Matematika | Felsőoktatás » Serény György - Formális és szemléletes vektoranalízis

FORMALIS ES SZEMLELETES VEKTORANALIZIS Sereny Gy
orgy 1998 i Tartalomjegyzek 1. Alapfogalmak 1.1 Vektorialis szorzat altalanostasa 1.2 Gorbek es feluletek veges dimenzios linearis normalt tereken 1.3 Vonal{, feluleti{ es terfogati integralok 2. Vektorfuggvenyek jellemzese integraljaikkal 2.1 Vektorfuggvenyek szemleltetese 2.2 Feluletmenti integral 2.3 Vonalmenti integral 3. Skvektoranalzis 3.1 Divergencia 3.11 A derivaltoperator skalarinvariansa 3.12 Divergencia es uxus, divergencia es forrass}ur}useg 3.2 Rotacio 3.21 A derivaltoperator vektorinvariansa 3.22 Rotacio es cirkulacio, rotacio es orvenys}ur}useg 3.3 Vektorfuggvenyek jellemz}oinek szamtasa 3.4 Ket fundamentalis zikai alkalmazas 3.41 Ponttoltes elektromos tere 3.42 Vegtelen vezet}o magneses tere 3.5 Az integraltetelek alkalmazasai 3.51 Egyeb integraltetelek 3.52 Felulet{ es vonalmenti integralok szamtasa 3.6 Potencialelmelet

elemei 3.61 Egzisztencia es unicitas 3.62 Potencialkereses 3.63 A ponttoltes er}oterenek es dualisanak potencialja 3.64 Az egzakt dierencialegyenlet 3.7 Feladatok 4. Magasabb dimenzios altalanostasok 4.1 Divergencia 4.2 Rotacio 4.3 Vektorfuggvenyek jellemz}oinek szamtasa 4.4 Ket fundamentalis zikai alkalmazas 4.41 n{dimenzios Coulomb torveny 4.42 Vegtelen vezet}o magneses tere 4.5 Az integraltetelek tovabbi alkalmazasai 4.51 Egyeb integraltetelek 4.52 Felulet{ es vonalmenti integralok szamtasa 4.53 Egy geometriai alkalmazas: az n{dimenzios kup terfogata 4.54 Egy zikai alkalmazas: Archimedes torvenye 4.6 Potencialelemelet elemei 4.61 Egzisztencia es unicitas 4.62 Potencialkereses 4.63 A ponttoltes er}oterenek es dualisanak potencialja 4.7 Feladatok ii 1 1 3 8 16 16 17 23 30 30 30 31 34 34 36 39 43 43 46 48 48 49 51 51 58 60 65 68 70 70 71 75 75 75 77 78 78 80 81 82 83 83 84 85 86 1. Alapfogalmak Ebben az

el}okeszt}o fejezetben a vektorfuggvenyek, (azaz Rn valamely reszhalmazabol Rm{be kepez}o fuggvenyek) integraljanak (pontosabban tobb kulonboz}o integraljanak) fogalmat denialjuk a tobbvaltozas fuggvenyek integralfogalmanak altalanostasaval. El}oszor azonban az altalanos denciohoz szukseges alapfogalmakat vezetjuk be. Az els}o paragrafusban az "iranytott nagysag" fogalmat denialjuk, mg a masodikban megadjuk azokat a specialis alakzatokat, melyeken integralni fogunk. 1.1 Vektorialis szorzat altalanostasa A tobbvaltozos fuggvenyek integralfogalmat ugy szeretnenk altalanostani, hogy az integral az integralasi tartomany terbeli elhelyezkedesere is erzekeny legyen. Ehhez a tartomanyt iranytott elemekre kell felosztanunk, tehat szuksegunk lesz egy "iranytott nagysag (terulet, terfogat stb.)" fogalomra, melyet a vektorialis szorzatbol fogunk szarmaztatni. Mivel egy olyan

integralfogalmat akarunk kapni, mely nem csak haromdimenzios terre alkalmazhato (hanem { tobbek kozott { a skra is), a vektorialis szorzat fogalmat minden egynel nagyobb veges dimenziora altalanostjuk. Emlekeztetunk arra, hogy a haromdimenzios a es b vektorok vektorialis szorzata az c vektor, mely mer}oleges mind a{ra mind b{re, hossza az a es b altal kifesztett paralelogramma terulete es iranya olyan, hogy a b es c jobbrendszert alkot. Az ebben a dencioban szerepl}o fogalmak kiterjesztese tetsz}oleges egynel nagyobb veges dimenziora kozvetlenul fogja szolgaltatni a vektorialis szorzatnak megfelel}o altalanos fogalmat. Ennek dencioja utan kiszamtasanak modszerevel foglalkozunk (kulon kiterve a ket{ es haromdimenzios esetre) es megadjuk legfontosabb tulajdonsagait. A paralelogramma teruletenek altalanositasa n{dimenzios terben tetsz}oleges n darab vektor altal kifesztett paralelotop terfogata, melyet a

vektorok altal meghatarozott determinans abszolut erteke ad meg. Ennek a fogalomnak modostasaval juthatunk az n{dimenzios terben valamely 1 k n darab vektor altal kifesztett paralelotop terfogatanak fogalmahoz. 1.1 Dencio (Paralelepipedon terfogatanak altalanostasa) Legyen n k 2 N , 1 k n , a = (a1 a2 : : : ak ), ai 2 Rn minden 1 i n ; re. Legyen e = (e1 e2 : : : en ) Rn olyan orthonormalt bazisa, melyre fennall, hogy a elemei benne vannak az e = (e1 e2 : : : ek ) altal kifesztett alterben. Az a altal kifesztett paraleletop k{dimenzios terfogatan, melyet V (a) {val jelolunk, azon matrix determinansanak abszolut erteket ertjuk, mely a 0 elemeinek e {beli oszlopvektoraibol all. 0 1.2 Megjegyzesek (1) A fenti dencio ertelmes, mindig van a felteteleknek megfelel}o e bazis. (2) A determinans tulajdonsagaibol kovetkez}oen: (a) a fent denialt k{dimenzios terfogat csak a{tol fugg, a valasztott e bazistol nem. (b)

a paralelotop k{dimenzios terfogatanak fogalma a szakasz hosszanak, a paralelogramma teruletenek es a paralelepipedon terfogatanak altalanostasa. 1.3 Pelda Legyen n = 3 , k = 2 , a = (a1 a2 ) , ahol a1 = (2 0 0) , a2 = (1 3 0). Ha e = (i j k) R3 szokasos bazisa, azaz i = (1 0 0), j = (0 1 0) es k = (0 0 1), akkor e = (i j ). Igy 0 a1 (2) = 2 0 = 6 V (a) = aa1 (1) 1 3 2 (1) a2 (2) 1 1.4 Dencio (Jobbcsavar szabaly altalanostasa) Legyen e Rn szokasos bazisa es legyen f tetsz}oleges n elem}u linearisan fuggetlen vektorrendszere Rn{nek. f jobbsodrasu vektorrendszer, ha det T ef > 0 (T ef az e{r}ol az f {re valo atteres matrixa.) 1.5 Dencio (Vektorialis szorzat altalanostasa) Legyen n 2 N n > 1 , a1 a2 : : : an 1 2 Rn . ; CROSS(a1 a2 : : : an 1 ) az az egyertelm}uen meghatarozott Rn {beli vektor, mely (1) mer}oleges az L(a1 a2 : : : an 1 ) alterre (2) hossza az a1 a2 : : : an 1 altal kifesztett paraleletop n ; 1

dimenzios terfogata (3) iranya olyan, hogy az a1 , a2 , : : : , an 1 , CROSS(a1 a2 : : : an 1 ) vektorrendszer jobbsodrasu. ; ; ; ; ; 1.6 A lltas (Vektorialis szorzat kiszamtasanak altalanostasa) Legyen n 2 N n > 1 es legyenek a1 a2 : : : an 1 tetsz}oleges Rn{beli vektorok. Legyen e = (e1 e2 : : : en ) Rn valamely jobbsodrasu orthonormalt bazisa. Ekkor CROSS(a1 a2 : : : an 1 ) = (;1)n 1  (e1 A1 + e2 A2 + : : : + en An ) ahol Ai (i = 1 2 : : : n) barmely olyan n  n {es matrix els}o soranak i:{edik elemehez tartozo el}ojeles ; ; ; aldeterminansa, melynek j: sora (j = 2 : : : n) aj 1 e{beli sorvektora. ; 1.7 Megjegyzes Mivel a fenti alltas miatt CROSS kiszamtasa analog egy determinansnak els}o sora szerinti kifejtesevel, gyakran fogjuk hasznalni az alabbi mnemotechnikailag hasznos jelolest : CROSS(a1 a2 : : : an 1 ) = (;1)n 1  ; ; e1 a1 (1) a2 (1) e2 a1 (2) a2 (2)       ::: ::: ::: en 1 a1 (n ; 1) a2 (n ; 1) en a1 (n) a2

(n) ;       an 1 (1) an 1 (2) : : : an 1 (n ; 1) an 1 (n) ; ; ; ; ahol persze a i: sor (i = 2 : : : n) ai 1 e{beli sorvektora. Specialisan (1) ha n = 2 , akkor v = (v1 v2 ) 2 R2 , i = (1 0), j = (0 1) jelolesekkel : ; CROSS(v) = ; vi vj = (;v2 i + v1 j ) = (;v2 v1 ) 1 2 vagyis CROSS(v) v{nek +=2{el valo elforgatottja. Ebb}ol nyilvan CROSS(CROSS(v)) = ;v (2) ha n = 3 , akkor a v = (v1 v2 v3 ) , w = (w1 w2 w3 ) 2 R3 , i = (1 0:0), j = (0 1 0), k = (0 0 1) jeloleseket hasznalva : i j k CROSS(v w) = v1 v2 v3 = v  w w1 w2 w3 1.8 A lltas (CROSS orokli a vektorialis szorzat tulajdonsagait) (1) CROSS(a1 a2 : : : ai : : : aj : : : an 1 ) = ;CROSS(a1 a2 : : : aj : : : ai : : : an 1 ) ; ; (2) CROSS(a1 a2 : : : b : : : b : : : an 1 ) = 0 ; 2 (3) CROSS(a1 + b a2 : : : an 1 ) = CROSS(a1 a2 : : : an 1 )+CROSS(b a2 : : : an 1 ) (4) CROSS(  a1 a2 : : : an 1 ) = CROSS(a1 a2 : : : an 1 ) ( 2 R) ; ; ; ; ; 1.2 G
orbek es fel
uletek veges dimenzios

linearis normalt tereken Raterunk Rn azon reszhalmazainak denialasara es legfontosabb jellemzoik megadasara, melyek integralasi tartomanykent szerepelhetnek. A targyalas soran nehany peldaval illusztraljuk az ujonnan bevezetett fogalmakat. Az alabbi dencio annak a szemleletes feluletfogalomnak az egzakt megfelel}oje es altalanostasa, mely szerint "a korlapbol nyujtassal, csavarassal, oszenyomassal szaktas es bels}o pontban valo ragasztas nelkul kapott alakzatok a feluletek". 1.9 Dencio (Feluletek) Tegyuk fel, hogy n 2 N n  1 . (1) Legyen H  Rn tetsz}oleges halmaz. Barmely f fugyveny szakaszonkent folytonosan derivalhato H {n (jelben f 2 C 1(H )), ha f folytonos H {n es H el}oall veges sok olyan merhet}o paronkent kozos bels}o pont nelkuli reszhalmazanak uniojakent, melyek mindegyikenek belsejeben folytonosan derivalhato es itt a derivaltja korlatos. (2) Legyen H  Rn tetsz}oleges. H

lezartjanak nevezzuk azt a H halmazt, melynek elemei H elemei es H torlodasi pontjai. H osszefugg}o, ha nincs A B  H , hogy A  B = H , A B = B A = (3) Legyen m 2 N 1 n m es legyen A  Rn zart, korlatos, osszefugg}o, merhet}o es nem ures belsej}u halmaz. Legyen r = r(u) A{n ertelmezett, A{n szakaszonkent folytonosan derivalhato es A belsejeben invertalhato Rm {be kepez}o fuggveny, melynek parcialis derivaltjai, az ru = (ru1 ru2 : : : ru ) n vektor komponensei (melyek maguk is Rn {beli vektorok) { ahol leteznek { linearisan fuggetlenek. A Rg r halmazt az r altal denialt (n dimenzios) (m dimenziobeli) feluletnek es r - et a felulet (explicit) egyenletenek nevezzuk. (4) Ha a felulet dimenzioja azonos annak a ternek dimenziojaval, melynek reszhalmaza, azaz n = m, terresznek, ha eggyel kisebb annal, azaz n = m ; 1 , akkor valodi (hiper) feluletnek nevezzuk. Ha egy valodi hiperfelulet linearis alter eltoltja, akkor hipersknak

nevezzuk. Az egydimenzios feluleteket gorbeknek nevezzuk. (5) Rn kolcsonosen egyertelm}u inverzeivel egyutt folytonos lekepezeseit homeomorzmusoknak nevezzuk. Az n{dimenzios zart gombok homeomorf kepeikent el}oallo feluleteket elemi hejaknak, mg az egydimenzios elemi hejakat, azaz azokat a gorbeket, melyek zart intervallumok homeomorf kepei elemi veknek nevezzuk. Szakasznak nevezzuk az r(t) = r0 + te , t 2 I alaku fuggvenyek altal denialt gorbeket, ha I  R valamely intervallum es r0 , e 2 Rn , e 6= 0 . Egy n{dimenzios felulet bels}o pontjai azok a pontok, melyek el}oallnak valamely n{dimenzios nylt egyseggomb egy pontjanak olyan homeomerzmus szerinti kepekent, melynel az egesz egyseggomb kepe a feluletre esik. A felulet bels}o pontjainak halmazat a felulet belsejenek nevezzuk es Int F - el jeloljuk, a tobbi pontokat a felulet hatarpontjainak nevezzuk, ezek a felulet hatarat alkotjak. Egy feluletet

zartnak nevezunk, ha minden pontja bels}o pont. 1.10 Megjegyzes Vegyuk eszre, hogy a fenti dencioban nem minden jelz}o nelkul csak felulet, hanem valamely r fuggveny altal denialt felulet szerepel. Tehat feluleten nem Rn valamely reszhalmazat onmagaban, hanem ezt a reszhalmazt mint egy (a fenti felteteleknek eleget tev}o) r fuggveny ertekkeszletet ertjuk, magaval az r fuggvennyel egyutt. Pontosabb volna tehat, ha azt mondanank, hogy feluleten egy olyan (F r) part 3 ertnk, melyre F = Rg r, ez azonban nincs osszhangban koznapi felulet kepunkkel, tovabba a jelolest es a terminologiat is tulsagosan elbonyoltana. Masszoval, ahogy az alabbiakban latni fogjuk, kulonbseget teszunk ket olyan felulet kozott, melyeknek egyenletei Rn ugyanazon reszhalmazat hatarozzak meg. Azt is latni fogjuk, hogy, bar sokszor ennek a kulonbsegtevesnek nincs jelent}osege, vannak esetek, amikor lenyeges elvi kovetkezmenyekkel

jar. Mindenesetre fontos, hogy a tovabbiakban: ha mast nem mondunk, akkor feluleten mindig valamely r fuggvennyel denialt feluletet es egyenleten mindig ezt az r fuggvenyt ertjuk. Az alabbi peldakban es a tovabbiakban is { ha mast nem mondunk { a feluletek egyenleteiben szerepl}o konstansok, melyek a feluletek mereteit rogzitik (sugar: R , magassag: h , stb.) mindig pozitivak 1.11 Peldak (1)(a) a, b 2 Rn . a es b{t osszekot}o szakasz : r(t) = a + t(b ; a) , t 2 0 1] (b) R sugaru origokozeppontu korvonal a skban : r(t) = (R cos t R sin t) t 2 0 2] (c) R sugaru z tengely}u origocsucsu =4 felnylasszog}u kuppalastra rt egyenletes menetemelkedes}u csavarvonal: r(t) = (t cos t t sin t t) t 2 0 R] (2)(a) R sugaru origokozeppontu gombfelulet: r(u v) = (R cos u sin v R sin u sin v R cos v) u 2 0 2] v 2 0 ] (b) R sugaru z tengely}u h magas hengerpalast: r(u v) = (R cos u R sin u v) u 2 0 2] v 2 0 h] (c) R sugaru z tengely}u

origocsucsu =4 felnylasszog}u kuppalast: r(u v) = (u cos v u sin v u) u 2 0 R] v 2 0 2] (3)(a) Alulrol es felulr}ol is lezart R sugaru z tengely}u h magas hengerfelulet: 8 ((v ; h) cos u (v ; h) sin u h) < (R cos u R sin u v) r(u v) = : ((v + R) cos u (v + R) sin u 0) ha h v R + h , 0 u 2 ha 0 < v < h , 0 u 2 ha ;R v 0 , 0 u 2 (b) R sugaru origokozeppontu korlap: { mint ketdimenzios terresz: r(u v) = (u cos v u sin v) u 2 0 R] v 2 0 2] { mint ketdimenzios (haromdimenziobeli) valodi felulet: r(u v) = (u cos v u sin v 0) u 2 0 R] v 2 0 2] p (c) Az y = x2 es az y = x altal hatarolt ketdimenzios terresz: p r(u v) = (u v) u 2 0 1] v 2 u2 u] (4)(a) Negydimenziobeli R sugaru w tengely}u h magassagu haromdimenzios gombhenger: r(u v w) = (R cos u sin v R sin u sin v R cos v w) u 2 0 2] v 2 0 ] w 2 0 h] (b) Negydimenziobeli R sugaru w tengely}u h magassagu negydimenzios gombhenger(test): r(s u v w) = (s cos

u sin v s sin u sin v cos v w) s 2 0 R] u 2 0 2] v 2 0 ] w 2 0 h] 4 1.12 Megjegyzesek (1) Az elnevezesek egybeesese zavaro lehet, de a ket fogalomcsoport, egy felulet bels}o{ ill. hatarpontja es zartsaga egyfel}ol, a feluletnek, mint halmaznak bels}o{ ill. hatarpontja es zartsaga masfel}ol, lenyegesen elter egymastol. Specialisan azonban, nyilvan, terresz hatarahoz tartozo pontjai ill bels}o pontjai eppen a terresznek, mint az Rn normalt ter egy reszhalmazanak bels}o{ ill. hatar pontjai (2) A skban a valodi feluletek a gorbek. (3) Denialhatjuk a nulla dimenzios feluleteket is, ezek persze az egyelem}u ponthalmazok. (4) Vegyuk eszre, hogy latszolagos bonyolultsaga ellenere, a felulet dencioja nagyon termeszetes felteteleket tartalmaz. Vegyuk sorra ezeket A denialo fuggveny ertelmezesi tartomanya zart, korlatos, osszefugg}o, merhet}o es nem ures belsej}u. A zartsag feltetele azt jelenti, hogy egy-egy

felulet "konturjat", "szelet" is a felulethez tartozonak tekintjuk, a korlatossag azt, hogy csak veges alakzatokat tekintunk feluletnek, az osszefugg}oseg pedig nyilvan annak a termeszetes kovetelmenynek formalis megjelenese, hogy csak "egy darabbol allo" alakzatokat tekintsunk feluletnek. A merhet}osegre azert van szuksegunk, mert feluleteken integralni is akarunk. Vegul az utolso feltetel az alabb targyalt masik, a fuggvenyre vonatkozo kikotessel egyutt kizarja az elfajulo eseteket, biztostja azt, hogy peldaul egy gorbe "valoban" gorbe legyen, ne pedig egy pont, mint abban az esetben, ha megengednenk ures belsej}u, azaz egy pontbol allo intervallumokat is, mint gorbeket denialo fuggvenyek ertelmezesi tartomanyait. Magara a denialo fuggvenyre harom megkotes vonatkozik : szakaszonkenti folytonos derivalhatosag, a hataroktol eltekintve valo invertalhatosag

es vegul a parcialisok linearis fuggetlensege. Az els}o feltetel azt jelenti, hogy pl. egy ketdimenzios feluleten csak gorbe menten lehetnek "toresvonalak" es csak "keves csucs lehet rajta", a nagyon "osszetort" alakzatok nem feluletek. Az invertalhatosagi feltetel lenyegeben azt jelenti, hogy a felulet belsejeben nincsenek "elagazasok", kulonboz}o reszeit nem "ragasztjuk ossze" "tul sokszor". Vegul az utolso feltetel a felulet "jo" megadasanak kovetelmenye, biztostja, hogy a feluletek bizonyos alabb denialando jellemz}oit kiszamthassuk az egyenletukb}ol. Igy peldaul az r(t) = (t t) t 2 ;1 1] skbeli 45 {os egyenes szakasz erint}o iranyvektora nyilvan mindenutt az r (t) = (1 1). A m, ha ugyanezt a szakaszt az s(t) = (t3 t3 ) t 2 ;1 1] egyenletevel denialjuk, akkor s (0) = (0 0) nem adja meg az origoban is letez}o erint}ot. (5) Konnyen

megmutathato, hogy a valos egyenes osszefugg}o reszhalmazai az intervallumok (lasd a 1.26 (2)(a) feladatot), tehat a gorbek egyenletei mindig intervallumokon ertelmezett fuggvenyek. (6) Az a teny, hogy halmazok belsejet es feluletek belsejet azonos szimbolummal (Int) jeloljuk, nem okoz zavart, mert feluletekre mindig csak az utobbit alkalmazzuk.  1.13 Dencio (Feluletek jellemz}oi) (1) Legyen n  1 es F az r = r(u) , u 2 A  Rn altal denialt n{dimenzios valodi felulet. (a) Az F felszne : jF j = Z A jCROSS(ru )j du = Z A jCROSS(ru1 ru2 : : : ru )j du1 du2 : : : dun n (b) A CROSS(ru ) vektorfuggvenyt F iranytasanak, CROSS(ru ) ill. CROSS(ru )=jCROSS(ru )j egy adott pontbeli erteket F adott pontbeli (feluleti) normalisanak ill. egysegnormalisanak nevezzuk (c) Legyen F az r = r(u1 u2 : : : un), (u1 u2 : : : un) 2 A altal denialt n{dimenzios valodi felulet A = f(u1 u2 : : : un) 2 Rn : (;u1 u2 : : : un ) 2 Ag es s = s(u1 u2 :

: : un ) = r(;u1 u2 : : : un) (u1 u2 : : : un ) 2 A . ;F {el jeloljuk es az F {el ellentetes iranytasu feluletnek nevezzuk az s altal denialt valodi feluletet. Ha az F felulet egy V terresz hataranak reszhalmaza, akkor F iranytasat (V {b}ol nezve) kifele iranytasnak es F {et (V {b}ol nezve) kifele iranytottnak nevezzuk, ha minden u 2 Do ru eseten van olyan " > 0, hogy r(u) + CROSS(ru (u)) 62 V minden 0 <  < " eseten. 0 0 5 (d) Legyen r0 = r(u0 ) 2 F . A CROSS(ru (u0 )) normalvektoru r0 {on atfektetett hiperskot F r0 {beli erint}o (hiper)skjanak nevezzuk. (2) Legyen L az r = r(u) , u 2 A  R altal denialt gorbe. (a) L vhossza: Z jLj = jru j du A (b) Az ru vektorfuggvenyt L iranytasanak, ru ill. ru =jru j egy adott pontbeli erteket L adott pontbeli erint}ovektoranak ill. erint}oegysegvektoranak nevezzuk (c) Legyen L az r = r(u) , u 2 A altal denialt gorbe. ;L{el jeloljuk es az

L{el ellentetes iranytasu gorbenek nevezzuk az s = s(u) = r(;u) , u 2 A = fu 2 R : ;u 2 Ag altal denialt gorbet. 0 Ha az L gorbe a ketdimenzios terben valamely V terresz hataranak reszhalmaza, akkor L iranytasat (V {bol nezve) pozitv iranytasnak es L{et (V {b}ol nezve) poztvan iranytottnak nevezunk, ha az F = ;L (valodi) felulet kifele iranytott: -CROSS(r u) ru L (d) Legyen r0 = r(u0 ) 2 L. Az ru (u0 ) iranyvektoru r0 {on atmen}o egyenest L r0 {beli erint}ojenek (erint}o egyenesenek) nevezzuk. (3) Legyen n  1 es V az r = r(u) , u 2 A  Rn altal denialt n{dimenzios terresz. V terfogata: Z jV j = jdet ru j du ahol det ru r = r(u) Jacobi determinansa. A 1.14 Megjegyzesek (1) A fenti dencioban szerepl}o integralok nyilvan leteznek, hiszen az adott feltetelek eseten az integrandus folytonos fuggvenye valtozoinak. Belathato tovabba, hogy ha F es F az r{el ill r {vel denialt feluletek es Rg r =

Rg r akkor F es F vhossza, felszne ill. terfogata megegyezik (vo az 120 (1) megjegyzessel). Masreszt haromdimenzios esetben bizonyos termeszetes megkoteseknek eleget tev}o egyenesszakaszokbol (sklapokbol) allo (ill sklapokkal hatarolt) alakzatokkal valo kozelites eseten a kozelt}o alakzatok vhosszanak (felsznenek ill. terfogatanak) sorozata a fent denialt vhosszhoz (felsznhez ill terfogathoz) konvergal. Ez azert van gy, mert peldaul az vhossz eseten { nagyon leegyszer}ustve { az adott gorbe egy felosztasakor az i: felosztaselem hossza megkozelt}oen a ket vegpontjat osszekot}o hur 0 0 0 6 0 jri j jr (ti )j  ti hossza, tehat a P jr (ti )j  ti osszeg az vhossz egy kozeltese, ez pedig az R jr j du A u egy integralkozelt}o osszege. (A felsznre es terfogatra vonatkozoan analog gondolatmenetek ervenyesek) Mivel tovabba mindharom mennyiseg nemnegatv additv halmazfuggveny es a

haromdimenzios terben egyenesszakaszokbol (sklapokbol) allo (ill. sklapokkal hatarolt) alakzatok eseten az eredeti vhosszt (felsznt ill. terfogatot) adja meg, jogosan tekinthet}oek az vhossz (felszn ill terfogat) klasszikus fogalma altalanostasainak. (2) Ami az iranytassal kapcsolatos mennyisegek geometriai jelenteset illeti, a gorbe adott pontbeli erint}oje a ponton atmen}o szel}ok hatarhelyzete, mg az erint}osk a ponton atmen}o es a felulet altal tartalmazott gorbek erint}ojenek skja (vo. (26) (6)), a feluleti normalis ennek a sknak a normalisa (3) A tovabbiakban a gorbek egyenleteben a valtozot altalaban u helyett t{vel jeloljuk, hangsulyozando, hogy egydimenzios valtozorol van szo. Tovabba tortenelmi okokbol a t szerinti derivaltat altalaban  {al jeloljuk. (4) Nulla dimenzios feluletek eseten: a) felsznukon elemszamukat ertjuk, azaz felsznuket 1{nek tekintjuk b) iranytasukon

olyan e fuggvenyeket ertunk, melyek elemeikhez egydimenzios egysegvektorokat, azaz a +1, -1 szamok valamelyiket rendelik, ellentetes iranytasu alakzatnak nevezzuk azt az alakzatot, melynek iranytasa az eredeti (;1){szerese es az egydimenzios terresz hatarakent adodo nulla dimenzios felulet kifele iranytasanak denciojat az altalanos denciobol ugy kapjuk, hogy abban a CROSS helyett az e{t szerepeltetjuk. (4) A ketdimenzios terben valamely V terresz hataranak reszekent adodo L gorbe ru iranytasa (V {b}ol nezve) pontosan akkor pozitv ha L barmely r pontjara, melyben letezik az ru erint}ovektor es V egy tetsz}oleges s bels}o pontjara igaz, hogy az r ; s es az ru vektor jobbsodrasu vektorrendszert alkot. (Ez azt jelenti, hogy a gorbet az oramutato jarasaval ellenkezo iranyban jarjuk be.) 1.15 Pelda Az R sugaru z tengely}u origocsucsu =4 felnylasszog}u R magassagu F kuppalast felsznenek

kiszamtasa. F egyenlete : r(u v) = (u cos v u sin v u) 0 u R 0 u 2. Ezzel p ru = (cos v sin v 1) es rv = (;u sin v u cos v 0) , gy ru  rv = (;u cos v ;u sin v u) jru  rv j = 2u , tehat jF j = Z A jru  rv j dudv = Z 2 Z Rp p 2u dudv = 2R2  : 0 0 1.16 Dencio Legyen F valodi felulet. Ha f = f (r) olyan tobbvaltozos fuggveny melyre igaz, hogy r 2 F i r 2 Do f es f (r) = 0, akkor az f (r) = 0 egyenletet F egy implicit egyenletenek nevezzuk. 1.17 Peldak Kulonbozo feluletek explicit egyenletei (1) Skban (a) R sugaru origokozeppontu gombfelulet : x2 + y2 = R2 (b) R sugaru y tengely}u h magassagu felhengerpalast: x2 = R2 , 0 y h , x > 0 (c) R sugaru y tengely}u h magassagu origocsucsu =4 felnylasszog}u kuppalast : x2 = y 2 0 z h (2) Haromdimenzios terben (a) R sugaru origokozeppontu gombfelulet: x2 + y2 + z 2 = R2 (b) R sugaru z tengely}u h magassagu hengerpalast: x2 + y2 = R2 , 0 z h (c) R sugaru z

tengely}u h magassagu origocsucsu =4 felnylasszog}u kuppalast: x2 + y2 = z 2 0 z h (3) Negydimenzios terben (a) R sugaru origokozeppontu gombfelulet: x2 + y2 + z 2 + w2 = R2 7 (b) R sugaru w tengely}u h magassagu hengerpalast: x2 + y2 + z 2 = R2 , 0 w h (c) R sugaru w tengely}u h magassagu origocsucsu =4 felnylasszog}u kuppalast: x2 + y2 + z 2 = w2 0 w h 1.18 Pelda A w = xyz felulet P = (1 2 3 6) pontbeli erint}o hiperskja egyenletenek kiszamtasa A felulet (egy veges reszenek) explicit egyenlete (alkalmas A  R3 {al) r(x y z ) = = (x y z xyz ) (x y z ) 2 A es rx = (1 0 0 yz ) , ry = (0 1 0 xz ) , rz = (0 0 1 xy) : Ha R4 szokasos bazisa (i j k l), akkor ezekkel i j k l yz = yz  i ; (;xz )  j + xy  k ; 1  l = (yz xz xy ;1) : ;CROSS(rx ry rz ) = 10 01 00 xz 0 0 1 xy Igy ;CROSS(rx ry rz ) = (6 3 2 ;1) . Az erint}osk implicit egyenlete tehat: 6(x ; 1) + 3(y ; 2) + P 2(z ; 3) ; (w ; 6) = 0, vagyis 6x + 3y + 2z ; w = 12

