Matematika | Középiskola » Vörös József - A Pascal-háromszög

A Pascal-háromszög 0. sor 1. sor 1 2. sor 1 3. sor 1 4. sor 5. sor (a + b)0 = 1 1 1 1 2 3 4 5 (a + b)1 = 1a + 1b 1 3 (a + b)3 = 1a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 1b3 1 4 6 10 (a + b)2 = 1a2 + 2 ab + 1b2 1 10 (a + b)4 = 1a4 + 4 a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 1 5 1 (a + b)5 = ? . . . A számtáblázat a végtelenségig folytatható. A Pascal háromszög n-edik sorában n + 1 szám van, a szélsők 1-esek mellettük egy-egy n (a sor sorszáma) áll (ha n >0). Az egyes sorokon belül is 0-tól sorszámozzuk az elemeket, tehát pld a vastagított 6-os szám a Pascal háromszög 4. sorának 2 eleme A Pascal háromszög rekurzív előállítása: A nulladik sorba – a háromszög csúcsába - írjunk egy 1-est. Minden sor elején és végén 1-es van Minden további elem balra fölötte és jobbra fölötte lévő két elem összege. A kombinatorikai jelentőségéről először Blaise Pascal jelentetett meg írást. A Pascal háromszög közvetlen kombinatorikai jelentése: Az

adott helyre írt szám megmondja, hogy hányféleképpen juthatunk el a háromszög csúcsából az adott helyre, ha csak balra lefelé és jobbra lefelé léphetünk. A Pascal háromszög explicit előállítása: 876 formula is megadja. Általában, az n-edik sor k-adik elemét megadó 3 2 1 n  (n  1)  (n  2)  .  (n  k  1) képlet: (A tört számlálójában k tényező van.) Ez a kifejezés (n – k) k  (k  1)  (k  2)  .  1 A 8.sor 3 eleme az 56, ezt a faktoriálissal bővítve így is írható: n n!   k ! (n  k)!  k  0   0 0. sor 1    0 1. sor 2   0 2. sor 4   0  4. sor 5. sor 2   1  3   0 3. sor 5   0  1    1 3   1  4   1  2   2 3   2 4   2 

5   1  5   2 3   3 4   3  5   3 4   4 5    4  n  n i i a b i i0   n A binominális-tétel:  a  b n    A Pascal-háromszögnek sok érdekes tulajdonsága van. A binomiális együtthatók tulajdonságai A Pascal-háromszög szimmetriája: n  n     k  n  k  A Pascal-háromszög képzési szabálya:  n  1  n   n        k  1  k   k  1 A Pascal-háromszög sorösszege: n n   k   2n k 0   Olvasnivaló: http://hu.wikipediaorg/wiki/Pascal-h%C3%A1romsz%C3%B6g http://www.tankonyvtarhu/matematika/matematika-didaktikusan-080905-107 http://www.bethlenhu/matek/Mathist/Forras/Pascal haromszoghtm 5   5 http://matek.fazekashu/portal/kutatomunkak/Andorka/Pascal ver

20/pascal-trihtm http://matek.fazekashu/portal/kutatomunkak/lexikon/08evf/2004/lexikonhtml#pascal haromszog http://sdt.sulinethu/Player/Defaultaspx?g=9790d1c1-aef1-4bbb-9e0b-2e8b1173acc3&cid=ae933757cc1b-45c9-b81d-dab4361d53c2