Matematika | Tanulmányok, esszék » Turi Petra - Befektetési stratégiák evolúciója

Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapesti Corvinus Egyetem Turi Petra Befektetési stratégiák evolúciója Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Kvantitatív pénzügyek szakirány Témavezetõ: Dr. Bihary Zsolt Befektetések és Vállalati Pénzügyek Tanszék Budapest, 2019 ii Köszönetnyilvánítás Elsősorban szeretném megköszönni témavezetőmnek dr. Bihary Zsoltnak odaadó, kivételesen lelkiismeretes munkáját és türelmét, amellyel végig kísérte dolgozatom elkészítését. Ezúton szeretném megköszönni még Horváth Anikónak is, amiért kitartóan támogatott és segítette a munkámat, valamint dr. Kurucz Miklósnak, amiért javaslatokkal látott el, ezzel hozzájárulva, hogy ez a dolgozat elkészülhessen Végül, de nem utolsó sorban köszönet illeti családomat feltétel nélküli támogatásukért és segítségükért, valamint barátaimat biztatásukért és rendkívül pozitív hozzáállásukért. Budapest, 2019 május 9

Turi Petra Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Kiindulás 3 2.1 A CAPM-modell 3 2.2 A CAPM-modell feltételei 4 3. Egy teória 7 4. A modell 9 4.1 Az optimális portfólió 9 4.2 A piaci egyensúly 10 4.3 Megegyezés 10 5. Az első szimuláció 13 6. A második szimuláció 19 6.01 Egy példa 20 6.02 Eredmény 21 7. Esettanulmányok 25 7.1 Indexek 25 7.11 S&P500 25 7.12 Dow Jones Index 28 7.2 Pénzügyi intézmények 30 7.21 JPMorgan 30 7.22 BlackRock 32 7.23 IBM

35 7.24 Tesla 37 8. Konklúzió 41 Irodalomjegyzék 41 iii iv TARTALOMJEGYZÉK 1. fejezet Bevezetés Szakdolgozatom témája a különböző befektetési stratégiák evolúciója. A heterogén gondolkodású befektetőkről szóló irodalmak általában vagy nagyon elmélet középpontúak, vagy számítás orientáltak Mindazonáltal számos, a témával foglalkozó dokumentumban közös, hogy a modellekben egy kockázatos és egy kockázatmentes eszközzel lehet kereskedni a piacon és fő középpontjukban a befektetők nézeteinek hatásai és kereskedési szabályok kockázatos eszköz árának dinamikájára gyakorolt hatásai állnak. Némely a témával foglalkozó irodalom megengedi, hogy a befektetési ügynökök száma a különböző kockázatkerülési csoportokban változzon Ilyen cikk például a [8], ami egy egyszerű eszközárazási modellt bonyolít meg azzal, hogy a befektetők

megváltoztathatják a stratégiájukat időközben, de ettől függetlenül is a legtöbb modell nehezen elemezhető 1 . Chiarella a [2] cikkében kifejtett egy két dimenziós diszkrét idejű eszköz árazási modellt, ami tartalmazza a heterogén gondolkodású befektetők paradigmájának lényegét matematikailag ellenőrizhető módon. Az ő nyomán ebben a dolgozatban bemutatott első szimulációban is két féle ügynök van, egy fundamentalista és egy trendkövető. Ahogy Chiarella és mások tanulmányában (mint például a [3] cikk), úgy ebben a munkában is a befektetők vagyona és azok hatása az árak dinamikájára a háttérbe szorul, olyan értelemben, hogy az optimális keresletet a kockázatos eszközből nem befolyásolja a különböző ügynökök vagyonának alakulása. Ez egyik következménye, az abszolút konstans kockázat kerülési hasznossági függvénynek, amit feltételként megszabtam Mindezt számításba véve viszont kijelenthető, hogy ezek a

feltételezések nem realisztikusak, így a második szimulációban a stratégiák meghatározásában már figyelembe véve a befektetők vagyonának alakulását határoztam meg újabb stratégiákat. Ezeket a stratégiák úgy határoztam meg, hogy még mindig konzisztensek legyenek a relatív kockázatkerülési (CRRA) együttható hasznossági függvényével. A jelen dokumentum célja, hogy hozzájáruljon az ilyen modellek fejlesztéséhez és elemzéséhez azáltal, hogy elemzi az eszköz ár és az ügynök vagyonának dinamikáját. Ezenfelül a fundamentalista befektető által meghatározott árban is feltételezhető egyfajta trend. Összességében a kitalált modell stratégiái meghatározzák az árazási folyamatokat minden befektető típusra és ezzel egyidejűleg a vagyonaik alakulását 1 Érdekes lehet kockázatkerülési csoportok túlélésének valószínűsége szempontjából a [9] dokumentum, ami szimuláció segítségével mutatja be teóriáját 1

