Matematika | Analízis » Analízis jegyzet, sok feladattal

1. Végtelen számsorozatok 1.1 Definíció a n  f n  valós számot rendelünk, akkor végtelen Ha minden n természetes számhoz egy számsorozatot kapunk. Jele: a n  Számsorozat határértéke 1.2 Definíció Azt mondjuk, hogy az a n  sorozat határértéke az a  R szám, ha tetszőlegesen adott   0 számhoz van olyan n0  N természetes szám, hogy n  n0 esetén an  a   . Ha egy sorozatnak van határértéke, a sorozatot konvergensnek nevezzük, ha nincs határértéke, divergensnek. Jelölés: Azt, hogy az a n  sorozat határértéke a, a következőképpen jelöljük: lima n  a. n  1.3 Definíció Ha a  R ,   0, akkor az a   , a    intervallumot az a pont  sugarú környezetének nevezzük a számegyenesen, és S a,   -nal jelöljük. 1.4 Tétel Az a n  számsorozat határértéke pontosan akkor a  R , ha a-nak minden környezete tartalmazza a sorozat tagjait

véges számú kivétellel. Példák 1 1  0. Tetszőleges   0 -hoz van olyan n0 , hogy  . n n n0 1. Könnyen belátható, hogy lim Ekkor n n 0 esetén 0  1 1 1 1 1    , és így  0   . n n n n0 2. Az a n   1 n sorozat divergens. Először is a sorozatnak nem határértéke az 1 szám Ugyanis   2 esetén nem teljesül az, hogy az 1   ,1    -on kívül véges sok elem van. Hasonlóan belátható, hogy a-1 sem határértéke a sorozatnak. Végül bármilyen 1-től és -1-től különböző valós számnak található olyan környezete, amely a sorozat egyetlen elemét sem tartalmazza, tehát a környezeten kívül végtelen sok elem van. 1.5 Tétel Egy konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Bizonyítás Tételezzük fel, hogy lim an  a és lim an  b , ahol a  b. Ekkor legyen  olyan, kicsi, n hogy a   , a    és n b   , b 

  -nek ne legyen közös pontja. Ekkor a b   , b    -n kívül a sorozatnak végtelen sok eleme van tehát. Hasonlóan az a   , a    -n kívül is a sorozatnak végtlelen sok eleme van. Ez lehetetlen, tehát a  b Végtelenhez divergáló sorozatok 1.6 Definíció Azt mondjuk, hogy az a n  sorozat határértéke  , ha tetszőleges P-hez létezik olyan (P- től függő) n0 szám, amelyre teljesül, hogy an  P , ha n  n0 . Hasonlóan értelmezzük, hogy egy a n  sorozat határértéke Példa: 1  1 Igazoljuk, hogy lim1   .     n n  2 Megoldás: Minden k természetes számra igaz a következő állítás: 2 . 1 1 1 2k 1  k  .  k 1  k 1  k 2 2 1 2  2 2 2 Ezért minden n  2 k 1 esetén 1 1 1 1 1 1 1 1    .  k  .  k 1    k 2 3 4 2 n 2 1 2 Innen már következik, hogy 1  1 lim1

  .   n  n  2 1.8 Tétel Bármely a n  sorozatra a) lim an  a n (a véges szám) b) lim an   n c) lim an   n tulajdonságok közül legfeljebb egy állhat fenn. Részsorozat fogalma 1.9 Definíció Ha az a1 ,a2 ,., an , sorozatból bizonyos elemeket (esetleg végtelen sokat) elhagyunk, akkor az így keletkező an1 , an2 ,., ank , 3 végtelen sorozatot az eredeti n1 ,n2 ,.,nk ,  N  Žs n1  n2   nk sorozat részsorozatának nevezzük, ahol  . 1.10 Tétel Ha lim an   (  valós szám, vagy  , ill. n   minden a nk  szimbólumok valamelyike), akkor an  részsorozatára is igaz lim a nk   . k   Bizonyítás Legyen lim an  a véges határérték. n Ekkor minden pozitív  -ra az a   , a    nyílt intervallumon kívül a sorozatnak véges számú eleme található. Ez

