Irányítástechnika | Felsőoktatás » Keviczky-Bars - Szabályozástechnika

Keviczky László Bars Ruth - Hetthéssy Jenô Barta András – Bányász Csilla SZABÁLYOZÁSTECHNIKA A jegyzet a HEFOP támogatásával készült. Széchenyi István Egyetem. Minden jog fenntartva Keviczky László Bars Ruth - Hetthéssy Jenô - Barta András - Bányász Csilla SZABÁLYOZÁSTECHNIKA Keviczky László Bars Ruth - Hetthéssy Jenô Barta András - Bányász Csilla SZABÁLYOZÁSTECHNIKA SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MÛSZAKI TUDOMÁNYI KAR INFORMATIKA TANSZÉK Írta: Keviczky László Bars Ruth Hetthéssy Jenô Barta András Bányász Csilla Lektorálta: Sziray József Keviczky László, Bars Ruth, Hetthéssy Jenô, Barta András, Bányász Csilla, 2006. TARTALOMJEGYZÉK 5 Tartalomjegyzék Jelölések Elôszó 1. Bevezetés 1.1 Alapfogalmak Az irányítási folyamat alapmûveletei A jel fogalma, a jelek felosztása A rendszertechnikai összefüggések ábrázolása Vezérlés, szabályozás, zavarkompenzáció A szabályozásokkal szemben

támasztott követelmények Néhány szabályozási példa 1.2 A szabályozástechnika történetébôl 1.3 Rendszer és modellje A modellek fajtái Rendszertulajdonságok Példák egyszerû rendszerek jelátviteli tulajdonságainak leírására A statikus karakterisztika linearizálása Relatív egységek 1.4 Gyakorlati szempontok 2. Folytonos idejû lineáris rendszerek leírása az idô-, az operátor- és a frekvenciatartományban 2.1 Folytonos idejû rendszerek leírása az idôtartományban n-edrendû állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet és megoldása az idôtartományban Differenciálegyenletek állapotváltozós alakja Tipikus vizsgálójelek, súlyfüggvény, átmeneti függvény A rendszer válasza tetszôleges bemenôjelre Elsôrendû differenciálegyenlet megoldása 2.2 Transzformálás az idôtartományból a frekvencia-, illetve az operátortartományba FOURIER sor, FOURIER integrál, FOURIER transzformáció LAPLACE transzformáció Az átviteli

függvény Tagok alapkapcsolásai. Blokk-diagram algebra, hatásvázlat átalakítások 2.3 Lineáris rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban A frekvenciafüggvény grafikus megjelenítése 2.4 Tipikus tagok jellemzô függvényei Ideális alaptagok Tárolós tagok Arányos tárolós, integráló tárolós, differenciáló tárolós tagok A zérusok hatása Nem minimumfázisú rendszerek Aszimptotikus BODE diagram gyors felvázolása A paraméterváltozások hatása 2.5 Közelítô leírások Domináns póluspár Többtárolós tagok közelítése holtidôs egytárolós vagy kéttárolós taggal 11 12 15 17 18 19 19 20 24 26 28 31 32 32 33 35 38 39 41 41 41 45 46 48 50 51 51 54 58 62 66 68 69 70 73 82 83 86 88 88 89 89 90 6 Holtidôs tag átviteli függvényének közelítése racionális törtfüggvénnyel 2.6 Példák folytonos idejû rendszerek leírására Egyenáramú motor Folyadéktartály Két tartályos rendszer Hôfolyamat Mozgó fordított inga 3. Folytonos

idejû rendszerek leírása az állapottérben 3.1 Az állapotegyenletek megoldása a komplex frekvenciatartományban 3.2 Az állapotegyenletek megoldása az idôtartományban 3.3 Az állapotegyenletek transzformációja, kanonikus alakok Diagonális kanonikus alak Irányítható kanonikus alak Megfigyelhetô kanonikus alak 3.4 Az irányíthatóság és megfigyelhetôség fogalma A KÁLMÁN-féle dekompozíció Közös pólus és zérus hatása Fordított inga 4. A negatív visszacsatolás 4.1 Irányítás nyitott és zárt körben 4.2 A negatívan visszacsatolt szabályozási kör alapvetô tulajdonságainak szemléltetése 4.3 A visszacsatolt mûveleti erôsítô 4.4 A szabályozási kör eredô átviteli függvényei 4.5 Statikus jelátviteli tulajdonságok 4.6 A nyitott és a zárt kör frekvenciafüggvényeinek kapcsolata Az M − α és E − β görbék 4.7 A negatív visszacsatolás érzékenysége a paraméterváltozásokra 4.8 A szabályozásokkal szemben támasztott

követelmények 4.9 A szabályozás zavarelhárító képességének növelése Zavarkompenzáció Kaszkád szabályozás 4.10 Visszacsatolásos kompenzáció 4.11 Szabályozás kisegítô módosított jellemzôvel 5. Lineáris szabályozások stabilitása 5.1 A stabilitás fogalma 5.2 A szabályozási kör stabilitása 5.3 A folytonos idejû lineáris szabályozási rendszer stabilitásának matematikai megfogalmazása 5.4 Analitikus stabilitási kritériumok Stabilitásvizsgálat a ROUTH séma alapján Stabilitásvizsgálat a HURWITZ determináns alapján 5.5 Stabilitásvizsgálat a gyökhelygörbe alapján A gyökhelygörbe módszer alapösszefüggései A gyökhelygörbe megszerkesztésének néhány szabálya Néhány példa a gyökhelygörbe meghatározására a szerkesztési szabályok alapján A gyökhelygörbe menete a huroktényezôtôl eltérô paraméter változása esetén 91 93 93 99 101 103 105 107 109 111 112 113 114 116 117 124 125 127 129 129 130 133 135 139 143 144

148 151 154 155 156 159 159 161 161 163 165 166 166 168 168 169 171 173 175 7 5.6 NYQUIST stabilitási kritérium A csillapítatlan lengés kialakulásának szemléltetése a frekvenciatartományban Az egyszerûsített NYQUIST stabilitási kritérium Az általánosított NYQUIST stabilitási kritérium Néhány példa a NYQUIST stabilitási kritérium alkalmazására A stabilitás gyakorlatban használt mérôszámai Struktúrális és feltételes stabilitás A stabilitás megítélése a BODE diagramból 5.7 Robusztus stabilitás 6. Tervezés a frekvenciatartományban 6.1 Az idô- és frekvenciatartománybeli jellemzôk kapcsolata 6.2 A minôségi elôírások megfogalmazása a frekvenciatartományban 6.3 A felnyitott kör frekvenciakarakterisztikájának formálása 7. Stabilis folyamatok irányítása 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 A YOULA-parametrizálás A SMITH szabályozó A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó A beavatkozó jelre vonatkozó korlátozások hatása Az elérhetô legjobb

szabályozás fogalma Általános elmélet Tapasztalati összefüggések 8. Hagyományos szabályozók tervezése 8.1 A PID szabályozó család és tervezése P szabályozók hangolása I szabályozók hangolása PI szabályozók hangolása PD szabályozók hangolása PID szabályozók hangolása A holtidô hatásának figyelembevétele PID szabályozók megvalósítása 8.2 Maradék rendszerek tervezése Holtidôs integráló maradék rendszer Egytárolós integráló maradék rendszer 8.3 Tapasztalati szabályozó hangolási módszerek A ZIEGLER-NICHOLS szabályok OPPELT módszere CHIEN-HRONES-RESWICK módszere STREJC módszere ÅSTRÖM relé módszere Az ÅSTRÖM-HÄGGLUND módszer 8.4 Korlátozások kezelése: "anti-reset windup" 8.5 Néhány speciális szakasz szabályozása Kétszeresen integráló szakasz kompenzálása Labilis szakasz kompenzálása 8.6 Szabályozótervezés 60°-os fázistöbbletre a póluskiejtés módszerével 9. Állapotvisszacsatolást

alkalmazó szabályozási körök 9.1 Póluselhelyezés állapotvisszacsatolással 9.2 Megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás 177 177 178 180 183 185 188 190 192 195 195 196 199 205 205 214 216 217 218 218 223 225 226 230 231 231 232 234 236 237 238 239 242 244 244 245 246 246 247 248 249 251 252 254 259 265 266 269 8 9.3 Megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás ekvivalens átviteli függvényekkel 9.4 Kétlépcsôs tervezési módszerek állapotvisszacsatolással 9.5 Az állapotvisszacsatoló LQ szabályozó 10. Általános polinomiális módszer szabályozók tervezésére 11. Mintavételes szabályozási rendszerek 11.1 Mintavételezés 11.2 Tartás 11.3 Diszkrét idejû jelek leírása z-transzformáltakkal, a z-transzformáció és inverzének alapösszefüggései A z-transzformáció néhány alaptulajdonsága Elemi jelsorozatok z-transzformáltja Inverz z-transzformáció Végértéktételek 11.4 Mintavételes rendszerek leírása az idô-, az operátoros és a

frekvenciatartományban Állapotteres modell Az eltolási operátor alkalmazásán alapuló bemeneti-kimeneti modellek A z-transzformáció alkalmazásán alapuló modellezés A zérusok transzformációja 11.5 Az állapotegyenletek struktúrális tulajdonságai 12. Mintavételes szabályozások tervezése stabilis folyamatok irányítására 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 A YOULA-szabályozó mintavételes rendszerekre A SMITH szabályozó mintavételes szabályozási körben A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó mintavételes rendszerekben Véges beállási idejû szabályozók tervezése Predikciós szabályozók Az elérhetô legjobb diszkrét idejû szabályozás Általános elmélet Tapasztalati összefüggések 13. Hagyományos diszkrét idejû szabályozók tervezése 13.1 A mintavételes PID szabályozó család és tervezése Mintavételes PI szabályozók hangolása Mintavételes PD szabályozók hangolása Mintavételes PID szabályozók hangolása 13.2 További tervezési

módszerek Közbensô folytonos idejû szabályozó tervezése és diszkretizálása Diszkrét idejû szabályozó tervezése diszkretizált folyamatmodell alapján Diszkrét idejû szabályozó tervezése folytonos idejû folyamatmodell alapján 13.3 Mintavételes maradék rendszerek tervezése Kéttárolós folytonos holtidôs folyamat TUSCHÁK módszere Kéttárolós diszkrét holtidôs folyamat 14. Állapotvisszacsatolás mintavételes rendszerekben 14.1 14.2 14.3 14.4 Diszkrét idejû póluselhelyezés állapotvisszacsatolással Diszkrét idejû megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás Kétlépcsôs mintavételes tervezési módszerek állapotvisszacsatolással Diszkrét idejû állapotvisszacsatoló LQ szabályozó 272 275 277 279 285 287 289 292 293 295 297 299 300 300 303 306 314 315 321 321 324 325 326 333 335 335 336 337 339 340 341 342 344 346 355 356 359 359 362 364 367 368 370 373 375 9 15. Általános polinomiális módszer diszkrét idejû szabályozók

tervezésére 16. Kitekintés 16.1 Szabályozástechnikai jelek és operátorok normái 16.2 A numerikus optimalizálás alapmódszerei Tiszta keresô módszerek Gradienst használó módszerek 16.3 Bevezetés a folyamatidentifikációba Statikus folyamat identifikációja Dinamikus folyamat identifikációja Diszkrét-folytonos transzformáció Rekurzív paraméter becslés Modell ellenôrzés 16.4 Iteratív és adaptív irányítási sémák Függelék F-1. F-2. F-3. F-4. F-5. Matematikai összefoglaló Jelek és rendszerek témakörök Szabályozástechnikai szabványos jelek és elnevezések Szabályozástechnikai CAD Bizonyítások, levezetések Irodalomjegyzék 377 381 381 384 384 386 389 389 391 394 395 396 397 399 400 404 407 409 414 428 10 Jelölések Folytonos idejû rendszerek átviteli függvénye: Diszkrét idejû rendszerek átviteli függvénye: Szabályozó: Folyamat: Diszkrét idejû folyamat H G C P G Érzékenységi függvény: Kiegészítô

érzékenységi függvény: Hurokátviteli függvény: Körerôsítés Hurokátviteli tényezô YOULA paraméter: Folytonos idô: S T L K k (vagy Pd ) Q ( t) Diszkrét idô: LAPLACE transzformáció z -transzformáció [k ] L {} Z {} Komplex operátoros argumentum ( L transzf.) Komplex operátoros argumentum ( Z -transzf.) Alapjel: Szabályozott jellemzô: s z r y Hibajel: Beavatkozó jel: Bemeneti zavarás e u y ni Kimeneti zavarás Mérési zaj yn yz Vektor Sorvektor Mátrix Mátrix transzponáltja Mátrix adjungáltja Mátrix determinánsa a , b, c , a T , b T , c T , A, B, C , AT adj ( A) det ( A) (vagy A ) Állapotváltozó: Állapotegyenlet paraméterei (folytonos): Állapotegyenlet paraméterei (diszkrét): Diagonális mátrix Egységmátrix x A, b, c ,d F , g , h,d diag [ a11 , a22 , , ann ] I = diag [1,1, ,1] Mintavételezési idô: Holtidô (folytonos): Ts Td (vagy y r ) (vagy y no ) 11 Holtidô (diszkrét): Járulékos holtidô

Átmeneti függvény Súlyfüggvény d Th v ( t) w ( t) Frekvencia (körfrekvencia) Folytonos jel spektruma ω F ( jω) Mintavételezett jelsorozat spektruma Diszkrét idejû modell spektruma Fs ( jω) Fd ( jω) Polinomok A , B , C, D , G , F deg{A} Polinom fokszáma Karakterisztikus egyenlet Szabályozó kimenôjelének korlátja Gradiens Minden ω -ra Komplex szám vagy függvény szöge A( s) = 0 U grad [ f ( x )] ∀ω ∠ Exponenciális függvény Természetes alapú logaritmus Tizes alapú logaritmus Várható érték Valószínûségi határérték e() ln() lg() E {} plim{} Mátrix exponenciális Mátrix logaritmus eA ln( A) (vagy G( jω) ) (vagy arc() ) (vagy exp() ) 12 Elôszó "Navigare necesse est", azaz hajózni muszáj, mondták az ókori rómaiak. "Controlare necesse est", azaz irányítani muszáj, mondjuk a XIX. századi technikai forradalom óta Valóban mindennapi életünkben környezetünkben szinte alig

találunk olyan berendezést, amelyben ne lenne legalább egy vagy jónéhány olyan szabályozási probléma, amelyet automatika old meg helyettünk, és ami a legfontosabb, értünk. A vasalóban egy relés hômérsékletszabályozás mûködik, a gázfûtésünk szintén a hômérsékletet szabályozza, de a jobbak már figyelembe veszik a környezeti hômérsékletet is. Az otthonunkban lévô korszerû audiovizuális eszközökben már tucatszám található olyan automatikus mûködésû szabályozási feladat, amelyet szintén megfelelô automatika lát el: a szalagos audio és video magnó sebessége, indítási és leállítási feladata; a CD és DVD rendszerek hasonló mûködésmódjai; az asztali számítógépünkben a processzor hômérsékletszabályozása, a merevlemez fejeinek pozícionálása, stb. Ha beülünk az autónkba, akkor a korszerûek már az üzemanyag mennyiségét, a fékek összehangolt mûködését szintén automatikus szabályozó berendezésekkel

oldják meg. Ha repülôgépre szállunk, eszünkbe jut-e, hogy ezek a gépek nem tudnának repülni szabályozás nélkül, hiszen önmagukban a labilis rendszerek tipikus példái. A mai korszerû repülôgépeken a szabályozási feladatok száma már inkább a százas nagyságrendbe esik. Az emberiség nem tudott volna elindulni az ûr meghódításának szép és nehéz útján sem, ha nem old meg és realizál sok száz automatikus vezérlési és szabályozási feladatot a rakéta technika alkalmazása és a szatellitek pályára illetve célba juttatása során. A legutóbbi Mars-járók esetében pedig már a berendezésbe épített helyi intelligencia is olyan magas szintû, amelyet nem említhetünk az egyszerû szabályozási feladatok között. Nagyipari folyamatainkban a megoldandó szabályozási feladatok száma inkább az ezres vagy tízezres nagyságrendbe esik már. A gyártandó termék mennyisége, minôsége, a környezet megvédése nem biztosítható ezen

automatikusan mûködô rendszerek nélkül. A termékek piacra kerülése elengedhetetlen követelményként igényli számos mennyiség igen pontos (sokszor elôírt pontossági sávon belüli) szabályozását. Szinte minden szerelô üzemben - az egyszerû termelô szalagtól kezdve az automatikus robotokig - a szabályozás, irányítás automatikus megoldásait (control) alkalmazzák. Az orvosbiológia fejlôdésével felfedezték, hogy az élô szervezetekben, így az emberében is több tucat alapvetô sajátos szabályozási folyamat (vérnyomás, hômérséklet, vércukor szint, hormon szintek, stb.) zajlik és a mai technika kezd eljutni oda, hogy ezek közül némelyiket már berendezéseinkkel át tudunk vállalni betegség vagy egyéb probléma esetén. A közgazdaságtan számos alapfolyamata (kereslet-kínálat, raktározás-készlet, makro és mikro mérlegek, stb.) szintén magában hordozza a természetes, vagy az emberi beavatkozás következtében mesterséges

vezérlés, irányítás, szabályozás folyamatait. A hétköznapi ember szinte alig találkozik közvetlenül a szabályozás fogalmával, bár azt naponta mûködteti a nyomógombokon, kapcsolókon és egyéb kezelôeszközökön keresztül. Ezért szokásos rejtett (hidden) technológiáról is beszélni. Ez a rejtett jelleg okozza sokszor azt a vulgáris véleményt, amely szerint nincs szükség az irányítás és szabályozás elméletének, technológiájának tanulmányozására, hiszen az jön az eszközökkel, berendezésekkel, készülékekkel együtt, azokba beépítve. Nem szabad azonban elfelejtkeznünk arról, hogy ezeket valakiknek meg kell tervezni, le kell gyártani, tulajdonságaival a világpiacon helyt kell állni, tehát 13 mindazokban a folyamatokban élenjáróan részt kell venni, amelyek egy országot a fejlett országok sorába tudnak emelni. A XXI. század korszerû technológiáiban az alapvetô feldolgozó, értékelô és döntést hozó berendezés

ma már a legtöbbször számítógép (computation). A valós idôben mûködô folyamatok jellemzôinek, jeleinek a megfigyelését, ezek átalakítását és továbbítását, valamint a végrehajtási parancsok, rendelkezések továbbítását is a digitális hírközlés (communication) végzi. Ezért szokásos a fent említett három terület Control-Computation-Communication=C3 szerves együttesérôl (synergy) beszélni. A Szabályozástechnika jegyzet azt a célt tûzte ki, hogy összefoglalja mindazokat az ismereteket, amelyek bevezetô kurzusok keretében szerte a világon az egyetemi oktatást szolgálják. Az egyes fejezetek, részek közötti hangsúlyok természetesen változhatnak, de a jegyzet megpróbál olyan konvertibilis tudást nyújtani, hogy ezen ismeretek birtokában a világ bármelyik egyetemén megfelelô alapokkal (basic-course) indulhasson a hallgató a szabályozástechnika és irányításelmélet további, magasabb szintû tanulmányai felé. A jegyzet

az egyváltozós (egy bemenetû és egy kimenetû), lineáris, állandó paraméterû, tehát legegyszerûbb rendszerekkel foglalkozik. Így nem tárgyalja a többváltozós, nemlineáris, változó paraméterû, sztochasztikus rendszereket. (Hasonlóképpen nem foglalkozik a korszerû adaptív, optimális és robusztus szabályozók elméletével sem.) Tudnunk kell, hogy a valóság ennél sokkal bonyolultabb, tehát többváltozós, nemlineáris, stb., azaz a jegyzet anyaga az elsô lépés a valódi rendszerek irányítási módszereinek elsajátításához. Másrészt meg kell említenünk, hogy számos gyakorlati feladat során is igen jó eredményeket kapunk az itt szereplô egyszerûsített megközelítések alkalmazásával. Viszonylag nagy teret szánunk a szabályozástechnika megalapozásában oly nélkülözhetetlen "Jelek és rendszerek" témaköreire. A Függelékben néhány fontos matematikai alapismeretet foglalunk össze. Ezzel azt szeretnénk elérni, hogy

a jegyzet megértéséhez az olvasónak ne kelljen más jegyzethez, könyvhöz fordulnia. Akinek tudása bizonytalan, a megfelelô fejezetekben azt felfrissítheti. A jegyzetben sok képlet szerepel. Ez egy ilyen tárgy, ez egy ilyen témakör, ami sokszor ijesztô a hallgatóknak. A szükséges számítások bonyolultsága viszont sehol sem haladja meg a mérnöki számítások bonyolultságát, illetve ahol ez kézzel nehezen végezhetô el, ott utalunk a számítástechnikai eszközök, célszoftverek szükségességére. Tudni kell, hogy a nemzetközi piacra gyártó cégek tervezô mérnökei felé ez a szint ma alapkövetelmény, hozzátéve persze, hogy az elméleti tudás csak sokéves gyakorlati tapasztalattal tud igazán hasznosulni. ("Semmi sem gyakorlatibb, mint egy jó elmélet!") A szerzôk arra számítanak, hogy a jegyzet kellô alapot nyújt a hazai megújuló alapszintû (BSc) oktatás mindazon szakai számára, ahol a Szabályozástechnika oktatandó tárgy

és ahol a cél a következô, mesterszintû (MSc) oktatás elôkészítése. Ezt a jegyzetet egy tanszéki (BMGE Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék) munkaközösség készítette el Keviczky László vezetésével. Az anyag támaszkodik a tanszék korábbi, évtizedes egyetemi oktatási tapasztalatára és jegyzeteire, de természetesen a mostani anyag nem összevethetô a korábbiak céljaival és terjedelmével. Az egyes fejezetek megírásában a munkacsoport következô tagjai játszottak elsôdleges szerepet: 14 1. Fejezet 2. Fejezet 3. Fejezet 4. Fejezet 5. Fejezet 6. Fejezet 7. Fejezet 8. Fejezet 9. Fejezet 10. Fejezet 11. Fejezet 12. Fejezet 13. Fejezet 14. Fejezet 15. Fejezet 16. Fejezet (Bars Ruth) (Bars Ruth és Barta András) (Keviczky László) (Bars Ruth és Barta András) (Bars Ruth) (Keviczky László és Bars Ruth) (Keviczky László) (Keviczky László és Bars Ruth) (Keviczky László) (Keviczky László) (Hetthéssy Jenô) (Keviczky

László) (Keviczky László és Hetthéssy Jenô) (Keviczky László) (Keviczky László) (Keviczky László) A jegyzet elkészítésében további meghatározó munkát végzett még Bányász Csilla. A jegyzet ábráinak elkészítésében aktív szerep hárult Bogárdi-Mészöly Ágnes, Dávid Zoltán és Somogyi Gábor doktorandusz hallgatókra. A jegyzethez laboratóriumi gyakorlati anyag is tartozik külön kiadvány formájában, valamint egy vizsgakérdés és feladatgyûjtemény teszi teljessé a hallgatók alapos felkészülésének segítését. 1. BEVEZETÉS 15 1. Bevezetés Az irányítás egy folyamatba való beavatkozás adott cél elérése érdekében. Az ipari termelési folyamatok irányításakor rendszerint technológiai folyamatokról van szó, de bármilyen fizikai, kémiai, biológiai, hírközlési, gazdasági, társadalmi folyamatok kívánt mederben tartásához irányításra van szükség. Irányítási módszereket kell alkalmazni, ha valamilyen

mennyiséget kívánt értéken kell tartani. Irányítással kell biztosítani például, hogy lakásunk hômérséklete télen és nyáron egyaránt kellemes legyen. Egy repülôgép irányításakor a pilótának (vagy robotpilótának) rendkívül sokrétû irányítási feladatokat kell ellátnia, hogy a repülôgép sebességét, irányát, magasságát a kívánt értéken tartsa. Irányítási rendszerek az élet minden területén jelen vannak, a háztartásban (pl. mosógép programjának beállítása, hôfokszabályozós vasaló, légkondicionáló berendezés, stb.), a közlekedésben, az ûrkutatásban, a hírközlésben, az ipari termelésben, a gazdasági életben, az orvostechnikai rendszerekben, stb. Számos irányítási rendszer létezik az élô szervezetekben is. 1.1 ábra A zuhanyozás, mint irányítási feladat Irányítási rendszerek környezetünkben mindenütt jelen vannak. Irányítási rendszert valósítunk meg például zuhanyozás közben, amikor a

zuhany hômérsékletét a számunkra kellemes hômérsékleten kívánjuk tartani (1.1 ábra) Ha a testünkkel érzékelt hômérséklet eltér a kívánt értékétôl, beavatkozunk, jobban megnyitjuk a hideg vagy meleg vízcsapot. A hideg és a meleg víz keveredés után a zuhanycsövön keresztül halad, a változtatás hatása késleltetéssel érvényesül. A késleltetés hatását figyelembe kell venni egy esetleges újabb beavatkozás eldöntésekor. A lejátszódó irányítási folyamatot az 12 ábra blokkvázlata szimbolizálja 1.2 ábra Zuhanyozás irányítási blokkvázlata Az 1.3 ábra egy szoba hômérsékletének beállítására szolgáló irányítási rendszert mutat be vázlatosan villamos fûtés esetén. Az 1.4 ábra néhány folyamatot szemléltet, amelyek megfelelô mûködéséhez irányításra van szükség. A motor fordulatszámát vagy szöghelyzetét, a tartály folyadékszintjét kívánjuk állandó értéken tartani. A hôcserélôben az átfolyó

folyadék hômérsékletét, a kémiai reaktorban a vegyi átalakulás során létrejövô anyagok minôségét és mennyiségét kell beállítani. A desztillációs 16 kolonnában a bejövô kôolajból kívánjuk szétválasztani az egyes komponenseket, ehhez az oszlopban lévô tányérok hômérsékletét kell egymáshoz képest megfelelôen irányítani. A mindennapi gyakorlatban, a háztartásban, továbbá a legkülönbözôbb termelési folyamatokban számos irányítási feladatot kell megoldani. 1.3 ábra Szoba hômérsékletének irányítása 1.4 ábra Néhány tipikus irányítási feladat A továbbiakban mûszaki rendszerek irányítási folyamatait tárgyaljuk. Az ipari termelési folyamatok irányításának lényeges szerepe van a jobb termékminôség biztosításában, az energiafelhasználás minimalizálásában, a biztonság növelésében, a környezetszennyezés csökkentésében. Az anyagi javakat elôállító termelési folyamatokban anyag- és

energiaátalakítási folyamatok mennek végbe. Irányítással biztosítani kell e folyamatok megfelelô elindítását, fenntartását, leállítását. Egy hôerômûben például a szén kémiai energiája az elégetéskor hôenergiává alakul át A hôt gôz elôállítására használják fel. A gôz meghajtja a gôzturbinát, mechanikai forgási energia jön létre. A turbina forgatja a szinkrongenerátor forgórészét az állórész mágneses terében Ezáltal villamos energia jön létre. Ezeket a folyamatokat elôírt mederben kell tartani A folyamatokat el kell indítani, mûködésüket megadott elôírásoknak megfelelôen kell fenntartani. Az energiatermelési folyamatnál biztosítani kell például, hogy a változó napi terhelés ellenére a villamos energia elôírt feszültségen és frekvencián elôírt pontossággal álljon rendelkezésre. A folyamatok leállítását is biztonságosan kell végrehajtani. A folyamatok kívánt fenntartása különbözô fizikai

mennyiségek állandó értéken tartását vagy adott törvényszerûség szerinti megváltoztatását jelenti. Ilyen fizikai mennyiségek lehetnek például egy közeg hômérséklete, nyomása, egy anyag összetétele, egy gép fordulatszáma, egy tengely szöghelyzete, egy tartály folyadékszintje, stb. 17 1.5 ábra A rendszer és a környezet Egy folyamat olyan rendszert alkot, amely sokrétûen kapcsolódik környezetéhez. Egy hôerômû például a fûtôanyag kémiai energiáját villamos energiává alakítja át. A rendszer több egymáshoz kapcsolódó berendezésbôl áll (kazán, gôzturbina, szinkrongenerátor, segédberendezések). A rendszer a bemenô mennyiséget (fûtôanyag) kimenô mennyiséggé (villamos energia) alakítja át, miközben a környezettel sokoldalú kapcsolatban áll (hulladék anyagot termel, a környezetbe hôt ad le, mechanikai rezgést és zajt kelt, stb.) A rendszer és a környezet kapcsolatát az 15 ábra szemlélteti. Ha az

energiatermelés részét képezô turbógenerátor mûködését kívánjuk vizsgálni, a rendszert és környezetét másként állapítjuk meg (1.6 ábra) A rendszert a turbógenerátor jelenti, amely a gôz hôenergiáját villamos energiává alakítja. 1.6 ábra A rendszer és a környezet A környezetbôl a rendszerbe menô mennyiségek a bemenetek, a rendszerbôl a környezetbe jövô mennyiségek a kimenetek. Az irányítással a bemenô mennyiségek megfelelô módosításán keresztül a kimenô mennyiségeket az elôírásoknak megfelelô értékeken kívánjuk tartani. 1.1 Alapfogalmak Az irányítás olyan mûvelet, amely valamely folyamatba annak elindítása, fenntartása, megfelelô lefolyásának biztosítása, megváltoztatása vagy megállítása végett beavatkozik. Az irányítás alapja a folyamatról illetve környezetérôl való információszerzés, megfigyelés, érzékelés, mérés útján. A különbözô fizikai mennyiségek méréséhez

mérômûszerekre van szükség. Az irányítási cél ismeretében és a folyamatról illetve környezetérôl szerzett információ alapján döntést hozunk a folyamatba történô megfelelô beavatkozásra. Az irányítás mûveletére jellemzô, hogy nagy energiájú folyamatokat rendszerint kis energiájú hatásokkal befolyásol. 18 Az irányítás módja az, hogy egy e célra létesített külsô berendezés mért vagy más úton szerzett adataik alapján megváltoztatja a folyamat közvetlenül befolyásolható jellemzôit, és ezen keresztül eléri más jellemzôknek a kívánt változását is. Az irányított folyamat és az irányító berendezések együttese az irányítási rendszer. 1.7 ábra Kézi szintbeállítás 1.8 ábra Automatikus vízszintállítás Az irányítás lehet kézi vagy automatikus irányítás. Kézi irányítás esetén a megfigyelt mennyiség alapján a kezelô személy hoz döntést és avatkozik be a folyamatot befolyásoló mennyiség

megváltoztatásával. Automatikus (önmûködô) irányítás esetén a döntéshozás és beavatkozás funkcióját gépi berendezések veszik át. Az ember feladata ekkor az irányító berendezések beállítása, ellenôrzése, karbantartása. Kézi irányítás a zuhanyozás (11 ábra), kézi irányítást szemléltet az 1.7 ábra is A kezelô személy figyeli a tartályban a folyadék szintjét és az elfolyó mennyiséget befolyásoló csap szelephelyzetével állítja be a kívánt folyadékszintet. Az 18 ábra automatikus vízszintállítást mutat. A folyadékszintet úszó érzékeli Ha a szint eltér kívánt értékétôl, a befolyó mennyiséget befolyásoló szelep jobban vagy kevésbé nyit. Az irányítástechnika az irányítási rendszerek törvényszerûségeivel, az irányítási mûveletek vizsgálati módszereivel, az irányítási rendszerek tervezésével, megvalósításával foglalkozik. 1.9 ábra Irányítási rendszer mûködési vázlata Az irányítási

folyamat alapmûveletei Az irányítási folyamat a következô mûveletekbôl áll (1.9 ábra): Érzékelés: információszerzés az irányítandó folyamatról és környezetérôl Ítéletalkotás: az értesülés feldolgozása és az irányítási cél alapján döntéshozás a rendelkezés szükségességérôl Rendelkezés: utasítás a beavatkozásra Jelformálás: a beavatkozás módjának, jellegének befolyásolása Végrehajtás, beavatkozás: az irányított folyamat befolyásolása a rendelkezés alapján. Az egyes mûveleteket megfelelô szerkezeti egységek, ún. szervek hajtják végre 19 A jel fogalma, a jelek felosztása Az irányításhoz a folyamat változását érzékelni kell. A folyamat változása külsô és belsô hatások következtében áll elô. A folyamat jellemzôit, amelyekben a változás megnyilvánul, valamint a külsô és belsô hatásokat jelek testesítik meg. A jel olyan fizikai mennyiség, vagy a fizikai mennyiség megváltozása,

amelynek információtartalma van. Jellemzônek nevezzük azokat a jeleket, amelyek a folyamat változását mutatják, függetlenül a folyamathoz kapcsolódó irányítási rendszertôl. A jel az irányítási rendszerben megjelenô információ A jel információ szerzésére, továbbítására, tárolására alkalmas. A jeleket és jellemzôket mérômûszerekkel érzékelhetjük. A jeleknek van fizikai megjelenési formája (áram, feszültség, hômérséklet, stb) – ez a jelhordozó, és van információtartalma - amely a jel által képviselt hatást (pl. az áram idôbeli változását) mutatja. A jeleket különbözô szempontok szerint oszthatjuk fel Az idôbeli lefolyás szerint a jel lehet folyamatos, ha adott idôtartományban megszakítás nélkül fennáll; diszkrét idejû vagy mintavételezett a jel, ha csak meghatározott idôközönként és idôtartamban szolgáltat információt. Értékkészlete szerint a jel lehet folytonos, ha értékkészlete összefüggô

tartomány; szakaszos, ha csak meghatározott értékeket vehet fel. Az információ megjelenési formája szerint a jel lehet analóg, ha az információt a jelhordozó értéke közvetlenül képviseli; digitális, ha az információ a jelhordozó digitálisan kódolt formában, diszkrét értékeiben van jelen. Az érték meghatározottsága szerint a jel lehet determinisztikus, ha értéke egy meghatározott idôfüggvénnyel egyértelmûen megadható; sztochasztikus, ha véletlen lefolyású és statisztikai módszerekkel írható le. A folyamat jellemzôi lehetnek bemenôjelek, kimenôjelek és belsô változók. A bemenôjelek közül azokat, amelyekkel a folyamatot befolyásolni kívánjuk, beavatkozó jellemzôknek nevezzük. A többi bemenô változó a folyamat zavaró jellemzôje A rendszertechnikai összefüggések ábrázolása Az irányítási rendszer részei egymással kölcsönhatásban vannak. Az egyes részek kapcsolatát különbözô hatásvázlatokkal adhatjuk

meg. Amint azt a korábbiakban említettük, az irányítási feladatokat ellátó berendezéseket szerveknek nevezzük (pl. érzékelô szerv, beavatkozó szerv, stb.); a szervek szintén szerepelnek a hatásvázlatokban A szerkezeti vázlat a rendszert alkotó berendezésekrôl és azok kapcsolatáról ad áttekintést. Elsôsorban a rendszer irányítástechnikai szempontból lényeges részeit tünteti fel. Rendszerint az adott szakterület szabványos jelöléseit alkalmazza. Rendszertechnikailag nem az egyes szervek mûködése, hanem a mûködésük által kiváltott információ tovaterjedô hatása az érdekes. A mûködési vázlat a szerkezetek kapcsolódását, egymásra hatását mutatja, a szerkezetek fizikai jellegétôl elvonatkoztatva. A szerkezeteket a vázlatban téglalap szimbolizálja. A szerkezetet jelképezô téglalapba befutó, nyíllal ellátott irányított vonal a bemenôjelet, a téglalapból kilépô irányított vonal a kimenôjelet jelenti. A nyilak

iránya a hatásirány. A téglalapokba a szerkezeti egység funkcióját írjuk be (pl érzékelô szerv, beavatkozó szerv, szabályozó, stb.) 20 Egy irányítás megvalósításakor elôször a folyamat kívánt mûködésével szemben támasztott követelményeket, az irányítás célját fogalmazzuk meg. Ezután a feladat megoldásához megválasztjuk az irányítási rendszer egyes szerveit, amelyek a folyamathoz és egymáshoz kapcsolódnak. Az irányítási rendszer mûködésének vizsgálatakor ellenôrizni kívánjuk, hogy az irányítás eleget tesz-e a minôségi elôírásoknak. Ehhez az egyes elemek jelátviteli tulajdonságait és azok kapcsolódását kell áttekinteni. A hatásvázlatban (blokk-diagramban) a mûködési vázlat egyes elemeit jelátviteli tulajdonságaikkal, a kimenô- és bemenôjeleik kapcsolatát leíró matematikai összefüggésekkel adjuk meg. Ezek az összefüggések lehetnek matematikai egyenletek, táblázatok, jelleggörbék, mûveleti

utasítások, stb. Az egyes elemek jelátviteli tulajdonságait az elem fizikai mûködésének matematikai leírásával, továbbá a leírásban szereplô paraméterek megadásával jellemezhetjük. A gyakran elôforduló mûveletek jelzésére a téglalapba beírt jel (pl. integrálás jele) szolgál Az összegezés vagy különbségképzés szimbólumát az 1.10 ábra mutatja A hatásvázlat elemeit tagoknak nevezzük Azon tagok összessége, amelyeken a jel azonos hatásirányban áthalad, a hatáslánc. 1.10 ábra Összegezés és különbségképzés jelölései A hatásvázlat az irányítási rendszer modelljének tekinthetô. E modellben a rendszer jelátviteli tulajdonságait tartjuk szem elôtt, egyéb tulajdonságait figyelmen kívül hagyjuk. A hatásvázlat alapján vizsgálhatjuk az irányítási rendszer statikus (stacionér állapotbeli) és dinamikus viselkedését. A hatásvázlat alapul szolgál az irányítási rendszer megtervezéséhez is Természetesen a

rendszer tényleges megvalósításakor a jelátviteli tulajdonságokon kívül más szempontokat is figyelembe kell venni (pl. energetikai korlátozások, szabványos megoldások) Vezérlés, szabályozás, zavarkompenzáció Ha az információt nem közvetlenül az irányított jellemzô érzékelésével nyerjük, vezérlésrôl vagy nyílt hurkú irányításról beszélünk. Ha az információt az irányított jellemzô mérésével kapjuk, szabályozásról vagy visszacsatolt zárt hurkú irányításról van szó. Az 111 ábra egy szabályozási kör mûködési vázlatát adja meg. 1.11 ábra Szabályozás mûködési vázlata Vezérlésre példa a mosógép idôprogram szerinti irányítása az egymást követô mûveletek (öblítés, mosás, centrifugálás) elvégzésére. A kimenôjelet (a ruhák tisztaságát) nem mérjük Ha egy terem fûtését a külsô hômérséklet értékétôl függôen állítjuk, ugyancsak vezérlésrôl van szó. Szabályozás esetén magát

az irányítandó mennyiséget, a szabályozott (irányított) jellemzôt 21 érzékeljük. A szabályozási eltérés, a szabályozott jellemzô aktuális és kívánatos értékének eltérése befolyásolja a folyamat (szakasz) bemenôjelét. A szabályozási kör szervei az érzékelô szerv, az alapjelképzô szerv, a különbségképzô szerv, az erôsítô és jelformáló szerv, a végrehajtó és a beavatkozó szerv. A folyamatok jellemzôit mûszerekkel érzékeljük A mûszer az érzékelô szerv, az általa szolgáltatott mennyiség összehasonlítható az alapjelképzô szerv által elôállított alapjellel. A mûszerek a különbözô fizikai mennyiségekkel arányos jeleket szolgáltatnak. Az érzékelôvel szemben az alábbi követelményeket támasztjuk: - megbízhatóan és a kívánt mérési tartományban mûködjön - ebben a tartományban legyen lineáris - legyen pontos - idôkésleltetése legyen sokkal kisebb a folyamat idôállandóinál - a mérési

zajok legyenek minél kisebbek. Az érzékelô szerv az adott fizikai mennyiséget, a szabályozott jellemzôt méri, és olyan fizikai mennyiséggé alakítja, amely az elôírt kimenôjel értékével arányos, és az alapjelképzô szerv által elôállított alapjellel összehasonlítható. Az összehasonlítást a különbségképzô szerv végzi A szabályozott jellemzô mért értékét, az ellenôrzô jelet összehasonlítjuk az alapjelképzô szerv kimenôjelével, az alapjellel. A különbségi jelet rendelkezôjelnek nevezzük A rendelkezôjel mûködteti a szabályozót. A szabályozó kimenôjele mûködteti a végrehajtószervet, amely a beavatkozószerv bemenôjelét szolgáltatja. A beavatkozószerv kimenete a módosított jellemzô, ami a folyamat bemenôjele. A rendelkezôjel a szabályozott jellemzônek a kívánt értékétôl való eltérését mutatja. Ha értéke zérustól eltérô, beavatkozásra van szükség a hiba kiküszöbölésére A szerveket gyakorlati

megfontolások alapján választjuk meg. Az adott fizikai változók jeltartományába esô, a kereskedelmi forgalomban hozzáférhetô érzékelôkbôl, beavatkozó szervekbôl és további irányítási egységekbôl állítjuk össze a szabályozási kört. A szabályozás alapja a negatív visszacsatolás (feedback), a rendelkezés az alapjel és a visszacsatolt érzékelt szabályozott jellemzô értékének összehasonlítása révén jön létre. (A szabályozás általános problematikájának többféle sémája létezik, de mindegyik lényege a visszacsatolás.) A jeleknek a hatásláncon való áthaladásához - a folyamat és a szabályozási rendszer egyes elemeinek dinamikája miatt - idôre van szükség. Egy jól megtervezett szabályozó figyelembe veszi a zárt szabályozási hurok dinamikáját és biztosítja a szabályozási rendszerrel szemben támasztott minôségi követelmények teljesítését. A vezérlés és a szabályozás összehasonlítása Ha a

beavatkozójel (módosított jellemzô) és az irányított jellemzô közötti kapcsolat pontosan ismert és az irányítási hatáslánc valamennyi elemérôl és a zavaró jellemzôkrôl megbízható információk állnak rendelkezésre, a vezérlés jó irányítást biztosíthat. Ha azonban ismereteink a rendszerrôl és a zavarásokról pontatlanok, a vezérlés mûködése nem lesz kielégítô. A vezérlés olcsó irányítási lehetôséget biztosít, mivel nem alkalmaz költséges érzékelô berendezéseket az irányítandó mennyiség mérésére, hanem elôzetes ismereteket, vagy külsô mennyiségekrôl kapott információt használ fel az ítéletalkotáshoz. Vezérléskor nem lépnek fel stabilitási problémák A zárt hurkú szabályozás költségesebb, mint a vezérlés. Az irányított jellemzôt érzékelô mûszerrel mérjük, és a beavatkozás az alapjel és az érzékelt kimenôjel eltérése alapján történik. A szabályozás képes az alapjel követésére

és a zavarások elhárítására. Mivel a szabályozott jellemzô értékét befolyásolják a zavarások, a szabályozás elhárítja az elôre nem ismert zavarások 22 hatását, és kompenzálja a folyamat modelljének pontatlanságából eredô paraméter bizonytalanságok hatását is. A szabályozás mûködésbe lép a kimenôjelnek a kívánt értéktôl való eltérésének kiküszöbölésére, akármilyen hatás okozta is az eltérést. A negatív visszacsatolás következtében azonban stabilitási problémák léphetnek fel, a rendszerben nemkívánatos lengések jöhetnek létre. A rendszer stabilitása a szabályozó megfelelô tervezésével biztosítható 1.12 ábra Zavarkompenzáció Ha a zavarás mérhetô, sokszor a zárt hurkú szabályozást kiegészítjük a zavarásról vett elôrecsatolással (vezérléssel). Ezt a megoldást zavarkompenzációnak (angolul feedforward) nevezzük. A zavarkompenzáció hatásvázlatát az 112 ábra mutatja A mért zavaró

jellemzôtôl függô jelet vezetünk vissza a hatáslánc valamelyik alkalmas jelösszegzési pontjára. A vezérlési kör tehermentesíti a szabályozási kört a zavarelhárításban. Az elôrecsatolás a zavaró jellemzô hatását igyekszik kiegyenlíteni. Ez a beavatkozás nyílt láncú, a zavaró jellemzô befolyásolja az irányított jellemzô értékét, a beavatkozás azonban magára a zavaró jellemzôre nem hat vissza. 1.13 ábra Kompaund gerjesztésû egyenáramú generátor A zavarkompenzációra klasszikus példa a villamos generátorok kompaund (vegyes) gerjesztése (1.13 ábra) A kapocsfeszültség az irányított jellemzô, a gerjesztés a módosított jellemzô A generátor kapocsfeszültségét a terhelô áram (zavaró jellemzô) lecsökkenti. Kompaundáláskor a gerjesztés egy részét maga a terhelôáram létesíti, így a zavaró jellemzô azonnal létrehozza a semlegesítô hatást, és ezzel nagymértékben stabilizálja a generátor feszültségét.

Ezen túlmenô finomabb feszültségszabályozásra zárt hurkú szabályozási kör alkalmazható. 1.14 ábra Keverô tartály 23 Tekintsük az 1.14 ábrán látható keverô tartályt w1 az A és B anyag keverékébôl álló anyagnak a tartályba befolyó mennyisége. A keverékben az A anyag részaránya x1 w 2 a tartályba befolyó tiszta A anyagból álló mennyiség, x 2 = 1. w az elfolyó x összetételû anyagmennyiség Feltételezzük, hogy w1 állandó, x 2 állandó, és a tartályban a keveredés tökéletes. Az irányítás célja az elfolyó anyag x összetételének (irányított jellemzô) elôírt értéken tartása az x1 értékében (zavaró jellemzô) fellépô ingadozások ellenére. A beavatkozás a w 2 beáramló mennyiség (módosított jellemzô) változtatásával történhet a szelep állításával. Az irányítást szabályozással valósítjuk meg, ha az elfolyó anyag x összetételét mérjük és ettôl függôen állítjuk a w 2 beáramló

mennyiséget (1.15 ábra) Vezérlésrôl beszélhetünk, ha a befolyó keverékanyag x1 összetételét mérjük, és ennek megfelelôen módosítjuk a w 2 beáramló mennyiséget (1.16 ábra) Az 1.17 ábra zavarkompenzációs megoldást szemléltet, amikor mérjük az elfolyó anyag x összetételét és a befolyó keverékanyag x1 összetételét is, és a w 2 beáramló mennyiséget mindkét mért értéktôl függôen állítjuk. (Az ábrákon az érzékelôk, szabályozók, szelepek szabványos jelöléseit alkalmaztuk, lásd a Függelék F-3. pontját) 1.15 ábra A keverô tartályban a folyadék összetételének irányítása szabályozással 1.16 ábra A keverô tartályban a folyadék összetételének irányítása vezérléssel 1.17 ábra A folyadék összetételének irányítása zavarkompenzációval A következô példa egy motor fordulatszámának beállítását mutatja vezérléssel és szabályozással. Egy CD lejátszóban a CD-t tartó tárcsát állandó

fordulatszámmal kell forgatni. Beavatkozó szervnek választhatunk egy egyenáramú motort, amelynek szögsebessége arányos a kapocsfeszültséggel. Az 118 ábra a feladat megoldását nyílt hurokban, vezérléssel mutatja be A motor kapocsfeszültségét egy egyenáramú tápegység szolgáltatja egy erôsítôn keresztül. A fordulatszám arányos a kapocsfeszültséggel. Az (a) ábra a vázlatos szerkezeti vázlatot, a (b) ábra a mûködési vázlatot adja meg. Az 119 ábra a feladat szabályozással való megoldását mutatja 24 sematikusan. Az (a) ábra a szerkezeti vázlatot, a (b) ábra a mûködési vázlatot szemlélteti A motor fordulatszámát tachométerdinamóval mérjük, amelynek kimenô feszültsége arányos a fordulatszámmal. A mért feszültséget összehasonlítjuk a tápegységgel beállított alapjel feszültséggel, amely az elôírt fordulatszámmal arányos. A rendelkezôjel az erôsítôn keresztül mûködteti a beavatkozószervet, az egyenáramú

motort. 1.18 ábra CD lejátszó fordulatszámvezérlése 1.19 ábra CD lejátszó fordulatszámszabályozása A szabályozással a berendezés pontosabb, megbízhatóbb mûködése biztosítható. A szabályozás nemcsak az alapjel követését biztosítja, hanem kiküszöböli a terhelés változásából adódó szögsebességváltozásokat is. A gyakorlatban a szabályozások mellett fontos szerepet kapnak a vezérlések is. Egy bonyolult rendszer indítása és leállítása során bonyolult vezérlési mûveletsorozatot kell végrehajtani. A vezérlést rendszerint intelligens PLC (Programmable Logic Controller), egyszerûbb esetben egy mikrokontroller berendezés hajtja végre. Az egyes fizikai mennyiségek állandó értéken tartását zárt hurkú szabályozások valósítják meg. A szabályozásokkal szemben támasztott követelmények A szabályozás alapvetô célja az alapjel követése és a zavaró hatások kiküszöbölése. A szabályozás minôségére

vonatkozóan statikus és dinamikus követelményeket támasztunk. A szabályozásnak elsôsorban stabilisnak kell lennie, másszóval a szabályozási körben állandó 25 amplitúdójú, vagy egyre növekvô amplitúdójú lengések nem engedhetôk meg. A bemenôjelek megváltozását követôen új egyensúlyi állapotnak kell beállnia. A stabilitás problémája a szabályozási kört realizáló negatív visszacsatolásból adódik. Mivel a szabályozási eltérés fellépése után a valóságos rendszerben a beavatkozás csak késleltetve tud érvényesülni, elôfordulhat, hogy nem kívánt tranziensek lépnek fel (az 1.1 ábrán például a zuhanyozáskor a víz hol túl meleg, hol túl hideg lesz, nem áll be a kívánt hôfok). A stabilis mûködést a szabályozó megfelelô megtervezésével kell biztosítani. (A stabilitásvizsgálattal az 5 Fejezet foglalkozik részletesen.) A statikus elôírások megadják, hogy állandósult állapotban, a tranziensek lezajlása

után a kimenôjel legfeljebb mekkora állandósult hibával követheti az alapjelet, illetve mekkora lehet maximálisan a zavarások hatására fennmaradó állandósult eltérés a kimenôjelben. Az irányítandó folyamattól, a technológiától függ, hogy egyáltalán megengedhetô-e statikus hiba, és ha igen, mekkora lehet annak maximális értéke. 1.20 ábra Dinamikus minôségi elôírások A dinamikus elôírások a tranziensek lefolyására adnak megkötéseket. Tekintsük a szabályozás egységugrás alapjelre adott válaszát (1.20 ábra) a feltüntetett y max maximállis és y áll állandósult értékekkel. A σ százalékos túllendülést az alábbi összefüggéssel definiáljuk: σ= y max − y áll ⋅ 100% y áll Vannak olyan folyamatok, amelyek aperiodikus viselkedést követelnek meg (pl. szerszámgépek, repülôgép landolás, stb.), más folyamatoknál sokszor tolerálható 5-10%-os túllendülés A ts szabályozási idô megadja, hogy mennyi idô alatt

áll be az átmeneti folyamat állandósult értékének ± ∆% -os (általában ±(1 − 2)% ) környezetébe. Szokásos még elôírni a szabályozási idôn belül megengedhetô lengések számát is. A szabályozás beavatkozójele (a módosított jellemzô) a beavatkozó szerv kimenôjele. A beavatkozójel a fizikai megvalósításnak megfelelô korlátos értéket vehet csak fel (például egy tartályba beáramló folyadékmennyiséget beállító szelep maximálisan nyitott állapotában egy maximális folyadékmennyiséget enged át, amelynél nagyobb értéket nem képes biztosítani, hiába kapna erre parancsot). Ha ennél nagyobb értéket kívánnánk érvényesíteni, a beavatkozószerv „betelít”, csupán a lehetséges maximális értéket adja, és ezáltal átmenetileg „nyitja” a szabályozási kört. A beavatkozójel lehetséges korlátozásának jelenségét a szabályozás tervezésekor kezelni kell, lehetôleg biztosítani kell, hogy a beavatkozójel a

megadott tartományba essen, illetve ha azt mégis meghaladná, lehetôleg ne lépjenek fel a szabályozási körben a normális mûködést lényegesen torzító jelenségek. A szabályozást az adott szabályozott szakaszhoz tervezzük a minôségi elôírások biztosítására. A 26 szakasz jelátviteli tulajdonságait, a szakasz jelátviteli modelljét a fizikai mûködés matematikai leírásával kaphatjuk meg. Az egyenletekben szereplô paraméterek értékeit rendszerint mérésekkel határozzuk meg. A paraméterek értékeiben tehát mérési pontatlanságok lehetnek A szabályozási körnek megfelelôen (robusztusan) kell mûködnie akkor is, ha az irányítandó folyamat tényleges paraméterei és a folyamat modelljében figyelembe vett paraméterek bizonyos mértékben eltérnek egymástól. A szabályozással szemben támasztott követelményeknek reálisaknak kell lenniük. Egy lassú hôfolyamattól nem kívánhatunk meg rendkívül gyors beállást, mivel ez igen

nagy beavatkozó hatásokat eredményezne. A realizálhatóság érdekében ilyenkor engedni kell az elôírások szigorúságából. A szabályozásokkal szemben támasztott minôségi elôírásokkal a 4. Fejezetben foglalkozunk részletesebben. Néhány szabályozási példa Az alábbiakban néhány szabályozási példát mutatunk be vázlatosan. Hômérsékletszabályozás Az 1.21 ábra egy elôírt hômérsékletû meleg vizet elôállító berendezés sematikus szerkezeti vázlatát mutatja. A kazán tûzterében elhelyezett csövekben cirkulál a víz A tüzeléshez használt szenet villamos motorral hajtott szállítószalag viszi a széntárolóból a fûtôberendezésig. A szalag sebessége, illetve ezzel a szállított szén mennyisége a villamos motor fordulatszámával szabályozható. A szabályozó a meleg víz elôírt hôfokának és mért tényleges hômérsékletének különbsége alapján egy elôerôsítôn és egy teljesítményerôsítôn keresztül állítja

be a villamos motor tápfeszültségét, amely megszabja a fordulatszámot. Az 122 ábra a szabályozás mûködési vázlatát adja meg. 1.21 ábra Hômérsékletszabályozás sematikus szerkezeti vázlata 1.22 ábra Hômérsékletszabályozás mûködési vázlata Fordulatszámszabályozás 27 Az 1.23 ábra egy állandó külsôgerjesztésû egyenáramú motor fordulatszámszabályozásának szerkezeti vázlatát mutatja. A motor fordulatszáma a kapocsfeszültséggel változtatható (módosított jellemzô). A motor által meghajtott munkagép a motorra nézve változó terhelést jelent (zavaró jellemzô), amely fordulatszámingadozást eredményez. A motor kapocsfeszültsége a tirisztoros egységgel változtatható. A motor fordulatszámát egy tachométergenerátorral érzékeljük, amely a fordulatszámmal arányos feszültséget szolgáltat. Ezt a feszültséget összehasonlítva a tápegység által szolgáltatott alapjellel kapjuk a rendelkezôjel feszültséget.

Ennek jelszintjét teljesítményerôsítôvel (E1 és E2) megnövelve, és szûrôvel jelalakját módosítva nyerünk egy beavatkozójelet, amely a tirisztoros egység gyújtásszögének változtatásával a kapocsfeszültséget a rendelkezôjelnek megfelelôen növeli vagy csökkenti, annak érdekében, hogy a fordulatszám elérje a tápegység alapjelfeszültsége által elôírt értékét. A szabályozás mûködési vázlatát az 1.24 ábra adja meg 1.23 ábra Egyenáramú motor fordulatszámszabályozása 1.24 ábra Fordulatszámszabályozás mûködési vázlata Szintszabályozás, összetételszabályozás, nedvességszabályozás Ipari vegyi folyamatokban gyakori feladatok: egy tartályban folyadékszintszabályozás, nyomásszabályozás, hômérsékletszabályozás, keverék anyagok összetételszabályozása, nedvességtartalom szabályozása, stb. Az 125 ábra folyadékszintszabályozásra mutat két megoldást. A felsô ábrán bemutatott megoldás a befolyó, az

alsó ábra megoldása a kifolyó mennyiség módosításával szabályoz. Az 126 ábra pH szabályozás vázlatát szemlélteti Az 1.27 ábra szárítási folyamatban szemcsés anyag nedvességszabályozásának megoldását adja 28 meg vázlatosan. Az anyag nedvességtartalmát érzékeljük, és a kívánt értéktôl való eltérés esetén módosítjuk az anyagot szállító szalag sebességét, illetve megváltoztatjuk az anyagot szárító gôz (vagy forró levegô) átáramló mennyiségét. 1.25 ábra Tartály szintszabályozása 1.26 ábra pH szabályozás 1.27 ábra Nedvességszabályozás 1.2 A szabályozástechnika történetébôl A szabályozástechnika napjainkban is dinamikusan fejlôdik. Az újabb eszközök és technikák újabb elméleti kérdéseket vetnek fel, és újszerû alkalmazásokat tesznek lehetôvé. A negatív visszacsatolás alkalmazása nem új elv, már az ókori görögök is alkalmazták. Visszatekintve a szabályozástechnika fejlôdésének

történetére néhány tendenciát figyelhetünk meg. A negatív visszacsatolás alkalmazása mérnöki feladatok megoldásához kapcsolódik. A szabályozástechnika fejlôdése szorosan kötôdik azokhoz a gyakorlati feladatokhoz, amelyek az emberiség történetének egy-egy szakaszában megoldásra vártak. A történelem egyes korszakai, 29 amelyek jelentôs befolyással voltak a szabályozástechnika fejlôdésére: - az ókori görög és arab kultúra (ie. ~300 – iu ~1200), - az ipari forradalom kora (1700-as évek, de a kezdetek már 1600 körül), - a távközlés kezdetei (1910-1945), - a számítógép megjelenése, az ûrkutatás kezdete (1957-). Ezeket a korszakokat tekintve megállapíthatjuk, hogy az ember kereste elôször helyét a térben és idôben, majd igyekezett környezetét alakítani és életét kényelmesebbé tenni, ehhez hozzájárult az ipari termelés. Ezután a kommunikációt is felhasználva megalapozza helyét, helyzetét a társadalomban,

majd igyekszik kapcsolatot teremteni a világmindenséggel. Már az ókori görögök is használtak különbözô automatákat. Az egyik elsô szabályozási rendszer az alexandriai KTESIBIOS vízórája volt (ie. 270) A szerkezet úszót használt egy tartály szintjének érzékelésére és állandó értéken tartására. Ha a tartályban a víz szintje lecsökkent, egy szelep nyitott és a tartály újratöltôdött. Az állandó szint biztosította a tartályból kifolyó víz mennyiségének állandó értékét. A kifolyó víz egy második tartályt töltött Ez a tartály az idôvel arányosan töltôdött. A bizánci PHILON (ie 250) szintén úszós szabályozót használt egy olajlámpa olajszintjének szabályozására. Az alexandriai HERON (iu 1 század) is hasonló szerkezeteket alkalmazott szintszabályozásra, boradagolásra, templomajtók nyitására, stb. Az arab mérnökök iu. 800 és 1200 között számos úszós szabályozó szerkezetet használtak Felfedezték

az állásos - ki/be kapcsolással mûködô – szabályozásokat is. A mechanikai óraszerkezetek feltalálásával az úszós vízórák elfelejtôdtek. A szabályozás elve az ipari forradalom idején talált újabb alkalmazásokra. 1.28 ábra Centrifugálszabályozó Az ipari forradalom korában számos önmûködô berendezést fedeztek fel. Ezekben a berendezésekben automatikus szint-, hômérséklet-, nyomás- és sebességszabályozási feladatokat oldottak meg. Már az 1600-as évektôl kezdôdôen voltak különbözô szabályozási alkalmazások (szélmalmok fordulatszámszabályozása, kemencék hôfokszabályozása (Cornelis D REBBEL ), nyomásszabályozás (PAPIN), stb.) Az ipari forradalom kezdetét James WATT gôzgépének felfedezése jelzi (1769). Az elsô ipari szabályozásnak W A T T centrifugálszabályozója tekinthetô, amelyet a gôzgép fordulatszámszabályozására alkalmazott (1.28 ábra) A centrifugálérzékelô helyzete a gôzgép fordulatszámától

függ Az érzékelô a mozgató emelôkaron keresztül állítja a gôzdugattyú helyzetét, befolyásolva a gôzgépbe beáramló gôz mennyiségét és ezáltal a gôzgép fordulatszámát. (Érdekességként megemlítjük, hogy majd száz további év telt el, mire MAXWELL megadta a rendszert pontosan leíró differenciál- 30 egyenletek rendszerét.) Az ipari forradalom után a szabályozástechnika fejlôdésében lényeges elôrelépést jelentett a szabályozási körök matematikai leírási módszereinek megadása, ami lehetôvé tette a szabályozási rendszerek viselkedésének szigorúbb és pontosabb vizsgálatát. A szabályozástechnika egy újabb fejezete kezdôdött a telefon felfedezésével, és a visszacsatolt mûveleti erôsítôk alkalmazásával az információ továbbításakor fellépô csillapítás kompenzálására. A második világháború idején számos precíziós szabályozási rendszert dolgoztak ki, automata repülésirányítási rendszereket,

radar antenna beállító rendszereket, tengeralattjárók irányító berendezéseit, stb. Ezek a technikák azután késôbb az ipari termelésben is alkalmazást nyertek A számítógépek elterjedése új korszakot nyitott a szabályozási rendszerek fejlôdésében. A számítógép nemcsak mint külsô eszköz jelenik meg, amellyel a tervezés körültekintôbben és könnyebben elvégezhetô, hanem valós idejû alkalmazásokban a szabályozási kör részét képezi. A folyamat és a folyamatirányító számítógép perifériákon keresztül kapcsolódnak egymáshoz, és szoftver úton minden mintavételezési idôpontban kiszámított beavatkozó jel kerül a folyamat bemenetére. A számítógép tehát a szabályozási kör szerves része Megjelentek a precíziós feladatokat végzô ipari robotok. A robot egy számítógép által vezérelt automatizált gép. A robotokban sokszor emberi tulajdonságokat utánoznak, pl robot manipulátoroknál a kéz mozgását képezik

le. A mozgó robotokat bizonyos intelligenciával igyekeznek felruházni, mint pl. a térben való mozgáskor az akadályok felismerése és elkerülése Az ûrkutatás újabb kihívást jelent a szabályozási rendszerekkel szemben. Az ûrrepülôgépek, mesterséges ûrobjektumok pályára állítása, célba juttatása igen pontos, a körülményekhez alkalmazkodni tudó, tanuló szabályozási rendszereket igényel, amelyeknél rendkívül fontos a biztonságos mûködés. Ma a különbözô szabályozási rendszerek megvalósításakor a szabályozási elvek, a számítógép és a kommunikációs rendszerek együttes alkalmazásával és kölcsönhatásával kell számolni. Az új technikai lehetôségek új irányítási alkalmazási lehetôségekre irányítják a figyelmet. Az új miniatürizált érzékelô és beavatkozó szervek megjelenésével új távlatok nyílnak meg az irányítástechnikában. Az ipari termelési folyamatokban megjelentek az elosztott irányítási

rendszerek; számos térben elosztott irányítási rendszer mûködik összehangoltan biztosítva a magasszintû termelést. Ezek a rendszerek egymással kommunikálnak, információt cserélnek, parancsokat továbbítanak és hajtanak végre összehangoltan. Megjelentek az ilyen szintû mûködést biztosító hardver és szoftver elemek (PLC-k, profibus, TCP/IP, ipari hálózati szabványok, stb.) A szabályozáselmélet a szabályozási rendszerek felépítésével, analízisével és szintézisével foglalkozik. A szabályozáselmélet klasszikus korszaka (~1960-ig) megadta a negatív visszacsatoláson alapuló szabályozások mûködésének, analízisének és szintézisének alapelveit. A szabályozáselmélet modern korszaka (~1960-1980) az irányítási rendszerek állapotváltozós leírására és az ezen alapuló tervezési módszerekre fektetett hangsúlyt. Ma a robusztus, a paraméterváltozásokra kevésbé érzékeny, megbízható szabályozások tervezése került

elôtérbe. A nemlineáris rendszerek irányítása, a környezet változásait felismerô, azokhoz alkalmazkodó intelligens, tanuló rendszerek, a hálózati összekapcsolást messzemenôen 31 felhasználó irányítási rendszerek alkalmazása újabb távlatokat nyit a szabályozástechnikában. 1.3 Rendszer és modellje A modellalkotás a szabályozási rendszerek vizsgálatának lényeges eleme. A modell a rendszer jelátviteli tulajdonságait írja le matematikai formában. Segítségével anélkül analizálhatjuk a rendszer statikus és dinamikus viselkedését, hogy a valóságos rendszeren kísérleteket végeznénk. A rendszer modellje alapján számításokat végezhetünk és numerikusan szimulálhatjuk a rendszer viselkedését. A rendszer modelljét használjuk fel a szabályozó tervezéséhez is. A szabályozási kör elemeit gyakorlati megfontolások alapján választjuk meg. A szabályozási kör mûködését a mûködési vázlat alapján követhetjük, amely

az egyes berendezések kapcsolódását és egymásra hatását mutatja. A hatáslánc egyes elemeinek matematikai modellje a jelátviteli tulajdonságokat írja le. A hatásvázlatban a szabályozási kör valamennyi elemének jelátviteli tulajdonságait matematikai összefüggésekkel írjuk le. A hatásvázlat a szabályozási kör modelljének tekinthetô. Segítségével vizsgálhatjuk a szabályozási kör statikus és dinamikus viselkedését, megállapíthatjuk, hogy a szabályozás kielégíti-e a vele szemben támasztott minôségi elôírásokat. Az egyes elemek jelátviteli tulajdonságai a fizikai mûködést leíró matematikai összefüggésekkel adhatók meg. A matematikai leíráshoz a fizikai mûködés mély megértése szükséges A matematikai egyenletekben szereplô paraméterek értékei számítással vagy méréssel határozhatók meg. Egy rendszer statikus és dinamikus viselkedése meghatározható a bemenôjelek és a hatásukra létrejövô kimenôjelek

elemzésével is. Az elemzés alapjául szolgáló információk megszerzését célzó kisérlet elvégzéséhez lényeges a bemenôjelek megfelelô megválasztása. Az eljárás feltételezi a rendszer modelljének valamilyen alakját, és a modell paramétereit úgy határozza meg, hogy a rendszer és a modell kimenôjelei adott gerjesztésre minél jobban illeszkedjenek egymáshoz. Ezt az eljárást identifikációnak nevezzük Mivel a paraméterek értékeit rendszerint mérés útján határozzuk meg, értékük nem egészen pontos, de többnyire megadható a paraméterbizonytalanságok mértéke, a paraméterek értékeinek figyelembe veendô tartománya. 1.29 ábra A rendszer modelljének megalkotása A rendszer modelljének meghatározásához a legtöbbször a fizikai modellezést és az identifikációt együttesen alkalmazzuk (1.29 ábra) A modell akkor megbízható, ha kimenôjele egy adott bemenôjelre jól közelíti a rendszer 32 tényleges kimenôjelét. A

modellnek megadható az érvényességi tartománya (például a bemenôjelnek mely tartományában érvényes). A modellek fajtái Egy modell lehet statikus, ha a kimenôjele bemenôjelének csupán az aktuális értékétôl függ. Statikus rendszer például egy ellenállás, amelynek bemenôjele a feszültség, kimenôjele az áram. A modell dinamikus, ha kimenôjele korábbi jelértékektôl is függ. Egy villamos áramkör, amely egy sorbakapcsolt ellenállásból és kapacitásból áll, dinamikus rendszert alkot, mivel a kapacitáson fellépô feszültségesés a töltéstôl, és így az áram korábbi értékeitôl függ. Egy modell lehet lineáris vagy nemlineáris. A statikus karakterisztika a kimenôjel állandósult értékét ábrázolja a bemenôjel állandósult értékének függvényében. Ha a statikus karakterisztika egyenes vonallal adható meg, a rendszer lineáris, egyébként nemlineáris. Egy modell lehet determinisztikus vagy sztochasztikus. A

determinisztikus modell jelei leírhatók analitikus (képletekkel, explicit vagy implicit egyenletekkel adott) összefüggésekkel. A sztochasztikus modellben a jelek valószínûségi változókkal adhatók meg és bizonytalanságokat tartalmaznak. Egy modell lehet a térben koncentrált paraméterû vagy elosztott paraméterû. A koncentrált paraméterû rendszerek közönséges differenciálegyenletekkel, míg az elosztott paraméterû rendszerek parciális differenciálegyenletekkel írhatók le. Egy modell lehet folytonos idejû (FI) vagy diszkrét idejû (DI). A folytonos modell a rendszer folytonos kimenôjelei és bemenôjelei között adja meg a kapcsolatot rendszerint differenciálegyenlet formájában. Ha a bemenôjeleket és kimenôjeleket mintavételezzük, diszkrét idejû vagy mintavételezett rendszerrôl beszélünk, amelyben a kimenô- és bemenôjelek közötti kapcsolatot differenciaegyenlet írja le. A bemenôjelek és kimenôjelek számát tekintve a modell

lehet egy bemenetû – egy kimenetû (SISO – Single Input Single Output), lehet több bemenetû – több kimenetû (MIMO – Multi Input Multi Output), egy bemenetû – több kimenetû (SIMO – Single Input Multi Output) vagy több bemenetû – egy kimenetû (MISO – Multi Input Single Output). A bemenô és kimenôjeleken kívül definiálhatjuk a rendszer állapotváltozóit. Az állapotváltozók a rendszer belsô változói, amelyek pillanatnyi értéke a rendszer korábbi változása révén jött létre. Értékük nem változhat hirtelen a bemenôjelek ugrásszerû változásakor. A bemenôjelek és az állapotváltozók pillanatnyi értéke meghatározza a rendszer további mozgását. Vizsgálatainkat korlátozni fogjuk dinamikus, lineáris, egyváltozós, állandó paraméterû rendszerek irányítására. Az ilyen rendszerek leírására az irodalom alapvetôen négy módszert ismer: - n-edrendû állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek alkalmazása

- állapotegyenletek módszere - átviteli és frekvencia függvények alkalmazása - idôfüggvények alkalmazása Rendszertulajdonságok Néhány fontos rendszertulajdonság - amely a kimenôjel és a bemenôjel kapcsolatát jellemzi - a linearitás, a kauzalitás és az idôinvariancia. 33 Linearitás: Egy rendszer lineáris, ha a szuperpozíció és a homogenitás elve alkalmazható rá. Ha a rendszer az u1 bemenôjelre y1 = f ( u1 ) , az u2 bemenôjelre pedig y 2 = f ( u2 ) kimenôjellel válaszol, akkor a szuperpozíció elve azt jelenti, hogy y1 + y 2 = f ( u1 + u2 ) ; a homogenitás elve szerint k -szoros bemenôjel változásra k -szoros kimenôjel változást kapunk: k y = f ( k u) . Azt is mondhatjuk, hogy az αu1 + βu2 bemenôjelre a rendszer válasza αy1 + βy 2 . Kauzalitás: A kimenôjel egy adott idôpontban a bemenôjel múltbeli értékeitôl és aktuális értékétôl függ. Nem függ a bemenôjel jövôbeni értékeitôl Idôinvariancia: Egy rendszer

idôinvariáns, ha a bemenôjelre adott válasza nem függ a bemenôjel alkalmazásának idôpontjától; egy τ idôvel késleltetett adott bemenôjelre ugyanazt a választ adja τ idôeltolással (1.30 ábra) Az idôinvariáns rendszerben a késleltetett kimenetre fennáll, hogy y τ ( t) = y ( t − τ) . 1.30 ábra Idôinvariáns rendszer A lineáris idôinvariáns rendszerekre az angol elnevezés után (LTI - Linear Time-Invariant) az általánosan elterjedt LTI jelöléssel szoktunk hivatkozni. Példák egyszerû rendszerek jelátviteli tulajdonságainak leírására Az alábbiakban néhány példán mutatjuk be, hogyan írhatjuk le matematikailag egy fizikai rendszer jelátviteli tulajdonságait, kimenô- és bemenôjeleinek kapcsolatát. A fizikai rendszerek viselkedésének leírása rendszerint differenciálegyenletekre vezet. 1.1 Példa: Mechanikai rendszer Tekintsük az 1.31 ábrán látható mechanikai rendszert, amely egy gépkocsi alvázának egy részét modellezheti.

m a tömeg, c1 és c 2 rugóállandók, k az olajfék csillapítási együtthatója A tömeget koncentrált tömegnek tekintjük. A rugókban az elmozdulással arányos erôk ébrednek A csillapító dugattyú a sebességgel arányos fékezô erôt fejt ki. Felírhatjuk az alábbi erôegyensúlyi egyenleteket. A felsô rugóban ébredô erô: c1 ( x1 − x 2 ) = f A tömegre ható erôk egyensúlyi egyenlete: d2 x2 dx m 2 = c1 ( x1 − x 2 ) − c 2 x 2 − k 2 dt dt A rendszer viselkedését tehát differenciálegyenlet írja le. A differenciálegyenlet megoldásával 34 meghatározhatjuk az adott erô hatására fellépô x1 és x 2 elmozdulások idôfüggvényeit. 1.31 ábra Mechanikai rendszer vázlata 1.32 ábra Külsôgerjesztésû egyenáramú generátor vázlata 1.2 Példa: Egyenáramú generátor Vizsgáljuk az 1.32 ábrán látható külsôgerjesztésû egyenáramú generátor jelátvitelét az u g gerjesztôfeszültség, mint bemenôjel és az uk

armatúrafeszültség, mint kimenôjel között. A gerjesztôtekercs ellenállása Rg , induktivitása Lg . A gerjesztôkörre felírható az alábbi differenciálegyenlet: Lg d ig dt + Rgig = u g Feltételezzük, hogy a gép mágnesezési jelleggörbéjének lineáris szakaszán üzemel, így Lg állandónak tekinthetô. Feltételezzük továbbá, hogy a generátor fordulatszáma állandó A generátort nem terheljük, üresen jár. A generátor kapocsfeszültsége arányos a gerjesztôfluxussal, illetve a lineáris mágnesezési jelleggörbe feltételezésével a kapocsfeszültség arányos a gerjesztôárammal: uk = K gig , ahol K g a gép szerkezeti adataitól függô tényezô, dimenziója [V/A]. 1.33 ábra Keverôtartály 1.3 Példa: Vegyi folyamat Tekintsük az 1.33 ábrán látható keverôtartályt A c o koncentrációjú oldatot vízzel keverjük, hogy c k koncentrációjú oldatot nyerjünk. A beáramló víz q v mennyisége állandó, a beáramló oldat qo mennyiségét

szeleppel szabályozzuk. A koncentrációt az oldat egy literére esô oldott anyag grammokban kifejezett értékével jellemezzük. A rendszer bemenôjele a szelepszár h elmozdulása, kimenôjele a kapott oldat c k koncentrációja. A beáramló oldat mennyisége a szelepszár helyzetével arányos: qo = K h . A kiáramló oldat mennyisége a beáramló oldat és víz 35 mennyiségének összegével egyenlô: qk = qo + q v . ∆t idô alatt qoc o ∆t tömegû oldott anyag kerül a V térfogatú tartályba, és ugyanakkor qk c k ∆t tömegû oldott anyag hagyja el azt. A koncentrációváltozás: ∆c k = qoc o − qk c k ∆t . V A rendszer differenciálegyenletét megkapjuk a ∆t 0 határátmenettel: d c k qk dc q q + ck = k + o ck + v ck = dt V dt V V dc K q c K = k + ck h + v ck = o h dt V V V Az összefüggés nemlineáris, mivel az egyenletben a c k kimenôjel és a h bemenôjel szorzata szerepel. Ha azonban feltételezhetjük, hogy qo << q v , akkor qk ≈ q v

=állandó, és így a differenciálegyenletben qk -t konstansnak tekintve lineáris differenciálegyenletet kapunk. d c k qv c K + ck = o h dt V V 1.34 ábra Egyváltozós nemlineáris statikus karakterisztika 1.35 ábra Több bemenetû - egy kimenetû statikus karakterisztika linearizálása A statikus karakterisztika linearizálása A nemlineáris rendszerek vizsgálata nehéz feladat. A vizsgálat leegyszerûsíthetô, ha a nemlineáris statikus karakterisztikát egy adott munkapont környezetében linearizáljuk. Ily módon a munkapont közelében a bemenôjelek kis megváltozására lineáris modellel közelítjük a nemlineáris rendszert. Tekintsük az y = f ( u) statikus nemlineáris karakterisztikát (1.34 ábra) Az u = uo ; y o = f ( uo ) munkapontban a függvény Taylor sora: y = y o + ∆y = f ( uo ) + f ′ ( uo ) ( u − uo ) +  A magasabb hatványú tagokat elhanyagolva a linearizált modell y − y o = ∆y = f ′ ( uo ) ( u − uo ) = f ′ ( uo ) ∆u A

linearizált modell a statikus karakterisztikát a munkapontban az érintôvel helyettesíti. 36 Természetesen a meredekség munkapontfüggô. Linearizálás több bemenô változó esetén Legyen az y kimenôjel az u = [ u1 , u2 , , un ] bemenô változók vektorának a függvénye. Az y T jel tehát skalár-vektor függvény. A munkapontot jelölje az uo = [ u1o , u2 o , , uno ] vektor A munkapont kis környezetében a kimenôjel értéke Taylor sorfejtéssel közelítôen meghatározható: T  T ( ) ∂f (u) u d f y = y o + ∆y = f (uo ) + ∑ (ui − uio ) +  = f (uo ) +  d u  (u − uo ) +  ∂ u i u i =1 uo   o n A másod- és magasabbrendû deriváltakat elhanyagolva az f (u) függvény munkapont körüli kis megváltozása lineáris összefüggéssel adható meg: n ∆y = ∑ Ai ∆ui i =1 A linearizált vázlatot az 1.35 ábra szemlélteti Az Ai tényezôk a linearizált modell ún statikus átviteli tényezôi, amelyek értékei

munkapontfüggôk. 1.4 Példa Egy egyenáramú motorban keletkezô m nyomaték a gerjesztô tekercsben fellépô ϕ fluxus és a forgórészben létrejövô i áram szorzatával arányos (1.36 ábra) Két változó mennyiség szorzata nemlineáris összefüggést eredményez. m = mo + ∆m = kϕi = kϕ oio + ∂m ∂ϕ ϕ ∆ϕ + o ,i o ∂m ∂i ϕ ∆i o ,i o A deriváltakat meghatározva, és figyelembe véve, hogy a nyomaték munkaponti értéke mo = kϕ oio , a nyomaték munkaponti érték körüli megváltozása az alábbi összefüggéssel számítható: ∆m = kio ∆ϕ + kϕ o ∆i . 1.36 ábra Az egyenáramú motorban keletkezô nyomaték a gerjesztôfluxus és az armatúraáram szorzatával arányos 1.5 Példa Egy tartályban a folyadék szintjének emelkedése a befolyó és a kifolyó folyadék térfogatáramának különbségétôl függ (1.37 ábra) A befolyó térfogatáramot jelölje Qin , a kifolyó térfogatáramot pedig jelölje Qout . A tartály

keresztmetszete A, a kifolyó csô keresztmetszete pedig a. A folyadékszintet jelölje H A folyadékszint változását az alábbi differenciálegyenlet írja le: 37 A dH = Qin − Qout dt A kifolyó folyadékáram a v kifolyási sebességtôl függ, ami a folyadékszint négyzetgyökével arányos. Qout = av = a 2 gH = β H Állandósult állapotban a folyadékszint nem változik, a befolyó és a kifolyó folyadékáram megegyezik: Qin = Qout 1.37 ábra Tartály folyadékszintjének állítása 2 β 2 értéken állandósul. A tartály statikus karakterisztikája, az A folyadékszint a H = Qin összefüggés a folyadékszint és a befolyó mennyiség között nemlineáris (1.38 ábra) 1.38 ábra A tartály statikus karakterisztikája Jelöljük a munkaponti értékeket zérus index-szel, a munkapont körüli kis megváltozásokat pedig kisbetûkkel. H = Ho + h Qin = Qin,o + qin A kifolyó mennyiség a négyzetgyökös összefüggés Taylor sorának elsôfokú

közelítésével: Qout = β H ≈ β H o + β 1 h 2 Ho A differenciálegyenlet a munkaponti értékekkel és az azok körüli kis megváltozásokkal kifejezve: 38 A d(Ho + h) β h = Qin,o + qin − β H o − dt 2 Ho Mivel a konstans H o munkaponti érték deriváltja zérus, és Qin,o = β H o , a munkapont körüli kis megváltozásokra az alábbi differenciálegyenlet adható meg: A dh β = qin − h dt 2 Ho Ez egy lineáris differenciálegyenlet, amelynek paraméterei azonban munkapontfüggôk. Relatív egységek A jelátviteli tagok átviteli tényezôi dimenziós mennyiségek. Az elôzô folyadéktartályos példánál a statikus karakterisztikából adódó munkapontfüggô átviteli tényezô cm/(liter/perc) dimenziójú. Egy motor esetében a kimenôjel fordulatszám, a bemenôjel feszültség, így az átviteli tényezô dimenziója (rad/sec)/Volt. Ha mind a bemenôjeleknél, mind a kimenôjeleknél az aktuális értékeket egy reálisan megválasztott maximális

értékhez viszonyítjuk, a jeleket 0 és 1 közé esô dimenzió nélküli relatív értékekkel adhatjuk meg. Szabályozási köröknél ügyelni kell arra, hogy az összegzési vagy különbségképzési pontoknál az összehasonlítandó mennyiségekre azonos maximális értékeket vegyünk fel. Például az alapjel, a szabályozott jellemzô és a rendelkezôjel maximális értékeit azonos értékekre kell felvenni. Az idô dimenziójú mennyiségeket is megadhatjuk relatív értékekkel, ha az idôváltozóra is felveszünk egy maximális értéket. 1.39 ábra Helyzetbeállítás Példaképpen tekintsük az 1.39 ábrán vázolt szerkezetet Az M egyenáramú motor áttételen keresztül mozgatja az R rudat. A bemenôjel a motor u( t) kapocsfeszültsége, kimenôjel a rúd (szelepszár) y ( t) elmozdulása. Elhanyagolva a tranzienseket, a rúd elmozdulása a motor fordulatszámának integráljával, a fordulatszám pedig a kapocsfeszültséggel arányos. Ha 200V tápláláskor

10sec alatt 5 cm elmozdulás következik be, akkor t idô alatt az u( t) bemenô feszültség hatására t t 5cm cm y ( t) = u( t) d t = 2.5 ⋅ 10 −3 u( t) d t ∫ 10sec ⋅ 200V 0 V sec ∫0 elmozdulás keletkezik. Tekintsük idôegységnek a tmax = 50 sec -ot, elmozdulás egységnek az y max = 20 cm -t, feszültség egységnek pedig az umax = 200 V -t. Az alapegységükre vonatkoztatott relatív egységek: 39 trel = t tmax = t 50sec y rel = ; y y max = y 20cm ; urel = u umax = u 200V A relatív egységekkel az elmozdulás az alábbi összefüggéssel adható meg: 5cm 20cm y rel ( t) = 10sec 200V ⋅ 50sec 200V t rel t rel 0 0 ∫ urel (t) d trel = 1.25 ∫ urel (t) d trel 1.4 Gyakorlati szempontok Egy szabályozási rendszer tervezése és üzembe helyezése iterációs feladat. Elôször megfogalmazzuk a szabályozással szemben támasztott követelményeket. A folyamat fizikai mûködése alapján meghatározzuk a folyamat matematikai modelljét,

amelynek paramétereit mérésekkel illetve identifikációs eljárásokkal határozzuk meg. A megadott követelményekhez és a folyamat modelljéhez megtervezzük a szabályozót. A szabályozás mûködését szimulációval ellenôrizzük. Ha szükséges, a szabályozót újratervezzük Az üzembe helyezés során a szabályozó beállítását finomítjuk. A szabályozási feladat megoldása során három alapfeladat merül fel. 1.40 ábra Identifikáció Létre kell hozni a szabályozási rendszer P modelljét, minden egyes tagjának meg kell határozni a jelátviteli tulajdonságait a tagot leíró fizikai összefüggések alapján, vagy bemenô- és kimenôjeleinek mérési adataiból, identifikáció útján (1.40 ábra) 1.41 ábra Analízis Ha a bemenôjel és a P jelátviteli tag ismert, meghatározhatjuk a tag kimenôjelét, analizálhatjuk viselkedését (1.41 ábra) 1.42 ábra Szintézis Ha a P szakasz adott, és elôírjuk kimenôjelének kívánt lefolyását (1.42

ábra), a feladat az ehhez szükséges bemenôjel meghatározása (tervezés, szintézis). A szakasz bemenôjelét egy szabályozási kör állítja elô. Az irányítástechnika interdiszciplináris tudományterület. A folyamat mûködését meg kell érteni, ehhez fizikai, kémiai, biológiai, stb. ismeretekre van szükség Matematikai ismeretekre van szükség a modellezéshez, az analízishez és a szintézishez. A szabályozási kör vizsgálatához ismeretekre van szükség a jelekrôl, rendszerekrôl, a negatívan visszacsatolt rendszerek viselkedésérôl. A tervezés során józan megfontolásokat és alapvetô korlátozásokat is figyelembe 40 kell venni. A tervezésnek ki kell terjednie a gazdaságossági, biztonsági, környezetvédelmi, stb szempontokra is. Egy bonyolultabb irányítási feladat megoldásához sokszor különbözô szakemberek összehangolt munkájára van szükség. A megvalósítás során érzékelni kell a folyamat állapotát - az adott kimenô

változót megfelelô mûszerrel mérni kell, a folyamatba be kell avatkozni - beavatkozó szervet kell kiválasztani. Figyelembe kell venni az érzékelôk mérési zajait, a beavatkozó szervek jeltartományát, a kiadható beavatkozó hatások korlátait. A mért adatokat sokszor továbbítani kell esetleg nagyobb távolságra is, tehát az adatátvitelt biztosítani kell. Az adatátvitelre szabványok, ún protokollok léteznek, amelyeket figyelembe kell venni. Megfelelô számítási algoritmussal kell meghatározni a beavatkozó jelet majd továbbítani kell a folyamat felé. Az irányítási algoritmus tervezésekor figyelembe kell venni a folyamatra ható zavarások és a folyamatparaméterekben meglévô bizonytalanságok, továbbá a gyakorlati megvalósításból adódó korlátozások hatását is. Az irányítás során valós adatokkal, valós idejû jelátvitellel kell dolgozni. A jelátvitel során nem determinisztikus jelkésleltetések lépnek fel, amelyek

torzíthatják a mûködést. Meg kell oldani az egyes elemek kapcsolódását és információcseréjét megfelelô interfészekkel. A folytonos szabályozási rendszerek mellett egyre nagyobb teret nyernek a számítógépes folyamatirányítási rendszerek, ilyenkor a folyamat és a folyamatirányító számítógép A/D és D/A (analóg/digitál, digitál/analóg) átalakítókon keresztül kapcsolódik egymáshoz. A szabályozás lényeges funkcióit a számítógép végzi valós idôben, mintavételi idôközönként megismételve. Ipari folyamatirányításokban elosztott irányítási rendszereket hoznak létre, ahol a térben elosztott irányítási rendszerek egymással kommunikálva összehangoltan mûködnek. 2. FOLYTONOS LINEÁRIS RENDSZEREK LEÍRÁSA AZ IDÔ-, AZ OPERÁTOR- ÉS A FREKVENCIATARTOMÁNYBAN 41 2. Folytonos lineáris rendszerek leírása az idô-, az operátor- és a frekvenciatartományban Egy folyamat szabályozásának célja a szabályozott

jellemzônek az alapjel által meghatározott értéken tartása a rendszert érô zavarások ellenére. A szabályozásnak eleget kell tennie a folyamattal szemben támasztott követelményeknek. A minôségi követelmények egyrészt a szabályozás statikus pontosságát (megengedhetô állandósult hibáját), másrészt dinamikus viselkedését (szabályozási idejét, megengedhetô túllendülését) írják elô. A valóságos és az elôírt viselkedés összehasonlítása a szabályozási rendszer statikus és dinamikus viselkedésének vizsgálata alapján végezhetô el. A legkülönbözôbb fizikai folyamatok általában matematikailag azonos alakú differenciálegyenletekkel (vagy differenciálegyenlet-rendszerekkel) írhatók le, amelyek a változók és azok megváltozásainak kapcsolatát adják meg. Mechanikai mozgások, villamos és mágneses jelenségek, hôfolyamatok, gázok és folyadékok áramlása, stb. egyaránt differenciálegyenletekkel írhatók le. Egy

szabályozási körben a szabályozási funkciót ellátó szervek kapcsolódnak egymáshoz a folyamat megfelelô mûködtetése érdekében. A szabályozás matematikai modelljét a hatásvázlat adja meg, amely leírja az egyes berendezések egymáshoz való kapcsolódását és jelátviteli tulajdonságait. Ennek alapján a zárt szabályozási kör mûködése is differenciálegyenlettel adható meg. A továbbiakban állandó paraméterû folytonos, lineáris differenciálegyenlettel leírható rendszerek viselkedését vizsgáljuk. Mivel a differenciálegyenlet megoldása sokszor nehézkes, különbözô módszerek alakultak ki a vizsgálatok egyszerûsítésére. A differenciálegyenlet LAPLACE operátortartományba való transzformálásával a differenciálegyenlet helyett algebrai egyenletet kell megoldani. A frekvenciatartománybeli vizsgálatok az idôtartománybeli viselkedés gyors közelítô kiértékelésére adnak lehetôséget. A következôkben röviden

összefoglaljuk az állandó együtthatójú (idôinvariáns) lineáris folytonos rendszerek vizsgálati módszereit az idô-, a L A P L A C E operátor- és a frekvenciatartományban. (A módszerek a "Jelek és rendszerek" tárgyból ismertek, itt a szabályozástechnikai szempontból is fontos összefüggéseket foglaljuk össze.) 2.1 Folytonos rendszerek leírása az idôtartományban Egy folytonos, lineáris egy bemenetû - egy kimenetû (SISO) idôinvariáns rendszer az idôtartományban leírható egy n-edrendû differenciálegyenlettel vagy n darab elsôrendû differenciálegyenlet rendszerével (ún. állapotegyenlettel), illetve jellemezhetô tipikus gerjesztésekre adott válaszaival. n-edrendû állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet és megoldása Egy lineáris folytonos idejû, idôinvariáns rendszer mûködése az alábbi n-edrendû differenciálegyenlettel írható le: an y ( n ) ( t) + an −1 y ( n −1) ( t) + . + a1 y˙ ( t) + ao y ( t) = =

bm u( m ) ( t) + bm −1u( m −1) ( t) + . + b1u˙ ( t) + bo u( t) (2.1a) 42 u a bemenôjelet, y a kimenôjelet, ẏ a kimenôjel elsô, u̇ a bemenôjel elsô, y ( n ) a kimenôjel nedik, u( m ) a bemenôjel m -edik idô szerinti deriváltját jelöli. Ha a kimenôjel csak késleltetve, ún. holtidôs eltolással válaszol a bemenôjel változásaira, a differenciálegyenlet jobb oldalán a változók argumentuma t − Td , ahol Td a holtidô. A differenciálegyenlet ekkor a következô alakú: an y ( n ) ( t) + an −1 y ( n −1) ( t) + . + a1 y˙ ( t) + ao y ( t) = = bm u( m ) ( t − Td ) + bm −1u( m −1) ( t − Td ) + . + b1u˙ ( t − Td ) + bo u( t − Td ) (2.1b) A holtidô pl. szállítási folyamatoknál jelentkezik, amikor a bemenôjel változása egy távolabbi érzékelési ponton késleltetve mérhetô. A fizikai realizálhatóság feltétele m≤n (2.2) ugyanis csak ennek fennállása esetén marad a kimenôjel véges a bemenôjel véges megváltozása

esetén. A differenciálegyenlet elvileg végtelen sok megoldása közül azt kell kiválasztani, amely eleget tesz az y függvényre vonatkozó peremfeltételeknek. y ( t) -re és differenciálhányadosaira n db olyan feltételt kell elôírni, amelyeket a megoldásnak ki kell elégítenie. A peremfeltételek rendszerint kezdeti feltételek, tehát y (0), y˙ (0), . , y ( n −1) (0) formában adottak Az egyenlet jobb oldala a g( t) gerjesztés: g( t) = bm u( m ) ( t) + bm −1u( m −1) ) ( t) + . + bo u( t) (2.3) A (2.1) egyenlet a teljes vagy inhomogén differenciálegyenlet, amely g( t) = 0 esetén homogén egyenletté válik. Az alábbiakban a (2.1a) alakú differenciálegyenlet egyes alakjait és megoldását tárgyaljuk, de a megfontolások értelemszerûen alkalmazhatók a (2.1b) egyenletre is A differenciálegyenletet sokszor az alábbi ún. idôállandós alakban írjuk fel Tnn y ( n ) ( t) + Tnn−−11 y ( n −1) ( t) + . + T1 y˙ ( t) + y ( t) = [ ] ( m ) t + τ m

−1u( m −1) t + . + τ u = A τm ( ) m −1 () 1 ˙ ( t) + u( t) mu (2.4) ahol A = bo ao a rendszer átviteli tényezôje, amely megadja a kimenôjel és a bemenôjel viszonyát állandósult állapotban. Az átviteli tényezô nemcsak puszta szám, hanem fizikai dimenziója is lehet. Ti = i ai ao és τ j = j b j bo idôállandók, dimenziójuk sec Az idôállandós alak elônye, hogy a differenciálegyenlet tényleges megoldása nélkül is, a paraméterek alapján következtetni lehet tipikus bemenôjelekre adott válaszok idôbeli alakulására. Az átviteli tényezô fenti értelmezése természetesen csak akkor érvényes, ha ao és bo zérustól különbözô számok. Ha pl ao = 0, az átviteli tényezô A = bo a1 , és ekkor az idôállandók értelmezése is megváltozik. 43 A rendszer mûködését differenciálegyenletének megoldása írja le. A megoldás két komponensbôl áll, a homogén egyenlet y h ( t) általános megoldásából és az inhomogén egyenlet

egy y i ( t) partikuláris megoldásából. y ( t) = y h ( t) + y i ( t) (2.5) A karakterisztikus egyenletet úgy kapjuk meg, hogy a homogén egyenletbe y deriváltjai helyébe s megfelelô hatványait helyettesítjük. A karakterisztikus egyenlet tehát: an sn + an −1sn −1 + . + a1s + ao = 0 (2.6) A homogén egyenlet általános megoldása a következô alakú: y h ( t) = k1e s1t + k2e s2 t + . + kn e sn t (2.7) ahol s1 , s2 ,., sn a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei (valós együtthatójú polinomoknak csak valós vagy konjugált komplex gyökei lehetnek). A ki konstansokat a kezdeti értékekbôl kell meghatározni. Ha a karakterisztikus egyenlet megoldásában többszörös gyökök is elôfordulnak, akkor a megfelelô tagokban az exponenciális függvény t hatványaival van megszorozva. Például, ha a karakterisztikus egyenlet elsô három gyöke egybeesik, a homogén egyenlet általános megoldását az alábbi alakban adjuk meg: ( ) y h ( t) = k1 +

k2 t + k3 t 2 e s1, 2, 3 t + k4 e s4 t + . + kn e sn t (2.8) Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását, amely az u bemenôjeltôl függ, jelöljük f ( u) -val. Feltételezve, hogy ezt valamilyen eljárással – pl kísérletezô feltevéssel vagy az állandók variálásának módszerével, esetleg egyszerû megfontolással – sikerült megtalálni, akkor a (2.1a) differenciálegyenlet általános megoldása: y ( t) = y h ( t) + f ( u) = k1e s1t + . + kn e sn t + f ( u) (2.9) A ki konstansokat a kezdeti feltételek ismeretében kell meghatározni. A differenciálegyenlet megoldása az idôtartományban sokszor bonyolult és fáradságos. A karakterisztikus egyenletnek csak negyedfokú esetig van analitikus megoldása. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának megtalálása bonyolultabb bemenôjel esetén számításigényes. Ugrásalakú gerjesztésre a differenciálegyenlet alakjából a megoldás kezdeti és végértékeire néhány megállapítást

tehetünk. Tekintsük a differenciálegyenlet (21a) alakját Legyen a bemenôjel egységugrás, g( t) = bo 1( t) . A t = 0 idôpontban csak a legmagasabbrendû derivált értéke ugorhat. (Ugyanis a differenciálegyenlet két oldalának minden idôpontban egyensúlyban kell lennie, és ha pl. a kimenôjel alacsonyabbrendû deriváltjában is ugrás lenne, az DIRAC delta változást eredményezne a magasabbrendû deriváltakban.) an y ( n ) ( t = 0) = bo , tehát 44 y ( n ) ( t = 0) = bo an . (Mechanikai mozgást tekintve például a tömegre ható erô megváltozásakor elôször csak a gyorsulás értéke változik meg, majd idôvel ez létrehozza a sebesség és az elmozdulás megváltozását is.) Megjegyezzük, hogy ha a gerjesztésben a bemenôjel elsô deriváltja is szerepel, a kezdeti idôpontban a kimenôjel n-edik és ( n −1)-edik deriváltja is ugrás alakú változást mutat. Általános szabály, hogy a t = 0 idôpillanatban ugrás alakú gerjesztésre a kimenôjel (

n − m) -edik deriváltja változik ugrásszerûen ("ugrik"). Ha a tranziensek lecsengenek, a kimenôjel valamennyi deriváltja zérus értékû lesz, és a kimenôjel az átviteli tényezô értékén állandósul: y ( t ∞) = bo ao . A differenciálegyenlet formális matematikai eljárása mögött a fizikai tartalom a következôképpen interpretálható. A differenciálegyenlet valamilyen rendszer mozgását írja le. A mozgás oka egyrészt az u( t) bemenôjel, másrészt az, hogy a bemenôjel megjelenése elôtti idôben végzett mozgás miatt a t = 0 pillanatban nem volt egyensúly. A rendszer elôéletét a kezdeti feltételek egyértelmûen jellemzik. A g( t) gerjesztô jel hatására olyan új egyensúlyi állapot fog beállni, amelyet az inhomogén egyenletnek a kezdeti feltételektôl független megoldása ad meg. Ez az új egyensúlyi állapot a t = 0 pillanatra a gerjesztéstôl függô kezdeti feltételeket írna elô. Ha a tényleges kezdeti feltételek

értéke nem egyezik meg a gerjesztésnek megfelelô értékekkel, ez arra utal, hogy a rendszer állapota eltér a gerjesztésnek megfelelô egyensúlyi állapottól. Az eltérés ugrásszerûen nem tûnhet el, mert a rendszerben lévô energiatárolók állapotukat csak energiaközlés vagy elvonás hatására fokozatosan képesek megváltoztatni. Ehhez véges idôre van szükség A kiegyenlítô folyamat a tranziens mozgás, amelynek lefolyását a homogén egyenlet megoldása írja le. A differenciálegyenlet megoldása felbontható kvázistacionárius és tranziens összetevôkre. A bemenôjel hatására állandósult állapotban fennmaradó kimenôjel a kvázistacionárius megoldás. (Lásd az F-2. Függeléket) A tranziens megoldás a rendszer dinamikájától, a karakterisztikus egyenlet gyökeitôl függ. (a) (b) (c) 2.1 ábra RL kapcsolás és tranziensei 45 Példaként vizsgáljuk egy árammentes, ellenállásból és induktivitásból álló kör szinuszos

váltakozó feszültségre való kapcsolását (2.1a ábra) Az állandósult állapotbeli egyensúlyt a váltakozó feszültséghez képest bizonyos szöggel késô I ( t) szinuszos váltakozó áram jelenti. Ha a bekapcsolás olyan t1 pillanatban történik, amikor ez az áram éppen zérus értékû lenne, akkor a rendszer állapota megegyezik a bemenôjelnek megfelelô egyensúlyi állapottal, és nem jön létre tranziens mozgás (2.1b ábra) Ha azonban a bekapcsolás olyan t2 idôpontban történik, amikor I ( t2 ) ≠ 0 , akkor a rendszer állapota nem egyezik meg az egyensúlyi állapottal. A tényleges i( t2 ) = 0 és az egyensúlyi I ( t2 ) áram közötti eltérést az I ( t) -re szuperponálódó ∆i( t) tranziens összetevô egyenlíti ki, amely a bekapcsolás pillanatában zérussá teszi az áramot, majd exponenciálisan lecseng (2.1c ábra) A tranziens mozgás lefolyása alapvetôen tükrözi a rendszer sajátosságait. Ha a tranziens összetevôk az idôben

csillapodnak, a gerjesztésnek megfelelô új egyensúlyi állapot képes beállni, a rendszer stabilis. Az egyre növekvô tranziens mozgás labilis viselkedést mutat, ilyenkor új egyensúlyi állapot nem érhetô el. Csillapítatlan periódikus tranziens mozgás a stabilitás határesete, ami arra is utal, hogy a tranziens lengés frekvenciájával azonos frekvenciájú gerjesztô jelekre a rendszer rezonálni fog. A rendszer stabilitása a karakterisztikus egyenlet gyökei alapján dönthetô el. 2.2 ábra Differenciálegyenlet állapotváltozós alakja A tranziens viselkedést elemezve elegendô a homogén egyenlet megoldását vizsgálni. A homogén egyenlet megoldása a magára hagyott rendszernek azt a mozgását írja le, ami abból származik, hogy a t = 0 pillanatban nincs egyensúly (pl. azért, mert a rendszert elôzetesen kimozdítottuk nyugalmi állapotából). Egy stabilis rendszer ilyenkor tranziens mozgása révén igyekszik újra nyugalmi állapotba jutni. A

gerjesztés alatt álló rendszer tranziens jelenségei a szuperpozícióból következôen ugyanilyen jellegûek, csak a nyugalmi állapotot a gerjesztôjel által leírt mozgás helyettesíti. Differenciálegyenletek állapotváltozós alakja Egy differenciálegyenlet által leírt rendszer állapotát a t = 0 idôpillanatban a kezdeti feltételek egyértelmûen rögzítik. Ezek a jellemzôk, a kimenôjel és differenciálhányadosai minden idôpillanatban jellemzik a rendszer állapotát. A bemenôjel hirtelen megváltozására nem képesek hirtelen megváltozni, megváltozásukhoz idôre van szükség. Ezek a változók önálló belsô változóknak, ún. állapotváltozóknak tekinthetôk Adott idôpontbeli értékükbôl és a bemenôjelbôl meghatározhatók a rendszer mozgásának jellemzôi a következô idôpontban. 46 Az állapotváltozók bevezetésével az n-edrendû differenciálegyenlet átalakítható n számú elsôrendû differenciálegyenletbôl álló

rendszerré. Példaként tekintsük a (2.1) differenciálegyenletet g( t) = bo u( t) gerjesztés mellett Az y ( n ) legmagasabbrendû deriváltat kifejezve a differenciálegyenlet a 2.2 ábrán látható vázlattal reprezentálható. A vázlat alapján a bemenôjel és a kezdeti feltételek ismeretében a differenciálegyenlet rekurzív módon megoldható. A vázlaton látható integrátorok kimenetei az állapotváltozók tulajdonságával rendelkeznek. Jelöljük az állapotokat az x1 , x 2 ,, x n változókkal. A differenciálegyenlet az állapotváltozókkal az alábbi alakra hozható: x˙ 1 = x 2 x˙ 2 = x 3  x˙ n = − (2.10) ao a a b x1 − 1 x 2 − . − n −1 x n + o u an an an an y = x1 Általános esetben n számú elsôrendû differenciálegyenletbôl álló rendszer vektor-mátrix formában is felírható. ẋ ( t) = A x ( t) + b u( t) y ( t) = c T x ( t) + d u( t) (2.11) Az x vektor elemei az állapotváltozók, A, b, c T a rendszert leíró állapotmátrixok

illetve vektorok, d pedig egy skalár paraméter. A kimenôjel az állapotváltozókon keresztül függ a bemenôjeltôl, de a d skalár értéken keresztül közvetlen kapcsolat is lehet a bemenôjel és a kimenôjel között. A dinamikus rendszer állapotreprezentációját a 23 ábra szemlélteti 2.3 ábra Dinamikus rendszer állapotreprezentációja A dinamikus rendszerek állapotváltozós megadása a rendszer olyan belsô tulajdonságait is megmutatja, amelyek a bemenôjel és kimenôjel kapcsolatát megadó differenciálegyenlet megoldásakor rejtve maradnak. Az elsôrendû differenciálegyenletrendszer megoldása egyszerûbb, mint az n-edrendû differenciálegyenleté. A szabályozási rendszerek állapotváltozós leírásával, az állapotegyenlet megoldásával a 3. Fejezet foglalkozik Tipikus vizsgálójelek, súlyfüggvény, átmeneti függvény A szabályozási rendszer differenciálegyenletének megoldása a kimenôjel idôbeli lefolyását adja 47 meg tetszôleges

bemenôjelre. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának meghatározása annál könnyebb, minél egyszerûbb a gerjesztôfüggvény. A rendszert olyan tipikus bemenôjellel célszerû gerjeszteni, amely jelentôs tranziens mozgást képes elôidézni. Ekkor a kimenôjel lefolyása jellemzô lesz a rendszer jelátviteli tulajdonságaira, menetébôl következtetéseket vonhatunk le a rendszer struktúrájára és paramétereire vonatkozóan. 2.4 ábra Tipikus bemenôjelek és válaszok Szabályozási rendszer vizsgálatakor olyan bemenôjelet célszerû választani vizsgálójelként, amelyre adott válasz információt szolgáltat a szabályozási rendszer követési tulajdonságairól. Ha értéktartó rendszerrôl van szó, amelyben a kimenôjelet egy adott értéken kívánjuk tartani, ugrásalakú bemenôjelet, ha követô szabályozásról van szó, amelynek egy változó jelet kell követnie, egy lineárisan változó bemenôjelet célszerû választani

bemenôjelként. A legfontosabb vizsgálójelek - az egységimpulzus függvény (DIRAC delta): - az egységugrás függvény: - az egységsebességugrás függvény: δ( t ) , 1( t) , t1( t) , t2 1( t) . 2 A tipikus vizsgálójelekre adott válaszok, a tipikus rendszerválaszok a 2.4 ábrán láthatók - az egységgyorsulásugrás függvény: A DIRAC delta egységnyi területû, a 0 idôpontban végtelen amplitúdójú impulzus. A DIRAC delta matematikai absztrakció, származtatható például egy ∆t szélességû, 1 ∆t magasságú négyszögimpulzus határeseteként, ha ∆t 0. A rendszer DIRAC deltára adott válaszát súlyfüggvénynek nevezzük és w ( t) -vel jelöljük. A súlyfüggvény rendszerjellemzô, menetébôl következtetések vonhatók le a rendszer struktúrájára és paramétereire, sôt a stabilitásra vonatkozóan is. A súlyfüggvény jellemzi a rendszer tranziens tulajdonságait A rendszer ilyenkor magára hagyott rendszer, mivel a gerjesztô függvény

csak a t = 0 idôpontban végtelenül rövid ideig hat, de ezalatt véges energiatartalma segítségével a kimenôjelet és esetleg annak differenciálhányadosait is kimozdítja nyugalmi helyzetükbôl. Az egységugrás jel a t = 0 idôpontban 0-ról 1-re ugrik. Értéke t < 0-ra zérus, t ≥ 0-ra egységnyi. A rendszer egységugrásra adott válaszát átmeneti függvénynek nevezzük és v ( t) -vel jelöljük. 48 Az egységsebességugrás függvény értéke t < 0-ra zérus, t ≥ 0-ra pedig t. Hatására a rendszer kimenetén az egységsebességugrásra vonatkozó átmeneti függvény jelenik meg. Az egységgyorsulásugrás függvény értéke t < 0-ra zérus, t ≥ 0-ra pedig t 2 2 . Hatására a rendszer kimenetén az egységgyorsulásugrásra vonatkozó átmeneti függvény jelenik meg. Az átmeneti függvények szintén rendszerjellemzôk. A tipikus jelek között az alábbi kapcsolat áll fenn: δ( t ) = d 1( t) dt ; 1( t) = d t1( t) dt ; d t2 1( t) . d

t2 2 1( t) = (2.12) (Megjegyezzük, hogy az egységugrás függvény hagyományos értelemben nem differenciálható. A δ( t) és az 1( t) jelek között a derivált összefüggés szigorúan a disztribúcióelmélettel igazolható.) A lineáris rendszer kimenetén a tipikus bemenôjelek hatására létrejövô kimenôjelek között a bemenôjelek közötti összefüggésekkel megegyezô összefüggések állnak fenn. (Az összefüggés a linearitás tulajdonságaiból vezethetô le.) w ( t) = dv ( t) dt ; v ( t) = dv t ( t) dt ; v t ( t) = dv t 2 ( t ) dt . (2.13) Itt v t ( t) az egység sebességugrás, v t 2 ( t) pedig az egység gyorsulásugrás (a súlyfüggvény tehát az átmeneti függvény deriváltja, és így tovább.) A rendszer válasza tetszôleges bemenôjelre Ha a rendszer súlyfüggvénye vagy átmeneti függvénye ismert, zérus kezdeti feltételek mellett a kimenôjel tetszôleges bemenôjelre is meghatározható. A rendszer válasza ekkor az inhomogén

egyenlet egy partikuláris megoldása. 2.5 ábra A konvolúciós integrál szemléltetése 2.6 ábra A bemenôjel felbontható egymáshoz képest eltolt ugrásjelek összegére Határozzuk meg a rendszer válaszát tetszôleges bemenôjelre a súlyfüggvény ismeretében. A rendszer u( t) bemenôjele közelíthetô egymáshoz képest idôben eltolt véges négyszöglökések sorozatával (2.5 ábra) Legyen a négyszöglökések szélessége τ A négyszöglökések száma egy adott t idôpontig legyen N . Egy négyszöglökés területe közelítôen u( τ)∆τ A 0 idôponthoz 49 képest τ -val eltolt négyszögjelre adott válasz a t idôpontban közelítôen w ( t − τ) u( τ)∆τ . Az adott t idôpontban megjelenô kimenôjel értékét befolyásolja valamennyi, az adott idôpont elôtt a bemenôjelben fellépô impulzus. Lineáris rendszerben a kimeneten az egyes impulzusok hatása szuperponálódik, tehát a kimenôjel közelítôleg: N y ( t) ≈ y˜ ( t) = ∑ w (

t − τi ) u( τi )∆τ . i =1 Határátmenettel N ỹ ( t) = ∑ w ( t − τi ) u( τi )∆τ y ( t) = i =1 t ∫ w(t − τ) u( τ) dτ , ha ∆τ 0. (2.14) 0 vagy t − τ = υ helyettesítéssel N y ( t) ≈ y˜ ( t) = ∑ w ( υi ) u( t − υi )∆υ (2.15) i =1 illetve ∆υ 0 határátmenettel N ỹ ( t) = ∑ w ( υi ) u( t − υi )∆υ y ( t) = i =1 t ∫ w(υ) u(t − υ) dυ , ha ∆τ 0. (2.16) 0 A (2.14) és (216) összefüggés a konvolúciós integrál vagy FALTUNG tétel A konvolúciós integrál alkalmazásával megkerülhetjük a rendszer differnciálegyenletének megoldását, azonban bonyolultabb bemenôjelre az integrál kiszámítása is fáradságos. A (2.15) egyenlet numerikus kiértékelésre ad lehetôséget abban az esetben, ha a súlyfüggvény lecsengô. A súlyfüggvényt meg kell adnunk a υi = 0, ∆υ, 2∆υ,, ( N − 1)∆υ mintapontokban Feltételezzük, hogy a súlyfüggvény további részére w (i∆υ) ≈ 0, ha i ≥

