Matematika | Általános Iskola » Kombinatorika

Kombinatorika Permutáció: Adott véges halmaz elemeinek rendezése, különböző sorrendben való elhelyezése. Kombináció: Adott véges halmaz elemeinek különböző módon való kiválasztásai. Variáció: Az előző kettő együtt. Permutáció Ismétlés nélküli permutáció Definíció: Legyen adott n különböző elem (n € N+). Az n különböző elem egy rögzített sorrendjét ezen elemek egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. Az n különböző összes permutációinak számát P n -el jelöljük. Tétel: n különböző elem összes permutációinak száma P n =n! Ismétléses permutáció Definíció: Legyen adott n elem (n € N+), amelyek között k 1 , k 2 , , k s számú elem egymással egyenlő (k 1 +k 2 ++k s <=n). Ezen elemek egy rögzített sorrendjét n elem k 1 ,, k s -as osztályú ismétlésed permutációjának nevezzük. Az n elem k 1 , k 2 ,, k s -ad osztályú ismétléses permutációinak számát P nk1, k2,,ks-sel jelöljük.

Tétel: Ha n elemből k<n elem egyenlő, a többi (n-k) elem pedig ezektől és egymástól is különbözik, akkor az n elem k-ad osztályú ismétléses permutációinak száma P n k=n!/k! (Pn ,k 1 , k 2 ,,k s =n!/(k 1 !*k 2 !k s !)) Kombináció Ismétlés nélküli kombináció Definíció: Legyen n € N + és 0<= k<= n (k € N+). Az n különböző elem k-ad osztályú kombinációjának nevezzük az n elemből k elem kiválasztását, ahol nem vagyunk tekintettel a k elem kiválasztásának sorrendjére. Az n különböző elem összes k-ad osztályú kombinációinak számát C nk-val jelöljük. Tétel: n különböző elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma C nk-=n!/k!(n-k)! Definíció: Ha n € N+ és 0<=k<=n úgy a Cn k=n!/k!(n-k)! kifejezés binominális együtthatónak (n ) nevezzük k -val jelöljük. Ismétléses kombináció Definíció: Ha (n € N+) k-ad osztályú (k<n) kombinációit úgy képezzük, hogy a k számú

elem között n elem bármelyike akárhányszor szerepelhet, akkor egy ilyen kiválasztást az n elem kad osztályú ismétléses kombinációjának nevezzük. Az n elem összes k-ad osztályú ismétléses kombinációinak számát C nk- i -val jelöljük. n+k-1 Tétel: n elem összes k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma C nk- i = C nk- +k-1 = ( k) Variáció Ismétlés nélkül Definíció: Legyen adott n (n € N +) különböző elem. Az ezekből tetszőlegesen kiválasztott k (k<=n) különböző elem egy permutációját az n elem k-ad osztályú variációinak nevezzük. Az n elem k-ad osztályú variációinak számát V nk. Tétel: n különböző elem összes k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma V nk.=n!/(n-k)!; V nk = P n * C nkIsmétléses Definíció: Legyen adott n ( n € N +) különböző elem. Ha az n elemből kiválasztott k elem között az n elem bármelyike akárhányszor ismétlődhet, akkor az így nyert variációk n

elem kad osztályú ismétléses variációjának számát V nk.i –vel jelöljük Tétel: n különböző elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma V nk.i=nk Valószínűség számítás Esemény fogalma Definíció: Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Definíció: Eseménynek nevezünk minden lehetséges kimenetelt, amelyről egy kísérlet elvégzése során egyértelműen eldönthető, hogy bekövetkezik-e, vagy sem. Események Halmazok Összeg A+B Unió AUB Szorzat A*B Metszet AnB Lehetetlen esemény O / Üres halmaz O / Biztos esemény I Univerzum E Különbség A-B Különbség A/B Szimm. differencia AΔB Szimm. differencia AΔB Ellentett esemény Komplmenter halmaz A A