Matematika | Felsőoktatás » Kálmán Tamás - Globális szingularitáselmélet

Globlis szingularitselmlet diplomamunka Klmn Tams tmavezet: Szcs Andrs egyetemi docens ELTE TTK 1998. Tartalomjegyzk Bevezets 1 Alapfogalmak s -ttelek 2 4 1.1 Stabil lekpezsek loklis viselkedse 4 1.2 A Thom-polinomok 8 2 Felletek hajts-lekpezsei a s kba 11 3 1-kodimenzi s lekpezsek kiterjesztsei 23 4 Morin-lekpezsek 4-sokasgok k z tt 33 5 A Sakuma-sejts 40 Irodalomjegyzk 50 2.1 Akadlyok 11 2.2 Konstrukci k 14 3.1 1-kodimenzi s immerzi k kiterjesztsei 23 3.2 1-kodimenzi s lekpezsek kiterjesztsei 28 4.1 A norml Euler-szm 34 4.2 A cs cs-szingularitsok fel lete 36 5.1 A felttelek sz ksgessge 40 5.2 A Sejts egy specilis esete 43 5.3 Egyszer hajts-lekpezsek 47 1 Bevezets A globlis szingularitselmlet a

topol ginak viszonylag atal, fejldsnek elejn lv ter lete. Ez a tudomnyg sima sokasgok kztti sima lekpezseket vizsgl, pontosabban ezek kz l azokat, amelyek valamilyen rtelemben generikusak (ld. az 111 Denci t) Ez a megszorts a szmunkra fontos esetekben lnyegben nem csorbtja az elmlet ltalnossgt, ugyanis brmely sima lekpezs kis megvltoztatssal ilyen ltalnos helyzetbe hozhat lesz (ld. az 113 Ttelt) Ugyanakkor nagyon sokat nyer nk vele, ugyanis a loklis szingularitselmlet meglehetsen pontos lerst adja az ilyen lekpezsek loklis viselkedsnek: szingularitsaikat (azaz az rtelmezsi tartomny azon pontjait, ahol a Jacobi-mtrix rangja alacsonyabb az elkpzelhet maximumnl) tpusuk szerint j l kr lhatrolt halmazokba sorolja, amelyekrl pedig bebizonytja, hogy j l kezelhet strukt rval rendelkeznek (a szakdolgozatban trgyalt esetekben ezek sokasgok lesznek). Ezeket az eredmnyeket, amelyek aztn a globlis szingularitselmlet bzist

alkotjk, foglaltuk ssze az 1.1 alfejezetben Az ott szerepl lltsok legtbbje mgtt Thom hres cs va-transzverzalitsi ttele h z dik meg, de kidolgozsukban fontos szerepet jtszottak pl. Arnold, Boardman, Levine, Mather, Morin, du Plessis s Whitney is. A globlis szingularitselmlet alapvet problmafelvetsei a kvetkezk: Mi mondhat el a szingulris halmaz, illetve annak bizonyos tpus szingularitsokb l ll rszhalmazainak nagybani topol gijr l nmagban s az rtelmezsi tartomny topol gijhoz viszonytva? Egy f : M ! N , csak bizonyos elre rgztett tpus szingularitsokkal br generikus lekpezs ltezsbl milyen kvetkeztetsek vonhat ak le a kt sokasg, de k lnsen M topol gijra nzve? Kt adott sokasg esetn melyek a kztt k hat legegyszerbb generikus lekpezsek 1. ltalban 2 2. egy adott homot piaosztlyon bel l, azaz, ha adott egy generikus lekpezs, akkor a szingularitsai kz l melyek eliminlhat ak homot pia segtsgvel? Kider l, hogy

amennyiben az rtkkszlet a val s szmok egydimenzi s R sokasga, a generikus lekpezsek ppen a Morse-f ggvnyek. A Morse-elmlet a globlis szingularitselmletnek legrgibb s (szmos nyitott krdse ellenre) egyetlen kielgten feltrkpezett ter lete, egyben a ksbbi ltalnosabb vizsglatok elindt ja s motivl ja. Ezek a vizsglatok, amelyeket olyan matematikusok folytattak s folytatnak, mint pl Thom, Levine, Haeiger s liaberg, egyelre igen kevs ltalnos, sok szituci ban alkalmazhat ttelt s m dszert produkltak, az eredmnyek szmosak ugyan, de jobbra egymst l elszigeteltek (pl. gyakran csak egy bizonyos dimenzi ra rvnyesek). jabban dominnss kezd vlni a japn iskola, amelynek legfontosabb kpviseli Ando, Fukuda, Sakuma s Saeki Az  eredmnyeik, amelyek a szakdolgozat msodik felnek gerinct alkotjk, zmmel a nempozitv kodimenzi , azaz olyan lekpezsek esetre vonatkoznak, amelyek egy sokasgot egy nla nem nagyobb dimenzi s sokasgba kpeznek le.

Az elbb emltetteknek mintegy t kreknt, a diplomamunka fejezetei is meglehetsen elk ln lnek egymst l. A tmban alapvet denci k s ttelek ttekintse utn mindjrt a 2 Fejezet tartalmazza a f eredmnyeket: teljes vlaszt adunk arra a krdsre, hogy egy zrt fel letnek a skba trtn hajts-lekpezsnl (ld. az 1111 Denci t) hny komponens lehet a szingulris halmaz, illetve j bizonytst adunk liaberg s Millett egy ismert ttelre (2.15 Lemma) A 3 Fejezet Pappas bizonyos eredmnyeit lteti t a szingularitselmletbe. A 4 Fejezetben a mai topol giban oly fontos 4-dimenzi s sokasgok kztti szingulris lekpezsekkel foglalkozunk, az 5. Fejezetben pedig megpr blunk kr ljrni egy jonnan felmer lt megoldatlan problmt. Ez ton is szeretnk ksznetet mondani tmavezetmnek, Szcs Andrsnak a rengeteg hasznos tancsrt s szrevtelrt, valamint Rimnyi Richrdnak az 1. Fejezet sszelltshoz ny jtott segtsgrt Budapest, 1998. mjusa 3 1. Fejezet Alapfogalmak

