Matematika | Analízis » Laczkó Éva - A Laplace-transzformáció és alkalmazásai

http://www.doksihu Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Laplace-transzformáció és alkalmazásai Szakdolgozat Laczkó Éva Matematika BSc - Matematikai elemz® szakirány Témavezet®: Bátkai András, Egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék 2010 http://www.doksihu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Laplace élete 5 3. A Laplace-transzformáció 8 3.1 Deníció és példák 8 3.2 Néhány elemi tulajdonság 8 3.3 Egyszer¶ alkalmazások 9 3.4 Dierenciálhatóság és integrálhatóság 15 3.5 További tulajdonságok 24 3.6 Parciális törtekre bontás módszere 27 4. Közönséges dierenciálegyenletek 29 4.1 Els®- és másodrend¶ dierenciálegyenletek 29 4.2 Magasabbrend¤» dierenci¤»legyenletek 35 4.3 Dierenciálegyenlet-rendszerek

37 5. Összegzés 39 2 http://www.doksihu "Világos, hogy a Természet rendszerének mostani állapota a megel®z® pillanatban fennállott állapot következménye, és ha elképzelünk egy olyan Intelligenciát, amely át tudja tekinteni az Univerzumban található valamennyi létez® közötti viszonyokat egy adott pillanatban, úgy ez az Intelligencia képes lenne arra, hogy meghatározza e létez®k helyét, mozgását és általában hatásaikat bármely korábbi vagy késöbbi pillanatban." (Pierre-Simon de Laplace) 3 http://www.doksihu 1. fejezet Bevezetés A dolgozat a Laplace-transzformáció ismertetésével, tulajdonságaival illetve azok alkalmazásaival foglalkozik. El®ször Laplace életér®l és munkásságáról említek pár szót, majd deniálom a Laplace-transzformáció fogalmát elemi tulajdonságaival. Ezután néhány függvényre(generátorfüggvényre) alkalmazom a deníciót és kiszámolom a integrál segítségével a

Laplace-transzformáltjukat A Dierenciálhatóság és integrálhatóság cím¶ fejezetben megvizsgálom a transzformáció generátorfüggvényének (f (t)) illetve a transzformált (F (s)) dierenciálhatóságát és integrálhatóságát. Ezután további nem elemi tulajdonságokra nézek példákat, majd ismertetem a parciális törtekre bontás módszerét. Végül a közönséges dierenciálegyenletekre (els®-, másodrend¶ és magasabbrend¶ dierenciálegyenletekre) vezetek le példákat, legvégül egy zikai példával bemutatom a dierenciálegyenlet-rendszerek megoldásához alkalmazható Laplace-transzformációt. 4 http://www.doksihu 2. fejezet Laplace élete Pierre-Simon de Laplace 1749. március 23-án a normandiai Beaumonten-Auge-n született Apja, Pierre Laplace, almabor keresked®, anyja, Marie-Anne Sochon, egy jómódú család mez®gazdasági földterület tulajdonosa, Tourgéville, de szüleit szegényparasztoknak vallotta. A helyi katonai iskola

bejárós diákja volt, ahol hamar kit¶nt a kíváló emlékez®képességével. Tanulmányai után ugyanitt tanított. Párizsba utazásának oka, hogy az adottságainak nem nyújtott eleget a vidéki iskola. DAlembertnél jelentkezett ajánlóleveleivel, bár a híres enciklopédista nem fogadta Laplace-t. Ekkor kézzel írt levélben kereste fel DAlembertet, aki a levél olvasása után Laplace elött kitárta kapuit, ugyanis ez az írás a mechanikai elvekr®l szólt. Nagyszer¶ értekezés volt, hiszen pár nappal kés®bb 5 http://www.doksihu Laplace az École Militaire matematika tanára lett. Ezután gyorsan haladt a tudományos karrierje, hiszen 24 évesen az akadémia levelez® tagja, majd a királyi tüzérség növendékeinek vizsgáztatója. 1794-ben az École Normale Supérieure analízis tanára, majd a Mértékügyi Hivatal tagja és elnöke. Laplace, a matematikus 1776-ben új módszert dolgozott ki Lagrange-zsal a közönséges dierenciálegyenletek

megoldására való visszavezetésre. A másodrend¶ parciális dierenciálegyenletek között nevezetessé vált a 2 ∂ 2y 2∂ y = a , ∂t2 ∂x2 a húrrezgés dierenciálegyenlete. Melyet 1770-ben Eulernek sikerült kanonikus alakra hoznia y = f (x + at) + ϕ(x − at). Laplace ezt a módszert felhasználva megadta a másodrend¶ lineáris parciális dierenciálegyenlet megoldását: ∂ 2z ∂ 2z ∂ 2z ∂z ∂z + A + B +C +D + Ez + F = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 1779-ben ® vezette be a határozott integrál fogalmát, ezért sokan csak úgy hívják, hogy "Franciaország Newtona". Laplace munkássága a XIX. század elején új fordulatot adott a valószín¶ségszámításnak 1774-t®l e tárgyban gy¶jtögetett tanulmányok 1812-re összeálltak a Théorie analytique des probabilités (A valószín¶ség analitikai elmélete) cím¶ m¶vében. 2 évvel kés®bb az Essai philosophique des probabilités (A valószín¶ség lozóai esszéje) cím¶

alkotás is megjelent. Laplace is az els®k R∞ 2 közt ismerte fel, hogy az −∞ e−x dx valószín¶ségi görbe alatti terület pont √ a π . A normálelszolással kapcsolatban csak Gauss nevét szokás említeni, pedig t®le függetlenül Laplace is felfedezte. 6 http://www.doksihu Laplace, a zikus A zikai matematika számára kiemelked®en fontos volt a gravitációs és az elektromos er®terek potenciáljának megismeréséhez a dierenciálegyenlet. Laplace 1787-ben bizonyította be, hogy egy er®tér V potenciálfüggvénye kielégíti az alábbi dierenciálegyenletet: 4V = ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 A Laplace-féle 4V = 0 dierenciálegyenlet megoldása a zikában sokféle alkalmazásra lelt, vagyis számos kit¶n® matematikust és zikust foglalkoztatott. Laplace, a csillagász A Mécanique Céleste (égi mechanika) els® kötetében az els® általános törvényeket fogalmazza meg, mint például, hogy mi az egyensúly a mozgás és a

halmazállapot között, míg a második könyv az egyetemes gravitáció törvényér®l, és a naprendszerbeli súlypontok mozgásairól szól. A legfontosabb matematikai megközelítés itt a felállított dierenciálegyenletek és azok megoldása, melyek leírják a létrejöv® mozgásokat A második kötet foglalkozik a bolygók mechanikai alkalmazásainak tanulmányozásával. 1810 után majdnem minden európai tudományos akadémia tagja. A javára kell írni, hogy a atal tudósokat mindig ®szinte barátsággal segítette, valamint tudóstársai becsülték és tisztelték. Rövid betegeskedés után 87 évesen 1827 március 5-én Párizsban hunyt el. Utolsó mondata: "Amit tudunk, az vajmi kevés, amit nem tudunk, az roppant sok!" 7 http://www.doksihu 3. fejezet A Laplace-transzformáció 3.1 Deníció és példák A Laplace-transzformáció az f (t) a 0 ≤ t ≤ ∞ intervallumon értelmezett komplex változós függvényhez hozzárendeli a F (s) komplex

