Matematika | Középiskola » Farkas István - Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke – p. 1/1 Függvény határértéke az x0 helyen Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D R adott függvény és x0 a D halmaz torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x0 -ban A, ha minden xn ∈ D (xn = x0 ), lim xn = x0 sorozat n∞ esetén az (f (xn )) sorozat konvergens és lim f (xn ) = A. Jele: n∞ lim f (x) = A, xx0 és ezt úgy olvassuk, hogy „limesz x tart x0 esetén f (x) egyenlő A-val”. Megjegyzés.Véges x0 helyen a határérték nemcsak véges lehet, hanem ±∞ is. Függvények határértéke – p. 2/1 A jobb- és bal oldali határérték Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D R, x0 ∈ R torlódási pontja az ]x0 , +∞[ ∩ D-nek. Az f függvénynek x0 -ban létezik a jobb oldali határértéke, ha az f függvény [x0 , +∞[ ∩ D-re való leszűkítésének létezik a

határértéke. Jele: lim xx0 +0 f (x) = y0 . Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D R, x0 ∈ R torlódási pontja az ]−∞, x0 [ ∩ D-nek. Az f függvénynek x0 -ban létezik a bal oldali határértéke, ha az f függvény ]−∞, x0 ] ∩ D-re való leszűkítésének létezik a határértéke. Jele: lim xx0 −0 f (x) = y0 . Tétel. Az f függvénynek pontosan akkor létezik a határértéke az x0 -ban, ha itt létezik a bal- ill. jobb oldali határértéke, és ezek egyenlőek Ez a közös határérték lesz az f függvény x0 -beli határértéke. Függvények határértéke – p. 3/1 A jobb- és bal oldali határérték szemléltetése ∞ ← f (xn ) f (x5 ) Y −1 −1 ← xn = −1 + 1 n 1 n f (xn ) 0 2 2. − 12 3 3. − 23 4 f (x1 ) 4. − 34 5 x1 5. . . − 45 6 ↓ ↓ −1 ∞ f (x3 ) f (x2 ) x2 xn = −1 + 1. f (x4 ) x5 x4x3 n X Függvények határértéke – p. 4/1 A jobb- és bal oldali határérték

kiszámítása Jobb oldali határérték: áttérünk az xn = −1 + 1 n sorozatra. 1 1 1 + 1 = lim 1 + 1 = lim + 1 = lim n∞ −1 + 1 + 1 n∞ x1+0 x + 1 n n = lim n + 1 = ∞. n∞ Bal oldali határérték: áttérünk az xn = −1 − 1 n sorozatra. 1 1 1 + 1 = lim +1= + 1 = lim 1 1 n∞ −1 − n∞ − x1−0 x + 1 n +1 n lim = lim −n + 1 = −∞. n∞ A jobb- és a bal oldali határérték nem egyenlő, így a függvénynek az x0 = −1 helyen nincs határértéke. Függvények határértéke – p. 5/1 Határérték a végtelenben Definíció. Legyen D ⊂ R felülről nem korlátos halmaz, f : D R adott függvény, továbbá xn ∈ D olyan sorozat, amelyre lim xn = ∞. Ha az n∞ (f (xn )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (xn ) sorozat esetén konvergens és lim f (xn ) = A (A ∈ R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek n∞ létezik a határértéke a végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele: lim f (x) = A. x∞ Definíció. Legyen D ⊂

R alulról nem korlátos halmaz, f : D R adott függvény, továbbá xn ∈ D olyan sorozat, amelyre lim xn = −∞. Ha az n∞ (f (xn )) sorozat minden ilyen tulajdonságú (xn ) sorozat esetén konvergens és lim f (xn ) = A (A ∈ R), akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek n∞ létezik a határértéke a mínusz végtelenben és ez A-val egyenlő. Jele: lim f (x) = A. x−∞ Függvények határértéke – p. 6/1 A végtelenben vett határérték kiszámítása 1 1 + (x + 1) + 1 = lim = x∞ x + 1 x∞ x+1 x+2 = = lim x∞ x + 1 x · (1 + x2 ) 1+ = lim = lim x∞ x · (1 + 1 ) x∞ 1 + x lim 2 x 1 x 1 1 + (x + 1) lim + 1 = lim = x−∞ x + 1 x−∞ x+1 x+2 = = lim x−∞ x + 1 x · (1 + x2 ) 1+ = lim = lim 1 x−∞ x · (1 + ) x−∞ 1 + x = 1. 2 x 1 x = 1. Függvények határértéke – p. 7/1 Függvény ábrázolása a határérték ismeretében Összefoglalva: • A jobb oldali határérték a szakadási helyen: ∞. • A bal oldali határérték

a szakadási helyen: −∞. • A határérték a ∞-ben és a −∞-ben: 1. Ennek alapján a függvény képe: 4 2 0 y -6 -4 -2 0 2 4 x -2 -4 Függvények határértéke – p. 8/1 Egy gyakorlati alkalmazás Egy üzem termelési volumenének alakulásában általában három jellegzetes szakasz figyelhető meg. A termelés megindulása utáni szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Később a növekedés gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése rendszerint újra lassul (pl. a kereslet lanyhulása, vagy a piac telítettsége miatt). Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart A termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az idő függvényében az a , a > 0, f (t) = 1 + b · e−λ·t λ > 0. ún. logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt időt, f (t) pedig a termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke

adja meg. Függvények határértéke – p. 9/1 Egy gyakorlati alkalmazás 35 30 A konkrét logisztikus függvény: 25 20 f (t) = 15 195 . −0.5278·t 5 + 56 · e 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 evek Az állandó termelt mennyiség: 195 195 lim f (t) = lim = = 39. −0.5278·t t∞ t∞ 5 + 56 · e 5 A harmadik szakaszban a termelt mennyiség 39 ezer termék. Függvények határértéke – p. 10/1 Függvény folytonossága Definíció. Legyen D ⊂ R, f : D R adott függvény és x0 ∈ D Az f függvény folytonos az x0 -ban, ha f -nek létezik a határértéke x0 -ban és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz lim f (x) = f (x0 ). xx0 Ha az f függvény a D halmaz minden pontjában folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az f folytonos az értelmezési tartományán, vagy röviden: f folytonos függvény. Megjegyzés. Ha az f függvény az értelmezési tartományának valamely pontjában nem folytonos, akkor a függvénynek ott szakadási

helye van. Függvények határértéke – p. 11/1 Szakadási helyek típusai Y Az f függvénynek x0 -ban elsőfajú szakadása van, ha x0 -ban létezik a jobb-, illetve bal oldali véges határértéke. x0 X Y Ha még az is teljesül, hogy a jobb-, illetve bal oldali véges határérték megegyezik, akkor ez a szakadás megszüntethető. x0 X Y A függvény szakadási helye másodfajú, ha nem elsőfajú. x0 X Függvények határértéke – p. 12/1