Matematika | Analízis » Vörös József - A differencia hányados függvény

A differencia hányados függvény A differenciálszámítás kialakulását a geometriai és mechanikai problémák tették szükségessé. A legfontosabbak: – A „w” tetszőleges fizikai mennyiség változásának a leírása a „z” fizikai mennyiség függvényében. w Ki kellett számítani a w-nek az egységnyi z-re eső megváltozását, a -t. z – Meg kellett határozni a függvények grafikonjának a Po pontbeli érintőjét. Definíció: Legyen az f függvény az xo pontnak valamely környezetében értelmezve. Legyen az x ennek a környezetnek egy az xo-tól különböző tetszőleges eleme. Ekkor a függvény xo pontbeli differencia f(x)  f(x o ) hányados függvényének nevezzük az x függvényt. x  xo Definíció: Ha létezik az f függvény az xo pontbeli differencia hányados függvényének a határértéke az xo helyen és ez a határérték véges, akkor az f függvény az xo pontban differenciálhatónak (deriválhatónak) mondjuk és az f

függvény az xo pontbeli differenciálhányadosán ezt a határértéket értjük. df Jele: ; f '(x o ) dx x  x o f(x)  f(x o ) x  xo x  xo f '(x o ) : lim Az x – xo különbséget jelöljük ∆x-szel. ∆x ≡ x – xo Ha x  xo  hoz, akkor x  0 f(x)  f(x o ) f(x  x)  f(x o )  lim x  xo x  0 x  xo x f '(x o ) : lim A differenciahányados geometriai jelentése f(x)  f(x o ) x  xo A differenciahányados függvény értékei az (xo; f(xo)) ponton áthaladó szelők meredekségét adják meg. tg   Ha x  xo-hoz, akkor a szelő az érintőhöz közelít. Tehát a differenciahányados határértéke (a differenciálhányados) az f függvény xo pontbeli érintőjének a meredekségével egyezik meg. A differencia és a differenciálhányados fizikai jelentése f(x)  f(x o ) az f(x) átlagos megváltozását adja meg az x egységnyi megváltozására nézve. x  xo Pl. s(t)  s(t

o ) a test átlagsebességét adja meg a [to; t] intervallumban. t  to Az s'(t o )  lim t  to s(t)  s(t o ) a pillanatnyi sebesség nagyságát adja meg a to időpillanatban. t  to Feladat: Határozza meg az f(x)  3 x függvény differenciálhányadosának az értékét az xo = 2 helyen. 3 f '(x o )  lim x  xo  lim    lim 3 x  3 xo    x  xo 3  x 3  3 xo 3  3  lim x  xo  3 x 3x 1  x   3 xxo   3 xo  x  0  3 xo   3 xoxo   3 xo  2 2 2  2 o x  3 xo    1   2  3 2 3 3  x  xx o  x o    1 33 x 2o  2  1 3 xo 3 2 1  x   x o 3 ha x o  0 x  xo 3 l 2 1  x  2 3 x 2 3   3 x  xo 1 x  xo 3 3 x  3 xo l Tétel: Az f(x) függvény deriváltja az xo pontban akkor és csak akkor létezik, ha  fl (xo )  fl (xo )