. Nos, a gorbek es valodi feluletek lesznek Rn azon reszhalmazai, melyek majd vizsgalatainkban integralasi tartomanykent szerepelnek. Igy most mar minden rendelkezesre all ahhoz, hogy megadjuk a tobbvaltozos fuggvenyek integralfogalmanak lehetseges kiterjeszteseit. 1.3 Vonal{, fel
uleti es terfogati integralok Az alabbiakban megadjuk a tobbvaltozos fuggvenyek integralfogalmanak gorbekre es valodi feluletekre ill. vektorfuggvenyekre vonatkozo altalanostasait Szabadon fogalmazva, a vonal(feluleti) integral olyan integralkozelit}o osszegek sorozatainak hatararerteke, mely osszegekben az egyes tagok a gorbe(felulet) egy adott felosztasanak valamely elemebe es}o valamely reprezentans pontbeli fuggvenyerteknek es egy, az ezen felosztaselem meretet jellemz}o mennyisegnek a szorzata, specialisan vektorfuggveny gorbe(felulet)menti integralja eseten a felosztaselem irany tott vhosszaval(felsznevel) valo

skalaris (mas esetben vektorialis) szorzata, mg vhossz(felsz n) szerinti integralja eseten a felosztaselem vhosszaval (felsznevel), mint skalarral valo szorzata. Az alabbi dencioban felhasznaljuk vektorerfuggvenyek tobbes integraljanak fogalmat, melyet a komponenseik integraljai altal alkotott vektorkent ertelmezunk. Nyilvanvalo azonban, hogy { bar (amint azt kes}obb megmutatjuk) vannak kivetelek { az alabb denialt fogalmak kozul a legszemleletesebben azok az integralok ertelmezhet}oek, melyek denciojahoz erre nincs szukseg, tehat azok az integralok, melyek tobbvaltozos fuggvenyek integraljaira vezetnek. Masszoval, az vhossz ill felszn szerinti integralok tobbvaltozos, azaz skalarfuggvenyekre, a gorbe{ es feluletmenti integralok pedig vektorfuggvenyekre alkalmazhatoak legtermeszetesebben. A kes}obbiekben latni fogjuk, hogy az alabb denialt integraltpusok kozul a legfontosabbak, melyeknek elvi

jelent}oseguk van, a vektorfuggvenyek gorbe{ es feluletmenti integraljai. Az ezek altal denialt mennyisegeknek, melyek segtsegevel a vektorfuggvenyeket nagyon termeszetesen es szemleletesen lehet jellemezni, fontos zikai alkalmazasai vannak. A terfogati (a terreszekre vonatkozo) integral dencioja persze nem mas, mint a tobbvaltozos fuggvenyek integraljara vonatkozo integraltranszformacio (hiszen a terreszek egyenletei nyilvanvaloan a ter parametertranszformacioi). A denciot kovet}oen az integral legfontosabb tulajdonsagait vizsgaljuk es illusztraljuk ket rovid peldan, majd kulon targyaljuk a vonal{ es feluleti integralok kozotti osszefuggest a ketdimenzios esetben, hiszen kes}obbi reszletes targyalasunk szntere a sk lesz vegul pedig a normaltaromany fogalmanak altalanostasakent egy olyan specialis, de gyakorlatilag minden lenyeges esetet magaban foglalo terresz tpust denialunk,

melynek hataran konny}u integralni. 8 1.19 Dencio (Integralok) Legyen n 2 N n  1 tetsz}oleges, H  Rn es v : H ! Rm, ahol m = 1 vagy m = n . (Az alabbi denciokban a  jel nyilvan ertelemszer}uen skalarral valo szorzast ill. skalaris szorzast jelent attol fugg}oen, hogy m = 1 (v skalarertek}u) vagy m = n (v vektorertek}u).) Legyen v 2 C (H ) (1) Legyen az L gorbe egyenlete r = r(t) 2 H  Rn , t 2 I  R . v vonalmenti (vagy gorbementi) integralja L{en: Z Z L v dr = v(r(t))  r (t) dt I v vhossz szerinti integralja L{en : Z L Z v jdrj = v(r(t))jr (t)j dt I (2) Legyen az F valodi felulet egyenlete r = r(u) 2 H  Rn , u 2 A  Rn 1 . v feluletmenti integralja F {en : ; Z v df = F Z A v(r(u))  CROSS(ru (u)) du v felszn szerinti integralja F {en : Z F v jdf j = Z A v(r(u))jCROSS(ru (u))j du (3) Fenti jelolesekkel ha m = n = 3, akkor v vektorertek}u gorbementi integralja L{en: Z Z L v  dr = v(r(t))  r (t)

dt I v vektorertek}u feluletmenti integralja F {en: Z F v  df = Z A v(r(u))  CROSS(ru (u)) du (4) Legyen V terresz egyenlete r = r(u) , u 2 A . v terfogati integralja V {n: Z V v dV = Z A v(r(u))jdet ru (u)j du ahol det ru (u) az r = r(u) Jacobi determinansa. A gorbementi es vhossz szerinti integralokat kozos neven vonalintegraloknak, mg a feluletmenti es felszn szerinti integralokat feluleti integraloknak nevezzuk. 1.20 Megjegyzesek (1) A fenti dencioban szerepl}o integralok nyilvan leteznek, hiszen az adott feltetelek eseten az integrandus nullmertek}u halmaz kivetelevel folytonos fuggvenye valtozoinak. Tovabba, bizonyos feltetelek mellett az integralok fuggetlenek a feluleteket denialo egyenletekt}ol, csak az altaluk meghatarozott halmaztol fuggenek. Pontosabban, ha F es F az r{el ill r {vel denialt valodi feluletek es Rg r = Rg r , akkor tetsz}oleges Rg r{en folytonos fuggveny integraljai F {en

es F {n megegyeznek, amennyiben feluletmenti integral eseten meg azt is feltesszuk, hogy F es F azonos iranytasuak, azaz van olyan terresz, hogy mindketten kifele vannak iranytva, mint ezen terresz hataranak reszhalmazai. Hasonlo tartalmu alltast 0 0 0 0 0 9 lehet megfogalmazni vonalintegralokra vonatkozoan is (vo. az 126 (13) feladattal) (2) Nyilvan nulla dimenzios feluletek eseten is ertelmezhet}oek a feluleti integralok, ezeken a fuggvenynek az adott pontbeli (felulet vagy vonalmenti integralas eseten, melyek ilyenkor persze egybeesnek, ennek iranytasaval megszorzott) helyettestesi erteket ertjuk. A vonal{ es feluleti integralok egyik leglenyegesebb tulajdonsaga, hogy, mint az eddig megismert osszes integraltpusok, additv intervallumfuggvenyek. Ahhoz, hogy ezt a tenyt pontosan megfogalmazhassuk, a felosztas fogalmat altalanostanunk kell feluletekre. 1.21 Dencio (Feluletek lefedese es

felosztasa) (1) Ha veges sok, paronkent kozos bels}o pont nelkuli halmaz (felulet) unioja egy H halmaz (F felulet), akkor ezt a veges sok halmazt (feluletet) egyuttesen H (F) egy lefedesenek es az egyes halmazokat (feluleteket) a lefedes elemeinek nevezzuk. (2) Legyen f tetsz}oleges fuggveny , H  Dof . A g fuggveny f {nek H {ra valo megszortasa, ha Do g = H es minden x 2 H eseten g(x) = f (x) . (3) Legyen F az r fuggveny altal denialt felulet. Do r egy lefedese eseten r{nek a lefedes elemeire valo megszortasa altal denialt feluleteket egy Puttesen F egy felosztasanak nevezzuk. Azt, hogy F1 F2 : : : Fk F egy felosztasa, gy jeloljuk: ki=1 Fi = F . A most kovetkez}o osszes alltas kozvetlen kovetkezmenye a vonal{ es feluletmenti integral dencioinak es a tobbes integralok megfelel}o tulajdonsagainak (lasd az 1.26 (12)(a) feladatot) 1.22 A lltas (Integralok tulajdonsagai) (1) Vonal- es feluleti integral

orokli az egyvaltozos fuggvenyek integraljanak tulajdonsagait: (a) Integral linearis homogen operacio (b) Integral addit v halmazfuggveny, azaz Z Z n Z n Z X X es v dr = v dr v df = v df P P n i=1 (c) Li Z L ; i=1 Li v dr = ; Z L n i=1 Z es v dr Fi F ; (d) ha m v(r) M minden r 2 L ill. r 2 F eseten, akkor m  jLj Z L ill. v dr M  jLj m  jF j i=1 Fi v df = ; Z F Z F v df v df M  jF j (2) Ha ve v{nek L erint}oegysegvektorara, e{re es}o vetulete, azaz e = rr {el ve = (v e) es vn v{nek F r (u)) egysegnormalisara, n{re es}o vetulete, azaz n = CROSS( CROSS(r (u)) {el vn = (v n) , akkor j j u Z L 1.23 Peldak (1) Az v dr = j Z L ve jdrj u ill. Z L j Z F v df = Z F vn jdf j k  r dr integral kiszamtasa ha k = (0 0 1) es L az r = r(t) = (cos t sin t 0) , t 2 0 2] egyenlettel denialt xy]{skbeli pozitv iranytasu egysegkor. (a) k  r(t) = (; sin t cos t 0) , r (t) = (; sin t cos t 0) , (k  r(t))  r (t) = sin2 t

+ cos2 t = 1 , gy 10 Z L k  r dr = Z2 0 (k  r(t))  r (t) dt = Z2 1 dt = 2 0 (b) Felhasznalva a vonalmenti es vhossz szerinti integralok kozotti fenti osszefuggest, tovabba azt, hogy L r iranyu e erint}o egysegvektora es k  r azonos iranyuak, tehat (k  r)e , k  r{nek e{re es}o vetulete eppen jk  rj , valamint gyelembe veve, hogy k es r mer}olegesek egymasra (hisz a kor benne van az xy] skban) es hogy a koron jrj = 1 , azt kapjuk, hogy Z Z L k  r dr = (k  r)e jdrj = Z L L jk  rj jdrj = Z (2) Az F Z L Z jkj  jrj jdrj = L jrj jdrj = Z L jdrj = jLj = 2 : r dr integral kiszamtasa, ha F az r = r(u v) = (u cos v u sin v u) 0 u R 0 u 2 egyenlettel denialt R sugaru z tengely}u =4 felnylasszog}u kuppalast (melyre ;F kifele iranytott). (a) ru = (cos v sin v 1) , rv = (;u sin v u cos v 0) , gy ru  rv = (;u cos v ;u sin v u) , r  (ru  rv ) = ;u2 cos2 v ; u2 sin2 v + u2 = 0 , tehat Z F r

dr = Z2 ZR 0 0 r  (ru  rv ) dudv = 0 (b) A feluleti integral dencioja alapjan az integral 0 , ha az integrandus a felulet pontjaiban mer}oleges az erint}osk normalvektorara. Origocsucsu kup eseten minden feluleti pontban az r helyvektor alkoto iranyu es ez mer}oleges az erint}osk normalisara, tehat a v(r) = r fuggveny integralja egy ilyen kup barmely reszen 0. 1.24 Megjegyzes (A ketdimenzios eset) Mivel a gorbek az egydimenzios feluletek, n = 2 eseten a gorbek es a valodi feluletek egybeesnek. Igy a sk valamely valodi feluleten egyidej}uleg ertelmezett tetsz}oleges ketdimenzios vektor-vektor fuggveny gorbementi es feluletmenti integralja is. Az alabbiakban a fenti denciok alapjan megadjuk a kett}o kozotti osszefuggest egy (valamely terreszb}ol nezve) pozitvan iranytott L gorbe es (a pozitv iranytottsag dencioja alapjan kifele iranytott) F = ;L eseten: Z F Z v df = L Z

es CROSS(v) dr L v dr = ; Z F CROSS(v) df : Valoban, legyen a pozitvan iranytott L skgorbe egyenlete: r = r(t) = (x(t) y(t)) , t 2 I . Felhasznalva, hogy ketdimenzios esetben CROSS((x y)) = (;y x) (lasd az 1.7 (1) megjegyzest), azt kapjuk, hogy F = ;L - re: Z Z Z Z v df = v df = ; v df = ; v(r(t))  CROSS(r (t)) dt = F Z L ; L I Z Z = ; (v1 v2 )  (;y x ) dt = ; (;v1 y + v2 x ) dt = ; (v2 ;v1 )  (x y ) dt = I I Z = (;v2 v1 )  r (t) dt = I I Z L (;v2 v1 ) dr = Z L CROSS(v) dr Masreszt, mivel CROSS(CROSS(;v)) = v es CROSS(;v) = ;CROSS(v) , ebb}ol Z L v dr = Z L CROSS(CROSS(;v)) dr = Z L CROSS(;CROSS(v)) dr = ; 11 Z F CROSS(v) df Bar azt, hogy a vonal- es feluleti integralok felosztasok eseten additv halmazfuggvenykent viselkednek konny}u bizonytani, az alkalmazasokban ez altalaban nem eleg, azt kellene tudni, hogy lefedesek eseten is ilyenek. A gyakorlatban elegnek bizonyul csak bizonyos specialis

tartomanyok hatarai eseten vizsgalni ezt a kerdest, melyek kore azert meg eleg tag ahhoz, hogy az osszes "normalis" terreszeket tartalmazza, csak a "torzszulotteket" zarja ki a tekintetbe veend}o halmazok kozul (vo az 1.26 (18) feladattal) Ezeket a specialis halmazokat nehany rajuk vonatkozo megjegyzest kovet}oen az alabbiakban denaljuk. A ketvaltozos fuggvenyek integralszamtasa soran bevezetett normaltartomanyt a sk egy olyan reszhalmazakent denialtuk, melyet { szabadon fogalmazva { egyvaltozos fuggvenyek gorbei hatarolnak. Az alabbi dencioban a koordinatafelulet a fuggveny gorbejenek megfelel}o altalanos fogalom es a regularis normaltartomany az ilyenek altal hatarolt terresz. Vegul a normal terreszt a ter egy olyan reszhalmazakent denialjuk, melynek szerkezete biztostja, hogy a hatarara vett integralt visszavezethessuk normaltartomanyok hatarara, azaz

koordinatafeluletekre valo integralasra. Ugyanis a dencioban rogztett feltetelek fennallasa eseten bizonythato, hogy a normal terresz feloszthato normaltartomanyokra olymodon, hogy a felosztas elemeinek a terresz belsejebe es}o hatarszakaszain vett integralok kiejtik egymast, mg a maradek hatarszakaszokon vett integralok osszege a terresz hatarara vett integralt adja (lasd az 1.26 (15)(b) es (17) feladatokat). 1.25 Dencio (Normaltartomany altalanostasa) Legyen n 2 N n  1 es legyen V  Rn egy az identitasfuggvennyel denialt terresz. (1)(a) Ha n = 1 es V nem ures belsej}u zart intervallum, akkor V {t (regularis) normaltartomanynak nevezzuk. (b) Legyen n > 1 1 i n . V {t az i tengelyre vonatkoztatva n dimenzios (regularis) normaltartomanynak nevezzuk, ha van olyan H  Rn 1 regularis normaltartomany es vannak olyan f g H {n ertelmezett szakaszonkent folytonosan derivalhato (n ; 1){valtozos

fuggvenyek, hogy minden (x1 x2 : : : xi 1 xi+1 : : : xn ) 2 Int H eseten ; ; g(x1 x2 : : : xi 1 xi+1 : : : xn ) < f (x1 x2 : : : xi 1 xi+1 : : : xn ) , tovabba minden x = (x1 x2 : : : xn ) 2 Rn eseten x 2 V i (x1 x2 : : : xi 1 xi+1 : : : xn ) 2 H es g(x1 x2 : : : xi 1 xi+1 : : : xn ) xi f (x1 x2 : : : xi 1 xi+1 : : : xn ) : (c) Legyen n > 1 : V {t (regularis) normaltartomanynak nevezzuk, ha minden 1 i n eseten az i: tengelyre vonatkoztatva regularis normaltartomany. (2) Az (1)(b){ben szerepl}o felteteleket kielegt}o H normaltartomany es f fuggveny eseten az ; ; ; ; ; r = r(x) = (x1 x2 : : : xi 1 f (x1 x2 : : : : xi 1 xi+1 ::: xn ) xi+1 :: xn ) (x1 x2 : : : xi 1 xi+1 ::: xn ) 2 H ; ; ; alaku fuggvenyek altal denialt es a veluk ellentetes iranytasu feluleteket (n dimenziobeli) (i. tengely szerinti) koordinatafeluleteknek nevezzuk. (Specialisan a skon a koordinatafeluletek az r = r(x) = (x f (x)) x 2 a b] es az r = r(y) =

(g(y) y) y 2 c d] alaku fuggvenyek altal denialt valodi feluletek.) Tovabba koordinatafeluletnek tekintunk minden nulldimenzios feluletet is (3) V {t normal terresznek nevezzuk, ha V lefedhet}o olyan kifele iranytott hataru regularis normaltartomanyokkal, melyek mindegyikenek hatara szinten lefedhet}o ugy, hogy ezen lefedesek V hatarara es}o elemei V hataranak egy koordinatafeluletekb}ol allo lefedeset adjak, V { b}ol nezve kifele vannak iranytva es belsejuk pontosan egy normaltartomany hataranak resze, mg a hatarok lefedesenek minden tobbi elemere fennall, hogy azok ellentetes iranytassal pontosan ket normaltartomany hataranak lefedeseben szerepelnek elemkent (az illusztraciot lasd a tuloldalon). Nos, koordinatafeluletekkel valo lefedesre vonatkozoan, gy normal terreszek hataranak bizonyos lefedeseire vonatkozoan is, az integralok meg}orzik additvitasukat. Ezt a tenyt pontos formaban

az alabb kovetkez}o 1.26 (15)(b) es (17) feladatokban fogalmazzuk meg 12 1.26 Feladatok (1) Bizonytsuk be, hogy ha a es b jobbsodrasu rendszert alkot, akkor a{t pozitv (azaz az oramutato jarasaval ellenkez}o iranyu) {nel kisebb szoggel valo elforgatas viszi b{be! (2)(a) Bizonytsuk be, hogy R osszefugg}o reszhalmazai az intervallumok! (b) Bizonytsuk be, hogy ha H  Rn es minden x y 2 H osszekothet}o H {n belul elemi vvel, akkor H osszefugg}o ! (3) Egy halmaz konvex, ha minden pontparja osszekothet}o a halmazon beluli szakasszal. (a) Bizonytsuk be, hogy minden konvex halmaz osszefugg}o! (b) Adjunk peldat R3 {beli konvex, tovabba nem konvex, de osszefugg}o feluletekre! (4)(a) Bizonytsuk be, hogy a feluletek zart, korlatos halmazok! (b) Legyen L tetsz}oleges normalt linearis ter es legyen H  L korlatos, zart halmaz. Bizonytsuk be, hogy tetsz}oleges x 2 L eseten, ha x 62 H , akkor van x{nek olyan S (x) kornyezete,

hogy S (x) H = . (c) Legyen L tetsz}oleges normalt linearis ter es legyenek H1 H2  L diszjunkt korlatos, zart halmazok. Bizonytsuk be, hogy van olyan d > 0, hogy minden x 2 H1 , y 2 H2 eseten kx ; yk  d. (A d(H1 H2 ) = = inf fkx ; yk : x 2 H1 y 2 H2 g  d > 0 szamot H1 es H2 tavolsaganak nevezzuk.) (d) Bizonytsuk be, hogy veges sok zart halmaz unioja zart! Igaz-e ez vegtelen sok halmaz eseten is? (5)(a) Bizonytsuk be, hogy a koordinatafeluletek valoban feluletek! (b) Bizonytsuk be, hogy a koordinatafeluletek elemi hejak! (6) Legyen F az n{dimenzios valodi felulet egy implicit egyenlete f (r) = 0 r0 2 F es grad f (r0) 6= 0 . Bizonytsuk be, hogy ekkor minden r0 {on atmen}o, a felulet altal tartalmazott gorbe r0 {beli erint}oje a grad f (r0) normalisu r0 {beli erint}o hiperskba esik. (7)(a) Bizonytsuk be, hogy ha F egyenlete r = r(u) u 2 A , akkor r IntA  Int F ! 0  (b) Bizonytsuk be, hogy ha F es F az r{el ill. r {vel

denialt azonos dimenzios feluletek es Rg r = = Rg r akkor Int F = Int F ! 0 0 0 0 (8) Bizonytsuk be, hogy ha az F egydimenzios felulet egyenlete r = r(t) t 2 A es ;F egyenlete s = s(t), t 2 A akkor 0 (a) Rg r =Rg s (b) F pontjaiban F es ;F iranytasa egymas (;1){ szeresei, azaz, ha r(t) = s(t ) , valamely t 2 A, t 2 A eseten, akkor CROSS(s (t )) = ;CROSS(r (t)). 0 0 0 0 (9) Legyen F az r = r(t) , t 2 I = a b] altal denialt gorbe. 13 (a) Bizonytsuk be, hogy ha F elemi v, akkor Int F = r Int I , tehat F hatara az fr(a) r(b)g halmaz. (b) Igaz-e, hogy ha r invertalhato Int I {n es r(a) = r(b) , akkor F zart felulet?  (10) Ha az L gorbe r = r(t) t 2 I = a b] egyenlete olyan, hogy minden a < c < b eseten az r{nek mind az a c]{re mind a c b]{re valo megszortasa altal denialt gorbe elemi v, akkor L{et egyszer}u vnek nevezzuk. (Nyilvan minden elemi v egyszer}u v is) Legyen az L egyszeru v egyenlete r = r(t) , t 2 I =

a b]. r(a){t L kezd}opontjanak es r(b){t L vegpontjanak nevezzuk Bizonytsuk be, hogy (a) r invertalhato mind az (a b]{n, mind az a b){n es folytonosan invertalhato (a b){n, (b) L akkor es csak akkor zart ha r(a) = r(b), (c) L akkor es csak akkor elemi v ha nem zart. (d) Az r = r(t) = (R sin t R cos t) t 2 0 2] egyenlettek denialt grbe zart. (11) Legyenek a < b < c tetsz}oleges valosok es tegyuk fel, hogy r1 = r1 (t) , t 2 a b] es r2 = r2 (t), t 2 b c] elemi veket denialnak es r1 (b) = r2 (b) . Legyen  t 2 a b] r(t) = rr1 ((tt)) ha ha t 2 b c] t 2 a c] 2 (Ez az r1 es r2 altal denialt gorbek egymashoz csatolasa.) Bizonytsuk be, hogy (a) ha Rg r1 Rg r2 = fr(b)g , akkor r elemi vet denial es (b) ha r2 (c) = r1 (a) es Rg r1 Rg r2 = fr(a) r(b)g, akkor r egyszeru vet denial! (12)(a) Bizonytsuk be a vonal- es feluleti integraloknak az 1.22 A lltasban felsorolt tulajdonsagait ! (b) Bizonytsuk be a skbeli

(egydimenzios) valodi feluletek eseten a kovetkez}ot: ha F az r = r(t) t 2 I altal denialt felulet, f I {n denialt szigoruan monoton nov}o derivalhato fuggveny, akkor az s(t) = r(f (t)) t 2 I = (f 1 ) I altal denialt F felulet eseten Rg r = Rg s es barmely az F { en folytonos v fuggveny eseten 0 ; Z F  v df = 0 Z F 0 v df : (13) Legyenek L es L egyszer}u vek egyenletei r = r(t) t 2 I ill. s = s(t) t 2 I (Az egyszer}u v denciojahoz lasd a (10) feladatot.) Tegyuk fel, hogy L es L kezd}opontjai egybeesnek, tovabba Rg r = Rg s . Legyen G = Rg r Bizonytsuk be, hogy tetsz}oleges v 2 C (G) eseten v{nek L{en es L {on 0 0 0 0 vett vonalintegraljai megegyeznek! (14) Legyenek a < b es c < d tetsz}oleges valosok es legyenek L1 es L2 az r1 = r1 (t) , t 2 a b] ill. az r2 = r2 (t) t 2 c d] altal denialt elemi vek Tegyuk fel, hogy (a) r1 (b) = r2 (c) es Rg r1 Rg r2 = fr1 (b)g vagy (b) r1 (b) = r2 (c) r1 (a) = r2

(d) es Rg r1 Rg r2 = fr1 (a) r1 (b)g . Bizonytsuk be, hogy ha L az r = r(t) t 2 I egyenlettel denialt olyan L gorbe, melyre Rg r = Rg r1  Rg r2 , akkor minden L{en folytonos v fuggveny eseten Z L v dr = Z L1 v dr + Z L2 v dr : (15) (a) Legyen V ketdimenzios normal terresz es F zart felulet resze V hataranak. Bizonytsuk be, hogy V hataranak minden F1 F2 : : : Fn lefedeseb}ol kivalaszthato F {nek egy F1 F2 : : : Fn lefedese. (b) Legyen V tetsz}oleges ketdimenzios terresz. Legyen F V {b}ol nezve kifele iranytott valodi felulet resze V hataranak. Bizonytsuk be, hogy ha n  2 es az F1 F2 : : : Fn olyan V {b}ol nezve kifele iranytott koordinatafeluletekkel valo lefedese F {nek, melyek mindegyike egy V altal tartalmazott regularis normaltartomany hataranak resze, akkor barmely F {en folytonos v fuggveny eseten  0 14 0 0 Z F n Z X v df = i=1 Fi v df : (c) Legyenek V1 V2 ketdimenzios normal terreszek

es V2  IntV1 . Legyenek V1 es V2 kifele iranytott hatarai az F1 es F2 felletek. Bizonytsuk be, hogy ekkor V = V1 n IntV2 olyan terresz, melynek hatarat F1 es F2 lefedi, tovabba F1 es ;F2 V {b}ol nezve kifele vannak iranytva. (d) Bizonytsuk be, hogy ha V az origokozeppontu R sugaru korlap, akkor V normal terresz melynek az r = r(t) = (R sin t R cos t) 0 t 2 egyenlettel denialt F korvonal a hatara. (16) Legyenek a < b valosok, f g 2 C 1 a b] V = f(x y) : a x b g(x) y f (x)g. Bizonytsuk be, hogy ha az F egydimenzios valodi felulet egyenlete (a) r = r(x) = (x f (x)) x 2 (a b), akkor F V {b}ol nezve kifele van iranytva, (b) r = r(x) = (x g(x)) x 2 a b], akkor ;F V {b}ol nezve kifele van iranytva. (17) Legyenek a < b tetsz}oleges valosok es f g 2 C 1 a b] olyanok, hogy g(x) < f (x) minden x 2 (a b){re. Legyen V = f(x y) : a x b g(x) y f (x)g : ketdimenzios regularis normaltartomany. Legyenek tovabba F1 az r1

(x) = (x f (x)) x 2 a b] , F2 az r2 (x) = (x g(x)) x 2 a b] , F3 az r3 (x) = (a y) y 2 g(a) f (a)] es F4 az r4 (x) = (b y) y 2 g(b) f (b)] altal denialt egydimenzios feluletek, tovabba legyen F V kifele iranytott hatara. (F3 {at es F4 {et termeszetesen csak akkor denialjuk ha g(a) < f (a) ill. g(b) < f (b) :) A (15) (b) feladat eredmenyenek felhasznalasa nelkul bizonytsuk be hogy F1 F2 F3 F4 V hataranak lefedese (ahol g(a) = f (a) eseten a harmadik, g(b) = f (b)) eseten a negyedik elem hianyzik) es barmely F {en folytonos v fuggveny eseten Z F v df = Z F1 v df ; Z F2 v df + Z F3 v df ; Z F4 v df (ahol g(a) = f (a) eseten a harmadik, g(b) = f (b)) eseten a negyedik tag hianyzik). (18) Mutassunk peldat olyan skbeli regularis normaltartomanyokra, melyek nem normal terreszek! 15 2. Vektorfuggvenyek jellemzese integraljaikkal Szeretnenk a vektorfuggvenyek valtozasanak jellemzesere az egyvaltozos

fuggvenyek derivaltjahoz hasonloan szemleletes jelentessel bro olyan fogalmakat keresni, melyek pontonkent lerjak a vektorfuggveny nagysaganak es iranyanak valtozasat kulon{kulon, hiszen maga a derivaltoperator tovabbi elemzes nelkul erre nem alkalmas, a vektor iranyanak es nagysaganak valtozasat egyutt adja meg. Ehhez termeszetesen el}oszor is maganak a vektorfuggvenynek a szemleltetesere kell eszkozoket keresnunk. 2.1 Vektorf
uggvenyek szemleltetese Vizsgaljuk meg tehat hogyan lehetne szemleltetni a vektorfuggvenyeket! A matematikai fogalmaknak altalaban ket fajta szemleltetese van. Az egyik tulajdonkeppen alkalmazast jelent, azt, hogy a matematikai mennyisegeknek konkret (pl. zikai) jelentest tulajdontunk Ez annak az eljarasnak a megfordtasa, amikor valamely zikai jelenseg matematikai modelljet keressuk Igy peldaul egy haromvaltozos fuggvenyt mindig tekinthetunk h}omersekleteloszlas

fuggvenynek, kezelhetjuk ugy, mint egy olyan fuggvenyt, mely a ter minden pontjahoz az adott pontbeli h}omersekletet rendeli. A masik, a grakus szemleltetes soran a matematikai mennyisegekhez geometriai jelentest rendelunk abbol a celbol, hogy geometriai objektumok segtsegevel abrazolhassuk }oket es gy a szo szoros ertelmeben szemleletes kepet nyerjunk roluk. A vektorfuggvenyek leggyakoribb ket alkalmazasa kozul az egyik az, amikor a fuggveny ertekeit adott pontbeli er}onek (pl. elektromos, magneses, gravitacios er}onek) tekintjuk ilyen esetben a vektorfuggvenyt er}oternek nevezzuk. A masik gyakori alkalmazas eseten a fuggveny ertekeit valamilyen aramlo anyag (pl. folyadek, gaz vagy akar hompolyg}o k}ogorgeteg, felvonulo embertomeg) adott pontbeli sebessegenek tekintjuk, azaz a vektorfuggveny valamely pontbeli ertekenek iranya az aramlas iranyat, mg nagysaga az egysegnyi id}o alatt ebben az

iranyban ataramlo anyags}ur}useget, azaz, egy, erre az iranyra mer}oleges, egysegnyi felszn}u (valodi) feluleten ataramlo anyag mennyiseget adja meg (haromdimenzios folyadek 1 {ban). Ekkor a fuggvenyt  aramlas eseten pl. mkg2  sec aramlasi ternek hvjuk. Grakusan egy vektorfuggvenyt olyan gorbesereggel, az un. er}ovonalakkal (vagy aramvonalakkal) abrazolhatunk vazlatosan, melyek eseten egy adott pontban a vektorfuggveny iranyat a ponton athalado gorbe erint}ojenek iranya, mg nagysagat a gorbesereg adott pontbeli s}ur}usege, azaz az erint}ore mer}oleges egysegnyi felszn}u feluleten athalado (azt metsz}o) er}ovonalak szama adja meg. Az alabbiakban megadjuk nehany egyszer}u specialis skbeli er}oter er}ovonalas abrazolasat. (A kes}obbiekben is mindig, ha mast nem mondunk az er}ovonalas abrazolasok skvektorterekre vonatkoznak, az altalanos esetet ezen lehet a legkenyelmesebben illusztralni.) Homogen

nagysagu(iranyu) egy ter ha nagysaga(iranya) allando, ellenkez}o esetben inhomogen nagysagu(iranyu), homogen ha homogen nagysagu es iranyu, vegul inhomogen ha nem homogen. Homogen er}oter Homogen nagysagu inhomogen er}oter 16 Homogen iranyu inhomogen er}oter Inhomogen nagysagu es iranyu er}oter Vizsgaljuk meg, hogy milyen zikai jelentes tulajdonthato a gorbe{ es feluletmenti integraloknak az aramlasi ter terminusaiban, illetve mi felel meg ezeknek az integraloknak er}ovonalas abrazolas eseten! Mint latni fogjuk, a feluletmenti integral a vektorfuggveny nagysagvaltozasaval van kapcsolatban, mg a vektorfuggveny iranyvaltozasat a vonalmenti integral jellemzi. 2.2 Fel
uletmenti integral A feluletmenti integral szemleletes jelenteset el}oszor az aramlasi ter eseten (rogztett id}oegysegre vonatkoztatva) vizsgaljuk meg. Mivel a vektorfuggveny ilyenkor egy iranytott s}ur}useg es a

feluletmenti integral ezen s}ur}useg feluleti normalisra es}o vetuletenek az integralja, a feluletmenti integral a feluleten ataramlo anyag el}ojeles osszemennyisege, azaz a feluleten keresztul a felulet iranytasa altal meghatarozott iranyban es az ellenkez}o iranyban aramlo anyag mennyisegenek kulonbsege. Peldaul nyilvanvaloan egy olyan veges sktartomany mint felulet eseten, mely menten az aramlas iranya allando, ha a sk parhuzamos az aramlas iranyaval, akkor az integral nulla es az integral akkor maximalis, ha a sk mer}oleges az aramlas iranyara. A fentiekb}ol kovetkez}oen egy terresz kifelele iranytott hatarfelulete eseten a feluletmenti integral eppen a felulet altal bezart terreszb}ol kiaramlo es az oda bearamlo anyag mennyisegenek kulonbsege, azaz a terreszben keletkez}o (vagy negatv el}ojel eseten elt}un}o) anyag mennyisege, masszoval az aramlo anyag mennyisegenek a

tekintett terreszen torten}o megvaltozasa. Kovetkezeskepp, az, hogy egy ilyen feluletre vonatkozo feluletmenti integral nulla, azt jelenti, hogy amennyi anyag a terreszbe erkezik, ugyanannyi tavozik is onnan, tehat nem keletkezik es nem is t}unik el itt anyag, pontosabban, az itt keletkez}o es elt}un}o anyag mennyisege azonos. Analog modon grakus szemleltetes eseten a feluletmenti integral a a feluleten athalado osszes er}ovonalak szama. Valoban, az er}oter egy kicsiny, homogennak tekinthet}o darabjat tekintve (az abrat lasd a tuloldalon), ha egy egysegnyi felszn}u, az er}ovonalakra mer}oleges E feluletdarabon athalado er}ovonalak szama k = jvj , akkor a vele szoget bezaro F feluletdarabon ugyanezek az er}ovonalak athaladnak, de F felszne mar cos1
, gy rajta az er}ovonalak s}ur}usege k = k  cos = jvj  cos = v  n = v n 1 cos
ahol n F egysegnormalisa es vn v{nek erre es}o vetulete. K {t, az egesz F {en athalado

er}ovonalak szamat, nyilvan az er}ovonals}ur}useg felszn szerinti integralja adja meg. Felhasznalva az 122 (2) alltast, azt kapjuk, hogy K= amit meg akartunk mutatni. Z F vn jdf j = 17 Z F v df α n α ∆F E Tehat a feluletmenti integral a a feluleten athalado osszes er}ovonalak szama. Persze itt is az, hogy a feluleten athalado azt jelenti, hogy a feluleti normalis iranyaba es azzal ellentetes iranyban athalado er}ovonalak szamanak el}ojeles osszege. Ebb}ol kovetkez}oen egy terreszt hatarolo kifele iranytott felulet eseten a feluletmenti integral a terreszb}ol ki{ es oda belep}o er}ovonalak szamanak, masszoval a feluleten a ket iranyban athalado osszes er}ovonalak szamanak kulonbsege, azaz az er}ovonalszamnak a terreszben torten}o megvaltozasa. Az integral tehat pontosan akkor nulla, ha a felulet altal bezart terreszben az ott ered}o es elt}un}o er}ovonalak szama megegyezik, vagyis, ahany

er}ovonal a terreszbe belep, ugyanannyi ki is lep onnan. Specialisan ez a helyzet, ha az er}oter er}ovonalai mindket iranyban vegtelenek vagy pedig zartak. Ekkor sehol nem erednek uj er}ovonalak es nem is t}unnek el sehol Azokat a pontokat, ahol uj er}ovonalak keletkeznek forrasoknak, mg azokat, ahol er}ovonalak sz}unnek meg, nyel}oknek nevezzuk. F Z F v df > 0 F F Z F v df = 0 Z F v df < 0 2.1 Dencio Egy v vektorfuggvenynek az F feluleten vett feluletmenti integralja a v{nek F {re vonatkozo (F {re szamtott) uxusa. Az eddig elmondottak alapjan a !uxus egy { egy terreszben a vektorfuggveny nagysaganak (az altala lert anyag osszemennyisegenek) valtozasat adja meg. 2.2 Pelda A es a v(x y) = (f (x) 0) x 2 a b] y 2 c d] 18 w(x y) = (f (y) 0) x 2 a b] y 2 c d] vektorfuggvenyek (f 2 C (R) pozitv es szigoruan monoton nov}o fuggveny) !uxusanak kiszamtasa a V = f(x y) : a x b c y dg koordinatatengelyekkel

parhuzamos el}u teglalap, mint ketdimenzios terresz kifelele iranytott hatarara vonatkozoan. Legyen V kifele iranytott hatara F es legyenek r1 (x) = (x d) r2 (x) = (x c) r3 (y) = (a y) r4 (y) = (b y) F1 az F2 az F3 az F4 az a a c c x x y y b b d d altal denialt feluletek. Az integralnak a normaltartomanyok hatarain valo additvitasat hasznalva (lasd az 1.26 (15) (b) vagy az 126 (17) feladatot) adodik, hogy Z F v df = Z F1 v df ; Z F2 v df + Z F3 v df ; Z F4 v df (F2 es F4 azert szerepelnek negatv el}ojellel, mert ;F2 es ;F4 vannak V {b}ol kifele iranytva, hiszen peldaul r2 (x) = (1 0) miatt F2 iranytasa CROSS(r2 ) = (0 1) . (1) v(x y) = (f (x) 0) x 2 a b] y 2 c d] 0 0 F 1 d F3 -F 4 c -F 2 a b Mivel v{nek csak x iranyu komponense van, gy mindenutt mer}oleges F1 es F2 normalisaira, tehat Z F1 v df = Z F2 v df = 0 : Valoban, peldaul r1 (x) = (1 0) , gy CROSS(r1 ) = (0 1) , kovetkezeskeppen

