Matematika | Általános Iskola » Belákovics-Csernyus - Valószínűségszámítás és Black Jack

Belákovics Ádám, Csernyus Márton Szent Angéla Ferences Ált. Isk és Gimn Valószínűségszámítás és Black Jack Az év elején, és az első félévben mindenféle feladatokat oldottunk meg, különböző matematikai problémákat vizsgáltunk, illetve felelevenítettük korábbi ismereteinket adott anyagrészekről, hogy aztán még jobban elmélyedhessünk bennük. November környékén azonban szóba került a projektmunka kérdése, mint pályázati követelmény, és megkaptuk a feladatot, hogy keressünk témákat, amik érdekelnének, illetve szívesen foglalkoznánk velük komolyabban, huzamosabb ideig. A különböző, jobbnál jobban hangzó témakörök (káoszelmélet, fraktálok, pillangó hatás) után végül a valószínűségszámítás, és annak alkalmazása mellett döntöttünk. Tartalom: 1. A végleges eredményhez vezető út 1.1 Alapok elsajátítása 1.2 Ötletek gyűjtése, később elvetése 1.3 Próbálkozások, nehézségek 2. A kész program

bemutatása 2.1 A program lényegének ismertetése 2.2 A program működése 3. Zárszó, további tervek 1. A végleges eredményhez vezető út 1.1 Alapok elsajátítása Miután végképp elhatároztuk magunkat a valószínűségszámítás mellett, megkezdtük a még anno 9. osztályban tanultak ismétlését, és ezen ismeretek bővítését mentortanárunk, Rádics Gergely segítségével. A bemelegítő feladatok után, feladatról feladatra haladva értettük meg az addig tanultakat, és tanultunk újabb és újabb módszereket a permutációk, kombinációk, és variációk témakörében. Miután úgy éreztük, hogy az alapokat már úgyahogy értjük, nekiálltunk kigondolni, hogy akkor mihez is kezdjünk vele 1.2 Ötletek gyűjtése, később elvetése Azzal már tisztában voltunk, hogy valahogyan a társasjátékok és a valószínűségek kapcsolata mentén indulunk el. Konkrét játékot szerettünk volna megvizsgálni, hogy utána olyan számításokat

végezhessünk vele, ami adott esetekben, helyzetekben megkönnyíti a döntést, vagy csak szimplán egy általános képet ad a nyerési esélyekről a játékban. Mind a ketten (sőt a Tanár Úr is), sokféle társasjátékot ismerünk, és játszunk, azonban a bonyolultabb stratégiai játékokban annyiféle különböző dolog számít és befolyásol, hogy azokra csak nagyon nagy nehézségek árán tudtunk volna bármi használhatót felírni. Itt jöttek képbe a különböző kártyajátékok, főleg a legközismertebb francia- és magyar kártyákkal játszhatóak. Itt is elkezdtünk azon gondolkozni, hogy akkor melyiket is válasszuk, melyikben tudnánk a leginkább előrejutni. Gondoltunk a Pókerre, de annak mechanizmusáról már sok tanulmányt írtak, illetve a Rikikire is, de ott meg a különböző matematikai valószínűségeken kívül rengeteg függ a játékosok reakciójától (mikor milyen lapot tesznek), ezért úgy döntöttünk, hogy olyan játékot

keresünk, ahol a nyerés valószínűségét csak az osztott lapok határozzák meg, és nem függ a játékosok egyéb döntésitől. Sokáig nem találunk megfelelőt, próbálkoztunk kitalálni mi egy játékot, amin ez az elképzelésünk megvalósítható, de végül megakadt a szemünk a nálunk „huszonegyezés’, külföldön Black Jack néven ismert játékon. 1.3 Próbálkozások, nehézségek Tehát Black Jack. A játékról röviden: Minden játékos kap két lapot, amit megnézve dönthetnek úgy kérnek-e még lapot, vagy megállnak. A játék lényege, hogy a kezünkben tartott lapok összege minél közelebb legyen 21-hez, de azt már ne lépje túl, mert akkor veszítünk. Több variáció létezik a lapok értékeit illetően, mi azt választottuk, ahol a jumbó, dáma és király 10-et, az ász 11-et ér. A kezdeti célkitűzés az volt, hogy minden lehetséges leosztásra, azaz a kézben tartott lehetséges lapok összes lehetséges variációjára felírjuk,

hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy nyerünk (a húzás után a kezünkben tartott lapok összege 20 vagy 21 lesz), túlhúzunk (az összeg több lesz, mint 21), vagy folytathatjuk a játékot (a húzás után sem érjük el a kívánt összeget). Kiderült (legalábbis így hittük), hogy nem is kell felírni az összes lehetséges leosztást, elég annyit tudnunk, hogy van-e olyan leosztás, ahol a lapok összege adott szám, és hány olyan lapot tartalmaz, amivel nyerhetünk. Ezeket táblázatba is foglaltuk, de nem sokkal ezután rájöttünk, hogy tévedtünk. Arra, hogy mennyi az esély a nyerésre valóban elég csak ennyit felírni, de minden máshoz (túlhúzás, folytatás) tényleg tudnunk kell az összes lehetséges leosztást. Neki is álltunk felírni ezeket, először papírra, aztán a számítógépbe is beírva, táblázatos formában is. El is kezdtük a megfelelő pár képlet segítségével (ezekről később részletesebben) kiszámolni a kívánt