természetesen igaz a részsorozat elemeire is, amiből következik a fenti állítás. Hasonlóan igazolható  -re és -re is az előző állítás. Megjegyzés Azt mondjuk, hogy az a n  és bn  sorozatok viselkedése azonos, ha lim an   , akkor n lim bn   és fordítva. n 1.11 Tétel Jelöljük az a n  an  számsorozat elemeiként előforduló számok összességét an  -el. Ha az sorozat konvergens, akkor az a n  halmaz korlátos. Bizonyítás Legyen lim an  a . Válasszuk meg az 12 Definícióban szereplő  számot például 1-nek n Az a  1,a  1 intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok eleme lehet. Ha nincs elem, akkor a+1 felső korlát, a-1 alsó korlát. Ha van kívül elem, akkor legyenek ezek an1 ,, ank 4 Az an   halmaznak nyílván max a  1,a n1 ,., a nk   felső korlátja, min a  1, a n1 ,., a nk  pedig

alsó korlátja. 1.12 Tétel lim an  a akkor és csak akkor, ha lim a n  a   0. n   n 1.13 Tétel Ha an  bn  cn minden n természetes számra és lim an  a , n lim cn  a , akkor n lim bn  a . n Bizonyítás: A feltételekből következik, hogy minden   0 -hoz létezik olyan n1 és n2 , hogy a    an  a   , ha n  n1 és a    cn  a   , ha n  n2 . Ebből és az an  bn  cn feltételből viszont következik, hogy a    an  bn  cn  a   ha n  maxn1 , n2  Tehát bn  a   , ha n  maxn1 , n 2 . Ezzel a tételt bizonyítottuk 1.14 Tétel Ha an  k minden n természetes számra és lim an  a létezik, akkor lim an  a  k . n Bizonyítás 5 n Ha an  k minden n természetes számra és c  k , akkor c-nek   k  c környezetén kívül a sorozatnak végtelen sok

eleme van, vagyis c nem lehet az a n  sorozat határértéke. Innen az következik, hogy a  k . Ezzel a bizonyítást befejeztük Az előző tétel speciális esete a következő: Ha an  0 minden n természetes számra és lim an  0 létezik, akkor a  0. n 1.15 Tétel Ha lim an  a  k , akkor létezik olyan n1 természetes szám, hogy an  k , ha n  n1 . n Bizonyítás Ha a  k , akkor a-nak a-k sugarú környezetén kívül az a n  sorozatnak csak véges sok eleme van, tehát csak véges sok elem lehet kisebb vagy egyenlő mint k. Műveletek végtelen sorozatok körében 1.16 Definíció Legyen a n  és bn  két számsorozat. Ekkor a két sorozat összegén az a szorzatán a n bn , s (ha bn  0,n  N esetén) hányadosán az  n  bn a n  bn ,   számsorozatot értjük.  1.17 Tétel Ha az a n  és bn  sorozatok konvergensek és lim an  a ,

n lim bn  b , akkor n lim a n  bn   a  b. n  Bizonyítás Adjunk meg egy   0 hibakorlátot. Ekkor a feltevés szerint  2 -höz létezik olyan n1 és n2 küszöbindex, hogy an  a  6  2 ha n  n1 és bn  b   2 ha n  n2 . Vezessük be az n0  maxn1 , n2  jelölést. Ekkor mindkét egyenlőtlenség igaz n  n0 esetén, tehát a n  bn   a  b   a n  a   bn  b   a n  a  bn  b   2   2  . Tehát tetszőleges   0 -hoz létezik olyan n0 természetes szám, hogy n  n0 esetén igaz az előbbi egyenlőtlenség. Ezzel a bizonyítást befejeztük 1.18 Tétel Legyenek az a n  és bn  sorozatok konvergensek. Határértéküket rendre jelölje a, ill b Ekkor lim a n bn   ab. n Bizonyítás Tetszőleges u1 , u2 , v1 , v2  R valós számokra igaz a következő

egyenlőtlenség: u1v1  u2 v2  u1 v1  v2  v2 u1  u2 Ezt alkalmazva anbn  ab  an  bn  b  b an  a Mivel az a n  sorozat konvergens az 1.11 Tétel értelmében van olyan k  R valós szám, hogy a n  k minden n természetes számra. Legyen c  k  b  1  0 Ekkor anbn  ab  c bn  b  c an  a   ha előírt   0 -hoz olyan n1 ,n2  N küszöbindexeket választunk, hogy n  n1 esetén an  a  7  2c n  n2 esetén bn  b   2c és n  n0  maxn1 ,n2 . Ezzel a bizonyítást befejeztük 1.19 Tétel Legyen az a n  sorozat konvergens, lim an  a . Ekkor lim an  a n n Bizonyítás Ismert, hogy tetszőleges u és v valós számok esetén u  v  uv Legyen u  an és v  a , ekkor a an  a  a n  a   egyenlőtlenségből következik a tétel állítása, ha adott   0 -hoz n0 alkalmasan van választva, és n  n0