2 1. FEJEZET BEVEZETÉS is minden időpontra, ahogy a valós piacokon is. A szimulációkban persze nem engedélyezett a csoportok, azaz a stratégiák közötti váltás a relatív nyereségesség alapján. A stratégiák időbeli nyereségei, és ez által a vagyonok alakulása viszont befolyásolják a piaci árak alakulását, ami hatással van a fundamentalisták, illetve a trendkövetők befolyására a kockázatos eszköz árának számításában. A diplomamunka végén konklúzióként levonható a vagyon alakulások alapján, hogy a különböző helyzetekben melyik stratégia a leghatékonyabb, és melyik stratégia bukik el. A dokumentum felépítését a stratégiák feltételeivel kezdem a CAPM-modellben, majd [1] cikk modelljének rövid bemutatásával folytatom. Ezek alapján meghatározva a szimulációk feltételeit következnek a szimuláció részletei, végül a stratégiákat tesztelem valós életből vett részvény árfolyamokon. A diplomamunkában szereplő

ábrák mind saját készítésűek, amiket a paraméterek és az adatok alapján szerkesztettem R programozói nyelven. 2. fejezet Kiindulás 2.1 A CAPM-modell A CAPM-modellt Sharpe és Lintner (többek közt a[10] és [6] cikkekben) fejlesztette ki, és főleg ennek a munkának köszönhetően Sharpe 1990-ben megnyerte a Nobel-díjat. A modell kitalálásakor [4] a forrás szerint, a következő kérdésekre keresték a választ: 1. Mi az optimális portfólió diverzifikációs stratégia, ha csak kockázatos eszközök állnak rendelkezésre a piacokon ? Változik az optimális választás a ha különböző befektetők esetén? 2. Mi az optimális diverzifikációs stratégia, ha korlátlanul lehet adni és felvenni hitelt? 3. Mely gazdasági tényező határozza meg a legjobb vagyon megosztást ha kockázatos eszközbe illetve ha kockázatmentes eszközbe szeretnénk fektetni ? 4. Mi a kockázati index, ha csak egy kockázatos eszközt tartanak a portfólióban? 5. Mekkora a

kockázati indexe a különböző kockázatos eszközöknek, ha több különbözőt is tartanak a portfólióban ? Ebben az esetben mekkora a portfólió kockázati indexe? 6. Az M-V szabályt alkalmazva, és néhány további feltételezéssel élve a piac hatékonyságát illetően, mik a különböző kockázatos eszközök implicit egyensúlyi árai ? Mi a kockázati megtérülési egyensúly ? Az első öt kérdésre adott válasz megkönnyíti a hatodik elemzését, így segítve az egyensúlyi árképzési modell megalkotását. Ezekre a kérdésekre nem egyszerű választ adni, ennek oka, hogy a gyakorlatban a modern értékpapírpiac egy összetett mechanizmus, amely több millió befektetőt és sok változót tartalmaz. A fenti okokból kifolyólag, valószínűleg egyetlen elméleti gazdasági modell sem képes kimerítően leírni, hogy az egyensúlyi árak milyen bonyolult piacon érhetők el, ezért néhány egyszerűsítő feltételezéssel kell élnünk. 3 4 2.

FEJEZET KIINDULÁS 2.2 A CAPM-modell feltételei Nyilván minél több egyszerűsítő feltétel van, annál triviálisabb lesz az egyensúlyi piaci árat leíró modell, azonban túl sok ilyen feltétellel élve fenn áll a veszélye, hogy a származtatott egyensúlyi árak túl "elméletiek" lesznek, azaz a számolt ár és valódi piaci árak nem, vagy gyengén kapcsolódnak egymáshoz. Ebből kifolyólag a feltételek megválasztásakor ügyelni kellett, hogy kellően sok legyen, illetve eléggé megkönnyítsék a modellt ezáltal egyszerűvé, de ugyanakkor érthetővé téve azt. A modellnek továbbra is követnie kell a kockázatos eszközök tényleges árképzési mechanizmusát, ezzel finom egyensúlyt teremtve az elmélet és a valóság közt. Mindezek mellett a modell minőségét szintén befolyásolják a megválasztott időszakok, illetve az országok is, ami alapján a kockázatos eszköz tulajdonságait meghatározzuk. Egy modell tekinthető kellően

erősnek (sőt bizonyos esetekben az ismert legjobbnak), ha egyszerű és érthető számításokat alkalmaz, még ha kisebb pontossággal képes csak előrejelezni a várható árakat. Végül figyelembe kell vennünk a való élet kiszámíthatatlanságát is. Ha minden befektető el is fogadná a CAPM-modell feltételeit azokat követve is, a valóságban előfordulnak olyan külső befolyásoló tényezők, amik előre kiszámíthatatlan változókat eredményeznek. Közülük bizonyosak (hogy pontosan melyek, azok gyakran megállapíthatatlanok) egyfajta állandó zajként nyilvánulnak meg a kockázatos eszközök áraiban. Így a piac érthető módon sosem fog beállni egy egyensúlyi állapotba. Tekintettel arra, hogy a kereskedőket nem kötik az általunk felállított feltételrendszer így az egyensúlytól való eltérést okozzák például a likviditással kereskedők, akik gyakran áringadozást okoznak. Másfelől, azzal hogy a cégek kockázatos kötvényeket