N . A bemenôjel aktuális értékén kívül N −1 korábbi értékét kell tárolni. A kimenôjel közelítôen a következô összefüggéssel számítható: [ ] y˜ ( t) ≈ w (0) u( t) + w (∆υ) u( t − ∆υ) + w (2∆υ) u( t − 2∆υ) + . + w (( N − 1)∆υ) u( t − ( N − 1)∆υ) ∆υ (Ezt az alakot HANKEL alaknak és súlyfüggvény modellnek is hívjuk.) A rendszer válasza tetszôleges bemenôjelre meghatározható az átmeneti függvény ismeretében is. A bemenôjel közelíthetô egymáshoz képest eltolt ugrásjelek összegével (26 ábra) Az ezekre adott eltolt súlyozott átmeneti függvény válaszokat szuperponálva megkapjuk a kimenôjelet. A kimenôjel közelítôleg az alábbi összefüggéssel is megadható: N ỹ ( t) = u(0)v ( t) + ∑ v ( t − τi )∆u( τi ) i =1 Illetve az egyes tekintett pontokban: (2.17) 50 y˜ (0) = u(0)v (0) y˜ (∆τ) = u(0)v (1) + ∆u(1)v (0) y˜ (2∆τ) = u(0)v (2) + ∆u(1)v (1) + ∆u(2)v (0)  A fenti

összefüggés alapján a kimenôjel megfelelô pontossággal számítható, ha ∆τ kicsi. Ha ∆τ 0, a kimenôjel meghatározására a következô összefüggést kapjuk: y ( t) = u(0) v ( t) + t ∫ v ( t − τi ) 0 d u( τ) dτ dτ (2.18) Ez a kifejezés a DUHAMEL tétel. Elsôrendû differenciálegyenlet megoldása Az elsôrendû differenciálegyenlet a (2.1a) n-edrendû egyenlet speciális esete Ekkor n = 1 és legyen m = 0. Adjuk meg az elsôrendû differenciálegyenlettel leírható tag súlyfüggvényét és átmeneti függvényét, valamint tetszôleges bemenôjelre adott válaszának kifejezését a konvolúciós integrállal. A differenciálegyenlet az alábbi alakban adható meg: a1 y˙ ( t) + ao y ( t) = bo u( t) (2.19) A kezdeti feltétel y ( t = 0) = y (0) , értéke legyen zérus. A differenciálegyenlet a (24) idôállandós alakra hozható: T y˙ ( t) + y ( t) = A u( t) (2.20) ahol T = a1 ao az idôállandó, és A = bo ao az átviteli tényezô. Ilyen

elsôrendû differenciálegyenlettel írható le például a 2.1 ábrán látható ellenállásból és induktivitásból álló villamos kapcsolás. A kapcsolásra felírva a KIRCHHOFF hurokegyenletet: L d i( t) + Ri( t) = u( t) . dt Látható, hogy a fenti egyenlet a (2.20) alakra hozható Oldjuk meg a differenciálegyenletet u( t) = 1( t) egységugrás bemenôjelre. A karakterisztikus egyenlet: Ts + 1 = 0. A karakterisztikus egyenlet gyöke: s1 = −1 T A homogén egyenlet általános megoldása: y h ( t) = k1e− t / T . Egységugrás bemenôjelre állandósult állapotban a kimenôjel deriváltja zérus, és y ih ( t) = y ( t ∞) = A . A teljes megoldás: y ( t) = y h ( t) + y ih ( t) = k1e− t / T + A . A k1 paraméter értéke a kezdeti feltétel ismeretében határozható meg: y (0) = 0 = k1 + A . A teljes megoldás, az átmeneti függvény analitikus kifejezése tehát: ( ) y ( t) = v ( t) = A 1 − e − t / T , t≥0 (2.21) 51 amely exponenciálisan kb. 3T

idôn belül éri el állandósult értékét 5%-os pontosságon belül A súlyfüggvény az átmeneti függvény deriváltja: w ( t) = d v ( t) A − t / T = e dt T (2.22) Az átmeneti függvényt és a súlyfüggvényt a 2.7 ábra mutatja, ahol v̇ (0) = w (0) = A T következtében az idôállandó elsôrendû rendszerekre jól ismert interpretációja olvasható le az ábráról. 2.7 ábra Elsôrendû differenciálegyenlettel leírható rendszer átmeneti függvénye és súlyfüggvénye A súlyfüggvény ismeretében tetszôleges bemenôjelre a kimenôjel a konvolúciós integrállal számítható. A teljes megoldás, figyelembevéve a zérustól eltérô kezdeti feltétel hatását is a kimenôjelre:  1 A  −T t y ( t) = e y (0) + T  t ∫e 0 −  τ d τ ( )   1 (t−τ) T u (2.23) 2.2 Transzformálás az idôtartományból a frekvencia- illetve az operátortartományba Lineáris állandó együtthatójú differenciálegyenletek

tárgyalásának a mûszaki alkalmazások szempontjából elônyös módja az, ha függvénytranszformációkkal az eredeti idôfüggvényekrôl azokkal egyértelmû kapcsolatban álló olyan függvényekre térünk át, amelyekkel az eredeti differenciálegyenlet helyett algebrai egyenletet kell megoldani. Ilyen eljárások a FOURIER és a LAPLACE transzformáció. FOURIER sor, FOURIER integrál, FOURIER transzformáció Egy periodikus y ( t) jel felbontható harmonikus függvények összegére. Ez az összeg a FOURIER sort adja meg, amelynek elemei diszkrét frekvenciákhoz rendelhetôk. Legyen a jel periódusideje T , alapkörfrekvenciája pedig ω o = 2π T . A FOURIER sor komplex alakja: y ( t) = ∞ ∑ c ne jnω t o n =−∞ (2.24) 52 ahol n egész szám, és T 2 cn = 1 y ( t) e− jnω o t dt ∫ T −T 2 (2.25) c n komplex szám, amelyre fennáll a c n = c− n összefüggés, ahol c konjugált komplexet jelöl. Az ω = n ω o diszkrét frekvenciákhoz rendelt c n

amplitúdók a periodikus y ( t) jel amplitúdó spektrumát alkotják. A FOURIER sor természetesen valós alakban is megadható, ahol a pozitív és negatív azonos értékû frekvenciaösszetevôkhöz tartozó tagokat szinusz vagy koszinusz függvényekké vonjuk össze. 2.8 ábra Periódikus jel 2.9 ábra Periódikus jel diszkrét frekvenciaspektruma A 2.8 ábra egy periodikus függvényt mutat A 29 ábra megadja a függvény amplitúdófrekvencia spektrumát A 210 ábra szemlélteti a függvény közelítését az alapharmonikussal, illetve 3 FOURIER összetevôvel. Minél több FOURIER összetevôt veszünk figyelembe, annál jobb lesz a periódikus jel közelítése. (Megjegyezzük, hogy a szinusz és koszinusz függvények ortogonális rendszert alkotnak. A FOURIER sor a periódikus jel egy ortogonális felbontása. (a) (b) 2.10 ábra Periódikus jel közelítése harmonikus összetevôkkel A gyakorlatban a rendszer bemenetére többnyire nem periódikus, hanem aperiodikus

jelek kerülnek (pl. egységugrás függvény) Egy abszolút integrálható aperiodikus függvény, amelyre fennáll az ∞ ∫ −∞ y ( t ) dt = véges (2.26) 53 összefüggés, felírható a FOURIER sorból határátmenettel kapható FOURIER integrál alakjában. Egy aperiodikus függvény ugyanis olyan periódikus függvénynek fogható fel, amelynek periódusideje végtelenhez tart. Az aperiodikus függvény származtatását a periódikus függvénybôl a 2.11 ábra szemlélteti A periódusidô növelésével az amplitúdófrekvenciaspektrum vonalai egyre közelebb kerülnek egymáshoz, és határesetben a spektrum folytonossá válik, a jelben minden frekvencia elôfordul adott sûrûséggel (súlyozással). A (224) összefüggés helyett határátmenettel kapjuk a FOURIER integrált. y ( t) = ∞ 1 ∫ Y ( jω)e jωt dt 2π −∞ (2.27) ahol Y ( jω) a jelhez tartozó komplex spektrum, az y ( t) jel úgynevezett FO U R I E R transzformáltja, amely az alábbi

összefüggéssel kapható meg: Y ( jω) = ∞ ∫ y (t)e− jωt dt = F { y (t)} (2.28) −∞ Ez az összefüggés a FOURIER transzformáció alapösszefüggése. A FOURIER transzformáltból a jel a (2.27) összefüggés alapján egyértelmûen visszaállítható Ha az y ( t) függvény csak t ≥ to idôkre különbözik zérustól, akkor egyoldalas idôfüggvényrôl, illetve egyoldalas FOURIER transzformációról beszélünk. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy to = 0. Ekkor y ( t) -t pozitív idôfüggvénynek nevezzük 2.11 ábra A periódusidô növelésével a periódikus függvény aperiodikus függvényt közelít, a frekvenciaspektrum folytonossá válik. A FOURIER transzformált csak akkor létezik, ha a jel abszolút integrálható, vagyis fennáll a (2.26) összefüggés Ez azt is jelenti, hogy a jel négyzetes integrálja is létezik, a jelnek véges 54 energiatartalma van. Az energia a frekvenciatartományban a PARSEVAL vagy

RAYLEIGH tétellel fejezhetô ki: ∞ ∞ 1 ∫ y (t) dt = 2π ∫ Y ( jω)Y (− jω) dω −∞ −∞ 2 (2.29) A FOURIER transzformációt alkalmazva egy differenciálegyenletre algebrai egyenletet kapunk. Képezzük ugyanis a (2.27) egyenlet idô szerinti deriváltját ∞ 1 ẏ ( t) = jωY ( jω)e jωt dt ∫ 2π −∞ Látható, hogy ẏ ( t) FOURIER transzformáltja jωY ( jω) , tehát az ω változó tartományában a t szerinti differenciálás jω-val való szorzásra egyszerûsödik. Láttuk, hogy mind a periódikus, mind pedig az aperiodikus jelek különbözô frekvenciájú szinuszos jelek szuperpozíciójával adhatók meg. A periódikus jelek meghatározott diszkrét frekvenciájú szinuszos jelek összegével közelíthetôk, ahol a magasabb frekvenciájú összetevôk egyre kisebb amplitúdóval fordulnak elô. Az aperiodikus jelekben minden frekvencia elôfordul adott súlyozással. Ha egy lineáris rendszert gerjesztünk egy jellel, amelyet különbözô

frekvenciájú szinuszos összetevôivel közelítünk, a szuperpozíció alkalmazásával a kimenôjel közelíthetô a bemenôjel egyes összetevôire adott válaszok összegével. A közelítés annál jobb lesz, minél több frekvenciaösszetevôt veszünk figyelembe. A 212 ábra szemlélteti egy másodrendû differenciálegyenlettel leírható rendszer periodikus négyszögjelre adott válaszát, továbbá a bemenôjel és a kimenôjel közelítését a szinuszos összetevôkkel 4 illetve 10 FOURIER összetevôvel. Látható, hogy 10 összetevôvel jól közelítjük mind a bemenôjelet, mind pedig a kimenôjelet. (a) (b) 10 FOURIER összetevôvel 4 FOURIER összetevôvel 2.12 ábra Másodrendû rendszer periódikus bemenôjelének és kimenôjelének közelítése A fentiek alapján ha egy lineáris rendszer szinuszos jelekre adott válaszait ismerjük, elvileg tetszôleges bemenôjelre adott idôbeli válaszait is közelítôleg megadhatjuk. LAPLACE transzformáció A FOURIER

transzformáció alkalmazásának az abszolút integrálhatóság (2.26) feltétele igen erôs 55 korlátot szab. A feltétel számos, a gyakorlatban alkalmazott jelre sem teljesül (pl egységugrás) A gyakorlati alkalmazhatóság érdekében a FOURIER transzformációt úgy kell módosítani, hogy alkalmazható legyen olyan jelekre is, amelyek nem abszolút integrálhatók. Az egyoldalas FOURIER transzformáció érvényességi köre nagymértékben kibôvíthetô, ha az y ( t) transzformálandó függvényt elôzetesen megszorozzuk az e−σt függvénnyel, amely a függvények széles körére biztosítja az abszolút integrálhatóságot, majd az így kapott függvénynek határozzuk meg a FOURIER transzformáltját. A σ > 0 feltétellel az összes hatványfüggvény, a σ > α feltétellel pedig a pozitív hatványkitevôjû eαt függvény is abszolút integrálhatóvá válik t = 0 és ∞ között. A szorzótényezôvel módosított függvény FOURIER

transzformáltja az eredeti függvény LAPLACE transzformáltja. 2.1 táblázat Néhány függvény LAPLACE transzformáltja y ( t) Y ( s) 1 δ( t ) 1 s 1 s2 n! 1( t) t tn e− at 1− e− at te− at 1 t n −1e− at (n − 1)! sin(ωt) cos(ωt) sn +1 1 s+ a a s( s + a) 1 (s + a) 2 1 (s + a) n ω s + ω2 s 2 s + ω2 2 A LAPLACE transzformált egyoldalas, a t = 0-ban kezdôdô függvényekre: ∞ L { y (t)} = ∫ y (t)e −σt − jωt e dt = −∞ ∞ ∫ y (t)e−st dt = Y (s) 0 ahol az s = σ + jω transzformációs változó pozitív valós részû komplex szám. Tehát egy y ( t) függvény LAPLACE transzformáltja: Y ( s) = L { y ( t)} = ∞ ∫ y (t)e−st dt 0 (2.30) 56 Az inverz LAPLACE transzformált pedig: y ( t) = L −1{Y ( s)} = σ + j∞ 1 Y ( s) e st ds ∫ 2πj σ − j∞ (2.31) Az integrálási utat úgy kell kiválasztani, hogy az Y ( s) regularitási tartományában haladjon, a szinguláris helyek tôle balra essenek. Ezt az általános

érvényû inverziós formulát gyakorlati esetekben szûkebb érvényû, de könnyebben kezelhetô módszerekkel (pl. kifejtési tétel) lehet helyettesíteni. (Az s jω határátmenettel a LA P L A C E transzformáció a FO U R I E R transzformációba megy át, amennyiben az létezik.) Néhány fontosabb jel LA P L A C E transzformáltját a 2.1 táblázat adja meg Valamennyi függvény egyoldalasan értendô A LAPLACE transzformáció fontosabb mûveleti szabályai: Linearitás: A LAPLACE transzformáció lineáris mûvelet. Ha az idôfüggvényeket konstansokkal szorozzuk és összegezzük, LAPLACE transzformáltjaikat is hasonló módon számíthatjuk. L {c1 y1(t) + c 2 y 2 (t)} = c1Y1(s) + c 2Y2 (s) (2.32) Differenciálás: L { y˙ (t)} = sY (s) − y (−0) L {˙˙y (t)} = s2Y (s) − sy (−0) − y˙ (−0) (2.33) Ha a függvény a t = 0 idôpontban ugrik, a derivált LAPLACE transzformáltjában kezdeti értéknek az ugrás elôtti ( t = −0 ) bal oldali értéket

kell figyelembe venni. Ha az összes kezdeti érték zérus, az idô szerinti differenciálás s megfelelô hatványával való szorzásra redukálódik. Egy függvény LAPLACE transformáltjának az s változó szerinti deriváltja a t változóval szorzott idôfüggvény LAPLACE transzformáltját adja meg negatív elôjellel: L {t y (t)} = − d Y (s) ds (2.34) Integrálás: L  t  1  ∫ y ( τ) d τ = Y ( s)  0  s (2.35) Késleltetés, eltolás: L { y (t ± τ)} = e ±sτY (s) (2.36) y ( t) = 0, ha t < τ. (2.37) Az y függvény kezdôpontjának τ -val való jobbra tolása a transzformált függvényben e−sτ -val való szorzásként jelentkezik. 57 Végérték tételek: y ( t = +0) = lim sY ( s) s∞ (2.38) y ( t ∞) = lim sY ( s) s 0 Az állandósult értékre ( t ∞) vonatkozó összefüggés akkor alkalmazható, ha Y ( s) pólusai a komplex számsík bal oldalára esnek, vagyis a tranziensek lecsengenek, létezik

állandósult állapot (helytelen eredményt kapunk pl. szinusz jelre vagy exponenciálisan növekvô jelre) Konvolúció:  t   0  L  ∫ y1( τ) y 2 (t − τ) dτ = Y1(s)Y2 (s) (2.39) A konvolúciós integrál a LAPLACE operátortartományban egyszerûen a függvények LAPLACE transzformáltjainak összeszorzásával számítható. Racionális törtfüggvény inverz LAPLACE transzformáltja Az inverz LAPLACE transzformáció (2.31) kifejezését konkrét számításokban ritkán használjuk Lineáris állandó paraméterû rendszerek vizsgálatakor a rendszerben elôforduló jelek LAPLACE transzformáltja rendszerint racionális törtfüggvény (valós együtthatós polinomok hányadosa). Y ( s) = G ( s) β m sm + β m −1sm −1 + β o = H( s) sn + α n −1sn −1 + . + α o , m ≤ n. (2.40) A racionális törtfüggvény részlettörtekre bontható és tagonként visszatranszformálható az idôtartományba. Ez a kifejtési tétel, amely

akkor egyszerû, ha a nevezô gyökei egyszeresek Ekkor G (s ) ri , ahol ri = i , s − si H ( si ) i =1 n Y ( s) = ∑ (2.41) H a H polinom s szerinti deriváltja. Az idôfüggvény: n y ( t) = ∑ ri e si t (2.42) i =1 Többszörös gyökhöz a részlettörtekre bontáskor a gyök multiplicitásával azonos számú részlettört tartozik. Például ha az i-edik gyök kétszeres, a megfelelô részlettört ri 1 ri 2 + , s − si ( s − si ) 2 aminek inverz transzformáltja a 2.1 táblázat szerint ( ri 1 + t ri 2 )e si t (2.43) 58 Az átviteli függvény Ha a differenciálegyenletre alkalmazzuk a LAPLACE transzformációt, algebrai egyenletre jutunk. Zérus kezdeti feltételek mellett a deriváltak egyszerûen s megfelelô hatványával való szorzással adódnak. Az algebrai egyenletet megoldva megkapjuk a kimenôjel LAPLACE transzformáltját, majd inverz transzformációval visszatérünk az idôtartományba. A (2.1a) differenciálegyenletet a LAPLACE

transzformációval zérus kezdeti feltételek mellett a következô alakra hozhatjuk: an snY ( s) + an −1sn −1Y ( s) + . + a1sY ( s) + aoY ( s) = = bm smU ( s) + bm −1sm −1U ( s) + . + b1sU ( s) + boU ( s) illetve Y ( s) = bm sm + bm −1sm −1 + b1s + bo U ( s) = H ( s) U ( s) an sn + an −1sn −1 + . + a1s + ao (2.44a) ahol Y ( s) = L { y ( t)} , U ( s) = L {u( t)}, a H ( s) pedig az úgynevezett átviteli függvény. Fizikailag realizálható rendszerekre m ≤ n . Az ilyen átviteli függvényt szabályosnak (proper) is nevezzük Ha a szigorúbb m < n feltétel is teljesül, akkor H ( s) szigorúan szabályos (strictly proper). Az n − m fokszám különbség az ún. pólustöbblet Soros holtidôt is tartalmazó rendszerekre a (2.1b) differenciálegyenlet LAPLACE transzformáltja: an snY ( s) + an −1sn −1Y ( s) +  + a1sY ( s) + aoY ( s) = [ ] = bm smU ( s) + bm −1sm −1U ( s) +  + b1sU ( s) + boU ( s) e− sT d illetve Y ( s) = bm sm + bm −1sm

−1 +  + b1s + bo − sT d e U ( s) = H ( s) U ( s) an sn + an −1sn −1 +  + a1s + ao (2.44b) 2.13 ábra Egy lineáris rendszer leírható átviteli függvényével Egy rendszer átviteli függvénye tehát a rendszer kimenô- és bemenôjelei LA P L A C E transzformáltjainak a hányadosa (2.13 ábra) H ( s) = Y ( s) U ( s) (2.45) Az átviteli függvény alakjai Az alábbiakban holtidômentes rendszereket tekintünk. Az átviteli függvény megadható polinom/polinom alakban: 59 bm sm + bm −1sm −1 +  + b1s + bo H ( s) = an sn + an −1sn −1 +  + a1s + ao (2.46) A számlálónak és a nevezônek valós vagy konjugált komplex gyökei vannak. Jelöljük a számláló gyökeit – az átviteli függvény zérusait – z1 , z2 ,., zm -mel, a nevezô gyökeit – az átviteli függvény pólusait – pedig p1 , p2 ,., pn -nel Az átviteli függvény gyöktényezôs, zérus-pólus alakja: H ( s) = k (s − z1)(s − z2 ) (s − zm ) (s − p1)(s − p2

) (s − pn ) (2.47) ahol a k erôsítési tényezô értéke: k = bm an . Megadhatjuk az átviteli függvényt részlettörtes alakban is (egyszeres pólusokat feltételezve): n H ( s) = ∑ ri s − pi i =1 (2.48) ahol pi az átviteli függvény pólusait, ri a reziduálok értékeit jelöli. Mind a pólusok, mind pedig a reziduálok lehetnek valós vagy konjugált komplex számok. Szabályozástechnikai alkalmazásokban az átviteli függvényben sokszor elônyös a gyökök reciprokait, az idôállandókat szerepeltetni. τi = −1 / zi és Ti = −1 / pi jelölések bevezetésével az átviteli függvény idôállandós alakja: H ( s) = A (1 + sτ1)(1 + sτ 2 ) (1 + sτ m ) (1 + sT1)(1 + sT2 ) (1 + sTn ) (2.49) ahol τi és Ti valós vagy komplex számok, A pedig az átviteli tényezô. Az A átviteli tényezô értéke: A= bo (−z1) (−zm ) =k ao (− p1) (− pn ) A nulla értékû zérusokra és pólusokra az átalakítást nem végezzük el. A

konjugált komplex gyökpárokat mind a számlálóban, mind a nevezôben célszerû összevonni másodfokú valós együtthatójú tényezôkké. Legyenek pl p1 = α + jβ és p2 = p1 = α − jβ konjugált komplex pólusok. Gyöktényezôik szorzatára írhatjuk: (s − p1)(s − p2 ) = (s − α − jβ)(s − α + jβ) = s2 − 2αs + α 2 + β2 = s2 + 2ξω o s + ω o2 ahol ω 2o = α 2 + β 2 és ξ = −α ω o Idôállandós alakban  2ξ 1  s2 + 2 ξω o s + ω 2o = ω 2o 1 + s + 2 s2  ωo   ωo 60 Bevezetve a To = 1 ω o idôállandót, a kifejezés jobb oldali zárójeles tényezôje 1 + 2 ξTo s + To2 s2 alakba írható. Az ω o -t a négyzetes tag sajátfrekvenciájának (natural frequency), ξ-t pedig csillapítási tényezônek (damping factor) nevezik. A konjugált komplex gyökök összevonásával az átviteli függvény az alábbi alakba írható: H ( s) = A si c d 1 e 1 f ∏ (1 + sτ j ) ∏ (1 + 2ζ j τ oj s + s2 τ o2j ) ∏ (1 + sT

j )∏ (1 + 2ξ jToj s + 1 s2To2j 1 ) (2.50) Ha i < 1, a tagban differenciáló hatás van. Ha i = 0, a tag arányos jellegû. Ha i > 1, a tag integráló jellegû. Ezek a hatások akkor jelennek meg tisztán, ha a bemenôjel által kiváltott tranziensek már lecsillapodtak. Holtidô fellépése esetén a fenti átviteli függvényeket meg kell szorozni az e− sT d tényezôvel. Az átviteli függvény kapcsolata a súlyfüggvénnyel és az átmeneti függvénnyel Az átviteli függvény segítségével adott gerjesztésre a kimenôjel meghatározható. Y ( s) = H ( s) U ( s) (2.51) y ( t) = L −1{Y ( s)} = L −1{H ( s) U ( s)} Az átviteli függvény ismeretében a súlyfüggvény és az átmeneti függvény könnyen megadható. A súlyfüggvény a rendszer DIRAC impulzusra adott válasza az idôtartományban. Mivel L {δ(t)} = 1, a súlyfüggvény LAPLACE transzformáltja az átviteli függvény Y ( s) = U ( s) H ( s) = = L {δ( t)}H ( s) = H ( s) amibôl a

súlyfüggvény w ( t) = L −1{H ( s)} H ( s) = L {w ( t)} és megfordítva (2.52) Másszóval egy rendszer súlyfüggvényének LAPLACE transzformáltja a rendszer átviteli függvénye. A súlyfüggvény ismeretében tetszôleges bemenôjelre a konvolúciós integrállal határozhatjuk meg a rendszer válaszát. A LAPLACE operátortartományban a konvolúciónak szorzás felel meg. y ( t) = L t {Y (s)} = L {H (s) U (s)} = ∫ w(t − τ) u( τ) dτ −1 −1 (2.53) 0 Az átmeneti függvény a rendszer egységugrásra adott válasza az idôtartományban. Az átmeneti függvény LAPLACE transzformáltja: 61 1 Y ( s) = U ( s) H ( s) = L {1( t)}H ( s) = H ( s) s Az átmeneti függvény a fenti kifejezés inverz LAPLACE transzformációjával kapható meg.  H ( s)  v ( t) = L −1    s  (2.54) Egy arányos jellegû tag átmeneti függvényét a 2.14 ábra szemlélteti 2.14 ábra Átmeneti függvény Az átmeneti függvény kezdeti és végértékét,

illetve deriváltjainak kezdeti értékeit megadhatjuk az átviteli függvény alapján. A végértéktételekkel az átmeneti függvény kezdeti értéke: v (0) = lim s s∞ H ( s) = lim H ( s) s∞ s (2.55) Az átmeneti függvény r -edik deriváltjának kezdeti értéke: v (r) sr H (0) = lim sr H (0) (0) = lim s s∞ s∞ s (2.56) Ha s ∞, az átviteli függvény (2.44) kifejezésében a számlálóban és a nevezôben a legmagasabb hatványok dominálnak, v (r) bm sm bm sr = lim (0) = lim s s∞ an sn s∞ an sn − m r (2.57) Ha a számláló és a nevezô fokszáma megegyezik, az átmeneti függvénynek ugrása van a t = 0 idôpontban. Ha van fokszámkülönbség a nevezô és a számláló között, a t = 0-ban az r = n − m edik deriváltban van ugrás, az alacsonyabbfokú deriváltak értéke a t = 0-ban zérus Ha a fokszámkülönbség 1, az átmeneti függvény értéke a t = 0-ban zérus, de az elsô derivált értéke zérustól eltérô, az átmeneti

függvény véges meredekséggel indul. Ha a fokszámkülönbség 2, az átmeneti függvény és elsô deriváltjának (a kezdeti érintô) értéke is zérus a t = 0-ban, és a második derivált véges értékû. Minél nagyobb a fokszámkülönbség, annál magasabbfokúan símul az átmeneti függvény a t = 0-ban az idôtengelyhez. Az átmeneti függvény állandósult értéke (feltételezve, hogy egyáltalán beáll egy állandósult állapot, vagyis (2.50)-ben valamennyi pólus valós értéke negatív): v ( t ∞) = lim s s 0 H ( s) = lim H ( s) s 0 s (2.58) 62 A (2.50) kifejezésben ekkor az s változót tartalmazó tagok elhanyagolhatók 2.15 ábra Átmeneti függvény állandósult értéke Ha i = 0, egységugrás bemenôjelre az állandósult érték az A átviteli tényezô értékére áll be. Az ilyen tulajdonságú tagokat arányos vagy önbeálló tagoknak nevezzük. Ha i > 1, a tag integráló jellegû, és a kimenôjel értéke ∞-hez tart, i = 1 esetén

lineárisan, i = 2 esetén kvadratikusan nô. Ha i < 1, a tag differenciáló jellegû és az átmeneti függvény állandósult értéke zérus (2.15 ábra) Az átviteli függvény pólusai jellemzik a tranziens viselkedést. Valós pólusok aperiodikus, konjugált komplex pólusok lengô tranzienseket eredményeznek. Az origóba esô pólus integráló hatást jelent. A komplex számsík bal oldalára esô pólusok lecsengô, a jobb oldalra esô pólusok egyre növekvô amplitúdójú tranzienseket jelentenek. A 216 ábrán különbözô elhelyezkedésû pólusokkal rendelkezô rendszerek súlyfüggvényeit tüntettük fel. 2.16 ábra Az átviteli függvény pólusai és a súlyfüggvény jellege Tagok alapkapcsolásai. Blokk-diagram algebra, hatásvázlat átalakítások A szabályozási kör tagjai valamilyen módon kapcsolódnak egymáshoz. A kapcsolódás, egymásrahatás módja a hatásvázlattal fejezhetô ki. Az átviteli tagok három alapvetô kapcsolása - a soros

kapcsolás - a párhuzamos kapcsolás - a visszacsatolás. 63 Határozzuk meg az alapkapcsolások eredô átviteli függvényeit. Soros kapcsolás Soros kapcsolásnál az egyik tag kimenôjele az utána következô tag bemenôjelét képezi (2.17 ábra) 2.17 ábra Soros kapcsolás A kimenôjel LAPLACE transzformáltja: Y ( s) = Y1 ( s) H 2 ( s) = U ( s) H1 ( s) H 2 ( s) Az eredô átviteli függvény tehát az egyes átviteli függvények szorzata. H ( s) = H1 ( s) H 2 ( s) Párhuzamos kapcsolás Párhuzamos kapcsolásnál a tagok bemenôjele azonos, kimenôjeleik összegzôdnek (2.18 ábra) A kimenôjel LAPLACE transzformáltja: Y ( s) = Y1 ( s) + Y2 ( s) = U ( s) [ H1 ( s) + H 2 ( s)] Az eredô átviteli függvény tehát az egyes átviteli függvények összege H ( s) = H1 ( s) + H 2 ( s) 2.18 ábra Párhuzamos kapcsolás Hangsúlyozzuk, hogy H1 és H 2 fenti összevonása csak akkor lehetséges, ha bemenetük azonos, kimenetük pedig kizárólag egy közös pontban kerül

összegezésre. Visszacsatolás Visszacsatolásról beszélünk, ha valamely tag kimenôjelét – egy másik tagon keresztül vezetve – a bemenôjeléhez hozzáadjuk vagy kivonjuk. Az elôbbi esetet pozitív, az utóbbit negatív visszacsatolásnak nevezzük. Egy szabályozási kör tipikus alapkapcsolása a negatív visszacsatolás. A 219 ábra alapján határozzuk meg a negatívan visszacsatolt kör eredô átviteli függvényét. 2.19 ábra Visszacsatolt kör 64 A kimenôjel Laplace transzformáltja Y ( s) = E ( s) H1 ( s) = [U ( s) − H 2 ( s)Y ( s)] H1 ( s) . Átrendezve Y ( s) = [ H1 ( s) 1 + H1 ( s) H 2 ( s)] U ( s) . Az eredô átviteli függvény H ( s) = H1 ( s) . 1 ± H1 ( s) H 2 ( s) A nevezôben a negatív elôjel a pozitív visszacsatolásra vonatkozik. Az L( s) = H1 ( s) H 2 ( s) függvényt hurokátviteli függvénynek nevezzük. Egy szabályozási rendszer matematikai vizsgálatát hatásvázlata alapján végezhetjük el. A vizsgálat sok esetben

egyszerûsödik, ha a hatásvázlaton egyenértékû átalakításokat hajtunk végre. Egy rendszer blokk-diagramja az átalakítási szabályok segítségével más, ekvivalens alakokra hozható. Az átalakítások segítségével egyszerûbb alakot, vagy a számítások elvégzéséhez elônyösebb struktúrát kapunk. Az átalakítás során az egyes blokkokat és jeleket is át lehet helyezni, de az egyenértékû átalakítások során az egyes bemenôjelek hatása a kimenôjelekre változatlan kell, hogy maradjon. Az alábbiakban megadunk néhány egyenértékû átalakítási szabályt. Az elágazási pontok ugyanazon jelrôl felcserélhetôk (2.20 ábra) Az összegzési pontok helye felcserélhetô (2.21 ábra) Az összegzési pontok egyenértékû áthelyezését a 222 ábra mutatja Az elágazási pont áthelyezését a 2.23 ábra szemlélteti 2.20 ábra Az elágazási pontok felcserélhetôk 2.21 ábra Az összegezési pontok felcserélhetôk (a) (b) 2.22 ábra

Összegezési pontok egyenértékû áthelyezése (a) (b) 2.23 ábra Elágazási pont áthelyezése 2.1 Példa A 2.24 ábrán látható hatásvázlatban egy folyamat két sorbakapcsolt átviteli függvénnyel adható meg. A zavaró jellemzô a két tag között hat Redukáljuk a zavarást a kimenôjelre, illetve a 65 bemenôjelre. A 225 ábra mutatja az átalakított hatásvázlatokat 2.24 ábra A zavarás a folyamat két sorbakapcsolódó átviteli tagja között hat 2.25 ábra A zavarás a folyamat kimenetére, illetve bemenetére redukálható 2.2 Példa Határozzuk meg a 2.26 ábrán látható összetett szabályozási kör eredô átviteli függvényét az y kimenôjel és az r alapjel között. 2.26 ábra Többhurkú szabályozási kör 2.27 ábra A hatásvázlat átalakítás lépései 66 A hatásvázlat átalakítás lépéseit és az eredô átviteli függvény meghatározását a 2.27 ábra mutatja. 2.3 Példa Adjuk meg a 2.28 ábrán látható kapcsolás

eredô átviteli függvényét 2.28 ábra Szabályozási kör elôrecsatolással A hatásvázlat átalakítás lépéseit és az eredô meghatározását a 2.29 ábra adja meg (a) (b) (c) 2.29 ábra A hatásvázlat átalakítás lépései 2.3 Lineáris rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban A következôkben a lineáris rendszer szinuszos bemenôjelekre adott válaszait vizsgáljuk. A szinuszos jelekre adott válaszok – mint láttuk a 2.2 pontban a FOURIER analízis kapcsán – alapvetô információt tartalmaznak más, nem szinuszos bemenôjelekre adott válaszokra is, hiszen egy adott bemenôjel felbontható szinuszos összetevôk összegére. Lineáris rendszerben az egyes szinuszos bemenôjel összetevôkre adott válaszokat összegezve megkapjuk az adott bemenôjelre adott válasz tetszôleges pontosságú közelítését. Stabilis lineáris rendszerek alapvetô tulajdonsága, hogy szinuszos bemenôjelekre állandósult állapotban, a tranziensek lecsengése után

a bemenôjel frekvenciájával megegyezô frekvenciájú szinuszos jelekkel válaszolnak (2.30 ábra) A kimenôjel amplitúdója és fázisszöge a frekvencia függvénye. 2.30 ábra Lineáris rendszer válasza szinuszos bemenôjelre 67 Legyen a rendszerünk bemenete u( t) = Au sin(ωt + ϕ u ) , t ≥ 0. A kimenôjel y ( t) = y állandósult ( t) + y tranziens ( t) . A kimenôjel állandósult (kvázistacionárius) állapotban ( ) y állandósult ( t) = Ay sin ωt + ϕ y . ( ) A frekvenciafüggvény az Ay Au amplitúdó arány és a ϕ y − ϕ u fáziskülönbség frekvenciafüggését leíró komplex függvény, amely egyidejûleg két rendszerjellemzô tulajdonság frekvenciafüggését reprezentálja. Belátható, hogy formailag a frekvenciafüggvényt az átviteli függvénybôl az s = jω helyettesítéssel lehet származtatni: H ( jω) = H ( s) s = jω = H ( jω) e jϕ(ω) = a(ω)e jϕ(ω) (2.59) A frekvenciafüggvény kifejezésében a(ω) az amplitúdófüggvény

(a frekvenciafüggvény abszolút értéke), ϕ(ω) pedig a fázisfüggvény (a frekvenciafüggvény fázisszöge): a(ω) = H ( jω) = Ay (ω) Au (ω) és ϕ(ω) = arg{H ( jω)} = ϕ y (ω) − ϕ u (ω) Bizonyítás: Legyen a rendszer átviteli függvénye: H ( s) = k (s − z1)(s − z2 )(s − zm ) (s − p1)(s − p2 )(s − pn ) Az egyszerûség kedvéért tételezzünk fel egyszeres pólusokat és zérusokat. A szinuszos bemenôjel LAPLACE transzformáltja U ( s) = Au ω s + ω2 2 A kimenôjel felírható részlettörtes alakban ω Au (s − z1)(s − z2 ) (s − zm ) = k s2 + ω 2 ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn ) α α β β2 βn = + + 1 + ++ s + jω s − jω s − p1 s − p2 s − pn Y ( s) = U ( s) H ( s) = α és α konjugált komplex reziduálok. Inverz LAPLACE transzformációval a kimenôjel idôfüggvénye: y ( t) = L −1{Y ( s)} = αe− jωt + αe jωt + β1e p1t + β 2e p 2 t +  + β n e p n t Stabilis rendszerre a rendszer pólusait

tartalmazó részlettörtekbôl adódó tranziensek lecsengenek, a kvázistacionárius válasz pedig a fenti összefüggésbôl láthatóan a bemenôjellel megegyezô frekvenciájú szinuszos jelet eredményez. 68 Határozzuk meg az α és α reziduálok értékeit az Y ( s) -re fentebb felírt részlettörtes összefüggés alapján. α= A Au ω H s s + jω) = − u H (− jω) 2 ( )( 2j s +ω s=− jω 2 és α= Au H ( jω) 2j Ezzel 1 1 Au A + u H ( jω) = H (− jω) 2j s + jω 2 j s − jω 1 1 A A + u H ( jω) e jϕ(ω) = − u H ( jω) e − jϕ(ω) 2j s + jω 2 j s − jω Yállandósult ( s) = − valamint a kimenôjel állandósult, kvázistacionárius összetevôje y állandósult ( t) = [ ] Au j ωt +ϕ ) − e − j ( ωt +ϕ ) = Au H ( jω) sin(ωt + ϕ) H ( jω) e ( 2j Ezzel igazoltuk, hogy a frekvenciafüggvény az átviteli függvénybôl s = jω helyettesítéssel . kapható, H ( jω) = H ( s) s= jω A frekvenciafüggvény a súlyfüggvény FOURIER

transzformáltja, amennyiben az létezik. Ha a rendszert olyan hatás éri, amely tranzienseket vált ki, kezdetben a nagyfrekvenciás (idôben gyorsabban lejátszódó), a késôbbiekben pedig a kisfrekvenciás tulajdonságai dominálnak. A jω 0 átmenet éppen az állandósult állapotot adja meg. Tehát az átmeneti függvény értéke állandósult állapotban ( t ∞) megegyezik a frekvenciafüggvény ω = 0 értéknél felvett amplitúdójával. Az átmeneti függvény kezdeti értéke ( t 0) pedig a frekvenciafüggvény ω ∞-nél felvett értékével azonos. 2.31 ábra NYQUIST diagram A frekvenciafüggvény grafikus megjelenítése A frekvenciafüggvény többféleképpen is ábrázolható. A NYQUIST diagram a frekvenciafüggvényt a komplex számsíkon polár diagramként ábrázolja A kiválasztott frekvencia- 69 tartomány minden egyes értékére a komplex síkban az a(ω) és ϕ(ω) értékpárnak megfelelô pontot adhatunk meg. E pontok kontúrral való

összekötése eredményezi a NYQUIST diagramot A NYQUIST diagram ábrázolásakor a frekvenciát rendszerint nulla és végtelen között változtatjuk (2.31 ábra) A nyíl a frekvencia paraméter növekedésének irányát mutatja A helygörbét sokszor kiegészítjük a negatív körfrekvenciákra számított értékekkel. Ilyenkor teljes N YQUIST diagramról beszélünk. A görbe −∞ < ω < 0 tartományra megadott szakasza (a 2.31 ábrán szaggatottan jelölve) a pozitív körfrekvenciákra számított görbe valós tengelyre vett tükörképe. Konkrét fizikai értelme csak a pozitív körfrekvenciának van A NYQUIST diagram az s = jω , − ∞ < ω < ∞ egyenes H ( s) függvény szerint vett konform leképezéseként is felfogható. A NYQUIST diagram alakja jellemzi a rendszert. Analizálva a NYQUIST diagramot a rendszer fontos tulajdonságairól (pl. stabilitás) kaphatunk minôségi képet 2.32 ábra BODE diagram A BODE diagram a frekvenciafüggvény a(ω)

abszolút értékét és ϕ(ω) fázisszögét külön-külön ábrázolja egy kijelölt frekvenciatartományban (2.32 ábra) A frekvenciaskála léptéke logaritmikus, így nagy frekvenciatartomány fogható át. Azt a frekvenciatartományt, amely alatt a frekvencia tízszeresére változik, 1 dekádnak nevezzük. (A zenében használatos oktáv olyan frekvenciasávot ad meg, amely alatt a frekvencia kétszeresére változik.) Az abszolút értéket – híradástechnikai hagyományokat követve – decibelben adjuk meg. A decibel (dB) a számérték 10-es alapú logaritmusának 20-szorosa. A fázisszöget lineáris skálában ábrázoljuk A BODE diagram egyik elônye, hogy egy frekvenciafüggvény tényezôinek összeszorzásakor a logaritmikus lépték miatt az egyes tényezôk BODE diagramjai egyszerûen összeadódnak. A B ODE diagram másik elônye, hogy rendszerint jól közelíthetô aszimptotáival. A közelítô diagramok jellegébôl és töréspontjaiból a rendszer

tulajdonságairól gyors értékelést adhatunk. 2.4 Tipikus tagok jellemzô függvényei Mint láttuk, egy lineáris, állandó paraméterû rendszer leírható a (2.1b) differenciálegyenlettel, an y ( n ) ( t) + an −1 y ( n −1) ( t) +  + a1 y˙ ( t) + ao y ( t) = = bm u( m ) ( t − Td ) + bm −1u( m −1) ( t − Td ) +  + b1u˙ ( t − Td ) + bo u( t − Td ) 70 illetve idôállandós alakban a (2.60) szerinti átviteli függvénnyel adható meg: H ( s) = A si c d 1 e 1 f ∏ (1 + sτ j ) ∏ (1 + 2ζ j τ oj s + s2 τ o2j ) ∏ (1 + sT j ) ∏ (1 + 2ξ jToj s + 1 1 s2To2j ) e− sT d (2.60) Konkrét esetekben a differenciálegyenlet megadott fokszámú, és esetleg egyes tagokat nem tartalmaz, az átviteli függvény pedig az általános alaknak csupán egyes tényezôit tartalmazza. A H ( s) átviteli függvénnyel jellemzett általános lineáris tag néhány alkalmasan választott egyszerû alaptag kombinációjából építhetô fel. Az

alábbiakban a legfontosabb átviteli tagok idô- és frekvenciatartománybeli tulajdonságait vizsgáljuk. Ezek az elemek az arányos, integráló, differenciáló, holtidôs és tárolós jellegû tagok, illetve ezek soros és párhuzamos kapcsolásával adódó eredôk. 2.2 táblázat Ideális alaptagok Ideális alaptagok Az ideális alaptagok a tisztán arányos, integráló illetve differenciáló tagok, továbbá a holtidôs tag. Arányos (P: proporcionális) tag Differenciálegyenlete ao y ( t) = bo u( t) , tulajdonképpen algebrai egyenlet. Arányos tagnak tekinthetô például egy elektronikus erôsítô a linearitási tartományban. Átviteli függvénye egy 71 konstans, az átviteli tényezô. H ( s) = H P ( s) = A = bo ao . (2.61) Súlyfüggvénye A területû DIRAC delta, átmeneti függvénye A amplitúdójú ugrásfüggvény. N YQUIST diagramja egyetlen pont a valós tengelyen. BODE amplitúdó-diagramja a frekvenciatengellyel párhuzamos egyenes, fázisszöge

minden frekvencián zérus. A jelleggörbéket a 2.2 táblázat mutatja Integráló (I) tag Differenciálegyenlete: a1 d y ( t) = bo u( t) , dt illetve idôállandós alakban TI d y ( t) d y ( t) = u( t) , vagy = K I u( t) , dt dt ahol K I = 1 TI , TI az integrálási idôállandó. A differenciálegyenlet megoldása: 1 y ( t) = TI t ∫ u(t) d t + c 0 Zérus bemenôjel esetén korábbi állapotának kimenôjelét tartja. Az integráló tag emlékezô, memória tulajdonságú, kimenetén a jel akkor lehet konstans, ha bemenetén a jel értéke zérus. A kimenôjel aktuális értéke a bemenôjel múltbeli értékeitôl, egész pontosan annak integráljától függ. Fizikai realizációjára példa egy folyadéktartály, ha bemenôjele a beáramló folyadékmennyiség és kimenôjele a szintmagasság, vagy egy kondenzátor kapocsfeszültsége és töltôárama közötti összefüggés, vagy egy motor szögelfordulásának változása fordulatszámának függvényében. Átviteli

függvénye: H ( s) = H I ( s) = K 1 = I sTI s (2.62) Frekvenciafüggvénye pedig H I ( s) = 1 K = I jωTI jω Súlyfüggvénye ugrásfüggvény, átmeneti függvénye sebességugrás, amely az egységnyi értéket az integrálási idô alatt éri el. NYQUIST diagramja pozitív ω értékekre a negatív képzetes tengelybe esô egyenes. A frekvenciafüggvény amplitúdója: 20 lg H ( jω) = −20lg ωTI , a BODE amplitúdó-körfrekvencia diagram tehát -20dB/dekád meredekségû egyenes, amely a 0dB 72 tengelyt az 1 TI értéknél metszi. A frekvencia 10-szeresére történô növekedésekor az amplitúdó tizedére (-20dB-lel) csökken. A fázisszög értéke minden frekvencián −90° A jellegzetes görbéket a 2.2 táblázat tünteti fel Megjegyezzük, hogy ha a tag két integráló hatást tartalmaz, átviteli függvénye H ( s) = K I s2 = 1 s2TI 2 , NYQUIST diagramja a negatív valós tengelyre esik, BODE amplitúdó diagramjának meredeksége -40dB/dekád, amely a

fázisszöge pedig −180° . K I körfrekvencián metszi a 0dB tengelyt, Differenciáló (D) tag Differenciálegyenlete idôállandós alakban: y ( t) = τ D d u( t) dt amelynek megfelelô átviteli függvény H ( s) = H D ( s) = sτ D , (2.63) a frekvenciafüggvény pedig H D ( jω) = jωτ D . Súlyfüggvénye két azonos területû és ellentétes irányú DIRAC delta. Átmeneti függvénye τ D területû DIRAC delta. Sebességugrásra adott válasza τ D amplitúdójú ugrás Differenciáló jellegû tagok a valóságban mindig csak olyan rendszerben fordulnak elô, amely kizárja impulzus vagy ugrás alakú bemenôjel alkalmazhatóságát. Az ideális differenciáló tag nem realizálható, hiszen reális fizikai eszköz ugrásalakú bemenetre nem képes DIRAC impulzust elôállítani. Látható, hogy a differenciáló tag állandó értékû bemenôjelre zérus kimenôjelet ad. Ezért D tagot önmagában nem szokás a szabályozás hatásláncába sorba iktatni, mert

állandósult állapotban a szabályozási kört megszakítaná. A NYQUIST diagramja pozitív ω értékekre a pozitív képzetes tengelybe esô egyenes. A BODE diagramja a 0dB tengelyt az 1 τ D pontban metszô +20dB/dekád meredekségû egyenes. A fázisszög értéke minden frekvencián +90° . A jellegzetes görbék a 22 táblázatban láthatók Az ideális differenciáló tag fizikai realizációjára egy áramköri példa a nyitott szekunderkörû transzformátor, amelynek bemenôjele a primer áram, kimenôjele a szekundertekercsben indukált feszültség. A primer körben azonban az ismert fizikai törvények következtében a primer áram nem változhat ugrásszerûen. Holtidôs (H) tag A valós folyamatok sokszor rendelkeznek holtidôs késleltetéssel. Ha a technológiai folyamatban egy anyagot (legyen az akár szilárd, folyékony vagy gáznemû) szállítunk egyik helyrôl a másikra, akkor a szállításból adódóan a rendszer modelljében holtidôs késleltetést kell

figyelembe vennünk. A holtidôs tagnál a kimenô és a bemenôjel között Td idôeltolás lép fel, amely az alábbi idôfüggvénnyel írható le: 73  0, ha t < Td y ( t) =   u( t − Td ), ha t ≥ Td Differenciálegyenlete algebrai egyenlet: ao y ( t) = bo u( t − Td ) , vagy y ( t) = A u( t − Td ) Átviteli függvénye transzcendens függvény: H ( s) = H H ( s) = Ae− sT d (2.64) A frekvenciafüggvénye: H H ( jω) = Ae− jωT d , melynek abszolút értéke és fázisszöge: a(ω) = e− jωT d = A ; { } ϕ(ω) = arg e − jωT d = −ωTd A jellegzetes függvényeket a 2.2 táblázat mutatja A súlyfüggvénye egy Td idôvel eltolt A területû DIRAC delta, az átmeneti függvény egy Td idôvel eltolt A amplitúdójú ugrás. A NYQUIST diagramja az origó körüli A sugarú egymást fedô körökbôl áll, amelyeken a H H ( jω) vektor végpontja ω növelésekor −ωTd szöggel fordul el. Az egymástól 2π szöggel eltolt vektorok fedik

egymást. A BODE amplitúdó diagramja a frekvenciatengellyel párhuzamos egyenes (megegyezik az ideális P tag amplitúdó diagramjával), a fázisszög azonban a frekvenciával lineárisan változik. Az ω = 1 Td körfrekvencián a fázisszög értéke −1 rad = −57.3° A holtidô minden reális rendszerben jelen van, hatása azonban csak akkor jelentôs, ha a rendszerben végbemenô változások idôbeli lejátszódása a holtidôvel összemérhetô. Anyag- és energiaáramlási jelenségek leírásakor a holtidô nem elhanyagolható (szállítószalagon vagy csôvezetéken történô anyagtovábbítás, hôáramlás, stb.) Tárolós tagok Az ideális alaptagok által leírt mûveleteket a valódi szerkezetekben mindig fellelhetô energiatároló elemek befolyásolják. Hatásukat ún tárolós tagokkal vesszük figyelembe Az alaptípusok az egytárolós és a kéttárolós arányos tagok. Egytárolós arányos tag A tag az alábbi idôállandós alakban megadott elsôrendû

differenciálegyenlettel írható le: T d y ( t) + y ( t) = A u( t) dt A kimenôjel differenciálhányadosát kifejezve: 74 d y ( t) A 1 = u( t) − y ( t) dt T T A deriváltat integrálva megkaphatjuk a kimenôjelet. A fenti összefüggés alapján a tag visszacsatolt integrátorral reprezentálható (2.33 ábra) 2.33 ábra Az egytárolós arányos tag visszavezethetô visszacsatolt integrátor kapcsolásra A tag átviteli függvénye: H ( s) = H T ( s) = A 1 + sT (2.65) a frekvenciafüggvénye pedig: H ( jω) = A 1 + jωT Inverz LAPLACE transzformációval a súlyfüggvény és az átmeneti függvény kifejezése: w ( t) = A −t /T e T és ( ) v ( t) = A 1 − e − t / T , t ≥ 0. A függvényeket a 2.34 ábra mutatja Az ábrán figyeljük meg az átmeneti függvény illetve a súlyfüggvény kezdeti érintôje által kimetszett szakaszokat. 2.34 ábra Egytárolós arányos tag súlyfüggvénye és átmeneti függvénye A NYQUIST diagramja pozitív ω

értékekre egy félkör, amely ω = 0-nál a komplex számsík valós tengelyének A értékébôl indul, ω ∞-re az origóba fut be (2.35 ábra) A BODE diagram meghatározásához írjuk fel a frekvenciafüggvény abszolút értékét. 20 lg H ( jω) = 20 lg A − 20 lg 1 + ω 2T 2 75 A = 1 feltételezésével a kifejezés elsô tagja zérus. Alkalmazzuk az alábbi közelítéseket: Ha ωT << 1, 20 lg H ( jω) ≈ 0 Ha ωT >> 1, 20 lg H ( jω) ≈ −20 lg ωT Ha ωT = 1, 20 lg H ( jω) = −20 lg 2 ≈ −3 dB 2.35 ábra Egytárolós arányos tag Nyquist diagramja A közelítô BODE diagram tehát az ω1 = 1 T ún. sarokfrekvenciáig a 0dB tengelyen halad, azután pedig -20dB/dekád meredekségû egyenes. A sarokfrekvencián pontos értéke −20 lg 2 ≈ −3 dB (2.36 ábra) Az ábrán a pontos diagramot vékony vonallal jelöltük Ha az átviteli tényezô értéke eltér az egységtôl, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan felfelé vagy

lefelé tolódik el (20lg A) -val. A szakasz tehát aluláteresztô szûrônek tekinthetô, a kisfrekvenciás jeleket átengedi, míg a nagyfrekvenciás jeleket csillapítja. 2.36 ábra Egytárolós arányos tag BODE diagramja A kisfrekvenciás tartományban a tag arányos taggal, a nagyfrekvenciás tartományban integráló taggal közelíthetô. Ez az idôtartományban azt jelenti, hogy t ∞ esetén a tag arányos jellegû, kimenôjele beáll az egységugrás jelnek megfelelô értékre, t = 0 esetén viszont, a bemenôjel bekapcsolásakor integráló jellegû hatást mutat. A fázisszög kifejezése: ϕ(ω) = −arctg ωT . A fázisfüggvény menete a 236 ábrán látható Az 76 ω1 = 1 T sarokfrekvencián a késleltetés −45° , a görbe meredeksége −66° /dekád (lásd az F5. Függelék F-21 pontját a H ( s) = 1 + sT tagra) Egytárolós tagra példa egy sorbakapcsolt ellenállásból és induktivitásból álló villamos kapcsolás, ahol a bemenôjel a

kapocsfeszültség, a kimenôjel pedig az áram. Kéttárolós arányos ( ξ) tag A kéttárolós arányos tag az alábbi differenciálegyenlettel írható le: a2 d 2 y ( t) dt 2 + a1 d y ( t) + ao y ( t) = bo u( t) dt Ez a differenciálegyenlet írja le például egy sorbakapcsolt R ellenállásból, L induktivitásból és C kapacitásból álló villamos kör (2.37 ábra), vagy egy m tömeg, c rugóállandójú rugó, k folyadéksurlódással jellemezhetô csillapításból álló mechanikai kör (2.38 ábra) viselkedését 2.37 ábra Egy ellenállásból, induktivitásból és kapacitásból álló villamos kör mûködését másodrendû differenciálegyenlet írja le 2.38 ábra Egy tömegbôl, rugóból és folyadéksurlódásból álló mechanikai kör mûködését másodrendû differenciálegyenlet írja le A villamos körre felírhatjuk az alábbi KIRCHHOFF egyenletet: u = iR + L di 1 + dt C ∫ i dt A bemenôjel az u kapocsfeszültség, a kimenôjel az i áram,

illetve a q = a kapocsfeszültség közötti differenciálegyenlet: L ∫ i dt töltés. A töltés és d2 q dq 1 +R + q=u 2 dt C dt A mechanikai körre az alábbi differenciálegyenlet adja meg az összefüggést az F erô és a h elmozdulás között: d2 h dh m 2 +k +ch = F dt dt 77 Megjegyezzük, hogy a villamos és a mechanikai kör között szoros analógia áll fenn. Az ao együtthatóval elosztva a tagot leíró differenciálegyenlet mindkét oldalát az egyenlet az ún. idôállandós alakra hozható: T2 d 2 y ( t) dt 2 + 2 ξT d y ( t) + y ( t) = A u( t) dt ahol A = bo ao az átviteli tényezô, amely megmutatja, hogy egységugrás bemenôjel esetén állandósult állapotban milyen értéken állandósul a kimenôjel; T = a2 ao az idôállandó, ξ = a1 2 ao a2 a csillapítási tényezô, amelyek a rendszer dinamikus viselkedését befolyásolják. A szakasz átviteli függvénye: H ( s) = H ξ ( s) = A . 1 + 2 ξTs + T 2 s2 (2.66) A szakasz pólusai (a nevezô

gyökei): s1,2 = − ξ 1 ± ξ2 − 1. T T (2.67) A pólusok negatív valós értékûek, ha ξ > 1, egybeesô negatív valós értékek, ha ξ = 1, és konjugált komplex értékek, ha ξ < 1. Határozzuk meg mindhárom esetre a szakasz átmeneti függvényét. (a) Aperiodikus eset, ξ > 1. Az átviteli függvény két egytárolós arányos tag szorzatára bontható: H ( s) = A T1T2 , ahol T1 = −1 s1 ; T2 = −1 s2 (s + 1 T1)(s + 1 T2 ) Az átmeneti függvény:   1  A T1T2 v ( t) = L −1  H ( s) = L −1  = s   s( s + 1 T1 )( s + 1 T2 )  =L −1    T1 T2 e− t / T1 + e− t / T 2   A 1 − T1 − T2    T1 − T2 (2.68) A súlyfüggvény pedig:   1  1 w ( t) = L −1{H ( s)} = L −1  A  e− t / T1 − e− t / T 2  T1 − T2    T1 − T2 (2.69) A súlyfüggvény az átmeneti függvény deriváltja. Az átmeneti függvény kezdeti értéke és kezdeti

deriváltja is zérus. A súlyfüggvény kezdeti értéke zérus, kezdeti deriváltjának értéke pedig A T1T2 . (b) Aperiodikus határeset, ξ = 1. Az átviteli függvény: 78 A H ( s) = = A T2 (1 + sT ) 2 (s + 1 T ) 2 . A súlyfüggvény az átviteli függvény inverz LAPLACE transzformációjával: w ( t) = A −t /T te . T2 t≥0 (2.70) Az átmeneti függvény pedig: v ( t) = L     A T2  β γ −1  α +  =L  +   s ( s + 1 T ) 2   s s + 1 T ( s + 1 T ) 2  −1  1 ahol α = A, β = −A és γ = −A T . Tehát   1 v ( t) = A 1 − e− t / T − te− t / T  ,   T t ≥ 0. (2.71) (c) Lengô eset, ξ < 1. Az átviteli függvény: H ( s) = A A T2 , = 1 + 2 ξTs + T 2 s2 ( s − s1 )( s − s2 ) ahol s1,2 = − ξ 1 ±j 1 − ξ 2 = −ξω o ± jω p = a ± jb T T konjugált komplex pólusok. Itt ω o = 1 T az ún. sajátfrekvencia vagy természetes frekvencia, a komplex

számsíkon az origóból a komplex pólust ábrázoló pontba mutató vektor abszolút értéke. A lengô tag pólusait a komplex számsíkon a 2.39 ábra szemlélteti 2.39 ábra Lengô tag pólusai Itt ω p = b = 1 − ξ 2 T az átmeneti és a súlyfüggvény periodikus összetevôjének lengési körfrekvenciája, a pólus képzetes része. Így ω 2o = a 2 + b 2 és cosϕ = ξ , ahol ϕ a pólusba 79 mutató vektornak a negatív valós tengellyel bezárt szöge. Ha T változik és ξ állandó, a pólusok a valós tengellyel ϕ szöget bezáró egyenesen mozognak. A súlyfüggvény az átviteli függvény inverz LAPLACE transzformációjával: w ( t) = Aω o 1− ξ 2 e− ξ ω o t sin ω p t , t ≥ 0. (2.72) Az átmeneti függvény pedig:   e− ξ ⋅ω o t    1 − ξ 2 cos ω p t + ξ sin ω p t , v ( t) = A1 −   1 − ξ2   t ≥ 0. (2.73) Az átmeneti függvények lefolyását különbözô csillapítási

értékekre a 2.40 ábra mutatja 2.40 ábra Kéttárolós arányos tag átmeneti függvényei ξ = 02, 07,1, 2 csillapítási tényezôknél Az átmeneti függvény százalékos túllendülésének értéke ξ < 1 esetén (az átmeneti függvény deriválásával): σ= v max − v áll 100% = e v áll − ξπ 1− ξ 2 100% (2.74) Az átmeneti függvény elsô maximumának helye (csúcsidô): tc = π π = . ω p ω 1 − ξ2 o (2.75) Beállási idônek tekintsük azt az idôt, amikor az átmeneti függvény az állandósult értéke körül megadott ∆ %-os sávon belül marad. Az átmeneti függvény burkológörbéjére az alábbi feltételt írhatjuk fel: e− ξω o t α = ∆ , 100 80 ahonnan a beállási idô: tα = ln (100 ∆ ) ξω o . Az ∆ = 2% illetve ∆ = 5%-on belüli beállásnál a beállási idô kb. 4 / ξω o illetve 3 / ξω o Határozzuk most meg a lengô tag frekvenciafüggvényét. A frekvenciafüggvény abszolút értékének kifejezése:

H ( jω) = A (1 − ω T ) 2 2 2 . + 4ξ T ω 2 2 (2.76) 2 Fázisszöge pedig: ϕ(ω) = −arctg 2 ξTω . 1 − ω 2T 2 (2.77) 2.41 ábra Kéttárolós arányos tag NYQUIST diagramja A NYQUIST diagram (2.41 ábra) a komplex számsík valós tengelyének A pontjából indul ω = 0-nál. ω ∞-nél az origóba fut be Közben két síknegyeden halad át Ha ξ < 05 , adott frekvenciatartományban a görbének kiemelése van, amplitúdóértékei nagyobbak az ω = 0 körfrekvencián felvett értéknél. Ha ξ = 0, a görbe a valós tengelyen halad, és ω = ω o = 1 T -nél szakadása van. Adjuk meg a BODE amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbét és annak aszimptotikus közelítését. Az abszolút érték kifejezése dB-ben: 20 lg H ( jω) = 20 lg A − 20 lg (1 − ω 2T 2 ) 2 + 4 ξ 2T 2ω 2 ahol A = 1 mellett az elsô tag értéke zérus. Alkalmazzuk az alábbi közelítéseket: ha ωT << 1, 20 lg H ( jω) ≈ 0 ha ωT >> 1, 20 lg H ( jω) ≈ −40 lg

ωT , mivel a negyedfokú tag mellett a többi tag elhanyagolható, ha ωT = 1, 20 lg H ( jω) = −20 lg 2 ξ . A törési körfrekvencián tehát az abszolút érték a csillapítási tényezôtôl függ. A sajátfrekvencián a frekvenciafüggvény abszolút értéke A = 1 mellett: H ( jω o ) = 1 2 ξ , a 81 fázisszög értéke pedig −90° . (A fázisgörbe meredekségére a −132° / ξ /dekád értéket kapjuk az F-5. Függelék F-21 pontjában bemutatott számítások alkalmazásával) A frekvenciafüggvény további jellegzetes pontja a rezonancia frekvencia, ahol az amplitúdó értéke maximális. Az abszolút érték kifejezését deriválva és értékét zérussal egyenlôvé téve kapjuk: ωr = 1 1 − 2ξ 2 T (2.78) Rezonancia frekvencia csak a ξ < 0.5 ≈ 0707 esetén létezik Ezen a körfrekvencián az abszolút érték H ( jω r ) = 1 2ξ 1 − ξ 2 . (2.79) A vágási körfrekvencia az a frekvencia, ahol a frekvenciafüggvény abszolút értéke

egységnyi. A=1 átviteli tényezôt feltételezve ez akkor teljesül, ha (1 − ω 2cT 2 ) 2 + 4 ξ 2T 2ω c2 = 1 ahonnan ωc = ( 1 2 1 − 2ξ 2 T ) (2.80) A jellegzetes frekvenciák közötti nagyságrendi összefüggés: ω r < ω p < ω o < ω c. (2.81) Ha ξ < 1, az elsô három frekvencia igen közel esik egymáshoz (2.42 ábra) 2.42 ábra Lengô tag amplitúdó-körfrekvencia diagramja 2.43 ábra Lengô tag BODE diagramja ξ = 0.2, 07, 1, 2 mellett Sokszor az aszimptotikus BODE amplitudó-frekvencia görbét rajzoljuk fel, a pontos értékeket pedig csupán a rezonancia illetve a sajátfrekvencián számítjuk ki, ahol a görbének lényeges kiemelése lehet. 82 A BODE diagramokat ξ = 0.2, 07, 1, 2 csillapítási tényezôkre a 243 ábra adja meg A kisfrekvenciás tartományban az amplitúdó-körfrekvencia görbe aszimptotája vízszintes egyenes, a nagyfrekvenciás tartományban, ω >> 1 / T értékeknél pedig az aszimptota egy

-40dB/dekád meredekségû egyenes. ( ξ > 1 értékekre célszerû az átviteli függvényt két egytárolós tag szorzatára bontani és közben beiktatni egy -20dB/dekád meredekségû aszimptotát is.) A fáziskörfrekvencia függvény 0°-ból indul, −180° -hoz tart, a sajátfrekvencián értéke −90° Menete annál meredekebb, minél kisebb a csillapítási tényezô értéke. Minél kisebb a csillapítási tényezô, annál nagyobb a rendszer lengési hajlama és túllendülése, valamint annál nagyobb a kiemelés a B ODE amplitúdó-körfrekvencia diagramban. 06-nál nagyobb csillapítási tényezô esetén a túllövés 10%-on belül van és az amplitudó-körfrekvencia függvényben sincs lényeges kiemelés. 2.3 táblázat Alaptagok Arányos tárolós, integráló tárolós, differenciáló tárolós tagok Az alaptagok soros vagy párhuzamos kapcsolásával összetett tagokat kapunk. A tisztán arányos, integráló vagy differenciáló tagok tárolós tagokkal

való sorbakapcsolásával kapjuk az egytárolós arányos, kéttárolós arányos, többtárolós arányos (PT1, PT2,), az egytárolós illetve többtárolós integráló (IT1, IT2,), az egytárolós illetve többtárolós differenciáló (DT1, DT2,) tagokat. A tagok átviteli és átmeneti függvényeit, NYQUIST és közelítô BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramjait a 2.3 táblázat adja meg A NYQUIST diagramok a soros összetevô tagok NYQUIST diagramjainak összeszorzásával adódnak. A tekintett körfrekvencia értékeknél az egyes összetevôk vektorait össze kell szorozni (a fázisszögek összeadódnak, az abszolút értékek szorzódnak). A szorzási mûveletet valamennyi figyelembe vett körfrekvenciára el kell végezni A közelítô BODE amplitúdó diagramok egyszerûen képezhetôk az egyes sorbakapcsolt 83 összetevôk aszimptotikus BODE diagramjainak összeadásával. Az átmeneti függvényben a tag arányos, integráló vagy differenciáló jellege az

állandósult állapotbeli viselkedésben nyilvánul meg. A tárolós tényezôk a kezdeti viselkedést és a tranziensek lefolyását befolyásolják. A NYQUIST diagram a kisfrekvenciás tartományban az arányos, integráló vagy differenciáló tag N YQUIST diagramjának megfelelô lefolyást mutat, majd a frekvencia növekedésével annyi síknegyeden halad át, amennyi a tárolók száma. Az aszimptotikus BODE amplitúdó diagram az arányos, integráló vagy differenciáló hatásnak megfelelôen indul a kisfrekvenciás tartományban. Minden tároló az idôállandó reciprokánál -20dB/dekád meredekségváltozást eredményez. A közelítô BODE diagramból tehát a szakasz paraméterei leolvashatók. 2.44 ábra Integráló taggal sorbakapcsolt kéttárolós lengô tag BODE és NYQUIST diagramja Sokszor elegendô a közelítô BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramot felrajzolni. Egyes rendszereknél a közelítô diagram mellett egyes kritikus pontokban vagy adott

frekvenciatartományban pontosabban is meg kell határozni a frekvenciafüggvény menetét. Például kéttárolós integráló tag esetén, ha a tárolós tagnak konjugált komplex pólusai vannak, a töréspont környezetében pontosan is meg kell adni a NYQUIST vagy a BODE diagram lefolyását. A tag átviteli függvénye: H ( s) = ( KI s 1 + 2 ξTs + s2T 2 ) . A BODE és a NYQUIST diagram menetét különbözô ξ csillapítási tényezôk mellett a 2.44 ábra mutatja. Kis csillapítási tényezô mellett a szakasznak a kéttárolós tag sajátfrekvenciája környékén igen nagy kiemelése lehet. A zérusok hatása A zérusok a (2.47) átviteli függvény számlálójának gyökei Adjuk meg az átviteli függvényt az alábbi alakban: H ( s) = k ( s − z1 )( s − z2 ) ( s − zm ) D( s) 84 Itt D( s) jelöli az átviteli függvény nevezôjét. A zérusok: z1 , z2 , , zm A komplex számsík bal oldalára esô zérusok beiktatásával a rendszer gyorsítható.

Vizsgáljuk a számlálóban szereplô 1 + sτ = τ( s + 1 τ) ún. ideális PD tag jellemzô függvényeit Itt a zérus értéke z1 = −1 τ Az átmeneti függvényt, a NYQUIST és a BODE diagramot a 2.45 ábra mutatja 2.45 ábra Az 1 + sτ átviteli függvényû ideális PD tag átmeneti függvénye, NYQUIST és BODE diagramja A tag önmagában fizikailag nem realizálható, látható, hogy átmeneti függvényében DIRAC delta jelenik meg. A közelítô BODE diagram az egytárolós arányos tag BODE diagramjának tükörképe a frekvenciatengelyre nézve. Az amplitúdó-körfrekvencia görbe az 1 τ töréspontig 0dB-lel, a töréspont után +20dB/dekád meredekségû egyenessel közelíthetô. Fázisszöge pozitív, ϕ(ω) = + arctg ωτ . Zérust beiktatni a rendszerbe realizálható módon csak pólussal együtt lehet. Határozzuk meg a realizálható H ( s) = A 1 + sτ 1 + sT tag jellemzô függvényeit τ < T (fáziskésleltetô tag: FK), illetve τ > T

(fázissiettetô tag: FS) esetére. Az átmeneti függvényt, a NYQUIST és a BODE diagramot a 24 táblázat mutatja be az általános FSK (fázissiettetô-késleltetô) esetre. A zérus beiktatásával a rendszer gyorsítható. Ennek szemléltetésére vizsgáljuk a 246 ábrán látható kapcsolást. Egy egytárolós arányos tag elé sorbakapcsolunk egy fázissiettetô tagot 85 Egységugrás bemenôjel hatására a fázissiettetô tag kimenetén, az egytárolós tag bemenetén az elsô pillanatban nagy (10-es amplitúdójú) jel jelenik meg. Az egytárolós tag kezdetben úgy érzékeli, mintha ezt az értéket kellene elérnie a saját idôállandójával, így nagy meredekséggel indul, és mire a bemenôjel lecseng, már közel került az elérendô állandósult értékhez. A gyorsítás ára az ún. túlvezérlés, a tag bemenetén a jel kezdeti és végértékének aránya 1-nél nagyobb túlvezérlés esetén érhetô el gyorsítás. Matematikailag sokszor célszerû az

ún póluskiejtést alkalmazni, amikoris a zérussal „kiejtjük” a kedvezôtlen, lassú viselkedést eredményezô pólust, és helyette egy kedvezôbb viselkedést jelentô pólust iktatunk be a rendszerbe. 2.4 táblázat Az FSK alaptag jellemzôi 2.46 ábra A zérus beiktatása túlvezérlés árán gyorsítja a rendszert A zérusok gyorsító hatásának szemléltetéséhez tekintsük az alábbi átviteli függvényt: H ( s) = 1 + sτ (1 + s)(1 + 10s) A számlálóban lévô τ idôállandó értéke legyen 0, 1, 5 illetve 10. Az átmeneti függvényeket a 2.47 ábra mutatja Ha a rendszerben csak pólusok vannak, a frekvenciafüggvényben a fázisszög monoton módon változik a frekvencia függvényében. A pólusokhoz negatív fázisszögfüggvény tartozik Zérusok beiktatásával a fázisszöghöz pozitív fázisfüggvény adódik, a fázisszög változása nem lesz monoton. A NYQUIST diagram adott frekvenciatartományában „behorpadások” keletkeznek (A

késôbbiekben látni fogjuk, hogy zérusok megfelelô beiktatásával, a NYQUIST diagram célszerû 86 módosításával kikerülhetjük a komplex számsíknak a dinamikus viselkedés szempontjából kedvezôtlen tartományait.) Az aszimptotikus BODE amplitúdó diagram meredekségét a zérusok a töréspontokban +20dB/dekáddal változtatják meg, a fázisszög pedig pozitív értékekkel módosul. A 248 ábra a NYQUIST diagram módosulását szemlélteti zérus beiktatásának hatására. A 249 ábra a BODE diagram változását mutatja 2.47 ábra Átmeneti függvények különbözô zérus értékeknél 2.48 ábra A zérus beiktatása megszünteti a fázisszög monoton változását, a NYQUIST diagramban „behorpadás” keletkezik. 2.49 ábra A zérus beiktatásának hatása a BODE diagramra Nem minimumfázisú rendszerek Nem minimumfázisú rendszereknek nevezzük azokat a rendszereket, amelyeknek a komplex számsík jobb oldalára esô zérusaik vannak. Ha egy rendszer

minimumfázisú, vagyis átviteli függvényének zérusai bal oldaliak, frekvenciafüggvényében a pólusokhoz tartozó fázisszög negatív, a zérusokhoz tartozó fázisszög 87 pedig pozitív elôjelû. Az amplitúdó aszimptotikus görbéjéhez egyértelmûen hozzárendelhetô a fázisgörbe. Jobb oldali (labilis) pólus pozitív, jobb oldali zérus negatív elôjelû fázisszöggel módosítja a B ODE fázis-körfrekvencia diagramot, tehát a zérus nem csökkenti, hanem növeli a negatív fázisszöget. (Ez a tulajdonság indokolja az elnevezést) A nem minimumfázisú tulajdonság illusztrálására tekintsünk két átviteli függvényt H a ( s) = 1 + sT 1 + sT1 és H b ( s) = 1 − sT 1 + sT1 Pozitív T1 és T esetén mindkét tag stabilis, a H a -nak stabilis, H b -nek labilis zérusa van. Mindkét tag amplitúdó frekvencia függvénye a(ω) = 1 + (ωT ) 2 1 + (ωT1 ) 2 , fázisgörbéi viszont különbözôek: ϕ a (ω) = −arctan ω(T1 − T ) 1 + ω

2T1T és ϕ b (ω) = −arctan ω(T1 + T ) 1 + ω 2T1T A két görbét a 2.50a ábrán összehasonlítva jól látható, hogy ϕ a (ω) minden frekvencia tartományban kisebb, mint ϕ b (ω) . Minden H nmf nem minimumfázisú átviteli függvény átalakítható egy úgynevezett H má mindentáteresztô és egy H mf minimumfázisú tag szorzatára: H nmf ( s) = 1 − sT 1 − sT 1 + sT = = H má ( s) H mf ( s) , 1 + sT1 1 + sT 1 + sT1 ϕ(ω ) (2.82) lg ω 0° ϕ a (ω) −90° ϕ b (ω) −180° (a) (b) 2.50b ábra Nem minimumfázisú rendszer frekvenciafüggvénye és átmeneti függvénye A mindent áteresztô nem-minimumfázisú tag jellegzetessége, hogy abszolutérték frekvencia függvénye egységnyi konstans. Az n-edrendû mindentáteresztô tag átviteli függvénye valós pólusok esetén: n 1 − sTi s − si , =∏ i = 1 1 + sTi i = 1 s + si n H má ( s) = ∏ (2.83) 88 A nem-minimumfázisú rendszerek szokatlan viselkedést mutatnak az idôtartományban.

Például egy jobb oldali zérus esetén az átmeneti függvény kezdetben az állandósult értékével ellentétes irányban indul el, majd irányt váltva éri el végül állandósult értékét. A 250b ábra a H ( s) = (1 − 4 s) (1 + s)(1 + 10 s) átviteli függvényhez tartozó átmeneti függvény lefolyását mutatja. Vegyi folyamatok, kazánok sokszor nem minimumfázisú szakasszal írhatók le Aszimptotikus BODE diagram gyors felvázolása Az aszimptotikus BODE amplitúdó-körfrekvencia diagram a korábbi megfontolások alapján könnyen felvázolható. Arányos jellegû tagok BODE amplitudó diagramja a frekvencia tengellyel párhuzamosan indul, zérus fáziseltolással. Egy integrátort tartalmazó rendszer BODE amplitudó diagramja -20dB/dekád meredekséggel indul −90° fázisszöggel, míg a kettôs integrátort tartalmazó rendszer BODE amplitúdó diagramja -40dB/dekád meredekséggel indul −180° fázisszöggel. A tárolós tagok a töréspontokban -20dB/dekád

meredekséggel változtatják az aszimptotikus BODE amplitúdó görbe meredekségét. A zérusok megjelenése +20dB/dekád meredekségváltozást okoz. A holtidô az amplitúdó diagramot nem módosítja, de a fázisszöget lényegesen megváltoztatja. 2.51 ábra Aszimptotikus BODE diagram gyors felrajzolása Az aszimptotikus amplitúdó diagram töréspontjai az idôállandók reciprokait adják meg. Példaképpen a H ( s) = 16 (1 + s) s2 (1 + 0.02 s)(1 + 001s) átviteli függvénynek megfelelô aszimptotikus BODE amplitúdó-körfrekvencia görbét a 2.51 ábra adja meg A 0dB tengellyel való metszéspont környékén a frekvenciafüggvény abszolút értéke a 16 ω összefüggéssel közelíthetô (a tárolós tagok abszolút értéke itt még közel 1-gyel vehetô figyelembe). A metszéspontnál az abszolút érték 1, így ω c ≈ 16 Hasonló közelítésekkel a BODE amplitúdó diagram jellegzetes értékei könnyen meghatározhatók. A paraméterváltozások hatása A

valóságos rendszerek modellalkotásakor a rendszert leíró differenciálegyenlet vagy átviteli függvény paraméterei rendszerint mérések alapján határozhatók meg. Így értékük nem pontos, a névleges érték körül egy adott tartományban változhat. A rendszer vizsgálatakor, vagy a szabályozás tervezésekor fontos a paraméterváltozások hatásának figyelembe vétele. 89 Az átviteli függvény idôállandós alakjából könnyen megadhatjuk az egyes paraméterek változásának hatását a rendszert jellemzô függvényekre. A 25 táblázat néhány szakasz esetén szemlélteti a paraméterek változásának hatását az átmeneti függvényben és a BODE diagramban. 2.5 táblázat Paraméterváltozások hatása 2.5 Közelítô leírások Sokszor célszerû a gyakorlatban a rendszer magasabbrendû modelljét egyszerûbb, könnyebben kezelhetô modellel közelíteni. A nagyobb idôállandók mellett a kis idôállandók többnyire elhanyagolhatók, vagy

hatásuk holtidôs hatással vehetô figyelembe. Az alábbiakban néhány sokszor alkalmazott közelítést adunk meg. Fontos megjegyzés: az alacsonyabb fokszámú közelítésével tekintett szakaszhoz tervezett szabályozót mindig az eredeti fokszámú szakasszal együtt ellenôrizzük! Domináns póluspár Egy zárt szabályozási kört sokszor ún. domináns pólusával vagy domináns póluspárjával jellemzünk. A rendszer átviteli függvényének az imaginárius tengelyhez legközelebb esô pólusát domináns pólusnak, az ahhoz legközelebb esô konjugált komplex póluspárját domináns póluspárnak nevezzük (2.52 ábra) Ha a többi pólus (balkéz felé) elég messze esik a domináns pólusoktól (valós részük legalább háromszorosa a domináns póluspár valós részének), akkor az e pólusok által létrehozott tranziensek gyakorlatilag lecsengenek, mire a domináns pólusok hatása érvényesül, így a távoli pólusok hatása elhanyagolható, és a rendszer

viselkedése jól közelíthetô egy másodrendû lengô tag viselkedésével. A kéttárolós lengô tag átviteli függvénye: ω 2o 1 H ( s) = = , 1 + 2 ξTs + T 2 s2 ω 2o + 2 ξω o s + s2 90 (A megfelelô kéttárolós ( ξ) tag tulajdonságait lásd korábban ugyanebben a fejezetben.) 2.52 ábra Domináns póluspár Többtárolós tagok közelítése holtidôs egytárolós vagy kéttárolós taggal Többtárolós arányos tagok átmeneti függvénye nullából indul, ha az átviteli függvény nevezôje magasabb fokszámú, mint a számlálója. A pólustöbblet (pólusok száma mínusz a zérusok száma) adja meg, hogy a kezdeti idôpontban az átmeneti függvény hányadik deriváltja már nem nulla. A többtárolós aperiodikus viselkedésû arányos tagok jól közelíthetôk egy látszólagos holtidôvel (TL ) sorbakapcsolt egytárolós arányos taggal (2.53 ábra) Ha a rendszer lengô viselkedést mutat, jó közelítést ad egy látszólagos holtidôvel

kiegészített kéttárolós lengô tag. 2.53 ábra Többtárolós arányos tag közelíthetô egy látszólagos holtidôvel sorbakapcsolt egytárolós arányos taggal Máskor a többtárolós arányos tagot egy egyenértékû tiszta holtidôs taggal veszik figyelembe (2.54 ábra) 2.54 ábra Többtárolós arányos tag közelítése egyenértékû TE holtidôvel 91 Holtidôs tag átviteli függvényének közelítése racionális törtfüggvénnyel A holtidôs tag átviteli függvénye H H ( s) = e− sT d transzcendens függvény, amelyet sok esetben célszerû racionális törtfüggvénnyel közelíteni. A tiszta holtidôs tag végtelen sok azonos idôállandójú tárolós arányos tag soros eredôjével közelíthetô, ugyanis a matematikából ismert a következô sorozat határértéke: e −x −n  x = lim 1 +  n n ∞ Az összefüggést a holtidôs tag átviteli függvényére alkalmazva kapjuk a STREJC-féle közelítést: H H ( s) = e − sT d

−n  Td  1 = lim 1 + s  ≈ n ∞  n  Td  n 1 + s  n  (2.84) Ez a holtidôs tagot olyan n-szeres pólusú tárolós taggal közelíti, amelynek egyenértékû idôkésése nTd n = Td . Minél több tárolót kapcsolunk sorba, annál jobb a közelítés A 255 ábra mutatja a holtidôs tag STREJC közelítésének átmeneti függvényét n = 2, 5,10 -re. 2.55 ábra Holtidôs tag STREJC közelítésének átmeneti függvényei n = 2, 5, 10-re A holtidôs tag egy másik közelítése a PADE-közelítés, amely a holtidôs tag átviteli függvényét olyan nem minimumfázisú racionális törtfüggvényekkel közelíti, amelyek TAYLOR sorában az elsô tagok megegyeznek a holtidôs tag exponenciális átviteli függvénye TAYLOR sorfejtésének elsô tagjaival. Az n-edfokú PADE-közelítés olyan racionális törtfüggvény, amelyenek n-számú zérusa csak elôjelben különbözik n -számú pólusától. H H ( s) = e− sT d ≈ (s - s1) (s -

sn ) = H (s) (s + s1) (s + sn ) PADE (2.85) A függvény abszolút értéke bármilyen s = jω -nál egységnyi, így a valódi holtidôs átviteli függvényhez hasonlóan csak a fázisszöge változik. Az ilyen típusú tagokat mindent áteresztô szûrôknek nevezzük. A PADE közelítés nem minimumfázisú Az si pólusok, illetve a számláló és nevezô együtthatóinak meghatározása oly módon történhet, hogy H H ( s) TAYLOR-sorának elsô N + M + 1 tagja megegyezzék H PADE ( s) TAYLOR-sorának elsô N + M + 1 tagjával. Itt M 92 a racionális törtfüggvény számlálójának, N pedig a nevezôjének fokszáma ( M ≤ N ). M e −x ∞ = ∑ bi x i ≈ i=0 ∑ dk x k k=0 N ∑c jx j j=0 Az egyenletben N + M + 2 ismeretlen együttható szerepel, ezért a c o = 1 választással élve a maradó N + M + 1 paraméterre a már említett feltétel N + M + 1 lineáris egyenlet felírását teszi lehetôvé. A módszerrel az N = M = 3 esetre a következô alakot

kapjuk e− x 1 1 1 3 1− x + x2 − x 2 10 120 ≈ 1 1 1 3 1+ x + x2 + x 2 10 120 2.6 táblázat Az e − sT d tag elsô-, másod- és harmadfokú PADE közelítései H ( s) = e− sT d 2 − sTd H ( s) ≈ 2 + sTd Holtidôs tag Elsôfokú PADE közelítés Másodfokú PADE közelítés Harmadfokú PADE közelítés H ( s) ≈ H ( s) ≈ 12 − 6 sTd + ( sTd ) 12 + 6 sTd + ( sTd ) 2 2 120 − 60 sTd + 12( sTd ) − ( sTd ) 2 120 + 60 sTd + 12( sTd ) + ( sTd ) 2 3 3 Az elsô és másodfokú PADE approximáció képletei hasonló számítások alapján e −x 1 1− x 2 ≈ 1 1+ x 2 ; e −x 1 1 1− x + x2 2 12 ≈ 1 1 1+ x + x2 2 12 A közelítéseket a 2.6 táblázat foglalja össze Minél magasabbfokú a törtfüggvény, annál több tagban egyezik meg a két függvény TAYLOR felbontása. 2.56 ábra Holtidôs tag elsôfokú, másodfokú és harmadfokú PADE közelítésének átmeneti függvényei 93 A 2.56 ábra a PADE közelítés átmeneti függvényeit

szemlélteti az elsô-, másod- és harmadfokú közelítésre. Látható, hogy a közelítések a kezdeti idôpontokhoz kevésbé illeszkednek, az állandósult állapotot jól közelítik. Minél magasabbfokú a közelítés, annál jobb az átmeneti függvények illeszkedése. 2.6 Példák folytonos rendszerek leírására Egy rendszer modelljének megalkotásakor a bemenôjelek és a kimenôjelek közötti átviteli tulajdonságokat kívánjuk megadni. A rendszert differenciálegyenletével vagy állapotegyenletével, illetve átviteli függvényeivel írhatjuk le. A rendszer leírásához minél pontosabban meg kell ismernünk a rendszer fizikai mûködését. Ezután a fizikai mûködést matematikai összefüggésekkel jellemezzük. Az egyenletekben szereplô paramétereket elôzetes ismeretek alapján vagy mérésekkel határozhatjuk meg. A fizikai rendszerek a legtöbbször nemlineáris viselkedést mutatnak. Ahhoz, hogy a könnyebben kezelhetô lineáris modellekkel

közelíthessük a rendszert, leggyakrabban a munkapontok környezetében kis változásokra linearizáljuk a rendszert leíró egyenleteket. Sokszor célszerû relatív egységeket bevezetni, az aktuális jeleket maximális értékükhöz viszonyítva kezelni. Így az egyes változók 0 és 1 közötti értékekkel szerepelnek A rendszer irányításához szükség van a folyamat modelljének ismeretére. A szabályozási rendszert a folyamat modelljének figyelembe vételével tervezzük meg a szabályozási körrel szemben támasztott minôségi követelmények biztosítására. A továbbiakban néhány szakasz matematikai modelljének meghatározását mutatjuk be. Egyenáramú motor Vizsgáljuk egy külsô gerjesztésû egyenáramú motor jelátviteli tulajdonságait. A motor vázlata a 2.57 ábrán látható 2.57 ábra Külsôgerjesztésû egyenáramú motor vázlata A motor kimenôjele a forgórész ω szögsebessége, bemenôjelei az U a kapocsfeszültség illetve a motor

tengelyén ható mt terhelônyomaték (zavaró jellemzô). A motor U e gerjesztôfeszültsége legyen állandó. Feladat lehet a motor szögsebességének állandó értéken tartása a változó terhelônyomaték ellenére. Beavatkozó mennyiség lehet a motor kapocsfeszültsége és gerjesztôfeszültsége (amelyet elsô közelítésben állandónak tekintünk). A forgórész (armatúra) ohmos ellenállása Ra , induktivitása La . A motor terhelônyomatékát a motor tengelyére redukálva mt -vel, a motor armatúraáramát ia -val jelöljük. Gondoljuk át elôször a motor fizikai mûködését. A motor villamos energiát alakít át mechanikai 94 energiává. Az állórészen elhelyezett gerjesztôtekercsben az állandó gerjesztôfeszültség hatására állandó áram jön létre, amely állandó gerjesztô fluxust hoz létre (feltételezzük, hogy a fluxus arányos a gerjesztôárammal). Az U a kapocsfeszültség bekapcsolásával az armatúrakörben létrejön az ia

armatúraáram, amely az armatúrában fluxust hoz létre. A gerjesztôfluxus és az armatúrafluxus kölcsönhatásaként nyomaték jön létre, amely a terhelônyomaték ellenében megforgatja a forgórészt. A forgórész tekercselésében ekkor U i ellenfeszültség indukálódik (LENZ törvénye). A szakasz bemenôjelei az U a kapocsfeszültség és az mt terhelônyomaték (zavaró jellemzô). A kimenôjel az ω szögsebesség. Kimenôjelként vizsgálhatjuk a motor ia armatúraáramát is, amely induláskor, fékezéskor, terheléskor nagy értékeket is felvehet. A rendszer viselkedését az armatúrakörre felírt KIRCHHOFF egyenlettel és a mechanikai viselkedést leíró egyenletekkel jellemezhetjük. Az armatúrakörben a kapocsfeszültség az ohmos, az induktív és az indukált feszültség összegével tart egyensúlyt. Az indukált feszültség az állandó gerjesztôfluxus és a szögsebesség szorzatával arányos (az arányossági tényezô k1 ). A motor nyomatéka

és a terhelônyomaték különbsége adja a gyorsító nyomatékot, ami a tehetetlenségi nyomaték és a szöggyorsulás szorzatával fejezhetô ki. A motor nyomatéka a gerjesztôfluxus és az armatúraáram szorzatával arányos (az arányossági tényezô k2 ). A motor viselkedését leíró matematikai egyenletek: U a = ia Ra + La d ia + Ui dt U i = k1 ϕ ω (2.86) dω m − mt = Θ dt m = k2 ϕ ia Írjuk fel a fenti egyenletek LAPLACE transzformáltját. U a ( s) = ia ( s) ( Ra + s La ) + k1 ϕ ω( s) k2 ϕ ia ( s) − mt ( s) = Θ s ω( s) A fenti egyenletek alapján a 2.58 ábrán látható hatásvázlat rajzolható fel követve az ok-oksági kapcsolatokat: az armatúrafeszültség és az indukált feszültség különbsége hozza létre az armatúraáramot. Az armatúraáram és a gerjesztôfluxus kölcsönhatása hozza létre a gép forgatónyomatékát. A forgatónyomaték és a terhelônyomaték különbsége adja a gyorsítónyomatékot, amely meghatározza a

szögsebességet. 2.58 ábra Egyenáramú motor hatásvázlata A rendszerben két állapotváltozót adhatunk meg, ezek az ω szögsebesség és az ia armatúraáram, amelyek pillanatnyi értékét a rendszer múltbeli mozgása határozza meg, és a bemenôjelek változására értékük nem változhat hirtelen. A hatásvázlatban az integrátor 95 kimenetén jelennek meg (vegyük észre, hogy a tárolós tag egy visszacsatolt integrátor). Írjuk fel a motor állapotegyenletét. Az állapotegyenlet általános alakja: ẋ = A x + Bu y = cT x + dT u ahol x az állapotvektor, u a bemenôjelek vektora, y pedig a kimenôjel (MISO rendszer). Itt  x1  ia  x= =   x 2  ω ; U a  u =  .  mt  (2.87) Az állapotegyenlet a differenciálegyenlet átrendezésével kapható. d ia 1 1 R = U a − a ia − k1 ϕ ω d t La La La dω 1 1 = k2 ϕ ia − mt Θ dt Θ (2.88) Vektor-mátrixos alakban: A  B   

 d ia   Ra 1  k1 ϕ  − − 0       U a   x˙ 1  d t La La ia  + La   = =        dω   1   mt  ω  x˙ 2     k2ϕ   0 0 −  d t   Θ   Θ (2.89) c T dT  ia   U a  y = ω = [0 1]   + [0 0]   ω  mt  A hatásvázlat alapján a negatívan visszacsatolt rendszerre meghatározhatjuk az eredô átviteli függvényeket a kimenôjel és a bemenôjelek között. Ezzel megegyezô eredményre jutunk, ha a lineáris rendszerre alkalmazzuk a szuperpozíció elvét, és az eredeti differenciálegyenletek LAPLACE transzformált alakjából elôször zérus terhelônyomaték feltételezésével fejezzük ki a szögsebesség és a kapocsfeszültség LAPLACE transzformáltjainak hányadosát, majd zérus kapocsfeszültség felvételével határozzuk meg a szögsebesség és a

terhelônyomaték kapcsolatát. (Az átviteli kapcsolatok természetesen az állapotegyenlet alapján is meghatározhatók.) Az eredô átviteli függvények: k 2ϕ 1 ω( s) Am k1ϕ ΘLa = = = 2 2 ΘLa ΘRa U a ( s) R kkϕ s2 +s + 1 s Tm Te + sTe + 1 mt =0 s2 + s a + 1 2 2 2 k k k k ϕ ϕ La ΘLa 1 2 1 2 (2.90) ahol Am = 1 k1ϕ a motor átviteli tényezôje, amely a kapocsfeszültség állandósult értékével megszorozva megadja a szögsebesség állandósult értékét. A Tm = ΘRa k1k2ϕ 2 az ún elektromechanikai idôállandó, amelynek értéke villamos és mechanikai paraméterektôl függ, 96 Te = La Ra pedig a villamos idôállandó. A szögsebesség és a terhelônyomaték közötti átviteli kapcsolat: La  Ra  1  Ra  s 1 − +   s +  Ra  A (1 + sTe ) ω( s) La  Θ k1k2ϕ 2  = =− 2 t = 2 ΘLa ΘRa mt ( s) s Tm Te + sTm + 1 R kkϕ s2 +s +1 ua =0 s2 + s a + 1 2 2 2 k1k2ϕ k1k2ϕ La ΘLa − (2.91) Itt az At átviteli tényezô a

terhelônyomaték állandósult hatását adja meg a szögsebességre. A negatív elôjel mutatja, hogy a terhelônyomaték növelése a szögsebesség állandósult értékének csökkenését vonja maga után. Az eredô átviteli függvényekkel a motor modellje megadható a 2.59 ábrán látható blokkvázlattal is. 2.59 ábra Egyenáramú motor átviteli függvényei A motor a szögsebesség és a kapocsfeszültség között kéttárolós arányos taggal jellemezhetô, a szögsebesség és a terhelônyomaték között pedig a kéttárolós arányos hatással párhuzamosan differenciáló kéttárolós hatás is jelentkezik. A tranziensek lefolyásának aperiodikus vagy lengô jellege a villamos és az elektromechanikai idôállandók arányától függ ( Tm < 4 Te esetén lengô a tag). Adjuk meg a motor modelljét arra az esetre is, ha a motor gerjesztôfeszültsége is változik. A gerjesztôfluxus az ie gerjesztôárammal arányos. A gerjesztôtekercs ellenállása Re ,

induktivitása Le . A motor bemenôjelei tehát: az U a kapocsfeszültség, az U e gerjesztôfeszültség és az mt terhelônyomaték (zavarás). Kimenôjelei az ω szögsebesség és az ia armatúraáram A motor mûködését az alábbi egyenletek írják le: U a = ia Ra + La m − mt = Θ dω dt d ia + Ui dt U i = k1ϕω m = k3ϕ ia = k2 k3ieia (2.92) ϕ = k2ie A rendszer nemlineáris. Az indukált feszültség és a motor nyomatéka két változó mennyiség szorzataként írható fel. A fenti egyenletekbôl fejezzük ki az állapotváltozók, az ia armatúraáram és az ω szögsebesség deriváltjait. A rendszer állapotegyenlete: 97 d ia R kk 1 = − a ia − 1 2 ieω + U a = f1 (ia , ie , ω,U a ) dt La La La dω 1 1 = k2 k3ieia − mt = f 2 (ia , ie , me ) dt Θ Θ (2.93) Adjuk meg a rendszer linearizált modelljét a munkapont körüli kis megváltozásokra. Az állapotegyenletben a változókat helyettesítsük munkaponti értékük és a munkapont körüli kis

megváltozásuk összegével. Az egyes változók munkaponti értékei: U ao , iao , ieo , mto , ω o A munkapont környezetében a változókat írjuk fel a munkaponti érték és a munkapont körüli kis megváltozás összegeként. U a = U ao + ∆U a ia = iao + ∆ia ie = ieo + ∆ie mt = mto + ∆mt ω = ω o + ∆ω (2.94) Egy többváltozós függvény a munkapont környezetében kifejezhetô a munkaponti érték és kis megváltozás összegével. f ≈ f o + ∆f = f o + ∑ i ∂f ∂ xi ∆xi x1o , x 2o . Az állapotegyenletünkben szereplô nemlineáris összefüggésekre: ieω = ieoω o + ∆ (ieω) = ieoω o + ieo∆ω + ω o∆ie ieia = ieoiao + ieo∆ia + iao∆ie (2.95) A rendszer munkapont körül linearizált állapotegyenlete: d (iao + ∆ia ) R kk kk kk 1 = − a (iao + ∆ia ) + (U ao + ∆U a ) − 1 2 ieoω o − 1 2 ieo∆ω − 1 2 ω o∆ie dt La La La La La d (ω o + ∆ω) k2 k3 k k k k 1 1 ieoiao + 2 3 ieo∆ia + 2 3 iao∆ie − mto − ∆mt =

dt Θ Θ Θ Θ Θ (2.96) A fenti egyenletekbôl a munkapontok között az alábbi összefüggéseket adhatjuk meg: d iao R 1 kk = 0 = − a iao + U ao − 1 2 ieoω o dt La La La 1 d ωo k k = 0 = 2 3 ieoiao − mto Θ Θ dt (2.97) Látható, hogy a munkaponti értékek nem függetlenek egymástól. A terhelônyomaték és a gerjesztôáram munkaponti értékei meghatározzák az armatúraáram névleges értékét. Az armatúraáram, az armatúrafeszültség és a gerjesztôáram munkaponti értékei pedig meghatározzák a fordulatszám munkaponti értékét. 98 A munkapont körüli kis megváltozásokra pedig az alábbi egyenleteket írhatjuk fel: d ∆ia 1 R kk kk = − a ∆ia − 1 2 ieo∆ω + ∆U a − 1 2 ω o∆ie dt La La La La d ∆ω k2 k3 1 k k = ieo∆ia + 2 3 iao∆ie − ∆mt dt Θ Θ Θ (2.98) Írjuk fel a linearizált állapotegyenleteket mátrix-vektor alakban A  B      d ∆ia   Ra

1  k1k2  k1k2 0 ∆U a  − − ωo ieo ∆i    dt   − L   a La L La a  d∆ω  =    +  a  ∆ie  1 k2 k3    k2 k3 i ∆ω  0 0 iao −  ∆mt   d t   Θ eo   Θ Θ (2.99) Az egyenletek LAPLACE transzformáltja alapján a linearizált rendszer hatásvázlata a 2.60 ábrán látható. 2.60 ábra Változó gerjesztésû egyenáramú motor linearizált hatásvázlata Az eredô átviteli függvények: ∆ω ∆U a ∆i e = 0 ∆m t = 0 k2 k3ieo sΘ( Ra + sLa ) = ∆ω = ∆ ie ∆U a = 0 2 k1k22 k3ieo 1+ sΘ( Ra + sLa ) ∆U a = 0 ∆i e = 0 1+ s ΘRa ΘLa + s2 2 2 2 k1k22 k3ieo k1k2 k3ieo iao ω 1 k1k22 k3ω oieo R + sLa ) − o − 2 ( a ieo sΘ sΘRa + sLa k1k2ieo = 2 2 ΘRa ΘLa k1k2 k3ieo 1+ s + s2 1+ 2 2 2 k1k22 k3ieo k1k2 k3ieo sΘ( Ra + sLa ) k2 k3iao ∆m t = 0 ∆ ia ∆ mt = 1 k1k2ieo = k1k2ieo sΘ( Ra + sLa ) 2 k1k22 k3ieo 1+ sΘ(

Ra + sLa ) = 1 k2 k3ieo 1+ s ΘRa ΘLa + s2 2 2 2 k1k22 k3ieo k1k2 k3ieo (2.100) 99 Az átviteli függvények kéttárolós arányos jelleget mutatnak. Látható, hogy az átviteli függvények nevezôje megegyezik. A paraméterek értékei (átviteli tényezôk és idôállandók) a munkaponti értékektôl is függnek. A gerjesztôáram növelése - a munkapontok értékétôl függôen - statikus esetben növelheti vagy csökkentheti a szögsebesség értékét. Folyadéktartály Egy folyadéktartályba be- és kiömlô mennyiségek valamint a tartályban kialakuló szintmagasság közötti összefüggés nem csak a technológiai folyamatok, hanem logisztikai és általános gazdasági rendszerek, biológiai folyamatok szempontjából is alapfeladatnak számít. Tekintsük elôször ennek a feladatnak a legegyszerûbb megfogalmazását a 2.61 ábrán látható esetre u = qbe u = qbe A = A(h) h A ≠ A(h) h a a y = qki y = qki 2.61 ábra Változó és állandó

keresztmetszetû folyadéktartály Itt h a folyadékszint magassága, A( h ) a tartály keresztmetszete, a kifolyás keresztmetszete, u = qbe a bemenô folyadékáram, y = qki a kimenô folyadékáram. A folyadék sûrûségét állandónak feltételezve a tartályban lévô folyadék V mennyiségére fennáll dV = qbe − qki = u − y dt (2.101) A kifolyás folyadék (fluid) egyenlete qki = a 2 g h (2.102) mivel az mgh = mv 2 2 energiamegmaradási egyenletbôl a kiáramló folyadék v sebessége v = 2 gh , így a térfogatsebesség qki = av . Többféle módon is választhatunk állapováltozót. Egy lehetséges módszer, ha a tartály tárolását a folyadék magasságával fejezzük ki. Változó keresztmetszet esetén V= h ∫ A( x ) d x 0 Az elôzô egyenleteket átírhatjuk a (2.103) 100 ( ) ( dh 1 1 1 = qbe − a 2 g h = u − a 2g h (qbe − qki ) = d t A( h ) A( h ) A( h ) ) (2.104) y = qki = a 2 g h alakra. A tartályt tehát elsôrendû nemlineáris

differenciálegyenlettel írhatjuk le Az állapotegyenletet a qki = qbe = u = y egyensúlyi munkapontban linearizáljuk qki = qbe = qo = a 2 g ho ahonnan ho = qo2 2g a2 Legyen Ao a keresztmetszet a ho magasságban, a linearizált egyenlet a ∆h és ∆y megváltozásokra: a 2 g ho d ∆h 1 q 1 1 1 =− ∆h + ∆qbe = − o ∆h + ∆qbe = − ∆h + ∆qbe dt 2 Ao ho Ao 2 Ao ho Ao To Ao (2.105) a 2 g ho q ∆qki = ∆h = o ∆h ho ho qbe 1 A(h) dh dt ∫ h a 2 gh qki 2.62 ábra Folyadéktartály ekvivalens hatásvázlata A [ ] teljes folyadék mennyiség m3 2 Ao ho To = =2× qo folyadék áram m3 s [ ] (2.106) mennyiség a rendszer idôállandójának tekinthetô. To 2 idô szükséges az Ao ho térfogat qo folyadékárammal való feltöltéséhez. Egy ekvivalens hatásvázlat a 262 ábrán látható Az ábrából csak formálisan képezhetô átviteli függvény H ( s) = 1 A( h ) s 1+ a 2g h (2.107) amelynek virtuális idôállandója T = A( h ) a 2 g h .

