Gazdasági Ismeretek | Befektetés, Tőzsde » Dr. Zsombori Zsolt - Tőzsdei ismeretek

Tőzsdei ismeretek Dr. Zsombori Zsolt adjunktus Tematika  Technikai árfolyamelemzés I. (Vonaldiagram, O-X diagram, Japán-gyertya, Mozgóátlag)  Technikai árfolyamelemzés II. (Bollinger-szalag, Fibonacci-sor, Elliott-hullám, Oscillátor, Momentum,)  Technikai árfolyamelemzés III. (Mozgóátlag, Weinstein, MACD, Pénzáram index, piacerősség)  Vállalati érték meghatározás a benchmark módszerrrel (P/E, Osztalékhozam, Kapitalizáció/Saját tőke)  Határidős ügyletek jellemzői, spekuláció elemi határidős ügyletekkel  Spekuláció összetett határidős ügyletekkel I. (spreadek)  Spekuláció összetett határidős ügyletekkel II. (kombinációk)  Arbitrázs I. – keresztárfolyamok, határidős egyensúlyi árak (tőzsdei áru, tőzsdei értékpapír)  Arbitrázs II. - kamatláb és árfolyamra szóló futures egyensúlyi ára, bootstrap  Fedezeti ügyletek futuressal (futures mindenkori értékének

meghatározása, swap értékelése, optimális fedezeti arány meghatározása, delta, béta jelentése)  Opciók díja (binominális modell, Cox-Rubinstein, Black-Scholes-modell)  Szorgalmi időszakban  Számonkérés  ZH-kkal teljesítendő:   Egy kiválasztott értékpapír technikai és fundamentális elemzése. Szerezhető pontszám 20. Beszámoló szóban 4 fős csapatokban a szorgalmi időszak utolsó hetéig 1 javítási lehetőséggel. 2 db ZH – 2*30 = 60 pont Összesen: 80 pont; aláírásért és elégséges gyak.jegyért min 41 pontot kell szerezni, melyen belül min. 11 pontos házi dolgozat szükséges Hatékony piacok Piacokon várhatóan csak a kockázattal arányos hozamot lehet realizálni Formái:  Információs hatékonyság (az árfolyamok minden információt tartalmaznak)  Tranzakciós hatékonyság  Allokációs hatékonyság: az árakat olyan módon határozzák meg, ami kiegyenlíti minden termelő és

megtakarító számára a határhozamokat (kockázattal kiigazítva) Következmény:  Árak alakulása véletlenszerű (bolyongás elmélete) Hatékony piacok fajtái  Gyengén hatékony piac (a részvényárak a régebbi árfolyamokban lévő összes információt tartalmazzák)  Közepesen erősen hatékony piac (a részvényárak tartalmazzák az összes, adott pillanatban elérhető nyilvános információt)  Erősen hatékony piac (a részvényárak tartalmazzák az összes, adott pillanatban elérhető információt, a bennfenntest is) Technikai és fundamentális elemzés Technikai Analízis elmélet gyakorlat „Egy kép tízezer szóval is felér” Technikai elemzés elvei  Árakban minden hatás összegződik, a hírek tökéletesen beépülnek az árakba  Az árak trend szerűen mozognak (bullish, bearish piac)  Piac ismétli önmagát (ezeket fel lehet ismerni alakzatok formájában)  Csordaösztön 

Információkhoz nem jut hozzá mindenki  Árak ragadósak (hosszú távon érvényesül az egyensúlyi ár, rövid távon a kínálat a kereslethez igazodik) Grafikus eszközök • • • • Technikai elemzés eszközei Vonaldiagram Oszlopdiagram Japán-gyertya (O-X diagram) Statisztikai eszközök • Mozgóátlag, EMA, MACD • Momentum, oszcillátor • Piacerősség, Pénzáram Index (Money Flow Index) Kombinált eszközök • Fibonacci-vonalak • Bollinger-szalag • Elliott-hullám Vonaldiagram (MOL) Oszlopdiagram (bar chart) I. Emelkedő nap Eső nap Maximum ár Záró ár Nyitó ár Nyitó ár Záró ár Minimum ár Oszlopdiagram II. (MOL) Japán gyertya (candle chart) I. Eső nap Emelkedő nap Maximum ár Záró ár Nyitó ár Záró ár Nyitó ár Minimum ár Japán gyertya II.  A trend az ár mozgásának az iránya. Egy árdiagram sosem lineáris, hanem kisebb-nagyobb törések láthatók rajta.  A csúcspontokat

ellenállási (resistance) pontnak, az ezekhez tartozó árszintet pedig ellenállási szintnek nevezzük. Az ellenállási pont az emelkedő trend végén alakul ki.  A mélypontokat támasz (support) pontnak, az ezekhez tartozó árszintet pedig támasz szintnek hívjuk. A támasztási pont a csökkenő trend végén alakul ki.  Az alátámasztási és az ellenállási pontok általában nagyobb forgalmat generálnak. Az egész számok gyakran kiemelt árszintek. Nem ritka, hogy egy áttört ellenállási szint a jegyzés visszaesésekor támasz szintté válik.  Az emelkedő trendet mindig a támasz pontok, míg az ereszkedő trendet mindig az ellenállási pontok összekötésével szerkesztjük. A trendvonal meghúzásához legkevesebb két pont szükséges, de a trend annál erősebb, minél többször tesztelte, azaz próbálta áttörni a piac, vagyis minél több támasz/ellenállási pont illeszkedik a trendre  Trendfordulót követően a korábbi

támaszok ellenállásként az ellenállások támaszként viselkednek. Trendek Trenderősítő alakzatok • Háromszögek, árbócszalagok • Fülescsésze • Trendcsatornák Trendek Trendváltó alakzatok • Dupla mélypont és csúcs (íves mélypontok és csúcsok -> ha a trend fordulója lassabb) • Kulcsforduló és szigetforduló • Fej és vállak alakzat • Trendváltó tüske Trendek Emelkedő trend és támaszvonal Csökkenő trend, trendcsatorna és támasz és támaszvonal Trenderősítő alakzatok I. Emelkedő háromszög (ascending triangle) Csökkenő háromszög (descending triangle) Szimmetrikus is lehet a háromszög! Trenderősítő alakzatok II. Zászló (bear flag) (vagy tükörképe bull flag) Árbócszalag Trenderősítő alakzatok III. Emelkedő ék (rising wedge) (vagy tükörképe falling wedge) Fülescsésze (cup & handle) Trendváltó alakzatok Dupla csúcs (double top) és dupla mélypont Fej-váll (head

& shoulders) és inverze Trendváltó alakzatok Tüske (spike) Sziget forduló (island reversal) A Dow Elmélet I. 1. Az indexekben és az egyes részvények árfolyamában minden rendelkezésre álló információ tükröződik. 2. A piacon három trend uralkodik egyszerre: az elsődleges trend, a másodlagos trend, valamint az ún. minor (kicsi) trend  Az elsődleges trend lehet emelkedő (bullish), vagy pedig csökkenő (bearish), s általában több mint egy évig tart, de akár több évet, évtizedet is átfoghat.  A másodlagos trend általában az elsődleges trenddel ellentétes irányú, annak korrekciója, hiszen ellenkező esetben az elsődleges trend része lenne ez az időintervallum is. A másodlagos trend általában 1-3 hónapig tart.  A minor trend rövid távú, általában 1 naptól 3 hétig terjed. A másodlagos trend ezekből a minor trendekből épül fel. A Dow Elmélet II. 3. 4. A fő trendeknek három szakaszuk van:  Egy

felfelé irányuló fő trend első szakasza még akkor kezdődik, amikor a befektetők körében az általános hangulat negatív.  A második szakaszt a gazdaság és a cégek javuló helyzete és eredményei fémjelzik. A tőzsdei árfolyamok természetesen emelkednek és a befektetők vásárolnak.  A harmadik szakaszban a gazdaság a csúcson van és a cégek rekord bevételeket érnek el. A befektetők többsége úgy érzi, hogy biztonságos a piac és tovább vásárolnak. Azok a befektetők, akik az első szakaszban vásároltak ebben a szakaszban már eladnak. A két indexnek összhangban kell lennie. Trendváltást csak akkor fogadhatjuk el tényként, ha mindkét index (Dow Jones Industrial Average és a Dow Jones Transportation Average) trendet vált. A Dow Elmélet III. 5. A volumen alátámasztja a trendet: Ha a fő trend felfelé mutat, akkor a volumennek emelkednie kell akkor, amikor az árfolyam felfelé tart. Ha a fő trend csökkenő, akkor a volumennek

emelkednie kell azokban a szakaszokban, amikor az árfolyam csökken 6. A trend addig nem változik, amíg nem mutat valamilyen határozott jelet a fordulásra: Ahhoz, hogy egy felfelé irányuló trend megforduljon az szükséges, hogy legalább egy csökkenő csúcs és legalább egy csökkenő völgy megjelenjen. Mindez fordítva igaz a lefelé menő trend megváltozására. A Dow elméletet fejlesztette tovább Elliott: Elliott hullámok Közönséges rés Kitörési rés Rések Mérési vagy szökési rés Kimerülési rés Mozgóátlagok I.  Egyszerű (simple) mozgóátlag (SMA)  Súlyozott (weighted) mozgóátlag: minél frissebb egy adat a sorozatban, a hatása annál markánsabb, ezért nagyobb súlyt kap. (WMA)  Exponenciális (exponential) mozgóátlag: egy súlyozott mozgóátlag, ahol a frissebb adatok exponenciálisan növekvő súlyt kapnak a sorozatban (EMA)  Szabály: ha rövidebb mozgóátlag alulról metszi a hosszabbat – vételi

jelzés, ha fordítva – eladási jelzés. Minél hosszabb az átlag, annál jobban követi a trendet, minél rövidebb, annál hamarabb reagál. Időtartam alapján: 3, 7, 10, 14, 21, 30, 100, 200, stb. napos mozgóátlagok Exponenciális átlag (EMA)  Képlet - N időtartamú EMA 2 2 ��� � = ∗� � + 1− ∗ ��� � − 1 �+1 �+1 ��� 1 = � 1 Fokozat elemzés (stage analysis) (Stan Weinstein) 1. Fokozat – a részvény viszonylagosan szűk sávban mozog 2. Fokozat – fejlődő fázis – a részvényár a 200 és az 50 napos mozgóátlag fölé nő 3. Fokozat – Csúcs, a részvényár tartósan a 200 napos átlag fölött (profitrealizálás) 4. Fokozat – Csökkenés EMA két származtatott mutatója  McClellan oszcillátor és összegző (Summation) indexe: A McClellan egy piaci mélység indikátor, ami az adott tőzsde vagy tőzsdeindex vonatkozásában az emelkedő illetve csökkenő részvények számának különbségén

alapul. (Az indexek irányát a nagyobb súlyú részvények mozgása határozza meg.)  McClellan oszcillátor = (emelkedő - csökkenő instrumentumok 19 periódusos EMA) – (emelkedő - csökkenő instrumentumok 39 periódusos EMA) (rövid és középtáv)  Summation Index = 1000 + (10%T - 5%T) - [(10 x 10%T) + (20 x 5%T)], ahol 5%Trend = emelkedő - csökkenő instrumentumok 39 EMA 10%Trend = emelkedő - csökkenő instrumentumok 19 EMA  MACD (Moving Average Convergence/Divergence) – Két EMA különbsége (ált. 12 és 26 napos, vagy 8 és 17 napos). Szignálvonal: a különbség 9 napos kisimított mozgóátlaga. Ha a két EMA azonos, az az MACD 0 (középvonal) A 0 áttörése kereskedési jelzés. Továbbá, ha az MACD a szignálvonal alá esik, akkor eladási jelzést, ha alulról keresztezi azt, akkor vételi jelzést kapunk. A középvonaltól minél távolabb fordul az indikátor, annál megbízhatóbb a jelzés. A középvonalhoz közeli fordulók inkább

csak pozíciózárásra adnak jelzéseket. Oszcillátorok és momentumok  Oszcillátor: Túlvett és túladott szintek megállapítására használható indikátor. Ha az oszcillátor értéke extrém magas, akkor a piac túlvett, ha ez az érték extrém alacsony, akkor a piac túladott. Két gyakran használatos típusa: RSI (Relative Strength Index) és a DMI (Directional Movement Index).  Relatív piacerősség index (RSI): Az RSI az adott részvény vagy index saját magához viszonyított erősségét méri. Az RSI az adott instrumentum árfolyamának mozgásainak arányát méri százalékos formában kifejezve. Az RSI 0 és 100 közötti értékeket vehet fel. Javasolt beállítás: 14, 9 és a 25 napos RSI. Oszcillátorok és momentumok �� = � ��� �������é�é��� á����� � ��� ��ö����é�é��� á����� 100 ��� = 100 − 1 + ��  Momentum (ROC), Rate of Change: az