s -ttelek Ebben a fejezetben rgztj k a fbb denci kat s jellseket, valamint ttekint nk nhny alapttelt, bizonyts nlk l. Minden elfordul sokasg val s, sima, parakompakt s Hausdor! lesz, s a kztt k hat lekpezsekrl is feltessz k, hogy C 1-osztly ak. Legyenek M n s N p n-, illetve p-dimenzi s sokasgok s f : M n ! N p sima lekpezs. 1.1 Stabil lekpezsek loklis viselkedse 1.11 Den ci Azt mondjuk, hogy f stabil, ha az  : (Di(M )  Di(N ))  C 1(M N ) ! C 1(M N ) csoporthatsnl keletkez orbitja a Whitney-fle C 1-topol gival elltott C 1(M N ) trben nylt halmaz, ahol Di(X ) az X sokasg diffeomorzmuscsoportja s ((g h) f ) := h;1  f  g. 1.12 Megjegyzs A Morse-lemma szerint N = R esetn a stabil lekpezsek ppen az M -en rtelmezett Morse-f ggvnyek. A globlis szingularitselmletnek az ad ltjogosultsgot, hogy a stabil lekpezsek szpek s sokan vannak. Az elbbi kijelents tartalmt hamarosan ltni fogjuk, az ut bbit pedig

pontostja az albbi 1.13 ll ts (Mather Ma]) A stabil lekpezsek C 1(M n  N p)-nek egy ny lt rszhalmazt alkotjk, amely minden tt s r is az albbi, n. szp (n p) 4 dimenzi-prok esetn: n < 76 p + 87 s p ; n = 4 n < 67 p + 97 s 0 5 p ; n 5 3 p < 8 s p ; n = ;1 p < 6 s p ; n = ;2 p < 7 s p ; n 5 ;3: Vegy k szre, hogy ha n 5 7 vagy p 5 5, akkor (n p) szp" a tovbbiakban ltalban szp dimenzi -prokat fogunk vizsglni. A kvetkezkben osztlyozni fogjuk M pontjait f loklis viselkedse szerint 1.14 Den ci Az x 2 M pontot f regulris pontjnak nevezz k, ha a Txf : TxM ! Tf (x)N lineris rintlekpezs rangja a lehet legnagyobb, azaz minfn pg. A nem regulris pontok f szingulris pontjai (Morsef ggvnyek esetn kritikus pontjai ), amelyek halmazt S (f ) jelli S (f )-nek azt a rszhalmazt, amelynek pontjaiban a lineris rintlekpezs rangja minfn pg ; i (i = 0 1 2 : : : ), i -vel jellj k. 1.15 Megjegyzs 0(f ) = M n S (f ): Ha S

(f ) = ?, akkor f n = p esetn szubmerzi , n 5 p esetn pedig immerzi (n = p esetn mindkett, azaz loklis di!eomorzmus). #ltalnossgban S (f )-rl (a Sard-lemma kvetkezmnyeknt) a kvetkez llthat : 1.16 Ttel Ha n = p s M zrt, akkor f (S (f )) sehol sem s r N -ben Ha n < p, akkor termszetesen mr maga f (M ) is sehol sem sr. Stabil lekpezsekre azonban j val tbb igaz: 1.17 ll ts Ha f stabil, akkor S (f ) = 1(f ) s 1.18 Ttel Ha f stabil, akkor i (f )  M egy i(jn ; pj + i)-kodimenzis rszsokasg. 1.19 Megjegyzs Az 118 Ttel specilis eseteknt ad dik, hogy az M n ! N 2n tpus stabil lekpezsek immerzi k (hiszen 1(n+1) > n), s gy, mivel a stabil lekpezsek Thom transzverzalitsi ttele folytn nyilvn ntranszverzlisak, brmely h : M n ! N 2n folytonos lekpezs approximlhat ntranszverzlis immerzi val, azaz a kompakt-nylt topol gival elltott C (M N ) 5 trben h brmely krnyezete tartalmaz ntranszverzlis immerzi t, hiszen C 1(M N ) C

1-topol gija nem durvbb a kompakt-nylt topol gia megszortsnl. Termszetesen, a sima lekpezsek mr a C 1-topol gia szerint is approximlhat ak ntranszverzlis immerzi val. Az 1.18 Ttel lehetv teszi S (f ) tovbbi rszhalmazainak, az n ThomBoardman szingulris rszhalmazoknak a denilst 1.110 ll ts-Den ci Ha i j 2 ! s f stabil, akkor ij (f )-fel jellj k a j (f i (f )) halmazt Mivel C 1(M N ) egy nylt, sr rszhalmazb l vett f -ekre ez ismt rszsokasg (i(f )-ben, s gy M -ben is), azrt (s mert nylt, sr halmazok vges metszetei maguk is nyltak s srek) C 1(M N ) egy (i1 i2 : : : ik -t l f gg) nylt,sr rszhalmazhoz tartoz f -ekre indukci val denilhat ak a i1i2:::ik (f ) halmazok (i1 i2 : : :  ik 2 !), amelyek valamennyien M rszsokasgai. Megjegyez k, hogy az elz #llts-Denci Boardmant l szrmaz llts rsze egyltaln nem trivilis. A tovbbiakban nha meg fogjuk engedni magunknak azt a pontatlansgot, hogy a stabil sz

t az imnti szkebb rtelemben hasznljuk (azaz olyan lekpezseket jellj nk vele, amelyek az ppen sz ban forg szingularits-tpusoknak megfelel nylt, sr halmazhoz tartoznak). Vegy k szre, hogy f -nek a k lnbz szingulris rszhalmazokra trtn megszortsai nem felttlen l stabilak, gy az 1.18 Ttel formulja nem alkalmazhat a legalbb kt index Thom-Boardman szingularitsok kodimenzi inak, illetve dimenzi inak kiszmtsra. Tovbb ismert, hogy i1i2:::ik (f ) = ?, valahnyszor az i1 i2 : : : ik indexsorozat nem monoton fogy , ezrt ennek ellenkezjt a tovbbiakban mindig fel fogjuk tenni. Az is knnyen meggondolhat , hogy az indexsorozat vgn tallhat 0-k egy kivtelvel elhagyhat ak a megfelel halmaz megvltozsa nlk l. l z}|{ 1.111 Den ci Legyen n = p Az Al(f ) :=  1:::10(f ) (l = 1) alak hal- mazokat (melyek persze csak akkor deniltak, ha f stabil) Morin-fle szingulris rszhalmazoknak vagy Morin-szingularitsoknak nevezz k. A1(f )-re a

