Villamosságtan | Felsőoktatás » Visontay Péter - Jelek és rendszerek összefoglaló

Jelek és rendszerek összefoglaló Visontay Péter (sentinel@sch.bmehu) 2001. december Ez az összefoglaló a 3. féléves Jelek és rendszerek tárgyhoz, annak is elsősorban az ı́rásbeli részéhez nyújt segı́tséget. Tartalmazza gyakorlatilag az összes összefüggést, melyet az ı́rásbeli vizsgán használni kell, és segı́tségével könnyedén áttekinthető a tárgy anyaga. 1. Alapfogalmak 1.1 Jelek Folytonos idejű jel (FI jel): x(t); t ∈ R Diszkrét idejű jel (DI jel): x[k]; k ∈ Z Diszkrét idejű egységimpulzus:  0 (k < 0)  δ[k] = 1 (k = 0)   0 (k > 0) Bármely DI jel megadható eltolt egységimpulzusok (δ[k − i]) szuperpozı́ciójaként: ∞ P x[k] = x[i]δ[k − i] −∞ Diszkrét idejű egységugrás: ε[k] = ∞ P i=0 ε[k] = ( ε(t) = ( 0 (k < 0) 1 (k ≥ 0) δ[k − i] δ[k] = ε[k] − ε[k − 1] Eltolt diszkrét idejű jel: x(i) [k] ≡ x[k − i] x(−1) [k]

≡ x0 [k] ≡ x[k + 1] Folytonos idejű egységugrás: 0 (t < 0) 1 (t ≥ 0) Négyzetes/derékszögű ugrás: ε(t − t1 ) − ε(t − t2 ) Dirac-impulzus: 1 ε(t) − ε(t − T ) δ(t) = lim T 0 T Z∞ és δ(t) = 1 −∞ (Mindenütt nulla, kivéve 0-ban, ahol végtelen nagy (nem igazi matematikai függvény)) Jel deriváltja: x(1) (t) ≡ x0 (t) = dx(t) dt x(t) és x0 (t) kapcsolata: x(t) = Rt x0 (τ ) dτ + x(t0 ) t0 ε0 (t) = δ(t) Ha egy jelben ε(t) szerepel szorzótagként, akkor a jelet rendesen szorzatfüggvényként kell deriválni, azaz (f g)0 = f 0 g + g 0 f . Belépő jel: Egy jelet belépőnek nevezünk, ha t vagy k negatı́v értékreire azonosan nulla. Abszolút összegezhető (integrálható) jel: Z∞ −∞ |x(t)| dt < ∞ ∞ X vagy −∞ |x[k]| < ∞ Véges energiájú jel: Ex = Z∞ −∞ 2 |x(t)| dt < ∞ vagy Ex = ∞ X −∞ |x[k]|2 < ∞ Ablakozott jelek:

(szélessége 2T vagy 2L + 1) p(t, T ) = ε(t + T ) − ε(t − T ) vagy p[k, L] = ε[k + L] − ε[k − L − 1] 1.2 Rendszerek Rendszer: Az egy gerjesztésű egy válaszú rendszer egy kapcsolatot jelent, amely az adott u = u(t) vagy u = u[k] gerjesztéshez egy y = y(t) vagy y = y[k] választ rendel. Az összerendelés explicit alakja az y = W{u} gerjesztés-valasz kapcsolat, ahol W egy operátor. Lineáris rendszer: Egy rendszer akkor lineáris, ha a W operátor lineáris, azaz a rendszerre érvényes a szuperpozı́ció elve. (azaz ) Invariáns rendszer: Egy rendszer akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása csak egy ugyanekkora időbeli eltolást okoz a válaszban, de annak alakját nem változtatja meg. Kauzális rendszer: Egy rendszer akkor kauzális, ha az y(t1 ) vagy y[k1 ] válasz bármely t1 vagy k1 esetén az u(t) vagy u[k] gerjesztésnek csak olyan értekeitől függ, amelyekre t ≤ t1 vagy k ≤ k1 teljesül (azaz