ár meghatározott periódusonkénti százalékos változását mutatja (n = 12 és 30 nap gyakori beállítások) ��� = ��� �á�óá� − � ����ó������ ����ő��� �á�óá� ∗ 100 + 100 � ����ó������ ����ő��� �á�óá� Pénzáram index (money flow index)  A pénz piacra való ki- és beáramlását méri  Képletei: Maximum + Minimum + Záró Napi átlagár = 3 Pénzáram = átlagár * napi forgalom 14 napos pozitív pénzáram Pénzáramhá nyad = 14 napos negatív pénzáram 1 Pénzáram Index = 1 − 1 + Pénzáramhá nyad Mit jelez? - Támasz és ellenállásszint fn=fn-1+fn-1 1,1,2,3,5,8,13,21,44,65 Fibonacci számok Következő szám 1,618 szorosa az előzőnek (aranymetszés) 100%-ból visszaszámolva a következő adatokat kapjuk 100%; 61,8%; 38,2%; 23,6%; 14,6%; 9% Adott időszak minimum és maximum árát tekintjük 0%-na, és

100%-nak A Fibonacci-vonalak Richter Bollinger - szalag Használata: kitörések meghatározásához Jellemzői: •Relatív támaszok és ellenállások •Mozgóátlag + szóráson alapul •Minél nagyobb az ingadozás annál szélesebb a sáv Normál eltérés = n  − 1    Zi − Z   n i =1  2 Bollinger - szalag = n napi mozgóátlag  2 * normál eltérés A Bollinger-szalagok alkalmazása Bollinger - szalag feltételezései A szalag beszűkülése jelentős elmozdulást valószínűsít Árfolyam eléri valamelyik szegélyt, akkor tendencia folytatódik Ha jegyzés elhagyja az egyik szélső szalagot, de nem éri el a másikat, akkor jelenlegi trend folytatódik Árfolyam átüti a mozgóátlagot, akkor eléri a másik szélső szalagot Szalag áttörése kitörés kezdete Elliott-hullám  1. hullám – kezdeti emelkedés  2. hullám – korrekció  3. hullám – legerőteljesebb és leghosszabb  4.

hullám – korrekció  5. hullám – túlcsordulás, hisztéria vezeti Piacösszetétel Pozíciók száma Árfolyam Jelzés Nő Nő Erős vételi Nő Csökkent Erős eladási Csökken Csökken Gyenge eladási Csökken Nő Gyenge vételi Fundamentális Elemzés A fundamentális elemzés segítségével egy vállalat valós értékét (fair value/intrinsic value) határozzuk meg. Egy részvény értéke a vállalat várható nyereségével, várható beruházásainak, eszközeinek, stb. értékével egyenlő A fundamentális elemzés a jövőben megtermelt profitot, vagy a vállalat számára elérhető készpénz-mennyiséget (FCFF), illetve az osztalékot (DIV) próbálja előrejelezni a vállalatot és annak piacát elemezve. Mit értünk értéken? (Pratt)       Reális piaci érték. Az az ár, amelyen a tulajdon gazdát cserél, vagyis található önként vásárolni kész vevő és értékesítésre hajlandó eladó. Belső

érték. A jövőbeni pénzáramlások diszkontált jelenértékén alapuló, adott várakozások figyelembevételével számolt érték. Méltányos érték. Rendszerint egy-egy részvénycsomaghoz kapcsolódó, a tulajdonosi befolyás mértékét és egyéb értékmódosító hatásokat is tükröző ár. Folyamatos működést feltételező érték. Ez a típus inkább szemléletmód, amely azt hangsúlyozza, hogy egy működő társaság többet ér, mint eszközállományának együttes értéke. Likvidációs érték. A folyamatos működést feltételező szemlélet ellentéte. Az üzleti tevékenység megszűnésekor realizálható értéket jelenti. Könyv szerinti érték. A vállalati eszközök számviteli kimutatásokban szereplő nyilvántartási értékének összege. Vállalatértékelés módszerei Mérlegalapú Eredménykimutatás alapú Vegyes Diszkontált pénzáram Könyv szerinti érték Ár/árbevétel Klasszikus Szabad cash flow Kiigazított könyv

szerinti érték Ár/eredmény Kivonatos eredmény Osztalékhozam Likvidálási érték Ár/EBITDA EU ajánlat Saját tőkére jutó pénzáram Helyettesítési érték Egyéb Egyéb APV Fernandez: Company valuation methods Benchmarkon alapuló értékelés APV = módosított jelenérték számítás = NPV + finanszírozás előnyei, pld. hitel miatti adópajzs jelenértéke Mérleg alapú módszerek (Eszközértékelés)  Vállalat értéke = Eszközök értéke  Saját tőke értéke = Eszközök értéke – Kötelezettségek értéke  Részvény belső ára = Saját tőke értéke Kibocsátott részvények darabszáma Könyv szerinti érték  A vállalat eszközei annyit érnek, amekkora értéken a vállalat nyilvántartja őket.  Könyv szerinti érték = beszerzési ár + értékhelyesbítés – értékcsökkenés/értékvesztés Kiigazított könyv szerinti érték  Elv: tételesen meghatározzuk az eszközök piaci

értékét – vizsgáljuk a piaci érték és a könyv szerinti érték eltérését  Az eszközök értékét összeadva kapjuk a vállalat értékét  Innen a további rész ugyanaz. Befektetett eszközök csoportosítása (Schweichs)  Immateriális reál javak (ásvány-kitermelési, területfejlesztési jogok, kedvezmények) – járadékok – értékmeghatározásuk örökjáradék módszerrel  Immateriális vállalati javak (szabadalmak, márkanevek, szerzői jogok, szoftverek, üzleti titkok, üzleti kapcsolatok, folyamatos működés értéke, goodwill) – benchmark alapon  Pénz jellegű eszközök (készpénz, vevők, aktív időbeli elhatárolás) – könyv szerinti érték időérték figyelembe vételével  Materiális vállalati javak (gépek, berendezések, berendezési tárgyak, gépjárművek) – használt piaci ár  Ingatlanok (föld, épületek) – ingatlan értékbecslés  Pénzügyi befektetések/határidős

ügyletek – napi piaci érték  Kisebbségi részesedések értékelése – tőzsei kapitalizáció alapján vagy osztalékhozam alapján  Többségi részesedések értékelése – diszkontált cash flow modell alapján Kötelezettségek számbavétele (Schweichs)  Rövid lejáratú kötelezettségek (szállítók, adó- és bérfizetési kötelezettség, passzív időbeli elhatárolás) – könyv szerinti értéken  Hosszú lejáratú kötelezettségek (kötvények, jelzálogok, váltók) – könyv szerinti érték  Függő kötelezettségek (adóviták, környezetvédelmi kötelezettségek, perek)  Különleges kötelezettségek (alultőkésített nyugdíjalapok, munkavállalói részvénytulajdonlási program visszavásárlási kötelezettségei, ki nem adott szabadságok) Likvidációs érték (érték abszolút minimuma)   Ha most kellene értékesítenünk a vállalatot (vagy a vállalat eszközeit egyenként) mennyi pénzt

kapnánk érte (Lehetséges) számítása: ▪ ▪   Eszközök korrigált piaci értéke (aukciós ár) Likvidálás költségei Módszer használata: csődközeli cég értékelése Használata: banki fedezetértékelés, vevői limit Helyettesítési érték (érték abszolút maximuma) Mennyi pénzt kellene befektetni ahhoz, hogy egy a megvásárolni kívánthoz hasonló társaságot hozzunk létre.  (Lehetséges) számítása  Kritikus eszközök helyettesítési értéke ▪ + Nem kritikus eszközök likvidációs értéke ▪  Helyettesítési érték magába foglalja  Eszközök bruttó értékét  Emberek felvételét, képzését  Szervezés-irányítás kialakításának költségét  Piacszerzés, akvizíció költségét Fundamentális Elemzés – Benchmark modell A fundamentális elemzés másik eszközcsoportja a relatív értékelés, vagy benchmark értékelés, mely a részvények árfolyamát viszonyítja a cégek egyes

mutatóihoz. A módszerrel egy iparág részvényeinek egymással való összehasonlítása is lehetséges. A részvény árfolyamát eloszthatjuk: • a cég legutóbbi (trailling) / várható (forward), egy részvényre jutó, egy éves nyereségével: árfolyam/nyereség hányados (P/E = Price to Earnings), • a könyv szerinti értékkel (P/B = Book Value) (Price to Book Value), • a cég árbevételével (P/S (Price to Sales), • a cég cash-flowjával (P/CF (Price to Cashflow), • Stb. Eredmény-kimutatás alapú (Benchmark) módszerek     Piaci ráta megtalálása Benchmark vállalat keresése (átlag vagy egyedi vállalat)  azonos ágazat  azonos kockázatú piac  azonos méret Hányadoselemzéssel felderíteni a különbözőségek okait és a torzító tényező nagyságát Vállalat értékének képzése P/E hányados  P/E – részvényár/egy részvényre jutó adózott eredmény  Vállalat értéke: * P PX = EPS X * * (1

 d ) E V X = PX * DB X  Alkalmazása: iparvállalatoknál Ahol: •Px – vállalat részvényára •EPSX – vállalat 1 részvényre jutó adózott eredménye •P/E* - benchmark P/E mutatója •d – módosító tényező •DBX – kibocsátott részvények darabszáma •VX – saját tőke értéke Ár/EBITDA • P/EBITDA – részvényár/egy részvényre jutó EBITDA • Vállalat értéke: * P PX = EBITDA X * * (1  d ) EBITDA V X = PX * DB X Ahol: •Px – vállalat részvényára •EBITDAX – vállalat 1 részvényre jutó EBITDA-ja •P/EBITDA* - benchmark P/EBITDA mutatója •d – módosító tényező •DBX – kibocsátott részvények darabszáma •VX – saját tőke értéke • Alkalmazása: hálózati szolgáltatók Ár/árbevétel  P/S – részvényár/egy részvényre jutó árbevétel  Vállalat értéke: * P PX = S X * (1  d ) S V X = PX * DB X  Ahol: •Px – vállalat részvényára •SX – vállalat 1

részvényre jutó árbevétele •P/S* - benchmark P/S mutatója •d – módosító tényező •DBX – kibocsátott részvények darabszáma •VX – saját tőke értéke Alkalmazása: kereskedelmi cégeknél Ár/működési pénzáram  Vállalat értéke: * P PX = OCF X * * (1  d ) OCF Ahol: V X = PX * DB X •Px – vállalat részvényára  Alkalmazása: általános •OCFX – vállalat 1 részvényre jutó működési pénzárama •P/OCF* - benchmark P/OCF mutatója •d – módosító tényező •DBX – kibocsátott részvények darabszáma •VX – saját tőke értéke Kapitalizáció/saját tőke  Vállalat értéke: * C V X = TE X * * (1  d ) TE  Alkalmazása: általános Ahol: •TEX – vállalat saját tőkéje •C/TE* - benchmark kapitalizáció/saját tőke mutatója •d – módosító tényező •VX – saját tőke piaci értéke Kapitalizáció ( C ): a vállalat értéke az aktuális tőzsdei árfolyam alapján.