hajts-szingularits, A2(f )-re a cscs-szingularits, A3(f )-re a fecskefarokszingularits, A4(f )-re pedig a pillang-szingularits elnevezseket is hasznljuk. Ha f -nek csak Morin-szingularitsai vannak, akkor f -et Morin-lekpezsnek mondjuk Specilisan, ha S (f ) = 10(f ), akkor f -et hajts-lekpezsnek vagy 10-lekpezsnek nevezz k Ha n s p adottak, akkor brmely i1 i2 : : : ik;1 0 alak indexsorozathoz hozzrendelhet vges sok n. normlforma, amelyek valamennyien (Rn 0) ! 6 (Rp 0) tpus sima lekpezsek (ha tetszik, lekpezs-csrk) azzal a tulajdonsggal, hogy ha f stabil s x 2 i1 i2:::ik;10(f ), akkor alkalmas (U  ) s (V  ) M -, illetve N -beli x-, illetve f (x) kzppont (azaz (x) = 0 s (f (x)) = 0) trkpek esetn a  (f U )  ;1 lekpezs ezen normlformk valamelyikvel egyezik meg (illetve eleme a megfelel f ggvnycsrnak). Ilyenekre szmos pldt fogunk ltni, kzt k azokat is, amelyek a fenti elnevezseket indokoljk. 1.112 Ttel Ha n = p,

f stabil s z 2 Al(f )  M , akkor lteznek olyan (U  x1 : : :  xn) s (V  y1 : : :  yp) M -, illetve N -beli z-, illetve f (z) kzppont loklis koordinta-rendszerek, melyekben fel rva f a kvetkez alakok valamelyikt veszi fel: yi = xi (i = 1 : : :  (p ; 1)) s l;1 X (1.1) l +1 yp = xp + xj xlp;j + (x2p+1 + : : : + x2n; ; x2n;+1 ; : : : ; x2n) j =1 ahol 0 5 5 n ; p egsz szm.SAl(f ) s Al (f ) az M -nek (p ; l)-dimenzis rszsokasgai, tovbb Al(f ) = i=l Ai(f ). A Morin-lekpezseket ppen az teszi rdekess s fontoss, hogy ezekre Al(f ) is mindig rszsokasg" ez ugyanis ltalban nem teljes l (egy stabil lekpezs adott tpus szingularitsai halmaznak lezrtjr l ltalban csak annyi mondhat el, hogy ez egy n. sztratiklt halmaz, azaz k lnbz dimenzi s sokasgok (nem diszjunkt!) uni ja). %rdemes k ln megvizsglni a hajtsszingularits normlformit Az (11) kplet l = 1 esetn a kvetkezt adja: yi = xi (i = 1 : : :  (p ; 1)) s (1.2) yp = x2p + x2p+1

+ : : : + x2n; ; x2n;+1 ; : : : ; x2n: 1.113 Den ci Ha f stabil, n = p s z 2 10(f ), akkor z indexnek nevezz k az f z kr li normlalakjban szerepl rtket gy tekintj k, hogy a s (n ; p + 1 ; ) szmok ugyanazt az indexet reprezentljk. Ha S (f ) valamely komponense csupa hajts-szingularitsb l ll (hajts-komponens ), akkor azok indexei megegyeznek s ezt a kzs rtket a komponens indexnek mondjuk. Ha az index 0 vagy n ; p + 1, akkor a hajts-szingularitst (hajts-komponenst) denitnek nevezz k, ellenkez esetben indenitnek. Ha az f hajts-lekpezs sszes szingularitsa denit, akkor f -et specilis generikus lekpezsnek mondjuk. 1.114 Megjegyzs A Morse-f ggvnyek nyilvnval an hajts-lekpezsek s az (1.2) kplet alapjn az is vilgos, hogy a fent denilt index-fogalom ltalnostsa a Morse-f ggvnyek kritikus pontjain denilt indexnek" ott azrt nem lp fel az imnti ktrtelmsg, mert R-en ltezik kanonikus irnyts. 7 A 2. Fejezetben jelents

szerepet jtszik a fel letek kztti stabil lekpezseknl jelentkez cs cs-szingularits, ezrt ennek normlformjt is k ln kiemelj k: y1 = x1 s y2 = x32 + x1x2: Az eddig felsorolt lltsok a loklis szingularitselmlet krbe tartoznak s ma mr mind klasszikusnak szmtanak. A kvetkez szakasz mr S (f ) nagybani topol gijr l ad informci t. 1.2 A Thom-polinomok 1.21 Ttel Brmely n p nemnegat v egszekhez s i1 : : : ik nemnegat v np egszekbl ll k-ashoz ltezik egy olyan Pi :::ik 2 Z2x1 : : :  xn y1 : : :  yp] 1 (n + p)-hatrozatlan polinom, hogy ha M zrt n-dimenzis sokasg, N tetszleges p-dimenzis sokasg s f : M ! N stabil lekpezs, akkor h i DM i1 :::ik (f ) = Pinp:::i (w1(M ) : : :  wn(M ) f w1(N ) : : :  f wp(N )) 2 1 k h i ahol DM : H (M  Z2) ! H (M  Z2) a Poincar-dualits, i1 :::ik (f ) a 2 i1:::ik (f ) halmaz ltal reprezentlt Z2-egy tthats homolgiaosztly, wi(X ) pedig az X sokasg i-edik Stiefel-Whitney

osztlyt jelli. A Stiefel-Whitney osztlyokkal kapcsolatban ld. &MS]-t Mint mr emltett k, ha az indexsorozatban szerepel 1-nl nagyobb szm, akkor i1:::ik (f ) ltalban nem rszsokasg" az azonban szerencsre igaz, hogy (stabil lekpezsek esetn) ciklust alkot. 1.22 Den ci Az 121 Ttelben szerepl Pinp polinomot (az n p di1 :::ik menzi -prhoz s az i1 : : :  ik paramterekhez tartoz ) Thom-polinomnak nevezz k. Egy adott tpus szingularits Thom-polinomja teht M s N topol gija, valamint f homot pia-osztlya alapjn meghatrozza a megfelel halmaz (Z2-egy tthat s) homol giaosztlyt. Specilisan, ha a Thom-polinom rtke nem 0 2 H (M  Z2) kt adott (M s N ) sokasg s egy (illetve minden) M ! N lekpezs esetn, akkor a megfelel szingularits nem eliminlhat homot pival (illetve brmely, ezen sokasgok kztti stabil lekpezsnl fellp). A Thom-polinom azonban nem tartalmaz minden informci t a szingularitsr l" ezt mutatja pldul az a tny, hogy

