Fizika | Energetika » Krizsán Levente - Korrelációk a nagyenergiás fizikában

Szakdolgozat Korrelációk a nagyenergiás zikában Krizsán Levente Fizika BSc., zikus szakirány III. évfolyam Témavezet®: Csanád Máté egyetemi adjunktus Eötvös Lóránd Tudományegyetem Atomzikai tanszék 2011 Kivonat Az utóbbi évtizedben a nehézion-zikai kísérletek sok új információt szolgáltattak az elemi részecskékr®l. A részecske ütköztet®kben el®állították a kvark-gluon plazmát, amelyr®l kiderült, hogy közel tökéletes folyadékként viselkedik. A kvark-gluon plazma tulajdonságait korrelációs függvényekkel is vizsgálhatjuk. Ezek a korrelációs függvények például a keletkez® részecskék helyér®l vagy a koherens és inkoherens fázisban kilép® részecskék arányáról hordoznak információt. A korrelációs függvényket azonban módosítja a Coulombkölcsönhatás, mely ebben az esetben csak egy zavaró hatás Coulom-korrekciót alkalmazva a mérési eredményeken olyan adatokat kapunk, amit akkor kaptunk volna, ha

a részecskék között nincsen Coulomb-kölcsönhatás. Ezek a módosított adatok pontosabb információt szolgaláltatnak a kvark-gluon plazmáról A dolgozat célja a két és háromrészecskés korrelációs függvény vizsgálata, majd a két és háromrészecskés Coulomb-korrekció kiszámítása. A Coulomb-korrekció kiszámításához szükség van Schrödinger-egyenlet megoldására Coulomb-szórás esetén. Leellen®riztem numerikusan, hogy a két és háromrészecskés Coulomb-szórás megoldása megoldja-e a Schrödinger-egyenletet, majd Monte Carlo algoritmussal kiszámítottam a két és háromrészecskés Coulomb korrekciót. ii Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 1.1 Nagyenergiás ütköztet®k . 1 1.2 Eredmények . 2 2. Boze-Einstein korrelációk 3 2.1 Korrelációs-függvények . 3 2.2 Mag/glória a Bose-Einstein korrelációkban . 5 2.3 Koherens és

inkoherens rész . 7 2.4 Háromrészecske-korreláció . 8 2.5 N-részecske korreláció . 10 3. Coulomb-korrekció 11 3.1 Kétrészecskés Coulomb-korrekció . 11 3.2 Egyrészecskés Coulomb-probléma . 12 3.3 Coulomb-szórás és Coulomb-korrekció két részecskére 3.4 Schrödinger-egyenlet megoldása háromrészecskés Coulomb-szórásra . 14 3.5 A háromrészecskés Coulomb-korrekció formulája . 16 . 13 4. Eredmények 18 5. Függelék 19 Hivatkozások 24 Nyilatkozat 25 iii 1. Bevezetés A nehézion-zika atommagok nagyenergiájú ütközését vizsgálja részecskegyor- sítókban. A közel fénysebességre gyorsított atommagok az ütközésök során a nagy nyomás és h®mérséklet hatására új állapotba kerülnek. Ilyen állapotok uralkodtak néhány mikromásodperccel a Nagy Bumm után. A protonok

és neutronok a nagy energias¶r¶ség hatására nukleon börtönükb®l kiszabadulva új típusú anyogot hoznak létre: a kvark-gluon plazmát. A nagy nyomás hatására az anyag tágulni és ezzel együtt hülni kezd, mely során a kvarkok ismét hadronokba záródnak be. Ezt a folyamatot kifagyásnak is szokták nevezni A szétrepül® részecskék különböz® zikai mennyiségeit (impulzusát, energiáját, töltését) detektorainkkal mérve és a mért adatokból számított eloszlásfüggvényeket vizsgálva, az ütközés után közvetlenül létrejött közeg tulajdonságaira következtethetünk [4]. 1.1 Nagyenergiás ütköztet®k A nehézion-zikai kísérletek helyszínei a részecskeütköztet®k, mint például a RHIC (Relativictic Heavy Ion Collider ) vagy az LHC (Large Hadron Collider ). A RHIC a Brookhaven Nemzeti Laboratórium területén m¶ködik és négy kísérleti helyszíne van: a STAR, PHOBOS, PHENIX és a BRAHMS. A PHENIX-ben fotonokat, elektronokat,

müonokat és hadronokat gyelnek meg szupravezet®vel keltett mágneses tér segítségével [5] . Mivel a fotonokat és leptonokat (elektronok és müonok) az er®s kölcsönhatás nem befolyásolja, ezért ezek a részecskék változatlan információt hordoznak az ütközésen belüli folyamatokról, például az ütközés h®mérsékletér®l. A PHENIX úgy lát bele az ütközés során keletkez® anyagba, mint ahogy az MRI, vagy a röntgensugárzás lát bele az emberi testbe. A PHENIX tömege 4000 tonna és egy tucatnyi detektor rendszere van. Három hatalmas mágnessel er®s mágneses teret hoznak létre, amely  elgörbíti a részecskék pályáját. Nyomjelz® kamra a részecske pályája mentén keletkez® ionizációt nagy pontossággal rögzíti, így a töltött részecske pályáját pontosan meg lehet állapítani. A görbe sugarából és az eltérülés irányából megtudhatjuk az impulzusát és a töltés el®jelét. Más detektorok a részecske típusát

határozzák meg vagy az energiáját mérik Megint más detektorok az ütközés típusát vizsgálják, hogy az ütközés mennyire volt centrális, vagy periférikus. 1 A STAR hadronok detektálására van specializálva, itt egy gáztöltés¶ kamrával detektálják a szétrepül® részecskéket. A PHOBOS és a BRAHMS helyszíneken specializáltabb méréseket végeznek [5] . A másik fontos részecskeütköztet® a 2008ban átadott LHC, melynek mér®helyszínei: ALICE, ATLAS, CMS, LHCb, LHCf, MoEDAL és TOTEM. Itt 14 TeV tömeggközépponti energián terveznek kísérletek végrehajtani. 1. ábra A STAR által felvett els® arany-arany atommag ütközés [4] 1.2 Eredmények Az RHIC kísérleti eredményei új ismereteket szolgáltattak a kvark-gluon plazmáról, s®t nagyban megváltoztatták az addigi elképzeléseket. Kiderült, hogy aranyarany atommagok centrális ütközésénél az anyag elnyeli a nagy impulzusú hadronokat [9] Ez azért meglep®, mert egy