Érdemes összehasonlítani a munkapontban linearizálással kapott To = Ao 2 Ao ho = 2 ho = 2 ho T ( ho ) a 2 g ho a 2 g ho (2.108) 101 idôállandóval. (Az átviteli függvény azért csak formális, mert érvényessége kizárólag a lineáris tartományhoz kötôdik.) Két tartályos rendszer Tekintsük most a 2.63 ábrán látható két folyadéktartályból álló rendszert A felsô tartályba egy szeleppel szabályozhatóan folyik be a víz. A felsô tartályból a víz átáramlik az alsó tartályba Az alsó tartályból a folyadék kiáramlik. Feladat lehet a tartályokban a folyadék szintjének állandó értéken tartása. A folyamat a következô jelekkel jellemezhetô: - u h1 A1 és A2 a1 és a2 y1 h2 y2 a felsô tartályba befolyó folyadék mennyisége a felsô tartályban levô folyadékszint magassága a tartályok keresztmetszete a kifolyási nyílások keresztmetszete a felsô tartályból kifolyó folyadék árama az alsó tartályban levô folyadékszint

magassága a kifolyó folyadék árama Kimenôjeleknek tekinthetjük a tartályok szintmagasságát, bemenôjelnek a befolyó folyadék mennyiségét. A rendszer modelljének megalkotásához gondoljuk át a rendszer fizikai mûködését. Egy tartályból kifolyó folyadék sebessége függ a tartályban lévô folyadék szintjétôl. A helyzeti és a mozgási energia egyensúlyát felírva: 1 mgh = mv 2 2 2.63 ábra Két folyadéktartályból álló rendszer Az összefüggés mindkét tartályra érvényes. Innen a tartályból kifolyó folyadék sebessége kifejezhetô: v = 2 gh . A tartályból kifolyó folyadék mennyisége függ a folyadék sebességétôl, a kifolyócsô keresztmetszetétôl és a folyadék viszkozitási tényezôjétôl: y = avµ = a 2 g hµ = k h Az összefüggés láthatóan nemlineáris. Az egyes tartályokban a folyadékszint emelkedése a befolyó és a kiáramló folyadék mennyiségének különbségétôl függ. Az emelkedés annál gyorsabb, minél

kisebb a tartály keresztmetszete. A két tartályra az alábbi differenciálegyenletek írhatók fel: ( ) d h1 1 = u − k1 h1 = β1u − α 1 h1 d t A1 d h2 1 = k1 h1 − k2 h2 = β 2 h 1 − α 2 h2 dt A2 ( ahol ) (2.109) 102 β1 = 1 A1 , k1 A1 α1 = β2 = , k1 A2 , α2 = k2 A2 Mivel a folyadékszintek a rendszer állapotváltozóinak tekinthetôk, a felírt két elsôrendû differenciálegyenlet a rendszer nemlineáris állapotegyenletét adja meg. Célszerû az egyes változókat maximális értékükhöz viszonyítva relatív egységekben megadni hrel = h hmax és urel = u (2.110) umax Ezzel a differenciálegyenletek a következô alakban adhatók meg: d h1,rel = β1,rel urel − α 1,rel h1,rel dt d h2 ,rel = β 2 ,rel h1,rel − α 2 ,rel h2 ,rel dt (2.111) ahol β1,rel = 1 umax A1 h1,max , α 1,rel = k1 h1,max A1 h1,max β 2 ,rel = k1 h1,max A2 h2 ,max , α 2 ,rel = k2 h2 ,max A2 h2 ,max Egy nemlineáris rendszert az egyszerûbb

kezelhetôség érdekében sokszor adott munkapont környezetében linearizálnak, így a munkapont körüli kis megváltozásokra a rendszer lineárisnak tekinthetô. A h nemlineáris függvényt fejtsük TAYLOR sorba a ho munkapont körül: f ( h ) = h ≈ ho + 1 ( h − ho ) 2 ho A TAYLOR sor magasabb hatványait elhanyagoljuk. Jelöljük a kis megváltozásokat ∆-val, így h − ho = ∆h , urel = uo + ∆u , h1,rel = h1o ,rel + ∆h1 , h2 ,rel = h2 o ,rel + ∆h2 A linearizált egyenletek: d ( h1o ,rel + ∆h1 )   1 = β1,rel ( uo + ∆u) − α 1,rel  h1o ,rel + ∆h1  dt 2 h1o ,rel   (2.112)     d ( h2 o ,rel + ∆h2 ) 1 1 = β 2 ,rel  h1o ,rel + ∆h1  − α 2 ,rel  h2 o ,rel + ∆h2  dt 2 h1o ,rel 2 h2 o ,rel     A munkaponti értékek kapcsolata: 103 d h1o ,rel = 0 = β1,rel uo − α 1,rel h1o ,rel dt d h2 o ,rel = 0 = β 2 ,rel h1o ,rel − α 2 ,rel h2 o ,rel dt (2.113) A munkapont körüli

kis megváltozásokra írhatjuk: α 1,rel d ∆h1 ∆h1 = β1,rel∆u − dt 2 h1o ,rel (2.114) β 2 ,rel α 2 ,rel d ∆h2 ∆h1 − ∆h2 = dt 2 h1o ,rel 2 h2 o ,rel Látható, hogy az egyenletekben a paraméterek munkapontfüggôk. A paraméterek a tartályokon végzett mérések (a tartályok feltöltése, kifolyatása) alapján, illetve a geometriai méretekbôl határozhatók meg. Adjuk meg a linearizált folyamat átviteli függvényét az alsó tartály ∆h2 szintváltozását tekintve kimenôjelnek és a befolyó mennyiség ∆u változását tekintve bemenôjelnek. Vezessük be az alábbi jelöléseket: δ1 = β1,rel , γ1 = α 1,rel 2 h1o ,rel , β 2 ,rel 2 h1o ,rel δ2 = , γ2 = α 2 ,rel 2 h2 o ,rel Ezekkel az állapotegyenletek: d ∆h1 = δ1∆u − γ1∆h1 dt d∆h2 = δ 2∆h1 − γ 2∆h2 dt Ebbôl felírva az átviteli függvényt: 1 1 K H ( s) = δ1 s δ 2 s = γ1 γ 2 (1 + sT1 )(1 + sT2 ) 1+ 1+ s s (2.115) A folyamat tehát kéttárolós arányos

tagnak tekinthetô, amelyben az idôállandók és az átviteli tényezô T1 = 1 2 h1o ,rel , = γ1 α 1,rel T2 = 1 2 h2 o ,rel , = γ2 α 2 ,rel K= 2 β1,rel h2 o ,rel α 2 ,rel (2.116) értékei függnek az adott munkaponttól. Hôfolyamat Vizsgáljuk egy két hôforrásból álló rendszer melegedési folyamatát. Az elrendezést a 264 ábra mutatja. A két egymásba ágyazott test melegedési viszonyai modellezhetik leegyszerûsítve például a villamos gépek hornyaiban a vasba helyezett réz tekercselés melegedési folyamatait. 104 Az m2 tömegû g2 fajhôjû test, amelyben p2 teljesítmény alakul hôvé körülveszi az m1 tömegû g1 fajhôjû testet, amelynek hôteljesítménye p1. A két test egymással, illetve a külsô környezettel érintkezô felülete f1 illetve f 2 , h1 illetve h2 hôátadási tényezôvel. 2.64 ábra Két hôforrásból álló rendszer Határozzuk meg a két test υ1 illetve υ 2 hômérsékletének változását a hôfejlesztés

bekapcsolása után, ha a bekapcsolás elôtt a rendszer hôfoka a υ o környezeti hômérsékleten volt. A rendszer bemenôjelei tehát a p1 és p2 fûtôteljesítmények, zavaró jellemzôje a υ o környezeti hômérséklet, kimenôjelei a testek υ1 és υ 2 hômérsékletei. A folyamat viselkedését az alábbiak szerint írhatjuk le. A hôteljesítmények bekapcsolása után a két test hômérséklete növekedni kezd. A képzôdô hôenergia egy része a testek hôkapacitásában raktározódik, a testek hômérsékletét növeli, másik része pedig a kialakuló hômérsékletkülönbség hatására a határfelületeken keresztül a környezetbe távozik. Feltételezzük, hogy a testek homogénnek tekinthetôk, jó hôvezetési tulajdonságuk következtében a testeken belül nem alakul ki hômérsékletkülönbség. A belsô testben ∆t idô alatt képzôdô hô részben ∆υ1 hôfokkal növeli a test hômérsékletét, részben pedig a külsô testbe távozik. A

hôátadás függ a két test hômérsékletének különbségétôl, az érintkezési felület nagyságától és a hôátadási tényezôtôl. A külsô testben a belsôbôl érkezô hômennyiséghez hozzáadódik a p2 teljesítménybôl képzôdô hô. Ez az eredô hômennyiség részben ∆υ 2 hôfokkal növeli a külsô test hômérsékletét, részben pedig a környezetbe távozik. 2.65 ábra A hôfolyamat hatásvázlata A υ1 és υ 2 hômérsékletek a rendszer állapotváltozóinak is tekinthetôk. A két testre felírva a hômérlegre vonatkozó egyenleteket: p1∆t = g1m1∆υ1 + h1 f1 ( υ1 − υ 2 )∆t p2∆t + h1 f1 ( υ1 − υ 2 )∆t = g2 m2∆υ 2 + h2 f 2 ( υ 2 − υ o )∆t (2.117) Az egyenleteket g1m1∆t -vel, illetve g2 m2∆t -vel elosztva, majd elvégezve a ∆t 0 határátmenetet és a hômérsékletváltozások deriváltjaira rendezve az alábbi egyenleteket kapjuk: 105 d υ1 h f h f 1 = − 1 1 υ1 + 1 1 υ 2 + p1 dt g1m1 g1m1 g1m1 d υ 2 h1 f1

h f + h2 f 2 1 h f = p2 + 2 2 υ o υ1 − 1 1 υ2 + dt g2 m2 g2 m2 g2 m2 g2 m2 (2.118) Ezek az egyenletek a rendszer állapotegyenletét adják meg. Az egyenletek alapján felrajzolható a rendszer hatásvázlata (2.65 ábra) A hatásvázlat alapján meghatározhatók az egyes kimenô- és bemenôjelek közötti eredô átviteli függvények és adott bemenôjelváltozásokra megadhatók a kimenôjelek idôfüggvényei. Mozgó fordított inga 2.66 ábra Inverz inga mechanikai modellje A vizsgált mechanikai rendszer vázlatát a 2.66 ábra mutatja Az M tömegû kocsira felszerelt súlytalannak tekintett l hosszúságú rúd egy csukló körül elmozdulhat. A rúd végére m tömegû golyó van felszerelve. A kocsira f erô hat. Ez a szerkezet az ún inverz inga, amely mechanikailag labilis mûködésû. Irányítási feladat lehet az m tömeg felsô egyensúlyi pontban tartása a kocsi megfelelô mozgatásával. A cirkuszi zsonglôr ilyen (kézi) irányítást valósít meg a rúd

egyensúlyozásával. Hasonló szerkezet lehet egy mozgó robot része. Egy labilis szakasz stabilis irányítása nem egyszerû feladat. A szabályozási algoritmust a szakasz modelljének figyelembe vételével kell megtervezni Adjuk meg a rendszer mechanikai viselkedését leíró NEWTON egyenleteket az M és a m tömegek mozgására. A merev rúdban +F és −F kényszererôk ébrednek ˙˙ = f − F sin Θ Mx ˙˙ m = F sin Θ mx ˙˙ m = F cos Θ − mg my (2.119) Az elsô két egyenlet összeadásával, illetve a második egyenletet cosΘ-val, a harmadik egyenletet sinΘ-val megszorozva majd egymásból kivonva az F kényszererô kifejezése az egyenletekbôl kiküszöbölhetô. Ezen átalakításokkal az alábbi egyenletekre jutunk: ˙˙ + mx ˙˙ m = f Mx ˙˙ m cos Θ − my ˙˙ m sin Θ = mgsin Θ mx (2.120) Számítsuk ki x m és y m deriváltjait. x m = x + lsin Θ ˙ cos Θ x˙ m = x˙ + lΘ ˙ 2sin Θ + lΘ ˙˙ cos Θ ˙˙x m = ˙˙x − lΘ y m = l cos Θ ẏ m

= −lΘ sin Θ ˙ 2cos Θ − lΘ ˙˙ sin Θ ˙˙y m = −lΘ (2.121) 106 Behelyettesítve ˙ẋ m és ˙ẏ m kifejezéseit az elôzô egyenletekbe az inverz inga viselkedésének leírására az alábbi nemlineáris differenciálegyenleteket kapjuk: ˙˙ cos Θ = f ( M + m)˙˙x − mlΘ˙ 2sin Θ + mlΘ ˙˙ = mg sin Θ ˙˙ cos Θ + mlΘ mx Illetve mindkét egyenletbôl kifejezve a második deriváltakat: ( 1 ˙ 2 sin Θ − mlΘ ˙˙ cos Θ f + mlΘ M+m ˙˙ = g sin Θ − 1 ˙˙x cos Θ Θ l l ˙˙x = ) (2.122) A függôleges helyzet körüli kis elmozdulásokra és kis szögértékváltozásokra megadhatjuk a rendszer linearizált modelljét. Feltételezve, hogy Θ ≈ 0 és Θ̇ ≈ 0, sinΘ ≈ Θ és cosΘ ≈ 1 közelítéseket vehetünk figyelembe. Ezekkel az egyszerûsítô feltevésekkel a fenti egyenletek az alábbi alakra hozhatók: mg 1 Θ+ f M M ˙˙ = g M + m Θ − 1 f Θ l M Ml ˙˙x = − (2.123) ˙ , x és ẋ változókat. Az állapotegyenlet az

alábbi alakban Állapotváltozóknak tekinthetjük a Θ, Θ írható fel: 0 ˙  Θ ˙˙   g M + m Θ =  l M  x˙   0    mg  ˙˙x   − M 1 0 0 Θ  0     1 − 0 0 0 Θ ˙   +  Ml  f 0 0 1  x   0     1   0 0 0  x˙     M  (2.124) Kimenôjelnek tekinthetjük a Θ vagy az x változókat. Az egyenletekbôl meghatározhatók az átviteli függvények a Θ illetve az x kimenôjelek és az f bemenôjel között: 1 1 Θ( s) Ml Ml H1 ( s) = = 2 =− 2 f ( s) s − α (s + α)(s − α) − (2.125) és ( ( ) ) 1 2 1 2 (s + β)(s − β) x ( s) M s − β M H 2 ( s) = = = f ( s) s2 s2 − α 2 (s + α)(s − α) (2.126) g M+m g és β 2 = . Látható, hogy a linearizált rendszer átviteli függvénye egy labilis l M l pólust tartalmaz, és megjelenik egy nem minimumfázisú zérus is. A rendszer szabályozása nem egyszerû

feladat. ahol α 2 = 3. FOLYTONOS IDEJÛ RENDSZEREK LEÍRÁSA AZ ÁLLAPOTTÉRBEN 107 3. Folytonos idejû rendszerek leírása az állapottérben Számos tudományos és mérnöki terület használja dinamikus rendszerek leírására az úgynevezett állapotegyenleteket. Az állapotteres leírás szükségességét többféle módon származtatják Talán a legegyszerûbb annak a felismerése, hogy bonyolult dinamikus rendszerek igen széles osztályának mûködését viszonylag nagy pontossággal modellezhetjük elsôrendû vektor differenciál egyenlettel: d x ( t) = x˙ ( t) = f [ x ( t), u( t)] dt y ( t) = g[ x ( t), u( t)] (3.1) Az állapotváltozónak nevezett x vektor a rendszer állapotváltozóit, mint skalár xi komponenseket gyûjti vektorba. Az u a rendszer bemenô-, az y pedig a kimenôjele Az x állapotvektor dimenzióját a rendszer fokszámának vagy rendjének nevezzük. Az f ( x,u) függvény az állapotvektor változási "sebességét" adja az

állapot és a bemenôjel függvényében. A g( x, u) függvényt érzékelési illetve mérési függvénynek nevezzük, mivel a rendszer kimenôjelét szolgáltatja. Vegyük észre, hogy itt f ( x,u) és g( x, u) nem függ explicit módon az idôtôl. (Ezt a tulajdonságot véletlenül se keverjük össze azzal, hogy természetesen az állapotegyenlet jelei idôtôl függnek !!!) Az ilyen rendszereket idôinvariánsnak hívjuk. Az állapotváltozókat olyan változóknak is szokták hívni, amelyek összefoglalják a rendszer múltjára vonatkozó információkat, hogy a jelek jövôbeli értékeit jósolni tudjuk, ezért az állapotvektor a rendszer memóriáját is jelentheti. Mérnöki rendszerekben az állapotváltozók igen sokszor kapcsolódnak olyan alapvetô fizikai folyamatokhoz, ahol tömeg, áram, impulzus, energia, stb. tárolásához szükséges összefüggéseket kell kiszámítanunk. (Felhívjuk a figyelmet, hogy egyes szakterületeken például a kémiában - az

állapotváltozó megnevezés nem egyezik meg a fenti általános rendszerelméleti fogalommal, sokkal inkább a vizsgálat tárgyát képezô anyag, elegy, oldat, stb. fiziko-kémiai állapotára utaló változókat jelenti: nyomás, hômérséklet, összetétel, stb.) Az állapotváltozók, mint koordináták egy teret - állapotteret (state space) - definiálnak. Ebben a térben helyezkedik el az x ( t) állapotvektor. Végpontjának elmozdulása jelenti a rendszer mozgását. Az állapotvektor végpontja által leírt görbe az állapot-trajektória A (3.1) egyenletpárral adott rendszer a nemlineáris dinamikus rendszerek egy speciális osztályát jelenti, amelynek lehetséges ( x o ,uo ) egyensúlyi állapota (ahol ẋ = 0), amely az f ( x o ,uo ) = 0 (3.2) egyenletbôl adódik. (Jegyezzük meg, hogy általános esetben több egyensúlyi állapot is adódhat Az egyensúlyi állapotok különbözô jellegû stabilitási állapotokat jelenthetnek. Ezek minôségi vizsgálatához

az f ( x,u) másodrendû deriváltjainak vizsgálata is szükséges.) Statikus rendszerek elfajult állapotegyenlettel írhatók le, hiszen nincs memóriájuk, illetve az ennek megfelelô állapotuk, tehát leírásukhoz a (3.1) egyenletpár második egyenlete elegendô: y = g( u) (3.3) 108 TAYLOR sorba fejtve a most skalár egyenletet az uo pontban az y = g( uo ) + d g( uo ) (u − uo ) +  = g(uo ) + g′(uo ) (u − uo ) +  du (3.4) alakra jutunk, amelynek elsôrendû tagjából az y − y o = ∆y = y − g( uo ) = g′( uo ) ( u − uo ) = g′( uo ) ∆u (3.5) linearizált modellt kapjuk. A linearizált modell az uo munkapontban az eredeti görbét az érintôjével helyettesíti és a munkapont körüli (∆y , ∆u) megváltozások között teremt statikus lineáris kapcsolatot. Lényegében hasonló gondolatmenet alapján végezhetjük el a (3.1) állapotegyenlet linearizálását is. Az ( x o ,uo ) egyensúlyi állapot körüli kis megváltozásokra érvényes

x = x o + ∆x ; u = uo + ∆u ; y = y o + ∆y (3.6) jelölésekkel számítsuk ki a (3.1) elsôrendû linearizált közelítését d f ( x o , uo ) d f ( x o , uo ) dx ∆ + ∆u x = f ( x o + ∆x , uo + ∆u) ≈ f ( x o , uo ) + dt du d xT y = g( x o + ∆x , uo + ∆u) ≈ g( x o , uo ) + d g( x o , uo ) d xT d g( x o , uo ) ∆x + ∆u du (3.7) Használjuk fel, hogy az egyensúlyi pontban f ( x o ,uo ) = 0 és vezessük be az y o = g( x o , uo ) jelölést, így a kis megváltozásokra érvényes linearizált modellünk az alábbi alakú lesz: d ( x − x o ) d ∆x = = A( x − x o ) + b ( u − uo ) = A∆x + b ∆u dt dt (3.8) y − y o = ∆y = c T ( x − x o ) + d ( u − uo ) = c T ∆x + d ∆u ahol bevezettük az A= c = T d f ( x o , uo ) dx T d g( x o , uo ) d xT ; b= d f ( x o , uo ) du d g( x o , uo ) ; d= du (3.9) jelöléseket. A kapott modell egy lineáris idôinvariáns (LTI), azaz idôben nem változó rendszer Eléggé elterjedt gyakorlat,

hogy az egyszerûség kedvéért a jelölt megváltozások ( ∆x, ∆u, ∆y ) helyett az eredeti ( x, u, y ) változókat használjuk és mindig munkapont körüli megváltozásokra gondolunk. Így kapjuk a rendszer- és irányításelmélet általánosan használt lineáris, állandó paraméterû (LTI) állapotegyenletét 109 d x ( t) = Ax ( t) + b u( t) dt dx = Ax + b u dt vagy egyszerûen y ( t) = c x ( t) + d u( t) (3.10) y = c x + du T T Itt A, b, c T , d a rendszer paraméter mátrixai. Mivel a jegyzetben egybemenetû - egykimenetû (SISO) rendszerekkel foglalkozunk, ezért n-edrendû esetben az A egy ( n × n ) -es négyzetes mátrix, az ú.n állapotmátrix, a b egy ( n × 1) -es oszlopvektor, a c T egy (1× n ) -es sorvektor és d skalár. A (310) állapotegyenletnek megfelelô blokkvázlat a 31 ábrán látható d x(0) u b + ẋ ∫ x cT + y A 3.1 ábra Lineáris idôinvariáns rendszer állapotegyenletének megfelelô blokkvázlat 3.1 Az

állapotegyenletek megoldása a komplex frekvenciatartományban A komplex frekvencia tartományba az állapotegyenletek a (3.10) LAPLACE transzformációjával vihetôk át. Jelölje az x, u, y idôfüggvények transzformáltját X ( s),U ( s),Y ( s) Figyelembevéve a differenciálhányados transzformálásának a szabályait sX ( s) = A X ( s) + b U ( s) + x (0) = A X ( s) + b U ( s) + I x (0) Y ( s) = c T X ( s) + dU ( s) (3.11) Az elsô egyenletben a kezdeti feltételek x (0) vektora olyan bemenôjelnek tekinthetô, amely az I egységmátrixon keresztül hat a rendszerre. Az elsô egyenletbôl kapjuk, hogy X ( s) = ( sI − A) −1 [bU (s) + x(0)] = (sI − A)−1 bU (s) + (sI − A)−1 x(0) (3.12) A mátrix invertálás szabályai szerint (sI − A)−1 = adj ( sI − A) adj ( sI − A) Ψ ( s) = = = Φ( s) det ( sI − A) A( s) A( s) (3.13) Itt Ψ ( s) = adj ( sI − A) olyan mátrix transzponáltja, amelynek elemei az ( sI − A) mátrix megfelelô elemeihez tartozó

elôjeles aldeterminánsok. A det ( sI − A) pedig az ( sI − A) mátrix determinánsa, az átviteli függvény nevezôje, amely s-nek n-edfokú polinomja n A( s) = sn + k1sn −1 +  + kn −1s + kn = Π ( s − λ i ) = det ( sI − A) i −1 (3.14) 110 A( s) az A mátrix úgynevezett karakterisztikus polinomja, az A ( s) = 0 karakterisztikus egyenlet λ 1 , λ n gyökei pedig az A mátrix sajátértékei, amelyeket a rendszer pólusainak nevezünk. A (3.13) egyenlet számlálójában álló mátrix elemei is s-nek a polinomjai, amelyek azonban mivel ( n −1)-edrendû aldeterminánsból származnak - legfeljebb ( n −1)-edfokúak, következésképpen az egyes elemek és A ( s) hányadosa szigorúan szabályos átviteli függvényeket képez. A (3.12) szerint az állapotvektor mozgását az x (0) kezdeti állapot és az U ( s) bemenô jel határozza meg. Az x (0) -tól függô rész valamennyi elemének nevezôjében a karakterisztikus polinom áll, ezért a kifejtési

tételbôl következôen idôfüggvényeiket kizárólag a rendszer pólusai határozzák meg. A megoldásnak ez a része a nyugalmi helyzetbôl kitérített és magára hagyott rendszer mozgását írja le és mind a frekvencia, mind az idôtartományban kizárólag a rendszer paraméterek egyikétôl, az A állapotmátrixtól függ. A megoldásnak az U ( s) -tôl függô összetevôjében az egyes elemek nevezôje A ( s) -en kívül az U ( s) nevezô polinomját is tartalmazza, így az idôfüggvények nemcsak a rendszer, hanem a bemenôjel pólusaitól is függenek. A megoldásnak ez a része a gerjesztett rendszer mozgását írja le. A kimenôjel a (3.11) és (312) egyenletekbôl Y ( s) = c T ( sI − A) −1 [bU (s) + x(0)] + dU (s) (3.15) A gerjesztett mozgás kimenôjele, amikor x (0) = 0 [ −1 ] Y ( s) = c T ( sI − A) b + d U ( s) (3.16) A rendszer átviteli függvénye tehát P ( s) = B ( s) Y ( s) −1 −1 = c T ( sI − A) b + d = c T ( sI − A) b = A ( s) U

( s) d=0 (3.17) A P ( s) elsô tagja szigorúan szabályos, mivel csak szigorúan szabályos elemek (lásd (3.13)-t: az adjungált mindig alacsonyabb fokszámú, mint a determináns !) lineáris kombinációjából áll. Ha tehát d = 0, akkor P ( s) szigorúan szabályos, számlálója minimálisan eggyel alacsonyabb fokszámú, mint a nevezô. Ha d ≠ 0, akkor P ( s) szabályos, azaz a számláló fokszáma megegyezik a nevezôjével. A d fizikai jelentése: a bemenôjel közvetlen, dinamika nélküli hatása a kimenôjelre. Jegyezzük meg, hogy ez a hatás nem tûnik el igen nagy frekvenciákon sem, tehát a frekvenciafüggvényre fennáll, hogy P ( jω ∞) = d . Ez egyben azt is jelenti, hogy az átmeneti függvény ugrása a t = 0 pillanatban v ( t = 0) = d . A gyakorlatban a d ≠ 0 esetet az ỹ = y − d u új kimenôjel bevezetésével rendszerint visszavezetjük a d = 0 esetre. A d ≠ 0 esetre azt is mondhatjuk, hogy nem megfelelôen történt a munkaponti

linearizálás, ami korrekcióra szorul. 111 3.2 Az állapotegyenletek megoldása az idôtartományban A (3.10) állapotegyenletek idôtartománybeli megoldása az x ( t) = e A t x (0) + t  A(t−τ) A(t−τ) At  b b x e u τ d τ = e 0 + e u τ d τ ( ) ( ) ( ) ∫ ∫    0 0 t (3.18) zárt formában is elôállítható. Az elsô tag az x (0) kezdeti értékbôl induló magára hagyott rendszer mozgása, a második tag - a konvolúciós integrál - az x (0) = 0 kezdeti értékbôl induló gerjesztett mozgás. A (3.18) ellenôrzéséhez deriváljuk a fenti egyenletet az idô szerint d x ( t) = A e A t x (0) + dt t ∫ A e A(t− τ) b u( τ) d τ + b u(t) = A x(t) + b u(t) (3.19) 0 ami igazolja a (3.18) egyenlet helyességét (A deriválást az F-5 Függelék F-31 pontjában végeztük el.) Itt e A t a rendszer alapmátrixa, amelyet minden t-re konvergens TAYLOR sora definiál, mint a mátrix függvényeket általában eAt = I + A t + 1 1 ( A t) 2

+  + ( A t) n +  2 n! (3.20) Differenciálva az egyenletet az alapmátrix egy érdekes és fontos tulajdonságát kapjuk deAt 1 1 = A + A2 t + A3 t 2 +  + A n t n −1 +  = dt 2 (n − 1)!   1 1 n 2 = A  I + A t + ( A t) +  + ( A t) +  = A e A t = e A t A   n! 2 (3.21) A (3.12) és (318) egyenletek összevetésébôl kapjuk az U ( s) = 0 esetre az alapmátrix LAPLACEtranszformáltját L {e A t } = ( sI − A)−1 = Φ( s) (3.22) amely alapján egy újabb összefüggést kapunk az alapmátrix kiszámítására { }=L −1 e A t = L −1 ( sI − A) {Φ(s)} −1 (3.23) A (3.10) és (318) egyenleteket kombinálva a rendszer kimenô jele t  A(t−τ)  y ( t) = c e x (0) + c ∫ e u( τ) d τ b + d u( t)  0  T At T (3.24) Zérus kezdeti feltételekre ( x (0) = 0) és d = 0 esetén az u( t) = δ( t) gerjesztésre az utolsó egyenletbôl egyszerûen kaphatjuk a rendszer súlyfüggvényét 112 { } b = L {c −1

w ( t) = c T e A t b = c T L −1 ( sI − A) { } { = L −1 c T Φ( s) b = L −1 P ( s) d=0 −1 T (sI − A)−1 b} = (3.25) } A súlyfüggvény idôtartományban történô származtatása a F-5. Függelék F-32 pontjában látható. A mátrix függvények és a CAYLEY-HAMILTON tétel következtében az alapmátrix véges összeg formájában is számítható e A τ = α o ( τ) I + α 1 ( τ) A +  + α n-1 ( τ) A n −1 (3.26) mivel az A állapotmátrix kielégíti saját A ( A) = 0 (3.27) karakterisztikus egyenletét. (A bizonyítást lásd az F-5 Függelék F-33 pontjában) 3.3 Az állapotegyenletek transzformációja, kanonikus alakok A rendszer bemenô- és kimenôjele rendszerint konkrét fizikai változó, az állapotváltozók viszont függnek a választott koordináta rendszertôl. Az A, b, c T paraméter mátrixok szintén függnek a koordináta rendszertôl. Vezessük be a z új állapotvektort, amely az eredeti x-bôl a z = T x lineáris

transzformációval származtatható, ahol T reguláris. A (310) felhasználásával az új állapotegyenlet dz ˜ x + b˜ u = T ( A x + b u) = T AT −1 z + T b u = A dt y = c T x + d u = c T T −1 z + d u = c˜ T z + d˜ u (3.28) ahol à = T AT −1 b̃ = T b ; c̃ T = c T T −1 ; ; d̃ = d (3.29) Egyszerû ellenôrizni, hogy a rendszer súlyfüggvénye és átviteli függvénye invarians a lineáris transzformációra −1 ˜ w ( t) = c˜ T e A t b˜ = c T T −1e T A T t T b = c T e A t b ( ) ˜ H ( s) = c˜ T sI − A −1 ( b˜ = c T T −1 sI − T AT −1 ) −1 (3.30) −1 T b = c T ( sI − A) b (3.31) A (3.30)-ban figyelembe vettük az egyszerûen belátható e (T A T −1) t = Te A t T −1 (3.32) azonosságot. Ismeretes, hogy a lineáris transzformációk rendelkeznek kitüntetett irányokkal ( vi ), amelyekben 113 a vektorok irányukat megtartják, csak hosszúságukat változtatják λ i -szeresére, azaz Avi = λ i vi i = 1, , n ;

(3.33) Itt vi az A mátrix sajátvektora, a λ i pedig a hozzátartozó sajátérték. A sajátérték probléma más formában, mint homogén n ismeretlenes egyenletrendszer is felírható: (λi I − A) v = 0 (3.34) ahol az ismeretlenek a v komponensei. Az egyenletnek akkor van a triviálistól ( v = 0) eltérô megoldása, ha teljesül a det ( λ i I − A) = A ( λ i ) = 0 (3.35) feltétel, azaz az λ i sajátértékek a karakterisztikus polinom gyökei. Ha az egyenlet gyökei egyszeresek, akkor összesen n darab sajátérték van, és mindegyikhez egyetlen egységnyi hosszúságú sajátvektor határozható meg. Diagonális kanonikus alak Egyszeres sajátértékek esetén speciális Td transzformációs mátrix megválasztásával elérhetô, hogy Td A (Td ) −1 diagonális legyen λ 1 0  0 λ2 −1 Ãd = Td A (Td ) = Λ =     0 0  0   0 = Ad     λn (3.36) A szükséges Td transzformációs mátrix a

sajátvektorok mátrixának inverze Td = [v1 , v 2 , , v n ] −1 (3.37) A diagonális transzformációval kapott kanonikus állapotegyenlet (diagonális alak) λ 1 0  d z  0 λ2 =  dt    0 0  0  β1      0  β 2  z+ u = Λz+βu         λ n  β n  (3.38) y = [ γ1 γ 2  γ n ] z + d u = γ T z + d u A transzformált rendszer átviteli függvénye n βi γi +d s − λi i =1 P ( s) = ∑ (3.39) A kanonikus alakból tehát az átviteli függvény részlettörtes formában adódik. Vegyük észre, hogy az A mátrix sajátértékei vannak a nevezôben. Az átviteli függvény változatlan marad, ha βi és γi úgy változnak, hogy szorzatuk állandó marad. Így végtelen sok olyan kanonikus alak 114 van, amelyek a β és γ T mátrixokban különböznek, de átviteli függvényük közös. Egyszeres pólusok esetén kanonikus koordinátákban az állapotegyenlet rendszer n

egymástól független elsôrendû differenciálegyenletre esik szét. Az állapotváltozók elkülönülnek és a rendszer egy-egy pólusához rendelhetôk. Ha a karakterisztikus egyenletnek többszörös gyöke van, az Ad mátrix csak kivételes esetekben diagonalizálható, általában azonban JORDAN alakra hozható:  J1  0 J =   0 0  0  J2  0       0  Jm  (3.40) Itt Ji a λ i sajátértékhez rendelt, a sajátérték multiplicitásával megegyezô rendszámú négyzetes mátrix, amelynek fôátlójában a sajátértékek, az attól jobbra esô elsô mellékátlóban egyesek állnak, a többi elem zérus. Ha például λ 1 háromszoros sajátérték, a J1 részmátrix λ 1 1 0    J1 =  0 λ 1 1   0 0 λ 1 (3.41) alakú lehet. (Az egyesek száma attól függ, hogy a többszörös λ 1 sajátértékhez hány egymástól lineárisan független sajátvektor található. Ha csupán egyetlen - ez a

(338)-nek megfelelô normális eset - a mellékátló valamennyi eleme egyes. Ha ehhez képest a független sajátvektorok száma eggyel nô, az egyesek száma eggyel csökken. Ha létezik a multiplicitással azonos számú független sajátvektor, a JORDAN mátrix diagonális. Ettôl az esettôl eltekintve a transzformációs mátrix megkeresése a korábbiaktól eltérô megfontolásokat igényel, amelyekre itt nem térünk ki.) Irányítható kanonikus alak Jóllehet az állapotegyenleteket a modellezési gyakorlatban rendszerint közvetlenül írjuk fel a fizikai változókra megfogalmazott differenciálegyenletek alapján, számos alkalommal elôfordul, hogy a kiindulási információ egy átviteli függvény illetve a neki megfelelô n-edrendû lineáris differenciálegyenlet. Ezt az eljárást az állapotegyenletek felírásának, konstruálásának (rekonstruálásának) is szokták nevezni. Tegyük fel, hogy egy rendszer mûködését az alábbi differenciálegyenlet írja le

dn y d n −1 y d n −1 u + + + = +  + bn u a y b a  1 n 1 d tn d t n −1 d t n −1 (3.42) A Laplace-transzformáltakra érvényes egyenlet Y ( s) = B ( s) b1sn −1 +  + bn −1s + bn U s U ( s) = P ( s) U ( s) = ( ) A( s) sn + a1sn −1 +  + an −1s + an Vezessük be az alábbi állapotváltozókat LAPLACE-transzformáltjaikkal együtt (3.43) 115 X1 ( s) = s n −1 U ( s) A ( s) X 2 ( s) = sn − 2 1 U ( s) = X1 ( s) A ( s) s  X n ( s) = d x2 = x1 dt (3.44)  1 1 U ( s) = X n −1 ( s) A ( s) s d xn = x n −1 dt amelyek alapján sX1 ( s) = −a1 X1 ( s) −  − an X n ( s) + U ( s) Y ( s) = b1 X1 ( s) +  + bn X n ( s) d x1 = −a1 x1 −  − an x n + u dt (3.45) y = b1 x1 +  + bn x n Az eredményül kapott állapotegyenletek tehát most az alábbiak −a1 −a2  1 0 dx  = 0 1 dt      0 0 1  −an −1 −an     0 0  0  0 0  x + 0 u    

    0  1 0  (3.46) y = [b1 b2  bn −1 bn ] x Ezt az alakot a hozzátartozó speciális felépítésû −a1 −a2  0  1 1 Ac =  0      0 0 1  −an −1 −an     0 0  0  0 0  ; bc = 0 ; c cT = [b1 b2  bn −1 bn ]         0  1 0  (3.47) rendszermátrixokkal irányítható (controllability) kanonikus alaknak vagy fázisváltozós alaknak hívjuk. Jellegzetessége, hogy - az utolsót kivéve - mindegyik állapotváltozó a hatásirányban következô állapotváltozó deriváltja, és valamennyi az elsô állapotváltozó bemenetére van visszacsatolva. A visszacsatolási tényezôk a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói, amelyek így az A mátrix elsô sorában jelennek meg. A bemenôjel csak x1 -re hat A kimenôjelet képezô elôrecsatoló tényezôk az átviteli függvény számlálójának

együtthatói. Amennyiben a P ( s) nem szigorúan szabályos, tehát B ( s) = bo sn + b1sn −1 +  + bn −1s + bn , az állapotegyenletben d = bo is szerepel. Az eredeti bi együtthatók helyett viszont a bi′ együtthatók szerepelnek, amelyeket a P ( s) = B ( s) bo sn + b1sn −1 +  + bn −1s + bn b1′ sn −1 +  + bn′ −1s + bn′ = b + = n o A ( s) s + a1sn −1 +  + an −1s + an sn + a1sn −1 +  + an −1s + an (3.48) 116 felbontással kapjuk. Itt a második tag már szigorúan szabályos és a számláló együtthatói a bi′ = bi − bo ai összefüggéssel számíthatók. Az irányítható kanonikus alak karakterisztikus polinomja s + a1 a2  s  −1 −1 A ( s) = det  0     0  0  an −1  0  0    −1 an   0 0  = An ( s) = sAn −1 ( s) + an   s  (3.49) ahol a rekurzív összefüggést az utolsó sor szerinti kifejtéssel kapjuk. Egyszerûen belátható, hogy An ( s) =

sn + a1sn −1 +  + an −1s + an = A( s) (3.50) azaz a karakterisztikus polinom az átviteli függvény nevezôje. Ezért a speciális Ac mátrixot az A( s) polinom kísérô márixának is nevezik. Jegyezzük meg, hogy az  0    Ac =  0   0 −an 1  0 0 −an −1 0  0 0        0  1 0  ; bc = 0 ; c cT = [bn    0 1    1  −a2 −a1 bn −1  b2 b1 ] (3.51) paramétermátrix választás szintén irányítható kanonikus alakot ad, ahol az állapotváltozók jelölésekor a sorszám fordított az elôzô (3.47) alakhoz képest Megfigyelhetô kanonikus alak Ennek az alaknak a konstruálásához válasszuk az állapotváltozókat L A P L A C E transzformáltjaikkal a következô rekurzív megfogalmazás alapján X1 ( s) = Y ( s) sX1 ( s) = −a1 X1 ( s) + X 2 ( s) + b1U ( s) sX 2 ( s) = −a2 X 2 ( s) + X 3 ( s) + b2U ( s)  sX n ( s) = −a1 X1 ( s)

+ bnU ( s) d x1 = −a1 x1 + x 2 + b1 u dt d x2 = −a2 x 2 + x 3 + b2 u dt (3.52)  d xn = −an x n + bn u dt ahol Y ( s) a (3.43) szerinti Az összefüggések alapján az alábbi állapotegyenleteket írhatjuk fel 117  −a1  −a2 dx  =  dt  −an −1  −an 1 0  0 0 0 1  0 0      0  b1     0  b2  0 x +    u    1 bn −1 0  bn  (3.53) y = [1 0  0 0] x Ezt az alakot a hozzátartozó speciális felépítésû  −a1   −a2 Ao =    −an −1  −an 1 0  0 0 0 1  0 0      0  0   1 0  b1     b2  ; bo =    ; c oT = [1 0  0 0]   bn −1  bn  (3.54) rendszermátrixokkal megfigyelhetô (observability) kanonikus alaknak hívjuk. Jellegzetessége, hogy az x1 állapotváltozó maga a kimenôjel, amely valamennyi

állapotváltozó bemenetére vissza van csatolva. A visszacsatolási tényezôk a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói, amelyek így az Ao mátrix elsô oszlopában jelennek meg. Jegyezzük meg, hogy az 0  1 Ao =   0 0      0 0  1 0 0 −an   0 −an −1     0 −a2  1 −a1   bn    bn −1 ; bo =    ; c oT = [0 0  0 1]    b2   b1  (3.55) paramétermátrix választás szintén megfigyelhetô kanonikus alakot ad, ahol az állapotváltozók jelölésekor a sorszám fordított az elôzô (3.53) alakhoz képest Amennyiben a P ( s) nem szigorúan szabályos, az állapotegyenletben d = bo is szerepel és érvényesek az elôzôekben a (3.48) felbontással kapcsolatban mondottak (Ha az átviteli függvény pólusai és részlettörtes alakja is ismert, akkor további kanonikus alakok konstruálhatók.) 3.4 Az irányíthatóság és

megfigyelhetôség fogalma Az irányítás lényeges kérdése, hogy a bemenôjellel valamennyi állapotváltozó tetszôlegesen befolyásolható-e. Erre a kérdésre a KÁLMÁN által bevezetett irányíthatóság ad választ A rendszer állapotirányítható, ha az állapotvektora az u irányítás hatására tetszôleges x ( to ) kezdeti állapotból véges ( tv − to ) idô alatt a tetszôlegesen elôírt x ( tv ) állapotba vihetô át. Ha a definíció csak a kimenôjelre teljesül, kimeneti irányíthatóságról van szó. Lineáris idôinvariáns rendszereknél a kezdeti idôpontot ( to = 0)-ra, így a kezdeti állapotot x (0) -ra választhatjuk. 118 Ilyenkor az irányíthatóság rendszerhez kötôdô fogalom. Ha valamilyen kezdeti állapotra teljesül, bármilyen állapotból kiindulva is fennmarad, hiszen pl. az x (0) -ból megfelelô irányító jellel x ( to ) -ba vihetô az állapotvektor. Az irányíthatóság kanonikus koordinátákban mutatkozik meg a

legszemléletesebben. Ha a (3.38) kanonikus alakban valamelyik állapotváltozóra βi zérus, akkor ez az állapot nem irányítható. Ez annyit jelent, hogy ilyenkor a λ i sajátértékhez tartozó sajátvektorra semmilyen irányítás nem képez párhuzamos összetevôt, csak merôlegeset, tehát az irányítás hatása mindig a sajátvektorra merôleges síkban marad. (A kanonikus alak alapfeltételébôl következve a rendszer csak akkor állapotirányítható, ha a kanonikus koordináták pólusai különböznek.) Attól, hogy a rendszer nem állapotirányítható, kimenôjele még irányítható lehet mindaddig, amíg legalább egy állapotváltozó irányítható és erre a változóra vonatkozó γi nem zérus (lásd a (3.39)-t) A kanonikustól eltérô koordinátákban az állapováltozók kölcsönös összefüggése miatt az elôzôekben megfogalmazott feltételek nem ismerhetôk fel közvetlenül, ezért általánosabb kritériummal kell azokat helyettesíteni. Az

egyszerûség kedvéért x (0) = 0 kezdeti feltételt választva az állapotegyenlet (3.18) megoldása t  t  x ( t) =  ∫ e A ( t − τ ) u( τ) d τ b =  ∫ e A τ u( t − τ) d τ b  0   0  (3.56) alakú, ahol az alapmátrix véges összegû alakját (lásd (3.26)-t) felhasználva írhatjuk, hogy e A τ = α o ( τ) I + α 1 ( τ) A +  + α n -1 ( τ) A n −1 (3.57) Az állapotegyenlet megoldása így az alábbi zárt alakban adódik t t 0 0 x ( t) = b ∫ α o ( τ) u( τ) d τ + Ab ∫ α 1 ( τ) u( τ) d τ +  + A n −1 t b ∫ α n-1 ( τ) u( τ) d τ (3.58) 0 Az egyenlet jobb oldala tehát az [ Mc = b ] Ab  A n −1b (3.59) irányíthatósági (controllability) mátrix oszlopainak a lineáris kombinációja. Ezért az a feltétel, hogy az állapottér minden pontját elérhessük, azt jelenti, hogy az Mc -nek n darab lineárisan független oszlopának kell lennie, azaz Mc invertálható,

reguláris legyen. Mivel Mc az A-tól és b-tôl függ, ezért az A; b pár irányíthatóságáról is szokás beszélni. Az elôzô megállapításokat értelemszerûen a kimenôjelre vonatkoztatva a kimeneti irányíthatóság feltétele, hogy [ ] m cT = c T b c T Ab  c T A n −1b legalább egy eleme nem zérus. (3.60) 119 A (3.46) irányítható kanonikus alak irányíthatósági mátrixa speciális 1 a1 a2  0 1 a1 c  Mc =     0 0 0 0 0 0 −1  an −1    an − 2       a1   1  (3.61) ( ) amit az alábbiak szerint láthatunk be egyszerûen, ha képezzük az Mcc Mcc [b c Ac bc 1 a1  0 1 n −1  ( Ac ) bc    0 0 0 0 a2 a1  0 0 ] −1 szorzatot  an −1    an − 2     = [w o w1 w 2  w n -1 ]   a1   1  (3.62) Az Ac és bc rendszermátrixok (3.47) szerinti speciális felépítése alapján írhatjuk, hogy

w o = bc w1 = a1bc + Ac bc (3.63)  w n -1 = an -1bc + an -2 Ac bc +  + ( Ac ) n -1 bc ahol a következô rekurzív összefüggés áll fenn w k = ak bc + Acw k −1 (3.64) A rekurzív összefüggés felhasználásával [wo w1 w 2 1  0  w n -1 ] = 0   0 0 1 0  0 0 0 1  0      0  0 0 = I   1 (3.65) adódik, ami bizonyítja a (3.61) érvényességét Az irányítható kanonikus alakkal - amelyet mindig átviteli függvénybôl képezünk - kapott speciális Mcc mindig reguláris, mivel egy reguláris mátrix inverze. (Háromszögmátrix determinánsa a fôátlóbeli elemek szorzata, ami most egy.) Innen adódik a kanonikus alak elnevezése és ezért erre az alakra csak a megfigyelhetôség (lásd késôbb) vizsgálható az Ac ;c cT pár segítségével. Érdekes kérdés, hogy a z = T x lineáris transzformáció hogyan befolyásolja az irányíthatósági mátrixot. A (329) egyenletek

alapján írhatjuk 120 b˜ = T b ˜ b˜ = T AT −1 T b = T A b A (3.66)  ˜ n −1 b˜ = T A n −1 b A amelyek alapján [ ˜ = b˜ M c ] [ ˜˜  A ˜ n −1b˜ = T b Ab ] Ab  A n −1b = T Mc (3.67) −1 Az irányíthatósági mátrix fenti transzformációs alakja alapján a Tc = Mcc ( Mc ) transzformációs mátrix alkalmazásával minden irányítható rendszer irányítható kanonikus alakra hozható. Az irányíthatósági mátrixot azonban nem mindig - sôt általában nem - átviteli függvény alapján képezzük. Ilyenkor természetesen mindig közvetlenül az Mc irányíthatósági mátrix vizsgálatára van szükség. S u S 3.2 ábra Egy nem irányítható rendszer 3.1 Példa Egy megegyezô elsôrendû alrendszerekbôl álló rendszer (lásd a blokkvázlatot a 3.2 ábrán) teljes állapotegyenlete 1 d x −1 0 =  x +  u = Ax + bu d t  0 −1 1 (3.68) Az irányíthatósági mátrix Mc = [ b 1 −1 Ab] =

  1 −1 (3.69) amely szinguláris, így a rendszer nem irányítható. Az irányítás lényeges kérdése, hogy a kimenôjel érzékelésével valamennyi állapotváltozó megfigyelhetô-e. Erre a kérdésre a KÁLMÁN által bevezetett megfigyelhetôség ad választ Az irányíthatósággal rokon megfigyelhetôség arra ad választ, hogy egy ismeretlen állapotú rendszer kimenô- és bemenôjelének bizonyos ideig tartó mérése után rekonstruálható-e a mérés kezdetekor fennálló állapot. A rendszer megfigyelhetô, ha a to < t < tv intervallumban megfigyelt y ( t) és u( t) jelekbôl x ( to ) meghatározható. 121 A vizsgálatot elegendô u( t) ≡ 0-ra, tehát a kezdeti értékek által generált mozgásra elvégezni. Legegyszerûbben ismét kanonikus koordinátákban lehet megállapítani a megfigyelhetôséget. Ennek két kritériuma van: az y jel valamennyi kanonikus állapotváltozótól függjön; a rendszer pólusai különbözôk legyenek. Ha

ugyanis (338)-ban bármely γi zérus, a kimenôjel nem tartalmaz információt az érintett kanonikus állapotváltozóra, így azt a mérésekbôl nem lehet rekonstruálni. Ez annyit jelent, hogy ilyenkor a λ i sajátértékhez tartozó sajátvektorra semmilyen megfigyelés nem képez párhuzamos összetevôt, csak merôlegeset, tehát a megfigyelés hatása mindig a sajátvektorra merôleges síkban marad. A kanonikustól eltérô koordinátákban az állapováltozók kölcsönös összefüggése miatt az elôzôkben megfogalmazott feltételek nem ismerhetôk fel közvetlenül, ezért általánosabb kritériummal kell azokat helyettesíteni. Amikor az irányíthatóságot tárgyaltuk, akkor a rendszer kimenetét hanyagoltuk el. Most a megfigyelhetôség tárgyalásakor a rendszer bemenetét hanyagoljuk el, ahogy azt már említettük. Tekintsük tehát az alábbi rendszert dx = Ax dt (3.70) y =c x T A kimenôjel egymásutáni deriválásával kapjuk az  y   d y  

cT     T  d t  = c A  x  n -1     d y   T n −1  d t n -1  c A    (3.71) egyenletet, amely alapján a kimenôjel és deriváltjainak megfigyelésébôl az állapotvektor egyértelmûen meghatározható, ha az  cT   T  c A  Mo =      T n −1 c A  (3.72) megfigyelhetôségi (observability) mátrixnak n darab lineárisan független sora van. Azaz Mo nak invertálhatónak, regulárisnak kell lennie Mivel Mo az A-tól és c T -tôl függ, ezért az A;c T pár megfigyelhetôségérôl is szokás beszélni. (A (371)-ben ( n −1)-edrendûnél magasabb deriváltak számítására a CAYLEY -H AMILTON tétel következtében nincs szükség, lásd az F5. Függelék F-33 pontját) A megfigyelhetô kanonikus alak megfigyelhetôségi mátrixa speciális 122  1 0  1  a1 o  Mo = a2 a1     an −1 an − 2  0  0  0  1  a1 −1 0

 0 0  0 1 (3.73) ( ) amit az alábbiak szerint láthatunk be egyszerûen, ha képezzük az Moo  1 0  1  a1  a2 a1     an −1 an − 2  0  0  0  1  a1 −1 Mo szorzatot 0    wT  c oT    oT  0  T c A   w 0  o o  =  1        0  T   n −1 c o ( Ao )  w nT-1 1 (3.74) Az Ao és c oT rendszermátrixok (3.54) szerinti speciális felépítése alapján írhatjuk, hogy w oT = c oT w1T = a1c oT + c oT Ao (3.75)  w nT-1 = an -1c oT + an -2c oT Ao +  + c oT ( Ao ) n -1 ahol a következô rekurzív összefüggés áll fenn w kT = ak c oT + w kT−1 Ao (3.76) A rekurzív összefüggés felhasználásával 1  wT    oT  0  w1  = 0      T   w n -1 0  0 0  0  1 0  0 0 1  0 = I      0 0  1 (3.77)

adódik, ami bizonyítja a (3.73) érvényességét A megfigyelhetô kanonikus alakkal - amelyet mindig átviteli függvénybôl képezünk - kapott speciális Moo mindig reguláris, mivel egy reguláris mátrix inverze. (Háromszögmátrix determinánsa a fôátlóbeli elemek szorzata, ami most egy.) Innen adódik a kanonikus alak elnevezése, és ezért erre az alakra csak az irányíthatóság vizsgálható az Ao ; bo pár segítségével. Érdekes kérdés, hogy a z = T x lineáris transzformáció hogyan befolyásolja a megfigyelhetôségi mátrixot. A (329) egyenleteket felhasználva írhatjuk fel az 123 c˜ T = c T T −1 ˜ = c T T −1 T AT −1 = c T A T −1 c˜ T A (3.78)  ˜ n − 1 = c T A n − 1 T −1 c˜ T A egyenleteket, amelyeket mátrix alakra rendezve kapjuk, hogy  c˜ T   c T   T   T  ˜   c A  −1 c˜ A ˜ Mo =  T = Mo T −1 =        T n −1  T n −1 ˜  c A  c˜ A (3.79)

−1 A megfigyelhetôségi mátrix fenti transzformációs alakja alapján a To-1 = ( Mo ) Moo ( ) transzformációs mátrix (azaz To = Moo −1 Mo ) alkalmazásával minden irányítható rendszer irányítható kanonikus alakra hozható. A megfigyelhetôségi mátrixot azonban nem mindig - sôt általában nem - átviteli függvény alapján képezzük. Ilyenkor természetesen mindig közvetlenül az Mo megfigyelhetôségi mátrix vizsgálatára van szükség. S + y + S 3.3 ábra Egy nem megfigyelhetô rendszer 3.2 Példa Egy megegyezô elsôrendû alrendszerekbôl álló rendszer (lásd a blokkvázlatot a 3.3 ábrán) teljes állapotegyenlete d x −1 0 =  x = Ax d t  0 −1 (3.80) y = [1 1] = c T x A megfigyelhetôségi mátrix  1 1 Mo =   −1 −1 amely szinguláris, így a rendszer nem megfigyelhetô. (3.81) 124 A KÁLMÁN-féle dekompozíció Az irányíthatóság és megfigyelhetôség koncepciója lehetôvé teszi, hogy

megértsük egy lineáris rendszer struktúráját. Emlékezzünk, hogy az irányítható állapotok tere az irányíthatósági mátrix oszlopai által kifeszített altér. Ha ennek dimenziója n, akkor a teljes tér irányítható Vezessük be x c -t az irányítható, x c -t a nem irányítható állapotok jelölésére. Ekkor az állapotegyenlet d x c  A11  = d t x c   0 A12  x c  b1   +   u A22  x c   0  (3.82) alakú, ahol világosan látszik a struktúrából, hogy az x c állapotokat nem tudjuk befolyásolni uval. Hasonlóképpen vezessük be x o -t a megfigyelhetô, x o -t a nem megfigyelhetô állapotok jelölésére. Az így adódó állapotegyenlet d x o   A11  = d t x o  A21 y= [ c1T 0  x o    A22  x o  0 T ] (3.83) x o    x o  alakú, ahol jól látszik, hogy az x o állapotokra nem keletkezik kimenôjel komponens. u y

+ Sco + Sco Sco Sco 3.4 ábra Lineáris rendszer KÁLMÁN-féle dekompozíciója A lineáris rendszerek négy alrendszerre bonthatók, amelyek - Sco irányítható és megfigyelhetô - Sco irányítható és nem megfigyelhetô - Sco nem irányítható és megfigyelhetô - Sco nem irányítható és nem megfigyelhetô x co x co x co x co ahol a megfelelô állapotváltozókat is feltüntettük. A lineáris rendszer teljes KÁLMÁN -féle dekompozíciója így x co   A11    d x co  A21 = d t x co   0    x co   0 [ y = c1T 0 A22 0 0 0T A13 A23 A33 A43 c 2T 0  x co  b1      A24  x co  b2  u = Ax + bu + 0  x co   0      A44  x co   0  ] 0T x (3.84) 125 Az egyes alrendszereket feltüntetô blokkvázlat a 3.4 ábrán látható A hatásvázlat nyilait követve megállapíthatjuk, hogy a bemenôjel az Sco és Sco alrendszereket

befolyásolja, a kimenôjel pedig csak az Sco és Sco alrendszerektôl függ. Az Sco alrendszer sem a bemenethez, sem a kimenethez nem kapcsolódik. Egyszerû számítással kapjuk, hogy a teljes rendszer átviteli függvénye −1 P ( s) = c1T ( s I − A11 ) b1 (3.85) azaz teljes mértékben meghatározott az Sco alrendszerrel. Megfordítva is mondhatjuk, hogy az átviteli függvénybôl csak a teljes rendszer Sco irányítható és megfigyelhetô alrendszere adható meg. Közös pólus és zérus hatása A KÁLMÁN -féle dekompozícióval megmagyarázható az irányítás egy régóta fennálló problémája, nevezetesen pólusok és zérusok kiejtése. A probléma illusztrálásához tekintsük a következô példát. 3.3 Példa Legyen a folyamat átviteli függvénye P ( s) = Y ( s) s − 1 = =1 U ( s) s − 1 (3.86) azaz a számláló és a nevezô közös gyököt tartalmaz, tehát egy zérus és egy pólus megegyezik. A mostani esetben ez a közös gyök labilis pólust

is jelent egyben. Egyszerûen belátható, hogy a (3.86) átviteli függvénynek formálisan a következô differenciálegyenlet felel meg dy du −y= −u dt dt (3.87) A differenciálegyenlet integrálásával kapott megoldás y ( t) = u( t) + c e t (3.88) ahol c egy konstans. Kiejtésnél tehát soha nem szabad elfelejtenünk, hogy az állapotegyenlet teljes megoldása a (3.18) szerinti, azaz szerepel benne a kezdeti feltétel is, amelynek dinamikája (magára hagyott rendszer) a teljes rendszer pólusaitól függ, az esetleg kiejtett pólustól is. Ha ez a pólus labilis, akkor ennek nem eltûnô hatása kedvezôtlenül meg fog jelenni a megoldásban. A (3.86)-ból a póluskiejtés után kapható triviális y ( t) = u( t) rendszer nyilvánvalóan nem egyezik meg a (3.88)-cal A (386) egyenlet azonos átalakítással a következô alakra hozható P ( s) = bo + 0 b1 b = d + 1 = 1+ s −1 s −1 s −1 (3.89) Ezen egyenlet alapján egyszerûen felírhatunk egy irányítható

kanonikus alakot d x1 = x1 + u dt ; y=u (3.90) 126 amely nem megfigyelhetô, és egy megfigyelhetô kanonikus alakot d x2 = x2 dt y = x2 + u ; (3.91) amely nem irányítható. A (3.90) és (391) rendszeregyenletek alapján a 35 ábrán bemutatjuk a teljes rendszer K ÁLMÁN-féle alakját, amely az Sco , Sco és Sco alrendszerekbôl áll. Az Sco egy statikus rendszer P ( s) = 1 átviteli függvénnyel. Az Sco nem megfigyelhetô, de irányítható alrendszer, az Sco pedig nem irányítható, de megfigyelhetô alrendszer. Sco y u Sco Sco d x1 = x1 dt d x2 = x2 dt 3.5 ábra A (386) átviteli függvényû tag teljes KÁLMÁN-féle alakja Jegyezzük meg, hogy ha a folyamat átviteli függvénye adott, akkor elôször azt kell megvizsgálnunk, hogy a számláló és a nevezô polinomjainak van-e közös osztója. A közös osztó csak közös gyök lehet. Célszerû a közös gyökökkel mindaddig egyszerûsíteni, amíg további közös osztó már nincs. Az ilyen

polinomokat relatív prímeknek nevezzük Egy P ( s) = B ( s) A ( s) átviteli függvényt nem redukálhatónak (egyszerûsíthetônek) nevezünk, ha az A ( s) és B ( s) polinomok relatív prímek, aminek algebrai feltétele, hogy a A( s)X ( s) + B ( s)Y ( s) = 1 (3.92) speciális DIOPHANTOS -i (vagy BEZOUT ) egyenletnek (lásd még a 9. Fejezetben) legyen megoldása (azaz a vonatkozó SYLVESTER mátrix reguláris legyen). Ha folyamatot leíró átviteli függvény nem redukálható, akkor a neki megfelelô állapotegyenlet a KÁLMÁN-féle alak Sco irányítható és megfigyelhetô alrendszerének felel meg, és a többi alrendszer nem létezik. A (3.90) és (391) egyenleteket általánosíthatjuk arra az esetre, amikor egy irányítható és megfigyelhetô Sco A; b;c T ; d rendszer nem redukálható P ( s) átviteli függvényében a számlálót és a nevezôt is egy valós p pólusnak megfelelô ( s − p ) közös tényezôvel bôvítjük. Az erre az általános esetre

vonatkozó redundáns nem irányítható és nem megfigyelhetô rendszer állapotegyenlete: {  x˙   A    x˙ r = x˙ 1 = 0 T x˙ 1 0 T [ y = cT ] } 0 0   x  b     p 0 x1 + 1 u = Ar x r + br u . 0 p x1 0 0 1 x r + d u = c rT x r + d u (3.93) 127 Fordított inga A következôkben megvizsgáljuk a 2.6 pontban tárgyalt mozgó fordított inga legegyszerûbb alapesetét, amikor az inga felfüggesztése rögzített A példát azért tárgyaljuk, mert segítségével ezen fejezet szinte minden fontosabb módszerét bemutathatjuk a lineáris modell alkotástól kezdve az irányít-hatóság és megfigyelhetôség vizsgálatáig. g α 3.6 ábra A fordított inga sematikus rajza J A 3.6 ábrán látható egyszerû sematikus formában ábrázolt fordított inga állapotegyenletéhez vezessük be a következô állapotváltozókat: x1 = α és x 2 = d α d t .

(Tehát elmozdulási szög és szögsebesség) Az elfordulási középpontra számított nyomatékok egyenlôségébôl d2 α = m g l sin(α ) + m u g l cos(α ) d t2 (3.94) ahol az idealizált, tömeg nélküli l hosszúságú inga végén koncentráljuk az m tömeget, és J -vel jelöljük a forgáspontra számított inerciát. A beavatkozó jel a vízszintes irányú ug értékû (azaz g-ben mért) gyorsulás, a kimenôjel pedig az α szögelfordulás. A nemlineáris állapotegyenlet    dα d t  x2 dx  =  = x˙ = f ( x , u) = mgl  m g l u  sin(d α d t) + cos(α) sin( x1 ) + u cos( x1 ) dt  J  J y = α = x1 (3.95) ahol J mgl -t választva idôegységnek kapjuk a második, normalizált egyenletet. Az állapotegyenlet tehát egy nemlineáris, idôinvariáns másodrendû nemlináris vektor differenciál egyenlet. Linearizáljuk az egyenletet zérus beavatkozó jel esetében. Az egyensúlyi pont ilyenkor  x 2  0 ẋ = 0 = f ( u

= 0) =  =  sin( x1 ) 0 x2 = d α d t = 0 ; sin( x1 ) = sin(α) = 0 (3.96) amelyhez az α = 0 és az α = π egyensúlyi pontok tartoznak. Az elsô egyensúlyi pontban az inga pontosan felfelé áll, a másodikban pedig lefelé. Képezzük az f ( x,u) függvény x-szerinti és u-szerinti elsôrendû deriváltját 0 1 d f ( x ,u)  =  dx cos( x1 ) − u sin( x1 ) 0 ; d f ( x,u)  0  =  du cos( x1 ) A felsô pontban ( u = 0; x1 = 0 és x 2 = 0 ) kiértékelve a deriváltakat az (3.97) 128 0 1 A =  1 0 0 b =  1 ; c T = [1 0] ; (3.98) paraméter mátrixokat kapjuk. Számítsuk ki az átviteli függvényt −1 G( s) = c T ( sI − A) b = = 1  s −1 det   −1 s [1 s 1 0 0]   = 1 s 1 (3.99) 0 1 1 1 1 = s [ ]  = 2 2 s −1 1 s − 1 ( s + 1)( s − 1) Az s = 1 gyök mutatja, hogy ebben a munkapontban a

rendszer labilis. Egyszerûen ellenôrizhetjük, hogy az irányíthatósági mátrix 0 1 Mc =   1 0 (3.100) ami jól láthatóan reguláris, tehát a rendszer irányítható. Egyszerûen ellenôrizhetjük, hogy a megfigyelhetôségi mátrix 1 0 Mo =   0 1 (3.101) ami jól láthatóan reguláris, tehát a rendszer megfigyelhetô is. A feladat egyszerûségénél fogva a fordított inga DI irányítása világszerte tipikus és látványos laboratóriumi példa labilis folyamat szabályozására. (A feladat bonyolultsága ugrásszerûen növekszik több inga egymásra helyezésével.) Az alsó pontban ( u = 0; x1 = π és x 2 = 0 ) kiértékelve a deriváltakat pedig az  0 1 A =  −1 0 ;  0 b =  −1 ; c T = [1 0] (3.102) paraméter mátrixokat kapjuk. Számítsuk ki az átviteli függvényt −1 G( s) = c T ( sI − A) b = = 1 s −1 det   1 s [1  s 1  0  0 1 0]

 [s 1]   =  = 2 −1 s −1 s + 1 −1 (3.103) −1 −1 = s + 1 ( s + j )( s − j ) 2 A képzetes tengelyen elhelyezkedô gyökök jelzik, hogy ebben a munkapontban a folyamat egy csillapítás nélküli lengô (oszcillátor) rendszer. Ne felejtsük el, hogy a modellben semmilyen csillapítási hatást (lég- vagy közönséges surlódást) nem vettünk figyelembe. Az elôzôkhöz hasonló egyszerû számításokkal kapjuk, hogy ebben a munkapontban is 129 irányítható és megfigyelhetô a rendszer. 4. A NEGATÍV VISSZACSATOLÁS 129 4. A negatív visszacsatolás Az irányítás célja annak biztosítása, hogy egy folyamat kimenôjele minél pontosabban kövesse az alapjelet, minél jobban kiküszöbölje a zavarások hatását, kevéssé legyen érzékeny a mérési zajokra és a folyamat paramétereinek pontatlanságaira. Az irányítás tervezése során olyan rendszert kívánunk létrehozni, amellyel az elôírt minôségi

követelmények biztosíthatók, továbbá a szabályozó mûszakilag reálisan megvalósítható, valamint gazdasági és esetleges egyéb szempontoknak (pl. környezetvédelem) is megfelel 4.1 Irányítás nyitott és zárt körben Ha az ítéletalkotáshoz az információt nem a folyamat kimenôjelérôl, hanem más forrásból vesszük, vagy elôzetes ismereteket használunk fel, vezérlésrôl beszélünk. Ilyenkor az irányítás nyitott körben valósul meg (4.1 ábra) Az ábrán P a folyamat, C az irányító berendezés átviteli függvényét jelöli, r az alapjel, y a folyamat kimenôjele, y ni a bemeneti, y no a kimeneti zavarás. 4.1 ábra Vezérlés Az alapjelkövetés ideális lenne, ha az irányító berendezés a folyamat átviteli függvényének inverzét valósítaná meg. Vezérléssel megvalósítható az alapjelkövetés, azonban a vezérlés nem képes a zavarások hatásának kiküszöbölésére. A mérhetô kimeneti zavarás kiküszöbölhetô a zavarás

elôrecsatolásával, az ún. zavarkompenzációval a 4.2 ábra szerint 4.2 ábra Vezérlés zavarkompenzációval A folyamat tökéletes inverze többnyire nem realizálható. (Ha például a folyamat holtidôs késleltetést tartalmaz, annak inverze a folyamat jövôbeni értékeinek megadását jelentené. Ha az inverz átviteli függvény számlálója magasabbfokú, mint a nevezôje, a jelátvitel fizikailag ugyancsak nem megvalósítható.) A folyamat közelítô inverze létrehozható, ha egy nagy K erôsítési tényezôjû erôsítôt negatívan visszacsatolunk a folyamat modelljét leíró átviteli függvénnyel (4.3 ábra) A vezérlô egységet leíró átviteli függvény: 4.3 ábra Vezérlés a folyamat inverzét közelítô taggal Ĉ = K 1 1 = ≈ 1 + KP ( s) 1 + P s ( ) P (s) K (4.1) 130 Az irányítás negatív visszacsatolás útján valósul meg, ha a folyamat beavatkozó jelét a mért jellemzô és annak kívánt, elôírt értéke közötti különbség

befolyásolja. A mért érték rendszerint az y z mérési zajjal terhelt. Az e rendelkezôjel alapján a C szabályozó létrehozza az u beavatkozójelet, amely módosítja a P szakasz kimenôjelét. A folyamat kimenôjele a folyamat dinamikájától függô módon addig változik, amíg a kimenôjel el nem éri kívánt értékét. A negatív visszacsatolással létrejövô irányítást szabályozásnak nevezzük. A szabályozás hatásvázlatát a 4.4 ábra adja meg Sokszor az alapjelet egy F átviteli függvényû taggal szûrjük (az ábrán szaggatottan jelölve). 4.4 ábra Szabályozási kör Összehasonlítva a 4.3 és 44 ábrát látható, hogy a zavaró hatásoktól és a mérési zajtól eltekintve, továbbá F = 1 feltételezésével a két kapcsolás egyenértékû, ha a szabályozási körben C = K arányos szabályozót alkalmazunk. Mivel azonban a szabályozási körben nem a beavatkozójelet, hanem a szakasz kimenôjelét csatoljuk vissza, a szabályozás a

zavarások és a mérési zaj hatásának elnyomására is alkalmas kell, hogy legyen. A szabályozási körben bármilyen hatás következtében tér is el a szabályozott jellemzô a kívánt értékétôl, a rendelkezôjel zérustól eltérô lesz, és beavatkozójel jön létre az eltérés kiküszöbölésére. A szabályozási struktúrában a legjobb alapjelkövetés akkor érhetô el, ha a C szabályozót úgy tervezzük meg, hogy az u beavatkozójel és az r alapjel LAPLACE transzformáltjai között az eredô átviteli összefüggés, U ( s) R( s) = C (1 + CP ) a folyamat modelljének inverzét adja. Amennyiben a pontos inverz nem realizálható, annak legjobb realizálható közelítését kívánjuk megadni. (Megjegyezzük, hogy a folyamat inverze rendszerint csak egy adott frekvenciatartományban közelíthetô jól.) A vezérlés és a szabályozás összehasonlítását megadtuk az 1. Fejezetben A továbbiakban a szabályozás alapvetô tulajdonságait tárgyaljuk. 4.2 A

negatívan visszacsatolt szabályozási kör alapvetô tulajdonságainak szemléltetése A negatív visszacsatolás alapvetô tulajdonságait néhány egyszerû példán mutatjuk be. Stabilitás A szabályozástól megkívánjuk, hogy véges bemenôjel változásra véges kimenôjel változással válaszoljon, vagyis álljon be egy állandósult állapot. A negatívan visszacsatolt szabályozási körben felléphetnek állandó vagy egyre növekvô amplitúdójú lengések. A jelenség oka, hogy a beavatkozási döntés végrehajtását a folyamat dinamikája késlelteti. A szabályozási körben lévô nagy erôsítések pedig oly mértékben növelhetik a jelek kedvezôtlen tehetetlen változását, hogy a szabályozás nem lesz képes egy állandósult érték elérésére. A stabilitás problémakörét az 5. Fejezet tárgyalja részletesen Alapjelkövetés A negatív visszacsatolással megvalósított szabályozással az alapjelet szeretnénk minél pontosabban követni. A 45

ábrán látható szabályozási körben a szakasz egytárolós arányos tag, 131 a szabályozó pedig arányos tag. Ha egységugrás alapjelet kívánunk követni, a rendszerben állandósult hiba fog fellépni, mivel csak egy állandó bemenôjel képes állandó kimenôjelet létrehozni az egytárolós arányos tag kimenetén. Az állandósult hiba nagysága eáll = 1 (1 + AP A) . Értéke annál kisebb, minél nagyobb a K = AP A ún hurokerôsítés vagy körerôsítés. Az állandósult állapotbeli statikus pontosság biztosítható, ha az arányos szabályozó helyett integráló szabályozót alkalmazunk. Ugyanis az integrátor kimenete akkor állandósul, ha bemenôjele (az e rendelkezôjel) állandósult állapotban végülis zérusra áll be. 4.5 ábra Szabályozási kör arányos szabályozóval 4.6 ábra Labilis szakasz stabilizálható negatív visszacsatolással 4.7 ábra A visszacsatolás csökkenti a zavarás hatását Labilis folyamat stabilizálása Negatív

visszacsatolással stabilizálhatunk egy labilis folyamatot. 4.1 Példa Tekintsük a 4.6 ábrán látható szakaszt Egységugrás alapjelre a zárt kör kimenôjele: ( ) y ( t ) = L −1{K s( s − 2)} = K e 2 t − 1 2, amely t ∞ esetén végtelenhez tart. Negatívan visszacsatolva egy β arányos taggal a kapcsolás eredô átviteli függvénye: K Y ( s) K T ( s) = = s−2 = R( s) 1 + Kβ s + Kβ − 2 s−2 A visszacsatolt rendszer stabilis, tranziensei lecsengenek, ha Kβ > 2. A zavarás hatásának csökkentése a kimenôjelben A 4.7 ábrán látható nyitott körben a zavarás teljes egészében megjelenik a kimeneten A negatívan visszacsatolt körben a zavarás hatása 1 (1+ Aβ) , vagyis a visszacsatolás annál jobban 132 csökkenti a zavarás hatását, minél nagyobb az Aβ hurokerôsítés értéke. A visszacsatolás javíthatja a tranziens viselkedést Tekintsük a 4.8 ábrán látható egytárolós arányos tagot A konstans β visszacsatolással az eredô

átviteli függvény: T ( s) = Y ( s) K 1 1 . = = K′ T R( s) 1 + βK 1 + s 1 1 + sT1′ 1 + βK Az idôállandó lecsökkent, tehát gyorsabb a rendszer viselkedése. Ugyanakkor az átviteli tényezô is lecsökkent, amit általában kompenzálni kell. 4.8 ábra A visszacsatolás módosítja a tranziens viselkedést A visszacsatolás csökkenti a folyamat érzékenységét a paraméterváltozásokra A 4.9 ábrán a visszacsatolás nélkül az arányos tag átviteli tényezôje 10 A visszacsatolt kör átviteli tényezôje legyen ugyanennyi. A1 1 + A1β = 10 Válasszuk A 1 értékét 1000-re Ezzel ( ) β = 0.099 Ha a bemenôjel értéke 10, mindkét rendszerben a kimenôjel értéke 100 Csökkenjen az A illetve az A 1 átviteli tényezô értéke 2%-kal: A = 9.8 és A 1= 980 A kimenôjel értéke az eredeti rendszerben ekkor 98, míg a visszacsatolt rendszerben 99.98 A visszacsatolt körben a paraméterváltozás miatt fellépô hiba a visszacsatolás nélküli kör

hibájának (1 + A 1β) -adrésze. 4.9 ábra A visszacsatolással a rendszer érzéketlenebbé válik a paraméterváltozásokra 4.10 ábra A nagy erôsítések tartományában a visszacsatolás a visszacsatoló tag közelítô inverzét képezi A nagy erôsítések tartományában a visszacsatolás a visszacsatoló tag közelítô inverzét képezi Tekintsük a 4.10 ábrán látható kapcsolást A H1 ( s) átviteli tagot a H 2 ( s) átviteli tagon keresztül csatoljuk vissza negatívan. Az eredô átviteli függvény: H ( s) = H1 ( s) [1 + H1 ( s) H 2 ( s)] Az eredô frekvenciafüggvényt tekintve abban a frekvenciatartományban, ahol H1 ( jω) H 2 ( jω) 133 sokkal nagyobb 1-nél, az eredô a H 2 átviteli tag inverzét közelíti. Ahol a nyitott kör frekvenciafüggvényének abszolút értéke 1-nél sokkal kisebb, az eredô az elôrevezetô ág H1 frekvenciafüggvényének menetét közelíti. A visszacsatolásnak linearizáló hatása van Tekintsük a 4.11a ábrán

látható statikus nemlineáris karakterisztikát A karakterisztika három linearizált tartományra osztható, ahol az arányos átviteli tényezôt az adott munkaponthoz illesztett egyenes A meredeksége adja meg. Az arányos visszacsatolás értéke legyen β A visszacsatolt körben az egyes tartományokban a meredekség, vagyis a visszacsatolt linearizált részrendszer átviteli tényezôje A (1+ Aβ) . Minél nagyobb az Aβ tényezô értéke, annál jobban megközelíti az átviteli tényezô az 1 / β értéket, és függetlenné válik az egyes szakaszok A meredekségétôl. A 411b ábra feltünteti a visszacsatolt részrendszerek átviteli tényezôit β = 10 és β = 100 esetére. Látható, hogy az egyes résztartományok meredeksége közel azonos, a karakterisztika közel lineáris az egész tartományra. (a) (b) Visszacsatolt statikus karakterisztika A visszacsatolásnak linearizáló hatása van 4.11 ábra Integrátor statikus nemlineáris taggal való

visszacsatolásával elôállítható az inverz karakterisztika Tekintsük a 4.12 ábrán látható kapcsolást Egy integrátort egy kvadratikus statikus nemlineáris taggal csatolunk vissza negatívan. Mivel az integrátor kimenôjele akkor állandósul, ha bemenôjele, vagyis a hibajel zérus, r = y 2 , és y = r , vagyis a kapcsolás a visszacsatoló nemlinearitás inverzét állítja elô. 4.12 ábra Integrátor nemlineáris taggal való visszacsatolásával elôállítható az inverz karakterisztika 4.3 A visszacsatolt mûveleti erôsítô A telefon feltalálásával, a távközlés fejlôdésével visszacsatolt nagy átviteli tényezôjû erôsítôket alkalmaztak a hosszú távvezetékeken létrejövô jelcsillapítások kompenzálására. BLACK találmánya, a negatívan visszacsatolt erôsítô (1927) olyan stabilis megoldást jelentett, amely az elektroncsövekbôl felépített erôsítô érzékenységét a karakterisztika megváltozására csökkentette, 134 és az

erôsítô nemlineáris karakterisztikáját is nagymértékben linearizálta. Az integrált áramköri elemekbôl felépített mûveleti erôsítôt szabályozási körökben is alkalmazzák erôsítésre és jelformálásra. 4.13 ábra Visszacsatolt mûveleti erôsítô Vizsgáljuk a visszacsatolt mûveleti erôsítô jelátviteli tulajdonságait. A kapcsolást a 413 ábra mutatja. A bemenô és a visszacsatoló ágba ellenállást, kondenzátort vagy ezek valamilyen kapcsolását tehetjük. Az egyszerûség kedvéért legyen a bemenô és a visszacsatoló ágban is ellenállás. Az erôsítô G erôsítése igen nagy érték (10 4 − 10 8 nagyságrendû) 4.14 ábra Visszacsatolt mûveleti erôsítô egyenértékû hatásvázlatai Határozzuk meg az erôsítô átviteli függvényét és adjuk meg hatásvázlatát. A kimenô feszültség: U 2 = −GU (4.2) Ha az erôsítôbe befolyó I áram elhanyagolható (az erôsítô bemeneti ellenállása nagy), az erôsítô bemeneti

pontjára az alábbi KIRCHHOFF csomóponti törvény írható fel: U1 − U U − U 2 = R1 R2 Ez utóbbi összefüggésbôl fejezzük ki U -t. (4.3) 135 U= R2  R1  U1 + U 2  R1 + R2  R2  (4.4) Ezt behelyettesítve U 2 kifejezésébe az alábbi egyenlet adódik: U2 R =− 2 U1 R1 1 1 R  1 + 1 + 2  G  R1  (4.5) Látható, hogy G ∞ esetén a két ellenállás viszonya határozza meg az eredô átviteli tényezôt. G nagy értékeire, annak változása mellett is az átviteli tényezô igen stabilan tartja értékét. (Megjegyezzük, hogy ellenállástól eltérô Z1 és Z2 impedanciák mellett az átvitel közelítôen −Z2 / Z1, és az impedanciák jellegétôl függôen különbözô matematikai mûveletek realizálhatók.) A fenti összefüggések alapján felrajzolható a visszacsatolt erôsítô hatásvázlata (4.14 ábra) Az ábra a hatásvázlat három egyenértékû változatát adja meg. 4.4 A szabályozási kör eredô

átviteli függvényei A szabályozási kör viselkedése vizsgálható a kimenô és bemenôjelek közötti kapcsolatokat megadó eredô átviteli függvényekkel. Mivel lineáris szabályozási rendszert vizsgálunk, érvényes a szuperpozíció elve. Az egyes bemenôjelek hatása összegzôdik a kimenôjelben Határozzuk meg az eredô átviteli összefüggéseket az y szabályozott jellemzô, az e rendelkezôjel, az u beavatkozójel mint kimenôjelek és az r alapjel, az y no kimeneti zavarás, az y ni bemeneti zavarás és az y z mérési zaj mint bemenôjelek között. A 4.4 ábra alapján az egyes jelek közötti kapcsolatok az alábbi összefüggésekkel adhatók meg: Y ( s) = F ( s)C ( s) P ( s) P ( s) C ( s) P ( s) 1 R( s) + Yno ( s) + Yni ( s) − Yz ( s) (4.6) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) E ( s) = F ( s) P ( s) 1 1 R( s) − Yno ( s) − Yni ( s) − Yz ( s) (4.7) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P

( s) U ( s) = F ( s)C ( s) C ( s) C ( s) P ( s) C ( s) R( s) − Yno ( s) − Yni ( s) − Yz ( s) (4.8) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) A fenti összefüggések alapján a bemenôjelek ismeretében a kimenôjelek meghatározhatók. Az idôfüggvények alapján megállapítható, hogy a szabályozás eleget tesz-e a minôségi elôírásoknak. Hangsúlyozni kell, hogy az egyes bemenôjelek energiatartalma általában más-más frekvenciatartományba esik. Az alapjel és a zavarások rendszerint kisfrekvenciás összetevôkbôl állnak, míg a mérési zaj többnyire zérus átlagú, nagyfrekvenciás összetevôket tartalmazó jel. Ha az adott bemenôjelre vonatkozó eredô átviteli függvény frekvenciafüggvényének amplitúdó függvénye egy frekvenciatartományban közel egységnyi, akkor a rendszer átviszi, követi az ebbe a tartományba esô jel komponenseket, ha viszont a zérust közelíti, a rendszer az adott jelet elnyomja.

136 Látható, hogy minden egyes eredô átviteli függvény nevezôje azonos. Ez a kifejezés, 1+ C ( s) P ( s) adja a szabályozási kör karakterisztikus polinomját. A karakterisztikus polinom gyökei határozzák meg a szabályozás stabilitását és tranzienseinek dinamikus tulajdonságait. A stabilitáshoz, a kimenôjel tranzienseinek lecsengéséhez szükséges, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökei a komplex számsík bal oldalán helyezkedjenek el. A stabilitásvizsgálat módszereivel az 5. Fejezet foglalkozik A (4.7) összefüggésbôl látható, hogy amennyiben az F ( s) szûrô egységnyi átviteli tényezôjû arányos tag, az alapjelkövetés hibája és a kimeneti zavarás kiküszöbölésének hibája megegyezik, tehát a szabályozás ugyanolyan dinamikával és statikus hibával követi az alapjelet, mint ahogy a kimeneti zavarást elhárítja. Az F ( s) szûrô megfelelô megválasztásával biztosíthatjuk, hogy az alapjelkövetés és a zavarelhárítás

tulajdonságai különbözôk legyenek. Ha F ( s) = 1, egy szabadságfokú (1DOF - One Degree of Freedom), ha F ( s) egy megadott átviteli függvény, két szabadságfokú (2DOF - Two Degree of Freedom) szabályozásról beszélünk. 1DOF esetben 4, 2DOF esetben 6 eredô átviteli függvény határozza meg az eredô jelátviteli viszonyokat az y és u kimenôjelek valamint a bemenôjelek: az alapjel, a kimeneti zavarás és a mérési zaj között. Mivel az y ni zavarás mindig áttranszformálható egyenértékû kimeneti zavarássá, továbbá az elôjelek figyelmen kívül hagyhatók, így elegendô az alábbi 6 eredô átviteli függvényt vizsgálni: FCP CP P ; ; 1 + CP 1 + CP 1 + CP FC C 1 ; ; 1 + CP 1 + CP 1 + CP (4.9) Az elsô oszlop az alapjelkövetést, a 2. és 3 oszlop a zavarások és a mérési zaj elhárítását jellemzi. Ha F ( s) = 1, a 2 és a 3 oszlop adja meg a 4 jellemzô átviteli függvényt Ezeket mátrixba rendszerezve kapjuk a zárt rendszer átviteli

mátrixát. A szabályozási kör stabilitásának biztosításához valamennyi eredô átviteli függvénynek stabilisnak kell lennie. Mindegyik eredô átviteli függvénynek biztosítania kell az adott bemenô és kimenôjel között elôírt dinamikus viselkedést. Szokásos szabályozótervezési eljárás a P szakasz kedvezôtlen pólusainak kiejtése a C szabályozó zérusaival. Látható azonban, hogy a P szakasz dinamikája megmarad a kimenôjelnek a bemeneti zavarásra vonatkozó eredô átviteli függvényében. Nem szabad a szakasz labilis pólusait kiejteni, mivel azok ugyan láthatatlanná válnak a kimenôjel és az alapjel közötti kapcsolatban, azonban megjelennek a kimenôjel és a bemeneti zavarás közötti átviteli kapcsolatban. (Megjegyezzük, hogy még az alapjel és a kimenôjel vonatkozásában sem ejthetô ki pontosan a labilis pólus, mivel a paraméterek mérésbôl adódó pontatlansága vagy esetleges kis megváltozása esetén a kiejtés nem pontos,

és a labilitás fennmarad a rendszerben.) A szabályozó tervezését célszerû két lépésben végezni. Elôször a C szabályozót tervezzük meg a zavarások és mérési zaj elôírt mértékû kiküszöbölésére, majd az F szûrôt tervezzük meg a megfelelô alapjelkövetés biztosítására. A jó alapjelkövetéshez F ( s) = 1 esetén az úgynevezett kiegészítô érzékenységi függvénynek, azaz a T = CP (1 + CP ) eredô átviteli függvénynek minél jobban meg kell közelítenie az egységnyi átvitelt azokon a frekvenciákon, amelyek a bemenôjelre jellemzôk. Ez azt jelenti, hogy ezeken a 137 frekvenciákon megkívánjuk a CP >> 1 feltétel fennállását. Tekintsük továbbá az alapjelre vonatkozó E ( s) = 1 [1 + C ( s) P ( s)] eredô hibaátviteli függvényt, amelyet más néven érzékenységi függvénynek is neveznek. A hibajelben az idôtartományban a zárt rendszer pólusaiból és az alapjel pólusaiból származó komponensek is

létrejönnek. A tranziensek lezajlása után a hibajelben fennmaradnak az alapjelbôl származó kvázistacionárius komponensek. Ha C ( s) tartalmazza az alapjel pólusait, a hibajelben a szabályozó és az alapjel pólusai kiejtik egymást. Ekkor a statikus hiba az alapjelkövetéskor nullává válik Tehát C ( s) = K c R( s) , ahol K c >> 1. A zavarelhárítást tekintve a CP >> 1 feltétel biztosítása esetén a kimeneti és bemeneti zavarások hatására létrejövô hibajel közelítôleg: E ( s) ≈ −[1 C ( s) P ( s)] Yno ( s) − [1 C ( s)] Yni ( s) . A bemeneti zavarás jó elhárításához C ( s) = K c Yni ( s) szabályozó dinamikát célszerû választani, ahol K c >> 1. A kimeneti zavarás megfelelô elnyomását érhetjük el a szabályozó C ( s) = K c Yno ( s) választásával, ismét K c >> 1 biztosításával (feltéve, hogy a szakasz frekvenciafüggvényének amplitúdója nem nagy a zavarás jellemzô frekvenciatartományában). A jó

alapjelkövetéshez, illetve a jó zavarelhárításhoz tehát a szabályozónak tartalmaznia kell az alapjel, illetve a zavarójel dinamikáját. 4.2 Példa A szakasz átviteli függvénye: P ( s) = 1 (1 + 0.5 s) Legyen a szabályozó átviteli függvénye C ( s) = 0.5(1 + 05 s) s Az F elôszûrôvel gyorsítsuk a rendszer alapjelkövetését Átviteli tényezôje legyen egységnyi, kompenzálja a zárt szabályozási rendszer komplex konjugált pólusait, és helyettesítse azokat két egybeesô gyorsabb pólussal. 3 4.15 ábra A zárt szabályozási kör átmeneti függvényei ( Az elôszûrô átviteli függvénye legyen F ( s) = s2 + 1.161s + 07044 ) 0.7044 (1 + 04 s) A 2 4.15 ábra az egyes bemenôjelek és kimenôjelek közötti átmeneti függvényeket mutatja Látható, hogy a szabályozás dinamikája eltérô az alapjelre illetve a bemeneti zavarás hatására. Megfigyelhetô, hogy a szûrô alkalmazása gyorsítja a szabályozott jellemzô beállását. Ennek ára

a beavatkozójelben fellépô túlvezérlés. A 416 ábra a zárt szabályozási kör frekvenciafüggvényeit adja meg. A frekvenciamenetbôl következtetéseket lehet levonni az idôfüggvényekre vonatkozóan. Látható az is, hogy milyen frekvenciatartományban lesz hatásos a zavarelhárítás. Az ábra 3 görbéje például azt mutatja, hogy az ω = 1 körfrekvencia környékén szinusz alakú bemeneti zavarásra lesz a kimenôjelben a legnagyobb amplitúdójú a zavarás 138 hatása. A 6 görbébôl azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a szinuszos kimeneti zavarásokat a rendszer az ω = 1 körfrekvenciáig elnyomja, az annál nagyobb frekvenciájú zavarásokat azonban átviszi. A 4.15 ábra 2 görbéjébôl, illetve a 417 ábra ezzel azonos bal felsô görbéjébôl látható, hogy a szabályozás állandósult hiba nélkül követi az egységugrás alapjelet. A szabályozó integráló tagot tartalmaz, amelynek pólusa a nullában van. A szabályozó tehát

tartalmazza az egységugrás jel (LAPLACE transzformáltja 1/s) pólusát. Vizsgáljuk a kimenôjel lefolyását az adott szabályozóval F = 1 mellett az exponenciális r( t) = exp(−0.1t) alapjelre Az alapjel LAPLACE transzformáltja: R( s) = 1 ( s + 0.1) Az alapjelet és a kimenôjelet a 417 ábra jobb felsô görbéje mutatja Látható, hogy a követés nem pontos, a kezdeti tranziensek lezajlása után sem simul a kimenôjel a bemenôjelre. Legyen most a szabályozó átviteli függvénye C1 ( s) = 4 (1 + 05 s) (1 + 10 s) = = 0.4 (1 + 05 s) ( s + 01) A szabályozó átviteli függvényének pólusa megegyezik a bemenôjel pólusával. A jobb alsó ábra mutatja, hogy a kimenôjel a tranziensek lecsengése után pontosan követi az alapjelet. Viszont most a szabályozó nem tartalmazza az egységugrás alapjel pólusát, és így az egységugrásra adott válaszban mutatkozik statikus eltérés (bal alsó ábra). 4.16 ábra A zárt szabályozási rendszer frekvenciafüggvényei

4.17 ábra Az alapjel követése állandósult állapotban akkor hibamentes, ha a szabályozó tartalmazza az alapjel pólusát 139 4.5 Statikus jelátviteli tulajdonságok Ha a szabályozási kör stabilis, állandósult állapotbeli tulajdonságai a (4.6 - 48) összefüggések alapján a LAPLACE transzformáció végértéktételei alapján határozhatók meg. Szabályozási körök jelátviteli tulajdonságait, az alapjelkövetésnek illetve a zavarelhárításnak a pontosságát állandósult állapotban a szabályozás ún. típusszáma és körerôsítése (hurokerôsítése) határozza meg. A statikus pontosság függ a rendszerre ható alapjel vagy zavarás lefolyásától is. Tegyük fel, hogy a felnyitott kör átviteli függvénye L( s) = C ( s) P ( s) idôállandós alakban adott: L( s) = C ( s) P ( s) = K si c d j =1 e j =1 f j =1 j =1 ∏ (1 + sτ j ) ∏ (1 + 2ζ j τ oj s + s2 τ 2oj ) ∏ (1 + sT j ) ∏ (1 + 2ξ jToj s + s2To2j ) e− sT d = K Lt ( s)

si (4.10) Itt az i változó az ún. típusszám, az integrátorok számát adja meg (értéke 0, 1 vagy 2 lehet), K a körerôsítés vagy hurokerôsítés. L t ( s) a felnyitott kör tranziens viselkedését befolyásoló tényezôt jelöli. Lényeges jellemzôje, hogy az állandósult állapotot nem befolyásolja, L t ( s = 0) = 1. A szabályozás rendelkezôjelének (merev visszacsatolás esetén ez a hibajel) az alapjelre vonatkozó eredô átviteli függvénye, ami a rendelkezôjel és az alapjel L A P L A C E transzformáltjainak a hányadosa F ( s) = 1 esetén: E ( s) = si 1 R( s) R( s) = i 1 + L( s) s + K Lt ( s) (4.11) A hibajel állandósult értéke: lim e( t) = lim s E ( s) t ∞ s 0 (4.12) Vizsgáljuk a szabályozás alapjelkövetési tulajdonságait egységugrás, egységsebességugrás és egységgyorsulásugrás alapjelekre. Az alapjelek LAPLACE transzformáltja R( s) = 1 s j , j=1 egységugrás, j=2 sebességugrás és j=3 gyorsulásugrás alapjelre.

0-típusú szabályozás esetén az állandósult hiba 1 1 1 egységugrás alapjelre: lim e( t) = lim s = t ∞ s 0 s 1 + K Lt ( s) 1 + K 1 1 lim e( t) = lim s 2 =∞ (4.13) sebességugrás alapjelre: t ∞ s 0 s 1 + K Lt ( s) 1 1 gyorsulásugrás alapjelre: lim e( t) = lim s 3 =∞ t ∞ s 0 s 1 + K Lt ( s) 1-típusú szabályozás esetén az állandósult hiba s 1 lim e( t) = lim s =0 egységugrás alapjelre: t ∞ s 0 s s + K Lt ( s) 140 sebességugrás alapjelre: gyorsulásugrás alapjelre: 1 1 s = 2 t ∞ s 0 s s + K Lt ( s) K 1 s lim e( t) = lim s 3 =∞ t ∞ s 0 s s + K Lt ( s) lim e( t) = lim s (4.14) 2-típusú szabályozás esetén az állandósult hiba egységugrás alapjelre: sebességugrás alapjelre: gyorsulásugrás alapjelre: lim e( t) = lim s s2 1 =0 s s2 + K Lt ( s) lim e( t) = lim s 1 s2 =0 s2 s2 + K Lt ( s) t ∞ s 0 t ∞ s 0 (4.15) 1 1 s2 lim e( t) = lim s 3 2 = t ∞ s 0 s s + K Lt ( s) K Táblázatban összefoglalva az állandósult hiba

értékeit: Típusszám egységugrás alapjel, j=1 sebességugrás alapjel, j=2 gyorsulásugrás alapjel, j=3 0 1 1+ K 1 2 0 0 ∞ 1 K 0 ∞ ∞ 1 K A 0-típusú szabályozás az ugrásalakú alapjelet állandósult hibával követi, amely annál kisebb, minél nagyobb a szabályozási kör hurokerôsítése (4.18 ábra) Nagy erôsítés azonban a szabályozás labilitását eredményezheti. A 0-típusú szabályozás nem képes a sebesség- és gyorsulásugrás alapjelek követésére. 4.18 ábra A 0-típusú szabályozás az egységugrás alapjelet statikus hibával követi 4.19 ábra Az 1-típusú szabályozás a sebességugrást statikus hibával követi Az egy integrátort tartalmazó 1-típusú szabályozás állandósult hiba nélkül követi az ugrásalakú alapjelet. A sebességugrás alapjelet állandósult hibával képes követni (419 ábra) A gyorsulásugrás alapjelet azonban nem tudja követni. 141 A két integrátort tartalmazó 2-típusú

szabályozás állandósult hiba nélkül követi az ugrás- és sebességugrás alakú alapjeleket (4.20 ábra), és a gyorsulásugrásalakú alapjel követésére is képes állandósult hibával. 4.20 ábra A 2-típusú szabályozás a sebességugrást statikus hiba nélkül követi Látható, hogy korábbi, az alapjel pontos követésére vonatkozó megfontolással egyezôen a szabályozás akkor képes a nulla értékû pólust tartalmazó alapjel hiba nélküli követésére, ha a hurokátviteli függvény annyi nulla értékû pólust (integrátort) tartalmaz, ahány az alapjel nulla értékû pólusainak a száma. Ha a szakasz nem tartalmazza a kívánt statikus pontosság eléréséhez szükséges integrátorok számát, a szabályozóba kell beiktatni az integráló hatásokat. Az integrátor beiktatásának a statikus pontosságot növelô hatása a következô megfontolásokkal szemléltethetô. Ha a szabályozási kör 0-típusú, vagyis arányos jellegû, a kimeneten egy

állandó érték csak egy állandó bemenôjel esetén tartható fenn. Szükségszerû tehát egy állandó értékû rendelkezôjel, egy állandósult hiba létrejötte. Az integrátor olyan elem, amelynek kimenete akkor vesz fel állandó értéket, ha bemenetén végülis nulla értékûvé válik a jel. Ha integrátor van a szabályozási kör elôrevezetô ágában, egységugrás alapjel esetén a kimenôjel addig nô, amíg a rendelkezôjel – az integráló tag bemenôjele – zérussá nem válik. Ha az alapjel sebességugrás, az integrátor kimenetén az állandó meredekségû változást egy konstans bemenôjel tudja fenntartani, és ez egy állandósult rendelkezôjelet, vagyis egy állandó statikus eltérést jelent. Látható, hogy az integrátorok számának növelése a hurokban javítja a szabályozás statikus tulajdonságait. A hurokerôsítés növelése ugyancsak csökkenti a statikus követési hibát Az integrátorok számát azonban nem növelhetjük

tovább, mivel ez nehezen kezelhetô stabilitási problémákhoz vezetne. Az erôsítés növelése is stabilitási problémákat vethet fel A statikus pontosság és a stabilitás ellentmondó követelmények. A szabályozó tervezéssel kielégítô kompromisszumot kell létrehozni mindkét követelmény kielégítésére. r e C( s) u P( s) y - ye H ( s) 4.21 ábra Szabályozási kör hatásvázlata Zárt szabályozási körök állandósult állapotbeli (statikus) jelértékeinek kialakulását egy négysíknegyedes ábrával is szokták szemléltetni. Az összetett ábra tengelyeire a hibajel (e), az ellenôrzô jel ( y e ), a szabályozott jellemzô ( y) és a beavatkozó jel ( u) kerülnek. Általában 142 feltételezzük a pozitív értéktartományt. A hatásvázlatot a 421 ábra mutatja A szakasz és az érzékelô statikus karakterisztikája általában nemlineáris (a karakterisztikákat sokszor egy adott munkapont környezetében linearizáljuk).

Feltételezzük, hogy a szabályozás stabilis mûködésû e r eo ye u ro uo yo y 4.22 ábra 0-típusú szabályozás statikus jelleggörbéi 0-típusú szabályozás esetére a négynegyedes statikus jelleggörbéket a 4.22 ábra mutatja A különbségképzôt reprezentáló jobb felsô negyedben r-tôl függô egyenesek vannak. A szabályozó statikus karakterisztikája (bal felsô negyed) általában lineáris, esetleg telítôdô. A folyamat statikus karakterisztikája (általában nemlineáris) a bal alsó negyedben van, ahol a zavaró jellemzônek, a paraméterváltozásoknak a karakterisztikára gyakorolt hatása szemléltethetô. A jobb alsó negyed az érzékelô, mérô berendezés karakterisztikáját mutatja, ami sokszor szintén nemlineáris. 0-típusú szabályozásnál egységugrás alapjelre van maradó statikus hiba ( e(∞) ≠ 0). e r eo ≡ 0 u ye uo ro yo y 4.23 ábra 1-típusú szabályozás statikus jelleggörbéi A négynegyedes statikus

viszonyokat mutató ábrán követhetô, hogyan változik az állandósult állapot, ha például az alapjel megváltozik. Vizsgálni lehet, hogy ha a szakasz y ( u) statikus 143 karakterisztikája a paraméterváltozások hatására megváltozik, ez hogyan befolyásolja az állandósult állapotokat. A 4.23 ábra 1-típusú szabályozás esetére mutatja a statikus görbéket Mivel most ugrásalakú alapjelre az állandósult hiba zérus értékû, a síknegyedek a két alsó negyedre redukálódnak. Most elég lenne csak ezeket ábrázolni, az összehasonlíthatóság kedvéért azonban ugyanazt a koordinátarendszert adjuk meg. 4.6 A nyitott és a zárt kör frekvenciafüggvényeinek kapcsolata A nyitott kör (4.24 ábra) eredô átviteli függvénye L = CP az úgynevezett hurokátviteli függvény. A negatívan visszacsatolt zárt kör (425 ábra) eredô átviteli függvénye a kimenôjel és az alapjel között T = CP (1 + CP ) = L (1 + L) , amelyet kiegészítô

érzékenységi függvénynek is neveznek. Ennek alakulására közelítô megfontolásokat tehetünk 4.24 ábra Nyitott kör 4.25 ábra Zárt szabályozási kör Abban a frekvenciatartományban, ahol L( jω) >> 1 , T ( jω) ≈ 1; (4.16) abban a frekvenciatartományban, ahol L( jω) << 1 , T ( jω) ≈ L( jω) . (4.17) 4.26 ábra Nyitott és zárt rendszer tipikus frekvenciamenete A közelítések a vágási körfrekvencia környezetében természetesen nem érvényesek. A nyitott és a zárt rendszer tipikus amplitúdó-körfrekvencia menetét a 4.26 ábra szemlélteti A felnyitott kör integráló egytárolós szakasz. Az 1, 2, 3 görbék különbözô, egyre nagyobb hurokerôsítésre adják meg a nyitott és a zárt rendszer BODE amplitúdó diagramjait. Látható, hogy valóban a zárt kör diagramjai a nyitott kör vágási körfrekvenciájáig (ahol a nyitott kör BODE diagramja metszi a 0dB tengelyt) közelítôen az 1 értéken haladnak, azután pedig

követik a nyitott kör diagramjának menetét. Nagyobb hurokerôsítésnél a zárt rendszer görbéje kiemelést mutat a vágási körfrekvencia környékén, ami az átviteli függvényben konjugált komplex pólusok megjelenésére, az átmeneti függvényben pedig csillapodó lengésû tranziensekre utal. A 144 4.27 ábra a zárt kör átmeneti függvényeit mutatja a három különbözô hurokerôsítés értéknél 4.27 ábra Zárt szabályozási rendszer átmeneti függvényei Ha a zárt hurok amplitúdó diagramjában nincs kiemelés, a zárt kör közelíthetô egy egységnyi átviteli tényezôjû egytárolós arányos taggal, amelynek idôállandója az ω c vágási körfrekvencia reciproka: T ( s) ≈ 1 (1 + s ω c ) . A további idôállandó, amely a közelítô BODE amplitúdó diagram meredekségét -40dB/dekádra változtatja ezesetben elhanyagolható. Az átmeneti folyamat exponenciálisan közelíti meg az állandósult értéket, és közelítôen 3

idôállandónyi idôtartam alatt éri el az állandósult értéket 5% pontosságon belül. Az erôsítés növelésével a vágási körfrekvencia környékén a meredekség -40dB/dekád, és a lengések lecsengésének ideje a lengô tag idôállandójának (1 ω c ) tízszeresével közelíthetô. A szabályozási idôre tehát az alábbi közelítés adható: 3 10 < ts < ωc ωc (4.18) A lengések elkerülésére törekedni kell arra, hogy a vágási körfrekvencia környékén (elôtte és utána) hosszú -20dB/dekád meredekségû szakasza legyen a nyitott kör BODE amplitúdókörfrekvencia diagramjának. Ha a rendszert gyorsítani akarjuk, a vágási körfrekvenciát minél nagyobb értékre kell beállítani. Az M − α és E − β görbék A felnyitott és a zárt kör frekvenciafüggvényei közötti kapcsolat mélyebb vizsgálatához tekintsük az alábbi megfontolásokat. A zárt rendszer kiegészítô érzékenységi függvényét a T ( s) = C ( s) P ( s) L(

s) = 1 + C ( s) P ( s) 1 + L( s) (4.19) összefüggéssel számíthatjuk. A tervezés során a zárt rendszer T ( s) átviteli függvénye és a felnyitott kör L( s) = C ( s) P ( s) átviteli függvénye közötti kapcsolatot vesszük figyelembe. Ez az egyszerûnek tûnô összefüggés valójában egy nemlineáris, a komplex L( s) síkról a komplex T ( s) síkra való konform leképezést jelent. Ez a nemlinearis kapcsolat az oka annak, hogy a szabályozó tervezést nem mindig lehet egyszerû módszerekkel egyértelmûen elvégezni. A komplex számsík minden egyes pontjához meghatározhatjuk a (4.19) összefüggés szerint a leképezô pontot (komplex vektort). Ennek a vektornak az abszolút értékét a 428 ábra 145 függôleges tengelyén ábrázoltuk. (Hasonlóan ábrázolhatjuk a fázisszöget is) Rajzoljuk meg a komplex számsíkon a felnyitott kör NYQUIST diagramját (az ábrán vastag vonallal feltüntetve). Ha ennek pontjait felvetítjük a térbeli görbére,

megkapjuk a zárt rendszer frekvenciafüggvényének abszolút értékeit, amelyeket a frekvencia függvényében ábrázolva adódik a zárt rendszer BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramja. 4.28 ábra A felnyitott és a zárt kör amplitúdó diagramjának kapcsolata A zárt rendszer frekvenciafüggvénye kifejezhetô amplitúdójával és fázisszögével: T ( jω) = L( jω) = M (ω) e jα (ω) 1 + L( jω) (4.20) Az ábráról leolvasható, hogy a felnyitott kör nagy erôsítésére (a vízszintes síkon az origótól távol esô pontok) a zárt rendszer erôsítése közelíti a konstans 1 értéket. Ez az összefüggés a T ( jω) = L( jω) ≈1 L( jω) + 1 L >>1 (4.21) közelítésbôl is látszik. Mivel a szabályozások a kisfrekvenciás tartományban általában nagy erôsítést biztosítanak, ezért a zárt rendszer erôsítése itt közel 1 értékû. Hasonlóan az is látható, hogy a felnyitott kör kis erôsítésû értékeihez (a vízszintes síkon az

origóhoz közel esô pontokhoz) ugyancsak kis erôsítésû pontok tartoznak a zárt rendszerben. T ( jω) = L( jω) ≈ L( jω) L( jω) + 1 L <<1 Mivel a fizikai rendszerek erôsítése a nagy frekvenciákon lecsökken, ezt az összefüggést úgy lehet értelmezni, hogy nagy frekvenciákon a felnyitott és a zárt rendszer frekvencia függvényének erôsítés értékei közel azonosak, azaz a szabályozó a felnyitott kört nem változtatja. Látható az is, hogy a görbének a komplex sík ( −1 + 0 j) pontjában szingularitása van, ezért a tervezés szempontjából ennek a környezetnek a vizsgálata kiemelt fontosságú lesz. Minél közelebb vagyunk a -1 ponthoz, annál nagyobb lesz a zárt rendszer erôsítése. A tervezés során a szabályozásokkal szemben támasztott követelmények közül a rendszer túllövésének a beállítása 146 fontos szerepet kap. Ezt az idôtartománybeli túllövést a frekvenciatartománybeli amplitúdó kiemelés határozza

meg. Ehhez fontos megvizsgálni, hogy az azonos T = M értékhez tartozó pontok milyen görbén helyezkednek el. A zárt rendszer azonos amplitúdójú pontjai a komplex számsíkon körök. Ezt könnyen beláthatjuk, ha megoldjuk az L( jω) u + jv u2 + v 2 M= = = 1 + L( jω) 1 + u + jv 1 + 2u + u2 + v 2 (4.22) egyenletet. Az azonos M amplitúdóhoz tartozó görbék egyenlete a fenti egyenlet átalakításával adódik. 2 2  M2  2  M   u −  + v =   1− M 2  1 − M 2   (4.23) Az egyenlet egy kör egyenlete, amelynek r sugara és ( uo , v o ) középpontja: M r= 1− M 2 ; M2 uo = 1− M 2 ; v o = 0. (4.24) Az állandó M zárt rendszer amplitúdóhoz tartozó köröket a 4.29 ábra szemlélteti 4.29 ábra Konstans M görbék Az M = 1 konstans görbe egy függôleges egyenes u = 0.5 -nél M > 1 esetén a körök ettôl az egyenestôl balra, M < 1 esetén pedig tôle jobbra esnek. Ha M tart a végtelenhez, akkor a körök

rázsugorodnak a ( −1 + 0 j) pontra, ha M tart zérushoz, akkor pedig az origóra. A konstans M értékekhez tartozó, ún. archimédeszi körök mellett megadhatók a konstans α értékekhez tartozó görbék is, amelyek szintén (archimédeszi) körök. A két görbesereg együttesét szokták M − α görbéknek nevezni. 147 Ha a felnyitott kör NYQUIST diagramját berajzoljuk a konstans M görbéket is ábrázoló komplex számsíkra, leolvashatjuk a zárt rendszer amplitúdó-körfrekvencia diagramját. A zárt rendszer amplitúdó kiemelését az határozza, meg, hogy a felnyitott kör NYQUIST diagramja milyen közel kerül a -1 ponthoz, vagyis melyik legnagyobb erôsítésû kört érinti. Az M görbék néhány jellegzetességét mutatja be a komplex síkon a 4.30 ábra Az ω b körfrekvencia, ahol az L( jω) frekvenciafüggvény az M = 1 2 értékhez tartozó kört metszi a zárt rendszer ún. sávszélessége Feltüntettük az ω c vágási frekvenciát, valamint azt

az ω m körfrekvenciát, amihez az M = 2 , az adott esetben maximális érték tartozik. A maximális érték az L( jω) függvényt érintô legnagyobb M értéket jelenti. Az L( jω) függvény abszolútérték frekvencia függvényének csak akkor van kiemelése, ha az M = 1 értéknek megfelelô függôleges vonalat metszi, tehát van olyan frekvencia tartomány, ahol a görbe az egyenestôl balra esik. A metszésponthoz tartozó frekvencián T ( jω) = 1. M =1 ωb 1 ωm ωc M= 2 M =1 M (ω ) v( t ) vm 2 ωm Mm 4.30 ábra Az M görbék néhány jellegzetessége a komplex síkon Az átmeneti függvény és a frekvencia karakterisztika A zárt hurok amplitúdó-körfrekvencia görbéjének maximális M m = M max kiemelése és az átmeneti függvény v m maximális értéke (4.30 ábra) között is közelítô összefüggések adhatók meg: M m ≥ 1.5 1.25 ≤ M m ≤ 15 M m ≤ 1.25 v m ≤ M m − 0.1 vm ≈ Mm vm < Mm 4.31 ábra A zárt rendszer ideális és

tényleges frekvenciagörbéje (4.25) 148 A lengések és nagy túllendülés elkerülésére nem szabad megengedni a zárt rendszer amplitúdó diagramjában a nagy kiemelést. A zárt rendszer ideális és tényleges frekvenciajelleggörbéit a 4.31 ábra szemlélteti A T ( jω) frekvenciafüggvény M − α görbéihez hasonlóan az S ( jω) eredô hibaátviteli frekvenciafüggvény (érzékenységi függvény) S ( jω) = 1 = E (ω) e jβ(ω) 1 + L( jω) (4.26) alakja alapján E − β görbéket lehet konstruálni. A konstans E értékekhez tartozó görbék megrajzolása igen egyszerû, hiszen E = S ( jω) = 1 1 + L( jω) (4.27) és a nevezôben lévô 1+ L( jω) mennyiség a ( −1 + j 0 ) ponttol való távolságot jelenti. Ezek a görbék tehát a ( −1 + j 0 ) pont körüli koncentrikus körök, amelyek sugara 1 E . A körök közül kitüntetett jelentôségû az E = 1 értéknek megfelelô kör. L =1 M =1 E =1 1 L =1 -1 1 E <1 E >1 E =1 L =1 1+ L

-1 ω2 M =1 ω2 -1 1 ωm Mm ω1 L =1 E =1 ω1 4.32 ábra Az M = 1, E = 1 és L = 1 értékeknek megfelelô görbék A 4.32 ábrán feltüntettük az M = 1, E = 1 és L = 1 értékeknek megfelelô görbéket, továbbá az 1+ L távolságot és a maximális M m érték meghatározási módját a NYQUIST diagramon. Az L( jω) karakterisztikának az E = 1 körrel való két metszésponthoz tartozó ω1 és ω 2 körfrekvencia jelöli azt a tartományt, ahol S ( jω) > 1. 4.7 A negatív visszacsatolás érzékenysége a paraméterváltozásokra Egy folyamat paramétereit soha nem ismerjük teljes pontossággal, másrészt egy folyamat sokszor változásoknak van kitéve. Változhat a környezet, aminek következtében a folyamat paraméterei is megváltozhatnak egy adott tartományban. A negatív visszacsatolás csökkenti a rendszer érzékenységét a paraméterváltozásokra. A szabályozó tervezés során célszerû 149 figyelembe venni a szóbajöhetô

paraméterváltozásokat. A szabályozási kör viselkedése elfogadható kell legyen nemcsak a névleges paraméterértékeknél, hanem a paraméterváltozások teljes szóbajöhetô tartományában. Vizsgáljuk a szabályozási kör viselkedését, ha a folyamat átviteli függvénye Po ( s) névleges értékérôl a P ( s) = Po ( s) + ∆P ( s) értékre változik. A nyitott kör (424 ábra) eredô átviteli függvénye L = CP , amelynek kis megváltozása ∆L = ∂L ∆P = C∆P ∂P (4.28) A relatív megváltozás: ∆L C ∆P ∆P = = L CP P (4.29) A negatívan visszacsatolt zárt kör (4.25 ábra) eredô átviteli függvénye: T= CP , 1 + CP (4.30) amelynek kis megváltozása: ∆T = ∂T C ∆P = ∆P 2 ∂P + CP 1 ( ) (4.31) A megváltozás relatív értéke: ∆T 1 ∆P ∆P = =S T 1 + CP P P (4.32) Ahol S a zárt kör érzékenységi függvénye: S= ∆T T 1 = ∆P P 1 + CP (4.33) Az érzékenységi függvény megmutatja, hogy a szakasz relatív

megváltozása mennyire befolyásolja az eredô átviteli függvény relatív megváltozását. Abban a frekvenciatartományban, ahol L( jω) ∞, az érzékenységi függvény igen kis értékeket vesz fel, és a szakaszban fellépô nagy paraméterváltozások is csak kevéssé éreztetik hatásukat az eredô átviteli függvényben, és a zárt rendszer kimenôjelében. Infinitezimális kis megváltozásra ( ∆ P 0): ∂T ∂P =S T P (4.34) ahonnét ∂T T ∂ ln T = (4.35) ∂P P ∂ ln P A zárt rendszer T eredô átviteli függvényét kiegészítô érzékenységi függvénynek is nevezzük, S= 150 A zárt rendszer T eredô átviteli függvényét kiegészítô érzékenységi függvénynek is nevezzük, smivel fennáll az alábbi összefüggés: S + T =1 (4.36) 4.33 ábra A hurokátviteli függvény, az érzékenységi függvény és a kiegészítô érzékenységi függvény menete A felnyitott kör L , a T kiegészítô érzékenységi függvény és az S

érzékenységi függvény tipikus lefolyású frekvenciafüggvényeit a 4.33 ábra szemlélteti 4.34 ábra Visszacsatolt szabályozási kör, az érzékelô dinamikával rendelkezik Tekintsük még a szabályozás érzékenységét a visszacsatolásban szereplô átviteli tag paraméterváltozásaira (4.34 ábra) Az érzékenységi függvény a visszacsatoló tag paraméterváltozásaira a következô összefüggéssel definiálható: SH = ∆T T ∆H H (4.37) Most CP T= 1 + CPH ∂T (CP ) ∆H , ∆T = ∆H = − ∂H (1 + CPH ) 2 2 így (4.38) tehát ∆T ∆H CPH ∆H L ∆H = SH =− =− 1 + CPH H 1+ L H T H (4.39) Mivel SH = −L 1 + L = −T széles frekvenciatartományban 1 körüli értéket kell felvegyen az alapjel jó követéséhez, a visszacsatoló tag paraméterváltozásai jelentôsen befolyásolhatják a kimenôjel alakulását. Törekedni kell az igen pontos mérésre, illetve a merev (egységnyi) visszacsatolásra. 151 Az érzékenységi függvények

felhasználásával is kifejezhetjük a bemenô és kimenôjelek közötti (4.6-48) kapcsolatokat Y ( s) = F ( s)T ( s) R( s) + S ( s)Yno ( s) + P ( s) S ( s)Yni ( s) − T ( s)Yz ( s) (4.40) E ( s) = F ( s) S ( s) R( s) − S ( s)Yno ( s) − P ( s) S ( s)Yni ( s) − S ( s)Yz ( s) (4.41) U ( s) = F ( s)C ( s) S ( s) R( s) − C ( s) S ( s)Yno ( s) − T ( s)Yni ( s) − C ( s) S ( s)Yz ( s) (4.42) Az érzékenységi függvényekkel nemcsak a paraméterváltozások hatását vízsgálhatjuk, hanem a rendszer jelátviteli tulajdonságait is. 4.8 A szabályozásokkal szemben támasztott követelmények Egy szabályozási körnek megadott minôségi elôírásokat kell teljesítenie. Ezek az elôírások az irányítási céloktól, az adott folyamat technológiájától és magától a folyamattól is függnek. Egy acélhengermûben például az acéllemez egyenletes vastagságát kell biztosítani igen nagy pontossággal. A kívánt pontosságot befolyásolja, hogy mire

kívánják felhasználni az acéllemezt Egy hôkezelési folyamatnál a hômérsékletet adott program szerint kell beállítani. Az elôírt pontosságot befolyásolja, hogy a hôkezelendô anyagban ne játszódjanak le nem kívánt átalakulások. Egy repülô pályára állításának és pályakövetésének pontossága fontos a célállomás elérésének és más repülôk elkerülésének biztosítására. Fontos a kívánt szabályozási beállási idô megadása is, aminek igazodnia kell a folyamat dinamikájához. Igen lassú folyamattól nem várhatunk túlságosan nagy felgyorsulást, mivel ehhez irreálisan nagy beavatkozó hatásokra lenne szükség. Az elôírásoknak a lehetôségekhez kell igazodniuk Az elôírások a szabályozás statikus és dinamikus tulajdonságaira vonatkoznak. Egy szabályozással szemben támasztott követelmények: - stabilitás - megfelelô statikus pontosság alapjelkövetésre és zavarelhárításra - a mérési zaj hatásának elnyomása

- érzéketlenség a paraméterváltozásokra - elôírt dinamikus (tranziens) viselkedés - a gyakorlati megvalósításból adódó korlátozások figyelembevétele Egy lineáris szabályozási kör stabilis, állandósult állapota beáll, ha a karakterisztikus egyenlet gyökei a komplex számsík bal oldalán helyezkednek el (ld. 2 és 5 Fejezet) A szabályozás statikus pontosságát tipikus bemenôjelekre (ugrás, sebesség- és gyorsulásugrás) a nyitott körben lévô integrátorok száma határozza meg (4.5 pont) A zavarások és a mérési zaj hatásának elnyomását, továbbá a paraméterek változásának hatását vizsgálhatjuk az érzékenységi függvények alapján (4.6 és 47 pont) Az elôírt dinamikus viselkedést rendszerint a szabályozási kör v ( t) átmeneti függvényének jellemzô paramétereivel adjuk meg (4.35 ábra) A statikus hiba vagy maradó szabályozási eltérés egységugrás alapjelre 1− v áll . (4.43) 152 A százalékos túllendülés

vagy túllövés: σ= v max − v áll 100% . v áll (4.44) A ts szabályozási idô az az idô, amely alatt az átmeneti függvény eléri az állandósult értéke körüli ±( 2 − 5 )% -on belüli sávot. A Tr emelkedési (felfutási, "raising") idô alatt az átmeneti függvény állandósult értékének 10%os értékérôl eléri állandósult értékének 90%-át. A maximum elérésének az ideje pedig Tm 4.35 ábra Szabályozási kör dinamikus minôségi jellemzôi A szabályozástechnikában a tervezés lényege, hogy egy elfogadható kompromisszumot kapjunk a nagy túllövés és a nagy szabályozási idô között. Ez a kompromisszum egyrészt a stabilitási határtól ( −1 + j 0 ) való távolsággal is megfogalmazható (lásd a 5.6 pontot), másrészt található olyan mérôszám, amelynek a minimuma (optimuma) kiegyenlíti a két szélsôséges tranziens szerinti dinamikus viselkedést. Ez(ek) a mérôszám(ok) az integrálkritérium(ok) Ilyenkor a

szabályozás jóságát az e( t) = v (∞) − v ( t) hibajel integrálkritériumainak mérôszámai alapján ítéljük meg. A szabályozó paramétereit úgy választjuk meg, hogy az adott hibaintegrál minimumot érjen el. A hibaintegrálok kifejezései: I1 = ∞ ∫ e(t) dt lineáris hibaterület (szabályozási terület), (4.45) 0 (csak aperiodikus rendszerekre alkalmazható, analitikusan számítható) I2 = ∞ ∫ e 2 ( t ) dt négyzetes hibaterület (4.46) abszolútérték hibaterület (4.47) 0 (analitikusan számítható) I3 = ∞ ∫ e(t) dt = IAE 0 153 (IAE – Integral of Absolute value Error) I4 = ∞ ∫ t e(t) dt = ITAE idôvel súlyozott abszolútérték terület 4.48) 0 (ITAE – Integral of Time Multiplied Absolute Value Error). Az I 3 és I 4 csak szimulációval értékelhetô ki. Lineáris hibaterület. Egyszerû megfontolásokkal kapjuk, hogy t s ∫ e( τ) dτ = slim t ∞ 0 I1 = lim 0 E ( s) = E (0) , s (4.49) ahol E ( s) = L {e(

t)} a hibajel LAPLACE-transzformáltja. Aperiodikus, T ( s) átviteli függvénnyel ( T (0) = A ) megadott szabályozási folyamatra (4.36 ábra) m ∏ (1 + sτ k ) T ( s) = A kn=1 ∏ (1 + sT j ) = AT ′( s) , (4.50) j =1 számítsuk ki a lineáris szabályozási területet. A (449) alapján I1 = ∞ 1 − T ′( s)  = A  =  s s= 0 s= 0  1 ∫ ( A − v (t)) dt =( A − T (s)) s 0 m  n  ∏ 1 + sT j − ∏ (1 + sτ k )   n  m  j =1  k =1   = = A − τ A T  n ∑ j ∑ k    k =1   j =1 s ∏ 1 + sT j   j =1  s= 0 ( ) ( (4.51) ) Az átviteli függvény nevezôjének idôállandói növelik, míg számlálójának idôállandói csökkentik a szabályozási területet. Tehát zérusok bevezetésével a rendszer gyorsítható 4.36 ábra Aperiodikus folyamat lineáris szabályozási területe 154 Aperiodikus tranziensekre definiálható egy Te egyenértékû

idôkésés, illetve holtidô, amely annak az A amplitúdójú ugrásfüggvénynek ( t = 0)-tól mért Te eltolási ideje, amelynek a tényleges átmeneti függvénnyel azonos szabályozási területe van n m I Te = 1 = ∑ T j − ∑ τ k A j =1 k =1 (4.52) Négyzetes hibaterület. A négyzetes integrálkritérium a frekvenciatartományban a PARSEVAL -tétel alapján is kiértékelhetô. ∞ ∞ 1 1 I 2 = ∫ e ( t) dt = E (−s) E ( s) ds = ∫ π 2πj −∞ 0 2 ∞ 2 ∫ E ( jω) dω. (4.53) 0 A négyzetes hibaterület analitikusan számítható. Alacsony fokszámú esetekre a hibajel LAPLACE transzfortmáltjának szigorúan szabályos m E ( s) = ∑ ci i=0 n (4.54) ∑ di i=0 alakjára számítási képleteket programoznak, amelyek a ci és di paraméterek függvényében zárt alakban adják meg I 2 értékét adott fokszámra. Nem túlságosan bonyolult az általános képlet algoritmikus megadása sem, amely egy speciális rekurzív algoritmust takar.