0 0 Z F1 v df = Zb a (f (x) 0)  (0 1) dx = Zb a 0 dx = 0 : Masreszt, r3 (y) = (a y) c y d , tehat F3 pontjaiban x = a , gy v(r3 (y)) = (f (a) 0) . Tovabba, r3 (y) = (0 1) , gy CROSS(r3 ) = (;1 0) , tehat 0 0 Z F3 v df = Zd c v(r3 (y))  CROSS(r3 ) dy = 0 19 Zd c (f (a) 0)  (;1 0) dy = = Zd c ;f (a) dy = ;f (a) es pontosan ugyangy Z Z tehat F Zd v df = F4 Z F1 dy = ;f (a)(d ; c) c v df = ;f (b)(d ; c) v df ; Z F2 Z v df + F3 v df ; Z F4 v df = = ;f (a)(d ; c) ; (;f (b)(d ; c)) = (f (b) ; f (a))(d ; c) > 0 : A V {ben keletkez}o er}ovonalak szama tehat (f (b) ; f (a))(d ; c) , ahogy ez varhato is, hiszen ez nem mas mint az F3 {on belep}o er}ovonalak szamanak (d ; c)  f (a){nak es az F4 {en kilep}o er}ovonalak szamanak (d;c)f (b){nek a kulonbsege, mert F3 {on az er}ovonalak s}ur}usege jv(x y)j = f (a) F4 {en pedig jv(x y)j = = f (b) . (2) w(x y) = (f (y) 0) x 2 a b] y 2 c d] F1 d F3 -F 4 c -F 2 a b

Hasonloan az el}oz}o esethez, mivel w{nek is csak x iranyu komponense van, tehat mindenutt mer}oleges F1 es F2 normalisaira, azaz Z Z w df = w df = 0 : F1 F2 A ket masik integralt szinten az el}oz}o esettel analog modon szamthatjuk: Z F3 w df = Zd c w(r3 (y))  CROSS(r3 ) dy = 0 es ugyangy Z F4 vagyis Z F w df = Z F1 w df ; Z F2 w df = ; w df + Z F3 Zd c Zd c w df ; 20 (f (y) 0)  (;1 0) dy = ; Zd c f (y) dy f (y) dy Z F4 w df = Z F3 w df ; Z F4 w df = 0 amint az persze varhato is volt, hisz az F3 {on belep}o minden er}ovonal F4 {en kilep mert w er}ovonalai mindket iranyban vegtelenek, nincsenek sem forrasai, sem nyel}oi. A fenti pelda szepen illusztralja, hogy a !uxus csak a vektorfuggveny, azaz az er}ovonalak iranyaba es}o nagysagvaltozasra erzekeny, az erre mer}oleges valtozasra nem, pontosabban a valtozasnak csak az er}ovonalak iranyara vett vetuletet meri. Nos, a fentiek szerint a !uxus csak az

ataramlo anyag mennyisegenek ill. az athalado osszes er}ovonalak szamanak egy-egy felulet altal bezart terreszen valo megvaltozasat adja meg, gy eleg durva modon, csak egy tartomany egeszen globalisan jellemzi a vektorfuggvenyt, hasonloan ahhoz, ahogy egy egyvaltozos fuggvenyt jellemez egy-egy adott intervallum szelein felvett ertekeinek kulonbsege. Hogyan tudnank ennek segtsegevel egy lokalis, pontonkenti jellemz}ot denialni? Szembeszok}o az analogia az egyvaltozos fuggvenyek derivaltjanak fogalmaval. Ott is a fuggveny egy-egy resztartomanyon, specialisan intervallumon, valo megvaltozasa all rendelkezesre es ezt a megvaltozast a tartomany mertekevel (az intervallum hosszaval) elosztva kapunk egy, a fuggveny relatv megvaltozasat jellemz}o adatot, melyb}ol aztan a tartomanyt egy pontra "zsugortva", azaz valamely adott pontot tartalmazo intervallumok hosszat nullahoz kozeltve kapjuk meg a

derivaltat, a fuggveny valtozasat az adott pontban jellemz}o mennyiseget. Vektorfuggveny eseten az ennek megfelel}o, a "lokalis !uxusvaltozast" megado fogalom egy adott pontban a fuggveny nagysaganak valtozasat jellemzi, szemleletes jelentese az adott pontban a terfogategysegre juto anyagmennyiseg ill. er}ovonalszam valtozas, azaz az anyagmennyiseg ill er}ovonalszam valtozas adott pontbeli s}ur}usege. 2.3 Dencio Legyen n tetsz}oleges pozitv egesz szam. (1) Legyen H  Rn tetsz}oleges korlatos halmaz. A d(H ) = supfkx ; yk : x y 2 H g szamot H atmer}ojenek nevezzuk es d(H ){val jeloljuk. (2) Legyen r0 2 Rn tetsz}oleges, Hk  Rn minden k 2 N{re. Azt mondjuk, hogy a (Hk ) sorozat az r0 {ra zsugorodik ha r0 2 Int Hk minden k 2 N{re es d(Hk ) ;! k 0. 2.4 Dencio Legyen n tetsz}oleges pozitv egesz szam. Legyen r0 2 G  Rn tetsz}oleges nylt halmaz, v : G ! Rn folytonos G n fr0 g{on. Ha a (Vk ) r0 {ra zsugorodo Rn{beli

normal terreszek tetsz}oleges olyan sorozatara, melyre minden k 2 N eseten Vk  G hatara a kifele iranytott Fk valodi felulet, a Z lim 1  v df k !1 jVk j Fk (veges vagy vegtelen) hatarertek letezik es ugyanaz, akkor ezt a mennyiseget v r0 {beli forrass}ur}usegenek nevezzuk. Azt a fuggvenyt, mely megadja v forrass}ur}useget minden olyan pontban, ahol letezik es veges, s(v){vel jeloljuk Ha r0 {ban a forrass}ur}useg pozitv, akkor v{nek forrasa, ha negatv, akkor pedig nyel}oje van r0 {ban. 2.5 Megjegyzes A dencioban szerepl}o feltetelek termeszetesek, hiszen v folytonossaga biztostja integralhatosagat, G nyltsaga azt, hogy van az adott pontra zsugorodo olyan terresz-sorozat, melynek minden elemen v folytonos, vegul a tekintetbe vett terresz sorozat normalitasa, kizarva a "tul specialis, furcsa, torz" terreszeket, garantalja, hogy a denialt hatarertek v{t es nem magat a terresz sorozatot

jellemzi. 2.6 Pelda A 22 Peldaban szerepl}o vektorfuggvenyek r0 = (x0 y0) pontbeli forrass}ur}usegenek megha- tarozasa. Jelenlegi eszkozeinkkel egyel}ore nem tudjuk megvizsgalni, hogy letezik{e egy fuggveny forrass}ur}usege, csak azt tudjuk megallaptani, hogy mekkora az erteke, felteve, hogy letezik. Tehat tegyuk fel, hogy mindket esetben letezik a forrass}ur}useg. Szuksegunk lesz tovabba arra a feltevesre is, hogy f folytonosan derivalhato r0 valamely kornyezeteben. Ha letezik forrass}ur}useg, akkor barmely r0 {ra zsugorodo normal terresz{sorozatra ugyanannyi lesz a forrass}ur}useg denciojaban szerepl}o hatarertek, tehat tekinthetunk egy koordinatatengelyekkel parhuza21 mos el}u teglalapokbol allo (Vk ) terresz sorozatot, ahol Vk = f(x y) : ak x bk ck y dk g ak x0 bk ck es lim (b ; ak ) = lim (d ; c ) = 0 : k k k k k y0 dk Felhasznalva a 2.2 Pelda eredmenyet, a v(x y) = (f (x) 0) fuggveny eseten Z s(v)

r0 = klim jV1 j  v df = klim (b ; a )(1 d ; c )  (f (bk ) ; f (ak ))(dk ; ck ) = k F k k k k = lim f (bk ) ; f (ak ) = f (x ) : !1 !1 k k !1 Tovabba, ugyangy a w(x y) = (f (y) 0) eseten 0 bk ; ak 0 Z 1 s(w) r0 = klim jV j  w df = 0 k F hiszen a 2.2 Pelda alapjan w !uxusa mnden Fk {ra nulla w r0 {beli forrass}ur}usege tehat nulla, amint az varhato is abbol, hogy w er}ovonalai mindket iranyban vegtelenek, gy w{nek nincs sehol forrasa. (Hol hasznaltuk azt a feltetelt, hogy r0 valamely kornyezeteben f folytonosan derivalhato? A valaszhoz lasd a 2.14 (1) feladatot) Termeszetesen a forrass}ur}useg orokli a !uxusnak azt a tulajdonsagat, hogy csak a vektorfuggveny, azaz az er}ovonalak iranyaba es}o nagysagvaltozasra erzekeny, az erre mer}oleges nagysagvaltozasra nem. Ezt tukrozi eredmenyunk, melynek alapjan az sejthet}o, hogy a forrass}ur}usegbe a vektorfuggveny els}o komponensenek csak x{t}ol mg (nyilvan

szimmetriaokokbol) masodik komponensenek csak y{tol valo fuggese szol bele meghozza a megfelel}o valtozo szerinti derivalton keresztul. Kezenfekv}o arra gondolni, hogy az operacio, mely ezt az eredmenyt szolgaltatja a megfelel}o valtozo szerinti parcialis derivalas, vagyis ha v1 = (f (x y) 0) v2 = (0 g(x y) !1 k akkor { egy olyan nylt halmazon ahol f es g folytonosan derivalhatoak { @g : es s(v2 ) = @y s(v1 ) = @f @x Nos, a peldaban kovetett eljarashoz teljesen hasonloan ez tenyleg konnyen megmutathato (lasd a 2.14 (1) feladatot), gy a skbeli altalanos esetben, ha v = v1 + v2 = (f (x y) g(x y)) akkor { felhasznalva, hogy mind az integral, mind pedig a hatarertek linearis operacio { @g : s(v) = @f + @x @y Erre az osszefuggesre alabb meg visszaterunk, most azonban a masik integral vizsgalatat kezdjuk el. 22 2.3 Vonalmenti integral Az aramlasi ter eseten a vektorfuggveny egy iranytott s}ur}useg es a

vonalmenti integral ezen s}ur}useg erint}ore es}o vetuletenek az integralja, a vonalmenti integral tehat egy egysegnyi keresztmetszet}u, az 1 )m = adott iranytott gorbevel, mint hossztengellyel adott cs}oben lev}o anyag osszimpulzusa (pl. ( mkg2 sec 1 m = m2 (kg  sec ){ban), azaz annak mer}oszama, hogy ha a csovon kvul az anyag aramlasat megszuntetnenk, akkor a cs}oben milyen iranyban (el}ore vagy hatra) es milyen sebesseggel mozogna az anyag. Peldaul nyilvanvaloan egy olyan egyenes szakasz, mint gorbe eseten, mely menten az aramlas iranya allando, ha a szakasz mer}oleges az aramlas iranyara, akkor az integral nulla es az integral akkor maximalis, ha a szakasz parhuzamos az aramlas iranyaval. A fentiekb}ol kovetkez}oen zart gorbe eseten a gorbementi integral eppen { el}ojelt}ol fugg}oen { a gorbe iranyaban es azzal ellentetesen egy egysegnyi keresztmetszet}u cs}oben aramlo anyag impulzusainak kulonbsege es

azt mutatja, hogy az aramlast kornyezetet}ol elkulontve es magara hagyva milyen iranyu es sebesseg}u keringest vegez a gorbe menten az anyag. (1) Homogen nagysagu er}oter: Z L Z L v dr > 0 Z L v dr = 0 Z L (2) Homogen iranyu er}oter: v dr > 0 Z L v dr = 0 Z L v dr < 0 v dr < 0 Analog modon grakus szemleltetes eseten a gorbementi integral azt meri, hogy a gorbe menten mozogva mekkora utat tettunk meg milyen s}ur}u er}ovonalak menten azok iranyaban es ellenkez}o iranyban. 2.7 Dencio Egy v vektorfuggvenynek az L gorben vett vonalmenti integralja v{nek L{re vonatkozo (L{re szamtott) cirkulacioja (orvenylese). Az eddig elmondottak azt mutatjak es a peldak azt illusztraljak, hogy a cirkulacio homogen nagysagu vektorfuggveny eseten annak iranyvaltoztatasaval, azaz az er}ovonalak gorbultsegevel kapcsolatos. Lenyeges azonban, hogy homogen iranyu er}oternek (melyben az er}ovonalak nem

gorbulnek) is lehet nem nulla cirkulacioja. Ennek oka, hogy { szabadon fogalmazva { a cirkulacio a !uxusnak a vektorter iranyara vonatkozo dualisa, vagyis pontosan fordtva viselkedik mint a !uxus: az er}ovonalak iranyaba es}o nagysagvaltozasra nem erzekeny, de az erre mer}oleges nagysagvaltozasra igen. Az azonban igaz, hogy homogen nagysagu er}oter eseten a cirkulacio akkor es csakis akkor nulla, ha az er}ovonalak nem gorbulnek, vagyis ilyenkor a cirkulacio valoban meri a vektorfuggveny iranyvaltoztatasat, azaz az er}ovonalak gorbultseget. 2.8 Pelda A 22 Peldaban szerepl}o vektorfuggvenyek cirkulaciojanak kiszamtasa az ott denialt V terresz hatarara, mint egy, a V {b}ol nezve pozitvan iranytott L gorbere vonatkozoan. 23 A gorbe iranytasanak dencioja szerint (lasd az 1.13 (c) denciot) az L = ;F gorbe lesz pozitvan iranytott. Legyen Li = ;Fi 1 i 4 Normaltartomanyok hatarain az integral

additv (az 126 (15) (b) vagy az 1.26 (17) feladat eredmenye az 124 Megjegyzes miatt alkalmazhato a vonalmenti integralokra is), gy azt kapjuk, hogy Z L Z v dr = Z v dr ; L1 L2 v dr + Z L3 v dr ; Z L4 v dr (1) v(x y) = (f (x) 0) x 2 a b] y 2 c d] L1 d L3 - L4 c - L2 a b Mivel v{nek csak x iranyu komponense van, gy mindenutt mer}oleges L3 es L4 erint}oire, tehat Z L3 v dr = Valoban, peldaul r3 (y) = (0 1) , gy 0 Z L3 =; Zb a Z v dr = Z L4 v dr = 0 : v dr = ; F3 ; Z F3 (f (x) 0)  (0 1) dx = ; v dr = Zb a 0 dx = 0 : Masreszt, r1 (x) = (x d) a x b , tehat v(r1 (x)) = (f (x) 0) es r1 (x) = (1 0) , gy Z =; Zb a L1 v dr = 0 Z L2 Z L v dr = F1 Z L1 v dr ; Z L2 v dr = ; ; v(r1 (x))  r1 dx = ; es teljesen hasonloan tehat Z Zb a Z L3 Z F1 v dr = (f (x) 0)  (1 0) dx = ; v dr = ; v dr + 0 Zb a a f (x) dx f (x) dx v dr ; 24 Zb Z L4 v dr = Z L1 v dr ; Z L2 v dr = =; Zb f (x) dx

; (; a Zb a f (x) dx) = 0 : Ez az eredmeny egybevag szemleletunkkel, hiszen a gorbe menten mozogva ugyanakkora utat tettunk meg azonos s}ur}useg}u er}ovonalak menten az er}ovonalak iranyaban (;L2 {n), mint ellenkez}o iranyban (L1 {en), hiszen { mivel v csak x{t}ol fugg, az er}ovonalak s}ur}usege azonos L2{n es L1 {en, nevezetesen jv(x y)j = f (x) minden x 2 a b] eseten. (2) w(x y) = (f (y) 0) x 2 a b] y 2 c d] w{re is igaz, hogy csak x iranyu komponense van, gy L1 d L3 - L4 c - L2 a b mindenutt mer}oleges L3 es L4 erint}oire, azaz Z L3 w dr = Z L4 w dr = 0 : A ket masik integralt szinten az el}oz}o esettel analog modon szamthatjuk. Z L1 =; Zb a w dr = Z F1 ; w dr = ; (f (d) 0)  (1 0) dx = ; Z F1 Zb a w dr = ; Zb a f (d) dx = ;f (d) es persze ugyanilyen modon kapjuk azt is, hogy Z tehat vegul L2 Z L w dr = Z L1 w dr ; Z L2 w(r1 (x))  r1 dx = 0 Zb dx = ;f (d)(b ; a) a w dr = ;f (c)(b ; a) w dr + Z

L3 w dr ; Z L4 w dr = Z L1 w dr ; Z L2 w dr = = ;f (d)(b ; a) ; (;f (c)(b ; a)) = (f (c) ; f (d))(b ; a) < 0 : Nos, az (1) esethez hasonloan ez az eredmeny is varhato volt, mert bejarva a gorbet nagyobb s}ur}useg}u er}ovonalak menten mozgunk az er}ovonalakkal ellentetes iranyban (L1 menten, ahol az er}ovonalak s}ur}usege jv(x y)j = f (d)) , mint veluk azonos iranyban (;L2 menten, ahol az er}ovonalak s}ur}usege jv(x y)j = = f (c) < f (d)) , mindket esetben ugyanolyan hosszu utat teve meg. A pelda illusztralja azt a fent mar emltett tenyt is, hogy a cirkulacio az er}ovonalak iranyaba es}o nagysagvaltozasra nem erzekeny, de az erre mer}oleges nagysagvaltozasra igen. 25 Arrol, hogy a cirkulaciobol mint globalis fogalombol hogyan szarmaztathato a derivalas analogiajara egy lokalis fogalom mutatis mutandis (megvaltoztatva a megvaltoztatandokat) lenyegeben ugyanazokat mondhatjuk el, mint a !uxus eseten. Ket fontos

kulonbseg azonban van Az egyik, hogy a haromdimenzios terben a keringesnek, melyet a cirkulacio mer nemcsak iranya es nagysaga, hanem tengelye is van, azon gorbe skjanak normalisa (ha van ilyen sk), melyen a cirkulaciot szamtjuk. Egy pont kornyezeteben azonban a kulonboz}o skokba es}o orvenyles nagymertekben kulonbozhet Peldaul a v(x y z ) = (f (y) 0 0) fuggveny eseten nyilvan annak alapjan, amit a 28 Peldaban lattunk, az xy] skkal parhuzamos skokban fekv}o gorbek eseten a cirkulacio sohasem nulla, de nyilvan az xz] skkal parhuzanos skokban (amelyek mindegyikeben v egy-egy homogen skvektorternek tekinthet}o, hiszen ezen skokban a fuggveny allando) a cirkulacio nulla. Kovetkezeskepp, a cirkulacio pontonkenti valtozatanak is, ami nyilvan aramlasi ter eseten az anyag adott pontbeli orvenyleset meri, van tengelye, tehat nem lehet csupan egy skalar, hanem olyan vektornak kell lennie,

melynek egyenese az orvenyles tengelyet, iranya annak (jobbcsavar szerinti) iranyat, nagysaga pedig er}osseget adja meg. A masik kulonbseg a forrass}ur}useg es a cirkulacio pontonkenti valtozata kozott az, hogy az orvenyles, mint valmely tengely koruli elfordulas, alapvet}oen ketdimenzios fogalom. Valoban, a tiszta orvenyles egy skbeli elforgatas. A terbeli tengelykoruli forgatas is egy, a tengelyre mer}oleges (tehat az osszes vektorra kozos) skban valo elforgatas, es a valodi terbeli orvenyles, mint pl. valamely csavarvonal menten valo mozgas sem mas mint egy skbeli elforgatas es egy ra mer}oleges tengely menten valo eltolas kompozicioja. Tehat az elforgatas ketdimenzios fogalmanak nincs termeszetes haromdimenzios altalanostasa. Kovetkezeskepp a cirkulacio pontonkenti valtozatat alapvet}oen csak a ketdimenzios esetre denialjuk, a haromdimenzios valtozatot erre visszavezetve ertelmezzuk

annak alapjan, hogy az orvenys}ur}useg linearis operacio es egy haromdimenzios vektorfuggveny orvenys}ur}usegenek barmely koordinatatengely iranyaba es}o komponenset csak a fuggvenynek erre a koordinatatengelyre mer}oleges koordinataskjaba es}o vetuletenek, mint egy ketdimenzios vektorfuggvenynek orvenys}ur}usege hatarozza meg (hiszen a harmadik, a skra mer}oleges tengelybe es}o komponens nem szol bele egyetlen a skba es}o gorbere vett gorbementi integralba sem). (Tovabba az egyszer}useg kedveert haromdimenzioban az orvenys}ur}useget csak folytonossagi pontokban ertelmezzuk es ertekeinek csak veges mennyisegeket engedunk meg.) Magasabb dimenzioban egyaltalaban nem vizsgaljuk a fogalmat 2.9 Dencio Legyen r0 2 G  R2 tetsz}oleges nylt halmaz, v : G ! R2 folytonos G n fr0 g{on. Ha az (Fk ) r0 {ra zsugorodo R2 {beli normal terreszek tetsz}oleges olyan sorozatara, melyre minden k 2 N eseten Fk  G hatara a

pozitvan iranytott Lk gorbe, a 1  Z v dr lim k jF j !1 k Lk (veges vagy vegtelen) hatarertek letezik es ugyanaz, akkor ezt a mennyiseget v r0 {beli orvenys}ur}usegenek nevezzuk. Azt a fuggvenyt, mely megadja v orvenys}ur}useget minden olyan pontban, ahol letezik es veges, c(v){vel jeloljuk. 2.10 Dencio Legyen G  R3 tetsz}oleges nylt halmaz, v : G ! R3 v = (v1 v2 v3 ) folytonos es legyen e = (e1 e2 e3) R3 szokasos bazisa. Az en es em (n m = 1 2 3 n 6= m) vektorok altal kifesztett koordinataskkal parhuzamos S skban a koordinataskba es}o v = vn en + vm em ketdimenzios vektorfuggveny (S {ben a harmadik valtozo konstans) C (v ) orvenys}ur}useg vektora az a w vektor, mely mer}oleges S {re, hossza a v fuggveny (mint az en es em altal generalt ketdimenzios linearis terbeli vektorfuggveny) c orvenys}ur}usegenek abszolut erteke, iranya pedig olyan, hogy az en em sign c  w jobbsodrasu rendszert alkotnak. A

c(v) = C (v2 v3 ) + C (v3 v1 ) + C (v1 v2 ) fuggvenyt v orvenys}ur}usegenek nevezzuk. 2.11 Pelda A 22 Peldaban szerepl}o vektorfuggvenyek r0 = (x0 y0) pontbeli orvenys}ur}usegenek 0 0 0 0 0 meghatarozasa. Termeszetesen eljarasunk a 2.2 Peldaban alkalmazottal analog Ha letezik forrass}ur}useg, akkor barmely r0 {ra zsugorodo normal terresz{sorozatra ugyanannyi lesz a dencioban szerepl}o hatarertek, tehat tekinthetunk egy koordinatatengelyekkel parhuzamos el}u teglalapokbol allo (Fk ) terresz sorozatot, ahol 26 es Fk = f(x y) : ak x bk ck y dk g ak x0 bk ck y0 dk lim (b ; ak ) = lim (d ; c ) = 0 : k k k k k Felhasznalva a 2.2 Pelda eredmenyet, a v(x y) = (f (x) 0) fuggveny eseten nyilvan Z c(v) = lim 1  v dr = 0 r0 k !1 jFk j Lk vagyis az r0 {beli cirkulacios}ur}useg, ha letezik, akkor nulla es persze ugyangy a w(x y) = (f (y) 0) fuggveny eset Z en 1 c(w) r0 = klim jF j  w df = klim (b ; a )(1 d ; c ) 

(f (ck ) ; f (dk ))(bk ; ak ) = k L k k k k = lim f (ck ) ; f (dk ) = ;f (y ) !1 !1 k k !1 dk ; ck 0 0 (felteve, hogy f folytonosan derivalhato r0 valamely kornyezeteben). Ahogy eljarasunk es eredmenyeink is mutatjak, nyilvan a 2.6 Pelda utani, a forrass}ur}useggel kapcsolatos megjegyzes analogonja igaz a cirkulacios}ur}usegre. Az ott elmondottak szellemeben abbol kovetkez}oen hogy { amint azt a pelda is illusztalja { termeszetesen a cirkulacios}ur}useg orokli a cirkulacio azon tulajdonsagat, hogy az er}ovonalak iranyaba es}o nagysagvaltozasra nem, csak az erre mer}oleges nagysagvaltozasra erzekeny, konnyen megjosolhato a v1 = (f (x y) 0) v2 = (0 g(x y)) es alaku vektorfuggvenyek cirkulacios}ur}usege. Valoban, annak alapjan, hogy v1 cirkulacios}ur}useget (negatv el}ojellel) csak y{tol valo fuggese, v2 {et pedig csak x{t}ol valo fuggese befolyasolja, azt varjuk (ami a 2.14 (1) peldaban alkalmazott

eljarassal analog modon valoban bizonythato is), hogy egy olyan nylt halmazon ahol f es g folytonosan derivalhatoak @f @g : es c(v1 ) = ; @y c(v2 ) = @x Arrol is konnyen meggy}ozhetjuk magunkat, hogy a fenti osszefuggesekben az el}ojelek is helyesek, hiszen, ahogy abrank is illusztralja, egy pozit v, noveked}o f fuggveny eseten az (f (y) 0) cirkulacioja negat v, mg a (0 f (x)) cirkulacioja pozit v, hiszen az el}obbi az oramutato jarasaval megegyez}o iranyu, mg az utobbi azzal ellenkez}o orvenylest idez el}o. Ez nem is meglep}o, hiszen a ket fuggveny egymas tukorkepei az y = x egyenesre vonatkozoan, egymasbol az x es y tengelyek felcserelesvel jonnek letre, a tukrozes pedig megfordtja a koruljarast. (Helyezznk egy tukrot az abrakon az y = x egyenesre a lap skjara mer}olegesen es a tukorben a masik abrat kapjuk meg.) Nos, a fentiek alapjan { felhasznalva, hogy mind az integral, mind pedig a

hatarertek linearis homogen operacio { megadhatunk egy, a a skbeli altalanos esetre vonatkozo alltast, melybe belefoglaljuk a 2.6 Pelda utan megfogalmazott, a forrass}ur}usegre vonatkozo gondolatmenetunk eredmenyet is: 27 2.12 A lltas Ha a sk egy nylt reszhalmazan letezik a v vektorfuggveny forrass}ur}usege, f es g itt folytonosan derivalhato fuggvenyek es v = (f (x y) g(x y)) akkor itt @g s(v) = @f @x + @y es @g ; @f : c(v) = @x @y A kovetkez}o fejezetben ezt az alltast lenyegesen er}osebb formaban, a forrass}ur}useg letezesere vonatkozo elegseges feltetellel kiegesztve fogjuk bizonytani. A fent denialt ket lokalis, egy-egy pontot jellemz}o fogalmat, a forras{ ill. orvenys}ur}useget globalis valtozatukbol a !uxus ill. orvenyles fogalmabol vezettuk le Termeszetesen merul fel a kerdes, hogyan fordthato meg ez a viszony, megkaphatoak-e a globalis fogalmak a lokalisakbol, es ha igen

hogyan. A kerdesre adott valasz ket kulonboz}o informalis gondolatmenettel is megsejthet}o. Egyreszt, mivel a lokalis fogalmakat az egyvaltozos fuggvenyek derivaltjanak analogiajara mintegy "terfogati derivalt"{kent vezettuk be, az analogiat folytatva, azt varhatjuk, hogy a megfordtas a terfogati integralas lesz. Masreszt, mivel a szemleletes jelentesukkel kapcsolatban elmondottak alapjan mindket fent denialt lokalis fogalom, a forrass}ur}useg es orvenys}ur}useg is valoban s}ur}useg{jelleg}u fogalom, nyilvanvaloan adodik a kovetkeztetes, hogy egyfel}ol egy adott terresz kifelele iranytott hatarfeluletere vonatkozo !uxus, mint a felulet altal bezart terreszen beluli teljes anyag{ ill. er}ovonalvaltozas nem mas, mint az ezen mennyiseg pontonkenti valtozasanak, azaz valtozas{s}ur}usegenek (es ez eppen a forrass}ur}useg) integralja erre a terreszre masfel}ol a cirkulaciora nyilvanvaloan az

ezzel analog alltas igaz. Fogalmazzuk meg tehat sejtesunket. 2.13 Sejtes (1) Legyen G  Rn nylt es v : G ! Rn tetsz}oleges. Ha a V  G n{dimenzios normal terresz hatara az F kifele iranytott valodi felulet es V {n letezik a folytonos s(v) forrass}ur}useg, akkor Z F Z v df = V s(v) dV : (2) Legyen G  R2 nylt es v : G ! R2 tetsz}oleges. Ha az F  H ketdimenzios normal terresz hatara az L pozitvan iranytott gorbe es F {en letezik a folytonos c(v) orvenys}ur}useg, akkor Z L v dr = Z F c(v) dV Nos, a kovetkez}o fejezetet fenti sejtesunk helyessegenek igazolasaval fogjuk kezdeni. A bizonytas a vektoranalzis ket kozponti tetelehez es a 2.12 A lltas egy er}osebb valtozatahoz vezet majd Miel}ott azonban raternenk erre, egy lenyeges altalanos megjegyzest kell tennunk. Viszszatekintve a fejezetben targyalt fogalmakra, nem lehet nem eszrevenni, hogy egy sajatos kett}osseg ervenyesul minden

dencioban, peldaban, alltasban: valamilyen ertelemben mindegyiknek van egy-egy megfelel}oje. Ennek oka az, hogy a ket integraltpus, tovabba azon fogalmak, melyeket ezek segtsegevel denialtunk egy specialis, a szimmetriahoz hasonlo viszonyban un. dualitasban vannak egymassal, dualisai egymasnak A dualitas azt jelenti, hogy a fogalmakbol, melyek kozott fennall, letrehozhato egy olyan parostas, hogy letezzen egy vagy tobb igaz alltas, melyekben kicserelve az osszes a parostasban szerepl}o fogalmat a parjara, (esetleg a lenyeget nem erint}o kis valtoztatas utan) ujra igaz alltast kapjunk. (Ez utobbit alltast az eredeti alltas dualisanak szoktuk nevezni.) Peldaul a skgeometriaban ilyen dualitas all fenn a "pont" es az "egyenes" kozott a ket (nem azonos) pont egyertelm}uen meghataroz egy egyenest alltasra vonatkozolag, hiszen a dualis alltas, mely szerint ket (nem

parhuzamos) egyenes egyertelm}uen meghataroz egy pontot is igaz. Hasonloan, a logikaban a "vagy"{"es" logikai konnektvumpar es a "hamis"{"igaz" jelz}opar is ilyen viszonyban vannak. Valoban, mindket alabbi mondat igaz: p es nem p mindig hamis es p vagy nem p mindig igaz 28 Vegul meg egy pelda az elektromos halozatok elmeleteb}ol, ahol dualis fogalom-parok a kovetkez}ok: soros{ parhuzamos, rovidzar{szakadas, aram{feszultseg, tekercs{kondenzator. Valoban egyszerre igaz peldaul az, hogy rovidzaron es}o feszultseg nulla es az, hogy szakadason atfolyo aram nulla, vagy, hogy feszultsegen lev}o kondenzator rovidzarasakor vegtelen aram folyik es aram altal atfolyt tekercs megszak tasakor vegtelen feszultseg indukalodik. Nos, a bekezdes elejen emltett kett}osseget pontosabban ugy lehet lerni, hogy a vonalmenti integral{ feluletmenti integral, !uxus{cirkulacio,

