetet, és kellően sok (rövid, kis árfolyam-elmozdulásokkal bíró) periódust veszünk figyelembe, akkor az árfolyamok lehetséges értékei lognormális eloszlást követnek (3.32 a) ábra) Sr sg Sűrűség Nyereség rfolyam --- - - -- - -- - + ++ ++ ++ ++ S - b) Nyereségek ésveszteségek az opcióspozíción ratkori árfolyamok

rfolyamok a) AAlejlejáratkori eloszl sa eloszlása 3.32 ábra Az S1 különböző értékeinek valószínűségével (3.32 a) ábra) súlyozva a hozzájuk tartozó opciós pozíciós nyereség nagyságát, a 332 b) ábrán a vízszintes tengely alatti területnek meg kell egyeznie a tengely feletti területtel Mint láttuk, a vételi opció értékét meghatározó tényezők (közvetlenül, vagy a Cu, Cd, p értékeken keresztül): – az árfolyam (S), – a kötési árfolyam (E), – a kamatláb (r), – a lejáratig hátralevő idő (t), – a részvényárfolyam változékonysága (u). A folytonos modellben egyrészt az e–rt formájú diszkontálás a szokásos az 1/(1+rt) helyett, így a kötési árfolyam jelenértékét a PV(E) = Ee–rt ≠ E/(1+rt) módon számoljuk és jelöljük, másrészt az árfolyam változékonyságát (u) is átszámítjuk a folytonos kamatozással számított éves hozam szórására (σ) az alábbi képlettel: σ t =ln(u ), megfordítva u =e

σ t ahol t a periódus hossza az év törtrészében kifejezve. 105 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 67. példa Az u=2 érték a folytonos hozam 69.3%-os szórását jelenti, mivel ln(2)=0693 Ha az árfolyam nem évente egyszer, hanem negyedévente változna (t=1/4), akkor 1-1 negyedévre az u=1.414 érték jelentene szintén évi 693%-os szórást, mivel u=e0.693*(1/2) = eln(2)0.5 = 205 = 1414 A call értékére ható tényezők tényezőcsoportokat alkotnak: S E S E S rfolyam árfolyam rt Ee-rt kkötési t si árfolyam rfolyam jelen rt ke jelenértéke σ2 t r t σ2 t σ2 árfolyam változékonysága A kamatláb kizárólag a kötési árfolyam jelenértékének kiszámításában játszik szerepet, ez viszont szükségszerű, hisz csak ezen keresztül vethető össze a jelenbeni árfolyammal. Az ábrán a σ2t úgy magyarázható, hogy az árfolyam varianciája időegység alatt σ2, míg t időegység alatt t-szer ennyi, mert a független valószínűségi

változók összegének szórásnégyzete a szórásnégyzetek öszszege, és korábban az egymást követő árfolyamváltozásokat egymástól függetlennek mondtuk (bolyongás). Egy-egy tényezőcsoporton (szorzaton) belül a tényezők helyettesíthetik egymást: az árfolyamok nagyobb volatilitása ellensúlyozhatja a rövidebb hátralevő időt stb. 3.33 ábra Az idő és a volatilitás együttes hatása 106 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A 3.33 ábrán a jelenlegi árfolyam S=450 Az S1=520-as árfolyam egy adott (pl 95%-os) valószínűségi szinten elképzelhetetlen 1 hónapon belül, de könynyen lehetséges mondjuk 4 hónap múlva Ha nagyobb az árfolyam volatilitása (szaggatott vonal), akkor ez az árfolyam már jóval hamarább is reális lehet. Az opció értéke az árfolyam adott szintje mellett végül is két dologtól függ: – mennyire kedvező a kötési árfolyam a pillanatnyi árfolyamhoz viszonyítva: S és az Ee–rt viszonya, – mennyire

változékony az árfolyam: σ2t. 120.000 120.000 100.000 100.000 80.000 80.000 60.000 60.000 40.000 40.000 20.000 20.000 a) 3.34 ábra Árfolyam, kötési árfolyam, volatilitás b) A 3.34 a) ábrán látható vételi jogért az eddigi tapasztalatok alapján semmit nem érdemes adni, a b) esetben már van esély. Az a) ábrán vagy a kötési árfolyam túl magas, vagy a volatilitás túl kicsi A vételi jog értékét megadó képlet, amelyet Black és Scholes vezetett le 1973-ban: C (S, t ) = S N (d1 ) − PV( E) N (d 2 ) (50) ahol: d1 = ( ln S PV( E) σ t ) + 0. 5 σ d2 = t ( ln S PV( E) σ t ) − 0. 5 σ t és az N(x) függvény a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye. 68. példa Legyen t=1, r=22.31%, S=100, E=110 és σ=0693 (Ez a folytonos megfelelője az eredeti példánknak, amellyel a binomiális modellt illusztráltuk: az u=2 helyett van most a σ=0.693 feltétel Ott C=36 volt az eredmény) σ t = 0.693 PV(E) = 110/e0.2231 = 88 d1 =