Megjegyezzük, hogy a hibaterületet minimalizálva a szabályozó egy paraméterének függvényében rendszerint lapos minimum adódik. Az optimális tranziens sajnos általában meglehetôsen nagy túllendüléssel (20~25 %) rendelkezik, így minôségi szabályozásokban nem használható. Abszolútérték kritériumok. Az abszolútérték kritériumok analitikusan nehezen értékelhetôk ki, inkább szimulációval vagy optimalizálási keresô eljárásokkal határozhatjuk meg a minimumot. A költségfüggvény minimuma azonban egy adott paraméter értéknél jellegzetes. Az idôvel súlyozott abszolútérték kritérium kevésbé bünteti a kezdetben, és jobban bünteti a hibajelben a késôbbi idôpontokban fellépô nagy értékeket. Ezen kritérium optimuma (minimuma) biztosítja a legszebb ~5 % körüli túllendüllést. 4.9 A szabályozás zavarelhárító képességének növelése A megfelelôen méretezett zárt szabályozási kör biztosítja az alapjel követését,

valamint a bemeneti és kimeneti zavarások hatásának kiküszöbölését is. Ha a zavarójelnek a szabályozási körben lévô hatáspontja és a kimenôjel között nagy idôállandójú tagok szerepelnek, a zavarelhárítás lassú lesz. Természetesen a szabályozó tervezésben a zavarelhárításra vonatkozó megfontolásokat is figyelembe veszünk. A zavarelhárítás javítható, ha nemcsak a kimenôjelben fellépô hatását használjuk fel a zavarelhárításra, hanem esetleg közbensô mérhetô jeleket is felhasználunk, amelyekben a zavarás hatása már korábban megmutatkozik, mint a kimenôjelben. Több elérhetô információ 155 felhasználásával a szabályozási körben jobb, elôrelátó döntések hozhatók, a szabályozás minôsége ezáltal javítható. Zavarkompenzáció Ha a zavarás mérhetô, a zavarásról történô elôrecsatolással a szabályozás minôsége, zavarelhárítási tulajdonságai lényegesen javíthatók. A zavarás mért értéke

alapján már azelôtt intézkedni lehet a zavarás elhárítására, mielôtt a zavarás hatása a szabályozott jellemzôben megmutatkozna. A zavarkompenzációs szabályozás hatásvázlatát a 437 ábra mutatja A Cn ( s) zavarkompenzációs tag megfelelô méretezésével a zavarás hatása jelentôs mértékben csökkenthetô, esetleg teljesen meg is szüntethetô. A kimenôjelre a zavarás két ágon hat A kimenôjelnek a zavarásra vonatkozó eredô átviteli függvénye: Y ( s) Pn ( s) + Cn ( s) P ( s) = Yn ( s) 1 + C ( s) P ( s) (4.55) 4.37 ábra Zavarkompenzációs szabályozás hatásvázlata A zavarás hatása nem mutatkozik a kimenôjelben, ha a fenti kifejezés számlálója zérus: Pn ( s) + Cn ( s) P ( s) = 0 (4.56) ahonnan a zavarkompenzációs tag átviteli függvénye: Cn ( s) = − Pn ( s) P ( s) (4.57) Amennyiben ez az átviteli függvény realizálható (számlálója nem magasabbfokú a nevezôjénél, továbbá P ( s) nem tartalmaz holtidôt), a

zavarkompenzáció tökéletes, a zavarás hatása a kimenôjelben egyáltalán nem mutatkozik. Ha Cn ( s) nem realizálható, átviteli függvényét közelítjük az azt valamilyen értelemben legjobban közelítô realizálható szabályozóval. A zavarkompenzációs beavatkozás nyílt hatásláncú vezérléssel egészíti ki a szabályozást. A zavarkompenzáció eredményessége attól függ, hogy milyen pontosan ismert a zavaró jellemzônek a szabályozott jellemzôre gyakorolt hatása, és a rendelkezésre álló beavatkozási lehetôséggel mennyire lehet azt kompenzálni. Példaként tekintsük a 4.38 ábrán látható szalagszárító kemence szabályozásának vázlatát A szárítandó anyag villamos fûtésû kemencében az M motorral hajtott G görgôsoron halad végig. A szabályozott jellemzô a kijövô termék nedvességtartalma. Adott szalagsebesség mellett az anyag adott ideig tartózkodik a kemencében. A beavatkozás a kemencébe betáplált 156

fûtôteljesítmény, amely az R fûtôellenállás u tápfeszültségével változtatható. A kemencébôl kijövô anyag nedvességtartalmát mérjük, és az alapjeltôl való eltérés esetén PI szabályozón keresztül módosítjuk a fûtôteljesítményt. (A PI szabályozó párhuzamosan kapcsolt arányos (P) és integráló (I) tagokból áll, lásd a 8. Fejezetben) A legfôbb zavarforrás a beérkezô anyag nedvességtartalmának változása. A változás hatásának kiküszöböléséhez a szabályozásnak idôre van szüksége, a szabályozás csak azután lép mûködésbe, hogy a zavarás hatása a kimeneten érzékelhetô. Így egy adott ideig a kijövô anyag nedvességtartalma eltér a kívánt értéktôl Ha a bemenô mennyiség nedvességtartalma mérhetô, akkor a mért érték alapján az anyagnak a kemencén való áthaladásának kivárása nélkül a fûtôteljesítmény azonnal arra az értékre vezérelhetô a fôszabályozó P részén keresztül, amely

elôzetes ismeretek alapján várhatóan szükséges lesz a nedvesség elôírt értékének biztosításához. (A szabályozó integráló tagja nem vonható be a zavarkompenzációba, mivel az állandó bemenôjel miatt kimenete nem tudna állandósulni.) A zavarkompenzációt az ábrán szaggatott vonallal jelöltük A szabályozási körre csak annak a hibának a korrekciója marad, amely az elôzetes ismeretek pontatlanságából adódik. 4.38 ábra Szalagszárító kemence szabályozása zavarkompenzációval kiegészítve Kaszkád szabályozás A szabályozott szakaszok sokszor több sorbakapcsolt részre bonthatók, és a kimenôjelen kívül a közbensô jelek is mérhetôk. A 439 ábra két sorbakapcsolt részbôl álló folyamat hatásvázlatát mutatja. A zavaró jellemzôk hathatnak a kimeneten, illetve a szakasz két tagja között Feltételezzük, hogy maguk a zavarások nem mérhetôk. 4.39 ábra Két sorbakapcsolt tagra bontható szakasz A szokásos visszacsatolásos

szabályozás hatásvázlatát a 4.40 ábra mutatja A szabályozás alkalmas mind az alapjel követésének biztosítására, mind pedig a zavarások hatásának kiküszöbölésére. Ahhoz, hogy a zavarelhárítás mûködésbe lépjen, szükséges, hogy a zavarás hatása a kimeneten megjelenjen. Ekkor jön csak létre a hibajel, amelynek hatására a szabályozás mûködésbe lép a zavarás hatásának elhárítására. Ha a szakasz P1 ( s) része tartalmazza a nagyobb idôállandókat, a szakasz két tagja között ható y n2 zavarás elhárítása lassú lesz. 157 4.40 ábra Visszacsatolásos szabályozás hatásvázlata Célszerû a közbensô mérhetô y 2 jelet is felhasználva kialakítani egy belsô szabályozási hurkot, amely a belsô zavarás gyors elhárítására képes. A belsô zavarás hatása ugyanis hamarabb mutatkozik meg az y 2 jelben, mint az y1 kimeneten, így a belsô hurokkal gyorsan jelentôsen lecsökkenthetjük annak hatását. A külsô hurok

biztosítja a jó alapjelkövetést, a kimeneten ható zavarás elhárítását, valamint a belsô hurok által lecsökkentett belsô zavarás további csillapítását. A kéthurkos ún. kaszkád szabályozás hatásvázlatát a 441 ábra mutatja A kaszkád szabályozás elônye az egyhurkos szabályozáshoz képest akkor mutatkozik, ha a szakasz P1 ( s) része tartalmazza a nagy idôállandókat és a holtidôt, és P2 ( s) része kisebb idôállandójú tagokból áll. A belsô hurok C2 ( s) szabályozóját úgy tervezzük meg, hogy a belsô hurok gyors mûködésû legyen, és így képes legyen a belsô zavarás gyors elhárítására. A külsô hurok C1 ( s) szabályozójával biztosítani kell az alapjelkövetést és a külsô zavarás elhárítását. A belsô szabályozó lehet P vagy PD struktúrájú. A belsô hurokban a negatív visszacsatolás gyorsító hatású, így a kisebb idôállandók miatt a külsô hurok kompenzálása is egyszerûbb lesz. A külsô

szabályozó az elôírások teljesítésére lehet PI vagy PID struktúrájú. (A PID szabályozó párhuzamosan kapcsolt arányos (P), integráló (I) és differenciáló (D) tagokból áll, lásd a 8. Fejezetben) 4.41 ábra Kaszkád szabályozás hatásvázlata Egyes alkalmazásokban célszerû a külsô kör szabályozója után beiktatni egy korlátozó elemet. Ugyanis a külsô szabályozó kimenôjele a belsô hurok alapjelét adja, és ha ezt korlátozzuk, ezáltal az y 2 belsô jel értékét is korlátok között tarthatjuk. Természetesen, ha a szabályozott szakasz kettônél több soros részre bontható, ahol a közbensô jelek mérhetôk, több egymásba ágyazott szabályozási körrel alakíthatunk ki kaszkád szabályozást. Villamos motorok fordulatszám- illetve pozíciószabályozásában sokszor alkalmazzák a kaszkád szabályozást, amikor a külsô változó a fordulatszám vagy a pozíció, a belsô változó pedig az armatúraáram. A kaszkád szabályozás

célja ekkor fôként az armatúraáram korlátozása Az áram ugyanis a motor indításakor, fékezésekor, terhelésekor igen nagy értékeket vehet fel, miközben a fordulatszám a rendszer mechanikai tehetetlensége miatt csak lassabban alakul ki. Nem elég tehát csak a fordulatszámról létrehozni visszacsatolást, az áramot is figyelni kell és biztosítani kell, hogy értéke a megengedett tartományban maradjon. Az egyenáramú motor kaszkád szabályozását a 4.42 ábra mutatja vázlatosan 158 4.42 ábra Egyenáramú motor kaszkád szabályozása A 4.43 ábra egy terem hômérsékletszabályozására mutat kaszkád megoldást A szabályozott jellemzô a T terem ϑ hômérséklete, amelyet gôzzel fûtött H hôcserélôn átfúvott levegôvel állítanak a kívánt értékre. A módosított jellemzô a hôcserélôn átáramló gôzmennyiség, amelyet a B szelep mint beavatkozó szerv állít. A leglényegesebb zavaró jel a gôz nyomása, mivel adott szelep

állásban ettôl függ a H hôcserélôbe érkezô gôzmennyiség, illetve a hôteljesítmény. A kaszkád fokozathoz belsô szabályozott jellemzônek választhatjuk a hôcserélôbôl kilépô gôz ϑ k hômérsékletét, mert abban a fûtôteljesítmény változása hamarabb mutatkozik, mint a terem hômérsékletében. 4.43 ábra Terem hômérsékletszabályozásának kaszkád megoldása Az egyhurkos szabályozási körben a kimenôjelet csatoljuk vissza. A kaszkád szabályozásban a kimenôjelen kívül egy vagy több mérhetô közbensô jelet is visszacsatolunk, ezáltal a szabályozás minôsége javítható. A szabályozás gyorsabb lesz, és hatékonyabban hárítja el a zavarások hatását. Ezek a közbensô változók rendszerint a rendszer állapotváltozói Egy rendszerben a belsô változók, az ún. állapotváltozók határozzák meg a rendszer viselkedését. Pillanatnyi értéküket a rendszer bemenôjeleinek korábbi mozgásai alakítják ki Az

állapotváltozók és a bemenôjelek pillanatnyi értékeinek ismeretében megadhatók a rendszer állapotai és kimenôjelei a következô idôpontban. Nemcsak egyetlen kimenôjel, illetve a kaszkád szabályozásban felhasznált néhány további jel érzékelése lényeges a szabályozási kör kialakításában, hanem lényeges lenne valamennyi (egy n-edrendû differenciálegyenlettel leírható rendszerben n db.) állapotváltozó mérése és visszacsatolása. Ez a szabályozási elv az állapotvisszacsatolás, amely a kaszkád elv általánosításának is tekinthetô. Az állapotvisszacsatolásos szabályozással a 10 Fejezet foglalkozik részletesen. 159 4.10 Visszacsatolásos kompenzáció Ha a szabályozott szakasz valamelyik közbensô jele mérhetô, annak visszacsatolásával a szabályozás viselkedését kedvezôen befolyásolhatjuk. A visszacsatolásos kompenzáció blokkvázlatát a 4.44 ábra mutatja A visszacsatolásos kompenzáció egyenértékû soros

kompenzációs megfelelôje meghatározható. A visszacsatolásos kompenzáció elônye azonban, hogy a belsô hurok ki és bemenô jelei közötti összefüggést linearizálja és nagymértékben függetleníti a visszacsatolt tagok paraméterváltozásaitól. A belsô hurok hatásos a belsô zavarások elhárításában is. A visszacsatolásos kompenzáció elônyös viselkedést mutathat a beavatkozójel korlátozása esetén is. Megfelelô belsô visszacsatolással a szabályozott szakasz közelítô inverze állítható elô, ami a szabályozás szempontjából elônyös megoldást jelenthet. 4.44 ábra A visszacsatolásos kompenzáció hatásvázlata Rendszerint elegendô, ha a belsô hurok csak a tranziens állapotban mûködik, állandósult állapotban pedig csak a fôkör hatásos. Ez egytárolós differenciáló taggal történô visszacsatolással érhetô el. A visszacsatoló tag átviteli függvénye ekkor C v ( s) = Av sτ (1 + sT1 ) 4.11 Szabályozás kisegítô

módosított jellemzôvel Sokszor a szabályozott szakasz bemenetén több beavatkozási lehetôség is van. A folyamat jellegétôl függôen az egyik beavatkozási lehetôség lehet az alapvetô, és a másikat kisegítô lehetôségként használhatjuk fel, amely a folyamat jellegébôl következôen rendszerint csak átmeneti lehet. 4.45 ábra Kéthurkos szabályozás hatásvázlata kisegítô módosított jellemzôvel A szabályozási kör hatásvázlatát a kisegítô hurokkal a 4.45 ábra mutatja Alkalmazási példaként tekintsük a 4.38 ábrán látható szalagszárító kemence szabályozását Ha a kemencébe bemenô anyag nedvességtartalma hirtelen megváltozik, a zavarkompenzáció alkalmazása nélkül ennek hatása a kimenô oldalon csak akkor mutatkozik, amikor a kemence már a megváltozott tulajdonságú anyaggal van tele. Ilyenkor, ha csupán a kemence fûtését változtatjuk, viszonylag nagy tömegû anyag kerül ki, amelynek nedvességtartalma eltér az

elôírttól, mivel a kemence hôtehetetlensége nagy, és hômérsékletét csak lassan képes változtatni. A beavatkozás hatásosabbá válik, ha az M motor fordulatszámának megváltoztatásával átmenetileg megváltoztatjuk a szalagsebességet, és ezzel az anyag kemencében tartózkodásának idejét. A 160 kisegítô beavatkozás átmeneti lehet, ami például úgy oldható meg, hogy a rendelkezôjelrôl a kisegítô szabályozási körben egy arányos szabályozót mûködtetünk, ami a motor kapocsfeszültségét befolyásolja. A fô szabályozási körben alkalmazott PI szabályozó miatt állandósult állapotban a rendelkezôjel zérus értékre áll be, így ekkor a kisegítô szabályozási kör kiiktatódik. 5. LINEÁRIS SZABÁLYOZÁSOK STABILITÁSA 161 5. Lineáris szabályozások stabilitása A szabályozási körök stabilitása alapvetô fontosságú követelmény a gyakorlati alkalmazásuknál. Sem az értéktartó, sem pedig a követô szabályozás

feladata nem oldható meg labilis szabályozási körrel. Nem szabad azonban összetéveszteni ezt a stabilitási kérdést a folyamat stabilitásával Elôfordul olyan eset is, amikor egy labilis folyamatot kell stabilizálni a szabályozási körrel. Vannak olyan rendszerek, amelyek szabályozás nélkül nem mûködnének, mert a szabályozási kör stabilizálja a folyamatot. Az egyik legismertebb ilyen rendszer a repülôgép és irányítása, a hétköznapi életben pedig a kerékpár vezetése. A zárt szabályozási kör meglepô jelenségeket tud felmutatni. Ezek a jelenségek mind arra vezethetôk vissza, hogy a folyamatok dinamikával, tehetetlenséggel, késleltetéssel rendelkeznek, tehát a bemenetükre ható parancsokat nem azonnal, és igen sokszor nem az emberi ítélôképesség idôrendjében (sokszor jóval lassabban, vagy pedig gyorsabban) követik. Néhány esetben pedig a rövid idejû válasz nem felel meg annak, amit egy kicsit tovább várva tapasztalnánk

(nem minimumfázisú folyamatok). Ezért a tapasztalati alapú stabilitásvizsgálat a rendszerint igen drága folyamat kezelésében, irányításában nem elfogadható. Pontos, legtöbbször matematikai eszközöket használó módszerekre van szükségünk, hogy a stabilitási kérdésekre választ adhassunk. 5.1 A stabilitás fogalma A stabilitás a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotából kimozdítva újra egyensúlyba képes kerülni. Ha a rendszer nemlineáris, a stabilitás a bemenôjeltôl és a munkaponttól is függ. Ebben az esetben a stabilitás nem a rendszernek, hanem a rendszer egy állapotának a jellemzôje. Lineáris rendszer esetén a stabilitás a rendszer jellemzôje, a rendszer struktúrájától és paramétereitôl függ, de független a bemenôjeltôl. A stabilitásnak több meghatározása is létezik A magára hagyott rendszer stabilitása A rendszer stabilis, ha nyugalmi állapotából kimozdítva majd magára hagyva visszatér

eredeti állapotába. Ha eredeti állapotától eltávolodik, mûködése labilis Határesetben nem tér ugyan vissza a nyugalmi állapotba, de nem is távolodik el attól, hanem annak a kitérítés mértékétôl függô környezetében marad (például a kiindulási állapot körül korlátos amplitúdójú csillapítatlan lengéseket végez). Nemlineáris rendszereknél stabilisnak tekintjük a rendszert akkor is, ha a határesetben a kimozdítás után a nyugalmi állapot tetszôlegesen elôírható kis környezetébe tér vissza. A rendszer aszimptotikusan stabilis, ha egyensúlyi állapotából való kimozdítása után visszatér kiindulási helyzetébe. Egy stabilis lineáris rendszer aszimptotikusan stabilis Egy lineáris rendszer w ( t) súlyfüggvénye aszimptotikus stabilitás esetén lecsengô, lim w ( t) = 0 t ∞ (5.1) illetve abszolút integrálható: ∞ ∫ w ( t) d t < ∞ 0 (5.2) 162 A gerjesztett rendszer stabilitása Stabilis a rendszer, ha korlátos

bemenôjelre korlátos kimenôjellel válaszol bármilyen kezdeti feltétel mellett. A gerjesztett rendszer stabilitását az angolszász szakirodalomban BIBO (Bounded-Input – Bounded Output) stabilitásnak nevezik. 5.1 ábra Szabályozási rendszer blokkvázlata Lineáris rendszerben a stabilitás a rendszer tulajdonsága. A stabilitás nem függ a gerjesztés nagyságától. Ha egy lineáris rendszerben a magára hagyott rendszer stabilis, a gerjesztett rendszer is stabilis lesz. A stabilitás egyértelmûen megítélhetô valamilyen egyszerû bemenôjelre adott válaszból. Belsô stabilitás Egy zárt szabályozási rendszer akkor teljesíti az úgynevezett belsô stabilitás követelményét, ha bármely külsô gerjesztô jelre a kimenôjel és valamennyi belsô jel stabilisan válaszol. Vizsgáljuk az 5.1 ábrán látható szabályozási rendszert Az r alapjel követésén kívül vizsgáljuk a P szakasz bemenetén ható y ni és a szakasz kimenetén ható y no zavarások

elhárítását, valamint az y z mérési zaj hatását a kimenôjelre. A rendszer stabilis, ha a vizsgált valamennyi korlátos bemenôjelre a választott y szabályozott jellemzô, az u beavatkozójel és az e rendelkezôjel is korlátos. Belátható, hogy az 51 ábra szerinti struktúrában mindig elegendô két tetszôleges külsô és két tetszôleges belsô jelet választani. A belsô stabilitás az alábbi négy eredô átviteli függvény stabilitásának vizsgálatát kívánja meg: CP (1+ CP ) , 1 (1+ CP ) , P (1+ CP ) , C (1+ CP ) . Ezt a zárt szabályozási kör úgynevezett átviteli (transfer) mátrixával adjuk meg:  CP  Tt = 1 + CP C  1 + CP P  1 + CP  1   1 + CP  (5.3) Egy zárt szabályozási kör belsô stabilis, ha a Tt mátrix stabilis, azaz valamennyi eleme stabilis.A belsô stabilitás akkor egyenértékû a gerjesztett rendszer stabilitásával, ha a felnyitott rendszernek nincsenek nem megfigyelhetô vagy nem irányítható

jobb oldali pólusai (vagyis a szabályozó zérusai nem ejtik ki a szakasznak a komplex számsík jobb oldalára esô pólusait). (Megjegyezzük, hogy a szakasz labilis pólusát nem szabad a szabályozó jobb oldali zérusával kiejteni, mivel a labilis pólus csupán a szabályozott jellemzô és az alapjel közötti kapcsolatban válik láthatatlanná, de a labilis pólus megmarad a szakasz elôtt ható zavarás és a szabályozott jellemzô között.) LJAPUNOV stabilitás L AGRANGE energiaelmélete szerint egy rendszer akkor van egyensúlyban, ha potenciális energiája minimális. LJAPUNOV egy általános (nemlineáris állandó paraméterû) rendszert leíró 163 differenciálegyenlethez vagy állapotegyenlethez egy energia tulajdonságú ún. LJAPUNOV skalár függvény meghatározását írja elô. Ha ez a függvény az állapotváltozók vizsgált tartományában pozitív, és deriváltja negatív, a rendszer aszimptotikusan stabilis. LJAPUNOV vizsgálati módszerei

elégséges feltételeket adnak nemlineáris rendszerek stabilitási viszonyainak meghatározására. A LJAPUNOV függvény megválasztása nem mindig egyszerû Kiindulásul L JAPUNOV az egyes munkapontokban linearizált rendszer stabilitásvizsgálatát javasolja. LJAPUNOV módszere így lineáris rendszerek stabilitásvizsgálatára is alkalmazható. Lineáris rendszerek stabilitásvizsgálatára azonban célszerû közvetlenebb módszereket alkalmazni. 5.2 ábra Szabályozási kör dinamikája 5.2 A szabályozási kör stabilitása A negatív visszacsatolás, ami a szabályozási kör alapvetô struktúrája, magában rejti a labilitás veszélyét. Ennek érzékeltetésére tekintsük az 52 ábrán látható szabályozási kört Az alapjel egységugrásszerû változásakor a kimenôjel nulláról indulva növekedni kezd. A hibajel értéke egyrôl kiindulva csökken. Ha a szabályozó átviteli tényezôje nagy, a szakasz bemenetén kezdetben nagy bemenôjel jelenik meg, ami a

szakasz kimenôjelének gyors felfutását eredményezi. A változás dinamikáját a P folyamat és a C szabályozó dinamikája, átviteli tényezôi és idôállandói határozzák meg. Mikor a kimenôjel eléri az alapjel által meghatározott értéket, a hibajel nulla értéket vesz fel. A jelek azonban a rendszer tehetetlensége miatt nem állnak be azonnal a kívánt értékükre, hanem az addigi meredekséggel tovább változnak. Ha a kimenôjel túllendül elôírt értékén, a hibajel negatívvá válik, ami egy idô után csökkenteni fogja a kimenôjel értékét. A szakasz és a szabályozó nagy idôállandói és nagy átviteli tényezôi mellett a túllendülés jelentôs lehet. A rendszerben állandósult vagy egyre növekvô lengések jelenhetnek meg. A stabilitás problémáját az okozza, hogy a rendszer a rendelkezôjel által szolgáltatott információt késleltetve használja fel, és nagy átviteli tényezôk mellett a késleltetés idôtartama alatt a

kimenôjel értéke annyira „megszalad”, hogy a szabályozás már nem képes visszaszabályozni azt a kívánt értékre. A szabályozó paramétereit úgy kell megválasztani, hogy a szabályozás stabilis legyen. 5.3 ábra Holtidôs szabályozási kör A visszacsatolt rendszer labilitását a zárt körben lévô késleltetések és nagy erôsítési tényezôk okozzák. A jelenséget szemlélteti az 53 ábrán látható szabályozási kör viselkedése A folyamat egységnyi erôsítésû holtidôs szakasz, amelyet átmeneti függvényével adunk meg. A holtidôs szakasz a bemenetére kerülô u jelet a Td holtidô elteltével követi. A szabályozó A átviteli tényezôjû arányos tag, a felnyitott kör hurokerôsítése így K = A . Vizsgáljuk a szabályozási kör jeleit egységugrás alapjelre, ha K = 0.5 , 1 illetve 2 A jelek alakulása könnyen követhetô Az 5.4 ábra az alapjelet, a rendelkezôjelet és a szabályozott jellemzôt mutatja K = 05 mellett a

szabályozás stabilis (de igen pontatlan, a kimenôjel 1 helyett 1/3 értékre áll be). K = 1 esetén 164 állandósult lengések lépnek fel, a rendszer a stabilitás határhelyzetébe kerül. K = 2 esetén a rendszer labilis mûködésû. A jelek értéke az egyes idôtartományokban analitikusan is számítható az 5.1 táblázat szerint. Látható, hogy az e rendelkezôjel az idô elôrehaladtával egy mértani sorral adható meg, amelynek kvóciense −K . K < 1 esetén a sor konvergens és lim e( t) = 1 (1 + K ) , a t ∞ szabályozott jellemzô határértéke pedig lim y ( t) = K (1 + K ) . A stabilitás határa tehát t ∞ K = 1. Minél nagyobb K értéke, annál kisebb a szabályozási kör állandósult hibája, azonban a stabilitás határt szab K növelésének. Általában a stabilitás és a statikus pontosság ellentmondó követelmények. A szabályozás tervezése során megfelelô kompromisszumra kell törekedni a stabilitás és a kívánt statikus

pontosság biztosítására. 5.5 ábra A labilis rendszer akkor is begerjed, ha bemenetén rövid ideig hat a gerjesztés A stabilitás a lineáris rendszer tulajdonsága. Labilitás esetén a rendszer akkor is begerjed, ha átmenetileg valamilyen zajhatás éri, például egy impulzus kerül a bemenetére. Az 55 ábra K = 2 esetére mutatja a jelek alakulását, ha a rendszer bemenetére alapjelként rövid ideig ható egységnyi amplitudójú impulzus kerül. 5.1 táblázat Holtidôs szabályozás jeleinek értékei t idôtartomány e rendelkezôjel y szabályozott jellemzô 0 − Td 1 0 Td − 2Td 1− K K 2Td − 3Td 1 − K (1 − K ) K (1− K ) 3Td − 4 Td K [1 − K (1 − K )] 1 − K [1 − K (1 − K )] 5.4 ábra Holtidôs szabályozási kör jelei 165 5.3 A folytonos idejû lineáris szabályozási rendszer stabilitásának matematikai megfogalmazása A magára hagyott zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a tranziens mozgását leíró

idôfüggvény csillapodó összetevôkbôl áll. A tranziens idôfüggvény olyan exponenciális összetevôk kombinációja, amelyek kitevôi a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei. Irányítható és megfigyelhetô rendszerben (amikoris a szabályozó zérusai nem ejtik ki a szakasz pólusait) a karakterisztikus egyenlet gyökei megegyeznek a zárt rendszer eredô átviteli függvényének pólusaival. A rendszert leíró differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete formailag megegyezik a zárt rendszer eredô átviteli függvényének nevezôjével. Ugyanis a zárt rendszer eredô átviteli függvénye az y kimenôjel és az r alapjel között: T ( s) = Y ( s) C ( s) P ( s) C ( s) P ( s) = = R( s) 1 + C ( s) P ( s) 1 + L( s) (5.4) A rendszer differenciálegyenlete az alábbi kifejezés inverz LAPLACE transzformáltja: [1 + L(s)]Y (s) = C(s)P (s) R(s) (5.5) A karakterisztikus egyenlet pedig formailag megegyezik az 1 + L( s) = 0 (5.6) egyenlettel. A

karakterisztikus egyenlet gyökei tehát megegyeznek a zárt rendszer eredô átviteli függvényének pólusaival. Ha a felnyitott kör átviteli függvénye racionális törtfüggvény, L( s) = N ( s) D( s) , ahol N ( s) és D( s) polinomok, a karakterisztikus egyenlet a következô alakban is megadható: A ( s) = D( s) + N ( s) = 0 (5.7) illetve an sn + an − 1sn − 1 +  + a1s + ao = an ( s − p1 )( s − p2 ) ( s − pn ) = 0 (5.8) Ha a rendszert állapotegyenletével írjuk le, amelynek állapotmátrixa A, a karakterisztikus egyenlet a det ( sI − A) = 0 (5.9) összefüggéssel adható meg (lásd a 3. Fejezetet) Ha a karakterisztikus egyenlet együtthatói valósak, akkor az egyenlet gyökei valós vagy konjugált komplex számok. Az aszimptotikus stabilitásnak az a feltétele, hogy a zárt rendszer pi pólusai negatív valós részûek legyenek, mivel ezek eredményeznek idôben lecsengô tranzienseket. A feltétel úgy is megfogalmazható, hogy a zárt

szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabilis, ha valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik. 166 Ha bármelyik pólus a jobb oldali félsíkra esik, a rendszer labilis. Ha a bal oldali félsíkra esô pólusokon kívül a képzetes tengelyen az origóban is van pólus, a rendszerben integráló hatás van, és tranziense nem cseng le vagy a végtelenbe tart. Ha a képzetes tengelyen egyszeres konjugált komplex pólusok vannak, a tranziensekben csillapítatlan lengések lépnek fel. Többszörös pólusok esetén a lengések növekvô amplitúdójúak. A gyakorlatban a zárt rendszer stabilitását illetôen csak az aszimptotikus stabilitás elfogadható. 5.4 Analitikus stabilitási kritériumok A stabilitás eldönthetô a karakterisztikus egyenlet gyökei, a zárt szabályozási rendszer pólusai alapján. Holtidô nélküli esetben a karakterisztikus egyenlet algebrai egyenlet, amelynek gyökei analitikusan ún. megoldóképlettel csak ötödfokúnál

alacsonyabb fokszám esetén adhatók meg (GALOIS tétel). Ennél magasabb fokszámnál numerikus gyökkeresô módszerek alkalmazhatók, amelyekkel a gyökök megadott pontossággal határozhatók meg. Holtidôt is tartalmazó szabályozási körben a karakterisztikus egyenlet D( s) + N ( s) e− sT d = 0 transzcendens egyenlet, amelynek megoldása nem egyszerû, és labilitás esetén nehéz arra következtetni, hogy milyen módon lehet stabilizálni a rendszert. Ilyenkor a holtidôs tagnak valamilyen racionális törtfüggvényre vezetô közelítésével lehet a rendszer karakterisztikus egyenletét közelíteni, vagy pedig frekvenciatartománybeli vizsgálatokat kell elvégeznünk (lásd az 5.6 pontot) Több eljárást dolgoztak ki, amelyekkel a karakterisztikus egyenlet megoldása nélkül is eldönthetô a stabilitás. Ezek az eljárások az ún stabilitási kritériumok Az analitikus stabilitási kritériumokkal holtidô nélküli esetben az algebrai egyenlet gyökei és

együtthatói között fennálló összefüggések alapján megállapítható, hogy a gyökök a komplex számsík bal oldalán helyezkednek-e el, vagyis stabilis-e a rendszer vagy sem. A stabilitás szükséges feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója azonos elôjelû legyen és egyik együttható értéke se legyen nulla. Az (58) egyenlet alapján ez könnyen belátható. Ha ugyanis valamennyi pólus negatív valós értékû, a gyöktényezôket összeszorozva csupa pozitív együttható adódik. Ha konjugált komplex gyökök is elôfordulnak negatív valós résszel, ezek gyöktényezôinek összeszorzásával is az egyenletben pozitív együtthatók adódnak. Legyen p1,2 = −α ± jβ, ahol α > 0 és β > 0. A gyöktényezôk összeszorzásával [s − (−α + jβ)][s − (−α − jβ)] = s2 + 2αs + α 2 + β2. Látható, hogy az együtthatók pozitívak Elsô és másodfokú esetben az együtthatók azonos elôjele egyben a stabilitás

elégséges feltétele is. A stabilitás eldöntésére a karakterisztikus egyenlet együtthatói alapján két analitikus módszert adunk meg bizonyítás nélkül. Stabilitásvizsgálat a ROUTH séma alapján Az (5.8) karakterisztikus polinom együtthatóiból az alábbi sémát képezzük: 167 an an − 2 an − 1 an − 3 bn − 2 bn − 4 cn − 3 cn − 5  an − 4 an − 5 bn − 6 cn − 7 an − 6 an − 7 bn − 8 cn − 9     (5.10) ahol an − 1an − 2 − an an − 3 a a − an an − 5 a a − an an − 7 , bn − 4 = n − 1 n − 4 , bn − 6 = n − 1 n − 6 , an − 1 an − 1 an − 1 b a − an − 1bn − 4 b a − an − 1bn − 6 cn − 3 = n − 2 n − 3 , cn − 5 = n − 2 n − 5 , (5.11) bn − 2 bn − 2 bn − 2 = A sorok hosszúsága egyre csökken. Ha a karakterisztikus polinom n-edfokú, a séma n + 1 sorból áll. Az (511) elrendezést ROUTH sémának nevezzük A rendszer akkor stabilis, ha a karakterisztikus polinom

valamennyi együtthatója pozitív és a R OUTH séma elsô oszlopának valamennyi eleme is pozitív. Ha az elsô oszlopban szereplô elemek nem mind pozitívak, a rendszer labilis, és az elôjelváltások száma megadja a zárt rendszer jobb oldali pólusainak számát. Ha az elsô oszlopban nulla jelenik meg, ez a karakterisztikus egyenletnek az imaginárius tengelyre esô gyökére utal. Ilyenkor a sémát úgy folytatjuk, hogy a nulla helyett egy tetszôlegesen kicsi ε számértéket veszünk figyelembe. 5.1 Példa Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye: L( s) = K s(1 + s)(1 + 5 s) . Negatívan visszacsatolt szabályozási körben egységnyi (merev) visszacsatolást alkalmazunk. Határozzuk meg a K hurokerôsítés kritikus értékét, amelynél a szabályozási kör a stabilitás határhelyzetébe kerül. A karakterisztikus egyenlet: 1 + L( s) = 1 + K = 0, s(1 + s)(1 + 5 s) vagyis 5 s3 + 6 s2 + s + K = 0 Mivel valamennyi együttható pozitív kell legyen, a stabilitás

szükséges feltétele, hogy K > 0 legyen. A ROUTH séma: 5 6 6 − 5K 6 K 1 K 0 A stabilitás biztosításához az elsô oszlop minden egyes elemének pozitívnak kell lennie. A stabilitás feltétele tehát: 0 < K < 1.2 168 Stabilitásvizsgálat a HURWITZ determináns alapján Az (5.8) karakterisztikus polinom együtthatóiból képezzük az alábbi n × n elemû HURWITZ determinánst: an − 1 an − 3 an an − 2 0 an − 1 0 an 0 0  an − 5 an − 4 an − 3 an − 2 an − 1 an − 7 an − 6 an − 5 an − 4 an − 3      (5.12) Negatív indexû elemeket nullával veszünk figyelembe. A rendszer akkor stabilis, ha a karakterisztikus egyenlet valamennyi együtthatója pozitív, és a HURWITZ determináns fôátlóra támaszkodó valamennyi aldeterminánsa is pozitív: ∆i > 0. Az aldeterminánsok: ∆1 = an − 1 an − 1 an − 3 an − 1 an − 3 ; ∆2 = , ∆ 3 = an an − 2 an an − 2 0 an − 1 an − 5 an − 4 ,  , ∆ n

an − 3 (5.13) 5.2 Példa Adjuk meg az 5.1 példában vizsgált rendszer stabilitását a HURWITZ determináns alapján A karakterisztikus egyenlet: 5 s3 + 6 s2 + s + K = 0 Mivel valamennyi együttható pozitív kell legyen, K > 0. A HURWITZ determináns: 6 K 0 5 1 0 0 6 K (5.14) A fôátlóra támaszkodó aldeterminánsok: ∆1 = 6 > 0 ; ∆ 2 = 6 − 5K > 0 ; ∆ 3 = K ∆ 2 > 0 . A stabilitás feltétele tehát: 0 < K < 1.2 5.5 Stabilitásvizsgálat a gyökhelygörbe alapján A gyökhelygörbe a karakterisztikus egyenlet gyökeit adja meg a komplex számsíkon, miközben a rendszer valamelyik paramétere (a leggyakrabban a körerôsítés) nulla és végtelen között változik. Ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis. A kritikus körerôsítésnél a gyökhelygörbe metszi az imaginárius tengelyt. Azon körerôsítéseknél, ahol a gyökhelygörbe átkerül a jobb oldali félsíkra, a rendszer labilissá válik. 169 A

gyökhelygörbe alapján nemcsak a rendszer stabilitása dönthetô el, hanem a gyökök elhelyezkedésébôl a rendszer dinamikus tulajdonságai is hozzávetôlegesen meghatározhatók. A gyökhelygörbe megrajzolásához elvileg a karakterisztikus egyenletet kell megoldani különbözô paraméterértékek mellett. A megoldáshoz a mai számítógépes technika és a CAD programok nagy segítséget nyújtanak. Sokszor szükség van azonban gyors kvalitatív elemzésre a tervezô gondolkodásának segítéséhez. Ezért számos kidolgozott szabály könnyíti meg a gyökhelygörbe felrajzolását. (A módszert kifejlesztôjérôl EVANS módszernek is nevezik) A gyökhelygörbe módszer alapösszefüggései A zárt szabályozási rendszer 1 + L( s) = 0 karakterisztikus egyenlete felírható az alábbi alakban is: Z L( s) = −1 = k ∏ (s − z j ) j =1 P ∏ (s − pi ) , (5.15) i =1 ahol Z a zérusok, P a pólusok számát jelöli ( P ≥ Z ) és k a huroktényezô. A

gyökhelygörbe pontjaira teljesülnie kell az L( s) = 1 (5.16) abszolút érték feltételnek, és a ϕ = ±N180 ; N = 1, 3, 5, (5.17) szögfeltételnek. A gyökhelygörbe megszerkesztéséhez tehát olyan pontokat kell keresni a komplex számsíkon, amelyekre mind a szögfeltétel, mind az abszolút érték feltétel teljesül. 5.6 ábra A felnyitott kör pólusait illetve zérusait a gyökhelygörbe pontokkal összekötô vektorok jelölései Jelöljük a valamelyik z j zérusból a komplex sík tetszôleges s pontjába befutó vektor abszolút értékét C j -val, a pozitív valós tengellyel bezárt szögét pedig γ j -val. A pi pólusból az s pontba befutó vektor abszolút értékét Di -vel, fázisszögét pedig δi -vel jelöljük (5.6 ábra) Ezekkel a jelölésekkel 170 s − z j = C je jγ j (5.18) és s − pi = Di e jδ i (5.19) A szögfeltétel az alábbi alakban adható meg: Z P j =1 i =1 ∑ γ j − ∑ δi = ± N180 ; N = 1, 3, 5,

(5.20) ; N = 1, 3, 5, (5.21) illetve P Z ∑ δi − ∑ γ j =  N180 i =1 j =1 Az abszolút érték feltétel pedig: P ∏ Di i =1 Z ∏C j =k (5.22) j =1 A komplex számsík egy pontja akkor pontja a gyökhelygörbének, ha teljesül rá a szögfeltétel és az abszolút érték feltétel. A szögfeltétel szavakban kifejezve: valamely s pont akkor pontja a gyökhelygörbének, ha a felnyitott kör zérushelyeibôl kiinduló és az s pontban végzôdô vektorok szögének összegébôl levonva a pólusokból kiinduló vektorok szögének összegét ±180 páratlan számú többszörösét kapjuk. Az abszolút érték feltétel azt mondja ki, hogy valamely s pont akkor pontja a gyökhelygörbének, ha a pólusokból kiinduló és az s pontban végzôdô vektorok abszolút értékeinek szorzata elosztva a zérushelyekbôl kiinduló vektorok abszolút értékeinek szorzatával éppen a huroktényezôvel egyenlô. A gyökhelygörbe pontjait általában a

szögfeltételbôl határozzuk meg, az abszolút érték feltételbôl pedig megadjuk az adott gyökhelygörbe ponthoz tartozó huroktényezô értékét. A huroktényezôbôl azután kiszámítható az idôállandós alakhoz tartozó K hurokerôsítés is: Z K = L( s) ∏ (−z j ) s= 0 =k j =1 P ∏ (− pi ) i =1 (5.23) 171 A gyökhelygörbe megszerkesztésének néhány szabálya A gyökhelygörbe felrajzolását néhány egyszerû szabály könnyíti meg: 1. A gyökhelygörbe szimmetrikus a valós tengelyre 2. Annyi ága van, amennyi a felnyitott kör átviteli függvénye pólusainak száma 3. A gyökhelygörbe a felnyitott kör pólusaiból indul (ekkor K = 0) és a zérusokba vagy a végtelenbe tart, ha K ∞. Ha a pólusok száma P , és a zérusok száma Z , Z számú ág a zérusokba, P − Z számú ág pedig a végtelenbe fut. Ha P = Z , a gyökhelygörbe teljes egészében a véges tartományba esik. 4. A valós tengelyen akkor lehetnek gyökhelygörbe

szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a pólusok és a zérusok együttes száma páratlan. (Elég a valós pólusokat és zérusokat számbavenni, mivel a komplex pólusok illetve zérusok együtt szerepelnek.) 5. A gyökhelygörbe aszimptotáinak irányát az α= N 180 P−Z ; N = 1, 3, 5, (5.24) összefüggés adja meg. 6. A gyökhelygörbe aszimptotái a valós tengelyt az P Z i =1 j =1 ∑ pi − ∑ z j xo = P−Z P Z i =1 j =1 ∑ Re pi − ∑ Re z j = P−Z (5.25) kifejezés által meghatározott pontban metszik. 7. A valós tengelybôl való kilépés (vagy beérkezés) helye az alábbi egyenlettel határozható meg: P Z 1 1 ∑x− p −∑ x−z =0 i j i =1 j =1 (5.26) 8. A kritikus huroktényezô a karakterisztikus egyenletbôl határozható meg a ROUTH sémával vagy a HURWITZ determinánssal. Az imaginárius tengellyel való metszéspontok a karakterisztikus egyenletbôl állapíthatók meg annak ismeretében, hogy ekkor a gyökök

közül kettô tisztán imaginárius konjugált komplex gyök. A szerkesztési szabályok indokolása 1. Mivel a karakterisztikus egyenlet együtthatói valósak, gyökei vagy valósak, vagy konjugált komplex párokat alkotnak. Ezért a gyökhelygörbe szimmetrikus a valós tengelyre 2. A karakterisztikus egyenlet fokszáma megegyezik a felnyitott rendszer pólusainak számával Ugyanis, ha a felnyitott kör átviteli függvénye racionális tört, L( s) = N ( s) D( s) , a karakterisztikus egyenlet 1 + L( s) = 1 + N ( s) D( s) = 0 , illetve D( s) + N ( s) = 0 . Mivel D( s) fokszáma nagyobb N ( s) fokszámánál vagy azzal egyenlô, a karakterisztikus egyenlet fokszáma megegyezik D( s) fokszámával, és gyökeinek száma a felnyitott kör pólusainak számával egyenlô. A huroktényezô változásával így a gyökhelygörbének annyi ága lesz, amennyi a felnyitott kör pólusainak száma. 172 3. Az (515) összefüggésbôl P −k = ∏ (s − pi ) i =1 Z ; ∏ (s − z j

) P ≥ Z. (5.27) j =1 k = 0 akkor állhat fenn, ha s = pi . A gyökhelygörbe tehát a felnyitott rendszer pólusaiból indul ki, ha k = 0. A k = ∞ érték akkor állhat fenn, ha s = z j , vagy s ∞ Tehát k ∞ esetén a karakterisztikus egyenlet gyökei a felnyitott rendszer zérusaiba futnak be, illetve P > Z esetén P − Z számú gyök a végtelenbe kerül. 4. Ha az s gyökhelygörbe pont a valós tengelyen van, a konjugált komplex pólusokból (illetve zérusokból) kiinduló vektorok páronként 0° vagy 360° szöget szolgáltatnak, tehát figyelmen kívül hagyhatók. A valós pólusok illetve zérusok, ha az adott s ponttól balra vannak, 0° szöget, ha pedig attól jobbra esnek, 180° szöget adnak. Az (517) szögfeltétel kielégítéséhez az s ponttól jobbra a pólusok és zérusok számának összege páratlan kell legyen. 5. Az aszimptoták a gyökhelygörbe igen távoli pontjait közelítik, ahonnan a felnyitott kör pi pólusai és z j zérusai mind

azonos α szög alatt látszanak. A szögfeltétel tehát az alábbi alakban írható: Pα − Zα =  N 180 (5.28) ahonnan az aszimptoták szöge α= N 180 P−Z ; N = 1, 3, 5, (5.29) 6. A pólusokat +1, a zérusokat -1 súllyal véve figyelembe, az aszimptoták kiindulási pontja éppen a súlypontban van, mert nagyobb távolságból nézve a rendszert a súlypontja helyettesíti. A szabály analitikusan is levezethetô. 7. A valós tengelybôl való kilépés (vagy beérkezés) x helyére is teljesül a szögfeltétel Az 5.7 ábra szerint a valós tengelybôl kis ε távolsággal merôlegesen kilépve és a kis szögeket tangensükkel helyettesítve írhatjuk: P Z ε ε ∑x− p −∑ x−z =0 i j i =1 j =1 A fenti összefüggésbôl következik (5.26) 5.7 ábra A gyökhelygörbe valós tengelybôl való kilépési helyének meghatározása (5.30) 173 8. A stabilitás határhelyzetében a karakterisztikus egyenletnek az imaginárius tengelyre kerülnek

gyökei. Néhány példa a gyökhelygörbe meghatározására a szerkesztési szabályok alapján 5.3 Példa Tekintsük az 5.1 illetve 52 példákban vizsgált rendszert A felnyitott kör átviteli függvénye L( s) = K s(1 + s)(1 + 5 s) . A negatívan visszacsatolt rendszerben merev visszacsatolást alkalmazunk. Adjuk meg az L(s) átviteli függvényt zérus-pólus alakban L( s) = k , s( s + 1)( s + 0.2) ahol k = 0.2K a huroktényezô Határozzuk meg a gyökhelygörbe menetét A változó paraméter a k huroktényezô. 5.8 ábra Mereven visszacsatolt kéttárolós integráló tag gyökhelygörbéje A szerkesztési szabályok alapján megállapíthatjuk, hogy a gyökhelygörbének 3 ága van. Az ágak a felnyitott rendszer pólusaiból, az s1 = 0 , s2 = −0.2 , s3 = −1 pontokból indulnak, és a végtelenbe tartanak. A valós tengelyen a gyökhelygörbének a 0 és a -02 pontok között, valamint a -1 és a −∞ tartományban van szakasza. A 0 és a -02 pontok között a

gyökhelygörbe kilép a valós tengelybôl. A végtelenbe tartó ágak aszimptotáinak szöge: α = ± N180 ( 3 − 0) , N = 1-nél ±60 , N = 3-nál 180 . Az aszimptoták kiindulási pontja a valós tengelybôl: −1.2 / 3 = −04 A gyökhelygörbe valós tengelybôl való kilépési helye az 1 1 1 + + = 0 egyenlet megoldásával adódik. A megoldások: x1 = −07055 , x x + 1 x + 0.2 x 2 = −0.0945 Csupán x 2 lehet a megoldás, mivel x1 -ben a gyökhelygörbének nem lehet pontja. A gyökhelygörbe menetét az 58 ábra szemlélteti A kritikus huroktényezô a karakterisztikus egyenletbôl pl. a ROUTH vagy a HURWITZ kritériummal határozható meg Ennél a huroktényezô értéknél a gyökhelygörbe metszi az imaginárius tengelyt. Az 51 illetve 52 példáknál mindkét módszerrel meghatároztuk a kritikus hurokerôsítés értékét. A rendszer stabilitási tartománya: 0 < K < 1.2 , illetve 0 < k < 024 A karakterisztikus egyenlet a kkrit = k = 0.24

kritikus értéknél: s( s + 1)( s + 0.2) + 024 = s3 + 12 s2 + 02 s + 024 = 0 174 A gyökök közül kettô az imaginárius tengelyre esik. Írhatjuk tehát, hogy ( ) s3 + 1.2 s2 + 02 s + 024 = ( s + γ )( s + jη)( s − jη) = ( s + γ ) s2 + η2 = s3 + γs2 + η2 s + γη2 Az együtthatók összehasonlításával kapjuk a γ = 1.2 ; η = 02 = 04472 paramétereket. A lengési körfrekvenciát az imaginárius tengellyel való η metszék adja meg 5.9 ábra Zérus beiktatásának hatása a gyökhelygörbére További példák a gyökhelygörbe menetére Néhány rendszer gyökhelygörbéjének menetét léptékhelyességre való törekvés nélkül az 5.2 táblázat tünteti fel Az ábrákat összehasonlítva látszik, hogy egy újabb pólus megjelenése a gyökhelygörbe ágakat taszítja. Egy újabb zérus megjelenése viszont a gyökhelygörbe ágait vonzza. Az 5.9 ábra szemlélteti, hogy 3 pólus esetén egy zérust beiktatva, az hogyan módosítja a gyökhelygörbe

menetét. A zérus megfelelô elhelyezésével a szabályozási kör a huroktényezô teljes tartományában stabilissá tehetô. Az 5.10 ábra egy labilis nyitott rendszerre adja meg a gyökhelygörbét A felnyitott rendszer átviteli függvénye: L( s) = k ( s + 1) s( s − 1)( s + 6) A felnyitott rendszer egy labilis pólussal rendelkezik. A zérus beiktatásával biztosítható, hogy a negatívan visszacsatolt zárt rendszer megfelelô huroktényezô választása mellett stabilissá váljon ( k > kkrit = 7.5 ) Megjegyezzük, hogy a gyökhelygörbe alakja analógiát mutat az elektrosztatikus tér erôterével. Ha a pozitív és negatív töltések a síkban helyezkednek el, az elektrosztatikus erôtér aszimptotái a gyökhelygörbe alakját mutatják, ha a pozitív töltések helyére a pólusokat, a negatív töltések helyére pedig a zérusokat tesszük. (Általában források és nyelôk potenciálterével való analógiáról beszélhetünk.) 175 5.10 ábra Labilis

felnyitott rendszer stabilizálása negatív visszacsatolással zérus beiktatásával A gyökhelygörbe menete a huroktényezôtôl eltérô paraméter változása esetén Ha nem a huroktényezô, hanem más változó paraméter függvényében kívánjuk megadni a gyökhelygörbét, a karakterisztikus egyenletet át kell alakítani α H ( s) = −1 alakra, ahol α a változó paraméter, H ( s) pedig az átalakítás során kapott átviteli függvény. Ezután a gyökhelygörbe szerkesztésekor α veszi át az erôsítés szerepét, H ( s) pedig egy konstruált hurokátviteli függvény. 5.4 Példa Az eljárást egy kéttárolós visszacsatolt rendszeren mutatjuk be, ahol nem a huroktényezô, hanem a rendszer egyik pólusa (idôállandója) változhat. A felnyitott kör átviteli függvénye legyen L( s) = 10 (s − α)(s + 5) A változó paraméter az α pólus. A karakterisztikus egyenlet: (s − α)(s + 5) + 10 = 0 illetve s( s + 5) − α ( s + 5) + 10 = 0 Átrendezve: 1−

α s+ 5 =0 s + 5 s + 10 2 A gyökhelygörbét a 176 5.2 táblázat Tipikus rendszerek gyökhelygörbéi H ( s) = α −( s + 5) s + 5 s + 10 2 hurokátviteli függvényre határozzuk meg (5.11 ábra) Látható, hogy kis α értékekre ( −11.32 < α < 0 ) a zárt rendszerben csillapodó lengések lépnek fel Ha α értéke tovább nô, a 177 tranziensek aperiodikus viselkedést mutatnak. A mai korszerû számítástechnika lehetôvé teszi a hurokerôsítés mellett egy további paraméter változásának hatását megfigyelni oly módon, hogy a klasszikus gyökhelygörbét a másik paraméter (pl. α) diszkrét értékeire számítjuk ki és a görbesereget három dimenzióban (3D) ábrázoljuk. Az alapvetô két dimenzió maga a komplex számsík, amely fölé "szeletenként" felrajzoljuk a további gyökhelygörbéket. A harmadik tengely tehát az α változó A 3D-s ábrázolásnak számtalan hatékony grafikus szoftver eszköze ismeretes, amelyek

segítségével nagyon hasznos felületeket ábrázolhatunk. 5.11 ábra Kéttárolós arányos rendszer gyökhelygörbéje az egyik pólus változása esetén 5.6 A NYQUIST stabilitási kritérium Az analitikus ROUTH-HURWITZ kritériumokkal a karakterisztikus egyenlet együtthatói alapján megállapíthatjuk a zárt rendszer stabilitását, de labilitás esetén nehéz megmondani, hogyan változtassuk a rendszer paramétereit a stabilitás és a megfelelô dinamikus viselkedés biztosításához. A gyökhelygörbe szemléletes képet ad a szabályozási kör karakterisztikus egyenlete gyökeinek alakulásáról egy változó paraméter függvényében, így átfogó képet kaphatunk a rendszer stabilitási és dinamikus viszonyairól. A NYQUIST kritérium alapján a felnyitott kör frekvenciadiagramjából következtethetünk a zárt rendszer stabilitására. A módszer szemléletes, és labilitás esetén könnyen megadható, hogyan célszerû a szabályozási kör struktúráját

és paramétereit módosítani. A frekvenciafüggvény megfelelô alakításával – járulékos zérusok és pólusok beiktatásával – formálhatjuk a frekvenciafüggvényt a zárt kör elôírt tulajdonságainak, stabilitásának, statikus és dinamikus tulajdonságainak biztosítására. A csillapítatlan lengés kialakulásának szemléltetése a frekvenciatartományban A zárt szabályozási rendszer karakterisztikus egyenlete 1 + L( s) = 0 , ahol L( s) a felnyitott kör átviteli függvénye. Az s = jω helyettesítéssel vizsgálhatjuk, hogy az egyenletnek van-e megoldása az imaginárius tengelyen. Ha van olyan ω o frekvencia, amelyre teljesül az 1 + L( jω o ) = 0 , illetve az L( jω o ) = −1 feltétel, a zárt rendszerben ezen a körfrekvencián csillapítatlan lengések keletkeznek, a rendszer a stabilitás határára kerül. Ekkor a felnyitott kör NYQUIST diagramja áthalad a komplex számsík −1 + j 0 pontján. 178 5.12 ábra A stabilitás határán

mûködô szabályozási kör NYQUIST diagramja A csillapítatlan lengés kialakulását a következôképpen szemléltethetjük. Tekintsük az 5.12 ábrán látható szabályozási kört A felnyitott kör NYQUIST diagramja az ω o körfrekvencián áthalad a −1 + j 0 ponton. Képzeletben nyissuk fel a rendszert a B-K pontnál Legyen a rendszer r alapjele ω o körfrekvenciájú szinuszos jel. Ezt a jelet a rendszer azonos amplitúdóval, de ellenkezô elôjellel viszi át. Ha most a B-K pontokat összekötjük, a negatív visszacsatolás miatt az e hibajel megegyezik a bemeneti szinuszos jellel. Ez a csillapítatlan szinuszos jel akkor is fennmarad a rendszerben, ha az alapjelet megszüntetjük. Ilyen frekvenciájú lengések jönnek létre a rendszerben akkor is, ha az alapjel az adott szinuszos jeltôl eltérô, más determinisztikus jel, például egységugrás. Ugyanis az alapjel frekvenciaspektrumában valamennyi frekvencia elôfordul, ezekbôl a szinuszos összetevôkbôl az

alapjel felépíthetô. Az ω o körfrekvenciájú összetevô a rendszerben fennmarad. Az egyszerûsített NYQUIST stabilitási kritérium Tételezzük fel, hogy a felnyitott kör átviteli függvényének nincsenek jobb oldali pólusai, tehát a felnyitott rendszer stabilis. Rajzoljuk fel a frekvenciafüggvényt a komplex számsíkon az −∞ < ω < ∞ tartományra (teljes NYQUIST diagram). Járjuk körül a NYQUIST diagramot a növekvô frekvenciák irányában Ha a NYQUIST diagram nem veszi körül a −1 + j 0 pontot, a zárt szabályozási kör stabilis. Ha a NYQUIST diagram átmegy a −1 + j 0 ponton, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a NYQUIST diagram körülveszi a −1 + j 0 pontot, a rendszer labilis. Egyszerûbb megfogalmazásban: Elegendô a NYQUIST diagramot a pozitív ω értékekre felrajzolni. Ha a diagramot ω = 0-tól ∞-ig végigjárjuk, és a −1 + j 0 pont a görbétôl bal kéz felé esik, a zárt szabályozási rendszer stabilis. Ha a görbe

áthalad a −1 + j 0 ponton, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a −1 + j 0 pont a görbétôl jobb kéz felé esik, a rendszer labilis 5.13 ábra Az egyszerûsített NYQUIST stabilitási kritérium a konform leképzéssel bizonyítható Az egyszerûsített NYQUIST stabilitási kritérium a konform leképezés alapján bizonyítható. Az 179 L( jω) NYQUIST diagram az imaginárius tengely konform leképezése az L( s) függvény szerint miközben ω = −∞ és +∞ között változik (5.13 ábra) Tekintsük az imaginárius tengellyel párhuzamos −σ + jω és σ + jω egyeneseket, ahol σ egy adott pozitív szám. A konform leképezés szög és aránytartó. Ebbôl adódóan a −σ + jω egyenes L(−σ + jω) konform leképezése az L( jω) -tól balra, míg a σ + jω egyenes L(σ + jω) képe L( jω) -tól jobbra esik. Ha tehát az L( jω) görbe a valós tengelyt a −1 + j 0 ponttól jobbra metszi, és így nem fogja azt körül, akkor az L( si ) = −1

egyenlet csak olyan gyökökre teljesülhet, amelyeknek valós része negatív, vagyis a tranziensek lecsengenek. Ekkor tehát a zárt szabályozási rendszer stabilis. Hasonlóan, ha az L( jω) görbe a valós tengelyt a −1 + j 0 ponttól balra metszi, és így azt körülfogja, az L( si ) = −1 egyenlet csak olyan gyökökre teljesülhet, amelyeknek valós része pozitív, a tranziensek növekvô amplitúdójúak, tehát a rendszer labilis. 5.14 ábra Háromtárolós arányos rendszer stabilitásvizsgálata 5.5 Példa Tekintsük az 5.14 ábrán látható szabályozási kört A NYQUIST stabilitási kritérium alapján határozzuk meg a kritikus hurokerôsítés értékét. 5.15 ábra Háromtárolós arányos rendszer NYQUIST diagramja a stabilitás határhelyzetében Az 5.15 ábra a felnyitott rendszer NYQUIST diagramját mutatja a stabilitás határhelyzetében A NYQUIST diagram az ω o körfrekvencián áthalad a komplex számsík −1 + j 0 pontján. Ezen a körfrekvencián a

frekvenciafüggvény fázisszöge -180°, abszolút értéke pedig 1. Továbbá ϕ(ω o ) = −3 arctg (ω oT ) = −180 ,  3 ahonnan ω oT = 3 . Így K krit =  1 + ω 2oT 2  = 8 , ami független a T idôállandó értékétôl   5.6 Példa A NYQUIST kritérium holtidôs rendszerre is alkalmazható. Tekintsük az 53 ábrán látható 180 holtidôs szabályozási kört. A felnyitott rendszer NYQUIST diagramja a frekvencia növelésével egy önmagát végtelen sokszor körbejáró K sugarú kör (5.16 ábra) A stabilitás határhelyzetében a kör átmegy a -1 ponton, tehát K krit = 1, összhangban az 5.4 ábrával és az 5.1 táblázat alapján megállapított konvergencia feltétellel 5.16 ábra Holtidôs rendszer NYQUIST diagramja Az általánosított NYQUIST stabilitási kritérium Az általánosított NYQUIST stabilitási kritérium arra az esetre is megadja a stabilitás feltételét, amikor a felnyitott körnek van jobb oldali pólusa, vagyis a

felnyitott kör labilis. A kérdés az, hogy ilyenkor a negatív visszacsatolással a zárt szabályozási kör stabilizálható-e. Az általánosított NYQUIST kritérium a következôképpen fogalmazható meg: ha a felnyitott rendszer labilis, és jobb oldali pólusainak száma P , a zárt szabályozási rendszer aszimptotikusan stabilis, ha a felnyitott rendszer teljes NYQUIST diagramja annyiszor veszi körül a komplex számsíkon a −1 + j 0 pontot az óramutató járásával ellentétes pozitív irányban, amennyi a felnyitott rendszer jobb oldali pólusainak száma (azaz P -szer). 5.17 ábra A teljes NYQUIST diagram képzése 5.18 ábra A leképzendô zárt görbe, ha L( s) nek van az imaginárius tengelyre esô pólusa A teljes NYQUIST diagramot most az elôzô pontban megadott megfogalmazásnál precízebben adjuk meg. Az s komplex síkon az s = jω egyenest ( −∞ < ω < ∞ ) zárjuk egy végtelen sugarú jobb oldali félkörrel az 5.17 ábra szerint Ennek a

zárt görbének az L( s) függvény szerinti 181 leképezése a felnyitott kör teljes NYQUIST diagramja. (Megjegyezzük, hogy ha az L( s) racionális tört nevezôje magasabb fokszámú a számlálójánál, a végtelen sugarú félkör a zérus pontba képzôdik le.) Ha L( s) -nek van pólusa az imaginárius tengelyen, a zárt görbét az 5.18 ábra szerint úgy módosítjuk, hogy az egy zérushoz tartó δ sugarú félkörrel kerülje meg az adott pontot jobbról vagy balról. Ha az 518 ábra szerint jobbról kerüljük meg az imaginárius tengelyen lévô pólust, az bal oldali pólusnak tekinthetô. Ha a megkerülés bal oldalról történik, akkor a pólus jobb oldalinak számít. Az általánosított NYQUIST stabilitási kritérium komplex függvénytani megfontolásokkal látható be. Legyen f ( s) az s komplex változó alábbi függvénye: f ( s) = ( s − so ) , ahol so adott pont Vizsgáljuk meg, hogyan változik f ( s) vektora, ha az s − so vektor végpontja az s

síkon olyan zárt görbén halad végig az óramutató járásával megegyezô irányban, amely mentén az f ( s) függvény reguláris (differenciálható). m (a) (b) (c) (d) 5.19 ábra Komplex függvénytani megfontolások Ha az so pont a zárt görbe belsejébe esik (5.19a ábra), az s − so vektor valamilyen kezdeti pontból kiindulva és a görbét az óramutató járásával megegyezô irányban bejárva visszakerül eredeti helyzetébe, de közben fázisszöge −2π értékkel megváltozik. Eközben az f ( s) függvény képe −m2π szöggel fordul el a kiindulási ponttól az f ( s) függvény által meghatározott görbe mentén. Ez a görbe m teljes fordulattal veszi körül az origót az óramutatóval azonos ( m pozitív), vagy azzal ellentétes ( m negatív) irányban (5.19b ábra) Ha viszont az so pont a zárt görbén kívül fekszik (5.19c ábra), a zárt görbét körüljárva az s − so vektor szöge elôször egyik irányban növekszik, majd azután a másik

irányban ugyanannyival csökken, és az f ( s) függvény által leírt görbe végülis nem veszi körül az origót (5.19d ábra) Alkalmazzuk a fenti megfontolásokat a zárt szabályozási kör karakterisztikus függvényére. Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye racionális törtfüggvény, amelynek számlálója az N ( s) , nevezôje pedig a D( s) polinom, L( s) = N ( s) D( s) . A karakterisztikus függvény: 182 1 + L( s) = 1 + N ( s) D( s) + N ( s) (s − z1)(s − z2 ).(s − zn ) = =k D( s) D( s) (s − p1)(s − p2 ).(s − pn ) (5.31) zi -vel jelöltük a számláló gyökeit, amelyek az 1 + L( s) függvény zérushelyei, pi -vel pedig a nevezô gyökeit, amelyek az 1 + L( s) függvény pólusai. k konstans Az 1 + L( s) függvény pólusai megegyeznek a felnyitott kör átviteli függvényének pólusaival. (A többszörös gyökök megfelelô számú gyöktényezôvel szerepelnek a kifejezésben.) Vegyük fel a komplex számsíkon a zárt görbét az 5.17

ábra szerint Végighaladunk az imaginárius tengelyen −∞ -tôl +∞-ig, majd a görbét a jobb félsíkon haladó végtelenhez tartó sugarú félkörrel zárjuk. Ezt a görbét képezzük le az (531) karakterisztikus függvény szerint Az (5.31) egyenlet valamennyi gyöktényezôjére fennállnak a fenti komplex függvénytani megfontolások. (A zérusokra so = z1 , z2 , , zn és m = 1, míg a pólusokra so = p1 , p2 , , pn és m = −1.) Az 1 + L( s) függvény fázisszöge az egyes tényezôk fázisszögének elôjeles összege Ha az 1 + L( s) függvénynek Z számú zérusa és P számú pólusa van a jobb oldali félsíkon, az 5.17 ábrán látható zárt görbén belül, az 1 + L( s) függvénynek a tekintett zárt görbe szerinti leképzése annyiszor veszi körül az origót az óramutató irányában, amennyi a görbe által közrefogott zérusok és pólusok számának különbsége. A kezdeti és a végállapot közötti szögeltérés −2π ( Z − P ) . Az

origó körüli R körülfordulások száma pedig R=P−Z (5.32) ahol az óramutató járásával ellenkezô irányú körülfordulást tekintjük pozitív elôjelûnek (a részletes levezetést lásd az F.5 Függelék 51 pontjában) 5.20 ábra Az L( s) és 1 + L( s) vektorok kapcsolata Mivel az 1 + L( s) függvényt egyszerûen úgy is tekinthetjük, hogy az L( s) görbét a −1 + j 0 pontból mint origóból szemléljük (5.20 ábra), az L( s) függvény leképzése az 517 ábra zárt görbéje szerint (az ún. teljes NYQUIST diagram) R = P − Z -szer veszi körül a −1 + j 0 pontot P a karakterisztikus függvény jobb oldali pólusainak száma. Ezek a pólusok viszont az (531) egyenlet szerint megegyeznek a felnyitott rendszer jobb oldali, labilis pólusaival. Z a karakterisztikus egyenlet jobb oldali zérusainak száma. Stabilis viselkedés esetén a karakterisztikus egyenletnek nem lehetnek jobb oldali zérusai. A stabilitás feltétele tehát Z=0 , illetve R = P .

(5.33) Az általánosított NYQUIST stabilitási kritériumból következik az egyszerûsített NYQUIST kritérium is. Ha ugyanis a felnyitott rendszernek nincs jobb oldali pólusa, vagyis P = 0 a zárt rendszer akkor stabilis, ha R = 0, vagyis a NYQUIST diagram nem veszi körül a −1 + j 0 pontot. Megjegyezzük, hogy a gyakorlati esetek többségében a felnyitott kör stabilis, és a szabályozási 183 körben a visszacsatolás eredményezheti a labilis mûködést. De elôfordulnak labilis szakaszok is, amelyeket szabályozással, negatívan visszacsatolt körben kívánunk stabilizálni. Labilis szakasz például az inverz inga. A cirkuszi zsonglôr képes egyensúlyozni az eldôlni akaró rudat - kézi szabályozást valósítva meg - megfelelôen gyors, a rúd eldôlési dinamikájánál gyorsabb mozgással (5.21 ábra) Az inverz inga stabilizálásának automatikus megoldását vázlatosan az 5.22 ábra szemlélteti 5.21 ábra A zsonglôr egyensúlyozni tudja az alul

alátámasztott rudat 5.22 ábra Inverz inga mozgásának stabilizálása Néhány példa a NYQUIST stabilitási kritérium alkalmazására 5.7 Példa Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye: L( s) = 5 5 =− . 1− s s−1 Állapítsuk meg, stabilis-e a zárt szabályozási kör. 5.23 ábra Negatívan visszacsatolt labilis szakasz stabilitásvizsgálata 184 A rendszernek egy jobb oldali pólusa van, tehát P = 1. A NYQUIST diagramot az 523 ábra mutatja. Mivel a diagram nem fogja körül a -1 pontot, R = 0, a zárt rendszer labilis A rendszer stabilizálható, ha az elôrevezetô ágba sorosan egy elôjelfordító A = −1 átviteli tényezôjû ún. kompenzáló tagot iktatunk be Ezzel a NYQUIST diagram az origóra tükrözôdik (pontvonallal jelzett görbe), és a -1 pont körül a körülfordulások száma R = P = 1 lesz. 5.8 Példa Tekintsük például azt az esetet, mikor a felnyitott kör egy integrátor, L( s) = K I s , amelynek pólusa az origóba esik. A

leképzendô zárt görbét a pólus jobbról való megkerülésével és a hozzá tartozó teljes NYQUIST diagramot az 5.24a ábra mutatja, míg a balról való megkerülés esetét az 5.24b ábra tünteti fel Az s síkon a pólust megkerülô kis kör 1, 2, illetve 3-mal jelölt pontjai az L( s) síkon az 1’, 2’, illetve 3’ pontokba képzôdnek le. Az (a) esetben P = 0 és R = 0, a (b) esetben P = 1 és R = 1, tehát bármelyik megkerülést választjuk, a zárt rendszer stabilis mûködését állapíthatjuk meg. (a) (b) 5.24 ábra Negatívan visszacsatolt integráló tag szabályozási körének stabilitásvizsgálata 5.9 Példa A felnyitott kör legyen egy háromtárolós arányos tag, L( s) = K (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 ) . A pólusok: p1 = −1 T1 , p2 = −1 T2 , p3 = −1 T3 mind bal oldaliak, tehát P = 0. Alkalmazzuk az általánosított NYQUIST stabilitási kritériumot. A felnyitott kör teljes NYQUIST diagramját az 5.17 ábrán adott görbe leképzésével az

525 ábra mutatja Ha a NYQUIST diagram áthalad a -1 ponton, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a NYQUIST diagram nem foglalja magába a -1 pontot ( K1 hurokerôsítés), R = P = 0, a szabályozás stabilis. Ha a NYQUIST diagram magába 185 foglalja a -1 pontot ( K 2 hurokerôsítés), R ≠ P , a szabályozás labilis. Az R körülfordulások számának meghatározásához szúrjuk képzeletbeli körzônk hegyét a -1 pontba, és járjuk körbe a körzô végével a NYQUIST diagramot ω = −∞-tôl +∞-ig. A körülfordulások száma R = −2 (az óramutató járásával megegyezô irány). A karakterisztikus egyenletnek két jobb oldali gyöke van, Z = 2, mivel R = −2 = P − Z = 0 − Z . Megjegyezzük, hogy stabilis felnyitott rendszer esetén elegendô az egyszerûsített NYQUIST stabilitási kritériumot alkalmazni. Stabilis esetben a −1 + j 0 pont a pozitív NYQUIST diagramtól bal kéz felé, labilis esetben attól jobb kéz felé esik. Az egyszerûsített

stabilitásvizsgálat alkalmazható azokra az esetekre is, mikor a felnyitott kör integrátorokat tartalmaz, tehát vannak pólusai az origóban. 5.25 ábra Háromtárolós arányos rendszer stabilitásvizsgálata A stabilitás gyakorlatban használt mérôszámai Stabilis felnyitott kör esetén tehát a zárt szabályozási kör akkor stabilis, ha a NYQUIST diagram nem veszi körül a −1 + j 0 pontot. Mondhatjuk, hogy a rendszernek stabilitási tartaléka van, ha a NYQUIST diagramot „kellôen távol tartjuk” a −1 + j 0 ponttól. Definiálhatunk mérôszámokat, amelyek jelzik, milyen messze van a felnyitott rendszer NYQUIST diagramja a −1 + j 0 ponttól. Ilyen mérôszámok a fázistartalék vagy fázistöbblet (phase margin), az erôsítési tartalék (gain margin), a modulus tartalék (modulus margin) és a késleltetési tartalék (delay margin). 5.26 ábra A fázistöbblet értelmezése 186 Fázistartalék vagy fázistöbblet Rajzoljuk fel a felnyitott

rendszernek a pozitív frekvencia értékekhez tartozó NYQUIST diagramját. Határozzuk meg a N YQUIST diagramnak az egységsugarú körrel való metszéspontját. A metszésponthoz tartozó körfrekvenciát vágási körfrekvenciának nevezzük és ω c -vel (cut-off frequency) jelöljük. Kössük össze egy egyenessel az origót és metszéspontot Ennek az egyenesnek a negatív valós tengellyel bezárt szögét fázistartaléknak vagy fázistöbbletnek nevezzük (5.26 ábra) ϕ t = ϕ(ω c ) + 180 = arg L( jω c ) + 180 (5.34) Ha a fázistöbblet pozitív, a rendszer stabilis. Ha a fázistöbblet zérus, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a fázistöbblet negatív, a rendszer labilis Tehát ϕ t > 0 Stabilis rendszer ϕ t = 0 Határhelyzet ϕ t < 0 Labilis rendszer (5.35) A fázistöbblet, mint egyetlen mérôszám alapján akkor ítélhetjük meg a rendszer stabilitását, ha a NYQUIST diagram csak egyszer metszi az egységsugarú kört. Erôsítési

tartalék Határozzuk meg a NYQUIST diagramnak a negatív valós tengellyel való metszését és ezen pontnak a −1 + j 0 ponttól való κ = 1 + L( jω180 ) távolságát (5.27 ábra) Nyilvánvaló, hogy a κ > 0 esetre az egyszerûsített NYQUIST kritérium stabilitási tartományát kapjuk. Az erôsítési tartalék, mint egyetlen mérôszám alapján akkor ítélhetjük meg a rendszer stabilitását, ha a NYQUIST diagram csak egyszer metszi a negatív valós tengelyt. 5.27 ábra Az erôsítési tartalékok értelmezései A κ′ ún. módosított erôsítési tartalékot az 527 ábrán látható κ′ = L( jω180 ) = 1 − κ metszékkel definiáljuk. Ha κ′ < 1, a rendszer stabilis Ha κ′ = 1, a rendszer a stabilitás határán van Ha κ′ > 1, a rendszer labilis. Tehát κ′ < 1 Stabilis rendszer κ′ = 1 Határhelyzet κ′ > 1 Labilis rendszer (5.36) 187 A κ jelentése szemléletesebb, a κ′ -nak a reciproka viszont azt jelenti, hogy

hányszorosára növelhetjük meg a körerôsítést a stabilitási határ eléréséig. Ezért szokásos még a gt = 1 κ′ = = 1 L( jω180 ) mennyiséget is mint relatív erôsítési tartalékot használni. A gt értékével megszorozva a körerôsítést, a kritikus körerôsítés értékét kapjuk meg. Egyszerû megfontolásokból kapjuk a gt ≥ M m ( M m -1) és ϕ t ≥ 2 arcsin(1 M m ) egyenlôtlenségeket. (Az M m jelentéséhez lásd (4.25)-t) 5.28 ábra Amikor a fázistöbblet és az erôsítési tartalék nem értelmezhetô Az 5.28 ábra egy olyan rendszer NYQUIST diagramját mutatja, ahol sem a fázistöbblet, sem az erôsítési tartalék nem értelmezhetô. (A NYQUIST diagram ilyen lefolyását lengô tagok és zérusok jelenléte alakíthatja.) Ilyenkor az egész NYQUIST diagramot kell tekinteni Az egyszerûsített NYQUIST kritérium alapján eldönthetô a stabilitás: mivel a görbét körüljárva a −1 + j 0 pont jobb kéz felé esik, a rendszer labilis. A

stabilitás mellett a megfelelô tranziens viselkedéshez, a zárt rendszer átmeneti függvényében a kb. 10% alatti túllendülés biztosításához a megkívánt fázistöbblet 60° körüli, a gt relatív erôsítési tartalék értéke pedig kb. 2 ( κ ≈ κ′ ≈ 05 ) Ezek a jellemzô értékek akkor tekinthetôk irányadónak a gyakorlatban, ha nincsenek rezonáns jelenségek a hurokátviteli függvény frekvencia függvényében. 5.29 ábra Amikor megfelelô fázistöbblet és erôsítési tartalék mellett sem lesz kielégítô a rendszer dinamikus viselkedése A kielégítô fázistöbblet és erôsítési tartalék nem minden esetben adnak megbízható információt a rendszer stabilitási tartalékáról. Tekintsük például az 529 ábrán látható NYQUIST diagramot Annak ellenére, hogy mind a fázistöbblet, mind az erôsítési tartalék megfelelô, a zárt kör L (1 + L) frekvenciafüggvényében a vágási körfrekvencia környékén nagy kiemelések jöhetnek

létre, mivel a frekvencia növelésével L amplitúdója alig változik, viszont az 1 + L vektor amplitúdója jelentôsen csökken. Nagy kiemelés a zárt rendszer frekvenciafüggvényében a vágási körfrekvencia környékén lengésekre utal az átmeneti függvényben. Továbbá, ha a 188 szakasz paraméterei kissé megváltoznak, a rendszer akár labilissá is válhat. A fázistöbblet vagy erôsítési tartalék akkor jellemzik a rendszer stabilitási viszonyait, ha a NYQUIST diagram a vágási körfrekvencia elôtt és után nem közelíti meg túlságosan az egységsugarú kört. 5.30 ábra A modulus tartalék értelmezése Modulus tartalék Az ρm modulus tartalék a −1 + j 0 pont és a NYQUIST diagram távolsága, tehát a −1 + j 0 középpontú - a diagramot még érintô - legkisebb kör sugara (5.30 ábra) A modulus tartalék szemléletesen mutatja, milyen messze van a rendszer legkevésbé stabilis pontja a stabilitás határától. A modulus tartalékra

ésszerû elôírás, hogy lehetôleg legyen ρm > 05 A ρm modulus tartalékot NYQUIST stabilitási tartaléknak is hívják. Igen fontos összefüggés, hogy ρm megegyezik az érzékenységi függvény (lásd a 6. Fejezetet) maximális abszolút értékének a reciprokával: ρm = 1 = min S −1 ( jω) = min 1 + L( jω) ω ω max S ( jω) (5.37) ω A ϕ t , κ, ρ m tartalékok analóg fogalmak, hiszen mindegyik valamilyen módon a −1 + j 0 ponttól való távolságot kívánja garantálni. Késleltetési tartalék A késleltetési tartalék megadja a holtidônek azt a Tmin legkisebb értékét, amelyet a felnyitott körbe sorosan beiktatva a zárt rendszer a stabilitás határára kerül. A késleltetési tartalék a radiánban mért fázistöbbletbôl az alábbi összefüggéssel számítható ki: Tmin = ϕt ωc (5.38) ahol ω c a vágási körfrekvenciát jelöli. A stabilitási tartalékok alapján nemcsak a stabilitást dönthetjük el, hanem azt is

megállapíthatjuk, „milyen messze van” a rendszer a stabilitás határától. Struktúrális és feltételes stabilitás Tételezzük fel, hogy a felnyitott rendszer stabilis, tehát a zárt rendszer stabilitása megítélhetô az egyszerûsített NYQUIST kritérium alapján. 189 A legtöbb rendszer általában kis hurokerôsítési értékekre stabilis, egy adott kritikus hurokerôsítésnél a rendszer a stabilitás határára kerül, majd a hurokerôsítést növelve labilissá válik. (Ilyen rendszer a háromtárolós arányos szakasz visszacsatolásával adódó szabályozási kör, ld. az 55 és az 59 példákat) 5.31 ábra Struktúrálisan stabilis rendszerek NYQUIST diagramjai 5.32 ábra Feltételesen stabilis rendszer NYQUIST diagramja Vannak azonban struktúrájuknál fogva mindig stabilis rendszerek, amelyek bármilyen hurokerôsítés érték mellett stabilisak maradnak. Ezeket a rendszereket struktúrálisan stabilis rendszereknek nevezzük. Ilyen rendszerek

például a negatívan visszacsatolt egytárolós és kéttárolós arányos rendszer, a visszacsatolt tiszta integráló tag és egytárolós integráló tag, amelyek NYQUIST diagramja nem fogja körül a -1 pontot, akármekkora is a hurokerôsítés. A hurokerôsítés növelésével a rendszer nem válik labilissá, azonban a stabilitási tartalékok csökkennek. E rendszerek NYQUIST diagramját az 531 ábra szemlélteti Vannak olyan rendszerek is, amelyek a hurokerôsítés egyes megadott tartományaiban stabilisak, más tartományokban viszont labilisak. E rendszereknél ügyelni kell tehát a hurokerôsítés beállítására. Ezeket a rendszereket feltételesen stabilis rendszereknek nevezzük Egy feltételesen stabilis rendszer NYQUIST diagramjára az 5.32 ábra mutat példát A NYQUIST diagram alakulását a pólusok mellett a beiktatott zérusok befolyásolják. Ha a hurokerôsítés kicsi, a -1 pont a NYQUIST diagramtól bal kéz felé esik, tehát kis hurokerôsítésekre a

szabályozási rendszer stabilis. A hurokerôsítés növelésével a -1 pont a görbétôl jobb kéz felé esik, tehát a rendszer labilissá válik. A hurokerôsítést tovább növelve a -1 pont a diagramtól bal kéz felé kerül, tehát a rendszer stabilissá válik. A hurokerôsítés további növelésével a diagram ismét körbeveszi a -1 pontot, tehát a szabályozási kör labilis lesz. 5.33 ábra A fázistöbblet és az erôsítési tartalék leolvasása a BODE diagramból 190 A stabilitás megítélése a BODE diagramból A fázistöbblet és az erôsítési tartalék a felnyitott rendszer BODE diagramjából is leolvasható. Az ω c vágási körfrekvenciánál a frekvenciafüggvény abszolút értéke egységnyi. A BO D E amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbe ennél a frekvenciánál metszi a vízszintes nulla dB tengelyt. Az ehhez a körfrekvenciához tartozó fázisszögnek a −180° -tól való eltérése adja a fázistöbbletet. A ϕ = −180 -hoz tartozó

frekvenciánál leolvasott abszolút érték megadja a κ paraméter értékét dB-ben, amibôl meghatározható az erôsítési tartalék (5.33 ábra) Ha a felnyitott kör minimumfázisú (átviteli függvénye nem tartalmaz jobb oldali zérusokat és pólusokat), továbbá a szabályozási kör nem tartalmaz holtidôs tagot, a stabilitás igen egyszerûen megállapítható a felnyitott kör közelítô amplitúdó-körfrekvencia görbéje alapján. Ekkor a BODE amplitúdó diagramból egyértelmûen következik a fázisszög menete, ugyanis a pólusokhoz pozitív, a zérusokhoz pozitív arctg görbe szerinti lefolyású fázisszög tartozik. Egy minimumfázisú holtidômentes szabályozási rendszer stabilis, ha a felnyitott kör aszimptotikus B O D E diagramja a -20dB/dekád meredekségû szakaszon metszi a frekvenciatengelyt. A rendszer biztosan labilis, ha a metszés meredeksége -60dB/dekád vagy ennél nagyobb. Ha a metszési szakasz meredeksége -40dB/dekád, a rendszer lehet

stabilis vagy labilis is, de fázistartaléka biztosan megengedhetetlenül kicsi (5.34 ábra) (a) (c) (b) 5.34 ábra Minimumfázisú holtidômentes rendszer stabilitása megítélhetô az aszimptotikus Bode amplitúdó-körfrekvencia diagramból A fenti állítás az alábbi megfontolásokkal látható be. Tekintsük az 535 ábrán látható 191 aszimptotikus BODE diagramot. A vágási körfrekvencia a -20dB/dekád meredekségû szakaszra esik. A fázisszög ω c környékén megközelíti a −90° -ot A vágási körfrekvenciától jobbra esô töréspontból adódó fázisszög (különösen ha a töréspont elég messze esik ω c -tôl, legalább annak ötszöröse) az ω c -nél adódó fázisszöget csupán kismértékben befolyásolja. A -20dB/dekád meredekségû szakasz elôtt a BODE diagramnak lehetett vízszintes, -20dB/dekád vagy -40dB/dekád meredekségû szakasza. Az ezekbôl adódó fázisszög menetét az ábrán szaggatottan, pontozottan, illetve pontvonallal

ábrázoltuk. Ezen szakaszok hatása a fázisszöget az ω c körfrekvenciánál csak kismértékben befolyásolja (különösen ha az ω c elôtti töréspont elég messze esik ω c -tôl, annak pl. ötödrészénél kisebb) Így a rendszernek biztosan van pozitív fázistartaléka, amely várhatóan megfelelôen nagy nemcsak a stabilitás, hanem a kielégítô tranziens viselkedés biztosításához is. 5.35 ábra -20dB/dekád meredekségû szakaszra esô vágási körfrekvencia esetén a rendszernek biztosan van pozitív fázistartaléka Ha a vágási körfrekvencia -40dB/dekád meredekségû szakaszra esik, a korábbi töréspontokból adódó fázisszöggel az ω c körfrekvencián a fázisszög megközelítheti vagy kissé meghaladhatja a −180° értéket, így a rendszer közel kerül a stabilitás határához (5.36 ábra) Ilyenkor a stabilitás eldöntéséhez meg kell határozni a fázistöbblet értékét. 5.36 ábra -40dB/dekád meredekségû szakaszra esô vágási

körfrekvencia esetén a rendszer közel kerül a stabilitás határához 192 Ha a vágási körfrekvencia -60dB/dekád vagy annál meredekebb szakaszra kerül, a fázistöbblet már biztosan negatívvá válik. A stabilitás biztosításához tehát a vágási körfrekvenciának -20dB/dekád meredekségû szakaszra kell esnie. (Ez a szakasz legyen elegendôen hosszú, hogy a fázistöbblet is megfelelô, 60° körüli legyen.) Ha felnyitott rendszer nem minimumfázisú, illetve tartalmaz holtidôt is, csupán a BODE amplitúdó diagramból nem ítélhetô meg a stabilitás. Ilyenkor a BODE amplitúdó és fázis diagramot együttesen kell tekinteni. 5.7 Robusztus stabilitás A szakasz paraméterei általában mérési eredményekbôl adódnak. A paraméterek értékei a névleges értékük körül egy megadott tartományban változhatnak. A zárt szabályozási körnek a paraméterek megadott bizonytalansági tartományai mellett stabilisnak kell lennie. Tételezzük fel, hogy a

felnyitott rendszer stabilis. A névleges szakaszhoz tervezett szabályozó a névleges zárt szabályozási kör stabilitását biztosítja. Vizsgáljuk, hogy a rendszer stabilis marade a felnyitott kör paraméter bizonytalanságai mellett A stabilis mûködés fennáll, ha a módosult felnyitott kör NYQUIST diagramja sem veszi körül a ( −1 + j 0 ) pontot. 5.37 ábra Bizonytalan rendszer NYQUIST diagramjának változása A folyamat bizonytalanságát az abszolút ∆P = P − Pˆ (5.39) és relatív ∆P P − Pˆ = ˆ = ˆ P P (5.40) modell hibával szokták jellemezni, ahol P̂ a tervezéshez rendelkezésre álló vagy úgynevezett névleges modell, míg P a valódi folyamat. Ha a folyamat ismeretében ∆P bizonytalanság (vagy paraméterváltozás) jelentkezik, akkor ez ugyanazon szabályozó mellett teljes egészében megjelenik a hurokátviteli függvény ∆L = C ∆P abszolút hibájában, a relatív hibája pedig 193 ∆L L − Lˆ CP − CPˆ P − Pˆ L

= ˆ = ˆ = = ˆ = L L CPˆ P (5.41) megegyezik a folyamat bizonytalanság relatív hibájával. Itt L̂ a névleges, L pedig a valódi hurokátviteli függvényei. A zárt rendszer legrosszabb esetben bekövetkezô paraméterváltozására vonatkozó stabilitását (robusztus stabilitás) úgy tudjuk megfogalmazni, hogy az ebbôl adódó ∆L hatására sem következhet be labilis mûködés. A ∆L-re vonatkozó korlátot az 537 ábra alapján egyszerû geometriai megfontolások alapján fogalmazhatjuk meg: a NYQUIST diagram akkor nem veszi körül a −1 + j 0 pontot, ha minden frekvenciára teljesül az alábbi összefüggés: ∆L( jω) = ( jω) Lˆ ( jω) < 1 + Lˆ ( jω) ∀ω (5.42) További átalakításokkal kapjuk a robusztus stabilitás szükséges és elégséges ( jω) < 1 + Lˆ ( jω) 1 = Lˆ ( jω) Tˆ ( jω) ( ∀ω (5.43) ) feltételét, ahol Tˆ = Lˆ 1 + Lˆ a névleges kiegészítô érzékenységi függvény. Az (543) feltétel fordított

alakja T̂ ( jω) < 1  ∀ω (5.44) Szokásos még a robusztus stabilitás fenti egyenlôtlenségeit szorzat alakban is megadni T̂ ( jω)  < 1 ∀ω (5.45) amely alakot a tervezés dialektikus összefüggésének is nevezik. A T̂ ( jω) elsô tényezô ugyanis a folyamat feltételezett (ismert) névleges paramétereire adódik a tervezés folyamán, tehát tôlünk függ. Az  második tényezô nem (vagy csak részben) tôlünk függ, hiszen a folyamat ismeretének bizonytalanságát vagy a nem várt paraméter megváltozásokat tartalmazza. Azokban a frekvencia tartományokban, ahol nagy a bizonytalanság, sajnos csak kicsiny átviteli erôsítést méretezhetünk a zárt rendszerre. Ott ahol pedig T̂ ( jω) nagy, ott igen pontos információval kell rendelkezzünk, hogy a hiba kicsi legyen. Minél nagyobb a kiegészítô érzékenységi függvény abszolút értéke, annál kisebb a megengedhetô paraméter bizonytalanság. Az (5.43) feltétel minden

frekvenciára vonatkozó egyenlôtlenség meglehetôsen szigorú, ezért ezt praktikusabb feltételre szokták cserélni, ha T̂ ( jω) maximuma ismert. Legyen Tˆm = max Tˆ ( jω) ω akkor segítségével az (5.43) alak az (5.46) 194 ( jω) < 1 ˆ Tm ∀ω (5.47) elégséges feltételre egyszerûsíthetô. (Idézzük fel a 4 Fejezetet, amely szerint M (ω) = T ( jω) ) Ha a felnyitott kör labilis, és a visszacsatolás stabilizálja a névleges rendszert, a paraméter bizonytalanságok esetén a rendszer akkor marad stabilis, ha a bizonytalanságok mellett a felnyitott kör jobb oldali pólusainak száma nem változik, és a NYQUIST diagram −1 + j 0 pont körüli körülfordulásainak száma sem változik meg. 6. TERVEZÉS A FREKVENCIATARTOMÁNYBAN 195 6. Tervezés a frekvenciatartományban Egy szabályozási körnek megadott minôségi elôírásokat kell teljesítenie. Ezek a minôségi követelmények: - stabilitás - megfelelô statikus pontosság

alapjelkövetésre és zavarelhárításra - a mérési zaj hatásának elnyomása - érzéketlenség a paraméterváltozásokra - elôírt dinamikus (tranziens) viselkedés - a gyakorlati megvalósításból adódó korlátozások figyelembevétele Általában a rendszerek viselkedése nem felel meg mindezen elvárásoknak. A szabályozás megfelelô megtervezésével biztosíthatjuk a kívánt mûködést. A leggyakoribb szabályozási elrendezés a 6.1 ábrán látható soros szabályozási kör Az adott szabályozandó folyamathoz olyan sorbaiktatott szabályozót kívánunk megadni, amellyel a zárt szabályozási rendszer stabilis mûködésû és megfelel a szabályozással szemben támasztott követelményeknek. 6.1 ábra Soros szabályozási kör A szabályozási körben P ( s) a folyamat (szabályozott szakasz), C ( s) a szabályozó átviteli függvénye. Az y szabályozott jellemzôt negatív visszacsatolással vezetjük vissza a bemeneti különbségképzôre. A zavaró

jelek hatását a y n ( t) kimeneti zavaró jellemzôben vesszük figyelembe. Ez a zavarási modell általában elégséges a gyakorlati problémák kezelésére Az alábbiakban a szabályozó tervezésére adunk szempontokat frekvenciatartománybeli összefüggések felhasználásával. 6.1 Az idô- és frekvenciatartománybeli jellemzôk kapcsolata A minôségi elôírások szemléltethetôk a frekvenciatartományban is a nyitott illetve a zárt rendszer frekvenciafüggvényének menetén. A szabályozási kör stabilitását, lengési hajlamát a zárt kör BODE amplitúdó-körfrekvencia diagramjának kiemelése jellemzi, amely a nyitott kör vágási körfrekvencia körüli tartományában léphet fel. A stabilitás, a lengési hajlam, a tranziens viselkedés megállapításához a középfrekvenciás tartományban kell vizsgálni a frekvenciafüggvény menetét (4.6 pont) Mint láttuk, a szabályozási idô a vágási körfrekvenciából becsülhetô. A NYQUIST és BO D E

diagramok alapján történô stabilitásvizsgálattal részletesen foglalkoztunk az 5. Fejezetben A statikus tulajdonságokra a frekvenciafüggvény kisfrekvenciás tartománybeli lefolyásából lehet következtetni. Mint láttuk, az ugrás, sebességugrás és gyorsulásugrás alakú tipikus bemenôjelekre a követési illetve zavarelhárítási hiba a szabályozás típusszámától (a nyitott körben lévô integrátorok számától) valamint a hurokerôsítés értékétôl függ. A felnyitott kör közelítô BODE amplitúdó diagramja 0-típusú szabályozás esetén a 0 dB tengellyel párhuzamosan 196 indul a kisfrekvenciás tartományban a K 0 hurokerôsítési értékkel. 1-típusú szabályozásnál a diagram -20dB/dekád meredekséggel indul, amelynek meghosszabbítása a K1 hurokerôsítésnek megfelelô körfrekvencián metszi a 0 dB tengelyt. 2-típusú szabályozás BODE diagramja -40dB/dekád meredekséggel indul, aminek meghosszabbítása a K 2 értéknél metszi

a vízszintes tengelyt. A statikus minôségi elôírások kielégítéséhez a felnyitott kör BODE diagramjának kisfrekvenciás tartományát kell megfelelôen kialakítani (6.2 ábra) 6.2 ábra A szabályozás statikus pontosságát a kisfrekvenciás tartomány jellemzi Az alapjelkövetésre, zavar- és zajelhárításra, a paraméterbizonytalanságok hatásának kompenzálására a nyitott és zárt rendszer frekvenciafüggvényei közötti kapcsolat (4.6 pont) alapján az alábbi megállapításokat tehetjük: - a jó alapjelkövetéshez L( jω ) legyen minél nagyobb - a bemeneti és kimeneti zavarások minél hatásosabb elhárításához L( jω ) legyen minél nagyobb - a jó mérési zajelhárításhoz L( jω ) legyen minél kisebb - a folyamatmodell paraméterbizonytalanságai hatásának kompenzálásához L( jω ) legyen minél nagyobb - a túlságosan nagy beavatkozójelek elkerüléséhez a gyorsítás legyen mérsékelt, ω c ne legyen túlságosan nagy. Egyes

követelmények egymásnak ellentmondóak és ugyanazon frekvencián egyidejûleg nem biztosíthatók. Ezért rendszerint különbözô tartományokban más és más feltételeket kell elôírnunk. 6.2 A minôségi elôírások megfogalmazása a frekvenciatartományban Mint a 4. és 5 Fejezetekben láttuk, a minôségi elôírások szemléltethetôk a frekvenciatartományban is a zárt, illetve a felnyitott rendszer frekvenciafüggvényének menetén. A zárt szabályozási kör viselkedését a zárt rendszer eredô frekvenciafüggvénye jellemzi. Mint láttuk, a zárt rendszer amplitúdó-körfrekvencia függvényének M m maximális kiemelése jellemzi az idôtartományban az átmeneti függvény túllendülését. Tapasztalat szerint, ha M m < 125 , 197 akkor az átmeneti függvényben nincs számottevô túllendülés. A zárt rendszer sokszor jól közelíthetô egy domináns póluspárral, tehát helyettesíthetô egy másodrendû lengô taggal, amelynek csillapítási

tényezôje meghatározza a maximális túllendülés értékét. Ha a zárt rendszer amplitúdó-körfrekvencia görbéjének nincs kiemelése, az átmeneti függvényben sincs túllendülés. A domináns póluspárból adódó közelítô lengô tag 05-nél nagyobb csillapítási tényezôje aperiodikus viselkedést biztosít. 06-07 értékû csillapítási tényezô esetén az átmeneti függvény túllendülése 5-10% körüli. A nyitott és a zárt rendszer átviteli függvényei közötti összefüggések alapján a zárt rendszer frekvenciafüggvénye helyett vizsgálhatjuk a felnyitott rendszer amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbéjének menetét is. A túllendülés a fázistöbblettel hozható kapcsolatba ϕ t ≈ 60° -nál a csillapítási tényezô értéke ξ ≈ 0.7 , ϕ t növelésével ξ is nô, ϕ t > 90° -nál a tranziens viselkedés aperiodikus lesz. Ha a fázistöbblet csökken, a csillapítási tényezô is csökken, ϕ t ≈ 30°-nak ξ ≈ 0.2 − 03

körüli érték felel meg, ami már jelentôs, de még csillapodó lengésekkel jár Ezek az egyszerû összefüggések tájékozódás céljára kielégítôek. A szabályozást úgy kell megtervezni, tehát az adott folyamathoz a szabályozót úgy kell megválasztani, hogy a szabályozás eleget tegyen a minôségi elôírásoknak. A minôségi elôírásokhoz a felnyitott kör BODE amplitúdó diagramját a 6.3 ábrának megfelelôen kell kialakítani (loop-shaping). 6.3 ábra Szempontok a felnyitott kör BODE amplitúdó diagramjának kialakításához Az alapjelkövetéshez és a zavarások elhárításához, illetve a mérési zaj hatásos elnyomásához L( jω ) -ra ellentétes elôírásokat kell betartani. A gyakorlatban azonban rendszerint az alapjel és a mérési zaj jellegzetes frekvenciatartománya eltérô, az alapjel a kisfrekvenciás tartományban, míg a mérési zaj a nagyfrekvenciás tartományban tartalmaz összetevôket. Így L( jω ) lehet nagy a

kisfrekvenciás tartományban, és kicsi a nagyfrekvenciás tartományban. Megfelelô kompromisszumot kell kötni a stabilitás, a jó dinamikus viselkedés elérése valamint a szabályozás gyorsaságának és korlátos beavatkozójelének biztosítása között. A szabályozás csak nagyobb beavatkozó hatások árán gyorsítható. A nagy beavatkozójelet a beavatkozó 198 szervnek kell biztosítania, aminek sokszor realizálási korlátai vannak. A kisfrekvenciás tartomány menete a statikus tulajdonságokat határozza meg. 0-típusú rendszernél a BODE diagram vízszintesen indul, 1-típusú rendszernél a kezdeti meredekség -20dB/dekád, 2-típusú rendszernél a görbe -40dB/dekád meredekséggel indul. Az elôírt statikus pontosság határozza meg, milyen típusú szabályozást kell kialakítani. A középfrekvenciás tartomány határozza meg a rendszer stabilitását és dinamikus tulajdonságait. Mint azt az 5. Fejezetben megmutattuk, a stabilitás

biztosításához az ω c vágási körfrekvenciának egy elegendôen hosszú -20dB/dekád meredekségû szakaszra kell esnie. Ez a feltétel elegendô a stabilitás biztosításához, ha a rendszer minimumfázisú és nincs holtideje. Ha ez nem áll fenn, a fázistöbbletet (vagy az erôsítési tartalékot) meg kell határozni. A pozitív fázistöbblet, illetve az 1-nél nagyobb erôsítési tartalék biztosítja a stabilitást. A stabilitás mellett megfelelô dinamikus viselkedés (10%-nál kisebb túllendülés) érhetô el, ha kb. 60° fázistöbbletet biztosítunk. A késôbbiekben belátjuk, hogy minimumfázisú, Td holtidôt tartalmazó rendszernél ω c ≈ 1 2Td választással érhetjük el a 60° körüli fázistöbbletet. A szabályozási idô az ω c vágási körfrekvenciával hozható kapcsolatba. Minél nagyobb ω c , annál kisebb a ts szabályozási idô. A szabályozási idô, mint azt a 4 Fejezetben beláttuk, az alábbi összefüggéssel becsülhetô: 3 ω c <

ts < 10 ω c . Holtidôs rendszereknél az ω c vágási körfrekvencia nem növelhetô a holtidô reciprokának felénél túl, ami határt szab a rendszer gyorsíthatóságának. A BODE diagram kisfrekvenciás és nagyfrekvenciás szakaszának 6.2 ábra szerinti formálásával biztosíthatjuk a mérési zaj elnyomását és a szabályozás érzéketlenségét a paraméterek bizonytalanságaira is. Az egyes követelmények sokszor egymásnak ellentmondóak. Megfelelô kompromisszumot kell kötni a stabilitás, a jó dinamikus viselkedés elérése valamint a szabályozás gyorsaságának és korlátos beavatkozójelének biztosítása között. A szabályozás csak nagyobb beavatkozó hatások árán gyorsítható. A nagy beavatkozójelet a beavatkozó szervnek kell biztosítania, aminek sokszor realizálási korlátai vannak. A beavatkozószerv a gyakorlatban csak egy adott tartományban képes jeleket kiadni. Lényeges, hogy mûködés közben az u( t) beavatkozójel lehetôleg

ebben a tartományban maradjon, maximális értéke ne haladja meg a ténylegesen kiadható maximális értéket. Ha a beavatkozójel értékére ennél nagyobb parancsot adunk ki, az „bekorlátoz”, maximális értékére áll be mindaddig, amíg a rendelkezôjel a kimenôjel növekedésével olyan kis értékûvé nem válik, hogy a szabályozó kimenôjele kikerül a telítési tartományból. Erre a jelenségre már a szabályozó tervezési fázisában figyelni kell. A tervezésnél tehát a felnyitott kör frekvenciafüggvényének a -1 pont körüli viselkedését kell beállítani. A -1 pont a komplex síkon két feltétellel írható le, az erôsítés egységnyi és a fázisszög −180° , azaz L( jω ) = 1, ϕ = −180° . A tervezésnél ezt a két feltételt úgy vehetjük figyelembe, hogy egyik feltétel teljesülése mellett a másik milyen messze van tôle. Ha az erôsítés egységnyi, akkor a fáziseltérést a vágási körfrekvenciánál leolvasható

fázistöbblet írja le. Ha pedig a fázisszög −180° , akkor az erôsítés értékbôl számítható az erôsítési tartalék. Ha a fázistöbbletre tervezünk, akkor az egységnyi erôsítéshez tartozó frekvencián (a vágási körfrekvencián) kell a frekvenciafüggvény fázisszögét beállítani. 199 A felnyitott kör frekvenciafüggvényének menete tehát az ω c vágási körfrekvencia környékén kritikus. Egyes esetekben nem elegendô csupán ennél a frekvenciaértéknél meghatározni a fázisszög értékét, hanem a frekvenciafüggvény alakulását ennek környezetében is vizsgálni kell. 6.4 ábra A NYQUIST diagram menete ω c környezetében és a -1 pont körül jelentôsen befolyásolja a túllendülést A 6.4 ábra két NYQUIST diagramot mutat, amelyeknél a fázistöbblet azonos L1 a vágási körfrekvencia után gyorsan tart az origóba. L2 viszont megközelíti a -1 pontot Az elsô rendszernél a zárt rendszer T = L (1 + L) = L 1 + L amplitúdója

ω c után gyorsan csökken, míg a második esetben jelentôs kiemelést mutathat. Ugyancsak kiemelést mutat ekkor ebben a tartományban az S = 1 1 + L érzékenységi függvénye is. 6.3 A felnyitott kör frekvenciakarakterisztikájának formálása A H ( jω) frekvenciafüggvény alkalmazásakor ismernünk kell BODE tételeit. Az elsô BODE tétel azt mondja ki, hogy bizonyos feltételek (stabilis és minimum fázisú) mellett a H ( jω) amplitúdó frekvencia függvénye egyértelmûen meghatározza a fázis frekvencia függvényt. Nevezetesen egy adott ω o körfrekvencián 2 ωo arg H ( jω) = π ∞ ∫ log H ( jω) − log H ( jω o ) 0 π dlog H ( jω) ≈ 2 dlog ω ω 2 − ω 2o 1 dω = π ∞ ∫ 0 dlog H ( jω) dlog ω log ω + ωo dω ≈ ω − ωo (6.1) Az összefüggés szerint tehát egy adott ω o frekvencián a fázis frekvencia függvény teljes alakja közrejátszik a ponthoz tartozó ϕ(ω o ) érték kialakulásához a határozott integrálon

keresztül. Ugyanakkor a belsô log ω + ωo ω − ωo (6.2) súlyfüggvény következtében távoli pontok alig érezhetô hatást gyakorolnak az ω o környékére. A (6.1) képlet azt jelenti, hogy ha egy pont környezetében logaritmikus ábrázoláskor a meredekség +1, akkor annak + π 2 fázisszög felel meg. (Decibelben számolva: +20dB/dekád meredekség felel meg a +1-nek.) 200 Hasonló összefüggés adható meg az amplitúdó frekvencia függvénynek a fázis frekvencia függvénytôl való függésére is, tehát itt egy-egyértelmû kölcsönös megfeleltetésrôl van szó. Az egy-egyértelmû megfeletetés nem áll fenn nem minimumfázisú esetre. Amennyiben a frekvencia függvény törésponti frekvenciái elég távol esnek egymástól, akkor a hosszú egyenes szakaszokon a fázis frekvencia függvény vízszintes, és értéke ϕ(ω) ≈ ± j π 2, a töréspontok közelében pedig nem vízszintes és ϕ(ω) ≈ ±(2 j + 1) π 4 . Az elôzô fejezetekben

bemutattuk, hogy a zárt szabályozási kör stabilitása, robusztussága, minôségi tulajdonságai mind tervezhetôk a felnyitott kör fekvencia függvényének formálásával (loop-shaping). BODE, részben tapasztalati alapon, arra a következtetésre jutott, hogy a felnyitott kör L( jω) frekvencia függvényének optimális (ideális ) alakja Lid ( jω) = 1 (6.3) ( jω) η amelynek a komplex számsík origóján átmenô egyenesek felelnek meg nem egész értékû η-ra. Ezen általános alaknak az n-edrendû integrátorok speciális esetei, amikor η egész. Nem egész értékû alakokat viszont koncentrált paraméterû lineáris rendszerek nem tudnak képezni, így ez az elvárás csak elméleti jelentôségû és megközelítésére törekedhetünk. Ha az ω c vágási frekvencián egy Lid (ω) alakú karakterisztikára állítanánk be a ϕ t fázistöbbletet, akkor az Lid (ω) erôsítésében (átviteli tényezôjében) bekövetkezô bármilyen bizonytalanság a

tervezési feltételt nem befolyásolná. Az ideális esetet legjobban megközelítô helyzet az, amikor a fáziskarakterisztika d ϕ d ω meredeksége az ω c vágási frekvencián minimális. Ezt úgy tudjuk biztosítani, ha az ω c -vel szomszédos törésponti frekvenciák a lehetô legtávolabb vannak (lásd BODE elsô tételét). Im E =1 -1 Re -0.5 1 L ( jω ) M =1 Re{L ( jω )} ω0 6.5 ábra Az érzékenységi és kiegészítô érzékenységi függvény kiemelését korlátozó területek A modulus tartalék tárgyalásakor láttuk, hogy értéke az érzékenységi függvény maximális abszolút értékének a reciproka. A geometriai értelmezés szerint pedig értéke a NYQUIST diagramnak a −1 + j 0 ponthoz képest a legközelebbi pontjának a ponttól mért távolsága. A harmadik és negyedik síknegyedbe esô NYQUIST görbékre (ezek az úgynevezett pozitív valós rendszerek) az érzékenységi függvény nem lehet nagyobb egynél. A nem pozitív valós

rendszerek között azért még lehet olyan rendszer, amelyre az érzékenység szintén kisebb egynél. Az M − α és E − β görbék jelentése alapján (lásd a 4.6 pontot) egyszerûen megadható az a 201 tartomány, ahol egyidejûleg biztosítódik az S ( jω) = E (ω) ≤ 1 és T ( jω) = M (ω) ≤ 1 frekvencia kiemelés nélküli feltétel. A 65 ábra azt a korlátozott (bevonalkázott) területet mutatja be, ahol S ( jω) -nek vagy T ( jω) -nek már kiemelése lesz. Az ábrán feltüntetett L( jω) -hez tartozó S ( jω) érzékenységi függvénynek nincs kiemelése. Szükséges feltétel, hogy az L( s) pólustöbblete egy legyen, azaz ω ∞ esetén az L( jω) ≈ − jω feltételt biztosítsuk. (Az ábrán érdekességként feltüntettük azt a nem nagyon ismert tényt is, hogy integráló típusú rendszerekre rendszerint Re{L( jω)} ≠ 0, azaz a görbe nem a képzetes tengelybôl indul.) A geometriai ω 0 kép alapján könnyen megérthetjük, hogy a

szabályozástechnikában kisebb jelentôségû, de a távközlésben nagyobb fontosságú ún. pozitív valós frekvenciafüggvényekre ( Re [ H ( jω)] ≥ 0) automatikusan teljesül a kiemelés nélküli S ( jω) feltétele. Az L( jω) -nak az E = 1 egységsugarú körrel és M = 1 egyenessel való metszései úgyszintén lényeges információt adnak a felnyitott és zárt kör frekvencia karakterisztikáinak alakulásáról. M =1 Im ω3 L ( jω ) Re -1 1 ω2 E =1 ωc L ( jω ) = 1 ω1 6.6 ábra Az S ( jω) és T ( jω) függvények alakjának követése A 6.6 ábra szerint az S ( jω) érzékénységi függvény kis frekvenciáknál a zérusból indul Az ω1 frekvenciánál éri el az egységet, majd az ω c -nél lesz L( jω) = 1. A maximumát túlhaladva ω 3 - nál ismét S ( jω) = 1. Ha az L( jω) nagy frekvenciánál zérushoz tart, akkor S ( jω) az egységhez tart. Az elemzésbôl következtethetünk arra, hogy holtidôs (tárolós, integráló, stb)

rendszerekre, amelyek frekvenciafüggvényei soha nem tudják elkerülni az E = 1 kört, S ( jω) -nak mindig van kiemelése. (Az E = 1 feltételt KÁLMÁN-HO feltételnek is nevezik) Im E =1 E =2 Re 1 M =2 L ( jω ) = 1 M =1 6.7 ábra Az S ( jω) ≤ 2 és T ( jω) ≤ 2 feltételeket biztosító korlátozó területek 202 Az M − α és E − β görbék szerkesztési szabályai alapján könnyû megszerkeszteni azokat a köröket (vonalkázott területek), amelyeket a 6.7 ábra mutat be az S ( jω) ≤ 2 és T ( jω) ≤ 2 feltételek biztosításához. Az M = 2 2 értékhez tartozó frekvencia a zárt rendszer sávszélessége. Az érzékenységi függvény tetszôleges alakításának sajnos elméleti korlátai is vannak. BODE második tétele szerint amennyiben L( s) az 1 s-nél gyorsabban tart zérushoz nagy s-ekre (tehát a pólustöbblet legalább 2), akkor fennáll a következô integrál egyenlet ∞ ∫ log S( jω) d ω = 0 ∞ ∫ log 1 + L( jω) d ω = π∑

Re pi 1 0 (6.4) i ahol a pi -k a jobb oldali labilis pólusokat jelölik. Vegyük a legegyszerûbb esetet, amikor nincs jobb oldali pólus, tehát L( s) stabilis, vagy a stabilitás határán van, ekkor ∞ ∫ log S( jω) d ω = 0 (6.5) 0 Ezt az egyenletet már könnyebb értelmezni, mert hatása az úgynevezett "vízágy" effektus, amelyet, ha egy helyen lenyomnak, akkor egy másik helyen kitüremkedik. Ha például alacsony frekvencián erôfeszítéseket teszünk arra, hogy S ( jω) kicsiny legyen, akkor a magas frekvenciákon nagy lesz. Ez amiatt van, hogy egy abszolút érték logaritmusát integráljuk, tehát az S ( jω) egységnyi érték alatti területe meg fog egyezni az egység feletti területével (logaritmikus skálában a zérus decibeles tengely alatti az afeletti területtel). Jegyezzük meg, hogy a NYQUIST diagram ábrázolásmódja és a fentiekben áttekintett összefüggések igazolják, hogy a frekvenciafüggvény alakulásából lényeges

stabilitási és/vagy robusztussági tulajdonságokat olvashatunk le. Ugyanezeket a tulajdonságokat valamivel nehezebb felismerni a BODE diagramon. Sajnos a minôségi tulajdonságok felismerését egyik ábrázolásmód sem könnyíti meg. 6.1 Példa Tekintsük a következô felnyitott körû szabályozást L( s) = 1 + sτ sTI (1 + sT1 ) (6.6) amelynek frekvenciafüggvénye L( s) = 1 + jωτ τ − T1 1 + ω 2 τT1 = −j = Re(ω) + jIm(ω) jωTI (1 + jωT1 ) TI 1 + ω 2T12 ωTI 1 + ω 2T12 ( ) ( ) (6.7) A valós rész értéke zérus frekvencián Re(ω 0) = τ − T1 τ T1 > 0 , ha τ > T1 = − = TI TI TI < 0 , ha τ < T1 (6.8) 203 és Re(ω 0) = τ − T1 < 1, TI τ < T1 + TI ha (6.9) ami szükséges feltétel, hogy a T ( jω) kiegészítô érzékenységi függvénynek ne legyen kiemelése. A hurokátviteli függvény pólustöbblete egy, ami szükséges feltétel ahhoz, hogy az érzékenységi függvénynek ne legyen kiemelése.

