Matematika | Analízis » Fodor Péter - Az analízis néhány alkalmazása

http://www.doksihu Az analízis néhány alkalmazása SZAKDOLGOZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Szerz®: Fodor Péter Szak: Matematika Bsc Szakirány: Matematikai elemz® Témavezet®: Sikolya Eszter, adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi kar Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezet® 3 2. Egyváltozós függvények 4 2.1 Hozzárendelés megadása 4 2.2 Egyváltozós valós függvények . 5 2.3 Értelmezési tartomány, értékkészlet 6 2.4 Grakonok 7 2.5 Elemi függvények 9 3. Dierenciálszámítás 10 3.1 Határérték 10 3.2 Derivált 12 3.3 Geometriai értelmezés

13 3.4 Mechanikai értelmezés 15 3.5 Közgazdaságtani értelmezés 16 3.6 Dierenciálhatóság 17 3.7 Dierenciálási szabályok 17 3.8 Példa szorzat és hányados deriválási szabályára közgazdaságtanban 18 3.9 Példa dierenciálási szabályokra zikában . 20 3.10 Magasabb rend¶ deriváltak 21 3.11 Magasabb rend¶ deriváltak térgörbéknél 22 4. Integrálszámítás 24 4.1 Határozatlan integrál 24 4.2 Példa határozatlan integrálra . 24 4.3 Mechanikai példa 24 4.4 Általános integrálási szabályok 25 4.5 Határozott integrál 26 4.6 Határozott integrál

tulajdonságai 27 4.7 Példa területszámításra 27 1 http://www.doksihu 4.8 Ívhossz 28 4.9 Forgástestek köbtartalma 29 4.10 Forgástestek palástjának felszíne 30 4.11 Mechanikai és egyéb zikai alkalmazások 31 4.12 Közgazdaságtani alkalmazások 36 5. Összefoglalás 40 6. Irodalomjegyzék 41 2 http://www.doksihu 1. Bevezet® Szakdolgozatom célja bemutatni az egyik leggyakrabban alkalmazott matematikai szakterület, a matematikai analízis néhány alkalmazását. Mivel a téma teljes bemutatására nem lenne elegend® egyetlen szakdolgozat, így csak néhány kiválasztott területet és alkalmazást érintek, legf®képpen a két legalapvet®bb analízisbeli m¶velet, a deriválás és az integrálás el®fordulásait különböz®

területeken. Egyéb matematikai ágak közül geometriában, természettudományokon belül zikában, valamint más tudományok közül közgazdaságtanban mutatok be példákat. Ez a három látszólag sokban különböz® tudományágban gyakran el®fordulnak a matematikai analízis tételei, érzékeltetve annak széleskör¶ felhasználhatóságát. El®ször röviden ismertetem a függvényekkel való kapcsolatukat, majd rátérek a dierenciálszámítás és az integrálszámítás néhány alkalmazására. Az analízisbeli tételeket és deníciókat saját jegyzeteim, valamint Obádovics J. Gyula: Matematika, és Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak cím¶ könyvek alapján írtam. A geometriai részeknél saját jegyzeteim mellett Obádovics J Gyula fentebb említett könyve és Rados Gusztáv: Analízis és geometria cím¶ könyve volt segítségemre. El®bbi szintén hasznosnak bizonyult zikai példák terén néhány más jegyzet mellett A közgazdaságtani

részeknél a Sydsæter-Hammond könyvet, valamint a MIT nyitott kurzusait vettem gyelembe. Az ábrákat saját magam készítettem. 3 http://www.doksihu 2. Egyváltozós függvények 2.1 Hozzárendelés megadása Állandónak azt a mennyiséget nevezzük, amelynek számértéke a vizsgálat során nem változik, változónak pedig azt, amely a vizsgálat közben különböz® értékeket vehet fel. A matematikai analízis a változó mennyiségekkel és a közöttük fennálló összefüggésekkel (függvénykapcsolatokkal) foglalkozik. A változók közötti hozzárendelést különböz® módokon is megadhatjuk: Táblázattal, grakonnal, vagy analitikusan (képlettel). Az analitikus módon megadott függvények közül az y = f (x) alakúakat explicit, a g(x, y) = 0 alakúakat implicit, az y = y(t), x = x(t) egyenletrendszerrel megadottakat paraméteres el®állítású függvényeknek nevezzük. Egy hozzárendelés táblázattal való megadására példa az 1. táblázat,

amely a háztartásoknak nyújtott forint fogyasztási hitelek szezonálisan igazított új szerz®déseinek összegét ábrázolja hiteltípus szerinti bontásban 2009 októbere és 2010 februárja között. 1. táblázat 2009. okt 2009 nov Hónap Személyi hitel (milliárd Ft) 11,24 1 [3] 2009. dec 2010. jan 2010. feb 9,21 9,60 11,97 9,60 Grakonnal való ábrázolásra tekintsük példának a hasznossági függvényt, melyet a közgazdaságtan számos területén, leggyakrabban a mikroökonómiai fogyasztáselméletben használnak. A hasznossági függvény matematikai eszközökkel igyekszik modellezni a gazdaság egy szerepl®jének  bizonyos esetekben a társadalom egészének  meghatározott javakhoz kapcsolódó preferenciáit. Egy n változós hasznossági függvény általános alakban így írható fel: U (x) = (x1 , x2 , ., xn ) Grakonnal ábrázolva n = 1 esetén: 1 Forrás: Magyar Nemzeti Bank honlapja - mnbfile&resourcename=hu0906 fogyasztasi

HUF 4 http://www.mnbhu/Resourceaspx?ResourceID= http://www.doksihu 1. ábra Képlettel való megadásra zikában rengeteg példát találunk, elég csak az egyenletes mozgás v = s t összefüggésére gondolni, ahol v jelöli a sebességet, s az utat, t az id®t. 2.2 Egyváltozós valós függvények Azt mondjuk, hogy y az x egyérték¶ függvénye, ha x minden lehetséges értékéhez y -nak egy egyértelm¶ módon meghatározott értéke tartozik. Az x lehetséges értékei alkotják a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig az értékkészletét. Az x a függvény argumentuma, vagyis a független változó, az y a függvényérték, vagy függ® változó. A közgazdaságtanban az x-et gyakran nevezik exogén, y-t endogénváltozónak. Az y függ® változó és az x független változó közötti függvénykapcsolatot az y = f (x), y = F (x), y = g(x), y = ϕ(x) stb. vagy y = y(x) egyenlettel adjuk meg Az x = a adott számértékhez tartozó f

(a) függvényérték a függvény helyettesítési értéke az a helyen. A függvény jelölésére az f (x), F (x), g(x), ϕ(x) stb. szimbólumokat használjuk, ahol x a független változó. Fizikában gyakran el®fordul, hogy az id®t tekintjük változónak, amit legtöbbször t-vel jelölünk, így a függvény alakja például: f (t), F (t), stb. A periodikus mozgás például szinusz görbével írható le. Geometriai alakzatok megadásánál, transzformációknál el®forduló függvényeknél a változó általában mint koordináta van értelmezve. 5 http://www.doksihu Közgazdaságtani példa függvényre: Tegyük fel, hogy egy termékfajta x darabjának forintban számított el®állítási költsége √ C(x) = 50x x + x2 . Számítsuk ki a költséget, ha az adott termékb®l rendre 9, 16, 25, valamint a darabot állítunk el®. Ha abból indulunk ki, hogy a cégünk a darabot termel, akkor számítsuk ki a termelés 1 darabbal való növelésének költségét.