a jelenlegi kimenet nem függ a jövőbeli bemenetektől). Tétel: egy lineáris rendszer akkor es csak akkor kauzális, ha bármely belépő gerjesztéshez belépő válasz tartozik. Gerjesztés-válasz stabilis rendszer: Egy rendszer akkor GV-stabilis, ha bármely korlátos gerjesztéshez korlátos válasz tartozik. 2 2. Analı́zis az időtartományban 2.1 Az impulzusválasz Diszkrét idejű impulzusválasz: Impulzusválasz: Egy diszkrét idejű, lineáris, invariáns rendszer h = h[k] impulzusválasza a rendszernek az egységimpulzus gerjesztéshez tartozó válasza: y[k] = h[k], ha u[k] = δ[k] Kauzális rendszer impulzusválasza belépő jel. FIR rendszer: Egy kauzális rendszert véges impulzusválaszú (Finite Impulse Response) tı́pusú rendszernek nevezünk, ha az impulzusválasza azonosan nulla egy L − 1 ütem után. A válasz számı́tása: A diszkrét idejű, lineáris, invariáns, h[k] impulzusválaszú

rendszernek az u[k] gerjesztéshez tartozó válasza a következő alakban fejezhető ki: y[k] = ∞ X i=−∞ h[k − i]u[i], k ∈ Z A művelet neve: h és u konvolúciója (jelölése y = h ∗ u). Kauzális rendszerre: y[k] = k X i=−∞ h[k − i]u[i] ≡ y[k] = ∞ X p=0 h[p]u[k − p] k∈Z Kauzális rendszerre, ha a gerjesztés belépő jel: y[k] = k X i=0 h[k − i]u[i] ≡ y[k] = k X p=0 h[p]u[k − p] k∈Z Szükséges és elégséges tétel GV-stabilitásra: Egy diszkrét idejű, lineáris, invariáns rendszer akkor és csakis akkor GV-stabilis, ha impulzusválasza abszolút összegezhető, vagyis ha ∞ X −∞ |h[k]| < ∞ Ennek egy szükséges (és gyakran elégséges) feltétele: h[k] 0, ha k ∞ Folytonos idejű impulzusválasz: Impulzusválasz: Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszer h = h(t) impulzusválasza a rendszernek a Dirac-impulzus gerjesztéshez tartozó válasza: y(t) =

h(t), ha u(t) = δ(t) 3 Kauzális rendszer impulzusválasza belépő jel. A válasz számı́tása: Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns, h(t) impulzusválaszú rendszernek az u(t) gerjesztéshez tartozó válasza a következő alakban fejezhető ki: y(t) = Z∞ h(t − τ )u(τ ) dτ, t ∈ R i=−∞ A művelet neve: h(t) és u(t) konvolúciója (jelölése y = h ∗ u). Kauzális rendszerre: y(t) = Zt −∞ h(t − τ )u(τ ) dτ ≡ y(t) = Z∞ −0 h(ϑ)u(t − ϑ) dϑ t ∈ R+ h(ϑ)u(t − ϑ) dϑ t ∈ R+ Kauzális rendszerre, ha a gerjesztés belépő jel: y(t) = Zt −0 h(t − τ )u(τ ) dτ ≡ y(t) = Zt −0 Szükséges és elégséges tétel GV-stabilitásra: Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszer akkor és csakis akkor GV-stabilis, ha impulzusválasza abszolút integrálható, vagyis ha Z∞ −∞ |h(t)| dt < ∞ 2.2 Az állapotváltozós leı́rás

Állapotváltozók: Egy DI vagy FI rendszer xi = xi [k], vagy xi = xi (t), i = 1, 2, . , N állapotváltozói olyan változók, amelyek a következő két tulajdonsággal rendelkeznek: ismerve a rendszer viselkedését leı́ró egyenleteket és a gerjesztéseket, meg tudjuk határozni az állapotváltozók ka vagy ta időpontbeli értékei ismeretében (1) az állapotváltozók értékét bármely kb > ka vagy tb > ta időpontra; (2) a válasz értékét a ka vagy ta időpontban. Állapotegyenlet: (Egy DI vagy FI lineáris, invariáns, kauzális, egy gerjesztésű és egy válaszú rendszer állapotváltozós leı́rása mátrixos alakban:) x0 = Ax + Bu y = C T x + Du Az első sor az állapotegyenlet, a második sor a válasz állapotváltozós alakja. Az x az állapotvektor (az xi állapotváltozók egy vektorba foglalva), a kvadratikus A mátrix neve rendszermátrix. 4 Kezdeti értékek: x[0] = 0, ha