0.5310 d2 = –0.1620 N(d1) = 0.7023 N(d2) = 04357 C(100,1) = 100*0.7023 – 88*0.4357 = 702–383 = 319 Amennyiben a részvény változékonysága kicsi (σ2t kicsi), de az S/PV(E)>1, akkor a d1 és d2 értéke nagyon nagy, azaz az N(d1) és az N(d2) értéke 1-hez tart. Ekkor a formula: 107 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő C = S − PV( E) (50a) aminek, ha mindkét oldalát megszorozzuk ert-vel, akkor azt kapjuk, hogy: – lejáratkor az árfolyam Sert, aminek oka, hogy a σ=0 esetben a részvény is kockázatmentes befektetés, amelynek hozama r, és mivel kizártuk ez idő alatt az osztalék fizetését, ezért az árfolyam-növekedésnek r hozamot kell biztosítania, – az árfolyamnyereség Sert–E (itt játszik szerepet az S/PV(E) > 1 feltevés, tehát az opciót le lehet hívni), és – a fizetett opciós díj felkamatozódott értéke meg kell hogy egyezzen a lejáratkori árfolyamnyereséggel. Az (50a) tehát egy kockázatmentes esetet ír le. A kockázat

figyelembevétele az N(d1) és N(d2) együtthatókat rendeli a két tényezőhöz az (50) képletben Az (50) formulában is megmarad az opció értékelésének a binomiális modellben levezetett tulajdonsága, hogy az: opciós díj = delta db részvény vásárlása: N(d1)S – a hitelfelvét: N(d2) PV(E) Az N(d1) értéke tehát a delta, azaz az opció értékének változása a prompt árfolyam változásának függvényében, és ezzel összefüggésben az 1 db opció előállításához szükséges részvények száma. A call értékét 3 tényezőcsoport határozza meg: S, PV(E), σ t , ezt azonban nem lehet jól táblázatba foglalni. A C helyett a C/S értéket már igen, így a C-t a C= (C/S)*S módon számíthatjuk ki, ahol a C/S értéket az OP- (Option Price) táblázatból kaphatjuk. Az oldalrovatban a σ t értékek, az oszloprovatban az S/PV(E) értékek szerepelnek. Nézzük meg, hogy mi a jellemző opciós díj egy átlagos részvényre egy 3 hónapos, illetve egy 1

éves vételi jog esetén. Az amerikai részvényekre több mint 60 év átlagában a σ=21% a jellemző érték Legyen az árfolyam és kötési árfolyam jelenértéke azonos, ekkor azt kapjuk, hogy a szóban forgó opciók értéke 4%-a, illetve 8%-a a pillanatnyi árfolyamnak Ezeket az orientációs értékeket vastagon szedtük a 34 táblázatban σ t C/S 0.00 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 1.00 2.00 3.00 4.00 0.40 0.60 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.2 2.4 1.0 5.1 14.3 23.6 52.5 59.7 79.5 82.9 92.9 94.2 3.4 táblázat: Az OP ( σ S/PV(E) 0.80 1.00 1.20 1.40 0.0 0.0 16.7 28.6 0.0 2.0 16.7 28.6 0.0 4.0 16.8 28.6 1.5 8.0 18.5 28.9 4.4 11.9 21.2 30.2 8.0 15.9 24.3 32.3 11.8 19.7 27.6 34.8 31.6 38.3 44.0 48.8 64.6 68.3 71.1 73.4 85.1 86.6 87.8 88.8 94.9 95.4 95.8 96.2 t , S/PV(E)) értékek: C/S százalékok A táblázat bal felső része nulla, jobb alsó része 100% körüli értékkel van tele, hiszen: 108 1.60 37.5 37.5 37.5 37.5 38.1 39.3 41.1 52.9 75.3 89.5 96.4

Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő ha kicsi az árfolyamváltozékonyság a hátralevő időben (a kicsi σ, vagy a kicsi t okán), akkor az OTM opció reménytelen; ha nagy a változás lehetősége, akkor még OTM opciónál is (ITM-nél meg főképp) majdnem annyit fizetünk az opcióért, mint a részvényért. Ehhez gondoljuk meg, mit jelent a σ t =1 érték: az átlagos részvénynél σ=0.2, tehát a t=25 év, ami nagyon hosszú opció vagy rövidebb opciónál arányosan nagyobb a volatilitás. Az első sor a σ t =0 eset, ahol nincs bizonytalanság: az 1.6-os oszlophoz tartozó érték (375%) úgy állhat elő például, hogy: akármekkora σ mellett zérus a t értéke, azaz lejáratkor az S=100-as árfolyam mellett a kötési árfolyam E=62.5 (mivel 100/625=16), tehát a vételi jog értéke C=100-625=375, vagy a szórás zérus (σ=0), és például egy év van hátra (t=1), a kamatláb 20% (r=0.2) és a kötési árfolyam 75 (E=75). Ekkor a kötési árfolyam

jelenértéke PV(E)=625 A 375 Ft-os opciós díj két részre oszlik: (100-75) 25 Ft, hogy olcsóbban vehetjük a részvényt, 12.5 Ft pedig hogy nem most, hanem csak 1 év múlva kell kifizetni a kötési árfolyamot. Az opció értékét két részre szokták bontani: belső értékre és időértékre. A belső érték: ha a jelenlegi árfolyam mellett érvényesíthetnénk az opciónkat, mekkora lenne az árfolyamnyereség. A belső érték nem lehet negatív: az OTM opciók belső értéke zérus. Az időérték: az opciós díj és a belső érték különbsége. Két hatásból tevődik össze: egyrészt az árfolyam esetleges javulásából, másrészt az opcióban levő hitelügyletből (az E-t csak lejáratkor kell kifizetni). - Azopció opci értéke rt ke Az Az Azopció opci értéke rt ke Idõ S 3.35 ábra C(S) - Az opció értéke a prompt árfolyam függvényében 3.36 ábra C (t) - Az opció értékének időbeli alakulása 9. DELTA, GAMMA, THETA, VEGA, RHO

Delta: az opció értékének változása a prompt árfolyam függvényében. (Hány egységnyivel nő az opció értéke, ha egységnyivel nő a jelenlegi prompt árfolyam.) Theta: az opció értékének változása az idő (time) függvényében. Vega: az opció értékének változása a volatilitás függvényében. Rho: az opció értékének változása a kamatláb (r) függvényében. Gamma: a delta értékének változása a prompt árfolyam függvényében. (A delta deltája) 109 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő A call opció esetén a delta pozitív és 1-nél kisebb. OTM esetén nullánál valamivel nagyobb, az ATM esetén 1/2 körüli, és minél inkább ITM az opció, annál jobban közelít 1-hez a delta. Ebből eredően az erősen OTM és az erősen ITM opciók esetén viszonylag kicsi a delta változása, az ATM esetén nagyobb. A 3.37 a) ábrán az érintők meredeksége jelzi a delta nagyságát Az opci értéke rt ke Az opció Gamma ITM ATM OTM S S 3.37 a)

ábra Az OTM, ATM és ITM delták nagysága árfolyam 3.37 b) ábra A gamma értéke a prompt függvényében Az opció értéke egyre gyorsuló ütemben csökken, ahogy az opció közeledik a lejárathoz, mivel a Black-Scholes képletben az idő négyzetgyökös formában szerepel. A theta értékét a 338 ábrán az érintők jelzik. Az opció értéke t 3.38 ábra A theta változása az idô függvényében 10. WARRANTOK A warrantok (opciós utalványok) olyan részvényekre (ritkábban vállalati kötvényekre) szóló vételi opciók, amelyeket a vállalat bocsátott ki. Többnyire vállalati kötvénykibocsátások járulékos eleme a részvénywarrantok (részvényutalványok) kibocsátása. Abban különböznek a szokványos opcióktól, hogy: 110 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő a) kibocsátásuk megnöveli a saját tőke nagyságát a warrantokért kapott összeggel, ezáltal változik az egy részvényre jutó saját tőke érték is; b) lehívásuk megnöveli a

