Matematika | Analízis » Analízis feladatsorok, megoldással

Szak: Műszaki informatika I. Név: Tárgy: analı́zis zárthelyi dolgozat Dátum: 2000. Pontszám: okt. 20 Tankör: Osztályzat: A csoport 1.)Adottak a térben az A(3; −2; 0), B(5; −1; 2), C(4; 3; −1) és D(−16; 3; 23) pontok Határozza meg a) az ABC háromszög területét (3 pont) b) az ABCD tetraéder térfogatát (2 pont) c) a D pont tükörképét az ABC sı́kra vonatkozóan! (4 pont) 2.) A z1 és z2 komplex számokra vonatkozóan ismertek a következő összefüggések: ( 2z1 + 3z2 = 4 + 8j −z1 + 2z2 = 5 + 3j s Számı́tsa ki a z = 3 z22 komplex szám értékét mindhárom alakban! z13 (8 pont) r z13 · z2 kifejezés értékét exponenciális alakban, ha z3 z1 = 2(cos 30o − j sin 30o ), z2 = −8(cos 60o + j sin 60o ) és z3 = 4(sin 30o + j cos 30o ). (6 pont) 3.) Számı́tsuk ki a 4 4.) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: 1 − n3 + 4n5 2n + 3n + 4n a) an = b) a = n 2n −3n5 + 2n2

+ 6 µ 2 ¶2n−1 n+3 r 2 n+1 n 2n − 1 √ d) an = √ c) an = 2 n n + 5n + 1 − n2 − 2 (1+2+2+3 pont) 5.) Döntse el, hogy az alábbi állı́tások közül melyik igaz, melyik nem! Válaszait indokolja! a) Ha egy sorozat monoton növekedő és alulról korlátos, akkor konvergens. b) Ha egy sorozat konvergens, akkor monoton és korlátos c) Az (a × b) × a merőleges b-re. d) Az (a × b) × a benne van a és b sı́kjában, ha a és b nem párhuzamos vektorok. (4 pont) Megoldások − − −− 1.) AB(2; 1; 2) AC(1; 5; −1) AD(−19; 5; 23) √ − − 218 1 − − ≈ 7, 38 a) AB × AC(−11; 4; 9) T = |AB × AC| = 2 2 1 −−−− 218 ≈ 72, 67 b) V = |AB AC AD| = 6 3   x = −16 − 11t c) ABC : 11x − 4y − 9z = 41 m : t = −2 T (6; −5; 5) y = 3 + 4t   z = 23 + 9t 0 D (28; −13; −13) √ √ o o 2(cos 2(cos 45o + j sin 45o ) z = 2.) z = −1 + j = 2 + 2j = 2 135 + j sin 135 ) z = 1 2 s q √ z22 3 3 = 2 2(cos 45o + j

sin 45o ) z13 √ √ π z(0) = 2(cos 15o + j sin 15o ) = 2ej 12 ≈ 1, 366 + 0, 366j √ √ 3π z(1) = 2(cos 135o + j sin 135o ) = 2ej 4 ≈ −1 + j √ √ 17π z(2) = 2(cos 255o + j sin 255o ) = 2ej 12 ≈ −0, 366 − 1, 366j 3.) r z1 = 2(cos 330o + j sin 330o ) z2 = 8(cos 240o + j sin 240o ) z3 = 4(cos 60o + j sin 60o ) 3 p π π 4 z1 z2 = 4 16(cos 90o + j sin 90o ) = 2ej ( 8 +k 2 ) z3 4 2e4 b) 1 c) 1 d) 4.) a) − 3 5 5.) h h h i Szak: Műszaki informatika I. Név: Tárgy: analı́zis zárthelyi dolgozat Dátum: 2000. Pontszám: okt. 20 Tankör: Osztályzat: B csoport 1.) Egy kocka A csúcsából kiinduló AB, AD, AE élek ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak. Ismejük az A(−2; 5; −1), B(0; 2; 5) és D(1; 11; 1) pontokat Határozza meg a) az E csúcs koordinátáit − −− −− − − − b) az AB + AD, AD + AE és az AE + AB vektorok által kifeszı́tett paralellepipedon térfogatát c) az A pont tükörképét az 5x − 3y +

2z = 11 sı́kra vonatkozóan! (3+3+4 pont) 2.) A z1 és z2 komplex számokra vonatkozóan ismertek a következő összefüggések: ( z1 + z2 = −12(cos 260o + j sin 260o ) z2 − 2z1 = 3(cos 280o − j sin 280o ) s Számı́tsa ki a z = r 3.) Számı́tsuk ki a 3 4 z23 komplex szám értékét mindhárom alakban! z12 (8 pont) 2z 2 − 6z + 4 kifejezés értékét exponenciális alakban, ha z+4 4.) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: 3n + 4 n −2 + 3n3 + 104n4 b) a = a) an = n 4 + n2 + 1 15n5 + 7n 2n + 5 n √ √ ¶3n−2 µ n n+1+ nn+5 2n + 1 √ d) an = √ c) an = 2n n2 + 3n + 2 − n2 + 1 z = 2+3j. (6 pont) (1+1+2+3 pont) 5.) Döntse el, hogy az alábbi állı́tások közül melyik igaz, melyik nem! Válaszait indokolja! a) Ha egy sorozat korlátos, de nem monoton, akkor nem konvergens. b) Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. c) Ha a és b az S sı́kkal párhuzamos vektorok, akkor vektoriális

szorzatuk mindig az S sı́k egy normálvektora. d) Ha adott a térben három vektor, akkor biztos, hogy a tér bármely vektora kifejezhető e három vektor lineáris kombinációjaként. (4 pont) Megoldások 1.) A(−2; 5; −1) B(0, 2, 5) D(1, 11, 1) − −− − −− − a) AB(2; −3; 6) AD(3; 6; 2) AB × AD(−42; 14; 21) AE(−6; 2; 3) E(−8; 7; 2) − −− −− − − − b)  AB + AD(5; 3; 8) AD + AE(−3; 8; 5) AE + AB(−4; −1; 9) V = 686  x = −2 + 5t c) y = 5 − 3t t = 1 T (3; 2; 1) A0 (8; −1; 3)   z = −1 + 2t 2.) s z1 = 3(cos 80o + j sin 80o ) z2 = 9(cos 80o + j sin 80o ) π π z23 p 4 = 4 81(cos 80o + j sin 80o ) = 3(cos(20o +k ·90o )+j sin(20o +k ·90o )) = 3ej ( 9 +k 2 ) 2 z1 2, 819 + 1, 026j − 1, 026 + 2, 819j − 2, 819 − 1, 026j 1, 026 − 2, 819j 2z 2 − 6z + 4 3.) = −2 + 2j z+4 q √ √ 3 −2 + 2j = 3 2 2(cos 135o + j sin 135o ) = √ √ π 2π 2(cos(45o + k · 120o ) + j sin(45o + k · 120o )) = 2ej ( 4 +

3 k) 4 3 4.) a) 0 b) 0 c) e 2 d) 3 5.) h i h h Informatika I. évfolyam, analı́zis zárthelyi dolgozat 2001 máj 4 javı́tási útmutató A csoport 1.) Oldja meg az y 00 − 5y 0 + 6y = 4x differenciálegyenletet Laplace-transzformációval, az y(0) = y 0 (0) = 0 kezdeti feltételek mellett! Megoldás: s2 ȳ − 5sȳ + 6ȳ = 4 s2 ⇒ ȳ = s2 (s 4 A B C D = + 2+ + − 2)(s − 3) s s s−2 s−3 (2 pont) Beszorzás után: 4 = As (s − 2) (s − 3)+B (s − 2) (s − 3)+Cs2 (s − 3)+Ds2 (s − 2) 2 4 5 (3 pont) s = 0 : B = , s = 2 : C = −1, s = 3 : D = , s3 : A = 3 9 9 1 4 1 5 2 4 51 2 1 + 2− + ⇒ y = + x − e2x + e3x (2 pont) ȳ = 9s 3s s−2 9s−3 9 3 9 2.) Döntse el, hogy a következő numerikus sorok konvergensek-e vagy sem! (Válaszát meg kell indokolnia a tanult kritériumok segı́tségével.) Számı́tsa ki a sorösszeget is annál a sornál, ahol ez a tanult módszerekkel megtehető! ∞ ln n ∞ 3 ∞ (n + 2)n! P P P b)

c) a) n 2 n n=1 n n=0 2 n=1 5 · n Megoldás: a) Alkalmazzuk a hányadoskritériumot: (n + 3)(n + 1)! 5n n2 an+1 (n + 3)n2 = lim n+1 · = lim lim = ∞ n∞ 5 n∞ an n∞ 5(n + 1)(n + 2) (n + 1)2 (n + 2)n! Tehát a sor divergens. (2 pont) b) Mivel a sornak minoráns sora a harmonikus sor, ami divergens, ezért a sor divergens. (2 pont) 1 c) Mivel a sor egy hányadosú mértani sor, ezért konvergens, (1 pont) 2 3 = 6 (2 pont) összege: s = 1 − 21 ∞ 3n + 2 P xn hatványsor konvergenciatartományát! 3.) Határozza meg a n 2 n=0 Megoldás: ¯ ¯ n+1 ¯ cn ¯ 6n + 4 ¯ = lim 3n + 2 · 2 ¯ A konvergenciasugár: r = lim ¯ = lim = 2 ¯ n n∞ cn+1 n∞ n∞ 3n + 5 2 3n + 5 (3 pont) ∞ ∞ P P Az x = ±2 helyeken a (3n + 2), illetve a (−1)n (3n + 2) sorokhoz jutunk, n=0 n=0 melyek mindegyike divergens, ugyanis nem teljesül rájuk a konvergencia szükséges feltétele. (1 pont) Tehát a konvergenciatartomány: ]−2; 2[ (1 pont) 4.) Közelı́tse az f (x)

= sin x függvény x0 = 0, 1 pontban felvett helyettesı́tési értékét a függvény harmadfokú Taylor-polinomja segı́tségével! Adjon felső becslést a közelı́tés hibájára! Megoldás: 0, 001 x3 = 0, 09983̇. (3 pont) T3 (x) = x − , azaz sin 0, 1 ≈ 0, 1 − 3! ¡ (5) ¢ 5 6 sin (ξ) x (cos ξ) x5 0, 15 = < ≈ 8, 3 · 10−8 . (4 pont) A hiba becslése: ∆f = 5! 120 120 Így 7 tizedesjegyre: sin 0, 1 ≈ 0, 0998334 ( 5.) Fejtse Fourier-sorba az f (x) = 1 ha −π < x ≤ 0, , f (x) = f (x + 2π) ∀x ∈ R 3 ha 0 < x ≤ π függvényt! Megoldás: A g(x) = f (x) − 2 függvény páratlan, ı́gy Fourier-sorában csak szinuszos tagok szerepelnek. (2 pont) Zπ Zπ 2 1 2 f (x) sin(nx)dx = sin(nx)dx = − [cos(nx)]π0 = bn = π π πn −π 0   0 ha n páros, 2 ((−1)n − 1) = (5 pont) − 4  nπ ha n páratlan nπ µ ¶ sin 3x sin 5x 4 sin x + + + . = f (x) = g(x) + 2 Fourier-sora: F (x) = 2 + π 3 5 ∞ 4 X sin(2n