Megoldás: 9 darab termék esetén az el®állítási költséget úgy kapjuk meg, ha a C(x)-et megadó formulában az x helyére 9-et helyettesítünk: √ C(9) = 50 · 9 9 + ·92 = 50 · 9 · 3 + 81 = 1431. Hasonlóképpen: √ C(16) = 50 · 16 16 + 162 = 50 · 16 · 4 + 256 = 3456. √ C(25) = 50 · 25 25 + 252 = 50 · 25 · 5 + 625 = 6875. √ C(a) = 50a a + a2 . a + 1 darab termék esetén az el®állítási költség C(a + 1), tehát a költségnövekmény: √ √ C(a + 1) − C(a) = 50(a + 1) a + 1 + a2 − (50a a + a2 ) √ √ = 50(a + 1) a + 1 + a2 − 50a a − a2 √ √ = 50[(a + 1) a + 1 − a a]. 2.3 Értelmezési tartomány, értékkészlet A függvény deniálásakor az értelmezési tartományt is meg kell adni. Például a ter- mészetes alapú logaritmusfüggvény (g(x) = ln x) értelmezési tartománya a (0, ∞) intervallum. √ A fenti közgazdaságtani példában a C(x) = 50x x + x2 függvényt a 0, 1, 2, ., xmax számokon értelmeztük, mivel

darabszámról volt szó, és ahol xmax a termékek el®állítható maximális 6 http://www.doksihu száma, avagy x-et folytonos változónak tekintve a természetes értelmezési tartomány a [0, xmax ] intervallum. Az adott értelmezési tartományon belül az f függvény által felvett f (x) értékek összességét a függvény értékkészletének nevezzük. Például a természetes alapú logaritmusfügg- √ vény értékkészlete a valós számok, a példában szerepl® C(x) = 50x x + x2 függvényé pedig a 0, 51, ., C(xmax ) számok halmaza A geometriai transzformációs függvények pontokhoz pontokat rendelnek, így ebben az esetben a függvény értékkészlete és értelmezési tartománya felfogható ponthalmazként is. 2.4 Grakonok Az y = f (x) függvényt a Descartes-féle derékszög¶ koordinátarendszerben is ábrázolhatjuk, melynek vízszintes tengelyét x-tengelynek, függ®leges tengelyét y -tengelynek nevezzük. A független változó megfelel®

értékéhez meghatározzuk a függ® változó megfelel® értékét és így egy pontot kapunk. Az összes ilyen pont által meghatározott megoldáshalmaz a koordinátarendszerben egy görbét ad, aminek a neve az egyenlet grakonja Az f függvény grakonja azon (x, f (x)) pontok összessége, ahol x a függvény argumentuma és f (x) a hozzá tartozó függvényérték, x pedig végigfut f teljes értelmezési tartományán. Az egyváltozós függvény egy olyan szabály, amely az értelmezési tartományból rendel számokat az értékkészletbeli számokhoz. Egy függvény az értelmezési tartomány bármely x pontjához nem rendelhet egynél több értéket. Ebb®l következik, hogy az x-tegely bármely pontján átmen® függ®leges egyenes a függvény grakonját legfeljebb egy pontban metszheti. Amikor egy empirikus hozzárendelést függvénnyel próbálunk szemléltetni, mérési egységeket kell választanunk az egyes mennyiségekb®l. Nem mindegy, hogy az id®t

órában, vagy percben, a pénzt forintban vagy euróban mérjük. Az emberek különböz® mennyiségek közti kapcsolatról alkotott benyomása könnyen befolyásolható más-más mérési egységekkel. A 2. ábra grakonjai ugyanazt a függvényt ábrázolják, mindkét esetben az id® évben, a fogyasztás milliárd $-ban van megadva. 7 http://www.doksihu 2. ábra Példa grakon transzformálására: Egy adott évben egy x forintot keres® polgárnak f (x) = x2 jövedelemadót kell zetnie. A kormány az adók leszállítására kétféle terv közül választhat: Az els® szerint a polgárok még az adó kiszámítása el®tt 40 forintot levonhatnak az adóalapjukból. A másik változatban a teljes adózandó jövedelem után kell kiszámítani az adót, majd minden adózó személy 2000 forinttal csökkentheti az adó értékét. A két változatot szeretnénk grakusan ábrázolni, és meghatározni azt az x∗ jövedelmet, amelyre ezek ugyanazt az adót eredményezik. 3.

ábra A T = f (x) = x2 adófüggvényb®l indulunk ki. Az els® változat szerint x az adóalap és 40 a levonás, tehát a csökkentett adóalap x−40, vagyis a bezetend® adó (x−40)2 . A T adófüggvény 8 http://www.doksihu grakonját 40 egységgel jobbra tolva kapjuk meg a T1 = (x − 40)2 grakonját. A másik esetben az eredeti T függvényt 2000 egységgel kell lefelé tolnunk, így jutunk a T2 = x2 − 800 függvény grakonjához. A keresett x∗ jövedelmet az (x − 40)2 = x2 − 2000 egyenlet megoldásával kaphatjuk meg, melyb®l kijön, hogy x∗ = 45. 2.5 Elemi függvények Elemi függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek az elemi alapfüggvényekb®l számtani m¶veletekkel és összetett függvények képzése útján el®állíthatók. Az elemi alapfüggvények a következ®k: 1. Hatványfüggvények: y = xn alakú függvények, ahol n valós szám 2. Exponenciális függvények: y = ax alakú függvények, ahol a pozitív szám 3.

Logaritmusfüggvények: y = loga x alakú függvények, ahol a > 0, de a 6= 1 4. Trigonometrikus függvények: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x alakú függvények 5. Ciklometrikus vagy arkuszfüggvények: y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x alakú függvények. 9 http://www.doksihu 3. Dierenciálszámítás 3.1 Határérték Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f (x) függvény határértéke x a esetén (azaz ha x a-hoz tart) A ∈ R, ha az x-szel a-hoz közelítve, f (x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f (x) = A, xa ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben |x − a| < δ . Egyoldali határértékek: Bal oldali határérték: Az a bal oldali környezetében értelmezett y = f (x) függvény bal oldali határértéke x a− esetén (azaz ha x balról a-hoz tart) A, ha az x-szel balról a-hoz közelítve, f (x) a-tól

vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f (x) = A, xa− ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben −δ < x − a < 0. Jobb oldali határérték: Az a jobb oldali környezetében értelmezett y = f (x) függvény jobb oldali határértéke x a+ esetén (azaz ha x jobbról a-hoz tart) A, ha az x-szel jobbról a-hoz közelítve, f (x) a-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f (x) = A, xa+ ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben 0 < x − a < δ . Egy függvénynek pontosan akkor létezik a-ban határértéke, ha az ugyanitt vett jobb és bal oldali határértékek léteznek és megegyeznek. lim f (x) = A ↔ lim− f (x) = A és lim f (x) = A xa xa+ xa 10 http://www.doksihu Kiterjesztett határértékfogalom: Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f (x) függvény

határértéke x a esetén (azaz ha x a-hoz tart) +∞, ha az x-szel a-hoz közelítve, f (x) nagyobb lesz bármely K > 0 számnál. Vagyis: lim f (x) = +∞, xa ha bármely pozitív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f (x) > K , amennyiben |x − a| < δ . Az a környezetében (a-ban nem feltétlenül) értelmezett y = f (x) függvény határértéke x a esetén (azaz ha x a-hoz tart) −∞, ha az x-szel a-hoz közelítve, f (x) kisebb lesz bármely K < 0 számnál. Vagyis: lim f (x) = −∞, xa ha bármely negatív K számhoz létezik olyan pozitív δ szám, amelyre f (x) < K , amennyiben |x − a| < δ . Végtelenben vett határérték: Az y = f (x) függvény pozitív végtelenben vett határértéke A, ha minél nagyobb x-et véve, f (x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f (x) = A, x+∞ ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan pozitív K szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben x > K .

Az y = f (x) függvény negatív végtelenben vett határértéke A, ha minél kisebb x-et véve, f (x) A-tól vett különbsége 0-hoz tart. Vagyis: lim f (x) = A, x−∞ ha bármilyen kicsi pozitív ε számhoz létezik olyan negatív K szám, amelyre |f (x) − A| < ε, amennyiben x < K . 11 http://www.doksihu Közgazdaságtani példa: Az átlagos x költség a kibocsátás hiperbolikus függvénye, határértéke az x = 0 helyen +∞, +∞-ben pedig 0. 4. ábra 3.2 Derivált Egy y = ax + b egyenlet¶ egyenes meredekségét az a szám méri, amit az egyenes iránytangensének nevezünk. Minél nagyobb az abszolút értéke, annál meredekebb Ha negatív, akkor az egyenes balról jobbra haladva lefelé esik, ha pozitív szám, akkor n®. Egy tetsz®leges függvény meredekségét úgy deniáljuk, hogy adott pontjában az érint® meredekségét tekintjük. A függvény egy (x0 , f (x0 )) pontbeli meredekségét, f 0 (x0 )-t a függvény x0 -beli deriváltjának