az imnti trivilis llts 8 megfordtsa nem igaz (ld. az 126 Megjegyzst, illetve &Sae2]-t s az 5210 Ttelt). A Thom-polinomokkal kapcsolatos f problma azonban az, hogy br a ltezs k bizonytott, magukat a polinomokat csak bizonyos specilis esetekben ismerj k, st, ilyenkor is gyakori, hogy a polinom helyett csak viszonylag sok helyettestsi rtke ismert (az albbiakon kv l ld. mg pl a 2.13 Kvetkezmnyt) A kvetkez lltsokban sszefoglalunk nhny ismert eredmnyt. 1.23 Ttel (T, Ron, Ga, O]) Legyenek M s N n-dimenzis sokasgok, M zrt s f : M ! N stabil lekpezs Ha w(M );1 f w(N ) = 1 + w~1 + w~2 + : : : + w~n , ahol w~i 2 H i(M  Z2) (w~i nyilvn M Stiefel-Whitney osztlyainak s N Stiefel-Whitney osztlyai f  -kpeinek polinomja), akkor h i D 2 i h 1  1 DM  (f ) 2 h i 1  1  1 DM  (f ) 2 h i DM 1111(f ) 2 i h 1  1  1  1  1 (f ) 2 DM  M 1 (f ) = w~1 = w~12 + w~2 = w~13 + w~1 w~2 = w~14 + w~1 w~3 s = w~15 + w~12 w~3: Ha w(N ) =

1 (pl., ha N stabilan parallelizlhat , azaz a TN "1 nyalb trivilis, ahol "1 trivilis vonalnyalb N felett), akkor a fenti formulkban w~i helyett egyszeren wi(M ), M megfelel dulis Stiefel-Whitney osztlya rhat . Az albbi kt llts (melyekben ismt szerepelnek az 123 Ttelben denilt w~i kohomol giaosztlyok) megtallhat &T]-ben s &Po]-ban. 1.24 llhts Legyen M n zrt s fi: M n ! N p stabil lekpezs. Ha n 5 p, i h akkor DM 10 (f ) = DM 1 (f ) = DM S (f )]2 = w~ p;n+1. Ha n = 2 2 p, akkor az ugyan gy denilt kohomolgiaosztly w(M ) f w (N )-nek a H n;p+1 (M  Z2)-beli komponensvel egyezik meg. 1.25 ll ts Ha M s N 4-sokasgok, M zrt 4s4 f : M ! N stabil lekpezs, akkor DM 20 (f )]2 = w~22 + w~1 w~3 ( gy pl P20 (x1 x2 x3 x4 0 0 0 0) = x22 + x1x3). Ha M s N irny tottak, akkor 20(f ) rendelkezik egy kanonikus irny tssal (azaz a pontjai termszetes mdon eljelezhetek). Ha N stabilan parallelizlhat, akkor az ehhez az

irny tshoz tartoz 20(f )] 2 H0 (M  Z) Z-egy tthats fundamentlis homolgia-osztly Poincar-dulisa a p1 (M ) 2 H 4(M  Z) els Pontrjagin-osztly. 9 1.26 Megjegyzs Ha M n zrt, N p pedig nylt, azaz olyan sokasg, melynek minden komponense nem-kompakt, tovbb n = p, akkor brmely f : M ! N sima lekpezs rendelkezik szingularitssal (s mivel stabil lekpezsekre S (f ) = 10(f ), azrt ezek mindig rendelkeznek hajts-szingularitssal). Ugyanis a szubmerzi k nylt lekpezsek, ha teht f az volna, akkor f (M ) egyszerre lenne nylt s kompakt, azaz nylt s zrt, teht N nhny komponensnek az uni ja kne, hogy legyen" egy ilyen alak halmaz azonban a felttel miatt nem lehet kompakt. Ha azt is feltessz k, hogy n = p s a sokasgok irnythat ak, akkor az 1.24 #llts szerint a hajts-szingularits Thom-polinomja eltnik" ennek ellenre, amint lttuk, a szingularits mindig fellp. 10 2. Fejezet Felletek hajts-lekpezsei a s kba Ebben a fejezetben egy

zrt fel letnek a skba trtn 10-lekpezseit, illetve ilyen lekpezsek szingulris halmazait vizsgljuk. Vegy k szre, hogy a sz ban forg halmaz vges sok, a fel letbe gyazott krvonal diszjunkt uni ja" arra a krdsre keress k a vlaszt, hogy hny komponens kpzelhet el. A feleletet a Fejezet vgn tallhat 225 Ttel fogja megadni 2.1 Akadlyok Azonnal termszetesen ad dik a krds, hogy mely zrt fel leteket lehetsges a skba lekpezni csak hajts-szingularitsokkal, hiszen ennl a dimenzi -prnl (st, tetszleges M n ! N 2 lekpezsek esetn, ahol n = 2) a stabil lekpezsek a hajtson kv l mg izollt cs cs-szingularitsokkal is rendelkezhetnek (ld. az 118 s 1112 Tteleket) A feleletet lnyegben az albbi kt llts adja meg, ugyanis nem nehz a pros Euler-karakterisztikj fel letek (kzt k a nem irnythat ak, pl. a Klein-kancs ) hajts-lekpezseit megadni a skba1. 2.11 Ttel Legyen M zrt n-sokasg (n = 2) s f : M ! R2 stabil lekpezs Ekkor j11(f )j (M