változós függvényt: Z ∞ f (t)e−st dt, F (s) := 0 ahol s ∈ C és s valós része pozitív (azaz Re(s) > 0). Az így el®állított komplex változótól függ® F függvényt nevezzük az f valós változós függvény Laplace-transzformáltjának. Az f függvényt eredeti függvénynek vagy generátorfüggvénynek nevezik Szimbolikus jelölés: L[f ] = F 3.2 Néhány elemi tulajdonság A Laplace-transzformáció alkalmazása során egyszer¶bb, de fontos tulajdonság a linearitás. 1. L[c · f (t)] = c · L[f (t)] A c valós konstans kiemelhet®: Z ∞ Z −st L[c · f (t)] = c · f (t)e dt = c · 0 0 8 ∞ f (t)e−st dt = c · L[f (t)] http://www.doksihu 2. L[f1 (t) + f2 (t)] = L[f1 (t)] + L[f2 (t)] Az integrál additívitása és disztributívitása miatt: Z ∞ (f1 (t) + f2 (t))e−st dt = L[f1 (t) + f2 (t)] = 0 ∞ Z −st (f1 (t)e = −st + f2 (t)e Z ∞ )dt = −st f1 (t)e 0 Z dt + 0 ∞ f2 (t)e−st dt = 0 = L[f1 (t)] + L[f2 (t)]

3.3 Egyszer¶ alkalmazások A deníció szerint számítsuk ki néhány függvény Laplace-transzformáltját! 1. Legyen f (t) = 1 Ekkor Z ∞ 1·e F (s) = −st Z ∞ −st dt = 0 e 0 e−st dt = −s  ∞ =0+ t=0 1 1 = s s Vagyis L[1] = 1s , ahol Re(s) > 0. A linearitás miatt bármilyen c ∈ R konstans esetén L[c] = sc . 2. Legyen f (t) = tn , ahol n ∈ N, n ≥ 2 Az el®állításhoz el®ször parciálisan kell integrálnunk, majd felhasználjuk az el®z® példa eredményét. • Ha n = 1, vagyis f (t) = t, ekkor parciálisan integrálva R R ( f 0 · g = f · g − f · g0)  ∞ Z ∞ −st  −st ∞ Z ∞ 1 e−st e e −st F (s) = t · e dt = t · − dt = 0+ = 2 2 −s t=0 −s −s t=0 s 0 0 Vagyis L[t] = 1 s2 és tetsz®leges c ∈ R esetén L[c · t] = Re(s) > 0. 9 c , s2 ahol http://www.doksihu • Ha n = 2, azaz f (t) = t2 , akkor   Z ∞ Z ∞ −st ∞ e−st 2 −st 2 e F (s) = t · e dt = t · 2t · dt = − −s t=0 −s 0 0

Z ∞ Z ∞ 2 2 2 −st =0− · t · e dt = · t · e−st dt = · L[t] = −s s 0 s 0 2 1 2 = · 2 = 3 = L[t2 ], s s s ahol Re(s) > 0. • Ha n = 3,vagyis f (t) = t3 , akkor (parciálisan integrálva)   Z ∞ Z ∞ −st ∞ e−st 3 −st 3 e F (s) = t · e dt = t · dt = − 3t2 · −s t=0 −s 0 0 Z ∞ Z ∞ 3 3 3 2 −st =0− · t · e dt = 0 + · t2 · e−st dt = · L[t2 ] = −s s 0 s 0 3·2 3·2·1 3! 3 2 = 4 = L[t3 ], = · 3 = 4 = 4 s s s s s ahol Re(s) > 0. • Bármilyen n esetén teljes indukcióval adódik a Laplace-transzformált, de most nézzük meg részletesen:   Z ∞ Z ∞ −st ∞ e−st n n −st n e L[t ] = t · e dt = t · dt = − n · tn−1 · −s t=0 −s 0 0 Z ∞ Z ∞ n n n−1 −st tn−1 · e−st dt = =0− ·t · e dt = · −s s 0 0    Z ∞ −st ∞ −st n n−1 e n−2 e = · t · (n − 1)t · dt = − s −s t=0 −s 0   Z ∞ Z n n − 1 n−2 −st n n − 1 ∞ n−2 −st = · 0− ·t · e dt = · · t · e dt = s

−s s s 0 0    Z ∞ −st ∞ −st n n−1 n−2 e n−3 e = · · t · − (n − 2)t · dt = s s −s t=0 −s 0   Z ∞ n n−1 n − 2 n−3 −st = · · 0− ·t · e dt = s s −s 0 Z ∞ n n−1 n−2 = · · · tn−3 · e−st dt = . = s s s 0 10 http://www.doksihu n n−1 n−2 4 = · · · . · · s s s s Z ∞ t3 · e−st dt = 0 n n−1 n−2 4 n n−1 n−2 4 3! = · · · . · · L[t3 ] = · · · . · · 4 = s s s s s s s s s n · (n − 1) · (n − 2) · . · 4 · 3! n! = = = L[tn ], 4 n+1 s · s · s · . · s · s s ahol Re(s) > 0. 3. Legyen f (t) = eat Ekkor Z ∞ −st at e ·e F (s) = dt = e 0 Tehát L[ea ] = ∞ Z −(s−a)t 0 1 , s−a e−(s−a)t dt = −(s − a)  ∞ = t=0 1 s−a ahol Re(s) > 0. 4. Legyen f (t) = tn · eat , ahol a ∈ C, és n ∈ N+ • Ha n = 1, azaz f (t) = t · eat , ahol a tetsz®leges valós vagy komplex állandó. Itt is parciálisan integrálunk: Z Z ∞ at −st F (s) = t · e · e

dt = e−(s−a)t = t· −(s − a)2 ∞ Tehát L[t · eat ] = Z ∞ − t=0 t · e−(s−a)t dt = 0 0  ∞ 0 1 , (s−a)2  −(s−a)t ∞ e e−(s−a)t 1 dt = 0− = −(s − a) −(s − a)2 t=0 (s − a)2 ahol Re(s − a) > 0. • Ha n = 2, vagyis f (t) = t2 · eat , akkor parciálisan kell integrálni: Z ∞ Z ∞ 2 at −st F (s) = t · e · e dt = t2 · e−(s−a)t dt = 0 0 e−(s−a)t = t · −(s − a)  2 ∞ Z − t=0 11 ∞ 2t · 0 e−(s−a)t dt = −(s − a) http://www.doksihu Z ∞ 2 · t · e−(s−a)t dt = −(s − a) 0 Z ∞ Z ∞ 2 2 −(s−a)t =0+ · t·e dt = · t · eat · e−st dt = (s − a) 0 s−a 0 =0− = 2 1 2 2·1 2! ·L[t · eat ] = · = = = L[t2 ·eat ], s−a s − a (s − a)2 (s − a)3 (s − a)3 ahol Re(s − a) > 0. • Teljes indukcióval igazolható n ≥ 3, most részletesen nézzük meg: Z ∞ Z ∞ n at n at −st L[t · e ] = t · e · e dt = tn · e−(s−a)t dt = 0 0 ∞ ∞