. 2. Valós, egyváltozós függvények 2.1 Definíció Egyváltozós függvénynek nevezzük az olyan (valós) f : X  R függvényt, amelynek X értelmezési tartománya R-nek egy részhalmaza. 2.2 Definíció Legyen X tetszőleges halmaz, c R . X fölötti c állandónak vagy konstansnak nevezzük azt az f : X  R függvényt, amely minden x  X esetén f x   c . 2.3 Definíció Egyváltozós lineáris függvényeknek nevezzük az olyan f : R  R függvényeket, amelyek 8 f  x   ax  b alakban adhatók meg, ahol a ,b  R . Az a számot a lineáris függvény meredekségének mondjuk. 2.4 Definíció Legyen n  Z . n kitevőjű hatványfüggvény az f x   x n előírással értelmezett f függvény. n  0 esetén az értelmezési tartomány D f   R, n  0 esetén pedig D f    ,0 0, . 2.5 Definíció A szignumfüggvényt x  R esetén így értelmezzük:  1, ha x  0 

sgn x   1, ha x  0  0, ha x  0.  2.6 Definíció Dirichlet-féle függvénynek mondjuk azt az f : R  R függvényt, amelyet az  0, ha x racionális szám f x    1, ha x irracionális szám 2.7 Definíció Legyen f és g valós függvény. Ekkor f és g összege, ill szorzata az a h, ill k függvény, amelynek értelmezési tartománya D f   D g , és x  D f   D g  esetén h x   f  x   g  x  k  x   f  x g  x  9 2.8 Definíció Ha f valós függvény, akkor f reciproka, jelben 1 , azaz a g függvény, amelynek f értelmezési tartománya Dg   x  D f  : f  x   0 és x  D g  esetén g x   1 . f x  2.9 Definíció Legyen f és g valós függvény. f és g hányadosa, jelben f 1 , az f  szorzatot jelenti. g g 3. Folytonosság 3.1 Definíció Az egyváltozós f függvényt folytonosnak mondjuk az a

helyen, ha minden   0 -hoz van olyan   0, hogy x  a   esetén x  D f  és f  x   f a    . 3.2 Tétel Az egyváltozós f függvény pontosan akkor folytonos az a helyen, ha a  D f  , és f a  nak minden V környezetéhez található a-nak olyan U környezete, amelyre U  D f  és f U   V . 3.3 Definíció Az egyváltozós f függvényt jobbról folytonosnak (balról folytonosnak) mondjuk az a helyen, ha minden x  D f  , és 10   0 -hoz van olyan   0, hogy x  a   , x  a x  a  esetén f  x   f a    . 3.4 Definíció Az a  R hely   0 sugarú jobb oldali környezetén (bal oldali környezetén) értjük az a, a   a   , a  intervallumot. 3.5 Tétel Az egyváltozós f függvény pontosan akkor jobbról folytonos (balról folytonos) az a helyen, ha a  D f  , és f a  -nak minden V

környezetéhez megadható a-nak olyan jobb oldali (bal oldali) U környezete, hogy U  D f , Žs f U   V . 3.6 Tétel Az egyváltozós f függvény pontosan akkor folytonos az a helyen, ha itt jobbról és balról folytonos. Bizonyítás Először is S a,   tartalmazza a-nak  sugarú jobb oldali és bal oldali környezetét. Másrészt ha U 1 a-nak 1 sugarú jobb oldali, U 2 pedig  2 sugarú bal oldali környezete, akkor S a,    U 1  U 2 , mihelyt 0    min  1 ,  2  . 3.7 Tétel Az egyváltozós f függvény pontosan akkor folytonos (jobbról folytonos, balról folytonos) az a helyen, ha van a-nak olyan U 0 környezete (jobb oldali környezete, bal oldali környezete), hogy a) U 0  D f  b) valahányszor xn U 0 , lim xn  a , egyúttal lim f  x n   f a . n 3.8 Tétel 11 n   Ha f és g folytonos (jobbról folytonos, balról folytonos) az a  R helyen, akkor