forrass}ur}useg{orvenys}ur}useg fogalomparok elemei tobb lenyeges osszefuggesben dualisai egymasnak. Ezekhez tovabbi targyalasunk soran meg egy dualis fogalompar fog tarsulni. Miutan a vektorfuggvenyeket jellemz}o osszes lenyeges alapfogalmat denialtuk es megismerkedtunk ezek szemleletes jelentesevel, a kvetkez}o fejezetben reszletesen megvizsgljuk tulajdonsagaikat es egymskozti viszonyukat. Mindezt a skban fogjuk vegrehajtani (ahogy sejtesunket is erre vonatkoztatva fogalmaztuk meg), itt ugyanis minden technikailag sokkal egyszer}ubb, mint az altalanos esetben, jol kovethet}o, szemleltethet}o es illusztralhato, ugyanakkor a sk a lenyeget tekintve nem kulonbozik az altalanos esett}ol. Ez utobbit roviden a kovetkez}o utani fejezetben foglaljuk ossze. 2.14 Feladatok (1) Bizonytsuk be, hogy ha a sk egy nylt reszhalmazan letezik a v = (f (x y) 0) vektorfuggveny forrass}ur}usege es f itt folytonosan

derivalhato fuggveny, akkor itt s(v) = @f @x : (2) (a) Keressunk a felsoroltakon kvul mas peldakat dualitasra! (b) Mutassunk az ebben a fejezetben vizsgalt fogalmakra vonatkozo dualis alltas{parokat! 29 3. Skvektoranalzis Ebben a fejezetben kizarolag a s kra, azaz R2 {re szor tkozva vizsgaljuk az el}oz}o fejezetben denialt fogalmainkat es azok osszefuggeseit (tehat ha semmi egyebet nem mondunk, akkor skalarfuggvenyen mindig valamely ketvaltozos fuggvenyt, azaz a sk egy reszhalmazan ertelmezett valosertek}u fuggvenyt, mg vektorfuggvenyen egy v : H ! R2 H  R2 fuggvenyt, azaz a sk egy reszhalmazan ertelmezett es a skba kepez}o fuggvenyt ertunk). Az el}oz}o fejezet 212 A lltasaban megjelen}o mennyisegeket megvizsgalva eljutunk a vektoranalzs ket kozponti fogalmahoz a divergenciahoz es rotaciohoz, melyek a vektorfuggvenyt jellemz}o eddig denialt fogalmak es a derivaltoperator kapcsolatat

rjak le, tovabba megfogalmazzuk az ezeket jellemz}o ket fundamentalis tetelt, a vektoranalzis un. integral{ (vagy integralatalakto) teteleit, a Gauss-Osztrogradszkij es a Stokes tetelt. Ezt kovet}oen az mutatjuk meg, hogyan lehet a divergenciat es a rotaciot kiszamtani, megvizsgalunk ket alapvet}o zikai alkalmazast es kiterunk az integraltetelek nehany kovetkezmenyere. Vegul a primitv fuggveny fogalmat es a primitv fuggvenynek az eredeti fuggvennyel valo kapcsolatat lero osszefuggest altalanostjuk vektorfuggvenyekre. 3.1 Divergencia 3.11 A derivaltoperator skalarinvariansa A 2.12 A lltasban felbukkano a forras{ ill orvenys}ur}useget megado kifejezesek a derivaltoperatort jellemz}o nevezetes mennyisegek. Ebben a pontban az els}ovel foglalkozunk, mely a derivaltoperator szokasos bazisbeli matrixanak f}oatlojaban lev}o elemek osszege. 3.1 A lltas Linaris transzformacio matrixaban a

f}oatlo elemeinek osszege fuggetlen a bazistol. BIZONYITAS. Csak a ketdimenzios esetet vizsgaljuk, az altalanos eset analog Legyen e es f R2 ket bazisa, A 2 L(R2 ! R2) es       A e = aa1121 aa1222 T fe = xx1121 xx1222 T ef = yy1121 yy1222 : (T ef es T fe az e{r}ol az f {re ill. az f {r}ol az e{re valo atteres matrixai) A f = T fe  A f  T ef gy A f f}oatlobeli elemeinek osszege: sf = a11 (x11 y11 + x12 y21 ) + a12 (x21 y11 + x22 y21 ) + a21 (x11 y12 + x12 y22 ) + a22 (x21 y12 + x22 y22 ) : Masreszt mivel T fe  T ef = I ahol I az egysegmatrix, gy x11 y11 + x12 y21 = x21 y12 + x22 y22 = 1 es x21 y11 + x22 y21 = x11 y12 + x12 y22 = 0 tehat sf = a11 + a22 : 3.2 Dencio Linearis transzformacio matrixaban a f}oatlobeli elemek osszeget a transzformacio skalarinvariansanak nevezzuk. 30 3.3 Dencio A v : H ! Rn n  1 egesz, H  Rn derivalhato vektorfuggveny derivaltoperatoranak skalarinvariansat v

divergenciajanak nevezzuk es div v{vel jeloljuk, tehat specialisan ketdimenzios esetben, ha H  R2 es v : H ! R2 derivalhato vektorfuggveny, melynek komponensei v1 es v2 , azaz v = (v1 v2 ) akkor 1 + @v2 : div v = @v @x @y 3.12 Divergencia es uxus, divergencia es forrass}ur}useg A divergencia fogalmanak segtsegevel hozzafoghatunk a 2.13 Sejtes bizonytasahoz Ez a sejtes felfoghato ugy, mint egy, a feluletmenti es terfogati integralok kozotti osszefuggest megado alltas. Bizonytasahoz el}oszor normaltartomanyok eseten vizsgaljuk meg a feluleti es terfogati integral kozotti kapcsolatot. 3.4 Lemma Legyen V tetsz}oleges ketdimenzios terresz, melynek hatara a kifele irany tott F valodi felulet es h tetsz}oleges V {n folytonosan derivalhato ketvaltozos fuggveny. (1) Ha V az x tengelyre vonatkoztatva regularis normaltartomany, akkor Z Z (0 h) df = @h dV F V @y (2) Ha V az y tengelyre vonatkoztatva regularis normaltartomany,

akkor Z Z (h 0) df = @h dV F V @x BIZONYITAS. Csak (1){et bizonytjuk, nyilvan (2) teljesen analog A regularis normaltartomanynak az 1.25 (1) dencioban megadott meghatarozasa szerint vannak olyan a b 2 R a < b szamok es f g 2 C 1 a b] fuggenyek, hogy f (x) < g(x) minden x 2 (a b) eseten es V = f(x y) : a x b g(x) y f (x)g : F1 f(x) - F4 F 3 g(x) - F2 a Legyenek F1 F2 F3 F4 az az az az b r1 (x) = (x f (x)) x 2 a b] , r2 (x) = (x g(x)) x 2 a b] , r3 (x) = (a y) y 2 g(a) f (a)] es r4 (x) = (b y) y 2 g(b) f (b)] 31 altal denialt egydimenzios feluletek, tovabba legyen F V kifele iranytott hatara. (F3 {at es F4 {et termeszetesen csak akkor denialjuk ha g(a) < f (a) ill. g(b) < f (b) :) A szokasos modon az integralnak a normaltartomanyok hatarain valo additvitasat hasznalva (lasd az 1.26 (15) (b) vagy az 126 (17) feladatot) adodik, hogy Z F (0 h) df = Z F1 (0 h) df ; Z F2 (0 h) df + Z F3 (0 h) df ; Z

F4 (0 h) df ahol g(a) = f (a) eseten a harmadik, g(b) = f (b)) eseten a negyedik tag hianyzik. (F2 es F4 azert szerepelnek negatv el}ojellel, mert ;F2 es ;F4 vannak V {b}ol kifele iranytva, ami szemleletesen is jol lathato, hiszen peldaul (ahol letezik) r2 (x) = (1 g (x)) miatt a terresz "also" hataranak, ;F2 {nek iranytasa ;CROSS(r2 ) = ;(;g (x) 1) , aminek masodik koponense { leven negatv { az also felskba, tehat a terreszb}ol valoban kifele mutat.) (0 h){nak csak y iranyu komponense van, gy mindenutt mer}oleges F3 es F4 normalisaira, tehat 0 0 0 0 Z F3 v df = Z v df = 0 : F4 (Valoban, peldaul r3 (x) = (0 1) , gy CROSS(r3 ) = (;1 0) amivel 0 0 Z F3 v df = Z f (a) g(a) (0 h(a y))  (;1 0) dy = Z f (a) g(a) 0 dy = 0 :) Ami a masik ket integralt illeti, a feluletmenti integral denciojat alkalmazva konnyen kiszamthatoak. Felhasznalva, hogy r1 (x) = (1 f (x)) tehat CROSS(r1 ) = (;f (x) 1)

az els}o integralra a kovetkez}o adodik: 0 0 Z F1 Zb = a 0 (0 h) df = 0 (0 h(x f (x)))  (;f (x) 1) dx = Z F2 Zb a (0 h(x f (x)))  CROSS(r1 ) dx = a 0 Ugyangy a masodik integral: = Zb 0 (0 h) df = Zb a Zb a h(x f (x)) dx : (0 h(x g(x)))  CROSS(r2 ) dx = 0 (0 h(x g(x)))  (;g (x) 1) dx = 0 Zb a h(x g(x)) dx : Mindezekb}ol (felhasznalva h folytonos derivalhatosagat) a Newton-Lebniz formula es a kett}os integralnak ketszeres integralla valo atalaktasara vonatkozo osszefugges segtsegevel azt kapjuk, hogy Z F (0 h) df = = Zb a Z F1 (0 h) df ; Z F2 Zb (0 h) df = (h(x f (x)) ; h(x g(x))) dx = a h(x f (x)) dx ; Z b Z f (x) ( a g(x) Zb a h(x g(x) dx = Z @h hy (x y) dy) dx = @y dV : V A most bizonytott osszefugges segtsegevel bebizonythatjuk a vektoranalzis egyik kozponti tetelet, mely a divergencia es a !uxus viszonyat rja le: 3.5 Tetel ((Skbeli) Gauss-Osztrogradszkij tetel) Ha V

ketdimenzios normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott valodi felulet, V  H  R2 es v : H ! R2 tetsz}oleges V {n folytonosan derivalhato vektorfuggveny, akkor Z F v df = Z V 32 div v dV A V normal terresz lefedhet}o a V1 V2 : : : Vn normaltartomanyokkal az 1.25 Dencioban szerepl}o modon, tehat a ketszeres integral additivitasa miatt: BIZONYITAS. Z (1) V div v dV = Minden Vi {re alkalmazhato a 3.4 Lemma, azaz (2) minden 1 i n{re fennall, hogy Z Fi v df = Z Fi (v1 0) df + Z Fi n Z X i=1 Vi (0 v2 ) df = div v dV . Z @v1 @v2 Z ( + ) dV = @x Vi @y Vi div v dV ahol Fi Vi kifele iranytott hatara. Felhasznalva a feluletmenti integralnak a normaltartomanyok hatarain valo additivitasat (lasd peldaul az 1.26 (17) feladatot) kapjuk, hogy Z (3) Fi v df = n(i) Z X j =1 Fij v df minden 1 i n{re, ahol Fi1 Fi2 : : : Fin(i) a Vi {t hatarolo kifele iranytott koordinatafeluletek. (1), (2) es (3){bol (4) Z

V div v dV = n Z X i=1 Fi v df = n(i) Z n X X i=1 j =1 Fij v df = m Z X k=1 Gk v df ahol G1 G2 : : : Gm F {nek V {b}ol kifele iranytott kooordinatafeluletekb}ol allo lefedese, hiszen az 1.25 Dencio alapjan azon Fij {n vett integralok, melyek nem esnek F {re, ketszer ellenkez}o el}ojellel szerepelnek a fenti osszegben es gy kiesnek, a tobbiek pedig kifele iranytva lefedik F {et. Tehat a feluletmenti integralnak a normal terreszek hatarain valo additivitasat felhasznalva (1.26 (15)(b) feladat): Z V div v dV = es ez az, amit bizonytani akartunk. m Z X k=1 Gk v df = Z F v df Mivel normal terresz hataranak nem kell okvetlenul feluletnek lennie, lehet eppen veges sok felulet egyestese is (peldauk a korgy}ur}u ilyen), a a fenti bizonytas arnyalatnyi modostasaval a fenti tetelnek egy altalanosabb alakjat nyerhetjuk: 3.6 Tetel (A ltalanostott (skbeli) Gauss-Osztrogradszkij tetel) Ha V ketdimenzios

normal terresz es a kifele irany tott G1 G2 : : : Gn paronkent diszjunkt zart valodi feluletek V hataranak egy lefedeset alkotjak, tovabba V  H  R2 es v : H ! R2 tetsz}oleges V {n folytonosan derivalhato vektorfuggveny, akkor n Z X BIZONYITAS. tehat (4*) i=1 Gi v df = Z V div v dV A bizonytas megegyezik a Gauss-Osztogradszkij tetel fenti bizonytasaval egeszen (4){ig, Z V div v dV = m Z X k=1 Fk v df ahol F1 F2 : : : Fm V hataranak V {b}ol kifele iranytott kooordinatafeluletekb}ol valo lefedese. Az 1.26 (15)(a) feladat alapjan F1 F2 : : : Fm {bol kivalaszthato Gi egy lefedese az osszes 1 i m eseten. Minden ilyen lefedesben kulonboz}o elemek szerepelnek, hiszen a lefedett halmazok diszjunktak, tehat feltehet}o, hogy F1 F2 : : : Fm ugy van felsorolva, hogy G1 lefedese F1 F2 : : : Fm1 , G2 lefedese Fm1 +1 Fm1 +2 : : : Fm1 +m2 esgy tovabb, vegul Gn lefedese Fm m Fm m +1 : : : Fm , tehat a szokasos modon a feluletmenti

integralnak a normal terreszek hatarain valo additivitasat felhasznalva (1.26 (15)(b) feladat): ; m Z X k=1 Fk v df = 33 n Z X i=1 Gi v df k ; k amib}ol (4*){gal adodik a bizonytando alltas. A Gauss-Osztrogradszkij tetel tulajdonkeppen a divergencia es a forrass}ur}useg kozti viszony lerasanak un. integralis alakja Ebb}ol az integral tulajdonsagainak felhasznalasaval megkapjuk a fenti viszony lerasanak dierencialis alakjat, mely azon kvul, hogy igazolja a 212 A lltasban szerepl}o, a forrass}ur}useget megado formula helyesseget, elegseges feltetel is ad a forrass}ur}useg letezesere: 3.7 Kovetkezmeny (Divergencia = forrass}ur}useg) Legyen G  R2 ny lt es v : G ! R2 tetsz}oleges G{n folytonosan derivalhato vektorfuggveny. Ekkor G{n letezik v{nek s(v) forrass}ur}usege es fennall, hogy s(v) = div v . Az integral tulajdonsagaibol kovetkezik az alabbi egyszer}u teny : Ha G  R2 nylt, w G{n folytonos

ketvaltozos fuggveny, r0 2 G es (Vk ) r0 {ra zsugorodo normal terreszek tetsz}oleges olyan sorozata, melyre minden k 2 N eseten Vk  G , akkor Z lim 1  w dV = w(r ) : BIZONYITAS. (*) k !1 jVk j 0 Vk Valoban, legyen k 2 N . Mivel Vk zart (lasd az 126 (4)(a) feladatot) es korlatos halmaz, tovabba w 2 C (Vk ), leteznek az Mk = max w(r) es az mk = min w(r) r V r V 2 2 mennyisegek. Ezekkel egyreszt persze mk Z mk  jVk j Igy Vk k Mk  jVk j miatt w dV 1  Z w dV ; w(r ) 0 jV j Vk w(r0 ) Mk masreszt (az 1.22 (1)(d){b}ol adodo) Mk ; mk ;! k 0 mk 1  Z w dV jV j k Mk : Vk hiszen w 2 C (Vk ) es d(Vk ) ;! k 0: Ezek utan, a Gauss{Osztrogradszkij tetel alapjan (*){ot a w(r) = div v(r) fuggvenyre alkalmazva, a forrass}ur}useg denciojaban szerepl}o feltetelek eseten az ottani jelolesekkel (most persze n = 2), azt kapjuk, hogy Z Z s(v) = lim 1  v df = lim 1  div v dV = div v : r0 k !1 jVk j Fk k !1 jVk j Vk r0 3.2

Rotacio 3.21 A derivaltoperator vektorinvariansa Most atterunk a 2.12 A lltasban megjelen}o, az orvenys}ur}useget megado kifejezesnek a derivalttenzor jellemzeseben betoltott szerepehez. 3.8 A lltas R2 tetsz}oleges A antiszimmetrikus linearis transzformaciojahoz van egyetlen olyan c 2 R skalar, hogy A r = c CROSS(r) tetsz}oleges r 2 R2 eseten. Ez a skalar A tetsz}oleges jobbsodrasu orthonormalt bazisbeli matrixaban a masodik sor els}o eleme. 34 BIZONYITAS. Az egyertelm}useg nyilvanvalo r 2 R2 eseten valamely valos a{ra R2 tetsz}oleges e jobbsodrasu orthonormalt bazisa es barmely  0 ;a   0 ;1  Ae = a 0 = a 1 0 gy, ha r = xe1 + ye2 akkor Ar e = Ae re =a  0 ;1   x  =a = 1 y 0  ;y  x = a  CROSS(r) e = a CROSS(r) e amib}ol A r = a CROSS(r) minden r 2 R2 eseten. 3.9 Megjegyzes Az alltas szerint tehat: skalar erejeig CROSS a sk egyetlen antiszimmetrikus linearis transzformacioja. A most kovetkez}o

dencioban szerepl}o elnevezes furcsasagat { amint azt kes}obb latni fogjuk { a fogalom haromdimenzios megfelel}oje magyarazza. 3.10 Dencio Legyen A R2 tetsz}oleges linearis transzformacioja. Azt a 38 A lltasban szerepl}o a 2 R skalart, mely A antiszimmetrikus reszehez tartozik, A vektorinvariansanak nevezzuk. A vektorinvarians ugyan nem vektor, de a 3.8 A lltas alapjan legalabb tenyleg invarians, amennyiben nem fugg a bazistol, hiszen magat a derivaltoperatort jellemzi. 3.11 Dencio Legyen H  R2 es v : H ! R2 derivalhato vektorfuggveny. A v derivaltoperatora vektorinvariansanak ketszereset v rotaciojanak nevezzuk es rot v{vel jeloljuk 3.12 A lltas Legyen H  R2 es v : H ! R2 derivalhato vektorfuggveny, melynek komponensei v1 es v2 , azaz v = (v1 v2 ) . Ekkor 2 @v1 rot v = @v @x ; @y : BIZONYITAS. R2 szokasos e bazisaban a D derivaltoperator antiszimetrikus reszenek matrixa a kovetkez}o: 1 (D ; D ) = 1 e

2 e 2   @v2 @x 0 ; @v@y1 @v1 @y ; @v@x2 0 ! : A rotacio (dencioja alapjan) a vektorinvarians ketszerese, ez pedig a 3.8 A lltas alapjan a fenti matrixban a masodik sor els}o eleme, gy a rotacio ezen matrixban a masodik sor els}o elemenek ketszerese, es pont ezt akartuk bizonytani. 35 3.22 Rotacio es cirkulacio, rotacio es orvenys}ur}useg A skban a feluletmenti- es gorbementi integralok kozotti osszefuggest felhasznalva a Gauss-Osztrogradszkij tetelb}ol megkaphatjuk annak gorbementi integralra vonatkozo megfelel}ojet, a vektoranalzis masik kozponti tetelet, mely a rotacio es vonalintegral kapcsolatat rja le: 3.13 Tetel ( (Skbeli) Stokes-tetel) Ha F ketdimenzios normal terresz, melynek hatara a pozit van irany tott L gorbe, F  H  R2 es v : H ! R2 tetsz}oleges F {en folytonosan derivalhato vektorfuggveny, akkor Z L BIZONYITAS. v dr = Z F rot v dV Mivel ha v = (v1 v2 ) , akkor 2 + @v1 div

CROSS(v) = div(;v2 v1 ) = ; @v @x @y gy az 1.24 Megjegyzes alapjan a Gauss-Osztrogradszkij tetelb}ol es a 312 A llitasbol azt kapjuk, hogy Z L v dr = ; Z = L CROSS(v) df = ; Z F div CROSS(v) dV = Z Z @v2 @v1 ( @x ; @y ) dV = rot v dV F F Nyilvan a tetel egy altalanosabb formaban adodik a Gauss-Osztrogradszkij tetel altalanosabb alakjabol. 3.14 Tetel (A ltalanostott (skbeli) Stokes-tetel) Ha F ketdimenzios normal terresz es a pozit van irany tott G1 G2 : : : Gn paronkent diszjunkt zart gorbek V hataranak egy lefedeset alkotjak, tovabba F  H  R2 es v : H ! R2 tetsz}oleges F {n folytonosan derivalhato vektorfuggveny, akkor n Z X i=1 Gi v dr = Z F rot v dV A vektorfuggvenyek jellemzesei kozti, az integralis alakokra vonatkozo analogia fennall a dierencialis alakokra is. A Stokes tetelb}ol, a cirkulacio es az orvenys}ur}useg kozti viszony integralis alakjabol megkaphatjuk ennek az osszefuggesnek a dierencialis

alakjat is pontosan ugyanolyan modon, ahogy fent, a 3.7 Kovetkezmenyben a divergencia es forrass}ur}useg eseten tettuk: 3.15 Kovetkezmeny (Cirkulacio = orvenys}ur}useg) Legyen G  R2 ny lt es v : G ! R2 tetsz}oleges G{n folytonosan derivalhato vektorfuggveny. Ekkor G{n letezik v{nek c(v) orvenys}ur}usege es fennall, hogy c(v) = rot v . A Gauss-Osztrogradszkij tetel es a Stokes tetelt egyuttesen a vektoranalzis (f}o) integralteteleinek vagy integralatalakto teteleinek szokas nevezni. Az alabbi peldaban nehany egyszer}u esetre alkalmazzuk az integralteteleket. 3.16 Pelda Tekintsuk a skban az origokozeppontu R sugaru korvonalat mint egy skbeli kifele iranytott valodi F feluletet (skbeli gombhejat) es ugyanezt a korvonalat, mint egy L pozitvan iranytott gorbet. Szamtsuk ki az 36 Z F v df Z es az L v dr integralokat az alabbi vektorfuggvenyekre: (a) v(x y) = (x y) (b) v(x y) = (x ;y) (c) v(x y) = (y

x) (d) v(x y) = (y ;x) Megoldas. A megoldas soran a Gauss-Osztrogradszkij tetelt es a Stokes tetelt fogjuk hasznalni, tovabba ellen}orzeskeppen kiszamtjuk az integralt a dencio alapjan es nehany esetben a feluletmenti ill. gorbementi integralt felszn szerinti ill vhossz szerinti integralszamtasra visszavezet}o, az 122 (2) A lltasban szerepl}o formula alapjan is. Az ellen}orzeshez szuksegunk lesz F es L egyenleteire is Jeloljuk az F altal hatarolt terreszt, az origokozeppontu R sugaru korlemezt V {vel. F egyenlete: r = r(t) = (R sin t R cos t) 0 t 2 : Igy r (t) = (R cos t ;R sin t) es CROSS(r (t)) = (R sin t R cos t) . (Ha ezzel az egyenlettel denialjuk F {et, akkor valoban kifele iranytott lesz, hisz ha p() = r(t) +   CROSS(r (t)) = (R(1 + ) sin t R(1 + ) cos t) akkor jp()j2 = R2 (1 + )2 > R2 tehat p() 62 V = = fr 2 R2 : jrj2 R2 g minden  > 0 eseten.) L egyenlete: s = s(t) = (R cos t R sin t) 0 t 2 :

Igy s (t) = (;R sin t R cos t) , es CROSS(s (t)) = ;(R cos t R sin t) . (Ha ezzel az egyenlettel denialjuk L{et, akkor valoban pozitvan iranytott lesz, mert pontosan ugyanugy, ahogy az el}obb, belathato, hogy ;L V {b}ol kifele iranytott, hiszen ;CROSS(s (t)) = (R cos t R sin t) , gy ha p() = s(t) +   ;CROSS(s (t)) = (R(1 + ) cos t R(1 + ) sin t) akkor jp()j2 = R2 (1 + )2 > R2 .) (a) v(x y) = (x y) @y = 1 + 1 = 2 es rot v = @y ; @x = 0 ; 0 = 0 gy div v = @x + @x @y @x @y Z F v df = Z div v dV = V Z L ELLENO} RZES. v dr = Z Z V 2 dV = 2 rot v dV = V Z V Z V dV = 2jV j = 2R2  0 dV = 0 : (1) v(r(t))  CROSS(r (t)) = r(t)  CROSS(r (t)) = (R sin t R cos t)  (R sin t R cos t) = = R2 (sin2 t + cos2 t) = R2 es v(s(t))  s (t) = s(t)  s (t) = (R sin t R cos t)  (;R sin t R cos t) = = R2 (sin2 t ; cos2 t) = ;R2 cos 2t tehat Z F v df = Z L Z2 0 v(r(t))  CROSS(r (t)) dt = v dr = Z2 0 v(s(t))  s (t) dt = ; Z2 0 Z2 0 R2

dt = R2 Z2 0 dt = R2 2 = 2R2  R2 cos 2t dt = R2 sin22t 2 0 = 0: (2) F minden pontjaban F n normalisa v(r) = r iranyu, gy v n{re es}o vetulete vn = jvj = jrj , tovabba F {n jrj = R , tehat F {en vn = R . Igy Z F v df = Z F vn jdf j = Z F jrj jdf j = Z F R jdf j = R Z F jdf j = RjF j = R  2R = 2R2  : Masreszt L minden pontjaban L erint}oje mer}oleges a v(r) = r fuggvenyre, gy v erint}ore es}o ve vetulete nulla, azaz Z Z Z v dr = ve jdrj = 0 jdrj = 0 : L L L 37 (b) v(x y) = (x ;y) @;y @ ; y @x div v = @x @x + @y = 1 ; 1 = 0 es rot v = @x ; @y = 0 ; 0 = 0 gy Z v df = F Z L ELLENO} RZES. v dr = Z V Z V div v dV = rot v dV = Z V Z 0 dV = 0 0 dV = 0 : V v(r(t))  CROSS(r (t)) = (R sin t ;R cos t)  (R sin t R cos t) = R2 (sin2 t ; cos2 t) = ;R2 cos 2t es v(s(t))  s (t) = s(t)  s (t) = (R cos t ;R sin t)  (;R sin t R cos t) = ;R2(cos t sin t +sin t cos t) = ;R2 sin 2t tehat Z F v df = Z L Z2 0 v dr =

v(r(t))  CROSS(r (t)) dt = ; Z2 0 v(s(t))  s (t) dt = ; Z2 0 Z2 R2 cos 2t dt = R2 sin22t 0 R2 sin 2t dt = R2 cos2 2t 2 2 0 =0 = 0: 0 (c) v(x y) = (y x) @y + @x = 0 + 0 = 0 es rot v = @x ; @y = 1 ; 1 = 0 gy div v = @x @y @x @y Z v df = F Z L ELLENO} RZES. v dr = Z V Z V div v dV = rot v dV = Z V Z 0 dV = 0 0 dV = 0 : V v(r(t))  CROSS(r (t)) = (R cos t R sin t)  (R sin t R cos t) = R2 (cos t sint + sin t cos t) = R2 sin 2t es v(s(t))  s (t) = s(t)  s (t) = (R sin t R cos t)  (;R sin t R cos t) = R2 (cos2 t ; sin2 t) = R2 cos 2t tehat Z Z2 Z2 2 v df = v(r(t))  CROSS(r (t)) dt = R2 sin 2t dt = ;R2 cos 2t = 0 F 0 Z L v dr = Z2 0 v(s(t))  s (t) dt = Z2 0 2 0 R2 cos 2t dt = R2 sin22t 2 0 0 = 0: (d) v(x y) = (y ;x) @y + @ ; x = 0 + 0 = 0 es rot v = @ ; x ; @y = ;1 ; 1 = ;2 gy div v = @x @y @x @y Z Z ELLENO} RZES. L v dr = Z V F v df = rot v dV = Z Z V V div v dV = Z ;2 dV = ;2 V Z 0 dV = 0 V dV = ;2jV j =

;2R2 : (1) v(r(t))  CROSS(r (t)) = (R cos t ;R sin t)  (R sin t R cos t) = R2 (cos t sint ; sin t cos t) = 0 es v(s(t))  s (t) = s(t)  s (t) = (R sin t ;R cos t)  (;R sin t R cos t) = R2 (; sin2 t ; cos2 t) = ;R2 tehat Z F v df = Z2 0 v(r(t))  CROSS(r (t)) dt = 38 Z2 0 0 dt = 0 Z L Z2 v dr = 0 v(s(t))  s (t) dt = ; Z2 0 R2 dt = ;R2 Z2 0 dt = ;R2 2 = ;2R2 : (2) Mivel v(x y)  (x y) = (y ;x)  (x y) = yx ; xy = 0 , gy v(r)  r = 0 , azaz a v = v(r) fuggveny mindenutt mer}oleges az r helyvektorra. Azonban F minden pontjaban F n normalisa pont r iranyu, gy v n{re es}o vetulete vn F minden pontjaban nulla, tehat Z F v df = Z F vn jdf j = Z F 0 jdf j = 0 : Masreszt L minden pontjaban L erint}oje pontosan v egyenesebe esik es azzal ellentetes iranyu (s (t) = = (;R sin t R cos t) = (;y x) s(t) = ;(y ;x) s(t) = ;v(s(t))), gy v{nek az L erint}ojere es}o ve vetulete: ve = ;jvj , tovabba L{en mindenutt jvj = R , tehat Z

L v dr = Z L ve jdrj = ; Z Z L jvjjdrj = ; R jdrj = ;R Z L L jdrj = = ;RjLj = ;R  2R = ;2R2 : 3.3 Vektorf
uggvenyek jellemz}oinek szamtasa Az alabbiakban, ha mast nem mondunk, u mindig dierencialhato skalarfuggvenyt, v pedig dierencialhato vektorfuggvenyt jelol. a. A nabla operator Ahhoz, hogy bizonyos osszefuggeseket tomor formaban rhassunk fel, celszer}u egy specialis rovidtett rasmodot alkalmazni, melyben a @ @ ) r = ( @x @y szimbolum, egy formalis, matematikai jelentes nelkuli "vektor" szerepel. Ezzel, az un nabla vektorral (vagy nabla operatorral) vegzett formalis m}uveletek segtsegevel konnyen lerhatok es megjegyezhet}oek bizonyos kepletek. Igy 1 @v2 div v = r  v = @v @x + @y @ @ 2 ; @v1 = @x @y rot v = ;r  CROSS(v) = @v v1 v2 @x @y @u @u ) grad u = ru = ( @x @y b. Az invariansok es a gradiens linearis operatorok div(c1 v1 + c2 v2 ) = c1 div v1 + c2 div v2 rot(c1 v1 + c2 v2 ) = c1 rot

v1 + c2 rot v2 grad(c1 u1 + c2 u2 ) = c1 grad u1 + c2 grad u2 Ezek az osszefuggesek nyilvanvalo kovetkezmenyei annak, hogy a derivalas linearis operator. 39 c. Szorzatfuggveny invariansai es gradiense div (u v) = u div v + v  grad u rot (u v) = u rot v ; CROSS(v)  grad u grad(u1 u2 ) = u1 grad u2 + u2grad u1 Valoban, @ (u v) + @ (u v) = @ (u v ) + @ (u v ) = div(u v) = @x 1 1 @y 2 @x @y 2 @v1 + v @u + u @v2 = + u = v1 @u @x @x 2 @y @y es 1 + @v2 ) + (v v )  ( @u @u ) = u div v + v  grad u = u( @v 1 2 @x @y @x @y @ (u v) ; @ (u v) = @ (u v ) ; @ (u v ) = rot(u v) = @x 2 2 @y 1 @x @y 1 @v2 @u @v1 = v2 @u @x + u @x ; v1 @y ; u @y = Vegul @u @u 2 @v1 = u( @v @x ; @y ) ; (;v2 v1 )  ( @x @y ) = u rot v ; CROSS(v)  grad u : @ (u u ) @ (u u )) = ( u @u2 + u @u1 u @u2 + u @u1 ) = grad(u1 u2 ) = ( @x 1 2 @y 1 2 1 @x 2 @x 1 @y 2 @y = u ( @u2 @u2 ) + u ( @u1 @u1 ) = u grad u + u grad u 1 @x @y 2 @x @y 1 2 2 1 d. Divergencia es rotacio kapcsolata