) (mod 2) 2.12 K vetkezmny Pratlan karakterisztikj zrt fel let nem kpezhet le a s kba generikus mdon cscs-szingularitsok nlk l Ismert, hogy egy M zrt n-sokasg n-edik Stiefel-Whitney osztlya pontosan akkor 0, ha (M ) pros, egybknt pedig H n (M  Z2) = Z2 msik elemvel 1 ld. mg a 214 Ttelt, illetve a 221 s 224 ll t sokat 11 egyezik meg. A 211 Ttel felttelei mellett teht DM 11(f )]2 = w2(M ), ami azt jelenti, hogy n = 2 esetn P1n12(w1(M ) : : : wn (M ) 0 0) = wn (M ). Az 1.21 Ttel segtsgvel ebbl a 211 Ttel albbi ltalnostsa ad dik: 2.13 K vetkezmny Legyen M zrt n-sokasg (n = 2) s f : M ! N 2 stabil lekpezs, ahol N olyan fel let, melynek totlis Stiefel-Whitney osztlya 1 2 H (N  Z2). Ekkor j11(f )j (M ) (mod 2) Vegy k szre, hogy az N -re kir tt felttelt ppen az irnythat fel letek teljestik. A kvetkez Ttel mutatja, hogy a 213 Kvetkezmny les: f cs cs-szingularitsainak a szmra ms megkts nem adhat . 2.14 Ttel

Brmely f : M n ! N 2 folytonos lekpezs, ahol M n legalbb 2-dimenzis sszef gg zrt sokasg, az N fel let pedig irny that, homotp egy olyan stabil lekpezssel, amelynek attl f ggen, hogy (M ) pros-e vagy pratlan, 0 vagy 1 cscs-szingularitsa van. A 2.14 Ttelt n = 3 esetre Levine &Le1], n = 2 esetre liaberg &E] s Millett &Mill] bizonytottk. Az ut bbi eset nyilvnval an folyik az albbi Lemmb l, amely szerint a cs cs-szingularitsok pronknt eliminlhat ak. 2.15 Lemma Legyenek F s S tetszleges fel letek, f0 : F ! S stabil lekpezs, x0  x1 2 11(f0 ) k lnbz pontok, tovbb : 0 1] ! F olyan F -be gyazott, S (f0)-ra transzverzlis sima grbe, melyre (0) = x0 s (1) = x1 , de ((0 1)) 11(f0 ) = ?. Tegy k fel tovbb, hogy a Tx0 f0( 0 (0)) 2 Tf0(x0)S s ;Tx1 f0 ( 0(1)) 2 Tf0(x1 )S vektorok a megfelel csccsal megegyez irnyba mutatnak, gy, ahogy az a 2.1 brn lthat Legyen N ( ) a kpnek egy F -beli csszer krnyezete. Ekkor ltezik egy

olyan H : F  0 1] ! S homotpia, hogy H (F nN ()) 01] = f0  Pr1 (teht f0 -t csak N ( )-ban vltoztatjuk meg) s amelyre az f1 = H F f1g lekpezsnek nincsen N ( ) f1g-ben cscsszingularitsa. f0( (t1)) f0( (t3)) f0( (tn)) f0(x0) f0(x1) f0( (t2)) 2.1 bra: Az N ( ) halmaz f0-kpe n + 2 darab diszjunkt szakaszban metszi f0(S (f0))-t. 12 Bizony ts. Termszetesen, ha F sszef gg, tovbb x0 s x1 adottak, akkor a fenti tulajdonsgokkal rendelkez t ltezse mindig feltehet. Legyenek 0 < t1 < t2 < : : : < tn a ((0 1)) S (f0) metszspontjainak ;1-kpei. N ( ) kpt a 2.1 bra szemllteti Erre az (n-szer hajltott) szalagra alkal- 2.2 bra: Kt cs cs-szingularits eliminci ja mazzuk a 2.2 brn szemlltetett operci t" ezzel egy f0-lal homot p f1=3 lekpezs ad dik, amelynl az eredeti kt cs cs-szingularits mr nem lp fel s amely (ti)-nek egy N ( )-beli Ui krnyezett a 2.3 brn lthat m don transzformlja (a 2.3 brn tulajdonkppen a 22 bra

jobboldaln lev fel letdarabot rajzoltuk le ketthajtva) Ezt az Ui ! S f ggvnyt az ugyancsak a 2.3 brn szemlltetett stabil lekpezs approximlja oly m don, hogy @Ui egy krnyezetben a kett megegyezik. Ennek kt cs cs-szingularitsa van, amelyek azonban mr sszekthetek Ui -ben regulris pontokon kereszt l, ha teht az imnti proced rval eliminljuk ket, akkor nem lp fel jabb cs cs. Emlkeztet nk Hopf albbi ttelre: 2.16 Lemma Legyen M egy 2k-dimenzis kompakt peremes sokasg, g : M ! R2k immerzi s  : @M ! S 2k;1 az f @M immerzi norml-le- f1=3( (ti)) f2=3( (ti)) 2.3 bra: im( ) s a szingulris halmaz egy metszspontjnak a krnyezetben gy vltozik meg a lekpezs 13 kpezse (Gauss-lekpezse): ha x 2 @M , akkor legyen  (x) a Txg (Tx@M )-re merleges, kifel mutat egysgvektor. Ekkor deg( ) = (M ) 2.17 Megjegyzs  helyett (; )-t vve az llts igaz marad (azaz deg( ) = deg(; )), hiszen, pros sok hiperskra val t krzs szorzata lvn, az S 2k;1 !

S 2k;1 antipodlis lekpezs foka 1. 2.18 ll ts Legyen F irny that zrt fel let s f : F ! R2 stabil hajts-lekpezs Ekkor S (f ) sszef gg komponenseinek szma azonos parits 1 2 (F )-fel. Bizony ts. Rgzts k tetszlegesen F s R2 egy-egy irnytst Jellje F+(f ), illetve F;(f ) az M n S (f )-nek azt a rszhalmazt, amelynek pontjaiban Tf irnytstart , illetve -vlt . Legyen N (S (f )) az S (f ) zrt csszer krnyezete s F+0 := F+(f ) n N (S (f )), illetve F;0 := F;(f ) n N (S (f )). A hajts-szingularits loklis alakjb l (normlformjb l) nyilvnval , hogy S (f ) minden pontja egyarnt hozztartozik F+(f ) s F;(f ) topol giai lezrshoz. Ebbl egyrszt az kvetkezik, hogy @F+(f ) = @F;(f ) = S (f ), msrszt az, hogy az S (f )  M begyazs  (S (f )) normlnyalbja trivilis s gy @F+0 s @F;0 az S (f )-fel di!eomorfak. Az is vilgos, hogy ha  : @F+0 ! @F;0 az a lekpezs, amely minden ponthoz a vele azonos  (S (f ))brumban lv pontot rendeli, akkor az f