+ 1)x (2 pont) 2+ π n=0 2n + 1 Informatika I. évfolyam, analı́zis zárthelyi dolgozat 2001 máj 4 javı́tási útmutató B csoport 1.) Oldja meg az y 0 + 4y = 5 sin 2x differenciálegyenletet Laplace-transzformációval az y(0) = 2 kezdeti feltétel mellett! Megoldás: sȳ − y(0) + 4ȳ = 10 +4 s2 ⇒ ȳ = 10 2 + 2 (s + 4)(s + 4) s + 4 = Bs + C 2 A + 2 + (2 pont) s+4 s +4 s+4 Beszorzás után: 10 = A(s2 + 4) + Bs(s + 4) + C(s + 4) 1 1 (3 pont) s = −4 : A = , s = 0 : C = 2, s2 : B = − 2 2 1 5 1 1 s 2 5 ȳ = − 2 + 2 ⇒ y = e−4x − cos 2x + sin 2x (2 pont) 2s+4 2s +4 s +4 2 2 2.) Döntse el, hogy a következő numerikus sorok konvergensek-e vagy sem! (Válaszát meg kell indokolnia a tanult kritériumok segı́tségével.) Számı́tsa ki a sorösszeget is annál a sornál, ahol ez a tanult módszerekkel megtehető! ∞ (−1)n ∞ 2 ∞ (n + 3)n2 P P P b) c) a) n 3n · n! n=2 ln n n=0 3 n=1 Megoldás: a) Alkalmazzuk a

hányadoskritériumot: (n + 4)(n + 1)2 3n n! an+1 (n + 4)(n + 1) = lim n+1 · = lim =0 lim 2 n∞ 3 n∞ 3(n + 3)n2 n∞ an (n + 1)! (n + 3)n Tehát a sor konvergens. (2 pont) b) A sor Leibniz-féle és lim an = 0, ezért a sor konvergens. (2 pont) n∞ 1 c) Mivel a sor egy hányadosú mértani sor, ezért konvergens, (1 pont) 3 2 = 3 (2 pont) összege: s = 1 − 31 ∞ 2n − 3 P xn hatványsor konvergenciatartományát! 3.) Határozza meg a n 3 n=0 Megoldás: ¯ ¯ n+1 ¯ cn ¯ 6n − 9 ¯ = lim 2n − 3 · 3 ¯ = lim = 3 A konvergenciasugár: r = lim ¯ ¯ n n∞ cn+1 n∞ n∞ 2n − 1 3 2n − 1 (3 pont) ∞ ∞ P P Az x = ±3 helyeken a (2n − 3), illetve a (−1)n (2n − 3) sorokhoz jutunk, n=0 n=0 melyek mindegyike divergens, ugyanis nem teljesül rájuk a konvergencia szükséges feltétele. (1 pont) Tehát a konvergenciatartomány: ]−3; 3[ (1 pont) 4.) Közelı́tse az f (x) = cos x függvény x0 = 0, 2 pontban felvett helyettesı́tési

értékét a függvény másodfokú Taylor-polinomja segı́tségével! Adjon felső becslést a közelı́tés hibájára! Megoldás: x2 0, 22 = 0, 98. (3 pont) T2 (x) = 1 − , azaz cos 0, 2 ≈ 1 − 2! ¡ (4) ¢ 4 2 cos (ξ) x (cos ξ) x4 0, 24 = < ≈ 0, 00006̇. (4 pont) A hiba becslése: ∆f = 4! 24 24 Így 4 tizedesjegyre: cos 0, 2 ≈ 0, 9801 ( −1 ha −π < x ≤ 0, 5.) Fejtse Fourier-sorba az f (x) = , f (x) = f (x + 2π) ∀x ∈ R 3 ha 0 < x ≤ π függvényt! Megoldás: A g(x) = f (x) − 1 függvény páratlan, ı́gy Fourier-sorában csak szinuszos tagok szerepelnek. (2 pont) Zπ Zπ 1 2 4 f (x) sin(nx)dx = 2 sin(nx)dx = − = bn = [cos(nx)]π0 π π πn −π 0   0 ha n páros, 4 ((−1)n − 1) = − (5 pont) 8  nπ ha n páratlan nπ µ ¶ sin 3x sin 5x 8 sin x + + + . = f (x) = g(x) + 1 Fourier-sora: F (x) = 1 + π 3 5 ∞ 8 X sin(2n + 1)x 1+ (2 pont) π n=0 2n + 1 Tankör zárthelyi dolgozat javı́tókulcs

Informatika I. 2001 dec 7 A csoport 2x −x−2 a) Adja meg az f függvény értelmezési tartományát! Hol folytonos a függvény? 2 pont b) Határozza meg a szakadási helyeknél a jobb és baloldali határértékeket! 2 pont c) Adja meg az f függvény deriváltfüggvényét! 3 pont M.: a) Df = R {−1; 2} Értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim+ f (x) = +∞, lim− f (x) = −∞, lim + f (x) = +∞, lim − f (x) = −∞ b) x2 x2 x−1 x−1 2 −2x − 4 c) f 0 (x) = 2 (x − x − 2)2 2. a) Adja meg az y = 4 arcsin(x − 1) függvény értelmezési tartományát és 2 pont értékkészletét! b) Határozza meg a fenti függvény ȳ-sal jelölt inverz függvényét! 2 pont M.: a) D = [0; 2], R = [−2π; 2π] x b) ȳ = 1 + sin 4 ¡ ¢ (x2 − 2x − 3) · sin πx 2 √ 3. Határozza meg a lim √ határértéket! 4 pont x3 3x + 16 − x + 22 M.: −20 4. Differenciálja a következő

függvényeket: 4x3 + 2x sin x 3 pont a) f (x) = 5e¢x¡− e2x ¡ ¢ b) f (x) = ln (e2x + 4x) sin3 x + arcsin x2 3 pont 2 x 2x 3 x 2x (12x + 2 sin x + 2x cos x)(5e − e ) − (4x + 2x sin x)(5e − 2e ) M.: a) f 0 (x) = (5ex − e2x )2 µ ¶ 2x ¡ ¢ 2e + 4 2x 3 2 0 2 2x b) f (x) = 2x (sin x + arcsin x ) + ln(e + 4x) 3 sin x cos x + √ e + 4x 1 − x4 3 5. Írja fel az y = x − 6x görbe x0 = 2 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének 4 pont egyenletét! M.: y = 6x − 16 1. f (x) = x2 6. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = ex függvényen! x2 10 pont M.: I Df = R {0} zérushely nincs II. nem páros, nem páratlan (lásd a helyetesı́tési értéket pl x = 1-ben és x = −1ben), nem periódikus (1 szakadási hely van) (1 pont) III. Értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim f (x) = +∞ x+∞ lim f (x) = 0 x−∞ lim f (x) = +∞ x0 ex (x − 2) (1 pont) IV. f 0 (x) = x3 x x<0 x=0

0<x<2 0 f (x) + × − f (x) ↑ × ↓ (1 pont, ha indokol) x=2 0 min. e2 ≈ 1, 85 4 2<x + (2 pont) ↑ ex (x2 − 4x + 6) (1 pont) x4 x<0 x=0 0<x + × + ∪ × ∪ V. f ”(x) = x f ”(x) f (x) (2 pont) VI. (1 pont) VII. Rf =]0; ∞[ (1 pont) összesen 10 pont Tankör zárthelyi dolgozat javı́tókulcs Informatika I. 2001 dec 7 B csoport x+1 − 2x − 8 a) Adja meg az f függvény értelmezési tartományát! Hol folytonos a függvény? b) Határozza meg a szakadási helyeknél a jobb és baloldali határértékeket! c) Írja fel az f függvény deriváltfüggvényét! M.: a) Df = R {−2; 4} Értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim+ f (x) = +∞, lim− f (x) = −∞, lim + f (x) = +∞, lim − f (x) = −∞ b) x4 x4 x−2 x−2 2 −x − 2x − 6 c) f 0 (x) = (x2 − 2x − 8)2 1. f (x) = x2 2 pont 2 pont 3 pont 2. a) Adja meg az y = 2 arccos(x + 4) függvény értelmezési

tartományát és 2 pont értékkészletét! b) Határozza meg a fenti függvény ȳ-sal jelölt inverz függvényét! 2 pont M.: a) D = [−5; −3], R = [0; 2π] x b) ȳ = −4 + cos 2 √ √ 3x + 10 − x + 14 3. Határozza meg a lim határértéket! 4 pont x2 sin (x − 2) 1 M.: 4 4. Differenciálja a következő függvényeket: 2x2 + 2x cos x 3 pont a) f (x) = x 2e3x ¡ ¢ −e b) f (x) = ln (x + sin x) (arc tg x2 + sh 2x) 3 pont 3x x 2 3x x (4x + 2 cos x − 2x sin x)(2e − e ) − (2x + 2x cos x)(6e − e ) M.: a) f 0 (x) = (2e3x − ex )2 µ ¶ ¢ 2x (1 + cos x)(arc tg x2 + sh 2x) ¡ 0 b) f (x) = + ln(x + sin x) + 2 ch 2x x + sin x 1 + x4 5. Írja fel az y = 3x − x3 görbe x0 = 2 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének 4 pont egyenletét! M.: y = −9x + 16 6. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = 1 x2 ex 10 pont függvényen! M.: I Df = R {0} zérushely nincs II. nem páros, nem páratlan (lásd a

helyetesı́tési értéket pl x = 1-ben és x = −1ben), nem periódikus (1 szakadási hely van) (1 pont) III. Értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim f (x) = 0 x+∞ lim f (x) = +∞ lim f (x) = +∞ (1 pont, ha indokol) x−∞ x0 −x − 2 (1 pont) IV. f 0 (x) = x3 ex x x < −2 x = −2 −2 < x < 0 x = 0 0 < x f 0 (x) − 0 + × − min. f (x) ↓ ↑ × ↓ e2 ≈ 1, 85 4 (2 pont) ex (x2 − 4x + 6) (1 pont) x4 x<0 x=0 0<x + × + ∪ × ∪ V. f ”(x) = x f ”(x) f (x) (2 pont) VI. (1 pont) VII. Rf =]0; ∞[ (1 pont) összesen 10 pont Tankör zárthelyi dolgozat javı́tókulcs Informatika I. 2001 dec 7 A 2. zh javı́tása 2x − 1 − 3x − 4 a) Adja meg az f függvény értelmezési tartományát! Hol folytonos a függvény? b) Határozza meg a szakadási helyeknél a jobb és baloldali határértékeket! c) Írja fel az f függvény deriváltfüggvényét! M.: a) Df = R {−1;

4} Értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim+ f (x) = +∞, lim− f (x) = −∞, lim + f (x) = +∞, lim − f (x) = −∞ b) x4 x4 x−1 x−1 2 −2x + 2x − 11 c) f 0 (x) = (x2 − 3x − 4)2 1. f (x) = x2 2 pont 2 pont 3 pont 2. a) Adja meg az y = 2 arc tg(x + 1) − 2 függvény értelmezési tartományát és 2 pont értékkészletét! b) Határozza meg a fenti függvény ȳ-sal jelölt inverz függvényét! 2 pont M.: a) D = R, R = ]−π − 2; π − 2[ x+2 b) ȳ = tg −1 2 tg(x + 1) arcsin x határértéket! 3. Határozza meg a lim 4 pont x−1 x2 − 1 π M.: 4 4. Differenciálja a következő függvényeket: xex − sin x a) f (x) = 3 pont (x2 + 1)2 ¡ ¢ b) f (x) = 2x + ln (ex + 1) (sin x + 3 arccos 2x) 3 pont x x 2 x (e + xe − cos x)(x + 1) − 4x(xe − sin x) M.: a) f 0 (x) = (x2 + 1)3 ¶ µ ¡ ¢ 3ex + 2 6 x 0 cos x − √ b) f (x) = x (sin x + 3 arccos 2x) + 2x + ln (e + 1) e +1 1 − 4x2 5. Írja fel

az y = x2 − x görbe x0 = 2 abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének 4 pont egyenletét! M.: y = 3x − 4 6. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = x2 ln x függvényen! M.: I Df = ]0; +∞[, zérushely x = 1 II. nem páros, nem páratlan, nem periódikus (lásd az értelmezési tartományt) pont) III. Értelmezési tartományának minden pontjában folytonos lim f (x) = +∞ lim+ f (x) = 0 (1 pont, ha indokol) x+∞ 0 x0 IV. f (x) = x (2 ln x + 1) x 0 < x < √1e f 0 (x) − f (x) ↓ V. f ”(x) = 2 ln x + 3 x x< √1 e3 f ”(x) − f (x) ∩ (1 pont) x = √1e 1 − 2e √1 e 0 min. ≈ −0, 184 10 pont (1 <x + (2 pont) ↑ (1 pont) x= − 2e33 √1 e3 0 infl. ≈ −0, 075 √1 e3 <x + ∪ (2 pont) VI. (1 pont) VII. Rf =] − 1 ; ∞[ 2e (1 pont) összesen 10 pont Zárthelyi dolgozat Informatika I. 2001 okt 19 1.) M.: 2.) M.: 3.) Javı́tókulcs A Adottak az A(4;