e−(s−a)t dt = −(s − a) 0 t=0 Z ∞ Z ∞ n n n−1 −(s−a)t tn−1 · e−(s−a)t dt = = 0− ·t ·e dt = · −(s − a) s−a 0 0  ∞  Z ∞ e−(s−a)t n e−(s−a)t n−2 n−1 (n − 1)t · = − · t · dt = s−a −(s − a) t=0 −(s − a) 0   Z ∞ n−1 n n−2 −(s−a)t · 0− ·t ·e dt = = s−a −(s − a) 0 Z ∞ n−1 n · · tn−2 · e−(s−a)t dt = = s−a s−a 0  ∞  Z ∞ e−(s−a)t n n−1 e−(s−a)t n−3 n−2 (n − 2)t · = · · t · − dt = s−a s−a −(s − a) t=0 −(s − a) 0   Z ∞ n n−1 n−2 n−3 −(s−a)t = · · 0− ·t ·e dt = s−a s−a −(s − a) 0 Z ∞ n n−1 n−2 = tn−3 · e−(s−a)t dt = . = · · · s−a s−a s−a 0 Z ∞ n n−1 n−2 3 = · · · . · · t2 · e−(s−a)t dt = s−a s−a s−a s−a 0 n n−1 n−2 3 = · · · . · · L[t2 · eat ] = s−a s−a s−a s−a n n−1 n−2 3 2! = · · · . · · = s−a s−a s−a s − a (s − a)3 e−(s−a)t = t ·

−(s − a)  n Z − 12 n · tn−1 · http://www.doksihu = n · (n − 1) · (n − 2) · . · 3 · 2! = (s − a) · (s − a) · (s − a) · . · (s − a) · (s − a)3 = n! = L[tn · eat ], n+1 (s − a) ahol Re(s − a) > 0. 5. A trigonometrikus függvények Laplace-transzformáltjai: • Legyen f (t) = sin at, ahol a tetsz®leges valós vagy komplex szám. Itt a kétszeri parciális integrálás helyett egy sokkal könnyebb számolással is megkapjuk a transzformáltat. Ha a sin függvényt exponenciálisokkal fejezzük ki sin at = eiat −e−iat . 2 Vagyis Z ∞ sin at · e F (s) = −st Z dt = 0 0 ∞ eiat − e−iat −st · e dt = 2 Z ∞
1 1 iat −iat −st · (e − e ) · e dt = · eiat − e−iat · e−st dt = = 2 2 0 0 Z ∞
1 = · eiat · e−st − e−iat · e−st dt = 2 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 iat −st e · e dt − · e−iat · e−st dt = = · 2 0 2 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 −(s−ia)t = · e dt − · e−(s+ia)t dt = 2 0 2 0 

−(s−ia)t ∞  −(s+ia)t ∞ 1 e e 1 · − · 2 −(s − ia) t=0 2 −(s + ia) t=0   1 1 1 1 1 1 1 = · − · = · − = 2 s − ia 2 s + ia 2 s − ia s + ia     1 s + ia − (s − ia) 1 s + ia − s + ia = · = = · 2 s 2 + a2 2 s 2 + a2 Z ∞ = 1 2ia ia · 2 = 2 , 2 2 s +a s + a2 ahol Re(s2 + a2 ) > 0. 13 http://www.doksihu • Legyen f (t) = cos at, a valós vagy komplex szám. Az el®z®ekhez hasonlóan felhasználjuk a cos at = eiat +e−iat 2 kife- jezést. ∞ Z cos at · e F (s) = −st Z ∞ eiat + e−iat −st · e dt = 2 dt = 0 0 ∞ Z ∞
1 1 iat −iat −st = · (e + e ) · e dt = · eiat + e−iat · e−st dt = 2 2 0 0 Z ∞
1 = · eiat · e−st + e−iat · e−st dt = 2 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 iat −st = · e · e dt + · e−iat · e−st dt = 2 0 2 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 −(s−ia)t = · e dt + · e−(s+ia)t dt = 2 0 2 0  −(s−ia)t ∞  −(s+ia)t ∞ 1 e e 1 + · · 2 −(s − ia) t=0 2 −(s + ia) t=0   1 1 1 1 1

1 1 = · + · = · + = 2 s − ia 2 s + ia 2 s − ia s + ia     1 1 s + ia + (s − ia) s + ia + s − ia = · = · = 2 s 2 + a2 2 s 2 + a2 Z = 1 2s s · 2 = 2 , 2 2 s +a s + a2 ahol Re(s2 + a2 ) > 0. 6. A hiperbolikus függvények Laplace-transzformáltjai: • f (t) = cosh at, ahol tetsz®leges a ∈ C (vagy a ∈ R) ez +e−z , 2 Mivel cosh z = Z ezért ∞ cosh at · e F (s) = −st 0 Z = 0 ∞ Z ∞ eat + e−at −st · e dt = 2 Z ∞ dt = 0
1 1 · eat + e−at · e−st dt = · 2 2 14 0
eat + e−at · e−st dt = http://www.doksihu Z ∞ 1 (eat · e−st + e−at · e−st )dt = = · 2 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 at −st e · e dt + · e−at · e−st dt = = · 2 0 2 0 Z ∞ Z ∞ 1 1 −(s−a)t = · e dt + · e−(s+a)t dt = 2 0 2 0  −(s−a)t ∞  −(s+a)t ∞ e 1 e 1 + · = = · 2 −(s − a) t=0 2 −(s + a) t=0   1 1 1 1 1 1 1 = · + · = · + = 2 s−a 2 s+a 2 s−a s+a   1 s+a+s−a 1 2s s = · = · 2 = 2 2 2 2 2 s −a 2 s −a

s − a2 Vagyis L[cosh at] = s , s2 −a2 ahol Re(s2 − a2 ) > 0. • Hasonlóan m¶ködik a f (t) = sinh at függvényre is, csak itt a sinh z = 1 2 · 1 s−a − ez −e−z helyettesítést kell 2
1 a = s2 −a 2 összefüggést s+a használni. Így L[sinh at] = kapjuk, ahol Re(s2 − a2 ) > 0. 3.4 Dierenciálhatóság és integrálhatóság A generátorfüggvény deriválása Eddig a denícióból számoltuk ki a függvények Laplace-transzformáltjait. A továbbiakban olyan eljárást vagy tételt fogunk alkalmazni, amellyel sokszor könnyebb el®állítani a függvények Laplace-transzformáltját, mint a denícióból. El®ször a függvény deriváltjának Laplace-transzformáltjával foglalkozunk, amely a denícióból következik: Z ∞ Z   0 0 −st −st ∞ L[f (t)] = f (t)e dt = f (t)e − t=0 0 ∞ f (t)(−s)e−st dt = 0 Z = −f (0) + s · ∞ f (t)e−st dt = s · L[f (t)] − f (0) = s · F (s) − f (0), 0 15 http://www.doksihu