nevezzük. Ha veszünk egy másik pontot a függvény görbéjén (x + h, f (x + h)) koordinátákkal, ahol h egy tetsz®legesen kicsi pozitív szám, akkor a két pontot összeköt® szel® meredeksége: m= amit az f függvény x0 ponthoz tartozó f (x0 + h) − f (x0 ) , h különbségi hányadosának nevezünk, és aminek határér- téke a függvény (x0 , f (x0 )) pontban vett meredeksége, ha h 0. Ez megadható a következ® képlettel is: f (x0 + h) − f (x0 ) h0 h f 0 (x0 ) = lim A deriváltat nem csak érint® meredekségeként értelmezhetjük. Egy y = f (x) függvény adott x = x0 pontban az f (x0 ) értéket veszi fel Ha x0 h-val változik (vagyis x0 + h-ra), 12 http://www.doksihu értéke f (x0 + h) lesz, a függvényérték megváltozása így f (x0 + h) − f (x0 ). Ha leosztunk h-val, megkapjuk az y átlagos megváltozását: f (x0 + h) − f (x0 ) h Ez f különbségi hányadosa vagy dierenciahányadosa, melynek határértékét véve h 0 esetén ismét

f deriváltját avagy dierenciálhányadosát kapjuk. Eszerint f 0 (x0 )-t értelmezhetjük az f x0 pontban vett pillanatnyi megváltozásaként is. Az f 0 (x0 ) f (x0 ) hányadost pedig f x0 -beli arányos megváltozásának nevezzük. Egyéb jelölések: Ha y x függvénye, akkor a deriváltjára használható a dierenciál jelölés is: dy = dy/dx dx Például: dy = 6x + 4. dx A t (=id®) függvényében vett derivált jelölésére legtöbbször az ṡ(t) jelölést használy = 3x2 + 4x esetén ják, leginkább zikában. Ugyanitt a mennyiség változását általában ∆t jelöli 3.3 Geometriai értelmezés 13 http://www.doksihu 5. ábra Tekintsünk egy y = f (x), x0 helyen deriválható függvényt. Húzzuk meg az f (x0 ) és az f (x1 ) pontokon átmen® s szel®t. A szel® iránytangense: f (x1 ) − f (x0 ) . x1 − x0 Az f (x0 ) ponton keresztül lefektetünk egy olyan ϕ hajlásszög¶ e egyenest, hogy tg ϕ = f 0 (x). Ekkor a φ szög (e és s közbezárt

szöge) tetsz®legesen kicsi ω szögnél kisebb, ha az x1 elég közel van x0 -hoz, vagyis lim φ = 0, x1 x0 ugyanis: Forgassuk el az e egyenest az f (x0 ) pont körül α < ω szöggel pozitív és negatív irányba, e1 , e2 egyenesekbe. φ1 jelölje az (e1 , x), φ2 az (e2 , x) szögeket(azaz e1 és e2 x-tengellyel bezárt szögét). tg φ2 < f 0 (x0 ) < tg φ1 . Ha x0 és x1 elég közel vannak, a dierenciahányadosra is fennáll az egyenl®tlenség: tg φ2 < f (x1 ) − f (x0 ) < tg φ1 . x1 − x0 Tehát az s szel® az f (x0 ) ponttól x tengely menti pozitív irányban (jobbra) az e1 egyenes alatt, negatív irányban (balra) az e2 egyenes felett van, így: φ < α < ω. Vagyis limx1 x0 φ = 0 azt jelenti, hogy az e egyenes az s szel® határhelyzete, ha x1 x2 . Ezt a határhelyzetet a függvény grakonjának f (x0 )-beli értint®jének nevezzük Az x0 helyen deriválható y = f (x) függvény grakonjának x0 helyen vett érint®jének

iránytangense f 0 (x), azaz tg ϕ = f 0 (x). 14 http://www.doksihu 3.4 Mechanikai értelmezés Tekintsünk egy egyenesvonalú mozgást végz® pontot. A pont által megtett utat jelölje s(t). A t + ∆t id® alatt s(t + ∆t) és a ∆t id® alatt ∆s = s(t + ∆t) − s(t) utat tesz meg Ekkor felírhatjuk a különbségi hányadost: s(t + ∆t) − s(t) ∆s = ∆t ∆t A pont v sebessége a t id®pillanatban: ∆s s(t + ∆t) − s(t) = lim = ṡ(t). ∆t0 ∆t ∆t0 ∆t v(t) = lim A ∆t id®közre es® átlagos sebességváltozás határértéke a pillanatnyi sebességváltozás, azaz a gyorsulás. Görbe vonalú mozgás esetén a gyorsulásra vektorként tekintünk, a sebességvektor id® szerinti deriváltjaként: a= ∆v , ∆t ahol a a gyorsulásvektor ( sm2 ), v a sebesség ( ms ), t az id® (s). A t pillanatban a gyorsulást tehát így kaphatjuk meg: v(t + ∆t) − v8t) . ∆t0 ∆t a = lim Példa: A Föld gravitációja közelében, ha a

közegellenállás elhanyagolható, a szabadon es® testek egyenletesen gyorsulnak. Ezt az állandót nevezzük gravitációs gyorsulásnak, és g -vel jelöljük. Magyarországon az értéke körülbelül 9, 81 sm2 Az s = g2 t2 útképlet¶ szabadon es® test sebességét a következ®képpen határozhatjuk meg: g g s(t + ∆t) = (t + ∆t)2 = (t2 + 2t∆t + ∆t2 ), 2 2 g 2 (t + 2t∆t + ∆t2 ) − g2 t2 s(t + ∆t) − s(t) 2 v = lim = lim = ∆t0 ∆t0 ∆t ∆t g 2t∆t + δt2 g = lim = lim (2t + ∆t) = gt. 2 ∆t0 ∆t 2 ∆t0 Vagyis a szabadon es® test sebessége a t pillanatban v = g · t. 15 http://www.doksihu 3.5 Közgazdaságtani értelmezés Mikrogazdaságtanban T C -vel jelöljük a teljes költséget, T R-rel a teljes bevételt, valamint T π -vel a teljes protot, ami el®áll a teljes bevétel és a teljes költség különbségeként (T π = T R − T C ). Ezek deriváltjait határköltségnek (M C ), határbevételnek (M R) és határprotnak (M π )

nevezzük: teljes költség változása termelés változása teljes bevétel változása MR = mennyiség változása teljes prot változása Mπ = mennyiség változása Ha C(x) = x egység el®állításának költsége, akkor a C 0 (x) határköltséget így kaphatjuk meg: MC = C(x + h) − C(x) . h0 h C 0 (x) = lim Nagy mennyiség¶ termék esetén h = 1 "elhanyagolhatóan kicsi", 0-ra kerekíthet®. Ebb®l a C 0 (x) ≈ C(x + 1) − C(x) = C(x + 1) − C(x) 1 közelít® egyenl®tlenséget kapjuk. Példa: Egy vállalat egy termékére vonatkozó költségfüggvénye C(x) = x2 + 5x + 10. Miközben x 10-r®l 10 + h-ra változik, a változás átlagos mértéke: C(10 + h) − C(10) (10 + h)2 + 5(10 + h) + 10 − (100 + 50 + 10) = = h h 160 + 25h + h2 − 160 25h + h2 = = 25 + h h h Amennyiben h 0-hoz tart, ez az érték 25-höz közelít. Másképpen számolva pedig, C 0 (x) = 2x+5, = melybe 10-et helyettesítve C 0 (10) = 25. További közgazdasági példa a

deriváltra a fogyasztási határhajlandóság, amely megmutatja, hogy mennyivel n® a fogyasztás, ha a jövedelem egységnyivel növekszik: a fogyasztási függvény jövedelem szerinti els® deriváltja. Illetve a munka határtermelékenysége (vagy határterméke), ami azt mutatja meg, hogy mennyivel változik a termelés a munka mennyiségének egy egységgel való növekedésekor, vagyis nem más, mint a termelési függvénynek a munka mennyisége szerinti deriváltja. 16 http://www.doksihu A közgazdászok derivált helyett gyakran használnak elaszticitást. Ha f (x) 6= 0 x-ben deriválható függvény, akkor f x pontbeli elaszticitása: Elx = x 0 f (x). f (x) Az elaszticitást jelölése lehet még Elx y vagy εyx , ha a függvény y = f (x) formában van megadva. 3.6 Dierenciálhatóság A folytonosság a dierenciálhatóság szükséges (de nem elégséges) feltétele, azonban a valóságban gyakran nem tudjuk megmérni vagy megvalósítani a független változó