−1; 2), B(3; 2; −1), C(5; 4; −2) és D(0; −5; −7) pontok. a) Írja fel az ABC sı́k egyenletét! 2−y 1−z x+3 = = egyenes merőleges az ABC sı́kra! b) Igazolja, hogy az e : 3 7 8 c) Mutassa meg, hogy a D pont rajta van az e egyenesen! d) Számı́tsa ki az ABCD tetraéder térfogatát! − − −− a) AB(−1; 3; −3), AC(1; 5; −4), AD(−4; −4; −9) − − AB × AC = 3i − 7j − 8k [ABC] : 3x − 7y − 8z = 3 b) A sı́k n(3; −7; −8) normálvektora az egyenes irányvektora is. c) D koordinátái kielégı́tik e egyenletrendszerét. −−−− d) AB AC AD = 88 2 88 = 14 V = 6 3 Összesen: √ π z1 = 4 − 2j, |z3 | = 2 + 4 3, arg z3 = 2 a) A z2 komplex számot ábrázoló vektor a z1 vektorából 90◦ -os forgatással és λ = 2 arányú nyújtással állı́tható elő. Írja fel z2 konjugáltját algebrai alakban! z3 b) Számı́tsa ki z1 · z3 és értékét algebrai alakban! z1 c) Írja fel z4 = z1 + z3

értékét trigonometrikus és exponenciális alakban és számolja √ ki 3 z4 értékeit trigonometrikus alakban! a) z̄2 = 4 − 8j√ b) z3 = (2 + 4√ 3j) √ z1 · z3 = 4 + √ 8 3 + (8 + √ 16 3)j 1+2 3 2+4 3 z3 =− + j z1 5√ 5 c) z4 = 4 + 4 3j z4 = 8(cos 60◦ + j sin 60◦ ) π z4 = 8ej ¡3 ¢ √ 3 z = 2 cos(20◦ + k · 120◦ ) + j sin(20◦ + k · 120◦ ) k ∈ {0; 1; 2} 4 Összesen: Válaszolja meg a következő kérdéseket és indokolja is válaszait! a) Hogyan döntené el három nem egy sı́kba eső a, b, c vektorról, hogy ebben a sorrendben jobbrendszert vagy balrendszert alkotnak? (a b c előjeléből.) b) Mit ért azon, hogy az (an ) sorozat szigorúan monoton csökkenő? c) Lehet-e a c vektor az a és b lineáris kombinációja, ha a b c = −5 (Nem, mert nincs a és b sı́kjában.) d) Merőleges-e egymásra az a(2; −1; −1) és b(3; 5; 1) vektor? (Igen) e) Mit tudunk mondani két +∞-be divergáló sorozat

összegéről, illetve különbségéről? (Ugyancsak a +∞-be divergál, ill. semmit) f) Számı́tsa ki j 2001 értékét! (j) g) Adja meg a z = 3(cos 50◦ +j sin 50◦ ) komplex szám konjugáltját trigonometrikus alakban! (z̄ = 3(cos 310◦ + j sin 310◦ )) Összesen: 1 3 1 2 2 1 pont pont pont pont pont pont 1 pont 11 pont 2 pont 2 pont 3 pont 3 pont 1 pont 2 pont 1 pont 2 pont 15 pont 1 pont 1 pont 2 pont 1 pont 2 pont 1 pont 1 pont 9 pont Zárthelyi dolgozat Informatika I. 2001 okt 19 1.) M.: 2.) M.: 3.) Javı́tókulcs B Adottak az A(4; −1; 2), B(3; 2; −1), C(5; 4; −2) és D(0; −5; −7) pontok. a) Írja fel az BCD sı́k egyenletét! b) Igazolja, hogy az AB egyenes nem merőleges a BCD sı́kra! c) Mutassa meg, hogy a P (9; 8; −4) pont rajta van az BC egyenesen! d) Számı́tsa ki az ABCD tetraéder térfogatát! − −− −− a) BA(1; −3; 3), BC(2; 2; −1), BD(−3; −7; −6) −− −− BC × BD = −19i +

15j − 8k [BCD] : −19x + 15y − 8z = −19 − b) A sı́k n(−19; 15; −8) normálvektora nem párhuzamos a BA vektorral, hiszen −19 6= −5. − −− −− c) OP = OB + 3BC koordinátái kielégı́tik e egyenletrendszerét. −−−−− d) BC BABD = 88 88 2 = 14 V = 6 3 Összesen: 1 3 1 2 pont pont pont pont 2 pont 1 pont 1 pont 11 pont z1 = 6(cos 150◦ − j sin 150◦ ), z3 = 1 + 4j a) Írja fel z1 trigonometrikus és algebrai alakját! b) Adja meg annak a z2 komplex számnak mindhárom alakját, melynek vektora a z1 vektorának −90◦ -os elforgatásával és λ = 4, 5 arányú nagyı́tásával adódik! z1 c) Számı́tsa ki z1 · z3 és értékét algebrai alakban! z3 √ d) Adja meg 3 z2 értékeit trigonometrikus alakban! ◦ ◦ a) z1 = 6(cos √ 210 + j sin 210 ) z1 = −3 3 − 3j b) z2 = 27(cos 120◦ + j sin 120◦ ) 2π z2 = 27ej 3 √ 27 27 3 j z2 = − + 2 2 √ √ − (12 3 + 3)j c) z1 · z3 √ = −3 3 + 12√ −3

3 − 12 12 3 − 3 z1 = + j z3 √ 17 17 ¡ ¢ d) 3 z2 = 3 cos(40◦ + k · 120◦ ) + j sin(40◦ + k · 120◦ ) k ∈ {0; 1; 2} Összesen: Válaszolja meg a következő kérdéseket és indokolja is válaszait! a) Hogyan döntené el négy pontról, hogy egy sı́kba esnek-e? (Egyikükből a másik háromba mutató vektorok vegyesszorzatával.) b) Mit ért azon, hogy az (an ) sorozat alulról korlátos, de nem korlátos? c) c = 2a − 3b Határozza meg a b c értékét! (0, mert a vektorok egy sı́kba esnek.) d) Mi a kapcsolat j és i × k között, ha i, j, k a bázisegységvektorok? (i × k = −j) e) Mit mondhatunk két konvergens sorozat szorzatáról, illetve hányadosáról? (Szorzatuk is konvergens, határértéke . Hányadosukról ez csak akkor mondható, ha az osztó sorozat határértéke nem 0) f) Számı́tsa ki j 1999 értékét! (−j) g) Adja meg a z komplex szám algebrai alakját, ha |z| = 3 és arg z = 45◦

! (z = 3 3 √ + √ j) 2 2 2 2 1 1 pont pont pont pont 2 pont 2 pont 3 pont 2 pont 15 pont 1 pont 1 2 1 2 pont pont pont pont 1 pont 1 pont Zárthelyi dolgozat Informatika I. 2001 dec 14 1.) M.: 2.) M.: Javı́tókulcs P Adottak az A(4; −1; 2), B(3; 2; −1), C(5; 4; −2) és D(0; −5; −7) pontok. a) Írja fel az ACD sı́k egyenletét! b) Igazolja, hogy az AB egyenes nem merőleges a ACD sı́kra! c) Mutassa meg, hogy a P (0; 11; −10) pont rajta van az AB egyenesen! d) Számı́tsa ki az ABCD tetraéder térfogatát! − − −− a) AB(−1; 3; −3), AC(1; 5; −4), AD(−4; −4; −9) − −− AC × AD = −61i + 25j + 16k [ACD] : −61x + 25y + 16z = −237 − b) A sı́k n(−61; 25; 16) normálvektora nem párhuzamos a BA vektorral, hiszen 25 61 6= − . − 3 − − c) OP = OA + 4AB −−−− d) AB AC AD = 88 88 2 = 14 V = 6 3 Összesen: 1 3 1 2 pont pont pont pont 2 pont 1 pont 1 pont 11 pont z1 = 6(cos 300◦ − j sin 300◦

), z3 = 1 + 4j a) Írja fel z1 trigonometrikus és algebrai alakját! b) Adja meg annak a z2 komplex számnak mindhárom alakját, melynek vektora a 4 z1 vektorának 90◦ -os elforgatásával és λ = arányú nagyı́tásával adódik! 3 z1 c) Számı́tsa ki z1 · z3 és értékét algebrai alakban! z3 √ d) Adja meg 3 z2 értékeit trigonometrikus alakban! ◦ ◦ a) z1 = 6(cos √ 60 + j sin 60 ) z1 = 3 + 3 3j b) z2 = 8(cos 150◦ + j sin 150◦ ) 5π 6 z2 = 8ej √ 8 3 + 4j z2 = − 2 √ √ 3 + (12 + 3 3)j c) z1 · z3 = 3√− 12 √ 3 + 12 3 3 3 − 12 z1 = + j z3 √ 17¡ 17 ¢ d) 3 z2 = 2 cos(50◦ + k · 120◦ ) + j sin(50◦ + k · 120◦ ) k ∈ {0; 1; 2} Összesen: 2 2 1 1 pont pont pont pont 2 pont 2 pont 3 pont 2 pont 15 pont 3.) Válaszolja meg a következő kérdéseket és indokolja is válaszait! a) Hogyan döntené el három pontról, hogy egy egyenesre esnek-e? (Két-két pont által meghatározott vektorok

párhuzamosak-e?) b) Lehetséges-e, hogy az (an ) sorozat konvergens, de nem korlátos? c) Lehet-e, hogy a b c = 0 és a b (b − c) = 1? (Nem, mert ha a, b és c egy sı́kbe esnek, akkor ugyanebben a sı́kban van b − c is.) d) Milyen szöget zár be egymással j × k és i × k, ha i, j, k a bázisegységvektorok? (Derékszöget) e) Mit mondhatunk két monoton növekedő sorozat összegéről, illetve különbségéről? (Összegük is monoton növekedő, különbségükről semmi nem mondható.) 1 f) Számı́tsa ki 79 értékét! (j) j g) Adja meg a z komplex szám exponenciális alakját, ha |z| = 5 és arg z = 225◦ ! 5π (z = 5e 4 j) Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont 1 pont 2 pont 1 pont 1 pont 9 pont Évfolyam zárthelyi dolgozat Informatika I. 2002 márc 20 Név: Tankör: Pontszám: A csoport 1. 2. 3. 4. 5. Határozza meg a következő integrálokat: π Z ¢ R2 ¡ 3 sin x − cos x + 1 a) sin x − 2 sin x

cos x dx dx b) 2 cos x − sin x − 2 0 Határozza meg az y = xex egyenletű görbe és az x-tengely közé zárt területet az [1; 2] intervallumban! Határozza meg az f függvény görbéjének x tengely körüli megforgatásával nyert x ha x < 1 forgástest térfogatát, ha f : [0; 2] R; f (x) = 1  ha 1 ≤ x x Számı́tsa ki a következő improprius integrálok értékét: ¶ Z2 Z+∞µ 1 1 + e−x − e−2x dx b) dx a) 2 x x−2 1 1 √ x Határozza meg az y 0 + y = 1 + x2 differenciálegyenlet y(0) = 2 kezdeti 1 + x2 feltételhez tartozó partikuláris megoldását! 9 pont 5 pont 6 pont 8 pont 7 pont Évfolyam zárthelyi dolgozat Informatika I. 2002 márc 20 Név: Tankör: Pontszám: B csoport 1. 2. 3. 4. Határozza meg a következő integrálokat: π Z ¢ R4 ¡ 2 2 sin x − cos x + 1 a) sin x + 3 sin x cos x dx dx b) 2 cos x + sin x − 2 0 Határozza meg az y = ln x egyenletű görbe és az

x-tengely közé zárt területet az [e; e2 ] intervallumban! Határozza meg az f függvény görbéjének x tengely( körüli megforgatásával nyert x2 ha x < 1 forgástest térfogatát, ha f : [0; 2] R; f (x) = 2 − x ha 1 ≤ x Számı́tsa ki a következő improprius integrálok értékét: ¶ Z2 Z+∞µ 1 1 −x −2x dx b) √ a) 2e + e + 2 dx x 2−x 1 5. 9 pont 5 pont 6 pont 8 pont 1 esin x Határozza meg az y 0 − y cos x = 2 differenciálegyenlet y(0) = 3 kezdeti x +1 feltételhez tartozó partikuláris megoldását! 7 pont Évfolyam zárthelyi dolgozat javı́tása Név: Informatika I. 2002 máj 15 Tankör: Pontszám: Az 1. évfolyam zh javı́tása 1. 2. 3. 4. 5. Határozza meg a következő integrálokat: π Z ¢ R4 ¡ sin x − 2 cos x + 2 3 a) 2 sin x − sin x cos x dx dx b) cos x − 2 sin x − 1 0 Határozza meg y = sin x + 2 cos x egyenletű görbe és az x-tengely közé zárt h az πi

intervallumban! területet az 0; 2 Határozza meg az f függvény görbéjének x tengely körüli ( megforgatásával nyert x2 ha x < 0 forgástest térfogatát, ha f : [−1; 1] R; f (x) = 1 − x ha 0 ≤ x Számı́tsa ki a következő improprius integrálok értékét: ¶ Z2 Z−2µ 1 1 dx b) √ a) ex + 2 dx x 2−x −∞ ¡ 02 ¢ 0 Oldja meg az y + y sin x cos x = sin2 x cos x differenciálegyenlet az állandóvariálás módszerével! 9 pont 5 pont 6 pont 8 pont 7 pont Évfolyam zárthelyi dolgozat javı́tókulcs Informatika I. 2002 márc 20 A csoport 1. Határozza meg a következő integrálokat: π Z ¢ R2 ¡ 3 sin x − cos x + 1 sin x − 2 sin x cos x dx dx a) b) 2 cos x − sin x − 2 0 π π ¸2 · 4 ¢ R2 ¡ 3 3 sin x 2 − sin x = − sin x − 2 sin x cos x dx = M.: a) 4 0 0 Z 4 Z 2(1 + t) sin x − cos x + 1 dx = − b) dt = 2) 2 (1 cos x − sin x − 2 + 2t)(1 + t µ ¶ Z 4 6 6 2t 2 = − − + dt = − ln |1 +