Vizsgáljuk meg az elégséges feltételt is Az érzékenységi függvény egyszerû számítással adódik S= sTI (1 + sT1 ) 1 = 1 + L sTI (1 + sT1 ) + (1 + s τ) (6.10) amelyhez tartozó frekvenciafüggvény S ( jω) = jω TI (1 + jω T1 ) −ω 2TI T1 + jω TI = jωTI (1 + jω T1 ) + (1 + jω τ) 1 − ω 2TI T1 + jω(TI + τ) ( ) (6.11) Az S ( jω) -nak nincs kiemelése, ha S ( jω) = E = 2 2 ( ) ≤1 2 (1 − ω 2TI T1) + ω 2 (TI + τ)2 ω 2 TI2 1 + ω 2 T12 (6.12) Az egyenlôtlenség megoldásából kapjuk, hogy az elégséges feltétel 2T τ ≥ 1+ 1 −1 TI TI (6.13) A zárt kör kiegészítô érzékenységi függvénye T= 1+ s τ L = 1 + L sTI (1 + sT1 ) + (1 + s τ) (6.14) amelyhez tartozó frekvenciafüggvény T ( jω) = 1 + jω τ 1 + jω τ = 2 jωTI (1 + jω T1 ) + (1 + jω τ) 1 − ω TI T1 + jω(TI + τ) ( ) (6.15) A T ( jω) -nak nincs kiemelése, ha T ( jω) = M 2 = 2 ( 1 + ω2 τ2 1 − ω 2TI T1 ) 2 + ω 2 (TI + τ) 2 ≤1 (6.16)

204 Az egyenlôtlenség megoldásából kapjuk, hogy az elégséges feltétel τ ≥ T1 − TI 2 . Nincs kiemelés tehát, ha T1 − TI 2 ≤ τ ≤ T1 + TI (6.17) A gyökhelygörbe módszerrel ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer struktúrálisan stabilis rendszer. Ha τ > T1 , akkor csak valós pólus adódik Ha τ < T1 csak a K I < K1 valamint K I > K 2 tartományra kapunk valós pólust, azaz a K1 < K I < K 2 tartományban a pólusok komplex konjugáltak lesznek, ahol  2 T1   2 T1  2 K1,2 =  − 1 ±  − 1 − 1   τ   τ (6.18) 7. STABILIS FOLYAMATOK IRÁNYÍTÁSA 205 7. Stabilis folyamatok irányítása Szabályozók tervezésére a kezdeti idôszakban inkább a próbálgatásos, heurisztikus, ökölszabályokon alapuló módszerek terjedtek el legjobban. Ugyanakkor folyamatosan történtek törekvések arra is, hogy általános matematikai módszertant dolgozzanak ki a tervezés elméleti

megközelítésére. Egy m -edrendû szabályozó szabályos átviteli függvénye (2 m + 1) ismeretlen paramétert tartalmaz. Magasabb fokú szabályozók behangolásakor hamar tapasztalták, hogy az adott tervezési célt többféle paraméter halmazzal el lehet érni, továbbá ennek megfelelôen igen sokszor a paraméterek nem voltak függetlenek egymástól, tehát a szabályozó paraméterezése redundáns volt. A fô kérdés az, hogy lehetséges-e egy stabilizáló szabályozó általános paraméterezését oly módon leírni, hogy a zárt szabályozási kör alapvetô tervezési feladatait minimális számú és nem redundáns paraméterekkel oldjuk meg. Az egyik legfontosabb megoldást az úgynevezett YOULA -paraméterezés szolgáltatta. A YOULA -paraméter tulajdonképpen egy (felépítésébôl adódóan) stabilis, szabályos átviteli fügvény, amelynek definíciója Q( s) = C ( s) 1 + C ( s) P ( s) vagy röviden Q= C 1+ C P (7.1) ahol C ( s) egy stabilizáló

szabályozó, P ( s) pedig egy stabilis folyamat átviteli függvénye. Egy zárt rendszer belsô stabilitását ahhoz kötjük, hogy bármely pontján beadott korlátos jel a kör egy másik pontján korlátos jelet hoz létre (lásd az 5.2 pontot) A belsô stabilitás vizsgálatához a zárt kör úgynevezett átviteli mátrixát (5.3) kell megkonstruálnunk, amelynek felépítése  CP  Tt ( P , C ) = 1 + CP C  1 + CP P   1 + CP  = 1 CP  1  1 + CP  C 1 + CP  P  1 (7.2) Az átviteli mátrix segítségével két független külsô és két belsô jel között fejezhetjük ki a kapcsolatot. A zárt rendszer akkor és csak akkor belsô stabilis, ha Tt ( P , C ) minden eleme stabilis. 7.1 A YOULA-parametrizálás Az átviteli mátrixot a C ( s) szabályozó helyett a Q( s) YOULA-paraméter segítségével is megadhatjuk: QP Tt ( P , Q) =  Q P (1 − QP )  1 − QP  (7.3) ahonnan jól látható, hogy stabilis

folyamatra bármely stabilis Q( s) biztosítja a belsô stabilitást. A YOULA-paraméter definíciójából következik, hogy az így paraméterezett szabályozási körben a realizálható és stabilizáló szabályozó struktúrája kötött: C ( s) = Q( s) 1 − Q( s) P ( s) vagy röviden C= Q 1− Q P (7.4) 206 A YOULA-parametrizált (YP) szabályozási kör a 7.1 ábrán látható, ahol r az alapjel, e a hibajel, u a szabályozó kimenôjele (beavatkozó jel), y n a kimenetre ható zavarójel és y folyamat kimenôjele, a szabályozott jellemzô. yn r Q( s) 1 − Q( s) P( s) e + - u y P( s) C( s) 7.1 ábra YP-szabályozási kör A zárt rendszer átviteli függvénye (kiegészítô érzékenységi függvénye) T ( s) = C ( s) P ( s) = Q( s) P ( s) 1 + C ( s) P ( s) vagy röviden T= CP = QP 1+ C P (7.5) amely lineáris a Q( s) -ben. (Ez a linearitás, mint azt a késôbbiekben látni fogjuk, nagymértékben megkönnyíti az egyszabadságfokú zárt rendszer

elôírt dinamikus viselkedésének a tervezését.) Az érzékenységi függvény pedig S ( s) = 1 = (1 − Q( s) P ( s)) 1 + C ( s) P ( s) vagy röviden S= 1 = (1 − Q P ) 1+ C P (7.6) alakú. Egyszerû számításokkal kapjuk a zárt rendszer legfontosabb jelei közötti összefüggéseket u = Q r − Q yn e = (1 − Q P ) r − (1 − Q P ) y n = S r − S y n (7.7) y = Q P r + (1 − Q P ) y n = T r + S y n Az r és y n hatás u-ra és e-re (az elôjeltôl eltekintve) teljesen szimmetrikus. A folyamat bemenôjele ebben a rendszerben tehát csak a külsô jelektôl és a Q( s) -tôl függ. e Q( s) + u + P( s) 7.2 ábra YP-szabályozó realizálása Érdekes megfigyelni, hogy a (7.4)-szerinti YP-szabályozót a 72 ábrán látható pozitív visszacsatolású egyszerû szabályozási körrel realizálhatjuk. Ezt a sémát is felhasználva, azonos átalakításokkal a 7.1 ábrán látható kör a 73 ábra szerinti ekvivalens hatásvázlatra hozható Ezt a sémát a

belsô modell elven (Internal Model Control: IMC) mûködô szabályozásnak hívják. Ezen szabályozás lényege, hogy csak a folyamat és a folyamat modell kimenôjeleinek a különbségét ( ε) csatoljuk vissza a szabályozás hibajelének képzéséhez. Ez a hiba zérus abban az ideális esetben, ha a belsô modell pontosan megegyezik a folyamattal. Most ezt az esetet 207 ábrázoltuk! A valóságban a belsô modell P̂ ( s) átviteli függvénye legfeljebb csak egy jó közelítése a P ( s) folyamatnak, hiszen az elméleti igazi rendszert nem ismerjük. Az egyszerûsített tárgyalás céljából itt csak az ideális esetet vizsgáljuk. YOULA PARAMÉTER r + + u Q yn FOLYAMAT P y + - + P - BELSÔ MODELL ε SZABÁLYOZÓ 7.3 ábra Az ekvivalens IMC elven mûködô szabályozási kör A (7.7) összefüggések utolsó egyenlete alapján láthatjuk, hogy az IMC szabályozás az alapjel követésre Q P r átvitellel rendelkezik. Ha most a Q inverzét sorba

kapcsoljuk a 71 ábra szabályozási körével a 7.4a ábra szerint, akkor a követési tulajdonság Q-tól független lesz, azaz P r′, tehát formálisan "felnyitottuk" a zárt kört. Könnyen ellenôrizhetjük, hogy ez a hatásvázlat ekvivalens a 7.4b ábrán láthatóval Ez utóbbi kör elvi mûködésének magyarázatakor figyelemreméltó, hogy az alapjel részben közvetlenül a folyamat bemenetére hat, tehát nem vezetjük át a szabályozón és a zárt rendszeren. Az alapjelre vonatkozó további szabályozó hatás pedig csak akkor mûködik, ha a belsô modell nem egyezik meg a valódi folyamattal. r′ Q −1 yn C Q 1− Q P + u P yn C + y r′ P + – + u Q 1− Q P P + y + BELSÔ MODELL (a) (b) 7.4 ábra A zárt szabályozási kört "felnyitó" hatásvázlatok yr Qr r′ P e + – C Q 1− Q P yn + + u P y + BELSÔ MODELL 7.5 ábra A YP-szabályozási kör kétszabadságfokú változata A fenti gondolatmenettel

bevezethetjük a YO U L A -parametrizálás kiterjesztését két szabadságfokú szabályozási körökre is. Ehhez egyszerûen alkalmazzunk a követési tulajdonság tervezésére egy Qr paramétert, amelyet a 7.4 ábra körével sorba kapcsolunk, így a 75 ábra szerinti hatásvázlatra jutunk. Erre a rendszerre az eredô átviteli karakterisztikák u = Qr y r − Q y n e = (1 − Qr P ) y r − (1 − Q P ) y n = (1 − Tr ) y r − S y n y = Qr P y r + (1 − Q P ) y n = Tr y r + (1 − T ) y n = Tr y r + S y n (7.8) 208 szerintiek, ahol a követési tulajdonságokat a Tr = Qr P -ben a Qr paraméter megválasztásával, a zavarelhárítási tulajdonságokat pedig a T = Q P -ben a Q megválasztásával tervezhetjük. A kétféle tulajdonság tehát egymástól függetlenül írható elô. A teljes rendszer alapjelét y r -rel jelöltük. A Qr -re ugyanazon feltételezésekkel élünk, mint Q-ra A Tr az egy szabadságfokú zárt kör T kiegészítô érzékenységi

függvényének analóg megfelelôje a követési tulajdonságokra, azaz a kétszabadságfokú zárt rendszer eredô átviteli függvénye az alapjelre vonatkozóan. A 7.3 ábra szerinti IMC szabályozás mûködése továbbfejleszthetô a 76 ábrának megfelelôen Itt a folyamat és a modell kimenôjelének ε különbségébôl egy Rn prediktor segítségével a kimeneti y n zavarás egy ŷ n elôre becslését próbáljuk elôállítani. Hasonlóképpen az Rr prediktor az y r alapjelre vonatkozó ŷ r elôre becslést szolgáltatja. A szabályozó zavarkompenzálása úgy mûködik, hogy a zavar − ŷ n jósolt értékét a folyamat inverzén keresztül adjuk a folyamat bemenetére, tehát pontos becslés esetében a zavart kiküszöböljük. Hasonlóképpen mûködik az alapjelkövetés is. Ez utóbbinál nyilvánvaló, hogy Rr mûködése egy referencia modellnek (elôírt rendszer dinamikának) is megfeleltethetô, ezért a bevezetett prediktorokat referencia modelleknek is

hívjuk. Ezért általában elôírjuk, hogy ezek szigorúan szabályosak legyenek egységnyi Rn (ω = 0) = 1 és Rr (ω = 0) = 1 statikus erôsítéssel. INVERZ MODELL yr Rr ŷr P + −1 FOLYAMAT u yn + P y + - ŷn + P - ε BELSÔ MODELL Rn SZABÁLYOZÓ 7.6 ábra Az IMC elven mûködô ideális szabályozási kör kiterjesztése A kétszabadságfokú szabályozási kör legtökéletesebb mûködését a speciális Rr = Rn = 1, illetve 1 − Rn = 0 feltételekkel fogalmazhatnánk meg, ami azonban - ezt késôbb látni fogjuk - gyakorlati rendszereknél általában nem valósítható meg. A 7.6 ábra hatásvázlata azonos blokk átalakításokkal a 77 ábrán látható ekvivalens hatásvázlatokra hozható. A legfontosabb megfigyelésünk itt az, hogy a szabályozó átviteli függvénye az ideális esetben, amikor a folyamat inverze realizálható és stabilis Rn P −1 ) ( Q Rn Cid = = = P −1 −1 1 − ( Rn P ) P 1 − Q P 1 − Rn (7.9) egy YP-szabályozó

a Q = Rn P −1 (7.10) YOULA-paraméterrel. A követésre vonatkozó paraméter pedig Qr = Rr P −1 (7.11) 209 (Egyszerûen belátható, hogy a Cid szabályozó realizálható, ha az Rn pólustöbblete nagyobb vagy egyenlô a folyamaténál. Az Rn = 1 (1 + sTn ) alakú referenciamodellel például egyszerûen biztosíthatunk j értékû pólustöbbletet.) j yn FOLYAMAT yr ŷr Rr P −1 INVERZ MODELL (a) Rn P −1 1 - Rn P −1 P + P - BELSÔ MODELL + u + + P Cid SZABÁLYOZÓ yn FOLYAMAT yr Rr ŷr Rn 1- Rn + - + + Cid (b) y + P −1 u + P y + INVERZ MODELL SZABÁLYOZÓ 7.7 ábra A kiterjesztett IMC elvet használó ekvivalens ideális szabályozási körök A zárt kör legfontosabb jelei az ideális esetre uid = Rr P −1 y r − Rn P −1 y n ( ) eid = (1 − Rr ) y r − (1 − Rn ) y n = 1 − Trid y r − Sid y n (7.12) y id = Rr y r + (1 − Rn ) y n = Trid y r + (1 − Tid ) y n = Trid y r + Sid y n tehát az ideális

esetben a Trid = Rr és Tid = Rn egyenlôségek valósulnak meg, ami a tervezési célunk volt. Jegyezzük meg, hogy az eddigiekben követett gondolatmenet csupán a YOULA-parametrizálás tartalmának és az IMC elv szerinti szabályozással való ekvivalenciájának a bemutatására szolgált. Az eredményül kapott sémák realizálhatóságának ugyanis egy kritikus pontja van: nevezetesen realizálható-e a P folyamat inverze. Ez sajnos, ritka kivételektôl eltekintve, FI rendszerekre általában nem igaz. A gyakorlati alkalmazhatósághoz a fenti megközelítés olyan változatát kell megkeresnünk, amelyben a két szabadságfokú rendszer minden eleme realizálható. Az általánosan alkalmazható szabályozó bevezetéséhez a stabilis folyamat átviteli függvényét a következô faktorizált alakban tételezzük fel P ( s) = P+ ( s) P ( s)− = P+ ( s) P− ( s) e− sT d vagy röviden P = P+ P− = P+ P− e− sT d (7.13) ahol P+ stabilis, inverze szintén stabilis

és relizálható (ISR). P− inverze labilis (Inverse Unstable: IU) és nem realizálható (IUNR). A P− inverze labilis (IU) Itt általában az e− sT d 210 holtidôs rész inverze nem realizálható, mert az egy ideális prediktor lenne. A bevezetett általános folyamat struktúrára is alkalmazható az általánosított IMC elve, amelyet a 7.8 ábrán mutatjuk be FOLYAMAT REALIZÁLHATÓ INVERZ MODELL Rr Gr ŷr P+−1 yn P+ P− ŷn P+ P− ε BELSÔ MODELL Rn Gn SZABÁLYOZÓ 7.8 ábra Az általánosított IMC elven mûködô optimális szabályozási kör yn yr Kr Rr P - + u Rn K n 1 − Rn K n P + P + y + C opt y 7.9 ábra Az általánosított IMC elvnek megfelelô ekvivalens optimális szabályozási kör A 7.8 ábra hatásvázlata azonos blokk átalakításokkal a 79 ábrán látható ekvivalens rendszerre hozható, ahol az általános esetre kapott optimális struktúrájú és realizálható YP szabályozó Copt = Qopt 1 − Qopt P = Rn Gn

P+−1 Rn K n ′ = = Rn Gn Copt − sT d 1 − Rn K n P 1 − Rn Gn P−e (7.14) ahol az optimális YOULA-paraméter Qopt = Rn Gn P+−1 = Rn K n és K n = Gn P+−1 (7.15) valamint Qr = Rr Gr P+−1 = Rr K r és K r = Gr P+−1 (7.16) Az így kapott általános szabályozási kör a YP következtében stabilis folyamatokra struktúrálisan a legjobb szabályozót adja. A szabályozó további optimalitását a Gr és Gn átviteli függvényekkel állíthatjuk be. Ennek megértéséhez tekintsük ismét a két szabadságfokú zárt szabályozási kör legfontosabb jeleit az optimális esetben: uopt = Rr Gr P+−1 y r − Rn Gn P+−1 y n ( ) ( ) ( ) eopt = 1 − Rr Gr P−e− sT d y r − 1 − Rn Gn P−e− sT d y n = 1 − Tropt y r − Snopt y n ( ) ( ) − Tnopt y n = Tropt y r + Snopt y n y opt = Rr Gr P−e− sT d y r + 1 − Rn Gn P−e− sT d y n = Tropt y r + 1− (7.17) 211 ahol a Tropt = Rr Gr P−e− sT d és Tnopt = Rn Gn P−e− sT d

egyenlôségek valósulnak meg. Hasonlítsuk össze a (7.12) idális y id és a (717) optimális y opt kimenô jeleit Jól látható, hogy a referencia modellekkel meghatározott ideális Rr illetve Rn tervezett átvitelek nem érhetôk el, csak megközelíthetôk. A közelítô átvitelekben megjelenô P−e− sT d tényezôt nem kiküszöbölhetô (invariáns) faktornak nevezzük. Nem tudjuk tehát semmilyen szabályozással sem eliminálni a folyamat e− sT d holtidejét és a P− inverz labilis (IU) összetevôt. A FI folyamatok esetében ez utóbbi a nem minimum fázisú folyamatok labilis zérusait és a stabilis folyamat összetevô azon pólusait tartalmazza, amelyek a (7.13)-ban az invertálható P+ képzésekor abba nem kerülhettek be. A gyakorlati realizáláskor a P stabilis zérusainak megfelelô számú leglassúbb pólusokat vesszük figyelembe P+ -ban, a többi pólus a P− -ba kerül. Az invariáns P− hatását csak csökkenteni lehet, mégpedig erre

szolgálnak a Gr és Gn átviteli függvények. yn yr Rr G r P+−1 + – 1 − Rn Gn P− e u − sTd yr y P yn FOLYAMAT + + RrGr RnGn + + RnGn P+−1 u y P+ P−e− sTd + REALIZÁLHATÓ INVERZ MODELL C opt ′ P−e− sTd Rn G n SZABÁLYOZÓ SZABÁLYOZÓ (a) (b) 7.10 ábra Az elérhetô legjobb optimális szabályozási kör ekvivalens alakjai Képezzük az ideális és az elérhetô legjobb realizálható (optimális) szabályozási körök kimenetének különbségét ( ) ( ) ∆y = y id − y opt = Rr 1 − Gr P−e− sT d y r + Rn 1 − Gn P−e− sT d y n (7.18) ( ahol mind a követési tulajdonságban mind pedig a zavarelhárításban Rx 1− Gx P−e− sT d ) x =r,n alakú dinamikán keresztül jön létre a hiba. Ennek a hibának különbözô kritériumok szerinti minimalizálását (az elméleti vizsgálatoknál az úgynevezett H2 és H∞ optimalitást) végezhetjük el Gx x =r,n optimális megválasztásával. (Az optimalizás

elmélete kivezet a jegyzet témakörébôl) Az elérhetô legjobb optimális szabályozási kör további ekvivalens alakjait mutatjuk be a 7.10 ábrán Az egyes változatok közül az adott feladatnál az egyszerûbben realizálhatót kell választani. A (b) ábra arra is nyújt tanácsot, hogy a holtidôt is tartalmazó szabályozót hogyan realizáljuk. A 79 ábrán látható szabályozási kört a kétszabadságfokú rendszerek legáltalánosabb (generikus) alakjának nevezzük. (A YOULA-parametrizálást kétszabadságfokú rendszerekre KEVICZKY és BÁNYÁSZ terjesztette ki a Q helyébe két további tervezési paramétert, az Rr -t és Rn -t bevezetve (K-B-parametrizálás). A generikus sémák származtatása és optimalizálási lehetôségeik bemutatása is nevükhöz fûzôdik.) A realizálhatóság kérdéseivel hosszasan foglalkozhatnánk. Ha az optimális szabályozó tervezése magában foglalja Gr és Gn optimalizálását, akkor ez az eljárás önmagában biztosítja

a Gr P− és Gn P− átviteli függvények realizálhatóságát, a többi tényezô ( Rr Gr P+−1 , Rn Gn P+−1 és Rn Gn P− ) realizálhatóságát pedig ezen részeredmények figyelembevételével kell biztosítanunk. Mint azt már említettük, itt nem foglalkozunk Gr és Gn optimalitásának elméletével. Az ebben az esetben 212 alkalmazható Gr = Gn = 1 választás változatlanul helyben hagyja az invariáns P− folyamat tényezôt, következményként ez a rendszer jeleiben változatlanul jelenik meg u = Rr P+−1 y r − Rn P+−1 y n ( ) ( ) e = 1 − Rr P−e− sT d y r − 1 − Rn P−e− sT d y n = (1 − Tr ) y r − Sn y n ( ) (7.19) y = Rr P−e− sT d y r + 1 − Rn P−e− sT d y n = Tr y r + (1 − Tn ) y n = Tr y r + Sn y n továbbá az Rr P+−1 , Rn P+−1 valamint Rn P− átviteli függvények realizálhatósága lesz a kérdés. Jól látható, hogy a realizálhatóság kérdése ilyenkor az Rr és Rn referencia modellek fokszámának

és pólustöbbletének alkalmas megválasztásával egyszerûen kezelhetô, például Rr = 1 (1 + sTr ) alakú (ugyanez Rn -re is) tervezési elôírással. A realizálható, de nem optimális szabályozási kör a 7.11 ábrán látható j w yr Rr P+−1 u Rn P+−1 P y P y P C opt 7.11 ábra A YOULA-parametrizált realizálható szabályozási kör a Gr = Gn = 1 választással Habár a szabályozó realizálható, a gyakorlatban nem várható, hogy FI rendszerek esetében a folyamat holtidejével megegyezô nagyságú ideális holtidôs elemet létre tudunk hozni a szabályozó belsô pozitív visszacsatolású körében és a soros kompenzátorban. Ezért FI holtidôs rendszerekre a bemutatott optimális szabályozó sémának inkább csak elméleti jelentôsége van. Néhány esetben megkísérelhetjük továbbá a holtidôs tagot magasabb fokszámú PA D E approximációjával helyettesíteni. Nem ez lesz a helyzet a számítógépes DI (mintavételes) szabályozások

esetében (lásd a 12. Fejezetet), ahol a módszer teljes egészében alkalmazható 7.1 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy egytárolós holtidôs folyamat P= 1 e−5 s 1 + 10 s azaz P+ = 1 1 + 10 s ; P− = e −5 s és P− = 1 (7.20) amelyet szeretnénk a szabályozással felgyorsítani. A követési és zavarelhárítási referencia modellek legyenek Rr = 1 1+ 4s és Rn = 1 1 + 2s (7.21) Mivel P− = 1, így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a Gr = 1 és Gn = 1 választással élhetünk. Az optimális szabályozó 213 Copt 1 Rn Gn P+−1 −1 = − sT d = − sT d Rn P+ = 1 − Rn Gn P− e 1 − Rn e 1− 1 1 + 10 s (1 + 2 s)(1 + 10 s) (7.22) = 1 1 + 2 s − e −5 s e −5 s 1 + 2 s 1 + 2s a soros kompenzátor pedig Rr K r = Rr Gr P+−1 = Rr P+−1 = 1 + 10 s 1 + 4s (7.23) tehát az optimális kétszabadságfokú szabályozási kör a 7.12 ábra szerinti lesz Vegyük észre, hogy Copt ( s = 0) = ∞ , azaz a szabályozó integráló

jellegû, ami az Rn ( s = 0) = 1 feltételbôl következik. yn yr 1 + 10 s 1 + 4s 1 + 10 s 1 + 2s e −5 s 1 + 10 s P y u e −5 s 1 + 10 s P C opt y P e −5 s 1 + 10 s 7.12 ábra A 71 példa optimális szabályozási köre Egyszerûen ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer kimenôjele ( ) y opt = Rr e− sT d y r + 1 − Rn e− sT d y n =  1 −5 s 1 −5 s  e y r + 1 − e  yn  1 + 2s  1+ 4s (7.24) ami teljesen megfelel a tervezett kétszabadságfokú szabályozási körnek. 7.2 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy kéttárolós folyamat P= (1 + 5s)(1 + 6s) = P (1 + 10s)(1 + 8s) + azaz P− = 1 (7.25) A követési és zavarelhárítási referencia modellek legyenek ismét a (7.21) szerintiek Mivel P− = 1, így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a Gr = 1 és Gn = 1 választással kell élnünk. Az optimális szabályozó most Copt 1 (1 + 10 s)(1 + 8 s) Rn Gn P+−1 Rn −1 = = = Cid − sT d = 1 − R P 2 s (1 + 5 s)(1 + 6

s) 1 − Rn Gn P− e n (7.26) tehát megfelel az ideális szabályozónak, a soros kompenzátor pedig Rr K r = Rr Gr P+−1 = Rr P −1 = (1 + 10s)(1 + 8s) (1 + 4 s)(1 + 5s)(1 + 6s) (7.27) Most közvetlenül is jól látható, hogy a szabályozó integráló, ahogy a 7.13 ábra is mutatja 214 Jegyezzük meg, hogy ideális esetben a szabályozóban lévô Rn (1− Rn ) faktor egy olyan integrátornak felel meg , amelynek az integrálási ideje megegyezik az egytárolós Rn referencia modell idôállandójával. yn (1 + 10s)(1 + 8s) (1 + 4 s)(1 + 5s)(1 + 6s) yr + P - + 1 (1 + 10 s)(1 + 8 s) 2 s (1 + 5 s)(1 + 6 s) + u P + y + C opt y 7.13 ábra A 72 példa optimális szabályozási köre 7.2 A SMITH szabályozó Holtidôs folyamatok holtidejének kezelése kezdettôl fogva különleges követelmények elé állította a szabályozási körök tervezôit. Elsônek Otto SMITH javasolt egy technikát, amelynek segítségével sokáig úgy vélték, hogy a holtidô

hatása nélkül is lehetséges a szabályozó tervezést megoldani. Módszeréhez tekintsünk egy egyszerû holtidôs folyamatot a (713) nyomán P ( s) = P+ ( s) P− ( s) = P+ ( s) e− sT d P = P+ P− = P+ e− sT d vagy röviden (7.28) ahol P+ stabilis. SMITH eredeti javaslatát a felépítendô szabályozási körre a 714a ábra mutatja be. Mivel a kör ekvivalens a 714b ábra hatásvázlatával, itt célja nagyon jól látható: az eredeti holtidôt is tartalmazó zárt kört szétválasztani egy olyan zárt körre, amelyben nincs benne a holtidô, és az azzal sorosan kapcsolódó holtidôs tagra. Így a C+ szabályozó a P+ folyamathoz hagyományos (holtidôt nem figyelembevevô) módszerrel is tervezhetô. FOLYAMAT r y P+ e− sTd C+ + – ( P+ 1 − e− sTd ) + r + + P+ C+ e − sTd y SMITH SZABÁLYOZÓ (a) (b) 7.14 ábra A SMITH szabályozó hatásvázlata A 7.14a ábra a 715 ábra (a) és (b) ekvivalens formáira alakítható át egyszerû blokk

manipulációs mûveletekkel. A 7.15a ábra IMC struktúrája világosan mutatja, hogy a SMITH szabályozó egy YP-szabályozó a speciális Q+ = C+ C+ P+ L = P+−1 = + P+−1 = R+ P+−1 1 + C+ P+ 1 + C+ P+ 1 + L+ (7.29) YOULA-paraméterrel, ha a C+ szabályozó stabilizálja a folyamat P+ holtidô nélküli részét. Itt 215 L+ = C+ P+ a 7.14b ábra zárt körének hurokátviteli függvénye, továbbá T+ = R+ = L+ 1 + L+ (7.30) kiegészítô érzékenységi függvény lesz az R+ referencia modell. Mivel az IMC struktúrában a belsô modell a folyamat kimenôjelét becsüli, innen ered a SMITH -prediktor elnevezés. Bevezetésekor az általános IMC elv és a YOULA-parametrizálás még nem volt ismeretes. Cs r + + - C+ P+ e− sTd P+ P+ e − sTd r y + - - y - ( + Q+ P+ e− sTd C+ + P+ 1 − e− sTd - ) BELSÔ MODELL (a) (b) 7.15 ábra Ekvivalens SMITH szabályozó hatásvázlatok A 7.15b ábra az egyenértékû teljes zárt szabályozási kört

mutatja, ahol az eredô (YOULAparametrizált) soros szabályozó Cs = Q+ C+ = = C+ KS − sT d 1 − Q+ P+ e 1 + C+ P+ 1 − e− sT d ( ) (7.31) amely egyben a realizálás módját jelentô belsô zárt kört is mutatja. Itt KS -sel jelöltük azt a soros átviteli függvényt, amellyel a SMITH szabályozó az eredeti C+ szabályozó hatását módosítja. Tehát KS = 1 ( 1 + C+ P+ 1 − e− sT d ) = ( 1 1 + L+ 1 − e− sT d (7.32) ) A stabilitási határon L+ = −1, tehát a KS = 1 ( 1 + (−1) 1 − e − sT d ) = 1 = e sT d − sT d 1−1+ e ωc = e jω cT d (7.33) alakot kapjuk, amely szerint a SMITH szabályozó tekintélyes pozitív fázistöbbletet visz be az eredeti zárt körbe, ezért alkalmazható számos esetben sikereresen stabilizálásra. Ugyanakkor az ilyen szabályozási kör igen érzékeny a paraméterek megváltozására. Sajnos itt is elmondhatjuk, hogy FI rendszerek esetében a gyakorlatban nem várható a folyamat holtidejével

megegyezô nagyságú ideális holtidôs elem létrehozása a SMITH szabályozó realizálásához. (Lásd az elôzô pont 71 példájánál elmondottakat) A SMITH szabályozó teljes értékeléséhez hozzátartozik, hogy az csak egyszabadságfokú kör tervezésére, rendszerint követésre alkalmas. A szabályozó az alapjelkövetési tulajdonságot is csak indirekt módon tervezi, mint azt a (7.30)-beli T+ = R+ kifejezése mutatja A YOULA - 216 parametrizálás kidolgozása óta pedig ismeretes, hogy segítségével két szabadságfokú esetre is egyszerû tervezési módszer áll rendelkezésre mind a követési, mind pedig a zavarelhárítási tulajdonságok pontos tervezésére a referencia modelleken keresztül. 7.3 A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó A YOULA-parametrizálás elôtt TRUXAL és GUILLEMIN javasolt egyszerû algebrai módszert egyszabadsági fokú szabályozási körök szabályozójának tervezésére. A módszer szerint az elôírt tervezési célt a zárt

rendszer átviteli függvényére kell megfogalmazni Rn = T = CP 1+ C P (7.34) amely feltételbôl egy egyszerû algebrai egyenletet C P = Rn + C PRn (7.35) kapunk C -re. Innen a szabályozót kifejezve C= Rn 1 = CTG 1 − Rn P (7.36) szerint kell a szabályozót megválasztanunk. Vegyük észre, hogy ez az alak megegyezik a YOULA szabályozó (7.9) szerint alapesetével, a Cid szabályozóval A szabályozó realizálása a 7.16 ábra szerint történhet r + Rn + - + 1 P P y CTG 7.16 ábra A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó realizálása Az Rn tehát megfelel a YOULA módszer egyik referencia modelljének. Az egy szabadságfokú esetre egyébként Rn = Rr . Legyen a referencia modell Rn = Bn An , a folyamat a P = B A alakban adott. A szabályozó polinomiális alakja így CTG = Bn A An − Bn B (7.37) A szabályozó realizálható, ha az Rn pólustöbblete nagyobb vagy egyenlô a folyamaténál. Ha Rn egységnyi erôsítésû ( Rn (0) = 1), akkor a szabályozó

1-típusú. TRUXAL észrevétele, hogy L = F sk D = C P alakú k -típusú hurokátviteli függvényt az Rn = T = N f o + f1s +  + f k −1sk −1 = = N + sk D f o + f1s +  + f k −1sk −1 + sk +  dn R + k sn R + k 217 = f o + f 1s +  + f k − 1 s k − 1 ( f o + f1s +  + f k −1sk −1 + sk 1 +  dn R sn R ) ; nR − k − 1 ≥ n − m (7.38) referencia modellel érhetünk el, ahol a nevezô elsô k tagja megegyezik a számlálóval. 7.4 A beavatkozó jelre vonatkozó korlátozások hatása A zárt szabályozási körökben alkalmazott szabályozók kimenôjele, vagy ezt a jelet megfelelô szintre erôsítô beavatkozó szerv kimenôjele mindig amplitúdó korlátozott u( t) ≤ U max (7.39) Ez azt jelenti, hogy u-ban akármekkora ugrás, illetve a kezdeti értéknek a végértékhez képest jelentôs értékváltozása, azaz tetszôleges túlvezérlés nem képzelhetô el. A 24 pontban láthattuk, hogy a pólusok kiejtése zérusok

beiktatásával lehetséges, ami a rendszer gyorsítására vezet. Ez a gyorsítás mindig túlvezérlést igényel. A 7 Fejezetben eddig tárgyalt optimális szabályozási módszereknél láthattuk, hogy szinte kivétel nélkül alkalmaznak valamilyen szintû póluskiejtést, azaz túlvezérlést (lásd a 7.17 ábrát) A most említett gyakorlati amplitúdó korlátozás azt jelenti, hogy hiába számítjuk ki egy optimális szabályozó paramétereit, az általa szolgáltatott kimenôjel a korlátozás miatt nem realizálódik. Az elérhetô gyorsítás a valóságban tehát attól függ, hogy milyen mértékû túlvezérlést alkalmazhatunk. −U max 7.17 ábra Tipikus szabályozó kimenôjel (beavatkozójel) túlvezérlés esetében Tervezett mûködési tartomány Teljes jeltartomány Umax t 7.18 ábra Szabályozó kimenôjelének jeltartomány tervezése A szabályozó kimenôjele jeltartományának megtervezése az adott berendezések függvényében gondos munkát

igényel. Általában a jeltartomány közepére tervezik a munkapontot és ehhez képest a megváltozások lehetséges nagyságát is úgy kell méretezni, hogy ne csak munkapont körüli túlvezérlés férjen el felütközés nélkül (7.18ábra) A leggondosabb tervezés esetére is elôfordul, hogy egy adott méretezésbôl származó szabályozó túlvezérelt kimenôjele nem fér el a tartományban. Ilyenkor nincs más hátra, mint redukálni az eredeti tervezési célunkat. A generikus kétszabadságfokú szabályozási körök K B paraméterezésének elônye, hogy ilyenkor elegendô a problémás (túlságosan igényes) Rr vagy Rn referencia modellt megváltoztatni lassúbb, kevésbé igényes tervezési feltételre. Ez a változtatás rendszerint csak lépésekben, iterációs folyamat keretében képzelhetô el. Itt a 218 lépésekbe beleérthetjük mind a modellen történt szimulációt, mind pedig a valóságos rendszerben végrehajtott kisérletet is. (Alacsony

fokszámú referencia modellek esetében lehetséges a modell idôállandójára (sávszélességére) explicit tervezési képletet kidolgozni a folyamat modell és az U max amplitúdó korlát ismeretében.) Sok esetben nemcsak a szabályozó kimenôjelének amplitúdójára, hanem változási sebességére is gyakorlati korlát érvényes. Gondoljunk nagyméretû csôvezetékek szabályozó szelepeire, ahol a mûködtetô motornak meglehetôsen sokáig kell forognia, amíg az egyik pozícióból a másikba eljut. Az ilyen, úgynevezett sebesség típusú korlátok még nehezebben kezelhetôk analitikus módszerekkel, marad a szimuláció illetve a gyakorlati kisérlet. Az alkalmazható módszer megegyezik az elôzôvel: csökkenteni kell a tervezési elképzelésünkben megfogalmazott igényünket. Összefoglalva kijelenthetjük, hogy az elérhetô leggyorsabb szabályozás nagymértékben és elsôdlegesen függ a szabályozó kimenetére fennálló korlátoktól. Ez a korlát nem

tôlünk, vagy a szabályozó beállítási módszertôl függ, hanem a technológiában alkalmazott berendezés típusától. Így megváltoztatni alapvetôen csak másik berendezés választásával vagy a folyamat újratervezésével lehet. A dinamikus túlvezérlés fogalma és számítása A szabályozási rendszerekben az u( t) beavatkozó jelnek fontos szerepe van, mert ez a folyamat bemenôjele, és itt lépnek fel a fizikai korlátozások. Az r( t) referencia jel változásának hatására a rendszer dinamikájától függôen tranziens jelenségek zajlanak le. Általában a tranziens lecsengése alatt a beavatkozó jel jóval nagyobb értéket ér el, mint a statikus értéke. Ennek a nagyságát a dinamikus túlvezérléssel írjuk le. A dinamikus túlvezérlést a következôképpen definiáljuk: ut = u(0) U max ≅ u( t ∞) u∞ Általában a maximális érték a kezdeti érték lesz, ezért a számítások egyszerûsítése érdekében ezzel közelítjük. A dinamikus

túlvezérlést csak akkor lehet így értelmezni, ha u∞ nem egyenlô nullával. Ez megtörténhet, ha a folyamat tartalmaz integrátort, mivel ilyenkor a rendszer csak úgy tud nyugalomba kerülni, hogy az integrátor bemenete nullára áll be. Ebben az esetben a dinamikus túlvezérlést az U max értékkel helyettesítjük. 7.5 Az elérhetô legjobb szabályozás fogalma Általános elmélet Az elôzô pontban láthattuk a szabályozó kimenôjelére fennálló korlátok alapvetô fontosságát az elérhetô legjobb szabályozás biztosításákor. A 71-73 pontok alapján azonban további lényeges, nem tôlünk függô korlátokat is meg kell említenünk. Ezek közül a legfontosabb a folyamat holtideje, amely invariáns bármilyen szabályozási módszerre, azaz hatása nem küszöbölhetô ki. A másik ilyen invariáns tényezôt a folyamat labilis zérusai jelentik, amelyek ugyancsak nem ejthetôk ki, nem kiküszöbölhetôk semmilyen módszerrel sem. Az invariáns zérusok

hatása, nem kedvezô hatásuk a tranziens folyamatokra bizonyos mértékben kompenzálható, csökkenthetô. 219 (Ez a kompenzálás történhet a Gr és Gn belsô szûrôk optimális megválasztásával, ami nem tárgya a jegyzetnek.) Tehát mind a folyamat holtideje, mind pedig labilis zérusai tôlünk független folyamat tulajdonságnak tekinthetôk, amelyek nem változtathatók meg szabályozó tervezési módszerrel, csak a folyamat áttervezésével. A szabályozó tervezési módszereket általában úgy tárgyaltuk, hogy a folyamat P átviteli függvényét ismertnek tételeztük fel. A valóságban a folyamat nem, annak csak egy P̂ modellje ismert. Ezt a megkülönböztetést eddig csak a robusztus stabilitás fogalmának tárgyalásakor használtuk az 5.7 pontban A zárt rendszer tervezésekor tudnunk kell, hogy az egy szabadságfokú modell alapú tervezés által biztosított C Pˆ Tˆ = 1 + C Pˆ (7.40) kiegészítô érzékenységi függvény nem egyezik meg a

valóságos T= CP 1+  = Tˆ 1+ C P 1 + Tˆ  (7.41) szerinti esettel. Itt  a folyamat modell (540) szerinti relatív bizonytalanságát jelöli A valódi zárt kör érzékenységi függvénye az alábbi összefüggés szerinti dekompozícióban írható fel: min  S  ˆ S = (1 − Rn ) + Rn − T − T − Tˆ = Sterv + Sreal + Smod =      ( S terv ) ( S real ) S mod ( ) = (1 − Rn ) + ( Rn − T ) = Sterv + Smin = 1 − Tˆ + Smod =      ( S terv ) S min (7.42) S szab = 1 − Tˆ + Smod = Sszab + Smod  S terv + S real ( ) ( ) Itt Sterv = (1 − Rn ) a tervezés, Sreal = Rn − Tˆ a realizálhatóság, Smod = − T − Tˆ = Tˆ − T pedig a modellezés miatti veszteség (nem ideális alakulás) hozzájárulása az érzékenységi függvényhez. A másik felbontásban Sszab = 1 − Tˆ a szabályozás, Smin = ( Rn − T ) a minôség szerinti

dekompozíciós tagot jelenti. Az egyes összetevôk értelmezése egyszerû és könnyen magyarázható. Az Rn referencia modell jelentését az elôzô pontokban tárgyaltuk Nyilvánvalóan fennállnak a triviális S = 1 − T és Sˆ = 1 − Tˆ egyenlôségek, ahol ( Sˆ = 1 1 + C Pˆ és S= ) 1 1 = Sˆ = Sˆ + Smod ˆ 1+ C P 1+ T  (7.43) Az Smod tag tovább egyszerûsíthetô Tˆ Sˆ  Smod = S − Sˆ = Tˆ − T = − = −Tˆ S  ≈ −Tˆ Sˆ   0 1 + Tˆ  (7.44) 220 Könnyen belátható, hogy Tˆ Sˆ -nek az ω c vágási frekvenciánál van a maximuma, tehát ennek a frekvenciának a közelében kell a modellünknek a legpontosabbnak lennie. Egy kétszabadságfokú szabályozási körre a kiegészítô érzékenységi függvény fogalmának megfelelô teljes átviteli függvényt általában egy Tr = F T szerinti kiegészítéssel kapjuk. A modell alapú szabályozási körre amelyre (7.41)-hez hasonlóan most is 1+  Tr = Tˆr 1 + Tˆ 

(7.45) Természetesen itt is fennáll a triviális Sr = 1 − Tr egyenlet és a (7.42)-ben bevezetett hármas dekompozíció ( ) ( ) r r r + Sreal + Smod Sr = (1 − Rr ) + Rr − Tˆr − Tr − Tˆr = Sterv (7.46) r Az Smod tag tovább egyszerûsíthetô Tˆ Sˆ  r Smod = Tˆr − Tr = − r ˆ = −Tˆr S  ≈ −Tˆr Sˆ   0 1+ T  (7.47) Az ideális szabályozási körnek az Rr és Rn (pontosabban 1− Rn ) szerinti rendszerválaszt kell pontosan követnie, tehát a zárt rendszer ideális válasza (7.12) szerint y id = y o = Rr y r − (1 − Rn ) y n = y ro + y no (7.48) Elméletileg (7.48) helyett csak a y = Tr y r − S y n = Tr y r − (1 − T ) y n (7.49) zárt rendszer érhetô el, és a valóságban még ez is módosul a modell alapú tervezéssel ( ) yˆ = Tˆr y r − Sˆ y n = Tˆr y r − 1 − Tˆ y n (7.50) Az idális ( y o ) és az elméletileg elérhetô rendszer eltérése r n ∆y = y o − y = ( Rr − Tr ) y r − ( Rw − T )

y n = Smin y r − Smin yn (7.51) r n ahol Smin a minôségi veszteség a követésre, Smin = Smin pedig a minôségi veszteség a zavar elhárításra. Hasonló összefüggés kapható az ideális ( y o ) és a modell alapú tervezéssel kapott ŷ különbségére ( ) ( ) r n ∆yˆ = y o − yˆ = Rr − Tˆr y r − Rn − Tˆ y n = Sreal y r − Sreal yn (7.52) 221 r tagok zérussá csak inverz Jegyezzük meg, hogy a fenti dekompozíciókban az Sreal és Sreal stabilis rendszerekre tehetôk, míg inverz labilis folyamatokra ezen tagok soha nem lehetnek zérusok. Az érzékenységi függvények fenti hármas dekompozíciója bepillantást nyújt a zárt szabályozási körök úgynevezett határ-optimalitásába, azaz az elérhetô legjobb szabályozás jellemzésére. Ehhez olyan optimalitási kritériumot kell alkotnunk, amely a három tagra külön is megfogalmazható, azaz r r r r r r J követés ≤ J terv + J real + J mod = Sterv + Sreal + Smod n n n J zavarel

≤ J terv + J real + J mod = Sterv + Sreal + Smod (7.53) mind a követés, mind pedig a zavarelhárítás feladatára. Itt a  jelölést használtuk az optimalitási kritérium kifejezésére. (Szigorú matematikai analíziskor a jelölés az átviteli függvény választott normájára vonatkozik.) A tervezési veszteség optimalizálása Az elsô tag optimalizálása elsôdlegesen az elérhetô legjobb (leggyorsabb) Rr = Rropt és Rn = Rnopt referencia modellek meghatározását jelenti. Ez az alábbi korlátozás melletti  r Rropt = arg min J terv  Rr  n Rnopt = arg min J terv  Rn     r u ∈U      = argmin 1 − Rn   Rn u ∈U  u ∈U  1 − Rr ( ) u ∈U  = argmin R ( ) (7.54) r n optimum feladat megoldását jelenti, ahol a választott J terv = 1 − Rr és J terv = 1 − Rn kritériumok azt fejezik ki, hogy mindegyik referencia modellnek az ideális egységet kell legjobban megközelítenie. Ezt

a feladatot a szabályozó kimenetére vonatkozó u ∈ U korlátozás mellett kell megoldanunk. Itt U rendszerint az u megengedett tartományát jelenti, azaz az U : u ≤ 1 amplitúdó korlátozást (lásd a 7.4 pontot) A (7.54) feladat egy nehéz optimalitási feladat, mert a megoldás mindig a korlátos tartomány határán van. Analitikus megoldás, néhány alacsony fokszámú egyszerû esettôl eltekintve nem adható. Rendszerint szimulációs CAD eszközökkel határozzuk meg az optimális referencia modelleket. Jegyezzük meg, hogy a (754) feladat megoldásánál gyorsabb referencia modellt az adott korlátozás mellett nem alkalmazhatunk. Megfordítva: ha egy adott korlátozás mellett a tervezési célt megfogalmazó referencia modellre nem kapunk megoldást, akkor nincs más választásunk, mint kevésbé igényes (rendszerint lassúbb) modellt elôírni. Ennek a függvényében a zárt rendszer elérhetô legjobb (leggyorsabb) válasza alapvetôen a szabályozó

kimenetére fennálló korlátozástól függ. A (754)-ben nagyon bonyolult módon természetesen benne van az alkalmazott szabályozó és a folyamat is, azaz a valódi zárt kör. Ezért a tag optimalitása a folyamattól, annak modelljétôl és az invariáns tényezôktôl is függ. Mivel az általános YOULA tervezés fontos paramétere a referencia modell, ezért segítségével a 222 robusztus stabilitás (5.45)-ben bemutatott feltétele is garantálható Egyszerûen belátható a (75) alapján, hogy az (5.45) feltétel YP szabályozási körökre Q P̂  < 1 ∀ω (7.55) Ez a feltétel rendszerint tovább egyszerûsíthetô az Rn < 1  vagy  < 1 Rn ∀ω (7.56) feltételre. Ez utóbbi feltétel alapján például megállapíthatjuk, hogy egytárolós Rn referenciamodellt választva a robusztus stabilitás száz százalékos relatív modell hiba esetén is biztosítható. A realizálhatósági veszteség optimalizálása r n és J real

realizálhatósági veszteség tagok Ezen feladat célja a J real    r Gropt = arg  min J real  = arg min Rr − Tˆr  Gr   Gr   n   = arg min Rn − Tˆ Gnopt = arg  min J real   Gn  Gn ( ) ( )       (7.57) szerinti optimalizálása, amely az optimális a Gr = Gropt és Gn = Gnopt optimális választással biztosítható (7.1 pont) Mint azt már említettük az ISR esetre a Rr = Tˆr és Rn = Tˆn feltétel elvileg elérhetô, ami a triviális Gr = Gn = 1 megoldást jelenti. Az általánosabb IU esetre az optimális átviteli függvényeket meg kell határozni. A modellezési veszteség optimalizálása r A J mod modellezési veszteség optimalitása egy speciális y r = y ropt az alapjel helyén alkalmazott optimális gerjesztés és a segítségével egy Pˆ = Pˆ opt optimális folyamat modell meghatározását jelenti az alábbi úgynevezett minimax probléma megoldásaként   r Pˆ opt = arg

min max J mod ˆ y   P r (     r = arg min max S     mod     Pˆ  y r ) ( ) (7.58) Ez a feladat kétlépéses: az optimális alapjel (az alkalmazott kritériumtól függô) rendszerint maximális kimenôjel szórást biztosít amplitúdó korlátozott y r esetében. A zárt rendszer így kapott kimenôjelét mérve megfelelô modellezési (identifikációs) módszerrel meghatározzuk a r modellezési hiba választott Smod optimalitási kritériumának a minimumát biztosító folyamat modellt. A (758) feladatot a legrosszabb esethez (worst case) tartozó identifikációs feladatnak nevezzük. Mindhárom tagot egyidejûleg optimalizálni nem egyszerû feladat. A gyakorlatban iterációs 223 technikát használnak, amelyben egy-egy lépésben mindig egy optimalizálási probléma megoldása történik. (A fentiekben szereplô  kritériumként rendszerint a magasabb szintû szabályozáselmélet gyakorta

alkalmazott H2 vagy H∞ normáját választjuk. Mint már említettük, ezen feladatok tárgyalása nem része a jegyzetnek.) Tapasztalati összefüggések Az elérhetô legjobb szabályozás vizsgálatakor már az eddigiekben is láttuk, hogy az alapvetô korlátozás a beavatkozó szerv telítôdésébôl és magától a folyamat dinamikájától származik. Az egyik legfontosabb dinamikai korlát a folyamat holtideje, amely nem küszöbölhetô ki, hiszen egy folyamat valóban nem tud válaszolni a holtidejénél rövidebb idô alatt. A holtidôs tagoknak már tárgyaltuk az elsôfokú PADE közelítését, amely szerint e− sT d ≈ 1 − sTd 2 s − 2 Td s − z j = = 1 + sTd 2 s + 2 Td s + z j (7.59) vagyis egy jobboldali z j zérus jó közelítéssel egy Td = 2 z j holtidôs tagnak felel meg. Ez egyben azt is jelenti, hogy a folyamat jobboldali zérusai mindenképpen korlátoknak felelnek meg. Egy kis értékû labilis zérus nagy holtidônek felel meg Intuitív módon

gondolhatjuk, hogy a folyamat labilitását okozó gyökei is korlátokat jelentenek. Azt várhatjuk, hogy megfelelôen gyors szabályozó szükséges egy labilis folyamat stabilizálására. Összefoglalóan a holtidô és a labilis, jobb félsíkra esô zérus ( z j ) valamint pólus ( p j ) eredményezik a folyamat dinamikájából adódó korlátokat. A tapasztalati és alapvetô elméleti megfontolások alapján a korlátok a következôk: - Egy jobboldali labilis (JL) z j folyamat zérus a vágási frekvenciát az alábbiak szerint korlátozza ω c < 0.5 z j (7.60) Lassú JL zérus különösen rossz hatású. - A holtidô is korlátozza a vágási frekvenciát, tapasztalati alapon ω c < 0.5 1 Td (7.61) - Egy JL pólus nagy vágási frekvenciát igényel ω c > 2 pj - Olyan rendszer, amely JL zérussal és pólussal is rendelkezik általában nem (7.62) 224 szabályozható, hacsak a pólus és a zérus nincs kellô távolságban egymástól pj > 6 z j

(7.63) - Labilis holtidôs rendszerek nem szabályozhatók, hacsak nem teljesül a p j < 0.16 1 Td szeparációs (távolsági) feltétel. (7.64) 8. HAGYOMÁNYOS SZABÁLYOZÓK TERVEZÉSE 225 8. Hagyományos szabályozók tervezése A szabályozó tervezés feladata, hogy a folyamathoz egy olyan szabályozót adjunk meg, amellyel a zárt szabályozási kör teljesíti a minôségi elôírásokat. A szabályozási kör hatásvázlata a 6.1 ábra szerinti Ezt a struktúrát soros szabályozási struktúrának nevezzük, mivel a szabályozó sorosan kapcsolódik a szabályozott szakaszhoz. A szabályozó struktúrájának megválasztása után a szabályozó paramétereit kell ennek megfelelôen beállítani. A frekvenciatartományban a szabályozó megfelelô megválasztásával a felnyitott kör frekvenciafüggvényét alakítjuk az elôírt minôségi követelményeknek megfelelôen (6.2 ábra) A 7. Fejezetben láthattuk, hogy stabilis folyamatokra pontos elméleti

módszerek állnak rendelkezésre, amelyek alapján a legkülönbözôbb esetekre meghatározható az optimális szabályozó struktúrája és paramétereinek optimális értéke. Már jóval ezen elméleti módszerek kidolgozása elôtt kialakult viszont a szabályozó berendezések egy olyan, a gyakorlatban is kipróbált, jól bevált és emiatt igen széles körben elterjedt osztálya, amely mind a mai napig meghatározó jelentôséggel bír az ipari folyamatok és technológiák irányításában. Ezen hagyományos vagy klasszikus szabályozók kialakulásában meghatározó jelentôségû volt az elektronikus eszközök technológiájának fejlôdése, amely egyre bonyolultabb átviteli függvények egyre pontosabb realizálását tette lehetôvé. Ez a folyamat a passzív R-L-C áramköröktôl a mûveleti erôsítôkig terjedt. A fejlôdés eredményeként jött létre az úgynevezett PID szabályozók családja. (Mechanikus, pneumatikus, stb jeleken alapuló szabályozók

esetében fôleg a realizálási korlátok miatt ez a fejlôdés inkább csak a PID szabályozók egyes alosztályaiig tartott.) A PID szabályozókat azon elv alapján alakították ki, hogy a szabályozási hiba aktuális értékére arányosan, a múltjára a hiba integráljával arányosan reagáljon, a jövôt pedig a hiba differenciálhányadosával (hiba trenddel) vegye figyelembe. A 81 ábra szemlélteti, hogy a PID szabályozó a rendelkezôjel aktuális (P hatás) és múltbeli értékei alapján (I hatás), és a változás meredekségével a jövôbeni viselkedés elôrevetített tendenciáját is felhasználva (D hatás) számítja a beavatkozójelet. 8.1 ábra A PID szabályozó a rendelkezôjel aktuális és múltbeli értékei, illetve a változás meredeksége alapján elôrevetített tendenciát is felhasználva számítja a beavatkozójelet A PID szabályozók elterjedtsége a világban teljesen általános, a realizált szabályozási feladatok több, mint 90

százalékában ez az osztály szerepel. Az ipari folyamatirányításban a leggyakrabban alkalmazott szabályozók is PID jellegû szabályozók. Ennek oka az, hogy PID szabályozóval a minôségi elôírások többnyire teljesíthetôk, felépítése egyszerû, paraméterei változtatásának hatása könnyen követhetô, és gyakorlati megvalósítása is egyszerû. A PID 226 szabályozók tervezése mint frekvenciatartománybeli tervezési módszer és mint pólus-zérus kiejtéses technika is tárgyalható. 8.1 A PID szabályozó család és tervezése Az ideális PID szabályozó átviteli függvényét az alábbi két alakban szokták megadni:   1 1 A 1 + sTI + s2TI TD CPID = AP 1 + + sTD  = AP + kI + kD s = P s TI s  sTI  (8.1) Az itt szereplô szabályozó paraméterek: AP az arányos átviteli tényezô, TI az integrálási idô és TD a differenciális idô. A szabályozó átmeneti függvénye 1  A v ( t) = L −1 CPID ( s) = AP + P t +

AP TDδ( t) s  TI t≥0 (8.2) amely a 8.2 ábrán látható v(t ) APTD 2AP AP t TI 8.2 ábra Az ideális PID szabályozó átmeneti függvénye A PID szabályozó párhuzamosan kapcsolt P (Proporcionális), I (Integráló) és D (Differenciáló) jellegû hatásokat tartalmaz. Az ideális szabályozó kimenôjelének idôfüggvénye, azaz az e( t) hibajelen végrehajtott mûvelet t u( t) = AP e( t) + kI ∫ e( τ) dτ + kD 0 d e( t) dt (8.3) ami világosan mutatja a szabályozó három csatornájának említett jellegét. A szabályozónak a pólusa az origóban, két zérusa pedig a TI ≥ 4 TD feltétel teljesülésekor a negatív valós tengelyen található. Ez a feltétel az integrálási és differenciálási idôállandók szignifikáns elkülönülését, a nekik megfelelô törésponti frekvenciák legalább négyszeres távolságát követeli meg. Az ideális PID szabályozó pólus/zérus eloszlását a 8.3 ábrán, aszimptotikus amplitúdó és

fázisfüggvényét bemutató BODE diagramját a 8.4 ábrán láthatjuk Az ideális PID szabályozó nem realizálható, csak elméleti vizsgálatokhoz és magyarázatokhoz szokták alkalmazni. A Dhatás realizálhatóságának biztosításával (kis tárolós idôállandóval) egy közelítô, de realizálható PID szabályozóra jutunk. 227 [s] ⊕ × ⊕ z2 z1 p1 8.3 ábra Az ideális PID szabályozó pólusa és zérusai a (ω ) [dB] [−20dB] [20dB] [0dB] lg ω 0 AP TI z1 z2 ϕ(ω ) lg ω 90° 0° −90° 8.4 ábra Az ideális PID szabályozó aszimptotikus BODE diagramja v( t )  T  AP 1 + D   T 2AP AP t T TI 8.5 ábra A közelítô PID szabályozó átmeneti függvénye A közelítô PID szabályozó átviteli függvényének az alábbi két alakja ismeretes: 2   sTD  AP 1 + s(TI + T ) + s TI (TD + T ) 1 CPID = AP 1 + + = s (1 + sT )  sTI 1 + sT  TI (8.4) 228 A szabályozó átmeneti függvénye 1   A

A T  v ( t) = L −1 CPID ( s) = AP + P t + P D e− t T s  TI T t≥0 (8.5) amely a 8.5 ábrán látható A közelítô PID szabályozó pólus/zérus eloszlását a 86 ábrán, aszimptotikus amplitudó és fázisfüggvényét leíró BODE diagramját a 8.7 ábrán mutatjuk be [s] × −1 T ⊕ × ⊕ z1 z2 p1 8.6 ábra A közelítô PID szabályozó pólusai és zérusai a (ω ) [dB] [0dB] [−20dB] [20dB] [0dB] lg ω 0 z1 ϕ(ω ) 90° AP TI z2 1T lg ω 0° −90° 8.7 ábra A közelítô PID szabályozó aszimptotikus BODE diagramja és átmeneti függvénye A szabályozónak a pólusa most az origóban és a −1 T helyen jelentkezik, két zérusa pedig a TD ≤ (TI − T ) 4 TI feltétel teljesülésekor továbbra is a negatív valós tengelyen található. Ez a feltétel ismét az integrálási és differenciálási idôállandók szignifikáns elkülönülését, a nekik megfelelô törésponti frekvenciák számottevô távolságát

követeli meg. 2 A közelítô PID szabályozó átmeneti függvénye már nem a δ( t) függvénnyel kezdôdik a t = 0 pontban, de a létrejövô AP (1+ TD T ) kezdeti ugrás meghaladhatja a beavatkozószerv linearitási tartományát és az eszköz telítôdésbe kerülhet. Ezt egyrészt azért kell elkerülnünk, mert a beavatkozó szerv normális mûködése a linearitási tartomány, másrészt a szabályozó beállítása (stabilitás, minôség, pontosság, stb.) szintén csak a lineáris modellekre igaz A kezdeti ugrást meghatározó TD T viszonyszámot túlvezérlésnek is hívjuk, értéke a valóságos rendszerekben 229 nem haladhatja meg a TD T ≤ 10 határértéket és igen sokszor találkozunk a beavatkozó szerv kialakításától függôen, a 4 ≤ TD T ≤ 6 szigorúbb megengedhetô felsô határral is. Ez a realizálhatósági korlát az, ami elsôdlegesen meghatározza egy adott folyamat esetén az elérhetô leggyorsabb tranzienst (vágási frekvenciát) a

zárt szabályozási körre. Meg kell jegyeznünk, hogy gyakran alkalmazzák a PID szabályozóknak azt a változatát, amely nagymértékben csillapítja az alapjel esetleges ugrásszerû beállításakor a zárt rendszert érô külsô hatást egy egyszerû mechanizmuson keresztül. Ezekben a szabályozókban a módosított jellemzô t számítása a szokásos (8.3) összefüggés helyett az u( t) = AP ep ( t) + kI ∫ e( τ) dτ + kD d ed ( t) d t 0 képlettel történik. Itt ep ( t) = b r( t) és ed ( t) = c r( t) , ahol a b és c beállítási paraméterek (értékük általában a 0.2-08 tartományba esik) Az ideális PID szabályozóból különbözô szabályozó típusok nyerhetôk: P I AP 1 K = I sTI s PI  1   AP 1 +  sTI  PD AP (1 + sTD ) (8.6) A közelítô PID szabályozót a közelítô PD szabályozó vezeti be PD AP 1 + sTD 1+ sT (8.7) Ezt a tagot FSK (fázis siettetô/késleltetô) tagnak is hívják, mert a TD > T esetben közelítô

differenciáló (PD), a TD < T esetben pedig közelítô PI szabályozót valósít meg. A közelítô PID szabályozó paraméterezése számos gyakorlati esetben úgy is történhet, hogy átviteli függvényét az alábbiakban adjuk meg  (1 + sTI ) (1 + sTD ) CPID = AP sTI (1 + sT ) (8.8) Ezen alak elônye, hogy a törésponti frekvenciákat pontosan az 1 TI , 1 TD és 1 T pontokra helyezi, amelyek az adott integrálási, differenciálási idôhöz és a szükséges tároló hatás idôállandójához kötôdnek. A pólus/zérus eloszlás most a 88 ábrán látható [s] × ⊕ −1 T −1 TD ⊕ −1 TI × p1 8.8 ábra A (88) szerinti közelítô PID szabályozó pólusai és zérusai 230 A szabályozónak a pólusai most az origóban ( p1 = 0 ) és a p2 = −1 T helyen jelentkeznek, két zérusa pedig a −1 TD és −1 TI pontokban van. A PID szabályozót egy általános másodfokú szabályozóként is fel lehet fogni, amely elég nagy szabadságfokú ahhoz,

hogy számos egyszerû alkalmazásra megfelelô megoldást adjon. P szabályozók hangolása A P szabályozó ( CP ( s) = AP ) általában 0-típusú szabályozási kört eredményez (kivétel, ha a folyamat önmagában integráló jellegû). A 0-típusú kör véges 1 (1+ K ) értékû hibával szabályoz, a zárt kör eredô átviteli függvényének erôsítése K (1+ K ) , ahol K = AP P (0) a felnyitott kör (és nem a szabályozó!) hurokerôsítése. Ilyenkor a szabályozó realizálásakor az alapjel állításához egy (1+ K ) K statikus kompenzációt alkalmazunk (kalibrációs faktor). Az arányos szabályozó egy konstans szorzást jelent és csak a frekvenciafüggvény amplitúdó menetét befolyásolja, fázismenetére nincs hatással: CP ( jω ) = AP ; ϕ(ω) = arg{CP ( jω )} = 0. Az AP konstans változtatásával a felnyitott kör erôsítése és így a vágási körfrekvencia is állítható. A BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan eltolható, ezáltal a

vágási körfrekvencia változtatható oly módon, hogy a rendszer megfelelô fázistöbblettel rendelkezzen. A szabályozási rendszer tehát egy P szabályozóval stabilizálható, az átmeneti függvény túllendülése megfelelô fázistöbblet beállításával a megengedett korláton belül tartható. Mivel a vágási körfrekvencia nem növelhetô túlságosan, a szabályozás lassú lesz. Ha a szakasz nem tartalmaz integráló tagot, a szabályozás 0 típusú, és csupán az egységugrás követésére képes. A szabályozás állandósult hibával mûködik. Az ipari szabályozókban az arányos szabályozó AP átviteli tényezôje helyett az ún. arányossági tartományt (PB – Proportional Band) lehet beállítani: PB = [1 AP ] 100% . Az arányossági tartomány az a bemenô jeltartomány, amelyre a kimenôjel éppen befutja a teljes jeltartományát. A P szabályozóban csak egy paramétert, az AP erôsítést állíthatjuk. Ez azt jelenti, hogy egyidejûleg a statikus

hiba és az elôírt fázistöbblet már nem mindig biztosítható. A kettôs tervezési elôírás csak szerencsés esetben érhetô el. A tervezés szokásos menete szerint elôször meghatározzuk az elôírt fázistöbblethez ( ϕ to ) tartozó maximális körerôsítés K max (ϕ to ) értékét. A maximális elérhetô körerôsítés megadja az elérhetô minimális statikus hibát { emin = min e( s) s=0 } = 1 + Kmax1 (ϕ to ) (8.9) Ha a feladat megfordítva adott, tehát K min -t a maximálisan megengedett hibából akarjuk kiszámítani, akkor K min = 1 1 + emax (8.10) Amennyiben teljesül a K min < K max feltétel, akkor a kettôs kritériumnak van megoldása, ha nem, akkor nincs. A P kompenzáció a folyamat amplitúdó frekvencia diagramját a vízszintes tengellyel párhuzamosan eltolja, amelynek értéke a szabályozó erôsítése AP = K P (0) . Az eltolás mértékét K max vagy K min határozza meg kiindulásként. 231 I szabályozók hangolása Az I

szabályozó egyik legfontosabb célja, hogy a szabályozási kört 1-típusúvá tegye, azaz az állandósult hiba zérus legyen. Az I szabályozó CI = 1 K = I sTI s (8.11) alakjának méretezése viszonylag egyszerû, hiszen egyetlen állítható paramétere van. Így például az elôírt fázistöbblethez ( ϕ to ) tartozó maximális integrális körerôsítés K max (ϕ to ) a szokásos módszerekkel könnyen meghatározható, majd K I = K max P (0) . PI szabályozók hangolása A P-szabályozónál láttuk, hogy a minôségi kritériumtól függô K max (ϕ to ) maximálisan megengedhetô körerôsítés nem elég nagy ahhoz, hogy elég kicsi állandósult szabályozási hibát biztosítson. Lényegében ennek a problémának az eliminálására kezdték alkalmazni a PI szabályozót, amely legalább 1-típusú szabályozást biztosít, így a hiba állandósult értéke ugrás alakú zavarásra zérus. A PI szabályozó  1 + sTI 1  CPI ( s) = AP 1 +  = KI s 

sTI  (8.12) alakja lehetôvé teszi, hogy a folyamat legnagyobb idôállandóját kiejtsük a TI = max{Ti } = T1 választással. A szabályozási körben az elôírt fázistöbblethez ( ϕ to ) tartozó maximális integrális körerôsítés K max (ϕ to ) a szokásos módszerekkel meghatározható, majd a szabályozó integrális erôsítése K I = AP TI = K max P (0) . A hurokátviteli függvény L( jω) amplitúdó frekvencia diagramja -20 dB/dekád meredekséggel indul, hiszen a PI szabályozó a folyamat legnagyobb idôállandójának megfelelô legkisebb törésponti frekvenciát (1 T1 ) a zérus pontba helyezi át, továbbá a folyamat amplitudó frekvencia diagramját a vízszintes tengellyel párhuzamosan eltolja ( K I ). A párhuzamos alak alapján könnyen felrajzolható a szabályozó átmeneti függvénye, míg a szorzat alakból egyszerûen felvázolható az aszimptotikus BODE amplitúdó diagram. A 89 ábra megadja a PI szabályozó átmeneti függvényét és BODE

diagramját, ez utóbbit AP = 1 esetre. Ha az erôsítési tényezô ettôl eltérô, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan tolódik el. 8.9 ábra PI szabályozó átmeneti függvénye és közelítô BODE diagramja Az PI szabályozó a kisfrekvenciás tartományban biztosítja a nagy erôsítést. Az integráló hatás 232 1-gyel növeli a szabályozás típusszámát. Arányos szakasz esetén állandó alapjelre a statikus hiba nulla lesz. A vágási körfrekvencia megfelelô elhelyezésével stabilis, kellô fázistöbblettel rendelkezô szabályozási kör alakítható ki. Mivel a vágási körfrekvencia nem helyezhetô a nagyfrekvenciás tartományba, a szabályozás lassú lesz. A PI szabályozó közelítô realizálását a C̃PI ( s) = AP 1 + sTI = CFK ( s) 1 + sT (8.13) alakú szabályozóval (FK tag) biztosíthatjuk, ahol T > TI . Így most a TI = max{Ti } = T1 választással a legkisebb törésponti frekvenciát (1 T1 ) az 1 T pontba (balra

tolással) helyezi át. A hurokátviteli függvény L( jω) amplitúdó frekvencia diagramja most 0 meredekséggel indul, tehát a szabályozás 0 típusú marad. C̃PI alkalmazása a -20 dB/dekád meredekségû szakasz meghosszabításával rendszerint nagyobb K max (ϕ to ) megengedhetô körerôsítést biztosít, mint az egyszerû P szabályozó. Egyszeres közelítô PI szabályozó egy egyszeres töréspontot képes kisebb frekvenciára áthelyezni. 8.10 ábra A fáziskésleltetô tag átmeneti függvénye és közelítô BODE diagramja A 8.10 ábra megadja a fáziskésleltetô szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját Látható, hogy a tag a kis idôk tartományában, illetve a nagyfrekvenciás tartományban közelíti a PI tag jelleggörbéit. Szinuszos bemenôjelekre a kimenôjel fázisban késik a bemenôjelhez képest (innen a tag elnevezése). Mivel a szabályozó nem tartalmaz integráló hatást, beiktatása nem biztosít zérus értékû állandósult

hibát. PD szabályozók hangolása Az ideális CPD ( s) = 1 + sTD PD szabályozót nem tudjuk realizálni, ezért csak a közelítô realizálható C̃PD ( s) = AP  1 + sTD sτ  = AP 1 +   1 + sT  1 + sT ; TD = T + τ (8.14) alaknak van gyakorlati alkalmazása (FS tag), amely formailag teljesen megegyezik C̃PI -vel. A lényeges különbség, hogy itt TD > T és a differenciáló csatorna differenciálási ideje τ . A C̃PD szabályozó a TD = T2 választással, ahol T2 a folyamat második legnagyobb idôállandója, a -20 dB/dekád meredekségû szakasznak a nagyfrekvenciás részét nyújtja meg az 1 T2 törésponti frekvenciának az 1 T pontba (jobbra) történô tolásával. Ez javítja a fázisviszonyokat, adott fázistöbblet eléréséhez növelhetô ω c értéke, ami gyorsabb beállást eredményez. A T 233 megválasztásának gyakorlati korlátja van, ugyanis a szabályozó átmeneti függvényében a t = 0 idôpontban AP TD T nagyságú ugrás

lép fel, amely aszimptotikusan elhal, a végértéke AP . A túlvezérlés tehát η = TD T , azaz megegyezik a pólusáthelyezési aránnyal. Ezt az ugrást nem minden beavatkozó szerv tudja végrehajtani. A mechanikus, nagyméretû beavatkozó szervek legfeljebb 2-3 szoros, az elektronikus, fejlettebb eszközök legfeljebb 10-szeres ugrást tudnak elviselni. Ezért a tervezéskor egy átlagos 3-5 szörös ugrást engednek meg, majd a gyakorlatban tesztelik, hogy a beavatkozó szerv nem kerül-e telítésbe (nem éri-e el jeltartományának határát). Néhány esetben lehetséges a TD = T3 ( T3 a harmadik legnagyobb idôállandó) választás is, de ennek hatása kisebb jelentôségû. A 8.11 ábra megadja a PD szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját, ez utóbbit AP = 1 esetre. Ha az erôsítési tényezô ettôl eltérô, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan tolódik el. A tagot fázissiettetô tagnak is nevezzük, mivel fázisszöge pozitív,

szinuszos bemenôjel esetén a kimenôjel fázisban siet a bemenôjelhez képest. 8.11 ábra PD szabályozó átmeneti függvénye és közelítô BODE diagramja A PD szabályozónál lehet legkönnyebben megérteni a szabályozás gyorsító hatását. A folyamatok tehetetlen, inerciózus viszelkedését csak extra gyorsító energia bevitelével lehet legyôzni. Ezt szolgálja a túlvezérlés (Lásd a 24 pontot) A PD szabályozót akkor alkalmazzuk, ha a rendszert gyorsítani akarjuk. Ezt a gyorsítást úgy érjük el, hogy a PD szabályozó BODE diagramjának +20dB/dekád meredekségû szakaszát abba a frekvencia tartományba helyezzük el, ahol a folyamat BODE diagramjának meredeksége -40dB/dekád. Így a felnyitott kör BODE amplitúdó diagramjának -20dB/dekád meredekségû szakasza meghosszabbodik, és a vágási körfrekvencia a nagyobb frekvenciák tartományába helyezhetô el. A gyorsítás mértéke annál nagyobb, minél nagyobb az η paraméter értéke A PD

szabályozó tehát a BODE diagram egyik egyszeres töréspontját (rendszerint a másodikat) nagyobb frekvenciára helyezi át, de egyidejûleg az áthelyezési aránnyal megegyezô nagyságú túlvezérlést okoz. A folyamat amplitudó frekvencia diagramját a vízszintes tengellyel párhuzamosan eltolja ( AP ). A PD szabályozóval tehát a rendszer stabilizálható. A rendszer gyorsítható A megfelelô fázistöbblet beállításával elôírt dinamikus viselkedést érhetünk el. Mivel azonban a szabályozó arányos jellegû, arányos szabályozott szakasz mellett a szabályozásnak egységugrás alapjelre lesz statikus hibája. A gyorsítás azzal magyarázható, hogy a rendelkezôjel kezdetben a PD szabályozót gerjesztve annak kimenetén nagy jelet hoz létre, a szabályozott szakasz így átmenetileg ezt a nagy értéket igyekszik követni a saját idôállandójával, tehát a kimenôjel nagy meredekséggel indul el. A 234 szabályozási körben azután a

rendelkezôjel értéke csökken, és a szabályozott jellemzô beáll állandósult értékére. PID szabályozók hangolása A legcélszerûbb PID szabályozó parametrizálás a (8.8) szerinti, azaz C̃PID = AP (1 + sTI ) (1 + sTD ) sTI (1 + sT ) (8.15) Ez a szabályozó az elôzô két szabályozó (PI és PD) kombinációját jelenti, lényegében sorba kapcsolásukat. Így az ott bemutatott méretezési eljárást kell itt együtt megismételni A TI = max{Ti } = T1 választással állítjuk be az integrálási idôt, TD = T2 választással pedig a differenciális idôt. Ezzel a méretezéssel a -20 dB/dekád meredekségû szakaszt hosszabbítjuk meg a szabályozó struktúrájából adódó lehetséges maximális mértékben. A szabályozási körben az elôírt fázistöbblethez ( ϕ to ) tartozó maximális integrális körerôsítést K max (ϕ to ) meghatározva a szabályozó integrális erôsítését K I = AP TI = K max P (0) szerint kapjuk. A közelítô

differenciálás T idôállandójának megválasztásával kapcsolatban a PD szabályozóknál mondottakra utalunk, viszont a túlvezérlés számítása integrátort tartalmazó szabályozási körökben más gondolatmenet szerint történik. Mivel egy integrátor mûködése addig tart, amíg a bemenetére zérus nem kerül, ezért a kör állandósult állapota csak a hibajel zérus értéke esetén következik be. A PID szabályozó kezdeti ugrása egységugrás alapjel esetén AP TD T A folyamat bemenôjelének az állandósult értéke pedig 1 P (0) . Az így számítható túlvezérlés most η = AP P (0) TD T = K TD T . A túlvezérlés tehát a körerôsítés és a pólusáthelyezési arány szorzata. A (8.15) szorzat alakban megadott szabályozó szemléletesebben alkalmazható a frekvenciatartománybeli viselkedés vizsgálatára. A 812 ábra megadja a PID szabályozó átmeneti függvényét és BODE diagramját, ez utóbbit AP = 1 esetre. Ha az erôsítési tényezô

ettôl eltérô, a BODE amplitúdó diagram önmagával párhuzamosan tolódik el. 8.12 ábra PID szabályozó átmeneti függvénye és közelítô BODE diagramja A PID szabályozót akkor alkalmazzuk, ha a rendszer statikus pontosságát növelni kívánjuk és ugyanakkor a rendszert gyorsítani is akarjuk. A PID szabályozó BODE diagramjának kezdeti -20dB/dekád meredekségû szakaszával a felnyitott rendszer BODE diagramjának kisfrekvenciás szakaszát módosítjuk, ezzel növelve a szabályozás típusszámát és statikus pontosságát. A szabályozó BODE diagramjának +20dB/dekád meredekségû szakaszával a középfrekvenciás 235 viselkedést módosítjuk. Mivel megfelelô fázistöbblet biztosításával most a vágási körfrekvencia nagyobb értékre helyezhetô, a szabályozás gyorsabb mûködését érhetjük el. A PID szabályozó viselkedése közelíthetô egy ún. fáziskésleltetô-siettetô (FKS) taggal is, amelynek átviteli függvénye: CFKS ( s) = AP

1 + sT1 1 + sT2 , 1 + sT3 1 + sT4 ahol T3 > T1 > T2 > T4 . Az FKS tag átmeneti függvényét és közelítô BODE diagramját a 8.13 ábra adja meg Mivel a tag nem tartalmaz integráló hatást, beiktatása nem biztosít zérus értékû állandósult hibát. 8.13 ábra FKS tag átmeneti függvénye és közelítô BODE diagramja A szabályozót a folyamathoz (illetve annak modelljéhez) tervezzük a minôségi követelmények kielégítésére. Elôször eldöntjük, hogy az adott folyamathoz és minôségi elôírásokhoz mi legyen a szabályozó struktúrája, majd megválasztjuk a szabályozó paramétereit. Egy P I D szabályozóban például négy szabad paraméter van, AP , TI , TD és T . A szabályozó tervezése a paraméterek megválasztását jelenti. A tervezést el lehet végezni az idôtartományban vagy a frekvenciatartományban. Számos eljárást, módszert fejlesztettek ki a tervezés megvalósítására A tervezési módszerek sokrétûsége abból is

származik, hogy az egyes alkalmazásokban a tervezési elôírások nagy eltérést mutathatnak. Sok esetben az elôírások egymásnak ellentmondó követelményrendszert alkotnak. Általános esetben ez egy optimalizálási problémának felel meg, amikor az ellentmondó követelmények kielégítésre megfelelô kompromisszumot alakítunk ki. A gyakorlatban sokszor az optimalizálás elvégzése helyett valamilyen iterációs (intelligens találgatás) eljárást alkalmaznak. Szabályozó P I PI PD PID Összefoglaló méretezési táblázat: TD A TI AP = K P (0) T1 T1 T2 T2 KI K I = K max P (0) K PI = K max P (0) K PD = K max P (0) K PID = K max P (0) Az eddig bemutatott P, PI, PD és PID szabályozókat kompenzációs szabályozóknak is nevezik, mert hatásukat a felnyitott kör hurokátviteli függvényére soros tagként tudjuk legegyszerûbben felmérni és tervezni. 236 Foglaljuk össze a póluskiejtéses PID jellegû szabályozó tervezésére vonatkozó gyakorlati

szabályokat. P szabályozót akkor alkalmazhatunk, ha a szabályozással szemben nincsenek a statikus pontosságra vonatkozóan nagy igények, és a szabályozás lehet lassú mûködésû. Ha a szakasz tartalmaz integráló hatást, az arányos szabályozóval statikus szempontból is megfelelô mûködésû szabályozás tervezhetô. PI szabályozót akkor alkalmazunk, ha állandósult állapotban pontos beállást követelünk meg egységugrás alapjelre. Az integráló hatás fogja biztosítani a hibamentes beállást A PI szabályozóval a szabályozás lassú mûködésû lesz. A PD szabályozó beiktatása gyorsítja a rendszert. Ezt a hatást a szabályozó túlvezérlésével éri el PID szabályozót akkor alkalmazunk, ha a szabályozás pontosságát és gyorsaságát is növelni kívánjuk. Arányos szakaszhoz póluskiejtéses szabályozó tervezés esetén a paramétereket a következôképpen választjuk meg: a TI paramétert (az integrálási idôállandót) a folyamat

legnagyobb idôállandójával megegyezônek választjuk (legkisebb frekvenciájú pólus), a TD paramétert pedig a második legnagyobb idôállandóval tesszük egyenlôvé. Így elérhetjük, hogy a behozott zérusok kiejtsék a folyamat pólusait. A differenciáló jellegû tag nevezôjében szereplô T paramétert T = TD η alakban adjuk meg, ahol η a pólus áthelyezési arány, amely megadja, hogy a PD tag hányszoros frekvenciára tolja el a kompenzált pólust. Ha nagyobbra választjuk, akkor a rendszer gyorsabb lesz, de ennek ára az, hogy a beavatkozó jel maximuma is nagyobb lesz. Mivel az AP paraméter értéke nem befolyásolja a felnyitott kör fázismenetét, ezért ezt arra használhatjuk, hogy beállítsuk az elôírt fázistartalék értéket. Ha a szakasz nem arányos jellegû, közelítô BODE diagramja alapján dönthetjük el, milyen típusú szabályozóval formálhatjuk a BODE diagramot a minôségi elôírásoknak megfelelôen. A póluskiejtéses technika

ilyenkor is célszerûen alkalmazható. A holtidô hatásának figyelembevétele A folyamat holtidejének figyelembevétele a soros kompenzációk között relatíve egyszerû, ugyanis H H ( s) = e− sT d ⇒ H H ( jω) = e− jωT d = e− jϕ d (8.16) azaz egységnyi abszolút értékû és ϕd = −ωTd fázisszögû taggal kell módosítani a felnyitott kör hurokátviteli függvényének L( jω) frekvencia karakterisztikáját, azaz csak a fáziskarakterisztika módosul. Ez úgy is figyelembe vehetô, hogy az eredeti ϕ to tervezett fázistöbblet helyett a ϕdto = ϕ to + ωTd értéket használjuk. Mivel a holtidô átviteli függvénye nem racionális törtfüggvény, mindazok az általános számítógépes programok, amelyek ilyen tagok kezelésére készültek fel (pl. MATLAB®) nem tudják egyszerûen figyelembe venni hatását általános hatásvázlatban. Ilyenkor a holidôs tag valamilyen közelítését használjuk a racionális törtfüggvények osztályában. A

holtidô racionális törtfüggvénnyel való közelítésére szolgáló módszereket a 2.5 pontban mutattuk be. 237 8.14 ábra Szabályozó megvalósítása mûveleti erôsítôvel PID szabályozók megvalósítása Az analóg szabályozó visszacsatolt mûveleti erôsítôvel valósítható meg (8.14 ábra) A mûveleti erôsítô igen nagy feszültségerôsítéssel rendelkezik (10 5 − 10 7 ), bemenô ellenállása pedig szintén nagy. A kimenôjel és a bemenôjel közötti összefüggés: C ( s) = Z v ( s) Zb ( s) , ahol Z v a visszacsatoló, Zb pedig a bemeneti impedancia. A 815 ábra a tisztán integráló, illetve a PI szabályozó kapcsolását mutatja. 8.15 ábra I és PI szabályozó kapcsolása A kapcsolásoknak több módosított változata adható meg. Például szempont lehet olyan változat kialakítása, ahol egy elem (rendszerint ellenállás) megváltoztatása csak egy szabályozó paramétert állít, a többit nem befolyásolja. A közelítô FK, FS, FKS

szabályozók passzív elemekbôl építhetôk fel, a kapcsolás nem tartalmaz mûveleti erôsítôt. A 816 ábra mutatja ezen szabályozók felépítését ellenállásokkal és kondenzátorokkal. (a) (b) (c) 8.16 ábra FK, FS és FKS szabályozó realizálása ellenállásokkal és kondenzátorokkal A kompakt szabályozó az automatika elemeket gyártó cégek terméke, ahol a szabályozó struktúra (P, PI, PD vagy PID) kapcsolható, és a paraméterek általában potenciométerek állításával hangolhatók. 238 8.17 ábra PID szabályozó blokkvázlata kézi-automatikus átkapcsolással A szabályozók megvalósítják a kézi üzemmódról az automatikus szabályozási üzemmódra történô kapcsolás lökésmentességét, és a telítôdés esetleges bekövetkezésekor az integrátor telítési jelenségét is kezelik. A PID szabályozó blokkvázlatát a kézi - automatikus átkapcsolás feltüntetésével a 8.17 ábra szemlélteti Az alapjel átkapcsolható két

különbözô jeladó között A rendszer átkapcsolható a kézi és az automatikus üzemmód között. Lassú folyamatok esetén automatikus állásból kézi üzemmódba való átkapcsoláskor a kezelô a végrehajtójelet mérô mûszer által mutatott értéket beállítja a kézi végrehajtójelet képzô potenciméteren, és ezután kapcsol. A kézi állásból az automatikusba való átkapcsolás kritikusabb, ugyanis a kézi üzem alatt a szabályozó integráló ágán a kimenôjel nagy valószínûséggel "megszalad". PI szabályozó esetén a 8.18 ábra mutat egy lehetséges megoldást a kézi-automatikus átkapcsolásra az "elintegrálódás" elkerülésével. A kézi üzemmód ideje alatt a C kondenzátor a kézi végrehajtójel értékére töltôdik fel, és átkapcsolás után az integrálás errôl a kezdeti értékrôl indul. Az R ellenállás biztosítja kézi üzemmódban a mûveleti erôsítô visszacsatolását, így a mûveleti erôsítô nem

kerül telítésbe. A korlátozás kezelésével a 84 pontban foglalkoztunk 8.18 ábra PI szabályozó kézi-automatikus átkapcsolással Ma az analóg technikák helyett egyre inkább PLC (Programmable Logical Controller) vagy számítógép realizálja a szabályozót. A folyamat A/D átalakítóval csatlakozik a számítógéphez A PID jellegû szabályozási algoritmust program valósítja meg. A szabályozó kimenôjele pedig D/A átalakítón keresztül csatlakozik a folyamat bemenetére. A programnak kell gondoskodnia a korlátozás jelenségének kezelésérôl és a kézi – automatikus átkapcsolás lökésmentességérôl is. A digitális PID szabályozókkal a 13. Fejezetben foglalkozunk részletesen 8.2 Maradék rendszerek tervezése Néhány tipikus esetre a szabályozó tervezése analitikusan is elvégezhetô. A hagyományos szabályozók tervezésekor láthattuk, hogy a legáltalánosabban elterjedt és legegyszerûbb 239 módszernél a PID szabályozó

integrálási és differenciálási idejének megfelelô töréspontokat a folyamat két legnagyobb idôállandójához tartozó töréspontokhoz illesztjük. A szabályozónak ezután már csak az erôsítési tényezôjét kell beállítanunk mint egyetlen szabad paramétert. Az erôsítést elôírt fázistartalék, erôsítési tartalék vagy NYQUIST stabilitási tartalék szerint szokták megválasztani. Amennyiben a két domináns idôállandó kiejtése után kapott maradék (reziduális) vagy redukált rendszer egyszerû alacsony fokszámú, akkor ezt a méretezést nagyon könnyen elvégezhetjük, igen sokszor explicit analitikus eredményre jutva. Ha a maradék rendszer magasabb fokszámú bonyolultabb rendszer, akkor csak a számítógépes számítások (MATLAB®) alkalmazhatók. A következôkben néhány tipikus maradék rendszerre elvégezzük a körerôsítés méretezését. Holtidôs integráló maradék rendszer Mint korábban láttuk, egy tisztán holtidôs tagot

negatívan visszacsatolva a szabályozás a stabilitás határára kerül, ha a hurokerôsítés egységnyi. Arányos szabályozó helyett integráló szabályozót alkalmazva a szabályozás stabilizálható és statikus pontossága javítható. Legyen a maradék rendszer a 8.19 ábra szerinti, amelynek hurokátviteli függvénye L( s) = K e− sT d e− sT d = s sTI L( jω) = ; + K e− jωT d = a(ω)e jϕ(ω) jω (8.17) K e− sTd s 8.19 ábra Holtidôs integráló maradék rendszer A felnyitott kör amplitúdó-körfrekvencia görbéje -20dB/dekád meredekségû egyenes, a K = 1 TI hurokerôsítési tényezô megadja a felnyitott kör vágási körfrekvenciáját. Amennyiben ϕ t az elôírt fázistartalék, akkor a − π 2 − ωTd = −π + ϕ t (8.18) szögfeltételnek és a K =1 ω (8.19) abszolútérték feltételnek kell fennállnia. A két egyenlet megoldásából kapjuk a körerôsítést K= π 2 − ϕt π − 2ϕt = = Kϕ t Td 2 Td (8.20) Ha a szabályozó

erôsítési tényezôje Ac , a folyamaté pedig Ap , akkor a szabályozó beállítandó átviteli tényezôjét (erôsítését) az Ac = Kϕ t Ap (8.21) 240 képlet szerint számíthatjuk ki. Az így kapott (8.20) beállítási képletet integráló szabályozó méretezésére is felhasználhatjuk, ha a folyamat tiszta holtidôs tag. Ha tehát a holtidôs taghoz I szabályozót használunk, annak integrálási idejét az alábbiak szerint méretezzük TI = 1 1 1 = = K I K Kϕ t (8.22) amelynek a holtidôhöz viszonyított relatív értéke 1 2 TI = = π − 2 ϕt Td π − ϕ t 2 (8.23) Néhány tipikus érték: ha ϕ t = 30° = π 6 , akkor TI Td = 3 π ≈ 1; ha ϕ t = 60° = π 3, akkor TI Td = 6 π ≈ 2 . A stabilitási határ ( ϕ t = 0), tehát TI Td = 2 π ≈ 0637 Holtidôt is tartalmazó minimumfázisú rendszer esetén tehát nem elegendô, hogy a vágási körfrekvencia a -20dB/dekád meredekségû szakaszra essen, a vágási körfrekvenciát a kb. ϕ t =

60° fázistöbblet biztosításához a holtidô reciprokának a felére kell helyezni. Legyen a κ erôsítési tartalék (lásd az 5.6 pontot) adott Most a szögfeltétel π − − ωTd = −π 2 (8.24) ahonnan a frekvenciafüggvénynek a negatív valós tengellyel való metszéspontjához tartozó körfrekvencia ωa = π 2Td (8.25) ahol a hurokátviteli függvény abszolút értéke a(ω a ) = K K = = 1− κ ω ω =ω a ω a (8.26) Az utóbbi két egyenlet megoldásából kapjuk a körerôsítés képletét K= π (1 − κ) 2 Td (8.27) Egy tipikus érték: ha at = 0.5 , akkor TI Td = 4 π ≈ 12 A stabilitási határ ( at = 0) tehát most is TI Td = 2 π ≈ 0.637 A tiszta holtidôs taghoz használt I szabályozó integrálási idejének a beállítási képlete TI 2 = Td π (1 − κ) (8.28) 241 A ρ m = ρ min NYQUIST stabilitási tartalék a felnyitott kör L( jω) frekvenciafüggvényének a −1 + j 0 ponthoz legközelebb esô pontjának a −1 + j 0

ponttól mért távolsága. Ezt a távolságot általában nem könnyû explicit algebrai kifejezéssel megadni, mivel egy szélsôérték feladat megoldásából származtatható. Ezért általában értékének grafikus ábrázolására törekednek A 8.20 ábrán ρ min -nak a TI Td hányadostól való függését ábrázoltuk ρmin .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 TI Td .5 .5 .5 .5 .5 8.20 ábra A ρ min NYQUIST stabilitási tartalék a TI Td függvényében Amint azt az 5. Fejezetben láttuk, a negatívan visszacsatolt tiszta holtidôs tag csak akkor stabilis, ha a hurokerôsítése 1-nél kisebb. Ekkor azonban a statikus hiba igen nagy Ezért gyakran elôfordul, hogy nemcsak a póluskiejtéses szabályozó méretezési technikáknál, hanem a tiszta holtidôs szakasz I szabályozóval történô irányításánál is a fenti megfontolásokat használhatjuk. A ϕ t = 60° = π 3 esetre a felnyitott rendszer BODE amplitúdó diagramját a 8.21 ábra szemlélteti. (823)-ból

látható, hogy holtidôs rendszer kompenzálásakor a vágási körfrekvencia a kialakított hosszú -20dB/dekád meredekségû szakaszon a holtidô reciprokának kb. felére helyezendô. A stabilitás határán ϕ t = 0, és ekkor K I = π 2 Td ≈ 157 Td 8.21 ábra Kompenzált holtidôs rendszer BODE amplitúdó diagramja Egy aperiodikus folyamatot egytárolós (esetleg kéttárolós) holtidôs taggal elég jól lehet közelíteni (lásd a 8.3 pontot) A magasabb minôségi követelmények kielégítésére az I helyett PI szabályozót is alkalmazhatunk. A PI tag zérusával „kiejthetjük” a szakasz pólusát, és helyette integráló hatást „hozunk be”. Ezzel a PI kompenzálással a felnyitott kör ismét holtidôs integráló: 242 1 + sT1 K P e− sT d AP K P e− sT d Ke− sT d L( s) = AP = = s s s 1 + sT1 (8.29) A K paraméter, amely a felnyitott kör vágási körfrekvenciáját is megadja, a 6.2 pont szerint, célszrûen 60°-os fázistöbbletre tervezhetô:

K = ω c ≈ 1 2Td . Td = 10 és T1 = 2 esetén a szabályozás átmeneti függvényét és beavatkozójelét a 8.22 ábra mutatja A holtidô a rendszerbôl nem küszöbölhetô ki, a kimenôjel csak a holtidô letelte után kezd változni. 8.22 ábra PI taggal kompenzált holtidôs rendszer átmeneti függvénye és beavatkozójele (Megjegyezzük, hogy egytárolós holtidôs szakasz esetén nincs értelme PD kompenzáció hozzáadásának. Kéttárolós holtidôs szakasz esetén a PD hatás hozzáadása csak akkor gyorsítja a rendszert, ha a tárolós idôállandók a dominánsak. Ha a holtidô a köztes vagy a legnagyobb idôállandó, a holtidôbôl adódó nagy fázistolás miatt a PD hatással a fázistöbblet nem javítható lényegesen, így alkalmazásának nincs értelme. Mivel a holtidô korlátozza a vágási körfrekvencia növelhetôségének mértékét, a holtidôs szabályozás lassú mûködésû lesz.) Egytárolós integráló maradék rendszer Legyen a maradék

rendszer most az 8.23 ábra szerinti, amelynek hurokátviteli függvénye L( s) = 1 K = s(1 + sT ) sTI (1 + sT ) ; L( jω) = K = a(ω)e jϕ(ω) jω(1 + jωT ) (8.30) K s (1 + sT ) + - 8.23 ábra Tárolós integráló maradék rendszer A zárt rendszer eredô átviteli függvénye, azaz a kiegészítô érzékenységi függvény (8.30) alapján T ( s) = K 1 1 = = K + s + T s2 1 + 1 s + T s2 1 + 2 ξ τ s + τ 2 s2 K K (8.31) 243 tehát egy másodrendû ideális lengô tag, amelynek csillapítási tényezôje a körerôsítéssel pontosan beállítható. Együttható összehasonlítással kapjuk, hogy K= 1 4 ξ 2T ; TI = 4 ξ2 T (8.32) A közismerten "szép" átmeneti tranzienst nyújtó ξ = 2 2 ≅ 0.707 csillapítási tényezôt a K = 0.5 T körerôsítéssel kapjuk A bizonyos alkalmazásoknál nagy jelentôségû aperiodikus beállás ξ ≥ 1 határhelyzetének a K ≤ 0.25 T érték felel meg Legyen ϕ t az elôírt fázistartalék, akkor a

hurokátviteli függvény alapján írhatjuk a π − − arctg(ωT ) = −π + ϕ t 2 (8.33) szögfeltételt és a K ω 1 + ω 2T 2 =1 (8.34) abszolút érték feltételt. A két egyenlet megoldásából kapjuk a körerôsítés képletét K= 1 1 sin (90 − ϕ t ) tg (90 − ϕ t ) 1 + tg 2 (90 − ϕ t ) = T T cos2 (90 − ϕ t ) (8.35) ahol figyelembe vettük a tg ( x ) 1 + tg 2 ( x ) = sin ( x ) 1- sin 2 ( x ) = sin ( x ) cos2 ( x ) (8.36) trigonometriai azonosságot. Néhány tipikus érték: ha ϕ t = 45° = π 4 , akkor K T = 2 ≅ 1.414 ; ha ϕ t = 60° = π 3, akkor K T = 2 3 ≅ 0.667 Adott ξ-hez tartozó ϕ t is kiszámítható Ha ξ = 2 2 ≅ 0707 csillapítási tényezôt akarunk, ahhoz ϕ t = 65.53° adódik Mivel ezen maradék rendszer NYQUIST diagramja nem lép át a harmadik síknegyedbe, ezért erôsítési tartalék most nem tervezhetô ( κ t ≡ 1.0 ) Ez a rendszer struktúrálisan stabilis A ρ min NYQUIST stabilitási tartalékot itt is csak

grafikusan tudjuk ábrázolni, a TI T -tôl való függését az 8.24 ábrán láthatjuk Egytárolós integráló maradék rendszerre jutunk például, ha egy kéttárolós arányos tagot PI szabályozóval póluskiejtéses technikával kompenzálunk, akkor a felnyitott kör L( s) = AP K 1 + sT1 1 KP AP K P = = = s (1 + sT1 )(1 + sT2 ) s(1 + sT2 ) s(1 + sT ) sTI (1 + sT ) (8.37) alakú lesz, azaz megegyezik a (8.30) szerinti esettel, és a fenti méretezési képletek 244 használhatóak. Elôírt ξ csillapítási tényezô esetén a szabályozó erôsítése kiszámítható Ha ξ = 1, akkor K = 1 4 T2 , és a rendszernek két egyenlô valós pólusa lesz. A zárt rendszer átviteli függvényének még éppen nem lesz túllövése. Ha ξ = 2 2 ≈ 0.7 , akkor K = 1 2T2 és a rendszer fázistartaléka ϕ t = 6553° lesz A zárt rendszer átmeneti függvényének kb. 5%-os túllövése lesz Ne felejtsük el, hogy K = AP K P a teljes kör erôsítése, ahonnan a szabályozó

erôsítése AP = K K P = 1 2 K P T2 . ρmin .9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 .2 .1 TI T 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 .5 4 .5 5 8.24 ábra A ρ min NYQUIST stabilitási tartalék a TI T függvényében 8.3 Tapasztalati szabályozó hangolási módszerek A szakasz modelljén alapuló szabályozótervezési módszerek mellett, amelyek áttekintést nyújtanak a szabályozás várható tulajdonságairól, az ipari folyamatirányításban számos tapasztalati PID szabályozó beállítási módszert javasoltak, többségében stabilis folyamatokra. Ezeket a módszereket a szabályozó üzembehelyezése során sokszor alkalmazzák. A javaslatok, "receptek" a szabályozó paramétereinek beállítására a folyamaton végzett néhány elôzetes mérésen, szimulációs vizsgálatokon és gyakorlati megfigyeléseken alapulnak. Megjegyezzük, hogy ezek a módszerek alkalmasak a szabályozók gyors üzemi behangolására, de a szabályozás viselkedésének áttekintésére, változások

esetén a hangolás módosítására jobb alapot nyújtanak a modell alapú tervezési eljárások. A tapasztalati módszereket rendszerint megfelelô kezdeti beállításoknak tekintjük alaposabb elméleti eljárások bevezetése elôtt. A ZIEGLER-NICHOLS szabályok Frekvencia válasz módszer A módszer alkalmazhatóságához feltételezzük, hogy a folyamat technológiája megengedi, hogy a zárt szabályozási kör rövid idôre a stabilitás határhelyzetére hozható csak arányos szabályozást alkalmazva. Az ilyen kisérlet alatt a szabályozó integráló és differenciáló csatornáját kikapcsoljuk ( TI = ∞ és TD = 0), majd AP óvatos emelésével elérjük a stabilitás határát, ahol szinuszos lengések keletkeznek. Minden AP változtatás után meg kell várni az állandósult állapot eléréset, ami összességében tetemes idô lehet. Legyen AP,kr a határhelyzethez tartozó erôsítés, Tkr pedig az állandósult szinuszos lengés periódusideje. ZIEGLER és

NICHOLS mintegy ξ = 0.25 -ös csillapítási tényezôt (ami elég magas, kb 40%-os túllendülésnek felel meg, tehát a 245 gyakorlatban csak lassan változó zavarások kompenzálására alkalmas) tervezve a következô szabályozási paramétereket javasolták: A ZIEGLER-NICHOLS féle szabályozó beállítás (I) TI TD AP Szabályozó 0.5 AP,kr P 0.45 AP,kr 0.85 Tkr PI 0.6 AP,kr 0.125 Tkr 0.5 Tkr PID Átmeneti függvény módszer Számos stabilis ipari folyamat holtidôs, aperiodikus beállási jelleget mutat egységugrás alakú bemenetre (8.25 ábra) Az átmeneti függvény inflexiós pontjában húzott egyenes által meghatározott, az ábrán bejelölt mennyiségeket látens holtidônek ( TL ) és látens meredekségnek ( M L = AL TF ) nevezve ZIEGLER és NICHOLS átmeneti függvények kiértékelésén alapuló beállítást is javasol, amelyet az alábbi táblázat foglal össze: A ZIEGLER-NICHOLS féle szabályozó beállítás (II) TI TD AP Szabályozó P 1 TL M L PI