C = kibocsátott részvények darabszáma x aktuális részvényárfolyam A kibocsátott részvények darabszámát legegyszerűbben a cég vagy tőzsde honlapján találjuk meg . Hányadoselemzésen alapuló d mutató hiányosságai  Nem súlyoztunk és a mutatók nem függetlenek  Mutatók hányadosainak értékét korlátozzuk – kivételkezelés  Pénzügyi jelentéseken kívüli tényezők  Makrotényezők – (kamatfelár)  Növekedési kilátások  Politikai-társadalmi tényezők Vegyes (Benchmark) módszerek  Mind a vállalat eszközeinek jelenlegi értékét, mind a jövőbeli pénztermelő képességét figyelembe veszik  Érték = Jelenlegi eszközérték + várható tőkenyereség Klasszikus  Érték = nettó kiigazított érték + saját goodwill értéke  Saját goodwill becslése két képlettel V X = A + (n * B ) VX = A + (z * F ) A – kiigazított eszközérték A – kiigazított eszközérték n –

többszörös (1,5 és 3 között) z – forgalom %-a F – éves árbevétel B – éves adózott eredmény Egyszerűsített kiigazított eredmény módszer  Képlet: V X = A + (B − r * A ) AFr , n A – kiigazított eszközérték AFr,n – annuitásfaktor, ahol n 5 és 8 közötti szám, r - a vállalati befektetés elvárt hozama B – a következő évi eredményelőrejelzés EU vállalatértékelőinek ajánlása  Képlet: V X = A + (B − r * V ) AFr , n V = A + (B * AFr , n ) 1 + r * AFrn A – kiigazított eszközérték AFr,n – annuitásfaktor, ahol n 5 és 8 közötti szám, r - a vállalati befektetés elvárt hozama B – a következő évi eredményelőrejelzés V – szuperprofit – tőkésített eredményfolyam Közvetett módszer  Képlet: B   A+  r  VX = 2 A – kiigazított eszközérték r - a vállalati befektetés elvárt hozama B – a következő évi eredményelőrejelzés Vx – vállalat értéke

Angolszász vagy közvetlen módszer  Képlet: VX ( B − r * A) = A+ r* A – kiigazított eszközérték r - a vállalati befektetés hozama B – a következő évi eredményelőrejelzés VX – vállalat értéke r* - vállalati befektetéstől elvárt hozam Pénzáram-diszkontáló módszerek  Alapja az általános értékképlet: Minden eszköz annyit ér, mint az eszköz működéséből származó pénzáramok jelenértékösszege  Képlettel: n GPV =  i =1  CFi (1 + r ) i Feladat: - pénzáram, kockázattal arányos hozam, vizsgálat időtartamának meghatározása Diszkontált osztalékmodell (DDM)  Általános képlete: n P0 =  i =1 Di (1 + r ) i + Pn (1 + r ) n Ahol, P0 – jelenlegi részvényár Di – i-dik időszakban esedékes osztalék Pn – n-év mulva várható részvényár r – befektetéstől elvárt hozam Alkalmazása: kisebbségi részvénycsomagok értékelése Gordon-modell Div1 Div 0 * (1 + g ) P= =

r−g r−g  Képlete:  Feltételezései:  állandóan g %-al növekvő osztalék  végtelen pénzáram  vállalattól elvárt hozam nem változik   kockázatmentes kamatláb változatlan  befektetők által elvárt kockázati prémium nem változik  vállalat kockázata nem változik egy időszakkal vagyunk a következő osztalékfizetés előtt Kétfázisú DDM modell  Képlete: D n +1 n Di r−g P0 =  + i n (1 + r ) i =1 (1 + r ) Ahol, P0 – jelenlegi részvényár Di – i-dik időszakban esedékes osztalék Dn+1 – n+1-dik időszakban esedékes osztalék Pn – n-év mulva várható részvényár r – befektetéstől elvárt hozam g – osztalék növekedési rátája Egyszerűsített kétfázisú DDM modell  Ha az első n évben az osztalék mértéke és az osztalékfizetési ráta változatlan:  (1 + g )n Div 0 * (1 + g )  1 − n ( ) 1 + r  P0 = r−g    Div  (1 + g )n * (1 + g )

+ 0 n n (rn − g n )(1 + r ) Ahol – Div0 – előző évi osztalékfizetés g – első fázis növekedési üteme r – első fázis elvárt hozama rn – második fázis elvárt hozama gn – második fázis növekedési üteme DCF modell A DCF (Discounted Cash Flow) model az 5-7 évre előre meghatározott FCFF (Free Cash Flow to Firm) értékből indul ki, melyet diszkontál a vállalatra meghatározott WACC-al (Weighted Average Cost of Capital). FCFF = EBIT * (1 – Tc) + Amortizáció – ∆ Bef.eszközök – ∆ Műktőke beruházások  A részvény értéke a kockázatmentes hozam változásával ellentétesen változik.  Az elvárt hozam változásával ellentétesen változik a részvény értéke és azonosan a kockázatvállalási hajlandóság változásával.  Minél alacsonyabb kamaton vesz fel hitelt a vállalat, annál nagyobb az értéke.  Minél gyorsabban és minél nagyobb mértékben növekszik egy vállalat, annál többet ér.

EBIT= Earnings Before Interest and Taxes Pénzáram-diszkontálás általános módszere CFn + VRn CF1 CF2 V = + + . + n (1 + r1 ) (1 + r1 )* (1 + r2 )  (1 + ri ) i =1 Magyarázat: V – vállalat értéke CFi – vállalat által adott időszakban megtermelt pénzáram VRn – vállalat maradványértéke n év múlva ri – elvárt hozam az i-dik évben Releváns pénzáramok, releváns diszkontráták Érték Pénzáram Diszkontráta Vállalat értéke Szabad pénzáram Súlyozott átlagos tőkeköltség Saját tőke értéke Tőkére jutó pénzáram Részvényektől elvárt hozam Adósság értéke Hiteltől elvárt hozam Adósságszolgálat Vállalat eszközeinek értéke Árbevétel növekedési üteme Pénzbeáramlás Fedezeti ráta Fizetett adó Pénzkiáramlás Tárgyi eszköz beruházás Forgótőkeigény Vállalat Jövőbeli pénzáram eszközeinek = WACC értéke Súlyozott átlagos tőkeköltség Saját tőke költsége Idegen tőke költsége

Tőkeszerkezet Tőkeköltség becslése  Mind a hitelezők, mind a részvényesek elvárják, hogy kárpótolják őket azért, hogy ebbe a vállalatba fektették a pénzüket, nem pedig egy más, ugyanilyen kockázatú vállalkozásba  WACC az a diszkontráta, vagy a pénz időértéke, amivel a jövőben várt szabad pénzáramnak kiszámoljuk a jelenértékét  Meg kell felelnie az értékelési eljárásnak és a szabad pénzáram definíciójának Hogyan legyen megfelelő?  Foglalja magába minden tőkeforrás súlyozott átlagos költségét  Adózás utáni értékét kell kiszámítani  Nominálhozamokat használjunk  Ki kell igazítani a tőkenyújtók által viselt szisztematikus kockázattal  Piaci értékalapon súlyozzunk  Változtassuk, ha szükséges az előrejelzési periódusban A WACC becslésének képlete WACC = kb(1-Tc)(B/V)+kp(P/V)+ks(S/V)  kb = az adósság adózás előtti elvárt hozama  Tc =

társasági adókulcs  B = a kamatozó adósság piaci értéke  V = a vállalkozás piaci értéke V = B+P+S  kp = elsőbbségi részvény adózás utáni hozama  P = elsőbbségi részvény piaci értéke  ks = törzsrészvény elvárt hozama  S = törzsrészvények piaci értéke  Fundamentális elemzés szempontjai Kereslet oldalán: Kínálat oldalán: 1. Értékesítés adatai 2. Felhasználás adatai 3. Export és import 4. Kapcsolódó iparágak helyzete 5. Fogyasztói szokások 6. Természeti adottságok 7. Konkurencia 1. Termelés alakulása 2. Készletek összetétele 3. Export és import 4. Termelés feltételrendszere 5. Kapacitáskihasználás mértéke 6. Innováció, gazdasági fejlesztés 7. Adott iparág technikai fejlődése 8. Környezetvédelem Makrotényezők  Nemzetközi gazdasági helyzet bemutatása (növekedési kilátások, tőkeáramlási irányok, nemzetközi kamatszint)  Hazai gazdasági helyzet bemutatása (gazd.

növekedés, egyensúlyi kérdések, infláció, kamatlábak, gazdaságpolitika)  Ágazat helyzetének bemutatása (növekedési kilátások, output, input árak, versenyhelyzet, helyettesítő termékek, innovációk, szabályozás) Mikrotényezők (piaci részesedés, versenyhelyzet)  Vállalat termékei  Vállalat vevői  Vállalati input jellemzése  Akvizíciós politika  Különleges helyzetek  Pénzügyi mutatószámok elemzése (belföldi, külföldi) (beszerzés árai, forrásai, munkaerő, menedzsment színvonala, műszaki berendezések) A fundamentális elemzés formája Mikrotényezők - Pénzügyi beszámoló • • • • • • • • Eszköz és forrástételek változásai Eredménykimutatás változásai Jövedelmezőségi mutatók (Du Pont, ROA, Eszközhozam) Likviditási mutatók Nyereségáttételi mutatók Tőkeáttételi mutatók Hatékonysági mutatók Piaci ráták (EPS, P/E, Kapitalizáció/Könyv sz. érték,

utolsó osztalék/névérték) Portfólióelmélet Árfolyamváltozás mérése  Abszolút változás A = S − S t t −1  Relatív változás (hozamszámítás) St  Százalékosan −1 gt = S t −1  Logszázalékosan (kamatintenzitás)  St   zt = ln   S t −1  Kapcsolatuk: x x 2 x3 xn n −1 ln (1 + x ) = − + − .(− 1) * + . 1 2 3 n Kamatintenzitás levezetése  r  lim 1 +  n  n  P1 r *t e = P0 n t  rt r *t  =e =e   P1  ln   P0   P1   r * t ln (e ) = ln    r = t  P0   Logszázalékokkal mért relatív változások összeadhatók  Logszázalékos súlyozott átlaga a valós időszaki hozam  Logszázalékos hozam negatív hozam esetében nagyobb, mint az exponenciális és a névleges, pozitív hozam esetében pedig kisebb.  Tökéletesen likvid befektetések esetében közgazdaságilag jól

magyarázható feláldozott haszon Logszázalék (kamatintenzitás) tulajdonságai Hozamszámítás Richter Megnevezés Dátum TVK Árfolyam Dátum MATÁV Árfolyam Dátum Árfolyam Vétel 98.0522 19 605 98.0911 2 100 98.0925 956 Eladás 98.1215 7 800 98.1215 2 900 98.1215 1 166 Időszaki hozam Névleges hozam Tényleges hozam Kamatintenzitás 1 t  P1  1  P1 rn =  − 1  reff =   − 1 rint  P0  t  P0   P1  ln   P0   = t Előző feladat megoldása Richter Megnevezés Dátum TVK Árfolyam Dátum MATÁV Árfolyam Dátum Árfolyam Vétel 98.0522 19 605 98.0911 2 100 98.0925 956 Eladás 98.1215 7 800 98.1215 2 900 98.1215 1 166 Időszaki hozam 207 -60,21% 95 38,10% 81 21,97% Névleges hozam -106,17% 146,37% 98,98% Tényleges hozam -80,31% 245,61% 144,69% -162,52% 124,01% 89,48% Kamatintenzitás Portfolió hozama és kockázata Hozam n w rp = i  ri

i=1 Kockázat sp = n n w i  w j  si  s j  Rij i =1 j =1 Korreláció − −     x −  y −    i x y  i   n − 1i=1   1 Rij = n sx  sy  A tőkepiaci értékelés modellje (CAPM, Capital Assets Pricing Model) az egyensúlyi árak kialakulásának folyamatát írja le a kockázatos eszközök piacán.  A modell segítségével a befektetők számára kiszámítható válik a befektetések, részvények elvárt hozama. A részvény elvárt hozama = Kockázatmentes hozam + β * Részvénypiac kockázati prémiuma A (β) a részvény hozama és a részvénypiaci hozam közötti összefüggést fejezi ki. CAPM Modell  A CAPM modellből következően minden kockázat-jutalom kombináció elérhető a kockázatmentes eszköz és a piaci portfólió egyszerű kombinálásával  Az egyedi értékpapír kockázati prémiuma a piaci portfólió kockázatához való hozzájárulásával azonos.

 A kockázati prémium nagysága nem függ az értékpapír egyedi kockázatától. Egyensúlyi helyzetben, a befektetőket magasabb várható megtérüléssel csak a piaci kockázat viseléséért jutalmazzák. Ez szükséges kockázat, ami diverzifikációval nem csökkenthető; ezt feltétlenül viselni kell, hogy a befektető megkapja a várt megtérülést. CAPM Modell A portfólió súlyarányait meghatározó képletek 2 elemből álló portfóliók esetén  Minimális szórású portfólió  E2 − Cov (rD , rE )  E2 wD = 2  2 2 , ha R = -1 2 D + E  D +  E − 2  Cov (rD , re )  Optimális kockázati felárú portfólió súlya S= E (rP ) − rf wD = P r D   max r D    − rf *  E2 − rE − rf Cov ( rD , rE )     − rf *  E2 + rE − rf  D2 − rD + rE − 2 rf Cov ( rD , rE D -> debt, kötvény portfolió, E -> equities, részvény portfolió

Diverzifikáció hatása Kockázat Egyedi kockázat Piaci kockázat Részvények darabszáma (N − N) N 2  = 2  i +  Covi 2 N N 2 p − 2 Portfólióelmélet és a CAPM Hatékony portfoliók Hatékony portfoliók kockázatmentes befektetéssel Hozam tőkepiaci Hozam értékpapíregyenes piaci egyenes rf Hozam rf Szórás CAPM ri = r f + ( rm − r f )   i sp Szórás Részvénybéta i = COV ( x , M ) s M2 1 Béta Portfolióbéta p = n w i  i i =1 A tőkepiaci egyenes megmutatja, hogy adott bétájú értékpapírnak mekkora a várható hozama, ha ismert a kockázatmentes hozam és a piaci portfólió várható hozama. Karakterisztikus egyenes 10 8 BUX kockázati prémiuma 6 4 2 0 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 0 2 -4 -6 -8 -10 -12 Matáv kockázati prémiuma 4 6 8 10 12 14 Karakterisztikus egyenes Az adott értékpapír kockázati prémiuma a piaci index kockázati prémiumának függvényében