@F+0 s (f @F;0 )   immerzi k regulrisan (azaz immerzi kon kereszt l) homot pok, tovbb, hogy F+0 s F+(f ), illetve F;0 s F;(f ) di!eomorfak. A 216 Lemma alapjn teht (F+0 ) s (F;0 ) egyenlek, hiszen mindkett megegyezik f @F+0 norml-lekpezsnek a fokval. Ezek szerint (F+(f )) = (F;(f )) s ezt a kzs rtket -vel jellve (F ) = 2 ; (S (f )) = 2 . Msfell, F+(f ) peremkreit krlapokkal beragasztva, azaz S (f ) komponenseinek szmval megegyez szm krlap hozzragasztsval egy irnythat , teht pros Euler-karakterisztikj zrt fel let ad dik. Mivel egy 2-cella hozzadsa 1-gyel nveli az Euler-karakterisztikt, azrt ebbl mr vilgos, hogy (F+(f )) = = 12 (F ) s S (f ) sszef gg komponenseinek a szma azonos parits ak. Az imnti #llts megfelelje nem irnythat fel letekre nem teljes l" ld. a 2.24 #lltst 2.2 Konstrukcik A kvetkezkben megmutatjuk, hogy az 1.26 Megjegyzs s a 218 #llts minden megszortst tartalmaz egy irnythat zrt fel letnek a

skba trtn 10-lekpezse szingulris halmaza komponenseinek szmra. 14 m 1 i 2.4 bra: A (A0m) = #m(A2m) halmaz" a pontozott vonalakkal hatrolt svot is hozzvve ad dik #~m(A2m+1). 2.21 ll ts Legyen F irny that zrt fel let s k az 21 (F )-fel azonos parits pozit v egsz. Ekkor ltezik olyan f : F ! R2 hajts-lekpezs, melynek szingulris halmaza k darab krvonal diszjunkt unija Bizony ts. At-vel fogjuk jellni a t gnusz irnythat zrt fel letet s A0t lal az ebbl egy nylt krlap elhagysval keletkez peremes fel letet Kzismert, hogy (At) = 2 ; 2t Elszr megmutatjuk, hogy ha t = 2m, akkor At lekpezhet R2-be csak hajts-szingularitsokkal s sszef gg szingulris halmazzal. Legyen : A0m ! R2 immerzi (ld. a 24 brt) s : At ! At olyan invol ci , melyre At= = A0m (ha At-t a 2.5 brn lthat R3-ba gyazott fel lettel azonostjuk, akkor a jellt skra vonatkoz t krzsnek vlaszthat )" ha  : At ! At= a faktorizci , akkor #m :=    

nyilvn megfelel, ahol  : At= ! A0m di!eomorzmus. Ha t = 2m + 1, akkor At = A2m#A1, amibl knnyen lthat , hogy ltezik egy #~m : At ! R2 stabil hajts-lekpezs ktkomponens szingulris 15 1 m m 1 2.5 bra: A2m halmazzal (#m-nek a 2.4 brn lthat kphez mg egy f let ragasztva ad dik #~m kpe). Vg l, nem nehz megadni egy homot pit, amely egy tetszleges At ! 2 R stabil lekpezs hajts-komponenseinek a szmt 2-vel megnveli, egy tetszleges regulris pont kr li koncentrikus krpr hozzadsval. Nem irnythat fel letekre azonban, mint mr emltett k, a ltrejv komponensek szmnak paritsa nincsen meghatrozva. Hogy ezt egy pldn bemutathassuk, elszr a projektv sk kt lekpezst adjuk meg R2-be. 2.22 ll ts Lteznek olyan  : RP 2 ! R2 stabil lekpezsek, amelyeknek egy-egy cscs-szingularitsuk s egy-, illetve ktkomponens szingulris halmazuk van. Bizony ts. Elszr -t konstruljuk meg #gyazzunk be egy Mbius-szalagot R3-ba a 26 brn lthat m

don, majd komponljuk a begyazst az bra skjra val merleges vettssel. Ennl a lekpezsnl a Mbius-szalag pereme a 2.6 bra jobboldali grbjbe megy t, a szingulris halmaz (ami a szalag kzpvonala) kpe pedig a 2.7 bra bal oldaln lthat A perem kpe ktflekppen is elll, mint egy R2-be immertlt D2 krlap peremnek a kpe (ld. a 28 brt)" brmelyik lehetsget vlasztjuk is (legyen pl a jobboldali), egy ttesen egy 0 : RP 2 ! R2 lekpezs ad dik hrom cs cs-szingularitssal s sszef gg szingulris halmazzal. A cs csok kz l tetszleges kettt D2ben sszektve s ezen t mentn a 215 Lemma Bizonytsban szerepl eliminci s eljrst alkalmazva (ld. a 22 brt) keletkezik a lekpezs" a 2.7 bra jobboldali grbeprja (S ( ))-t brzolja (teht val ban, S ( ) ktkomponens). 0 denci jt Levine-tl &Le3, 155-156 oldal] vett k t A konstrukci ja az elzhz igen hasonl s teljes egszben megtallhat Millettnl &Mill], ezrt itt csak vzoljuk. Amg

az elbb a hromlevel csom vet lett kvetve kpezt k le a szalagot s hrom csavarssal rt k el, hogy Mbius-fle legyen, addig most Milnor hres S 1 ! R2 immerzi jt 16 2.6 bra: A Mbius-szalag begyazsa R3-ba s a perem kpe a skra val levetts utn 2.7 bra: A 0(S ( 0)) halmaz" a pontozott vonallal jellt t mentn kt cs cs-szingularitst eliminlva ad dik , amelynek szingulris halmaznak a kpe a jobboldalon lthat . 17 2.8 bra: A 26 bra jobb oldalnak grbje ktflekppen is elll, mint egy, a skba immertlt krlap pereme. 2.9 bra: Milnor-grbe" (S ())" a projektv skot alkot Mbius-szalag s krlap kzs peremnek -kpe (2.9 bra" ld mg a 31 szakaszt) vessz k alapul s csak egy csavarst alkalmazunk Vilgos, hogy a szingulris halmaz most is a szalag kzpvonala, melynek kpe a Milnor-grbe, egy cs ccsal kiegsztve. A szalag pereme pedig a 2.9 bra jobb oldaln lthat grbbe megy t, amelyrl szintn belthat , hogy egy R2-be