valószínűségeket, de újra akadályba ütköztünk. Az összes lehetséges leosztást felírni egyszerű logikus számolással szinte lehetetlen, nagyon könnyen összezavarodik benne az ember. Itt vetettük el végleg a táblázatba foglalós, mindent leíró módszert, és nekiálltunk, hogy megalkossuk egy olyan összetettebb függvénysort, ami maga figyeli a beírt leosztásokat, és számol velük tovább. 2.A kész program bemutatása 2.1 A program lényegének ismertetése A kész program (ami igazából egy Excel munkafüzetbe írt, sok változóval operáló függvénykomplexum) több dolgot csinál egyszerre. Az általunk beírt leosztást először több szempontból megvizsgálja. Figyeli, hogy teljesül-e a minimumkövetelmény, azaz, hogy minimum 2 lap van-e a kézben, hogy a kézben tartott lapok összege nem több-e 21-nél (hiszen itt már nem érdemes számolni semmit), illetve hogy a lapok száma nem több-e a pakliban (aminek száma szintén

változtatható) található lapok számánál. Ha mindegyik szűrűn átment, akkor számol a leosztással tovább. Megnézni, hogy mely lapokkal nyerhetünk, illetve melyek vezetnek túlhúzáshoz, majd ezek számát összevetve a pakliban maradtak számával, százalékos valószínűséget ad az adott szempontokhoz. 2.2 A program működése A szürke résszel jelölt területen belül tudjuk szabadon változtatni az értékeket, a többi le van védve, így azokat nem tudjuk még véletlenül sem kitörölni. A képletek leginkább egymásba ágyazott HA függvényekre épülnek, amik különböző feltételeket vizsgálnak, és azok alapján számolnak tovább. A legelső fül a kártyalapok összegét számolja ki. Itt esik át a leosztás a fő szűrésen Ha megadott lapok száma nem éri el a kettőt, a „minimum két lapnak kell lenni a kézben”, ha meghaladja a pakliban lévő lapok számát, akkor a „nem lehet több a paklik összes lapjánál” szöveget írja ki. A

következő szint, hogy kiszámolja a lapok összegét, és ha az átlépi a keretet, akkor a „több, mint 21” szöveget jeleníti meg. Ezután végigmegy az összes lapon és megnézi, hogy nem több-e a számuk, mint amennyi az adott pakliban lehetséges lenne, és ha több, akkor a „nem lehet azonos lapokból több ennyinél:” szöveg mellé, a mosolygós fej helyére az adott számot is kiírja. Ha minden feltételen átmegy, akkor egész egyszerűen a kártyák összegét számolja ki szorzások és a SZUM (azaz összeg) függvény segítségével. A következő két fül kiírja, hogy ahhoz, hogy 20 vagy 21 legyen az összeg, milyen lapokat kell húznunk. Itt a HAHIBA függvény vizsgálja az előző kártyalapok összege mezőt, és ha szöveg jelenik meg benne, akkor automatikusan azt írja, hogy nincsenek ilyen lapok, lévén a leosztás nem volt elfogadható. Ezen felül csak akkor ír ki rendes eredményt, ha az összeg minimum 10, hiszen az alatt bármit

húzhatunk, még játékban leszünk. Most következik a nyerés valószínűségének számítása 20-hoz és 21-hez. Ha a kártyalapok összege vagy 20, vagy 21, akkor mindkét fülbe a „nyertél” felirat kerül. Ha még nem nyertünk, akkor megnézi, hogy melyek a nyerő lapok, hogy ezekből mennyi van a kezünkben, és az általános képlet (kedvező esetek száma/összes eset) alapján számol, majd adja meg az eredményt 2 tizedes jegy pontosságú százalékban. A pakliban lévő lehetséges nyerő lapok számából levonja a kezünkben tartottakat, és ezt az eredményt osztja el pakliban maradt lapok számával. A túlhúzó lapok fül alatt egészen egyszerűen, attól függően, hogy mik voltak a nyerő lapok, kiírja, hogy mely lapokkal lőnénk túl a célon. Értelemszerűen, ha ilyen lapok még nincsenek, mert az összeg kevesebb, mint 11, akkor a „nincs” szót jeleníti meg. A túlhúzás valószínűségét pont ugyanazon az elven számolja, mint a nyerését.

Figyeli, hogy mik voltak a túlhúzó lapok, és hogy azokból mennyi van a kézben, ezt levonja a pakliban maradt túlhúzó lapok számából, és az eredményt elosztja a pakliban maradt összes lapok számával. Az egyetlen dolog, amiben ez még egy kicsit többet számol, hogy minél több a lapok összege, annyival több azoknak a lapoknak a száma, amivel már többet húznánk 21nél, így több túlhúzó lap esetén, minden lapnál eljátssza a fentebb leírt menetet, és ezek összegét osztja le a pakliban maradt összes lapok számával. Végezetül az utolsó fül levonja a másik három valószínűség összegét a 100%-ból, de csak akkor ha, nincsenek korábbi hibák (túl sok lap stb.), és még nem érte el a lapok száma a 20-at vagy a 21-et. 3. Zárszó, további tervek Idáig jutottunk el a projektmunkánkban. Már ezzel is teljesítettük azt, amit kitűztünk célul magunk elé, azonban programunk nagy hibája, hogy csak egy játékossal tud számolni, ami

lássuk be, kevéssé életszerű Sajnos az Excel kevés ahhoz, hogy feltételes valószínűségekkel is tudjon számolni, amikkel meg lehetne oldani a több játékos problémáját is. Terveink közt szerepel, hogy írunk egy önálló programot, ami már képes lesz erre is, reméljük, hogy sikerülni fog. Végezetül szeretnénk megköszönni a hatalmas segítségét Rádics Gergely Tanár Úrnak, aki mindvégig figyelemmel kísérte munkánkat, és tanácsaival, ötleteivel, illetve a szükséges tudás megadásával lehetővé tette, hogy elkészíthessük a kész anyagot