Regressziós statisztika paraméterei: R2 = a piaci index kockázati prémiuma hány %-ban magyarázza az értékpapír kockázati prémiumát (0,58) α = abnormális hozam (-0,233) β = a papír makrokockázatra vonatkozó érzékenysége (1,14) α és β standard hibája = ha a véletlenek szórása normális, akkor a valódi α és β 95%-os valószínűséggel a mért érték ± 2*standard hiba közé esik s(α)=0,17; s(ß)=0,06 Módosított béta=2/3*aktuális béta + 1/31 Módosított alfa Kényelemből nem kockázati prémiumokból, hanem valós hozamokból számolják a karakterisztikus egyenest. A béta értéke nem változik, az így kiszámolt alfát azonban korrigálni kell. ri − r f =  +  * (rm − r f ) + ei ri = x +  * rm + ei rf = x −  +  * rf  = x − r f * (1 −  ) CAPM példa Részvények Becsült hozam Béta A 10% 0,8 B 15% 1 C 20% 2 D 25% 0 A piac várható hozama: �� = 15% A kockázatmentes kamatláb: �� =

12% Melyik papírt érdemes venni? ����� = �� + �� ∗ (�� − �� ) �� = ������ − ����� �� > 0 Venni �� < 0 Eladni Mi határozza meg az eszközök bétáját?  Ciklikusság  Működési tőkeáttétel Pénzáramlá s = Bevétel - Fix költség - Változó költség PV(eszköz) = PV(bevétel ) - PV(fix költség) - PV(változó költség) PV(bevétel ) = PV(változó költség) + PV(fix költség) + PV(eszköz)  bevétel =  fix költség * PV (FC ) PV (VC ) PV ( A) +  változó költség * +  eszköz * PV (R ) PV (R ) PV (R ) )  PV (VC )  PV ( A)   eszköz * =  bevétel * 1 − PV (R ) PV (R )    eszköz  PV (R ) − PV (VC )   =  bevétel *  PV ( A )   Értékpapír bétája a portfólióhoz viszonyítva Értékpapír 1 2 1 w12*σ12 w1*w2Cov12 w1w3Cov13 w1wkCov1k w1wnCov1n 2 w1*w2Cov12 w22σ22 3 w1*w3Cov13

. w1*wkCov1k n w1*wnCov1n n w * i i =1 i . . wk2*σk2 w1 *  12 + w2 Cov 12  p2 . wn2*σn2 =1  n w32*σ32 w1 * w1  12 + w2 Cov 12 + w3 Cov 13 + .wn * Cov 1n 1 = 3  Fedezeti ügyletek Mire jók a fedezeti ügyletek? • Kockázatkezelés • Befektetés • Spekuláció Tevékenység Export, Import Kockázatok • • Kockázat kezelés Nyersanyag árfolyamváltozás Deviza árfolyamváltozás Fedezeti ügylet Pénzügyi művelet • • Kamatláb változás Deviza árfolyamváltozás 100 Hol köthető fedezeti ügylet?  Tőzsdén (kötöttebb feltételek, napi elszámolás)  OTC piacon (kötetlenebb, rugalmasabb, kedvezőbb költségek, az ügyleteket zömmel itt kötik) 101 Tőzsdei vs. OTC 102 A pénzügyi eszközök piacairól szóló európai uniós irányelv, a MIFID (Markets In Financial Instruments Directive) 2007-óta hatályos irányelvet a pénzügyi piacokon tapasztalható

változások miatt felülvizsgálták és átdolgozták: módosították a MIFID-et (MIFID II Irányelv), illetve kidolgoztak egy kapcsolódó rendeletet, a MIFIRt (Markets in Financial Instruments Regulation). Az irányelv és a rendelet közös célja a befektetői érdek védelme. Ennek egyik eszköze a befektetési vállalkozás ügyfeleinek minősítése, melyet az úgynevezett alkalmassági és megfelelési teszt kitöltetésével hajthatnak végre a piaci szereplők. MIFID II. 103 A kérdőív célja az ügyfél tapasztalatainak, termékismeretének, befektetési céljainak és kockázatviselési hajlandóságának felmérése. Az ügyfélnek csak olyan termékek értékesítése ajánlott, melyeket ismer, kockázataival tisztában van, optimális esetben kereskedett már velük, így megfelelő tapasztalatokkal rendelkezik. Ez azért különösen fontos, mert az egyes befektetési termékek eltérő kockázatokkal rendelkeznek, és egyes befektetések kockázati profilja

kívül eshet az ügyfél kockázatviselési hajlandóságán. Fontos, hogy az ajánlott befektetési portfolió összhangban legyen az ügyfél befektetési céljaival. Ha például rövid befektetési horizonttal rendelkezik, úgy számára a stabilabb értékkel, alacsonyabb kockázattal rendelkező, likvid befektetések lehetnek ideálisak. A teszt kiértékelése után a befektetési vállalkozás kategóriákba sorolja az ügyfeleit. A kategória meghatározása az ügyfél befektetési horizontja, céljai, kockázatviselési hajlandósága, befektetési tapasztalatai és ismeretei alapján történik. MIFID II. 104 Néhány alapfogalom 1. Fogalom Definíció OTC „over the counter”, tőzsdén kívüli ügyletek Spot értéknap T+2, ügyletkötést követő 2. banki munkanap Spot árfolyam T+2 értéknapra szóló aktuális árfolyam Bid Banki vételi árfolyam Offer Banki eladási árfolyam Volatilitás Egy pénzügyi eszköz ár(folyam) változékonysága

Swap Csereügylet ATMF At-the-money forward, üzletkötéskori határidős árfolyam ITMF In-the-money forward, az üzletkötéskor az ATMF-től kedvezőbb árfolyam OTMF Out-of-the-money forward, az üzletkötéskor az ATMF-től kedvezőtlenebb árfolyam 105 Néhány alapfogalom 2. Fogalom Definíció Ellenügylet Adott ügylettel megegyező paraméterű, de ellentétes irányú Opciós prémium Az opció díja Piaci érték Adott pozíció lezárásának/megszüntetésének számított költsége Kontraktusméret Egy kontraktusra szóló ajánlat legkisebb (oszthatatlan) mennyisége Elszámolóár Az az ár, amelyet az adott nap végén a BÉT megállapít Letéti követelmény A határidős kontraktusok megkötésénél elkülönített pénzösszeg, amelynek terhére naponta történik az elszámolás 106 Néhány alapfogalom 3. A pénzügyi derivatívák (más néven származékos ügyletek) olyan termékek, melyek értéke egy vagy több másik,

úgynevezett mögöttes termék (más néven alaptermék) árától függ, „abból származik”. A mögöttes termék lehet részvény, kötvény, árucikk, valuta, inflációs érték, kamatláb, piaci index, stb. is A derivatívákat használhatjuk a kockázat csökkentésére (fedezeti ügylet), a várható hozam - és ezzel párhuzamosan a kockázat - növelésére (spekuláció) kockázatmentes nyereség biztosítására is (arbitrázs). 107 Néhány alapfogalom 3. A származékos ügyleteknek három alapvető típusa: • a határidős ügylet, • az opció, • és a csereügylet. A határidős ügylet egy jövőbeni időpontra vonatkozó adásvételt jelent. Az opció szintén egy jövőbeni időpontra vonatkozó adásvételt takar, de ebben az esetben az egyik fél (a jogosult) dönthet arról, hogy végre akarja-e hajtani a tranzakciót, vagy sem, míg a másik félnek (a kötelezett) el kell fogadnia a jogosult döntését. A csereügylet jövőbeni pénzáramlások

cseréjét jelenti, ez esetben a két kicserélt pénzáramlásnak vagy a pénzneme, vagy az időbeni alakulása különböző. 108 Néhány alapfogalom 3. A határidős szerződéseknek két fontos altípusa van: • a tőzsdén kereskedett futures, • illetve az OTC piacon kereskedett forward. A futures kontraktusok standardizált termékek, a tőzsdei kereskedés minden előnyével és hátrányával. Amennyiben minimális partner kockázat mellett, alacsony tranzakciós költséggel szeretne kereskedni a befektető, és a likviditás is fontos a számára, úgy a futures ügylet a kedvezőbb. De, ha egyedi paraméterekkel szeretne üzletet kötni (lejárat, mennyiség vagy minőség tekintetében), nem tervezi idő előtt lezárni az ügyletet, így a likviditás nem fontos szempont számára, úgy a forward ügylet a megfelelőbb. 109 Fedezeti ügylet vagy spekuláció? Fedezeti ügylet van Fedezeti ügylet nincs Van alaptevékenységből származó kockázat Nincs

alaptevékenységből származó kockázat Fedezeti ügylet Spekuláció Spekuláció „Natural hedging” Lehetséges kockázatkezelési stratégiák Fedezés: pontosan az alapkitettségnek megfelelő ügylet kötése, cél a kockázati kitettség megszüntetése Aktív kockázatkezelés: az alapkitettség fedezése csak részleges, egy része „nyitott” Spekuláció: Az ügyletek az alapkitettségtől függetlenek, a cél a haszonszerzés Befektetés: Szabad pénzeszközök elhelyezése pénzügyi termékekben, haszonszerzési célból 110 1 2 Mikrohedge: Minden egyes fedezni kívánt ügyletre külön-külön fedezeti ügylet kötése. Pld Adott szállítmány bevételének/kiadásának a fedezése. Makrohedge: Nem konkrét ügyletet, hanem adott időszakot fedez. Pld Adott hónap, vagy egész év pénzáramának a fedezése. Mikrohedge vs. makrohedge 111 Gyakoribb fedezeti ügyletek Határidős ügylet (forward) Plain vanilla opció egyszerű Range

forward (sávos határidős ügylet) Limitáras (barrier opció) Digitális opció Sirály ügylet (seagull) összetett Javított határidős ügylet (boosted forward) Forward extra 112 Határidős devizaügylet (forward)  A legalapvetőbb fedezeti ügylet  Határidős árfolyam számítása:  Határidős árfolyam = Spot árfolyam + Swap pontok  Swap pontok = Spot árfolyam x (időarányos HUF-deviza kamatkülönbözet)  Kamatkülönbözetnél a megfelelő időtáv kamatlábaival kell kalkulálni  A határidős árfolyam nem várakozás, hanem egyszerű matematika  A lejárat napja új értéknapra módosítható (elgörgetés), de a nyereség/veszteség az elgörgetés napján érvényes árfolyam alapján elszámolandó  Lehet deviza eladás és vétel (exportőr vs importőr) 113 A futures/forward nyereségfüggvénye Long Futures/forward Nyereség Short Futures/forward Piaci árfolyam Veszteség Kötési árfolyam Plain

vanilla opció Call opció Put opció Opció vétele (jog vásárlása) Vételi jog a kötési (strike) árfolyamon Eladási jog a kötési (strike) árfolyamon Opció eladása (kötelezettség) Eladási kötelezettség a kötési (strike) árfolyamon Vételi kötelezettség a kötési (strike) árfolyamon Európai típusú: Az opció biztosította joggal csak a lejáratkor lehet élni Amerikai típusú: Az opció biztosította joggal futamidő közben bármikor lehet élni 2 db ellentétes ATMF opció (jog+kötelezettség) = határidős ügylet (zéró költségű) 115 Az egyszerű opciók nyereségfüggvényei 100 piaci árfolyam Eladási jog (long put) + P veszteség nyereség veszteség nyereség Vételi jog (long call) +C 100 piaci árfolyam piaci árfolyam 100 veszteség nyereség veszteség nyereség Eladási kötelezettség (short call) -C Vételi kötelezettség (short put) -P 100 piaci árfolyam Spekuláció elemi ügyletek segítségével -