u[k] = 0 x(−0) = 0, ha u(t) = 0 (k ∈ Z− ) (t ∈ R− ) Az állapotegyenlet megoldása lépésről lépésre módszerrel: k = 0 : y[0] = Cx[0] + Du[0], x[1] = Ax[0] + Bu[0] k = 1 : y[1] = Cx[1] + Du[1], x[2] = Ax[1] + Bu[1] k = 2 : y[2] = Cx[2] + Du[2], x[3] = Ax[2] + Bu[2] . Állapotegyenlet megoldásának formulája: Az állapotegyenlet azon megoldása, amelynek kezdeti értéke x[0] vagy kiindulási értéke x(−0), a következő alakú: k DI: x[k] = A x[0] + k−1 X Ak−1−i Bu[i] (k ∈ Z+ ) i=0 FI: At x(t) = e x(−0) + Zt eA(t−τ ) Bu(τ ) dτ −0 (t ∈ R+ ) A válasz számı́tása: DI:   ha k = 0 Cx[0] + Du[0] k−1 y[k] = P k  Ak−1−i Bu[i] + Du[k] ha k ∈ Z+ CA x[0] + C i=0 FI: At y(t) = Ce x(−0) + C Zt eA(t−τ ) Bu(τ ) dτ + Du(t) −0 (t ∈ R+ ) Impulzusválasz kifejezése az állapotegyenletből: DI: h[k] = Dδ[k] + ε[k − 1]C T Ak−1 B FI: h(t) = Dδ(t) + ε(t)C T eAt B

Mátix sajátértékei: det(λE − A) = 0; egyenlete.) λ = λ1 , λ2 , . , λN (Ez a rendszer karakterisztikus Mátrix függvénye egyszeres sajátérték esetén: (Ak vagy vagy eAt kiszámı́tására) Lagrange-mátrixokkal (I az egységmátrix): Li = N Q p=1(p6=i) A−λp I λi −λp ; i = 1, 2, . , N Ak = N P i=1 λki Li és eAt = N P eλi t Li i=1 Aszimptotikus stabilitás: Egy LI rendszer aszimptotikusan stabilis, ha a gerjesztetlen rendszer minden állapotváltozója nullához tart k ∞ vagy t ∞ esetén az állapotvektor bármely x[0] kezdeti vagy x(−0) kiindulási értéke esetén: u[k] ≡ 0, x[k] 0, k ∞; 5 k∈N x(t) 0, k ∞; u(t) ≡ 0, t ∈ R+ Szükséges és elégséges tétel aszimptotikus stabilitásra: Egy LI rendszer akkor és csakis akkor aszimptotikusan stabilis, ha rendszermátrixának minden sajátértéke kielégı́ti a következő feltételeket: DI: minden |λi | <

1, vagyis egységsugarú körön belüli. FI: minden <{λi } < 0, vagyis a bal félsı́kon van. Ha egy LI rendszer aszimptotikusan stabilis, akkor biztosan GV stabilis. 2.3 Jelfolyam hálózatok Az i-edik késleltető/integrátor kimeneti változójának jele xi , bemeneti változójának jele x0i . A LI, kauzális jelfolyam hálózatok elemi komponensei és karakterisztikájuk: Komponens forrás nyelő erősı́tő késleltető DI kar. ui [k] yi [k] qi [k] = Ki pi [k] 0 xi [k] = xi [k − 1] integrátor FI kar. ui (t) yi (t) qi (t) = Ki pi (t) xi (t) = Rt −∞ 0 xi (τ ) Összegző csomópont: pi = qa + qb + . Szétágazó csomópont: pa = qi , pb = qi , . A hálózat stabilitása: A hálózat akkor és csak akkor stabilis, ha az általa reprezentált rendszer aszimptotikusan stabilis. 6 3. Analı́zis a frekvenciatartományban 3.1 Jelek komplex leı́rása Szinuszos jel: x[k] = X cos(ϑk + ϕ) vagy x(t) = X