hihetetlen vékony, pár femtométer vastag réteg képes elnyelni nagyenergiás részecskéket. Ilyen er®sen kölcsönható közeget ezel®tt nem gyeltek meg. A direkt fotonok, melyek végig keletkeznek az ütközés után, átfénylenek az anyagon, nem nyel®dnek el Ez azért fontos, mert a direkt fotonok vizsgálatából a kvark-gloun plazma állapotegyenletére következtethetünk. A kísérletek el®tt arra számítottak, hogy a kvark-gluon plazma gázként viselkedik Ezzel szemben a mérési eredményekb®l kiderült, hogy a közeg leginkább egy közel tökéletes folyadékhoz hasonlít a hadronkifagyás el®tt [6]. 2 A hadronokat a kvarkok és gluonok építik föl, ezeket pedig az er®s kölcsönhatás miatt vonzzák egymást. Az er®s kölcsönhatást a QCD (kvantum-színdinamika ) írja le, melynek a két legfontosabb tulajdonsága a kvarkok bezárása és az asszimptotikus szabadság. A kvarkok bezárása azt jelent, hogy a természetben nem gyelhetünk meg szabad

kvarkokat, nem lehet ®ket egymástól elválsztani. Az er®s kölcsönhatás potenciálja n® a kvarkok közti távolsággal, így egymástól távolítva ®ket n® a kölcsönhatás energiája és újabb kvarkok keletkeznek. A megjelen® új kvarkok a régiekkel újra hadront alkotnak. Az asszimptotikus szabadság nagy energiákon jelenik meg Az er®s kölcsönhatás csatolási állandója energiafügg® és minnél nagyobb energiájú elemirész-ütközéseket vizsgálunk, a folyamatban részt vev® részecskék közti kölcsönhatás annál kisebb [10]. Így kell®en nagy energián nem záródnak be hardonokba, hanem tökéletes folyadékként viselkednek. A tökéletes folyadék azt jelenti, hogy nagyon kicsi az anyag viszkozitása és h®vezetése és a nyíró er®knek nem áll ellen A kvark-gluon plazmának az eddig ismert legkisebb viszkozitású folyadék [9]. 2. Boze-Einstein korrelációk 2.1 A Korrelációs-függvények korrelációs függvények vizsgálatának

nagy jelent®sége van a nehézion- zikában, segítenek megérteni a részecskék kollektív viselkedését és a keletkezésük hely-id® függését. Például a háromrészecske korrelációs függvényb®l következtethetünk arra, hogy volt-e koherens része a keletkezett részecskéknek Az N1 (k1 ) impulzus eloszlás megmondja, hogy az összes keletkez® részecskéb®l hány darab részecske keletkezik a k1 impulzus kis környezetében. Egyre normálva értelemzhetjük úgy is, hogy mennyi a valószín¶sége annak, hogy olyan részecske keletkezik, melynek impulzusa k1 innitezimálisan kis környezetébe esik. Az N2 (k1 , k2 ) impulzus eloszlás egyre normálva pedig azt mondja meg, hogy mennyi a valószín¶sége annak, hogy egy részecske keletkezik k1 impulzussal és egy másik részecske k2 impulzussal. A korrelációs függvényt ezeknek az impulzus eloszlásoknak a hányadosával deniálhatjuk Sokszor a korrelációs függvényeket más változók

bevezetésével írják föl, például relatív koordinátákat használnak. Ha a kétrészecske korrelációs függvény értéke kis relatív impulzus esetén nagy, az azt jeneti, hogy nagy a valószín¶sége annak, hogy 3 egy ütközésben létrejöv® két részecske impulzusa hasonló. A kétrészecske korreláviós függvény deníciója [7]: C2 (k1 , k2 ) = ahol k1 k2 és a két részecske impulzusa, Z Z N2 (k1 , k2 ) = Itt S(x, k) N1 és N2 (1) pedig S(x, k)|Ψk (x)|2 d4 x N1 (k) = és N2 (k1 , k2 ) N1 (k1 )N1 (k2 ) S(x1 , k1 )S(x2 , k2 )|Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x2 d4 x1 (2) (3) az emissziós függvény, amit szokás még Wigner-függvénynek is nevezni. Az emissziós függvény a s¶r¶ségmátrix egy sajátos reprezentációja, ami leírja, hogy mekkora valószín¶séggel keletkezik x Kétrészecske-korreláció esetén az helyen egy k impulzusú részecske. N2 (k1 , k2 )-ben megjelen® kétrészecskés hullám- függvényt

szimmetrizálnunk kell. Ez bozonok esetén azt jelenti, hogy páros a helyfügg® része a hullámfüggvénynek, tehát még hozzá kell adnunk a hely szerint szimmetrizált helyfügg® részt A síkhullám megoldás sokszor jó közelítésnek bizonyul és a számolás is leegyszer¶södik. A (3)-as egyenletbe a szimmetrizált hullámfüggvényt beírva az alábbi átalakításokat hajthatjuk végre: S(x1 , k1 )S(x2 , k2 )|Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x2 d4 x1 = Z 1 2 = S(x1 , k1 )S(x2 , k2 ) ei(x1 k1 +x2 k2 ) + ei(x1 k2 +x2 k1 ) d4 x2 d4 x1 = 2  Z 1 = S(x1 , k1 )S(x2 , k2 ) 1 + ei(x1 (k1 −k2 )−x2 (k1 −k2 )) + 2  1 i(−x1 (k1 −k2 )+x2 (k1 −k2 )) 4 + e d x2 d4 x1 2 R Az (4) q = (k1 − k2 ) relatív impulzust és S(x, k) Fourier-transzformáltját bevezetve: Z e k) = S(q, S(x, k)eiqx d4 x 4 Z Z N2 (k1 , k2 ) = S(x1 , k1 )d x1 S(x2 , k2 )d4 x2 + (5) Z 1 + S(x1 , k1 )eiqx1 d4 x1 S(x2 , k2 )e−iqx2 d4 x2 + 2 Z 1 + S(x1 , k1 )e−iqx1 d4 x1 S(x2 , k2 )eiqx2 d4 x2 = 2