Valoban, div v = rot CROSS(v) rot v = ;div CROSS(v) 2 ; @v1 = div(v ;v ) = div(;CROSS(v )) = ;div CROSS(v ) es rot v = @v 2 1 @x @y 1 @v2 div v = @v @x + @y = rot(;v2 v1 ) = rot CROSS(v): Megjegyzes. A fenti osszefuggesek segtik megvilagtani a skban a divergencia es rotacio jelenteset es a ket fogalom viszonyat. Az alabbiakban ket peldan illusztraljuk ezt a kapcsolatot (1) v = (f (y) 0) , f pozitv monoton n}ov}o. Ekkor CROSS(v) = (0 f (y)) (lasd az els}o abrat a tuloldalon) v rotaciojat az okozza, hogy v nagysaga iranyara mer}olegesen valtozik es ugyanezert, ugyanilyen mertekben CROSS(v) (v{vel megegyez}o) nagysaga CROSS(v) iranyaban valtozik, ami CROSS(v) divergenciajat okozza. Tehat CROSS(v) divergenciajanak aranyosnak kell lennie v rotaciojaval Hasonloan indokolhato v divergencia{ es CROSS(v) rotaciomentessegenek osszefuggese. (2) v = p 21 2 (y ;x) . Ekkor CROSS(v) = p 21 2 (x y) (lasd a masodik abrat a

tuloldalon) x +y x +y v er}ovonalai koncentrikus korok, mert v minden r pontban v(r) mer}oleges r{re hiszen v(r)k(y ;x) , r = (x y) es ((y ;x)  (x y) = 0 . Az er}ovonalak s}ur}usege allando, mert v nagysaga allando (jvj = 1) 40 v CROSS(v) v CROSS(v) v rotaciojanak az az oka, hogy v nagysaga allando es er}ovonalai gorbulnek. Ez pont azt jelenti, hogy CROSS(v){nek a v{re mer}oleges er}ovonalai a gorbules mertekeben szettartanak,gy ahhoz, hogy s}ur}useguk nagysaga allando lehessen (mert jCROSS(v)j = jvj = 1 ), az kell, hogy az er}ovonalak iranyaban a szettartas mertekevel aranyosan uj er}ovonalak eredjenek, tehat, hogy CROSS(v) divergenciaja aranyos legyen er}ovonalai szettartasanak, azaz v er}ovonalai gorbultsegenek mertekevel. e. Nehany kituntetett fuggveny Konstansfuggveny Ha c konstans vektor, akkor div c = rot c = 0 es ha c konstans skalar, akkor grad c = 0 : Ugyanis konstans derivaltoperatora nulla, gy

invariansai is azok es konstans gradiense is nulla. Linearis transzformacio Legyen A R2 {en ertelmezett linearis transzformacio. Ekkor div A azonos A skalarinvariansaval es rot A A vektorinvariansanak ketszerese. Ezek az alltasok az invariansok dencioinak es annak nyilvanvalo kovetkezmenyei, hogy linearis operator derivaltja onmaga. Az alabbiakban megadjuk a vizsgalt mennyisegeket ket specialis linearis operator eseten. 41 Identitas: v(r) = r . div r = 2 rot r = 0 Valoban, nyilvan az identitas matrixa (barmely bazisban) az egysegmatrix, melynek f}oatloja ket egyesb}ol all, ezek osszege pedig 2. Masreszt, az identitas szimmetrikus operator, tehat antiszimmetrikus resze nulla, es ennek nyilvan vektorinvariansa is nulla. Persze, kozvetlenul a denciokbol is adodik, hogy v(r) = r = (x y) eseten 1 + @v2 = @x + @y = 1 + 1 = 2 div v = @v @x @y @x @y es 2 ; @v1 = @y ; @x = 0 ; 0 = 2 : rot v = @v @x @y @x @y

CROSS: v(r) = CROSS(r) . div CROSS(r) = 0 rot CROSS(r) = 2 Ezt tobbfelekeppen is belathatjuk. (1) Egyreszt, felhasznalva azt, amit epp az el}obb az identitasra bizonytottunk, valamint a d. pontbeli osszefuggeseket div es rot kozott, azt kapjuk, hogy div CROSS(r) = ;rot r = 0 es rot CROSS(r) = div r = 2 . (2) Egy masik lehet}oseg kozvetlenul a denciok alkalmazasa. Felhasznalva, hogy CROSS(r) = (;y x) , adodik, hogy 1 @v2 @ ; y @x div CROSS(r) = @v @x + @y = @x + @y = 0 + 0 = 0 es 2 @v1 @x @ ; y rot CROSS(r) = @v @x ; @y = @x ; @y = 1 ; (;1) = 2 : (3) Vegul hasznalhatjuk azt, hogy CROSS linearis transzformacio. Legyen R2 szokasos bazisa e = (i j ) CROSS(i) = j CROSS(j ) = ;i , tehat CROSS matrixa e{ben: CROSS e = 01 ;01 : CROSS e tehat antiszimmetrikus, f}oatlobeli elemeinek osszege 0, gy div CROSS(r) = 0 . Masreszt, persze CROSS(r) = 1  CROSS(r), gy a vektorinvarians dencioja alapjan CROSS vektorinvariansa 1, es ennek

ketszerese a rotacio, vagyis rot CROSS(r) = 2 . Skalarszorzas Legyen u(r) = (c r) , ahol c valamely rogztett konstansvektor. Ekkor grad u = grad(c r) = c . Valoban, u(r) linearis operator, gy u (r) = u(r) = (c r) , amib}ol grad denciojat hasznalva, grad u = c . 0 Korszimmetrikus ter (1) Legyen u(r) = f (jrj) , ahol f tetsz}oleges R+ {on derivalhato egyvaltozos fuggveny. Ha r 6= 0 , akkor grad u = grad f (jrj) = f (jrj) jrrj : (2) Legyen v(r) = f (jrj)r , ahol f tetsz}oleges R+ {on derivalhato egyvaltozos fuggveny. Ha r = 6 0 , akkor rot v = rot(f (jrj)r) = 0 : 0 42 Az els}o osszefugges a lancszabaly egy alkalmazasa, hiszen ha r 6= 0 , akkor p grad jrj = grad x2 + y2 = ( p 2x 2 p 2y 2 ) = p 21 2 (x y) = jrrj : x +y x +y x +y A masodik osszefuges pedig a fenti c. pontbol adodik: rot v = rot(f (jrj)r) = f (jrj)rot r ; CROSS(r)  gradf (jrj) = = 0 + CROSS(r)  (f (jrj) jrrj ) = f j(rjrj j) (CROSS(r)  r) = 0 0 0 hiszen mar lattuk,

hogy rot r = 0 es, mivel CROSS(r) es r mer}olegesek egymasra, CROSS(r)  r = 0 . f. Ket nevezetes osszefugges (1) Legyen u es v ketszer folytonosan derivalhato skalar{ ill. vektorfuggveny Ekkor rot gradu = 0 : Valoban, @u @ @u @ @u rot grad u = rot( @u @x @y ) = @x ( @y ) ; @y ( @x ) = uxy ; uyx = 0 a Young- tetel miatt. (2) Legyen u ketszer folytonosan derivalhato skalarfuggveny. Vezessuk be a kovetkez}o jelolest: Ekkor  u = uxx + uyy ({t Laplace operatornak nevezzuk) : div grad u =  u . @ (grad u) + @ (grad u) = @ ( @u ) + @ ( @u ) Ugyanis: div grad u = @x 1 @y 2 @x @x @y @y 3.4 Ket fundamentalis zikai alkalmazas 3.41 Ponttoltes elektromos tere Legyen minden r 6= 0 eseten v(r) = jrrj2 : 43 Ez a vektorfuggveny, mint er}oter az egysegnyi skbeli ponttoltes tere, mg mint aramlasi ter a pontszer}u forras vagy (ellenkez}o el}ojellel) lefolyo aramlasi tere. Ez utobbi akar kiserletileg is viszonylag konnyen igazolhato: ha

egy koralaku, melysegehez kepest nagy felszn}u tepsiben lev}o vzet a tepsi kozepen vagott viszonylag kis lyukon keresztul ugy eresztunk le, hogy megakadalyozzuk itt (a Fold tengelyforgasanak eredmenyekeppen letrejov}o) orvenyl}o mozgast, akkor a vz mozgasanak sebessege, amit peldaul kis paprdarabokkal merhetunk, nyilvan a lefolyo fele iranyul es nagysaga jv(r)j = 1r , azaz a mert tavolsaggal fordtva aranyos. A fuggveny az origo kivetelevel mindenutt folytonosan derivalhato, az origoban pedig meg folytonossa sem tehet}o. Valoban, v = v(x y) = x2 +1 y2 (x y) = ( x2 +x y2 x2 +y y2 ) ami pontosan akkor folytonosan derivalhato, ha koordinatafuggvenyei azok. Nos a koordinatafuggvenyek, j j v1 = x2 +x y2 es v2 = x2 +y y2 egyreszt nyilvan az origon kvul mindenutt folytonosan derivalhatoak, hiszen csak az origoban elt}un}o nevez}oj}u racionalis tortfuggvenyek, masreszt az origoban meg csak folytonossa

sem tehet}oek, mert meg hatarertekuk sincs ott. Peldaul v1 (x 0) = x1 ;! 1 ha x ;! 0+ mg v1 (0 y) = 0 ;! 0 ha y ;! 0 : FORRASSU} RU} SEG ES FLUXUS. A ter forrass}ur}usege az origo kivetelevel mindenutt nulla: div v = div jrrj2 = jr1j2 div r + r  grad jr1j2 = jr2j2 + r  (;2 jr1j3 jrrj ) = = jr2j2 ; jr2j4 (r  r) = jr2j2 ; jr2j2 = 0 ha r 6= 0 : Az origoban nincs ertelmezve a divergencia, hiszen, ahogy lattuk, v meg folytonossa sem tehet}o ott. A forrass}ur}useg tehat az origo kivetelevel mindenutt nulla, kovetkezeskeppen, a Gauss-Osztrogradszkij tetel alkalmazasaval azt kapjuk, hogy !uxusa minden az origot nem tartalmazo normal terreszt hatarolo F feluletre vonatkozoan nulla: az osszes er}ovonal ami az F altal bezart terreszbe belep, ki is lep onnan: F Nyilvan egy az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo zart S felulet eseteben mas a helyzet, hiszen a terreszen belul van forras, uj er}ovonalak

keletkeznek. Ahhoz, hogy egy ilyen feluletre vonatkozoan meghatarozzuk a !uxust, felhasznaljuk azt a tenyt, hogy ket kulonboz}o ilyen feluletre: S1 {re es az altala bezart V1 terresz belsejebe es}o S2 {re vonatkozo !uxus megegyezik, hiszen a ket felulet koze es}o V terreszben nem keletkeznek er}ovonalak, azok az er}ovonalak, melyek az S2 altal bezart V2 terreszb}ol kilepnek, kilepnek V1 - b}ol is: 0 44 S 2 V’ S1 V2 V1 Ez persze minden olyan esetben, mikor a V normal terresz, formalisan is belathato, hiszen ekkor (mivel S1 es ;S2 kifele iranytott zart feluletek lefedik V hatarat (1.26 (15)(c) feladat)) alkalmazhato ra a Gauss-Osztrogradszkij tetel altalanostott valtozata (3.6 Tetel): 0 Z S1 v df + Z S2 ; v df = Z S1 Z V 0 v df = div v dv = 0 Z S2 tehat v df : Nos, ezek utan eleg egy origokozeppontu kedimenziobeli gombhejra (azaz korvonalra) vonatkozoan kiszamtani a !uxust, hiszen minden, az

origot belsejeben tartalmazo terresz eseteben van teljesen a terreszbe es}o origokozeppontu gomb. Legyen tehat F az R sugaru ketdimenzbeli gombhej F egyenlete: r = = r(t) = (R sin t R cos t) 0 t 2 : Ekkor r (t) = (R cos t ;R sin t) CROSS(r (t)) = (R sin t R cos t) . (A 3.16 Feladatban mar lattuk, hogy ez valoban kifele iranytja F {et, az 126 (10)(d) feladat alapjan F zart felulet es az 1.26 (15)(d) feladat alapjan F az origot belsejeben tartalmazo normal terresz hatara) Ezekkel v(r(t)) = jrr((tt))j2 = R12  (R sin t R cos t) = R1 (sin t cos t) : Tehat v(r(t))  CROSS(r (t)) = 1 . Igy Z F v df = Z2 0 v(r(t))  CROSS(r (t)) dt = Z2 0 1 dt = 2 : Ezt az eredmenyt megkaphattuk volna a kovetkez}okeppen is: F minden pontjaban annak n normalisa r iranyu, gy, mivel vkr , adodik, hogy nkrkv es (mivel F kifele iranytott) n es v iranya is megegyezik. Kovetkezeskepp v{nek n{re es}o vetulete vn = jvj , tehat felhasznalva,

hogy F {n jvj = RR2 = R1 : Z Z Z Z Z v df = v jdf j = jvj jdf j = 1 jdf j = 1  jdf j = 1  jF j = 1  2R = 2 : F F n F F R R F R R Azt kaptuk tehat, hogy minden az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo kifele iranytott zart S feluletre vonatkozo !uxus azonosan 2 . Ebb}ol kovetkez}oen persze az origobeli forrass}ur}useg vegtelen, hiszen ha (Vk ) az origora zsugorodo normal terreszek egy olyan sorozata, melyre minden k 2 R eseten Vk hatara a zart kifele iranytott Fk felulet, akkor jVk j ;! k 0 miatt Z 1  v df = 1  2 ;! 1 : jVk j Fk jVk j k A fenti, az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo feluleten szamtott !uxusra vonatkozo eredmenyunkkel kapcsolatban erdemes meg egy eszrevetelt tenni. Lattuk, hogy div v = 0 az origo kivetelevel mindenutt, teht div v egy pont kivetelevel folytonos a skon es ertelmezesi tartomanyan korlatos 45 is. Ebb}ol az integralszamtas jol

ismert tetele szerint div v integralhato minden zart, korlatos es merhet}o halmazon, gy barmely az origot belsejeben tartalmazo normal V terreszen is es Z V div v dV = 0 amib}ol Gauss-Osztrogradszkij tetel alapjann v{nek V hatarara, F {re vonatkozo !uxusa is nulla, ellentmondasban fenti eredmenyunkkel, mely szerint ez a !uxus 2 . Ez az erveles azonban hibas, V {re a Gauss-Osztogradszkij tetel nem alkalmazhato, mert ennek feltetele v{nek egesz V {re vonatkozo folytonos derivalhatosaga, v azonban (amint mar lattuk) meg csak folytonossa sem tehet}o az origoban. ORVENYSU} RU} SEG ES CIRKULACIO. Az orvenys}ur}useg az origo kivetelevel minden pontban es gy Stokes-tetellel a cirkulacio minden, az origot belsejeben nem tartalmazo, normal terreszt hatarolo gorbere vonatkozoan nulla, hiszen a 3.3 e pontban lattuk, hogy korszimmetrikus ter rotacioja az origon kvul nulla, rot v = 0 az origon kvul mindenutt. Persze

ahogy a divergencia, a rotacio sem ertelmezhet}o az origoban. Az orvenys}ur}useggel azonban mas a helyzet. Pontosan ugyanugy, ahogy a Gauss-Osztrogradszkij tetelre es a divergencianak az origon kvul valo elt}unesere tamaszkodva megmutattuk, hogy minden az origot belsejeben tartalmazo normal terresz zart kifele iranytott hataran a !uxus ugyanaz, a rotacio elt}uneset es a Stokes-tetelt hasznalva megmutathato, hogy az origot belsejukben tartalmazo normal terresz pozitvan iranytott zart hatarain vett cirkulacio is azonos. Kovetkezeskeppen, nem maradt mas hatra, minthogy kiszamtsuk a cirkulaciot egy origokozeppontu R sugaru pozitvan iranytott L korvonalra. Ez azonban igen egyszer}u, hiszen L minden pontjaban L erint}oje mer}oleges az r iranyu v(r) fuggvenyre, tehat v erint}ore es}o ve vetulete nulla, azaz Z L v dr = Z L ve jdrj = Z L 0 jdrj = 0 : Kovetkezeskeppen, az origot belsejukben

tartalmazo normal terreszek hataraira vonatkozo cirkulacio is nulla, vagyis a cirkulacio minden normal terresz hatarara vonatkozoan nulla. Ebb}ol persze rogton az is kovetkezik, hogy az orvenys}ur}useg mindenutt, gy az origoban is nulla annak ellenere, hogy a rotacio az origoban nem letezik! Ez nyilvan nem mond ellent a 3.15 Kovetkezmenynek, hiszen ez csak olyan pontokban garantalja a ket mennyiseg azonossagat, melyekben az adott fuggveny folytonosan derivalhato, ami v{re az origoban nem igaz, ahogy azt mar megmutattuk. Roviden tehat minden az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo kifele iranytott zart felletre vonatkozo !uxus 2 , az origobeli forrass}ur}useg vegtelen es minden mas nulla. Tomoren es szemleletesen mindazt, amit eddig elmondtunk a fuggvenyr}ol, fenti er}ovonalas abrazolasa foglalja ossze. Tulajdonkeppen amit csinaltunk, az eppen ezen abrazolas korrektsegenek vizsgalata

volt formalis eszkozokkel. Egyreszt, a fuggveny forrass}ur}usege az origo kivetelevel mindenutt nulla, ott pedig vegtelen, gy csak az origoban van forrasa, tehat minden er}ovonal az origobol indul ki es sehol nem t}unik el. Tovabba persze denciojabol a fuggveny mindenutt r{iranyu, tehat az er}ovonalak origon atmen}o egyenesek. Masreszt, ami az er}ovonalak s}ur}useget illeti, ez egy origokozeppontu R sugaru kor kerulete menten azonos, mert itt jv(r)j = 1r = R1 allando. Mivel v sugariranyu, ez egyszersmind azt is jelenti, hogy a fuggveny nagysaga nem valtozik iranyara mer}olegesen, ez pedig azzal a tennyel egyutt, hogy az er}ovonalak nem gorbulnek, a ter mindenutt valo cirkulacio es orvenys}ur}useg mentesseget tukrozi. j j 3.42 Vegtelen vezet}o magneses tere r) Legyen minden r 6= 0 eseten w(r) = CROSS( jrj2 (az er}oteret a tuloldalon abrazoltuk). Ez a vektorfuggveny, mint er}oter a vegtelen magneses

vezet}o terenek skmetszete, mg, mint aramlasi ter egy kozeppont korul orvenyl}o folyadek aramlasi tere. Matematikailag a vegtelen vezet}o magneses teret lero vektorfuggveny a ponttoltes er}oteret lero el}oz}o vektorfuggveny dualisa, pontosabban a vegtelen vezet}o magneses tere{ponttoltes er}otere, !uxus{ cirkulacio, divergencia{rotacio, forrass}ur}useg{orvenys}ur}useg, v{CROSS(v) dualis fogalomparok. Legyen v(r) = jrrj2 : Ekkor w(r) = CROSS(v(r)) 46 gy w es v nagysaga mindenutt megegyezik, valamint er}ovonalaik egymas un. orthogonalis trajektoriai, azaz mindenutt mer}olegesek egymasra Tovabba, w(r) = CROSS(v(r)) a fenti 33 d pontbeli osszefuggesek felhasznalasaval a kovetkez}okre vezet: div w = div CROSS(v) = ;rot v es rot w = rot CROSS(v) = div v : Igy a ponttoltes er}oteret lero v = v(r) vektorfuggvenyre kapott fenti eredmenyek felhasznalasaval az adodik, hogy div w = 0 (ahogy az er}ovonalak

zartsagabol leolvashato) es rot w = 0 az origo kivetelevel mindenutt. Ezekb}ol kovetkez}oen a forrass}ur}useg az origo kivetelevel mindenutt es GaussOsztrogradszkij tetellel a !uxus minden az origot belsejeben nem tartalmazo normal terreszt hatarolo feluletre vonatkozoan nulla. Tovabba az orvenys}ur}useg az origo kivetelevel mindenutt nulla es minden olyan gorbere vonatkozo cirkulacio is nulla, mely az origot belsejeben nem tartalmazo normal terresz hatara. Vegul, mivel CROSS(CROSS(v) = ;v , a feluletmenti es gorbementi integralok kozotti osszefugges (1.24 Megjegyzes) es az a pontbeli eredmeny felhasznalasaval az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo kifele iranyitott F feluletre vonatkozo !uxus nulla, hiszen F = ;L{el: Z F w df = Z L CROSS(w) dr = Z L CROSS(CROSS(v)) dr = Z L ;v dr = 0 es az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo pozitvan iranytott

L zart gorbere vonatkozo cirkulacio 2 , mert ugyanugy, ahogy az el}obb: Z L w dr = ; Z F CROSS(w) df = ; Z F CROSS(CROSS(v)) df = ; Z F ;v df = 2 amib}ol persze (az a. pontban alkalmazott gondolatmenethez hasonlo modon) az is adodik, hogy az origoban a forrass}ur}useg nulla, az orvenys}ur}useg pedig vegtelen. O sszefoglalva tomoren az mondhato, hogy minden az origot belsejeben tartalmazo normal terreszt hatarolo pozitvan iranytott zart gorbere vonatkozo cirkulacio 2 , az origobeli orvenys}ur}useg vegtelen es minden mas nulla. Termeszetesen fordtva is csinalhattuk volna, a w{re vonatkozo eredmenyeket kozvetlen szamolassal is megkaphattuk volna, ahogyan azt a v eseteben tettuk es aztan a v{t jellemz}o adatokat a dualitast hasznalva szamthattuk volna ki, ahogy azt most a w eseteben tettuk. Meg egy tenyre erdemes a gyelmet felhvni. Ahogy lattuk, w orvenys}ur}usege az origo kivetelevel mindenutt

nulla, annak ellenere, hogy w sehol sem homogen iranyu, azaz er}ovonalai mindenutt gorbulnek! Nos, bar azt mar a 2. fejezetben lattuk, hogy az orvenys}ur}useg lehet nullatol elter}o homogen iranyu vektorfuggveny eseten is (azaz akkor is, ha az er}ovonalak nem gorbulnek), a fordtott esetre meg nem lattunk peldat. A magyarazat az, hogy bar w er}ovonalai gorbulnek, w nagysaga azonban iranyara mer}olegesen valtozik, amir}ol mar lattuk (eppen azokban a 2. fejezetben szerepl}o peldakban, melyekre most hivatkoztunk), hogy szinten cirkulaciot okoz Nomarmost, w eseteben a ket hatas eppen semlegesti, kioltja 47 egymast, amekkora pozitv orvenylest az er}ovonalak gorbultsege okoz, eppen akkora negatv orvenylest valt ki sugar iranyu ritkulasuk. 3.5 Az integraltetelek alkalmazasai 3.51 Egyeb integraltetelek 3.17 Tetel (Green{tetelek) Legyen V  R2 normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott felulet es u v 2 C2

(V ) tetsz}oleges @v @v ketvaltozos fuggvenyek, melyeknek az F feluleti normalis iranyu iranymenti derivaltjai @n ill. @n : Ekkor (1) (Antiszimmetrikus Green-formula) Z V (uv + grad u  grad v) dV = (2) (Szimmetrikus Green-formula) Z V (uv ; vu) dV = Z F Z @v u @n df : F @v ; v @u ) df : (u @n @n Mivel nyilvan az antiszimmetrikus Green-formulabol az eredeti es az u{v szerepcserevel kapott formula kulonbsegekent adodik a szimmetrikus formula, eleg az antiszimmetrikus formulat bizonytani. Legyen BIZONYITAS. w = u grad v : Ekkor div w = div(u grad u) = u div grad v + grad u  grad v Masreszt w{nek n{re, az F egysegnormalisara es}o vetulete: @v : wn = w  n = (u grad v)  n = u(grad v  n) = u @n Igy Gauss{Osztrogradszkij tetellel: Z V (uv + grad u  grad v) dV = Z V div v dV = Z F w df = Z F wn df = Z @v u @n df : F E rdekes modon azonos alaku integralatalakto tetelek vonatkoznak a derivaltoperator mindket invariansara

es a gradiensre is. Az els}ovel persze mar talalkoztunk 3.18 Tetel (Gauss{Osztrogradszkij tipusu tetelek) Ha V  R2 normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott felulet, u : V ! R es v : V ! R2 , tovabba u v 2 C1 (V ) tetsz}olegesek, akkor (1) (I. Gauss{Osztogradszkij tetel) Z V (2) (II. Gauss{Osztogradszkij tetel) Z V div v dV = rot v dV = ; Z 48 F Z F v df CROSS v df Z (3) (Gradiens tetel) V grad u dV = Z F u df (1){et mar bizonytottuk, ez a Gauss-Osztogradszkij tetel (3.5 Tetel) Ami (2){t illeti az 1.24 Megjegyzesb}ol Stokes-tetellel a kovetkez}o adodik (L = ;F ): BIZONYITAS. Z F Z CROSS v df = ; L v dr = ; Z V rot v dV : Vegul (3) bizonytasahoz legyen c 2 R2 tetsz}oleges konstans vektor. Mivel ekkor div(c u) = u div c + c  grad u = c  grad u hiszen div c = 0 , gy Gauss{Osztogradszkij tetellel: Z Z Z Z Z (*) c  u df = c u df = div(c u) dV = c  grad u dV = c  grad u dV . F F V V V E s ezzel keszen is

vagyunk, hiszen Z F u df Z V grad u dV 2 R2 es (*){gal R2 barmely orthonormalt e Z= (e1 e2 ) baZzisa eseten u df es grad u dV F V e{beli oszlopvektorai megegyeznek. Pontosan ugyanolyan modon, ahogyan a 3.7 Kovetkezmenyben a az I Gauss-Osztrogradszkij tetel segtsegevel a divergenciara egy s}ur}useg{jelleg}u osszefuggest bizonytottunk, kaphatunk a II. GaussOsztogradszkij tetel es a gradiens tetel alapjan a rotaciora es a gradiensre egy{egy hasonlo osszefuggest (E rdemes elgondolkodni azon, hogy a gradiens eseten mi ennek a szemleletes tartalma. A divergencia es a rotacio eseten ez a szemleletes tartalom kovetkezik az eddig elmondottakbol.) Az alabbi alltasba a teljesseg kedveert belefoglaltuk a 3.7 Kovetkezmenyben mar bizonytott osszefuggest is 3.19 Kovetkezmeny (Ignatowsky{fele deniciok) Legyen r0 2 G  Rn tetsz}oleges ny lt halmaz, v : G ! R2 es u : G ! R folytonosak. Ha a (Vk ) r0 {ra zsugorodo R2 {beli normal

terreszek tetsz}oleges olyan sorozata, melyre minden k 2 N eseten Vk  G hatara a kifele irany tott zart Fk felulet, akkor Z div v r = klim jV1 j  v df 0 k F !1 k Z 1 rot v r = ; klim jV j  CROSS(v) df 0 k F !1 k Z 1 grad u r = klim jV j  u df 0 k F !1 k 3.52 Felulet{ es vonalmenti integralok szamtasa Mivel a f}o integraltetelek es fent targyalt kovetkezmenyeik integralok kozott allaptanak meg osszefuggeseket, termeszetesen sok esetben jol alkalmazhatoak integralok kiszamtasara. Ezt az alabbiakban nehany egyszer}u peldan keresztul mutatjuk meg. 3.20 Peldak (1) Legyen v(x y) = (x ;y) es F az a fels}o felskba iranytott felulet, melynek implicit egyenlete: y = x +2 1 ; 1 0 x 1 : 49 y 1 F 1 Szamtsuk ki az MEGOLDAS. Z F x v df integralt! @ y Minthogy div v = @x @x + @y = 1 ; 1 = 0 , ha F az a felulet, melyet ugy kapunk, hogy F {et kiegesztjuk a megfelel}oen iranytott S1 = OP1 es S2 = OP2 szakaszokkal, ahol O

= (0 0) P1 = (1 0) P2 = (0 1) akkor az F altal hatarolt V haromszoglapra es a kifele iranytott F {re alkalmazhato a Gauss{Osztrogradszkij tetel, gy ; 0 0 Z F Z v df + Z Z 0 v df + S1 tehat Z F Z S2 v df = v df = ; Z Z F S1 0 v df = v df ; Z V Z S2 div v dV = 0 v df : Masreszt azonban v df = v df = 0 mert S1 menten v = (x 0) ami x iranyu, azaz S1 normalisara S1 S2 mer}oleges, valamint ugyangy S2 menten v = (0 ;y) , ami y iranyu, azaz S1 normalisara mer}oleges. Vagyis Z F v df = ; Z S1 v df ; Z S2 v df = 0 : (2) Legyen v(r) = r er2 es L azZr = r(t) = (a cos t b sin t) 0 valos szamok). Szamtsuk ki az v dr integralt! MEGOLDAS. t 2 egyenlet}u ellipszis (a b pozitv L Ha r 6= 0 , akkor rot v = rot r er = er rot r ; CROSS(r)  grad er = 0 ; 0 = 0 : Valoban, egyreszt rot r = 0 . Masreszt persze r2 = jrj2 es gy (r2 ) = 2 jrj rr = 2 r tehat 2 2 2 0 j j 2 grad er = (er ) grad jrj = 2 jrj er jrrj = 2 r

er r2 mer}oleges CROSS(r){re, azaz a grad er2 vektor r ir a ny u   gy (mivel r mer} o leges CROSS( r ){re) grad e vagyis CROSS(r)  grad er2 = 0 . Ha tehat a Stokes tetelt alkalmazzuk L{re es az altala hatarolt F ellipszislapra, akkor 2 Z L 2 v dr = 2 0 Z F rot v dV = 50 Z F 0 dV = 0 : (3)(a) Legyen V  R2 normal terresz, melynek hatara az F kifele iranytott felulet. Legyen jV j = V0 Z F r df =? (b) Legyen F  R2 normal terresz, melynek hatara az L pozitvan iranytott gorbe. Legyen jF j = F0 Z MEGOLDAS. (1) (2) Z F Z L CROSS(r) dr = r df = Z F Z V L CROSS(r) dr =? div r dV = Z rot CROSS(r) dV = V Z 2 dV = 2 F Z V div r dV = dV = 2 jV j = 2 V0 Z F 2 dV = 2 Z F dV = 2 jF j = 2 F0 3.6 Potencialelmelet elemei Eddig nyilvanvaloan az egyvaltozos fuggvenyek hatarozott integraljanak fogalmat altalanostottuk vektorfuggvenyekre. Termeszetesen vet}odik fel a kerdes, hogy az egyvaltozos fuggvenyek

integralszamtasaban fontos szerepet jatszo masik ket alapfogalom, a primitv fuggveny es az integralfuggveny altalanosthato{e vektorfuggvenyekre, van{e ezeknek is megfelel}ojuk a vektorfuggvenyek kozott Ahogyan hamarosan latni fogjuk, ez az altalanostas lehetseges es ugyanugy, ahogyan az egyvaltozos fuggvenyek eseten, a vektorfuggvenyek koreben is az integralszamtas es a dierencialszamtas megfordtasa, azaz a primitv fuggveny kereses kozotti osszefugges analog az egyvaltozos fuggvenyek koreben megismert, az integralfuggveny altal letestett kapcsolattal. Az alabbiakban ezt a viszonyt fogjuk vizsgalni A potencial a primitv fuggveny fogalmanak vektorfuggvenyekre valo altalanostasa. A pontos dencio utan a potencial letezesenek es egyertelm}usegenek felteteleit vizsgaljuk. Ennek a vizsgalatnak eredmenyekeppen megfogalmazzuk az egyvaltozos integralszamtas alapvet}o

eredmenyeinek vektorfuggvenyekre vonatkozo megfelel}oit, tobbek kozott a Newton{Leibniz formula egy lehetseges altalanostasat, majd ket egyszer}u modszert mutatunk arra, hogyan lehet meghatarozni a potencialt. Ezutan a 34 pontban szerepl}o kozponti jelent}oseg}u vektorfuggvenyek lerasat egesztjuk ki a potencialjukra vonatkozo eredmenyekkel, vegul egy, a dierencialegyenletek korebe es}o alkalmazast ismertetunk. Minthogy derivalhatosagot csak bels}o pontban, integralhatosagot csak osszefugg}o halmazon ertelmeztunk, termeszetesen vizsgalatainkban nylt es osszefugg}o halmazokra szortkozunk. Vegul az integralhatosagot biztostando, a potenciallal kapcsolatos kerdeseket vizsgalatat a folytonos fuggvenyek korere korlatozzuk. 3.21 Dencio Legyen n  1 egesz, G  Rn nylt, osszefugg}o halmaz es v : G ! Rn . Az u : G ! R skalarfuggvenyt v vektorfuggveny G{beli (skalar)potencialjanak nevezzuk, ha u

derivalhato G{n es itt grad u = v . 3.61 Egzisztencia es unicitas Az egyvaltozos fuggvenyek integralszamtasaban a ket kozponti szerepet betolt}o fogalmat, a primitv fuggvenyt es a hatarozott integralt az integralfuggveny fogalma kapcsolja ossze. Kezenfekv}o, hogy az egyvaltozos fuggvenyek integralfuggvenye, "az integral, mint a fels}o hatar fuggvenye" fogalmanak megfelel}ojet a vonalintegralban keressuk, hiszen az egyvaltozos integral is tulajdonkeppen skalarfuggvenynek a valos szamegyenes menti vonalintegralja. Az egyvaltozos esett}ol elter}oen azonban a skon { valamely rogztett kezd}opont eseten is { egy adott vegpontba sokfelekeppen, sok gorbe menten integralhatunk es ezek az integralok egymastol kulonbozhetnek. Ha fent, a bevezet}o megjegyzesekben megfogalmazott feltevesunk helyes es az integralfuggveny potencialt hataroz meg, akkor azonban az integral nem fugghet attol, milyen

gorbe menten integralunk egy adott vegpontba, hisz a potencial csak ett}ol az adott ponttol fugg. Nos, az alabbiakban megmutatjuk, hogy ez tenyleg gy is van Ebben 51 az esetben azt mondjuk, hogy "az integral nem fugg az integralasi uttol". Ezt a tulajdonsagot szokas pontatlanul ugy atfogalmazni, hogy "zart gorbeken a vonalmenti integral nulla". Nyilvanvalo, hogy ez a ket feltetel valoban osszefugg, s}ot bizonyos feltetelek eseten ekvivalensek is (ezt rogton latni fogjuk), azonban ekvivalenciajuk teljes altalanossagban valo vizsgalata mindenkeppen meghaladja annak a fogalmi apparatusnak kereteit, mely targyalasunk alapjat kepezi (lasd a 3.25 Megjegyzest es a 371 pontbeli (1) feladatot) A zart gorbekre vonatkozo alltasok eseten csak a nem tul bonyolult szerkezet}u, a "termeszetes" gorbefogalomnak leginkabb megfelel}o egyszer}u vekre szortkozunk (vo. a 371 pont (2) feladattal), ezert

megismeteljuk az egyszer}u vnek az 1.26 (10) feladatban szerepl}o denciojat Az egyszer}u vvel kapcsolatos legfontosabb alltasokat az 126 (9),(10),(11),(12) es (14) feladatok tartalmazzak Ezek kozul szamunkra a leglenyegesebb az, amit { kisse pontatlanul { ugy fogalmazhatunk meg, hogy egy egyszer}u v vagy elemi v vagy a ket vegen "osszeforrasztott" elemi v, azaz formalisan: ha L egy r = r(t) t 2 a b] egyenlet}u egyszer}u v, akkor (1) L csak akkor elemi v ha nem zart, (2) L akkor es csak akkor zart ha r(a) = r(b) . 3.22 Dencio (1) Ha az L gorbe r = r(t) t 2 a b] egyenlete olyan, hogy minden a < c < b eseten az r{nek mind az a c]{re mind a c b]{re valo megszortasa altal denialt gorbe elemi v, akkor L{et egyszer}u vnek nevezzuk. (2) Legyen r = r(t) t 2 a b] az L gorbe egyenlete. r(a){t L kezd}opontjanak, r(b){t L vegpontjanak nevezzuk. 3.23 Megjegyzes (1) Nyilvan minden elemi v egyszer}u v is.