ahol F az f függvény Laplace-transzformáltja. Vagyis f 0 (t) függvény Laplacetranszformáltja: L[f 0 (t)] = s · L[f (t)] − f (0), ahol Re(s) > 0. A magasabbrend¶ deriváltak Laplace-transzformáltjait is el® tudjuk állítani az el®z® felhasználásával. Z ∞ Z   0 00 00 −st −st ∞ L[f (t)] = f (t)e dt = f (t)e − t=0 0 0 ∞ f 0 (t)(−s)e−st dt = 0 Z ∞ = −f (0) + s · f 0 (t)e−st dt = −f 0 (0) + s · L[f 0 (t)] = 0 0 = −f (0) + s · (s · L[f (t)] − f (0)) = −f 0 (0) + s2 · L[f (t)] − s · f (0) = = s2 · L[f (t)] − s · f (0) − f 0 (0), ahol Re(s) > 0. Teljes indukcióval igazolható a generátorfüggvény n-edik deriváltjának a Laplacetranszformáltja, ahol n ∈ N . L[f (n) (t)] = sn L[f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0), ahol Re(s) > 0. Ezt lehet másképp is írni: L[f (n) (t)] = sn L[f (t)] − n X sn−k f (k−1) (0) k=1 Ezeket a formulákat a

dierenciálegyenletek és dierenciál-egyenletrendszerek megoldásai során alkalmazhatjuk. 16 http://www.doksihu Példák 1. Az f (t) = t függvényt már korábban kiszámoltuk a denícióból, akkor L[t] = 1 s2 alakot kaptuk, ahol Re(s) > 0. Most az el®bb mutatott módszert alkalmazzuk, amihez szükség van a függvény deriváltjára. f 0 (t) = (t)0 = 1 A L[f 0 (t)] = s · L[f (t)] − f (0) formulába kell csak behelyettesíteni. Vagyis L[1] = s · L[t] − 0 = s · 1 s2 = 1s , ahol Re(s) > 0. 2. Nézzük az f (t) = cos at függvényt! Korábban már meghatároztuk a Laplace-transzformáltját: L[cos at] = s2 s , + a2 ahol Re(s2 + a2 ) > 0 Valamint szükség van még a függvény deriváltjára: f 0 (t) = (cos at)0 = −a · sin at Ezekután már csak be kell helyettesítenünk a L[f 0 (t)] = s·L[f (t)]−f (0) képletbe. L[−a·sin at] = s·L[cos at]−cos(a·0) = s·L[cos at]−cos 0 = s· = s2 s −1 = + a2 s2 s2 − (s2 + a2 ) s 2 − s 2

− a2 −a2 − 1 = = = s 2 + a2 s 2 + a2 s 2 + a2 s 2 + a2 A linearitás miatt: −a · L[sin at] = −a2 s 2 + a2 / : (−a) 1 −a2 a2 a L[sin at] = − · 2 = = 2 , 2 2 2 a s +a a · (s + a ) s + a2 ahol Re(s2 + a2 ) > 0. 17 http://www.doksihu 3. Számítsuk ki az f (t) = sin2 at függvény Laplace-transzformáltját! Szükség van a függvény deriváltjára: f 0 (t) = (sin2 at)0 = 2 · sin atcos at · a = a2 sin at · cos at = a · sin 2at L[f 0 (t)] = L[a · sin 2at] = a · L[sin 2at] = a · 2a 2a2 = s2 + 4a2 s2 + 4a2 f (0) = sin2 a · 0 = sin2 0 = 02 = 0 L[f 0 (t)] = s · L[f (t)] − f (0) 2a2 = s · L[f (t)] − 0 s2 + 4a2 2a2 = s · L[f (t)] /:s s2 + 4a2 2a2 = L[f (t)] s · (s2 + 4a2 ) Vagyis L[sin2 at] = 2a2 , s·(s2 +4a2 ) ahol Re(s2 + 4a2 ) > 0. A Laplace-transzformált deriválása Most a Laplace-transzformált deriváltját vizsgáljuk meg. A deriválás és integrálás felcserélhet® a transzformált deriválásakor, ha a teljesülnek a

szükséges feltételek a Laplace-transzformált létezéséhez. Z ∞ Z Z ∞ d d −st d ∞ −st f (t) · e dt = f (t) · e dt = f (t) · (−t)e−st dt = F (s) = ds ds 0 ds 0 0 Z ∞ =− t · f (t)e−st dt = −L[t · f (t)] 0 Vagyis d F (s) ds = −L[t · f (t)], ahol Re(s) > 0. d2 d2 F (s) = ds2 ds2 Z ∞ f (t) · e −st Z 0 0 18 ∞ f (t) · dt = d2 −st e dt = ds2 http://www.doksihu Z ∞ 2 −st f (t) · (−t) e = Z 2 t2 · f (t)e−st dt = 1 · L[t2 · f (t)] 0 0 Vagyis ∞ dt = (−1) · d2 F (s) ds2 = L[t · f (t)], ahol Re(s) > 0. 2 Tekintsük tetsz®leges n ∈ N+ esetén az n-edrend¶ deriváltat: Z ∞ Z ∞ dn dn −st dn −st f (t) · e dt = f (t) · F (s) = e dt = dsn dsn 0 dsn 0 Z ∞ Z ∞ n −st n tn · f (t)e−st dt = (−1)n · L[tn · f (t)] f (t) · (−t) e dt = (−1) · = 0 0 Vagyis dn F (s) dsn Példák = (−1) · L[t · f (t)], ahol Re(s) > 0. n n 1. Nézzük az f (t) = t · cos at függvényt!

Korábbról már tudjuk, hogy L[cos at] = s s2 +a2 az fenti módszert, vagyis helyettesítsünk be a = F (s). Alkalmazzuk d F (s) ds = −L[t · cos at] formulába. d ds  s s 2 + a2  = −L[t · cos at] / : (−1)     d s 1 · s2 + a2 − s · 2s L[t · cos at] = − =− = ds s2 + a2 (s2 + a2 )2  2   2  s + a2 − 2s2 a − s2 s 2 − a2 , =− = − = (s2 + a2 )2 (s2 + a2 )2 (s2 + a2 )2 ahol Re(s2 + a2 ) > 0. 2. Számítsuk ki az f (t) = t2 · sinh at függvény transzformáltját! Tudjuk az F (s) = L[sinh at] = Most a d2 F (s) ds2 a s2 −a2 transzformáltat. = (−1) · L[t · f (t)] formulát alkalmazzuk.   d2 a = (−1)2 · L[t2 · sinh at] ds2 s2 − a2 2 2 19 http://www.doksihu Mivel (−1)2 = 1, ezért:     d2 a d 0 (·s2 − a2 ) − a · (2s) 2 L[t · sinh at] = 2 = = ds s2 − a2 ds (s2 − a2 )2   −2as −2a · (s2 − a2 )2 − 2as(2 · (s2 − a2 ) · 2s) d = = = ds (s2 − a2 )2 (s2 − a2 )4 = = −2a · (s2 − a2 )2 −