Z  1 e f∗ (q, k2 ) + S f∗ (q, k1 )S(q, e k2 ) = d4 x1 d4 x2 S(x1 , k1 )S(x2 , k2 ) + S(q, k1 )S 2 Ha k1 = k2 és a 4 K = 0, 5(k1 + k2 ) változót bevezetve: e k1 )S f∗ (q, k2 ) + S f∗ (q, k1 )S(q, e k2 ) = |S(q, e K)|2 S(q, Mivel e = 0, K) = S(q R S(k, x)d4 x, (6) a korrelációs függvényt az alábbi alakra hozhatjuk [3]: N2 (k1 , k2 ) C2 = =1+ N2 (k1 )N1 (k2 ) e K)|2 |S(q, e K)|2 |S(0, (7) A korrelációs függvények az emissziós függvények Fourier-transzformáltjáról, tehát a keletkez® részecskék impulzus eloszlásáról hordoznak információt. 2.2 Mag/glória a Bose-Einstein korrelációkban A nehézion-zikai kísérletek során a detektált részecskék nem csak közvetlenül az ütközésb®l származhatnak, hanem lehetnek hosszú élet¶ rezonanciák bomlástermékei [3]. A mag/glória modellben abból a feltevésb®l indulunk ki, hogy az emissziós függvényünk két Gauss-függvény összege: a szélesebb a glóriához tartozó

forrás, a keskenyebb pedig a magban keletkez® részecskéket írja le. A Bose-Einstein korrelációkat kis relatív impulzusok mellett mérik. Minden méréshez tartozik egy Qmin levágási relatív impulzus érték, ami alatt nem tudjuk meg- különböztetni a részecskéket. A glória részt leíró emissziós függvény az mint Rmax ≈ ~/Qmin . Rmax a Qmin -hoz Rg skálán változik, ahol Rg tartozó karakterisztikus hossz és nagyobb, Rm a mag felbontása [3]. Rg > Rmax > Rm 5 (8) 2. ábra Az ábra a magot és a glóriát szemlélteti A teljes emissziós függvény tehát egy mag részb®l áll (m) indexel és egy glória részb®l (g) indexel [3]: S(x, k) = Sm (x, k) + Sg (x, k) (9) Az egyrészecskés impulzus spektrumot a térrész kiintegrálásával kaphatjuk meg: Z N (k) = d4 xS(x, k) = Nm (k) + Ng (k) Az impulzus spektrum a mag és a glória rész összege. Vezessük be (10) fm -et, mely a magban keletkez® részecskék aránya az

összes részecskéhez képest! fm (k) = Nm (k)/N (k) (11) A Fourier-transzformáció deníciójából adódik, hogy a forrásfüggvény Fouriertranszformáltja a k=0 helyen megegyezik az impulzuseloszlással: Z e = S(0) S(x, 0)ei0·x d4 x = N (k) Sem (0) = Nm (k) Seg (0) = Ng (k) (12) A (14)-es egyenletet átalakítva az alábbi összefüggést kapjuk: e = Sem (0) fm S(0) 6 (13) A glória mérete nagyságrendekkel nagyobb a magénál, ezért az emissziós függvény Fourier-transzformáltjához a glória rész csak a nagyon kicsi, 4 MeV relatív impulzus alatt ad járulékot. [3 ábra] Ezen a relatív impulzus tartományon kívül élhetünk az alábbi közelítéssel: Vezessük be λ∗,2 e ≈ Sem (q) S(q) tengelymetszeti paramétert! A kétrészecskés korrelációs függ- vény q=0 helyen, tehát zero relatív impulzus esetén 1+λ∗,2 értéket vesz fel [3]. C2 (q) = 1 + λ∗,2 Sec (q) Sec (0) 2 =1+ 2 fm Sec (q) Sec (0) 2 (14) Tehát a

kétrészecske korreláció vizsgálatával meghatározhatjuk, hogy a keletkez® részecskék közül hányan keletkeztek a magban és hányan a glóriában. 3. ábra Egy mag és egy kiterjedt glória forrással rendelkez® Bose-Einstein korreláció görbéje A glória járuléka a besatírozott részre korlátozódik, ezen kívül a mag rész határozza meg a korrelációs függvényt. A λ∗ paraméterb®l és a részecskék im- pulzuseloszlásából kiszámíthatjuk a direkt a magból származó részecskék impulzuseloszlását. [3] 2.3 Koherens és inkoherens rész Az el®z® fejezetben a forrásfüggvényt teljesen inkohernsnek vagyis termálisnak tételeztük fel. A valóságban azonban a magból koherens fázisban is emittálódnak részecskék.Így a mag járuléka egy koherens és egy inkoherens rész összege [3]: k i Sm (x, k) = Sm (x, k) + Sm (x, k) 7 (15) ahol (i) és (k) fels® indexek az inkoherens és a koherens részt jelölik. A mag impulzus spektruma:

Z Nm (k) = Vezessük be i k d4 xSm (x, k) + Sm (x, k) (16) pk -át, mely a parciálisan koherens fázisban kilép® részecskék aránya a magban keletkez® összes részecskéhez képest! k pk (k) = Nm (k)/Nm (k) (17) Ha gyelembe vesszük, hogy a magból koherens fázisban is emittálódnak részecskék, akkor a λ∗,2 tengelymetszeti paraméter a következ® [3]:   2 λ∗,2 = fm (1 − pk )2 + 2pk (1 − pk )2 (18) Az egyenlet visszaadja azt az esetet ,mikor nincsenek koherens részecskék: ha 2 fm = λ∗,2 . pk = 0, akkor 2.4 Háromrészecske-korreláció A háromrészecske-korreláció deníciója az N-részecske korreláció alapján [7]: C3 (k1 , k2 , k3 ) = ahol N3 (k1 , k2 , k3 ) N1 (k1 )N2 (k2 )N3 (k3 ) (19) N3 (k1 , k2 , k3 ): Z N3 (k1 , k2 , k3 ) = S(x1 , k1 )S(x2 , k2 )S(x3 , k3 ) |Ψk1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 )|2 d4 x3 d4 x2 d4 x3 (20) Itt Ψk1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) x1 és x2 a szimmetrizált hullámfüggvény. Két részecske esetén

csak az változókat kellett felcserélni, ebben az esetben viszont három helyválto- zónk van. A három helyváltozót hatféleképpen lehet felcserélni, így a szimmetrizált 8 hullámfüggvény hat tagú lesz: Ψ(x1 , x2 , x3 , k1 , k2 , k3 ) = ei(x1 k1 +x2 k2 +x3 k3 ) + ei(x1 k1 +x3 k2 +x2 k3 ) ei(x2 k1 +x3 k2 +x1 k3 ) + ei(x2 k1 +x1 k2 +x3 k3 ) ei(x3 k1 +x1 k2 +x2 k3 ) + ei(x3 k1 +x2 k2 +x1 k3 ) (21) A szimmetrizált hullámfüggvénnyel ugyanazt a számolást végre lehet hajtani, mint a kétrészecskés esetben. Ha a három részecske között azonos nagyságúak a relatív impulzusok és nem vesszük gyelembe a koherensen kilép® részecskéket, akkor λ∗,3 . 2 = 3fm Háromrészecske korreláció esetén a tengelymetszeti paraméter, ha gyelembe vesszük a koherensen kilép® részecskéket [3]:   2 λ∗,3 = 3fm (1 − pk )2 + 2pk (1 − pk ) λ∗,2 -át λ∗,3 -át és számíthatjuk pk -t és kísérletileg meghatározva a adja (fm ) λ

vonatkozó egyenletekb®l ki- fm -et. 4. ábra A (18)-as és (22)-es egyenletek megmért λ-ákra (22) fm -re és pk -ra paraméteres egyenletek. A értékek hibája sávvá szélesíti a paraméteres görbét. A két sáv átfedése és (pk ) lehetséges értékeit.[3] 9 2.5 N-részecske korreláció Az n-részecskés korrelációs függvény deníciója [3]: Cn (k1 , k2 , · · · , kn ) = Nn (k1 , k2 , · · · , kn ) N1 (k1 )N1 (k2 ) · · · N1 (kn ) (23) Az n-részecskés korrelációs függény er®ssége, ha az összes részecske impulzusa egyenl® tehát, ha zerok a relatív impulzusok [7]: Cn (0) = 1 + n   X n j=2 Itt αj j j αj fm h i j j−1 (1 − pk ) + jpc (1 − pk ) (24) azon permutációk számát jelöli melyek j nem egyforma elemet kevernek össze. Az els® pár érték n−1   X n αn = n! − αj j j=0 (25) α0 = 1 (26) α1 = 0, α2 = 1, α3 = 2, α4 = 9, α5 = 44, α6 = 264 (27) αj -re: Az els® pár

tengelymetszeti paraméter 0 ralatív impulzus mellett [3]:   2 λ∗,2 = fm (1 − pk )2 + 2pk (1 − pk )2   2 λ∗,3 = 3fm (1 − pk )2 + 2pm (1 − pk )   3 (1 − pk )3 + 3pc (1 − pk )2 +2fm   2 λ∗,4 = 6fm (1 − pk )2 + 2pk (1 − pk )   3 +8fm 1 − pk )3 + 3pk (1 − pk )2   4 +9fm (1 − pk )4 + 4pk (1 − pk )3   2 λ∗,5 = 10fm (1 − pk )2 + 2pk (1 − pk )2   3 (1 − pk )3 + 3pk (1 − pk )2 +20fm 10 λ∗,n = Cn (0)−1 (28) (29) (30)   4 +45fm (1 − pk )4 + 4pk (1 − pk )3   +44fc5 (1 − pk )5 + pk (1 − pk )4 3. (31) Coulomb-korrekció A Coulomb-kölcsönhatás miatt az ütközések során létrejöv® azonos töltés¶ ré- szecskék taszítják egymást, így nagyobb lesz közöttük az impulzuskülönbség és ezért kevesebb kis relatív impulzusú részecskepárt fogunk detektálni. A korrelációs függvényben emiatt megjelen® Coulomb-lyuk nem hordoz számunkra érdemi információt, csak egy zavaró hatás. Célunk

a Bose-Einsten korrelációs függvényen és a mért adatokon olyan korrekciót végrehajtani, mely kiküszöböli a Coulomb kölcsönhatást.Coulomb-korrekciót alkalmazva a mérési eredményken olyan adatokat kapunk, amit akkor kaptunk volna, ha a részecskék között nincsen Coulombkölcsönhatás 3.1 Kétrészecskés Coulomb-korrekció Az els® fejezetben deniáltuk a kétrészecskés korrelációs függvényt. A denícióba a Ψk1 ,k2 (x1 , x2 ) kétrészecskés síkhullám függvényt írva: R S(x1 )S(x2 ) |Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x1 d4 x2 N2 (k1 , k2 ) C2 (k1 , k2 ) = =R =(32) N1 (k1 )N1 (k2 ) S(x1 )S(x2 ) |Ψk1 (x1 )|2 |Ψk2 (x2 )|2 d4 x1 d4 x2 R S(x1 )S(x2 ) |Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x1 d4 x2 N2 (k1 , k2 ) R = = N1 (k1 )N1 (k2 ) S(x1 )S(x2 )d4 x1 d4 x2 Bevezetve a relatív impulzust, a korrelációs függvény az alábbi alakra egyszer¶södött: e S(q) C(q) = 1 + e S(0) ahol q a relatív impulzus, 2 (33) e pedig a forrásfüggvény Fourier-transzformáltja.