bocsátanak ki növelik az értékpapír készletet, ami a beszerezhető értékpapírok piaci értékének csökkenéséhez vezet. Ha ez nem lenne elég, még technikai hibák is okozhatják az "egyensúlyi" árak ingadozásait Például, 2010 május 6-án, csütörtökön, a Dow Jones index körülbelül 1000 ponttal (9,2 százalékkal) csökkent néhány perc alatt, majd helyreállt. A [4] cikk állítása szerint a nagy ingadozásokat és az ezt követő helyreállítást az egyes emberi vagy mechanikai hibák okozzák Ezek a zajok az árak folyamatos ingadozását okozzák, ami arra utal, hogy nincsenek egyensúlyi árak, vagy ha vannak ilyenek, akkor sem érhetőek el. Habár így tekintve feleslegesnek tűnhet ama cél, hogy az egyensúlyi árat elérjük, ám figyelembe kell vennünk, hogy habár az ár nem elérhető, ennek segítségével magyarázatot találhatunk az árfolyamok mozgására vagy legalább pontosíthatjuk a modellünket, ezáltal az árak

alakulását illető előrejelzéseinket. Mindezek után a CAPM-modell feltételei jól összefoglalva a [7] forrás alapján: • Minden befektető kockázatkerülő. • Minden befektetőnek egy periódusra vonatkozó hasznosságfüggvénye van, amely a hozamszórás terében definiált. • Tökéletes tőkepiac feltevései fennállnak. • A befektetői várakozások homogének. 2.2 A CAPM-MODELL FELTÉTELEI 5 • Van lehetőség kockázatmentes hitelfelvételre, illetve betételhelyezésre (amelyek kamatlába megegyezik). Ezekből a feltételekből kiindulva vizsgálom a stratégiák alakulását, és az optimális portfólió kialakulását. Az ábrán jól látható, hogy minél nagyobb a kockázat mértéke, annál nagyobb a várható hozam. 6 2. FEJEZET KIINDULÁS 3. fejezet Egy teória Az [1] cikk során a következő alapvető feltételezésekkel éltek: 1. Alkalmazzuk a fent említett CAPM-modell feltételeit, azaz • Minden befektető kerüli a felesleges

kockázatot. • Minden befektetőnek egy periódusra vonatkozó hasznosságfüggvénye van, amely a hozamszórás terében definiált. • Tökéletes tőkepiac feltevései fennállnak. • Van lehetőség kockázatmentes hitelfelvételre, illetve betételhelyezésre (amelyek kamatlába megegyezik). 2. A résztvevők tökéletesen racionálisan gondolkodnak, illetve homogén döntéseket hoznak 3. A HAM (Heterogeneous Agent Models) úgy gondol a pénzügyi piacokra, mint egy nemlineáris hátterű elvárásokkal rendelkező rendszer, amin tükröződnek a heterogén interakciók, a korlátozott racionalitás és az adaptív viselkedése az ügynököknek. o A számos HAM fejlődésével az ügynökök egyre inkább jobb befektetői stratégiát alkalmaznak, ami a pénzügyi piac instabilátáshoz vezet. Jelen esetben a heterogén döntéseket az árszinten modellezzük, és vannak ügynökök, akik tetszőlegesen változtathatják a stratégiájukat bizonyos keretek között.

Kiterjesztünk egy, egy periódusos statikus modellt egy dinamikus egyensúlyi eszközű árazó modellé. Hogy egyszerűsítsük a szimulációk mennyiségét, még két feltételt szabunk: • Két féle befektetőt különböztetünk meg, a fundamentalistát és a trendkövetőket. • A trading volume és a kockázatos eszközök volatilitása pozitív, ha a kifizetés kevésbé korrelált. 7 8 3. FEJEZET EGY TEÓRIA 4. fejezet A modell A következő mennyiségeket és jelöléseket használjuk: • I db befektető, akik portfóliókba fektetnek be A portfóliók a következőket tartalmazzák : • kockázatmentes hozamú eszközöket, amiknél rf kockázatmentes hozam • kockázatos eszközt (pl. részvényt), ami tetszőleges mértékben diverzifikálható • St a kockázatos eszköz ára • Dt := (dj,t ; . ; dN,t )T a kockázatos eszköz osztaléka • xt := pt + dt a kockázatos eszközök kifizetési függvényei a [t − 1; t] időpontban Jelöljük zi,t -vel

az i-edik befektető kockázatos portfólióját. Ekkor a periódus végére az i-edik befektető tőkéje: Wi,t+1 = zT i,t (xt+1 − Rf pt ) + Rf Wi,t , ahol Rf = 1 + rf . Jelöljük Zti -vel (i = f ; c a fundamentalista illetve a trendkövető befektetőt jelöli) a befektetők kockázatos eszközbe fektetett tőkéjének arányát. 4.1 Az optimális portfólió i Legyen az i-edik ügynök CARA hasznossági függvénye: ui (x) = −e−Θ x , ahol Θi a CARA együttható. Feltételezzük még, hogy minden befektető tőkéje normális eloszlást követ. Ekkor célunk, hogy a következő függvényt maximalizáljuk: Ui,t (Wi,t ) = Ei,t (Wi,t ) − . 9 Θ V ari,t (Wi,t ) 2 10 4. FEJEZET A MODELL 4.11 Állítás Az optimális portfóliója az i-edik befektetőnek a [t; t − 1] periódusban : −1 zi,t = Θ−1 i Ωi,t [Ei,t (xt+1 − Rf )pt ] ahol Ei,t a feltételes várható értéke és az Ωi,t a kovariancia mátrixa az i-edik befektető évvégi kifizetés függvénye a