6as2 (s2 − a2 ) = (s2 − a2 )4 −2as2 + 2a3 + 6as2 (s2 − a2 ) · [−2a(s2 − a2 ) + 6as2 ] = = (s2 − a2 ) · (s2 − a2 )3 (s2 − a2 )3 = 2a3 + 4as2 2a(a2 + 2s2 ) = , (s2 − a2 )3 (s2 − a2 )3 ahol Re(s2 − a2 ) > 0. 3. Tetsz®leges n pozitív egész esetén nézzük az f (t) = tn · eat függvényt! Az el®z® fejezetben az eat Laplace-transzformáltját már kiszámoltuk. F (s) = L[eat ] = 1 s−a Ebben a feladatban az n-edik deriváltra vonatkozó formulát alkalmazzuk: dn F (s) dsn = (−1)n · L[tn · f (t)] dn dsn  1 s−a  = (−1)n · L[tn · eat ] / : (−1)n     1 dn 1 1 dn−1 (−1) · = · = L[t · e ] = (−1)n dsn s − a (−1)n dsn−1 (s − a)2     1 dn−2 (−1)(−2) 1 dn−3 (−1)(−2)(−3) = = = . = · · (−1)n dsn−2 (s − a)3 (−1)n dsn−3 (s − a)4 n at = 1 n! n! · (−1)n · = , n n+1 (−1) (s − a) (s − a)n+1 ahol Re(s − a) > 0. 20 http://www.doksihu A generátorfüggvény

integrálfüggvénye Egy f függvény primitív függvényének Laplace-transzformáltjára levezethet® egy összefüggés a deriváltakra vonatkozó formula alkalmazásával. Legyen ϕ(t) = Rt 0 f (s)ds a primitív függvény. Tehát ϕ0 (t) = f (t) össze- függésb®l adódik a következ® formula: L [ϕ0 (t)] = L[f (t)] A deriváltakra vonatkozó módszer alapján: L [ϕ0 (t)] = s · L[ϕ(t)] − ϕ(0) = s · L[ϕ(t)] Mivel ϕ(0) = R0 0 f (t)dt = 0 L [ϕ0 (t)] = s · L[ϕ(t)]  Z t f (s)ds L[f (t)] = s · L /:s 0 Z t  f (s)ds = L 0 1 F (s) · L[f (t)] = s s ahol F az f függvény Laplace-transzformáltja. Tehát az F transzformált s-sel való osztása azonos az f generátorfüggvény integrálásával. Példák 1. Határozzuk meg a ϕ(t) = Rt 0 s · cos asds függvény Laplace-transzformáltját! Az el®bb bemutatott módszer alapján: L[ϕ(t)] = L[s · cos as] 1 1 s 2 − a2 s 2 − a2 = ·L[s · cos as] = · = , s s s (s2 + a2 )2 s · (s2 + a2 )2 ahol

Re(s2 + s2 ) > 0. 21 http://www.doksihu 2. Határozzuk meg a ϕ(t) = Rt 0 s3 · es ds függvény Laplace-transzformáltját! Korábbi példák szerint: L[ϕ(t)] = L[s3 · es ] 1 1 3! 6 = · L[s3 · es ] = · = , 4 s s s (s − 1) s(s − 1)4 ahol Re(s) > 0 és Re(s − 1) > 0. 3. Határozzuk meg a ϕ(t) = Rt 0 sin2 asds függvény Laplace-transzformáltját! Hasonlóan az el®z®ekhez: L[ϕ(t)] = L[sin2 as] 1 1 s2 + 2a2 s2 + 2a2 = · L[sin2 as] = · = , s s s s (s2 + 4a2 ) s2 (s2 + 4a2 ) ahol Re(s2 + 4a2 ) > 0. A Laplace-transzformált integrálása A Laplace-transzformált integrálfüggvényének vizsgálatakor is egy érdekes formulát kapunk.   Z ∞ Z ∞ Z ∞ f (t) f (t) −st = · e dt = f (t)dt e−st dt = L t t 0 0 s  Z ∞ Z ∞ Z ∞ = f (t) · e−st dt ds = F (s)ds, s ahol a d ds  e−st t  0 s = −e−st összefüggést használtuk fel. Példák 1. Határozzuk meg az f (t) = sin at t függvény transzformáltját!

Felhasználva az el®bbi módszert:  Z ∞  Z ∞ a sin at = L[sin at]dt = ds = L 2 t s + a2 s s 22 http://www.doksihu   Z  s  ∞ 1 1 ∞ 1 · arctan ·a = ds = · ds = =

s 2 s 2 a s a a s + 1 + 1 s a a s a h  s i∞ π = arctan , = arctan = − arctan a s 2 a s ahol Re(s) > 0. Z ∞ 1 · a 1 2. Határozzuk meg az f (t) = sin2 at t 2 függvény transzformáltját! Korábbi feladatból már ismerjük: L[sin at] = 2a2 s(s2 +4a2 ) 2a2 s (s2 + 4a2 ) Z ∞ Z ∞ 2a2 2 L[f (t)] = L[sin at]dt = ds s (s2 + 4a2 ) s s L[sin2 at] = Parciális törtekre kell bontanunk (a módszert kés®bb mutatjuk be) 1 1 s 1 1 2s 2a2 2 2 = − = − · 2 2 2 2 2 s (s + 4a ) s s + 4a 2s 4 s + 4a2 ∞ Z s =  1 2s 1 − · 2 2s 4 s + 4a2  ds = 1 1 ln |s| − ln |s2 + 4a2 | = 2 4 2 1 1 1 1 s2 ln |s| − ln |s2 + 4a2 | = ln |s2 | − ln |s2 + 4a2 | = ln 2 4 4 4 4 4 s + 4a2  Z ∞ sin2 at 2a2 = ds = L t s (s2 + 4a2 ) s   1 s2 = · ln 1 − ln 2 = 4 s + 4a2  ahol Re(s)

> 0. 23  ∞ 1 s2 ln 2 = 4 s + 4a2 s 1 4a2 · ln 1 + 2 , 4 s http://www.doksihu 3.5 További tulajdonságok 1. Eltolás Legyen adott f függvény, ahol a pozitív valós szám. ( f (t − a), ha t ≥ a, g(t) := 0, ha 0 ≤ t < a. Vagyis az f függvény a valós x tengely mentén való eltolása a-val jobbra. Nézzük meg g Laplace-transzformáltját! Z ∞ Z ∞ Z −st −st L[g(t)] = g(t) · e dt = g(t) · e dt = 0 a Z = f (x) · e 0 Z −as =e · f (t − a) · e−st dt = a ∞ −s(x+a) ∞ ∞ Z f (x) · e−sx · e−sa dx = dx = 0 ∞ f (x) · e−sx dx = e−as · L[f (t)], 0 ahol x = t − a, t = x + a, dt = dx helyettesítéseket alkalmaztuk. Vagyis a kapott összefüggés, azaz L[f (t − a)] = e−as · L[f (t)] az eltolási tétel. Példák Számítsuk ki az alábbi függvények Laplace-transzformáltját! • ( g := (t − 3)2 , ha t ≥ 3; ha 0 ≤ t < 3. 0, Ekkor f (t) = t2 és a = 3, valamint már korábban kiszámolt a L[t2 ] =

e−2s · 2! s3 2! , s3 transzformált felhasználásával: L[g(t)] = e−2s ·L[f (t)] = ahol Re(s) > 0. • ( g := e−b(t−a) , ha t ≥ a; 0, ha 0 ≤ t < a. Itt f (t) = e−bt , transzformáltja: L[e−bt ] = Tehát L[g(t)] = e−as · L[e−bt ] = 24 e−as , s+b 1 . s+b ahol Re(s + b) > 0. http://www.doksihu 2. Csillapítási tétel Az F (s + a) függvénynek mi a generátorfüggvénye, ha F az f függvény Laplace-transzformáltja? Az F (s) = R∞ f (t) · e−st dt összefüggésb®l következik, hogy Z ∞ Z ∞ −(s+a)t f (t) · e dt = f (t) · e−st−at dt = F (s + a) = 0 0 Z = 0 ∞ f (t) · e−st · e−at dt = Z ∞ f (t) · e−at · e−st dt = L[f (t) · e−at ] 0 0 A kapott összefüggést, azaz F (s+a) = L[f (t)·e−at ] csillapítási tételnek nevezzük, vagy a Laplace-transzformáltra vonatkozó eltolási tételnek. Példák Számítsuk ki az alábbi függvények transzformáltjait a csillapítási tétel