tetsz®legesen kicsi megváltozásait. Bizonyos mennyiségeket csak adott id®közönként határoznak meg, napi, havi, vagy éves adatokról is beszélhetünk, valamint gyakran egy függvényt csak egész értékeiben deniálnak. Ezekben az esetekben a függvényt egy másik, közelít® függvénnyel helyettesíthetjük, amely már dierenciálható Például a 6. ábrán a munkanélküliek száma látható Budapesten 2000-t®l 2009-ig (ezer f®ben), minden egyes évre2 [4]. A bal oldali grakonon csak az éves értékek vannak bejelölve, a jobb oldalon pedig ezek már egy dierenciálható függvénnyel vannak közelítve. 6. ábra - A munkanélküliek száma Budapesten 2000-2009 (ezer f®) 3.7 Dierenciálási szabályok 1. Konstans függvény deriváltja egyenl® 0-val: f (x) = A ⇒ f 0 (x) = 0, ahol A ∈ R konstans. 2 Forrás: Központi Statisztikai Hivatal honlapja - http://portal.kshhu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/ xstadat eves/tabl6 02 01 02i.html 17

http://www.doksihu 2. Ha y(x) = f (x) + g(x) és z(x) = f (x) − g(x) akkor: y 0 (x) = [f (x) + g(x)]0 = f 0 (x) + g 0 (x), z 0 (x) = [f (x) − g(x)]0 = f 0 (x) − g 0 (x). 3. Ha f és g dierenciálható függvények x-ben, akkor y = f · g is dierenciálható x-ben, és y(x) = f (x) · g(x) ⇒ y 0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x). 4. Az 1-b®l és a 2-b®l következik: y(x) = A + f (x) ⇒ y 0 (x) = f 0 (x), ahol A ∈ R konstans. 5. Az 1-b®l és a 3-ból következik: y(x) = A · f (x) ⇒ y 0 (x) = A · f 0 (x), ahol A ∈ R konstans. 6. Ha f és g dierenciálható függvények x-ben, g(x) 6= 0, akkor y = f /g is dierenciálható x-ben, és y(x) = f (x) f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) ⇒ y 0 (x) = , ha g(x) 6= 0. g(x) g(x)2 7. Összetett függvény deriváltja: y(x) = (f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x). 8. Hatvány deriválási szabálya: f (x) = xa ⇒ f 0 (x) = a · xa−1 , ahol a ∈ R konstans. 3.8 Példa szorzat és hányados deriválási

szabályára közgazdaságtanban Példa szorzat deriválási szabályára: Tegyük fel, hogy egy adott áru egységnyi id® alatt termelt mennyisége és ára is az id® (t) függvénye. Legyen x(t) a t id®pillanatban vett termelt mennyiség/nap ráta, p(t) pedig az áru t id®pillanatbeli ára. 18 http://www.doksihu Ekkor: R(t) = p(t) · x(t) a napi bevétel. Ezt lederiválva a következ®t kapjuk: Ṙ = ṗ(t) · x(t) + p(t) · ẋ(t). Ez a következ®képpen értelmezhet®: Ha p(t) és x(t) is változik, akkor a bevétel változása két dologból tev®dik össze: Az egyik az ár változása, amely arányos a termelt mennyiséggel: ṗ(t) · x(t), a másik pedig a termelt mennyiség változása, ami az árral arányos: p(t) · ẋ(t). Ha ezt elosztjuk a napi bevétellel, akkor megkapjuk a jövedelem arányos mértékét: ṗ(t) · x(t) + p(t) · ẋ(t) ṗ(t) ẋ(t) Ṙ = = + . R p(t) · x(t) p(t) x(t) Vagyis a bevétel arányos növekedési mértéke az ár arányos

növekedési mértékének és a termelés mennyiségének arányos növekedési mértékének az összege. Példa hányados deriválási szabályára: Tekintsük a q darab termék el®állításához szükséges T R(q) teljes bevételt. Az átlagbevételt úgy kapjuk, ha ezt elosztjuk q -val: AR(q) = T R(q) . q A marginális, vagy határbevétel pedig a teljes bevétel deriváltja (M R(q) = T R0 (q)). Ha vesszük az átlagbevétel megváltozását (deriváltját), a következ® képletet kapjuk:     d T R(q) 1 q · T R0 (q) − T R(q) T R(q) 1 0 = (M R(q) − AR(q)) . = T R (q) − = dq q q2 q q q Ebb®l következik, hogy ha a termelt mennyiség pozitív (q > 0), akkor: M R(q) > AR(q) AR(q) n®, M R(q) < AR(q) AR(q) csökken, M R(q) > AR(q) AR(q) maximális. Hasonlóképpen bevétel helyett költségfüggvénnyel számolva - ahol T C(q) a teljes költség, T C 0 (q) = M C(q) a határköltség, AC(q) = T C(q) q az átlagköltség - a következ®

összefüggéseket kapjuk meg: M C(q) > AC(q) AC(q) n®, M C(q) < AC(q) AC(q) csökken, M C(q) > AC(q) AC(q) minimális. 19 http://www.doksihu 3.9 Példa dierenciálási szabályokra zikában Tekintsük a különböz® közegben található A és B pontokat, valamint a közöttük haladó fénysugarat az alábbi ábrán: 7. ábra - Hullámtörés közeghatáron történ® áthaladásnál A töréspontot (X0 -t), valamint a beesési szöget (αb -t) és a törési szöget (αt -t) szeretnénk meghatározni. A hullám haladási ideje: τAB = τAX0 + τX0 B = p = a2 + (X0 − XA )2 + c1 s1 s2 + = c1 c2 p b2 + (XB − X0 )2 , c2 ahol c1 a fény terjedési sebessége az els® közegben és c2 a terjedési sebessége a második közegben. A Fermat-elv3 kimondja, hogy a fénysugár A pontból B pontba mindig olyan úton jut el, amelyen a terjedési id® minimális. Tehát ahol dτAB = 0. dX0 √2 √2 a +(X0 −XA )2 b +(XB −X0 )2 + összeget. (Megjegyzés:

SzélDeriválnunk kell tehát a c1 c2 s®értékekr®l ebben a szakdolgozatban nincs külön fejezet, [2] 643-649. oldalán található b®vebb 3 Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Letölthet® verzió: Edward Arnold, 1909; 43. http://www.archiveorg/details/theoryoptics00schurich 20 oldal - http://www.doksihu információ a függvény minimuma és maximuma, illetve a deriválás kapcsolatáról.) Itt kerülnek el® a dierenciálási szabályok El®ször a 2 szabályt alkalmazzuk: két tagját √ 2 az összeg a +(X0 −XA )2 -t. A c1 itt külön-külön kell deriválnunk, majd összeadnunk. Els®ként tekintsük c1 konstansnak számít, mivel X0 szerint deriválunk, így c11 -et kiemelhetjük az 5. szabály miatt p a2 + (X0 − XA )2 összetett függvény, így a 7. szabály kerül el® A küls® függvény a négyzetgyök, amit 1 2 -ik hatványnak is vehetünk, a 8. szabályt gyelembe véve hajtjuk véve a deriválást A küls® függvény

deriváltja tehát 1 · 2 2 1 . a2 +(X0 −XA )2 A bels® függvényben a2 konstans, az 1. √ szabály miatt elt¶nik, így (X0 − XA ) -t kell deriválnunk. A négyzetre emelést elvégezve kapjuk, hogy X0 2 − 2X0 XA + XA 2 . Itt XA 2 konstans, a 4 szabály szerint elt¶nik, a 8 szabály szerint X0 2 deriváltja 2X0 , az 5. szabály értelmében −2X0 XA -ból pedig −2XA lesz Mindent összevetve azt kapjuk, hogy az összeg els® tagjának deriváltja hasonlóképpen alkalmazva a második tagra 1 c2 1 c1 · 1 2 B +2X0 · 12 · √−2X 2 ·√ b +(XB −X0 )2 2X0 −2XA . a2 +(X0 −XA )2 A szabályokat jön ki. τAB deriváltja tehát: 1 dτAB 1 X 0 − XA XB − X0 − ·p = 0. = ·p dX0 c1 a2 + (X0 − XA )2 c2 b2 + (XB − X0 )2 Ebb®l ha ismerjük v1 -et és v2 -t, akkor meghatározhatjuk X0 -t is. Valamint a két szög szinusza: X0 − XA sin αb = p a2 + (X0 − XA )2 , valamint sin αt = p XB − X0 b2 + (XB − X0 )2 . Megjegyzés: Ezekb®l a