t-edik periódusban. 4.2 A piaci egyensúly Osszuk az I darab befektetőt H csoportba úgy, hogy egy csoportba kerüljenek a: • hasonló döntéseket hozó befektetők, • és a hasonló mértékű kockázat kerülők. Utóbbit minden csoport esetén jelöljük Θh -val. Ekkor a következő jelöléseket használjuk: • Ih,t a befektetők száma a h. csoportban • nh,t = Ih,t I az egyes csoportokban lévő befektetők hányada • Eh,t a h-adik csoportban lévő befektetők kifizetés függvényének várható értéke • Ωi,t a h-adik csoportban lévő befektetők kifizetés függvényének kovariancia mátrixa • s = (s1 ; . ; sN )T egy befektető számára kínált átlagos kockázatos eszköz mennyiség Sokkoljuk a piaci kínálatot a következővel: ξt+1 = ξt + σκ κt+1 ahol κt+1 standard normális eloszlású i.id, E(κt ) = 0, és cov(κt ) = I Ekkor a piaci clearing egyenlete : H X −1 nh,t Θ−1 h Ωi,t [Eh,t (xt+1 ) − Rf pt ] = s + ξt h=1 4.3

Megegyezés −1 −1 h=1 nh,t Θh ) PH Legyen Θa,t := ( az átlagos kockázatkerülési együttható, azaz a piaci popu- láció arány súlyozva a befektetők kockázatkerülésének harmonikus közepével. 4.31 Megjegyzés Ha minden befektetőnek azonos a kockázat kerülése, akkor Θh = Θ és az átlagos kockázat kerülési együttható : Θa,t = Θ. Ekkor a döntések várható értéke és szórása : Ωa,t = Θ−1 a,t ( H X −1 −1 nh,t Θ−1 h Ωi,t ) h=1 Ea,t (xt+1 ) = Θa,t Ωa,t H X h=1 −1 nh,t Θ−1 h Ωh,t Eh,t (xt+1 ) 4.3 MEGEGYEZÉS 11 Az osztalék a [t + 1]-edik periódusban: dt+1 = dt + σζ ζt+1 ahol ζt+1 standard normális eloszlású, E(ζt ) = 0, cov(ζt ) = I és ζt független κt -től. 4.32 Állítás Ekkor a piac egyensúlyi ára : pt = 1 [Ea,t (pt+1 ) + dt − Θa,t Ωa,t (s + ξt )] Rf 4.33 Megjegyzés t-ben már tudjuk dt -t és eldőlt a következő periódus befektetési stratégiája, így a kifizetési függvény :

xt+1 = pt+1 + dt+1 , ami a pt és dt -n alapul. 12 4. FEJEZET A MODELL 5. fejezet Az első szimuláció Az első szimuláció során minden befektető típusból egy van és a kockázatos eszköz, azaz részvény tetszőleges mértékben diverzifikálható. Minden befektető 100000$-ral kezdőtőkével rendelkezik, és mindet be is fektetik. Eltekintettem továbbá az osztalékok osztásától és a szimuláció érdekében a következő egyszerűsített egyenletekkel számoltam: A betét értéke (t + 1)-ben: Bt+1 = Bt ∗ (1 + r∆t) A fundamentalista szemléletű kereskedők által (t + 1)-re számolt ár: √ Ft+1 = Ft + Ft (µ∆t + σ f ∆t · εf ) A részvény ára (t + 1)-kor: √ St+1 = St + St (β(Zt − Z0 )∆t + σ s ∆t · εs ) + Ft+1 − Ft (t + 1) időpontban a trend:  mt+1 = 1 − ∆t τ  mt + ∆t τ  St+1 − St St  A következő egyenletek a különböző stratégiákkal kereskedő befektetők kockázatos eszközbe fektetett vagyon

arányát adják meg a t időpontban: • Zbt ≡ 0 a kizárólag betétbe fektető kereskedőé • Zft = αf Ft − St + Z0 a fundamentalista befeketetőé St αc Θ • Zct = tanh (Θ (mt − µτ )) + Z0 a charista, azaz a trendkövető kereskedő vagyonának aránya • Zrt ≡ 1 a kizárólag részvényekkel kereskedő befektető vagyonának aránya • Zt = Ztf · Ωft + Ztc · Ωct Ωft + Ωct 13 14 5. FEJEZET AZ ELSŐ SZIMULÁCIÓ A vagyonok alakulását ugyanaz a folyamat írja le minden befektetőnél: Ωjt+1  = Ωt 1 + r∆t + Ztj  St+1 − St − r ∆t St   A kezdeti paraméterek a következők: • µ = 0,1 az átlaghoz visszatérés sebessége • ∆t = 0,1 a periódusok hossza • τ az exponenciális futóátlag időállandója • r = 0,02 a kockázatmentes hozam • σ f = 0,2 a fundamentalista által számolt ár szórása • σ s = 0,1 a részvény árának szórása • αf = 1 a fundamentalisták árkorrekciójának sebességét