2t|− arc tg t+ 2 2 5(1 + 2t) 5(1 + t ) 5(1 + t ) 5 5 ´ ¢ 1 ³ x ¯¯ 3 1 ¡ 2 ¯¯ 2 2 x +C + ln 1 + t + C = − ln ¯1 + 2 tg ¯ − x + ln 1 + tg 5 5 2 5 5 2 x 2. Határozza meg az y = xe egyenletű görbe és az x-tengely közé zárt területet az [1; 2] intervallumban! R2 R2 M.: T = xex dx = [xex ]21 − ex dx = [xex − ex ]21 = 2e2 − e2 − e + e = e2 3 pont 6 pont 5 pont 1 1 3. Határozza meg az f függvény görbéjének x tengely körüli  megforgatásával x ha x < 1 nyert forgástest térfogatát, ha f : [0; 2] R; f (x) = 1  ha 1 ≤ x x · 3 ¸1 · ¸2 µ ¶ Z2 R1 2 x 1 1 1 5π 1 +π − =π dx = π − +1 = M.: V = π x dx + π 2 x 3 0 x 1 3 2 6 0 6 pont 1 4. Számı́tsa ki a következő improprius integrálok értékét: ¶ Z2 Z+∞µ 1 1 −x −2x + e − e dx b) dx a) x2 x−2 1 M.: Z+∞µ ¶ 1 1 ¶ Zωµ 1 1 −x −2x −x −2x 4 pont +e −e dx = lim +e −e dx = a) ω+∞ x2 x2 1 1 ¸ω ¶ · µ

e−2x e−2ω 1 1 1 1 −x −ω = lim − − e + +1+ − 2 = = lim − − e + ω+∞ x 2 1 ω+∞ ω 2 e 2e 1 1 =1+ − 2 e 2e Z2 Z2−ε 1 1 dx = lim+ dx = lim+ [ln (2 − x)]2−ε b) = lim+ ln ε = −∞ 4 pont 1 ε0 ε0 ε0 x−2 x−2 (divergens) 5. Határozza meg az y 0 + M.: 1 √ x y = 1 + x2 differenciálegyenlet y(0) = 2 kezdeti 2 1+x feltételhez tartozó partikuláris megoldását! R x C 1 2 dx − A homogén egyenlet megoldása: Y = Ce 1+x2 = Ce− 2 ln(1+x ) = √ 1 + x2 0 k(x) k (x) x · k(x) yp = √ yp0 = √ −p 1 + x2 1 + x2 (1 + x2 )3 Behelyettesı́tve a differenciálegyenletbe és rendezve:µ k 0 (x) = 1 ¶ + x2 , azaz 3 3 x 1 x +x+C k(x) = x + , az általános megoldás: y = √ 3 1 + x2 3 µ 3 ¶ x 1 +x+2 x = 0 és y = 2 behelyettesı́tésével C = 2 adódik, y0 = √ 1 + x2 3 2 pont 2 pont 3 pont Évfolyam zárthelyi dolgozat javı́tókulcs Informatika I. 2002 márc 20 B csoport 1. Határozza meg a következő

integrálokat: π Z ¢ R4 ¡ 2 2 sin x − cos x + 1 sin x + 3 sin x cos x dx dx a) b) 2 cos x + sin x − 2 0 π √ π ¸ · 3 ¢ R4 ¡ 2 9+ 2 sin x 3 sin2 x 4 + = M.: a) sin x + 3 sin x cos x dx = 3 2 12 0 0 Z Z 2 sin x − cos x + 1 t+2 dx = 2 dt = b) 2Zcos (1 − 2t)(1 + t2 ) µx + sin x − 2 ¶ t 2 dt = ln(1 + t2 ) − 2 ln |2t − 1| + C = =2 − 2 1 2t − 1 + t ¯ ¯ ³ x x´ ¯ ¯ − 2 ln ¯2 tg − 1¯ + C = ln 1 + tg2 2 2 2. Határozza meg az y = ln x egyenletű görbe és az x-tengely közé zárt területet az [e; e2 ] intervallumban! Re2 Re2 2 e2 M.: T = ln x dx = [x ln x]e − dx = [x ln x − x]ee = e2 3 pont 6 pont 5 pont 5 pont e e 3. Határozza meg az f függvény görbéjének x tengely körüli megforgatásával ( 2 x ha x < 1 nyert forgástest térfogatát, ha f : [0; 2] R; f (x) = 2 − x ha 1 ≤ x · ¸2 · 5 ¸1 1 2 R 4 R x3 8π x 2 2 + π 4x − 2x + = 6 pont M.: V = π x dx + π (2 − x) dx = π 5 0 3 1 15 0 1 4.

Számı́tsa ki a következő improprius integrálok értékét: ¶ Z2 Z+∞µ 1 1 −x −2x dx b) √ a) 2e + e + 2 dx x 2−x 1 1 ¶ ¶ Z+∞µ Zωµ 1 1 −x −2x −x −2x M.: a) 4 pont 2e + e + 2 dx = lim 2e + e + 2 dx = ω+∞ x x 1 1 ¸ω · µ ¶ −2x 1 1 2 1 e−2ω e −ω −x = lim −2e − − − + + 2 +1 = = lim −2e − ω+∞ 2 x 1 ω+∞ 2 ω e e 1 2 = + 2 +1 e e Z2 Z2−ε ¤2−ε £ √ √ 1 1 dx = lim+ √ dx = lim+ −2 2 − x 1 = lim+ (−2 ε + 4 pont b) √ ε0 ε0 ε0 2−x 2−x 1 2) = 2 1 esin x differenciálegyenlet y(0) = 3 kezdeti x2 + 1 feltételhez tartozó partikuláris megoldását! R A homogén egyenlet megoldása: Y = Ce cos x dx = Cesin x yp = k(x) · esin x yp0 = k 0 (x) · esin x + k(x) · esin x · cos x 1 Behelyettesı́tve a differenciálegyenletbe és rendezve: k 0 (x) = , azaz 1 + x2 k(x) = arc tg x, az általános megoldás: y = esin x (arc tg x + C) x = 0 és y = 3 behelyettesı́tésével C = 3 adódik,

y0 = esin x (arc tg x + 3) 5. Határozza meg az y 0 − y cos x = M.: 2 pont 2 pont 3 pont Évfolyam zárthelyi dolgozat javı́tókulcs Informatika I. 2002 máj 15 1. zh javı́tása 1. Határozza meg a következő integrálokat: π Z ¢ R4 ¡ sin x − 2 cos x + 2 3 2 sin x − sin x cos x dx dx 9 pont a) b) cos x − 2 sin x − 1 0 π π ¸ · 4 ¢ R4 ¡ 1 1 1 sin x sin2 x 4 3 − 3 pont 2 sin x − sin x cos x dx = = − =− M.: a) 2 2 8 4 8 0 0 Z Z −4t − 2 sin x − 2 cos x + 2 6 pont dx = dt = b) (t ¶ + 2)(1 + t2 ) µ x − 2 sin x − 1 Z cos 3 3 3t 5 5 2 ln(1 arc tg t + C= = + 2| − − + dt =3 ln |t + t ) + t + 2 1 + t2 2(1 + t2 ) 2 2 ¯ x ¯ 3 ³ x´ 5 ¯ ¯ + x+C = 3 ln ¯tg + 2¯ − ln 1 + tg2 2 2 2 4 2. Határozza meg y = sin x + 2 cos x egyenletű görbe és az x-tengely közé zárt 5 pont i h az π intervallumban! területet az 0; 2 π π R2 M.: T = (sin x + 2 cos x) dx = [− cos x + 2 sin x]02 = 3 5 pont 0 3. Határozza meg az f

függvény görbéjének x tengely körüli ( megforgatásával x2 ha x < 0 nyert forgástest térfogatát, ha f : [−1; 1] R; f (x) = 1 − x ha 0 ≤ x 1 ¸ · ¸1 · Z 0 R0 4 (1 − x)3 x5 2 + π − = M.: V = π x dx + π (1 − x) dx = π 5 −1 3 −1 0 0 ¶ µ 8π 1 1 + = =π 5 3 15 4. Számı́tsa ki a következő improprius integrálok értékét: ¶ Z2 Z−2µ 1 1 x dx b) √ a) e + 2 dx x 2−x −∞ Z−2µ M.: a) 1 e + 2 x 0 ¶ x Z−2µ 1 e + 2 x x dx = lim ω−∞ ω −∞ Z2 ¶ ¸−2 · 1 1 1 x dx = lim e − = 2+ ω−∞ x ω e 2 Z2−ε √ ¤2−ε £ √ 1 1 dx = lim √ dx = lim −2 2 − x 0 = 2 2 b) √ ε0 ε0 2−x 2−x 0 0 ¡ ¢ 5. Oldja meg az y 0 + y sin2 x cos x = sin2 x cos x differenciálegyenlet az állandóvariálás módszerével! M.: A homogén egyenlet megoldása: Y = Ce− 3 − sin3 x yp = k(x)e yp0 = k 0 (x)e 3 − sin3 x R sin2 x cos x dx 3 − sin3 x − k(x)e = Ce− sin3 x 3 azaz

k(x) = e sin3 x 3 , az általános megoldás: y = Ce 3x − sin3 +1 6 pont 8 pont 4 pont 4 pont 7 pont 2 pont sin2 x cos x Behelyettesı́tve a differenciálegyenletbe és rendezve: k 0 (x) = e 6 pont 2 pont sin3 x 3 2 sin x cos x, 3 pont Analízis zárthelyi dolgozat javítókulcs Informatika I. 2002 dec 13 Pót 1. √
π √ a) Adottak a z1 = 3 − j és z2 = −8 cos π6 + j sin π6 és z3 = 4e 6 j komplex számok. Számítsa ki a 3 z1 · z2 · z3 20 pont kifejezés értékeit mindhárom alakban és ábrázolja őket a komplex számsíkon! Megoldás: z1 = 2(cos 330◦ + j sin 330◦) (3 pont), z2 = 8(cos210◦ + j sin 210◦ ) (2 pont) z3 = 4(cos 30◦ + j sin 30◦ ) (2 pont), z1 · z2 · z3 = 64(cos210
◦ + j sin 210◦ ) (2 pont) √ u = 3 z1 · z2 · z3 = 4 cos(70◦ + k · 120◦) + j sin(70◦ + k · 120◦) k ∈ {0, 1, 2} (3 pont ) 7π 2kπ √ u = 3 z · z · z = 4e( 18 + 3 ) j k ∈ {0, 1, 2} (2 pont) 1 2 3 u0 ≈ 1, 368 + 3, 759 j, u1 ≈