a) ugyanilyen f+g és fg is, b) ugyanilyen f is, feltéve, hogy g a   0. g 4. Határérték 4.1 Definíció Egy a  R hely   0 sugarú pontozott környezetén, ill. jobb oldali pontozott környezetén, ill. bal oldali pontozott környezetén értjük az S a,    a   , a   a, a     S a,    a ill. a, a     a, a     a, ill. a   , a   a   , a   a, halmazt. 4.2 Definíció Legyen f egyváltozós függvény, a  R . Azt mondjuk, hogy a jobb oldali, ill bal oldali szakadási helye f-nek, ha van a-nak olyan jobb, ill. bal oldali U pontozott környezete, hogy U  D f  , de f nem folytonos jobbról, ill. balról az a helyen A jobb oldali és bal oldali szakadási helyeket közösen szakadási helyeknek mondjuk. Néhány példa szakadási helyekre a) Legyen f x   x2  x x2 1  1 és a=1. Mivel f csak a 1 és -1

helyen nincs értelmezve, azért például az S 1,  pontozott  2 környezet része D f  -nek, viszont 1  D f  , így az 1 hely szakadási hely. Azonban az 12 f x   x x  1 x  1x  1 írásmódból látszik, hogy x  1 esetén f  x   g  x  , ha g x   x x 1 Ez a g függvény viszont folytonos az 1 helyen, úgyhogy, bár szakadási helye f-nek, mégis van olyan g függvény, amely 1 helyen folytonos, és D f  -nek 1-től különböző pontjaiban egyenlő f-el. 4.3 Definíció Az egyváltozós f függvénynek a  R megszüntethető szakadási helye, ha f nem folytonos az a helyen, de van olyan g függvény, amely D f   a  n egyenlő f-el és az a helyen folytonos. 4.4 Definíció Az egyváltozós f függvény határértéke az a  R helyen a b R szám, ha minden   0 hoz van olyan   0, hogy S a,    D f , és x  S a,

  esetén f  x   b   ; ezt a lim f  x   b szimbólummal fejezzük ki. x a 4.5 Tétel f-nek pontosan akkor van megszüntethető szakadási helye az a helyen, ha f nem folytonos itt, de létezik a lim f  x   b  R x a határérték, s ekkor 13 g  x   f  x ha x  D f   a, g a   b szolgáltatja az a helyen folytonos, D f   a  n f-fel megegyező g függvényt. 4.6 Tétel f pontosan akkor folytonos az a helyen, ha lim f  x   f a . x a 4.7 Definíció Az egyváltozós f függvénynek az a  R helyen jobb, ill. bal oldali határértéke b  R , ha b-nek minden V környezetéhez van a-nak olyan jobb, ill. bal oldali pontozott U környezete, hogy U  D f Žs f U   V . Ilyenkor a lim f  x   b , ill. lim f x   b jelölést használjuk xa  xa  4.8 Tétel f pontosan akkor folytonos jobbról, ill. balról az a

 R helyen, ha lim f  x   f a  , ill. x a  lim f  x   f a  . x a  4.9 Definíció Az egyváltozós f függvénynek a  R ugrási helye, ha létezik f-nek az a helyen vett jobb, ill. bal oldali határértéke, f a   , ill f a   , de f a    f a   . Differenciálhatóság 5.1 Definíció Legyen f egyváltozós függvény. Ha x1 , x 2  D f , x1  x 2 , akkor az 14 f  x 2   f  x1  x 2  x1 hányadost az f függvény x1 és x2 helyhez tartozó különbségi hányadosának mondjuk. Ha egy a  D f  helyen létezik az a és x helyhez tartozó különbségi hányadosnak lim xa f x   f a  xa határértéke, akkor ezt az f függvény a helyhez tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Az f függvényt az a helyen differenciálhatónak mondjuk, ha az előbbi határérték létezik és véges. 5.2 Definíció Az egyváltozós f