jelzi az elvárt alapvető értékük felé • αc = 0,5 a trendkövetők vagyonának kockázatos eszközbe (részvénybe) fektetési arányának meredeksége • Θ = 1 a kockázat kerülés mértéke a kezdetekben • β = 1 a kereslet-kínálat árhatás együtthatója • εf ; εs ∼ N (0; 1) Sztenderd normális eloszlású véletlen szám • Z0 = 100% a kezdeti kockázatos eszközbe (részvénybe) fektetett vagyon aránya Az első szimulációt lefuttatva a következő eredményre jutottam: A kockázatos eszközbe való befektetési arány sorrendje általában azonos, vagyis a kizárólag betétbe fektető ügynök az utolsó, ezt követte a trendkövető majd a kizárólag részvénybe fektető, azaz kockázatos eszközbe befektető pénzügyi résztvevő, végül a fundamentalista elveket valló befektető. Ennek következtében a vagyonok alakulása is ezt a sorrendet vagy ennek épp fordítottját követte, azaz a részvénybe fektetőnek kisebb volt a vagyona az idő

leteltével, mint a trendkövetőé, akinek kisebb volt a vagyona, mint a fundamentalistáé, végül a legtöbb vagyonnal a kockázatmentes eszközbe fektető vállalkozó rendelkezett. Habár a szimulációt többször is lefuttattam, jelenleg csak egy példán mutatom meg, hogy milyen jellegű adatokat kaptam. 15 5.1 ábra Az elméleti részvény árak mozgása az első szimuláció során 16 5. FEJEZET AZ ELSŐ SZIMULÁCIÓ 5.2 ábra A részvénybe fektetett tőke aránya az első szimuláció során 17 5.3 ábra A vagyonok alakulása az első szimuláció során 18 5. FEJEZET AZ ELSŐ SZIMULÁCIÓ 6. fejezet A második szimuláció A második szimuláció során is minden befektető típusból egy van, továbbra is minden befektető 100000$-ral kezdőtőkét fektet be. A részvény most is tetszőleges mértékben diverzifikálható és élnek az első szimuláció további feltételei is. Ebben a szimulációban kibővítettem a befektetők csoportját

három újabb szemlélettel, akiknek stratégiája, illetve részvénybe fektetési hajlandósága az alábbi egyenletekkel írható le: 1. Egy vegyes stratégiával dolgozó kereskedő részvénybe fektetett vagyonának aránya, aki részben a fundamentalista, részben a trendkövető által számolt árakkal számolva fektet be : Zvt = αf Ft − St + Z0 + St αc Θ tanh (Θ (mt − µτ )) 2. Egy olyan befektető, akinek részvénybe fektetési hajlandóságát az határozza meg, hogy (t − 1)-ben a fundamentalista vagy a trendkövető hozama lett-e a nagyobb.  f c  θ t−1 + 0.1 ha yt > yt θt = f c  θ t−1 − 0.1 ha yt > yt Zvt 2 = (1 − θ) ∗ αf Ft − St +θ∗ St αc Θ tanh (Θ (mt − µτ )) + Z0 3. Egy kereskedő, aki kezdetektől veszi figyelembe a hozamok alakulását és azt a stratégiát követi, amelyik a hozamok átlagát tekintve legnyereségesebb Zvt 3 = P    0     F − St   αf t + Z0   

     ha t=1 t ytb yf t=1 t a legnagyobb P ha a legnagyobb t St P yc αc t=1 t a legnagyobb Θ tanh (Θ (mt − µτ )) + Z0 ha P t r y t 1 ha t=1 a legnagyobb t 19 20 6. FEJEZET A MÁSODIK SZIMULÁCIÓ Az egyenletben ytj jelöli a napi loghozamokat (j = b, f, c, r). 6.01 Egy példa 21 6.02 Eredmény Többszöri szimuláció eredménye alapján arra jutottam, hogy többségében a harmadik vegyes stratégiájú befektető volt az, aki kiugró nyereséggel rendelkezett az időszak végére. A többi befektető nyereségének sorrendje nagyon változó volt, ám többnyire hasonló eltérésű nyereséggel zárták a periódust. 22 6. FEJEZET A MÁSODIK SZIMULÁCIÓ ΩT 1. 2. 3. 1. V3 (4681442.2) V (1799294.8) f (1547558.9) 2. f (3083523.8) V2 (3026805.7) V (2563932) 3. V3 (6066042.7) f (2437417.2) V (2372279) 4. V3 (22293665.5) f (5229251.6) V2 (5217718.2) 5. V3 (20111208.4) b (1223601) c (665282) 6. V3 (3309629.1) f