−3, 939 − 0, 695 j, képzetes tengely u0 4 3 2 1 valós tengely PSfrag replacements -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 u1 -1 -2 -3 u2 -4 u2 ≈ 2, 571 − 3, 064 j (3 pont) (3 pont) b) Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon azokat a z komplex számokat, amelyekre teljesül a |z − 2 + j| < 3 összefüggés! 5 pont Megoldás: PSfrag replacements képzetes tengely u0 2 u1 5 valós tengely 2 u2 −1 −1 (5 pont) −4 c) A z1 és z2 komplex számok irányszögének különbsége 90◦ .  z1 Igazolja, hogy Re z2 = 0. (argz1 − argz2 = 90◦ ) 10 pont Megoldás: Trigonometrikus alakban z1 = r1 , z2 = r2 (cos ϕ + j sin ϕ). r1 z1 ◦ + j sin 90◦ ) = r1 · j, melynek valós része valóban 0. (10pont) = (cos 90 z2 r2 r2 cos (ϕ + 90◦) + 2. j sin (ϕ + 90◦)
a) Adja meg a numerikus sorozatok konvergenciájának egy szükséges feltételét! Megoldás: Ha a numerikus sorozat konvergens, akkor korlátos is. (3 pont) 3 pont b) Mit mondhatunk a következő sorozatokról

monotonitás és korlátosság szempontjából? (Állításait indokolja! Ha lehetséges adja meg a sorozat alsó-, illetve felső határát!) 3n 10 pont i) an = 2 n + 2n 3(n+1) 3n Megoldás: Szigorúan monoton csökken: an > an+1 ⇐⇒ n2 +2n > (n+1)2+2(n+1) ⇐⇒ 3n2 > 0 (4 pont) Felülről korlátos, sup{an } = a1 = 1 (2 pont) Alulról korlátos (tehát korlátos), inf{an } = 0 mert mert monoton csökkenve tart 0-hoz. (A nevez ő fokszáma magasabb.) (4 pont) √ n4 + 1 − n 2 √ Megoldás: an = n4 + 1 − n2 = √ ii) an = 12 pont 1 n4 +1+n2 (4 pont) Szigorúan monoton csökken, mert a számláló és a nevező is pozitív a számláló konstans és a nevező szigorúan monoton nő. (2 pont) √ Felülről korlátos, sup{an } = a1 = 2 − 1 (2 pont) Alulról is korlátos (tehát korlátos) inf{an } = 0, mert monoton csökkenve tart a 0-hoz. (4 pont) c) Számítsa ki a következő határértékeket! 2  n+1 !n−1 n+1   1 n + 2 n −1 1 = 1+ . lim

1 + = e, ezért ∃ν ∈ R, amelyre i) n∞ n+1 n+1 n+1 n+1  1 > 2, ha n > ν. Így az eredeti sorozat alulról becsülhető a 2n−1 sorozattal, amelynek 1+ n+1 2  n + 2 n −1 = ∞ (5 pont) határértéke végtelen, így lim n∞ n + 1  √ √ √ 6 − 8n 6n − 8 √ = q = 3 (5 pont) 3n2 + 6n − 3n2 + 8 = lim √ ii) lim q 2 2 n∞ 3n + 6n + n∞ 3n + 8 3 + 6n + 3 + n82 q √ 1 + n14 + 3n − n73 1 n6 + n2 + 3n2 − 7 = lim = (5 pont) iii) lim 2 n∞ n∞ 4n3 − 2 4 4 − n3 3. 3+2 pont a) Mikor nevezünk egy valós-valós függvényt párosnak, illetve páratlannak? Megoldás: Az f valós-valós függvényt párosnak nevezzük, ha ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is teljesül és ∀x ∈ D f esetén f (−x) = f (x). (3 pont) Az f valós-valós függvényt páratlannak nevezzük, ha ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is teljesül és ∀x ∈ D f esetén f (−x) = − f (x). (2 pont) b) Adjon meg egy függvényt, amely szigorúan monoton n ő a ]−∞,

0[, és a ]0, +∞[ intervallumokon, de nem 4 pont monoton. Megoldás: Pl.: f (x) = − 1x ( 2 ha |x| < 3, c) f (x) = 0 ha |x| ≥ 3 (4 pont) ( 1 g(x) = 0 grafikusan is.   0 ( f g) (x) = 2  0 ( f ◦ g)(x) = 2 ha 3 ≤ x ha 2 < x < 3 ha x ≤ 2 (5 pont) ha x > 2, . Adja meg az f g és f ◦ g függvényeket képlettel és ha x ≤ 2 16 pont 2 1 (5 pont) y (3 pont) x 1 2 3 4 2 1 -1 y x 1 2 3 4 5 (3 pont) Analízis zárthelyi dolgozat javítókulcs Informatika I. 2002 dec 13 Pót A javítókulcs csak az ellenőrzést szolgálja, és nem feltétlenül tartalmazza a megoldás teljes leírását. f (x) = 1. ( x 1 x−1 ha x ∈ ]−∞, 0[ , ha x ∈ ]0, +∞[ {1} a) Vázolja a függvény grafikonját. 6 pont b) Hol folytonos a függvény? Milyen típusú szakadási helyei vannak a függvénynek? 8 pont Megoldás: a) b) y 3 2 1 x -2 2 3 4 -2 -3 ∀x ∈ R {0; 1}-ben folytonos. 0-ban másodfajú szakadási helye (ugráshelye) van.

1-ben másodfajú szakadási helye (pólushelye) van. 2. Igaz-e, hogy ha f (a) = g(a) és ∀x ∈ [a, b] esetén f 0 (x) > g0 (x), akkor f (b) > g(b)? Válaszát indokolja! 12 pont Megoldás: Igaz. Legyen h = f −g Ekkor h(a) = f (a)−g(a) = 0 és ∀x ∈ [a, b] esetén h 0 (x) = f 0 (x)−g0 (x) > 0 A h függvény tehát szigorúan monoton növekedő [a, b]-n, ezért h(b) > 0. Tehát f (b) − g(b) > 0, azaz f (b) > g(b) 3. Adja meg az f (x) = tg(3x − 2) függvénynek egy olyan leszűkítését, amely invertálható, és határozza meg az 14 pont inverz függvényt. Megoldás:   − π2 < 3x − 2 < π2 ⇐⇒ 23 − π6 < x < 23 + π6 ezért az f függvény g : 32 − π6 , 32 + π6 R , g(x) = f (x) = tg(3x − 2) 2 π 2 π leszűkítése invertálható és inverze: ḡ : R 3 − 6 , 3 + 6 , ḡ(x) = 23 + 13 arctg x. 4. Számítsa ki a lim lnex−x+1 x −ex határértéket. 10 pont x1 Megoldás: 1 −1 − 12 x x x1 e x lim

lnx−x+1 ex −ex = lim ex −e = lim x1 x1 = − 1e . 5. Határozza meg az y = sh x görbe x0 = 1 pontjához tartozó érintő és normális egyenletét Megoldás: 2 −1 2 y0 = sh 1 = e−e2 = e 2e−1 , y0 = ch x =⇒ m = y0 |x=1 = ch1 = e 2e+1 , az érintő egyenlete y= e2 +1 2e 2 10 pont · x − 1e ≈ 1, 543x − 0, 368, a normális egyenlete y = − e22e+1 · x + e22e+1 + e 2e−1 ≈ −0, 648x + 1, 823. 6. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f (x) = Megoldás: I. D f = R, zh: x = 0 II. Páratlan, nem periodikus III. Folytonos, lim f (x) = 0 IV. V. VI. 3x x2 +9 függvényen. x±∞ 27−3x2 = (x2 +9)2 . A derivált zérushelyei x = ±3 3 −27x) f 00 (x) = 6(x . A második derivált zérushelyei (x2 +9)3 40 pont f 0 (x) x=0 f (x) f 0 (x) f 00 (x) infl. 0 + 0 x=3 0<x<3 1 2 + - x = 0 és x = ±3 3<x<3 max = 0, 5 0 - √ 3 1 √ 3. √ x=3 3 infl. √ 3 ≈ 0, 433 4 0 y ≈ 0, 433 -6 -4 -2 3 PSfrag replacements −0, 5 -1 

 VII. R f = − 12 , 12 ≈ 5, 196 x 6 √ 3 3<x + Név: Analízis zárthelyi dolgozat, Informatika I. 2002 okt 18 Tankör: Idő: ∑: ∑∗ : 80 perc (A vizsga eredményébe, illetve a vizsgárabocsájtás szempontjából a ∑ – a dolgozatra adható pontszám 15 %-a számít.) ∗ A 1. √ 3π a) Adottak a z1 = 2 2e 4 j és z2 = √ 3 1 − j komplex számok. Számítsa ki a 2 2 s 3 z21 kifejezés értékeit mindz2 három alakban és ábrázolja őket a komplex számsíkon! 20 pont b) Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon azokat a z komplex számokat, amelyekre teljesül a Re z + Im z > 1 össze5 pont függés! c) Igazolja, hogy ha z1 = a + b j és z2 = 2. a+b a+b + j, akkor |z1 | ≥ |z2 |. 2 2 a) Adja meg a numerikus sorozatok konvergenciájának egy elégséges feltételét! 10 pont 3 pont b) Mit mondhatunk a következő sorozatokról monotonitás és korlátosság szempontjából? (Állításait indokolja! Ha lehetséges adja meg a sorozat

alsó-, illetve felső határát!) √ n2 + 1 10 pont ii) an = n2 + 1 − n 12 pont i) an = n+2 c) Számítsa ki a következő határértékeket!    √ √ n + 3 3n−1 5 pont ii) lim n2 + 6n + 1− n2 + 2n − 2 i) lim n∞ n∞ n + 1 √ √ 3 n + 2 + 4n2 − 1 √ 5 pont iii) lim n∞ 3n n + n + 2 3. 5 pont a) Mikor nevezünk egy valós-valós függvényt monoton csökken őnek, illetve szigorúan monoton csökkenőnek? 3+2 pont b) Adjon meg egy függvényt, amelynek legkisebb felső korlátja 3, de nem korlátos! ( 1 ha x ≥ 3, c) f (x) = 0 ha x < 3 fikusan is. ( 4 g(x) = 2 4 pont ha x ≥ 1, . Adja meg az f g és f ◦ g függvényeket képlettel és graha x < 1 16 pont Név: Analízis zárthelyi dolgozat, Informatika I. 2002 okt 18 Tankör: Idő: ∑: ∑∗ : 80 perc (A vizsga eredményébe, illetve a vizsgárabocsájtás szempontjából a ∑ – a dolgozatra adható pontszám 15 %-a számít.) ∗ B 1. a) Adottak a z1 = q √ 7π 3 + j és z2 =

2e 18 j komplex számok. Számítsa ki a 4 z31 · z2 kifejezés értékeit mindhárom 20 pont alakban és ábrázolja őket a komplex számsíkon! b) Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon azokat a z komplex számokat, amelyekre teljesül a Re z − Imz ≤ −2 5 pont összefüggés! √ 2 |z1 | = |z2 |. 10 pont a) Adja meg a numerikus sorozatok konvergenciájának egy szükséges feltételét! 3 pont c) Igazolja, hogy ha z1 = a + b j és z2 = (a − b) + (a + b) j, akkor 2. b) Mit mondhatunk a következő sorozatokról monotonitás és korlátosság szempontjából? (Állításait indokolja! Ha lehetséges adja meg a sorozat alsó-, illetve felső határát!) √ n2 + 1 10 pont ii) an = 4n2 − 1 − 2n 12 pont i) an = 2 2n + 1 c) Számítsa ki a következő határértékeket!   n + 4 2n−1 5 pont i) lim n∞ n + 1 ii) lim n∞ n2 + 6n √ iii) lim √ n∞ n3 + 8 + n4 − n 3.  √ √ 2n2 + 5n − 2n2 + 3n 5 pont a) Mikor nevezünk egy valós-valós

függvényt párosnak, illetve páratlannak? b) Adjon meg egy függvényt, amelynek legkisebb pozitív periódusa 2. ( 2 c) f (x) = 0 grafikusan is. ha x ≥ 1, ha x < 1 5 pont 3+2 pont 4 pont ( 1 ha x > 4, g(x) = . Adja meg az f + g és f ◦ g függvényeket képlettel és 0 ha x ≤ 4 16 pont Analízis zárthelyi dolgozat javítókulcs Informatika I. 2002 okt 18 A 1. √ 3π a) Adottak a z1 = 2 2e 4 j és z2 = √ 3 1 − j komplex számok. Számítsa ki a 2 2 s 3 z21 kifejezés értékeit mindz2 három alakban és ábrázolja őket a komplex számsíkon! √ Megoldás: z1 = 2 2(cos 135◦ + j sin 135◦ ) (2 pont), z2 = cos 330◦ + j sin 330◦ (3 pont) z21 8(cos 270◦ + j sin 270◦) = 8(cos300◦ + j sin 300◦ ) (3 pont) = z2 s cos 330◦ + j sin 330◦ 2
3 z1 = 2 cos(100◦ + k · 120◦) + j sin(100◦ + k · 120◦) k ∈ {0, 1, 2} (4 pont ) u= z2 s 2 5π 2kπ 3 z1 = 2e( 9 + 3 ) j k ∈ {0, 1, 2} (2 pont) u= z2 u0 ≈ −0, 347 + 1, 97 j, u1 ≈