Most S(q) a korrelációs függvénybe a síkhullám helyett a Coulomb-szórási probléma megoldását 11 írjuk be, ami két részecskére: ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ). N2 (k1 , k2 ) C2 (k1 , k2 ) = = N1 (k1 )N1 (k2 ) R = R 2 4 4 S(x1 )S(x2 ) ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ) d x1 d x2 R = (34) S(x1 )S(x2 )d4 x1 d4 x2 R 2 4 4 S(x1 )S(x2 ) ΨC S(x1 )S(x2 ) |Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x1 d4 x2 k1 ,k2 (x1 , x2 ) d x1 d x2 R = · R S(x1 )S(x2 )d4 x1 d4 x2 S(x1 )S(x2 ) |Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x1 d4 x2 R S(x1 )S(x2 ) |Ψk1 ,k2 (x1 , x2 )|2 d4 x1 d4 x2 R = · KCoul S(x1 )S(x2 )d4 x1 d4 x2 A fennti levezetésben a számlálót és a nevez®t is beszoroztuk a síkhullám megoldással, majd a szimmetrizált kétrészecskés Coulomb-megoldás és a szimmetrizált kétrészecskés síkhullám megoldás hányadosával deniáltuk a KCoul Coulomb-korrekciót. Az egyenletet tovább alakítva: e S(q) C(q) = 1 + e S(0) −1 C(q)KCoul 3.2 e S(q) = 1+ e S(0) 2 · KCoul (35) 2 Egyrészecskés

Coulomb-probléma A legegyszer¶bb töltött részecskés rendszer az egyrészecskés Coulomb-probléma, ami nem más, mint a hidrogénatom elektronjainak a mozgásegyenlete. Ebben az esetben az alábbi egyenletet kell megoldanunk [8]: EΨ(r, θ, φ) = − ~2 ∆Ψ(r, θ, φ) + V (r)Ψ(r, θ, φ) 2m Az egyenletben a potenciál az alábbi alakú: arányossági tényez® és V (r) = −ke2 /r, ahol (36) k a Coulomb-féle e a részecske töltése. A Laplace-operátor gömbi koordináták- kal fejezzük ki:       ~2 ∂ ~2 1 ∂ ∂ 2 ∂ − r − sinΘ 2mr2 ∂r ∂r 2mr2 sinΘ ∂Θ ∂Θ   2 1 ∂ + 2 + V (r) Ψ(r, Θ, Φ) = EΨ(r, Θ, Φ) sin Θ ∂Φ2 12 (37) Az egyenletet a változók szeparálásának módszerével oldhatjuk meg. A megoldást az alábbi, szeparált alakban keressük: Ψ(r, Θ, Φ) = R(r)Y (Θ, Φ)   −~2 ∂ 2 ∂R(r) r + 2mr2 (V (r) − E) R(r) ∂r ∂r     ~2 1 ∂ ∂Y (Θ, Φ) 1 ∂ 2 Y (Θ, Φ) − sinΘ + Y (Θ, Φ) sinΘ

∂Θ ∂Θ sin2 Θ ∂Φ2 A szögfügg® részt tovább szeparálhatjuk egy Y (Θ, Φ) = P (Θ)F (Φ) A Θ Θ-tól és egy Φ-t®l (38) függ® részre: függ® rész megoldásai a Legendre-polinomok. Az ml - ik Legendre-polinom : Pml l (x) = ahol x = cosΘ. A Φ l+m

l (−1)m 2 m/2 d 1 − x x2 − 1 l l+m 2 l! dx függ® egyenlet megoldása: F (Φ) = Aeiml Φ , szám. A teljes szögfüggést a gömbfüggvények adják meg Az (39) ahol l, ml -ik Yl,ml (Θ, Φ) = P (Θ)F (Φ) = Pml l (cosΘ)eimΦ ml egy egész gömbfüggvény: (40) A radiális egyenlet megoldása: R(r) = eir/na0 rl Ln Itt Ln (41) az n-edik asszociált Laguerre-polinom. A gömbfüggvényekben és a Laguerre- polinomokban megjelen® indexek különböz® kvantumszámoknak feleltethet®ek meg. n a f®kvantumszám, l a mellékkvatumszám, m pedig a mágneses kvantumszám. A teljes hullámfüggvény az alábbi alakú: Ψ(R, Θ, Φ) = R(r)P (Θ)F (Θ) 3.3 (42) Coulomb-szórás és

Coulomb-korrekció két részecskére Ahhoz, hogy kiszámítsuk a Coulomb-korrekciót szükségünk van a Coulombszórás megoldására. Nézzük meg a két egymáson szóródó részecske esetét! Ebben az esetben a Schrödinger-egyenlet a következ® lesz: 13  Itt ∆1 m1 és m2  1 1 e1 e2 k12 k22 ∆1 + ∆2 + − − ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ) = 0 2m1 2m2 r12 2m1 2m2 a két részecske tömege, e1 és e2 a töltése, r12 (43) pedig a relatív koordináta, ∆2 az els® részecske helyváltozója szerinti Laplace-operátor, pedig a második részecske helyváltozója szerinti Laplace-operátor. A Schrödinger-egyenletet megoldó ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ) függvény az alábbi alakú [2]: ik12 ·r12 Φk12 (r12 ) ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ) = e (44) Φk12 (r12 ) = Γ(1 + iη12 )eπη12 /2 F [−iη12 , 1; i(|k12 | · |r12 | − k12 · r12 )] Ha els® részecske koordinátája nátája x1 − x2 ahol x2 és impulzusa k2 , és m2 és impulzusa k1 , k12 = (m1 k1