cos(ωt + ϕ) Euler-reláció: ejα = cos α + j sin α Fazor reprezentáció: az x[k] vagy x(t) szinuszos jel, melynek amplitúdója X, kezdőfázisa ϕ, tömören jellemezhető az X komplex amplitúdójával, ahol X = Xejϕ Ez X = X cos ϕ + jX sin ϕ alakban számı́tható. Ez a szinuszos jel fazorja, amely egy nyı́llal szemléltethető a komplex számsı́kon (hossza X, szöge ϕ). Ebből a szinuszos jel: x[k] = <{Xejϑk } és x(t) = <{Xejωt } Fazor felı́rása: Az a + bj alakú komplex szám felı́rható Kejϕ alakban a következő összefüggésekkel: p b = tgϕ a2 + b2 = K a Műveletek fazorokkal: Ha az x szinuszos jel az x1 és x2 szinuszos jelek összege, akkor x fazorja az x1 és x2 fazorjának összege: x = x1 + x2 ⇐⇒ X = X 1 + X 2 Ha K valós állandó: v = Kx ⇐⇒ V = KX Késleltetett jel fazorja: DI: v[k] = x(1) [k] = x[k − 1] ⇐⇒ V = e−jϑ X. FI: v(t) = x(1) (t) ⇐⇒ V = jωX. Szinuszos

gerjesztésre szinuszos válasz: Ha egy LI rendszer gerjesztése szinuszos, akkor a rendszer válasza is szinuszos lesz ugyanazzal a frekvenciával, de más amplitúdóval és kezdőfázissal: u(t) = U cos(ωt + ϕ1 ) ≡ <{U ejωt } y(t) = Y cos(ωt + ϕ2 ) ≡ <{Y ejωt } Elemi függvények: sin z = ejz − e−jz 2j cos z = ejz + e−jz 2 7 3.2 Átviteli karakterisztika Átviteli együttható: körfrekvencián: A LI rendszer H átviteli együtthatója a rögzı́tett ϑ vagy ω Y U ahol U ill. Y a gerjesztés, ill válasz komplex amplitúdója H= Átviteli karakterisztika: A rendszer H(ejϑ ) vagy H(jω) átviteli karakterisztikája a rendszer átviteli együtthatója mint a körfrekvencia függvénye. Átviteli karakterisztika alakja: Egy LI, kauzális, GV-stabilis rendszer átviteli karakterisztikája: H(ejϑ ) = H(jω) = b0 + b1 e−jϑ + b2 e−j2ϑ + . + bm e−jmϑ 1 + a1 e−jϑ + a2 e−j2ϑ + . + bn e−jnϑ b0

(jω)n + b1 (jω)n−1 + . + bn−1 (jω) + bn (jω)n + a1 (jω)n−1 + . + an−1 (jω) + an Válasz számı́tása szinuszos gerjesztés esetén (állandósult válasz): Szinuszos gerjesztés esetén a válasz is szinuszos lesz azonos frekvenciával, de más amplitúdóval és kezdőfázissal. Ilyenkor először ki kell számı́tani az átviteli karakterisztika értékét a gerjesztés ω0 frekvenciáján, ez legyen H(jω0 ) = Kejϑ . A válasz ekkor az u(t) = U cos(ω0 t+ϕ) gerjesztésre: y(t) = KU cos (ω0 t + (ϕ + ϑ)) Ha egy feladatban adott egy szinuszos gerjesztés (ami lehet több szinuszos jel összege, és tartalmazhat konstans tagot), akkor a fenti módon kell számı́tani a választ minden tagra külön-külön, és ezek összege lesz a válasz. (Konstans tagnál ω = 0 frekvencián, szinuszosnál pedig a szinuszos jel frekvenciáján kell kiszámı́tani az átviteli karakterisztikát.)

Amplitúdó-karakterisztika: K(ω) = |H(ejϑ )| Fáziskarakterisztika: ϕ = arcH(ejϑ ) Átviteli karakterisztika és állapotváltozós leı́rás: Átviteli karakterisztika mátrix: Y = H · U DI: H(ejϑ ) = C[ejϑ E − A]−1 B + D FI: H(jω) = C[jωE − A]−1 B + D 3.3 Fourier sorfejtés Periodikus DI jel Fourier-sora: Egy diszkrét idejű, L periódusidejű, valós értékű jel Fouriersorának egy célszerű alakja: x[k] = X0 + M X XP cos(pΘk + ξp ) + XL/2 (−1)k ; Θ = p=1 8 2π L L−1 , XL/2 = 0; 2 L páratlan: M = X0 = X0C ; L páros: M = L − 1; 2 XP = 2|XPC |, ξp = arc XPC , (p = 1, 2, . , M ); C XL/2 = XL/2 A komplex Fourier-együtthatók kifejezése: X0C = 1 X x[k]; L C XL/2 = k=<L> 1 X x[k](−1)k , L páros L k=<L> 1 X 1 XPC = XP ejξP = x[k]e−jpΘk ; 2 L p = 1, 2, . , M ; Θ= k=<L> 2π L Diszkrét idejű periodikus válasz: YpC = H p UpC , H p ≡ Kp ejϕp = H(ejpΘ ), Y 0 = K0