felhasználásával! • Legyen f (t) = e−at · cosh bt. Korábbról már tudjuk, hogy L[cosh bt] = s , s2 −b2 Re(s2 − b2 ) > 0. Az s = s + a helyettesítéssel a következ® adódik: L[e−at · cosh bt] = s+a , (s + a)2 − b2 ahol Re((s + a)2 − b2 ) > 0. • Legyen f (t) = tn n! · sinh at. Átalakítás után: f (t) = tn eat − e−at tn tn · = eat · − e−at · = n! 2 2n! 2n! 1 at n 1 −at n e t − e t 2n! 2n! n! . Most a linearitás Korábban már beláttuk, hogy L[tn ] = sn+1 = miatt s = s − a, illetve s = s + a helyettesítésekkel a következ®t 25 http://www.doksihu kapjuk: 1 n! n! 1 · · − = 2n! (s − a)n+1 2n! (s + a)n+1 L[f (t)] = = 1 1 1 1 1 1 · · − = − = 2 (s − a)n+1 2 (s + a)n+1 2(s − a)n+1 2(s + a)n+1 = (s + a)n+1 − (s − a)n+1 , 2(s2 − a2 )n+1 ahol Re(s2 − a2 ) > 0. 3. Hasonlósági tétel Adott az f generátorfüggvény és az ® F Laplace-transzformáltja. Ezek alkalmazásával egyszer¶en át

lehet térni egy más argumentumú függvényre, vagyis a hasonlósági tétel segítségével. Z F (s) = L[f (t)] = ∞ f (t) · e−st dt, s ahol a t helyett α · t-t írunk, α pozitív konstans. Összességében ez egy helyettesítéses integrálás, ahol a τ = α · t, t = jelöléssel az alábbi kifejezés adódik: Z ∞ Z −st L[f (αt)] = f (αt) · e dt = 0 = Vagyis L[f (αt)] = τ f (τ ) · e−s· α · 0 1 · α 1 α ∞ Z ∞ τ f (τ ) · e−s· α dτ = 0 ·F s α
1 dτ = α s 1 ·F α α . Példa Korábbi ismereteink alapján: L[t − sin t] = 1 1 s2 + 1 − s2 1 = = 2 2 − 2 2 2 2 s s +1 s (s + 1) s (s + 1) 26 τ α http://www.doksihu Most a hasonlósági tételb®l: 1 1 1 = · L[t − sin at] = ·
2 
2 s a a a +1 a s 1 · a = 1 s2 (s2 +a2 ) a4 = 1 s2 a2 · s2 +a2 a2 = 1 a4 a3 · 2 2 = , a s (s + a2 ) s2 (s2 + a2 ) ahol Re(s2 + a2 ) > 0. 3.6 Parciális törtekre bontás módszere A racionális

törtfüggvényeket a parciális törtekre bontás módszerével a legegyszer¶bb megoldani. Az adott racionális törtfüggvényt polinomok és résztörtek összegére bontjuk. Példák Számítsuk ki a következ® F függvények inverz Laplace-transzformáltját a parciális törtekre bontás módszerével! 1. F (s) = 1 , s(s2 +1) ahol Re(s) > 0. A parciális törtekre bontás után: 1 1 s F (s) = = − 2 , 2 s(s + 1) s s +1 mivel 1 s − s s2 +1 = s2 +1−s2 s2 +1 = 1 . s(s2 +1)     Korábbról visszakeresve: L−1 1s = 1, illetve L−1 s2s+1 = cos t, ezért   1 −1 L = 1 − cos t s(s2 + 1) 2. F (s) = s2 −2 (s+2)3 (3.61), ahol Re(s) > 0 Parciális törtekre bontás után: 1 2 4 F (s) = − + , 2 s + 2 (s + 2) (s + 2)3 27 http://www.doksihu mivel 1 s+2 − 4 (s+2)2 + 2 (s+2) h3 Korábbi példákból: L−1 = (s+2)2 −4(s+2)+2 i (s+2)3 1 (s+a)n = s2 +4s+4−4s−8+2 (s+2)3 = tn · e−at . Vagyis  1 4 2 − = L [F (s)] = L + s + 2 (s

+ 2)2 (s + 2)3       1 4 2 −1 −1 −1 =L −L +L = s+2 (s + 2)2 (s + 2)3 −1 −1  = t · e−2t − 4 · t2 · e−2t + 2 · t3 · e−2t (3.62) 3.61 ábra 3.62 ábra 28 = s2 −2 . (s+2)3 http://www.doksihu 4. fejezet Közönséges dierenciálegyenletek Az állandó együtthatós lineáris dierenciálegyenletek és dierenciálegyenletrendszerek megoldása a Laplace-transzformáció egyik legfontosabb alkalmazása. 4.1 Els®- és másodrend¶ dierenciálegyenletek Els®rend¶ egyenletek ( aẏ(t) + by(t) = f (t) y(0) = y0 , ahol a, b adott konstansok, f (t) szintén adott függvény és y(t) az ismeretlen függvény, t > 0. A dierenciálhatóság fejezet alatt már láttuk, hogy L[ẏ(t)] = s · L[y(t)] − y(0). Vagyis aẏ(t) + by(t) = f (t) a · (s · L[y(t)] − y(0)) + b · L[y(t)] = L[f (t)] a · s · L[y(t)] − a · y(0) + b · L[y(t)] = L[f (t)] a · s · L[y(t)] − a · y0 + b · L[y(t)] = L[f (t)] (a · s + b) · L[y(t)] − a · y0 = L[f

(t)] (as + b) · L[y(t)] − ay0 = L[f (t)] 29 http://www.doksihu (as + b) · L[y(t)] = L[f (t)] + ay0 L[y(t)] = L[f (t)] + ay0 (as + b) másképp írva: a [sL[y(t)] − y(0)] + bL[y(t)] = L[f (t)], azaz ahol ( L[y(t)] = G(s)[ay(0) + L[f (t)]], G(s) = [as + b]−1 . Példa Adjuk meg a következ® dierenciálegyenlet megoldását Laplace-transzformált segítségével! ( ẏ(t) + y(t) = et y(0) = 1 Mivel L[et ] = 1 s−1 és L[ẏ(t)] = s · L[y(t)] − y(0), ezért ẏ(t) + y(t) = et 1 s−1 1 (s + 1) · L[y(t)] − y(0) = s−1 1 (s + 1) · L[y(t)] − 1 = /+1 s−1 1 (s + 1) · L[y(t)] = +1 / : (s + 1) s−1 s · L[y(t)] − y(0) + L[y(t)] = L[y(t)] = L[y(t)] = 1 s−1 +1 s+1 1 1 + (s − 1)(s + 1) s + 1 30 http://www.doksihu L[y(t)] = s2 1 1 + −1 s+1 Korábbi ismereteink alapján: L[y(t)] = sinh t + e−t = = et − e−t et − e−t 2e−t + e−t = + = 2 2 2 et − e−t + 2e−t et + e−t = = cosh t (4.11) 2 2 4.11 ábra Másodrend¶ egyenletek