függvény deriváltfüggvénye az értelmezési tartománya a függvény, jele f , amelynek D f  -nek mindazon elemeiből áll, amely helyeken differenciálható, s értéke egy ilyen x helyen f-nek az x f helyhez tartozó differenciálhányadosa. 5.3 Tétel Ha f differenciálható az a helyen, akkor itt folytonos is. 5.4 Tétel Bármely állandó függvény deriváltja a 0 állandó. 5.5 Tétel Ha n  N , akkor az f  x   x n hatványfüggvény deriváltja f  x   nx n 1 5.6 Tétel Ha f differenciálható az a helyen, és c  R , akkor g  cf helyen, és 15 is differenciálható az a g a   cf a . 5.7 Tétel Ha f és g differenciálható az a helyen, akkor h  f  g is differenciálható itt, és ha   f a   g a . 5.8 Tétel Ha f és g differenciálható az a helyen, akkor h  fg is differenciálható itt, és h a   f a g a   f a g

a  5.9 Tétel Ha f és g differenciálható az a helyen, és g a   0 , akkor itt h  f is differenciálható, g és  f a g a   f a g a    h  a  g 2 a    5.10 Tétel Ha f differenciálható az a helyen, g pedig az f a  differenciálható az a helyen, és h a   g  f a   f a . Az integrál fogalma 6.1 Definíció Legyen a ,b  R , a  b . Az a ,b intervallum felosztásán   xi 1 , xi  :i  N n  alakú intervallumrendszert értünk, ahol 16 helyen, akkor h  g o f is x 0  a, x i 1  x i i  N n  x n  b, a  felosztás osztópontjai, az xi 1 , xi intervallumok a felosztás tagjai. Adott   0 mellett az előbbi felosztást  -nál finomabbnak mondjuk, ha bi N g xi  xi 1   n 6.2 Definíció Legyen f egyváltozós függvény, a, b  D f ,  az a ,b

intervallumnak egy felosztása és  i  xi 1 , xi  i  N n . Az f függvénynek a  felosztáshoz és a i kiszemelt helyekhez tartozó közelítő összegén a n    f  i xi  xi 1  i 1 összeget értjük. 6.3 Definíció Legyen f egyváltozós függvény, a, b  D f . Az f integrandus Riemann-féle integrálja az I szám, ha minden   0 -hoz van olyan   0, hogy   I  , valahányszor  egy  -nál finomabb  felosztáshoz tartozik. 6.4 Definíció Az egyváltozós f függvényt Riemann-féle értelemben integrálhatónak mondjuk az a ,b intervallumban, ha a, b   D f , és létezik f-nek integrálja a ,b -ben. Például bármely c állandó integrálható bármely felosztás és  i kiszemelt helyek mellett 17 a ,b intervallumban, hiszen tetszőleges n    c xi  xi 1   cb  a  i 1 tehát az I  cb  a 

szám megfelel a 6.3 definíció feltételeinek 6.5 Definíció Legyen  k az a ,b intervallum felosztásainak egy sorozata. A  k  felosztássorozatot végtelenül finomodó sorozatnak mondjuk, ha minden   0 -hoz van olyan k0  N , hogy k  k0 esetén  k  -nál finomabb felosztás. 6.6 Tétel Legyen a, b  D f . Az f függvény a ,b -beli integrálja pontosan akkor I, ha lim  k  I valahányszor  k  végtelenül finomodó felosztássorozat a ,b -ben, és  k f- k  nek egy  k -hoz tartozó közelítő összege. Például a Dirichlet-féle függvény (2.6) egyetlen a ,b intervallumban sem integrálható, hiszen bármely felosztáshoz lehet olyan kiszemelt helyeket választani, ahol a függvényérték nulla, és olyanokat is, ahol a függvényérték 1. Az első esetben a közelítő összeg 0, a másodikban b-a, úgyhogy nincs olyan I szám, amelyhez  k konvergál, valahányszor  k egy

végtelenül finomodó felosztássorozat k-adik tagjához tartozik. 6.7 Tétel Ha f integrálható a ,b -ben, akkor integrálja egyértelműen meg van határozva. Az f függvény a ,b -n vett integráljának jelölése: b  f x dx a vagy b f. a 6.8 Tétel Ha f integrálható a ,b -ben, akkor itt korlátos is. 18 6.9 Definíció Legyen f az a ,b intervallumban korlátos függvény,   xi 1 , xi  :i  N n  a ,b -nek egy felosztása a szokásos x0  a, xn  b, i  N n  xi 1  xi jelölésekkel, és mi  inf f xi 1 , xi  M i  sup f xi 1 , xi  . Ekkor az n s   mi  xi  xi 1  i 1 összeget a  felosztáshoz tartozó alsó összegnek, az n S   M i  xi  xi 1  i 1 összeget pedig a  -hez tartozó felső összegnek nevezzük. 6.10 Tétel Legyen f korlátos a ,b -ben. A következő állítások egyenértékűek: (a) f integrálja a ,b -ben I; (b)