Árfolyamemelkedés Ügylet típus Várható hozam Várható maximális veszteség Tőkeigény Prompt vétel Magas Befektetett tőke Befektetett tőke Határidős vétel Igen magas Letét + további befiz. Letét Vételi jog vétele Mint határidős vétel – opciós díj Opciós díj Opciós díj Eladási jog eladása Opciós díj Mint határidős eladás-opciós díj Negatív Spekuláció elemi ügyletek segítségével - Árfolyamcsökkenés Ügylet típus Várható hozam Várható maximális veszteség Tőkeigény Prompt eladás Magas Mint határidős eladás+hitelkamat Nincs Határidős eladás Igen magas Letét + további befiz. Letét Eladási jog vétele Mint határidős eladás – opciós díj Opciós díj Opciós díj Vételi jog eladása Opciós díj Mint határidős eladás-opciós díj Negatív  Sávos határidős ügylet (range forward)   A határidős árfolyam körüli sávra köthető ügylet A sávnak

megfelelően maximalizált a nyereség, de a veszteség is 2 db ellentétes, ATMF-től azonos mértékben eltérített plain vanilla opcióból áll (1 jog és 1 kötelezettség) 119 Példa: range forward Példa (exportőr) Példa (importőr) Spot árfolyam (kötéskor) 280 Spot árfolyam (kötéskor) 280 Forward árfolyam 292 Forward árfolyam 292 Alsó árf. (eladási jog) 288 288 Felső árf. (eladási kötelezettség) 296 Alsó árf. (vételi kötelezettség) Felső árf. (vételi jog) 296 Ha az árfolyam 288 alatt 288-ért adhat el Ha az árfolyam 288 alatt 288-ért kell venni Ha az árfolyam 296288 között 0 jog, 0 kötelezettség Ha az árfolyam 296288 között 0 jog, 0 kötelezettség Ha az árfolyam 296 felett 296-on kell eladni Ha az árfolyam 296 felett 296-on vehet 120 Limitáras (barrier) opció Knock-in opció: Ha a spot árfolyam eléri a barrier árfolyamot, akkor plain vanillává alakul, egyébként nem lép életbe Knock-out

opció: Ha a spot árfolyam eléri a barrier árfolyamot, akkor az opció megszűnik (Knock-in-knock-out): Egy árfolyamon életbe lép, egy másikon megszűnik az opció Stb. Európai típusú: A barrier árfolyamot csak az opció lejárati napján (expiry date), meghatározott időpontban figyeljük Amerikai típusú: A barrier árfolyamot az opció megkötésétől a lejáratig figyeljük 121 Digitális opció (avagy lottózzunk!) Az opció vásárlója akkor kap meg egy bizonyos fix összeget, ha a piaci árfolyam elér (vagy nem ér el) egy barrier árfolyamot Európai típusú: Az opció vásárlója akkor kapja meg a fix összeget, ha lejáratkor a spot árfolyam a barrier árfolyam felett van (call), vagy alatt (put) Amerikai típusú: A barrier árfolyamot az opció megkötésétől a lejáratig figyeljük: One touch: ha a spot a futamidő alatt bármikor eléri a barrier szintet No touch: ha a spot nem éri el a barrier szintet Double no touch: uaz, mint a no touch, csak

két trigger szintje van 122 Sirály ügylet (seagull)  A sávos határidős ügylethez hasonló, de az egyik sáv a határidős árfolyamtól jelentősen kedvezőbb árfolyamot biztosít, amiért cserében vállalni kell, hogy  A sáv másik széle kedvezőtlenebb árfolyamú és egy bizonyos szintnél a védelem teljesen megszűnik  Az ügylet 3 db plain vanilla opció kombinációjából áll 123 Példa: seagull Példa (exportőr) Példa (importőr) Spot árfolyam (kötéskor) 280 Spot árfolyam (kötéskor) 280 Forward árfolyam 292 Forward árfolyam 292 Alsó árf. (vételi kötelezettség) 277 Alsó árf. (vételi kötelezettség) 280 Középső árf. (eladási jog) 289 Középső árf. (vételi jog) 297 Felső árf. (eladási kötelezettség) 313 Felső árf. (eladási kötelezettség) 305 Ha az árfolyam 313 felett 313-ért kell eladni Ha az árfolyam 288 alatt 288-ért kell venni Ha az árfolyam 289-313 között 0 jog, 0

kötelezettség Ha az árfolyam 280-297 között 0 jog, 0 kötelezettség Ha az árfolyam 277-289 között 289-en adhat el Ha az árfolyam 297-305 között 297-en vehet Ha az árfolyam 277 alatt 289-en eladhat; 277-en venni kell=12 Ft prémium Ha az árfolyam 305 felett 297-en vehet; 305-ön el kell adni=8 Ft prémium 124  Javított határidős ügylet (boosted forward)   A határidős ügylethez hasonló (jog+kötelezettség), de attól kedvezőbb árfolyamot biztosít Cserében viszont van egy trigger szint, melynél az egész ügylet megszűnik Az ügylet 1 limitáras (barrier) jog és egy limitáras (barrier) kötelezettség kombinációja 125 Forward extra  Az ügylet 1 jog és egy limitáras (barrier) kötelezettség kombinációja  Ha az árfolyam nem éri el a trigger szintet, egy plain vanilla opciónak fogható fel az ügylet, melynek az árfolyama némileg kedvezőtlenebb az ATMF árfolyamnál  Ha az árfolyam eléri a trigger

szintet, akkor egy normál határidős ügyletté alakul, melynek árfolyama némileg kedvezőtlenebb az ATMF árfolyamnál  Amerikai és európai trigger is lehetséges 126 Példa: forward extra Példa (exportőr) Példa (importőr) Spot árfolyam (kötéskor) 280 Spot árfolyam (kötéskor) 280 Forward árfolyam 292 Forward árfolyam 292 Forward extra árfolyam 290 Forward extra árfolyam 294 Trigger árfolyam (amerikai) 310 Trigger árfolyam (amerikai) 272 Ha az árfolyam nem éri el a 310-et egyszer sem Ha az árfolyam nem éri el a 272-őt egyszer sem - Ha az árfolyam 290 alatt 290-en adhat el - Ha az árfolyam 290 felett 0 jog, 0 kötelezettség Ha az árfolyam eléri a 310-et futamidő közben, vagy végén 290-es forward eladási ügylet - Ha az árfolyam 294 felett 294-en vehet - Ha az árfolyam 294 alatt 0 jog, 0 kötelezettség Ha az árfolyam eléri a 272- 294-es et futamidő közben, vagy forward végén vételi ügylet 127

Szintetikus elemi határidős ügyletek Szintetikus short futures -Cx[0;-1] +Px[-1;0] =-Fx[-1;-1] +P -C Szintetikus short call -F -Fx[-1;-1] -Px[+1;0] =-Cx[0;-1] -P X X Szintetikus long futures +Cx[0;+1] -Px[+1;0] =+Fx[+1;+1] Szintetikus long call +C -F =+Cx[0;+1] -P -P X +Fx[+1;+1] +Px[-1;0] =-Cx[0;+1] X Terpesz-széles terpesz Hosszú terpesz +P +Cx[0;+1] +Px[-1;0] =[-1;+1] Hosszú széles terpesz +Cx,y[0;0;+1] +Px,y[-1;0;0] =[-1;0;+1] +P +C +C X X Rövid terpesz -Cx[0;-1] -Px[+1;0] =[+1;-1] Y Rövid széles terpesz -C -P -C -P X -Cx,y[0;0;-1] -Px,y[+1;0;0] =[+1;0;-1] X Y Strip-strap Hosszú strip +2P +Cx[0;+1] +2Px[-2;0] =[-2;+1] Hosszú strap +P +C +2C X Rövid strip X -Cx[0;-1] -2Px[+2;0] =[+2;-1] Rövid strap -P X -2Cx[0;-2] -Px[+1;0] =[+1;-2] -2C -C -2P +2Cx[0;+2] +Px[-1;0] =[-1;+2] X Kombinációk összehasonlítása Jellemző Várható hozam Várható veszteség Tőke-igény Célja Hosszú terpesz Korlátlan

Korlátozott, nagy, kis területen érvényesül Két opciós díj Volatilitás jövőben nő Rövid terpesz Korlátozott, nagy, kis területen érvényesül Korlátlan Két opciós díj Volatilitás jövőben csökken Hosszú sz. terpesz Korlátlan Korlátozott, kicsi, nagy területen érvényesül Két opciós díj Volatilitás jövőben nő Rövid sz. terpesz Korlátozott, kicsi, nagy területen érvényesül Korlátlan Két opciós díj Volatilitás jövőben csökken Hosszú strip Korlátlan Korlátozott, nagy, kis területen érvényesül Három opciós díj Volatilitás jövőben nő, de árfolyam-csökkenés val. nagyobb Rövid strip Korlátozott, nagy, kis területen érvényesül Korlátlan Három opciós díj Volatilitás jövőben csökken, de árfolyamnövekedés valószínűsége nagyobb Hosszú strap Korlátlan Korlátozott, nagy, kis területen érvényesül Három opciós díj Volatilitás jövőben nő, de árfolyamnövekedés

valószínűsége nagyobb Rövid strap Korlátozott, nagy, kis területen érvényesül Korlátlan Három opciós díj Volatilitás jövőben csökken, de árfolyamcsökkenés val. nagyobb Kombinációk nyereségfüggvényei Kombinációk Nyereségfüggvények Hosszú terpesz S − X  cX + px Rövid terpesz S − X  cX + px Hosszú széles terpesz Rövid széles terpesz Hosszú strip Rövid strip Hosszú strap Rövid strap X − S  c X + p x vagy S − X  c x + p X X − S  c X + p x és S − Y  c x + p X X −S  c x + 2p X 2 X −S S − X  c X + 2p x és  c x + 2p X 2 S - X  c X + 2p x vagy S−X  2c x + p X 2 S−X X − S  2c X + p x és  2c x + p X 2 X − S  2c X + p x vagy Egyszerűbb spread-ek -Cx,y[0;-1;-1] Gyengülő különbözet +C [0;0;+1] x,y [0;-1;0] +Cx,y[0;+1;+1] Erősödő különbözet -C [0;0;-1] x,y [0;+1;0] -CY -CY +Cx +Cx X Nyereség: X Y S  X + (c X − c y ) Nyereség: Várható

veszteség Tőkeigény Y S  X + (c X − c y ) Jellemző Várható hozam Célja Erősödő különbözet Korlátozott Korlátozott Kicsi Árfolyam-emelkedés Gyengülő különbözet Korlátozott Korlátozott Kicsi Árfolyam-csökkenés Pillangó Rövid pillangó -2CY +Cx,y,z[0;+1;+1;+1] -2*Cx,y,z[0;0;-2;-2] +Cx,y,z [0;0;0;+1] [0;+1;-1;0] +Cx,y,z[0;-1;-1;-1] -2*Cx,y,z[0;0;+2;+2] +Cx,y,z [0;0;0;-1] [0;-1;+1;0] Hosszú pillangó -Cx +Cz -Cz +2CY +Cx X Nyereség: Y Z X S  X + (c X + c z − 2 * c y ) Nyereség: és S  Z − (c X + c z − 2 * c y ) Jellemző Várható hozam Rövid pillangó Hosszú pillangó Várható veszteség Y Z S  X + cX + cz − 2 * c y ( ) vagy S  Z − (c X + c z − 2 * c y ) Tőkeigény Célja Korlátozott Korlátozott Kicsi Volatilitás csökkenés Korlátozott Korlátozott Kicsi Volatilitás emelkedés Keselyű +Cx,y,z,w[0;+1;+1;+1;+1] -Cx,y,z,w[0;0;-1;-1;-1] -Cx,y,z,w[0;0;0;-1;-1] +Cx,y,z,w

[0;0;0;0;+1] [0;+1;0;-1;0] Rövid keselyű -CY -Cz Hosszú keselyű -Cx -Cx,y,z,w[0;-1;-1;-1;-1] +Cx,y,z,w[0;0;+1;+1;+1] +Cx,y,z,w[0;0;0;+1;+1] -Cx,y,z,w[0;0;0;0;-1] [0;-1;0;+1;0] +Cw -Cw +Cz +Cx +CY Z W Y S  X + (c X + cw − c y − cz ) Nyereség: és S  W − (c X + cw − c y − cz ) X X Y Nyereség: Z W S  X + (c X + cw − c y − cz ) vagy S  W − (c X + cw − c y − cz ) Ugyanaz, mint a pillangó, csak kisebb a nyereség, viszont az szélesebb sávon érvényesül. Teknősbéka +Cx,y,z,w[0;+1;+1;+1;+1] -Cx,y,z,w[0;0;-1;-1;-1] +Cx,y,z,w[0;0;0;+1;+1] -Cx,y,z,w [0;0;0;0;-1] [0;+1;0;+1;0] -CY -Cx,y,z,w[0;-1;-1;-1;-1] +Cx,y,z,w[0;0;+1;+1;+1] -Cx,y,z,w[0;0;0;-1;-1] +Cx,y,z,w [0;0;0;0;+1] [0;-1;0;-1;0] -Cx -Cz +Cz +Cw -Cw +CY +Cx X Y Z X W ( Nyereség: S  Z + c X + cz − c y − cw ) Y Z W ( Nyereség: S  Y + c X + cz − c y − cw ) Ugyanaz, mint a gyengülő, illetve erősödő különbözet, csak kisebb a nyereség,