immertlt krlap peremnek a kpe. jabb szingularits teht nem lp fel, gy vilgos, hogy S () egykomponens Jellje A^t a t gnusz nemirnythat zrt fel letet (gy pl. A^1 a projektv skot, A^2 pedig a Klein-kancs t), A^0t pedig az ebbl egy nylt krlap elhagysval keletkez peremes fel letet. 2.23 ll ts Lteznek olyan f g : A^2 ! R2 hajts-lekpezsek, hogy S (f ) egy-, S (g) pedig ktkomponens . 18 Bizony ts. Egy, a feltteleknek eleget tev g lekpezst nagyon egyszer megadni (ld. pl &Le3, 153 oldal]), f konstrukci jhoz azonban felhasznljuk az elz Bizonytsban szerepl s lekpezseket Ismert, hogy A^2 = RP 2#RP 2" ennek az sszef gg sszeg-felbontsnak megfelelen lltsuk el A^2-ot A^01 kt diszjunkt pldnynak s egy C = S 1  0 1] szalagnak az uni jaknt. Ezeket kpezz k le R2-be a 210 brn lthat m don (azaz a kilyukasztott projektv skokat , illetve megfelelel megszortsaival, amint az az bra baloldalnak fels-, illetve als rszn

lthat ). A hrom 2.10 bra: A Klein-kancs stabil lekpezse a skba ktkomponens szingulris halmazzal, mindkt komponensen egy cs cs-szingularitssal lekpezst a kt peremkr-pr mentn sszevarrva A^2-nak nyerj k egy f~ lekpezst a skba s ez nyilvn megtehet gy, hogy f~ kt cs cs-szingularitsa A^2-ban sszekthet legyen csupa regulris pontokon kereszt l (ld. a 210 bra jobb oldalt). Vegy k szre, hogy s szingulris halmazainak sszesen hrom komponense helyett f~-nak mr csak ktkomponens a szingulris halmaza s hogy a kt cs cs-szingularits k lnbz komponenseken tallhat . Amikor teht az elbb emltett t mentn eliminljuk ezeket (ld a 211 bra bal oldalt), akkor azon kv l, hogy nem marad tbb cs cs-szingularits, a szingulris halmaz komponenseinek a szma is 1-re cskken, ami ppen azt jelenti, hogy egy hajts-lekpezst kaptunk egyetlen hajts-komponenssel. Ezek utn mr nem nehz megvlaszolni a Fejezet bevezetjben feltett krdst a nem-irnythat fel

letekre sem. 19 2.11 bra: A Klein-kancs hajts-lekpezsei a skba sszef gg szingulris halmazzal (a szingulris halmazok kpei). 2.24 ll ts Az A^2m pros Euler-karakterisztikj nem-irny that zrt fel letnek minden k pozit v egsz esetn ltezik olyan 10-lekpezse a s kba, melynl a szingulris halmaz komponenseinek a szma k . Bizony ts. Az m szerinti teljes indukci val bebizonytjuk, hogy az #llts igaz k = 1 s k = 2 esetn" m = 1-re ezt ppen a 2.23 #llts mondta ki Tegy k fel, hogy m-nl nem nagyobb szmokra az llts teljes l. Ismert, hogy A^2m+2 = A^2m#A^2" A^2m-ot egyetlen hajts-komponenssel, A^2-ot pedig f -fel vagy g-vel lekpezve s ezeket a 2.23 #llts Bizonytsban ltott m don sszevarrva ppen A^2m+2-nak nyerj k egy-egy hajts-lekpezst a skba egy-, illetve ktkomponens szingulris halmazzal. A bizonytst a 2.21 #llts Bizonytsnak vgn tett megjegyzssel fejezz k be )sszefoglalva teht, a kvetkez Ttelt mondhatjuk ki: 2.25

Ttel Legyen F zrt fel let Ha (F ) pratlan, akkor F -nek nem ltezik 10-lekpezse a s kba. Ha (F ) pros, akkor a kvetkez esetek lehetsgesek s ezek mind meg is vals thatak 1. Ha F irny that, akkor egy F ! R2 hajts-lekpezs szingulris halmaza sszef gg komponenseinek a szma brmely, 12 (F )-fel azonos parits pozit v egsz lehet. 2. Ha F nem irny that, akkor egy F ! R2 hajts-lekpezs szingulris halmaza sszef gg komponenseinek a szma brmely pozit v egsz szm lehet 20 2.12 bra: A Klein-kancs kt tovbbi hajts-lekpezse a skba sszef gg szingulris halmazzal. 2.26 Megjegyzs A 222 s 224 #lltsok felhasznlsval nem nehz bebizonytani azt sem, hogy brmely pratlan Euler-karakterisztikj zrt fel let lekpezhet a skba egyetlen cs cs-szingularitssal s akrhny (pl. 0) hajts-komponenssel. Knnyen meggondolhat , hogy a 2.23 #llts Bizonytsban konstrult s a 2.25 Ttel bizonytsban kulcsszerepet jtsz f lekpezs homot pival gy m dosthat

, hogy (kt ktszeres pontot elt ntetve) szingulris halmaznak kpe a 2.11 bra jobb oldaln lthat szimmetrikus grbe legyen A 2.12 brn kt tovbbi A^2 ! R2 hajts-lekpezs (sszef gg) szingulris halmaznak a kpe lthat , amelyek kz l a baloldalit gy kaptuk, hogy a 2.22 #llts Bizonytsban szerepl lekpezst a -vel val sszeilleszts eltt komponltuk egy tengelyes t krzssel, a jobboldalit pedig gy, hogy 0 cs cs-szingularitsait egy msik, nem a D2 krlapban, hanem annak komplementerben fut t segtsgvel eliminltuk s ezutn alkalmaztuk a 2.23 #llts Bizonytsban megadott eljrst Hogy mely S 1 ! R2 immerzi k llhatnak el, mint a Klein-kancs hajtslekpezsnl a szingulris halmaz kpe, arra a 3.2 szakaszban keress k a vlaszt. Az albbi, Levine-tl &Le2] szrmaz ttelbl, illetve a WhitneyGraustein Ttelbl az a sz ksges felttel ad dik, hogy egy ilyen grbe regulrisan homot p kell, hogy legyen a standard 8-assal (s mint ilyennek, pratlan sok