következ® összefüggést is megkapjuk (Snellius-Descartes fénytörési törvénye): c1 sin αb = = n1,2 , ahol n1,2 a két közeg relatív törésmutatója. sin αt c2 3.10 Magasabb rend¶ deriváltak Az y = f (x) függvény deriváltjának deriváltját második deriváltnak vagy második dierenciálhányadosnak nevezik és f 00 (x)-szel, d2 y -tel dx2 vagy d2 f (x) -tel dx2 jelölik. Ezt ismét (vagyis harmadszorra) deriválva a harmadik deriváltat kapjuk, melynek jelölése f 000 (x), illetve d3 f (x) dx3 . A negyedik deriváltnál a jelölés: f (4) (x), d4 y dx4 vagy Az n-edik derivált jelölése tehát: f (n) (x), dn y dxn d4 f (x) dx4 vagy d3 y dx3 vagy . dn f (x) . dxn Az n-et a derivált rendjé- nek nevezik. A t szerinti második deriváltat legtöbbször s̈-sel szokás jelölni, a t szerinti harmadik . deriváltat pedig s -sel. 21 http://www.doksihu 3.11 Magasabb rend¶ deriváltak térgörbéknél Tekintsünk egy r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

görbét. (i, j , k az x, y z irányú egységvektorok) Feltesszük, hogy r kétszer deriválható A görbe sebességvektora a pálya érint®jének irányába mutat, az érint®vektor tehát a görbe deriváltja: ṙ. Az érint® irányú egységvektor jelölése: t= ṙ |ṙ| Az elmozdulás id® szerinti második deriváltja a gyorsulás: r̈. A gyorsulásvektor felbomlik egy érint® irányú komponensre, amelynek tangenciális gyorsulás a neve, valamint egy mer®leges komponensre, amit centripetális gyorsulásnak nevezünk. A sebesség (ṙ) és a gyorsulás (r̈) meghatároz egy síkot, amelyet simulósíknak nevezünk. Ennek egységnyi hosszú normálisa (érintési pontban állított mer®legese) a binormális, amely a következ®képpen számítható ki: b= ṙ × r̈ |ṙ × r̈| (Itt × a vektriális szorzatot jelöli: |a × b| = |a||b| sin ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok közbezárt szöge.) Az érint® és binormális által meghatározott sík a rektikáló sík.

A centripetális gyorsulás irányú vektort f®normális vektornak nevezzük, a következ®képpen számítható ki: n= r̈ =b×t |r̈| A t, b, n egymásra mer®leges egységektorok, amelyeket kísér® triédernek, vagy kísér® háromélnek szoktak nevezni. Deniálhatjuk a görbe görbületét (érint® irányváltozásának sebességét) is a következ®képpen: g= |ṙ × r̈| |ṙ|3 Valamint torzióját (simulósík elfordulásának sebességét): . ṙ · r̈ · r T = |ṙ × r̈|2 22 http://www.doksihu (Itt · a skaláris szorzatot jelöli: a·b = |a||b| cos ϕ, ahol ϕ az a és b vektorok közbezárt szöge.) 23 http://www.doksihu 4. Integrálszámítás 4.1 Határozatlan integrál Legyen f egy I véges vagy végtelen intervallumból R-be képez® függvény: f : I R. Ekkor az F : I R függvényt az f primitív függvényének nevezzük I -n, ha F dierenciálható I -n és F 0 (x) = f (x) x ∈ I -re. Egy f függvény összes primitív függvényeinek

halmazát f nevezzük. Jelölése: határozatlan integráljának Z f (x)dx. Mivel F 0 = f esetén (F +C)0 is igaz, ahol C ∈ R konstans, így minden integrálható függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, amelyek csak az additív konstansban térnek el egymástól. 4.2 Példa határozatlan integrálra Szeretnénk meghatározni azokat a görbéket, amelyek bármely pontjának vett érint®jének iránytangense megegyezik a pont x-tengelyen felvett értékével. Ha a görbe egyenlete y = f (x), akkor az érint® iránytangense f (x) deriváltja: m = y 0 = f 0 (x). Amit mi keresünk: y 0 = x. Meg kell tehát adnunk y -t, itt jön képbe az integrálás m¶velete: Z x2 + C, y = x dx = 2 ahol C konstans. Mivel x2 2 parabola, így a különböz® értéket felvev® C -k miatt (y -tengely mentén) felfelé és lefelé eltolt parabolasereget kapunk. 4.3 Mechanikai példa Egy pont az id®vel arányosan növekv® sebességgel egyenesvonalú mozgást végez. Szeretnénk

meghatározni egy bizonyos id®közben a pont által megtett út hosszát. 24 http://www.doksihu Mint korábban megállapítottuk, az útfüggvény (s) id® (t) szerinti deriváltja a mozgás sebessége (v ): v= ds . dt A feladat szerint a sebesség arányosan n® az id®vel: v = k · t. Tehát s-nek t szerinti deriváltja adott, mint t függvénye. Ebb®l következ®en: Z kt2 + C. s = kt dt = 2 Egy t = t1 id®pillanatban megtett út s1 = megtett út s1 = kt2 2 2 kt1 2 2 + C , egy t = t2 id®pillanatban + C. Vagyis a t2 − t1 id® alatt megtett út s2 − s1 = k 2 (t2 − t1 2 ). 2 4.4 Általános integrálási szabályok 1. Homogenitás: Z Z af (x) dx = a f (x) dx, ahol a ∈ R konstans. 2. Additivitás: Z Z [f (x) + g(x) − h(x)] dx = Z f (x) dx + Z g(x) dx − h(x) dx. 3. Parciális integrálás: Z Z 0 f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx, ahol f (x) és g(x) dierenciálható függvények. 4. Helyettesítéses integrálás: Z Z f (x) dx = 5.

Hatvány integrálása: Z xa dx = f [g(t)]g 0 (t) dt. 1 xa+1 + C , ha a 6= −1 és a ∈ R. a+1 25 http://www.doksihu 4.5 Határozott integrál Legyen [a, b] egy R-n értelmezett zárt intervallum. Ezen intervallum felosztásának nevezzük P -t, ha: P = xi : a = x0 < x1 < . < xn = b, (n ∈ N), ahol xi jelöli az i-edik osztópontot, [xi−1 , xi ] az i-edik intervallumot, valamint xi − xi−1 az i-edik intevallum hossza, ||P || = max1≤i≤n (xi − xi−1 ) pedig a P felosztás nomsága. Továbbá legyen f : [a, b] R kolátos függvény, ti ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1.n) közbens® értékek Ekkor az f függvény P felosztáshoz és t = (t1 , ., tn ) közbens® érték rendszerhez tartozó integrálközelít® összeg : n X s(f, P, t) = f (ti )(xi − xi−1 ). i=1 Az f : [a, b] R korlátos függvény Riemann integrálható az [a, b] intervallumon, ha létezik olyan N ∈ R szám, amelyre bármilyen kicsi ε > 0-hoz létezik δ(ε), hogy |s(f, P, t)

− N | < ε, ha ||P || < δ() minden t = (t1 , ., tn ) közbens® érték rendszer mellett teljesül Ezt az N számot az f függvény [a, b]-n vett Riemann integráljának nevezzük. Jelölése: b Z f (x) dx a Itt a az integrálás alsó, b pedig a fels® határa. Ennél a képletnél már meghatározott az additív konstans, ugyanis: Z a f (x) dx = 0. x=a Tegyük fel, hogy f : [a, b] R folytonos az [a, b] intervallumon és F : [a, b] R az f egy primitív függvénye [a, b]-n. Ekkor a Newton-Leibniz formula: Z b f (x) dx = F (b) − F (a) = [F (x)]ba . a 26 http://www.doksihu F (x) = R d[F (x)+C] dx f (x) dx esetén = f (x), tehát a határozatlan integrál az x változó függvénye, de a határozott integrál nem függ az x változótól, csupán a b fels® és a alsó határ függvénye. Geometriai jelentése: a határozott integrál az x tengely, a függvénygörbe, valamint az x = a és x = b egyenesek által határolt el®jeles terület. 4.6