(1819485.6) V2 (1785856.3) 7. V3 (1986819.7) V (1730716.7) f (1523820) 8. V3 (9767255.1) V (2590217.1) f (2133334.1) 9. V3 (78302649) V (2332297.5) c (1415213.3) f (3030750.1) V2 (2962567.5) V (2720175.4) V3 V f 10. Rangsor 23 4. 5. 6. 7. 1. V2 (1345865.8) r (1298841.5) c (1282405.3) b (1223601) 2. r (2127615.8) c (1916524.3) V3 (1696610.6) b (1223601) 3. V2 (1850244) r (1643991.9) c (1491474.1) b (1223601) 4. V (4007108.3) r (2695490.4) c (2279312.31) b (1223601) 5. r (576765.8) V (101862.899) f (11.98402) V2 (11.98402) 6. V (1706454.5) r (1320787.7) b (1223601) c (1059650) 7. V2 (1519743.4) b (1223601) r (1140117.1) c (1038658.8) 8. V2 (1966353.5) c (1754427.8) r (1634326.4) b (1223601) 9. b (1223601) f (1162398.46) r (1116255.5) V2 (1015789.3) r (1989007.2) c (1779042.6) b (1223601) V3 (518019.7) v2 r c b ΩT 10. Rangsor A statisztika alapján felállítható egy rangsor a legnyereségesebb

stratégiákból az elméleti árak alapján : 1. V3 : A harmadik vegyes gondolkodás módú befektető 2. V : Az első vegyes gondolkodás módú befektető 3. f : A fundamentalista befektető 4. V2 : A második vegyes gondolkodás módú befektető 5. r : A kizárólag részvénybe befektető ügynök 6. c : A trendkövető befektető 7. b : A kizárólag betétbe befektető ügynök 24 6. FEJEZET A MÁSODIK SZIMULÁCIÓ 7. fejezet Esettanulmányok Az esettanulmányokban a korábbi, a második szimuláció során használt stratégiákat alkalmaztam hasonló paraméterekkel, különböző részvények, indexek és egyéb piaci termékek historikus adatain. A historikus részvény adatokat a [5] forrásból szereztem A részvényeket és indexeket igyekeztem különböző ipari szektorokból választani, lehetőleg olyanokat, amik túlélték a 2007-es válságot, és manapság is megbízható vagy feltörekvő cégnek számítanak. A részvényeket 2006 január 3.-tól

ábrázoltam 2019 április 30-ig, ellenben a stratégiákat két időszakban vizsgáltam csak, minden részvény és index esetén 2006 január 3.-tól 2007 december 31-ig, illetve 2017 május 2.-tól 2019 április 30-ig Az eredményeket a következő szekciókban részletezem 7.1 Indexek 7.11 S&P500 Az S&P500 index árfolyamát 2006.0101-től néztem 20190501-ig Ennek alakulása a 71 ábrán látható A szimulációhoz az alábbi paramétereken változtattam: A 2006 − 2007-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2006 jan. 03-2007 dec31-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,008405812 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása A 2017 − 2018-es idősorhoz: 25 26 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK 7.1 ábra Az S&P500-as részvénymozgása (2006-2019) • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az

elszámolási időszak vége (2017 máj. 02-2019 ápr30-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,00859683 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása 7.1 INDEXEK 27 7.2 ábra Az S&P500 részvényeibe fektetett vagyonok arányainak alakulása 7.3 ábra A vagyonok alakulása S&P500 részvényekbe fektetés esetén Eredmény ∗ Az ábrákon látható, hogy ellentétben az elméleti szimuláció során tapasztal- takkal 502 nap után a kizárólag betétbe fektető ügynök volt a legnyereségesebb. Sőt, mi több mind a fundamentalista, mind a vegyes gondolkodású befektetők elbukták az egész vagyonuk. Rövid távon, azaz 200-300 nap elteltével ellenben már más a helyzet és valamelyik vegyes gondolkodású befektető volt a nyereséges. A válság idején az első és a harmadik vegyes befektető volt a legnyereségesebb rövid távon, míg manapság (azaz 2018

év elején) a második, illetve a harmadik vegyes befektető. 28 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK 7.12 Dow Jones Index Az index árfolyamát szintén 2006.0101-től néztem 20190501-ig Ennek alakulása a 74 ábrán látható. 7.4 ábra A Dow Jones index részvény mozgása (2006-2019) A szimulációhoz az alábbi paramétereken változtattam: A 2006 − 2007-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2006 jan. 03-2007 dec31-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) 7.1 INDEXEK 29 • σ s = 0,0078524552 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása A 2017 − 2018-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2017 máj. 02-2019 ápr30-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,008936479 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a

fundamentalista árképzés hozamának szórása 7.5 ábra Az DJI részvényeibe fektetett vagyonok arányainak alakulása Eredmény ∗ Továbbra is az 502 nap után a kizárólag betétbe fektető ügynök volt a leg- nyereségesebb és mind a fundamentalista, mind a vegyes gondolkodású befektetők elbukták az egész vagyonuk. Ám az S&P500 index-hez képest rövid távon, 300-400 nap között a válság idején (azaz 2007 év elején) a harmadik vegyes gondolkodású befektető kiemelkedően nyereséges volt. A mai napi adatok alapján, habár 2017 év végére mind a fundamentalista, mind a vegyes befektetők jól szerepeltek és a vagyonuk kiemelkedően nagyobb volt, mint a biztonságra törekvő betétbe fektető embereké, sajnos nagy zuhanásba kezdett utána. 7.11 Megjegyzés Megfigyelhető, hogy a második és a harmadik vegyes típusú befektető vagyonának alakulása nagyon hasonló, az eltérés leginkább csak az amplitúdóban nyilvánul meg 30 7.