(2) ;L kezd}opontja L vegpontjaval es ;L vegpontja L kezd}opontjaval azonos. Valoban, legyen L egyenlete r = r(t) t 2 a b] : Ekkor az 1.13 (2)(c) dencio alapjan ;L egyenlete s = s(t) = r(;t) t 2 ;b ;a] . Kovetkezeskepp, ;L kezd}opontja s(;b) = r(;(;b)) = r(b) azaz L vegpontja. Masreszt, ;L vegpontja s(;a) = r(;(;a)) = r(a) vagyis L kezd}opontja 3.24 A lltas Legyen G  R2 ny lt, oszefugg}o halmaz es v : G ! R2 folytonos vektorfuggveny. Ha v gorbementi integralja minden G{be es}o ket pont kozotti G{beli gorbe eseten csak a kezd}o{ es vegpontoktol fugg, a gorbe valasztasatol nem, akkor v gorbementi integralja minden G{be es}o zart egyszer}u ven nulla. BIZONYITAS. Legyen L az r = r(t) t 2 a b] egyenlettel denialt zart egyszer}u v es legyen c 2 (a b) tetsz}oleges. Legyenek L1 es L2 az r{nek a c]{re ill c b]{re valo megszortasa altal denialt gorbek r(c) L L 1 2 r(a)=r(b) Mivel L zart, r(a) = r(b) (lasd a 1.26 (10)(b) feladatot)

Kovetkezeskepp, L1 es ;L2 azonos kezd}o{ es vegpontokkal rendelkeznek, hiszen L1 kezd}opontja r(a) = r(b), ami L2 vegpontjaval, azaz ;L2 52 kezd}opontjaval esik egybe, mg L1 vegpontja r(c) s ez azonos L2 kezd}opontjaval, azaz ;L2 vegpontjaval. Emiatt a feltetellel az adodik, hogy Z L1 v dr = Z L2 ; v dr = ; Z L2 v dr : Vagyis, felhasznalva az integralnak felosztasokra nezve additv voltat (1.22 (1)(b) A lltas), Z L v dr = Z L1 v dr + Z L2 v dr = 0 : 3.25 Megjegyzes A bizonytas alapjan konnyen lathato, hogy az alltas megfordtasat miert nem lehet olyan konnyen bizonytani, mint magat az alltast. Nem biztos ugyanis, hogy, ket azonos pontot osszekot}o gorbe egymashoz csatolasa (ehhez a fogalomhoz lasd a 1.26 (11) feladatot) gorbet eredmenyez Ez meg akkor sem igaz, ha a gorbek elemi vek: r(b)=s(c) L2 L 1 r(a)=s(d) Az alabbi tetel a Newton-Leibniz tetel vonalintegralokra valo

altalanostasa: 3.26 Tetel Legyen G  R2 tetsz}oleges ny lt, osszefugg}o halmaz es v : G ! R2 folytonos vektorfuggveny. Tegyuk fel, hogy v{nek letezik G{n potencialja. Ekkor v gorbementi integralja minden G{be es}o ket pont kozotti G{beli gorbe eseten csak a kezd}o{ es vegpontoktol fugg, a gorbe valasztasatol nem, megpedig tetsz}oleges G{beli p es q pontok eseten minden G{be es}o olyan L gorbere, melynek kezd}opontja p, vegpontja pedig q , fennall, hogy Z L v dr = u(q) ; u(p) BIZONYITAS. Legyen v potencialja G{n u es legyen L olyan p kezd}o{ es q vegpontu G{beli gorbe, melynek egyenlete r = r(t) t 2 a b] . Mivel r szakaszonkent folytonosan derivalhato, a b] el}oall olyan kozos bels}o pont nelkuli ai bi ] 1 i n zart intervallumok uniojakent, melynek mindegyikenek belsejen r folytonosan derivalhato. Ezek a reszintervallumok L{nek egy felosztasat denialjak (lasd az 121(3) denciot). Vizsgaljuk meg v gorbementi integraljat ezen

felosztas egy Li elemen Felhasznalva, hogy a lancszabaly alkalmazasaval d u(r(t)) = grad u  r (t) dt minden t 2 (ai bi ) eseten, a gorbementi integral dencioja es a Newton{Leibniz formula alapjan (u  r 2 C ai bi ]): Z Li v dr = Z Li grad u dr = Zb i ai grad u(r(t))  r (t) dt = 53 Zb d dt u(r(t)) dt = u(r(bi )) ; u(r(ai )) : i ai A bizonytando alltas ebb}ol mar kozvetlenul adodik, mert az integral felosztasokra nezve additv (lasd az 1.22 (1)(b) alltast) es persze a1 = a bn = b es ai+1 = bi 1 i n ; 1 tehat Z L v dr = n Z X i=1 Li n X v dr = i=1 (u(r(bi )) ; u(r(ai ))) = u(r(b)) ; u(r(a)) = u(q) ; u(p) hiszen a fenti utolso osszegben u(r(b)) es u(r(a)) kivetelevel minden tag ketszer szerepel ellenkez}o el}ojellel. A tetel kovetkezmenyekeppen adodik az egyvaltozos fuggvenyekre vonatkozo "az integralfuggveny primitv fuggveny" es "primitv fuggvenyek nylt intervallumokon

csak konstansban kulonbozhetnek" alltasok megfelel}oi vektorfuggvenyekre: "a vonalintegral potencial" es "potencialok nylt osszefugg}o halmazokon csak konstansban kulonbozhetnek": 3.27 Kovetkezmeny Legyen G  R2 tetsz}oleges ny lt, osszefugg}o halmaz es v : G ! R2 folytonos vektorfuggveny. (1) Ha v{nek van potencialja G{n, akkor v tetsz}oleges G{beli rogz tett kezd}opontu gorbere vett gorbementi integralja, mint vegpontjanak fuggvenye megadja v{nek egy potencialjat G{n. (2) v potencialjai G{n csak konstansban kulonbozhetnek. BIZONYITAS. Legyen v egy G{beli potencialja u es p 2 G tetsz}oleges rogztett. G nylt es osszefugg}o halmaz, tehat (a fejezet vegen szerepl}o) 3.71 pont (3) feladat alapjan (*) tetsz}oleges r 2 G eseten van p kezd}o{ es r vegpontu G{beli gorbe. Masreszt, az el}oz}o tetel szerint, v{nek barmely G{beli p kezd}o{ es r vegpont}u gorben vett gorbementi integralja rogztett p

eseten csak r{t}ol fugg. Ha ezt az integralt, mint r fuggvenyet w = w(r){el jeloljuk, akkor tehat (*) miatt w ertelmezve van az egesz G{n. Az el}oz}o tetel alapjan w(r) = u(r) ; u(p) es (mivel u(p) nem fugg r{t}ol, azaz konstans) u{val egyutt w is derivalhato es grad w = grad u = v . Ezzel (1){et belattuk. Ami (2){t illeti, ha az u is v potencialja G{n, akkor (*) alapjan az el}oz}o tetelb}ol az adodik, hogy barmely r 2 G eseten  u (r) ; u (p) =   vagyis Z L v dr = u(r) ; u(p) u (r) ; u(r) = u (p) ; u(p) = const.   Az alabbi tetel eddigi eredmenyeinket foglalja ossze a potencial letezesere vonatkozo szukseges feltetelek megadasaval: 3.28 Tetel Legyen G  R2 tetsz}oleges ny lt, osszefugg}o halmaz es v : G ! R2 folytonos vektorfuggveny. Ekkor az alabbi all tasok mindegyike kovetkezik az els}ob}ol: (1) v{nek van potencialja S {en. (2) v gorbementi integralja minden G{be es}o ket pont kozotti G{beli gorbe eseten csak a kezd}o{

es vegpontoktol fugg, a gorbe valasztasatol nem (3) v gorbementi integralja minden G{be es}o zart egyszer}u ven nulla. (4) rot v = 0 az egesz G{n amennyiben v 2 C1 (G) . BIZONYITAS. (1) =) (2): 3.26 Tetel 54 (2) =) (3): 3.24 A lltas (1) =) (4): rot v = rot grad u = 0 G{n (lasd a 3.3 f pontbeli (1) osszefuggest) A kerdes mostmar termeszetesen az, hogy vajon a 3.28 Tetel megfordthato-e, pontosabban a potencial letezesere vonatkozo, a tetelben megfogalmazott szukseges feltetelek kozul melyek es milyen feltetelek eseten elegsegesek is egyben. Mivel a 327 Kovetkezmeny szerint ha letezik potencial, akkor (konstans erejeig) a potencial vonalintegral, tehat ha potencialt akarunk talalni, mindenkeppen valahogyan a vonalintegral segtsegevel kell denialnunk egy skalarfuggvenyt. Ez nyilvan csak akkor tehet}o meg, ha az integral nem fugg a gorbe valasztasatol. Ekkor azonban eleg a legegyszer}ubben kezelhet}o gorbek, azaz az

egyenes szakaszok menten integralni. Masreszt, ha csak az adott pontokat osszekot}o szakaszokra szortkozunk, akkor az gy kapott szamok valoban csak a a kezd}o{ es vegpontoktol fuggenek, tehat rogztett kezd}opont eseten az egyenesszakaszmenti integral minden ponthoz egyertelm}uen hozzarendel egy skalart. Az gy denialt fuggvenynek a fentiek szerint potencialnak kell lennie { ha letezik egyaltalan potencial. Azt kell tehat megmutatnunk, hogy ha a gorbementi integral fuggetlen a gorbe valasztasatol, akkor az egyenes szakasz menti integral, mint vegpontjanak fuggvenye potencial. Ezt az egyvaltozos esettel analog modon lehet belatni. (E rdekes modon, a gorbet}ol valo fuggetlenseg feltteleben nem is kell az osszes lehetseges gorbe menti integralt gyelembe venni, hanem { ahogy majd az alabbi tetel bizonytasaban latni fogjuk { eleg csak a haromszogek elei menten valo integralasra szortkozni.) Mivel egyenes

szakaszok menten vett integrallal denialt fuggvenyt termeszetesen csak olyan halmazon lehet ertelmezni, ahol talalhato olyan rogztett pont, melyb}ol minden halmazbeli pontba vezet a halmazon belul egyenes szakasz, azaz ahonnan minden halmazbeli pont "lathato", a bizonytasban ilyen tulajdonsagu nylt halmazokra, un. csillagszer}u tartomanyokra szortkozunk: Most megadjuk a fent vazolt bizonytashoz szukseges fogalmak pontos meghatarozasat: 3.29 Dencio Legyen n tetsz}oleges pozitv egesz. (1) Legyenek p q 2 Rn tetsz}olegesek, p 6= q . Az r = r(t) = p + t(q ; p) t 2 0 1] egyenlettel denialt gorbet a p{t es q{t osszekot}o szakasznak nevezzuk, es p q]{val jeloljuk. Egy pontharmasrol azt mondjuk, hogy egy egyenesbe esnek, ha van olyan szakasz, mely mindharmat tartalmazza. (2) A T  Rn gorbet haromszognek nevezzuk, ha vannak olyan nem egy egyenesbe es}o p1 p2 p3 2 Rn pontok, hogy a p1 p2 ] p2 p3 ] es p3 p1 ] szakaszok

T egy lefedeset adjak. p1 p2 es p3 a haromszog csucsai, a lefed}o szakaszok pedig a haromszog oldalai. (3) Az S  Rn nylt halmazt csillagszer}u tartomanynak nevezzuk, ha van olyan s 2 S , hogy minden x 2 S eseten s x]  S . Egy ilyen s pontot S csillagpontjanak nevezunk Csillagszeru tartomany peldaul az egesz sk, barmely felsk es korlap, altalaban minden konvex halmaz, de ilyen peldaul az a nem konvex halmaz is, melyet ugy kapunk, hogy valamelyik sknegyedet elhagyjuk 55 a skbol. Masreszt nem csillagszer}u tartomany peldaul a korgy}ur}u 3.30 Jeloles Zq p v dr = Z pq] v dr ha p 6= q es Zp p v dr = 0 : Most a szakaszoknak, haromszogeknek es csillagszer}u tartomanyoknak azokat a szemleletesen nyilvanvalo es formalisan is denciojukbol kozvetlenul bizonythato elemi tulajdonsagait fogalmazzuk meg, melyeket a kes}obbiekben fel fogunk hasznalni. 3.31 Megjegyzesek (1)(a) Szakasz dencioja alapjan

nyilvanvaloan minden szakasz elemi v. (b) A 3.23 (2) megjegyzesb}ol adodoan Zq Zp v dr = ; v dr . ;p q] = q p] , gy p q (2)(a) A normaltartomany denciojat hasznalva egyszer}u analitikus skgeometria feladat annak ellen}orzese, hogy minden haromszog normal terresz (specialisan normaltartomany) hatara (lasd a 3.71 pont (6) feladatot alabb). (b) Az 1.26 (11) es (10)(b) feladatok kovetkezmenyekeppen minden haromszog zart egyszer}u v (3) Alabb a 3.71 pont (4) feladatban megmutatjuk, hogy minden csillagszer}u tartomany egy haromszoggel egyutt tartalmazza az altala hatarolt normaltartomanyt is. (4) A denciokra tamaszkodva nagyon konny}u belatni (lasd a 3.7 pont (5) feladatot alabb), hogy azonos kezd}o{ es vegpontu szakaszok eseten mind az altaluk lefedett halmazok, mind pedig a rajtuk vett integralok azonosak, azaz ha az L1 es L2 szakaszok egyenletei r1 = r1 (t) t 2 a1 b1 ] es r2 = r2 (t) t 2 a2 b2 ], tovabba L1 es L2

kezd}o{ ill. vegpontjai megegyeznek, akkor Rg r1 = Rg r2 es Z Z v dr = v dr barmely Rg r1 = Rg r2 {n folytonos v eseten. L1 L1 (5) Mivel (3) alapjan tetsz}oleges haromszog feloszthato olyan szakaszokra, melyeken a vonalmenti integralok azonosak az oldalakon vett vonalmenti integralokkal es harom egy egyenesbe es}o pont eseten a lefedett szakasz feloszthato olyan szakaszokra, melyeken az integral megegyezik a felosztas elemein vett integrallal, gy az 1.22 (1)(b) alltas alapjan haromszogeken es egy egyenesbe es}o szakaszokon az integral additv, azaz egyreszt barmely egy egyenesbe es}o p1 p2 p3 pont eseten Zp 3 p1 v dr = Zp 2 p1 v dr + Zp 3 p2 v dr masreszt ha valamely p1 p2 p3 csucsu haromszogon a vonalmenti integral nulla, akkor Zp 2 tehat (1)(b) miatt ekkor is p1 v dr + Zp 3 p1 Zp p2 v dr = 3 v dr + Zp p1 2 Zp 1 p3 v dr + v dr = 0 Zp 3 p2 v dr : (6) Az 1.26 (2)(b) es (11) feladatok kovetkezmenyekent

(1)(a) alapjan adodik, hogy csillagszer}u tartomany osszefugg}o halmaz. Fenti tenyek birtokaban mar konnyen megmutathato, hogy csillagszer}u tartomanyon a 3.28 Tetel megfordthato: 56 3.32 Tetel Legyen S  R2 csillagszer}u tartomany es v : G ! R2 folytonos vektorfuggveny. Az alabbi feltetelek ekvivalensek: (1) v{nek van potencialja S {en. (2) v gorbementi integralja minden G{be es}o ket pont kozotti G{beli gorbe eseten csak a kezd}o{ es vegpontoktol fugg, a gorbe valasztasatol nem. (3) v gorbementi integralja minden S {be es}o zart egyszer}u ven nulla. (4) rot v = 0 az egesz S {en, amennyiben v 2 C1 (G) . BIZONYITAS. A bizonytas azon alapul, hogy megmutatjuk a tetelben szerepl}o feltetelek es az alabbi feltetel ekvivalens voltat: (5) v gorbementi integralja minden S {beli haromszogon nulla. (a) (5) =) (1) Tegyuk fel, hogy v gorbementi integralja minden S {beli haromszogon nulla. Legyen p1 p2 p3 2 R2 tetsz}oleges. Ekkor a 331 (5)

megjegyzes alapjan, akar egy egyenesen vannak ezek a pontok, akar nem, fennall, hogy Zp 3 (*) p1 v dr ; Zp 2 v dr = p1 Zp 3 p2 v dr Megmutatjuk, hogy amennyiben S csillagpontja s 2 S , akkor a minden r 2 S eseten ertelmezett u(r) = Zr s v dr fuggveny potencialja v{nek S {en. Azt kell tehat belatni, hogy tetsz}oleges r0 2 S eseten u(r0 + h) ; u(r0 ) ; v(r0 )  h ;! 0 ha h ;! 0 jhj hiszen ez a dencio szerint pont azt jelenti, hogy grad u r = v(r0 ) : 0 (*){bol u(r0 + h) ; u(r0 ) = Z r +h 0 s v dr ; Zr 0 s v dr = Z r +h 0 r0 v dr r0+ h r 0 s es r0 r0 + h] egyenlete: r(t) = r0 + th t 2 0 1] , tehat r (t) = h . Ezert Z r +h 0 r0 kovetkezeskepp, v(r0 ) dr = Z1 0 v(r0 )  r (t) dt = Z1 0 v(r0 )  h dt = (v(r0 ))  h) 57 Z1 0 dt = v(r0 )  h u(r0 + h) ; u(r0 ) ; v(r0 )  h = Z r +h 0 r0 v dr ; Z r +h 0 r0 v(r0 ) dr = Z r +h 0 r0 (v(r) ; v(r0 )) dr : Legyen " > 0 tetsz}oleges. Mivel v 2 C (G) , gy

van  > 0 , hogy jv(r) ; v(r0 )j < " , ha jr ; r0 j <  , ezert jv(r) ; v(r0 )j < " , ha r 2 r0 r0 + h] es jhj <  (hiszen ekkor r = r0 + t h valamely 0 t 1 {re, tehat jr ; r0 j = jt hj = jtj jhj jhj <  ). Mindezekkel ju(r0 + h) ; u(r0 ) ; v(r0 )  hj = j < Z r +h 0 r0 Z r +h 0 r0 " jdrj = " (v(r) ; v(r0 )) drj Z r +h 0 r0 jdrj = "jhj Z r +h 0 r0 jv(r) ; v(r0 )j jdrj < tehat u(r0 + h) ; u(r0 ) ; v(r0 )  h = ju(r0 + h) ; u(r0 ) ; v(r0 )  hj < " ha jhj <  jhj jhj amit bizonytanunk kellett. (b) (1) =) (2) =) (3) : 3.28 Tetel es 324 A lltas (c) (3) =) (5): 3.31 (2)(b) megjegyzes Tovabba, ha v 2 C1 (G) , akkor (d) (1) =) (4): 3.28 Tetel (e) (4) =) (5): 3.31 (2)(a) megjegyzes es Stokes tetel 3.62 Potencialkereses Az alabbiakban ket egyszer}u peldan keresztul ismertetunk ket modszert, melyek segtsegevel a potencial { ha letezik { konnyen meghatarozhato. a) Parcialis

dierencialegyenletrendszer megoldasa Legyen v = v(x y) = (x(1 + y2 ) y(1 + x2 )) az a vektorfuggveny, melynek potencialjat meg akarjuk hatarozni. Mivel rot v = 2xy ; 2xy = 0 gy v{nek tenyleg van potencialja az egesz skon. Legyen u ez a potencial Ekkor (v1 v2 ) = v = grad u = (ux uy ) miatt a (*) v1 = ux es v2 = uy osszefuggeseknek fenn kell allniok. Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk Induljunk ki peldaul az ux = v1 = x(1 + y2 ) egyenletb}ol. Ekkor x szerint integralva (*) u = x22 (1 + y2 ) + c(y) valamely c = c(y) csak y{tol fugg}o dierencialhato fuggvenyre. Ebb}ol, v denciojabol es (*){bol y(1 + x2 ) = v2 = uy = x2 y + c (y) azaz c (y) = y tehat valamely c konstansra 2 c(y) = y2 + c amit visszahelyettestve (*){ba, 0 0 58 u = 12 (x2 + x2 y2 + y2 ) + c : Ez az eredmeny persze ellen}orizhet}o, valoban grad u = (ux uy ) = (x + xy2 y + yx2 ) = v : Nyilvan megtehettuk volna, hogy el}oszor uy = v2 = y(1 + x2 ) {b}ol hatarozzuk meg

u{t egy c = c(x) erejeig, majd ebb}ol az u{bol kiszamtott ux felhasznalasaval, az ux = v2 egyenlet segtsegevel adodo c integralasa utan kapjuk meg u vegleges formajat. Vegul termeszetesen az eljaras csak akkor vezethet helyes eredmenyre, ha tenyleg letezik potencial. (Probaljuk ki, mi adodik akkor, ha a v = CROSS(r) fuggveny (rot v = 2 miatt sehol sem letez}o) potencialjat akarnank meghatarozni gy!) Ugyanez igaz persze barmely, a potencial meghatarozasara szolgalo eljarasra, gy az alabb ismertetend}o modszerre is. b) Origokezd}opontu szakasz menti vonalintegral kiszamtasa 0 Legyen n tetsz}oleges nemnegatv egesz es v = v(r) = rjrjn az a vektorfuggveny, melynek potencialjat meg akarjuk hatarozni. Mivel ha r 6= 0 akkor grad jrjn = njrjn 1 grad jrj = njrjn 1 rr = njrjn 2 r , azaz grad jrjn k r gy CROSS(r) ? r k grad jrjn . Ebb}ol adodoan, felhasznalva, hogy rot r = 0 , rot v = jrjn rot r; ;CROSS(r)  grad jrjn = 0 ,

Megmutatjuk, hogy v rotacioja az origoban is nulla. Mivel n = 0 eseten rot v = rot r = 0 mindenutt, feltehetjuk, hogy n  1. Azt fogjuk bebizonytani, hogy az origoban v derivaltoperatora nulla, amib}ol persze mar kozvetlenul adodik, hogy a derivaltoperator antiszimmetrikus resze es vele egyutt annak vektorinvariansa, tehat v rotacioja is nulla. Dencio szerint a D operator a v vektorfuggveny r0 2 Int Do v{beli derivaltoperatora pontosan akkor, ha h ;! 0 eseten v(r0 + h) ; v(r0 ) ; D h ;! 0 : ; ; ; j j jhj A mi esetunkben, mivel v(0) = 0j0jn = 0 ez annak megmutatasat jelenti, hogy v(0 + h) ; v(0) ; 0 h = v(h) ; 0 ; 0 h = v(h) ;! 0 : jhj jhj jhj Nos, v(h) = hjhjn , gy n  1 miatt v(h) = hjhjn = hjhjn 1 ;! 0 : jhj jhj ; Belattuk tehat, hogy rot v = 0 mindenutt, kovetkezeskeppen letezik az u potencial az egesz skon. Hatarozzuk meg ezt egy olyan L szakasz menten vett vonalintegral segtsegevel, melynek kezd}opontja az origo,

vegpontja pedig r ! L egyenlete: s = s(t) = t r t 2 0 1] , gy s (t) = r , tehat u(r) = = Z1 0 Zr 0 v dr = Z1 0 v(s(t))  s (t) dt = tjtjn jrjn (r  r) dt = jrjn (r  r) Z1 0 Z1 0 s(t)js(t)jn  s (t) dt = tjtjn dt = jrjn+2 Z1 0 Z1 0 t rjtrjn  r dt = tn+1 dt = jrjn+2 1 tn+2 = jrjn+2 : n+2 0 n+2 E s valoban, mivel u az origo kivetelevel derivalhato fuggvenyek osszetett fuggvenye, lancszaballyal r 6= 0 eseten n+2 grad jnrj+ 2 = n +1 2 grad jrjn+2 = n +1 2 (n + 2)jrjn+1 gradjrj = jrjn+1 jrrj = rjrjn : 59 No de mi a helyzet az origoban? Megmutatjuk, hogy u ott is potencial. v(0) = 0j0jn = 0 tehat azt kell megmutatnunk, hogy u gradiense az origoban valoban nulla. A gradiens dencioja szerint a g(r0 ) vektor gradiense u{nak valamely r0 2 R2 pontban akkor es csak akkor ha h ;! 0 eseten u(r0 + h) ; u(r0 ) ; g(r0 )  h ;! 0 : jhj 1 j0jn+2 = 0 gy Nomarmost, legyen r0 = 0 es g(r0 ) = 0 : Ekkor u(r0 ) = u(0) = n+2 u(r0 + h) ; u(r0 ) ; g(r0

)  h = u(0 + h) ; u(0) ; 0  h = u(h) ; 0 ; 0 = jhj jhj jhj = uj(hhj) = n+2jhj 1 es persze n  0 miatt tenyleg n+2 jhj 1 jhjn+1 = n+ 2 1 jhjn+1 ;! 0 ha h ;! 0 n+2 ami fentiekkel pont azt jelenti, hogy grad u 0 = 0 = v(0) : Hangsulyozni kell, hogy a modszer csak akkor vezet biztosan helyes eremenyre, ha az origo csillagpontja a tartomanynak, melyen a potencial letezeset garantalo 3.32 Tetel feltetelei fennallnak (tehat, tobbek kozott, a vizsgalt fuggveny folytonos), hiszen az origokezd}opontu szakaszon vett integral csak azon r pontokban adja meg a potencialt, melyhez van olyan r vegpontu origokezd}opontu szakasz, mely teljesen a tartomanyba esik. Masreszt persze el}ofordulhat, hogy ez a feltetel nem all fenn es a modszerrel kapott eredmeny megis helyes. Ezt nyilvan kozvetlen derivalassal egyszer}uen ellen}orizhetjuk Termeszetesen az origokezd}opontu szakasz mellett barmely olyan mas gorbe tpus, melyen egyszer}u integralni

felhasznalhato arra, hogy a rajta vett integral segtsegevel meghatarozzuk a potencialt. Gyakran peldaul a koordinatatengelyekkel parhuzamos gorbek menti integralokat szoktak potencialkeresesre hasznalni. 3.63 A ponttoltes er}oterenek es dualisanak potencialja A 3.4 pontban targyalt ket zikai alkalmazasrol elmondottakat most kiegesztjuk a potencialok megadasaval. A ket vektorfuggveny a v(r) = r es w(r) = CROSS (r) : jrj2 jrj2 Mar lattuk, hogy mindket fuggveny rotacioja az origoval kiszurt teljes skon nulla, gy a 3.32 Tetel alapjan a sk barmely, az origot nem tartalmazo csillagszer}u tartomanyan van potencialjuk. A potencialok kiszamtasara a fent ismertetettek modszerek kozul csak az els}o alkalmazhato, mert a fuggvenyek az origoban nem leteznek (es { ahogy mar a 3.4 pontban lattuk { folytonossa sem tehet}oek) a) Ponttoltes er}otere Ha x2 + y2 6= 0 , akkor Ebb}ol tehat (*) v = v(r) = jrrj2 = x2 +1

y2 (x y) . ux = v1 = x2 +x y2 u = 12 ln(x2 + y2 ) + c(y) 60 gy uy = x2 +y y2 + c (y) 0 amib}ol uy = v2 = x2 +y y2 miatt c (y) = 0 vagyis c(y) konstans, tehat valaszthato 0{nak, ezert (*){gal egy potencial: p u = u(x y) = 12 ln(x2 + y2 ) = ln x2 + y2 ha x2 + y2 6= 0 vagyis u = u(r) = ln jrj ha r 6= 0 . Nos, ebb}ol lancszaballyal azt kapjuk, hogy minden r 6= 0 eseten, grad ln jrj = 1 grad jrj = 1 r = r 0 jrj jrj jrj jrj2 tehat v{nek nem csak valamely csillagszer}u tartomanyon, hanem az origoval kiszurt teljes s kon, azaz egesz ertelmezesi tartomanyan van potencialja, egy ezek kozul az u(r) = ln jrj fuggveny. Kovetkezeskeppen, a 3.28 Tetel alapjan v gorbementi integralja minden G{be es}o zart egyszer}u ven nulla (gy az origot a belsejeben tartalmazo normal terresz hatarakent adodo zart egyszer}u vre is az), amint azt a 3.4 potban lattuk, legalabbis normal terreszek hataraikent el}oallo zart egyszer}u vek eseten. A

ter ekvipotencialis feluletei (azaz azon pontok halmaza, melyek menten a potencial allando, tehat valamely c konstansra u = u(r) = c) az origokozeppontu korok, hiszen ha R > 0 rogztett es jrj = R akkor u = u(r) = ln R allando. Ezek menten tehat a potencial nem valtozik, hiszen ezek barmely szakaszan a v vonalmenti integralja nulla, mert a kor erint}oje mer}oleges v{re, vagyis a korok, mint ketdimenziobeli valodi feluletek normalisat adja meg grad u = v . Valoban, v { leven sugariranyu { minden pontban az azon a ponton athalado kor erint}ojenek normalisa. Masszoval, u a korok menten nem valtozik, leggyorsabb valtozasi iranya pedig eppen az azokra mer}oleges irany, a v = grad u iranya. b) Pontszer}u vezet}o magneses tere 1. POTENCIAL A JOBB{ ES BALFELSIK BELSEJEBEN Ha x2 + y2 6= 0 , akkor Ebb}ol x 6= 0 eseten tehat (*) gy (r) = 1 (;y x) . w = w(r) = CROSS 2 jrj x2 + y2 ux = v1 = x2;+yy2 = ;x2y 1 y 2 1 + (x) u = arctg

xy + c(y) amib}ol uy = x1 1 + c (y) 1 + ( xy )2 0 uy = v2 = x2 +x y2 = x1 1 y 2 1 + (x) miatt c (y) = 0 vagyis c(y) konstans, gy valaszthato 0{nak, ezert (*){gal (minden olyan nylt halmazon, ahol x 6= 0) egy potencial: u = u(x y) = arctg xy : E s valoban ellen}orizhet}o, hogy ha x 6= 0 akkor 0 grad arctg xy = x2 +1 y2 (;y x) : 61 Igen am, de, ha ennyivel megelegednenk, az azt jelentene, hogy w{nek legfeljebb a jobb ill. bal felsk belsejeben van potencialja, hisz ezeknel b}ovebb halmazok mar belemetszenek az x = 0 egyenlet}u y tengelybe. Ez viszont ellentmond annak, amit mar vizsgalatunk elejen megjegyeztunk, hogy { mivel mindket fuggveny rotacioja az origoval kiszurt teljes skon nulla { a 3.32 Tetel alapjan w{nek a sk barmely, az origot nem tartalmazo csillagszer}u tartomanyan van potencialja! Peldaul barmely origobol indulo, az origot tartalmazo felegyenes pontjaitol megfosztott (a felegyenes menten felmetszett) sk

is egy, az origot nem tartalmazo csillagszer}u tartomany (a felegyenes masik felenek barmely pontja csillagpontja), ugyhogy itt is kell lennie potencialnak, pedig ez nyilvan vagy a bal vagy a jobb nylt felsknal b}ovebb halmaz, belemetsz az y tengelybe! Masszoval a fenti fuggvenynek "folytathatonak", kiterjeszthet}onek kell lennie, meghozza folytonosan derivalhato modon a jobb ill. bal felsknal b}ovebb halmazokra is ! 2. A POTENCIAL FOLYTONOS KITERJESZTESE A POZITIV FUGGO} LEGES FELTENGELYRE A jobb es bal felskok belsejeben minden konstans c{re arctg xy + c is potencial, gy nyilvan az u+ (r) = arctg xy a jobb felskon, mg az u (r) = arctg xy +  a bal felskon potencialja w{nek. Masreszt, mivel lim arctg x1 = 2 x lim0 arctg x1 = ; 2 x 0+ miatt a pozitv y feltengely barmely (0 y0) pontjara minden " > 0 eseten van olyan  > 0 hogy ju+ (x y) ; 2 j < " ha x > 0 j(x y) ; (0 y0 )j <  es ju (x y) ;