Határozott integrál tulajdonságai 1. Homogenitás: Z b Z b f (x) dx, ahol A ∈ R konstans. Af (x) dx = A x=a x=a 2. Additivitás: Z b Z [f (x) + φ(x) − ϕ(x)] dx = x=a b Z b Z b φ(x) dx − f (x) dx + x=a x=a ϕ(x) dx x=a 3. A határok felcserélésével az integrál el®jelet vált: Z b Z a f (x) dx = − f (x) dx. x=a x=b 4. Ha a < c < b, akkor: Z b Z c f (x) dx = Z b f (x) dx + x=a x=a f (x) dx. x=c 4.7 Példa területszámításra Szeretnénk meghatározni az x2 a2 + y2 b2 = 1 ellipszis T területét. Írjuk át a görbe egyenletét x = x(t), y = y(t) paraméteres alakra. Vegyük a következ® helyettesítést: y = [f (x)] = y(t), dx = ẋ(t)dt: Z b Z t2 T = f (x)dx = y(t)ẋ(t)dt. x=a t=t1 Az elipszis paraméteres egyenletrendszere x = a cos t, y = b sin t. Elegend® az ellipszis negyed területét kiszámítani: dx = −a sin t dt, valamint t1 = 27 π és t2 = 0. 2 http://www.doksihu T = 4 Z 0 Z 0 b sin(−a sin t)

dt = −ab t= π2 Z 0 = −ab t= π2 sin2 t dt = t= π2  0 ab sin 2t abπ 1 − cos 2t dt = − t− = . 2 2 2 4 π 2 Ebb®l pedig: T = abπ. 4.8 Ívhossz Egy görbe kerületét is meghatározhatjuk a következ® módon: Ha az y = f (x) függvény az [a, b] intervallumon dierenciálható, és f 0 (x) [a, b]-n folytonos, akkor a függvénygörbe L ívhossza az intervallumon: Z b p L= 1 + (y 0 )2 (x) dx. x=a Illetve az x = x(t), y = y(t) (t ∈ [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe esetén az ívhossz: Z t2 p ẋ2 + ẏ 2 dt. L= t=t1 Például ki szeretnénk számolni az x2 + y 2 = r2 alakban megadott r sugarú kör kerületét. El®ször fejezzük ki y -t: y= √ r 2 − x2 . Majd deriváljuk az egyenletet: y0 = − √ x . r 2 − x2 Ebb®l megkapjuk ds-t: r r x2 r2 r ds = 1 + 2 dx = dx = √ dx. 2 2 2 r −x r −x r 2 − x2 Itt is elég egy negyed körívre elvégezni. Legegyszer¶bb azt az ívet választani, ahol y > 0 és x > 0.

Itt a határok: x = 0 és x7r Így: Z r L r √ = dx. 2 4 r − x2 x=0 28 http://www.doksihu Vezessük be az x = rt, dx = r dt új változót. Ekkor az új határok t = 0 és t = r r =1 lesznek. A negyed körív hossza tehát: Z 1 Z 1 Z 1 r 1 r2 rπ L √ √ √ dt = dt = r dt = r[arcsin t]10 = = . 2 2 2 2 2 4 2 r −r t 1−t 1−t t=0 t=0 t=0 A kör teljes ívhossza ennek négyszerese: L=4 rπ = 2rπ. 2 4.9 Forgástestek köbtartalma Legyen tn egy r sugarú, m magasságú egyenes körhenger alpkörébe írt n-szög területe, a megfelel® köré írt sokszög területe Tn . A tn terület¶ sokszögre szerkesztett m magasságú egyenes hasáb a henger beírt, a Tn terület¶ sokszögre szerkesztett, szintén m magasságú egyenes hasáb a henger köré írt hasáb. A beírt hasáb köbtartalma Vb = mtn , a köré írt hasáb köbtartalma Vk = mTn . A henger köbtartalma legyen V . Ebben az esetben mtn < V < mTn , de limn+∞ tn = r2 π , limn+∞ Tn = r2 π , így V =

mr2 π , tehát azt a jól ismert képletet kaptuk, amely szerint a henger köbtartalma az alapkör területének és a magasságnak szorzata. Ebb®l következik, hogy az y = f (x) görbét x-tengely körüli (360 fokos) forgatással el®állított forgástest köbtartalma x = a és x = b határok között: Z b y 2 (x) dx. V =π x=a Ha a görbe x = x(t), y = y(t) (t ∈ [a, b]) paraméteres egyenletrendszerrel van megadva, akkor dx = ẋ(t) dt, ezért: Z t2 y 2 (t)ẋ(t) dt. V =π t=t1 Tetsz®leges zárt felülettel határolt test köbtartalma is meghatározható egy adott S síkkal párhuzamos és attól x távolságra lév® metszetének T (x) területének segítségével. Ha a két metsz®sík távolsága S -t®l a és b. A testet osszuk fel S -t®l a = x0 < x1 < . < xi < < xn = b távoságra lév® metsz®síkokkal. T (ξi ) alapterület¶ és (xi+1 − xi ) magasságú hengerrel adható meg az i-edik 29 http://www.doksihu réteg köbtartalma: T (ξi ) az

xi < ξi < xi+1 alkalmas megválasztásával. Az egész réteges test köbtartalma: n−1 X T (ξi )(xi1 − xi ). i=0 Ennek határértéke a test köbtartalma: V = Például számítsuk ki az x2 a2 + y2 b2 Rb x=a T (x) dx. = 1, x > 0, a, b 6= 0 ellipszisív elforgatásával keletkezett fél ellipszoid köbtartalmát: r x2 , ebb®l: a2  a  Z a  2ab2 π x2 x3 2 2 . V =π b 1 − 2 dx = πb x − 2 = a 3a 0 3 0 y=b 1− 4.10 Forgástestek palástjának felszíne Egy y = f (x) (a ≤ x ≤ b) egyenlettel megadott görbe x-tengely körüli elforgatásával keletkezett forgástest felszíne az ábrán látható csonkakúpok palástjainak felszínének összege: 7. ábra Egy csonkakúp palástfelszíne: 2πy(x) + 2πy(x + ∆x p 2 ∆x + ∆y 2 = 2 s   ∆y 2 = π[y(x) + y(x + δx)] 1 + δx. ∆x ∆F = 30 http://www.doksihu Mivel dF dx = lim∆x0 ∆F ∆x = 2πy p 1 + (y 0 )2 (x) dx, így a teljes test felszínét a követ- kez®képpen kaphatjuk

meg: Z b y(x) F = 2π p 1 + (y 0 )2 (x) dx. x=a Ha az x = x(t), y = y(t) paraméteres egyenlettel adtuk meg a görbét, akkor ds = p ẋ2 + ẏ 2 dt. Ekkor tehát: Z t2 p y(t) ẋ2 + ẏ 2 dt. F = 2π t=t1 Például az r sugarú gömb felszíne: Forgassuk el az x2 + y 2 = r2 kört az x-tengely körül, így megkapjuk a gömböt. q √ 2 1 + r2x−x2 dx = √r2r−x2 . A határok x1 = −r, x2 = r Ebb®l y = r2 − x2 , y 0 = √r−x , ds = 2 −x2 Vagyis a felszín: Z F = 2π r x=−r √ r dx r 2 − x2 √ = 2πr r 2 − x2 Z r dx = 2πr[x]r−r = 2πr(2r) = 4r2 π. x=−r 4.11 Mechanikai és egyéb zikai alkalmazások Fizikában, azon belül mechanikában nagyon sok helyen találkohatunk integrállal. Ezek közül néhány példa: 1. Homogén síkrész els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre: 1 Mx = 2 b Z y 2 (x) dx, x=a illetve y -tengelyre: Z b My = xy(x) dx. x=a Homogén lemez súlypontjának koordinátái: Rb R 1 b xy(x) dx y 2 (x) dx 2

x=a xs = Rx=a , y = . R s b b y(x) dx y(x) dx x=a x=a 31 http://www.doksihu Például határozzuk meg az x = a cos t, y = b sin t ellipszis x-tengely feletti fél lapjának a súlypontját. A homogén síkrészre vonatkozó képletek átírhatóak paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbék esetére: Z Z Z 1 t2 2 1 0 2 2 1 b 2 y (x) dx = y (t)ẋ(t) dt = b sin t(−a sin t) dt = Mx = 2 x=a 2 t=t1 2 t=π  0 Z 1 2 0 1 2 cos3 t 2 2 − ab (1 − cos t) sin t dt = − ab − cos t + = ab2 . 2 2 3 π 3 t=π Az ellipszis félterülete 4.7 Példa területszámításra cím¶ részben kijött eredmény alapján abπ , 2 így: ys = 2ab2 3 abπ 2 = 4b és xs = 0 az y -tengelyre való szimmetria miatt. 3π 2. Homogén görbeív els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka x-tengelyre: Z b p y(x) 1 + (y 0 )2 (x) dx, Mx = x=a valamint y -tengelyre: Z b My = x p 1 + (y 0 )2 (x) dx. x=a Az ívsúlypont koordinátái: p p Rb Rb x 1 + (y 0 )2 (x) dx y(x) 1 + y 0 2(x) dx x=a x=a ,