FEJEZET ESETTANULMÁNYOK 7.6 ábra A vagyonok alakulása a Dow Jones indexbe fektetés esetén 7.2 Pénzügyi intézmények 7.21 JPMorgan A J.P Morgan eszközkezelő részvényeinek árfolyamát 20060103-tól néztem 20190501-ig Ennek alakulása a 7.7 ábrán látható A szimulációhoz az alábbi paramétereken változtattam: A 2006 − 2007-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2006 jan. 03-2007 dec31-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,0141524562 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása A 2017 − 2018-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2017 máj. 02-2019 ápr30-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,012334549 a részvény hozamának 7.2 PÉNZÜGYI INTÉZMÉNYEK 31 7.7 ábra A J P Morgan

részvényeinek mozgása (2006-2019) • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása Eredmény ∗ Ennél a pénzügyi befektetőnél az 502 nap elteltével, a kizárólag betétbe fek- tető és a harmadik vegyes gondolkodású ügynök volt a legnyereségesebb, akik közel hasonló vagyont értek el. Utánuk a kizárólag részvénybe befektetők, illetve a trendkövetők, majd a második vegyes gondolkodású és végül az első vegyes stratégiájú ügynök illetve a fundamentalista befektető vagyona következik. Sajnos utóbbiak teljesen elvesztették a vagyonukat Itt kizárólag betétbe vagy részvénybe fektetők és a trendkövetőktől eltekintve, megfigyelhető egy nagyobb amplitúdó a vagyonok mozgásában. 32 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK 7.8 ábra A JP Morgan részvényeibe fektetett vagyonok arányainak alakulása 7.9 ábra A vagyonok alakulása JP Morgan részvényekbe fektetés esetén 7.22 BlackRock A BlackRock alapkezelő

részvényeinek árfolyamát 2006.0101-től néztem 20190501-ig Ennek alakulása az alábbi 710 ábrán látható A szimulációhoz az alábbi paramétereken változtattam: A 2006 − 2007-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza 7.2 PÉNZÜGYI INTÉZMÉNYEK 33 7.10 ábra A BlackRock részvényeinek mozgása (2006-2019) • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2006 jan. 03-2007 dec31-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,018956407 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása A 2017 − 2018-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2017 máj. 02-2019 ápr30-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,01389092 a részvény hozamának 34 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása 7.11 ábra A BlackRock

részvényeibe fektetett vagyonok arányainak alakulása 7.12 ábra A vagyonok alakulása BlackRock részvényekbe fektetés esetén Eredmény ∗ A 7.12 ábra eredményei azt mutatják, hogy a válság idején azok jártak jobban, akik kizárólag a BlackRock részvényeibe fektettek, illetve a trendkövetők. A vegyes gondolkodásúak és a fundamentalisták azonban újra rosszul választották meg a stratégiáik és egy nagyobb 7.2 PÉNZÜGYI INTÉZMÉNYEK 35 vagyon gyarapodás után a 450. naptól kezdve elvesztették vagyonuk A válság után, azaz 2017 év vége felé szintén volt egy nagyobb vagyon gyarapodás mind a fundamentalisták, mind a vegyes befektetők esetén, ám azonban a 310. naptól nem rendelkeztek több tőkével Ebben az időszakban újra a csak betétbe fektetők zárják az időszakot a legnagyobb nyereséggel, majd a részvényesek a trendkövetőkkel együtt követik őket. 7.21 Megjegyzés Érdekesség, hogy ebben az esettanulmányban mind a

fundamentalista, mind a vegyesen gondolkodók vagyona együtt mozog. 7.23 IBM Az IBM vállalat részvényeinek árfolyamát 2006.0101-től néztem 20190501-ig A 713 ábrán bemutatja a részvény mozgását. 7.13 ábra Az IBM részvényeinek mozgása (2006-2019) 36 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK A szimulációhoz az alábbi paramétereken változtattam: A 2006 − 2007-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2006 jan. 03-2007 dec31-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,011200966 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása A 2017 − 2018-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2017 máj. 02-2019 ápr30-ig 502 banki nap volt) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,01377296 a részvény hozamának • σf = σs 2 a fundamentalista

árképzés hozamának szórása 7.14 ábra Az IBM részvényeibe fektetett vagyonok arányainak alakulása 7.2 PÉNZÜGYI INTÉZMÉNYEK 37 7.15 ábra Az IBM részvényeibe fektetett vagyonok alakulása Eredmény ∗ Ellentétben az eddig tapasztaltakkal ennél az entitásnál nem tapasztalható kiemelkedő vagyon gyarapodás a válság elején, ám az időszak végén már annál inkább. Mindazonáltal az 502 nap leteltével a fundamentalista és a vegyes gondolkodású befektetők sajnos itt is elvesztik vagyonuk. A válság korszakában a részvényesek (a kizárólag részvénybe fektetők) és a trendkövetők közel azonos vagyonnal rendelkeznek a betétesekkel (a kizárólag betétbe fektetőkkel), akik a legtöbb vagyonnal rendelkeznek az idő leteltével. A 2017-ben a betétbe fektetőktől eltekintve viszonylag együtt mozognak a vagyonok, majd az év végétől kezdenek stratégiáktól függően egyre nagyobb zuhanásba. A második vegyes gondolkodású