2 j < " ha x < 0 j(x y) ; (0 y0 )j <  ami pontosan azt jelenti, hogy az ; ;! ; ;! ; 8 u+ > < u(x y) = > 2 :u 8 y ha x > 0 ha x > 0 > < arctg x ha x = 0 y > 0 ha x = 0 y > 0 azaz az u(x y) = > 2 y : ha x < 0 arctg x +  ha x < 0 fuggveny folytonos a jobb es a bal felskon kv}ul a pozitv y feltengely pontjaiban is, azaz az egesz, a negatv zart y feltengely menten felmetszett nylt S = R2 n f(x y) 2 R2 : x = 0 es y 0g : skon. Ez nyilvan nylt es osszefugg}o halmaz Nos, u nem csak folytonos, de derivalhato is S {on es egesz S {on tenyleg potencial, azaz mindenutt grad u = v ! Ez megmutathato a gradiens dencioja alapjan kozvetlenul is (lasd a 3.71 pont (7) feladatot), de egyszer}ubb annak bizonytasan keresztul, hogy parcialisai folytonosak, hisz ebb}ol kovetkezik a derivalhatosag. ; ; ; ; 3. A KITERJESZTETT POTENCIAL PARCIALIS DERIVALTJAI A JOBB ES BAL FELSIK BELSEJEBEN A nylt

jobb es bal felskon, azaz az y tengely pontjaitol kulonboz}o pontokban persze u folytonosan derivalhato, hiszen ilyen tulajdonsagu fuggvenyekb}ol all el}o alapm}uveletekkel ill. osszetett fuggveny kepzes segtsegevel, melyek mindegyike meg}orzi a folytonos derivalhatosagot. Ezert a gradiens letezik es komponensei a parcialis derivaltak, melyek meghatarozasahoz felhasznalhatoak az alapm}uveletek ill. az osszetett fuggveny derivaltjara vonatkozo osszefuggesek, tehat ux(x y) = ;x2y 1 y 2 = ; x2 +y y2 es uy (x y) = x1 1 y 2 = x2 +x y2 ha x 6= 0 : 1 + (x) 1 + (x) Ezekb}ol persze valoban, az y tengely pontjait kiveve, mindenutt 62 x )=v grad u = (ux uy ) = (; x2 +y y2 x2 + y2 azaz u potencial a jobb es bal nylt felskon. 4. A KITERJESZTETT POTENCIAL PARCIALIS DERIVALTJAI A POZITIV FUGGO} LEGES FELTENGELYEN (a) El}oszor ux letezeset es folytonossagat vizsgaljuk meg a pozitv y feltengely pontjaiban . Legyen y > 0

tetsz}oleges. A parcialis derivalt dencioja szerint, felhasznalva a LHospital-szabalyt, u(x y) ; 2 ux(0 y) = xlim0 u(x y) ;x u(0 y) = xlim0 = xlim0 ddx u(x y) = x ;! ;! = xlim0 ddx (arctg xy ) = xlim0 ;x2y ;! ;! ;! y 1 y 1 = lim ; = ; y2 = ; y : 1 + ( xy )2 x 0 x2 + y2 ;! Tehat barmely y > 0 eseten letezik u{nak (0 y){ban x szerinti parcialis derivaltja, megpedig (1) ux(0 y) = ; y1 : Megmutatjuk, hogy ux folytonos a pozitv y feltengely pontjaiban is. Legyen P0 rajta a a pozitv y feltengelyen, azaz legyen P0 = (0 y0 ) valamely rogztett y0 > 0{ra. Ekkor minden " > 0 eseten van  > 0 hogy jux (x y) ; ux(P0 )j < " ha j(x y) ; P0 j <  akar rajta van (x y) a pozit v y feltengelyen, akar nincs. Valoban, az els}o esetben (1){b}ol kovetkez}oen lim u (0 y) = (xylim ; 1 = ; y1 = ux(P0 ) , (xy) P x ) P y ;! 0 ;! 0 0 mg a masodikban a felskok belsejere a fenti 3.{ban kapott ux = ; x2 +y y2 eredmenyb}ol adodoan lim

u (x (xy);!P0 x y) = (xylim ; y = ; yy02 = ; y1 = ux(P0 ) . ) P0 x2 + y 2 0 0 ;! (b) Ami uy {t illeti, a pozitv y tengely menten valo letezese es folytonossaga hasonloan lathato be, mert egyreszt ha y > 0 tetsz}oleges rogztett, akkor a parcialis derivalt dencioja alapjan uy (0 y) = ddy u(0 y) = ddy 2 = 0 tehat letezik u{nak minden y > 0 eseten (0 y){ban y{szerinti parcialis derivaltja, megpedig (2) uy (0 y) = 0. Vegul uy {nek a pozitv y feltengely pontjaiban valo folytonossaganak vizsgalatahoz legyen P0 = (0 y0 ) ahol y0 > 0 tetsz}oleges rogztett. Ekkor uy folytonossaga P0 {ban abbol adodik, hogy minden " > 0 eseten van olyan  > 0 melyre j(x y) ; P0 j < {bol kovetkezik juy (x y) ; uy (P0 )j < " akar rajta van (x y) a pozit v y feltengelyen, akar nincs, hiszen ugyanugy, ahogy elobb, egyreszt persze (2){vel lim u (0 y) = (xylim 0 = 0 = ux(P0 ) (xy) P y ) P ;! 0 ;! masreszt a fenti 3.{bol a

felskok belsejen ervenyes osszefuggessel 0 uy = x2 +x y2 63 lim u (x (xy);!P0 y x = 0 = u (P ) . y) = (xylim x 0 ) P0 x2 + y 2 ;! Azt kaptuk tehat, hogy a fenti 2.{ben S {en, azaz a negatv y zart feltengely menten felvagott skon denialt u fuggveny folytonosan derivalhato az egesz S {en es itt mindenutt x )=v grad u = (ux uy ) = (; x2 +y y2 x2 + y2 ; ; masszoval u potencial az egesz S {on. ; Egyetlen kerdest kell meg megvizsgalnunk, nevezetesen azt, hogy vajon nincs-e S {nel b}ovebb nylt es osszefugg}o halmaz, melyen letezik potencial. Nos, a valasz az, hogy nincs Legyen ugyanis R > 0 tetsz}oleges es vegyuk hozza S {hez a (0 ;R) pontot egy barmely " > 0 sugaru S" (0 ;R) kornyezetevel egyutt (ez utobbit azert kell hozzavennunk (0 R){el egyutt, hogy a b}ovebb halmaz meg mindig nylt maradjon), es legyen S = S  S" (0 ;R) az ilymodon kapott uj halmaz. S is nyilvan nylt es osszefugg}o halmaz,

de az origokozeppontu R sugaru kor mar benne fekszik S {ban, tehat ha volna az S halmazon potencialja v{nek, akkor az ezen kor menten vett vonalintegraljanak a 3.28 Tetel szerint nullanak kellene lennie. A 34 pontban azonban mar lattuk, hogy ennek az integralnak az erteke 2 6= 0 ! Vegyuk azt is eszre, hogy ez nem mond ellent annak a tenynek, amit szinten a 3.4 pontban mutattunk meg, hogy rot v = 0 meg az uj S halmaz minden pontjaban is, bar a 3.32 Tetel szerint a rotacio nulla volta maga utan vonja a potencial letezeset (nyilvan v 2 C1 (S ) hisz v csak az origoban "romlik el"). Igen am, de a tetel csak csillagszer}u tartomanyokra vonatkozik es, bar S meg csillagszer}u, de mar nem b}ovthet}o olymodon, hogy az is maradjon. Valoban, S mar nem csillagszer}u tartomany: nyilvan ha Q 2 S nincs az y tengelyen, akkor egyenes szakasszal Q{bol a Q{t az origoval osszekot}o egyenes altal denialt felskok kozul az egyik

pontjai nem erhet}oek el szakasszal Q{bol kiveve azokat, melyek a Q{t az S" (0 ;R) valamely pontjaval osszekot}o egyenesen vannak, mg ha Q az y tengelyen van, akkor S" (0 ;R) y tengelyen fekvo pontjai nem erthet}oek el Q{bol: ; ;  ;      ;   S* Q (0,-R) A ter ekvipotencialis feluleteit persze az el}oz}o pelda dualis alltasai rjak le. Ezek az origon atmen}o egyenesek, hiszen ha c 2 R rogztett es xy = c akkor u = u(r) allando. Ezen egyenesek menten tehat a potencial nem valtozik, mert barmely szakaszukon a v vonalmenti integralja nulla, hisz erint}ojuk mer}oleges v{re. Ezen egyenesek, mint ketdimenziobeli valodi feluletek normalisat adja meg grad u = v Valoban v { leven sugarra mer}oleges iranyu{ minden pontban az origot a ponttal osszekot}o egyenes normalisa. Masszoval, u(r) az egyenesek menten nem valtozik, leggyorsabb valtozasi iranya pedig eppen az azokra mer}oleges irany, a v = grad u

iranya. Vegyuk eszre azt is, hogy az u = u(x y) potencial pontosan az (x y) pontnak a pozitv x tengellyel bezart szoget adja meg a (; 2 3 2 ) tartomanyban ! 64 Vegul erdemes meg megemlteni, hogy az el}oz}oekkel teljesen analog modon lehet belatni, hogy barmely az origobol indulo, az origot tartalmazo felegyenes menten felmetszett skon van v{nek potencialja es ennek a potencialnak meghatarozasa pontosan ugyanugy tortenik, mint a fenti u kiszamtasa (lasd a 3.71 pont (7) feladatot) alabb). Peldaul az 8 arctg x+y > x y < u (x y) = > 2 : arctg xx+yy +  ha y < x ha y = x x > 0 ha y > x fuggveny potencial az y = x egyenesnek a harmadik sknegyedbe es}o fele menten felmetszett skon. (u az (x y) pontnak az y = ;x egyenesnek a negyedik sknegyedbe es}o felevel bezart szoget adja meg.) Abbol azonban, hogy barmely origokezd}opontu felegyenes menten felmetszett skon van v{nek potencialja, a 3.28 Tetel miatt az

is kovetkezik (amit mar mas eszkozokkel az origot nem tartalmazo normal terreszek hataraikent adodo zart egyszer}u vekre lattunk), hogy azon egyszer}u vek eseten, melyekhez van az vet nem metsz}o origo kezd}opontu felegyenes (az ilyan vekr}ol azt mondjuk, hogy "nem takarjak el az origot") a gorbementi integral nulla. ;  ;  3.64 Az egzakt dierencialegyenlet A potencialelmelet egyik alkalmazasakent megmutatjuk, hogy a potencialkereses problemaja atfogalmazhato a dierencialegyenletek terminusaiban is. 3.33 Dencio Legyen g = g(x y) es h = h(x y) valamely H  R2 {en ertelmezett fuggvenyek. Azt a H {n ertelmezett F = F (x y) fuggvenyt, melyre Fx = g(x y) es Fy = h(x y) minden (x y) 2 H eseten, a (g h) fuggvenypar H {beli primitv fuggvenyenek nevezzuk. Ez a fogalom nyilvan a potencial atfogalmalmazasa vektorfuggvenyek helyett ketvaltozos fuggvenyekre. A dierencialegyenletek alabb denialando

tpusanak meghatarozasahoz feleleventjuk az els}orend}u differencialegyenlet es a ketvaltozos implicit fuggveny problema megoldhatosaganak fogalmat: 3.34 Dencio (1) Legyen H  R2 nylt, osszefgg}o halmaz es f (x y) H {n folytonos ketvaltozos fuggveny. Azt mondjuk, hogy egy I  R intervallumon ertelmezett derialhato egyvaltozos y = y(x) fuggveny az y = f (x y) dierencialegyenlet megoldasa H {n, ha y (x) = f (x y(x)) es (x y(x)) 2 H minden x 2 I eseten. (2) Legyen F (x y) tetsz}oleges ketvaltozos fuggveny, c 2 R tetsz}oleges konstans es H  R2 . Azt mondjuk, hogy egy I  R intervallumon ertelmezett egyvaltozos y = y(x) fuggveny az F (x y) = c (ketvaltozos) implicit fuggveny problema megoldasa H {n, ha F (x y(x)) = c es (x y(x)) 2 H minden x 2 I eseten. 0 0 Nos, a ketvaltozos implicit fuggveny problema dierencialhato megoldasai azonosak az egy specialis dierencialegyenlet tpus megoldasaival: 3.35

Dencio Legyen H  R2 tovabba g = g(x y) es h = h(x y) folytonos H {n ertelmezett fuggvenyek. Tegyuk fel, hogy h(x y) = 6 0 minden (x y) 2 H eseten. A g(x y) + h(x y) y = 0 0 65 dierencialegyenletet egzaktnak nevezzuk, ha a (g h) fuggvenyparnak van primitv fuggvenye H {n. 3.36 Jeloles Az egzakt dierencialegyenletet hagyomanyosan az alabbi alakban szoktak megadni: g(x y) dx + h(x y) dy = 0 : A kovetkez}o allitas a 3.35 Dencio es a 332 Tetel nyilvanvalo kovetkezmenye: 3.37 A lltas Legyen g = g(x y) es h = h(x y) a H  R2 csillagszer}u tartomanyon ertelmezett folytonosan di erencialhato fuggvenyek. A g(x y) dx + h(x y) dy = 0 di erencialegyenlet akkor es csak akkor egzakt ha gy = hx : 3.38 A lltas Legyen H  R2 ny lt, osszefugg}o halmaz, g es h H {n folytonos fuggvenyek es legyen F a (g h) fuggvenypar egy H {beli primit v fuggvenye. A g(x y) dx + h(x y) dy = 0 egzakt di erencialegyenlet H {beli megoldasai azonosak az F (x

y) = c c 2 Rg F implicit fuggveny problemak di erencialhato H {beli megoldasaival. Lagrange kozepertektetellel es lancszaballyal: F (x y(x)) = c tetsz}oleges x 2 I {re i Fx (x y(x))  1 + Fy (x y(x)) y (x) = 0 tetsz}oleges x 2 I {re BIZONYITAS. 0 i g(x y(x)) + h(x y(x)) y (x) = 0 tetsz}oleges x 2 I {re : 0 Az alltas alapjan egy egzakt dierencialegyenlet megoldasahoz a dierencialegyenletben szerepl}o fuggvenyek altal alkotott fuggvenypar primitv fuggvenyenek, azaz azon vektorfuggveny potencialjanak meghatarozasa vezet, melynek komponensei ezek a fuggvenyek. Kovetkezeskeppen, a dierencialegyenlet megoldasahoz a potencialkeresesnel megismert modszerek alkalmazhatoak. 3.39 Pelda Oldjuk meg az x dx + y dy = 0 y(0) = 2 kezdeti ertek problemat! El}oszor is, a dierencialegyenlet tenyleg egzakt: g(x) = x h(y) = y gy gy = 0 = hx . Egy primitv fuggvenyt, azaz potencialt a 3.62 a) pontban ismertetett eljarassal

keresunk meg: Fx = g(x) = x 2 F = x2 + c(y) y = h(y) = Fy = c (y) 0 A dierencialegyenlet altalanos megoldasa tehat az 2 c(y) = y2 2 2 F (x y) = x2 + y2 : x2 + y2 = c 2 2 megoldasai, tehat az origokozeppontu felkorok. A kezdeti ertek problema megoldasahoz pedig 02 + 22 = c 2 2 c=2 x2 + y2 = 2 2 2 66 x2 + y 2 = 4 : Tehat a kezdeti ertek problema megoldasa az origokozeppontu R = 2 sugaru pozitv felkor: p y = 4 ; x2 ;2 x 2 : ELLENO} RZES. Egyreszt, nyilvan y (0) = p 4 ; 02 = 2 masreszt y = ;p x 0 miatt x + y y = 0 : 0 2 ; x2 3.40 Pelda (A szeparabilis dierencialegyenlet, mint egzakt dierencialegyenlet) A szeparabilis dierencialegyenlet az alabbi alaku (g es h folytonos fuggvenyek, h sehol nem nulla): y = g(x) h(y) : 0 Irjuk at ezt a kovetkez}o formaban: g(x) ; h(1y) y = 0 : 0 Ez valoban egzakt, hiszen gy = 0 = ( h(1y) )x : Az egyvaltozos f = f (x) fuggveny egy primitv fuggvenyenek R

jelolesere az f (x) dx jelet hasznalva, meghatarozzuk azokat az implicit fuggveny problemakat, melyek megoldasa szolgaltatja a dierencialegyenlet megoldasat. Z Fx = g(x) F = g(x) dx + c(y) ; h(1y) = Fy = c (y) Z Z Z c(y) = ; h(1y) dy F (x y) = g(x) dx ; h(1y) dy Vagyis a 3.38 A lltas alapjan a dierencialegyenlet altalanos megoldasat a szobajohet}o valos c szamokkal adodo 0 Z dy Z h(y) = g(x) dx + c implicit fuggveny problemak megoldasai adjak. (Az implicit fuggveny problemakat az eredeti differencialegyenletb}ol formalisan ugy kaphatjuk meg, hogy abban y helyett dy=dx{et runk, az x{es es y{os tagokat (beleertve a dx es dy{t is) egy{egy oldalra rendezzuk, majd meghatarozzuk mindket oldal primitv fuggvenyeit.) Illusztralo peldakent megoldjuk az 0 2 y = xy 2 0 dierencialegyenletet. 2 dy = y2 dy = dx y = xy 2 2 dx x y2 x2 Z dy = dx + c ; y1 = ; x1 + c y = 1 ;x cx . y2 x2 0 Z Tehat a dierencialegyenlet megoldasai:

ELLENO} RZES. y = 1 ;x cx c 2 R: 2 2 y = (1 ; cx) ; x 2 (;c) = 1 2 = ( xy ) = xy 2 (1 ; cx) (1 ; cx) 0 67 3.7 Feladatok 3.71 Elmeleti feladatok (1) Mutassunk peldat olyan ket azonos pontot osszekot}o gorbekre, melyek nem egy zart gorbe lefedeset adjak ! (2) Mutassunk peldat olyan gorbere, mely nem egyszer}u v ! (3) Poligonnak nevezzuk azokat a gorbeket, melyek feloszthatoak szakaszokra. Azt mondjuk, hogy egy gorbe osszekoti az a es b pontot ha a gorbe vegpontjai a es b . Bizonytsuk be, hogy osszefugg}o halmaz tetsz}oleges ket pontja osszekothet}o poligonnal a halmazon belul ! (4) Bizonytsuk be, hogy minden csillagszer}u tartomany egy haromszoggel egyutt tartalmazza az altala hatarolt normaltartomanyt is ! (5) Bizonytsuk be, hogy ha az L1 es L2 szakaszok egyenletei r1 = r1 (t) t 2 a1 b1 ] es r2 = r2 (t) t 2 a2 b2], tovabba L1 es L2 kezd}o{ ill. vegpontjai megegyeznek, akkor Rg r1 = Rg r2 es Z Z v dr = v dr barmely Rg

r1 = Rg r2 {n folytonos v eseten. L1 L1 (6) Bizonytsuk be, hogy minden haromszog normal terresz (specialisan normaltartomany) hatara ! (7) Bizonytsuk be kozvetlenul a gradiens dencioja alapjan, hogy az u(r) = arctg xy fuggveny derivalhato modon kiterjeszthet}o a negatv y tengely menten felvagott egesz skra ! (7) Bizonytsuk be, hogy ha (r) r 6= 0 w(r) = CROSS 2 jrj akkor minden origobol indulo, az origot tartalmazo felegyenes eseten van w{nek potencialja a felegyenes menten felmetszett skon es hatarozzunk meg egy potencialt ! 3.72 Gyakorlo feladatok (1) Legyen H egy origocsucsu h magassagu a alapu haromszogvonal a skon. H {t egy ketdimenziobeli valodi feluletnek tekintve hatarozzuk meg az Z H r df df integral erteket az integral kiszamtasaval es a Gauss-Osztrogradszkij{tetel felhasznalasaval! (2) Legyen N az a skbeli teglalap, melynek egyik csucsa az origo, egyik a hosszu oldala az x es egyik

b hosszu oldala az y tengely pozitv felere esik. Legyen v(x y) = (x2 0) egy ketdimenzios vektorfuggveny Szamtsuk ki v feluletmenti integraljat N {en, mint egy ketdimenziobeli valodi feluleten! (3) Legyenek a es b pozitv valos szamok es legyen H az a haromszogvonal, melynek csucsai a (;a 0) (0 b) 68 (a 0) pontok. Legyen v(x y) = (x ; y x + y) egy ketdimenzios vektorfuggveny Szamtsuk ki v vonalmenti integraljat H {n! (4) Legyen v = v(x y) = (xy x + y) az egesz skon ertelmezett vektorfuggveny es R2 szokasos bazisa e = (i j ) : Legyen f = ( ip+ j ip; j ) 2 2 2 R egy masik (othonormalt) bazisa. A derivaltoperator transzformacioja nelkul hatarozzuk meg v derivaltoperatoranak f {beli matrixat es szamtsuk ki ebb}ol a matrixbol v divergenciajat es rotaciojat! (5) Legyen K a skbeli els}o sknegyedbe es}o R sugaru korlapnegyed: K = f(x y) : x2 + y2 x  0 y  0g : Legyen H K hatarvonala es v(r) = r  jrj2 egy

ketdimenzios vektorfuggveny. Szamtsuk ki v feluletmenti integraljat H {n, mint egy ketdimenziobeli valodi feluleten a Gauss{Osztrogradszkij tetel felhasznalasaval es anelkul! (6) Ellen}orizzuk a 3.4 pont utolso el}otti bekezdeseben jelzett modon a ponttoltes er}oterere es a pontszer}u vezet}o magneses terere vonatkozo eredmenyeinket! 69 4. Magasabb dimenzios altalanostasok Mindaz, amit az el}oz}oekben a skra vonatkozo vizsgalataink eredmenyekeppen kaptunk nagyon termeszetes modon igen konnyen kiterjeszthet}o, megpedig { ahogy arra mar a 2. fejezetben utaltunk { a cirkulacioval, orvenys}ur}useggel es rotacioval kapcsolatos fogalmaink es alltasaink a haromdimenzios, mg a !uxussal, forrass}ur}useggel es divergenciaval osszef}ugg}oek barmely veges (nullanal nagyobb) dimenzios linearis normalt terre. Ebben a fejezetben, melyben tehat n mindig tetsz}oleges, de rogztett pozitv egesz szam, roviden

osszefoglaljuk ennek az altalanostasnak, a veges{ ill. haromdimenzios vektoranalzisnek legfontosabb eredmenyeit. 4.1 Divergencia A divergencia altalanos meghatarozasat mar a 3.3 Dencioban megadtuk, ez a derivaltoperator skalarinvariansa, azaz 4.1 Dencio Egy v = (v1 v2 : : : vn ) : H ! Rn H  Rn derivalhato vektorfuggveny divergenciaja 1 + @v2 + : : : + @vn : div v = @v @x @y @x Ami a Gauss-Osztrogradszkij tetelt illeti, ennek bizonytasa az ertelemszer}u valtoztatasokkal igen konnyen altalanosthato, csupan pontosan ugyanazt kell n komponensre vegrehajtani, amit a ketdimenzios esetben kett}ore csinaltunk meg. (Az egyetlen nehezseget egy technikai feltetel, az integralok normal terreszek hatarain menten valo additivitasanak igazolasa, az 1.26 (15)(b) feladat magasabb dimenziokra valo kiterjesztese jelenti.) Maga a tetel szo szerint megegyezik a 35 Tetellel, kiveve termeszetesen azt, hogy ketdimenzio helyett n

dimenziora vonatkozik: 4.2 Tetel (Gauss-Osztrogradszkij tetel) Ha V n{dimenzios normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott valodi felulet, V  H  Rn es v : H ! Rn tetsz}oleges V {n folytonosan derivalhato vektorfuggveny, akkor Z F Z v df = V div v dV Termeszetesen a tetel veges sok hatarolo feluletre vonatkozo formaja (3.6 Tetel) is hasonloan, minden lenyeges valtoztatas nelkul, kiterjeszthet}o barmely nullanal nagyobb veges dimenziora. Ezt felhasznalva egyebkent konnyen lathato, hogy a Gauss-Osztogradszkij tetel a Newton{Leibniz tetel tobbdimenziora valo altalanostasa. Valoban, (felhasznalva az 112 (3), 114 (4)(b) es az 120 (2) megjegyzeseket) a tetelt az n = 1 esetre alkalmazva azt kapjuk, hogy ha V = a b] egydimenzios terresz, azaz intervallum (melynek kifele iranytott hatarat a +1 {el iranytott F1 = fbg es a ;1 {el iranytott F2 = fag nulldimenzios feluletek lefedik), v = v(x) pedig V {n folytonosan

derivalhato vektorfuggveny, akkor Zb a v (x) dx = 0 Z V div v dV = Z F1 v df + Z F2 v df = v(b) ; v(a) : Masreszr}ol ez az osszefugges megvilagtja a Newton{ Leibniz tetel zikai jelenteset : egy cs}o ket vegen be{ es kiaramlo folyadek mennyisegenek kulonbsege a cs}oben keletkez}o (elt}un}o) folyadek mennyisegevel 70 egyenl}o, mely utobbi nem mas, mint a hosszegysegenkent keletkez}o (elt}un}o) folyadekmennyisegnek, azaz a hosszegysegenkenti folyadekmennyiseg-valtozasnak a cs}o hosszara vett integralja. Vegul a tetel dierencialis alakja is szo szerint altalanosthato, tehat a divergencia n dimenzioban is a forrass}ur}useget adja meg: 4.3 Kovetkezmeny Legyen G  Rn ny lt es v : G ! Rn tetsz}oleges G{n folytonosan derivalhato vektorfuggveny. Ekkor G{n letezik v{nek s(v) forrass}ur}usege es fennall, hogy s(v) = div v . 4.2 Rotacio A rotacioval mar egy kisse komplikaltabb a helyzet, mint a divergenciaval.

Meg kell talalnunk a 38 A lltas megfelel}ojet R3 {ra, amivel aztan a 3.10 es 311 Denciokban a dimenzionak kett}or}ol haromra valtoztatasaval megkapjuk a kvant fogalmat. 4.4 A lltas R3 tetsz}oleges A antiszimmetrikus linearis transzformaciojahoz van egyetlen olyan c 2 R3 vektor, hogy A r = c  r tetsz}oleges r 2 R3 eseten tovabba A tetsz}oleges e orthonormalt bazisbeli A e = (aij )3ij=1 matrixabol c leolvashato : c = (a32 a13 a21 ) : Az egyertelm}useg nyilvanvalo. A antiszimmetrikus, tehat R3 tetsz}oleges e = (e1 e2 e3 ) orthonormalt bazisbeli (aij )3ij=1 matrixa is az, vagyis a c1 = a32 c2 = a13 c3 = a21 jelolesekkel BIZONYITAS. 0 0 ;c c 1 3 2 A e = @ c3 0 ;c1 A ;c2 c1 0 Igy barmely r = xe1 + ye2 + ze3 2 R3 eseten 0 0 ;c c 1 0 x 1 0 ;yc + zc 1 3 2 3 2 (1) A e r e = @ c3 0 ;c1 A @ y A = @ xc3 ; zc1 A : ;c2 c1 0 z ;xc2 + yc1 Masreszt az 1.6 A lltas alapjan e1 e2 e3 c  r = CROSS(c r) = c1 c2 c3 = (c2 z ; c3 y)e1 ; (c1 z ; c3 x)e2 + (c1

y ; c2 x)e3 x y z tehat (1){el Kovetkezeskeppen, 0 c z;c y 1 2 3 A r e = A e r e = @ c1z + c3 x A = c  r e : c1 y ; c2 x A r = c  r minden r 2 R3 eseten . 71 4.5 Dencio (1) Azt a a fenti alltasban szerepl}o c vektort, melyet R3 tetsz}oleges linearis transzformaciojanak antiszimmetrikus resze egyertelm}uen meghataroz, a transzformacio vektorinvariansanak nevezzuk. (2) Legyen H  R3 es v : H ! R3 derivalhato vektorfuggveny. v derivaltoperatora vektorinvariansanak ketszereset v rotaciojanak nevezzuk es rot v{vel jeloljuk. 4.6 A lltas Legyen H  R3 es v : H ! R3 derivalhato vektorfuggveny, melynek komponensei v1 v2 es v3 , azaz v = (v1 v2 v3 ) . Ekkor i j k rot v = r  v = @@x @@y @@z v1 v2 v3 vagyis BIZONYITAS. 3 @v2 @v1 @v3 @v2 @v1 rot v = ( @v @y ; @z @z ; @x @x ; @y ) R3 szokasos e bazisaban a D derivaltoperator matrixanak i: sora: i @vi @vi ) ( @v @x @y @z es ezen operator antiszimetrikus reszenek A e =

(aij )3ij=1 matrixa a kovetkez}o: A e = 12 (D e ; D e ) : Ezek szerint 3 ; @v2 ) a = 1 ( @v1 ; @v3 ) a = 1 ( @v2 ; @v1 ) a32 = 12 ( @v 13 2 @z 21 2 @x @y @z @x @y ami az el}oz}o alltas es a rotacio dencioja szerint eppen az, amit bizonytani akartunk.  Ami a Stokes tetel illeti, vele mas a helyzet, mint a Gauss-Osztogradszkij tetellel. Ahogy alabb megmutatjuk, a Stokes tetel haromdimenzios altalanostasa nem a ketdimenzios valtozat haromdimenzios "masolata", hanem annak kovetkezmenye. Nyilvanvalo ugyanis, hogy a skbeli Stokes tetel konnyen atvihet}o a haromdimenzios ter skfeluleteire. Az alabbi dencio segtsegevel a terbeli skfeluletek es skgorbek lerasat visszavezethetjuk R2 {beli terreszek ill. valodi feluletek denialasara 4.7 Dencio (1) A haromdimenzios terben valamely F feluletet skfeluletnek nevezunk ha van olyan sk, melynek reszhalmaza. (2)(a) Legyen P az az R3 {bol R2{be

kepez}o linearis operator, mely minden vektorhoz az xy]{skra valo vetuletet rendeli mint R2{beli vektort, azaz 0 x1   P @ y A = xy z es legyen barmely e es f bazisok eseten T ef az e{r}ol az f {re valo atteres matrixa. (b) Legyen R3 szokasos bazisa e : Legyen tovabba F az r = r(u) = (x(u) y(u) z (u)) u 2 A egyenlettel denialt n normalisu R3{beli skfelulet es f = (f1 f2 f3) olyan jobbsodrasu orthonormalt bazis, melyre f3 kn es f3  n > 0 : Az r (u) = (P  T ef) r(u) u 2 A egyenlettel denialt R2 {beli feluletet F (f szerinti vagy f {beli R2 {)arnyekanak nevezzuk.  72 (3) A haromdimenzios terben valamely F valodi skfeluletet normal feluletnek nevezunk, ha van olyan bazis, melyben F arnyeka normal terresz. (4) A haromdimenzios terben valamely n normalisu F skfelulet hatarakent adodo L gorbet (F {b}ol nezve) poztv iranytasunak mondunk, ha van olyan bazis, melyben L arnyeka (F arnyekabol

nezve) pozitv iranytasu. Nyilvan a pozitv iranytas azt jelenti, hogy a gorbet a feluleti normalis iranyabol nezve az oramutato jarasaval ellenkezo iranyban jarjuk be. 4.8 Megjegyzes (1) Nyilvan felulet hataranak arnyeka az arnyek hatara (lasd a 4.18 (1) feladatot alabb) (2) Konnyen megmutathato (lasd a 4.18 (5) feladatot), hogy ha egy gorbe arnyeka valamely bazisban pozitv iranytasu, akkor minden bazisban az. A Stokes-tetel bizonytasahoz szuksegunk lesz meg egy olyan haromdimenzios terbeli osszefuggesre, melynek nincs skbeli megfelel}oje : 4.9 A lltas Barmely ketszer folytonosan derivalhato v : H ! R3 H  R3 derivalhato vektorfuggveny eseten div rot v = 0 : BIZONYITAS. A 4.4 A lltassal @ ( @v3 ; @v2 ) + @ ( @v1 ; @v3 ) + @ ( @v2 ; @v1 ) = div rot v = @x @y @z @y @z @x @z @x @y = (v3 )yx ; (v2 )zx + (v1 )zy ; (v3 )xy + (v2 )xz ; (v1 )yz = 0 hiszen a Young-tetellel a vegyes parcialisok egyenl}oek,

azaz (v1 )zy = (v1 )yz (v2 )zx = (v2 )xz (v3 )yx = (v3 )xy : 4.5 Tetel (Stokes tetel) Legyen V haromdimenzios normal terresz, melynek hatara feloszthato az F kifele irany tott valodi feluletre es az ugyancsak kifele irany tott ;G normal s kfeluletre. Legyen G hatara a G{b}ol nezve pozit van irany tott L gorbe. Ha V  H  R3 es v : H ! R3 tetsz}oleges V {n folytonosan derivalhato vektorfuggveny, akkor Z L v dr = Z F rot v df :  bra a tuloldalon.) Csak azt az esetet vizsgaljuk, mikor a G egysegnormalisa k (tehat G az BIZONYITAS. (A xy]{skkal parhuzamos) es G arnyeka a szokasos e bazisban normal terresz. Az altalanos eset a rotacio es az integralok bazisfuggetlensege miatt teljesen analog modon targyalhato (lasd a 4.18 (6) feladatot) A bizonytas azon alapszik, hogy { mivel a 4.9 A lltas alapjan div rot v = 0 { Gauss-Osztrogradszkij tetellel : Z F rot v df + Z G ; rot v df = Z F+ G ; rot v df = Z V div rot v dV = 0

amib}ol Z Z Z (*) rot v df = ; rot v df = rot v df : F G G Az eredmenyul kapott integral azonban { minthogy G skfelulet { egyszer}uen atalakthato G e{beli arnyekan, mint ketdimenzios terreszen vett terfogati integralla, melyre alkalmazhatjuk a skbeli Stokestetelt. Valoban, legyen G egyenlete : r = r(u v) = (x(u v) y(u v) z0 ) (u v) 2 A L egyenlete pedig : ; 73 F L -G = (t) = ( (t) (t) z0 ) t 2 I : (Feltetelunk szerint G pontjainak harmadik koordinataja valamely z0 allando.) Tovabba, az egyszer}useg kedveert vezessuk be a kovetkez}o jelolest tetsz}oleges haromvaltozos f fuggveny eseten : f (x y) = f (x y z0 ) : Vegul legyenek G es L e{beli arnyekai V ill. L : Nos, ekkor  i  j k CROSS(ru rv ) = xu yu 0 = k xxu yyu v v xv yv 0 es G egysegnormalisa k gy tetsz}oleges G{n folytonos w = (w1 w2 w3 ) fuggveny eseten, w{nek az egysegnormalisra es}o vetulete wn = w  k = w3 tehat a kett}os integral transzformaciojara

vonatkozo formula felhasznalasaval azt kapjuk, hogy Z = Z G A w df = Z G wn jdf j = Z G w3 jdf j = Z A w3 (x(u v) y(u v) z0 ) jCROSS(ru rv )j dudv = w3 (x(u v) y(u v)) jCROSS(ru rv )j dudv = = tehat Z V
Z w3 (x(u v) y(u v)) j xxu yyu j dudv = v v A w3 (x y) dxdy = Z G w df = Z V
Z V
w3 dV w3 dV : A kapott osszefugges w = rot v eseten az arnyekokra vonatkozo skbeli Stokes tetel alkalmazasat teszi lehet}ove, hiszen felhasznalva a 4.8 Megjegyzest, valamint azt, hogy G normal felulet es L iranytasa G{b}ol nezve poz itv : Z G Z @v2 @v1 Z Z ( @x ; @y ) dV = (v1 v2 ) dr = (v1 v2 )( (t))  ( (t) (t)) dt = V L I Z Z Z rot v df =