U 0 ; Yp = Kp Up , p = 0, ±1, ±2, . p = 1, 2, . ηp = ϕp + νp , Periodikus FI jel Fourier-sora: ∞ X x(t) = XPC ejpΩt , Ω= p=−∞ XPC ZT /2 1 = T x(t)e−jpΩt dt; 2π T p = 0, ±1, ±2 . −T /2 Folytonos idejű periodikus válasz: YpC = H(jpΩ)UpC ; Yp = Kp Up , ηp = ϕp + νp ; p = 0, 1, 2, . N ; H(jpΩ) = Kp ejϕp 3.4 Fourier transzformáció Fourier-transzformáció: X(ejϑ ) = F{x[k]}, X(ejϑ ) = ∞ X x[k]e−jϑk X(jω) = F{x(t)} ha −∞ X(jω) = Z∞ ∞ X k=−∞ −jωt x(t)e dt ha Z∞ ∞ −∞ |x[k]| < ∞ |x(t)| dt < ∞ (Ez a jel spektruma vagy Fourier-transzformáltja.) Inverz Fourier-transzformáció: x[k] = F −1 {X(ejϑ )}, x(t) = F −1 {X(jω)} Átviteli karakterisztika és impulzusválasz: H(ejϑ ) = F{ h[k] } H(jω) = F{ h(t) } 9 h[k] = F −1 { H(ejϑ ) } h(t) = F −1 { H(jω) } A Fourier transzformáció tételei: Csillapı́tási tétel: ejϑ 1 F{ ε[k]q k }

= ejϑ F{ ε(t)ept } = jω−p −q (Csak |q| < 1 és p < 0-ra!) Modulációs tétel: F{x[k]ejϑ0 k } = X(ej(ϑ−ϑ0 ) ) F{x[k]ejω0 t } = X(ej(ω−ω0 ) ) Mivel a legtöbb transzformációs tétel nagyon hasonló a Laplace-transzformációs képletekhez (változó-helyettesı́téssel megkapható egyikből a másik), és mivel a Laplace-os képleteket sokkal gyakrabban kell használni, ezeket itt nem ı́rom le, csak majd a Laplace-nál. 4. Analı́zis a komplex frekvenciatartományban 4.1 Laplace-transzformáció Laplace-transzformáció definı́ciója: X(z) = ∞ X x[k]z −k 0 X(s) = Z∞ x(t)e−st dt −0 Itt z-t, illetve s-t komplex frekvenciának nevezzük. A diszkrét idejű Laplace-transzformált más néven a Z-transzformált. Fontosabb tételek: Egységimpulzus és -ugrás transzformáltja: Z{ δ[k] } = 1 L{ δ(t) } = 1 −r Z{ δ[k − r] } = z L{ δ(t − T ) } = e−sT (Ha r < 0 vagy T < 0, a

transzformált 0!) z Z{ ε[k] } = z−1 L{ ε(t) } = 1s Csillapı́tási tétel:  ‘ Z{ x[k]q k } = X zq L{ x(t)e−pt } = X(s + p) z Z{ ε[k]q k } = z−q L{ ε(t)e−pt } = (q és p bármely komplex értékére!) Paraméter tétel: Z{ x[k, q] } = X(z, q) − 1 pt Pl. L{ ε(t) · te } = (s−p)2 Késleltetett belépő jel: Z{ ε[k − r]x[k − r] } = z −r X(z) Z{ ∂ ∂q x[k, q] 1 s+p }= ∂ ∂q X(z, q) L{ ε(t − T )x(t − T ) } = e−sT X(s) 10 Nem belépő DI jel késleltetése (pl. 08k ): Pl. Z{ x[k − 2] } = z −2 X(z) + x[−1]z −1 + x[−2] Siettetett/derivált jel: Z{ x[k + 1] } = zX(z) − zx[0] L{ x0 (t) } = sX(s) − x(−0) Differenciálás a komplex frekvenciatartományon: L{ tx(t) } = − dX(s) Z{ kx[k] } = −z dX(z) dz ds Belépő jelek konvolúciója: Z{ x[k] ∗ y[k] } = X(z)Y (z) L{ x(t) ∗ y(t) } = X(s)Y (s) Végértéktétel és kezdetiértéktétel: lim x(t) = lim sX(s) t∞ s0 lim x(t) = lim