Nézzük az alábbi kezdetiérték-problémát!    aÿ(t) + bẏ(t) + cy(t) = f (t)  y(0) = y0    ẏ(0) = v , 0 ahol t > 0, a, b, c adott konstansok, f (t) szintén adott függvény és y(t) az ismeretlen függvény. Egy korábbi fejezetb®l már tudjuk, hogy L[ẏ(t)] = s · L[y(t)] − y(0), 31 http://www.doksihu illetve L[ÿ(t)] = s2 · L[y(t)] − s · y(0) − ẏ(0). Vagyis aÿ(t) + bẏ(t) + cy(t) = f (t)
a · s2 · L[y(t)] − s · y(0) − ẏ(0) + b · (s · L[y(t)] − y(0)) + c · L[y(t)] = L[f (t)] a · s2 · L[y(t)] − a · s · y(0) − a · ẏ(0) + b · s · L[y(t)] − b · y(0) + c · L[y(t)] = L[f (t)]
a · s2 + b · s + c · L[y(t)] − a · s + b · y(0) − a · ẏ(0) = L[f (t)]
a · s2 + b · s + c · L[y(t)] − (a · s + b) · y0 − a · v0 = L[f (t)]
as2 + bs + c L[y(t)] − (as + b) y0 − av0 = L[f (t)] / + av0
as2 + bs + c L[y(t)] − (as + b) y0 = L[f (t)] + av0 / + (as + b) y0

as2 + bs + c L[y(t)] =

L[f (t)] + av0 + (as + b) y0 / : as2 + bs + c L[y(t)] = L[y(t)] = L[f (t)] + av0 + (as + b) y0 (as2 + bs + c) L[f (t)] av0 (as + b) y0 + + (as2 + bs + c) (as2 + bs + c) (as2 + bs + c) Másképp: a[s2 L[y(t)] − sy(0) − ẏ(0)] + b[sL[y(t)] − y(0)]cL[y(t)] = L[f (t)], ahol ( L[y(t)] = G(s)[(as + b)y(0) + ẏ(0) + L[f (t)]], G(s) = [s2 + bs + c]−1 32 http://www.doksihu Példa Adjuk meg a következ® dierenciálegyenlet megoldását Laplace-transzformáció segítségével!  −3t    ÿ(t) − 10ẏ(t) + 25y(t) = e ẏ(0) = 0    y(0) = 1/25 Mivel már tudjuk, hogy L[e−3t ] = 1 s+3 és L[ẏ(t)] = s · L[y(t)] − y(0), illetve L[ÿ(t)] = s2 · L[y(t)] − s · y(0) − ẏ(0). Ezért behelyettesítünk: ÿ(t) − 10ẏ(t) + 25y(t) = e−3t 1 s+3 1 s2 · L[y(t)] − s · y(0) − ẏ(0) − 10 · s · L[y(t)] + 10 · y(0) + 25 · L[y(t)] = s+3
1 s2 − 10 · s + 25 · L[y(t)] − (s − 10) · y(0) − ẏ(0) = s+3
1 1 1 s2 − 10 · s

+ 25 · L[y(t)] − (s − 10) · −0= / + (s − 10) · 25 s+3 25
1 1 s2 − 10 · s + 25 · L[y(t)] = + (s − 10) · s+3 25 1 1 (s − 5)2 · L[y(t)] = + · (s − 10) / : (s − 5)2 s + 3 25 1 1 (s − 10) L[y(t)] = · 2 + 25 (s − 5)2 (s + 3)(s − 5) s2 · L[y(t)] − s · y(0) − ẏ(0) − 10 · (s · L[y(t)] − y(0)) + 25 · L[y(t)] = Alkalmazzuk a parciális törtekre bontás módszerét: Egyrészt 1 a b c + + 2 = s + 3 s − 5 (s − 5)2 (s + 3) (s − 5) 33 http://www.doksihu 1 = a(s − 5)2 + b(s + 3)(s − 5) + c(s + 3) 1 = a(s2 − 10s + 25) + b(s2 − 5s + 3s − 15) + cs + 3c 1 = as2 − 10as + 25a + bs2 − 2bs − 15b + cs + 3c 1 = (a + b)s2 + (−10a − 2b + c)s + 25a − 15b + 3c     a+b=0 −10a − 2b + c = 0    25a − 15b + 3c = 1 Az egyenletrendszer megoldásai: a = 1 , 64 1 b = − 64 ,c= 1 8 1 1 1 − 64 1 64 8 = + + 2 s + 3 s − 5 (s + 3) (s − 5) (s − 5)2 1 1 1 1 1 1 1 · − · + · 2 = 64 s + 3 64 s − 5 8 (s

− 5)2 (s + 3) (s − 5) Másrészt d e (s − 10) + 2 = s − 5 (s − 5)2 (s − 5) s − 10 = d(s − 5) + e s − 10 = ds − 5d + e ( d=1 −5d + e = −10 Vagyis a megoldások: d = 5, illetve e = −5 (s − 10) 5 −5 + 2 = s − 5 (s − 5)2 (s − 5) (s − 10) 1 1 −5· 2 = 5· s−5 (s − 5) (s − 5)2 Végeredmény: L[y(t)] = 1 1 1 1 1 1 1 1 · − · + · −5· 2 +5· 64 s + 3 64 s − 5 8 (s − 5) s−5 (s − 5)2 L[y(t)] = 1 1 1 · e−3t − · e5t + · te5t + 5 · e5t − 5 · te5t (4.12) 64 64 8 34 http://www.doksihu 4.12 ábra 4.2 Magasabbrend¶ dierenciálegyenletek Az n-edrend¶ dierenciálegyenlet is hasonlóan m¶ködik. an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + . + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t), ahol t > 0. Tehát a következ® képletet alkalmazhatjuk az f (t) transzformációjának a kiszámítására: L[f n (t)] = sn L[f (t)] − n X sn−k f (k−1) (0) k=1 Vagyis picit másképp: " # n k−1 X X L[f (t)] = ak sk L[y(t)] −

sk−l−1 y (l) (0) + a0 L[y(t)] = F (s) k=1 l=0 Ha L[y(t)] = Y (s) = G(s) [H(s) + F (s)], ahol H(s) a kezdeti feltételeket tartalmazó polinom, akkor " G(s) = n X k=0 35 #−1 ak p k , http://www.doksihu H(s) = n−1 X n X (l) y (0) l=0 ak pk−l−1 k=l+1 Ekkor a formálisan megadott n-edrend¶ dierenciálegyenlet a következ®képpen néz ki: ( y(t) = L−1 [G(s)H(s)] + −1 g(t) = L Rt 0 g(t − τ )f (t)dτ , [G(s)] . Példa Ha y (4) + 4y(t) = sin t, y (3) (0) = y (2) (0) = y 0 (0) = y(0) = 0, akkor az el®z®ek szerint Y (s) = G(s) G(s) = s2 1 , +1 1 . s4 + 4 Akkor Y (s) = −i i 3 − 5i 3 + 5i 3 + 5i 3 − 5i + + + − − 4(s − i) 4(s + i) 32(s − 1 − i) 32(s − 1 + i) 32(s + 1 − 1) 32(s + 1 + i) A megoldás: y(t) = 1 1 1 sin t + et (3 cos t + 5 sin t) − e−t (3 cos t − 5 sin t) (4.21) 2 16 16 36 http://www.doksihu 4.21 ábra 4.3 Dierenciálegyenlet-rendszerek A Laplace-transzformáció hatékony eljárás az