3TL 0.9 TL M L PID 2TL 0.5 TL 1.2 TL M L A fenti táblázatokból látható, hogy a { AP , TI , TD } hármas mindkét javasolt beállításnál két megfigyelt értéken alapszik, majd a D-csatorna beállítása TD = TI 4 szerint történik. Ez nyilvánvalóan további tervezôi szabadság forrása. v(t ) TF AL M L = AL TF t TL 8.25 ábra A folyamat mért átmeneti függvénye OPPELT módszere A folyamat mért átmeneti függvényére többféle grafo-analitikus módszerrel is illeszthetjük a (8.38) szerinti közelítô egytárolós holtidôs tag átmeneti függvényét P̂ ( s) = AL − sT L e 1 + sTF ; AL = y∞ − y o u∞ − uo , TL = t1 − to és TF = t2 − t1. (8.38) Kézi beállítással állítsuk be a névleges munkapontot, ahol uo bemenôjelre a kimenôjel értéke 246 y o . A to idôpontban adjunk egy ugrás bemenôjelet a szakaszra, ahol az u bemenôjel uo -ról u∞ re ugrik A kimenôjel a 826 ábrán látható (a két ábrán látható TF felfutási

idô definíciója különbözô, mivel OPPELTnem tételez fel inflexiós pontot). 8.26 ábra Aperiodikus átmeneti függvény közelítése egytárolós holtidôs taggal Az OPPELT-féle szabályozó paraméter beállítási értékeket ξ = 0.25 -ös csillapítási tényezôhöz a (8.38) közelítô modell paramétereihez határozták meg A ZIEGLER-NICHOLS módszerhez hasonlóan tehát itt is nagy túllendülést várhatunk. A javasolt beállítási értékeket az alábbi táblázatban foglaltuk össze: Az OPPELT-féle szabályozó beállítás AP M L TL TI TL Szabályozó P 1 PD 1.2 PI 0.8 3 PID 1.2 2 TD TL 0.25 0.42 CHIEN-HRONES-RESWICK módszere A szabályozó paramétereinek beállítására CHIEN, HRONES és RESWICK az alábbi táblázatban összefoglalt javaslatot adták. Szabályozó beállítás CHIEN-HRONES-RESWICK szerint Leggyorsabb aperiodikus Leggyorsabb lengô átmenet, Szabályozó átmenet legfeljebb 20% túllendüléssel P AP = 0.3TF TL AP = 0.7TF TL AP = 0.35 TF

TL AP = 0.6 TF TL PI TI = 1.2 TF TI = 1.0 TF AP = 0.6 TF TL AP = 0.95 TF TL PID TI = 1.0 TF TI = 1.35 TF TD = 0.5 TL TD = 0.47 TL STREJC módszere STREJC a folyamat modelljének a 247 P̂ ( s) = AL (8.39) (1 + sT ) n közelítô alakot választotta. A közelítô modell paraméterei alapján az alábbi táblázatban összefoglalt értékeket javasolta a PID szabályozó család beállítására. A STREJC féle szabályozó beállítás Szabályozó P AP 1 AL ( n − 1) PI n+2 4 AL ( n − 1) PID 7 n + 16 16 AL ( n − 2) TI TD T ( n + 2) 3 T ( 7 n + 16) 15 T ( n + 1)( n + 3) 7 n + 16 ÅSTRÖM relé módszere A zárt szabályozási kör stabilitási határhelyzetéhez tartozó kritikus körerôsítést valódi ipari folyamatoknál igen nehéz beállítani. Ennek a tartománynak a megközelítését biztonsági szempontok miatt általában nem is engedélyezik. Ha a kritikus körerôsítésen alapuló szabályozó beállítást akarjuk használni, akkor célszerû más

módszerrel ezt az értéket meghatározni. A gyakorlatban is jól használható módszert javasolt ÅSTRöM. A módszer szerint a zárt körben ki kell cserélni a PID szabályozót egy hiszterézises relé karakterisztikával rendelkezô erôsítôvel (lásd a 8.27 ábrát) r P( s) + PID 8.27 ábra A PID szabályozó hangolása relés módszerrel Speciális zárt nemlineáris rendszerek stabilitásvizsgálatára ismert az úgynevezett leírófüggvény módszer. Az N ( jω, a) leírófüggvényt úgynevezett harmonikus linearizálással kapjuk, amikor a statikus nemlineáris tagra a amplitúdójú szinuszos gerjesztést adunk, majd a kimenôjel alapharmonikusának és a bemenô szinusz jelnek a komplex hányadosát képezzük. N ( jω, a) általában komplex függvény, amely az a függvényében parametrizált. A stabilitás vizsgálatakor a (−1 + j 0) pont szerepét a −1 N ( jω, a) függvény veszi át. A stabilitás határhelyzete abban az (ω kr ,akr ) pontban

következik be, ahol az L( jω) hurokátviteli függvény NYQUIST görbéje metszi a −1 N ( jω, a) inverz negatív leírófüggvényt, azaz L(ω kr ) N (ω kr , akr ) = −1 azaz −1 L(ω kr ) = N (ω kr , akr ) (8.40) Itt akr a határhelyzetben fellépô periódikus lengés közelítô amplitúdója. (Azért nem a teljesen pontos érték, mert a harmonikus linearizálás csak az elsô felharmonikust veszi figyelembe.) A 248 periódikus jel Tkr periódus idejébôl a kritikus ponthoz tartozó körfrekvencia jó becslése az ω kr = 2π Tkr érték. Legyen a hiszterézis holtsávja zérus, tehát a szabályozó egy kétállású relé. Ebben az esetben a folyamat bemenetére egy négyszöghullám kerül, a folyamat kimenetén pedig állandósult állapotban egy periódikus jel jelenik meg. Lineáris esetben a kritikus erôsítésre a karakterisztikus egyenlet szerint fennáll, hogy 1 + L(ω kr ) = 1 + AP,kr P (ω kr ) = 0 azaz AP,kr = −1 P (ω kr ) (8.41) tehát (8.40)

és (841) összevetésébôl egyszerû összefüggést kapunk a kritikus erôsítés becslésére AP,kr = −1 P (ω kr ) = N (ω kr , a) (8.42) Ha a folyamat bemenetén ±∆u , a kimenetén pedig ±∆y amplitúdójú állandósult lengést mérünk, akkor a kritikus körerôsítés AP,kr = N ( a) = 4∆u π∆y (8.43) ahol N ( a) most a relé csak amplitúdótól függô leírófüggvénye. A módszer legfontosabb elônye, hogy a folyamat kimenôjelének oszcillációja fokozatosan beállítható egy még megengedett értékre, a ∆u = h ugyanis a relé karakterisztika (fél)magassága és ∆y = a . Ha a relével egy integrátort kötünk sorba, akkor a folyamat −270° fáziseltoláshoz tartozó erôsítését határozhatjuk meg a módszerrel. A hiszterézis karakterisztikához tartozó leírófüggvény alapján −1 N ( a) = − π πg π πg a2 − g2 − j =− ∆y 2 − g 2 − j 4h 4h 4 ∆u 4 ∆u (8.44) azaz a negatív valós tengellyel párhuzamos egyenes. Itt

g a hiszterézis (fél)szélessége Innen egyszerûen ellenôrizhetjük, hogy ismét az AP,kr = N ( a) = 4∆u π∆y (8.45) összefüggést kapjuk. Korszerû elektronikus kompakt szabályozókban a relés hangolás ma már beépített lehetôség. (A relé h és g értékeinek változtatásával a NYQUIST diagram további pontjait is feltérképezhetjük.) Az ÅSTRÖM-HÄGGLUND módszer Ez a módszer is a (8.38) egyszerû grafikus közelítést használja kiindulásként, de tervezési paraméterként megjelenik a kiegészítô érzékenységi függvény M max maximális értéke is. Az ehhez tartozó M görbe képezi a (−1 + j 0) ponttól való távolság tartás alapját, így bizonyos mértékig a szabályozó robusztussága is tervezhetô lesz. A módszerhez használt PID szabályozó egyenlete 249  1 u( t) = AP β r( t) − y ( t) + TI  t ∫ e( τ) dτ + TD 0 d e( t)   d t  (8.46) ahol a hiba képzésekor az r( t) alapjelet különbözô

súllyal (β) vesszük figyelembe, mint a folyamat y ( t) kimenô jelét. A (838) közelítô alak alapján vezessük be az α = AL TL TF γ= és TL TL + TF (8.47) relatív paramétereket. ÅSTRÖM és HÄGGLUND úgy találta, hogy a szabályozó paraméterei az { f ( γ) = ao exp a1γ + a2 γ 2 } (8.48) függvény szerint adhatók meg. A PI és PID szabályozó paramétereit meghatározó függvény ao , a1 és a2 együtthatóit a következô táblázatok tartalmazzák. f ( γ) α AP TI TL TI TF β PI szabályozó paramétereinek beállítása M max = 2 M max = 1.4 ao a1 a2 ao a1 0.29 -2.7 3.7 0.78 -4.1 8.9 -6.6 3.0 8.9 -6.6 0.79 -1.4 2.4 0.79 -1.4 0.81 0.73 1.9 0.44 0.78 f ( γ) α AP TI TL TI TF TD TL TD TF β PID szabályozó paramétereinek beállítása M max = 2 M max = 1.4 ao a1 a2 ao a1 a2 3.8 -8.4 7.3 8.4 -9.6 9.8 5.2 -2.5 -1.4 3.2 -1.5 0.93 0.46 2.8 -2.1 0.28 3.8 -1.6 0.89 -0.37 -4.1 0.86 -1.9 -0.44 0.077 5.0 -4.8 0.076 3.4 -1.1 0.4 0.18 2.8 0.22 0.65 -0051

a2 5.7 3.0 2.4 -0.45 Hasonló táblázatot dolgoztak ki arra az esetre is, amikor a folyamat önmagában is integráló. 8.4 Korlátozások kezelése: "anti-reset windup" A szabályozási rendszerek tervezésénél figyelembe kell venni, hogy az u( t) beavatkozó jelre korlátozások érvényesek. Ezek a korlátozások számos forrásból származhatnak A korlátozás adódhat a beavatkozószerv felépítésébôl. A beavatkozószerv sokszor egy maximális értékû bemenôjelnél nem képes nagyobbat kiadni. Például egy szelep maximálisan nyitott állapotában egy maximális átáramló mennyiséget bocsát át. Ha ennél nagyobb átáramló mennyiség átbocsátására kap parancsot, azt nem tudja teljesíteni, "betelít". A folyamat bemenetén szándékosan alkalmazott korlátozás legfontosabb szerepe, hogy a folyamatot megvédje olyan káros mértékû túlvezérléstôl, ami meghibásodást okozhat a folyamatban. 250 Akár a folyamat természetébôl

adódóan léphet fel a korlátozás, akár mesterségesen iktattuk azt be a szabályozási körbe, figyelembe kell venni a korlátozás által kiváltott hatásokat. Célszerû már a szabályozó tervezésekor figyelembe venni a korlátozást, és olyan szabályozót tervezni, amelynek kimenôjele nem éri el a korlátot. Ha ez nem lehetséges, akkor kezelni kell a korlátozás fellépésekor jelentkezô járulékos jelenségeket. A szabályozónak, vagy az azt követô beavatkozó szervnek tehát a lineáris jeltartománya véges. Ezen amplitúdó korlátozásnak a tervezési célokkal való összefüggését, azokat alapvetôen korlátozó jellegét már tárgyaltuk a 7.4 pontban A szabályozási kör tehát a telítés alatt egy felnyitott körhöz hasonlóan mûködik, mert a korlátozás kimenete állandó és így a folyamat bemenete is állandó. A folyamat kimenete a saját dinamikája szerint alakul Integrátoros szabályozóknál azonban egy másik probléma is elôfordul:

nagy hibajeleknél a szabályozó kimenete a telítéses jelleggörbe vízszintes szakaszára kerülhet. Ha az integrátor tovább integrál, akkor a telítési jellegörbe bemenôjele tovább nô és a hiba elôjelének megfordulásakor még hosszú idônek kell eltelnie, amíg a bemenôjel ismét visszakerül a jellegörbe lineáris szakaszára, ha ez egyáltalán bekövetkezik. Emiatt a szabályozási tranziensek ideje elfogadhatatlanul megnô, állandósult, a folyamatra káros lengések is kialakulhatnak. A megoldást az ARW (Anti Reset Windup) vagy "antiwindup" technika jelenti. Ennek a technikának a lényege, hogy alkalmazza a telítôdéses statikus karakterisztika modelljét és megfelelô visszacsatolással a munkapontot a lineáris és a telítôdéses szakasz találkozásának helyére vezeti. A (739)-nél specifikusabb korlát a szokásos  U max ; ha uc ( t) > U max  u( t) =  u( t) ; ha uc ( t) < U max −U  max ; ha uc ( t) <− U max

(8.49) telítéses karakterisztika (lásd a 8.28 ábrát) yr (t ) ZABÁLYOZÓ + uc (t ) u(t ) FOLYAMAT y(t ) TELÍTÉS 8.28 ábra Szabályozó és beavatkozó szerv telítéses karakterisztikával Az ARW hatás egy egyszerû visszacsatolással elérhetô, amelyet a 8.29 ábrán mutatunk be A külön visszacsatolás addig mûködik, amíg a vízszintes, telítôdéses szakaszon vagyunk. Hatására a szabályozó kimenôjele a törésponthoz tartozó u( t) = uc ( t) feltételt biztosítja. ELÍTÉS yr (t ) + SZABÁLYOZÓ + - u(t ) uc (t ) FOLYAMAT - + γ 8.29 ábra Az ARW hatást realizáló bôvített szabályozó y(t ) 251 Folytonos rendszerben a realizálás attól függ, hogy az uc ( t) jel hozzáférhetô-e. Ha a szabályozó és a beavatkozójel egymástól elkülönül, akkor az uc ( t) és az u( t) is mérhetô, a visszacsatolás a γ elemen keresztül egyszerûen realizálható. Ha ez nem áll fenn, akkor a telítéses szakasz modelljét létre kell

hozni. (Jóval egyszerûbb az ilyen típusú algoritmusok realizálása mintavételes rendszerekben, lásd a 13. Fejezetet) A γ alkalmas megválasztásával biztosítani kell, hogy az általa létrehozott visszacsatolás gyorsabban hasson, mint a folyamat saját dinamikája. Egy további lehetôséget is bemutatunk a telítés bekövetkezésének észlelése után a szabályozó integráló összetevôjének bemenetére kerülô jel nullázására (az integrátor "reszetelésére"). 8.30 ábra FOXBORO szabályozó Az integrátor visszaállításának ("reszetelésének") hátránya az, hogy amikor a szabályozó kikerül a korlátozásból, a szabályozó és a folyamat állapotváltozói között illesztetlenség jön létre, ami a szabályozás leromlásához vezet. Ezt egy olyan struktúrával lehet kompenzálni, ahol a folyamat és a szabályozó bemenetét hasonlóan korlátozzuk, azaz a szabályozót a telítés visszacsatoló ágába tesszük. Ennek egyik

tipikus példája a FOXBORO szabályozó (830 ábra), ami egy korlátozott PI szabályozásnak felel meg. Ugyanis ha a szabályozó nincs korlátozva, akkor a pozitívan visszacsatolt egytárolós tag átviteli függvénye PI szabályozónak felel meg: C ( s) = AP 1 1 1− 1 + sTI = AP 1 + sTI . sTI (8.50) Ebben a struktúrában nem lép fel az "elintegrálódás" jelensége. A legtöbb megoldás a korlátozás megszûnése után az integrátor értékét állítja be valamilyen értékre. Számos eljárást (némelyik igen bonyolult) fejlesztettek ki a "reszetelési" érték kiszámítására és beállítására. Nem létezik olyan eljárás, amely minden esetben biztosítja a megfelelô mûködést, de a fenti egyszerû eljárások olyanok, amelyek sok esetben elégséges mûködést biztosítanak. A korlátozás figyelembe vételének még számos módszere ismeretes, amelyekre itt nem térünk ki. 8.5 Néhány speciális szakasz szabályozása Az

alábbiakban kétszeresen integráló, majd labilis szakaszok kompenzálására mutatunk be szabályozó tervezési példákat. Megmutatjuk azt is, hogy egyes esetekben a tervezés analitikusan is elvégezhetô a domináns póluspár szemlélet alapján. 252 Kétszeresen integráló szakasz kompenzálása Legyen a folyamat átviteli függvénye: P ( s) = K s2 . A szakasz kétszeresen integráló, negatívan visszacsatolt szabályozási körben arányos szabályozóval a szabályozás a stabilitás határán mûködik. A karakterisztikus egyenlet: 1 + K s2 = 0 , illetve s2 + K = 0 , amelynek s1,2 = ± j K gyökei az imaginárius tengelyre esnek. Jó szabályozás helyett jó oszcillátor kapcsolást állítottunk elô. A felnyitott kör NYQUIST diagramja a 831 ábrán látható A NYQUIST diagram áthalad a -1 ponton, így a szabályozási kör a stabilitás határán van. A BODE diagramot a 8.32 ábra tünteti fel 8.31 ábra Kétszeresen integráló szabályozás NYQUIST diagramja

A szabályozással szemben támasztott követelmények: legyen stabilis, a kedvezô dinamikus viselkedést biztosítsuk 60° körüli fázistöbblettel, továbbá a szabályozás kövesse statikus hiba nélkül az egységugrás és a sebességugrás alapjelet (vagyis típusszáma maradjon 2). 8.32 ábra Kétszeresen integráló szabályozás BODE diagramja A követelmények olyan kompenzáló szerv alkalmazásával teljesíthetôk, amely képes a fázisviszonyok javítására, nevezetesen a ϕ L (ω) = ϕC (ω) + ϕ P (ω) = ϕ L (ω) − 180° fázis összefüggésbôl adódóan éppen a keresett szabályozó fogja a ϕ t (ω) = 180° + ϕ L (ω c ) = ϕC (ω c ) szerint a fázistartalékot szolgáltatni. A C ( s) = A 1 + sτ , 1 + sT τ>T fázissiettetô tag (lásd a 2.4 pontot)) pozitív fázisszög hozzáadását garantálja, hiszen ϕC (ω) = arctg(ωτ) − arctg(ωT ) > 0 , ha τ > T . Látható, hogy ϕC (ω) annál nagyobb értéket tud 253 felvenni, minél

jobban eltoljuk egymáshoz képest a két arctg() függvényt, azaz minél nagyobb a τ T arány. Az elnevezéseket illetôen a fázissietetô tagot közelítô PD szabályozónak is hívják, ugyanis a C ( s) = A  s( τ − T )  1 + sτ 1 + sT + sτ − sT =A = A1 +  1 + sT 1 + sT 1 + sT   alakból jól látható, hogy C ( s) egy arányos és egy közelítô (más megfogalmazásban megvalósítható) differenciáló csatorna párhuzamos eredôje, amelyre a ˜ 1 + sTD , C˜ PD ( s) = A PD 1 + sT TD > T . (8.51) jelölést használják a gyakorlatban (bevezetve a τ = TD differenciálási idôt, lásd (8.14)-t) A korrekt "közelítô PD" szabályzó megnevezés helyett sokszor kissé felületesen egyszerûen a PD megnevezést használják. Ez a pontatlanság annyiban indokolt, hogy nem-közelítô, azaz pólus nélküli PD szabályozó nem is létezhet a gyakorlatban (nagyfrekvenciás erôsítése végtelen nagy lenne). A 8.33 ábra megmutatja,

hogy a PD szabályozóval a BODE diagramon kialakítható egy -20dB/dekád meredekségû szakasz. A vágási körfrekvenciát ezen a szakaszon helyezzük el Így a rendszernek pozitív fázistöbblete lesz, és viselkedése is gyors lesz, mivel ω c a nagyobb frekvenciák tartományába tolódik el. A szabályozó erôsítési tényezôje úgy is megválasztható, hogy a fázistöbblet maximális legyen. Az elérhetô maximális fázistöbblet függ a TD T aránytól Ez az arány befolyásolja a szakasz bemenetén az egységugrás alapjel hatására a bekapcsolás pillanatában fellépô maximális beavatkozójelet is, amelynek értéke umax = AP TD T . 8.33 ábra PD szabályozóval kompenzált kétszeresen integráló szakasz BODE diagramja A BODE diagramból látható, hogy a szabályozás struktúrálisan stabilis, bármilyen hurokerôsítés mellett a fázistöbblet pozitív. A kompenzált rendszer NYQUIST diagramját a 8.34 ábra szemlélteti (Megjegyezzük, hogy integráló

jellegû szakaszoknál, amikor a komplex számsík origójában vannak pólusok, nem szükséges a teljes NYQUIST kritérium alkalmazása, a leképezéskor a 5.18 ábra görbéje szerint 254 kikerülve kis sugarú körrel ezen pólusokat, hanem a NYQUIST diagramot elegendô csak a pozitív körfrekvencia értékekre felrajzolni, és megnézni, hogy a görbét bejárva ω = 0-tól ω = ∞-ig a -1 pont a görbétôl balkéz felé esik-e. Ezesetben a rendszer stabilis, és a stabilitás határától való távolságának mérésére használhatjuk a fázistöbbletet vagy az erôsítési tartalékot.) 8.34 ábra PD szabályozóval kompenzált kétszeresen integráló szakasz NYQUIST diagramja A 8.35 ábra a rendszer gyökhelygörbéjét adja meg A struktúrális stabilitást mutatja, hogy a gyökhelygörbe pontjai, a karakterisztikus egyenlet gyökei minden erôsítés értékre a bal oldali félsíkon maradnak. 8.35 ábra PD szabályozóval kompenzált kétszeresen integráló

szakasz gyökhelygörbéje Labilis szakasz kompenzálása A szabályozott szakasz és a szabályozó átviteli függvényeinek pólusaihoz az állapottérben állapotváltozók kötôdnek, amelyek együttesen a felnyitott kör állapotváltozóit alkotják. Amikor póluskiejtéssel a szabályozó zérusával kiküszöböljük a szakasz kedvezôtlen pólusát, valójában a rendszer megfelelô változóját a kimenô vagy a bemenô oldalról hozzáférhetetlenné, tehát vagy nem megfigyelhetôvé, vagy nem irányíthatóvá tesszük (3.4 pont) Attól azonban, hogy egyes változók nem jelennek meg a felnyitott kör eredô átviteli függvényében, a rendszernek részei maradnak. A rendszer stabilitásához nemcsak az átviteli függvény pólusai, hanem a nem megfigyelhetô és a nem irányítható pólusok is a bal oldali félsíkra kell, hogy essenek. Egy labilis rendszer labilis pólusait tehát nem szabad a szabályozó zérusaival "kiejteni". Ezt a tilalmat azzal is

indokolhatjuk, hogy mint a 4. Fejezetben láttuk, a szabályozási kör viselkedését nemcsak a kimenôjel és az alapjel közötti eredô átviteli függvény jellemzi, hanem figyelembe kell venni a bemeneten és a kimeneten ható zavarásokra vonatkozó eredô átviteli függvényeket, 255 továbbá a beavatkozójelnek az alapjelre vett eredô átviteli függvényét is. A bemeneti zavarásra vonatkozó eredô átviteli függvényben jelentkezik a labilis pólus, így a szabályozási kör labilitása a kompenzálás ellenére megmarad. További megfontolás, hogy valóságos rendszereknél a paraméterek, így a pólusok és a zérusok megadása nem egészen pontos, tehát a pólusnak a zérussal való tökéletes „kiejtése” nem létezik, és a labilitás fennmarad a rendszerben. Ez a jelenség a gyökhelygörbével jól szemléltethetô Tekintsük példaként a 8.36a ábrán látható szabályozási kört A felnyitott kör átviteli függvénye kéttárolós arányos tag,

amelynek egyik pólusa labilis pólus. A gyökhelygörbébôl (836b ábra) látható, hogy a zárt szabályozási kör minden hurokerôsítés értékre labilis. Ha a szabályozó zérusával pontosan kiejtenénk a labilis pólust, a rendszer struktúrálisan stabilissá válna, a gyökhelygörbének egyetlen ága lenne a komplex számsík bal oldalán. Mivel azonban a tökéletes kiejtés gyakorlatilag nem valósítható meg, a gyökhelygörbének marad ága a jobb oldali félsíkon is, így a zárt szabályozási rendszer labilis marad (8.36c ábra) (Megjegyezzük, hogy kompenzáláskor egy zérus önmagában nem realizálható, mindig egy pólussal együtt valósítható meg.) (b) (a) (c) 8.36 ábra Tökéletlen zérus-pólus kiejtéssel a gyökhelygörbének marad ága a komplex számsík jobb oldalán Labilis szakaszok kompenzálásakor a stabilis mûködés biztosítására az általánosított NYQUIST stabilitási kritériumot kell szem elôtt tartani. Kompenzáló tagokként

ilyen esetekben is a PID jellegû szabályozókat alkalmazhatjuk. 8.1 Példa Vizsgáljuk meg, hogy a P1 ( s) = 1 =− 0.2 (1 + s)(1 − 0.2 s) (8.52) 1 =− 0.2 (1 − s)(1 + 0.2s) (8.53) (s + 1)(s − 5) szakasz, illetve a P2 ( s) = (s − 1)(s + 5) szakasz stabilizálható-e C ( s) = AP arányos szabályozóval? Mivel a felnyitott körben egy labilis pólus van, stabilis mûködés akkor biztosítható, ha a NYQUIST diagram egyszer veszi körül az óramutató járásával ellenkezô irányban a -1 pontot. Az elsô szakasz esetén a felnyitott kör NYQUIST diagramját a 8.37a ábra adja meg Láthatóan a diagram az óramutató járásával megegyezô irányban kerülheti csak meg a -1 pontot, tehát a rendszer arányos szabályozóval nem stabilizálható. Ezt erôsíti meg a 837b ábrán látható 256 gyökhelygörbe is, amely mutatja, hogy a gyökhelygörbe minden erôsítésnél tartalmaz jobb oldali pólust. (Itt egy PD jellegû kompenzációval próbálhatjuk meg

a rendszer stabilizálását, pl C ( s) = AP (1 + 0.2 s) (1 + 002 s) ) (a) (b) Gyökhelygörbe NYQUIST diagram 8.37 ábra Labilis szakasz szabályozása arányos szabályozóval: a rendszer nem stabilizálható ! A második szakasz stabilizálható arányos szabályozóval, ugyanis a NYQUIST diagram körülfordulása az óramutató járásával ellentétes, tehát megfelelô ( K > 5) erôsítési tényezô választásával a NYQUIST diagram egyszer körülveszi a -1 pontot (8.38a ábra) Ezt a 838b ábra gyökhelygörbéje is alátámasztja. A gyökhelygörbe a körerôsítés növelésével a bal oldali félsíkra kerül. A szabályozás azonban 0-típusú, így statikus hibával rendelkezik. A statikus pontosság javítható PI szabályozó alkalmazásával, amely azonban nem "ejti ki" a labilis pólust. A szabályozó átviteli függvénye: C ( s) = AP (1 + s) s . (a) (b) Gyökhelygörbe NYQUIST diagram 8.38 ábra Labilis szakasz szabályozása arányos

szabályozóval: a rendszer stabilizálható arányos szabályozóval. A felnyitott kör átviteli függvénye: L( s) = C ( s) P2 ( s) = − AP 1+ s 0.2 . s (1 − s)(1 + 0.2 s) (8.54) Az eredeti és a kompenzált rendszer BODE diagramját a 8.39a ábra, a kompenzált rendszer N YQUIST diagramját (amelynek menete a BODE diagram menetébôl kikövetkeztethetô) a 8.39b ábra, a gyökhelygörbe menetét pedig a 839c ábra adja meg Látható, hogy adott erôsítést meghaladva a zárt szabályozási rendszer stabilis lesz, a teljes NYQUIST diagram egyszer pozitív irányban körülveszi a -1 pontot. Az AP paramétert maximális fázistöbbletre tervezhetjük (Láthatóan a fázistöbblet fogalma ilyenkor is alkalmazható.) A 840 ábra a szabályozás átmeneti 257 függvényét mutatja. (a) (b) (c) 8.39 ábra PI szabályozóval kompenzált labilis szakasz BODE diagramja, NYQUIST diagramja és gyökhelygörbéje 8.40 ábra PI szabályozóval kompenzált labilis szakasz átmeneti

függvénye 8.2 Példa Egy labilis szabályozott szakasz átviteli függvénye: P ( s) = 0.5 1 =− ( s − 0.1)( s + 1)( s + 5) (1 − 10s)(1 + s)(1 + 02s) (8.55) Tervezzünk olyan szabályozót, amely stabilis mûködést biztosít, statikus hiba nélkül követi az egységugrás alapjelet, és a beavatkozójel kezdeti értéke nem haladja meg az 50-et. 8.41 ábra Arányos szabályozóval kompenzált labilis szakasz NYQUIST diagramja Arányos (P) szabályozóval a felnyitott kör minôségileg helyes NYQUIST diagramját a 8.41 ábra mutatja. Mivel a felnyitott körnek egy jobb oldali pólusa van, a zárt kör akkor lesz stabilis, ha a −1 + j 0 pont a baloldali hurokba esik. Ennek feltétele, hogy a szokásosan értelmezett, az ábrán bejelölt fázistöbblet pozitív legyen. A BODE diagram aszimptotikus amplitúdó-körfrekvencia és fázis-körfrekvencia görbéjét a 258 8.42 ábra mutatja Kedvezôbb fázistartalék és nagyobb fázistöbblet elérése céljából PD

kompenzációt alkalmazunk. Ezzel a -20dB/dekád meredekségû szakasz meghosszabbodik, és a vágási körfrekvencia ω c ≈ 1-re tehetô. A statikus hiba eltüntetése céljából további P I szabályozót alkalmazunk. A teljes PID kompenzáló tag átviteli függvénye: C ( s) = 10 1 + 10 s 1 + s 10 s 1 + 0.2 s (8.56) A felnyitott kör átviteli függvénye pedig: L( s) = − 1 + 10 s s(1 − 10 s)(1 + 0.2 s) 2 (8.57) 8.42 ábra PID szabályozóval kompenzált labilis szakasz BODE diagramja 8.43 ábra PID szabályozóval kompenzált labilis szakasz átmeneti függvénye és beavatkozójele Az ω = 0.1 pontban a BODE amplitúdó diagramban a zérus és a labilis pólus ellentétes hatása miatt a töréspont megszûnik, azonban megmarad mint sarokpont, ahol a fázisszög 259 aszimptotikusan −270° -ról −90° -ra változik. A felnyitott kör vágási körfrekvenciája és fázistartaléka: ω c = 0.964 , ϕ t = 5625 A beavatkozójel kezdeti értéke éppen 50. A

kimenôjel idôbeli lefolyását és a beavatkozójel menetét egységugrás alapjelre a 8.43 ábra mutatja 8.6 Szabályozótervezés 60°-os fázistöbbletre a póluskiejtés módszerével A szabályozót a folyamathoz (illetve annak modelljéhez) tervezzük a minôségi követelmények kielégítésére. Gyakori kompenzálási technika a póluskiejtés, amelyben a szabályozó átviteli függvényének zérusait a folyamat pólusaival megegyezônek választjuk: „kiejtjük” a folyamat kedvezôtlen pólusait, és helyettük kedvezôbbeket hozunk be. Példaképpen tekintsünk egy háromtárolós arányos folyamatot. A szakasz átviteli függvénye: P ( s) = 1 (1 + sT1)(1 + sT2 )(1 + sT3 ) , T1 > T2 > T3 . (8.58) (a) Legyen a minôségi elôírás a szabályozási körre a stabilis mûködés és a kb. 10%-nál kisebb túllendülés. Ez utóbbi követelmény a frekvenciatartományban kb 60° fázistöbblet biztosításával teljesíthetô. A követelmények egyszerû

arányos szabályozóval teljesíthetôk: C ( s) = AP . A felnyitott kör közelítô BODE diagramját a 8.44 ábra mutatja A stabilitás biztosításához az ω c vágási körfrekvenciának a -20dB/dekád meredekségû szakaszra kell esnie. A fázistöbblet biztosításához ω c -t oda helyezzük el, ahol a fázisszög ϕ = −120° . Ehhez elôször AP = 1 mellett vizsgáljuk meg a felnyitott kör frekvenciafüggvényét(szaggatott vonal az ábrán), majd az AP átviteli tényezôt az ennél a fázisszögnél adódó amplitúdó reciprokára kell beállítani. 8.44 ábra Soros kompenzálás arányos szabályozóval Az arányos szabályozóval a megadott követelmények kielégíthetôk. A szabályozás lassú lesz, mivel ω c -nek a kisfrekvenciás tartományba esô -20dB/dekád meredekségû szakaszon kell lennie. A szabályozás 0 típusú, így az egységugrás alapjelre statikus hibával áll be, aminek értéke a hurokerôsítéstôl függ. (b) Legyen a minôségi elôírás

a szabályozási körre a stabilis mûködés, a 10%-nál kisebb túllendülés, továbbá az, hogy a szabályozás statikus hiba nélkül kövesse az egységugrás alapjelet. 260 Ezek az elôírások PI szabályozóval teljesíthetôk. 1 + sTI CPI ( s) = AP sTI (8.59) 8.45 ábra Soros kompenzálás PI szabályozóval Válasszuk a TI idôállandót a szakasz legnagyobb idôállandójával egyenlônek, TI = T1 ("kiejtjük" a szakasz legnagyobb idôállandóját és helyette "behozunk" egy integráló hatást). A 8.45 ábra szerint a felnyitott kör BODE diagramjában a kisfrekvenciás tartományban létrejön egy hosszú -20dB/dekád meredekségû szakasz. A szabályozó AP erôsítési tényezôjével a BODE amplitúdó diagramot önmagával párhuzamosan olyan mértékben toljuk el, hogy a vágási körfrekvenciához számított fázistöbblet 60° körüli legyen. A PI szabályozóval a szabályozási kör 1 típusú, az elôbbi stabilitási és dinamikus

viselkedésre vonatkozó elôírások mellett teljesíti a statikus elôírást is. Mivel azonban a vágási körfrekvencia a kisfrekvenciás szakaszra tehetô, a szabályozás lassú lesz. (c) Legyen a minôségi elôírás a szabályozási körre a stabilis mûködés, a 10%-nál kisebb túllendülés, és a gyorsabb mûködés. Az elôírások PD szabályozóval teljesíthetôk: CPD ( s) = AP 1 + sTD 1 + sT ; TD > T (8.60) Válasszuk a TD idôállandót egyenlônek a szakasz második legnagyobb idôállandójával, TD = T2 (azzal az idôállandóval megegyezônek, amelynek megfelelô töréspontban a BODE diagram meredeksége -20dB/dekádról -40dB/dekád meredekségûre vált). Az η = TD T arányt a beavatkozójel gyakorlati korlátjának megfelelôen választjuk meg. ("Kiejtjük" a rendszer kedvezôtlen idôállandóját, és helyette egy sokkal kisebb idôállandót "hozunk be".) Ezek után a szabályozó AP erôsítési tényezôjével a BODE

amplitúdó diagramot önmagával párhuzamosan olyan mértékben toljuk el, hogy a vágási körfrekvenciához számított fázistöbblet 60° körüli legyen. A kompenzálás hatását a felnyitott kör BODE diagramján a 846 ábra szemlélteti A szabályozás stabilis mûködésû lesz, kis túllendüléssel rendelkezik, gyors lesz, de mivel a kör 0 típusú marad, egységugrás alapjelre a hurokerôsítés értékétôl függô statikus hibával 261 rendelkezik. A gyorsítást a beavatkozójel kezdeti u( t = 0) = AP η nagy értéke eredményezi 8.46 ábra Soros kompenzálás PD szabályozóval (d) Legyen a minôségi elôírás a szabályozási körre a stabilis mûködés, a 10%-nál kisebb túllendülés, a gyors mûködés, továbbá a szabályozás statikus hiba nélkül kövesse az egységugrás alapjelet. Az elôírások a PI és a PD szabályozó lehetôségeit egyesítô PID szabályozó alkalmazásával teljesíthetôk. CPID ( s) = AP 1 + sTI 1 + sTD sTI 1 + sT

(8.61) A négy szabad paraméterbôl kettôt a folyamat pólusai alapján választunk meg. A TI paramétert a folyamat legnagyobb idôállandójával megegyezônek vesszük fel, a TD paramétert pedig a második legnagyobb idôállandóval tesszük egyenlôvé. A TI = T1 és a TD = T2 választással a felnyitott kör átviteli függvényében egyszerûsítéseket lehet elvégezni, azaz a behozott zérusok "kiejtik" a folyamat pólusait. L( s) = C ( s) P ( s) = 1 (1 + sT1)(1 + sT2 )(1 + sT3 ) AP 1 + sT1 1 + sT2 sT1 1 + sT = AP sT1 (1 + sT )(1 + sT3 ) (8.62) Láthatjuk, hogy a megmaradt rendszer átviteli függvénye leegyszerûsödött, ezzel megkönnyítve a tervezés további fázisait. A megmaradt két paramétert a rendszer gyorsasági és dinamikus túlvezérlési elôírásai alapján vesszük fel. A T paramétert a póluseltolási arány alapján választjuk meg, az AP értékkel pedig be tudjuk állítani kívánt fázistöbbletet (illetve a kimenôjel

túllövését). A felnyitott kör BODE diagramján jól látható, hogy a póluskiejtés hatására a felnyitott kör amplitudó menetében a -20dB/dekád meredekségû szakasz hosszabb lesz a T < TD választás miatt. A szabályozó AP erôsítési tényezôjével a BODE amplitúdó diagramot önmagával párhuzamosan olyan mértékben toljuk el, hogy a vágási körfrekvenciához számított fázistöbblet 60° körüli legyen. Megnézzük, milyen körfrekvenciához tartozik a −120° fázisszög, és az AP tényezôt az itt leolvasható amplitúdó reciprokára állítva a BODE amplitúdó diagramot úgy toljuk el önmagával párhuzamosan, hogy ω c erre a körfrekvenciára essen. Az ω c vágási körfrekvencia a nagyobb 262 frekvenciák tartományába kerül, így a rendszer gyorsabbá válik (8.47 ábra) 8.47 ábra Soros kompenzálás PID szabályozóval Vegyük észre azonban, hogy a póluskiejtés formális, a valóságban nem esnek ki pólusok. A folyamatot nem

tudjuk megváltoztatni, annak pólusai megmaradnak. Valójában nem a zérusok és pólusok ejtik ki egymást, hanem hatásaik kompenzálják egymást. A 848 ábra szemlélteti, hogy póluskiejtéskor a sorbakapcsolt szabályozóból és folyamatból álló eredô valóban úgy viselkedik, mintha valódi póluskiejtés történt volna, az u( t) beavatkozó jelben azonban megjelenik a szabályozó zérusának a hatása. A túlvezérlés a beavatkozójelben a szabályozó zérusának és pólusának arányától függ, a beavatkozójelben megjelenô ún. gyorsító terület csökkenti a szakasz átmeneti függvényének beállási idejét jellemzô ún. lassító területet az eredô rendszer gyorsabb mûködését eredményezve. 8.48 ábra A kompenzáláskor a póluskiejtés látszólagos A póluskiejtéses módszer lényege, hogy kiejtjük a szakasz kedvezôtlen pólusait, és a szabályozó pólusaival kedvezôbb dinamikát biztosítunk a szabályozási körben. Mivel valódi

póluskiejtés úgysem történik, ezért nem szükségszerû pontosan megválasztani a szabályozó zérusait. A tervezést utólagosan még lehet hangolni, ha a zérusokat elmozdítjuk a póluskiejtéses helyükrôl. (e) Legyen a minôségi elôírás a szabályozási körre a stabilis mûködés, a 10%-nál kisebb túllendülés, a gyors mûködés, továbbá a szabályozás statikus hiba nélkül kövesse az egységugrás és a sebességugrás alapjelet is. A statikus követelmények kielégítéséhez a szabályozásnak 2-típusúnak kell lennie, két integráló hatást kell tartalmaznia. A BODE diagram kisfrekvenciás szakaszának -40dB/dekád meredekségûnek kell lennie. Az elôzô póluskiejtéses szabályozót egy olyan soros PI hatással egészítjük ki, amely a felnyitott 263 kör BODE diagramját a 8.49 ábra szerint formálja A szabályozó átviteli függvénye: 1 + sTI 1 1 + sTI 2 1 + sTD CPI − PID ( s) = AP sTI 1 sTI 2 1 + sT (8.63) ahol TI 1 > TI 2 . Ezt

az arányt a tervezô dönti el, ajánlatos értéke TI 1 ≈ 5TI 2 8.49 ábra Soros kompenzálás PID és járulékos PI szabályozóval Ezzel a szabályozóval a 6.3 ábra szerint a szabályozás nemcsak a jobb alapjelkövetést, hanem a kedvezôbb zavarelhárítást, és a paraméterváltozásokra való kisebb érzékenységet is biztosítja. 8.3 Példa Legyenek a fentiekben vizsgált folyamat idôállandói: T1 = 10, T2 = 1, T3 = 0.2 A fenti követelményekhez megtervezett szabályozókat és a szabályozási kör jellemzôit a 8.1 táblázat adja meg. A 8.50 ábra a szabályozási kör átmeneti függvényeit, a 851 ábra a beavatkozójeleket mutatja Látható, hogy csak az integráló hatást is tartalmazó szabályozó esetén nincs statikus hiba. A P és PI szabályozás lassú, a PD és PID, PI-PID jellegû szabályozások gyors mûködést biztosítanak, aminek ára azonban a nagy túlvezérlés. 8.50 ábra A kompenzált szabályozási körök 8.51 ábra A kompenzált

szabályozó körök 264 átmeneti függvényei beavatkozójelei 8.1 táblázat Háromtárolós arányos szakaszhoz tervezett PID jellegû szabályozók és jellemzôik 9. ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁST ALKALMAZÓ SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 265 9. Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök A harmadik fejezetben bemutattuk, hogy hogyan történik folyamatok leírása az állapottérben. Igen sok esetben számítanunk kell arra, hogy elsôdlegesen ez a leírás áll rendelkezésünkre és nem a szabályozott szakasz átviteli függvénye. Részben ez a magyarázata annak, hogy közvetlenül az állapotteres leírásra épülô szabályozó tervezési módszertan is kialakult. Ennek bemutatásához tekintsük egy szabályozandó lineáris (LTI) folyamat állapotegyenletét dx = x˙ = A x + b u dt (9.1) y =c x T amely megfelel a (3.10) egyenletnek a d = 0 esetre Ez, mint már említettük, nem jelenti az általánosság lényeges megsértését, mert ritkán

használunk modellünkben a kimenetet közvetlenül befolyásoló arányos csatornát. Az egyenletnek megfelelô blokkvázlat a 91 ábrán látható. u ẋ + b x ∫ y cT + A 9.1 ábra Lineáris idôinvariáns rendszer állapotegyenletének megfelelô blokkvázlat Itt u és y a folyamat be- és kimenôjele, x pedig az állapotvektora. Az ekvivalens átviteli függvény (3.17) alapján most −1 P ( s) = c T ( s I − A) b = r kr B ( s) B ( s) b sn −1 +  + bn −1s + bn = = n 1 n −1 det ( sI − A) A ( s) s + a1s +  + an −1s + an u + b - ẋ + ∫ x cT (9.2) y + A kT 9.2 ábra Lineáris szabályozó állapotvisszacsatolással Az állapotegyenletes leíráshoz közvetlenül illeszkedô, ma már klasszikusnak számító zárt szabályozási kört a 9.2 ábrán mutatjuk be, ahol r -rel jelöltük az alapjelet A zárt kör az állapotvektorról a k T lineáris arányos visszacsatoló vektor segítségével jön létre az alábbi formában u = kr r − k

T x (9.3) 266 A 9.2 ábra alapján egyszerûen felírható a teljes zárt rendszer állapotegyenlete is ( ) dx = A − bk T x + kr b r dt (9.4) y =c x T azaz az állapotvisszacsatolással az eredeti A rendszermátrix szerinti dinamika a bk T diadikus ( ) szorzattal A − bk T -re módosul. A zárt szabályozási kör átviteli függvénye Try ( s) = = Y ( s) = c T s I − A + bk T R( s) ( kr −1 1 + k T ( s I − A) b ) H ( s) = −1 −1 b kr = c T ( s I − A) b kr −1 1 + k T ( s I − A) b = kr B ( s) (9.5) A( s) + k T Ψ ( s) b −1 amely az X ( s) = ( sI − A) b U ( s) (lásd (3.12)-t), az U ( s) = kr R( s) − k T X ( s) (lásd (93)-t), és az Y ( s) = c T X ( s) (lásd (9.1)-t) LAPLACE transzformáltakra érvényes egyenletek összevetésébôl adódik a mátrixinverziós lemma felhasználásával (részletesen az F-5. Függelék F91 pontjában) Vegyük észre, hogy az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait érintetlenül hagyja, és

csak a zárt rendszer pólusai tervezhetôk k T -vel. A kr úgynevezett kalibrációs tényezôt azért vezetjük be, hogy segítségével a Try erôsítése egységnyi legyen ( Try (0) = 1). A felnyitott kör ugyanis jól láthatóan nem integráló jellegû, így zérus hibát és egységnyi statikus átvitelt nem tud eredményezni. Ez csak akkor lehetséges, ha biztosítjuk az kr = −1 ( c T A − bk T ) −1 = b k T A−1b − 1 c T A−1b (9.6) feltételt (lásd a F-5. Függelék F-92 pontját) A fentiekben bemutatott speciális zárt szabályozási kört állapotvisszacsatolásnak hívjuk. 9.1 Póluselhelyezés állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoláshoz legtermészetesebben kötôdô tervezési módszer az úgynevezett póluselhelyezés. Ennél a módszernél úgy kell megválasztani a k T visszacsatoló vektort, hogy a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete az elôírt R( s) polinom legyen, azaz R( s) = s + r1s n ( n −1 n +  + rn −1s + rn =

∏ ( s − si ) = ) i =1 = det s I − A + bk T = A( s) + k T Ψ ( s) b (9.7) 267 A megoldás mindig létezik, ha a folyamat megfigyelhetô. (Célszerû, ha R fokszáma megegyezik az A fokszámával.) Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatók. Az irányítható kanonikus alak (347) alapján a rendszermátrixok −a1 −a2  −an −1 −an    0  0 0   1 T Ac =  0 1 0 0  ; c cT = [b1 , b2 , , bn ] ; bc = [1, 0, , 0]           0 0 0 1 0  (9.8) szerint alakulnak. Figyelembevéve Ac és bc speciális alakját, egyszerûen belátható, hogy az −a1 −a2  0  1 T  Ac − bc k = 0 1      0 0 −r1 −r2  −an −1 −an  1     0 0  0 0 1 T  0 0  − 0 k =  0 1    

        0 0 1 0  0 0  −rn −1 −rn    0 0  0 0      0 1 0  (9.9) tervezési egyenlet szerint a k T = k cT = [ r1 − a1 , r2 − a2 , , rn − an ] (9.10) választás biztosítja a (9.7) szerinti karakterisztikus egyenletet, azaz az elôírt pólusokat A kalibrációs tényezô megválasztása egyszerû számítással adódik kr = an + ( rn − an ) rn = bn bn (9.11) A (9.4) és (96) egyenletek alapján egyszerûen belátható, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye állapotvisszacsatolásos póluselhelyezés esetén Try ( s) = kr B ( s) R( s) (9.12) mint ahogy azt (9.5) kapcsán már jeleztük Az állapotvisszacsatolás leggyakoribb esete viszont az, amikor a szabályozott szakasznak nem az átviteli függvénye, hanem az állapotteres alakja adott. A (367) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden irányítható rendszer irányítható kanonikus alakra hozható

a −1 Tc = Mcc ( Mc ) transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a visszacsatoló vektort is k T = k cT Tc = k cT Mcc Mc-1 k T = bcT Mc-1R( A) = [1, 0, , 0] Mc-1R( A) (9.13) Az irányítható kanonikus alakra vonatkozó (9.10) szerinti méretezést, a (913) elsô sorában 268 szereplô nem irányítható alaknak megfelelô hasonlósági transzformációs összefüggéssel együtt B ASS -G URA algoritmusnak nevezik. A (913) második sorában szereplô algoritmust A CKERMANN módszernek nevezik kidolgozója után (lásd a levezetést az F-5. Függelék F93 pontjában) A BASS -G URA algoritmushoz tehát egyrészt képeznünk kell az Mc irányíthatósági mátrix inverzét az általános felépítésû A és b rendszermátrixokkal, másrészt az irányítható kanonikus alak Mcc irányíthatósági mátrixát (lásd (3.61)-t) Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezôjében lévô ai együtthatóktól függ,

így képzéséhez a nevezôt ki kell számítani: A ( s) = det ( sI − A) . Mivel [1, 0, , 0] Mc-1 az irányíthatósági mátrix inverzének az utolsó sora, és ezen kívül R( A) számítására van szükség, elvileg ACKERMANN módszeréhez nem feltétlenül kell A( s) -t kiszámítanunk. r A( s) R( s) kr B ( s) A( s) Rs ( s) r u + kr - P( s) y y P( s) (a) r kr B ( s) u + - Rf ( s) Kk ( s) 1 A( s) y R( s) − A( s) (b) (c) 9.3 ábra Az állapotvisszacsatolás tervezésének ekvivalens sémái átviteli függvényekkel és polinomokkal Egyszerûen belátható, hogy az állapotvisszacsatolás formálisan egy Rs = A ( s) R( s) soros kompenzációnak felel meg (9.3a ábra) Az állapotvisszacsatolás valódi mûködésének és hatásának megértését könnyítik meg a 9.3 ábrán látható átviteli függvényeket használó egyenértékû hatásvázlatok. A zárt kör Rf ( s) "szabályozója" a visszacsatoló ágban (93b ábra) van. A zárt

rendszer (912)-vel megegyezô átviteli függvénye Try ( s) = kr B ( s) kr B ( s) kr P ( s) = = = R( s) A( s) + K( s) 1 + K k ( s) P ( s) k A ( s) B ( s) = r = kr Rs ( s) P ( s) R( s) A( s) (9.14) ahol −1 K( s) R( s) − A( s) k T ( s I − A) b Rf = K k ( s) = = = −1 B ( s) B ( s) c T ( s I − A) b (9.15) a kalibrációs tényezô pedig kr = k T A−1b − 1 1 + K k (0) P (0) = P (0) c T A−1b (9.16) 269 A 9.3 ábra hatásvázlatai alapján megállapíthatjuk, hogy az állapotvisszacsatolás labilis szakaszokat is stabilizál, hiszen a K( s) = R( s) − A ( s) polinom hatásaként tetszôleges folyamat esetében megvalósul a póluselhelyezés, így stabilis R( s) választásával a stabilizálás megtörténik. A K( s) visszacsatoló polinom tehát formálisan megfelel k T -nek Külön megfontolást érdemel az a körülmény, hogy a K k ( s) nevezôjében szerepel a folyamat B ( s) számlálója. Ilyen esetekben azt szoktuk mondani, hogy a szabályozó csak

minimum fázisú (inverz stabilis) folyamatokra alkalmazható, amelyeknél B ( s) gyökei stabilisak. Az állapotvisszacsatolás különleges jellege következtében azonban B ( s) -t nem mi képezzük le egy B̂ ( s) modellen keresztül, hanem a pontos 1 B ( s) -t realizálja maga a módszer. A póluselhelyezô k T állapotvisszacsatoló vektor kiszámítására további módszerek is léteznek. Ezek közül röviden bemutatjuk még az úgynevezett MAYNE-MURDOCH módszert, amelynek alapján hasznos megállapítást tehetünk. A BASS-GURA és ACKERMANN módszereknél az irányítható kanonikus alaknak volt kitüntetett szerepe. Hasonlóan fontos kanonikus alak a diagonális alak is. Legyen Ad = diag {λ 1 , , λ n } diagonális a λ i sajátértékekkel (ezek az A( s) gyökei) és legyenek az R( s) tervezési polinom gyökei, azaz az elôírt gyökök, {µ1 , ,µ n } értékûek. Egyszeres sajátértékeket feltételezve a MAYNE-MURDOCH módszer a kid bid szorzatra ad zárt

kifejezést a n kid bid = ( ) ( ) Π λi − µ j j =1 n Π λi − λ j j =1 i≠ j i = 1, , n (9.17) formában, ahonnan kid már egyszerûen meghatározható. A bizonyítást lásd az F-5 Függelék F- [ 9.4 pontjában Itt a bid együttható a diagonális alak bd = b1d , , bnd ] T = [β1 , ,β n ] paraméter T vektorának az eleme (lásd még (3.38)-t) A (917) összefüggés legérdekesebb következménye, hogy világosan bemutatja, hogy a póluselhelyezéshez szükséges kid visszacsatoló erôsítés abszolút értéke egyenes arányban növekszik a λ i − µ j "elmozdítási" távolsággal, vagyis a felnyitott és zárt kör pólusainak távolságával. 9.2 Megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatolás elôzô pontban leírt módszere azt igényli, hogy a folyamatot leíró állapotegyenlet állapotváltozó vektorát közvetlenül mérni tudjuk. Ez csak nagyon ritkán áll rendelkezésünkre, általában csak alacsony

fokszámú dinamika esetében (pl. út, sebesség, gyorsulás mechanikai rendszerekben). A módszer használhatósága tehát attól függ, hogy tudunk-e mérést vagy becslést kapni az állapotvektorról. Az állapotvektor elôállítására az úgynevezett megfigyelô elvet dolgozták ki. Ehhez a módszerhez az A, b és c T rendszermátrixok ismerete szükséges, amelyek segítségével létrehozzuk a folyamat pontos mását és ugyanolyan gerjesztésnek kitéve, mint az eredeti szakaszt ez a modell ("megfigyelô") elôállítja számunkra az x és y változók x̂ és ŷ becsült értékét. Az állapotvisszacsatolás az x̂ felhasználásával valósul meg. Az elvet a 94 ábrán mutatjuk be 270 r lr u + b ẋ + ∫ x y cT + A FOLYAMAT ε l + + b ∫ + x̂ cT ŷ + A MEGFIGYELÔ kT ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁS 9.4 ábra Állapotvisszacsatolás megfigyelô alkalmazásával Ha szigorúak lennénk, akkor a megfigyelôben A, b és c T helyett ezek

becsült Â, b̂ és ĉ T értékeit kellene szerepeltetnünk. A megfigyelô különlegessége azonban, hogy nemcsak egyszerûen egy párhuzamos modellt alkalmaz, hanem a folyamat valódi és becsült kimenôváltozójának a különbségébôl egy ε = y − ŷ hibát képez, amelyrôl a l arányos visszacsatoló vektoron keresztül a megfigyelô integrátorának a bemenetére csatol vissza. Ez a visszacsatolás addig mûködik, amíg a hibajel fennáll, azaz a folyamat és a megfigyelô kimenete nem egyezik meg. Ez a mûködési mód a rendszermátrixok ismeretében meglévô meglehetôsen nagy hibákat is kompenzálni tud. Az ábrán az is látható, hogy az állapotvisszacsatolás most az u = kr r − k T x̂ (9.18) formában jelenik meg, tehát egyszerûen x helyébe x̂ lépett. Meglehetôsen hosszú és bonyolult levezetéssel, aminek a részleteit itt nem közöljük, kapjuk a teljes zárt rendszer eredô átviteli függvényét Try ( s) = kr P ( s) 1+ k T (s I − A)

−1 b = kr B ( s) R( s) (9.19) ami talán egy kicsit meglepô módon, de pontosan megegyezik (9.12)-vel, azaz a megfigyelô nélküli állapotvisszacsatolás esetével. (A levezetést lásd az F-5 Függelék F-95 pontjában) Ez tehát azt jelenti, hogy a zárt rendszer követési tulajdonsága nem függ a l vektor megválasztásától. (Az elméleti magyarázat erre a jelenségre az, hogy a megfigyelô nem irányítható része a teljes zárt rendszernek.) Most is lehetséges a 93 ábrán bevezetett visszacsatoló "szabályozó" meghatározása 271 ( Rf = k T s I − A + bk T + l c ) T −1 l= ( k T s I − A + bk T ( ) −1 1 + c T s I − A + bk T ) l −1 (9.20) l ami lényegesen bonyolultabb felépítésû, mint (9.15) volt A megfigyelô mûködésének vizsgálatához képezzük az állapothiba x˜ = x − xˆ (9.21) különbség vektorát, amelyre felírhatjuk, hogy ( ) d x˜ = A − l c T xˆ dt (9.22) ami nagyon hasonló a (9.4)-hez

gerjesztés nélkül A megfigyelôk tervezésére az állapotvisszacsatoláshoz nagyon hasonló módszert használunk, ahol a l megválasztásakor az a célunk, hogy a (9.21) rendszer dinamikáját a ( ) det s I − A + l c T = F ( s) = sn + f1sn −1 +  + f n −1s + f n (9.23) karakterisztikus polinom biztosítsa. A megoldás mindig létezik, ha a folyamat irányítható (Célszerû, ha F fokszáma megegyezik az A fokszámával.) Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatók. A megfigyelhetô kanonikus alak (353) alapján a rendszermátrixok  −a1   −a2 Ao =    −an −1  −an 1 0  0 0 0 1  0 0 0  0 T   ; c oT = [1, 0, , 0] ; bo = [b1 , b2 , , bn ]  1 0      (9.24) szerint alakulnak. Figyelembevéve Ao és c oT speciális alakját, egyszerûen

belátható, hogy az  −a1   −a2 T  Ac − l c o =   −an −1  −an 1 0  0 0 0 1  0 0       − f1 0   0  − f2   − l [1, 0, , 0] =     1 − f n −1  − f n 0 1 0  0 0 0 1  0 0      0  0   1 0 (9.25) tervezési egyenlet szerint a l = lo = [ f1 − a1 , f 2 − a2 , , f n − an ] T választás biztosítja a (9.23) szerinti karakterisztikus egyenletet, azaz az elôírt pólusokat (9.26) 272 Az általános eset most is az, amikor a szabályozott szakasznak nem az átviteli függvénye, hanem az állapotteres alakja adott. A (379) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden ( ) megfigyelhetô rendszer megfigyelhetô kanonikus alakra hozható a To = Moo −1 Mo transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a visszacsatoló vektort is −1 l = (To ) lo =

Mo-1 Moo lo (9.27) A (9.27) kiszámításához tehát egyrészt képeznünk kell az Mo megfigyelhetôségi mátrix inverzét az általános felépítésû A és c T rendszermátrixokkal. Másrészt a megfigyelhetô kanonikus alak Moo megfigyelhetôségi mátrixát (lásd (3.73)-t) is képzni kell Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezôjében lévô ai együtthatóktól függ, így képzéséhez a nevezôt ki kell számítani: A( s) = det ( sI − A) . A bemutatott két alapesetre vonatkozó megfigyelô vektor számítási módját kidolgozója után ACKERMANN módszernek nevezzük. Az állapotvisszacsatolás és a megfigyelô dinamikájának tervezési módszerei között érdekes hasonlóság, úgynevezett dualitás áll fenn, azaz egymásnak megfelelnek a következô ( ) megfeleltetések mellett: A ↔ A T , b ↔ c T , k ↔ l T , Mcc ↔ Moo T . Az állapothiba (9.21) és a folyamat (91) egyenletei alapján az állapotvisszacsatolás és

megfigyelô együttes egyenlete d x A − bk T  = d t x˜   0 bk T  x kr b  +  r A − l c T  x˜   0  (9.28) e = y − yˆ = c T x˜ Mivel a jobb oldal rendszermátrixa blokk-diagonális, a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete ( ) ( ) det s I − A + bk T det s I − A + l c T = R( s) F ( s) (9.29) A polinom tehát két tényezô szorzata: az egyik az állapotvisszacsatolással, a másik pedig a megfigyelôvel van kapcsolatban. Fontos ismét megjegyezni, hogy az F ( s) a (929) ellenére nem jelenik meg a zárt rendszer (9.5) szerinti Try ( s) átviteli függvényében Ezt az érdekes tulajdonságot a következôkben a teljes rendszer 9.4 ábra szerinti hatásvázlatának - alkalmas átviteli függvények segítségével történô - újra fogalmazásával tudjuk megmagyarázni. A megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás (9.29) egyenletét, amely szerint az állapot visszacsatolás és a megfigyelô

karakterisztikus egyenlete egymástól független, szeparációs elvnek is nevezik. 9.3 Megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás ekvivalens átviteli függvényekkel A 9.3 ábránál már alkalmaztunk egy átviteli függvényeket tartalmazó hatásvázlatot Az itt alkalmazott megközelítésnek használhatjuk egy további még általánosabb formáját, amelyet a 9.5 ábrán mutatunk be 273 r u + kr y P( s) - x P( s) r Rs kr u P( s) y Rf Kk (a) (b) 9.5 ábra Az állapotvisszacsatolás további ekvivalens sémái átviteli függvényekkel A 9.5 ábrából következik, hogy az eredô ekvivalens soros kompenzátor ismét Rs = A ( s) A ( s) 1 1 = = = 1 + Rf P 1 + K k P A ( s) + K( s) R( s) (9.30) Fontos megjegyeznünk, hogy Rs fiktív, csak a végsô jelformálás bemutatására használjuk, azaz kr Rs P ugyanazt a Try -t biztosítja, mint (9.14) Ha az Rs által reprezentált póluskiejtést a valóságban is egy soros kompenzátorral szeretnénk megvalósítani,

akkor az labilis folyamatokra nem lenne alkalmazható, hiszen labilis zérusok és pólusok kiejtéssel nem eliminálhatók. A 9.4 ábrán bevezetett x jel (amely nem egyezik meg x-szel) azt reprezentálja, hogy végülis mind az állapotvisszacsatolás, mind pedig a megfigyelô egy bemenetû egy kimenetû alrendszerek, amelyek jelformálására használható átviteli függvények, így mindig lehetséges bemenetre, kimenetre ekvivalens reprezentációkat találni. Ezt a megközelítést alkalmazva a 94 ábra alapján felrajzolhatjuk a 9.6 ábrán látható átviteli függvényeket alkalmazó hatásvázlatot r kr u + y P( s) + P( s) + x - + Kl r kr 1+ P K l P Kk K l + - P Kk K l u 1+ P( Kk + K l ) P( s) y Kk 9.6 ábra Állapotvisszacsatolás és megfigyelô 97 ábra Az állapotvisszacsatolás és megfigyelô átviteli függvényekkel redukált hatásvázlatai Blokk manipulációk egymásutáni alkalmazásával hosszadalmas átalakítások után egy igen egyszerû

merev visszacsatolású zárt szabályozási körre vezethetjük vissza a 9.6 ábra hatásvázlatát. Az eredô ekvivalens szabályozási kör a 97 ábrán látható Itt ismét használtuk a K k -t definiáló (9.15) összefüggést és analóg módon vezettük be K l -t K k ( s) = K( s) B ( s) ; K l ( s) = L( s) B ( s) (9.31) 274 ahol a kétféle póluselhelyezés követelményeibôl adódnak a K( s) = R( s) − A( s) és L( s) = F ( s) − A ( s) (9.32) tervezési polinomiális egyenletek. Továbbá egyszerûen belátható, hogy a 97 ábra belsô zárt rendszerének eredô átviteli függvénye K L K L P 2K k K l PK k PK l = = = 2 1 + P (K k + K l ) + P K k K l 1 + PK k 1 + PK l A + K A + L R F (9.33) speciális alakú, de nevezôje teljesen megfelel a (9.29) karakterisztikus egyenletnek, azaz két sorbakapcsolt független zárt rendszer szerinti (lásd a 9.8 ábrát) Ezt a tulajdonságot nevezik az állapotvisszacsatolás és megfigyelô szeparációs elvének. A

stabilitáshoz mindkét körnek stabilisnak kell lennie. Ezt a megfelelô póluselhelyezési tervezésekkel érhetjük el r Kk ( s) + - P( s) K l ( s) + P( s) y r kr Kk - 9.8 ábra A belsô zárt rendszer ekvivalens hatásvázlata + Kk u P( s) y - 9.9 ábra Állapotvisszacsatolás és megfigyelô redukált hatásvázlata a követési tulajdonságokra A teljes rendszer átviteli függvénye ugyanakkor B PK k kr P 1 + PK k PK l A = kr B = kr B ( s) Try ( s) = kr = = PK l K k 1 + PK l 1 + PK k 1 + PK l 1 + B K A + K R( s) AB kr (9.34) amely pontosan megegyezik (9.19)-cel Ahogy az várható volt, a megfigyelô pólusai nem szerepelnek Try -ban. Az eredô rendszer belsô tulajdonságai még jobban látszanak a követési tulajdonságokra felrajzolt végsô hatásvázlatban a 9.9 ábrán Ez az egyszerû struktúra már nem mutatható ki a zárt kör zavarelhárító képességére. Ezt legegyszerûbben úgy láthatjuk be, hogy képezzük a belsô zárt kör

érzékenységi függvényét  L L 1 + P (K k + K l ) 1 = = 1 +  1 −  1 + P (K k + K l ) + P 2K k K l  R   F  P 2K k K l 1+ 1 + P (K k + K l ) (9.35) ami mutatja, hogy a zavarelhárító képesség átviteli függvényében már mind R mind pedig F szerepel a (9.29)-nak megfelelôen A (935) alak igen speciális, hiszen formailag két sorbakapcsolt zárt kör kimeneti zavarelhárítási átviteli függvényének a szorzataként adódik, miközben tudjuk, hogy a követési tulajdonságok ilyenkor valóban az átviteli függvények szorzataként adódnak, de ez nem áll fenn az érzékenységi függvények szorzataira. Meg kell jegyeznünk, hogy az eredô zavarelhárítási tulajdonság nem független a követési tulajdonságtól, ezért az állapotvisszacsatolás és megfigyelô együttes alkalmazása valódi két szabadságfokú szabályozási kör létrehozására nem alkalmas. 275 9.4 Kétlépcsôs tervezési módszerek

állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozás tárgyalásakor láthattuk, hogy a módszer legelônyösebb tulajdonságai: - a módszer alkalmazhatósága nem függ attól, hogy a folyamat stabilis vagy labilis - a követési tulajdonság nem függ az alkalmazott megfigyelôtôl, tehát közvetlenül tervezhetô - a módszer nem nagyon érzékeny az állapotegyenlet paraméter mátrixainak pontos ismeretére (Ez utóbbi tulajdonságot rendszerint csak kisérleti és szimulációs vizsgálatokkal szokták szemléltetni, pedig bebizonyítható, hogy a folyamat állapotegyenletének egyszerû párhuzamos modelljével számított modellezési hibájához képest a megfigyelô alkalmazásával a hibát az eredeti [1+ K l ( s) P ( s)] -ed részére csökkenthetjük, tehát mintha egy 1 [1+ K l ( s) P ( s)] zárt körön keresztül képeznénk. Így a megfigyelô K l ( s) visszacsatolásának segítségével adott frekvenciatartományban csökkenthetjük. Ha a

folyamat modelljét alkalmazzuk, ami a mindennapi gyakorlat, akkor a 9.8 ábra mindkét körének robusztusan is stabilisnak kell lennie) A nem kívánatos, vagy kedvezôtlen tulajdonságok: - az állapotvisszacsatolás alapvetôen 0-típusú szabályozás, ezért a maradék hibát a kalibrációs tényezôvel tudjuk kiköszöbölni, amely folyamat modell használata esetén soha nem pontos - az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait nem tudja megváltoztatni - a zavarelhárítási tulajdonság nem tervezhetô közvetlenül Fôleg a felsorolt utóbbi jellemzôk miatt rendszerint egy további lépcsô is alkalmazásra kerül állapotvisszacsatolást alkalmazó irányítási rendszerekben. A kalibrációs tényezô szükségességét legegyszerûbben úgy eliminálhatjuk, hogy egy kaszkád integráló szabályozót alakítunk ki a 9.10 ábra szerint r e + ∫ δ - kr u + - dx = x˙ = A x + b u dt y y = cT x x kT 9.10 ábra Állapotvisszacsatolás és integráló

szabályozó együttes alkalmazása A zárt rendszer együttes állapotegyenletét, amely most (9.4) helyébe lép a δ( t) új állapotváltozó - amely a külsô kör e( t) = r( t) − y ( t) hibájának az integrálja - bevezetésével a következô alakban írhatjuk fel x˙ ( t)  A x˙ * ( t) = ˙  =  T δ( t) c ( )  0 0 x ( t) b    +   u( t) +   r( t) = 0 δ( t) 0 −1 = A* − b kT x ( t) + v r( t) (9.36) 276 A bôvített állapotegyenletben figyelembevettük az A A* =  T c 0  0 ; b b* =   0 ;  0 v* =   −1 (9.37) jelöléseket, valamint az új bôvített [ u( t) = − k T t x ( t) T * kr   = −k* x ( t) = kr ∫ e( τ) dτ − k T x ( t) δ( t) 0 ] (9.38) visszacsatolási egyenletet. A (938) egyenlet világosan mutatja az integráló hatást, a k T x ( t) tag pedig a differenciáló hatás

általánosításának tekinthetô. Az integrátort is alkalmazó zárt szabályozási kört tehát eggyel magasabb dimenziójú állapotegyenlettel tudjuk leírni, ahol most kr is meghatározandó együttható az k T mellett. A kibôvített rendszer tervezéséhez eggyel magasabb fokszámú R* ( s) karakterisztikus polinomot kell elôírnunk, majd az ACKERMANN módszer (9.10) tervezési képlete közvetlenül itt is alkalmazható. Ha a folyamat nem átviteli függvény formájában adott, akkor az általános állapotegyenletet elôször irányíthatósági kanonikus alakra kell hozni, ahogy azt (9.13) kapcsán már láttuk. Jegyezzük meg, hogy a kibôvített feladat nem oldható meg szekvenciálisan, azaz oly módon, hogy elôször meghatározzuk az R( s) -hez tartozó k T -t, majd a R* ( s) = R( s)( s − sn +1 ) alapján a kr -t. A feladatot egy lépésben kell R* ( s) alapján megoldani kT -re. Integráló hatást úgy is bevihetünk a rendszerbe, hogy a folyamat P ( s)

átviteli függvénye helyett egy módosított P* ( s) = P ( s) s folyamatra tervezzük meg az állapotvisszacsatolást. Jegyezzük meg, hogy az elôbbi esetre és ezen megközelítésre kapott két állapotvisszacsatoló vektor nem azonos! Természetesen az I-szabályozó mellett magasabb fokszámú szabályozó is alkalmazható, a póluselhelyezés megoldása azonban nem mindig automatikusan adódik az ACKERMANN módszerrel és bonyolult nemlineáris egyenletrendszerre is vezethet. A megfigyelôt is alkalmazó állapotvisszacsatolás esetében a megfigyelô hiba visszacsatolásában is alkalmazhatunk nem 0-típusú, hanem 1- vagy magasabb típusú szabályozót az itt bemutatott módszerekkel. A folyamat változatlanul hagyott zérusait egy soros Ks ( s) = Gs ( s) N ( s) B+ ( s) (9.39) kompenzátorral tudjuk módosítani, ahol a 7. Fejezetben alkalmazott módszer szerint feltételeztük, hogy a folyamat számlálója B ( s) = B+ ( s) B− ( s) . Itt B+ a stabilis, B− pedig a

labilis zérusokat tartalmazza. Az N ( s) B+ ( s) -nek a realizálhatósághoz szabályosnak kell lennie, tehát csak annyi zérust helyezhetünk el a zárt rendszer átviteli függvényében, ahány stabilis zérusa 277 van a folyamatnak. Az eredô átviteli függvény végezetül Try ( s) = N ( s) kr Gs ( s)B− ( s) R( s) (9.40) alakú lesz, ahol az invariáns B− ( s) hatását a Gs ( s) szûrôvel csillapíthatjuk optimálisan. Sok esetben az egyszerû, de nem optimális Gs ( s) = 1 választással élünk. A zavarelhárítási tulajdonság kedvezô tervezhetôségét csak úgy érhetjük el, hogy a külsô kaszkád körben egy YOULA-parametrizált szabályozót alkalmazunk. Ezt megtehetjük, mert az állapovisszacsatolással tetszôleges, még labilis folyamatot is stabilizálhatunk. Labilis folyamatok minôségi szabályozása általában kétlépcsôs. Az elsô lépcsôben a szabályozással stabilizáljuk a folyamatot, majd egy második külsô szabályozási körrel

biztosítjuk a kívánt minôségi célokat akár két szabadságfokú struktúrában is. Az állapotvisszacsatolás alkalmazásával nyerhetô stabilizáló szabályozó csak holtidô nélküli folyamatra alkalmazható. Ha a folyamatnak számottevô késleltetése van, akkor az egyik lehetôség a holtidô racionális törtfüggvénnyel történô közelítése (2.5 pont) A másik lehetôség a mintavételes szabályozásra való áttéres (15. Fejezet) 9.5 Az állapotvisszacsatoló LQ szabályozó A fejezet elôzô pontjaiban bemutatott módszerrel a folyamat állapotvektoráról történô ún. állapotvisszacsatolással tetszôleges (stabilizáló) póluselhelyezést tudtunk megvalósítani. Az állapotvisszacsatolás technikájával egy további optimalizálási feladatot is meg tudunk oldani. Ezen feladat célja a (9.1) LTI folyamat optimális szabályozása egy I= 1 2 ∞ ∫ [x T (t)Wx x(t) + Wu u2 (t)] d t (9.41) 0 összetett optimalitási kritérium

minimalizálásával. Itt Wx az állapotvektort súlyozó valós szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, W u pedig a beavatkozó jelet súlyozó pozitív skalár. A kritériumot minimalizáló megoldás egy T x ( t) u( t) = −k LQ (9.42) T visszacsatoló vektor alakú állapotvisszacsatolás (lásd (9.3)-t), ahol a k LQ T k LQ = 1 T b P Wu (9.43) alakú. Itt a szimmetrikus pozitív szemidefinit P mátrix az úgynevezett P A + AT P − 1 P b b T P = −Wx Wu (9.44) algebrai RICCATI mátrix egyenlet megoldása. A RICCATI egyenlet egy nemlineáris egyenlet Pre, ezért explicit algebrai megoldása nincs A szabályozástechnikában használatos CAD rendszerek viszont rendszerint többféle numerikus algoritmussal is szolgálnak az egyenlet 278 megoldására. Ezt a szabályozót LQ (Linear Quadratic: linear regulator - quadratic criterion) szabályozónak hívják. Az LQ szabályozóval kapott zárt rendszer állapotegyenlete ( ) dx T = A − bk LQ x dt ; T A = A − bk

LQ (9.45) alakú lesz. Az LQ szabályozó fenti módszerének a levezetését az F-5 Függelék F96 pontjában mutatjuk be (A fenti szabályozó rendkívül egyszerû, a levezetése viszont meglehetôsen hosszadalmas.) Amennyiben a folyamat átviteli függvénye ismert, az irányítható kanonikus alak egyszerûen felírható. A speciális Ac - és bc -re a (910) egyenlet adta a klasszikus állapotvisszacsatolás tervezési algoritmusát. Az LQ szabályozónál a tervezésbôl (a RICCATI egyenlet megoldásából) T adódik a k LQ visszacsatoló vektor. Így (910) származtatásának megfordításával megadható az eredô zárt rendszer R( s) karakterisztikus polinomja az együtthatóival: T T + [ a1 , a2 , , an ] [r1, r2 , , rn ] T = k LQ (9.46) Az LQ szabályozó esetén is lehetséges megfigyelôt alkalmazni az állapotvektor elôállítására. A mérnöki megközelítés szerint egyszerûbb a stabilizálási feladatot megoldani a klasszikus póluselhelyezô

állapotvisszacsatolással, hiszen ott az elôírt pólusok közvetlenül ismertek. Kétségtelen, hogy ilyenkor a tranziens folyamatok mínôségérôl csak keveset tudunk. Az LQ szabályozó a stabilizálás mellett egyidejûleg a tranziens folyamatok minôségét is tervezhetôvé teszi, ugyanakkor meglehetôsen hosszú gyakorlat szükséges az adott feladathoz rendszerint csak próbálgatásos módszerrel megadható, alkalmas Wx súlyozómátrix és W u súlyozó faktor elôírásához. Az LQ szabályozó egyszerûbb változata amikor az állapotok helyett csak a kimenôjel négyzetét súlyozzuk, a bemenôjelhez hasonlóan, azaz (9.41) helyett a 1 I= 2 ∞ ∫ [Wy y 2 (t) + Wu u2 (t)] d t (9.47) 0 kritériumot használjuk. Ez a feladat ( d = 0 esetén) a ( ) ( ) W y y 2 = yW y y = x T c W y c T x = x T c W y c T x = x T W y c c T x (9.48) azonos átalakítások alapján visszavezethetô az eredeti LQ szabályozóra a speciális Wx =W y c c T súlyozómátrix

választással. (9.49) 10. ÁLTALÁNOS POLINOMIÁLIS MÓDSZER SZABÁLYOZÓK TERVEZÉSÉRE 279 10. Általános polinomiális módszer szabályozók tervezésére A 7.1 pontban bemutattuk, hogy stabilis folyamatokra célszerûen használhatjuk a YOULAparametrizálást az optimális szabályozó tervezésére Az általános módszernek egyetlen hátránya, hogy labilis folyamatokra nem használható. Labilis folyamatokra másféle parametrizálást kell bevezetnünk. Keressük a C ( s) szabályozót szabályos racionális törtfüggvény alakjában C ( s) = Y ( s) Y = X ( s) X (10.1) Legyen a zárt szabályozási kör elôírt stabilis karakterisztikus polinomja R( s) , azaz a karakterisztikus egyenlete R( s) = 0. Az állapotvisszacsatoláshoz hasonlóan tehát itt is elôírt pólusokon keresztül (pole-placement) végezzük el a stabilizálást és a minôségi jellemzôk tervezését. Legyen a holtidô nélküli folyamat szabályos átviteli függvénye P ( s) = B ( s) B

= A ( s) A (10.2) A tervezési célt megfogalmazó karakterisztikus egyenlet A ( s)X ( s) + B ( s)Y ( s) = A X + B Y = R = R( s) (10.3) Ahol A , B és R ismert, a meghatározandó ismeretlen paraméterek az X és Y polinomokban szerepelnek. A (103) alakú egyenletet DIOPHANTOS-i egyenletnek (DE) nevezzük Mivel a folyamatról nem kellett feltételezni, hogy stabilis, ezért az eredményül kapott szabályozót sokszor stabilizáló szabályozónak is hívják. A DE-nek akkor és csak akkor van megoldása, ha az A és B valamennyi közös osztója a R nek is közös osztója. Amennyiben A és B relatív prímek (nincs polinomiális közös osztójuk), akkor a DE-nek mindig van megoldása tetszôleges R -re, a megoldások száma végtelen. Ha egy X o , Yo pár kielégíti az egyenletet, akkor az X = X o + DB ; Y = Yo − DA (10.4) páros is megoldása a DE-nek, ahol D tetszôleges polinom. Relatív prím folyamat polinomok esetében (ha A ≠ 0) mindig létezik egy olyan X o , Yo

megoldása a DE-nek, ahol vagy Yo = 0 vagy deg{Yo } < deg{A} . Ez utóbbi X o , Yo megoldást minimálisnak nevezzük, mert egyetlen olyan X , Y megoldás sem létezik, amelyre a polinomok fokszáma kisebb lenne az Yo fokszámánál. A DE végtelen sok megoldása közül létezik olyan, amelyre teljesül a deg{X } < deg{B} (10.5) fokszám feltétel. Hasonlóképpen létezik olyan megoldás , amelyre teljesül a deg{Y } < deg{A} (10.6) fokszám feltétel. Mindkét feltétel egyidejûleg teljesül, ha deg{A} + deg{B} ≥ deg{R} (10.7) 280 Ha (10.6) fennáll, akkor a DE-nek speciális minimális fokszámú megoldása van, amikor deg{X } = deg{Y } (10.8) Ha (10.6) nem teljesül, akkor létezhet olyan megoldás, amikor X vagy Y minimális A gyakorlati feladatoknál két alapesetet szoktunk megkülönböztetni: (a) Legyen R( s) tetszôleges deg{P } = 2 deg{A} − 1 fokszámú polinom. Ekkor lehetséges a DE megoldását deg{X } = deg{A} −1 és deg{Y } = deg{A} −1

fokszámú szabályozó polinomokkal keresni. A szabályozó ennek megfelelôen szabályos lesz (b) Legyen R( s) tetszôleges deg{R} = 2 deg{A} fokszámú polinom. Ekkor a DE megoldását deg{X } = deg{A} és deg{Y } = deg{A} −1 fokszámú szabályozó polinomokkal kereshetjük. A szabályozó ennek megfelelôen szigorúan szabályos lesz. Ezért n-edfokú folyamathoz rendszerint ( n − 1) -edfokú stabilizáló szabályozót keresünk, ilyenkor ugyanis mindig van a DE-nek megoldása. A (104)-bôl jól látható, hogy Y lehet kisebb fokszámú, mint A . Elvileg X lehetne kisebb fokszámú, mint B , de akkor a kapott szabályozó nem realizálható. Ezért keressük a stabilizáló szabályozót ( n − 1) -edfokúként Célszerûnek tûnhet, ha R fokszáma megegyezik az A fokszámával. Szerencsés esetben egynél nagyobb pólustöbbletû folyamathoz lehetséges ugyan megfelelô fokszámú és pólustöbbletû stabilizáló szabályozót keresni, ez az eljárás azonban nehezen

szisztematizálható, és (10.7) szerint a megoldás nem biztosan minimális. A (10.4) egyenlet érvényes D = G D racionális törtfüggvényre is Ilyenkor a zárt rendszer eredô átviteli függvényének nevezôjében megjelenik a D is az R mellett. A (104) alak az összes stabilizáló szabályozót paraméterezi D szerint. Az itt szereplô D paramétert YOULAKUCERA paraméternek nevezik r e + - Y X C( s) u B A y P( s) 10.1 ábra Egy szabadságfokú stabilizált zárt szabályozási kör Egyszerûen belátható, hogy a 10.1 ábra egy szabadságfokú stabilizált zárt szabályozási körének az átviteli függvénye T= BY Y = B = Rn′ B AX + BY R (10.9) A (10.9)-bôl jól látható, hogy a stabilizálás megtörtént, de a folyamat számlálója valamint a DE megoldásából származó Y polinom megjelenik az eredô számlálójában. Ezek egyikét sem tudjuk közvetlenül befolyásolni, így a zárt rendszer átviteli függvényének számlálóját nem tudjuk

tervezni. (Vegyük észre a hasonlóságot az állapotvisszacsatolással kapott eredménnyel) A nem teljesen kedvezô tervezési lehetôség ellenére az eddigiek alapján kialakítható egy olyan kétszabadságfokú szabályozási kör, amelyben legalább az alapjelkövetés tervezhetô. Ez a kör a 10.2a ábrán látható A 102b ábra egy ekvivalens hatásvázlatot mutat, amely közvetlenül 281 összevethetô a YOULA parametrizált szabályozóval stabilis folyamatra kapott 7.10b ábra szerinti generikus két szabadságfokú szabályozási körrel. A szabályozó most természetesen más yr P Rr Y e + - Y X C( s) yr B A u y Rr + e - P X u B A y P( s) P( s) Y Rn′ = R (a) (b) 10.2 ábra Kétszabadságfokú stabilizált zárt szabályozási kör A 10.2 ábra szabályozási körének átviteli függvénye Tr = Rr B (10.10) Itt már nem jelenik meg Y , csak a folyamat számlálója, és Rr független Rn -tôl, tehát valóban két szabadságfokú a

szabályozás. A zavarelhárítási tulajdonság marad a T -bôl számítható S = 1 − T = 1 − Rn′ B = 1 − Y B R (10.11) A YOULA -parametrizált szabályozó tárgyalásakor már láthattuk, hogy a folyamat átviteli függvényének számlálójában a stabilis zérusokat kiejthetjük. Ezt a módszert kiterjeszthetjük a DE-et használó tervezési módszer esetében a nevezô stabilis zérusaira is. Tételezzük fel, hogy a folyamat átviteli függvénye P ( s) = P+ ( s) P− ( s) vagy röviden P = P+ P− (10.12) ahol P+ stabilis, inverze szintén stabilis (SIS: Stable Inverse Stable). P− labilis és inverze szintén labilis (UIU: Unstable Inverse Unstable). A folyamat célszerû faktorizálása tehát P= B B+B−  B+   B−  = =     = P+ P− A A+ A−  A+   A−  (10.13) Itt A+ tartalmazza a stabilis, A− pedig a labilis folyamat pólusokat. Hasonlóképpen B+ a stabilis, B− pedig a labilis zérusokat tartalmazza. A DE-t

úgy fogjuk megfogalmazni, hogy az lehetôvé tegye a stabilis B+ és A+ gyökök kiejtését. A tervezés teljesen általános megfogalmazása érdekében a szabályozó számlálójában és nevezôjében is bevezetünk Yd és X d elôre megválasztott polinomokat. Erre a legáltalánosabb esetre felírhatjuk a következô tervezési DE-t (A+ A− ) (B+X d X ′) + (B+B− ) (A+Yd Y ′) = R′ = A+B+R A X + B Y = R′ (10.14) A redukálható faktorokkal egyszerûsítve egy alacsonyabb fokszámú DE-re jutunk (A−X d ) X ′ + (B−Yd ) Y ′ = R A′ X ′ + B ′ Y ′ = R ahol A ′ = A−X d és B ′ = B−Yd ismertek, a szabályozó pedig (10.15) 282 C= Y A+Yd Y ′ = X B+X d X ′ (10.16) Jól látható, hogy a stabilizáló szabályozó csak a stabilis zérusokat és pólusokat ejti ki, továbbá beviszi a számlálóba és a nevezôbe a kívánt Yd és X d polinomokat. A YOULA-szabályozó integráló, ha biztosítjuk az egységnyi átviteli tényezôt a

referencia modellre: Rn (ω = 0) = Rn ( s = 0) = 1. Ez automatikusan nem biztosítható a DE-bôl származó stabilizáló szabályozóra. Egy garantált megoldás viszont, ha X d behozza az s = 0 pólust a nevezôbe Mivel most Yd tekinthetô a referencia modell számlálójának, R pedig a nevezôjének, így a korrigált referencia modell az általános esetben Rn′ = Yd R (10.17) amely csak tôlünk függ, tehát tervezhetô. Az általános stabilizált szabályozási kör ekvivalens hatásvázlatait a 10.3 ábrán mutatjuk be yn yn yr Rr Gr R′n Y ′ e A+ Yd Y ′ B+X dX ′ u P yr y Rr Gr e A+ R B+X dX ′ u P y R′n Y ′ (a) (b) 10.3 ábra Kétszabadságfokú általános stabilizált zárt szabályozási kör Könnyen ellenôrizhetô, hogy a teljes kör átviteli függvénye Tr = Pr Gr B− (10.18) a zárt kör érzékenységi függvénye pedig S = 1 − Pw′ Y ′B− (10.19) Így a teljes szabályozási kör átviteli karakterisztikája y = Tr y r +

S y n = Rr Gr B− y r + (1 − Rn′ Y ′B− ) y n (10.20) Jól látható, hogy a Gr szûrô szabadon választható, így a B− hatásának gyengítésére optimalizálható. Sajnos ugyanez nem mondható el a zavarelhárítás optimálási lehetôségérôl Itt ugyanis Y ′ a módosított (10.15) DE-bôl származik, így szabadon nem választható, ezért itt a B− hatásanak gyengítése nem oldható meg olyan egyszerûen, ahogy azt a YOULA-parametrizálásnál és a (10.20) követési tulajdonságánál láttuk Az eredményül kapott stabilizáló (10.16) szabályozó alakja tovább egyszerûsíthetô 283  Yd   Y ′ A Pw′ Y ′ A+Yd Y ′ A R C= = =  Y  1 − Pw′ Y ′ B− B+ B+X d X ′ B+ 1 − d Y ′ B−   R  (10.21) ami nagyon hasonlít az optimális YOULA szabályozó (7.14) alakjához Vegyük észre, hogy bár csak az A+ és B+ stabilis tényezôket ejtettük ki, formailag a szabályozó a folyamat teljes nevezôjét

kiejti. Amennyiben a zavarelhárításra kapott (10.20)-beli tulajdonság nem elfogadható, egy külsô kaszkád szabályozási kört kell alkalmaznunk, amelynek a tervezésére a YOULA-parametrizálás már alkalmazható, hiszen a belsô körrel stabilizáltuk a rendszert. Ezt a kétlépcsôs módszert az állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök fejezetében tárgyaltuk részletesen (lásd a 9.4 pontot) A DE alkalmazásával nyerhetô stabilizáló szabályozó csak holtidô nélküli folyamatra alkalmazható. Ha a folyamatnak számottevô késleltetése van, akkor az egyik lehetôség a holtidô racionális törtfüggvénnyel történô közelítése (2.5 pont) A másik lehetôség a mintavételes szabályozásra való áttéres (14. Fejezet) 10.1 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsôrendû ( n = 1) labilis folyamat P= B 0.5 −1 = = A 1 − 0.5 s s − 2 (10.22) amelynek a p = 2 pólusa a jobb oldali félsíkon helyezkedik el. Keressük azt a C = Y X

szabályozót, amely stabilizálja a folyamatot az R( s) = s + 2 = 0 karakterisztikus polinom elôírásával. A szabályozót n − 1 = 0-adrendû alakban keressük, amit a C= Y K = =K X 1 (10.23) struktúrával biztosíthatunk, azaz egy arányos szabályozóval. A 103 alapján írhatjuk, hogy AX + BY = R (s − 2) − K = s + 2 (10.24) ahonnan C = K = −4 adódik a szabályozóra. Egyszerû számítással ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye T= 4 2 = s + 2 1 + 0.5 s (10.25) tehát sikerült a labilis pólust tükrözni a képzetes tengelyen, és ezzel stabilizálni a szakaszt. A zárt rendszer statikus átvitele nem egységnyi, mert a szabályozó arányos és nem integráló. Minôségi szabályozás eléréséhez egy további külsô kaszkád szabályozási kör alkalmazása célszerû, amint azt az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozásnál láthattuk. A (104) összefüggés alapján a 10.1 táblázatban különbözô D( s) = G D

paraméterre megadtuk az eredményül kapott stabilizáló C ( s) szabályozót és T ( s) -t. A táblázat elsô sora a (1023)-ben és (1025)-ben kapott elsô meg- 284 D( s) = G D 0 1 1+ s s+2 s +1 10.1 táblázat C ( s) T ( s) 4 −4 s+2 s− 6 s− 6 − 2 s+2 2 2 s − s− 6 s − s− 6 − s+2 s+2 2 2 s − 4s − 8 s − 4s − 8 − (s + 1)(s + 2) 2s + 3 oldást tartalmazza. Jól látható, hogy csak ez az elsô szabályozó realizálható, így a többi megoldásnak csak elvi jelentôsége van. Magasabb fokszámú folyamatoknál az összefüggések sokkal bonyolultabbak, de akkor is célszerû a különbözô fokszámú megoldásokat táblázatokban összefoglalni és kiválasztani a legalacsonyabb fokszámú realizálható szabályozót. Ugyanígy célszerû lehet az ( n − 1)edfokú szabályozónál alacsonyabb fokú esetleg adódó megoldásokat is feltüntetni. 10.2 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsôrendû ( n = 1) stabilis folyamat P= B 1 0.1 = =

A 1 + 10 s s + 0.1 (10.26) amelyet gyorsítani szeretnénk. Egy szabadságfokú rendszert feltételezve, tervezési célunkat az Rr = Rn = 1 0.5 = 1 + 2 s s + 0.5 (10.27) referencia modellben fogalmazzuk meg. A YOULA-szabályozó most Copt −1 1  1 + 10 s 1 + 10 s Rn P+−1  = Cid = = 1 − =  1 − Rn  1 + 2 s  1 + 2 s 2s (10.28) egy integráló szabályozó, amelynek alkalmazásával a zárt rendszer eredô átviteli függvénye: T ( s) = 1 1 + 2s (10.29) A DE alapján történô tervezéshez a karakterisztikus egyenlet (10.27) alapján R( s) = s + 05 = 0 A szabályozót az elôzô példa alapján ismét n − 1 = 0-adrendû alakban keressük, tehát a (10.23) szerinti arányos szabályozót alkalmazzuk. A (103) egyenlet most AX + BY = R (s + 0.1) + 01K = s + 05 (10.30) ahonnan C = K = 4 adódik a szabályozóra. Egyszerû számítással ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye T= 0.4 0.8 = s + 0.5 1 + 2 s (10.31) Az elôírt

−0.5 pólust sikerült elhelyezni, de a szabályozási kör 0-típusú, ezért a T erôsítése 08 ra adódik A két példa jól reprezentálja azt a gyakorlatot, hogy stabilis folyamatokra célszerû a YOULA parametrizálást alkalmazni, míg labilis folyamatok stabilizálására a DE alkalmazása vagy a 9. Fejezetben tárgyalt állapotvisszacsatolás nyújthatja a megoldást 11. MINTAVÉTELES SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK FELÉPÍTÉSE 285 11. Mintavételes szabályozási körök felépítése Napjaink gyakorlatára egyre növekvôbb mértékben jellemzô, hogy az irányítási rendszereket megfelelô valós idejû (real-time) szolgáltatásokkal is rendelkezô digitális berendezések valósítják meg. Attól függôen, hogy egy adott alkalmazáson belül hány és milyen bonyolultságú szabályozási kör feladatát kell ellátni, a digitális irányító berendezések köre az egyetlen chip-bôl álló mikrokontrollerektôl a nagyobb teljesítményû midi/mini gépekig

terjed. A digitális berendezések hálózatba szervezésének fejlettsége lehetôvé teszi elosztott irányítási rendszerek létrehozását is. A szabályozási funkció digitális megoldása az iparban alkalmazott irányítástechnikai kultúrát is jellemzi. Nevezetesen arról van szó, hogy a gyakorlati irányítástechnika a különbözô vezérlési és szabályozási feladatok kombinációinak egységes – kézenfekvôen digitális rendszerû megvalósítását igényli. 11.1 ábra Zárt mintavételes szabályozási kör alapvetô elvi felépítése Zárt mintavételes szabályozási körök alapvetô elvi felépítését a 11.1 ábra szemlélteti A szabályozott szakasszal kapcsolatban - az ábrából is láthatóan – azzal a feltételezéssel élünk, hogy az egy folytonos idejû (FI) folyamat. A FI folyamat idôben folytonos bemenôjelével és kimenôjelével ellentétben a digitális irányító rendszer mûködése diszkrét idejû (DI), hiszen a

folyamatirányítást megvalósító program adott mûködtetési frekvenciával mûködô CPU vezérelte irányító berendezésen fut. A FI folyamat analóg jellegû és az irányító berendezés digitális jellegû jelfelületét nyilvánvalóan illeszteni kell egymáshoz, ezt a feladatot a zárt szabályozási körbe beiktatott átalakító szervek látják el. A tartószerv alapfeladata a DI jelsorozatból FI bemenôjel elôállítása. Az elnevezéseket illetôen analóg digitális irányban mintavevô szervrôl, digitális analóg irányban tartószervrôl beszélünk. A mintavevô szerv gyakorlatilag minden esetben egy a digitális technikából jól ismert A/D (Analog to Digital) átalakító, a tartószerv – tipikusan, de nem feltétlenül - D/A (Digital to Analog) átalakító. A 112 ábrán látható, hogy a mintavevô és tartószervek mûködését, a digitális berendezés központi egységét, lényegében a rendszer szinkronizálását közös rendszeróra vezérli.