és veszteség, továbbá van „holtzóna”.  Arbitrázs – olyan összetett tőzsdei ügylet, melynek révén kockázatmentesen lehet profitot elérni a tőzsdei termékek helytelen árazása miatt.  Egyszerű példa (különbözeti arbitrázs) – New Yorkban az euró/dollár ár = 1,19 Frankfurtban az euró/dollár ár = 1,2 Megoldás: New Yorkban veszek eurót dollárért, majd Frankfurtban eladom az eurót dollárért. Minden 100 dolláron keresek 1 eurót. Arbitrázs technikák  A határidős ügyleteknek szoros kapcsolatban kell állniuk az alaptermékek áraival.  Ha az áreltérésből eredő haszon meghaladná az ügyletek végrehajtásának költségeit – arbitrázs.  Három aranyszabály:   Vedd meg, ami olcsó, add el, ami drága!!!  A prompt piacon mindig tedd az ellenkezőjét, mint amit a határidős piacon csinálsz!!!  Ha pénzre van szükséged, vegyél fel kockázatmentes kamatlábra hitelt, ha pénzed van,

fektesd be kockázatmentesen!!! Négy termékre nézzük meg:  Határidős értékpapírok  Határidős tőzsdei áruk  Határidős árfolyamok  Határidős kamatok Arbitrázs határidős ügyletekkel Keresztárfolyami arbitrázs  A bankközi devizapiac vételi és eladási árfolyamait az alábbi táblázat tartalmazza az egyes relációkban: Reláció Vétel Eladás EURUSD 1,2072 1,2272 EURHUF 260,66 262,66 USDHUF 215,08 217,08 • Van-e lehetőség keresztárfolyami arbitrázsra?  Kiszámoljuk a két leglikvidebb reláció esetén a kereszárfolyamokat (fontos, hogy az arbitárzs másik lábát gyorsan végre tudjuk hajtani)  Ha a közvetlen eladási árfolyam kisebb, mint a keresztárfolyami vételi => közvetlenül eladunk, keresztárfolyamon veszünk  Ha a közvetlen vételi árfolyam nagyobb, mint a keresztárfolyami eladási => közvetlenül veszünk, keresztárfolyamon eladunk  Egyik sem => nincs

arbitrázs Megoldás menete Példa megoldása Reláció Vétel Eladás EURUSD 1,2072 1,2272 EURHUF 260,66 262,66 USDHUF 215,08 217,08 212,40 217,58 USDHUF keresztárfolyam (EURUSD-EURHUF számolt) Akkor lenne lehetőség arbitrázsra, ha vagy 215,08>217,58 vagy 212,40>217,08 Egyik sem áll fenn. Nézzük meg, tényleg így van-e? $ 1.000000 Ft-om van 217,08 Veszek 217,08-ért dollárt = 4.606,6$ Ft 1,2272 Dollárt átváltom 1,2272 euróra = 3.75374€ Eurórét veszek 260,66-ért forintot = 978.439,4 Ft € Veszteség = -21 560,6 Ft 260,66 $ 10.000 $-om van 215,08 Veszek 215,08-ért forintot = 2.150800 Ft Ft 1,2072 Forintot átváltom 262,66-on euróra = 8.188,5€ Eurórét veszek 1,2072-n dollárt = 9.885$ € 262,66 Veszteség = -115$ Arbitrázslehetőség 2. $ Ha a közvetlen eladási árfolyam 210,00 210,0 1.000000 Ft-om van Veszek 210,00-ért dollárt = 4.761,90$ Ft 1,2072 Dollárt átváltom 1,2272 euróra =

3.880,30€ € Eurórét veszek 260,66-ért forintot = 1.011439 Ft 262,66 Nyereség = 11.439 Ft Ha a közvetlen vételi árfolyam 218,00 $ 10.000 $-om van 218,0 Veszek 218,00-ért forintot = 2.180000 Ft Ft 1,2072 Forintot átváltom 262,66-on euróra = 8.299,7€ Euróért veszek 1,2072-n dollárt = 10.019,4$ € 262,66 Nyereség = 19,4$ Határidős részvényárak Az OTP árfolyama március 10-én 7.470 Ft, június 16-i határidős árfolyama 8.000 Ft A kockázatmentes kamatláb 6% Hogyan érdemes arbitrálnia, ha a tranzakciós költségektől eltekintünk? Azonnali eladás Azonnali vétel P 3 hónap Határidős eladás T Határidős vétel 3 hónap Vegyük észre, hogy lejáratkor mindenképpen 8.000 Ft-om lesz Árfolyam 4.000 12.000 Prompt piac 4.000 12.000 Határidős piac 8.000 -4000 8.000 -12.000 Eredmény 8.000 8.000 Megoldás Egyensúlyi azonnali ár S = F e Egyensúlyi határidős ár − r f *t F = S e r f *t

Behelyettesítve: F = S e r f *t = 7.470  e 0 , 06* 98 365 = 7.591 Következtetés: Mivel az egyensúlyi határidős ár kisebb, mint a tényleges, határidőre eladok, prompt piacon veszek, hitelt veszek fel kockázatmentes kamatlábon. (Legkésőbb) lejárat előtt prompt piacon eladok, határidőre veszek (gyakoribb), vagy megvárom a határidős termék lejáratát és teljesítek (igen ritka). Mi van, ha a határidős ár 7.000 Ft? Mivel az egyensúlyi határidős ár nagyobb, mint a tényleges, határidőre veszek, prompt piacon rövidre eladok, az eladásért kapott pénzt kockázatmentes eszközbe fektetem. (Legkésőbb) lejárat előtt prompt piacon visszavásárolok, határidőre eladok (gyakoribb), vagy megvárom a határidős termék lejáratát és befektetésből kifizetem (igen ritka). Mi van, ha a prompt piaci brókeri jutalék eladás és vétel esetén 0,25%, továbbá az értékpapír-kölcsönzés díja 1,5% (előre fizetendő)? Képlet: Fb =

S  (1 + f b )  e Fs = S  (1 − f s )  e r f *t = 7.470  (1 + 0,0025 )  e r f *t = 7.470  (1 − 0,0175 )  e 0 , 06 * 0 , 06 * 98 365 98 365 = 7.610 = 7.458 Következtetés: •Ha a határidős ár nagyobb, mint Fb, határidőre eladok, prompt piacon veszek, hitelt veszek fel kockázatmentes kamatlábon. (Legkésőbb) lejárat előtt prompt piacon eladok, határidőre veszek (gyakoribb), vagy megvárom a határidős termék lejáratát és teljesítek (igen ritka). •Ha a határidős ár kisebb, mint Fs határidőre veszek, prompt piacon rövidre eladok, az eladásért kapott pénzt kockázatmentes eszközbe fektetem. (Legkésőbb) lejárat előtt prompt piacon visszavásárolok, határidőre eladok (gyakoribb), vagy megvárom a határidős termék lejáratát és befektetésből kifizetem (igen ritka). •Ha az ár Fb és Fs között van, nem csinálok semmit. Mi van, ha a részvényre a határidős termék lejárata előtt osztalékot/kamatot

fizetnek? Mivel lejáratkor az alaptermék árából már kikerül az osztalék/kamat, de az értékelés időpontjában még benne van, a felhalmozott osztaléktól/kamattól az azonnali árfolyamot meg kell tisztítani. Egyensúlyi határidős ár, ha az osztalék van megadva F = (S − PV (D ))  e − r f *t Egyensúlyi határidős ár, ha az osztalékhozam van megadva F = S e (r f − d )*t Tételezzük fel, hogy az OTP részvényre 20%-os osztalékot fognak fizetni június 1-én. Mekkora lesz a határidős egyensúlyi ár, ha a tranzakciós költségektől eltekintünk? 83 98 − 0 , 06* 0 , 06*   365  365 F =  7.470 − 1000  0,2  e  e = 7391    Határidős áruárak  Az arbitrázstechnika ugyanaz, mint az értékpapírok esetében, csak itt figyelembe kell venni a tárolási költséget, ami negatív osztaléknak tekinthető. Egyensúlyi határidős ár, ha a tárolási költség van megadva F = (S + PV (U ))  e r f

*t Egyensúlyi határidős ár, ha a tárolási költséghányad van megadva F = S e (r f + u )*t Példa határidős árura vonatkozó arbitrázsra Jelenleg a takarmánybúza ára 30 eFt/tonna. A határidős piacon augusztusi lejáratra 45 eFt/tonna az ára. Egy tonna búza havi tárolási költsége 100 Ft, ami a hónap végén esedékes. Mekkora a búza határidős egyensúlyi ára, ha a tranzakciós költségektől eltekintünk? Hogyan arbitrálna? A kockázatmentes kamatláb 6%, a határidős termék lejárata augusztus 29. F = (S + PV (U ))  e − r f *t = (30.000 + 100  AF6% /12,7 ) e 7 − 0 , 06 12 = 31.272 Arbitrázstechnika: •A határidős ár magasabb, mint az egyensúlyi, ezért határidőre eladok búzát, prompt veszek búzát és ezt kockázatmentes kamatlábra felvett hitelből finanszírozom. •Ha a határidős ár kisebb, mint az egyensúlyi, akkor határidőre veszek búzát, prompt eladok és a kapott pénzt Határidős devizaárak

Deviza P €0 r o m p t Ft0 Euró hitel Euró betét Forint hitel €1 T e r m i Ft1 n Forint betét Ügyletkötéstől lejáratig Idő Kamatparitás (ismétlés)  Két devizában ugyanakkora a befektetés várható hozama  HUF1  HUF 0   (1 + rhuf ) = (1 + reur )  E  EUR 0  EUR1   HUF1  HUF 0 (1 + rhuf )  = E  *  EUR1  EUR 0 (1 + reur )  Példa: A HUF/EUR árfolyam jelenleg 265 HUF/EUR. A forint kamatlába 6%, az euró kamatlába 2,5%. Mekkora lesz három hónap múlva a HUF/EUR árfolyam?  HUF1  EUR 0 (1 + rhuf * t ) 1 + 6% * 0,25  = E * = 265,00  = 267 ,30 1 + 2,5% * 0,25  EUR1  HUF0 (1 + reur * t )  Feltétele: két deviza kockázata ugyanakkora Tőzsdei ügylet Befektetési környezet  Folytonos hozamrealizálási lehetőség  Különböző betéti és hitelkamatlábak  Azonnali devizapiac fő terepe a bankközi pénzpiac Egyensúlyi határidős árfolyam

képlete: (hitel és betétkamatláb azonos): FHUF = S HUF EUR EUR rHUF *t e  rEUR *t = S HUF e ( rHUF − rEUR )t e EUR Hogyan arbitrálna?  A HUF/EUR árfolyam március 21-én 265 HUF/EUR. A forint kamatlába 6%, az euró kamatlába 2,5%. A június 14-i határidős HUF/EUR árfolyam 280 HUF/EUR? FHUF = 265 * e (0 , 06 − 0 , 025 ) 85 365 1.000 eFt hitelt veszek fel, forintot eladok 3.774 eurót berakok betétbe = 267 ,17 EUR Deviza P €0 r o Prompt forint m eladás p t Ft0 Betét euróban €1 T e Termin r forint m vétel i Ft1 n Hitelfelvétel forintban Ügyletkötéstől lejáratig 3.796 ezer eurót átváltok határidőre forintra 1.062,9 ezer forintom lesz Hitel adósságszolgálata viszont csak 1.014,1 ezer forint Idő Nyerek biztosan 48,8 eFtot. Hogyan arbitrálna?  A HUF/EUR árfolyam március 21-én 265 HUF/EUR. A forint kamatlába 6%, az euró kamatlába 2,5%. A június 14-i határidős HUF/EUR árfolyam 260 HUF/EUR? FHUF =

265 * e (0 , 06 − 0 , 025 ) 85 365 = 267 ,17 EUR P €0 r o Prompt forint m vétel p t Ft0 10.000 euró hitelt veszek fel, eurót eladok 2.650 ezer forintot berakok betétbe Hitelfelvétel euróban Betét forintban Ügyletkötéstől lejáratig €1 T e Termin r forint m eladás i Ft1 n Idő 2.687,3 ezer forintot átváltok határidőre euróra 10.336 euróm lesz Hitel adósságszolgálata viszont csak 10.058 euró Nyerek biztosan 278 eurót. Arbitrázslehetőség különböző hitel- és betéti kamatlábak esetén  A HUF/EUR árfolyam március 21-én 265 HUF/EUR. A vállalatának az XX bank az alábbi kamatlábak mellett nyújt szolgáltatást a különböző devizanemekben: Devizanem F U = 265 * e HUF EUR = 265 * e Hitel Euró 2,0 3,0 Forint 5% 7% (0 , 07 − 0 , 02 ) 85 365 = 268 ,1 HUF EUR FD Betét (0 , 05 − 0 , 03 ) 85 365 = 266 ,2 F>FU – forint gyenge, ezért határidőre veszek F<FD – forint erős, ezért

határidőre eladok FD≤F≤FU – nem csinálok semmit Határidős kamatlábak  Európában a leglikvidebb piacok (2001-ben)  Rögzíteni lehet velül a jövőbeli hitel- és betétkamatlábakat Határidős termék neve Kötések száma (millió) Euro-Bund EUREX, Ger & CH 178.0 3 month Eurodollar CME, U.S 162.4 Euro-Bobl EUREX, Ger & CH 99.6 Euro-Shatz EUREX, Ger & CH 92.6 3 Month Euribor LIFFE, U.K 91.0 US T-Bond CBOT, US 56.6 Hozamgörbe  Különböző lejáratú homogén értékpapírok (várható) hozamaihoz húzott regressziós görbe Emelkedő Hozam Lapos Hozam Lejárat Lejárat Ereszkedő Hullámzó Hozam Hozam Lejárat Lejárat Hozamgörbével kapcsolatos elméletek  Gazdasági ciklus  Egyensúlyi kamatlábak  Likviditáspreferencia  Piacszegmentáció Kamatláb Kamatlábak alakulása az üzleti ciklusban Rövid távú kamatláb Hosszú távú kamatláb Recesszió Fellendülés Virágzás