−1, 532 − 1, 286 j, u2 ≈ 1, 879 − 0, 684 j (3 pont) képzetes tengely 20 pont u0 2 1 valós tengely PSfrag replacements -2 -1 1 -1 (3 pont) 2 u2 u1 -2 b) Ábrázolja a Gauss-féle számsíkon azokat a z komplex számokat, amelyekre teljesül a Re z + Im z > 1 összefüggés! 5 pont Megoldás: képzetes tengely 1 valós tengely PSfrag replacements u0 u1 u2 (5 pont) 1 a+b a+b + j, akkor |z1 | ≥ |z2 |. 10 pont 2
2 2 2 2 Megoldás: |z1 | ≥ |z2 | ⇐⇒ a2 + b2 ≥ 2 a+b ⇐⇒ a2 + b2 ≥ a +2ab+b ⇐⇒ a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ⇐⇒ (a − 2 2 b)2 ≥ 0 (10pont) c) Igazolja, hogy ha z1 = a + b j és z2 = 2. a) Adja meg a numerikus sorozatok konvergenciájának egy elégséges feltételét! Megoldás: Ha a numerikus sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. (3 pont) 3 pont b) Mit mondhatunk a következő sorozatokról monotonitás és korlátosság szempontjából? (Állításait indokolja! Ha lehetséges adja meg a sorozat alsó-, illetve

felső határát!) n2 + 1 10 pont n+2 2 +1 2 (n+1) +1 Megoldás: Szigorúan monoton nő: an < an+1 ⇐⇒ nn+2 < n+3 ⇐⇒ 0 < n2 + 5n + 3 (4 pont) 2 Alulról korlátos, inf{an } = a1 = 3 (2 pont) Felülről nem korlátos (tehát nem korlátos), mert lim an = ∞ (a számláló magasabb fokú, mint a nevező) n∞ (4 pont) √ 12 pont ii) an = n2 + 1 − n √ 1 2 √ Megoldás: an = n + 1 − n = (4 pont) i) an = n2 +1+n Szigorúan monoton csökken, mert a számláló és a nevező is pozitív és a nevező szigorúan monoton nő. (2 pont) √ Felülről korlátos, sup{an } = a1 = 2 − 1 (2 pont) Alulról is korlátos (tehát korlátos) inf{an } = 0, mert monoton csökkenve tart a 0-hoz. (4 pont) c) Számítsa ki a következő határértékeket! 2(3n−1)  ! n+1  n+1 3n−1  2 n+3 1  = e6 i) lim = lim  1 + n+1 n∞ n + 1 n∞ 2 (5 pont)  √ √ 4 + 3n q =2 n2 + 6n + 1− n2 + 2n − 2 = lim q n∞ n∞ 1 + 6n + n12 + 1 + 2n − n22 q q √ √

1 2 4 1 + + 3 2 3 n + 2 + 4n − 1 1 n − n3 n √ = lim = (5 pont) iii) lim 2 n∞ n∞ 3n n + n + 2 3 3 + √1n + n √ n ii) lim 3. (5 pont) a) Mikor nevezünk egy valós-valós függvényt monoton csökken őnek, illetve szigorúan monoton csökkenőnek? 3+2 pont Megoldás: Az f valós-valós függvényt monoton csökkenőnek nevezzük, ha ∀x1 , x2 ∈ D f esetén ha x1 < x2 , akkor f (x1 ) ≥ f (x2 ). (3 pont) Az f valós-valós függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha ∀x1 , x2 ∈ D f esetén ha x1 < x2 , akkor f (x1 ) > f (x2 ). (2 pont) 4 pont b) Adjon meg egy függvényt, amelynek legkisebb felső korlátja 3, de nem korlátos! Megoldás: Pl.: f (x) = 3 − |x| vagy f (x) = 3 − x2 (4 pont) ( ( 1 ha x ≥ 3, 4 ha x ≥ 1, c) f (x) = g(x) = . Adja meg az f g és f ◦ g függvényeket képlettel és gra0 ha x < 3 2 ha x < 1 16 pont fikusan is. ( f g) (x) =  ( f ◦ g)(x) =  ha 3 ≤ x ha x < 3 4 0 1 0 ha 1 ≤

x ha x < 1 4 3 2 1 (5 pont) (5 pont) -2 -1 y 1 -2 -1 y (3 pont) x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x (3 pont) Analízis zárthelyi dolgozat javítókulcs Informatika I. 2002 okt 18 B 1. q √ 7π a) Adottak a z1 = 3 + j és z2 = 2e 18 j komplex számok. Számítsa ki a 4 z31 · z2 kifejezés értékeit mindhárom 20 pont alakban és ábrázolja őket a komplex számsíkon! Megoldás: z1 = 2(cos 30◦ + j sin 30◦ ) (3 pont), z2 = 2(cos70◦ + j sin 70◦ ) (2 pont) z31 · z2q= 8(cos90◦ + j sin 90◦) · 2(cos70◦ + j sin 70◦ ) = 16(cos160◦ + j sin 160◦ ) (3 pont)
u = 4 z31 · z2 = 2 cos(40◦ + k · 90◦) + j sin(40◦ + k · 90◦) k ∈ {0, 1, 2, 3} (4 pont ) q 2π kπ u = 4 z31 · z2 = 2e( 9 + 2 ) j k ∈ {0, 1, 2, 3} (2 pont) u0 ≈ 1, 532 + 1, 286 j, u1 ≈ −1, 286 + 1, 532 j, u2 ≈ −1, 532 − 1, 286 j u3 ≈ 1, 286 − 1, 532 j (3 pont) képzetes tengely 2 u1 u0 1 valós tengely PSfrag replacements -2 -1 1 (3 pont) 2 -1 u2 u3 -2 b) Ábrázolja

a Gauss-féle számsíkon azokat a z komplex számokat, amelyekre teljesül a Re z − Imz ≤ −2 összefüggés! 5 pont Megoldás: képzetes tengely PSfrag replacements u0 u1 u2 u3 2 (5 pont) 1 valós tengely −2 2. −1 1 √ c) Igazolja, hogy ha z1 = a + b j és z2 = (a − b) + (a + b) j, akkor 2 |z1 | = |z2 |. p √ √ √ √ Megoldás: |z2 | = (a − b)2 + (a + b)2 = 2a2 + 2b2 = 2 · a2 + b2 = 2 |z1 | (10pont) a) Adja meg a numerikus sorozatok konvergenciájának egy szükséges feltételét! Megoldás: Ha a numerikus sorozat konvergens, akkor korlátos is. (3 pont) 10 pont 3 pont b) Mit mondhatunk a következő sorozatokról monotonitás és korlátosság szempontjából? (Állításait indokolja! Ha lehetséges adja meg a sorozat alsó-, illetve felső határát!) n2 + 1 2n2 + 1 Megoldás: Szigorúan monoton csökken: an > an+1 ⇐⇒ i) an = 10 pont n2 +1 2n2 +1 > (n+1)2 +1 2(n+1)2 +1 2 3 ⇐⇒ 2n + 1 > 0 (4 pont) (2 pont) Felülről

korlátos, sup{an } = a1 = Felülről korlátos (tehát korlátos), inf{an } = 12 mert mert monoton csökkenve tart 12 -hez. (Azonos a számláló és a nevező fokszáma és a főegyütthatók hányadosa 12 ) (4 pont) √ 12 pont ii) an = 4n2 − 1 − 2n √ −1 2 √ Megoldás: an = 4n − 1 − 2n = (4 pont) 4n2 −1+2n Szigorúan monoton nő, mert a számláló negatív, a nevező pozitív és a nevező szigorúan monoton nő. (2 pont) √ Alulról korlátos, inf{an } = a1 = 3 − 2 (2 pont) Felülről is korlátos (tehát korlátos) sup{an } = 0, mert monoton növekedve tart a 0-hoz. (4 pont) c) Számítsa ki a következő határértékeket! 3(2n−1)  ! n+1  n+1   3 n + 4 2n−1 1  = e6 (5 pont) = lim  1 + n+1 i) lim n∞ n∞ n + 1 3  √ √ 1 2 q 2n2 + 5n − 2n2 + 3n = lim q = √ ii) lim (5 pont) n∞ n∞ 2 2 + 5n + 2 + 3n 1 + 6n n2 + 6n q √ =1 = lim q iii) lim √ n∞ n3 + 8 + n4 − n n∞ 1 + 84 + 1 − 13 n n n 3. (5 pont) 3+2 pont a)

Mikor nevezünk egy valós-valós függvényt párosnak, illetve páratlannak? Megoldás: Az f valós-valós függvényt párosnak nevezzük, ha ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is teljesül és ∀x ∈ D f esetén f (−x) = f (x). (3 pont) Az f valós-valós függvényt páratlannak nevezzük, ha ∀x ∈ D f esetén (−x) ∈ D f is teljesül és ∀x ∈ D f esetén f (−x) = − f (x). (2 pont) 4 pont b) Adjon meg egy függvényt, amelynek legkisebb pozitív periódusa 2. Megoldás: Pl.: f (x) = sin(πx) (4 pont) ( ( 2 ha x ≥ 1, 1 ha x > 4, c) f (x) = g(x) = . Adja meg az f + g és f ◦ g függvényeket képlettel és 0 ha x < 1 0 ha x ≤ 4 16 pont grafikusan is.   3 2 ( f + g)(x) =  0 ( f ◦ g)(x) =  2 0 ha 4 < x ha 1 ≤ x ≤ 4 ha x < 1 3 2 1 (5 pont) -1 ha 4 < x ha x ≤ 4 (5 pont) 2 1 -1 y (3 pont) x 1 2 3 4 5 y x 1 2 3 4 5 (3 pont) 1. Analízis zh. javítókulcs 2003. márc 14 A csoport     3   3 Z
R 2 x3 x2 x x

+ x ln x − + 1 dx = + x ln x − − x + C a) x + 1 ln x dx = 3 3 3 9 b) R1 0 2. 1 R1  x · e2−x dx = −xe2−x 0 + e2−x dx = e2 − 2e 5 pont 0 Z √   Z Z  Z  2t 2 8 1 1 x+7 dx = dt = 2 + dt = 2 1 + − dt = x+3 t2 − 4 t2 − 4 t −2 t +2 √     √ t −2 x+ 7− 2 = 2 t + ln +C = 2 x + 7 + ln √ +C t +2 x+ 7+ 2  Z1 x Ze Ze  e +3 t +3 3 3t 1 b) dx = dt = − + dt = e2x + 1 (t 2 + 1) · t t t2 + 1 t2 + 1 0  1 1e

3 3 3 π 2 = 3 ln |t| − ln t + 1 + arctgt = 3 − ln e2 + 1 + arctge + ln 2 − ≈ 1, 28 2 2 2 4 1 a) 3. Rπ T = (sin x − cosx) dx = 1 + 5 pont 4. 5 pont π 4 V =π R0 −4 5. 5 pont a) Z∞ b) Z1 √ 1 0 1 √ dx = lim ω∞ x x Zω 1 R2 (x + 4) dx + π (2 − x)2 dx = 0 √ 2 32π ≈ 33, 51 3     1 2 ω 2 √ dx = lim − √ = lim − √ + 2 = 2 ω∞ x x x 1 ω∞ ω x+1 √ dx = lim x α0+ Z1  α   √
√ 1 1 1 + √ dx = lim x + 2 x α = lim 1 + 2 − α − 2 α = 3 x α0+ α0+ 5 pont