állandó együtthatójú dierenciálegyenletek megoldására. Ez az eljárás hatásosabb a dierenciálegyenletrendszerek megoldására és némi számolás után látható a megszokott módszerekkel összehasonlítva a különbség Példa Tekintsünk két elhanyagolható tömeg¶ és k rugóállandójú rugót, melyek két m tömeg¶ testet tartanak egymásra akasztva. Az alsó tömeg egy lineáris csillapítású szerkezethez van kapcsolva, amely a sebességgel arányos ellenállást fejt ki. Ha a fels® és az alsó tömeg függ®leges irányú kimozdulását rendre y1 (t) és y2 (t) jelöli,ahol a lefelé irányuló elmozdulást vesszük pozitívnak, akkor a mozgásegyenletek a következ®ek: ( mÿ1 (t) + ky1 (t) − k(y2 (t) − y1 (t)) = 0, mÿ2 (t) + k ẏ2 (t) − k(y2 (t) − y1 (t)) = 0 37 http://www.doksihu El®ször nézzük az els® egyenletet:
m s2 L[y1 (t)] − sy1 (0) − ẏ1 (0) + kL[y1 (t)] − k(L[y2 (t)] − L[y1 (t)]) = = ms2 L[y1 (t)] − msy1 (0)

− mẏ1 (0) + kL[y1 (t)] − kL[y2 (t)] − kL[y1 (t)] = = ms2 L[y1 (t)] − msy1 (0) − mẏ1 (0) − kL[y2 (t)] = 0 Most a második egyenletet:
m s2 L[y2 (t]) − sy2 (0) − ẏ2 (0) +k (sL[y2 (t)] − y2 (0))−k(L[y2 (t)]−L[y1 (t)]) = = ms2 L[y2 (t])−msy2 (0)−mẏ2 (0)+ksL[y2 (t)]−ky2 (0)−kL[y2 (t)]−kL[y1 (t)] = = ms2 L[y2 (t])−msy2 (0)−mẏ2 (0)+ksL[y2 (t)]−ky2 (0)−kL[y2 (t)]−kL[y1 (t)] = 0 ( ms2 L[y1 (t)] − kL[y2 (t)] = msy1 (0) + mẏ1 (0) (ms2 + ks − k)L[y2 (t]) − kL[y1 (t)] = (ms + k)y2 (0) + mẏ2 (0) Leosztunk m-mel: ( (s2 + Ha ω 2 = ( k m ks m és γ = k L[y2 (t)] = sy1 (0) + ẏ1 (0), m k k k )L[y2 (t]) − m L[y1 (t)] = (s + m )y2 (0) m s2 L[y1 (t)] − − c , m + ẏ2 (0) akkor (s2 + 2ω 2 )L[y1 (t)] − ω 2 L[y2 (t)] = sy1 (0) + ẏ1 (0), (s2 + sγ − ω 2 )L[y2 (t]) − ω 2 L[y1 (t)] = (s + γ)y2 (0) + ẏ2 (0) ( (s2 + 2ω 2 )L[y1 (t)] − ω 2 L[y2 (t)] = sy1 (0) + ẏ1 (0), −ω 2 L[y1 (t)] + (s2 + sγ − ω 2

)L[y2 (t]) = (s + γ)y2 (0) + ẏ2 (0) 38 http://www.doksihu Az ismeretlenek kiküszöbölésével: L[y1 (t)] = G(s)H1 (s), L[y2 (t)] = G(s)H2 (s), −1

 , G(s) = s2 + 2ω 2 s2 + sγ − ω 2 − ω 4 H1 (s) = [s2 + sγ − ω 2 ][sy1 (0) + ẏ1 (0)] + ω 2 [(s + γ)y2 (0) + ẏ2 (0)], H2 (s) = ω 2 [sy1 (0) + ẏ1 (0)] + [s2 + 2ω 2 ][(s + γ)y2 (0) + ẏ2 (0)]. Innen a megoldás, mint egy negyedfokú egyenlet esetén: de talán most könynyebb, ha feltesszük a csillapítási tényez® kicsi, vagyis G(s) = (s2 + Γ1 s + Ω21 )−1 (s2 + Γ2 s + Ω22 )−1 , √ 1 Ω21 ∼ = 2, 62ω 2 , = ω 2 (3 + 5) ∼ 2 √ 1 Ω22 ∼ = ω 2 (3 − 5) ∼ = 0, 38ω 2 , 2 1 Γ1 ∼ = γ(1 − 1/sqrt5) ∼ = 0, 27γ, 2 1 Γ2 ∼ = γ(1 + 1/sqrt5) ∼ = 0, 72γ. 2 39 http://www.doksihu 5. fejezet Összegzés A dolgozatban kiszámolt Laplace-transzformáltakat illetve azok inverzeit összegy¶jtöttem az alábbi összegz® táblázatba. Összegz® táblázat f (t) L[f (t)] 1. 1

2. t 3. t2 4. t3 5. tn 1 s 1 s2 2! s3 3! s4 n! 6. at e 7. t · eat 8. t2 · eat 9. tn · eat 10. sin at 11. cos at 12. cosh at 13. sinh at 14. sin2 at 15. t · cos at 16. t2 · sinh at 40 sn+1 1 s−a 1 (s−a)2 2! (s−a)3 n! (s−a)n+1 ia s2 +a2 s s2 +a2 s s2 −a2 a s2 −a2 2a2 s(s2 +4a2 ) s2 −a2 (s2 +a2 )2 2a(a2 +2s2 ) (s2 −a2 )3 http://www.doksihu Összegz® táblázat f (t) 17. 18. sin at t sin2 at t 19. (t − 3)2 20. e−b(t−a) 21. e−at · cosh bt 22. tn n! · sinh at 23. t − sin t 24. 1 − cos t 15. t · cos at 16. t2 · sinh at 41 L[f (t)] a s 2 + 4a s2
arctan 1 4 · ln 1 e−2s · 2! s3 e−as s+b s+a (s+a)2 −b2 (s+a)n+1 −(s−a)n+1 2(s2 −a2 )n+1 a3 s2 (s2 +a2 ) 1 s(s2 +1) s2 −a2 (s2 +a2 )2 2a(a2 +2s2 ) (s2 −a2 )3 http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] Hanka László-Zalay Miklós: Komplex függvénytan M¶szaki Könyvki- adó, Budapest (2003) [2] Brian Davies:

Integráltranszformációk és alkalmazásaik M¶szaki Könyvkiadó, Budapest (1983) [3] Bátkai András: [4] Sain Márton: Analízis III. ELTE kézirat Matematikatörténeti ABC (1974) 42 Tankönyvkiadó, Budapest