− m2 k2 )/(m1 + m2 ) redukált tömege. Az egyenletben metrikus függvény, Γ(x) a második részecske koordi- akkor az egyenletben használt relatív koordináta: és relatív impulzus: µ12 m1 x1 (45) és F [a, b; x] r12 = η12 = e1 e2 µ12 /|k12 |, a konuens hipergeo- pedig a gamma függvény. A Coulomb-korrekció értéke a Coulomb-szórási probléma megoldásának és a síkhullám megoldásnak a hányadosa. Mindkét megoldást a térváltozók szerint szimmetrizálni kell S(x1 ) és S(x2 ) forrásfüggvények Gauss görbe alakúak, így össze lehet vonni ®ket egy forrásfügvénnyé: S(x1 , x2 ).A Coulomb-korrekció két részecskére a (32)-es egyenlet alapján: 2 R K2−1 (k12 ) =R S(x1 , x2 ) ei(x1 k1 +x2 k2 ) + ei(x1 k2 +x2 k1 ) d4 x1 d4 x2 0 C0 4 4 S(x1 , x2 ) ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ) + Ψk1 ,k2 (x2 , x1 ) d x1 d x2 (46) A forrásfüggvény alakja [1]: x2 S(x) = exp − 2 2R   (47) ahol R a Gauss-görbe félértékszélessége. 3.4

Schrödinger-egyenlet megoldása háromrészecskés Coulomb-szórásra Hogy ki tudjuk számolni a háromrészecskés Coulomb-korrekciót, el®ször a háromrészecskés Schrödinger-egyenletet kell megoldanunk Coulomb-szórásra [2]: 14   1 2 e1 e2 e2 e3 e3 e1 P12 P22 1 2 ∇ − ∇ + + + − − ΨC − k1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) = 0 2µ1 ζ1 2µ2 ζ2 r12 r23 r31 2µ1 2µ2 (48) A három részecskés Coulomb-szórás megoldásához be kell vezetnünk az alábbi koordinátákat és változókat [2]: ζ1 = x2 − x1 ζ2 = x3 − (m1 x1 + m2 x2 )/M2 ζ3 = (m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 )/M M2 = m1 + m2 , M = m1 + m2 + m3 (49) Itt a relatív koordináták és impulzusok az alábbiak lesznek: r21 = x2 − x1 = ζ1 r31 = x3 − x1 = αζ1 + ζ2 r32 = x3 − x2 = −βζ1 + ζ2 α = m2 /M2 , β = m1 /M2 µ1 = m1 m2 /M2 , µ2 = M2 m3 /M P1 = µ1 dζ1 /dt = (m1 k2 − m2 k1 )/M2 P2 = µ2 dζ2 /dt = (M2 k3 − m3 (k1 + k2 ))/M Az (51)-es képletben felírt kétrészecskés megoldást

általánosítsuk (50) i és j részecs- kékre [2]! Φkij (rij ) = Γ(1 + iηij )eπηij /2 F [−iηij , 1; i(|kij | · |rij | − kij · rij )], (51) A háromrészecskés Schrödinger-egyenlet megoldása kétrészecskés mogoldások és egy exponenciális tag szorzatából áll el®. i(P1 ζ1 +P2 ζ2 ) ΨC Φk12 (r21 )Φk23 (r23 )Φk31 (r31 ) k1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) = e Azonos tömeg¶ részecskék esetén (m1 = m2 = m3 ) 15 (52) a fázisfaktor az alábbi módon leegyszer¶södik: P1 ζ1 + P2 ζ2 = m2 + m3 m3 + m1 m1 + m2 k12 · r12 + k23 · r23 + k31 · r31 = M M M 2 = (k12 · r12 + k23 · r23 + k31 · r31 ) 3 Emiatt a Ψk1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) megoldás: C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) = Ψk1 k2 (x1 , x2 )Ψk2 k3 (x2 , x3 )Ψk3 k1 (x3 , x1 ) (53) i(2/3)kij rij ΨC Φkij (rij ) ki kj (xi , xj ) = e (54) Az N test¶ Coulomb-szórási probléma megoldása egyforma tömeg¶ részecskékre, ha a részecskék nincsenek túl közel egymáshoz [2]:

ΨC k1 ,k2 ,···kn (x1 , x2 , · · · xn ) = n Y ΨC ki kj (xi , xj ) i<j=1 i(2/n)kij rij ΨC Φkij (rij ) ki ,kj (xi , xj ) = e 3.5 (55) A háromrészecskés Coulomb-korrekció formulája A hullámfüggvényeket szimmetrizálnunk kell, ami két részecskénél csak két tagot jelent, de három részecskénél már hatot. Ez jól láthato a 1-es és 2-es ábrákon: jelöli a kölcsönhatást két részecske között és (X) jelöli két részecske kicserélését. 5. ábra Két részecske Bose-Einstein korrelációs diagrammja [2] 16 Vc 6. ábra Három részecskés Bose-Einstein korrelációs diagrammja [2] A három részecskés BEC diagrammot a 6. ábra mutatja Jól látható, hogy három részecskét hatféleképpen lehet felcserélni. Mivel a forrásfüggvények azonos alakúak, össze lehet vonni ®ket: S(x1 )S(x2 )S(x3 ) = S(x1 , x2 , x3 ). Az ábra alapján három részecske impulzus-eloszlása [2]: 1 N (k1 , k2 , k3 ) = 6 Z C S(x1 , x2 , x3 ) ΨC k1

,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) + Ψk1 ,k2 ,k3 (x1 , x3 , x2 )+ C +ΨC k1 ,k2 ,k3 (x2 , x1 , x3 ) + Ψk1 ,k2 ,k3 (x2 , x3 , x1 ) + 2 C 3 3 3 +ΨC k1 ,k2 ,k3 (x3 , x1 , x2 ) + Ψk1 ,k2 ,k3 (x3 , x2 , x1 ) d x1 d x2 d x3 17 (56) ahol 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) = Ψk1 k2 (x1 , x2 )Ψk2 k3 (x2 , x3 )Ψk3 k1 (x3 , x1 ) C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x1 , x3 , x2 ) = Ψk1 k2 (x1 , x3 )Ψk2 k3 (x3 , x2 )Ψk3 k1 (x2 , x1 ) C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x2 , x1 , x3 ) = Ψk1 k2 (x2 , x1 )Ψk2 k3 (x1 , x3 )Ψk3 k1 (x3 , x2 ) C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x2 , x3 , x1 ) = Ψk1 k2 (x2 , x3 )Ψk2 k3 (x3 , x1 )Ψk3 k1 (x1 , x2 ) C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x3 , x1 , x2 ) = Ψk1 k2 (x3 , x1 )Ψk2 k3 (x1 , x2 )Ψk3 k1 (x2 , x3 ) C C C ΨC k1 ,k2 ,k3 (x3 , x2 , x1 ) = Ψk1 k2 (x3 , x2 )Ψk2 k3 (x2 , x1 )Ψk3 k1 (x1 , x3 ) Ha a tömegközéppontra az alábbi feltételt rójuk ki: 1, (57) exp [−i(k1 + k2 + k3 ) · ζ3 ] = akkor a szimmetrizált Coulomb-megoldás