ys = R b p . xs = R b p 1 + (y 0 )2 (x)dx 1 + (y 0 )2 (x) dx x=a x=a Például határozzuk meg az y = ch x láncgörbe x1 = 0 és x2 = 1 közötti ívének súlypontját. Z b Z 1 Z 1 p p 2 0 2 Mx = y(x) 1 + (y ) (x) dx = ch x 1 + sh x dx = ch2 x dx = x=a Z 1 = x=0 x=0  ch 2x + 1 1 sh 2x dx = +x 2 2 2 Z 1 0  1 sh 2 sh 2 1 3, 62686 1 = +1−0 = + ≈ + ≈ 1, 4067. 2 2 4 2 4 2 b My = x x=a p 1+ (y 0 )2 (x) x=0  Z 1 dx = x=0 32 Z p 2 x 1 + sh x dx = 1 x=0 x ch x dx = http://www.doksihu = [x sh x]10 Z 1 shx dx = [x sh x − ch x]10 = sh 1 − ch 1 + ch 0 = −e−1 + 1 ≈ 0, 6321. − x=0 Z b p L= 1+ (y 0 )2 (x) Z 1 Z p 2 1 + sh x dx = dx = x=a x=0 xs = 1 ch x dx = [sh x]10 = sh 1 ≈ 1, 1752. 0 0, 6321 Mx 1, 4067 My ≈ ≈ 0, 5379 és ys = ≈ ≈ 1, 197. L 1, 1752 L 1, 1752 3. A homogén forgástest els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a forgástengely: Z b xy 2 (x) dx. Myz = π x=a A

forgástengelyen lév® súlypont y -tengelyt®l vett távolsága: Rb xs = x2 a2 Például forgassuk el az + y2 b2 xy 2 (x) dx Rx=a b x=a y 2 (x) dx . = 1, x > 0 ellipszisívet az x-tengely körül, majd határozzuk meg a keletkezett fél ellipszoid súlypontját.   x2 y =b 1− 2 . a 2 2 A határok: x = 0 és x = a, ebb®l: Z b Myz = π 2 2 xy (x) dx = πb x=a Aa    2 a x2 x4 πb2 a2 2 x x 1 − 2 dx = πb − 2 = . a 2 4a 0 4 x=0 Z a 4.9 Forgástestek köbtartalma cím¶ részben kijött képlet alapján a fél ellip- szoid köbtartalma: V = 2ab2 π . 3 Myz = xs = V πb2 a2 4 2ab2 π 3 33 3 = a. 8 http://www.doksihu 4. Homogén forgásfelület els®rend¶ vagy sztatikai nyomatéka az (y, z) síkra, ha az x-tengely a forgástengely: Z b Myz = 2π xy(x) p 1 + (y 0 )2 (x) dx. x=a A forgástengelyen lév® súlypont y -tengelyt®l vett távolsága: p Rb xy(x) 1 + (y 0 )2 (x) dx xs = Rx=a . p b 0 )2 (x) dx y(x) 1 + (y x=a Például

forgassuk el az y = √ x parabola (0 ≤ x ≤ 2) ívét az x-tengely körül, majd határozzuk meg a keletkezett forgási paraboloidfelület súlypontját. p 1 y 0 = √ , ds = 1 + (y 0 )2 dx = 2 x Z b Z p 0 2 xy(x) 1 + (y ) (x) dx = 2π Myz = 2π x=a 2 x=0 Helyettesítéssel: x + 1 4 3 3 Myz = 2π t= 12 valamint a x x r 1+ 1 dx. 4x 1 dx = 2π 1+ 4x Z r 2 x x=0 x+ 1 dx. 4 = t2 , dx = 2t dt. A határok: x = 0 esetén t = Z √ r 1 , 2 x = 2 esetén t = q 2+ 1 4 = 23 . Vagyis:    5 3 1 2 t t3 2 2 2 t − − ≈ 4π · 1, 2417, t dt = 4π 4 5 12 1 2 4.10 Forgástestek palástjának felszíne cím¶ részben kijött képlet alapján: Z 2 F = 2π x=0 √ 1 x1 + dx = 2π 4x "   1  3 #2 1 2 2 1 2 dx = 2π ≈ 2π · 2, 1667, x+ x+ 4 3 4 x=0 Z 2 0 így: xs = Myz 4π · 1, 2417 2, 4834 ≈ = ≈ 1, 4617. F 2π · 2, 1667 2, 1667 34 http://www.doksihu 5. Folyadékba merített függ®leges lemez egyik oldalára ható

nyomóer® kiszámítása: A γ fajsúlyú folyadékba merített függ®leges lemez felszínt®l x távolságra lev® y∆x felületelemére γ xy ∆x elemi nyomóer® hat. A lemez egyik oldalára ható összes P nyomóer® a következ® képlettel számítható ki: P = lim n∞ n X Z b xy dx. γxi yi ∆xi = γ a i=1 8. ábra Például tekintsünk egy 3 méter hosszú, 9 méter átmér®j¶, vízszintesen elhelyezett, a feléig vízzel töltött csövet. Szeretnénk meghatározni a víz nyomását a cs® tengelyére mer®leges zárólapokra (a cs® végeit zárják le). Válasszuk a koordinátarendszert a következ® módon: 9. ábra Eszerint a zárólapok egyenlete x2 + y 2 = 9, vagyis y = 35 √ 9 − x2 , valamint γ = 1000, http://www.doksihu a határok pedig a = 0 és b = 3. Egy zárólapra ható nyomóer®: Z 3 √ i3 1000 1000 h 2 32 2 P1 = 1000 x 9 − x dx = − (9 − x ) · 27 = 9000, = 3 3 0 x=0 a két zárólapra együttesen P = 2 · 9000 = 18000

kilopascal. 4.12 Közgazdaságtani alkalmazások 1. Valutatartalék Ha F (t) jelöli egy ország devizakészletét a t id®pontban és F dierenciálható, az id®egység alatti deviza-változás f (t) = Ḟ (t). Ha f (t) > 0, akkor a t id®pontban nettó devizaáramlás történik az országba, ha f (t) < 0, akkor pedig devizakiáramlás. A devizakészletekben [t0 , t1 ] id®intervallumban történt változás a következ®képpen is megadható: Z t1 F (t1 ) − F (t0 ) = f (t) dt. t=t0 Tekintsük az alábbi példát: 10. ábra Az ábrán a t0 és t0 pontok között nettó devizabeáramlás, t0 és t00 között, nettó devizakiáramlás történik. 2. Jövedelemeloszlás Jelölje F (r) azoknak a személyeknek az arányát, akik legfeljebb r dollárnyi jövedelemmel rendelkeznek. Vagyis n f®s népesség esetén n · F (r) az r dollárnyi jövedelm¶ek száma 36 http://www.doksihu Legyen r0 a legalacsonyabb és r1 a legmagasabb jövedelem. Ekkor az F függvényt

szeretnénk meghatározni az [r0 , r1 ] intervallumban. F itt a meghatározás alapján nem feltétlenül dierenciálható, illetve folytonos Viszont megfelel®en nagy közösség esetén található egy olyan folytonosan deriválható F , ami jó becslést ad a jövedelemeloszlásra. Legyen tehát F deriváltja f , vagyis: f (r) = F 0 (r) minden r ∈ (r0 , r1 ) esetén. A derivált deníciója szerint f (r)∆r ≈ F (r + ∆r) − F (r) bármely kicsi ∆r esetén, tehát f (r)∆r körülbelül azon egyének aránya, akiknek r és r + ∆r közötti a jövedelmük. f -et jövedelems¶r¶ségfüggvénynek, F -et pedig a hozzá tartozó eloszlásfüggvénynek nevezzük. Feltesszük, hogy f egy adott népesség folytonos jövedelemeloszlási függvénye, amelyRb nek értékkészlete az [r0 , r1 ] intervallum. r0 ≤ a ≤ b ≤ r1 esetén r=a f (r) dr azon személyek Rb aránya, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Következésképpen n r=a f (r) dr pedig azon