= (v1 v2 v3 )( (t))  ( (t) (t) 0) dt = I Ez pedig (*){gal a bizonytando alltas. I v( (t))  (t) dt = L v dr : E rdemes megjegyezni, hogy a Stokes tetel ervenyes marad akkor is, ha a vizsgalt felulet hatararol nem kotjuk ki, hogy az skgorbe legyen. Vegul

az orvenys}ur}usegnek a 2.5 Denciobeli meghatarozasa alapjan a 46 A lltasb}ol az adodik, hogy a haromdimenzios terben is az orvenys}ur}useget a rotacio adja meg: 74 4.11 Kovetkezmeny Legyen G  R3 ny lt es v : G ! R3 tetsz}oleges G{n folytonosan derivalhato vektorfuggveny. Ekkor G{n letezik v{nek c(v) orvenys}ur}usege es fennall, hogy c(v) = rot v . 4.3 Vektorf
uggvenyek jellemz}oinek szamtasa A divergenciara, rotaciora es gradiensre vonatkozo, az el}oz}o fejezetben megismert alapvet}o osszefuggesek (esetleges ertelemszer}u modostasokkal) ervenyben maradnak magasabb dimenziokban is, tehat az alabb megadott alltasok a 3.3 pontban szerepl}o bizonytasokkal analog modon lathatoak be: 4.12 A lltas (1) A divergencia, rotacio es gradiens linearis operatorok. (2) Konstans vektor divergenciaja es rotacioja, tovabba konstans skalar gradiense nulla. (3) Linearis transzformacio divergenciaja azonos annak skalarinvariansaval,

rotacioja pedig vektorinvariansanak ketszeresavel. (4) Barmely v : H ! Rn H  Rn derivalhato vektorfuggveny, u u1 u2 : H ! R , H  Rn derivalhato skalarfuggvenyek, f tetsz}oleges R+{on derivalhato egyvaltozos fuggveny es c konstans vektor eseten: div (u v) = u div v + v  grad u grad(u1 u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1 div r = n grad (c r) = c div grad u =  u = ux1x1 + ux2x2 + : : : + ux x grad f (jrj) = f (jrj) jrrj ha r 6= 0 n n 0 (5) Barmely v : H ! R3 H  R3 derivalhato vektorfuggveny, u : H ! R , H  R3 derivalhato skalarfuggveny es c konstans vektor eseten: rot (u v) = u rot v ; v  grad u div(c  v) = ;c  rot v rot r = 0 div(c  r) = 0 rot(c  r) = 2c rot grad u = 0 4.4 Ket fundamentalis zikai alkalmazas 4.41 n{dimenzios Coulomb torveny Ha az n{dimenzios terben meg akarjuk hatarozni a ponttoltes er}oteret, akkor az er}oter harom zikai tulajdonsagat kell gyelembe vennunk. Ezek a kovetkez}ok: 75 (a) A ponttoltes altal letrehozott er}oter az adott

pontot a ponttoltessel ossszekot}o egyenesen hat. (b) Nincs kituntetett irany: a ter minden iranyban homogen. (c) A toltes pontszer}u: a ternek az origo kivetelevel nincs forrasa. Nos, ez a harom feltetel { mint ahogy alabb latni fogjuk { (konstans erejeig) egyertelm}uen meghatarozza a ponttoltes altal letrehozott er}oteret. Az els}o feltetel azt jelenti, hogy a teret lero v = v(r) vektorfuggveny origoiranyu, tehat (1) v(r) = u(r) r alaku valamely u = u(r) skalarfuggveny eseten, a masodik szerint a vektorfuggveny gombszimmetrikus, azaz tetsz}oleges, az origotol azonos tavolsagban lev}o pontra azonos nagysagu, tehat a fenti skalarfuggveny csak jrj{t}ol fugg : (2) u(r) = f (jrj) valamely f = f (x) valos fuggvenyre, mg a harmadik alapjan (3) div v(r) = 0 minden r 6= 0 eseten. Mindezekkel div f (jrj) r = f (jrj)div r + r  grad f (jrj) = n f (jrj) + r  f (jrj) jrrj = n f (jrj) + f (jrj)jrj = 0 amib}ol y = f (x){re az alabbi

dierencialegyenletet adodik: 0 0 ny +y x = 0: 0 Ez egy szeparabilis dierencialegyenlet: y = ;n xy : 0 Megoldva a dierencialegyenletet: y = ;n xy dy = ;n y dx x 0 Z dy Z 1 = ; n y x dx + c ln jyj = ln jx1jn + c dy = ;n 1 y x ln jyj = ;n ln jxj + c ln jyj = ln jxcjn 0 jyj = jxcjn 0 y = xc n 00 c 2 R: 00 (Az utolso lepes indoklasahoz lasd a 4.18 (4) feladatot) Tehat a kvanalmaknak megfelel}o f = f (x) fuggveny az alabbi alaku: f (x) = xc n valamely c 2 R{re : Visszahelyettestve a kapott eredmenyt (1) es (2){be es a toltes egyseget ugy hatarozva meg, hogy c = 1 legyen, megkapjuk az az n{dimenzios ponttoltes er}oteret megado vektorfuggvenyt, azaz az n{dimenzios Coulomb torvenyt: 00 00 00 v(r) = jrrjn ha r 2 Rn es r 6= 0 : Nos, err}ol a vektorfuggvenyr}ol { mutatis mutandis { persze ugyanazokat mondhatjuk el, mint skbeli rokonarol. El}oszor is, persze, a fuggvenyt eppen ugy denialtuk, hogy az origo kivetelevel

div v = 0 : Ebb}ol kovetkez}oen a Gauss-Osztograszkij tetel alapjan minden az origot nem tartalmazo normaltartomanyt hatarolo zart felulet menten vett integral nulla. Masreszt, az origot a belsejukben tartalmazo normaltartomanyt hatarolo zart feluletmenti integral erteke az n{dimenzios egyseggomb feluletenek nagysaga. Valoban, egyreszt, ugyanugy lathato be, ahogy a skon, hogy minden ilyen feluletre vett integral azonos ertek}u. Masreszt, ha F az origokozeppontu egyseggomb, akkor F minden pontjaban annak n normalisa r iranyu, gy, mivel vkr , adodik, hogy nkrkv es (mivel F kifele iranytott) n es v iranya is megegyezik. Kovetkezeskepp v{nek n{re es}o vetulete vn = jvj , tehat felhasznalva, hogy F {n jvj = RR = 1 hisz R = 1 : n 76 Z F v df = Z F vn jdf j = Z F jvj jdf j = Z F jdf j = jF j : Ami a vonalintegralokat illeti, a 4.63 pontban latni fogjuk, hogy v tetsz}oleges zart egyszer}u ven vett

vonalintegralja nulla. E rdemes meg megegyezni, hogy altalanostasunk nem csak kett}onel nagyobb, de az annal kisebb dimenziora, tehat az egyenesre is vonatkozik. A ponttoltes tere az egyenesen, vagy a masik peldankat alkalmazva, az egyenes lefolyo, vagy "a valyu" sebessegtere: v(r) = jrrj ha r 6= 0 amib}ol { mivel jv(r)j = 1 { leolvashato, ami szemleletunkkel es kozvetlen tapasztalatunkkal is egybevag, hogy egy allando keresztmetszet}u (csap es lefolyo nelkuli) cs}oben vagy csatornaban az aramlo folyadek sebessege allando. 4.42 Vegtelen vezet}o magneses tere A skbeli eset altalanostasahoz legyen e = (e1 e2 : : : en ) a szokasos bazis Rn {en es L = L(e3 e4 : : : en ) azaz az xy]{skra mer}oleges alter. A pontszer}u vezet}o skbeli magneses teret lero fuggveny egy lehetseges n{dimenzios altalanostasa a kovetkez}o vektorfuggveny: CROSS(e3 e4 : : : en r) ha r 62 L : w(r) = jCROSS( e3 e4 : : : en r)j2

Nos, ez a fuggveny lenyegeben nem kulonbozik a mar targyalt ketdimenzios esett}ol. Valoban, az 1.7 Megjegyzes alapjan e1 e2 e3 e4 : : : en 1 en 0 0 1 0 ::: 0 0 0 0 0 1 ::: 0 0 ; CROSS(e1 e2 : : : en 2 ;  r) = (;1)n 1   ;  0 0    0 0 0 0       0 ::: 0 ::: = (;x2 x1 0 0 : : : 0) : 1 0 0 1 x1 x2 x3 x4 : : : xn 1 xn Vagyis bevezetve az x1 = x x2 = y e1 = i es e2 = j jeloleseket, azt kaptuk, hogy ; w(x y x3 : : : xn ) = p 21 2 (;yi + xj ) ha x2 + y2 6= 0 x +y ami nyilvan teljesen analog a skbeli esettel. Tehat egyreszt div w = 2 2xy 2 2 ; 2 2xy 2 2 = 0 ha x2 + y2 6= 0 (x + y ) (x + y ) gy a Gauss-Osztogradszkij tetellel minden L{be nem belemetsz}o, normal terreszeket hatarolo feluleten a !uxus nulla. Masreszt, a 463 pontban majd megmutatjuk, hogy w tetsz}oleges olyan zart egyszer}u ven vett vonalintegralja nulla, mely nem veszi korul L{et (lasd a 4.18 (2) feladatot alabb) Specialisan haromdimenzioban ez a

vektorfuggveny a kovetkez}o alaku (k a z tengely iranyu egysegvektor): w(r) = jkkrrj2 ha r 2 R3 es k 6 k r : 77 i j k k  r = 0 0 1 = (;y x 0) x y z gy, ha k 6 k r akkor w(x y) = p 21 2 (;y x 0) tehat a z tengely pontjait kiveve x +y div w(x y) = 2 2xy 2 2 ; 2 2xy 2 2 = 0 (x + y ) (x + y ) 2 2 2 2 rot w(x y) = (0 0 y2 ; x2 2 ; y2 ; x2 2 ) = 0 (x + y ) (x + y ) Kovetkezeskeppen, a ket integraltetel alapjan, a z tengelybe nem belemetsz}o, normal terreszeket hatarolo feluleteken a !uxus nulla es nulla a cirkulacio is az olyan skgorbeken, melyek nem kerulik meg a z tengelyt (ezek azok a skgorbek, melyek arnyeka az origot nem tartalmazo ketdimenzios normaltartomany hatara). Vegul, a ketdimenzos esetre valo visszavezetessel konnyen belathato (lasd a 4.18(3) feladatot alabb), hogy a z tengely megkerul}o skgorbeken (melyek arnyeka az origot belsejeben tartalmazo normaltartomany hatara) a cirkulacio 2  : 4.5

Az integraltetelek tovabbi alkalmazasai 4.51 Egyeb integraltetelek A 3.17 Tetel bizonytasa szo szerint minden valtozatas nelkul alkalmazhato az alabbi altalanos valtozat igazolasara: 4.13 Tetel (Green{tetelek) Legyen V  Rn normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott felulet es u v 2 C2 (V ) tetsz}oleges @u @v n{valtozos fuggvenyek, melyeknek az F feluleti normalis iranyu iranymenti derivaltjai @n ill. @n : Ekkor (1) (Antiszimmetrikus Green-formula) Z V Z @v (uv + grad u  grad v) dV = u @n jdf j : F (2) (Szimmetrikus Green-formula) Z V (uv ; vu) dV = Z F @v ; v @u ) jdf j : (u @n @n 4.14 Tetel (Gauss{Osztrogradszkij tipusu tetelek) Ha V  Rn normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott felulet, u : V ! R es v : V ! Rn tetsz}olegesek, tovabba u v 2 C1 (V ) akkor (1) (I. Gauss{Osztogradszkij tetel) Z V (2) (Gradiens tetel) Z V div v dV = grad u dV = 78 Z F Z F v df u df : Tovabba : (3) (II. Gauss{Osztogradszkij

tetel) Ha V  R3 normal terresz, melynek hatara az F kifele irany tott felulet es v : V ! R3 v 2 C1 (V ) tetsz}oleges, akkor Z V rot v dV = ; Z F v  df BIZONYITAS. Ahogy mar emltettuk, (1) bizonytasa a skbeli valtozattal analog es ugyanez igaz (2){re is Ami (3){at illeti, legyen R3 szokasos bazisa e = (i j k) : Azt fogjuk megmutatni, hogy a ket oldalon allo vektorok mindharom komponense megegyezik. Miutan persze a harom eset teljesen analog, csak az egyiket, a k iranyu komponensek azonossaganak igazolasat reszletezzuk. El}oszor is, ha v = (v1 v2 v3 ) , akkor i j k v  k = v1 v2 v3 = (v2 ;v1 0) 0 amib}ol 0 1 2 @v1 div(v  k) = @v @x ; @y = k  rot v . Nos, a Gauss-Osztrogradszkij tetelt hasznalva fenti eredmeny a kovetkez}ore vezet : Z v  k df = F Z V div(v  k) dV = Z V k  rot v dV = k  Z V rot v dV A bizonytas teljesse tetelehez, most mar csak annyit kell bizonytanunk, hogy Z F v  k df = ;k  Z F v  df

: Azonban a feluletmenti integralok dencioja es a vegyes szorzat (melyet alabb szogletes zarojellel jelolunk) ciklikus permutaciokra valo invarianciaja alapjan ez egyszer}u szamolassal adodik. Valoban, legyen F egyenlete r(u v) = (x(u v) y(u v) z (u v)) (u v) 2 A : Ekkor Z = Z A F v  k df = Z A (v  k)(r(u v))  CROSS(ru rv ) dudv = CROSS(ru rv ) v k] dudv = = ;k  Z A Z A Z A CROSS(ru rv )  (v  k) dudv = k CROSS(ru rv )v] dudv = ; Z (v  CROSS(ru rv )) dudv = ;k  A Z k  (v  CROSS(ru rv )) dudv = A v  df : Mivel a 3.7 Kovetkezmeny bizonytasaban szerepl}o (*) alltas szo szerint atvihet}o tetsz}oleges nem nulla veges dimenziora, fenti tetelek kozvetlen kovetkezmenyeikent adodnak az invariansok es a gradiens magasabb dimenziokra is ervenyes s}ur}useg{jelleg}u jellemzesei : 4.15 Kovetkezmeny (Ignatowsky{fele deniciok) (1) Legyen r0 2 G  Rn tetsz}oleges ny lt halmaz, v : G ! Rn es u : G ! R

folytonosak. Ha a (Vk ) r0 {ra zsugorodo Rn {beli normal terreszek tetsz}oleges olyan sorozata, melyre minden k 2 N eseten Vk  G hatara a kifele irany tott Fk felulet, akkor Z div v r = klim jV1 j  v df 0 k F !1 k Z grad u r = klim jV1 j  u df 0 k F !1 79 k (2) Legyen r0 2 G  R3 tetsz}oleges ny lt halmaz es v : G ! R3 folytonos. Ha a (Vk ) r0 {ra zsugorodo R3{beli normal terreszek tetsz}oleges olyan sorozata, melyre minden k 2 N eseten Vk  G hatara a kifele irany tott Fk felulet, akkor Z 1  v  df rot v = ; lim r0 k jVk j !1 Fk 4.52 Felulet{ es vonalmenti integralok szamtasa Az integralteteleknek kulonboz}o integalok kiszamtara valo alkalmazasat egy olyan peldaval illusztraljuk, melyben a feluleti integral kiszamtasara mind a ket f}o integraltetel alkalmazhato. 4.16 Pelda Legyen k a z tengely iranyu egysegvektor es K az xy]{skbeli origokozeppontu R sugaru ;k egysegnormalisu korlap, tovabba F tetsz}oleges olyan

felulet, hogy F + K egy normal terresz kifele iranytott hatara. Szamtsuk ki v(r) = rot(k  r) eseten az Z v df F integralt ! 1. MEGOLDAS Gauss-Osztrogradszkij tetellel : Z F v df + Z K v df = Z F +K v df = Z V div v dV = 0 mert rot(k  r) = 2k (lasd az 4.12 (5) A lltast) es gy div rot v = div rot(k  r) = div 2k = 0 : Tehat Z Z (*) v df = ; v df : F K Szamtsuk ki a jobboldali integralt ! Mivel K normalisa ;k iranyu,gy k{nak a normalisra es}o vetulete ;1 , tehat Z K v df = gy (*){gal Z K rot(k  r) df = Z K Z F 2. MEGOLDAS Z 2k df = 2 v df = ; K Z K Z ;1 jdf j = ;2 K jdf j = ;2jK j = ;2R2 v df = 2R2 : Legyen L a K ;K {bol nezve pozitvan iranytott hatara, az xy]{skbeli origokozeppontu R sugaru korvonal es L erint}o egysegvektora e : Mivel e es k  r azonos iranyuak, tehat (k  r)e , k  r{nek e{re es}o vetulete eppen jk  rj , valamint gyelembe veve, hogy k es r mer}olegesek

egymasra (hisz a kor benne van az xy] skban) es hogy a koron jrj = R , Stokes tetellel azt kapjuk, hogy Z F v df = Z F rot(k  r) df = = Z L Z Z L k  r dr = (k  r)e jdrj = R jdrj = R L Z L Z L jk  rj jdrj = jdrj = RjLj = R2R = 2R2 : 80 Z L jkj jrj jdrj = 4.53 Egy geometriai alkalmazas: az n{dimenzios kup terfogata Legyen F egy olyan n ; 2 dimenzios felulet, mely az n: koordinatatengelyre mer}oleges n ; 1 dimenzios En 1 koordinataalter E = (0 0 : : : 0 m) + En 1 eltoltjaban van es tegyuk fel, hogy F a T  E (n ; 1){dimenzios felulet hatara. Legyen F egyenlete s = s(u) u 2 A  Rn 2 : Ha az r = r(u t) = = t  s(u) u 2 A t 2 R 0 t 1 egy (n ; 1){dimenzios K feluletet denial, akkor ezt az n{dimenziobeli origocsucsu T alapu m magassagu kup(palast)nak nevezzuk. Az elnevezes nyilvan jogos, hiszen haromdimenzios esetben ez a dencio a z = m skban fekv}o F alapgorbej}u es T alaplapu origocsucsu

(kozonseges) kupot adja. Nos, ha K + T egy n dimenzios V normal terresz kifele iranytott hatara, melynek terfogata V0 es T felszne t , akkor ; ; ; V0 = t nm azaz a kup terfogata : "alapterulet szorozva magassag osztva a dimenzioval". en m F T E s n K E n-1 Valoban, legyen v(r) = r : Mivel r denciojabol rt = s(u) gy CROSS dencioja alapjan a w = (u t) jelolessel, ha r 2 K akkor tehat (1) n = CROSS(rw ) ? rt = s(u) k t  s(u) = r = v Z Z vn jdf j = 0 : K  E miatt T egysegnormalisa pontosan en az n: koordinataegysegvektores persze ugyanezert K v df = Masreszt, T a T {beli vektorok utolso koordinataja m , gy vagyis (2) ha r 2 T Z T v df = Z T ve jdf j = n Z T akkor r 2 T , tehat r  en = m v  en jdf j = Z T r  en jdf j = Z T m jdf j = m Z T j df j = m t : Most johet a Gauss-Osztrogradszkij tetel, amivel (felhasznalva persze azt, hogy div v = div r = n ) : 81 Z T v df + Z K v df = Z

K +T v df = Z V div v dV = Z div v dV = V Ez pedig mar a bizonytando alltas, hiszen (1) es (2) alapjan ebb}ol mt = Z T Z V n dV = n Z V dV = n V0 : v df = n V0 : E rdemes a kapott formulat az els}o nehany dimenzioban egy par specialis esetre kiprobalni : (1) n = 1 : az m magas szakasz hossza (egydimenzios terfogata) (az alap nulldimenzios felszne az 1.14 (4) megjegyzes szerint 1) : V0 = 1 1m = m : (2) n = 2 : az m magas a alaphosszusagu haromszog szakasz terulete (ketdimenzios terfogata) : V0 = a2m vagyis az n{dimenzios kup terfogatara kapott osszefuggesunk a haromszog jol ismert teruletkepletenek: "alap szorozva magassag osztva kett}o" altalanostasa, masszoval a haromszog teruletkepleteben a kettes a dimenzioszam, azert ennyi szerepel itt, mert a haromszog s kidom. (3) n = 3 : az m magas R sugaru korkup terfogata: 2 V0 = R 3 m : (4) n = 4 : az m magas R sugaru gombkup terfogata :

V0 = 4R3 3 4 m 3 = R 3 m : 4.54 Egy zikai alkalmazas: Archimedes torvenye 1. p0 kuls}o nyomas eseten nyugvo s}ur}useg}u homogen folyadekban a felsznt}ol szamtott h melysegben a nyomas, az un. hidrosztatikai nyomas, a kuls}o nyomas es feluletelem felett lev}o fugg}oleges folyadekoszlop sulyabol szarmazo nyomas osszege, azaz p = p0 + gh amely fuggetlen a feluletelem irany tasatol (g a gravitacios allando). (Maga a p nyomas altalaban a q felulet}u lapra (vagy q feluletelemre) mer}olegesen es egyenletesen hato nyomoer}o F (ill. F ) nagysaganak es a feluletnek hanyadosa, azaz a kovetkez}o skalaris mennyiseg: p = Fq (ill. p = Fq ) : (Vo. pl Budo A goston: Kserleti Fizika I 224 es 211 old) 2. Fentiek alapjan valamely folyadekban egy V terreszt kitolt}o test eseten, a folyadek hidrosztatikai nyomasabol szarmazo, a testre hato er}ok ered}oje, azaz a test hatarat alkoto zart befele iranytott F0

feluletre hato ered}o er}o (az abrat lasd a tuloldalon) : F= Z F0 82 p df : h e V F0 Mivel a folyadek homogen, azaz allando, tehat c =  g konstans, p csak h{tol fugg, p = p(h) = p + c  h, gy jgrad pj = c = allando es grad p mindenutt lefele mutat (h csak erre valtozik es erre n}o), tehat ha e a lefele mutato egysegvektor, akkor grad p = c  e : Ebb}ol, Za terresz terfogat Z at V0 {al jel Z olve, gradiens teZtellel Z F = p df = ; p df = ; grad p dV = ; c  e dV = ;c  e dV = ;cV0  e = ;g V0  e : F0 F0 V ; V V Mivel V0 a test terfogataval megegyez}o terfogatu folyadek tomege, tehat g V0 ennyi folyadek sulya, azt kaptuk, hogy a testre hato ered}o er}o a test terfogataval megegyez}o terfogatu folyadek sulyaval egyenl}o nagysagu es azzal ellenkez}o iranyu, vagyis peldaul ha a folyadek vz, akkor egy vzbe martott test a sulyabol annyit veszt, amennyi az altala kiszortott vz sulya. 4.6

Potencialelemelet elemei 4.61 Egzisztencia es unicitas A potencial letezesere es egyertelm}usegere vonatkozo legfontosabb ket eredmeny, a 3.28 Tetel es a 3.32 Tetel haromdimenzios valtozatanak bizonytasa a ketdimenzios valtozat bizonytasanak szo szerinti masolata, ugyanis egyik bizonytasban sem hasznaltuk ki sehol azt, hogy skon van. S}ot, ez igaz barmely veges dimenziora is, termeszetesen a rotaciora vonatkozo feltetel alkalmas modostasaval. Nevezetesen, legyen v : V ! Rn tetsz}oleges vektorfuggveny. Azt mondjuk, hogy v keresztbe vett parcialis derivaltjai megegyeznek ha (vi )x = (vj )x minden i j = 1 2 : : : n eseten Nos, nyilvan, ez a feltetel ertelmezhet}o tetsz}oleges n pozitv egesz eseten Rn {re, tovabba, ha n = 2 es n = 3 akkor ekvivalens azzal, hogy v rotacioja nulla. A 328 es a 332 tetelek bizonytasaban a rotacio elt}uneset a keresztbe vett parcialis derivaltak megegyezesevel helyettestve

megkapjuk ezen tetelek Rn {re vonatkozo altalanostasat: j i 4.17 Tetel Legyen G  Rn tetsz}oleges ny lt, osszefugg}o halmaz es v : G ! Rn folytonos vektorfuggveny. Ekkor az alabbi all tasok mindegyike kovetkezik az els}ob}ol es ha G csillagszer}u tartomany, akkor mindezen all tasok ekvivalensek is : 83 (1) v{nek van potencialja S {en. (2) v gorbementi integralja minden G{be es}o ket pont kozotti G{beli gorbe eseten csak a kezd}o{ es vegpontoktol fugg, a gorbe valasztasatol nem (3) v gorbementi integralja minden G{be es}o zart egyszer}u ven nulla. (4) v keresztbe vett parcialis derivaltjai megegyeznek az egesz G{n, amennyiben v 2 C1 (G) . 4.62 Potencialkereses A skon alkalmazott mindket modszer konnyeden kiterjeszthet}o magasabb dimenziokra. Pontosabban, mivel az origokezd}opontu szakasz menten valo vonalintegral alkalmazasakor egyaltalaban nem hasznaltuk ki, hogy R2{en vagyunk, ennel a modszernel csupan annyi a valtozas, hogy a

rotacio elt}unese helyett a keresztben vett parcialisok megegyezeset kell vizsgalnunk, ha garantalni akarjuk, hogy a modszer helyes eredmenyt szolgaltat. A parcialis dierencialegyenletrendszer megoldasat hasznalo modszer alkalmazasanak kiterjeszteset egy egyszer}u peldan ilusztraljuk Legyen v = v(x y z ) = (y + z x + w x + w y + z ) az a vektorfuggveny, melynek potencialjat meg akarjuk hatarozni. Mivel (v1 )y = 1 = (v2 )x (v1 )z = 1 = (v3 )x (v1 )w = 0 = (v4 )x (v2 )z = 0 = (v3 )y (v2 )w = 1 = = (v4 )y (v3 )w = 1 = (v4 )z gy v{nek tenyleg van potencialja az egesz skon. Legyen u ez a potencial Ekkor (v1 v2 v3 v4 ) = v = grad u = (ux uy uz uw ) miatt a (*) v1 = ux v2 = uy v3 = uz v4 = uw osszefuggeseknek fenn kell allniok. Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk Induljunk ki peldaul az ux = v1 = y + z egyenletb}ol. Ekkor x szerint integralva u = (y + z )x + a(y z w) valamely a = a(y z w) csak y z es w{tol fugg}o dierencialhato

fuggvenyre. Ebb}ol, v denciojabol es (*){bol x + w = v2 = uy = x + ay x + w = v3 = uz = x + az y + z = v4 = uw = aw tehat (*) ay = w az = w aw = y + z Vegyuk eszre, hogy ezzel az u{ra vonatkozo negy egyenletb}ol allo (*) osszefuggest egy, az a{ra vonatkozo mar csak harom egyenletb}ol allo osszefuggesre redukaltuk. Lathato tehat, hogy a skbeli potencialkeres ismertetesekor adott algoritmus minden lepesben eggyel csokkenti a megoldando egyenletrendszerben szerepl}o egyenletek szamat. Tehat az eljarast folytatva az el}oz}o osszefuggesek kozul az els}ob}ol ay = w , gy : a = wy + b(z w) valamely b = b(z w) csak z es w{t}ol fugg}o dierencialhato fuggvenyre, amib}ol (*){gal bz = az = w y + bw = aw = y + z vagyis 84 bz = w bw = z (*) tehat b = wz + c(w) valamely c = c(w) csak wz {t}ol fugg}o dierencialhato fuggvenyre, amib}ol (*) alapjan z = bw = z + c tehat c = 0 vagyis c konstans. Visszahelyettestve a b , a es u{ra

vonatkozo el}oz}o osszefuggesekbe megkapjuk a keresett potencialt : b = wz + c a = wy + wz + c u = (y + z )x + wy + wz + c = (y + z )(x + w) + c . E s persze valoban : ux = y + z = v1 uy = x + w = v2 uz = x + w = v3 uw = y + z = v4 : 0 0 4.63 A ponttoltes er}oterenek es dualisanak potencialja Alapvet}o zikai alkalmazasainkat a 4.4 pontban altalanostottuk Most mogmutatjuk, hogy ezen altalanostasok eseten is letezik potancial, ami a 4.4 pontban elmondottakkal egyutt azt jelenti, hogy ezek a kiterjesztesek meg}orzik az erdeti skbeli fuggvenyek leglenyegesebb vonasait. a) A ponttoltes er}otere Az n{dimenzios ponttoltes er}oterenek potencialjanak meghatarozasahoz felhasznaljuk azt a 3.62 b){ben kapott eredmenyt, hogy ha m nemnegat v egesz, akkor rjm+2 = 1 grad jrjm+2 = 1 (m + 2)jrjm+1 gradjrj = jrjm+1 r = rjrjm (r 6= 0) : grad jm +2 m+2 m+2 jrj Vegyuk eszre, hogy itt sehol sem hasznaltuk a feltetelt, tehat a kapott eredmeny igaz

minden olyan m eseten, melyre a baloldal egyaltalan ertelmes, tehat minden m 6= ;2{re. Ezzel keszen is vagyunk, hiszen a 3.63 pontban a skbeli esetre mar meghataroztuk a potencialt, tehat a fenti osszefuggesb}ol az m = ;n helyettestessel: A v(r) = jrrjn (n  1 egesz) fuggveny potencialja 8 1 1 <2nr u(r) = : ln jrj ; j jn;2 ha n 6= 2 ha n = 2 (r 6= 0): Ebb}ol aztan a 4.17 Tetel alapjan az is kovetkezik, hogy v{nek tetsz}oleges zart egyszer}u ven vett vonalintegral nulla Ami az er}ovonalakat illeti, a skbelihez hasonloan az altalanos esetben is ezek az origobol indulo felegyenesek, melyek erint}oi az ekvipotencialis feluletek, azaz az origokozeppontu gombok normalisai b) Vegtelen vezet}o magneses tere Emlekeztet}oul, a teret lero, a ketdimenziossal analog fuggveny (lasd a 4.42 pontot) : w(x y x3 : : : xn ) = p 21 2 (;yi + xj ) ha x2 + y2 6= 0 : x +y A skbeli esethez hasonloan mutathato meg, hogy w{nek minden

csillagszer}u tartomanyon, melynek elemeire fennall, hogy x2 + y2 6= 0 van potencialja, peldaul a negatv y tengellyel felmetszett skon az 8 arctg y > x < u(x y x3 : : : xn ) = > 2 : arctg yx +  85 ha x > 0 ha x = 0 y > 0 ha x < 0 fuggveny. Ebb}ol kovetkez}oen a 417 Tetel szerint tetsz}oleges olyan zart egyszer}u ven vett vonalintegral nulla, mely a L = f(x y x3 : : : xn ) 2 Rn : x2 + y2 = 0g halmazt nem veszi korul (lasd a 4.18 (2) feladatot) 4.7 Feladatok (1) Bizonytsuk be, hogy haromdimenzios teren felulet hataranak arnyeka az arnyek hatara ! (2) Fogalmazzuk meg a "korulveszi a z tengelyt" tulajdonsag altalanostasat a ketdimenzios eset mintajara (lasd a 3.63 b) pont utolso mondatat) ! (3) Bizonytsuk be, hogy a z tengely megkerul}o skgorbeken, azaz azokon a skgorbeken, melyek arnyeka az origot belsejeben tartalmazo normaltartomany hatara, a w(r) = jkkrrj2 (r 2 R3 k 6 k r)

haromdimenzios vektorfuggveny cirkulacioja 2  ! (4) Bizonytsuk be, hogy barmely I intervallum eseten jyj = jxcjn fuggvenyegyenlet I {n folytonos megoldasai azonosak a fuggvenyegyenlet I {n folytonos megoldasaival ! y = xcn (5) Bizonytsuk be, hogy ha egy gorbe arnyeka valamely bazisban pozitv iranytasu, akkor minden bazisban az. (6) Bizonytsuk be tetsz}oleges egysegnormalisu skfeluletre a a Stokes tetelt ! 86