Miután a zárt szabályozási rendszerben FI és DI jelek is szerepelnek, továbbá ugyanazon jelrôl analóg és digtális információ is állhat rendelkezésre, a rendszer jeleire vonatkozóan, összhangban a 11.2 ábrával, az alábbi egyértelmû jelölésrendszert vezetjük be: − x ( t) : FI jel − x [ k ] = x ( kTs ) : DI jel , ahol Ts jelöli a mintavételezési idôt (sampling time), k = 0,1, 2,. pedig a mintavételezés sorszámát 286 A mintavételes szabályozási kör blokkvázlatát tanulmányozva és összehasonlítva a FI szabályozási rendszereknél alkalmazottakkal láthatjuk, hogy amíg a szabályozást megvalósító jelformálást FI esetben egy C ( s) átviteli függvényû szabályozó valósította meg, mintavételes esetben egy adott real-time programkörnyezetben futó digitális szabályozási algoritmus szolgáltatja a bemenôjelet. A 112 ábrán láthatóan a digitális szabályozónak három jelfelületen az alábbi három funkciót kell

ellátnia: - a mintavételezett és digitalizált FI kimenôjel fogadása és továbbítása a szabályozót megvalósító algoritmus felé - a szabályozási algoritmus által minden mintavételt követôen kiszámított DI, digitális bemenôjel továbbítása a D/A átalakító felé - a szabályozás alapjelének fogadása közvetlenül egy ember-gép kapcsolati felületrôl (Man-Machine Interface - MMI) vagy egy kommunikációs hálózaton keresztül. 11.2 ábra Zárt mintavételes szabályozási kör részletes felépítése A szabályozási algoritmusokat körülvevô technológiák (intelligens érzékelôk és beavatkozó szervek, fejlett MMI technikák, olcsó és megbízható hálózati technológia) fejlôdése egyértelmûen abba az irányba mutat, hogy a digitális szabályozások egyre nagyobb mértékben fognak teret hódítani a jövôben. A mintavételes rendszerek elônyös tulajdonságait az analóg rendszerekkel való összevetésben az alábbiakban lehet

összegezni: − a digitális technológia megbízhatóbb és olcsóbb − a megvalósítható algoritmusok körét tekintve a digitális technológia rugalmasabb − módosítások és bôvítések egyszerûen kivitelezhetôek, adminisztrálhatók, a pontosság hosszú idôn keresztül garantált − az alapjel megadására, a szabályozó paraméterek megváltoztatására, valamint a mûködés monitorozására egyaránt egyszerû és hatékony módszerek állnak rendelkezésre. Vannak azonban olyan szempontok is, amelyekre különös figyelmet kell fordítania a mintavételes rendszer tervezôjének: − két mintavétel között a zárt rendszer lényegében nyitott rendszerként mûködik, így ezen periódusban a visszacsatolás elônyös tulajdonságai nem jutnak érvényre − a mintavételezési idôt gondosan kell megválasztani: egyrészt összhangban kell lennie 287 az irányítandó folyamat dinamikájával, másrészt a real-time feldolgozó rendszer képességeivel

(mûveletvégzô sebesség, számábrázolás pontossága) − a szabályozó kimenetének jelformája a tartószerv által meghatározott, nem szabadon választott − a mintavételezés a tervezés számára kihívásokat jelentô járulékos tényezôket generál (holtidô, a mintavételezés következtében megjelenô dinamika). 11.1 Mintavételezés Egy FI folyamat mûködésérôl a folyamat idôben folytonosan létezô jeleinek megfigyelésével nyerhetünk információt. Ha a jelek által képviselt információt egy digitális berendezéssel kívánjuk feldolgozni, akkor a feldolgozás során a FI jeleket diszkrét mintavételi idôpillanatokban vett digitális mintáik képviselik. Idôben egyenközû (ekvidisztáns) mintavételezést feltételezve, a jelek és rendszerek területérôl egy nagyon fontos elméleti eredmény áll rendelkezésünkre annak eldöntésére, hogy mintavételezett értékeibôl egyértelmûen vissza tudunk-e állítani egy (sávkorlátozottnak

feltételezett) FI jelet. A reprodukálhatóság feltételét SHANNON mintavételezési törvénye fogalmazza meg, amely szerint a mintavételezést minimálisan olyan frekvenciával kell megvalósítani, hogy a FI jel legnagyobb frekvenciájú komponensébôl legalább két minta álljon rendelkezésünkre minden mintavételezési periódusban. A mintavételezési törvény jelentôségét illetôen elegendô arra utalnunk, hogy ez a törvény képezi az elvi alapját annak a gyakorlati megfontolásnak, hogy FI jelek jelfeldolgozását (pl. vizualizáció, frekvencia analízis) rugalmas, programozható, digitális környezetben végezhessük el. Amint azt a korábbiakban már említettük, a fizikai mintavételezés megvalósítására analógdigitális (A/D) átalakítókat (másszóval konvertereket) használunk. Az A/D konverterek a digitális rendszer real-time órajelével vezérelt elemek, amelyek az x ( t) FI analóg jelbôl közvetlenül az x [ k ] jelsorozatot állítják

elô, mégpedig kódolt digitális formában. Az A/D konverter mûködési lényegét egy periodikusan rövid idôre záródó kapcsolóval szokásos szimbolizálni (ld. a 113 ábrát) 11.3 ábra Az A/D átalakító mûködését szimbolizáló kapcsoló A különbözô alkalmazásokhoz választandó A/D konverterek számos fontos paraméterrel rendelkeznek, amelyek közül az átalakítás gyorsaságát jellemzô konverziós idô akár µsec nagyságrendûen kicsi is lehet. További fontos választási szempont a konverter zavarszûrô képessége, valamint a felbontás, amely a digitalizált jel bitszélességét jelenti. Ez utóbbi érték szokásos tartománya 8 és 16 bit közé esik. A mintavételes rendszerek tárgyalásához a korábbiakban bevezetett jelöléseket alkalmazva az f [ k ] = f ( kTs ) összefüggés szerinti mintavételezést matematikai mintavételezésnek nevezzük. Az x [ k ] jelsorozatot impulzus modulációval származtathatjuk, ahol 288 f * ∞ (t)

= ∑ f (nTs ) δ(t − nTs ) (11.1) n =−∞ másszóval az f * ( t) analóg jel DIRAC -impulzusok sorozata, f [ k ] pedig ezen DIRAC impulzusok területi mérôszámaiból képzett számértékek sorozata. A 114 ábra az f ( nTs ) ≡ 0, (n < 0) feltétel mellett illusztrálja az impulzus modulációt. A matematikai mintavételezés bevezetésével alapvetô frekvenciatartománybeli vizsgálódásokat tehetünk, amelyek jól szemléltetik a mintavételezési törvény szükséges feltételét. 11.4 ábra Impulzus moduláció Legyen f ( t) egy FI jel, amelynek frekvecia spektruma F ( jω) . A jelek és rendszerek elméletébôl ismert, hogy az f * ( t) mintavételezett jelsorozat frekvencia spektruma ∞ 1 Fs ( jω) = ∑ F ( jω + jkω s ) Ts k =−∞ (11.2) ahol ωs = 2 π Ts a mintavételezési körfrekvencia. 11.5 ábra A FI jel spektruma Látható, hogy a mintavételezés következtében az F ( jω + jkωs ) oldalfrekvenciák átlapolódása, azaz a frekvencia

spektrum torzulása nem következik be, ha ωs ≥ 2ω max illetve ωs 2 ≥ ω max fennáll, ahol ω max a sávkorlátozottnak feltételezett f ( t) jel maximális körfrekvenciája. A mintavételezett jel spektrumára vonatkozóan kiemelt jelentôséggel bíró ω max 2 frekvenciát NYQUIST frekvenciának is nevezik. A jelenséget a 115, 116 és 117 ábrákon követhetjük végig, ahol rendre a FI jel spektrumát, a megfelelô frekvenciájú mintavétel mellett, majd a túl alacsony mintavételi frekvenciájú esetet tüntettük fel. A 118 ábrán azt mutatjuk be, hogyan 289 jelenik meg egy nemlétezô frekvenciájú komponens a nem kellôen magas frekvenciájú mintavétel következtében. A nagyfrekvenciás összetevôbôl nem veszünk periódusonként legalább két mintát, ennek következtében egy nemlétezô (alias), alacsonyfrekvenciás szinuszos összetevôre következtethetünk a minták alapján. Egy zárt szabályozási körben a nemlétezô komponens

kompenzálására tett szabályozási lépések nyilván feleslegesek és így további zavarásokat indukálnak a körben. Az ω max sávkorláton belüli, ún fô tartományban a mintavételezett jel spektruma Fs ( jω) = 1 F ( jω) Ts (11.3) 11.6 ábra A mintavételezett jel spektruma megfelelô mintavételezés esetén 11.7 ábra A mintavételezett jel spektruma alacsony mintavételezési frekvencia esetén 11.8 ábra Nemlétezô frekvenciájú összetevô megjelenése az alacsony mintavételezési frekvencia következtében 11.2 Tartás Egy zárt mintavételes szabályozási kör jelkészletét tekintve hibrid rendszer, amelyben szimultán módon jelennek meg analóg és digitális jelek. Rendszertechnikailag arról van szó, hogy a folytonos idejûnek feltételezett folyamat és a diszkrét idôpillanatokban mûködô digitális szabályozó mûködési idôtartományát egymáshoz kell illeszteni. A mintavételezés a FI-DI irányú 290 átalakítást realizálja,

szükségképpen egy DI-FI jellegû átalakítást végzô szervet, a tartószervet is be kell iktatnunk a kör zárására. A tartószerv is vezérelt elem, feladata egy kódolt digitális jel fogadása, dekódolása és FI kimenôjel biztosítása két mintavételi idôpillanat között. A két mintavételi idôpillanat közötti tartás jellegére (konstans, lineáris, másodrendû, stb.) nincsenek korlátozó elôírások, azonban a megvalósítás gyakorlati egyszerûsége a két mintavételi idôpillanat között konstans értékekkel dolgozó zérusrendû tartószerv alkalmazása mellett szól. A zérusrendû tartószerv alkalmazása a 11.9 ábrán látható jellegzetes lépcsôs görbét eredményezi. 11.9 ábra Zérusrendû tartószerv alkalmazása Említettük, hogy a tartószervek két mintavételi pont közötti dinamikája természetesen nem korlátozott a nulladrendû tartásra (konstans érték tartása), hanem elsôrendû illetve magasabb rendû is lehet. Elsôrendû

tartószerv esetén a két utolsó mintavételi pontra fektetett egyenes határozza meg a tartószerv kimenetét az aktuális periódusban, amint azt a 11.10 ábra is szemlélteti. Miután viszonylag kicsi vagy közepes mintavételezési idôk esetén a zérusrendû tartás minden vonatkozásban kielégíti a gyakorlati igényeket, így a magasabb rendû tartószervekkel a továbbiakban nem foglalkozunk. 11.10 ábra Elsôrendû tartószerv alkalmazása 11.11 ábra Zérusrendû tartószerv impulzus válaszfüggvénye 291 A zérusrendû tartás (az angol elnevezést követô rövidítés használva ZOH - Zero Order Holding) matematikai leírásának a 11.11 ábrán szemléltetett mûködést kell követnie Vegyük észre, hogy a zérusrendû tartószerv impulzus válaszfüggvénye 1( t) − 1( t − Ts ) . Miután a DIRACimpulzusból az egységugrást egy integrátor állítja elô, a Ts holtidôt pedig az e− sT s átviteli függvény írja le, ezért felvázolhatjuk a 11.12

ábrát, ahonnan leolvasható a zérusrendû tartószerv átviteli függvénye: 1 e− sT s 1 − e− sT s W ZOH ( s) = − = s s s (11.4) 11.12 ábra Zérusrendû tartószerv impulzus válaszfüggvényének komponensei Az átviteli függvény ismeretében meghatározható a zérusrendû tartószerv frekvenciafüggvénye, ezt az F-5. Függelék F-111 pontjában mutatjuk meg A zérusrendû tartószerv egy alapvetô jellegzetességét azonban részletes frekvenciatartománybeli vizsgálódások nélkül is felfedezhetjük. Tekintsük az alábbi elsôrendû TAYLOR közelítést: W ZOH ( s) = 1 − e− sT s s   s2Ts2 −  1 − 1 − sTs + 2  sT    ≈ Ts 1 − s +  ≈ Tse− sT s / 2 ≅   s 2 (11.5) A mintavételezett jelek spektrumáról a 11.1 Fejezetben leírtak szerint ha tehát egy zérusrendû tartószerv van sorbakapcsolva egy FI rendszer H ( s) átviteli függvényével, akkor az eredô FI rendszer átviteli frekvencia

karakterisztikájának jó közelítése Hd ( jω) = 1 ˜ 1 H ( jω) ≈ Tse− jωT s / 2 H ( jω) = e− jωT s / 2 H ( jω) Ts Ts (11.6) (Itt H̃ a zérusrendû tartószerv és az eredeti FI rendszer sorbakapcsolásával létrejött szintén FI rendszer közelítô átviteli függvénye.) Látható, hogy a kisfrekvenciás tartományban alkalmazható közelítés szerint a zérusrendû tartószerv közelítôleg a mintavételezési idô felének megfelelô holtidôt iktat be a zárt körbe. Amint azt korábban a FI szabályozási körök vizsgálatánál láttuk, a 292 holtidô növekedése nem kedvezô jelenség sem a stabilitás, sem pedig a zárt kör megfelelô minôségi jellemzôinek biztosítása szempontjából. Hangsúlyozni kell azonban, hogy csupán e kedvezôtlen hatás elkerülésére nem mondhatunk le a tartószerv alkalmazásáról, mert annak alapfunkciójára, a DI és FI jeltartományok illesztésére elengedhetetlenül szükségünk van. A 11.13 ábrán

látható elrendezés vizsgálatával egy a fenti közelítést verifikáló fizikai képet kívánunk kialakítani. A FI szinuszos jelet mintavételezve a mintavett értékek egy zérusrendû tartószerv bemenetére kerülnek, a kimeneti folytonos lépcsôs görbének az ábrán bejelöltük az alapharmonikusát és ugyanitt feltüntettük az eredeti FI szinuszos görbét is. E két görbe fáziseltolása függ a mintavételi idôtôl és a szinuszos jel frekvenciájától, de láthatóan jól közelíthetô a holtidô felével. 11.13 ábra Vizsgálati elrendezés a zérusrendû tartószerv késleltetésének bemutatására A mintavételi idô megválasztása egy olyan aspektusa a mintavételes szabályozótervezésnek, amellyel a FI tervezéskor nem kellett foglalkozni. Erre a kérdésre a tervezési módszerek tárgyalásakor vissza fogunk térni, azonban bármekkora mintavételezési idôt is választunk, egyúttal egy ω N = ωs 2 NYQUIST frekvenciát is választunk, ezért a

mintavételezés következtében esetlegesen kialakuló spektrum torzulás elkerülésére az analóg jeleket az ω N ≥ ω max feltételt biztosítandó egy aluláteresztô szûrôn engedjük át. A teljes szabályozási elrendezés blokkvázlatát a rendszer jeleinek jellegével együtt a 11.14 ábrán tüntettük fel 11.14 ábra A zárt mintavételes szabályozási rendszer elemei és jelei 11.3 Diszkrét idejû jelek leírása z-transzformáltakkal, a z-transzformáció és inverzének alapösszefüggései A z-transzformáció DI jelek illetve jelek kapcsolatát megvalósító rendszerek leírásának egy széles körben alkalmazott módszere. Egy f [ k ] (k = 0,1,2,) DI jel z-transzformáltját a ∞ Z { f [ k ]} = ∑ z− k f [ k ] = f [0] + z−1 f [0] + z−2 f [0] +  k=0 (11.7) 293 végtelen hatványsor definiálja, ahol a z változó a z-transzformáció komplex értékû változója. Megjegyezzük, hogy az f [ k ] jelrôl feltételezzük, hogy ún. pozitívidô

függvény, másszóval (k < 0) . Bár Z { f [k ]} közvetlenül szokásos jelölés F ( z) = Z { f [ k ]} . f [k ] ≡ 0 z−1 függvénye, a z-transzformáltakra alkalmazott A komplex sík azon R1 sugarú körének sugarát, amelyen kívüli értékekre az F ( z) -t definiáló végtelen hatványsor konvergens, a konvergencia sugarának nevezzük, másszóval az F ( z) = f [0] + z −1 f [1] + z −2 f [2] +  konvergenciájának feltétele z > R1 . A FI szabályozási rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy ott a LAPLACE - transzformáció alkalmazásakor idôtartományban megfogalmazott feladatokat az s komplex frekvencia (LAPLACE) operátor terébe transzformálva lényegesen egyszerûbben kapunk megoldásokat, viszont az eredményeket vissza kell transzformálnunk az idôtartományba, ezért inverz LAPLACE-transzformációs módszerek alkalmazására is szükségünk volt. DI rendszerek esetén hasonló módon járunk el, ezért inverz z-transzformációs technikákat

is ki kell majd dolgoznunk a késôbbiekben. A inverz z-transzformáció analitikus összefüggése az alábbi ún inverziós integrállal adott: f [ k ] = Z −1{F ( z)} = 1 F ( z) z k −1dz , ∫ 2πj R (11.8) 2 ahol R2 annak az origó középpontú körnek a sugara a komplex síkban, amelyen belül helyezkedik el F ( z) z k −1 minden pólusa. Az inverziós integrál elméleti jelentôségû összefüggés, bizonyítását az F 5. Függelék F-112 pontjában adtuk meg A z-transzformáció néhány alaptulajdonsága Legyen az f [ k ] ( k = 0,1,2,.) DI jel z-transzformáltja F ( z) = Z { f [ k ]} Konstanssal való szorzás Konstansnak feltételezett c esetén vizsgáljuk meg a g[ k ] = c f [ k ] ( k = 0,1,2,.) jel z transzformáltját: ∞ ∞ Z {g[k ]} = ∑ z− k g[k ] = c f [0] + z−1c f [0] + z−2c f [0] +  = c ∑ z− k g[0] = c F (z) k=0 (11.9) k=0 Linearitás Konstans c1 és c 2 együtthatókat feltételezve az elôzôek értelmében írhatjuk, hogy ∞ Z

{c1 f1 [ k ] + c 2 f 2 [ k ]} = ∑ z− k (c1 f1 [ k ] + c 2 f 2 [ k ]) = c1F1 ( z) + c 2 F2 ( z) (11.10) k=0 amely összefüggés a z-transzformáció lineáris tulajdonságát megfogalmazó feltétel: két jel lineáris kombinációjának z-transzformáltja egyenlô a jelek z-transzformáltjának ugyanazon 294 lineáris kombinációjával. Eltolási tétel Keressük az f [ k ] DI jel egy idôben eltolt f [ k − n ] alakjának z-transzformáltját, ahol n egy nemnegatív egész számot jelöl. Tekintsük elôször az idôbeli késleltetést, amelyre fennáll, hogy Z { f [k − n]} = z− n F (z) (11.11) hiszen az m = k − n változó bevezetésével és f [ m] ≡ 0 ∞ (m < 0) alkalmazásával ∞ Z { f [k − n]} = ∑ f [k − n] z− k = z− n ∑ f [ k − n] z−(k − n ) = k=0 =z k=0 ∞ −n ∑ f [ m] z −m =z −n m =− n ∞ ∑ f [ m] z− m = z− n F ( z) m=0 Hasonló módon az idôbeli siettetésre vonatkozó – kissé bonyolultabb -

összefüggés is származtatható: ∞ Z { f [ k + n]} = ∑ f [ k + n] z = z −k k=0 n ∞ ∑ f [k + n] z−(k + n) = k=0 n −1 n −1 n −1  ∞  ∞   = z n  ∑ f [ k + n ] z−( k + n ) + ∑ f [ k ] z− k − ∑ f [ k ] z− k  = z n  ∑ f [ k ] z− k − ∑ f [ k ] z− k  =  k = 0  k = 0   k=0 k=0 k=0 n −1   = z n  F ( z) − ∑ f [ k ] z− k  = z n F ( z) − z n f [0] − z n −1 f [1] −  − z f [ n − 1]   k=0 Szorzás egy a k alakú tényezôvel Feltéve, hogy ismerjük az f [ k ] DI jel z-transzformálját, keressük az a k f [ k ] jel ztranszformáltját: ∞ ∞ Z {a k f [ k ]} = ∑ a k f [ k ] z− k = ∑ f [ k ] ( a−1z) = F ( a−1z) k=0 −k (11.12) k=0 Figyeljük meg, hogy a fenti képlet alkalmazása során a komplex értékû is lehet, ekkor a tételt a = e− b bevezetésével Z {e − bk ∞ } ∑e f [k ] = − bk f [k ]z −k

= k=0 formában szokásos megfogalmazni. ∞ ∑ f [k ] (e b z) k=0 −k ( ) = F eb z (11.13) 295 Elemi jelsorozatok z-transzformáltja A következôkben származtassuk néhány elemi DI függvény z-transzformáltját. Egység impulzus: f [ k ] ≡ 1, k = 0, egyébként f [ k ] ≡ 0 ∞ ∞ k=0 k =1 Z { f [ k ]} = ∑ z− k f [ k ] = 1 + ∑ z− k 0 = 1 (11.14) Egységugrás: f [ k ] ≡ 1, k = 0,1,2, és f [ k ] ≡ 0 k < 0. Alkalmazzuk a geometriai sor összegképletét, ekkor a z > 1 konvergencia tartomány mellett: ∞ ∞ Z { f [ k ]} = ∑ z f [ k ] = ∑ z− k 1 = −k k=0 k=0 1 z = −1 z −1 1− z (11.15) Egység sebességugrás: f [ k ] ≡ kTs , k = 0,1,2,. Ismét a z > 1 konvergencia tartomány mellett: ∞ ∞ k=0 k=0 Z { f [ k ]} = ∑ z− k f [ k ] = ∑ z− k kTs = Ts z−1 (1 + 2 z−1 + 3z−2 + ) = = Ts z −1 1 ( 1 − z−1 ) 2 = (11.16) Ts z (z − 1) 2 Hatványfüggvény: f [ k ] ≡ a k , k =

0,1,2, és a komplex konstans. A z > a konvergencia tartomány mellett: ∞ ∞ Z { f [ k ]} = ∑ z f [ k ] = ∑ z− k a k = −k k=0 k=0 1 z = −1 z−a 1 − az (11.17) A fenti összefüggés az a k tényezôvel való szorzásra levezetett tétel alkalmazásával közvetlenül is adódik: Z {a[k ]} = Z {a[k ]1[k ]} = z a−1z 1 = −1 = z − 1 z := a−1z a z − 1 1 − az−1 Exponenciális függvény: f [ k ] ≡ e − akTs , k = 0,1,2,. A hatványfüggvényre származtatott összefüggést felhasználva a z > e− aT s konvergencia tartomány mellett: ∞ ∞ Z { f [ k ]} = ∑ z f [ k ] = ∑ z− k e− akTs = k=0 −k k=0 1 1− e − aT s −1 z = z z − e− aT s (11.18) 296 Szinusz függvény: f [ k ] ≡ sin(ωkTs ), k = 0,1,2,. Az exponenciális függvényre származtatott összefüggést és a sin(ωkTs ) = ( 1 jωkTs − jωkTs e −e 2j ) (11.19) azonosságot felhasználva a z > 1 konvergencia tartomány mellett: ∞

Z { f [ k ]} = ∑ z− k sin(ωkTs ) = k=0 z sin(ωTs ) (11.20) z 2 − 2 zcos(ωTs ) + 1 Eredményeinket, néhány további idôfüggvény z-transzformáltjával kiegészítve, a 11.1 táblázatban foglaltuk össze A táblázat használatával kapcsolatban egy fontos megjegyzést kell tennünk. A táblázat négy oszlopot tartalmaz, de egyértelmû leképzés csak az f ( t) ↔ F ( s) illetve az f [ k ] ↔ F ( z) párok között létezik. Adott f ( t) FI jelet mintavételezve ugyan mindig a táblázatbeli F ( z) transzformáltat kapjuk, azonban adott F ( z) transzformáltból kiindulva csak olyan idôfüggvényt tudunk visszaállítani, amely a mintavételi pontokban meghatározott értékû, így e mintákra végtelen sok, a mintavételi pontok között eltérôen viselkedô FI jelet illeszthetünk. 11.1 táblázat Néhány idôfüggvény LAPLACE és z -transzformáltja F ( s) f ( t) f [ k ] = f ( kTs ) F ( z) 1 δ( t ) δ[ k ] 1 1 s 1( t) 1[ k ] z z −1 1 s+ a

e− at e− akTs z z − e−T s 1 s2 t kTs Ts z 1 (s + a) 2 te − at (z − 1) 2 kTse− akTs (z − e−aT ) s 1 s3 t2 (kTs ) 2 b−a (s + a)(s + b) e− at − e− bt e− akTs − e− bkTs ω s + ω2 sin(ωt) sin(ωkTs ) s s2 + ω 2 cos(ωt) cos(ωkTs ) 2 Tse− aT s z 2 Ts2 z ( z + 1) (z − 1) 3 (e−aT s ) − e− bT s z (z − e−aT )(z − e−bT ) s s z sin(ωTs ) z 2 − 2 zcos(ωTs ) + 1 z 2 − z cos(ωTs ) z 2 − 2 z cos(ωTs ) + 1 297 Inverz z-transzformáció Legyen egy f [ k ] DI jel z-transzformáltja F ( z) . Most arra a kérdésre keressük a választ, hogy F ( z) ismeretében hogyan tudjuk meghatározni az f [ k ] jelet. Ez a feladat az inverz ztranszformáció Az elvi választ a korábban már említett f [ k ] = Z −1{F ( z)} = 1 F ( z ) z k −1dz ∫ 2πj R (11.21) 2 formula adja. A gyakorlatban a következô három módszer egyikét alkalmazhatjuk: Polinomiális osztás Legyen F ( z) = 10 z [( z − 1)( z

− 0.2)] A számlálóbeli és nevezôbeli polinomok osztásával az f [0] , f [1], f [2], együtthatókat folyamatosan, az osztás eredményeképpen adódó együtthatók leolvasásával kaphatjuk meg: (10z):(z 2 − 1.2z + 02) = f [0] + z-1 f [1] + z-2 f [2] + Az osztás elsô néhány lépését elvégezve az elsô néhány értékre f [0] = 0, f [0] = 10, f [2] = 12, f [ 3] = 12.4 adódik A módszer nem igazán hatékony, ráadásul CAD eszközök birtokában jóval gyorsabban juthatunk a numerikus értékek birtokába. A diszkrét idejû impulzusválasz számítása Az adott F ( z) z-transzformáltat egy impulzusátviteli függvénynek (lásd késôbb) felfogva, annak kimenetét Y ( z) = F ( z)U ( z) (11.22) szerint tudjuk számítani. Amennyiben a bemenôjel egy DI egységimpulzus, akkor U ( z) = 1, és ennek következtében Y ( z) = F ( z) . Természetesen ismét a korábbi módszerrel adódott értékeket kapjuk. Részlettörtekre bontás A módszer lényege, hogy

olyan elemi részek összegére bontjuk fel az F ( z) függvényt, amely elemi összetevôk inverze vagy közvetlenül kiolvasható a z-transzformációs táblázatból vagy valamelyik z-transzformációs tulajdonság alkalmazásával határozható meg. Figyeljük meg a táblázatban F ( z) felépítését. Annak érdekében, hogy a részlettörtek számlálójában biztosítsuk a z tényezô megjelenését, a részlettörtekre bontást F ( z) c o c c2 cn = + 1 + + + z z z − p1 z − p2 z − pn szerint végezzük el (egyszeres pólusokat feltételezve). Például legyen: F ( z) 12.5 125 = − . z z − 1 z − 0.2 (11.23) 298 Innen 12.5 z 125 z  f [ k ] = Z −1{F ( z)} = Z −1  −  = 12.5 1 − 02 k , k = 0,1,2,  z − 1 z − 0.2  ( ) Vegyük észre, hogy a részlettörtekre bontás viszonylag bonyolult számításainak eredményeképpen a kapott megoldás analitikus, tehát f [ k ] értékét tetszôleges k ≥ 0 értékre közvetlenül meg

tudjuk határozni. Komplex pólusok kezelése Még az elôzôkben feltételezett egyszeres pólusok eseténél is bonyolultabb a kiértékelés, ha F ( z) pólusai komplex értékûek. 11.1 Példa Tekintsük az alábbi rendszert: F ( z) ) = z3 + 1 z3 − z2 − z − 2 A részlettörtekre bontás az alábbi alakra vezet: F ( z) c c 0.5 0643 =− + + − , z z z−2 z− p z− p ahol c = 0.429 + j 00825 és p = −05 − j 0866 , továbbá c és p a megfelelô komplex konjugáltakat jelölik. A részlettörtes alak utolsó két tagját összevonva a transzformációs táblázat alkalmazásával egy szinuszos és egy koszinuszos tagot kapunk. Egy másik lehetséges módszer e két tag egyetlen koszinuszos tagként való meghatározására a következô: f [ k ] = −0.5 δ[ k ] + 0643 (2) + c ( p) + c ( p) = k k k   4π k = −0.5 δ[ k ] + 0643 (2) + 0873 cos k + 1089    3 mivel elemi trigonometriai azonosságok következtében c ( p) + c ( p) = 2C σ k cos

(Ωk + Θ) , k k ahol c = Ce jΘ és p = σe jΩ . Többszörös pólusok kezelése 11.2 Példa Többszörös pólusokkal kapcsolatban egy egyszerû példa vizsgálatára szorítkozunk. Legyen F ( z) = 6z 3 + 2z 2 − z . z3 − z2 − z + 1 A részlettörtes alak struktúráját ismét F ( z) pólusai határozzák meg. Jelen esetben a pólusok 299 p1,2 = 1 és p3 = −1, tehát a p1,2 = 1 kétszeres pólus. Ennek megfelelôen a részlettörtes alak F ( z) 5.25 3.5 0.75 = + + 2 z z − 1 ( z − 1) z +1 Figyeljük meg, hogy a részlettörtes alakban a kétszeres pólus egyszeres és kétszeres formájában is szerepel. A visszatranszformálás ezekután: f [ k ] = 5.21(1) + 35 k + 075 (−1) , k = 0,1,2, k k Általános módszer egyszeres pólusokra Amennyiben adott a FI jel LAPLACE-transzformáltja az F ( s) = Fz ( s) Fp ( s) alakban (itt Fz és Fp a számláló és nevezô polinomjai), akkor a jel z-transzformáltját az alábbi általános egyenlet szolgáltatja n Fz

( pi ) Fz ( pi ) z 1 = F ( z) = ∑ ∑ p T p i s i T s z −1 F p F p i = 1 p′( i ) z − e i = 1 p′( i ) 1 − e n (11.24) Egyszeres pólusokra fennáll a kifejtési tételekben használt egyszerû reziduum számítási technika 1 1 = lim ( s − pi ) Fp′( pi ) s p i Fp ( s) (11.25) ami megkönnyíti F ( z) kiértékelését. A módszer gyakorlati megvalósítása azt jelenti, hogy a nevezôt gyöktényezôs alakban kell ismerni. A képlet szummájának az adott pólusra vonatkozó összetevôjét úgy számítjuk ki, hogy az adott ( s − pi ) pólus tényezôt letakarjuk és az F ( s) maradó részébe helyettesítjük be pi -t. Végértéktételek A végértéktételek F ( z) ismeretében f [0] illetve lim f [ k ] közvetlen, inverz z-transzformációt k ∞ nem igénylô kiértékelését szolgáltatják. Kezdeti érték tétel ( k 0) A z-transzformáció definíciójából kiindulva Z { f [ k ]} = ∞ ∑ z − k f [k ] = f [0] + z −1 f [1] + z −2 f [2] + 

k=0 látható, hogy f [0] értéke a z ∞ feltétellel választható le a végtelen sorból: f [0] = lim F ( z) . z ∞ (11.26) Végérték tétel ( k ∞) Az alapgondolat az f [ k ] sor "utolsó" elemének leválasztása az eredeti és a késleltetett sor 300 különbségének képzésével: { } lim f [ k ] = lim F ( z) − z −1F ( z) = ( f [0] + f [1] + f [2] + ) − ( f [−1] + f [0] + f [1] + ) k ∞ z1 Továbbra is pozitívidô függvényeket feltételezve ( f [ k ] = 0, k < 0) a fentiek alapján {( ) } lim f [ k ] = lim 1 − z −1 F ( z) . k ∞ z1 (11.27) 11.4 Mintavételes rendszerek leírása az idô-, az operátoros és a frekvenciatartományban A FI rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy a zárt szabályozási rendszerek analíziséhez és tervezéséhez egyaránt absztrakt rendszerleírásra van szükségünk. Mintavételes rendszerek esetén zérusrendû tartószervet feltételezve a szabályozott szakasz bemenetének és

mintavett kimenetének értéke csak a mintavételi idôpontokban változik. Célszerû tehát egy olyan matematikai leírást, másszóval modellt létrehoznunk, amely a FI szakasz viselkedését közvetlenül a mintavételi pontokban írja le, szükségtelenné téve a fizikai mintavételezési folyamat megismétlését, azaz a folytonos idôfüggvények mindenkori elôállítását és mintavételezését. Egy FI folyamat DI viselkedésének leírását a továbbiakban diszkretizálásnak fogjuk nevezni. A számos megközelítési lehetôség közül az állapotteres leírást választjuk kiindulópontként, majd ebbôl az alakból két további leírásmódot, az impulzusátviteli függvény alakot és a differencia egyenlet alakot is fogjuk származtatni. Ez a leírási hármas összhangban van azzal a hármassal, amelyet a FI rendszerek tárgyalásánál is használtunk (állapottér, differenciálegyenlet, átviteli függvény). Állapotteres modell Legyen a Ts mintavételezési

idô mellett diszkretizálni kívánt FI rendszer LTI állapotteres modellje (lásd (3.10)-t): ẋ ( t) = A x ( t) + b u( t) (11.28) y ( t) = c T x ( t) + d u( t) Az állapotegyenlet megoldása a to kezdeti idôpontra és az x ( to ) kezdeti állapotvektorra támaszkodva a FI rendszereknél tárgyaltak szerint (3.21) x ( t) = e A( t − t o ) t x ( to ) + ∫e to A( t − τ ) b u( τ) d τ = e A( t − t o ) t  A( t − τ )  x ( to ) + ∫ e u( τ) d τ b t  o  (11.29) Feltéve, hogy diszkretizált modellünket egy zérusrendû tartószerv elôzi majd meg abban a környezetben, ahol a modellt alkalmazni kívánjuk (egyszerûbben szólva feltételezve, hogy a modellünk bemenete lépcsôs függvény: lásd késôbb az SRE transzformáció (11.68) egyenletét), végezzük el az integrálást a k -adik és a ( k + 1) -edik mintavételezési idôpillanat közötti idôtartományra (a kezdeti idôpont tehát to = k Ts ): 301 x ( kTs + Ts ) = e

AT s x ( kTs ) + kT s +T s ∫ e A( kTs +T s − τ ) b u( τ ) d τ = kT s =e AT s x ( kTs ) + b u( kTs ) kT s +T s ∫ e A( kT s +T s − τ ) dτ =e kT s AT s Ts   Aλ  x ( kTs ) + u( kTs ) ∫ e d λ b   0   A fenti átalakításoknál figyelembe vettük, hogy u(τ) = állandó a mintavételezési periódusban [kTs ≤ τ < (k + 1)Ts ] , nevezetesen u( τ) = u(kTs ) , továbbá az integrál egyszerû kiértékeléséhez bevezettük a λ = kTs + Ts − τ változót. Korábbi x ( kTs + Ts ) = x [ k + 1] , x ( kTs ) = x [ k ] és u( kTs ) = u[ k ] jelöléseinket alkalmazva írhatjuk, hogy x [ k + 1] = e AT s T s  Aλ  x [ k ] + ∫ e d λ b u[ k ] ,   0  (11.30) illetve bevezetve a diszkretizált modell Ts F=e AT s és g = ∫ e Aλ d λ b (11.31) 0 paraméter mátrixait, a diszkretizált rendszer állapotegyenlete x [ k + 1] = F x [ k ] + g u[ k ] . Megjegyezzük, hogy amennyiben az A mátrix

invertálható, a g vektor kifejezésében az ( ) integrálás elvégezhetô és a g = A−1 e AT s − I b zárt összefüggést kapjuk. A FI állapotmodell y ( t) = c T x ( t) + d u( t) kimeneti egyenletének diszkretizált alakja a t = kTs helyettesítés után közvetlenül adódik y ( kTs ) = c T x ( kTs ) + d u( kTs ) illetve a diszkrétidejûséget jobban szemléltetô formalizmussal: y [ k ] = c T x [ k ] + d u[ k ] (11.32) A DI állapotmodellünket tehát az x [ k + 1] = F x [ k ] + g u[ k ] (11.33) állapot differencia egyenlet és a (11.32) kimeneti egyenlet határozza meg k = 0,1, 2, értékekre A kapott modellt a FI állapotteres modellel összevetve jegyezzük meg, hogy az állapot differencia egyenlet paraméter mátrixait a (11.31) szerint kell származtatnunk a FI rendszer paraméter mátrixaiból, míg a kimeneti egyenlet paraméterei ( c T és d) azonosak a FI és a DI rendszerben. Az F mátrix elnevezése állapotátmeneti mátrix, zérus bemenet esetén

ugyanis a rendszer állapotátmenetét a k -adik és a ( k + 1) -edik lépés között 302 x [ k + 1] = F x [ k ] (11.34) szerint éppen az F mátrix elemei vezérlik. 11.3 Példa Vizsgáljuk meg a diszkretizálás során elvégzendô mûveletek jellegét és a mintavételi idôtôl való függés megjelenését az összefüggésekben. Az állapotmodell diszkretizálását egy másodrendû példával illusztráljuk az alábbiakban. Legyen a FI rendszerünk egy kettôs integrátor, válasszuk meg az állapotokat a 11.15 ábrának megfelelôen 11.15 ábra Kettôs integrátor Az állapotegyenletek: x˙ 1 ( t) = x 2 ( t) x˙ 2 ( t) = u( t) A FI állapotmodell:  x˙ ( t) 0 1  x1 ( t) 0 x˙ ( t) =  1  =   +  u( t) = A x ( t) + b u( t) ,  x˙ 2 ( t) 0 0 x 2 ( t) 1 ebbôl következôen F = e AT s = e  0 1  T s  0 0 . A mátrix exponenciális függvény kiértékelésére alkalmazzuk az e AT s =

I + ATs + 1 2 2 A Ts +  2 sorbafejtést (3.20) és (326) Esetünkben A k = 0 ( k ≥ 2), így e AT s = I + ATs + 1 0 0 Ts  1 Ts  1 2 2 A Ts +  = I + ATs =  + =  2 0 1 0 0  0 1  és Ts g= ∫e 0 Aλ Ts dλ b = ∫ 0 1 λ 0   dλ   = 0 1 1 T 2 / 2 λ ∫ 1 d λ =  s T  s 0 Ts Magasabb fokszámú rendszerek esetén természetesen CAD eszközöket használunk a számítások elvégzésére. Az állapot differencia egyenlet megoldását x [0] kezdeti érték mellett a k = 0,1, 2, idôpillanatokra a jelek és rendszerek elméletébôl jól ismert 303 x [ k ] = F x [0] + k k −1 ∑ F k− m−1g u[m] (11.35) m=0 összefüggés szolgáltatja, ahol az elsô tag a kezdeti értéktôl függô komponens, míg a második tag a 0,1, , ( k − 1) idôpillanatbeli bemeneti minták súlyozott összege. A fenti megoldásban az F

állapotátmeneti mátrix kulcsszerepet játszik. A késôbbiekben látni fogjuk, hogy egy mintavételes rendszer karakterisztikus tulajdonságait (így a stabilitását is) az F állapotátmeneti mátrix határozza meg. Az eltolási operátor alkalmazásán alapuló bemeneti-kimeneti modellek A bemeneti-kimeneti modelleket a bemenôjel és kimenôjel közötti kapcsolat leírására szolgáló operátorok szerint fogjuk sorravenni. A diszkretizált állapotteres leírásból kiindulva elôször egy szemléletes megközelítést, az egylépéses eltolási operátor alkalmazásán alapuló modellezést mutatjuk be, amely közvetlenül támogatja a differencia egyenlet formájában történô tárgyalást is. A FI rendszerek tárgyalásakor láttuk, hogy egy differenciálegyenletével vagy átviteli függvényével adott bemeneti-kimeneti modellhez végtelen sok ún. input-output ekvivalens állapotteres modell tartozik, egy adott állapotteres modellbôl viszont egyetlen

bemeneti-kimeneti modell állítható elô. Ez a tulajdonság a DI rendszerekre is igaz, ennek belátására elôször vezessünk be egy eltolási operátort az alábbiak szerint: qx [ k ] = x [ k + 1] (k = ,-1,0,1,) (11.36) A q operátor funkcióját tekintve egy siettetô operátor, amelynek argumentuma egy skalár vagy vektor értékû DI x [ k ] jelsorozat. Egy jelsorozatra a q operátort alkalmazva a jelsorozat egy lépéssel siettetett verzióját állítjuk elô. Az eltolási operátor ismételt alkalmazásával egy sorozatot több lépéssel is eltolhatunk a pozitív mintavételezési pillanatok irányába, m lépés esetén a teljes operációra a q m x [ k ] = x [ k + m] (k = ,-1,0,1,) (11.37) jelölést alkalmazzuk. Késleltetést a q operátor inverzének alkalmazásával valósíthatunk meg: q−1x [ k ] = x [ k − 1] (k = ,-1,0,1,) (11.38) illetve q− m x [ k ] = x [ k − m ] (k = ,-1,0,1,) (11.39) A q−1 operátort késleltetési

operátornak hívjuk. A q operátort alkalmazva a diszkretizált állapotmodell x[ k + 1] = q x[ k ] = Fx[ k ] + g u[ k ] y[ k ] = c T x[ k ] + d u[ k ] (11.39) alakban írható fel. Az állapot differencia egyenletbôl x [ k ] -t kifejezve −1 x [ k ] = (qI − F ) g u[ k ] (11.40) 304 adódik, amelynek segítségével a kimeneti egyenlet az [ −1 −1 ] y [ k ] = c T (qI − F ) g u[ k ] + d u[ k ] = c T (qI − F ) g + d u[ k ] (11.41) formát ölti. Vezessük be az alábbiak szerint a kimeneti jelsorozat függését a bemeneti jelsorozattól: [ ] −1 y[ k ] = G(q) u[ k ] = c T (qI − F ) g + d u[ k ] (11.42) Itt a G(q) racionális törtfüggvényt impulzusátviteli operátornak fogjuk nevezni. A G(q) kifejezését diszkutálva látható, hogy G(q) szabályos racionális törtfüggvény, hiszen −1 G(q) = c T (qI − F ) g + d = c T adj (qI − F ) B (q) , g+d= A (q) det (qI − F ) (11.43) ahol det (qI − F ) és c T adj (qI − F ) g egyaránt a q

operátor valós együtthatós polinomja, így G(q) két polinom A (q) = det (qI − F ) = q n + a1q n − 1 +  + an (11.44) B (q) = boq n B + b1q n B − 1 +  + bn B hányadosaként írható fel. A bevezetett A(q) és B (q) polinomok fokszámát illetôen megjegyezzük, hogy n az állapotváltozók száma, n B pedig a B (q) polinom fokszáma, amelyre fennáll az n B ≤ n reláció. Ha d = 0, ami az esetek döntô többségében teljesül, a (1143) szigorúan szabályos racionális törtfüggvény, így célszerûbb (11.44) helyett a ( ) ( ) (11.45) A (q) = det (qI − F ) = q n + a1q n −1 +  + an = q n 1 + a1q−1 +  + an q− n = q n A q−1 ( ) ( ) B (q) = b1q n -1 + b2q n − 2 +  + bn = q n b1q−1 + b2q−2 +  + bn q− n = q n B q−1 jelöléseket használni. Hasonlóan a FI rendszereknél bevezetett terminológiához, az A(q) = 0 egyenlet gyökeit pólusoknak, a B (q) = 0 egyenlet gyökeit pedig zérusoknak hívjuk. A bevezetett polinomok

alapján, továbbá felhasználva az eltolási operátor közvetlen idôtartománybeli jelentését, egyszerûen származtatni tudjuk a DI rendszer egy további modelljét, a rendszert leíró differencia egyenletet. A korábbiak szerint y[ k ] = G(q) u[ k ] = B (q) u[ k ] A (q) (11.46) ahonnan A (q) y[ k ] = B (q) u[ k ] majd tovább részletezve az operátoros (11.47) 305 (qn + a1qn −1 +  + an ) y[k] = (b1qn-1 + b2qn − 2 +  + bn ) u[k] (11.48) egyenletet, az y[ k + n ] + a1 y[ k + n − 1] +  + an y[ k ] = b1u[ k + n - 1] + b1u[ k + n − 2] +  + bn u[ k ] bemeneti-kimeneti differencia egyenletet kapjuk. Osszuk el (1148) mindkét oldalát q n -nel, ekkor az (1 + a1q−1 +  + anq− n ) y[k] = (b1q−1 + b2q−2 +  + bnq− n ) u[k] (11.49) operátoros egyenlet adódik, amelynek az y[ k ] = b1u[ k -1] + b1u[ k − 2] +  + bn u[ k − n ] − a1 y[ k − 1] −  − an y[ k − n ] (11.50) bemeneti-kimeneti differencia egyenlet felel meg. Ez

az összefüggés egy további fontos interpretációját jelenti a (11.46) összefüggésnek Ez az egyenlet ugyanis nem más, mint egy rekurzív formula a DI kimenôjel elôállítására. Jól láthatóan a rekurzív alakhoz a (1145) polinomjainak a q −1 -szerint rendezett alakjait használtuk fel közvetlenül. Ezért a G(q) ekvivalens B (q −1 ) ( ) G(q ) = = A (q −1 ) 1 + Ã (q −1 ) −1 B q −1 (11.51) alakját szûrô alaknak is nevezik. A (1151) alapján ugyanis mindig egyszerûen fel tudjuk írni a rekurzív (11.50) egyenletet ( ) ( ) ˜ q −1 y[ k ] = y[ k ] = B q −1 u[ k ] − A = b1u[ k - 1] + b1u[ k − 2] +  + bn u[ k − n ] − a1 y[ k − 1] −  − an y[ k − n ] (11.52) amely lineáris az {ai ;bi } paraméterekben és igen könnyen realizálható számítógépes környezetben. 11.4 Példa Nézzük meg, hogyan alakul a fentiekben származtatott G(q) bemeneti-kimeneti modell a 11.3 példában korábban levezetett diszkretizált kettôs

integrátor esetén ( Ts = 1 választás mellett): G(q) = c T (qI − F) −1 q − 1 −1 −1 0.5 05(q + 1) 05q + 05 g + d = [1 0]  = 2   = q − 1  1  (q − 1) 2 q − 2q + 1  0 A rendszer mindkét pólusa pd1, 2 = 1 értékû, míg a rendszer egyetlen zérusa zd = −1. 306 A z-transzformáció alkalmazásán alapuló modellezés A z-transzformáció egy DI jelsorozatra értelmezett mûvelet, nevezetesen egy f [ k ] (k = 0,1,2,.) jelsorozat z-transzformáltja definíció szerint ∞ Z { f [k ]} = ∑ z− k f [k ] = f [0] + z−1 f [1] + z−2 f [2] + , (11.53) k=0 ahol a z változó a z-transzformáció komplex változója, melynek kapcsolata a LAPLACE -transzformáltak körében használt s komplex frekvencia változóval egyszerûen megmutatható. Alapelvként abból indulunk ki, hogy olyan diszkretizálását keressük egy FI rendszernek, amelynek matematikai mintavételezése során keletkezô impulzus sorozatok

mérôszámai megegyeznek a diszkretizált rendszer mintavett értékeivel. Ezt az alapelvet impulzus invariancia névvel illeti a hibrid rendszerek elmélete. Tekintsük egy FI f ( t) jel matematikailag mintavételezett alakját: f * ( t) = ∞ ∑ f (mTs ) δ(t − mTs ) , (11.54) m=0 majd ezen impulzus sorozat LAPLACE transzformáltját:  ∞  L { f * ( t)} = L  ∑ f ( mTs ) δ( t − mTs ) = f (0) + f (Ts ) e− sTs + f (2Ts ) e−2 sTs +   m = 0  Megjegyezzük, hogy a matematikailag mintavételezett f * ( t) jel diszkrét idejû. Az impulzus invariancia elvnek való megfelelés tehát az L { f * (t)} = Z { f [k ]} (11.55) egyenlet formájában fogalmazható meg, amibôl f (0) + f (Ts ) e − sT s + f (2Ts ) e −2 sT s +  = f [0] + z −1 f [1] + z −2 f [2] + , adódik, ami a transzformációs változók között a z = e sT s (11.56) kapcsolat fennállását jelenti. A z = e sT s összefüggés fontosságát hangsúlyozandó

könnyen belátható, hogy a FI rendszerek s = σ + jω komplex frekvenciatartománybeli stabilitási tartományát (bal oldali félsík) a z = e sT s leképzés a z-síkon egy egységsugarú kör belsejébe viszi át, hiszen az s = jω, (-∞ < ω < ∞) egyenes a z = e jωT s egységsugarú körré képzôdik le, továbbá a növekvô frekvenciák irányában haladva balkéz felé esik a stabilitási tartomány. Pontosabban a bal oldali stabilis s félsík − π Ts < ω < π Ts fô tartományát (a többi sávban az exponenciális függvény sajátosságai miatt ugyanis az értékek periodikusan ismétlôdnek) a mintavételezés az egységsugarú kör belsejébe képezi le. Az s-síkon a negatív valós tengellyel párhuzamos két egyenest ± j π Ts a transzformáció egy egyenesbe, a z -sík negatív valós tengelyébe vetíti. A z -sík negatív valós tengelyére esnek tehát a SHANNON-féle mintavételezési 307 törvény határesetének megfelelôen

mintavételezett pólusok. Egyszerû alaptagoknak megfelelô DI modell számítható a FI operátornak a mintavételezett jel sorozatán értelmezett közelítésével. Tekintsük elôször az egyszerû differenciálás esetét Hátratartó (backward) differencia: d y y[ k ] − y[ k − 1] 1 − z = ≈ dt Ts Ts −1 y[ k ] (11.57) közelítés alapján a H D ( s) = s differenciáló operátor DI megfelelôje z − 1 1 − z −1 GD ( z) = = . Ts z Ts (11.58) Elôretartó (forward) differencia: d y y[ k + 1] − y[ k ] z − 1 1 − z −1 = ≈ y[ k ] = y[ k ] , dt Ts Ts Ts z −1 (11.59) amelybôl a H D ( s) = s differenciáló operátor DI megfelelôje GD ( z) = z − 1 1 − z −1 = . Ts Ts z −1 (11.60) Tekintsük most az egyszerû integrálás esetét: H I ( s) = 1 s . Jobb oldali téglalap szabály: t k k 0 i=0 i=0 y ( t) = ∫ u(τ) d τ ≈ ∑ u(i) Ts = Ts ∑ u(i) = y[ k ] = y[ k − 1] + Ts u[ k ] , (11.61) amelybôl a következô rekurzív

összefüggés nyerhetô ( ) y[ k ] − y[ k − 1] = 1 − z −1 y[ k ] = Ts u[ k ] . (11.62) Tehát GI ( z) = Ts Ts z −1 = z − 1 . 1− z (11.63) Bal oldali téglalap szabály: t k k 0 i=0 i=0 y ( t) = ∫ u(τ) d τ ≈ ∑ u(i) Ts = Ts ∑ u(i) = y[ k ] = y[ k − 1] + Ts u[ k − 1] , amelybôl a következô rekurzív összefüggés nyerhetô (11.64) 308 y[ k + 1] − y[ k ] = ( z − 1) y[ k ] = Ts u[ k ] . (11.65) Tehát GI ( z) = Ts T z −1 = s −1 . z − 1 1− z (11.66) Visszaidézve a FI szabályozási rendszerek módszertanát, a LAPLACE transzformációs technika alkalmazhatósága döntôen a különbözô átviteli függvények bevezetésén keresztül érvényesült. Amennyiben a DI rendszerek tekintetében hasonló szerepet szánunk a z-transzformáltaknak, elôször z-transzformáltakat használó átviteli függvényeket, az ún. impulzusátviteli függvényeket kell bevezetnünk két z-transzformáltjával adott jel hányadosaként.

Továbbmenve, olyan elrendezésben kell gondolkodnunk, amelyben a bemeneti és a kimeneti oldalon is DI jelek jelennek meg. Ez azt jelenti, hogy az eddigiekben lépcsôsnek feltételezett bemenôjelek helyett most magát a tartószervet is figyelembe kell vennünk, hiszen ez az egység, amelynek DI a bemenete. Az u[ k ] DI bemenettel és y [ k ] DI kimenettel rendelkezô rendszer blokkvázlata a 11.16 ábrán látható 11.16 ábra Zérusrendû tartószervvel és mintavételezôvel kiegészített FI tag DI blokkvázlata A diszkretizált rendszert leíró impulzusátviteli függvény (zérus kezdeti feltételek mellett) G( z) = Z { y [ k ]} . Z {u[k ]} (11.67) Tetszôleges bemenôjel esetén a kimenôjel mintavételezett értékei { y [ k ] = Z y ( t) t = kT s } = Z {L −1 [Y (s)]t= kTs } = Z {L −1[U (s)H (s)]t= kTs } (11.68) szerint számíthatók. Látható, hogy a kifejezés kiértékelése bemenôjelfüggô, másszóval általános összefüggés származtatása

helyett csupán bizonyos bemenôjel osztályra ekvivalens DI modell létrehozásáról beszélhetünk. Tûzzük ki célul egységugrás ekvivalens (SRE: Step Response Equivalent) DI modell megalkotását. Ekkor u[ k ] DI egységugrás és u( t) FI egységugrás, tehát     −1 H ( s) y [k ] = Z  L  .   s t = kTs   (11.69) vagyis megköveteljük, hogy a FI és a DI modell a mintavételezési idôpontokban pontosan ugyanazt az értéket adja ugrás alakú gerjesztés esetén. Vegyük észre, hogy az inverz LAPLACE transzformáció éppen a FI folyamat átmeneti függvényét (egységugrásra adott válaszát) állítja elô: H s  L −1 ( )  = v ( t) ,  s  (11.70) 309 melynek mintavett értékei  H ( s)  v [ k ] = L −1 ,   s t = kTs (11.71) így a keresett DI modell G( z) = Z {v [k ]} Z {v [ k ]} z − 1 = = Z {v [k ]} = (1 − z−1 )Z {v [ k ]} . z z Z {u[k ]} (11.72) z −1

Megjegyezzük, hogy a fenti fontos összefüggés némi pontatlansággal ( G( z) = 1 − z−1 ) Z  Hs(s)    (11.73) alakban is megtalálható számos anyagban. Bár a kifejezés kompakt és formailag kifejezô, matematikailag helytelen és nem is értelmezhetô, hiszen egy LAPLACE transzformáltnak közvetlenül nem létezik z-transzformáltja. A korrekt eljárás a folytonos idôtartományba való visszatérésnek megfelelô inverz LAPLACE transzformáció elvégzése, majd a kapott FI függvény mintavételezése a t = kTs behelyettesítés szerint. Az SRE transzformáció elvileg megegyezik azzal az alapesettel, amikor zérusrendû tartószervet alkalmazunk a zárt körben. Itt ugyanis az egyes mintavételi idôpontok között mindig ugrás alakú gerjesztés lép fel. Hasonló módszerrel számíthatjuk ki a sebességugrás ekvivalens (RRE: Ramp Response Equivalent) DI modell összefüggéseit az   H ( s)  y [ k ] = Z  L −1 2   s

t = kTs   .  (11.74) egyenlôség biztosításával. Az RRE transzformáció elvileg megegyezik azzal az alapesettel, amikor elsôrendû tartószervet alkalmazunk a zárt körben. Itt ugyanis az egyes mintavételi idôpontokban között mindig sebességugrás alakú gerjesztés lép fel. 11.5 Példa Alkalmazzuk a kapott eredményeket és határozzuk meg a FI kettôs integrátor egységugrás ekvivalens DI z-transzformációs modelljét. A kettôs integrátor ámeneti függvénye v ( t) = t2 2 (t ≥ 0) , (11.75) így mintavételezés után v [k ] = (kTs ) 2 2 (k ≥ 0) , majd a z-transzformáció eredményeképpen (11.76) 310 Ts2 z ( z + 1) , Z {v [ k ]} = 2 ( z − 1) 3 (11.77) végül ( G( z) = 1 − z−1 ) Z {v[k]} = z −z 1 Z {v[k]} = z −z 1 T2s 2 z ( z + 1) (z − 1) 3 = Ts2 ( z + 1) . 2 ( z − 1) 2 ( (11.78) ) Ts = 1 választás mellett G( z) = ( z + 1) 2( z − 1) = (0.5 z + 05) z 2 − 2 z + 1 2 Figyeljük meg a G(q)

impulzusátviteli operátorral és a z-transzformációs technikával kapott eredmények formai azonosságát. Miután a z-transzformációs összefüggések a z -vel való szorzást sietésnek, a z−1 -gyel való szorzást késleltetésnek értelmezik, ezért általánosan is igaz, hogy a G( z) impulzusátviteli függvényt meghatározva, a G(q) impulzusátviteli operátor z = q helyettesítéssel megkapható. A formai egyezés ellenére legyünk tudatában annak, hogy az eltolási operátor és a z-transzformáció változója különbözô mennyiségek! Az eltolási operátor tárgyalásakor bemutatott levezetést megismételve a G( z) impulzusátviteli adj ( zI − F ) B ( z) függvény G( z) = = cT g + d alakban is felírható, ahonnan látható, hogy a det ( zI − F ) A ( z) diszkretizált rendszer karakterisztikus egyenlete det ( zI − F ) = 0, amelynek a sajátértékekre vonatkozó zi < 1 i = 1,2,.,n feltétele pedig a diszkretizált rendszer stabilitásának feltétele

11.6 Példa Vezessünk le analitikus összefüggést a H ( s) = K (1 + sT ) egytárolós tag egységugrás ( ekvivalens diszkretizált modelljére. A G( z) = 1 − z−1 ) Z {H (s) s} egyszerûsített jelölést követve esetünkben ( G( z) = 1 − z−1       ) Z  H s( s)  = (1 − z−1) Z  s(1 +KsT )  = (1 − z−1) Z  Ks − 1 +KTsT  =   −T s / T ) zKz− 1 − (1 − z−1) z − eKz−T /T = K 1 − z −ze−−T1 /T  = K 1z −− ee−T /T = K (1 − e−T / T ) z−1 b1z−1 = = ( = 1 − z−1 s s s (11.79) s 1 − e−T s / T z−1 1 + a1z−1 A 11.17 ábrán K = 5 és T = 10 esetére felrajzoltuk a FI és a DI rendszer átmeneti függvényét Ellenôrizzük az átmeneti függvény kezdeti és végértékét a korábban levezetett összefüggések felhasználásával:  z K (1 − e−T s / T )  y [0] = lim Y ( z) = lim {U ( z) G( z)} = lim  =0 z ∞ z ∞ z ∞

 z − 1 z − e−T s / T  illetve 311 {( ) } {( } ) lim y[ k ] = lim 1 − z −1 Y ( z) = lim 1 − z −1 U ( z) G( z) = k ∞ z1 z1 ( −T /T   z K 1− e s −1 = lim  1 − z z − 1 z − e −Ts / T z 1  ( ) )  = K  11.17 ábra Egytárolós rendszer FI és egységugrás ekvivalens DI modelljének átmeneti függvénye Érdekes lehet a G( z) számlálójában és nevezôjében lévô b1 és a1 együtthatók függése a T -tôl és Ts -tôl. Vezessük be az x = Ts T relatív mintavételezési idôt, amelynek segítségével ( b1 = K 1 − e − x ) (11.80) a1 = −e − x Most még könnyebben ellenôrizhetjük a statikus átviteli tényezôt: G( z = 1) = K . A G( z) -nek a pólusa pedig p1d = − a1 = e − x . 11.7 Példa Másodrendû FI alaptag SRE transzformációjának levezetése jóval hosszadalmasabb az elsôrendûnél, néha viszont szükség van az összefüggéseire. Legyen a FI rendszer konjugált komplex

póluspárja p1c,2 = a ± jb , ahol a ξ csillapítási tényezôvel és az ω o sajátfrekvenciával való jól ismert összefüggések: a = −ξω o és b = ω o 1 − ξ 2 . A DI konjugált komplex póluspár (z − p1d ) (z − p1d ) = z 2 − [2e 2aT cos (bTs )]z + e 2aT s s (11.81) alakú lesz. Diszkrét idejû rendszerek vizsgálata a frekvenciatartományban A szinuszos gerjesztésekre adott válaszok elemzésén alapuló vizsgálatok a rendszeranalízis alapvetô eszközei. Nézzük meg, milyen választ ad egy 312 B ( z) b1z n − 1 + b2 z n − 2 + . + bn G( z) = n = n −1 n−2 z + a1z + a2 z + . + an A( z) (11.82) impulzusátviteli függvénnyel jellemzett stabilis DI rendszer egy (ko)szinuszos, u[ k ] = K cos (ω o k ) alakú DI gerjesztésre. A 111 táblázat alapján U ( z) = Z{u[ k ]} = K z 2 − z cos(ω oTs ) z 2 + 2 z cos(ω oTs ) + 1 , a kimenôjel z-transzformáltja pedig Y ( z) = U ( z) G( z) = K z 2 − z cos(ω oTs ) z + 2 z cos(ω oTs ) + 1 2

G( z) = K z 2 − z cos(ω oTs ) B ( z) z + 2 z cos(ω oTs ) + 1 A ( z) 2 További átalakításokkal: z − cos(ω oTs ) Y ( z) B ( z) =K j ω T − j ω T z z − e o s z − e o s A ( z) ( )( ) A részlettörtekre bontást követôen Y ( z) V ( z) c c = + + j ω T − z A ( z) z − e o s z − e jω oT s adódik, ahol V ( z) egy n-nél alacsonyabb fokszámú polinom, a c együtthatóra pedig írhatjuk, hogy  Y ( z)  K =  = G e jω oT s c =  z − e jω oT s  2 z  z = e jω o  ( ) ( ) Miután c a c együttható komplex konjugáltja, ezért ( ) ( jω oT s  z G e jω oT s z V ( z) K  z G e + Y ( z) = + A( z) 2  z − e jω oT s z − e jω oT s  )   következtében a kimenôjel egy y tr [ k ] tranziens és egy y áll [ k ] állandósult komponens összegeként y [ k ] = y tr [ k ] + y áll [ k ] (11.83) formában írható fel. A stabilitásra tett feltételünkbôl adódóan lim y tr [ k ] = 0 , az állandósult k ∞

komponens pedig ( ) y áll [ k ] = K G e jω oT s cos (ω oTs k + Θ) , (11.84) 313 ahol ( ) ( ) G e jω oT s = G e jω oT s e jΘ . (11.85) A szinuszos gerjesztésre a stabilis DI rendszer állandósult állapotbeli válasza a gerjesztéssel azonos frekvenciájú szinuszos jel, amelynek amplitúdóját és fázisát ( ) ( ) G( z) z = e jω oTs = G e jω oT s = G e jω oT s e jΘ (11.86) értéke határozza meg. A kapott eredmény megfelel a FI rendszerek frekvenciatartománybeli vizsgálatakor származtatott összefüggésnek. Természetesen nem arról van szó, hogy egy FI rendszer és annak DI modellje azonos frekvenciafüggvénnyel rendelkezik, csupán a FI és DI frekvenciafüggvények hasonló tulajdonságait mutattuk ki. Az eddigiek alapján a mintavételes rendszereknél elég általános, hogy a G( z) impulzusátviteli függvény vagy a G(q) impulzusátviteli operátor argumentumában nem z és q, hanem z −1 ( ) ( ) illetve q −1 szerepel. A G z

−1 illetve G q −1 szûrô alakokra a G( z) és G(q) -nak a nevezôjükben lévô a z illetve q legnagyobb fokszámú taggal történô osztással juthatunk. Ezek az alakok b1 + b2 z −1 +  + bn z − ( n − 1) ) z −1 ( ( ) b1z −1 + b2 z −2 +  + bn z − n G( z ) = = = −1 −2 −n 1 + a1z −1 + a2 z −2 +  + an z − n A( z −1 ) 1 + a1z + a2 z +  + an z −1 B z −1 (11.87) illetve b1 + b2q −1 +  + bn q − ( n − 1) )q −1 ( ( ) b1q −1 + b2q −2 +  + bn q − n G(q ) = = = −1 −2 −n 1 + a1q −1 + a2q −2 +  + an q − n A (q −1 ) 1 + a1q + a2q +  + an q −1 B q −1 (11.88) Jegyezzük meg, hogy ha a FI rendszer átviteli függvénye szigorúan szabályos, akkor SRE transzformáció esetén a G( z) illetve G(q) mindig eggyel alacsonyabb fokszámú, mint a nevezô, tehát a pólustöbblet egy, függetlenül attól, hogy a FI folyamat e − sT d holtidejét a z−d ; q− d (11.89) alakok reprezentálják, ahol T

 d = int d   Ts  (11.90) Itt int {} az egészrész képzést jelöli. A z − d megfelel a (1111) általános késleltetési képletnek ( ) ( ) A fentiekben bemutatott G z −1 és G q −1 alakok számlálójában szereplô z −1 és q −1 nem tartoznak a holtidôt reprezentáló z − d és q − d tényezôkhöz. Egy reális holtidôs folyamatra tehát célszerû a 314 ( ) G z −1 = b1 + b2 z −1 +  + bn z − ( n − 1) − ( d +1) z 1 + a1z −1 + a2 z −2 +  + an z − n (11.91) impulzusátviteli függvényt feltételezni, amely az általános m H ( s) = k ∏ (s − zic ) i =1 n ∏ (s − i =1 pic ) e− sT d ; m < n (11.92) FI rendszer átviteli függvényének SRE transzformációja. A DI és FI állapotteres alakban d = 0 A zérusok transzformációja Érdekesen alakul az általános n-edrendû G( z) pólusainak és zérusainak elhelyezkedése is SRE transzformáció esetén. A pólusok transzformációja az egytárolós

tagra kapott eredmény alapján valós pólusok esetén pid = e − x i szerint alakul, ahol xi = Ts Ti . A FI rendszer pólusa: −1 Ti (Az összefüggés igaz komplex pólusokra is, de azokat célszerû konjugált páronként szerepeltetni, amelyre a transzformációs összefüggés viszont már jóval bonyolultabb.) Az exponenciális leképezés stabilis FI rendszer pólust stabilis DI rendszer pólusra képez le, tehát bal oldalit az egységsugarú kör belsejébe, labilis FI rendszer pólust pedig labilis DI rendszer pólusokra, azaz a jobb oldalit pedig a körön kívülre. A zérusok transzformációja nem követi ezt az exponenciális alakot. A G( z) -nek mindig ( n − 1) számú zérusa van Ha a FI rendszernek csak m számú stabilis zérusa van, akkor az ( n − 1) DI zérus közül m transzformációja elég jó közelítéssel a pólusokéhoz hasonlóan történik (a valódi összefüggés jóval bonyolultabb), azaz zid ≈ e − x i . A többi ( n − m − 1) zérus

transzformációja más törvényszerûség szerint történik, ezeknek ugyanis nincs FI megfelelôjük, rendszerint a negatív valós tengelyre esnek. Ha a FI rendszer átviteli függvényében a pólustöbblet nagyobb mint egy, akkor még minimumfázisú rendszerek (stabilis zérusok) esetében is mindig kell számítanunk arra, hogy az ( n − m − 1) DI rendszer zérusai között lesz (a FI nem minimum fázisú esetnek megfelelô) labilis is. Hasonlóképpen fontos észrevétel, hogy a nem egész értékû holtidô miatt is számíthatunk labilis zérusra G( z) -ben. Mivel a labilis zérusok (inverz labilitás) fontos szerepet kapnak a szabályozók tervezésekor, ezért jegyezzük meg, hogy amíg FI rendszereknél csak különleges technológiák, folyamatok rendelkeznek a nem minimumfázisú jelleggel, addig DI folyamatoknál ez általános, tehát szabályozó tervezési módszereinket erre mindig fel kell készíteni. 11.5 Az állapotegyenletek struktúrális tulajdonságai

Egy mintavételes rendszer állapotteres leírása az x [ k + 1] = F x [ k ] + g u[ k ] (11.93) állapot differenciaegyenlet és az y [ k ] = c T x [ k ] + d u[ k ] (11.94) 315 kimeneti egyenlet együttese. A rendszernek egy késleltetô elem beiktatásával kapott realizációját a 11.18 ábrán tüntettük fel d x [0] u [k ] g x [k + 1] z−1 x [k ] c T y[k ] F 11.18 ábra Diszkrét idejû rendszer állapotegyenletének blokkvázlata Az állapot differencia egyenlet a rendszer állapotváltozóinak fejlôdését, míg a kimeneti egyenlet a kimenetnek az állapotváltozóktól való függését, illetve az esetleges közvetlen bemeneti hatást írja le. A rendszer impulzusátviteli függvénye (zérus kezdeti feltételek mellett) G( z) = Z { y [ k ]} T −1 = c (qI − F ) g + d . Z {u[k ]} (11.95) A folytonos rendszereknél tapasztaltakkal egybevágóan, egy adott impulzusátviteli függvényhez végtelen sok olyan állapotteres leírást állíthatunk elô,

amelyek adott bemenetre azonos kimeneti választ generálnak (ezeket a leírásokat input-output ekvivalens leírásoknak nevezzük). Ezt az állítást verifikálandó a következôkben egy adott impulzusátviteli függvénybôl különbözô inputoutput ekvivalens állapotteres leírásokat fogunk származtatni. 11.8 Példa Legyen az impulzusátviteli függvény bo′ z 3 + b1′ z 2 + b2′ z + b3′ b1z 2 + b2 z + b3 G( z) = 3 = 3 + d, z + a1z 2 + a2 z + a3 z + a1z 2 + a2 z + a3 (11.96) alakú és végezzük el az alábbi átalakítást: b1z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 G( z) = + d, 1 + a1z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 (11.97) ekkor Y ( z) = b1z −1 + b2 z −2 + b3 z −3 U ( z) + dU ( z) . 1 + a1z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 (11.98) Figyeljük meg, hogy d értéke csak akkor különbözik zérustól, ha G( z) számlálója és nevezôje azonos fokú (a számláló fokszáma legfeljebb annyi lehet, amennyi a nevezôé). 316 Realizáljuk elôször az [( Y ( z) =

b1z−1 + b2 z−2 + b3 z−3 ) (1 + a1z−1 + a2z−2 + a3z−3 )]U (z) összefüggést, ennek kimenetéhez majd hozzá kell adnunk dU ( z) értékét. Átszorozva Y ( z) + a1z−1Y ( z) + a2 z−2Y ( z) + a3 z−3Y ( z) = b1z−1U ( z) + b2 z−2U ( z) + b3 z−3U ( z) (11.99) majd rendezve Y ( z) = [b1U ( z) − a1Y ( z)] z−1 + [b2U ( z) − a2Y ( z)] z−2 + [b3U ( z) − a3Y ( z)] z−3 (11.100) Realizáción egy olyan blokkvázlatot fogunk érteni, amely konstansokon és összeadókon kívül csak az egylépéses késleltetést megvalósító, z−1 impulzusátviteli függvényû blokkot tartalmaz. A fenti egyenletbôl látható, hogy a [b1U ( z) − a1Y ( z)] jelnek egy, a [b2U ( z) − a2Y ( z)] jelnek két, míg a [b3U ( z) − a3Y ( z)] jelnek három késleltetésen kell keresztül mennie, ebbôl kiindulva a 11.19 ábrán felrajzoltuk a keresett realizációt Az állapotváltozókat a késleltetô elemek kimenetén az ábrán bejelölt módon felvéve írhatjuk, hogy

x1 [ k + 1] = −a3 x 3 [ k ] + b3 u[ k ] x 2 [ k + 1] = x1 [ k ] − a2 x 3 [ k ] + b2 u[ k ] x 3 [ k + 1] = x 2 [ k ] − a1 x 3 [ k ] + b1u[ k ] (11.101) y [ k ] = x 3 [ k ] + d u[ k ] 11.19 ábra Megfigyelhetô kanonikus alak blokkvázlata Megjegyezzük, hogy a 11.19 ábrán az idôtartománybeli és a z tartománybeli jelölések egyszerre szerepelnek, ezáltal a realizáció egyenletei közvetlenül "leolvashatók" , hiszen ha egy késleltetô elem kimenete xi [ k ] , akkor a bemenete szükségképpen xi [ k + 1] . Az ábrán jól látható, hogy az u[ k ] és y [ k ] közötti közvetlen, dinamika nélküli csatorna csak d ≠ 0 esetén létezik. Más szavakkal ez azt jelenti, hogy egy a bemenôjelben bekövetkezô vátozás azonnali változást okoz a kimenôjelben, ha az impulzusátviteli függvény számlálójának és nevezôjének azonos a fokszáma. Ha ez a feltétel nem teljesül, a bemenôjel változása csak késôbbi lépésekben érezteti a hatását a

kimenôjelben. Végül a fentiekben származtatott egyenleteket az állapotteres leírás szerinti alakba rendezve 317  x1 [ k + 1] 0 0 −a3  b3        x [ k + 1] = x 2 [ k + 1] = 1 0 −a2  x [ k ] + b2 u[ k ] = Fo x [ k ] + g o u[ k ] x 3 [ k + 1] 0 1 −a1  b1   x1 [ k ]   y [ k ] = [0 0 1] x 2 [ k ] + d u[ k ] = c oT x [ k ] + d u[ k ] x 3 [ k ] (11.102) közvetlenül egy állapotteres leírást kapunk. Megjegyezzük, hogy a származtatott állapotteres leírás az ún. megfigyelhetô kanonikus alak (lásd az elnevezés magyarázatát a FI eset (355) alakjára). 11.20 ábra A közbensô változó elôállítása [( Írjuk fel most az Y ( z) = b1z−1 + b2 z−2 + b3 z−3 ) (1 + a1z−1 + a2z−2 + a3z−3 )] U (z) alrendszer egy másik realizációját (a d u[ k ] taggal a dinamikus alrendszer realizációját majd ismét kibôvítjük). Ehhez a

következôképpen fogunk eljárni: keresztbeszorzás után definiálunk egy közbensô változót, elôször ezt állítjuk elô a bemenôjelek segítségével, majd a v [ k ] közbensô változó segítségével a kimenetet. Legyen b1z −1 Y ( z) + b2 z −2 + b3 z −3 = 1 + a1z −1 U ( z) + a2 z−2 + a3 z−3 = V ( z) . (11.103) Tekintsük elôször az U ( z) 1 + a1z−1 + a2 z−2 + a3 z−3 = V ( z) (11.104) egyenletet, amely az idôtartományban a v [ k ] = u[ k ] − a1v [ k − 1] − a2v [ k − 2] − a3v [ k − 3] (11.105) rekurzív kifejezést szolgáltatja. A realizációt illetôen induljunk ki három sorosan kapcsolt 318 késleltetô elembôl, amely soros láncot az u[ k ] jel hajt meg (11.20 ábra) Visszatérve a ( V ( z) = Y ( z) b1z−1 + b2 z−2 + b3 z−3 ) egyenletre a kimenôjelet leíró differencia egyenlet y [ k ] = b1v [ k − 1] + b2v [ k − 2] + b3v [ k − 3] alakban fejezhetô ki az idôtartományban, így a teljes

realizáció felvázolható (11.21 ábra) Az ábra alapján a következô egyenletek írhatók fel: x1 [ k + 1] = −a1 x1 [ k ] − a2 x 2 [ k ] − a3 x 3 [ k ] + u[ k ] x 2 [ k + 1] = x1 [ k ] (11.106) x 3 [ k + 1] = x 2 [ k ] y [ k ] = b1 x1 [ k ] + b2 x 2 [ k ] + b3 x 3 [ k ] + d u[ k ] így az állapotteres modell  x1 [ k + 1] −a1 −a2 −a3  1      x [ k + 1] = x 2 [ k + 1] =  1 0 0  x [ k ] + 0 u[ k ] = Fc x [ k ] + g c u[ k ] x 3 [ k + 1]  0 0 1 0  y [ k ] = [b1 b2  x1 [ k ]   b3 ] x 2 [ k ] + d u[ k ] = c cT x [ k ] + d u[ k ] x 3 [ k ] (11.107) A fenti modellt irányítható kanonikus alaknak nevezik (lásd az elnevezés magyarázatát a FI eset (3.46) alakjára) 11.21 ábra Az irányítható kanonikus alak realizációja −1 A DI állapotteres rendszer x [ k ] = (qI − F ) g u[ k ] alakú megoldása közvetlenül mutatja, hogy az F

állapotátviteli mátrix diagonális volta esetén elkerülhetô a mátrix inverzió, következésképpen az impulzusátviteli függvény egy diagonális alakot eredményezô átalakítása elônyös struktúrára vezet. Legyen általánosan 319 n βi z −1 b1z −1 + b2 z −2 + . + bn − 1z − ( n − 1 ) , G( z) = +d=∑ −1 + d 1 + a1z −1 + a2 z −2 + . + an z − n i = 1 1 + αi z (11.108) ekkor az állapotváltozókat xi [ k + 1] = βi u[ k ] − α i xi [ k ] (11.109) szerint bevezetve a  x1 [ k + 1] −α 1 0 0 0   x1 [ k ] β1         x 2 [ k + 1]  0 −α 2 0 0   x 2 [ k ] β 2   x [ k + 1] = u[ k ] = Fd x [ k ] + gd u[ k ] (11.110) = +    0  0  0              0 0 −α n  x n [ k ] β n  x n [ k + 1]  0 állapot differencia egyenletet és az y [ k ] = [1 1  1] x [ k ] + d u[ k ] = cdT x [ k ] + d u[ k ]

(11.111) kimeneti egyenletet kapjuk. A fentiekben feltételeztük, hogy G( z) pólusai valósak és egyszeresek. A származtatott alakot párhuzamos kanonikus alaknak nevezzük, a realizációt a 11.22 ábra mutatja be Könnyen belátható, hogy Fd = diag{−α 1 , −α 2 , , −α n } mellett az x [ k + 1] = Fd x [ k ] + gd u[ k ] y [ k ] = cdT x [ k ] + d u[ k ] (11.112) állapotmodell párhuzamos kanonikus alakú, ahol gi ci = gi = βi teljesül. (A FI (338)-(339) alakkal összevetve jól látható, hogy a DI diagonális alaknál a γi = 1 választás egyszerûségével éltünk.) 11.22 ábra Párhuzamos kanonikus alak blokkvázlata 320 (Az állapotteres alakokban, a hagyományoknak megfelelôen, a konstans közvetlen átviteli csatorna erôsítését d-vel jelöltük, amelynek értéke mind a FI, mind pedig a DI esetre megegyezik. Mivel DI esetben értéke általában zérus, ezért nem különösebben zavaró, hogy ugyanezt a betût használjuk a diszkrét holtidô

jelölésére is.) 12. MINTAVÉTELES SZABÁLYOZÁSOK TERVEZÉSE STABILIS FOLYAMATOK IRÁNYÍTÁSÁRA 321 12. Mintavételes szabályozások tervezése stabilis folyamatok irányítására A 7. és 9 Fejezet összevetésébôl láthatjuk, hogy FI szabályozók tervezésekor érdemes megkülönböztetni vajon a folyamat stabilis-e vagy labilis. Stabilis folyamatokra lényegében a YOULA-parametrizáláson alapuló, vagy arra visszavezethetô pontos matematikai módszerek állnak rendelkezésünkre. Még a hagyományos PID szabályozó is - a szokásos hangolás mellett - a YOULA-szabályozó egy durva közelítésének feleltethetô meg. A labilis folyamatok más módszereket igényelnek, ahol az elsô legfontosabb lépés a folyamat stabilizálása. Erre mutattuk be a 9. Fejezetben a DIOPHANTOS-i egyenleten alapuló általános polinomiális módszert, és a 10. Fejezetben az állapotvisszacsatoláson és megfigyelôn alapuló módszereket Mintavételes rendszerek

szabályozóinak a tervezését hasonló logika mentén fogjuk tárgyalni. A lényeges különbséget az adja, hogy a DI szabályozási köröket megvalósító számítógépes irányító rendszerekben a különbözô módszereket realizáló jelformáló tagok létrehozása lényegesen egyszerûbb. A fejezetben szereplô G() átviteli operátorok a z vagy z−1 illetve a q vagy q−1 függvényei lehetnek a DI leírás jellegétôl függôen. Az itt bemutatott tervezési módszerek lényegében polinomiális (algebrai) módszerek, így a mintavételes rendszerekre tárgyalt valamennyi modellünkre alkalmazhatóak, csak a a választott modell formát következetesen kell alkalmazni. 12.1 A YOULA-szabályozó mintavételes rendszerekre A 7. Fejezetben egy általános szabályozó parametrizálási módszert és az ezen alapuló tervezési technikát mutattunk be. Ezen, az úgynevezett YOULA-parametrizáláson alapuló módszert egy- és két szabadságfokú szabályozási körök

tervezésére javasoltuk. A módszer elônye, hogy a zárt rendszer tervezését két referencia modellhez köti, az alapjelkövetési tulajdonságokat az Rr , a zavarelhárítási tulajdonságokat pedig az Rn modellhez, valamint a szabályozó tervezése egy viszonylag egyszerû zárt formában megadható. A módszer hátránya, hogy csak stabilis folyamatokra alkalmazható. A YOULA -parametrizálás bemutatása, az IMC elvvel való kapcsolata, az optimalitás és az elérhetô legjobb szabályozás szemléltetése olyan általánosan történt, hogy a legtöbb esetben elegendô az átviteli függvényeket impulzusátviteli függvényre cserélni, és az elmondottak itt is érvényesek, ezért most nem ismételjük meg a 7. Fejezet általános megállapításait, hanem fôleg az eltérésekre, különbségekre koncentrálunk. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G z−1 = G+ z−1 G− z−1 = G+ z−1 G− z−1 z− d röviden G = G+ G− = G+ G− z− d (12.1) ahol G+ stabilis, inverze

szintén stabilis és relizálható (ISR). G− inverze labilis (Inverse Unstable: IU) és nem realizálható (IUNR). A G− inverze labilis (IU) Itt általában a z− d holtidôs rész inverze nem realizálható, mert az egy ideális prediktor lenne. Az általános esetre kapott optimális szabályozó (lásd a (7.14)-t) Copt = Qopt Rn K n Rn Gn G+−1 ′ = = = Rn Gn Copt 1 − Rn K n G 1 − Qopt G 1 − Rn Gn G− z− d ahol az optimális YOULA-paraméter (12.2) 322 Qopt = Rn Gn G+−1 = Rn K n K n = Gn G+−1 és (12.3) valamint Qr = Rr Gr G+−1 = Rr K r K r = Gr G+−1 és (12.4) Az általánosított IMC elvnek megfelelô ekvivalens optimális szabályozási kör mintavételes rendszerekre is teljesen megegyezik a 7.9 ábrán láthatóval, amelynek egy egyszerûsített változatát itt is bemutatjuk a 12.1 ábrán yn yr Rr Gr G+−1 + Rn Gn G+−1 1 − Rn Gn G− z − d C opt + G - y + u G + y + 12.1 ábra Az általánosított IMC elvnek megfelelô

optimális mintavételes szabályozási kör A két szabadságfokú zárt szabályozási kör legfontosabb jelei most uopt = Rr Gr G+−1 y r − Rn Gn G+−1 y n ( ) ( ) ( ) eopt = 1 − Rr Gr G− z− d y r − 1 − Rn Gn G− z− d y n = 1 − Tropt y r − Snopt y n ( ) ( (12.5) ) y opt = Rr Gr G− z− d y r + 1 − Rn Gn G− z− d y n = Tropt y r + 1 − Tnopt y n = Tropt y r + Snopt y n ahol a Tropt = Rr Gr G− z− d és Tnopt = Rn Gn G− z− d egyenlôségek valósulnak meg. Az elérhetô legjobb optimális szabályozási kör további ekvivalens alakjait mutatjuk be a 12.2 ábrán (Ezek az ábrák csak szemléltetési célra készültek, a realizálhatóságot minden egyes esetben külön meg kell vizsgálni !) yn yr Rr Gr + P+−1 1 − Rn Gn G− z − d + u G + FOLYAMAT y yr RrGr RnGn + + RnGn + G+−1 u yn G+G− z− d y REALIZÁLHATÓ INVERZ MODELL C opt ′ G− z− d Rn G n SZABÁLYOZÓ SZABÁLYOZÓ (a) (b) 12.2 ábra Az

elérhetô legjobb optimális mintavételes szabályozási kör ekvivalens alakjai Mint azt már említettük, itt nem foglalkozunk Gr és Gn optimalitásának elméletével. Ebben az egyszerûbb esetben alkalmazható Gr = Gn = 1 választás változatlanul helyben hagyja az invariáns G− folyamat tényezôt, következményként ez a rendszer jeleiben változatlanul jelenik meg u = Rr G+−1 y r − Rn G+−1 y n ( ) ( ) e = 1 − Rr G− z− d y r − 1 − Rn G− z− d y n = (1 − Tr ) y r − Sn y n 323 ( ) y = Rr G− z− d y r + 1 − Rn G− z− d y n = Tr y r + (1 − Tn ) y n = Tr y r + Sn y n (12.6) és az Rr G+−1, Rn G+−1 valamint Rn G− átviteli függvények realizálhatóságát kell biztosítanunk. Jól látható, hogy a realizálhatóság kérdése ilyenkor az Rr és Rn referencia modellek fokszámának és pólustöbbletének alkalmas megválasztásával egyszerûen kezelhetô. A realizálható, de nem optimális szabályozási kör a 12.3

ábrán látható yn + yr Rr G+−1 G+ G− z + −d + - G Rn G+−1 + u G y + + y G G+ G− z − d C opt 12.3 ábra A YOULA-parametrizált realizálható mintavételes szabályozási kör a Gr = Gn = 1 választással Mintavételes rendszerek esetében érdemes megjegyezni, hogy a folyamat impulzusátviteli függvényében a holtidô nélküli részre ( G+G− ) SRE transzformáció esetében, a FI folyamat pólus többletétôl függetlenül mindig igaz, hogy a pólus többlet egy. Így az Rr G+−1 és Rn G+−1 tagok realizálhatósága már elsôfokú Rr és Rn referenciamodellek esetében is biztosított. 12.1 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy egytárolós holtidôs folyamat G= 0.2 z−1 −3 0.2 z−4 = z 1 − 0.8 z−1 1 − 0.8 z−1 azaz G+ = 0.2 z−1 1 − 0.8 z−1 G− = 1 és (12.7) amelyet szeretnénk a szabályozással felgyorsítani. A követési és zavarelhárítási referencia modellek legyenek 0.8 z −1 Rr = 1 − 0.2 z −1 és

0.5 z −1 Rn = 1 − 0.5 z −1 (12.8) Mivel G− = 1, így nincs mit optimálisan kompenzálni, azaz a Gr = 1 és Gn = 1 választással élhetünk. Az optimális szabályozó Copt = Rn Gn G+−1 1 R G−1 = = −d −d n + 1 − Rn Gn G− z 1 − Rn z ( ) 2.5 1 − 08 z−1 0.5 z−1 1 − 08 z−1 1 = = 1 − 0.5 z−1 − 05 z−4 0.5 z−1 −3 1 − 05 z−1 02 z−1 z 1− 1 − 0.5 z−1 a soros kompenzáció pedig (12.9) 324 Rr G+−1 ( −1 0.8 z−1 1 − 08 z−1 4 1 − 08 z = = 1 − 0.2 z−1 02 z−1 1 − 0.2 z−1 ) (12.10) alakú, tehát az optimális kétszabadságfokú szabályozási kör a 12.4 ábra szerinti lesz (122b alak). Vegyük észre, hogy Copt ( z = 1) = ∞ , azaz a szabályozó integráló jellegû, ami az Rn ( z = 1) = 1 feltételbôl következik. yn ( yr 4 1 − 0.8 z −1 1 − 0.2 z −1 ) ( 2.5 1 − 08 z −1 0.2 z −4 1 − 0.8 z −1 G ) u 1 − 0.5 z −1 − 05 z −4 0.2 z −4 1 − 0.8 z −1 C opt G y y

12.4 ábra A 121 példa optimális szabályozási köre Egyszerûen ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer kimenôjele  0.8 z −1 −3 0.5 z −1 −3    z y + 1 − r  −1 z  y n 1 − 0.2 z −1  1 − 0.5 z   0.8 z −4 0.5 z −4  y = y r + 1 − −1  n 1 − 0.2 z −1  1 − 0.5 z  ( ) y opt = Rr z − d y r + 1 − Rn z − d y n = (12.11) ami teljesen megfelel a tervezett kétszabadságfokú szabályozási körnek. 12.2 A SMITH szabályozó mintavételes szabályozási körben A mintavételes szabályozási körben tekintsünk egy egyszerû holtidôs folyamatot a (12.1) nyomán ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G z−1 = G+ z−1 G− z−1 = G+ z−1 G− z−1 z− d röviden G = G+ G− = G+ G− z− d (12.12) ahol G+ stabilis. A SMITH szabályozó 71 pontban bemutatott elvét a (1212) DI folyamatra a 12.5a ábrán megadott szabályozási körben mutatjuk be Mivel a kör ekvivalens a 125b ábra hatásvázlatával, itt

célja nagyon jól látható: az eredeti holtidôt is tartalmazó zárt kört szétválasztani egy olyan zárt körre, amelyben nincs benne a holtidô, az ugyanis a körön kívûl sorosan jelenik meg. Így a C+ szabályozó a G+ folyamathoz hagyományos (holtidôt nem figyelembevevô) módszerrel is tervezhetô. FOLYAMAT r C+ + y G+ z− d - ( G+ 1 − z− d ) + r + C+ + G+ - SMITH SZABÁLYOZÓ (a) (b) 12.5 ábra A mintavételes SMITH szabályozó hatásvázlata z− d y 325 A 12.5a ábra a 126 ábra (a) és (b) ekvivalens formáira alakítható át egyszerû blokk manipulációs mûveletekkel. r + C+ + - G+ z y −d Cs r - - Q+ y - + G+ z− d G+ G+ z− d C+ + + - ( G+ 1 − z− d ) BELSÔ MODELL (a) (b) 12.6 ábra Ekvivalens mintavételes SMITH szabályozó hatásvázlatok A 12.6a ábra IMC struktúrája világosan mutatja, hogy a mintavételes SMITH szabályozó is egy YOULA-parametrizált szabályozó a speciális Q+ = C+ C+G+ L

= G+−1 = + G+−1 = R+G+−1 1 + C+G+ 1 + C+G+ 1 + L+ (12.13) YOULA-paraméterrel, ha a C+ szabályozó stabilizálja a folyamat G+ holtidô nélküli részét. Itt L+ = C+G+ a 12.5b ábra zárt körének hurokátviteli függvénye, továbbá T+ = R+ = L+ 1 + L+ (12.14) kiegészítô érzékenységi függvény lesz az R+ referencia modell. A 12.6b ábra az egyenértékû teljes zárt szabályozási kört mutatja, ahol az eredô YP mintavételes soros szabályozó Cs = Q+ C+ = = C + KS −d 1 − Q+G+ z 1 + C+G+ 1 − z− d ( ) (12.15) amely egyben a realizálás módját jelentô belsô zárt kört is mutatja. Itt KS -sel jelöltük azt a soros átviteli függvényt, amellyel a SMITH szabályozó az eredeti C+ szabályozó hatását módosítja. Tehát KS = 1 ( 1 + C+G+ 1 − z −d ) = 1 ( 1 + L+ 1 − z− d ) (12.16) A FI rendszerekkel ellentétben a mintavételes SMITH szabályozó realizálása nem okoz gondot a gyakorlatban, hiszen Cs akár teljes

egészében, akár részenként könnyen realizálható számítógépes irányításokban. (Lásd az elôzô pontban elmondottakat a lineáris DI szûrôkrôl) 12.3 A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó mintavételes rendszerekben A TRUXAL és GUILLEMIN módszert egy szabadságfokú mintavételes szabályozási körök szabályozójának tervezésére is alkalmazhatjuk. A módszer szerint az elôírt tervezési célt a zárt rendszer átviteli függvényére kell megfogalmaznunk, amely egy holtidôs folyamatra 326 CG C G+ z− d T= = = Rn z− d d − 1 + C G 1 + C G+ z (12.17) alakú, ahol feltételeztük, hogy a DI folyamat (12.1) alakjában G− = 1, amely feltételbôl egy egyszerû algebrai egyenletet C G+ = Rn + C G+ z− d Rn (12.18) kapunk C -re. Innen a szabályozót kifejezve C= Rn −1 G = CTG −d ( + ) 1 − Rn z (12.19) szerint kell a szabályozót megválasztanunk. Vegyük észre, hogy ez az alak megegyezik a mintavételes YOULA szabályozó (12.2) szerint

alapesetével ( Gn = 1, G− = 1) A szabályozó realizálása a 12.7 ábra szerint történhet, de nem okoz gondot a (1219) szerinti alak teljes leképezése számítógépes irányítási rendszerekben. r + Rn + - + 1 G G z− d y z− d CTG 12.7 ábra A TRUXAL-GUILLEMIN szabályozó realizálása Az Rn tehát megfelel a YOULA módszer egyik referencia modelljének. Az egy szabadságfokú esetre egyébként Rn = Rr . Legyen a referencia modell Rn = Bn An , a folyamat a G = B A alakban adott. A szabályozó polinomiális alakja így CTG = Bn A An − Bn B (12.20) A szabályozó realizálható, ha az Rn pólustöbblete nagyobb vagy egyenlô a folyamaténál. Diszkrét idejû esetben a 11. Fejezetben láthattuk, hogy a folyamat impulzusátviteli függvényének pólustöbblete (a gyakorlatban legáltalánosabb zérus rendû tartószervre, tehát egységugrás ekvivalens transzformáció esetén) egy. Így a (1220) szabályozó általában realizálható, mert nem szokásos

olyan Rn választása, amelyre a pólustöbblet kisebb, mint egy. Ha az Rn egységnyi erôsítésû ( Rn (1) = 1), akkor a szabályozó 1-típusú. 12.4 Véges beállási idejû szabályozók tervezése Mintavételes rendszerek esetében lehetséges olyan szabályozót kialakítani, amely az ugrás alakú alapjelet véges lépés alatt tökéletesen követi, illetve a hibajelet véges lépés alatt zérussá teszi. Ezt a szabályozót véges beállási idejû szabályozónak nevezik. (Az angol elnevezés DeadBeat: DB) Tételezzük fel, hogy az egy szabadságfokú szabályozási körben a relatív prím G = B A a DI folyamat és CDB a tervezendô "deadbeat" szabályozó. Az alapjel helyén egységugrást 327 ( ) feltételezve az alapjel z -transzformáltja R( z) = z ( z − 1) = 1 1 − z −1 . A véges beállás megköveteli, hogy a hibajel z -transzformáltja véges fokszámú polinom legyen: Pe ( z) , azaz E ( z) =  CDBG  1 R( z) = 1 −  R( z) = Pe (

z) 1 + CDBG  1 + CDBG  (12.21) Innen következik, hogy a zárt rendszer eredô impulzus átviteli függvényének is véges fokszámú polinomnak kell lennie, hiszen (12.21)-bôl T= ( ) CDBG = 1 − 1 − z−1 Pe ( z) = Py ( z) 1 + CDBG (12.22) ami szintén véges fokszámú polinom. Hasonlóképpen meg kell követelnünk, hogy a szabályozó kimenôjelére vonatkozó impulzusátviteli függvényének is véges fokszámú polinomnak kell lennie CDB = Pu ( z) 1+ CDBG (12.23) Az ilyen típusú átviteli függvényeket FIR típusú, vagy mozgóátlagú szûrôknek nevezzük. Az eddigiek alapján írhatjuk, hogy T= B CDBG = Py ( z) = Pu ( z) 1 + CDBG A (12.24) ahonnan a véges beállás feltétele B ( z) Py ( z) = =G A ( z) Pu ( z) (12.25) ami relatív prím folyamat polinomok esetében csak a Py ( z) = M( z) B ( z) ; Pu ( z) = M( z) A ( z) (12.26) feltételek teljesülésekor állhat fenn. Mivel állandósult állapotban a hiba zérus, ezért teljesülnie kell a

Py (1) = 1 feltételnek is. Ez a feltétel maga után vonja az M( z) tervezési polinom erôsítésére az M(1) = 1 B (1) (12.27) feltételt. Végezetül a szabályozóra (1223), (1224) és (1226) alapján a CDB = Pu MA = 1 − Pu G 1 − MB (12.28) alakot kapjuk. Tehát a véges beállású szabályozó legfontosabb lépése az M( z) tervezési polinom megválasztása. A véges beállás a folyamat be- és kimenôjelére a (1226) szerint alakul Tanulságos megvizsgálni a hibajel alakulását (12.21) és (1228) alapján 328 Pe ( z) = z(1 − MB ) A (1 − MB ) A =NA = z −1 1 − z −1 (12.29) Itt figyelembevettük (12.27)-t, amely szerint az (1− MB ) tényezônek mindig gyöke a z = 1, hiszen 1 − M(1) B (1) = 0 . A (12.28)-nak további alakjai is léteznek CDB = Py A MA P Rn A = u = = 1 − MB 1 − Py 1 − Py B 1 − Rn B (12.30) ahol az Rn = Py helyettesítéssel éltünk. Tehát ismét ugyanazt az alakot kaptuk, mint a TRUXALG UILLEMIN szabályozó (1219)

vagy a YOULA szabályozó alapesete (79) A lényeges különbség, hogy most Rn egy FIR szûrô, tehát polinom és (12.29)-nek is teljesülnie kell A véges beállású szabályozó tervezésével kapocsolatban foglaljuk össze az alkalmazott korlátokat: - feltételeztük, hogy a szabályozott szakasz stabilis - feltételeztük, hogy a zárt kör alapjele egységugrás alakú - a véges beállás csak a mintavételi idôpillanatokra vonatkozik. Megjegyezzük, hogy ha a fenti feltételek nem állnak fenn, bizonyos esetekben akkor is tudunk véges beállású szabályozót tervezni (például polinomiális vagy állapotteres technikával), de nem a most bemutatandó egyszerû és jól átlátható tervezési módszerrel. 12.2 Példa A módszert egy másodrendû holtidôs folytonos szakasz esetére mutatjuk be. Legyen a FI folyamat átviteli függvénye P ( s) = e− s . (1 + 10s)(1 + 5s) (12.31) Az elsô lépés most is a folytonos szakasznak a zérusrendû tartószervvel együttes

diszkretizálása. Ts = 1 sec mintavételezési idô mellett G( z) = B ( z) 0.0091( z + 09048) = A ( z) ( z − 0.9048) ( z − 08187) z (12.32) adódik a diszkretizált (SRE transzformáció) modellre. Figyeljük meg a nevezôben megjelenô z tényezôt, ami a Td = 1 sec holtidôt reprezentálja, lévén Ts = Td . A holtidô hatásának megjelenését a G( z) = 0.0091( z + 09048) z−1 (z − 0.9048) (z − 08187) (12.33) alak még egyértelmûbben illusztrálja. A tervezés célját illetôen az alábbi megfontolásokat tehetjük. Ha nem lenne holtidô a folyamatban, akkor a k = 0 mintavételi idôpillanatban a zérusrendû tartószervre adott u[0] ≠ 0 bemenôjel hatása a folyamat tárolós jellege következtében 329 legkorábban a k = 1 mintavételi idôpillanatban mutatkozna meg a kimenôjelben. Következésképpen Td = 1 sec holtidô mellett u[0] ≠ 0 hatása legkorábban a k = 2 mintavételi idôpillanatban mutatkozik meg. Ebbôl következôen a legjobb követô

szabályozás, amit konstruálhatunk, az y r [ k ] = 1[ k ] egységugrás alapjelre az y[ k ] = 1[ k − 2] diszkrét jelet eredményezi. Impulzusátviteli függvényben gondolkodva a zárt rendszer átviteli függvényére példánkban a T= C ( z)G( z) = Py ( z) = z−2 , 1 + C ( z)G( z) feltételt fogalmazhatjuk meg (12.24), amely feltételbôl a keresett szabályozó meghatározható: C ( z) = 1 1 z−2 A = = . 1 − Py B 1 − z−2 G( z) G( z) z 2 − 1 Py ( ) ( ) A szabályozót a diszkretizált folyamat átviteli függvényének polinomjaival kifejezve: C ( z) = 1 ( ) G( z) z 2 − 1 = A ( z) B( z )( z − 1) 2 = ( 109.9 z 3 − 17236 z 2 + 07408 z z + 0.9048 z − z − 09048 3 2 ). (12.34) Jól látható, hogy egységugrás alakú alapjelre hibamentes beállást várhatunk, hiszen az L( z) = C ( z)G( z) hurokáviteli függvénynek pólusa van a z = 1 helyen, másszóval a szabályozó integrátort tartalmaz. A zárt kör viselkedését a 128 ábra mutatja

Az eredmény a diszkrét idôpillanatokat tekintve a várt értékeket adja, azonban a mintavételes rendszerek esetén a zárt szabályozási kör viselkedésének minôségét végsôsoron a folytonos kimenet határozza meg, ez pedig elfogadhatatlan oszcillációt mutat. Ezen túlmenôen a beavatkozójel változásai is extrém dinamikájúak. 12.8 ábra Véges beállású szabályozás (2 lépés) Vizsgáljuk meg a mintavételezési pontok közötti "rejtett" oszcillációt, ezt az angolszász irodalomban "intersampling ripples" elnevezéssel illetett jelenséget. Az idôdiagramok alapján látható, hogy a folytonos kimenet oszcillációját a zérusrendû tartószerv által generált lépcsôs folytonos bemenôjel értékeinek oszcillációja okozza. Ezeket az értékeket pedig maga a szabályozó állítja elô annak következtében, hogy egy p = −0.9048 értékû, ún gyengén csillapított pólussal rendelkezik. Ennek a minôsítésnek a

helytállóságát kétféleképpen is tudjuk indokolni. Kizárólag a jelzett pólus hatásának jellegét vizsgálva nézzük meg a 330 G1 ( z) = z +1 z + 0.9048 (12.35) impulzusátviteli függvény átmeneti függvényét a 12.9 ábrán 12.9 ábra A beavatkozójel nemkívánt dinamikája Az ábra alapján joggal merül fel a kérdés, hogy önmagában a szabályozó impulzusátviteli függvényét tekintve, hová esnek azok a pólusok, amelyek stabilis, jól csillapított átmeneti függvényt eredményeznek, másszóval egységugrás alakú bemenetre nem generálnak oszcilláló kimenetet. Folytonos rendszerekre a jól és gyengén csillapított pólusok tartományát az s komplex frekvenciatartományban a konstans csillapításnak megfelelô félegyenesek választják szét. Ezek a félegyenesek állandó, a csillapítás értékétôl függô ϕ szöget zárnak be a negatív valós tengellyel: cos( ϕ ) = ξ . Ennek a félegyenesnek a leképzését kell most megkeresnünk

a z síkban. Az s síkon az s = σ + jω pontok az ω = σ 1 − ξ 2 ξ feltétellel esnek a konstans csillapítás félegyenesére. Adott csillapítás esetén a z = e sT s leképzés z = eσ + j σT s 1− ξ ξ formában, különbözô σ értékekre kiszámítható és ábrázolható. Például a ξ = 04 konstans félegyenes z síkbeli megfelelôje a 12.10 ábrán látható Az ábrán bejelölt, jól csillapított ( ξ > 0.4 ) területet a szakirodalom “szívalakú görbeként” is említi 2 12.10 ábra Jól csillapított pólusok elhelyezkedése a z-síkban Vizsgálataink alapján megállapíthatjuk, hogy az oszcillációt maga a szabályozó generálja, mert a 331 C ( z) = A ( z) ( ) (12.36) B ( z) z 2 − 1 alakból jól láthatóan C ( z) pólusként tartalmazza a B ( z) polinom gyökeit (esetünkben B ( z) elsôrendû, csak egy gyöke van), amely gyök(ök) oszcillációt eredményezô hatása attól függ, hogy egy adott csillapításhoz rendelt szívalakú

görbéhez képest hol helyezkedik/helyezkednek el. Jelen esetben B ( z) gyöke z = −09048 , amely kívül esik a jól csillapított tartományon Az oszcilláció elkerülése érdekében el kell kerülnünk B ( z) gyengén csillapított gyökeinek közvetlen kompenzálását, egyszerûbben szólva kiejtését a szabályozó egy megfelelô pólusával. Válasszuk szét B ( z) gyökeit úgy, hogy B+ ( z) tartalmazza B ( z) jól csillapított (a szívalakú görbén belüli) gyökeit és B− ( z) tartalmazza gyengén vagy nem csillapított (a szívalakú görbén kívüli) gyökeit B ( z) = B+ ( z) B− ( z) (12.37) szerint úgy, hogy B− ( z) z = 1 = B− (1) = 1 teljesüljön: B ( z) = B+ ( z)B− ( z) = 0.01733 (0525 z + 0475) , (12.38) ahol B+ ( z) = 0.01733 (a B+ ( z) polinomnak nincs jól csillapított gyöke) és B− ( z) = 0.525 z + 0475 (a B ( z) polinomnak van egy gyengén csillapított gyöke) A továbbiakban legyen m+ és m− rendre a B+ ( z ) illetve B− ( z )

polinomok fokszáma. A tervezési specifikációban vegyük figyelembe az éppen elvégzett szeparációt, a zárt diszkrét idejû rendszer impulzusátviteli függvényére vonatkozóan módosítsuk a zárt rendszerre vonatkozó elvárásunkat: T= C ( z)G( z) = Py ( z) = B− ( z) z−2 z− m− = B− ( z) z− m− − 2 . 1 + C ( z)G( z) (12.39) A fenti feltételbôl a szabályozó: C ( z) = [ A ( z) ] B+ ( z) z 3 − B− ( z) = ( 57.7 z 3 − 17236 z 2 + 07408 z z − 0.525 z − 0475 3 ). 12.11 ábra Véges beállású szabályozás (3 lépés) (12.40) 332 A fenti alakból jól látható, miért kell a B− ( z) z = 1 = B− (1) = 1 feltétételt kikötnünk a B ( z) [ ] polinom felbontásakor. Ekkor ugyanis z 3 − B− ( z) z =1 = 0 következtében z = 1 továbbra is pólusa az L( z) hurokáviteli függvénynek, másszóval a rendszer 1-típusú. A módosított szabályozóval kapott eredményeket a 12.11 ábra szemlélteti A zárt rendszer lelassult, a

beállási idô 2 másodpercrôl 3 másodpercre, másszóval 2 lépésrôl 3 lépésre nôtt, ugyanakkor a beavatkozójel mérsékelt dinamikája is megfigyelhetô. Az oszcillációt teljes mértékben sikerült kiküszöbölni, ám a beavatkozójel kezdeti értékének a nagysága nem minden alkalmazás szempontjából tekinthetô elfogadhatónak. A további lassításnak számtalan lehetôsége van, ezekbôl egy olyan megoldást mutatunk be, amely megtartja a véges beállási jelleget, de a beállási idôt egy tervezési polinom fokszámától függôen tovább növeli. Legyen a tranziens viselkedést lassító mT = 2 fokszámú és a T ( z) z =1 = T (1) = 1 normálás szerint választott tervezési polinom T ( z) = Py ( z) = 0.2 z 2 + 03z + 05 , (12.41) amelyet a tervezési specifikációt jelentô zárt kör impulzusátviteli függvényében az alábbiak szerint alkalmazunk: C ( z)G( z) = Py ( z) B− ( z) z−2− m− − m T = Py ( z) B− ( z) z−5 , 1 + C ( z)G( z)

(12.42) Innen a szabályozót kifejezve: C ( z) = [ A ( z)Py ( z) ] B+ ( z) z 5 − B− ( z)Py ( z) = ( 11.54 z 5 − 02235 z 4 + 06555 z 3 − 3198 z 2 + 1852 z ) z 5 − 0.105 z 3 − 02525 z 2 − 0405 z − 02375 A zárt kör idôtartománybeli mûködését a 12.12 ábrán láthatjuk 12.12 ábra Véges beállású szabályozás (5 lépés) A (12.30) szabályozó alaknál már utaltunk arra, hogy a véges beállású szabályozó tervezési egyenlete lényegében megfelel a YOULA szabályozó (7.9) alapesetének Az általános esetre kapott (12.2) alakkal való összevetéshez tekintsük a DI folyamat (121) szerinti alakját a fenti 333 (12.37) szerinti felbontásra G = G+ G− z− d = B+B− −2 z A (12.43) ahol B+ ( z) = 0.01733 B− ( z) = 0.525 z + 0475 és (12.44) Itt B+ az elfogadható inverzû, B− pedig a nem elfogadható inverzû tényezô az impulzusátviteli függvény számlálójában. Jegyezzük meg, hogy B inverze most nem labilis, viszont

gyengén csillapított, ezért szintén a nem kívánatos folyamat tényezôk közé soroljuk. Az általános esetre kapott optimális szabályozó (12.2) szerinti alakja a Gr = Gn = 1 választással Copt Py G+−1 Py A Rn G+−1 z −2 A = = = = 1 − Rn G− z− d 1 − Py G− z− d B+ 1 − Py B− z− d B+ 1 − z−2B− z−1 ( ) ( ) (12.45) amely pontosan megegyezik a (12.40) szerinti szabályozóval C ( z) = [ A ( z) ] B+ ( z) z 3 − B− ( z) = ( 57.7 z 3 − 17236 z 2 + 07408 z z 3 − 0.525 z − 0475 ). (12.46) Ismét megerôsítést nyert a YOULA -szabályozó stabilis folyamatokra vonatkozó általános érvényessége. 12.5 Predikciós szabályozók Tételezzük fel, hogy egy egy-szabadságfokú szabályozási körben a szabályozott szakasz impulzusátviteli függvénye ( ) ( ) = A z−1 z−d = G+ (z−1)G− (z−1) ( ) Gz −1 B z−1 ; ( ) G− z−1 = z− d (12.47) amely egy holtidôs FI folyamatnak felel meg. Olyan összefüggést

keresünk, amely segítségével ezen folyamatra a k -adik mintavételezési idôpontig rendelkezésre álló információ alapján jósolni tudjuk a folyamat kimenô jelének ( k + d )-edik pillanatban bekövetkezô értékét. Ehhez vezessük be a speciális 1 = A F + P z− d (12.48) polinomiális egyenletet, amelynek megoldása ( d − 1)-edrendû F és ( n − 1)-edrendû P -t keresve egyértelmû, ha az A polinom n-edfokú. A (1248) egyenlet a 10 Fejezetben tárgyalt ( ) DE-nek egy speciális változata. Azonos átalakításokkal a folyamat G z−1 alakja a következôk szerint felbontható 334 B − d BAF + BPz− d − d  BPz− d  − d G= z = z = BF + z = A A A   B  = BFz− d + P  z− d z− d = BFz− d + P Gz− d A  (12.49) Alkalmazzuk mindkét oldalt az u[ k ] bemenôjel sorozatra y [ k ] = BFz− d u[ k ] + P z− d G u[ k ] = BF u[ k − d ] + P z− d y [ k ] = (12.50) = BF u[ k − d ] + P y [ k − d ] = y [ k |

k − d ] Az egyenletet felírhatjuk a ( k + d )-edik idôpillanatra is y [ k + d ] = BF u[ k ] + P y [ k ] = y [ k + d | k ] (12.51) ahol az y[ k + d | k ] mennyiség az y[ k ] sorozat ( k + d )-edik idôpillanatban bekövetkezô értékére vonatkozó jóslása, predikciója. Vegyük észre, hogy az elôrejelzés hibamentes és csak a k -adik idôpillanatig rendelkezésre álló értékeit használja mind a bemenôjel, mind pedig a kimenôjel tekintetében. Mind a BF , mind pedig a P polinom, amelyek a z −1 polinomjai csak a k és megelôzô idôpillanatbeli értékeket súlyoznak (12.51)-ben A d-lépéses prediktor alapján speciális, úgynevezett predikciós szabályozót konstruálhatunk. Ha azt akarjuk, hogy a folyamat egy Rr referenciamodell kimenetét kövesse, akkor a szabályozót meghatározó egyenlet Rr y r [ k ] = y [ k + d | k ] = BF u[ k ] + P y [ k ] (12.52) ahonnan a folyamat bemenetére kapjuk u[ k ] = Rr y r [ k ] − P y [ k ] BF (12.53) A (12.53)

egyenlet közvetlen leképezése a 1213a ábrán látható, a 1213b ábra ekvivalens hatásvázlata pedig a szokásos zárt szabályozási kört mutatja. yn [ k ] yr [ k ] Rr PREDIKCIÓS SZABÁLYOZÓ BF u[ k ] P G y[k ] yr [ k ] Rr Rn + - P A 1− P z− d B u[ k ] G y[k ] Cpr PREDIKCIÓS SZABÁLYOZÓ (a) (b) 12.13 ábra A predikciós szabályozó alakjai A predikciós szabályozó tehát Cpr = P A 1 − P z− d B (12.54) 335 alakú, vagyis a zavarelhárításra vonatkozó referencia modell most Rn = P (12.55) ami nem tôlünk függ, hanem (12.48)-bôl kiadódik A Cpr predikciós szabályozó formailag teljesen megegyezik egy olyan YOULA szabályozóval, ahol G− = z− d . A teljes szabályozási kör átviteli karakterisztikája ( ) ( ) y = Rr z− d y r + 1 − Rn z− d y n = Rr z− d y r + 1 − Pz− d y n (12.56) amely szerint alapjelkövetésre a predikciós szabályozó tökéletesen megoldja feladatát, de Rn nem tervezhetô. A predikciós

szabályozó alapját képezô (1251) d-lépéses prediktor lineáris a paraméterekben, ezért nem nehéz paraméterbecslô (identifikációs) technikát alkalmazni ezen együtthatók meghatározására. A fentiekben bemutatott egyszerû szabályozó konstruálási elvbôl nôtt ki napjaink egy széles körben elterjedt számítógépes irányítási metodikája, amelyet modell predikciós szabályozásnak hívnak (MPC: Model Predictive Control). A zárt rendszer zavarelhárítási tulajdonságának tervezésére olyan módszert vezettek be, amely bünteti a bemenôjel varianciáját, megváltozását. Így a zárt kör dinamikája korlátozott módon ugyan, de elfogadhatóan alakítható a büntetô súly megválasztásával. 12.6 Az elérhetô legjobb diszkrét idejû szabályozás Általános elmélet A szabályozási hibának a 7.5 pontban bemutatott dekompozíciója természetesen teljes mértékben érvényes DI rendszerekre is, így valamennyi összefüggés változatlan

formában használható. Érdemes megjegyezni, hogy DI esetben az elérhetô leggyorsabb elsôrendû referencia modell könnyen meghatározható a szabályozó kimenôjelének u( t) = U max (12.57) amplitúdó korlátozása esetén, ha YP szabályozót alkalmazunk. Legyen az elsôrendû egységnyi erôsítésû referencia modell Rn = (1 + an )z−1 = (1 + an ) 1 + an z−1 z + an (12.58) Legyen a folyamat impulzusátviteli függvényének számlálójában az elsô (úgynevezett vezetô) együttható) b1, akkor az átmeneti függvény sorozat elsô legnagyobb ugrására a 1 + an ≤ U max b1 (12.59) korlátozásnak kell teljesülnie, amibôl a referencia modell an együtthatójának legnagyobb értéke 336 an ≤ b1 U max − 1 (12.60) Tapasztalati összefüggések Az elérhetô legjobb szabályozás vizsgálatakor már az eddigiekben is láttuk, hogy az alapvetô korlátozás a beavatkozó szerv telítôdésébôl és magától a folyamat dinamikájától származik.

Ehhez most még a mérési zaj problémáját is megemlítjük. Ezt a zajt okozhatja az érzékelô fizikai mûködése, de okozhatja a benne mûködô elektronika is, DI szabályozásnál pedig az A/D átalakító. A mérési zajok legtöbbször a magas frekvenciájú tartományban jelentkeznek, ezért az általuk okozott bizonytalanság a szabályozó A∞ nagyfrekvenciás erôsítését korlátozza. Az egyszerûség kedvéért tételezzünk fel általánosan használt 12 bites A/D és D/A átalakítókat. A 12 bit megfelel 4096 szintnek, tehát egy bitnyi konverziós hiba vagy mérési zaj 4096-szorosára erôsödve eléri a teljes jeltartomány szintjét. Egy gyakorlati szabályozási körben nem célszerû 5%-nál nagyobb mérési zaj okozta ingadozást megengedni. Ez azt jelenti, hogy a szabályozó nagyfrekvenciás erôsítésének kisebbnek kell lennie 200-nál, azaz A∞ < 200. 13. HAGYOMÁNYOS DISZKRÉT IDEJÛ SZABÁLYOZÓK TERVEZÉSE 337 13. Hagyományos

diszkrét idejû szabályozók tervezése A 12. Fejezetben láthattuk, hogy stabilis folyamatok mintavételes szabályozóinak tervezésére a folytonos idejû szabályozáshoz hasonlóan pontos elméleti módszerek állnak rendelkezésre, amelyek alapján a legkülönbözôbb esetekre meghatározható az optimális szabályozó struktúrája és paramétereinek optimális értéke. Mintavételes szabályozók esetében nem mondható, hogy már jóval ezen elméleti módszerek kidolgozása elôtt kialakult a szabályozó berendezések egy olyan, a gyakorlatban is kipróbált, jól bevált és emiatt igen széles körben elterjedt osztálya, amely mind a mai napig meghatározó jelentôséggel bír ipari folyamataink és technológiáink irányításában, hiszen ezek a szabályozók a számítógépes irányítások elterjedésével egyidejûleg terjedtek el. A fejlôdésre inkább az volt a jellemzô, hogy a mintavételes szabályozók ez elsô idôkben rendszerint csak a hagyományos

folytonos szabályozókat másolták. Ennek oka valószínûleg az volt, hogy a folytonos szabályozók több évtizedes történetükben nagy megbízhatóságot és elismertséget szereztek a gyakorlatban. Miközben a számítógépes irányítás keretében igen egyszerû a 12. Fejezet magasabb fokszámú, nagy bonyolultságú szabályozóinak a realizálása, mind a mai napig itt is vezetnek a hagyományos szabályozók a megvalósított és mûködô rendszerekben. Ezért tárgyaljuk itt is külön fejezetben ezt a szabályozó családot Mivel a mintavételes szabályozókat szoftver úton realizált algoritmusokkal hozzák létre, ezért szokásos a DI szabályozókat algoritmusnak is hívni. Mintavételes szabályozási körök tervezésére számos módszer áll rendelkezésünkre. A gyakorlatban is használt módszerek nagy számát egyrészt az a tény indokolja, hogy egy diszkrét idejû szabályozási algoritmust nem egy passzív elemekbôl felépülô elektronikus

berendezés, hanem egy program valósít meg. Ez a tény nagyfokú rugalmasságot biztosít a tervezônek, másrészt a tervezési probléma hibrid jellege – gondoljunk a folytonos és diszkrét tartományban való szimultán gondolkodás szükségességére - is teret nyújt különbözô tervezési elvek alkalmazásához. A módszertani sokszínûség mellett látnunk kell, hogy bármilyen stratégiát is választunk, a diszkrét idejû szabályozónk egy olyan digitális jelfeldolgozó egységként interpretálható, amely a k -adik mintavételi pillanatban az aluláteresztô szûrôvel fogadott, majd mintavételezett kimenôjel y[ k ], y[ k -1], y[ k - 2], (13.1) értékei és a korábbi mintavételi pillantokban az irányítási algoritmus által meghatározott u[ k − 1], u[ k - 2], u[ k - 3], (13.2) bemenôjel minták alapján határozza meg az u[ k ] bemenôjelet. Általánosan megfogalmazva a digitális szabályozó az {y[k ], y[k -1], y[k - 2],; u[k − 1],

u[k - 2], u[k - 3],⇒ u[k ]} (13.3) leképzést valósítja meg. A leképzés legegyszerûbb esete, amikor egy soros, C ( z) impulzusátviteli függvényével adott szabályozót valósítunk meg. A szabályozó bemenete soros szabályozó esetén az e[ k ] = r[ k ] − y[ k ] hibajel, ahol r[ k ] az alapjel, a szabályozó kimenete pedig a folyamat u[ k ] bemenôjele: 337 (13.4) 338 C ( z) = U ( z) . E ( z) (13.5) A leképzés mibenlétét szemléltetendô tételezzük fel, hogy a szabályozó másodrendû: C ( z) = U ( z) qo z 2 + q1z + q2 qo + q1z−1 + q2 z−2 = , = 2 E ( z) z + r1z + r2 1 + r1z−1 + r2 z−2 (13.6) ahonnan a 11. Fejezetben bemutatott rekurzív kifejtéssel u[ k ] = qoe[ k ] + q1e[ k − 1] + q2e[ k − 2] − r1u[ k − 1] − r2 u[ k − 2] (13.7) adódik a megvalósítás algoritmusára. A bemutatott példában célzatosan választottuk a szabályozó számlálóbeli polinomjának fokszámát a nevezô fokszámával azonos értékûre.