Visszaesés Idő Hozamgörbe alakja Recesszió Fellendülés Hozam Hozam Lejárat Virágzás Lejárat Visszaesés Hozam Hozam Lejárat Lejárat Hozamok A magyar hozamgörbe 2006. márciusában 7,00 6,80 6,60 6,40 6,20 6,00 5,80 5,60 5,40 0,25 0,5 1 3 5 10 15 Lejárat Forrás: MNB Jövőbeli kamatláb Példa: Kis János két év múlva nyugdíjba megy. 100 ezer forintot tesz félre azért, hogy nyugdíjba vonulásakor horgászfelszerelést vásárolhasson. Állampapírba szeretné fektetni a pénzét. Az 1 éves lejáratú állampapír hozama 6%, a két éves lejáratú állampapíré 5%. Két lehetősége van: Első lehetőség (1 + r1 )  (1 + E (1 r1 )) Második lehetőség = (1+ r2 ) 2 2 ( 1,05 2 1 + r2 ) E(1 r1 ) = −1 = − 1 = 4,01% 1 1,06 (1 + r1 ) m+n ( 1 + rm + n ) n E ( m rn ) = Általános képlet: (1 + rm )m −1 Nézzük meg ezt a tőzsdén!   Befektetési környezet  Folytonos hozamrealizálási lehetőség

 Különböző lejáratú állampapírok kereskedése a tőzsdén és a bankközi pénzpiacon  Azonnali pénzpiac fő terepe a bankközi pénzpiac Egyensúlyi határidős kamatláb képlete: e rm *m  e m rn n = e rm+n (m + n ) rm + n * (m + n ) − rn n rm * m + m rn n = rm + n (m + n ) m rn = n Határozzuk meg a hozamgörbéből az implicit forwardrátákat és a várható infláció nagyságát! Év 2006 március Implicit forwardráta Infláció Reálhozam 0,25 0,5 1 3 5 10 15 5,95 6,16 6,42 6,92 6,63 6,62 6,77 5,95% 6,37% 6,68% 7,17% 6,20% 6,61% 7,07% 2,50% 2,90% 3,22% 3,73% 2,72% 3,15% 3,62% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% 3,51% Például 3-5 év közötti implicit forwardráta kiszámítása: m rn = rm + n * (m + n ) − rm m 6,63 % 5 − 6,92 % 3 = = 6,20 % n 2 Ha a reálhozam változatlan marad, akkor a 3-5 évre várható infláció (2006-ban 2,5%-os várható inflációval számolva): e 0, 0595*0, 25

e 0, 062 rr = 0, 025*0, 25 − 1 = 3,51%3 i 5 = 0, 0351 − 1 = 2,72% e e Hogyan tudjuk kiszámolni a megfelelő lejáratú hozamokat? (bootstrap) 1. Kiválasztjuk azokat az értékpapírokat, melyek lejárata egybeesik a hozamgörbe lejáratával 2. Az éven belüli lejáratú (nem kamatozó) papírok esetében kiszámoljuk a folytonos hozamot. 3. Lépésenként kiszámoljuk az egyre hosszabb lejáratú értékpapírok hozamát úgy, hogy az esedékes kamatokat a rövidebb lejáratú elemi hozamokkal diszkontáljuk. 4. Az a hosszú lejáratú kamatláb, amelyik mellett az árfolyam megegyezik az értékpapírból származó pénzáramok jelenértékével, lesz az adott lejáratú hozam. 5. A 4-es lépést ismételjük az ábrázolni kívánt hozamgörbe végéig. Állampapírok táblázata Névérték Lejárat Évi kamat Árfolyam 100 0,5 0 97 100 1 0 94 100 1,5 8 102 100 2 10 106 100 2,5 12 111 Időszak 0,5 Eredmény Egyenlet r0 ,5  100  ln   =  97 

r0 ,5  100  ln   =  94  1,0 6,09% 0,5 6,19% 1,0 1,5 102 = 4 * e −0, 0609 , 05 + 4 e −0, 0619 1 + 104 e − X 1,5 6,48% 2,0 106 = 5 * e −0, 0609 , 05 + 5 e −0, 0619 1 + 5 e −0, 0648 1,5 + 105 e − X 2, 0 6,66% 2,5 111 = 6 * e 0, 0609 , 05 + 6 e −0, 0619 1 + 6 e −0, 0648 1,5 + 6 e −0, 0666 2, 0 + 106 e − X 2,5 7,06% Határidős kamatparitás  A hozamgörbe a következő évre vonatkozóan a következő: Lejárat Folytonos hozam  Negyedév Félév Év 6,05% 6,09% 6,19% Számolja ki az elemi hozamok ismertében az implicit forwardrátákat. Tételezzük fel, hogy negyedév múlva lejáró három hónapos DWIX árfolyama 96%. Hogyan arbitrálna? Arbitrázs Lejárat Negyedév Félév Év Folytonos hozam 6,05% 6,09% 6,19% Implicit forwardráta 6,05% 6,13% 6,29% Egyensúlyi DWIX árfolyam: P = N * e − ri t = 100 e −0,06130, 25 = 98,48 Arbitrázs: határidős DWIX olcsó (96,00), venni kell,

három hónapra befektetek diszkont kincstárjegybe, amit féléves diszkont kincstárjegy eladásból fedezek. Az arbitrázs ábrázolása Határidős kamatarbitrázs Egyensúlyinál alacsonyabb határidős árfolyam (magasabb hozam) esetén Egyensúlyinál magasabb határidős árfolyam (alacsonyabb hozam) esetén 0,5 év 0,5 év 0,25 év Hat:0,25 0,25 év Hat:0,25 Arbitrázs 99%-os árfolyam esetén: határidős DWIX drága, határidőre eladok, hat hónapra befektetek diszkont kincstárjegybe, amit negyedéves diszkont kincstárjegy eladásból fedezek.  A befektetők a rövidebb lejáratú állampapírt ugyanakkora hozam mellett előnyben részesítik a hosszabb lejáratú állampapírral szemben.  Magyarázat: rövidebb lejáratú állampapír likviditása jobb  Jelenleg ez nem igaz. Valódi ok: hosszabb lejáratú állampapír kamatkockázata nagyobb, mint rövidebb lejáratú állampapíré. Hozamfelár ezért jár. Likviditásprefencia

Duráció-számítás folytonos kamatok esetében  n Differenciáljuk az alábbi   CFi * e − rt n P egyenletet: i =1 = =  − t i * CFi e − rt i r  r i =1 Névérték Jelenérték Idő*Jelenérték Idő Példa: Mennyi a -0,0034 0,085 4,00% 0,0398 durációja a 3,5 év -0,0225 0,585 4,00% 0,0385 múlva október 20-án -0,0404 1,085 4,00% 0,0373 lejáró állampapírnak, -0,0572 1,585 4,00% 0,0361 melynek éves kamata -0,0728 2,085 4,00% 0,0349 -0,0874 2,585 4,00% 0,0338 8%, jelenleg az elvárt -0,1010 folytonos hozam 6,5% és 3,085 4,00% 0,0327 -2,9533 3,585 104,00% 0,8238 a kamatfizetés -3,3381 1,0769 gyakorisága fél év? Duráció -3,10 év i Konvexitás-számítás folytonos kamatszámítás esetében  n − r *t Kétszer differenciáljuk CF * e   i n 2P − r *t az alábbi egyenletet: 2 i =1 * * = = t CF e i i 2 i  r  Példa: Mennyi a konvexitása a 3,5 év múlva október 20-án lejáró állampapírnak, melynek

éves kamata 8%, jelenleg az elvárt folytonos hozam 6,5% a kamatfizetés gyakorisága fél év? r i i =1 Idő Névérték Jelenérték Idő^2*Jelenérték 0,085 4,00% 0,0398 0,000 0,585 4,00% 0,0385 -0,013 1,085 4,00% 0,0373 -0,044 1,585 4,00% 0,0361 -0,091 2,085 4,00% 0,0349 -0,152 2,585 4,00% 0,0338 -0,226 és 3,085 4,00% 0,0327 -0,312 3,585 104,00% 0,8238 -10,588 1,0769 -11,425 Konvexitás -10,61 Hozamgörbével kapcsolatos elméletek összehasonlítása Megnevezés Kulcsfogalom A kulcsfogalom alkalmazása Várakozási elmélet Várakozások Rövid lejáratú kamatlábak előrejelzése Egyensúlyi mechanizmus Profitmaximalizáló magatartás a befektetés ideje alatt Kapcsolat a rövid és hosszú lejáratú kamatlábak között A forward ráták leírása A feltételezések korlátozottsága Képlet a várható hozamokkal Tiszta várható hozamok Nagyon korlátozott Likviditáspreferencia elmélet Módosított várakozások Rövid lejáratú kamatlábak és

likviditási prémiumok előrejelzése Piacszegmentáció Intézményi viselkedés Az értékpapírok keresleti és kínálati görbéje A kereslet és kínálat erői Profit maximalizáló magatartás plusz szegmentálják a piacokat valamennyi nem előrejelezhető elem (pl. kockázat fedezési által indukált bizonytalanság nyomás) Nincs képlettel kifejezhető Képlet forward rátákkal (azaz várható kapcsolat, a piacok kamat plusz kompenzációs felár) szegmentáltak Várható hozamok plusz Nem adott kompenzációs felárak Kevésbé korlátozott, mint a PET-nél Váratlan elemek, mint lejárati Várakozások fontosak bár preferenciák, bizonytalanság vagy nehéz őket mérni tranzakciós költségek Az értékpapírok Nem lényeges, hacsak Meglehetősen fontosak, mert relatív kínálatának nem befolyásolják a meghatározzák a kompenzációs felár fontossága várakozásokat nagyságát Jelentősebb Hicks, Kessel, Modigliani&Sutch, Lutz, Meiselman képviselői

Kane&Malkiel Intuitív jellemvonás Nem korlátozó Intézményi struktúrák és magatartások; kínálati és keresleti erők Abszolút fontosak Culbertson, Homer&Johannesen Tanult egyezőségek: Arbitrázs az opciós piacokon • Put-call paritás Új egyezőségek • Szintetikus futures • Box ügylet Put-Call paritás Elem +X +P +S S -C S≥X S<X +S +S +S +PX 0 +X-S -CX -(S-X) 0 X X Egyenlő X = S + PX − C X X e − r f t = s0 + p X − c X pX = X  e X − r f t + c X − s0 Szintetikus futures PV(F-X) = c - p -F +C +F-X S -P X F Legyen egy 900 Ft-os kötési árú negyedéves lejáratú vételi opció értéke 200 Ft, az eladási opció értéke ugyanilyen paraméterekkel 50 Ft. Jelenleg 1000 Ft-on lehet futurest kötni. Hogyan arbitrálna, ha a kockázatmentes kamatláb 6%? (1000 − 900 )* e −0,060, 25  200 − 50 98,51  150 Opciós oldal a drága: eladok vételi opciót, kíírok eladási

opciót, veszek határidőre, 150ből a 98,51-et beteszek kockázatmentes kamatra. Kockázatmentes portfóliót kapok. Bizonyítás Alaptermék ára Határidős nyereség/veszteség Vételi opció 500 -500 950 -50 2000 +1000 0 -50 -1100 Eladási opció +400 0 0 Befektetés összege +100 +100 +100 0 0 0 Összesen Box ügylet cx - px - cy + py = PV(Y-X) +Py +F-X S Legyen egy 900 Ft-os kötési árú negyedéves lejáratú vételi opció értéke 200 Ft, az eladási opció értéke ugyanilyen paraméterekkel 50 Ft. Egy 1000 forintos ugyanilyen lejáratú vételi opció értéke 80 Ft, az eladási opcióé 5 Ft. Hogyan arbitrálna, ha a kockázatmentes kamatláb 6%? (1000 − 900 )* e −0,060, 25  200 − 50 − 80 + 5 -Cy 98,51  75 -Px X F Opciós oldal az olcsó: veszek x-en vételi opciót, eladok eladási opciót, y-n eladok vételi opciót, veszek eladási opciót, ez 75-be kerül, de felveszek 100 jelenértékét hitelben, ami 98,51. A

fedezett eszköz nem pontosan ugyanaz, mint amire a fedezeti ügyletet kötik Báziskockázat A fedező bizonytalan lehet a tényleges eladás vagy vétel dátumában A szerződést lehet, hogy a lejárat előtt kell zárni. Bázis fogalma Bázis = A fedezett eszköz spot ára - az alkalmazott szerződés futures ára  Báziserősödés - bázis növekszik  Bázisgyengülés - bázis csökken Példa  S1= t1-ben a spot ár=2,5; S2=t2-ben a spot ár=2,0  F1=t1-ben a futures ár=2,2; F2=t2-ben a futures ár=1,9  Ebből: Bázis t1-ben=2,5 – 2,2 = 0,3; Bázis t2-ben=2,0 – 1,9 = 0,1 Tételezzük fel, hogy valaki eladja az eszközét t2-ben, és shortol, akkor a ténylegesen kapott vételára:  S2+F1-F2= F1+b2 = 2,2+0,1=2,3, mivel b2 előre nem ismert nem tudjuk a pontos kockázatot. Longolásnál az ár ugyanaz:  S2+F1-F2=F1+b2=2,3 Két módon történhet: Báziskockázatkezelés  A megfelelő eszközre vonatkozó futures szerződés kiválasztása