személyek száma, akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik. Szeretnénk azoknak a személyeknek az összjövedelmét meghatározni, akik a és b közötti keresettel rendelkeznek. Jelölje M (r) azoknak az összjövedelmét, akik legfeljebb r dollárt keresnek. Tekintsük az [r, r + ∆r] intervallumot, amelybe körülbelül nf (r)∆r egyén jövedelme esik bele és ez a jövedelem ≈ r, így az összjövedelmük M (r + ∆r) − M (r) ≈ nrf (r)∆r. Vagyis: M (r + ∆r) − M (r) ≈ nrf (r). ∆r Rb Ha ∆r 0, akkor M 0 (r) = nrf (r). Így n r=a rf (r) dr = M (b) − M (a), vagyis n Rb r=a rf (r) dr azoknak a személyeknek az összjövedelme, akiknek az egyéni jövedelmük [a, b] intervallumba esik. Az összjövedelem és az [a, b] jövedelemintervallumba tartozó személyek közötti arány ezen személyek átlagjövedelme (m). Vagyis: Rb m = Rr=a b rf (r) dr r=a . f (r) dr A valódi jövedelemeloszlást jól közelíti például a Pareto-eloszlás. A

legfeljebb r dollár jövedelm¶ személyek aránya itt: f (r) = Br−β , 37 http://www.doksihu ahol B és β konstans és β empirikus becslése 2, 4 < β < 2, 6. Ha r 0-hoz közeli, akkor ez nem Rb értelmes β ≥ 1-re, mert r=a f (r) dr ∞ ha r 0. 3. Jövedelemelosztás befolyásolása Feltesszük, hogy egy társadalom tagjainak egy olyan árut árulnak, aminek a kereslete csak a p ártól és az egyén r jövedelmét®l függ. p ár esetén D(p, r) az r jövedelm¶ egyén folytonos keresleti függvénye, valamint a ≤ r ≤ b, a jövedelemelosztás f (r). Ebben az esetben szeretnénk meghatározni a p áron kínált áru összkeresletét. Legyen T (r) azoknak az összes kereslete, akik legfeljebb r jövedelemmel rendelkeznek. Az [r, r + ∆r] intervallumba körülbelül nf (r)∆r egyén jövedelme esik, akiknek jövedelme nagyjából D(p, r), ezért összkeresletük ≈ nD(p, r)f (r)∆r. Ez viszont T (r + ∆r) − t(r) Vagyis mivel T (r + ∆r) − T (r) ≈

nD(p, r)f (r)∆r, így T (r + ∆r) − T (r) ≈ nD(p, r)f (r). ∆r Ha ∆r 0, akkor T 0 (r) = nD(p, r)f (r). A határozott integrál deníciójából: Z b T (b) − T (a) = n D(p, r)f (r) dr. r=a T (b) − T (a) a népesség ezen áru iránti (p-t®l függ®) összkereslete. x(p)-vel jelölve tehát a teljes kereslet: Z b nD(p, r)f (r)dr. x(p) = r=a 4. Folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke Tekintsük a bevételt folyamatosnak a t = 0 id®pont és a t = T id®pont között. t-ben f (t) dollár/év sebességgel. A kamatot r kamatláb mellett folyamatosan t®késítjük Legyen P (t) a [0, t] id®intervallumban történ® kizetések össz-jelenértéke, vagyis P (T ) pénzmennyiséget kell befektetnünk t = 0-ban, hogy az f (t) jövedelemáram folyamatos befektetését fedezze a [0, T ] intervallumban. Tetsz®leges dt szám esetén a [t, t + dt] intervallumban befolyt pénz jelenértéke P (t + dt) − P (t). Elég kicsi dt-nél ennek a pénznek a

jelenértéke nagyjából f (t) dt, diszkontált 38 http://www.doksihu jelenértéke (P DV - angolul Present Discounted Value) pedig körülbelül f (t)e−rt dt. Tehát P (t + dt) − P (t) ≈ f (t)e−rt dt, illetve P (t + dt) − P (t) ≈ f (t)−rt . dt Ha dt 0, akkor P 0 (t) = f (t)e−rt . A határozott integrál deníciójából: Z T P (T ) − P (0) = f (t)e−rt dt. t=0 Viszont P (0) = 0, így a [0, T ] intervallumbeli, f (t) dollár/év sebesség¶, folyamatos jövedelemáramlás diszkontált jelenértéke t = 0 id®pontban rögzített r kamatlábú folyamatos kamatt®késítés mellett: T Z f (t)e−rt dt. P DV = t=0 Ez az egyenlet a [0, T ] id®intervallumbeli f (t) jövedelemáram értékét adja meg t = 0RT ban. t = T -ben a kamat r kamatláb folyamatos t®késítése mellett erT t=0 f (t)e−rt dt Az erT RT konstans, így bevihetjük az integrálba: t=0 f (t)er(T −t) dt. Ezt nevezzük a jövedelemáramlás diszkontált jöv®értékének (F DV -

angolul Future Discounted Value). Vagyis: Z T f (t)er(T −t) dt. F DV = t=0 Az [s, T ] id®intervallumban eszközölt folyamatos jövedelemáramlás diszkontált értéke (DV - angolul Discounted Value) t = s id®pontban, rögzített r kamatláb esetén, folyamatos kamatt®késítés mellett: Z T DV = f (t)e−r(t−s) dt. t=s Például határozuk meg az 5 éven keresztül évi 2000 dollár jövedelem P DV -jét és F DV -jét évente t®késített r = 5% = 0.05 kamat mellett:   −0.05t 5 Z 5 e 2000 −0.05t P DV = 2000e dt = 2000 − = (1 − e−0.25 ) ≈ 884797 0.05 0.05 t=0 0 F DV = e0.05·5 P DV ≈ e025 · 884797 ≈ 1136102 39 http://www.doksihu 5. Összefoglalás Szakdolgozatom néhány példát mutatott az analízis más tudományágakban való felhasználására, ugyanakkor érdemes megjegyezni, hogy ez csak egy kis szelete volt az ismert alkalmazásoknak. Analízissel kapcsolatban fontos még szót ejteni a függvények maximumés minimumhelyeinek

vizsgálatáról, a deriválás és integrálás legtöbb természettudományi és mérnöki eljárásban való el®fordulásáról, valamint a parciális dierenciálegyenletekr®l. Egy kis ízelít®t láthattunk vektoranalízisb®l is, ami a geometria és az analízis kapcsolatáról tanúskodik, valamint zikából, ahol mechanikán, h®tanon és a szakdolgozatban említett más témákon kívül még rengeteg helyen el®fordulnak analízisbeli tételek alkalmazásai a természeti jelenségek leírásában. A gazdasági felhasználások pedig rámutatnak, hogy gyakorlati haszna is lehet ezen tudásnak, akár mindennapjainkban is segíthet döntések meghozatalában. 40 http://www.doksihu 6. Irodalomjegyzék [1] Arthur Schuster, An Introduction to the Theory of Optics, London: Edward Arnold, 1909 - Letölthet® verzió: http://www.archiveorg/details/theoryoptics00schurich [2] Központi Statisztikai Hivatal honlapja http://portal.kshhu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/ xstadat

eves/tabl6 02 01 02i.html [3] Magyar Nemzeti Bank honlapja http://www.mnbhu/Resourceaspx?ResourceID=mnbfile&resourcenam hu0906 fogyasztasi HUF [4] MIT Open Courses - Course 14.01 - Principles of Microeconomics Fall 2007 - Lecture 3 http://ocw.mitedu/courses/ [5] Obádovics J. Gyula: Matematika, Kilencedik kiadás, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [6] Dr. Rados Gusztáv: Analizis és geometria, Franklin-társulat, Budapest, 1919 [7] Sydsæter-Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó Kft., 1998 [8] Tóth András Kísérleti Fizika jegyzete 2007, Budapesti M¶szaki Egyetem - "Hullámok visszaver®dése és törése" http://mono.eikbmehu/~vanko/labor/kisfiz/tananyaghtm 41 http://www.doksihu Köszönetnyilvánítás Köszönöm Sikolya Eszternek, hogy még az utolsó pillanatokban is id®t szánt rám és hasznos tanácsokkal látott el dolgozatomat illet®en. Továbbá köszönöm mindenkinek, hogy türelemmel és megértéssel voltak, amíg én a

szakdolgozatomat írtam. 42