minden   0 -hoz van olyan   0, hogy ha  akkor a hozzá tartozó s alsó és S felső összegre 19 a ,b -nek  -nál finomabb felosztása, s  I  , (c) ha  k  a ,b S  I  ; felosztásainak végtelenül finomodó sorozata, és sk , ill. Sk a  k -hoz tartozó alsó, ill. felső összeg, akkor lim sk  I , lim Sk  I . k  k  Az integrál tulajdonságai 6.11 Tétel Ha a  b  c , és f integrálható a ,b -ben is, b ,c -ben is, akkor integrálható a ,c -ben is, és c  a b c a b f  x dx   f  x dx   f x dx 6.12 Tétel Ha f korlátos és szakaszonként folytonos vagy szakaszonként monoton a ,b -ben, akkor itt integrálható is. 6.13 Tétel Ha f integrálható a ,b -ben, és c  R , akkor cf is integrálható a ,b -ben, és b b a a  cf x dx  c  f x dx . 6.14 Tétel Ha f és g integrálható a ,b -ben, akkor itt f+g is integrálható, és

b b b a a a  f x   g x dx   f x dx   g x dx 7. Primitív függvény Newton-Leibniz-szabály 7.1 Definíció 20 Legyen I  R intervallum. Azt mondjuk, hogy az F függvény I-ben primitív függvénye az f függvénynek, ha F folytonos I-n, és I belsejében F   f . 7.2 Tétel (Newton-Leibniz-féle képlet) Ha f integrálható a ,b -ben, és F primitív függvénye itt f-nek, akkor b  f x dx  F b   F a  a 7.3 Tétel Ha f-nek I-ben van primitív függvénye, akkor végtelenül sok primitív függvénye van, s ha ezek egyike F, akkor a primitív függvények az F+c alakú függvények, ahol c állandó. 7.4 Tétel Ha f folytonos az I  R intervallumban, akkor itt van primitív függvénye. 8. Integrálási alapképletek 8.1 Definíció Egy f függvény határozatlan integráljának mondjuk az I R függvény I-beli primitív függvényeiből álló halmazt (ha nem üres); ennek jele:  f

x dx 8.2 Integrálási alapképletek e x dx  e x  c  sin xdx   cos x  c  cos xdx  sin x  c 21 intervallumban az f  sh xdx  ch x  c x n 1  c, n 1 n  x dx   dx  ln x  c x dx  sin 2   ctg x  c x dx  cos 2 2 x dx  ch 2 x  th x  c 1 x2 dx    cth x  c dx 1 x   tg x  c x dx  sh  n  1 2  arcsin x  c  ar ctg x  c dx 1 x2 dx x2 1  arsh x  c  arch x  c 8.3 Tétel Ha f-nek és g-nek primitív függvénye I-ben F, ill. G, továbbá c  R , akkor cf-nek primitív függvénye cF, (f+g)-nek pedig F+G. Eszerint 22  cf x dx  c  f x dx  f x   g x dx   f x dx   g x dx 8.4 Tétel Legyen u és v differenciálható az I intervallumban, továbbá u  és v  folytonos I-ben. Ekkor I-ben  ux   vx dx 

ux vx    u x vx dx 8.5 Tétel Legyen  folytonos az I intervallumban, differenciálható I belsejében, F differenciálható a  I  intervallumban, és itt F   f . Ekkor I-ben F o primitív függvénye az  f     függvénynek, azaz  f  x  x dx  F  x   c xI Kidolgozott példák 1. 1 x3  2 x  2 x  dx   x 2  ln x  c    x 3 2.  10 x 3 10 x 3  3 3  dx  x4   x 4  x 4 3. x2 x 2 1 2 1 1 x 1 x 2 2 3 dx 2 2 dx x x dx   dx       c    2 c  x3  x3 x3  x2 x3  x x 1 2 x 4.  5.  23 2  10 dx    3 x  4 dx  10 ln x  x 3  c x   2 x 4  2x 2  1 2 1 1 1 x2 dx dx x     dx   2 ln x  2  c 3 3 3   x x 2 x x 2x  1 2 1 3 3 2 4 2 3 x  x