5 pont 5 pont 5 pont 5 pont 5 pont 1. Analízis zh. javítókulcs 2003. márc 14 B csoport     3   3 Z
R 2 x2 x2 x3 x2 x2 x x x − ln x − − dx = − ln x − + + C a) x − x ln x dx = 3 2 3 2 3 2 9 4 b) R1 0 2. 1 R1 (1 − x) · e−x dx = [− (1 − x)e−x ]0 − e−x dx = 0 1 e 5 pont
 Z  2t t 2 − 5 8 2 dt = 2t − 2t − 8 + dt = a) t +1 t +1 √ √  √ 2t 3 2(x + 5) x + 5 2 = − t − 8t + 8 ln |t + 1| + C = − x − 8 x + 5 + 8 ln x + 5+ 1 +C 3 3 1 e e   Z x Z Z e +2 t +2 2 2t 1 b) dx = dt = − + dt = e2x + 1 (t 2 + 1) · t t t2 + 1 t2 + 1 0 1 1 
e
π = 2 ln |t| − ln t 2 + 1 + arctgt 1 = 2 − ln e2 + 1 + arctge + ln2 − ≈ 0, 999 4 Z x √ dx = x+ 5+ 1 Z π 3. π R4 R2 T = sin x dx + cos x dx = 2 − 5 pont π 4 0 4. V =π 5 pont R2 0 5. a) −x2 + 4x
2 R2 dx − π x2 dx = 0 √ 2 72π ≈ 45, 24 5 5 pont 5 pont 5 pont 5 pont  ω
R∞ 3−x Rω e dx = lim e3−x dx = lim −e3−x 0 =

lim −e3−ω + e3 = e3 5 pont Z1 5 pont 0 b) 5 pont 0 ω∞ 0 ω∞ ω∞ 1 Z  √ 1 √
2 1 dx = lim x− 3 dx = lim 3 3 x α = lim 3 − 3 3 α = 3 √ 3 + + + 2 α0 α0 α0 x α Analízis zh. javítókulcs 2003. ápr 26 A csoport y 15 pont 1. Határozza meg az y0 − = 2 differenciálegyenletet y(1) = 2 kezdeti feltételhez tartozó partikuláris x megoldását! Megoldás: A megfelelő homogén egyenlet megoldása: y = Cx. (5 pont) A partikuláris megoldást y p = k(x) · x alakban keressük (2 pont) Az általános megoldás: y = Cx + 2x ln |x| (5 pont) A kezdeti feltételnek megfelelő partikuláris megoldás: y0 = 2x + 2x ln|x| (3 pont)  0 ha t < 0 5 pont 2. a) Adja meg az f (t) = függvény Laplace-transzformáltját! e2t sin(3t) + t cost ha t ≥ 0 Megoldás: s2 − 1 3 + 2 F(s) = 2 (s − 2) + 9 (s + 1)2) 5s2 + 2s + 37 b) Adja meg az f¯(s) = 2 függvény inverz Laplace-transzformáltját. (s + 9)(s − 4) Megoldás: 5s2 + 2s + 37 2 5 s c2 = +

sin(3t) + 5e4t (s2 + 9)(s − 4) s2 + 9 s − 4 3 3. Oldja meg Laplace transzformációval az y00 − 7y0 + 12y = 12x + 5 differenciálegyenletet a y(0) = 4 y0 (0) = 12 kezdeti feltételek mellett Megoldás: 12 5 Transzformálva az egyenlet minkét oldalát: s2 ȳ − 4s − 12 − 7sȳ+ 28 + 12ȳ = 2 + (3 pont) s s 4 1 1 1 2 5s + 12 + = + + + (5 pont) ȳ = 2 s (s − 3)(s − 4) s − 3 s s2 s − 3 s − 4 4x 3x y = 2e + e + x + 1 (2 pont) 5 pont 10 pont 4. Döntse el, hogy a következő numerikus sorok konvergensek-e vagy sem (Válaszát minden esetben indokolja) Határozza meg a sor összegét is, ha ez a tanult módszerekkel lehetséges. ∞ a) ∑ n=1 ∞ b) 1+ n 1 ∑ √n nn−1 n=1 ∞ c) 1
1 n 25 ∑ 3n n=1 ∞ · 2n konvergens, mert van konvergens majoráns sora: 5 pont n=1 ∞ divergens mert van divergens minoráns sora: konvergens, mert ez egy q = 1 ∑ 2n 1 ∑n 5 pont n=1 1 3 ∞ hányadosú mértani sor, 25 ∑ 3n = n=1 25 2 5

pont Analízis zh. javítókulcs 2003. ápr 26 B csoport y 15 pont 1. Határozza meg az y0 − = 2 differenciálegyenletet y(1) = 2 kezdeti feltételhez tartozó partikuláris x megoldását! Megoldás: A megfelelő homogén egyenlet megoldása: y = Cx. (5 pont) A partikuláris megoldást y p = k(x) · x alakban keressük (2 pont) Az általános megoldás: y = Cx + 2x ln |x| (5 pont) A kezdeti feltételnek megfelelő partikuláris megoldás: y0 = 2x + 2x ln|x| (3 pont)  0 ha t < 0 5 pont 2. a) Adja meg az f (t) = függvény Laplace-transzformáltját! e2t sin(3t) + t cost ha t ≥ 0 Megoldás: s2 − 1 3 + 2 F(s) = 2 (s − 2) + 9 (s + 1)2) 5s2 + 2s + 37 b) Adja meg az f¯(s) = 2 függvény inverz Laplace-transzformáltját. (s + 9)(s − 4) Megoldás: 5s2 + 2s + 37 2 5 s c2 = + sin(3t) + 5e4t (s2 + 9)(s − 4) s2 + 9 s − 4 3 3. Oldja meg Laplace transzformációval az y00 − 7y0 + 12y = 12x + 5 differenciálegyenletet a y(0) = 4 y0 (0) = 12 kezdeti feltételek mellett

Megoldás: 12 5 Transzformálva az egyenlet minkét oldalát: s2 ȳ − 4s − 12 − 7sȳ+ 28 + 12ȳ = 2 + (3 pont) s s 4 1 1 1 2 5s + 12 + = + + + (5 pont) ȳ = 2 s (s − 3)(s − 4) s − 3 s s2 s − 3 s − 4 4x 3x y = 2e + e + x + 1 (2 pont) 5 pont 10 pont 4. Döntse el, hogy a következő numerikus sorok konvergensek-e vagy sem (Válaszát minden esetben indokolja) Határozza meg a sor összegét is, ha ez a tanult módszerekkel lehetséges. ∞ a) ∑ n=1 ∞ b) 1+ n 1 ∑ √n nn−1 n=1 ∞ c) 1
1 n 25 ∑ 3n n=1 ∞ · 2n konvergens, mert van konvergens majoráns sora: 5 pont n=1 ∞ divergens mert van divergens minoráns sora: konvergens, mert ez egy q = 1 ∑ 2n 1 ∑n 5 pont n=1 1 3 ∞ hányadosú mértani sor, 25 ∑ 3n = n=1 25 2 5 pont Analízis I. évfolyam zárthelyi 2002. november 12 NMI. I évfolyam 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Σ feladatok és megoldások Elméleti kérdések 1./ A környezet és a torlódási pont

fogalma. 2./ lim f ( x ) = A definíciója. / 2 pont / / 3 pont / a 3./ Igazolja, hogy ′ (a ) x a x −1 = ln a , (a > 1, x > 0) = a ⋅ ln a ! Igazolja a lim 0 x x felhasznált nevezetes határértéket is! 4./ Fogalmazza meg és igazolja a Cauchy-féle középértéktételt! Feladatok 5./ Igazolja, hogy ∀n ∈ N esetén / 5 pont / / 5 pont /    1 1  n+2  1  1   = ; 1 −  ⋅ 1 −  ⋅ 1 −  ⋅  ⋅ 1 − ( ) + n n 1 3n    3   6   10     2  vagy Határozza meg az a n = lg n = 2, 3, ! n+2 ( n ∈ N ) sorozat határértékét, és számítsa ki az 2n + 5 ε = 10 −2 -hoz tartozó küszöbszámot! 6./ / 5 pont / / Csak az egyik feladat megoldását értékeljük! / Határozza meg a következő határértékeket! ( A L’Hospital szabályt nem használhatja!) a./ 7./ x2 − 3 lim 4 3 x − 2x2 − 3 b./  2x + 3  lim  ∞  2x + 5  2 x −4 /

4 + 3 pont / Deriválja az alábbi függvényeket az x független változó szerint: 2 2x + 1 , arctg 3 3 = sin 2 2 x + x 2 a./ f ( x ) = ln(x 2 + x + 1) + b./ y 2 ⋅ arctg 5 x − e − y c./ y = x 3x / 4 + 4 + 3 pont 8./ Határozza meg az f (x ) = x+2 függvény szélsőértékét (szélsőértékeit)! x +1 Határozza meg az x0 = 2 pontba húzható érintő egyenletét! 9./ Határozza meg az f ( x ) = szélein! /5 + 2 pont / x függvény határértékeit az értelmezési tartománya x −1 / 5 pont / A feladatok megoldásai Igazolja, hogy ∀n ∈ N esetén    1 1  n+2  1  1  = ; 1 −  ⋅ 1 −  ⋅ 1 −  ⋅  ⋅ 1 − n(n + 1)  3n   3   6   10   2   5./ n = 2, 3, ! / 5 pont / Megoldás 1 2+2 igaz, n-re feltételezzük, majd n + 1 -re igazoljuk, hogy n = 2 -re az állítás 1 − = 3 3⋅ 2        1 1 1 n+3  1  1  

  = ⋅ ⋅ − 1 1 1 1 − 1 ⋅ −  ⋅ − −       ( ) ( )( ) + 1 + + 1 2 n n n n    3(n + 1)  3   6   10  2  2      n + 2 (n + 1)(n + 2 ) − 2 1 n 2 + 3n 1 n+2  n+3 = ⋅ 1 − ⋅ = ⋅ = (n + 1)(n + 2)  3n (n + 1)(n + 2) 3n (n + 1) 3(n + 1) , 3n    2   amit bizonyítani akartunk. Vagy Határozza meg az ( n ∈ N ) sorozat határértékét, és számítsa ki tartozó küszöbszámot! −2 az ε = 10 -hoz / 5 pont / Megoldás lim lg n+2 1 = lg . 2n + 5 2 n+2 1 2n + 4 − lg < 10− 2 , azaz lg < 10− 2 . 2n + 5 2 2n + 5 2n + 4 Mivel < 1 , ezért az abszolút érétket felbontva 2n + 5 2n + 4 1  1  − lg < 10− 2 , amiből n > ⋅ − 5  , azaz n > 19,47 . −10 2n + 5 2  1 − 10  A küszöbszám tehát n0 = 19 . lg −2 6./ Határozza meg a következő határértékeket! ( A L’Hospital szabályt nem

használhatja!) x2 − 3 lim 4 2 3 x − 2x − 3 a./ Megoldás a./ lim 3  2x + 3  lim  ∞  2x + 5  b./ ( )( ) ( )( 2 x− 4 / 3 + 3 pont / ) 1 1 x2 − 3 x− 3 x+ 3 x− 3 x+ 3 = lim 2 = lim = lim 2 = . 4 2 2 2 3 (x − 3)(x + 1) 3 x − 3 x + 3 (x + 1) 3 (x + 1) 4 x − 2x − 3 ( )( ) 2x  2x + 3  lim   b./ ∞  2x + 5  2 x− 4 3   −4 1+  2x + 3  e3  2 x  ⋅ = lim = = e −2  5 ∞  5   2x + 5  e   1+    2x  ↓ 1 7./ Deriválja az alábbi függvényeket az x független változó szerint: 2 2x + 1 , arctg 3 3 = sin 2 2 x + x 2 a./ f ( x ) = ln(x 2 + x + 1) + b./ y 2 ⋅ arctg 5 x − e − y c./ y = x 3x / 4 + 4 + 3 pont Megoldás a./ ( f ′( x) = b./ ) f ( x ) = ln x 2 + x + 1 + 2x + 1 2 + ⋅ x + x +1 3 2 2 2x + 1 arctg 3 3 1  2x + 1  1+    3  2 ⋅ 2 3 y 2 ⋅ arctg 5 x − e − y = sin 2 2 x + x 2 1 2 ⋅

sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ 2 + 2 x ⋅ 5 − e − y ⋅ (− y′) = 2 1 + (5 x) 2 sin 2 2 x + x2 4 ⋅ sin 2 x ⋅ cos 2 x + 2 x 5 y2 − 2 2 2 1 + (5 x) + x x 2 sin 2 y′ = 2 y ⋅ ar ctg 5 x + e − y 2 y ⋅ y′ ⋅ ar ctg 5 x + y 2 ⋅ c./ y = x 3x ln y = x ⋅ ln 3 x 1 3  1 ⋅ y′ =  − 2  ⋅ ln 3 x + ⋅ y x 3x  x   1  1 3 y′ = x 3x ⋅  − 2  ⋅ ln 3x + ⋅  x 3x   x  Határozza meg az függvény szélsőértékét (szélsőértékeit)! Határozza meg az x0 = 2 pontba húzható érintő egyenletét! 1 8./ 1 /5 + 2 pont / Megoldás f (x ) = f ′( x) = x+2 x +1 D ( f ) : x > −1 x + 1 − (x + 2) ⋅ x +1 1 2 x +1 = f ′( x) = 0 , ha x = 0 ]− 1, 0[ 0 ]0, ∞[ x f ′( x) − 0 + f ( x) ↓ min ↑ x0 = 2 f ( x0 ) = 4 3 A keresett érintő egyenlete : 9./ Határozza meg az x 2( x + 1) x + 1 Pmin (0, 2 ) f ′( x0 ) = y− 2 1 = 2 ⋅ 3⋅ 3 3 3 4 1 (x − 2) = 3 3 3 f (x ) = x

függvény határértékeit az értelmezési x −1 tartománya szélein! / 5 pont / Megoldás f (x ) = x x −1  0    x  −1  lim = 0 0 x −1 + lim +∞ D ( f ) : x ≥ 0 és x ≠ 1 , vagyis [0, 1[ ∪ ]1, ∞[  1   − x 0  = −∞ lim 1 x −1 − x x = lim = lim x = +∞ x − 1 +∞ x +∞  1   + x 0  lim = +∞ 1 x −1 + Analízis ZH. 2 Javítási útmutató 2002/2003. 2 félév NMI I hallgatók részére 5. Határozza meg az y′ ln y = y differenciálegyenlet y(2 ) = 1 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! (7pont) 1 dy ln y = y szétválasztva a változókat: ln ydy = dx , majd integrálva y dx ∫y 1 ∫ ln ydy = 1dx 1 2 ln y = x + C ebből 2 y = e± 2(x+ c ) A kezdeti feltétel szerint: 1 = e ± 2 (2 + c ) A partikuláris megoldás: y = e , ebből c = −2 ± 2(x− 2 ) 6. Határozza meg az y′ sin x - y cos x = 1 differenciálegyenlet általános megoldását! (7pont)

cos x y = 0 és sin x ln sin x + ln C A homogén egyenlet : y′ megoldása: y = e = C sin x Állandó variálás: y = C (x)sin x y′ = C ′(x)sin x + C (x)cos x , behelyettesítés után: C ′(x)sin 2 x = 1 C ( x) = ∫ 1 dx = − ctg x + K 2 sin x Általános megoldás: y = (− ctg x + K )sin x = K sin x − cos x 7. Határozza meg az y′′ + 4 y′ - 12 y = 8e 2x differenciálegyenlet y(0) = 0 y ′(0) = 1 kezdeti feltételeket kielégítő partikuláris megoldását! (9pont) A homogén egyenlet: y′′ + 4 y′ - 12 y = 0 , karakterisztikus egyenlete: melynek gyökei: λ1 = 2 és λ2 = −6 , homogén egyenlet megoldása: y = C1e 2 x + C 2 e −6 x Kísérletező módszer: REZONANCIA: y = Axe 2 x λ2 + 4λ - 12 = 0 , y′ = Ae 2 x + 2 Axe 2 x y′′ = 2 Ae 2 x + 2 Ae 2 x + 4 Axe 2 x behelyettesítve: 8 Ae 2 x = 8e 2 x innen A = 1 , a partikuláris megoldás: y = xe 2 x Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y = C1e 2 x + C 2 e −6 x + xe 2 x Kezdeti

feltételek figyelembe vétele: y(0) = C1 + C 2 = 0 y ′ = 2C1e 2 x − 6C 2 e −6 x + e 2 x + 2 xe 2 x y′(0) = 2C1 − 6C 2 + 1 = 1 innen C1 = C 2 = 0 és Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása: y = xe 2 x 8. Határozza meg az y′ + 3 y = e 4 x differenciálegyenlet y(0) = 0 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását Laplace-transzformációval! (7pont) ( ) L( y ′ + 3 y) = L e 4 x sL( y) − y(0) + 3L( y) = résztörtekre bontás: 1 1 A = és B = − 7 7 1 s−4 innen: L( y) = 1 (s − 4)(s + 3) 1 1 L( y) = − 7(s − 4 ) 7(s + 3) = A s−4 + B s+3 Inverz Laplace-transzformáció: kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás y = 1 e 4 x − 1 e −3x 7 7 9. Határozza meg az f (x) = x függvény Laplace-transzformáltját a definíció alapján és ellenőrizze a megoldást a táblázat felhasználásával! (5pont) ∞ ∫ 0 ∞ ∞ ∞  − xe − sx  1 − sx 1  − e − sx  1 e dx =   +  = 2 s

s s s  0 0 s  0 L(x) = xe − sx dx =  ∫ ∞ Parciálisan integráltunk és felhasználtuk, hogy ∞  − xe − sx   − e − sx  1   = 0 illetve   = s  s 0  s 0 Analízis II. évfolyam zárthelyi (I vizsga) 2003. január 7 NMI. I évfolyam (feladat és megoldás) 1. 2. 3. 4. 5. Név: 6. 7. 8. 9. 10. Σ Tankör: Elméleti kérdések 1./ 2./ A Riemann-integrál fogalma. Igazolja az ∫ f (ax + b )dx és az ∫ / 3 pont / f ′(x ) ⋅ f (x )dx típusú integrálokra megismert n formulát! 3./ 4./ / 4 pont / Fogalmazza meg és igazolja a Newton-Leibniz formulát! / 4 pont / Példákon keresztül mutassa be a helyettesítéses integrálás két alapvetően különböző típusát! Az egyik példa legyen határozott integrál! / 4 pont / Feladatok 5./ 6./ Határozza meg a következő integrálokat! ar ctg 2 x 2 a./ b./ ∫ 1 + x 2 dx ∫ 9 − x 2 dx Határozza meg a következő integrált! 2x2 − x − 8

∫ (x + 1) x 2 + 4 dx ( 7./ ) 3 2 2 ∫ x ⋅ ln 2x dx 1 8./ 9./ b./ ∫ 0 x −1 dx − 2x + 3 / 3 + 3 + 3 pont / ∫x 2 / 6 pont / Határozza meg a következő integrálokat! a./ c./ x +1 4 − x2 dx Határozza meg a következő improprius integrált! ∞ dx ∫−∞ x 2 + 2 x + 10 / 5 + 5 pont / 4 pont / Számítsa ki az adott függvények görbéi által határolt korlátos síkrész területét! 3 f ( x ) = 10 − x 2 és g ( x ) = x / 6 pont / A feladatok megoldásai 5./ Határozza meg a következő integrálokat! ar ctg 2 x 2 a./ b./ dx ∫ 1 + x 2 dx ∫ 9 − x2 x −1 dx − 2x + 3 / 3 + 3 + 3 pont / ∫x c./ Megoldás a./ 2 ∫ 9− x 2 2 3 dx = ⋅ ∫ 1  x 1−   3 2 2 3 dx = ⋅ arcsin 1 3 2 x 3 + c = 2 ⋅ arcsin x + c . 3 1 arctg 2 x arctg 3 x 2 b./ ∫ ⋅ arctg xdx = +c. dx = ∫ 1 + x2 1 + x2 3 x −1 1 2( x − 1) 1 c./ ∫ 2 dx = ⋅ ∫ 2 dx = ⋅ ln x2 − 2 x + 3 + c . x − 2x + 3 2 x − 2x + 3

2 6./ Határozza meg a következő integrált! 2x2 − x − 8 ∫ (x + 1) x 2 + 4 dx ( ) / 6 pont / Megoldás 2 x2 − x − 8 Bx + C   A  − 1 3x − 4  ∫ (x + 1) x2 + 4 dx = ∫  x + 1 + x2 + 4 dx = ∫  x + 1 + x2 + 4 dx = ∗ ∗ ( ) 2 x2 − x − 8 = Ax2 + 4 A + Bx2 + Bx + Cx + C } x2 2 = A + B  +B x1 − 1 = B + C  ⇒ − 27 == A 4 A − B ⇒ A = −1, B = 3, C = −4 . 0 x − 8 = 4 A + C  3x 4  3  −1 2 ∗∗ = ∫ + 2 − 2 dx = − ln x + 1 + ⋅ ln x + 4 − 2  x +1 x + 4 x + 4  arctg 1 2 x 2 +c. 7./ Határozza meg a következő integrálokat! 2 ∫x a./ 2 ∫ b./ ⋅ ln 2x dx x +1 3 4 − x2 0 1 dx / 5 + 5 pont Megoldás 2 2 ∫x 2 a./ ⋅ ln 2 xdx 1 u′ = x2 v = ln 2 x x3 2 u= v′ = 3 2x 2  x3 x2   x3 x3  =  ⋅ ln 2 x − ∫ dx =  ⋅ ln 2 x −  = 3 1  3 9 1 3 8 8 1 1 ⋅ ln 4 − −  ⋅ ln 2 − 

= 2,688 . 3 9 3 9 x 3 ∫ b./ 0 1 x +1 dx = ⋅ 2 2 4− x t2 3 ∫ 0 x +1  x 1−   2 2 = sin t 2 x = 2 sin t dx = 2 cos tdt dx = π = ∫ (2 sin t + 1)dt = [− 2 cos t + t ]t1 = 03 = −2 cos t1 8./ t2 = π 3 + t2 1 2 sin t + 1 = ⋅∫ ⋅ 2 cos tdt = 2 t1 1 − cos 2 t π 3 − (− 2 + 0 ) = 1 + π 3 Határozza meg a következő improprius integrált! ∞ dx ∫−∞ x 2 + 2 x + 10 / 4 pont / Megoldás ∞ x +1  ∞ ∞ ∞ arctg  1 1 1 1  dx ∫−∞ x2 + 2 x + 10 = −∫∞ (x + 1)2 + 9 dx = 9 ⋅ −∫∞  x + 1 2 dx = 9 ⋅  1 3  =   1+   3   −∞  3  1  x +1 x +1 1  π  π  π = ⋅  lim arctg − lim arctg  = ⋅  −  −   = = 1,047 . −∞ 3  ∞ 3 3  3  2  2   3 = 2,047 . 9./ Számítsa ki az adott függvények görbéi által határolt korlátos síkrész területét! 3 f ( x ) = 10 − x 2 és g ( x

) = x / 6 pont / Megoldás Kiszámítjuk a két görbe metszéspontjának első koordinátáit: f ( x) = g ( x ) 10 − x2 = 10 − x2 = 3 x (x < 0) 9 x2 x4 − 10 x2 + 9 = 0 x12 = 1 x1 = 1 x22 = 9 x2 = 3 Az [1, 3] intervallumban a f ( x) függvény vesz fel nagyobb értéket, ezért a keresett terület: x 2 3 3  x   T = ∫  10 − x2 − dx = 10 ⋅ ∫ 1 −   dx − [3 ⋅ ln x ]1 = x  10  1 1 3 3 t2 = sin t 10 x = 10 ⋅ sin t dx = 10 ⋅ cos tdt t2 = 10 ⋅ ∫ 1 − sin t ⋅ 10 cos tdt − (3 ⋅ ln 3 − 3 ⋅ ln1) = 10 ⋅ ∫ cos 2 tdt − 3 ⋅ ln 3 = 2 t1 t2 t1 t = arcsin 2 1 + cos 2t  sin 2t  = 10 ⋅ ∫ dt − 3 ⋅ ln 3 = 5 ⋅ t + 2 2  t1 = arcsin  t1 3 10 1 10 =1, 25 − 3 ⋅ ln 3 = = 0 , 32 sin 2,5 sin 0,64   = 5 ⋅ 1,25 + − 0,32 −  − 3 ⋅ ln 3 = 1,357 . 2  2  =