Ekkor ugyanis a szabályozó egy e[ j ] = 0 ( j < k ) értékekkel jellemzett egyensúlyi állapotot követô hiba felléptére (e[ k ] ≠ 0) azonnal, késleltetés nélkül reagál a hiba elhárítása érdekében. Fontos megjegyezni, hogy az impulzusátviteli függvénnyel adott digitális szabályozó bár gyakori, de korántsem egyetlen reprezentánsa a digitális szabályozóknak. A digitális szabályozó megvalósításának lépéseit összefoglalva: - Mintavétel - Az u[ k ] bemenôjel számítása y[ k ] ismeretében (szabályozó algoritmus lefuttatása) - A tartószerv meghajtása a kiszámított bemenôjellel - u[ k ], y[ k ] és/vagy e[ k ] eltolása a következô lépés elôkészítéseképpen: u[ k − 2]:= u[ k − 1] u[ k − 1]:= u[ k ] , e[ k − 2]:= e[ k − 1] e[ k − 1]:= e[ k ] . Az alkalmazott digitális szabályozási algoritmus bonyolultságától, a választott számábrázolástól és a rendelkezésre álló számítástechnikai kapacitástól

függôen a fenti leképzést megvalósító mûveletek végzésének ideje tipikusan elhanyagolható a mintavételi idôhöz képest. Gyors mintavétel esetén azonban elôfordulhat, hogy a szabályozási algoritmus számítási ideje összemérhetô a Ts mintavételi idôvel. Ekkor a leképzést módosítanunk kell, hiszen a kiszámított u[ k ] bemenôjelet nem tudjuk a k -adik mintavételi pillanathoz tartozónak tekinteni, mivel u[ k ] értéke csak jóval a k -adik mintavételi pillanatot követôen áll rendelkezésünkre. Ilyenkor a digitális szabályozó megvalósításának lépései annak figyelembevételével alakulnak, hogy a mintavételt követôen csak elindítani tudjuk a szabályozó egyetlen lépését kiszámító algoritmust: - Mintavétel - Az u[ k ] bemenôjel számításának elindítása y[ k ] ismeretében (szabályozó algoritmus futásának elindítása) - A tartószerv meghajtása a legfrissebb rendelkezésre álló kiszámított bemenôjellel - A

következô lépés elôkészítése. Példaképpen feltételezzük, hogy a szabályozási algoritmus számítási ideje kisebb a Ts mintavételi idônél, de közel azonos vele. Ekkor a leképzés nyilván {y[k ], y[k -1], y[k - 2],; u[k ], u[k -1], u[k - 2], ⇒ u[k + 1]} (13.8) alakú. Ebbôl következôen a k -adik mintavételi pillanatban alkalmazható u[ k ] bemenôjelet az {y[k − 1], y[k - 2], y[k - 3],; u[k − 1], u[k - 2], u[k - 3], ⇒ u[k ]} 338 (13.9) 339 leképzés szerint tudjuk elôállítani. Ez azt jelenti, hogy azt a digitális szabályozót, amelyet egy Td holtidejû folyamathoz terveztünk, át kell terveznünk egy Td + Ts holtidejû folyamathoz, így figyelembe tudjuk venni a számítások okozta holtidô növekedést. 13.1 A mintavételes PID szabályozó család és tervezése A (8.1) szerinti ideális PID szabályozó mintavételes változatának kialakításakor az integráló tagot közelítsük a jobb oldali téglalap szabállyal, a

differenciáló hatást pedig a hátratartó differenciával. Az így nyert impulzusátviteli függvény  1 Ts z z -1  AP Ts z z -1 CPID ( z) = AP 1 + + TD + AP TD  = AP + Ts z  TI z − 1 Ts z  TI z − 1 (13.10) A jobb oldalt közös nevezôre hozva egy másodrendû DI szûrô alakját kapjuk CPID ( z) = qo + q1z −1 + q2 z −2 1 − z −1 (13.11) ahol  T T  qo = AP 1 + s + TD D  Ts   TI  2T  q1 = − AP 1 + D  TI   ; ; q2 = AP TD TI (13.12) A 8.4 Fejezetben, a hagyományos FI szabályozók tárgyalásakor, már foglalkoztunk a korlátozások hatásával és az ARW kiegészítés bevezetésével. A FI szabályozók esetében általában nem nagyon van lehetôség a szabályozó belsô struktúrájába történô jel bevezetésre. Ezért történik a korlátozásról a visszacsatolás a hibajel helyén, amely általában hozzáférhetô (lásd a 8.29 ábrát) Mintavételes szabályozók realizálásakor általában a

részletek is a kezünkben vannak, így a visszavezetés közvetlenül az integrátor bemenetére is történhet, ahogy azt a 13.1 ábrán láthatjuk A (8.4) közelítô PID szabályozó mintavételes változatának a megvalósításához az alábbi SRE alakot szokták használni:  1- z −1 A T z −1 AP TD CPID ( z) = AP + P s + TI 1 − z −1 Ts 1 − e − T s T z −1 (13.13) Összevonások után ez a szabályozó is egy másodrendû DI szûrô alakját mutatja:  CPID ( z) = qo + q1z −1 + q2 z −2 (1 − z −1)(1 − e −T s T −1 z ) = qo + q1z −1 + q2 z −2 1 + r1z −1 + r2 z −2 (13.14) ahol  T  qo = AP 1 + D   T  ;  q1 = − AP 1 + e − T s    T  T  q2 = AP  e − T s T 1- s  + D   TI  T   339 T - Ts 2TD  +  TI T  (13.15) (13.16) 340 ( r1 = − 1 + e − T s T ) r2 = e − T s ; T (13.17) Az ARW kiegészítés megvalósítása itt is a 13.1 ábra szerint

történhet AP e[k ] TELÍTÉS u[k ] 1- z-1 APTD Ts AP TI + - Ts 1 − z−1 + + γ 13.1 ábra Az ARW hatást realizáló bôvített mintavételes szabályozó A közelítô folytonos idejû PID szabályozó (8.8) szerint paraméterezett alakjának egy ( )( ) ) ( ( )( ) ) z − z1cd z − z2cd 1 − z1cd z −1 1 − z2cd z −1  CPID ( z) = KC = KC = C˜ PID z −1 − Ts T −1 − T s T −1 z (z − 1) z − e 1− z 1− e ( )( ( ) (13.18) DI alak felel meg. Mintavételes PI szabályozók hangolása A (13.18) alakból következik, hogy a mintavételes PI szabályozó impulzusátviteli függvénye CPI ( z) = KC 1 − z1cd z −1 z − z1cd −1 = KC −1 = CPI z z −1 1− z ( ) (13.19) A diszkrét idejû PI szabályozó a FI folyamat DI impuzusátviteli függvényének egyik p1pd (rendszerint a legnagyobb idôállandónak megfelelô legkisebb) pólusát a z − 1 pólussal helyettesíti (az ω = 0 frekvenciára helyezi át). A PI szabályozó

méretezése tehát a z − e − Ts CPI ( z) = KC z −1 T1 1 − e − T s T1 z −1 = KC = CPI z −1 −1 1− z ( ) (13.20) DI rendszer átviteli függvény szerint történik a z1cd = p1pd = e − T s T1 választással, ahol T1 = max{Ti } . A szabályozó KC erôsítését a FI folyamatnak a mintavételezéssel módosított Pd ( jω) ≈ e− jωT s / 2 P ( jω) frekvenciafüggvényének alapján kell beállítani. A gyakorlatban ez a beállítás úgy történik, hogy a folyamat abszolútérték frekvencia függvénye változatlan as ( jω) ≈ a( jω) , viszont a fázis frekvenciafüggvény kedvezôtlen irányban megváltozik: ϕs ( jω) = ϕ( jω) − ωTs 2 . Ez a hatás igen egyszerûen úgyis figyelembe vehetô, hogy az eredeti FI rendszerre megfogalmazott ϕ to fázistöbblet elôírás szigorúbbra változik: ϕsto = ϕ to + ωTs 2. A diszkrét idejû PI kompenzáló szabályozó algoritmus ugyanolyan hatású, mint a folytonos idejû PI szabályozó és hangolási

elvük teljesen megegyezik. 340 341 Mintavételes PD szabályozók hangolása A (13.18) alakból következik, hogy a mintavételes PD szabályozó impulzusátviteli függvénye 1 − z1cd z−1 ˜ z − z1cd = CPD z−1 = K C˜ PD ( z) = KC C cd cd −1 1− p z z− p ( ) (13.21) amely SRE megfelelelôje a FI (8.14) PD szabályozónak A (1321) mintavételes PD szabályozó a FI folyamat DI rendszer átviteli függvényének p2pd pólusát egy nagyobb frekvenciájú p cd pólusra cseréli, tehát gyorsítja. A (13.21) PD szabályozó átmeneti egységugrásra adott válaszának végértékei t=0 ; z z − z1cd = KC lim KC z ∞ z − 1 z − p cd t=∞ ; lim ( z − 1) z 1 (13.22) z z − z1cd 1 − z1cd = K KC C z −1 z − p cd 1 − p cd (13.23) tehát a gyorsításhoz alkalmazott túlvezérlés η= 1 − p cd KC = 1 − z1cd 1 − z1cd KC 1 − p cd (13.24) Az alkalmazott gyorsító méretezésnél tehát a z1cd = p2pd = e − T s T2 választással élünk

elsôdlegesen, majd a megengedett legnagyobb ηmax túlvezérlésbôl meghatározhatjuk p cd -t ( p cd ≥ 1 − 1 − e−T s T2 )ηmax (13.25) Stabilis, megfelelôen mintavételezett folyamatokra 0 ≤ p cd ≤ 1 és 0 ≤ z1cd = p2pd ≤ 1. Így a { ( p cd ≥ max 0,1 − 1 − e−T s T2 )ηmax } (13.26) egyenlôséget be kell tartanunk. A határesetnek megfelelô p cd = e−T s T -hez tartozó T idôállandó T= [ ( −Ts ln 1 − 1 − e − T s T2 )ηmax ] (13.27) Ideális esetben p cd = 0, amikoris CPD ( z) = KC ( ) ( ) z − z1cd = KC 1 − z1cd z −1 = CPD z −1 z (13.28) ( ) Az ideális mintavételes PD szabályozóra a túlvezérlés értéke η = 1 1 − z1cd . Az ideális P D 341 342 szabályozó kisfrekvenciás közelítést leképezô folytonos idejû PD szabályozó átviteli függvénye (lásd az F-5. Függelék F-131 pontjában) a z1cd = p2pd = e − T s T 2 esetben ( ) ( − s T −T CPD ( s) ≈ KC 1 − p2pd (1 + sT2 )e ( d 2

s ) = KC 1 − e − T s T2 )(1 + sT2 )e − sT d2 (13.29) ahol Td 2 = Ts 1 + e − Ts 3 (13.30) T2 Ha Ts ≥ 3T2 , akkor (13.27)-ben 1 − e − Ts T2 ≈ Ts T2 Td 2 ≈ és Ts T2 (13.31) A kisfrekvencián érvényes közelítô folytonos idejû PD szabályozó végezetül T C˜˜ PD ( s) = KC s (1 + sT2 )e − sT s T2 2 (13.32) A diszkrét idejû PD kompenzáció hatása a vizsgált frekvenciatartományban tehát olyan, mintha egy FI kompenzáló tag a folyamat T2 idôállandóját egy Ts 2 nagyságú holtidôre cserélné és közben T2 Ts (pontosabban (13.24) szerinti) túlvezérlést okoz Másszóval minden egyszeres diszkrét idejû PD tag a felnyitott körben a FI rendszer átviteli függvényének egyik pólusát Ts 2 holtidôre cseréli olyan túlvezérléssel, mintha a pólus sarokfrekvenciáját az ω = 1 Ts pontba helyezné át. (Ezt a törvényszerûséget a felfedezôje után TUSCHÁK hatásnak nevezzük) A mintavételes PD szabályozó kedvezôbb

túlvezérlési viszonyokat produkál, mint a folytonos idejû PD szabályozó. Ez annak a következménye, hogy a kezdeti túlvezérlés a teljes mintavételi intervallumban fennáll. Így kisebb amplitúdó mellett is elegendô energiát tudunk a folyamattal közölni. A túlvezérlés ugyanis az általa átadott energiatöbblettel gyorsítja a folyamatot A szabályozó erôsítésének a méretezése adott fázistöbbletre a klasszikus módszer szerint történik az eredeti FI rendszerre megfogalmazott ϕ to fázistöbblet elôírás ϕsto = ϕ to + ωTs 2 szerinti megváltoztatásával. Mintavételes PID szabályozók hangolása A diszkrét idejû PID szabályozó gyakorlatban legjobban elterjedt alakja a (13.18) szerinti Ez az alak tulajdonképpen a (13.19) diszkrét idejû PI és a (1321) diszkrét idejû PD szabályozó kombinációja, lényegében sorba kapcsolása. Így az elôzô két esetre vonatkozó méretezési eljárást kell együtt megismételni. Legyen tehát ( )(

) ) ( ( )( ) ) z − z1cd z − z2cd 1 − z1cd z −1 1 − z2cd z −1  CPID ( z) = KC = KC = C˜ PID z −1 − Ts T −1 − T s T −1 z (z − 1) z − e 1− z 1− e pd ahol z1cd = p1 = e − T s 342 ( T1 és z2cd = p2pd = e − T s )( T2 ( ) (13.33) választással hangoljuk be a paramétereket. A 343 (13.18) PID szabályozó átmeneti egységugrásra adott válaszának végértékei a zárt körben t=0 ; t=∞ ; ( )( ) ) z − z1cd z − z2cd z lim = KC KC z ∞ z − 1 (z − 1) z − e − Ts T ( (13.34) 1 P (0) (13.35) tehát a gyorsításhoz alkalmazott túlvezérlés η= KC P (0) (13.36) Formálisan úgy tûnik, hogy a KC a diszkrét idejû PID szabályozó erôsítése, pedig ez nem így  van. A KC egy szorzó tényezô Ha a CPID erôsítését egységnyire normáljuk, akkor a  CPID ( z) = kC (1 − e −T T ) (z − z1cd )(z − z2cd ) (1 − z1cd )(1 − z2cd ) (z − 1)(z − e −T T ) s (13.37) s alakban már kC a

szabályozó valódi erôsítése. A két alak összevetésébôl 1 − e−T T ) ( KC = kC (1 − z1cd )(1 − z2cd ) s (13.38) és így ( ) ( ) 1 − e − Ts T 1 − e − Ts T kC kC η= = P (0) 1 − z1cd 1 − z2cd P (0) 1 − e − T s T1 1 − e − T s ( )( ) ( )( T2 ) (13.39) A megengedett legnagyobb ηmax túlvezérlésbôl meghatározhatjuk p1cd , illetve T -t p1cd ≥ 1 − ηmax P (0) 1 − e − Ts kC ( T1 )(1 − e −T T ) s (13.40) 2 A (13.26)-tal kapcsolatban elmondottakra itt is ügyelnünk kell A határesetnek megfelelô p1cd = e − T s T -hez tartozó T idôállandó T= −Ts  η P (0) ln 1 − max 1 − e − Ts kC  ( T1 )(1 − e − Ts T2    ) (13.41) A mintavételes PID szabályozó is kedvezôbb túlvezérlési viszonyokat produkál, mint a folytonos idejû PID szabályozó. Ez annak a következménye, hogy a kezdeti túlvezérlés a teljes mintavételi intervallumban fennáll. Így kisebb amplitúdó mellett

is elegendô energiát tudunk a folyamattal közölni. A túlvezérlés ugyanis az általa átadott energiatöbblettel gyorsítja a folyamatot. 343 344 A szabályozó erôsítésének a méretezése adott fázistöbbletre most is a klasszikus módszer szerint történik az eredeti FI rendszerre megfogalmazott ϕ to fázistöbblet elôírás ϕsto = ϕ to + ωTs 2 szerinti megváltoztatásával. A diszkrét idejû PID szabályozó (13.10) alakját használjuk, akkor a szabályozó beállítása a {Ts , A,TI ,TD} paraméternégyes meghatározását jelenti, feltéve, hogy mindhárom csatornát használni kívánjuk. Ha a (1313) formából indulunk ki, akkor a {Ts , A, TI , TD , T } paraméterötös { a méretezés tárgya. Ha pedig a (1318) alak a realizáció alapja, akkor Ts , KC , z1cd , z2cd , T {Ts , A,TI ,TD ,T } { } } a és Ts , KC , z1cd , z2cd , T paraméter halmazok egymásba átszámíthatóak. Az ember/gép kapcsolatban általában a FI szabályozó

paramétereit használjuk, a számítógépes programozáshoz viszont a DI alak paraméterei a hasznosabbak. tervezés hangolási célja. A A mintavételezési idô felvételére egy gyakorlati ökölszabály a tranziensekbôl 7-10 minta vételét javasolja. A tényleges mintavételezési idô így természetesen a szabályozott szakasz, a technológia jellege szerint veendô fel. Jellegzetes értékek: áramlásszabályozás (1-3 sec), szintszabályozás (5-10 sec), nyomásszabályozás (1-5 sec), hômérsékletszabályozás (10-20 sec). 13.2 További tervezési módszerek A továbbiakban elsôsorban a tervezési kérdésekkel fogunk foglalkozni, de ahol szükséges, kitérünk a realizációs vonatkozásokra is. A FI zárt rendszerek struktúrájával összehasonlítva a mintavételes rendszerek jellemzôje, hogy az illesztési feladatok ellátására itt a szabályozón és a folyamaton kívül további konverziós egységek is szerepelnek a körben. Láttuk, hogy a

mintavételezés természetes módon szolgáltatja a mintákat a diszkrét idôpillanatokban lefutó szabályozási algoritmus részére, a tartószerv azonban egy FI dinamikus elôtaggal bôvíti a FI folyamatot. A 11 Fejezetben láttuk, hogy zérusrendû tartószerv esetén ez a dinamika egyrészt a W ZOH = 1 − e − sT s s átviteli függvénnyel jellemzett, másrészt a közelítô hatása egy a mintavételezési idô felének megfelelô holtidôs tagnak felel meg, amelyet könnyû a frekvenciatartományban figyelembe venni. Joggal merülhet fel a kérdés, hogy a FI rendszerek szintézisére bemutatott technikák mechanikus alkalmazása miért nem elegendô a mintavételes rendszerek tervezéséhez. Látni fogjuk, hogy a folytonos rendszerek koncepcionális alapvetéseinek DI megfelelôi rendre kidolgozhatók a mintavételes rendszerekre is, azonban a mechanikus másolás természetesen ebben az esetben sem követhetô metodika. Ennek szemléltetésére vizsgáljuk meg a

folytonos rendszerek elméletébôl jól ismert struktúrális stabilitás elvét. 13.1 Példa Tekintsük a P ( s) = 344 1 (1 + 5s)(1 + 10s) (13.42) 345 átviteli függvénnyel adott FI folyamatot, amelyet Ts = 1 [sec] mellett mintavételesen kívánunk zárt körben, soros arányos (P) szabályozó és zérusrendû tartószerv beiktatásával szabályozni. A FI folyamat és a tartószerv együttes diszkrét idejû SRE modellje Pd ( z) = 0.0091z + 00082 0.0091( z + 09048) = . z − 1.7236 z + 07408 ( z − 09048)( z − 08187) 2 Az egységnyi erôsítésû FI folyamattal az arányos szabályozó erôsítése megegyezik a körerôsítéssel A = K , és így a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete 1 + K Pd ( z) = 0 , (13.43) illetve polinomiális formában: z 2 + (0.0091K − 17236) + 00082K + 07408 = 0 (13.44) A FI rendszerek gyökhelygörbéjével kapcsolatos megállapítás (a gyökhelygörbe K = 0 esetén a nyitott rendszer pólusaiból indul ki) itt is helytálló,

hiszen K = 0-ra a zárt rendszer pólusai azonosak a nyitott rendszerével ( p1 = 0.9054 , p2 = 08182 a z-síkban) K növelésével a zárt kör pólusai egyre közelebb kerülnek az egységsugarú körhöz, végül K = 31.6 értéknél a zárt kör pólusaira ( p1,2 = 0.718 ± j 0696 ) teljesül a p1,2 = 1 feltétel Végül a K > 316 tartományra a zárt kör pólusai az egységsugarú rendszeren kívülre kerülnek, így a zárt rendszer labilissá válik. Ez elsô ránézésre váratlan eredmény, mert az L( s) = K P ( s) = K (1 + 5s)(1 + 10s) (13.45) hurokátviteli függvényû FI rendszer struktúrálisan stabilis. A struktúrális stabilitás koncepciója tehát nem vihetô át a FI rendszerek elméletébôl a mintavételes rendszerekre. Magyarázatként elég arra gondolnunk, hogy a tartószerv által a rendszerbe behozott holtidô kizárja a struktúrális stabilitás fennállását. A 12. Fejezetben tárgyalt módszerek gyakorlatilag mind a z változó racionális

törtfüggvényeivel, ezek számlálójában és nevezôjében lévô polinomokkal dolgoztak. A hagyományos PID szabályozó család mintavételes változatait a 13.1 pontban tárgyaltuk A FI rendszerekre bemutatott általános polinomiális módszert valamint az állapotvisszacsatolást használó szabályozót mintavételes rendszerekre a 14. és 15 Fejezetben tárgyaljuk Célszerû foglalkoznunk olyan módszerekkel is, amelyek bizonyos értelemben a FI rendszerek frekvenciatartománybeli tervezését terjesztik ki a DI esetre. Az alábbiakban ezeket az irodalomban elôforduló további megközelítéseket is bemutatjuk. A mintavételes szabályozások sokszínûségére való tekintettel a további tervezési módszereket három lehetséges úton tárgyaljuk, ezeket a tervezési stratégiákat az alábbi elnevezésekkel illetjük: (a) Közbensô folytonos szabályozó tervezése és diszkretizálása A folytonos szabályozó tervezése a tartószervvel kibôvített folyamatmodell

alapján történik. A megtervezett folytonos szabályozó szükségképpen csak közbensô állomása lehet a tervezésnek, hiszen a tervezési eljárás végülis egy eltolási operátorral leírható diszkrét idejû összefüggésre kell, hogy vezessen. 345 346 (b) Diszkrét idejû szabályozó tervezése diszkretizált folyamatmodell alapján E módszert követve a teljes tervezési feladatot a diszkrét idôtartományba transzformáljuk. Ehhez a folytonos folyamatot a tartószervvel együtt egy diszkrét idejû folyamatmodellbe integráljuk. (c) Diszkrét idejû szabályozó közvetlen tervezése folytonos folyamatmodell alapján A módszer lényege, hogy a folytonos folyamat kisfrekvenciás viselkedése és a zárt körre vonatkozó specifikációk alapján a diszkrét szabályozót soros PI és PD elemek egymás utáni hozzáadásával alakítjuk ki, amely elemeket a folytonos rendszer frekvencia diagramjának töréspontjaihoz illesztjük. Közbensô folytonos

szabályozó tervezése és diszkretizálása A tervezés alapelvét megismételve itt arról van szó, hogy egy folytonos szakaszhoz tervezünk egy folytonos szabályozót, amelyet elôször diszkretizálunk, majd a diszkretizált szabályozó interpretációja alapján elôállítjuk a szabályozási algoritmust realizáló programkódot. Szigorúan véve az a folytonos szakasz, amelyhez a szabályozót tervezzük, az eredeti folyamat P ( s) átviteli ( függvényének és a zérusrendû tartószerv W ZOH = 1 − e− sT s ) s átviteli függvényének soros eredôje: 1 − e − sT s Pe ( s) = W ZOH P ( s) = P ( s) s (13.46) Mivel ez az eredô jellegében transzcendens, így közelítéshez kell folyamodnunk. A közelítés lehet egylépéses, ekkor közvetlenül a nulladrendû tartószervre vonatkozik (tipikusan a mintavételezési idô felének megfelelô holtidôvel váltjuk ki a zérusrendû tartószervet, ami ettôl az átalakítástól ugyan továbbra még transzcendens

marad, de folytonos tervezési módszereink által uralt jellegûvé válik) vagy kétlépéses, amikor elôször egységugrás ekvivalens transzformációval megkeressük a folytonos szakasz és a tartószerv együttes diszkrét alakját, majd ezt a már nem transzcendens alakot visszatranszformáljuk a folytonos tartományba. Megjegyezzük, hogy a közbensô folytonos szabályozó tervezésének módszerét a gyakorlatban akkor használják, amikor nagyfrekvenciás mintavételezésre van lehetôség, ekkor pedig az egyes diszkretizálási módszerek között nincs lényeges eltérés a pontosságot illetôen. A lehetséges módszereket sematikusan összefoglalva, az egylépéses diszkretizálás lépései: Pe ( s) ≈ e − sT s / 2 P ( s) ⇒ C ( s) ⇒ Cd ( z) ⇒ ⇒ C ( s) Cd (q) , (13.47) míg a kétlépéses diszkretizálásé:  P ( s)  Pd ( z) = 1 − z −1 Z   s  ( ) ⇒ Pd ( s) ⇒ Cd ( z) ⇒ Cd (q) . (13.48) A fenti átalakítási sor

tartományait az egyes fázisok egyértelmû követhetôsége érdekében  P ( s)  Pd ( z) = 1 − z −1 Z   s  ( ) ⇒ Pd ( w ) ⇒ C(w) ⇒ Cd ( z) ⇒ Cd (q) (13.49) formában szokásos tárgyalni, ahol a w ugyanolyan komplex frekvencia változó, mint a megszokott s, a megkülönböztetett jelölés a Pd (w ) alak helyére utal a fenti sémában. 346 347 Látható, hogy a C ( s) ⇒ Cd ( z) diszkretizálás mindkét séma eleme, így elôször ezzel az átalakítással foglalkozunk, ugyanakkor a Cd ( z) ⇒ Cd (q) átalakítás formális behelyettesítést jelent: Cd (q) = Cd ( z) z = q . Tegyük fel, hogy rendelkezésünkre áll egy a diszkrét idejû megvalósítás alapját képezô, megtervezett C ( s) szabályozó. A diszkretizálást ekvivalens diszkrét idejû modell megkeresése vagy numerikus integrálás formájában hajthatjuk végre. Ekvivalens diszkrét idejû modell felállítása Ebben az esetben a szabályozó diszkretizálása

során a C ( s) átviteli függvény egy ekvivalens diszkrét idejû megvalósítását keressük. Ehhez definiálnunk kell, hogy milyen szempont szerint keressük az ekvivalens diszkrét modellt. Az ekvivalenciát abban az értelemben keressük, hogy azonos jellegû bemenet (pl. egységugrás vagy egységsebességugrás, szinuszos gerjesztés) esetén a két rendszer viselkedése valamilyen tartományban legyen azonos. Lehetséges kritériumok: azonos átmeneti függvény, azonos impulzus válasz, azonos frekvenciaátvitel, azonos pólusok-zérusok, stb. Látnunk kell, hogy ha az egyik kritériumra teljesül az ekvivalencia, a másikra nem garantált sem az egyezés ténye, sem az egyezés mértéke. Annyit érezni, hogy ritkább mintavételezéssel nem javulnak a viszonyok. A kvantálás és a véges szóhossz problémájával ezen a helyen külön nem kívánunk foglalkozni. Egységugrás ekvivalens diszkretizálás: Legyenek a folytonos szabályozó kimenetének mintái: 1 

u[ kTs ] = u[ k ] = L −1  C ( s) s  t = kT (13.50) s Ekkor a mintavételes szabályozó kimenetének z-transzformáltja: U ( z) = 1 Cd ( z) , 1 − z −1 (13.51) amibôl ( Cd ( z) = 1 − z−1  1 s   , t = kTs  ) Z L −1 C(s)  (13.52) azaz a korábbiakban már megismert összefüggést kaptuk vissza. Impulzus válasz ekvivalens diszkretizálás: Célunk az u[ k ] = Ts u( t) t = kT feltétel biztosítása, ehhez a diszkretizálás során a s Cd ( z) = Ts Z {u[ k ]} = Ts Z {L −1 [C(s)]t= kTs } = Ts C(z) (13.53) összefüggés szerint kell eljárni. Ekvivalens pólus/zérus leképzést biztosító diszkretizálás: Ebben az esetben minden pólust illetve zérust a z = e sTs leképzés szerint transzformálunk, a 347 348 statikus átvitelt pedig azonos értéken tartjuk. Eközben felmerülhet egy különleges probléma: mi a teendô, ha nincs zérusa a rendszernek? Megfigyelhetjük, hogy olyan

dinamikus FI rendszernek, amelynek nincs zérusa, a frekvencia amplitúdó függvénye végtelen frekvenciák esetén zérushoz tart. DI rendszereknél a legnagyobb frekvencia ω max = π / Ts , itt z értéke z = e sT s s = jω max = e jπ = −1. (13.54) Következésképpen a nemlétezô FI zérust a z = −1 zérushelyre kell leképezni, másszóval FI zérus hiánya esetén a diszkretizált modell számlálójában a ( z + 1) tényezônek kell megjelenni. Diszkretizálás numerikus integrálással A diszkretizálási algoritmusok származtatásához ismét tekintsük át a numerikus integrálás néhány alapösszefüggését. Legyen feladatunk egy folytonos f ( t) függvény integrálása és jelöljük az integrálás eredményét i( t) -vel: i( t) = t ∫ f (t) dτ (13.55) τ= 0 Az f ( t) függvény Ts mintavételi idônként rendelkezésre álló f [ k ] mintái alapján az integrál értéke a t = k Ts mintavételi idôpontokban különbözôképpen közelíthetô.

Jobb oldali téglány összegekkel: i[ k ] = i[ k − 1] + Ts f [ k ] 1 qT ⇒ s s q −1 ; (13.56) Bal oldali téglány összegekkel: i[ k ] = i[ k − 1] + Ts f [ k − 1] ; 1 T ⇒ s s q −1 (13.57) Trapéz közelítéssel: i[ k ] = i[ k − 1] + Ts f [ k − 1] + f [ k ] 2 ; 1 T q +1 ⇒ s s 2 q −1 (13.58) Bilineáris transzformáció: Bilineáris transzformáción azt az átalakítást értjük, amely a trapéz szabály szerinti közelítésen alapuló numerikus integrálást alkalmazva az eltolási operátor racionális törtfüggvényeként diszkretizál egy C ( s) átviteli függvényével adott folytonos rendszert. Vizsgáljuk meg, hogy a (13.58) szerinti formális helyettesítés milyen eltérést eredményez a FI és a DI modell frekvencia függvényében. Egy adott ω körfrekvencián a folytonos rendszer frekvenciafüggvénye C ( jω) = C ( s) s = jω . A diszkretizálást az s= 2 q −1 Ts q + 1 (13.59) helyettesítéssel megvalósítva a diszkretizált

modellben az ω körfrekvencia az alábbiak szerint 348 349 alakul: 2 z −1 2 e jωT s − 1 2 e jωT s / 2 − e − jωT s / 2 2  ωT  = = = j tg  s  . j T j T − j T ω ω / 2 ω / 2 s Ts  2  Ts z + 1 z = e jωTs Ts e s + 1 Ts e s + e (13.60) A fenti egyenlet jelentése: a folytonos rendszer frekvenciafüggvénye és a diszkretizált rendszer frekvenciafüggvénye eltér egymástól. Az eltérés frekvenciafüggô, hiszen egy adott ω körfrekvencián s = jω helyettesítéssel kiértékelt racionális törtfüggvény és ugyanezen racionális törtfüggvény s= j 2  ωTs  tg   Ts  2  (13.61) 2  ωTs  tg   Ts  2  összefüggésben testet öltô frekvencia torzítás mértéke az alacsony frekvenciatartományban a helyettesítés szerinti kiértékelése szükségképpen eltérô eredményt ad. A 2  ωTs  2 ωTs tg  =ω ≈ Ts  2  Ts 2 (13.62) közelítés következtében nem jelentôs, a

mintavételezési frekvenciához közeledve azonban az eltérés növekszik. Ugyanakkor azt is látnunk kell, hogy a diszkretizálást az s= ω1 2 q −1 2  ω1Ts  Ts q + 1 tg   Ts  2  (13.63) frekvencia “átskálázás” bevezetésével egyetlen, a szabályozó tervezôje által tetszôlegesen választható ω1 frekvencia értéken hibamentessé tehetjük. Delta transzformáció: A delta transzformáció a bal oldali téglány összegekkel való numerikus integrálási technika alkalmazására épül. Delta operátornak a (1357) összefüggésébôl származó δ= q −1 ≈s Ts (13.64) differenciálási operátort nevezik, amelyet egy f [ kTs ] DI jelsorozatra alkalmazva δ f [ k ] = δ f [ kTs ] = f ( kTs + Ts ) − f ( kTs ) f [ k + 1] − f [ k ] = Ts Ts (13.65) Egy rendszer delta operátorral kifejezett átviteli függvénye (röviden delta transzformáltja) formálisan FI alakból és DI alakból is származtatható. Ez nyilvánvaló, hiszen a

(1364) szerinti és q = δ Ts + 1 helyettesítések elvégezhetôk, ám meg kell jegyezni, hogy az egyik behelyettesítés közelítô, a másik pontos eredményre vezet. A DI alakkal kezdve a q = δ Ts + 1 helyettesítéssel az eltolási operátor átviteli függvényével adott rendszerre belátható, hogy a delta operátorral is racionális törtfüggvény alakban fejezhetô ki: 349 350 B (q) B (δTs + 1) B (δ) = = = G (δ) A (q) A (δTs + 1) A (δ) G(q) = (13.66) A H ( s) FI átviteli függvénybôl is származtatható delta transzformált, ekkor G(δ) = H ( s) s = δ szerint járunk el, tehát a H ( s) struktúráját (pl. a pólustöbbletét) megtartja A delta transzformáció elméleti jelentôségét jól mutatja, hogy közvetlen kapcsolatot teremt a FI és a DI rendszerek között. Egy H ( s) átviteli függvényû FI rendszerre ugyanis igaz, hogy lim G(δ) = H ( s) . Ts 0 (13.67) Ugyanakkor a delta transzformáció alkalmazása az utóbbi években folyamatosan a

gyakorlati megvalósítások egyik favorizált módszerévé is vált. Ennek oka éppen a (1367) összefüggésben rejlik, ugyanis delta transzformáltak alkalmazásakor kis mintavételi idôknél a delta átviteli függvény és a folytonos rendszer pólusai és zérusai egymáshoz közel esnek. Az egységugrás ekvivalens alakra visszatérve, ahol a P ( s) = 1 (1 + 5s)(1 + 10s) (13.68) átviteli függvény diszkretizált alakjára Ts = 1 [sec] mellett a Pd ( z) = 0.0091( z + 09048) (z − 0.9048)(z − 08187) (13.69) modellt kaptuk, a pólusokra vonatkozó információ a z = e sT s leképzés következtében az 1 értéktôl való kicsiny eltérésben, így numerikusan kedvezôtlen módon jelenik meg. A mintavételi idô csökkenésével tovább romlik a helyzet, pl. Ts = 01 [sec] esetén: 9.9006 ( z + 099)10 −5 Pd ( z) = . (z − 0.9900) (z − 09802) (13.70) A digitális szabályozókat realizáló hardver platformok fejlôdése egyre kisebb mintavételezési idôk

alkalmazását engedi meg, ezért kerülhet elôtérbe a delta transzformáltak használata a diszkretizáció során. Gyors mintavételezés esetén a delta transzformáció (1364) megfelelô pontossága ugyanakkor a frekvencia torzítás lekezelésének nehézségével terhelt bilineáris transzformáció használatát is elkerülhetôvé teszi. PID szabályozók diszkretizálása A PID szabályozók a folyamatok széles körére kínálnak megoldást, így a gyakorlati irányítástechnika legismertebb szabályozó típusát képviselik. A PID elnevezés arra utal, hogy ez a szabályozás három párhuzamos átviteli függvény (ún. csatorna) eredôjeként állítja elô a hibajelbôl a beavatkozójelet. Ezen alapelven túlmenôen a PID szabályozók formai leírása mind a folytonos, mind a diszkrét idôtartományban számos variánst foglal magába. A mintavételes PID szabályozó család tervezésének tárgyalásakor a 12. Fejezetben csak a SRE transzformációt használtuk.

Ami a DI variánsokat illeti, adott folytonos PID szabályozóból nyilván annyiféle diszkretizált alak állítható elô, ahány különbözô diszkretizálási technikát alkalmazunk a FI-DI átalakításra. Az alábbiakban mintaképpen mutatunk be néhány származtatási technikát, 350 351 hangsúlyozva, hogy további verziókhoz is hasonló módon juthatunk. A PID szabályozók különbözô analóg és digitális megvalósítási formái a beavatkozójelet az  1 u( t) = A e( t) + TI  d e( t)  ∫ e(τ) d τ + TD d t   τ= 0 t (13.71) elvi egyenlet alapján generálják a hibajelbôl, ahol a hibajel a kimenôjelnek az alapjeltôl való eltérése: e( t) = y r − y ( t) . (13.72) Kétpontos differenciálást és jobb oldali téglány szabály szerinti integrálást választva az egyes csatornák mûködése közvetlenül felírható: P-csatorna: uP [ k ] = Ae[ k ] (13.73) I-csatorna: uI [ k ] = uI [ k − 1] + ATs e[ k ] TI (13.74)

D-csatorna: U D ( s) = A sTD E ( s) ⇒ uD [ k ] = ATD (e[k ] − e[k − 1]) . Ts (13.75) A teljes bemenôjel ezekután:   ATs ATD  u[ k ] = uP [ k ] + uI [ k ] + uD [ k ] = A + + (q − 1)e[k ] = −1  Ts TI 1 − q    T (q − 1)  Ts q = A 1 + + D  e[ k ] Ts q   TI (q − 1) ( ) (13.76) Egy másik numerikus integrálást választva fejezzük ki elôször a PID jelformálást LAPLACE transzformáltakkal:   1 U ( s) = A 1 + + sTD  E ( s) .  sTI  (13.77) Válasszuk a bilineáris transzformáció szerinti diszkretizálást:   T 1 + q −1 TD −1  e[ k ] = 1 u[ k ] = A 1 + s + − q  2TI 1 − q −1 Ts     Ts  Ts 2q −1 TD q −1 −1 1 − q  e[ k ] = K P + K I = K 1 + + + K D 1 − q −1 + − 1 − 1 Ts  2TI  2TI 1 − q   1− q ( ) ( 351 ) (   e[ k ]  ) (13.78) 352 ahol KP = A + KI 2 ; KI = ATs TI ; KD

= ATD Ts (13.79) A diszkrét idejû PID szabályozó fenti összefüggésébôl az eltolási operátor alkalmazásával (1 − q−1) u[k] = KP (1 − q−1) + KI q−1 + KD (1 − q−1)  e[k], 2 (13.80) majd további rendezés után u[ k ] = u[ k − 1] + (K P + K D ) e[ k ] − (K P − K I + 2K D ) e[ k − 1] + K D e[ k − 2] (13.81) formában adódik. A diszkrét idejû PID szabályozó fenti alakját pozíció algoritmusnak nevezzük, a beavatkozójel növekményének felírása pedig az ún. sebesség algoritmust eredményezi: u[ k ] − u[ k − 1] = (K P + K D ) e[ k ] − (K P − K I + 2K D ) e[ k − 1] + K D e[ k − 2] (13.82) Zajos mérési környezetben a D-csatorna gyakorlati megvalósítása természetesen nem történhet az elvi egyenletben szereplô TD d e( t) d t kifejezés szerint, mert a mérési zajokkal terhelt kimenôjel indokolatlanul nagy amplitúdójú beavatkozójeleket eredményezne. Megjegyezzük, hogy mintavételes

rendszerek esetén a kimenôjel méréseit fogadó aluláteresztô szûrô alkalmazása csökkenti a nagyfrekvenciás mérési zajok érvényre jutását. Az általános és a korábbi fejezetekben megismert megoldás a differenciális hatás szûrése egy tárolós tag segítségével. Áttérve a LAPLACE transzformáltakra:  sTD  1 U ( s) = A 1 + +  E ( s) ,  sTI 1 + sTD N  (13.82) ahol N szokásos értéke 5 és 20 között változik. A nagyobb N értékek a magasabb frekvencia tartományokra engedélyezik a differenciáló hatás érvényre jutását. Az arányos (P), integráló (I) és differenciáló (D ) csatorna diszkretizált alakját egymástól függetlenül, egyszerû megfontolásokat követve, a numerikus integrálás formalizmusának felhasználása nélkül is elô tudjuk állítani: P-csatorna: uP [ k ] = Ae[ k ] (13.83) I-csatorna: uI [ k ] = uI [ k − 1] + ATs e[ k ] TI (13.84) D-csatorna: U D ( s) = K 352 sTD sT E ( s) ⇒ U D ( s) + D U

D ( s) = ATD s E ( s) 1 + sTD N N (13.85) 353 A differenciálást a két egymást követô minta figyelembevételével d f ( t) f [ k ] − f [ k − 1] ⇒ dt Ts (13.86) szerint elvégezve uD [ k ] + TD ATD uD [ k ] − uD [ k − 1]) = ( (e[k ] − e[k − 1]) NTs Ts (13.87) adódik, ahonnan uD [ k ] = TD ATD N uD [ k − 1] + (e[k ] − e[k − 1]) . TD + N Ts TD + N Ts (13.88) A csatornánkénti megvalósítás egy párhuzamos struktúrájú realizáció, így a beavatkozójel u[ k ] = uP [ k ] + uI [ k ] + uD [ k ] . (13.89) A párhuzamos PID realizáció alkalmazásakor átláthatóvá válik az egyes csatornák mûködése. A módszer további elônye, hogy egyszerû módon teszi lehetôvé speciális megfontolások beiktatását. Például abban az esetben, ha az alapjelben bekövetkezô változásokat nem kívánjuk bevonni a differenciális csatorna mûködésébe, akkor ez uD [ k ] = TD ATD N uD [ k − 1] − ( y[k ] − y[k − 1]) TD + N Ts TD + N Ts

(13.90) szerint közvetlenül megvalósítható. Hasonlóképpen az integrátor telítésének lekezelése közvetlenül az uI [ k ] változó figyelésével és korlátozásával oldható meg. A fenti összefüggések természetesen az eltolási operátor alkalmazásával is megfogalmazhatók, ekkor az I-csatornára uI [ k ] = q −1uI [ k − 1] + ATs e[ k ] ⇒ TI uI [ k ] = ATs ( TI 1 − q −1 ) e[ k ] , (13.91) a D-csatornára pedig uD [ k ] = (1 − q−1) ATD N  q −1TD  1 −  (TD + N Ts )  TD + N Ts  e[ k ] = (1 − q−1) ATD N TD + N Ts − q −1TD e[ k ] (13.92) adódik. Az egyes komponenseket összevonva: ( )   1 − q −1 TD N Ts   e[ k ] = + u[ k ] = uP [ k ] + uI [ k ] + uD [ k ] = A 1 +  TD + N Ts − q −1TD TI (1 − q −1 )    =A 353 ( )( ) ( ) ( ) TI 1 − q −1 TD + N Ts − q −1TD + 1 − q −1 TD N TI 1 − q −1 + Ts ( TI 1 − q −1 )(TD + N Ts − q −1 TD ) e[

k ] (13.93) 354 Vegyük észre, hogy további rendezés után a PID szabályozó általános alakja az eltolási operátor függvényében az u[ k ] = bo + b1q −1 + b2q −2 e[ k ] 1 + a1q −1 + a2q −2 (13.94) struktúrát követi, amibôl a megvalósítás rekurzív összefüggése közvetlenül felírható: u[ k ] = boe[ k ] + b1e[ k − 1] + b2e[ k − 2] − a1u[ k − 1] − a2 u[ k − 2] (13.95) A bemutatott diszkretizálási módszereken alapuló tervezési eljárások lényegében három csoportra oszthatók: Tervezés a bilineáris transzformáció (w-transzformáció) módszerével A tervezés lépései a következôk: ( (1) Állítsuk elô a Pd ( z) = 1 − z−1 P ( w ) = Pd ( z) z = ) Z {P(s) s} diszkrét folyamatmodell w-transzformáltját: ( 1+ wTs 2 ) ( 1− wTs 2 ) (13.96) (2) Tervezzünk egy folytonos C ( w ) szabályozót a folytonos P ( w ) szakaszhoz a folytonos tervezési módszerek egyikével. Ez a tervezés tipikusan a P ( w ) szakasz P (

jν) = P ( w ) w = jν frekvenciafüggvénye alapján történik. (3) A w-transzformáció bemutatott összefüggésének ismételt felhasználásával (inverz wtranszformációval) határozzuk meg a diszkrét idejû szabályozót C ( z) = C ( w ) w = 2 1− z −1 ( ) T (1+ z ) s −1 (13.97) szerint. (4) A megtervezett szabályozóval ellenôrizzük a zárt kör mûködését. Az ellenôrzés minden szabályozó tervezési eljárás elengedhetetlen záró lépése, jelen esetben ωT  2 ellenôrzéskor azt is látni fogjuk, hogy a ν = tan  s  szerinti frekvencia torzulás okoz-e  2  Ts lényegi minôségi romlást a zárt kör tervezett viselkedésében. Ha igen (ez viszonylag alacsony frekvenciás mintavételezésnél fordulhat elô), akkor a w-transzformáció során alkalmazhatjuk a 1 − z−1 ωc ′ = w szerinti átskálázást (prewarping) annak érdekében, hogy a tan( ω c Ts / 2 ) 1 + z−1 frekvencia torzulás az ω c vágási körfrekvencia

környezetében ne jelentkezzen. Meg kell jegyezni, hogy a w-transzformációs tervezés folytonos tervezési lépése - C ( w ) meghatározása nem szokványos tervezési feladat, mivel P ( w ) nem-minimumfázisú. Tervezés a delta transzformáció ( δ-transzformáció) módszerével: A gyakorlatban egy folytonos szabályozó delta transzformáltakkal történô diszkretizálása során úgy járunk el, hogy felvázoljuk a folytonos szabályozó egy realizációját (folytonos 354 355 integrátorokból és konstansokból illetve összeadókból álló blokkvázlatát), majd a folytonos 1 T integrátorokat = s delta integrátorokkal váltjuk fel, ami a korábbiakban bemutatott δ q −1 i[ k ] = i[ k − 1] + Ts f [ k − 1] (13.98) összefüggés szerint újítja fel minden lépésben a realizáció diszkrét idejû integrátorait. Tervezés a diszkretizált PID szabályozók alkalmazásával A bemutatott származtatási módszerek valamelyikével kapott pozíció vagy

sebesség algoritmus közvetlenül szolgáltatja a szabályozási algoritmust. Összefoglalásképpen megállapíthatjuk, hogy a közbensô folytonos szabályozó tervezési módszere elsôsorban kis mintavételezési idôk esetén indokolt, ekkor numerikusan kedvezôk az alkalmazási feltételek. További elôny, hogy a folytonos rendszereknél megismert technikák közvetlenül átvehetôk. A módszer hátránya is ez: alkalmazásakor nem lépünk túl a folytonos tervezési technikák korlátain. Diszkrét idejû szabályozó tervezése diszkretizált folyamatmodell alapján A tervezés során azt az elvet követjük, hogy a hibrid (folytonos és diszkrét idejû) feladatot egy tisztán diszkrét idejû feladattá alakítjuk és ezt a tervezési feladatot oldjuk meg. Az átalakítás elsô lépéseként a folytonos folyamatot a tartószervvel együtt egy diszkrét idejû folyamatmodellbe integráljuk. Zérusrendû tartószervet feltételezünk, ekkor a diszkretizált modell

lényegében a folytonos folyamat egységugrás ekvivalens diszkrét idejû megfelelôje: ( Pd ( z) = 1 − z−1 ) Z  P(ss)  .   (13.99) A tervezés célja egy C ( z) impulzusátviteli függvényû soros szabályozó meghatározása, amely mellett a zárt rendszer T ( z) = C ( z) Pd ( z) 1 + C ( z) Pd ( z) vagy általánosan T ( z) = C ( z)G( z) 1 + C ( z)G( z) (13.100) eredô impulzusátviteli függvénye elôre meghatározott tervezési specifikációkat elégít ki. Lényegében ezekkel a módszerekkel foglalkoznak a 12., 14 és 15 Fejezetek, ezért itt a módszerekre nem térünk ki. Diszkrét idejû szabályozó tervezése folytonos folyamatmodell alapján A módszer alapja az a megfigyelés, hogy a frekvenciafüggvények vonatkozásában az alacsonyfrekvenciás tartományban a mintavételes rendszerek jól közelíthetôk folytonos rendszerekkel. A folytonos rendszerek tipikus frekvenciatartománybeli tervezésének lépéseire visszaemlékezve

felidézhetjük, hogy a statikus pontosság biztosítására PI jellegû soros elemeket terveztünk a szabályozóba, majd a zárt kör szervo és zavaráselhárítási tulajdonságait javítandó, a metszési frekvenciát közelítô PD (valójában fázissiettetô) tagok beiktatásával igyekeztünk megnövelni, végül a stabilitás mértékét elôírt fázistartalék formájában az erôsítés beállításával határoztuk meg. A PI és a közelítô PD tagok sarokfrekvenciái a jellegzetes, aluláteresztô szûrô 355 356 jellegû folyamatokra az alacsony illetve középfrekvenciás szakaszra estek. A diszkrét idejû szabályozó tervezésénél hasonlóan járunk el. A PI és PD jellegû soros elemeket továbbra is a folytonos szakasz frekvenciafüggvénye, gyakorlatilag a közelítô BODE diagram alapján vesszük fel, azonban miután ezen soros elemek jellegét (PI vagy PD) és törési frekvenciáit megválasztottuk, nem folytonos szabályozó tagokat, hanem

közvetlenül diszkrét idejû soros elemeket képezünk. Az erôsítés beállítása most is a tervezés parametrikus beállítási fázisának befejezô lépése lesz. A módszer lépéseit összefoglalva: (1) PI és PD jellegû kompenzáció bevezetése a folytonos szakasz frekvenciafüggvénye alapján (2) Az elsô lépésben bevezetett PI és PD jellegû kompenzáció diszkrét idejû alakjának képzése és hozzáadása (soros elemként) a korábban meghatározott elemekhez (3) A szabályozó erôsítésének megválasztása elôírt fázistartalék elérésére (4) A metszési körfrekvencia ellenôrzése megfelelôség szempontjából (5) A zárt kör ellenôrzése a beavatkozójel és a kimenôjel megfelelôsége szempontjából (statikus és tranziens valamint a mintavételezési pontok közötti viselkedés). A folytonos rendszerbeli tervezéssel összehasonlítva a jelen tervezés a második, a harmadik és az ötödik lépés tekintetében igényel speciális

megfontolásokat. A PI és PD jellegû kompenzáció diszkrét idejû alakjának képzése A diszkretizált alakokat a pólus-zérus ekvivalencia módszere szerint állítjuk elô: PI tag: Legyen a folytonos átviteli függvény (1+ sTI ) s , a további jellemzôket táblázatba foglalva: Folytonos idejû Diszkrét idejû Átviteli függvény 1 + sTI s Zérus zPI = −1 / TI z1 = e z PIT s = e − T s / T I Pólus pPI = 0 p1 = e p PIT s = 1 ( A PI tag diszkrét idejû megfelelôje: z − e−T s / T i ) k1 z − z1 z − p1 (z − 1) . Az erôsítéstôl azért tekintünk el, mert csak az együttes erôsítést kívánjuk meghatározni az eljárás végén. PD tag: Legyen a folytonos átviteli függvény (1 + sτ) (1 + sT ) , a további jellemzôket táblázatba foglalva: Folytonos idejû 356 Diszkrét idejû Átviteli függvény 1 + sτ 1 + sT Zérus zPD = −1 τ z2 = e z PDT s = e − T s τ Pólus pPD = −1 T p2 = e p PDT s = e − T s T k2 z − z2 z

− p2 357 ( A PD tag diszkrét idejû megfelelôje: z − e−T s / τ ) (z − e−T /T ). Az erôsítéstôl azért tekintünk el, s mert csak az együttes erôsítést kívánjuk meghatározni az eljárás végén. Diszkutálva a kapott impulzusátviteli függvényt vegyük figyelembe, hogy T értéke, amely folytonos esetben τ ötöde, tizede vagy huszada szokott lenni, most tetszôlegesen kis érték lehet, hiszen extrém esetben az 1 + sτ tag frekvenciafüggvényének amplitúdó függvénye a véges mintavételezési frekvencia következtében nem tarthat a frekvencia növekedésével a végtelenhez. A gyakorlatban ezért az e − T s / T ≈ 0 feltételnek eleget tevô T értékkel számolhatunk, aminek következtében a (z − e−T / τ ) s z impulzusátviteli függvényt fogjuk használni a PD tag diszkrét megfelelôjeként, amit csupán a megválasztott törési frekvencia szerint kell paramétereznünk. A diszkrét idejû szabályozónk egy-egy PI illetve PD

tagot feltételezve ezekután C ( z) = ACPI ( z) CPD z − e −T /T ) (z − e −T / τ ) ( ( z) = A s s (z − 1)z (13.101) alakú, a szokásos elnevezése – a bemutatott eljárás lépéseire utalva - PIPD szabályozó. Megjegyezzük, hogy természetesen mód van több PI és/vagy PD tag alkalmazására is. A szabályozó A erôsítésének megválasztása a tervezési eljárás harmadik lépése. Ebben a lépésben a struktúrájában rögzített, az egyetlen szabad paraméterrel, a K = A Pd (1) hurokerôsítéssel képzett L( z) = C ( z) Pd ( z) hurokátviteli függvényt kell vizsgálnunk, amelyben a K függvényében meg kell határoznunk az ω c metszési frekvenciát, majd az ahhoz tartozó fázistartalékot. Olyan K értéket keresünk, amely a tervezett fázistartalékot eredményezi K meghatározására több utat követhetünk. Választhatunk a próbálgatás egy szervezett módjaként egy iteratív technikát, ami jó érzékkel megválasztott lépések

sorozatával meglepôen gyorsan tud konvergálni. Alkalmas módszer lehet a C ( z) szabályozó dinamikus elemeinek frekvenciatartománybeli közelítése. Mindkét módszert gyors és pontos számításokkal váltja fel egy CAD környezet, ahol L( z) frekvenciafüggvénye egységnyi erôsítés mellett felvázolható és azonnal leolvasható, milyen mértékben kell módosítani az erôsítést, hogy a fázistartalék a kívánt értékû legyen. Ezt a kritikus lépést a 132 Példán keresztül fogjuk részletezni A módszer utolsó pontja az ellenôrzés. Itt arra kell felhívni a figyelmet, hogy a zárt kör vizsgálatát ki kell terjeszteni a kimenôjelnek a mintavételi pontok közötti viselkedésének szimulációjával. 13.2 Példa Legyen a folytonos szabályozott szakasz átviteli függvénye P ( s) = e− s . (1 + 10s)(1 + 5s) (13.102) Tervezzünk mintavételes PIPD szabályozót Ts = 1 sec mintavételezési idô mellett úgy, hogy a kör i = 1 típusszámú, a

fázistartalék közelítôen 60° legyen. A tervezést a szakasz diszkretizálása elôzi meg: 357 358   P ( s) Pd ( z) = z−1 1 − z−1 Z  =  (1 + 10 s) (1 + 5 s) s  ( ) = 0.0091 (z + 0.9048) h  −   z − e 10      h  −  z − e 5  z     = 0.0091 (z + 0.9048) (z − 0.9048)(z − 08187)z (13.103) A folytonos tervezésnél megismert elveket követve a PI szabályozó törési frekvenciáját ω1 = 1 10 -re, a PD szabályozó törési frekvenciáját ω 2 = 1 5 -re választjuk, ekkor CPI ( z) = z − e −1 10 z − 0.9048 = z −1 z −1 (13.104) z − e −1 5 z − 0.8187 . = z z (13.105) illetve CPD ( z) = Ezzel CPIPD ( z) = A z − 0.9048 z − 08187 z −1 z (13.106) Az L( z) = CPIPD ( z) Pd ( z) = A 0.0091( z + 09048) z − 0.9048 z − 08187 = (z − 0.9048)(z − 08187)z z −1 z 0.0091( z + 09048) =A z( z − 1) (13.107) hurokátviteli függvény L( z) z = jω = a(ω)e jϕ(ω)

frekvenciafüggvényét A = 1 választás mellett kiértékelve a ϕ(ω) fázisfüggvény a ϕ = −120 fázistolás értéket az amplitúdó függvény a120 = 0.0661 értékénél éri el Mivel az A erôsítés változtatásával a fázisfüggvény nem változik, csak az amplitúdó függvény változik éppen A-szorosára, ezért A = 1 0.0661 = 1513 erôsítést beállítva a fázisfüggvény a ϕ t = −120 fázistolás értéket az amplitúdó függvény a120 = 1 értékénél éri el, ez azt jelenti, hogy a fázistartalék ϕ t = 180 + ϕ(ω) keresett PIPD szabályozó tehát CPIPD ( z) = 15.13 z − 0.9048 z − 08187 . z −1 z A zárt kör idôtartománybeli mûködését a 13.2 ábrán láthatjuk 358 a= 1 = 180 − 120 = 60 . A 359 13.2 ábra A zárt DI kör mûködése PIPD szabályozással 13.3 Mintavételes maradék rendszerek tervezése Folytonos rendszerek esetén gyakran elôfordul, hogy a szabályozó tervezést követôen a hurokátviteli

függvény korlátozott bonyolultságúra adódik. Ilyenkor az ún maradék rendszerek analitikus formában is tárgyalhatók. Mintavételes rendszerek esetén, ha a folytonos folyamat és a nulladrendû tartószerv együttes z -transzformáltjához tervezünk diszkrét idejû szabályozót, hasonló vizsgálati lehetôségeket várunk. Ez azonban sajnos nincs így, mert csak a δtranszformáció biztosítja ugyanazt a struktúrát a DI modellre, mint a FI modell esetében volt Emlekeztetünk arra, hogy a széleskörben használt SRE transzformáció mindig egységnyi pólustöbbletet biztosít. Mivel a z -transzformáció egy n-ed rendû folytonos folyamat és a nulladrendû tartószerv együttes diszkrét idejû modelljének elôállításakor n számú pólust és általában ( n −1) számú zérushelyet eredményez a z síkban, ezért a maradék rendszerek vizsgálata több paraméter terében történô vizsgálódásra vezet, mint folytonos esetben. Ehhez járul még a

mintavételi idô, mint további szabad paraméter figyelembe vétele. Az elmondottakat pontosan követhetjük az alábbi példán keresztül. Kéttárolós folytonos holtidôs folyamat Tekintsük a P ( s) = e− sT d (1 + sT1) (1 + sT2 ) (13.108) átviteli függvénnyel adott holtidôs folytonos folyamatot, ahol Td = d Ts , ( d = 0,1, 2,) (13.109) formában feltételezzük, hogy a Td holtidô a Ts mintavételezési idô egész számú többszöröse. Ekkor a folytonos folyamat és a nulladrendû tartószerv együttes DI modellje Pd ( z) = z− d K P ( z − z1 ) K ( z − z1 ) = d P . (z − p1) (z − p2 ) z (z − p1) (z − p2 ) (13.110) Legyen a póluskiejtéses technikával tervezett diszkrét idejû PID szabályozónk impulzusátviteli függvénye 359 360 C ( z) = CPID ( z) = KC ( z − p1 ) ( z − p2 ) , z ( z − 1) (13.111) ekkor a hurokátviteli függvény KC K P ( z − z1 ) L( z) = C ( z) P ( z) = z d +1 (z − 1) = K L ( z − z1 ) z d +1 (z −

1) = K I ( z − z1 ) z d +1 ( z − 1) , (13.112) Az L( z) frekvenciafüggvénye így L( jω) = = ( K I e jωT s − z1 e j ( d +1)ωT s (e jωT s ) ) −1 = ( K I e jωT s − z1 e j ( d + 2)ωT s −e ) j ( d +1)ωT s = K I [cos(ωTs ) + j sin(ωTs ) − z1 ] cos[( d + 2)ωTs ] + j sin[( d + 2)ωTs ] − cos [( d + 1)ωTs ] − j sin[( d + 1)ωTs ] (13.113) A fentiek alapján arc{L( jω)} = arctg sin [( d + 2)ωTs ] − sin (ωTs ) sin (ωTs ) − arctg cos (ωTs ) − z1 cos [( d + 2)ωTs ] − cos (ωTs ) 1 Mivel a kisfrekvenciás tartományban az z   1 arc jω d +1 ( ) e jω − 1  e ( ) ( d +1) (z − 1) (13.114) kifejezés fázisszöge jó közelítéssel   180° ,  ≅ −90° − ω ( d + 1) π  (13.115) így ebben a tartományban arc{L( jω)} ≅ arctg sin (ωTs ) 180 − 90 − ω ( d + 1) . cos (ωTs ) − z1 π (13.116) Amennyiben ϕ t = 60° értékû fázistartalékra tervezünk, akkor az arc{L(

jω)} = −120° (13.117) feltételt kell kielégíteni. Ehhez az ω ( d + 1) sin (ωTs ) 180° − 30° ≅ arctg π cos (ωTs ) − z1 (13.118) transzcendens egyenletbôl kell meghatároznunk az ω c metszési körfrekvenciát, majd az 360 361 L( jω) ω =ω c = ( K I e jωT s − z1 ( ) ) ω =ω = e jkωT s e jωT s − 1 c ( K I e jωT s − z1 e jωT s −1 ) (e jω T c s = KI ω =ω c e jω cT s − z1 −1 ) =1 (13.119) egyenletbôl KI = e jω cT s − 1 (13.120) e jω cT s − z1 alapján a K I hurokerôsítés értékét, végül KC = K I K P (13.121) szerint a szabályozó keresett erôsítését. Látható, hogy különösen a transzcendens kiindulási egyenlet következtében bonyolult számításokat kell végeznünk, CAD eszközök birtokában viszont nem kell veszni hagynunk a hurokátviteli függvényre kapott kompakt L( z) = K I ( z − z1 ) z( d +1) ( z − 1) = K I ( z − z1 ) (13.122) z k ( z − 1) kifejezést, amely

kényelmesen kezelhetô. Például megfelelô függvények egyetlen lépésben megadhatják egy kívánt frekvenciatartományban (a függvényhíváskor megadandó frekvencia felbontás mellett) az L( z) impulzusátviteli függvény frekvenciafüggvényének összetartozó frekvencia, amplitúdó és fázis értékeit, közöttük a számunkra fontos arc{L( jω)} ≅ −120° környezetben is. A közelítés a frekvenciatartomány folyamatos szûkítésével, felbontásának finomításával tetszôlegesen pontossá tehetô. Ne felejtsük el, hogy a frekvenciafüggvény számításakor az említett függvényhívásoknak „tudni kell” a tervezés kezdetén választott Ts mintavételi idôrôl, hiszen ennek ismerete a formális z = e sT s s = jω behelyettesítéskor is szükséges. Megjegyezzük, hogy holtidô mentes ( d = 0) folyamat esetén k = 1, következésképpen ekkor az ω sin (ωTs ) 180° − 30° ≅ arctg cos (ωTs ) − z1 π (13.123) transzcendens egyenletbôl

kell kiindulni. További megjegyzés, hogy kéttárolós, egy zérust is tartalmazó 1 + sτ) e− sT d ( P ( s) = (1 + sT1)(1 + sT2 ) alakú folytonos holtidôs folyamat szintén a 361 (13.124) 362 Pd ( z) = z− d K P ( z − z1 ) K ( z − z1 ) = d P (z − p1) (z − p2 ) z (z − p1) (z − p2 ) (13.125) diszkretizált alakra vezet. TUSCHÁK módszere TUSCHÁK módszere azon alapul, hogy a DI szabályozók tervezési módszerei is lényegében pólus (zérus) kiejtési módszereket használnak. Ezért sok esetben jó eredményt kapunk, ha a szabályozó tervezést a FI folyamatmodell alapján végezzük, viszont a mintavételezés miatt bekövetkezô extra fázistorzulást figyelembe vesszük. A legegyszerûbb fázistorzulást már tárgyaltuk, hiszen a zérusrendû tartószerv alkalmazása egy e− jωT s 2 nagyságú extra holtidôt helyez el a zárt körbe, ami azt jelenti, hogy a fáziskarakterisztika kedvezôtlen irányba változik ϕs ( jω) = ϕ( jω) − ωTs 2

szerint. Az SRE transzformációval kapott DI modellek további nemkívánt torzulást jelenthetnek. Vizsgáljuk elôször egy P ( s) = 1 (1 + sT ) egytárolós tag SRE modelljét, ahol ( ) ( K 1 − e−T s / T z−1 K 1 − e−T s / T b1z−1 b1 = Pd ( z) = = = 1 + a1z−1 z + a1 1 − e−T s / T z−1 z − e−T s / T ) = K =1 1 − e−T s / T z − e−T s / T (13.126) Az exponenciális tagokat közelítsük TAYLOR sorukkal P̃d ( jω) ≈ [ ] 1 − 1 − Ts T + (Ts T ) 2 −  [ 2 ] [ ] 1 + jωTs + ( jωTs ) 2 +  − 1 − Ts T + (Ts T ) 2 −  2 2 (13.127) A másod és magasabbfokú tagokat elhanyagolva kapjuk, hogy P̃d ( jω) ≈ 1 1 − Ts 2T 1 ≈ e− jωT h 1 + jωT 1 + ( jωT − 1) Ts 2T 1 + jωT (13.128) ahol Th− = Ts 2 1 − Ts 2T = T s <<T Ts 2 (13.129) A kisfrekvenciás tartományban tehát a járulékos holtidô megegyezik a mintavételezés miatt figyelembevett Ts 2 értékkel, viszont nagyobb mintavételezési idôre

ez jóval nagyobb is lehet, például Ts = T esetén már Th− = Ts . Mind a FI folyamat zérusaiból, mind pedig a mintavételezésbôl is jelennek meg zérusok az impulzusátviteli függvényben. Tekintsünk egy egységnyi erôsítésû Pd ( z) = ( z + γ) (1 + γ) DI modellt, amelynek alacsonyfrekvenciás közelítése 362 363 e− jωT s + γ 1 + jωTs + ( jωTs ) 2 +  + γ Pd ( jω) = ≈ 1+ γ 1+ γ 2 (13.130) A számlálót és a nevezôt (1+ γ) -val osztva majd a négyzetes valamint magasabbfokú tagokat elhanyagolva P̃d ( jω) ≈ 1 + jω Ts ≈ e− jωT h 1+ γ (13.131) ahol a járulékos negatív holtidô (tehát siettetés) Th+ = Ts = Ts 1 + γ γ ≈0 (13.132) Ha γ értéke kicsi, akkor Th+ ≈ Ts , ha nagy, akkor Ts 2 -nél is kisebb lehet. A fentiek alapján a teljes járulékos holtidô legdurvább becslése (P − Z ) Ts T˜˜h = 2 (13.133) ahol P a DI modell pólusainak, Z pedig a zérusainak a száma. Ez nem sokkal mond többet, mint a

tartószerv miatt figyelembevett egyszeres e− jωT s 2 késleltetés (SRE diszkretizálásra ugyanis P − Z = 1), ezért mindig célszerû a (13.129) és (13132) képletekkel pontosan kiszámítani a pólusonkénti és zérusonkénti valamennyi járulékos holtidôt Z T̃h = ∑ i =1 Th,+i P − ∑ Th,−i (13.134) i =1 13.3 Példa Legyen a folytonos szakasz átviteli függvénye: P ( s) = 1 (1 + s)(1 + 5s)(1 + 10s) (13.135) A mintavételezési idô legyen Ts = 1. Az impulzusátviteli függvény: Pd ( z) = 0.0024 (z + 0.1903)(z + 27471) (z − 0.9048)(z − 08187)(z − 03679) (13.136) A közelítô diszkrét frekvenciafüggvény a kisfrekvenciás (ω < 1 Ts = 1) tartományban:  0.5  0.5 0.5 − jω + + −1/ 1.1903−1/ 37471  1− 0.5 1− 01 1− 005  (1 + 0.1903)(1 + 27471)e P˜d ( jω) = 0.0024 (1 − 0.9048)(1 − 08187)(1 − 03679)(1 + 10 jω)(1 + 5 jω)(1 + jω) 363 (13.137) 364 illetve P˜d ( jω) = e− jω( 2.089− 084 −

02669) e− jω 0.875 = (1 + 10 jω)(1 + 5 jω)(1 + jω) (1 + 10 jω)(1 + 5 jω)(1 + jω) (13.138) Tehát a szokásos fél mintavételnyi (0.5) idôhöz képest itt egy kicsit nagyobb értéket kaptunk Kéttárolós diszkrét holtidôs folyamat A (13.108) kéttárolós FI holtidôs folyamat SRE diszkrét idejû modellje a (13110) szerinti, amelyet szokásos még a ( ) Pd′ z −1 ( ) bo′ 1 + γ z−1 b1′ z−1 + b2′ z−2 −d z = z− d ′ . = −1 −2 −1 −2 1 + a1′ z + a2′ z 1 + a1′ z + a2′ z (13.139) alakban is felírni. Érdemes megjegyezni, hogy a (1364) szerinti δ-transzformáció esetén a ( ) Pd′′ q−1 = bo′′ bo′′ q−2 q− d ′′ . q− d = −1 −2 −1 −2 1 + a1′′ q + a2′′ q 1 + a1′′ q + a2′′ q (13.140) alakot kapjuk, ahol d ′′ = d + 2. Mindkét alak tehát egy általános Pd = B z− k A impulzusátviteli függvénnyel adható meg, amelyek a B és k értékében térnek el egymástól. A DI

hagyományos PID szabályozó klasszikus pólus kiejtéses tervezési módszerét legegyszerûbben a C ( z) = q A ( z) qo + q1z−1 + q2 z−2 GF ( z) = o −1 GF ( z) , −1 1- z 1- z (13.141) szabályozó alakkal írhatjuk le, ahol GF ( z) a szabályozón belüli soros szûrô. Az íly módón történô kompenzálás eredményeként kapott maradék hurokátviteli függvény ( ) ( ) qobo 1 + γ z−1 K I 1 + γ z −1 qoB −k GF ( z) z = . L( z) = = 1- z−1 1- z−1 1- z−1 (13.142) Az egyszerû maradék zárt körben ϕ t = 60° fázistöbblethez nagyon szép (1-5 %-os) túllendülés tartozik. A beállítandó integrális K I hurokátviteli tényezô kiszámításához sajnos egy γsinx 1 + γcosx = g( x ) . 2d − 1 1 − 2arctg x= (13.143) nemlineáris egyenletet kell megoldanunk és a megoldást felhasználva KI = 364 2(1 − cosx ) 1 + 2 γ cos x + γ 2 (13.144) 365 Az utóbbi két egyenletbôl K I optimális beállítási értékére kapott megoldások

görbeseregét a 13.3 ábán mutatjuk be d és γ függvényében Pozitív γ értékekre a két egyenlet függvényeinek TAYLOR soros közelítéset felhasználva közelítô zárt alakot kapunk K I -re: KI = 1 2 k (1 + γ) − (1 − γ) ; (γ > 0) (13.145) KI 1.4 1.2 1.0 d =1 0.8 d=2 0.6 0.4 d = 10 0.2 0 −1 γ −0.5 0 0.5 1 13.3 ábra Az optimális K I a d és γ függvényében A δ-transzformációnál oly gyakori γ = 0 esetre (BÁNYÁSZ-KEVICZKY módszer) K Io = 1 1 1 1 = = = 2 k − 1 2 k − 1 k = d ′′ 2( d + 2) − 1 2 d + 3 ; (γ ≡ 0) (13.146) Egyszerûen ellenôrizhetô, hogy 1 1 1 K Io = lim ≈ lim = o TI T s 0 Ts T s 0 2 Td + 3 Ts 2 Td (13.147) ami megfelel a FI maradékrendszerre kapott (8.23) szerinti megoldásnak Jegyezzük meg, hogy a γ < 0 tartományra az egyszerû GF ( z) = 1 1 + γz−1 (13.148) soros szûrô alkalmazható. Ez az eset a DI közelítô PID szabályozó (1314) alakjának felel meg Ez a lényegében zérus

kiejtéses technika jól alkalmazható abban az esetben, ha a z1 = −γ zérus stabilis. Amennyiben a zérus labilis, akkor egy p1 = 1 z1 értékû pólussal sikeresen csökkenthetjük a zárt kör átmeneti függvényében a nem kívánt "negatív" túllendülést. Ezt a pólust helyezhetjük el a 365 366 GF ( z) = 1+ γ 1 − 1 γ 1 + 1 z − K Io 1− γ z− d γ γ soros szûrô választással (BÁNYÁSZ-KEVICZKY-HETTHÉSSY módszer). 366 (13.149) 14. ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁS MINTAVÉTELES RENDSZEREKBEN 367 14. Állapotvisszacsatolás mintavételes rendszerekben A 9. Fejezetben bemutattuk FI folyamatokra az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozó tervezési technikát. Az alábbiakban ezt a módszert a mintavételes rendszerekre foglaljuk össze Ennek bemutatásához tekintsük egy mintavételes szabályozandó lineáris (LTI) folyamat állapotegyenletét a 11.4 pont alapján a d = 0 esetre x[ k + 1] = F x[ k ] + g u[ k ] (14.1) y[ k ] = c T x[

k ] Az egyenletnek megfelelô blokkvázlat a 14.1 ábrán látható u[k ] x[k + 1] + g z−1 x[ k ] cT y[k ] + F 14.1 ábra Lineáris idô invariáns mintavételes rendszer állapotegyenletének megfelelô blokkvázlat Itt u[ k ] és y[ k ] a folyamat be- és kimenôjele, x pedig az állapotvektora. Az ekvivalens impulzusátviteli függvény most G( z) = c T (z I − F) −1 B ( z) B ( z) b1z n − 1 +  + bn − 1z + bn g= = = det ( zI − F ) A( z) z n + a1z n − 1 +  + an − 1z + an u[k ] r[ k ] kr + (14.2) x[ k + 1] g - + z−1 x[ k ] cT y[ k ] + F kT 14.2 ábra Lineáris diszkrét idejû szabályozó állapotvisszacsatolással Az állapotegyenletes leíráshoz közvetlenül illeszkedô, ma már klasszikusnak számító, zárt szabályozási kört a 14.2 ábrán mutatjuk be, ahol r[ k ]-val jelöltük az alapjelet A zárt kör az állapotvektorról a k T lineáris arányos visszacsatoló vektor segítségével jön létre az alábbi formában u[ k

] = kr r[ k ] − k T x [ k ] A 14.2 ábra alapján egyszerûen felírható a teljes zárt rendszer állapotegyenlete is (14.3) 368 ( ) x [ k + 1] = F − g k T x [ k ] + kr g r[ k ] (14.4) y [k ] = c T x[k ] azaz az állapotvisszacsatolással az eredeti F rendszermátrix szerinti dinamika a g k T diadikus ( ) szorzattal F − g k T -re módosul. A zárt szabályozási kör átviteli függvénye Y ( z) Try ( z) = = cT z I − F + gkT R( z ) ( = kr −1 1 + l T (z I − F) g G( z) = ) −1 −1 g kr = c T ( z I − F ) g kr −1 1 + k T (z I − F) g = (14.5) kr B ( z ) A ( z) + k T Ψ ( z) g −1 amely az X ( z) = ( zI − F ) g U ( z) (lásd (3.12)-t), az U ( z) = kr R( z) − k T X ( z) (lásd (93)-t), és az Y ( z) = c T X ( z) (lásd (9.1)-t) LA P L A C E transzformáltakra érvényes egyenletek összevetésébôl adódik a mátrixinverziós lemma felhasználásával (a bizonyítást lásd részletesen az F-5. Függelék F-91 pontjában FI

rendszerre) Vegyük észre, hogy az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait érintetlenül hagyja, és csak a zárt rendszer pólusai tervezhetôk k T -vel. Az kr úgynevezett kalibrációs tényezôt azért vezetjük be, hogy segítségével a Try erôsítése egységnyi legyen ( Try (1) = 1). A felnyitott kör ugyanis jól láthatóan nem integráló jellegû, így zérus hibát és egységnyi statikus átvitelt nem tud eredményezni. Ez csak akkor lehetséges, ha ismerjük a folyamat paramétereket és biztosítjuk a kr = ( −1 cT F − gkT ) −1 = b k T F −1g − 1 c T F −1g (14.6) feltételt (lásd a F-5. Függelék F-92 pontját) A fentiekben bemutatott speciális zárt szabályozási kört állapotvisszacsatolásnak hívjuk. 14.1 Diszkrét idejû póluselhelyezés állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoláshoz legtermészetesebben kötôdô tervezési módszer az úgynevezett póluselhelyezés. Ennél a módszernél úgy kell megválasztani a k T

visszacsatoló vektort, hogy a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete az elôírt R( z) polinom legyen, azaz DI esetben R( z) = z + r1z n n −1 n ( ) +  + rn −1z + rn = ∏ ( z − zi ) = det z I − A + bk T = A( z) + k T Ψ ( z) b (14.7) i =1 A megoldás mindig létezik, ha a folyamat megfigyelhetô. Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatók. Az irányítható kanonikus alak (347) illetve (11.107) alapján a rendszermátrixok 369 −a1 −a2  0  1 Fc =  0 1     0  0  −an −1 −an    0 0  T  0 0  ; c cT = [b1 , b2 , , bn ] ; g c = [1, 0, , 0]      0 1 0  (14.8) szerint alakulnak. Figyelembevéve Fc és g c speciális alakját egyszerûen belátható, hogy az −a1 −a2  0  1 T  Fc − g c l = 0 1      0 0

−r1 −r2  −an −1 −an  1     0 0  0 0 1 T  0 0  − 0 k =  0 1             0 0 1 0  0 0  −rn −1 −rn    0 0  0 0      0 1 0  (14.9) tervezési egyenlet szerint az k T = k cT = [ r1 − a1 , r2 − a2 , , rn − an ] (14.10) választás biztosítja a (14.7) szerint karakterisztikus egyenletet, azaz az elôírt pólusokat A kalibrációs tényezô megválasztás egyszerû számítással adódik kr = an + ( rn − an ) rn = bn bn (14.11) A (14.4) és (146) egyenletek alapján egyszerûen belátható, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye állapotvisszacsatolásos póluselhelyezés esetén Try ( z) = kr B ( z ) R( z) (14.12) mint ahogy azt (14.5) kapcsán már jeleztük Az állapotvisszacsatolás leggyakoribb esete viszont az, amikor a szabályozott szakasznak nem az átviteli függvénye, hanem

az állapotteres alakja adott. A (367) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden irányítható rendszer irányítható kanonikus alakra hozható a −1 Tc = Mcc ( Mc ) transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a visszacsatoló vektort is k T = k cT Tc = k cT Mcc Mc-1 = bcT Mc-1R( F ) = [1, 0, , 0] Mc-1R( F ) (14.13) A (14.13) kiszámításához tehát egyrészt képeznünk kell az Mc irányíthatósági mátrix inverzét az általános felépítésû F és g rendszermátrixokkal. Másrészt az irányítható kanonikus alak Mcc irányíthatósági mátrixát is létre kell hozni (lásd (3.61)-t) Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezôjében lévô ai együtthatóktól függ, így képzéséhez a nevezôt ki kell számítani: A ( z) = det ( zI − F ) . Ugyanez igaz a második alakban a R( F ) számítására is A póluselhelyezô állapotvisszacsatoló vektor bemutatott számítási módját

kidolgozója után 370 ACKERMANN módszernek nevezzük. Jegyezzük meg, hogy a FI és a DI állapotegyenletek transzformációs tulajdonságai, kanonikus alakjai és az irányíthatósági/megfigyelhetôségi fogalmai formailag teljesen megegyeznek. Ebbôl adódóan a mintavételes rendszerek írányítására vonatkozó állapotvisszacsatolási technikák is nagy hasonlóságot mutatnak a FI esetben bemutatott módszerekkel. 14.2 Diszkrét idejû megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatolás elôzô pontban leírt módszere azt igényli, hogy a folyamatot leíró állapotegyenlet állapotváltozó vektorát közvetlenül mérni tudjuk. Ez csak nagyon ritkán áll rendelkezésünkre, általában csak alacsony fokszámú dinamika esetében (pl. út, sebesség, gyorsulás mechanikai rendszerekben). A módszer használhatósága tehát attól függ, hogy tudunk-e mérést vagy becslést kapni az állapotvektorról. Az állapotvektor elôállítására az

úgynevezett megfigyelô elvet dolgozták ki. Ehhez a módszerhez az F, g és c T rendszermátrixok ismerete szükséges, amelyek segítségével létrehozzuk a folyamat pontos mását, és ugyanolyan gerjesztésnek kitéve, mint az eredeti szakaszt ez a modell ("megfigyelô") elôállítja számunkra az x[ k ] és y[ k ] változók x̂[ k ] és ŷ[ k ] becsült értékét. Az állapotvisszacsatolás az x̂[ k ] felhasználásával valósul meg. Az elvet a 143 ábrán mutatjuk be r[ k ] u[ k ] lr + x[ k + 1] g + z−1 - x[ k ] y[ k ] cT + F FOLYAMAT ε[ k ] l + + g + z−1 x̂[k ] cT + ŷ[k ] F MEGFIGYELÔ kT ÁLLAPOTVISSZACSATOLÁS 14.3 ábra Állapotvisszacsatolás megfigyelô alkalmazásával Ha szigorúak lennénk, akkor a megfigyelôben F, g és c T helyett ezek becsült F̂, ĝ és ĉ T értékeit kellene szerepeltetnünk. A megfigyelô különlegessége azonban, hogy nemcsak egyszerûen egy párhuzamos modellt alkalmaz, hanem a folyamat

valódi és becsült kimenôváltozójának a különbségébôl egy ε[ k ] = y [ k ] − yˆ [ k ] hibát képez, amelyrôl az l arányos 371 visszacsatoló vektoron keresztül a megfigyelô késleltetésének a bemenetére csatol vissza. Ez a visszacsatolás addig mûködik, amíg a hibajel fennáll, azaz a folyamat és a megfigyelô kimenete nem egyezik meg. Ez a mûködési mód a rendszermátrixok ismeretében meglévô meglehetôsen nagy hibákat is kompenzálni tud. Az ábrán az is látható, hogy az állapotvisszacsatolás most az u[ k ] = kr r[ k ] − k T x̂ [ k ] (14.14) formában jelenik meg, tehát egyszerûen x[ k ] helyébe x̂[ k ] lépett. Meglehetôsen hosszú és bonyolult levezetéssel, aminek a részleteit itt nem közöljük, kapjuk a teljes zárt rendszer eredô átviteli függvényét [ ] −1  −1  c T ( z I − F ) g 1 − k T s I − F + g k T + l c T b kr   Try ( z) = = cT z I − F + gkT − 1 T  −1 1 + l z I − F

+ g l T + l c T g c T ( z I − F ) g   ( ) [ ( −1 = c T ( z I − F ) g kr −1 1 + k T (z I − F) g ) = kr G ( z ) ] −1 1 + k T (s I − F) g = ( ) −1 g kr (14.15) kr B ( z ) R( z) ami talán egy kicsit meglepô módon, de pontosan megegyezik (14.12)-vel, azaz a megfigyelô nélküli állapotvisszacsatolás esetével. Ez tehát azt jelenti, hogy a zárt rendszer követési tulajdonsága nem függ a l vektor megválasztásától. A megfigyelô mûködésének vizsgálatához képezzük az állapothiba x˜ [ k ] = x[ k ] − xˆ [ k ] (14.16) különbség vektorát, amelyre felírhatjuk, hogy ( ) x˜ [ k ] = F − k c T xˆ [ k ] (14.17) amely nagyon hasonló a (14.1)-hez gerjesztés nélkül A megfigyelôk tervezésére az állapotvisszacsatoláshoz nagyon hasonló módszert használunk, ahol az l megválasztásakor az a célunk, hogy a (14.17) rendszer dinamikáját a ( ) det s I − F + l c T = F ( s) = sn + f1sn −1 +  + f n −1s +

f n (14.18) karakterisztikus polinom biztosítsa. A megoldás mindig létezik, ha a folyamat irányítható (Célszerû, ha F fokszáma megegyezik az A fokszámával.) Ha a szabályozott szakasznak ismert az átviteli függvénye, akkor kivételes helyzetben vagyunk, mert segítségével kanonikus állapotegyenlet alakok közvetlenül is felírhatók. A megfigyelhetô kanonikus alak (353) alapján a rendszermátrixok  −a1   −a2 Fo =    −an −1  −an 1 0  0 0 0 1  0 0      0  0 T   ; c oT = [1, 0, , 0] ; go = [b1 , b2 , , bn ]  1 0 (14.19) 372 szerint alakulnak. Figyelembevéve Fo és c oT speciális alakját egyszerûen belátható, hogy az  −a1   −a2 T  Fc − l c o =   −an −1  −an 1 0  0 0 0 1  0 0       − f1 0   0  − f2   − l [1, 0, , 0] =     1 − f n −1  − f n

0 1 0  0 0      0 1  0 0 0  0   1 0 (14.20) tervezési egyenlet szerint a l = lo = [ f1 − a1 , f 2 − a2 , , f n − an ] T (14.21) választás biztosítja a (14.18) szerint karakterisztikus egyenletet, azaz az elôírt pólusokat Az általános eset most is az, amikor a szabályozott szakasznak nem az átviteli függvénye, hanem az állapotteres alakja adott. A (379) egyenlettel kapcsolatban tárgyaltuk, hogy minden ( ) megfigyelhetô rendszer megfigyelhetô kanonikus alakra hozható a To = Moo −1 Mo transzformációs mátrix alkalmazásával. Ez a hasonlósági transzformáció érinti a visszacsatoló vektort is −1 l = (To ) lo = Mo-1 Moo lo (14.22) A (14.22) kiszámításához tehát egyrészt képeznünk kell az Mo megfigyelhetôségi mátrix inverzét az általános felépítésû F és c T rendszermátrixokkal. Másrészt meg kell adnunk a megfigyelhetô kanonikus alak Moo megfigyelhetôségi

mátrixát (lásd (3.73)-t) Mivel ez utóbbi csak a folyamat átviteli függvényének nevezôjében lévô ai együtthatóktól függ, így képzéséhez a nevezôt ki kell számítani: A( z) = det ( zI − F ) . A megfigyelô vektor bemutatott számítási módját kidolgozója után ACKERMANN módszernek nevezzük. Az állapotvisszacsatolás és a megfigyelô dinamikájának tervezési módszerei között érdekes hasonlóság, úgynevezett dualitás áll fenn, azaz egymásnak megfelelnek a következô ( ) megfeleltetések mellett: F ↔ F T , g ↔ c T , k ↔ l T , Mcc ↔ Moo T . Az állapothiba (14.16) és a folyamat (141) egyenletei alapján az állapotvisszacsatolás és megfigyelô együttes egyenlete x [ k + 1] F − g k T  = x˜ [ k + 1]  0 g k T x [ k ] kr g   +   r[ k ] F − l c T x˜ [ k ]  0  (14.23) e[ k ] = y [ k ] − yˆ [ k ] = c T x˜ [ k ] Mivel a jobb oldal rendszermátrixa

blokk-diagonális, a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete ( ) ( ) det z I − F + g k T det z I − F + l c T = R( z) F ( z) (14.24) A polinom tehát két tényezô szorzata: az egyik az állapotvisszacsatolással, a másik pedig a 373 megfigyelôvel van kapcsolatban. Fontos ismét megjegyezni, hogy az F ( z) a (1424) ellenére nem jelenik meg a zárt rendszer (14.12) és (1415) szerinti Try ( z) átviteli függvényében A megfigyelô alapú állapotvisszacsatolás (14.24) egyenletét, amely szerint az állapovisszacsatolás és a megfigyelô karakterisztikus egyenlete egymástól független, szeparációs elvnek is nevezik. 14.3 Kétlépcsôs mintavételes tervezési módszerek állapotvisszacsatolással Az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozás tárgyaláskor láthattuk, hogy a módszer legelônyösebb tulajdonságai: - a módszer alkalmazhatósága nem függ attól, hogy a folyamat stabilis vagy labilis - a követési tulajdonság nem függ az alkalmazott

megfigyelôtôl, tehát közvetlenül tervezhetô - a módszer nem nagyon érzékeny az állapotegyenlet paraméter mátrixainak pontos ismeretére A nem kívánatos, vagy kedvezôtlen tulajdonságok: - az állapotvisszzacsatolás alapvetôen 0-típusú szabályozás, ezért a maradék hibát a kalibrációs tényezôvel tudjuk kiköszöbölni, amely folyamat modell használata esetén soha nem pontos - az állapotvisszacsatolás a folyamat zérusait nem tudja megváltoztatni - a zavarelhárítási tulajdonság nem tervezhetô közvetlenül Fôleg a felsorolt utóbbi jellemzôk miatt rendszerint egy további lépcsô is alkalmazásra kerül állapotvisszacsatolást alkalmazó irányítási rendszerekben. A kalibrációs tényezô szükségességét legegyszerûbben úgy eliminálhatjuk, hogy egy kaszkád integráló szabályozót alakítunk ki a 14.4 ábra szerint e[ k ] r[ k ] + u[ k ] δ[ k ] 1 1 − z −1 kr - + x[ k + 1] = F x[ k ] + g u y[ k ] = c x[ k ] y[k ] T - x[

k ] k T 14.4 ábra Állapotvisszacsatolás és integráló szabályozó együttes alkalmazás A zárt rendszer együttes állapotegyenletét, amely most (14.4) helyébe lép, a δ[ k ] új állapotváltozó - amely a külsô kör e[ k ] = r[ k ] − y [ k ] hibájának az integrálja - bevezetésével írhatjuk fel a x˙ [ k + 1]  F x˙ * [ k + 1] = ˙ = T δ[ k + 1] c ( = F −g * * k*T  0 0 x [ k ] g  +   u[ k ] +   r[ k ] =  0 δ[ k ] 0 −1 ) x [k ] + v * * r[ k ] (14.25) 374 bôvített állapotegyenletet, ahol figyelembevettük az F F* =  T c 0  0 ; g g* =   0 ;  0 v* =   −1 (14.26) jelöléseket, valamint az új bôvített [ u[ k ] = − k T x [ k ] kr T * e[ k ] − k T x [ k ] kr   = −k* x [ k ] = − 1 1− z δ[ k ] ] (14.27) visszacsatolási egyenletet. A (1427) egyenlet világosan

mutatja az integráló hatást, a k T x [ k ] tag pedig a differenciáló hatás általánosításának tekinthetô. Az integrátort is alkalmazó zárt szabályozási kört tehát eggyel magasabb dimenziójú állapotegyenlettel tudjuk leírni, ahol most kr is meghatározandó együttható a k T mellett. A kibôvített rendszer tervezéséhez eggyel magasabb fokszámú R* ( z) karakterisztikus polinomot kell elôírnunk, majd az ACKERMANN módszer (14.13) tervezési képlete közvetlenül itt is alkalmazható. Ha a folyamat nem átviteli függvény formájában adott, akkor az általános állapotegyenletet elôször irányíthatósági kanonikus alakra kell hozni, ahogy azt (10.13) kapcsán már láttuk. Jegyezzük meg, hogy a kibôvített feladat nem oldható meg szekvenciálisan, azaz oly módon, hogy elôször meghatározzuk az R( z) -hez tartozó k T -t, majd a R* ( z) = R( z)( z − zn +1 ) alapján a kr -t. A feladatot egy lépésben kell R* ( z) alapján megoldani kT -re.

Integráló hatást úgy is bevihetünk a rendszerbe, hogy a folyamat G( z) átviteli függvénye helyett egy módosított G* ( z) = zG( z) ( z − 1) folyamatra tervezzük meg az állapotvisszacsatolást. Jegyezzük meg, hogy az elôbbi esetre és ezen megközelítésre kapott két állapotvisszacsatoló vektor nem azonos! Természetesen az I-szabályozó mellett magasabb fokszámú szabályozó is alkalmazható, a póluselhelyezés megoldása azonban nem mindig automatikusan adódik az ACKERMANN módszerrel és bonyolult nemlineáris egyenletrendszerre is vezethet. A megfigyelôt is alkalmazó állapotvisszacsatolás esetében a megfigyelô hibavisszacsatolásában is alkalmazhatunk nem 0-típusú, hanem I vagy magasabb fokszámú szabályozót az itt bemutatott módszerekkel. A folyamat változatlanul hagyott zérusait egy soros Ks ( z) = Gs ( z) N ( z) B+ ( z) (14.28) kompenzátorral tudjuk módosítani, ahol a 7. Fejezetben alkalmazott módszer szerint feltételeztük, hogy a

folyamat számlálója B ( z) = B+ ( z) B− ( z) . Itt B+ a stabilis, B− pedig a labilis zérusokat tartalmazza. Az N ( z) B+ ( z) -nek a realizálhatósághoz szabályosnak kell lennie, tehát csak annyi zérust helyezhetünk el a zárt rendszer átviteli függvényében, ahány stabilis zérusa van a folyamatnak. Az eredô átviteli függvény végezetül 375 Try ( z) = N ( z) kr Gs ( z)B− ( z) R( z) (14.29) alakú lesz, ahol az invariáns B− ( z) hatását a Gs ( z) szûrôvel csillapíthatjuk optimálisan. Sok esetben az egyszerû, de nem optimális Gs ( z) = 1 választással élünk. A zavarelhárítási tulajdonság kedvezô tervezhetôségét csak úgy érhetjük el, hogy a külsô kaszkád körben egy Y P szabályozót alkalmazunk. Ezt megtehetjük, mert az állapovisszacsatolással tetszôleges, még labilis folyamatot is stabilizálhatunk. Labilis folyamatok minôségi szabályozása általában kétlépcsôs. Az elsô lépcsôben a szabályozással

stabilizáljuk a folyamatot, majd egy második külsô szabályozási körrel biztosítjuk a kívánt minôségi célokat akár két szabadságfokú struktúrában is. Az állapotvisszacsatolás alkalmazásával nyerhetô stabilizáló szabályozó csak holtidô nélküli folyamatra alkalmazható. Ha a folyamatnak számottevô késleltetése van, akkor az egyetlen lehetôség az általános polinomiális módszert használó mintavételes szabályozásra való áttérés (15. Fejezet) 14.4 Diszkrét idejû állapotvisszacsatoló LQ szabályozó A fejezet elôzô pontjaiban bemutatott módszerrel a folyamat állapotvektoráról történô ún. állapotvisszacsatolással tetszôleges (stabilizáló) póluselhelyezést tudtunk megvalósítani. Az állapotvisszacsatolás technikájával egy további optimalizálási feladatot is meg tudunk oldani. Ezen feladat célja a DI (11.33-34) LTI folyamat optimális szabályozása egy I= ∞ { } 1 x T [ k ]Wx x [ k ] + W u u 2 [ k ] ∑ 2 k=0

(14.30) összetett optimalitási kritérium minimalizálásával. Itt Wx a DI állapotvektort súlyozó valós szimmetrikus pozitív szemidefinit mátrix, W u pedig a DI beavatkozó jelet súlyozó pozitív skalár. A kritériumot minimalizáló megoldás egy T x[k ] u[ k ] = −k LQ (14.31) T visszacsatoló vektor alakú állapotvisszacsatolás (lásd (9.3)-t), ahol a k LQ T k LQ = 1 T g P Wu (14.32) alakú. Itt a szimmetrikus pozitív szemidefinit P mátrix az úgynevezett P F + FT P − 1 P g g T P = −Wx Wu (14.33) algebrai RICCATI egyenlet megoldása. A RICCATI egyenlet egy nemlineáris egyenlet P-re, ezért explicit algebrai megoldása nincs. A szabályozástechnikában használatos CAD rendszerek viszont rendszerint többféle numerikus algoritmussal is szolgálnak az egyenlet megoldására. Ezt a szabályozót LQ (Linear Quadratic: linear regulator - quadratic criterion) szabályozónak hívják. 376 Az LQ szabályozóval kapott zárt rendszer állapotegyenlete (

) T x [ k + 1] = F − g k LQ x[k ] ; T F = F − g k LQ (14.34) alakú lesz. (A FI rendszerek LQ szabályozójának a levezetését az F-5 Függelék F96 pontjában mutattuk be, a DI szabályozó levezetése teljesen hasonló logikával elvégezhetô) Amennyiben a folyamat átviteli függvénye ismert, az irányítható kanonikus alak egyszerûen felírható. A FI (910) egyenlettel analóg módon a (148) szerint képezhetô speciális Fc - és g c -re a klasszikus DI állapotvisszacsatolás (14.10) tervezési algoritmusa szerint Az L Q T szabályozónál a tervezésbôl (a RICCATI egyenlet megoldásából) a k LQ visszacsatoló vektor adódik. Így (1410) származtatásának megfordításával megadhatók az eredô zárt rendszer R( s) karakterisztikus polinomjának együtthatói: T T + [ a1 , a2 , , an ] [r1, r2 , , rn ] T = k LQ (14.35) Az LQ szabályozó esetén is lehetséges megfigyelôt alkalmazni az állapotvektor elôállítására. 15. ÁLTALÁNOS

POLINOMIÁLIS MÓDSZER DISZKRÉT IDEJÛ SZABÁLYOZÓK TERVEZÉSÉRE 377 15. Általános polinomiális módszer diszkrét idejû szabályozók tervezésére A DE alkalmazása sajnos FI folyamatoknál nem teszi lehetôvé holtidô feltételezését, mert a megoldási módszer csak polinomokra alkalmazható. Holtidôs rendszerek stabilizálása csak a mintavételes szabályozások körében oldható meg. Tételezzük fel, hogy a folyamat impulzusátviteli függvénye ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G z−1 = G+ z−1 G− z−1 = G+ z−1 G− z−1 z− d röviden G = G+ G− = G+ G− z− d (15.1) ahol G+ stabilis, inverze szintén stabilis (SIS: Stable Inverse Stable). G− labilis és inverze szintén labilis (UIU: Unstable Inverse Unstable). A G− szintén UIU Itt általában a z− d holtidôs rész inverze nem realizálható, mert az egy ideális prediktor lenne. A folyamat célszerû faktorizálása tehát G= B − d B+B− − d  B+   B−  − d z = z =  

 z = G+ G− z− d A A+ A−  A+   A−  (15.2) Itt A+ tartalmazza a stabilis, A− pedig a labilis folyamat pólusokat. Hasonlóképpen B+ a stabilis, B− pedig a labilis zérusokat foglalja magába. Az általános tervezési DE-t mintavételes rendszerekre egyszerûen kapjuk a (10.14)-bôl, formailag csak B− -t kell B− z− d -vel kicserélni Így a (10.14) új alakja (A+ A− ) (B+X d X ′) + (B+B− z− d ) (A+Yd Y ′) = R′ = A+B+R A X + B Y = R′ (15.3) A módosított DE pedig (A−X d ) X ′ + (B− z− d Yd ) Y ′ = R A′ X′ + B′ Y′ = R (15.4) ahol A ′ = A−X d és B ′ = B− z− d Yd ismertek, a szabályozó pedig ismét  Yd   Y ′ A Pw′ Y ′ Y A+Yd Y ′ A R C= = = = − d  Y  X B+X d X ′ B+ B+ 1 − d Y ′ B− z− d  1 − Pw′ Y ′ B− z  R  (15.5) alakú lesz. A YOULA -szabályozó integráló, ha biztosítjuk az egységnyi átviteli tényezôt a referencia

modellre: Rn (ω = 0) = Rn ( z = 1) = 1. Ez automatikusan nem biztosítható a DE-bôl származó stabilizáló szabályozóra. Egy garantált megoldás viszont, ha X d behozza a z = 1 pólust a nevezôbe. A (154) szerinti DE egyenlet megoldásához az egyenletet a z hatványai szerint kell elrendezni. Ebben a fejezetben nem ismételjük meg mindazt, amit a 10. Fejezetben a DE-t alkalmazásával kapcsolatban részletesen tárgyaltunk. Érdemes megjegyezni viszont, hogy a teljes szabályozási 378 kör átviteli karakterisztikája ( ) y = Tr y r + S y n = Rr Gr B− z − d y r + 1 − Rn′ Y ′B− z − d y n (15.6) Jól látható, hogy a Gr szûrô szabadon választható, így a B− hatásának gyengítésére optimalizálható. Sajnos ugyanez nem mondható el a zavarelhárítás optimálási lehetôségérôl Itt ugyanis Y ′ a módosított (15.4) DE-bôl származik, így szabadon nem választható, ezért itt a B− hatásának gyengítése nem oldható meg olyan

egyszerûen, ahogy azt a YOULA-parametrizálásnál és a (15.6) követési tulajdonságánál láttuk 15.1 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsôrendû ( n = 1) labilis DI folyamat ( ) −0.2 −0.2 z−1 = G( z ) = = −1 −1 z − 1.2 A( z ) 1 − 1.2 z B z−1 −1 (15.7) amelynek a p = 1.2 pólusa az egységsugarú körön kívül helyezkedik el Keressük azt a C = Y X szabályozót, amely stabilizálja a folyamatot a R( z) = z − 0.2 = 0 karakterisztikus polinom elôírásával. A szabályozót n − 1 = 0-adrendû alakban keressük, amelyet a C= Y K = =K X 1 (15.8) struktúrával biztosíthatunk, azaz egy arányos szabályozóval. A 144 alapján írhatjuk, hogy AX + BY = R (z − 1.2) − 02 K = z − 02 (15.9) ahonnan C = K = −5 adódik a szabályozóra. Egyszerû számítással ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer impulzusátviteli függvénye z −1 1 = T= z − 0.2 1 − 02 z −1 (15.10) tehát sikerült a labilis pólust az egységsugarú

körön belülre az elôírt helyre helyezni, s ezzel stabilizálni a szakaszt. A zárt rendszer statikus átvitele nem egységnyi, mert a szabályozó arányos és nem integráló. Minôségi szabályozás eléréséhez egy további külsô kaszkád szabályozási kör alkalmazása célszerû, amint azt az állapotvisszacsatoláson alapuló szabályozásnál láthattuk. 15.2 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsôrendû ( n = 1) stabilis DI folyamat ( ) = 0.2z−1 = 02 ( ) A z−1 1 − 0.8z−1 z − 08 ( ) Gz −1 = B z−1 (15.11) amelyet gyorsítani szeretnénk. Egy szabadságfokú rendszert feltételezve, tervezési célunkat az 379 0.8 z −1 0.8 Rr = Rn = −1 = z − 0.2 1 − 0.2 z (15.12) referencia modellben fogalmazzuk meg. A YOULA-szabályozó most Copt = Cid = Rn G+−1 = 1 − Rn 1 − 0.8 z−1 0.8 z−1 1 − 08 z−1 1 4 = 1 − z−1 0.8 z−1 1 − 02 z−1 02 z−1 1− 1 − 0.2 z−1 (15.13) egy integráló szabályozó (mert a nevezô

zérus a ( z = 1) helyen), amelynek alkalmazásával a zárt rendszer eredô átviteli függvénye: T= 0.8 z −1 0.8 −1 = z − 0.2 1 − 0.2 z (15.14) amelynek statikus átvitele egységnyi az 1-típusú szabályozásnak megfelelôen. A DE alapján történô tervezéshez a karakterisztikus egyenlet (15.12) alapján R( z) = z − 02 = 0 A szabályozót az elôzô példa alapján ismét n − 1 = 0-adrendû alakban keressük, tehát a (15.8) szerinti arányos szabályozót alkalmazzuk. A (159) egyenlet most AX + BY = R (15.15) (z − 0.8) + 02 K = z − 02 ahonnan C = K = 3 adódik a szabályozóra. Egyszerû számítással ellenôrizhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye T= 0.6 0.6 z −1 = z − 0.2 1 − 02 z −1 (15.16) Az elôírt 0.2 pólust sikerült elhelyezni, de a szabályozási kör 0-típusú, ezért a T erôsítése 075 re adódik A két példa jól reprezentálja azt a gyakorlatot, hogy stabilis folyamatokra célszerû a YOULA-parametrizálást

alkalmazni, míg labilis folyamatok stabilizálására a DE alkalmazása vagy a 15. Fejezetben tárgyalt állapotvisszacsatolás nyújthatja a megoldást 15.3 Példa Legyen a szabályozott szakasz egy elsôrendû ( n = 1) labilis, holtidôs DI folyamat ( ) −0.2 z −1 −1 −02 z −2 −0.2 P (z ) = = z = = −1 −1 −1 z( z − 1.2) 1 − 1.2 z A( z ) 1 − 1.2 z −1 B z −1 (15.17) amelynek a p = 1.2 pólusa az egységsugarú körön kívül helyezkedik el Keressük azt a C = Y X szabályozót, amely stabilizálja a folyamatot a R( z) = ( z − 0.2) = z 2 − 04 z + 004 karakterisztikus polinom elôírásával. A folyamat formálisan másodrendû, ezért választottunk R -nek is másodrendû polinomot, a szabályozót pedig n − 1 = 1, tehát elsôrendû alakban keressük. A vonatkozó DE felírását tanulmányozva célszerû a szabályozó elsôrendû alakjára a 2 380 C= Y yo y z = = o − 1 X 1 + x1z z + x1 (15.18) struktúrát megadni. A meghatározandó

paraméterek száma 2, a DE pedig AX + BY = R (z 2 − 1.2z)(z + x1) − 02 yoz = z 2 − 04 z + 004 (15.19) ahonnan az egyenletet y o -ra és x1 -re megoldva C= −5 z −5 = z + 0.8 1 + 08 z −1 (15.20) adódik a szabályozóra. Egyszerû számítással ellenôrízhetjük, hogy a zárt rendszer átviteli függvénye T= 1 (z − 0.2) 2 = ( z −2 1 − 0.2 z −1 ) 2 (15.21) Az elôírt, a 0.2 helyen lévô kétszeres pólust sikerült elhelyezni, de a szabályozási kör 0-típusú, ezért a T erôsítése 1.25 Egy viszonylag egyszerû struktúrájú szabályozóval most egy nehéz problémát oldottunk meg, egy labilis holtidôs folyamatot sikerült stabilizálni. 16. KITEKINTÉS 381 16. Kitekintés Ezt a fejezetet azért szerepeltetjük a jegyzetben, hogy szemléltessünk néhány további témakört a szabályozástechnika területén. A legegyszerûbb csak azt mondani, hogy mindeddig egyváltozós (SISO), lineáris állandó paraméterû (LTI)

rendszerekkel foglalkoztunk. A valóságos rendszerek pedig rendszerint nemlineárisak, többváltozósak és paramétereik változóak. Nem meglepô, hogy ezek az általánosság felé mutató területek jelentik a szabályozástechnika magasabb szintû fejezeteit. A kitekintésben sem foglalkozunk többváltozós (MIMO), nemlineáris és változó paraméterû (Linear Parameter Varying: LPV) rendszerekkel továbbra sem, viszont rövid áttekintést adunk négy olyan területrôl, amelyek még a SISO rendszerek korszerû elméletéhez tartoznak. Ezek a területek: - Szabályozástechnikai jelek és rendszerek normái - A numerikus optimalizálás alapmódszerei - Bevezetés a folyamatidentifikációba - Iteratív és adaptív irányítási sémák 16.1 Szabályozástechnikai jelek és operátorok normái A komplex lineáris térben normát értelmezünk, ha a tér minden x vektorához hozzárendelünk egy az x normájának nevezett és x -val jelölt valós számot, amely kielégíti

az alábbi összefüggéseket: x > 0, ha x ≠ 0, és 0 = 0 a x = a x tetszôleges a komplex számra x + y ≤ x + y ami az úgynevezett háromszög egyenlôtlenség. Ugyanezen értelmezés vonatkozik az n-dimenziós lineáris vektorterekre és formailag teljesen hasonlóan fogalmazzuk meg függvényekre is. A szabályozás minôségének megítélése - mint ahogy azt az elôzô fejezetekben láthattuk - a hibajelhez illetve az érzékenységi függvényhez kötôdik. A hibajel az idôfüggvény, az érzékenységi függvény komplex frekvenciafüggvény, tehát mind függvények. Ezeknek nagyságát valamilyen módon definiálnunk kell, mert egyetlen idôpillanathoz, egy adott frekvenciához tartozó értékeik nem jellemzik a teljes függvényt, s különösen nem azok nagyságát. Függvények nagyságának jellemzésére matematikai fogalmat, a fenti norma fogalmát használjuk. A következôkben bemutatunk néhány alapvetô normát, amelyek definíciójából azok

jelentését is megérthetjük. Jelek normái L1 norma: L2 norma: L∞ norma: u( t) = 1 u( t) = 2 u( t) ∞ ∞ ∫ u(t) d t (16.1) −∞ ∞ 2 ∫ u(t) d t (16.2) −∞ = max u( t) t (16.3) 382 A gyakorlatban rendszerint belépô függvényeket ( u( t) ≡ 0, ha t < 0) vizsgálunk, amelyekre az integrálok alsó határa zérus. A negyedik fejezetben megismert hibaintegrálok (integrálkritériumok) közül I 3 = IAE = e( t) , 1 tehát az e( t) hibajel L1 normája, I 2 = e( t) 2 2 pedig az L2 norma négyzete. Az összefüggések nyilvánvalóak, ennek ellenére az integrálkritériumok inkább mérnöki minôségi mérôszámok, míg a norma szigorú matematikai definíció. Nem véges idôtartamú jeleknek létezik a teljesítménye is, amelynek definíciója T 2 1 pow [ u( t)] = lim u( t) d t ∫ T ∞ 2 T −T (16.4) Jegyezzük meg, hogy véges idôtartamú, korlátos jeleknek csak energiájuk van, teljesítményük zérus. Tehát ha u( t) < ∞ ,

akkor pow [ u( t)] = 0 2 Jelek normáira vonatkozó legegyszerûbb egyenlôtlenségek: pow [ u( t)] ≤ u( t) u( t) ≤ 2 u( t) ∞ ∞ u( t) 1 ; ha u( t) ∞ ; ha u( t) ∞ <∞ (16.5) < ∞ és u( t) < ∞ 1 (16.6) Operátor normák A H ( s) stabilis átviteli függvényû LTI rendszer H ( jω) frekvenciafüggvényét felhasználva a ∞ H 2 norma: 2 1 H ( jω) = H ( jω) d ω ∫ 2 2π −∞ (16.7) H ∞ norma: H ( jω) (16.8) ∞ = max H ( jω) ω Az operátor normákat rendszer normáknak is nevezik. A H 2 norma kiszámítása a PARSEVAL tétel alapján történhet ∞ 2 1 1 H ( jω) = H ( jω) d ω = ∫ 2 2π −∞ 2πj 2 ∫ H (−s) H (s) d s = ∑ Res [H (−s) H (s)] (16.9) ahol a [ H (−s) H ( s)] reziduumait a bal félsíkon kell figyelembe vennünk. A (169) összefüggést csak akkor használhatjuk (azaz H 2 véges), ha H ( s) szigorúan szabályos és nincs pólusa az imaginárius tengelyen. Érdekes megemlítenünk, hogy H (

jω) = 2 ∞ ∫ −∞ w ( t) d t = 2 ∞ ∫ w ( t) 0 2 dt (16.10) 383 ahol w ( t) a H ( s) átviteli függvényû rendszer súlyfüggvénye. Amennyiben a H ( s) rendszer állapotegyenletes alakban ( A, b, c T ) adott, akkor a H 2 norma számítására a következô összefüggés ismeretes H ( jω) = c T Lc (16.11) 2 ahol L= ∞ ∫ e At b bT e A T t (16.12) dt 0 Az L a (16.12) integrál kiszámítása helyett egyszerûbben számítható az A L + L A T = −b b T (16.13) L-ben lineáris egyenletrendszer megoldásával (lásd az F-5. Függelék F-161 pontját) A (16.13) egyenletben az L ismeretlen oszlopvektorainak egyetlen oszlopvektorba történô rendezésével hagyományos lineáris egyenletrendszer megoldási technikával is megoldható. A H ∞ norma kiszámítása nem könnyû, jóllehet a geometriai jelentése nagyon egyszerû: a. H ( jω) NYQUIST diagramjának az origótól mért legtávolabbi pontjának a távolsága az origótól. Mivel H ( s) és

így H ( jω) is rendszerint racionális törtfüggvény, az abszolut érték szélsôértékének lehetséges helyei (szükséges feltétel) az elsôrendû derivált zérushelyeibôl adódnak. Ez az egyenlet azonban már alacsony fokszámú rendszerre is magasfokszámú polinomiális egyenletre vezet, amelynek megoldása numerikus technikát igényel. Ezért általában nem analitikus megoldást keresünk, hanem a numerikus módszert közvetlenül a H ( jω) maximumának keresésére alkalmazzuk. A H ∞ norma véges, ha a H ( s) szabályos és nincs pólusa az imaginárius tengelyen valamint a jobb félsikon. (Hibafüggvény alakú operátorokra alkalmazható a H ∞ norma kiszámítását lehetôvé tevô NEVANLINNA-PICK approximációs eljárás, amelynek ismertetése azonban meghaladja ennek a jegyzetnek a keretét.) A H ∞ normára vonatkozó egyik legfontosabb egyenlôtlenség: H1 ( jω) H 2 ( jω) ∞ ≤ H1 ( jω) ∞ H 2 ( jω) ∞ (16.14) Eddigi jelölési

konvenciónknak megfelelôen legyen u( t) a H ( s) átviteli függvényû rendszer bemenôjele, y ( t) pedig a kimenôjele. A rendszer jeleinek és normáinak legfontosabb összefüggései a következôk stabilis folyamatokra: y ( t) ≤ H ( jω) 2 ∞ u( t) 2 (16.15) ezért mondhatjuk, hogy a H ∞ norma az L2 normák erôsítési tényezôjének felsô határa. Az y ( t) ∞ ≤ w ( t) 1 u( t) ∞ (16.16) 384 egyszerûen belátható egyenlôtlenség alapján pedig a súlyfüggvény L1 normája az L∞ normák erôsítési tényezôjének felsô határa. Az y ( t) = v ( t) átmeneti függvény (ha u( t) = 1( t) ) maximális értékének felsô határa tehát megegyezik a súlyfüggvény abszolut értékének integráljával. Hasonlóan egyszerûen belátható egyenlôtlenség y ( t) ∞ ≤ H ( jω) u( t) 2 (16.17) 2 A (16.16) és (1617) összevetésébôl kapjuk, hogy y ( t) ∞ { ≤ min w ( t) 1 u( t) ; H ( jω) ∞ 2 u( t) 2 } (16.18) ahol a

szigorúbb feltételt alkalmazzuk. A H ∞ , H 2 és L1 normák tehát egyes jel normákra vonatkozó átviteli tényezôk felsô határainak is megfeleltethetôek. Hasonló összefüggés megfogalmazható a be- és kimenôjel teljesítményére is: pow [ y ( t)] ≤ H ( jω) pow [ u( t)] (16.19) ∞ amelynek felhasználásával egyszerûen kapjuk, hogy pow [ y ( t)] ≤ H ( jω) ∞ u( t) (16.20) ∞ Az utóbbi két egyenlôtlenség összevetésébôl kapjuk, hogy { pow [ y ( t)] ≤ min H ( jω) pow [ u( t)] ; H ( jω) ∞ { = H ( jω) min pow [ u( t)] ; u( t) ∞ ∞ ∞ u( t) } ∞ }= (16.21) ahol a szigorúbb feltételt alkalmazzuk. A 7. Fejezetben bemutattuk, hogy a stabilis folyamatokra alkalmazható YP szabályozók optimalizálását a Gx x =r,n belsô szûrôk (átviteli függvények) optimális megválasztásán keresztül ( érhetjük el. Ezek optimalizálását az Rx 1− Gx P−e− sT d ) x =r,n hibaátviteli függvényekre, mint operátorokra

megfogalmazott H 2 és H ∞ normák minimalizálásával biztosíthatjuk. 16.2 A numerikus optimalizálás alapmódszerei A szabályozástechnika optimalizálási problémái rendszerint megfogalmazhatók egy f ( x ) skalár-vektorfüggvény minimumának a megkeresésével. A minimalizálandó függvény lehet pl egy integrálkritérium, egy jel vagy operátor norma, a keresô tér vektor-komponensei pedig a szabályozó paraméterei. A szélsôérték keresô módszereket alapvetôen két csoportra szokták osztani, attól függôen, hogy csak a függvény értéke számítható-e vagy pedig a függvény elsô illetve másodrendû deriváltjai is meghatározhatók az adott x pontban. Tiszta keresô módszerek Tiszta keresô (TK) módszerekrôl beszélünk, ha az f ( x ) függvénynek csak az értéke számítható a minimum keresés egy adott pontjában. A leghatékonyabb TK módszer NELDER és MEAD ún 385 adaptív szimplex módszere. Egy n-dimenziós térben szimplexnek

nevezzük az ( n + 1) pont által megadott idomot. Tehát kétdimenziós esetben ez egy háromszög, háromdimenziós esetben egy tetraéder. Keressük az f ( x ) minimumát egy kétdimenziós térben Kiindulásként vegyük fel a 16.1 ábra kezdeti A BC szimplexet Számítsuk ki az f ( x ) értékét a szimplex három pontjában Rendezzük a három pont koordinátavektorát nagyságszerinti sorrendbe a hozzájuk tartozó f ( x A ) , f ( x B ) és f ( xC ) értékek alapján. Tételezzük fel, hogy a legnagyobb értéket az f ( x A = x o ) pontban kaptuk. Tükrözzük ezt az x o pontot a szemben lévô - eggyel alacsonyabb rendû - idom középpontján, azaz most a BC él x1 felezô pontján keresztül az x 2 pontba. Ezután az így kapott irányban folytassuk ezt a "lépegetést" mindaddig, amíg a közben számított f ( xi ) értékekben növekedés nem következik be. Tegyük fel