 A teljesítési határidő megválasztása A teljesítési határidős általában hosszabb, mint a várható vétel/eladás, mivel a lejáratkor a határidős ár igen gyorsan változhat. Viszont minél hosszabb a lejárat, annál nagyobb a báziskockázat. Legjobb hüvelykujj-szabály, várható teljesítés utáni első lehetséges lejáratra kötni. Optimális fedezeti arány meghatározása  S = a spot ár változása a fedezeti ügylet ideje alatt  F = a futures ár változása a fedezeti ügylet ideje alatt  s=a S szórása  f = a F szórása  p = a korreláció a S és a F között  h = fedezeti arány  Ha a hedger vásárolni akar a jövőben és ezért shortol a futures piacon, a pozíciójának változása az ügylet ideje alatt S - h*F Long hedge esetében ennek fordítottja: h*F - S v =  2S + h 2 *  2F − 2 h   S  F A variancia: Deriválva ezt h szerint és 0-ra megoldva:

     S  Ebből: h =  * F v = 2 * h  2F − 2   S  F h Példa optimális fedezeti arányra  A határidős MOL hozamainak szórása 30%, az azonnali MOL hozamainak szórása 25%, a két hozam közötti korreláció 0,90. Mekkora az optimális fedezeti arány? S 0,25 h = * = 0,9 * = 0,75 F 0,30 Makrokockázatok fedezése indexügylettel  Cél: Egyedi részvényre spekuláció, makrokockázat nélkül.  Módszer: egyedi részvényre vétel/eladás, határidős indexre ellentétes pozíció  Határidős kontraktusszám: rf *t I*e n= * p * BUX Ahol, n – kontraktusszám p – index pontértéke (100 Ft/pont) BUX – index értéke ß – adott papír (portfólió) bétája Megjegyzés: karakterisztikus egyenes bétájának szignifikánsnak kell lennie! Példa egyedi információ kihasználására  Bennfentes információt kapott a MOL-al kapcsolatban, ami jó hír. Úgy szeretne a MOL-ra

spekulálni, hogy kiszűri a makrokockázatot. A MOL ára jelenleg 25.850 Ft 10 millió forintot szeretne befektetni. A negyedéves BUX értéke 25.000, egy pont 100 Ft-ot ér a határidős piacon. A MOL bétája 1,4 Mit fog csinálni? (kockázatmentes kamatláb 6%) (4 pont) I * e rf t 10 .000 000 * e 0 , 060 , 25 * = *1,4 = 5,68  6 n= 100 * 25 .000 p * BUX Veszek MOL-t, határidőre eladok 6 kötésegység BUX-t. Optimális fedezetarány számítás árutőzsdén  Egy búzatermelő I. osztályú malmi búzát termel, de határidős ügyletet csak gyengébb minőségű euróbúzára lehet kötni. A malmi búza ára május 5-én 40 ezer Ft/tonna, az euróbúzáé 30 ezer Ft/tonna. A vállalkozó fedezni szeretné az árkockázatát, ezért határidős ügyletet szeretne kötni. Határidős ügyletet minden hónap utolsó napjára lehet kötni eurobúzára. Kötésegység 100 tonna Ő augusztus 15-én akarja eladni 10 etonna búzáját. Milyen futamidőre, milyen irányú

ügyletet kössön és hány kontraktust vegyen, ha egy kontraktus 100 tonna, a malmi búza árváltozásának varianciája 20%, az euróbúzáé 30%, a két ár közötti korreláció 0,8. S 0,20 h = * = 0,8 * = 0,53 F 0,30 r f *t I *e 10.000 * 40 e *h = n= p*F 100 * 30 0 , 06* 118 365 * 0,53 = 72,05  72 Augusztus 31-i határidőre 72 kötésegységnyi euróbúzát elad. Augusztus 15-én prompt elad, határidős eurobúzáját visszaveszi. Pénzügyi opciós példák Egy befektető Telecom call opciót adott el 1000 kötési áron 300 Ft-ért, mikor a Telecom ára az azonnali piacon 800 volt. A lejárat időpontjában a Telecom ára 1200 Ft. Érdemes-e beváltani az opciót? Mekkora a call kiírójának nyeresége (vesztesége)? Hogyan változott a vásárlástól a lejáratig az opció belső és időértéke? Egy befektető Telecom put opciót adott el 1000 kötési áron 300 Ft-ért, mikor a Telecom ára az azonnali piacon 800 volt. A lejárat időpontjában a

Telecom ára 1200 Ft. Érdemes-e beváltani az opciót? Mekkora a put kiírójának nyeresége (vesztesége)? Hogyan változott a vásárlástól a lejáratig az opció belső és időértéke? Egy részvény jelenlegi ára 1000. Tételezzük fel, hogy egy negyedév múlva ára vagy 1300, vagy 900 Ft. Mekkora erre a részvényre szóló 1100 forintos kötési áru vételi opció értéke, ha a kockázatmentes kamatláb 10%? Mekkora a vételi opció értéke? A Richter részvény jelenlegi árfolyama 44.500 Ft Mekkora a negyedéves lejáratú, 40.000 Ft-os kötési áru vételi opció ára, ha a Richter hozamainak relatív szórása az elmúlt évben 40% volt, továbbá a kockázatmentes kamatláb 6%. Binominális opciós ármodell 1. Ábra uS=24$ 20$=S 2. Ábra cu=max(0,uS-X)=3$ C dS=13,4$ 3. Ábra uS - mcu = S - mc cd=max(0,dS-X)=0$ dS - mcd A binominális opciós ármodell képletei Vételi opció értéke: c= ( )  S  1 + rf − u + m cu m (1 +

rf ) S  (u − d ) Opciós delta képlete: m = cu − cd ( Behelyettesítve m-t: ) (  1 + rf − d   u − 1 + rf  + cd   cu    u−d   u−d    c= 1 + rf Fedezeti valószínűség: p = (1 + rf ) − d Opciós árképlet, ha ismerjük a valószínűségeket: u−d c= és 1 − p = )     p cu + (1 − p) cd  1 + rf ( u − 1 + rf u−d ) Black-Sholes modell A vételi opció értéke: c = S  N ( d1 ) − X  e − r f T  N ( d2 ) ahol: d1 =  S ln   + r f  T X  T +  T 2 d 2 = d1 −   T • σ a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény hozamának időegységre vonatkozó szórása. • N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy az alaptermék jövőértéke nagyobb lesz a kötési árnál és az opciót lehívják. Szimulációja a hitelből történő részvényváráslásnak Black-Sholes

modell értelmezése A vételi opció értéke: c = S  N ( d1 ) − X  e Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk S értékű részvénnyel − r f T  N ( d2 ) Valamekkora valószínűséggel fizetünk X jelenértéket érte Alaptermék eloszlása normális Az árfolyamalakulásban nincs szakadás (folytonos eloszlás) Black-Sholes modell feltételezései Az alaptermékre az opció lejáratáig nem fizetnek hozamot Az opció európai típusú. A piacok hatékonyak. Az opció befolyásoló tényezői  Delta - az opció értékének változása a prompt árfolyam függvényében  Gamma - a delta értékének változása a prompt árfolyam függvényében  Theta - az opció értékének változása az idő függvényében  Vega - az opció értékének változása a volatilitás függvényében  Rho - az opció értékének változása a kockázatmentes kamatláb függvényében Opcióértékelési táblázat - C/S értéke

szórás*idő 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 110% 120% 130% 140% 150% 50% 0,000 0,002 0,149 0,940 2,614 5,061 8,084 11,509 15,202 19,061 23,012 26,998 30,976 34,913 38,781 55% 0,000 0,011 0,347 1,577 3,737 6,596 9,932 13,577 17,411 21,351 25,334 29,316 33,262 37,144 40,943 60% 0,000 0,044 0,698 2,434 5,058 8,271 11,852 15,655 19,580 23,560 27,545 31,499 35,395 39,212 42,934 65% 0,000 0,138 1,250 3,516 6,555 10,053 13,816 17,724 21,698 25,685 29,647 33,556 37,391 41,135 44,775 70% 0,001 0,354 2,042 4,816 8,201 11,915 15,802 19,769 23,757 27,725 31,646 35,497 39,262 42,928 46,485 75% 0,007 0,775 3,097 6,315 9,968 13,832 17,791 21,778 25,752 29,682 33,547 37,330 41,020 44,606 48,078 80% 0,050 1,482 4,418 7,989 11,829 15,781 19,768 23,744 27,681 31,556 35,355 39,065 42,675 46,178 49,567 85% 0,237 2,543 5,992 9,809 13,758 17,745 21,722 25,661 29,542 33,351 37,076 40,707 44,236 47,657 50,963 90% 0,792 3,988 7,792 11,746 15,733 19,708 23,644 27,525 31,337 35,070 38,715

42,265 45,711 49,049 52,274 S/PV(X) 95% 1,987 5,810 9,783 13,769 17,733 21,657 25,527 29,333 33,065 36,716 40,278 43,743 47,107 50,364 53,509 100% 3,988 7,966 11,924 15,852 19,741 23,582 27,366 31,084 34,729 38,292 41,768 45,149 48,431 51,607 54,675 105% 6,728 10,386 14,173 17,969 21,742 25,476 29,158 32,779 36,330 39,803 43,191 46,488 49,687 52,785 55,777 110% 9,958 12,993 16,492 20,098 23,723 27,331 30,899 34,416 37,869 41,250 44,550 47,763 50,882 53,904 56,822 115% 13,387 15,706 18,845 22,222 25,676 29,143 32,590 35,997 39,350 42,637 45,849 48,979 52,020 54,966 57,813 120% 16,789 18,456 21,200 24,323 27,591 30,908 34,228 37,523 40,774 43,968 47,093 50,141 53,105 55,978 58,756 125% 20,040 21,186 23,534 26,391 29,463 32,625 35,814 38,995 42,144 45,245 48,284 51,252 54,140 56,943 59,654 szórás*idő 155% 160% 165% 170% 175% 180% 185% 190% 195% 200% 205% 210% 215% 220% 225% 50% 40,684 42,561 44,413 46,236 48,030 49,793 51,524 53,222 54,885 56,514 58,108 59,665 61,186 62,670

64,118 55% 42,805 44,641 46,447 48,225 49,971 51,685 53,366 55,013 56,626 58,204 59,746 61,252 62,722 64,156 65,553 60% 44,754 46,546 48,308 50,039 51,738 53,404 55,037 56,636 58,200 59,730 61,224 62,682 64,105 65,492 66,843 65% 46,553 48,301 50,018 51,703 53,357 54,977 56,564 58,116 59,635 61,118 62,567 63,981 65,359 66,702 68,010 70% 48,220 49,924 51,597 53,238 54,847 56,423 57,965 59,474 60,949 62,389 63,795 65,167 66,504 67,806 69,073 75% 49,770 51,431 53,061 54,660 56,225 57,759 59,259 60,726 62,159 63,559 64,924 66,256 67,554 68,818 70,048 80% 51,217 52,836 54,424 55,981 57,506 58,998 60,458 61,885 63,278 64,639 65,967 67,261 68,523 69,751 70,946 85% 52,571 54,150 55,697 57,214 58,698 60,152 61,573 62,962 64,318 65,642 66,934 68,193 69,420 70,615 71,777 90% 53,842 55,381 56,889 58,367 59,814 61,229 62,614 63,966 65,287 66,577 67,835 69,060 70,255 71,417 72,548 95% 55,038 56,538 58,009 59,449 60,859 62,239 63,588 64,907 66,194 67,450 68,676 69,870 71,033 72,166 73,268

100% 56,166 57,629 59,063 60,468 61,843 63,188 64,503 65,789 67,044 68,269 69,464 70,628 71,763 72,867 73,941 105% 57,232 58,659 60,058 61,428 62,769 64,082 65,365 66,619 67,843 69,039 70,204 71,340 72,447 73,524 74,572 110% 58,241 59,633 60,998 62,335 63,644 64,925 66,178 67,402 68,597 69,764 70,902 72,011 73,091 74,143 75,166 115% 59,198 60,557 61,889 63,195 64,473 65,723 66,946 68,142 69,309 70,449 71,560 72,643 73,699 74,727 75,726 120% 60,108 61,434 62,735 64,010 65,258 66,480 67,675 68,843 69,983 71,097 72,183 73,242 74,274 75,278 76,256 125% 60,974 62,269 63,539 64,785 66,004 67,198 68,366 69,508 70,623 71,711 72,774 73,809 74,818 75,801 76,757