dx   x  x dx  x   x 3   c 3 4 3 6. 7. 1   x  x 1 x2 3 1 4 x3 dx   x dx    ex 8.  e 1  2 x  x x 3 x2   1 2  1 2 1 4  x dx  2 x  4 x  c 1 3 3 4 x2 1  2 dx   x 3  x 3 dx  4  1 1 dx   e x  2 dx  e x   c x x  9. 1 ex  x x x   e 1   cos 2 x dx   e  cos 2 x dx  e  tg x  c 10. 1 x 2 2  1 3 3 x  3x 3  c 4 3 1 x2 dx  2ar ctg x  3 arcsin x  c 3x  t dt 1 1 1 11.  cos 3 xdx  3dx  dt   cos t   cos t dt  sin t  c  sin 3x  c 3 3 3 3 dt dx  2 x 12.  x x t 2  e 2  e 2 dx   1 dx  dt   e t  e t 2dt  2e t  e t   c  2e 2  2e 2  c 2 dx  2dt x x 13. 5  6x  t  3 24 5  6 x dx   6dx  dt   1 dx   dt 6 4 

dt 1 1 3 1 1 t    t 3 dt   t 3   c   t 3  c   5  6 x  3  c 6 6 6 4 8 8 1 3 4 4  14. 15. 3  2x  t 1 1 1  1  dt 1 2    2dx  dt      t    dt  t 2  c  3  2 x  2  c t 2 3  2x  2 1 dx   dt 2 dx dx 1  10 1 1  1  10 x   1  10 x dx   10  1  10 x dx   10 ln 1  10 x  c e2x 1  6e 2 x 1 16.  dx    dx   ln 1  3e 2 x  c 2x 2x 6 1  3e 6 1  3e cos x 17.  ctg xdx   sin x dx  ln sin x  c 18.  1  2 sin x dx  2  1  2 sin x dx  2 ln 1  2 sin x  c cos x 1 2 cos x 1 1 1 19.  dx   x dx  ln 1  ln x  c x1  ln x  1  ln x 2x  5 dx  ln x 2  5 x  7  c  5x  7 20. x 21. 3 3  cos xsin xdx     sin x cos xdx   2 cos 4 x c 4 cos x  sin x

3 3 22.  dx   sin x  cos x  dx     sin x cos x  dx   3 2 cos x 23. 24. 25 2  x x  1dx   x2 3 1  x3 dx            2 c  1 3 3 1 1 2 2 1 2 2 2 dx  2  2 c 2 1 1 x  x  x   c  x  1 2 2 3 3  1 3x 2 1  x 3 3   1 3 dx  1 1  x3 3 2 3  3 1  c  1  x3 2 2 2 3 c 1 c 2 cos 2 x 25. e 26. e  x 2 dx  x3 cos x e x sin xdx     sin x e cos x dx  e cos x  c 27.  28.  29. x  xe dx  x 3 3 1 1 3 3x 2 e x dx  e x  c  3 3 dx  2  1 2 x x 3  8 x 2 dx   e x dx  2e   x c     1 4 1 1 3 3 1 2 3 3 dx  3  3 8 8 x x  x   c  x3  8  3 3 4 4  4 3 c u  x v  e x  xe x   e x dx  xe x  e x  c x u  1 v  e u 

ln x  1 v   x x2 x2 1 ln  x  1    dx  30.  xln  x  1dx  1 x2  u  v 2 2 x 1 2 x 1  x2 1 x x2 1 x 11 ln  x  1   x  dx  ln x  1   x  dx  2 2 x 1 2 2 x 1  x2 1 x x2 1 1 ln x  1   x  dx  ln x  1   x  1  dx  2 2 x 1 2 2 x 1  x2 x2 x 1 ln x  1    ln  x  1  c 2 4 2 2 9. Improprius integrálok 9.1 Definíció  b Ha a lim  f  x dx b   a határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az  f x dx a improprius integrál konvergens és értéke a fenti határérték. Egyébként az improprius integrál divergens. 26 9.2 Definíció b b Ha a lim  f x dx a   f x dx határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az  a improprius integrál konvergens és értéke a fenti