befektető még mutat egy nagy nyereséget, mielőtt csatlakozik a fundamentalista és a többi vegyes gondolkodású befektetőhöz és elveszti a teljes vagyonát. A részvényesek és a trendkövetők habár jelentősen nagyobb vagyonnal rendelkeznek, mint a fundamentalista vagy a vegyes gondolkodású befektetők a T időszak végén, még mindig elmaradnak a betétesektől. 7.24 Tesla A Tesla részvényeinek árfolyamát 2017.0502-től néztem 20190430-ig Ennek alakulása a 7.16 ábrán látható A szimulációhoz az alábbi paramétereken változtattam : A 2017 − 2019-es idősorhoz: • ∆t = 1 nap a periódusok hossza • T = 502 nap az elszámolási időszak vége (2017 máj. 02-2019 ápr30-ig 502 banki nap volt) 38 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK 7.16 ábra A Tesla részvényeinek mozgása (2017-2019) • r = 0,007 a kockázatmentes hozam (0.7%) • σ s = 0,031684812 a részvény hozamának szórása • σf = σs 2 a fundamentalista árképzés hozamának szórása

Eredmény ∗ A 7.18 ábra eredményei alapján megállapítható, hogy az utóbbi időben egyre kevésbé éri meg a Tesla részvényeibe fektetni. Habár kezdetekben a 2017-es évek elején még nagyobb volt mindenki vagyon gyarapodásának mértéke, mint a betéteseké, ám az idő során itt is szinte lépcsőzetes alakban tapasztalható visszaesés a vagyonok mértékében. Mi több a T időszak végére a részvényesek és a trendkövetők vagyona is zuhanásba kezdett. 7.2 PÉNZÜGYI INTÉZMÉNYEK 7.17 ábra A befektetők által a Tesla részvényeibe fektetett vagyonok aránya (2017-2019) 39 40 7. FEJEZET ESETTANULMÁNYOK 7.18 ábra A vagyonok alakulása Tesla részvényekbe fektetés esetén (2017-2019) 8. fejezet Konklúzió Először is megállapítható, hogy a válság idején a különböző részvények korrelációja nagy volt, így viszonylag kevés eltérés tapasztalható a stratégiák alakulásában is. Meglepő módon az elméleti

szimulációt kevésbé támasztották alá a valódi indexszel mért eredmények. De minden esettanulmány során megfigyelhető volt egy rövid távú erős vagyon gyarapodás főleg a vegyes gondolkodású befektetőknél Továbbá észrevehető, hogy a trendkövetők stratégiája nagyon együtt mozgott a kizárólag részvénybe fektetőékével így szinte mindig ugyanakkora vagyonuk lett T idő végén. Habár ezen befektetők vagyona, ugyan csak egyszer haladta meg a biztos hozamot nyújtó betétesek vagyonát, ellenben majdnem mindig ez közelítette meg legjobban azt Más szavakkal ők tekinthetőek a stratégiák versenyében a második és harmadik helyezettnek. Összességében úgy tűnik, hogy a legjobb stratégia ezen paraméterek alapján, ellentétben az elméleti szimulációk során tapasztaltakkal, ha mindig kizárólag betétbe fektettünk. Ennél kicsit kevesebb nyereséghez jutunk többnyire, ha kizárólag részvénybe fektetünk, vagy a trendet követjük.

Ezután szóba jöhet még, ha az eddigi átlagosan legtöbb hozamot elért stratégiához igazítjuk a sajátunk, majd ha a kockázatkerülésünk mértékét változtatva súlyozzuk a fundamentalista és a trendkövetők által használt stratégiát. A többi esetben mind rövid, mind hosszútávon szignifikánsan kevesebb nyereséget érünk el a szimulációk alapján. 41 42 8. FEJEZET KONKLÚZIÓ Irodalomjegyzék 43 44 IRODALOMJEGYZÉK Irodalomjegyzék [1] Carl Chiarella, Roberto Dieci, Xue-Zhong He, Kai Li: An evolutionary CAPM under heterogeneous beliefs, 2012 [2] Carl Chiarella, Roberto Dieci, Laura Gardini: Asset price and wealth dynamics in a financial market with heterogeneous agents, 2006 [3] Chiarella, C., Dieci, R, He, X: Heterogeneity, market mechanisms and asset price dynamics [4] Haim Levy : The Capital Asset Pricing Model in the 21st Century, 2012 [5] https://finance.yahoocom/quote/ [6] J. Lintner: The Aggregation of Inventors Diverse Judgment and

Preferences in Purely Competitive Markets, 1969 [7] https://tudomanyon.bloghu/2017/03/17/mi es mire valo a capm i resz [8] William A. Brock, Cars H Hommes :Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model, 1998 [9] Chen, S.-H, Huang, Y : Risk preference, forecasting accuracy and survival dynamics: simulation [10] W. F Sharpe : Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium, 1964 45