forgalomban levő részvények számát és a saját tőke nagyságát; c) ha kibocsátásuk vállalati kötvénykibocsátással együtt történik, akkor ez utóbbi megváltoztatja a részvények kockázatát (hozamának szórását) - mivel megváltozik a forrásszerkezet. A warrantok árazásánál ezt a három korrekciót kell figyelembe venni a szokásos opció értékeléshez képest.11 11. ÁTVÁLTHATÓ KÖTVÉNYEK12 Az átváltható kötvény tulajdonosa választhat, hogy kötvényesként kamatfizetések sorozatára és törlesztésre tart igényt, vagy papírját meghatározott számú részvényre váltja át. Az 1 db kötvényért kapható részvények számát átváltási aránynak (conversion ratio, CR) nevezik. Ennek tükörképe, hogy 1 db részvényért hány dollár névértéknyi kötvényről kell lemondani, ez az összeg az átváltási árfolyam (conversion price, CP). Mivel az amerikai gyakorlatban a kötvények szokásos címlete az 1,000 $-os névérték, az

átváltási árfolyam és az átváltási arány közötti összefüggés: CP($ db) = 1,000($) CR(db) 69. példa Egy átváltható kötvény névértéke 1,000 $, piaci árfolyama 800 $, és 40 db részvényre váltható át. Az átváltási árfolyam 1,000/40=25 $, azaz 1 db részvényért 25 $ névértéknyi kötvényt kell adni. Mivel a kötvény árfolyama 800 $, ezért a részvényekhez darabonként 20 $-ért lehet hozzájutni az átváltható kötvényen keresztül. Az átváltási érték (conversion value, CV) az átváltható kötvény részvénykénti értéke, azaz az átváltás utáni értéke a pillanatnyi részvény árfolyamon értékelve. A kötvényérték (bond value BV) nem más, mint a sima (átváltási opció nélküli) kötvénykénti érték. 69. példa (folytatás) Ha az előző példában a részvény árfolyam S=18 $, akkor az átváltási érték CV=40*18=720 $ Ha az átváltási opció nélkül a kötvény (a névleges kamatlába és futamideje

alapján) BV=680 $-t érne, akkor minden egyes átváltható kötvényben 800-680=120 $-t kell fizetni az átváltási opcióért. Ez 1 db részvényre átszámítva C=120/40=3 $ opciós díjat jelent 11 12 Részletesebben lásd: Brealey-Myers: Modern Vállalati Pénzügyek 25. fejezet Ezen értékpapírfajtát az 1988. évi VI törvény átváltoztatható kötvény néven definiálja Ezt a két fogalmat - azaz az átváltható és az átváltoztatható kötvényt - ebben a fejezetben szinonímaként használjuk. 111 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő Külön figyelmet érdemel az a számított részvényárfolyam érték, amelynél a kötvénykénti érték megegyezik a részvénykénti értékkel. Számpéldánkban CV=BV, ha S = 680/40 = 17 $. Természetesen sem az átváltható kötvény tulajdonos, sem a warrant birtokosa nem jogosult a részvény osztalékára, amíg nem élt a részvényvásárlási jogával. Az átváltható kötvény átváltása esetén ugyanúgy nő a

kibocsátott részvények száma, mint a warrant lehívásakor. Lényeges különbség a két instrumentum között, hogy a warrant esetében a kötési árfolyam pénzben fizetendő, az átváltható kötvénynél a kötési árfolyam az átváltási árfolyam, a vételár kötvényben fizetendő, ahol a kötvényt névértéken fogadják el. A másik különbség, hogy a warrant kibocsátással kombinált kötvény kibocsátás esetén a kötvény és a warrant külön is forgalmazható, az átváltható kötvény azonban egyidejűleg testesíti meg a kötvényt és a vásárlási jogot. Az átváltható kötvény értéke legalább akkora kell, hogy legyen, mint a részvénykénti illetve kötvénykénti értéke közül a nagyobbik. (Hogy a kötvénykénti értéknél nagyobbnak kell lennie, az csak annyit jelent, hogy az átváltási opció értéke nem lehet negatív.) A részvénykénti illetve kötvénykénti érték egymáshoz való viszonyát legcélszerűbben a vállalat