határérték. Egyébként az improprius integrál divergens. 9.3 Definíció 0 Ha az  f x dx és    f x dx improprius integrálok konvergensek, akkor azt mondjuk, hogy 0  a  f x dx improprius integrál konvergens, és   0    0  f x dx   f x dx   f x dx.  Egyébként az  f x dx divergens.  9.4 Definíció Legyen f(x) folytonos az [a, b) intervallumon és t lim f  x   . Ha a x b  lim  f x dx t b  a b határérték létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy az  f x dx improprius integrál a konvergens és értéke a fenti határérték. b Máskülönben az  f x dx improprius integrál divergens. a 9.5 Definíció Legyen f(x) folytonos az (a, b] intervallumon és tételezzük fel, hogy lim f x   . Ha a xa  b lim  f x dx határérték létezik és

véges akkor azt mondjuk, hogy az t a  t b  f x dx improprius a b integrál konvergens és értéke a fenti határérték. Máskülönben az  f x dx a integrál divergens. 27 improprius 9.6 Definíció Legyen f(x) folytonos az [a, b]-n kivéve a c helyen, ahol a<<c<b. Tételezzük fel, hogy lim f  x   . Ha az x c c  f  x dx és a b  f x dx improprius integrálok konvergensek, akkor azt c b mondjuk, hogy az  f x dx improprius integrál konvergens és a b  a c b a c f  x dx   f x dx   f  x dx. b Egyébként az  f x dx improprius integrál divergens. a 10. Végtelen sorok 10.1 Definíció  A  ak  a1  a2  a3  .  ak  "végtelen" összeget végtelen sornak nevezzük. k 1 10.2 Definíció Az s1  a2 , s2  a1  a2 , s3  a1  a2  a3 ,., sn  a1  a2   an , 

sorozatot, a  ak k 1 végtelen sorhoz tartozó, részletösszegek sorozatának nevezzük. 10.3 Definíció  Azt mondjuk, hogy a  ak végtelen sor konvergens és a sor összege a S  R szám, ha az k 1 s n   sorozat konvergens és az S számhoz konvergál. Egyébként a  ak k 1 divergens. 10.4 Tétel  Ha a  ak k 1 28 végtelen sor konvergens, akkor lim a k  0. k  végtelen sor Bizonyítás Legyen s n  a részletösszegek sorozata és lim sn  S . Mivel an  sn  sn 1 , ezért n lima n  lims n  s n1   lim s n  lim s n 1  S  S  0. n  n  n  n  10.5 Tétel   ak és Ha a k 1   bk végtelen sorok konvergensek és c  R állandó, akkor a k 1    ak  bk  végtelen sorok is konvergensek, és k 1   a k 1 k  k 1   k 1 k 1   c ak és k 1 

c ak  c ak , k 1  bk    a k   bk 10.6 Tétel  Ha  ak divergens és c  0 , akkor a k 1   c ak végtelen sor is divergens. k 1 Pozitív tagú sorok 10.7 Tétel  A nem negatív tagokból álló  ak végtelen sor akkor és csakis akkor konvergens, ha a k 1 részletösszegek sorozata felülről korlátos. 10.8 Tétel Legyen f a 1,  g intervallumon folytonos, pozitív és nem növekvő függvény és a k  f k , k  N . Ekkor   ak végtelen sor, akkor és csakis akkor konvergens, ha az k 1   f x dx improprius integrál konvergens. 1 10.9 Tétel Legyen 0  an  bn , ha n  n0 , ahol n0  N . 29  (i) Ha a   bn végtelen sor konvergens, akkor a  an n1 n1  (ii) Ha a sor is konvergens.   an végtelen sor divergens, akkor a  bn n1 n1 sor is divergens. 10.10 Tétel  Legyen a  ak an 1  n a n

végtelen sor pozitív tagokból álló sor és lim k 1 (i) Ha   1, akkor a sor konvergens (ii) Ha   1, akkor a sor divergens (iii) Ha   1, akkor ez alapján nem tudjuk eldönteni. 10.11 Tétel Legyen az a1  a2  a3  a4  . végtelen sor alternáló és an  an 1  0. Ha lim an  0 teljesül, akkor a sor konvergens. n 30