minden egyes tagja a (21)-es egyenlet síkhullám megoldásának egyik tagjával feleltethet® meg: i(2/3)(k12 ·r12 +k23 ·r23 +k31 ·r31 ) ΨC = ei(k1 ·x1 +k2 ·x2 +k3 ·x3 ) k1 ,k2 ,k3 (x1 , x2 , x3 ) − e i(2/3)(k12 ·r13 +k23 ·r32 +k31 ·r21 ) ΨC = ei(k1 ·x1 +k2 ·x3 +k3 ·x2 ) k1 ,k2 ,k3 (x1 , x3 , x2 ) − e i(2/3)(k12 ·r21 +k23 ·r13 +k31 ·r32 ) ΨC = ei(k1 ·x2 +k2 ·x1 +k3 ·x3 ) k1 ,k2 ,k3 (x2 , x1 , x3 ) − e i(2/3)(k12 ·r23 +k23 ·r31 +k31 ·r12 ) ΨC = ei(k1 ·x2 +k2 ·x3 +k3 ·x1 ) k1 ,k2 ,k3 (x2 , x3 , x1 ) − e i(2/3)(k12 ·r31 +k23 ·r12 +k31 ·r23 ) ΨC = ei(k1 ·x3 +k2 ·x1 +k3 ·x2 ) k1 ,k2 ,k3 (x3 , x1 , x2 ) − e i(2/3)(k12 ·r32 +k23 ·r21 +k31 ·r13 ) ΨC = ei(k1 ·x3 +k2 ·x2 +k3 ·x1 ) k1 ,k2 ,k3 (x3 , x2 , x1 ) − e (58) A háromrészecskés Coulomb-korrekció a szimmetrizált Coulomb-megoldás és a szimmetrizált síkhullám megoldás hányadosa: R K3 (k1 , k2 , k3 ) = R Ψk1 ,k2 ,k3 (xi , xj , xk ) 4. S(x1 , x2 , x3 ) P 2 3 3 3 ΨC

k1 ,k2 ,k3 (xi , xj , xk ) d x1 d x2 d x3 P S(x1 , x2 , x3 ) | Ψk1 ,k2 ,k3 (xi , xj , xk )|2 d3 x1 d3 x2 d3 x3 (59) a síkhullám megoldás. Eredmények Célom a két és háromrészecskés Coulomb-korrekció numerikus kiszámítása volt. Az eredményhez felhasználtam a konuens hipergeometrikus függvényt és a síkhul- 18 7. ábra Háromrészecskés Coulomb-korrekció pionokra a relatív impulzusok négyzetösszegének függvényében A szürke keresztek a mért eredményt jelzik, a kék keresztek pedig a korrigált adatokat. lám megoldást. Az integrálást Monte Carlo algoritmussal végeztem 140 MeV tömeg¶ azonos töltés¶ pionokat vizsgáltam, melyekb®l ütközések során több száz vagy akár ezer keletkezik. A kétrészecskés korrekciót a relatív impulzus függvényében, a háromrészecskés korrekciót 5. Q= p 2 2 2 4 (k12 + k23 + k31 ) függvényében ábrázoltam. Függelék A Coulomb-korrekció kiszámításához el®ször megvizsgáltam, hogy

a C++-ban megírt konuens hipergeometrikus függvény mennyire pontos. A megírt függvényt a Wolfram Mathematica 8.0 függvényével vetettem össze: jól látható, hogy a relatív hiba a 10−6 nagyságrend¶. A kés®bb megjelen® numerikus hibákhoz képest ez elhanyagolható. Leellen®riztem, hogy az (55)-ös és (56)-os képletben szerepl® kétrészecskés megoldás valóban megoldja-e a:   1 1 e1 e2 k12 k22 ∆+ ∆+ − − ΨC k1 ,k2 (x1 , x2 ) = 0 2m1 2m2 r12 2m1 2m2 (60) Schrödinger-egyenletet. A numerikus számítás során véletlenszer¶en generáltam az r12 relatív koordinátát 0-10 fm-es tartományon és a 19 k12 relatív impulzust 0-50 MeV- 8. ábra A kétrészecskés Coulomb-korrekció (C2 ) a relatív impulzus (k12 [MeV]) függvényében különböz® R(1,3,5,7,9) Gauss félértékszélességekkel os tartományon. A számítást azonos töltés¶, 140 MeV tömeg¶ pionokra végeztem el. A Schrödinger-egyenletet egy oldalra rendeztem és a

hiba abszolútértékét elosztottam a hullámfüggvény abszolútértékével, így kaptam relatív hibát. A relatív hibát a forrásfüggvény félértékszélességének (R) és a relatív impulzusnak (k12 ) a függvényében vizsgáltam meg. A numerikus számítás a 30 MeV alatti relatív impulzus tartományon kívül jónak bizonyult, itt a hiba csak ritkán haladta meg 4-5 %-ot. A korrekciók kiszámításához Monte Carlo algoritmus használtam, ami alkalmas egy valószín¶ségi eloszlás és egy függvény szorzatának kiintergálására. Ebben az esetben a valószín¶ségi eloszlás a forrásfüggvény volt, hiszen a forrásfüggvény azt mondja meg, hogy egy adott helyen milyen valószín¶séggel keletkezik egy részecske, maga a függvény pedig a szimmetrizált hullámfüggvény. A kétrészecskés probléma a relatív koordináta és a relatív impulzus hosszától függ, külön-külön az iránytól nem, csak a két vektor által bezárt szögt®l. Az X = x1 + x2