értékének a függvényében vizsgálhatjuk. Először az átváltható kötvények lejáratának időpontjában határozzuk meg e papírok minimális értékét, majd a lejárat előtt. 70. példa Tegyük fel, hogy egy vállalatnak 3 millió db részvénye és 50,000 db átváltható kötvénye van forgalomban. Utóbbiak névértéke 1,000 $, és az átváltási árfolyam 25 $ Tegyük fel, hogy a vállalatnak nincs egyéb adóssága és az átváltható kötvények 1 év múlva járnak le. Mivel a kötvények együttes névértéke 50 millió dollár, a vállalat értékének legalább ekkorának kell lennie lejáratkor, hogy a kötvényeket névértéken lehessen törleszteni. (339 a) ábra) Amennyiben a kötvényeket átváltják, akkor 2 millió új részvény kerül forgalomba. Egy részvény értéke a vállalat értékének 5 milliomod része, egy átváltott kötvény értéke ennek 40-szerese. (3.39 b) ábra) Akkor fog egy kötvény az átváltás után 1,000 dollárt érni,

ha a részvények árfolyama 25 $, azaz a vállalat értéke 125 millió dollár. Efölött az érték fölött érdemes konvertálni (339 c) ábra) Az 50-125 millió $ vállalatérték tartomány az, ahol a kötvényesek jogai nem csorbulnak, megkapják a névértéknek megfelelő törlesztést. Az 50 millió alatti tartományban is jobban járnak kötvényesként (bár nem kapják meg a teljes névértéket), mivel nem osztoznak a részvényesekkel. Lejárat előtt a kötvénykénti érték kisebb a 3.39 a) ábrán levőnél, hiszen kötvényesként vételi kötelezettségük van a vállalat eszközeire, és ez az opció 50 millió alatti vállalati értéknél ITM opció. A részvénykénti értéket nem befolyásolja, hogy lejárat előtt vagyunk, így a 339 b) és a 3.40 b) egyenesek azonos helyzetűek A 340 c) ábra az átváltható kötvény minimális (belső) értékét mutatja lejárat előtt. Erre jön rá a részvényvásárlási opció időértéke, és ez adja meg az

átváltható kötvény értékét a vállalat pillanatnyi értékének a függvényében (3.41 ábra) 112 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő $ a) b) $ 50 50 Vállalat V llalat rt ke értéke 50 50 125 Vállalat értéke c) $ 50 50 125 Vállalat értéke 3.39 ábra Kötvénykénti érték (a), részvénykénti érték (b) és az átváltható kötvény értéke (c) lejáratkor $ a) b) $ 50 50 VVállalat llalat rt ke 50 50 értéke 125 Vállalat értéke c) $ 50 50 125 Vállalat értéke 3.40 ábra: Kötvénykénti érték (a), részvénykénti érték (b), és az átváltható kötvény minimális (belső) értéke (c) lejárat előtt $ Alsó korlát 50 125 Vállalat értéke 3.41 ábra: Az átváltható kötvény értéke lejárat előtt 113 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 1. Az alábbi pozíciók közül melyikben a legalacsonyabb az opció időértékének aránya az opció belső értékéhez képest? a) ATM

b) ITM közel a kötési árfolyamhoz c) OTM nagyon messze a kötési árfolyamtól d) ITM nagyon messze a kötési árfolyamtól 2. Ön eladási opciót szeretne kötni egy részvényre Hogyan tudna eladási opciót szintetikusan, a putcall paritás alapján előállítani? a) vételi jogot venni, részvényt venni, hitelt kockázatmentesen felvenni b) vételi jogot venni, kockázatmentesen befektetni, részvényt venni c) vételi jogot venni, kockázatmentesen befektetni, részvényt eladni d) vételi jogot eladni, kockázatmentesen befektetni, részvényt eladni 3. Mit jelent egy short put + long call pozíció (azonos lejáratot, terméket és kötési árfolyamot feltételezve)? a) vételi jog b) vételi kötelezettség c) vétel határidőre d) eladás határidőre 4. Ön 80 Ft díj mellett egy év lejáratra amerikai típusú put opciót vásárolt A prompt árfolyam 300 Ft, a kötési árfolyam 280 Ft. A lejárat napján végül is az árfolyam 260 Ft volt A

kamatköltségektől eltekinthet. Előzetes várakozása szerint hol volt a nyereségküszöbe? a) 220 Ft b) 200 Ft c) 360 Ft d) 380 Ft 114 Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő 5. Vételi opciót vett 50 Ft-ért a Z részvényre A Z részvény pillanatnyi árfolyama 500 Ft, az opció kötési árfolyama 520 Ft. Lejáratkor a piaci árfolyam 540 Ft lett Hány forinttal változott az opció belső értéke a vásárlástól a lejáratig? a) 40 Ft-tal nőtt b) 50 Ft-tal nőtt c) 20 Ft-tal nőtt d) 10 Ft-tal csökkent HELYES VÁLASZOK: 1– d, 2 – c, 3 – c, 4 – b, 5 – c 115