sX(s) s∞ t0 Jelek leı́rása a frekvencia- és komplex frekvenciatartományban: X(ejϑ ) = X(z)|z=ejϑ ha x[k] belépő jel és abszolút összegezhető. X(jω) = X(s)|s=jω ha x(t) belépő és abszolút integrálható. Ha komplex frekvenciatartománybeli jelet akarunk átı́rni a frekvenciatartományba, akkor az átı́rhatóság eldönthető a pólusok vizsgálatával. Inverz Laplace-transzformáció: Ha van egy racionális törtfüggvény, akkor ezzel a következőket kell tenni: számláló 1) Ha a számláló ugyanolyan fokú, mint a nevező, akkor polinomosztással C + maradék nevező alakúra hozzuk a függvényt (C konstans). P Ai P Ai z 2) A maradék törtet részlettörtekre bontjuk, ami s+pi vagy z−qi alakú lesz. 3) Ezt a fent leı́rt transzformációs képletek segı́tségével visszatranszformáljuk, ı́gy Ai ε(t)e−pi t vagy Ai ε[k]qik alakú tagokat kapunk. (A konstans tag

inverz-transzformáltja: Cδ(t) vagy Cδ[k]) Ai z −1 Ai Trükk: ha diszkrét esetben kapunk z−q alakú tagot, akkor ezt a vele megegyező z−q z alakra i i −1 hozzuk, majd az inverz Laplace transzformáció eredménye (mivel a z egy késleltetést jelent): Ai ε[k − 1]qik−1 4.2 Rendszeranalı́zis a komplex frekvenciatartományban Átviteli függvény: Egy lineáris, invariáns és kauzális rendszer átviteli függvénye belépő gerjesztés esetén: H(z) = Y (z) U (z) H(s) = Y (s) U (s) Nem kauzális rendszernek nem értelmezett az átviteli függvénye! Átviteli függvény és impulzusválasz: H(s) = L{ h(t) } H(z) = Z{ h[k] } h[k] = Z −1 { H(z) } h(t) = L−1 { H(s) } 11 Átviteli függvény alakja: H(z) = H(s) = b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . + bm z −m 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . + bn z −n b0 sn + b1 sn−1 + . + bn−1 s + bn sn + a1 sn−1 + . + an−1 s + an Pólusok: Az átviteli függvény

nevezőjének azon nullahelyei, amik a számlálónak nem gyökei. Zérusok: Az átviteli függvény nullahelyei. GV-stabilitás: Racionális átviteli függvényű rendszer akkor és csak akkor GV-stabilis, ha a H(z) vagy H(s) minden pólusára |qi | < 1 (DI) és <{pi } < 0 (FI). Átviteli függvény és átviteli karakterisztika: Ahhoz, hogy helyettesı́téssel megkapjuk az egyikből a másikat, a következő feltételek szükségesek: Ha a rendszer kauzális: H(ejϑ ) − H(z) H(jω) − H(s) Ha a rendszer GV-stabilis: H(z) − H(ejϑ ) H(s) − H(jω) Válasz számı́tása: Belépő gerjesztésnél: Y (s) = H(s)U (s) y(t) = L−1 {Y (s)} (diszkrétnél ugyanı́gy) Nem belépő gerjesztésnél: h(t) = L−1 {Y (s)}, utána konvolúcióval. Tehát ha meg van adva egy belépő, de nem szinuszos gerjesztés és kérdés a válasz, akkor meghatározzuk a gerjesztés Laplace-transzformáltját, meghatározzuk az

átviteli függvényt (állapotváltozós leı́rásból vagy az impulzusválasz Laplace-transzformációjával), a két transzformáltat összeszorozzuk, majd az egészet (ez az Y (z) vagy Y (s)) inverz-transzformáljuk. Ha szinuszos vagy konstans gerjesztés van megadva, akkor állandósult választ kell számolni (ld. az átviteli karakterisztikánál)! 12