és x = x1 − x2 transzformálódott: x1 , x2 koordinátákról áttérve az koordinátákra, a forrásfüggvény az alábbi alakúvá √ √ S(x1 )S(x2 ) = S( 2X)S( 2x) 20 9. ábra A háromrészecskés Coulomb-korrekció (C3 ) Q[MeV] függvényében különböz® R(1,3,5,7,9) Gauss félértékszélességekkel El®ször bevezettem egy  Pold  változót, amely a valószín¶ségi eloszlás egy helyettesítési értéke nagy relatív koordinátánál. Mivel a valószín¶ségi eloszlás Gauss függvény maradt, nagy relatív koorináta értéknél a helyettesítési érték kicsi lesz. Az integrálást 0 fm-t®l 100 fm-ig végeztem, mivel ezen kívül elhanyagolható a lecseng® Gauss függvény miatt az integrál járuléka. Mivel 0 és 100 fm-t választottam az integrálási határoknak, generáltam egy véletlen számot 0 és 100 között, r12 -®t. A véletlen szám helyén megnéztem a valószín¶ségi eloszlás értékét, így megkaptam a  Pnew  változót.

Abban az esetben, ha a Pnew /Pold hányados nagyobb volt egy 0 és 1 közé es® véletlen számnál, kiszámítottam a hullámfüggvény értékét A relatív impulzus és a relatív koordináta által bezárt szöget 0-tól r12 helyen. π -ig π/100 fo- konként változtatva kiszámítottam az integrált. Ezt a m¶veletsorozatot 10000-szer végezte el a program. Mivel a Coulomb-korrekció a Coulomb-megoldásos integrál és a síkhullámos integrál hányadosa, ezért a normálási faktorok kiejtik egymást. A háromrészecskés esetben a Monte Carlo algoritmus analóg a kétrészecskés esettel, csak más koordinátákra kellett áttérni. A három részecskére összesen kilenc 21 10. ábra A megírt és a Wolfram Mathematica által számolt konuens hiperbólikus függvény relatív eltérése dimenzióra kellett volna integrálni. A dimenziók száma exponenciális megnöveli a számításokat, ha ugyanolyan pontosságot kívánunk elérni, ezért le kellett

csökkenteni a dimenziók számát hatra. Ezt azért tehettük meg mert a relatív koordinátákra áttérve az r31 = −r23 − r12 feltételnek teljesülnie kell minden koordinátára és ez három feltételt szab ki. Áttérve a relatív koordinátákra: R = r1 + r2 + r3 (61) r12 = r1 − r2 r23 = r2 − r3 r31 = r3 − r1 = −r12 − r23 R + r12 − r31 R + 2r12 + r23 r1 = = 3 3 R − r12 + r23 R − r12 + r23 r2 = = 3 3 R + r31 − r23 R − r12 − 2r23 r3 = = 3 3 (62) A forrásfüggvény kitev®je tömegközépponti rendszerb®l, áttérve a relatív koordinátákra: r12 + r22 + r32 =
1 2 2 2 + r12 · r23 r12 + r23 3 3 22 (63) 11. ábra A Schrödinger-egyenlet megoldásának numerikus hibája a forrásfüggvény R paraméterének és a relatív impulzus nagyságának függvényében A háromrészecskés korrekciót Q = p 2 2 2 4 (k12 + k23 + k31 ) függvényében vizsgál- tam. A relatív impulzusok véletlen generálásánál még gyelembe kellett venni

a k31 = −k12 − k23 nyába mutató k12 feltételt. Q adott paraméter mellé legeneráltam az x tengely irá-®t és a k12 és k23 által bezárt szöget Θ-át. Így k23 hosszára az alábbi feltételt kapjuk: k31 = −k12 − k23 (64) 2 2 2 k31 = k12 + k23 + 2k12 k23 cosΘ
2 2 Q2 = 4 2k12 + k23 + 2k12 k23 cosΘ   Q2 2 2 0 = k23 + k12 cosΘk23 + k12 − 8 (65) k23 generálásánál ezt a másodfokú egyenletet kellett mogoldani. Az integrálást a program 50000-szer végezte el. 23 Hivatkozások [1] Minoru Biyajima, Takuya Mizoguchi, and Naomichi Suzuki. Analyses of third order bose-einstein correlation by means of coulomb wave function, 2005. [2] Minoru Biyajima, Takuya Mizoguchi, and Naomichi Suzuki. Third or- der bose-einstein correlations by means of coulomb wave function revisited. PHYS.LETTB, 637:64, 2006 [3] T. Csorgo Particle interferometry from 40 mev to 40 tev HEAVY ION PHYS, 15:1, 2002. [4] Brookhaven National Laboratory. The phenix

detector rhic/physics.asp, November 2008. [5] Brookhaven National Laboratory. The phenix detector rhic/PHENIX.asp, http://www.bnlgov/ http://www.bnlgov/ November 2008. [6] Brookhaven National Laboratory. Perfect liquid hot enough to be quark soup http://www.bnlgov/rhic/news2/newsasp?a=1074&t=pr, February 2010. [7] Csanád Máté. Experimental and theoretical investigation of relativistic heavy ion collisions at rhic with focus on non-central collisions. gov/WWW/publish/csanad/phd/summary.pdf, [8] Jose Ignacio Pascual. February 2007. http://users.physikfu-berlinde/ Agsd. ~ag-pascual/Vorlesung/SS06/Slides/AMOL-L1d.pdf, [9] PHENIX-Magyarország. www.phenixbnl November 2008. Mérföldkövek a phenix kutatásaiban. phenix.eltehu/indexphp?p=miles, February 2010. [10] termeszetvilaga. A kvarkok csodálatos világa http://www.termeszetvilaga hu/fizika eve/tortenet/nobel/fizika/trocsanyi.html, 24 http:// November 2005. Név: Krizsán Levente ELTE

Természettudományi Kar, szak: zika KRLQAAT címe: Korrelációk a nagyenergiás zikában ETR azonosító: Szakdolgozat A szakdolgozat szerz®jeként fegyelmi felel®sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel® idézés nélkül nem használtam fel. Budapest 2011. június 6 a hallgató aláírása