ktszeres pontjnak kell lennie). 2.27 Ttel Legyen M pros dimenzis zrt sokasg s f : M ! R2 stabil lekpezs. Legyen c az S (f ) egy sszef gg komponense R2 s a standard 21 S 1  R2 standard irny tsainak (az (i j) bzis s az f((1 0) j)g bzis pozit v irny tsak) rgz tse utn irny tsuk c-t gy, hogy a pozit v rintvektornak Tf -kpt R2 pozit v ortogonlis bzisv kiegsz t egysgvektor mindig c krnyezetnek f -kpe fel mutasson. c minden pontjhoz az utbbi egysgvektort rendelve egy c ! S 1 lekpezs addik, amelyet a (cos # sin #) 7! (cos 2# sin 2#) f ggvnnyel komponlva add kc : c ! S 1 lekpezs mr a c-n tallhat cscs-szingularitsokra is folytonosan kiterjeszthet. Ekkor (M ) = X c : c sszefgg komponense S (f )-nek deg(kc ): Vg l emlkeztet nk arra, hogy az 1.24 #llts szerint egy f : A^2 ! R2 stabil lekpezsnl DA^2 S (f )]2 = w1(A^2) 2 H 1(A^2 Z2). Ennek t krben nem meglep, hogy (amint az a konstrukci alapjn knnyen

ellenrizhet) a 2.23 #llts Bizonytsban szerepl f lekpezs szingulris halmaza egy alkalmas A^2 = (S 1  ;1 1]) =f (x ;1) ( (x) 1) g azonostsnl (ahol  : S 1 ! S 1 tengelyes t krzs) az S 1  f0g meridinkrnek felel meg. 22 3. Fejezet 1-kodimenzi s lekpezsek kiterjesztsei Ennek a fejezetnek a clja, hogy Christian Pappas &Pa] 1-kodimenzi s immerzi k kiterjesztseire vonatkoz eredmnyeinek egyrszt direkt alkalmazst, msrszt m dszereinek tovbbfejlesztst trgyalja szingulris lekpezsekre. 3.1 1-kodimenzis immerzik kiterjesztsei Pappas a kvetkez krdst vizsglja: Ha adott egy M m zrt, irnythat (nem felttlen l sszef gg) sokasg, egy W m+1 sszef gg irnytott sokasg s egy f : M ! W stabil immerzi , akkor hny olyan nem-ekvivalens F : N ! W immerzi ltezik, ahol N valamilyen, elre nem rgztett (m +1)dimenzi s kompakt peremes sokasg, hogy @N = M s egy i : M ! @N  N di!eomorzmusra f = F  i? 3.11 Den ci A fenti F immerzi t f egy

kiterjesztsnek nevezz k Az F : N ! W s F 0 : N 0 ! W kiterjesztsek ekvivalensek, ha ltezik olyan  : N 0 ! N di!eomorzmus, melyre F 0 = F  . A 2.8 brn pldt lthatunk egy olyan S 1 ! R2 stabil immerzi ra, amelynek legalbb kt nem-ekvivalens kiterjesztse ltezik Az els ilyen pldt Milnor konstrulta (ld. a 29 brt) Kiterjeszts ltezsre az albbi trivilis sz ksges felttel adhat : 3.12 ll ts Ha f -nek ltezik kiterjesztse, akkor M egy alkalmas irny tsa mellett f M ] = 0 2 Hn (W  Z) 23 Bizony ts. Ha F : N ! W az f -nek kiterjesztse, akkor W irnytsb l N en, s gy az M -mel di!eomorf @N -en is ad dik egy irnyts, amely nyilvn olyan, mint lltottuk. A tovbbiakban, amikor egy f immerzi kiterjesztseit keress k, mindig feltessz k, hogy M -et megfelelen irnytva fM ] = 0. M egy irnytsnak rgztse egyenrtk egy v : M ! TW , az f -menti, f (M )-re transzverzlis vektormez (ez azt jelenti, hogy minden x 2 M esetn v(x) 2 Tf (x)N n Txf (TxM

)) megadsval (rgztve azt a konvenci t, hogy Tf (TM ) irnytsa utn tve v-t kapjuk W irnytst). Ha rgzt nk egy olyan v, f (M )-re transzverzlis vektormezt, melyhez tartoz irnytsra fM ] = 0, s a keresett F kiterjesztsrl feltessz k, hogy ha  (x) egy tetszleges i(x)(2 @N )beli befel mutat vektort jell, akkor Ti(x)F ( (x)) s v(x) a Tf (x)W -nek ugyanabba a Txf (TxM ) ltal hatrolt flterbe esnek, akkor trivilis m don meghatrozhat W n f (M ) tetszleges kt sszef gg komponense (a tovbbiakban: cella ) F ltali lefedettsgnek k lnbsge. (Lefedettsgen a cella egy tetszleges pontja F ;1-kpnek elemszmt rtj k.) Ugyanis ha kt cella szomszdos (azaz a hatraik kzs rsze n-dimenzi s), akkor az van 1-gyel tbbszr lefedve, amely fel a hatron v mutat. Mivel W sszef gg, azrt szomszdos cellkon t brmely cellt l brmely msikig eljuthatunk. Az fM ] = 0 felttel biztostja, hogy a k lnbz utak mentn kiszmolt eltrsek a lefedettsgben azonosak

(ha kt t mentn k lnbz rtkek ad dnnak, akkor ezen utak egyestse egy olyan 1-dimenzi s W -beli ciklus lenne, amely f (M )-et algebrailag nem 0-szor metszi). *gy, ha valamelyik cella lefedettsgt elre rgztj k, akkor a tbbi is egyrtelmen meghatrozhat s ily m don kapunk egy l lekpezst, amely egy c cellhoz annak l(c) 2 Zlefedettsgt rendeli s amelyet v-vel kompatibilis lefedettsg-f ggvnynek nevez nk. Ha W nylt, azaz nem kompakt, akkor a cellk kztt van egy kit ntetett, ti. az, amelyik nem kompakt" mivel mi csak a kompakt kiterjesztseket keress k, ezrt ennek csak 0 lehet a lefedettsge, s ily m don ebben az esetben rgztett v mellett minden cella lefedettsge egyrtelmen meg van hatrozva (pontosabban, a tbbi v-vel kompatibilis lefedettsg-f ggvnyekhez nem fog tartozni kiterjeszts). Nyilvn csak olyan lefedettsg-f ggvnyekkel van rtelme pr blkozni, amelyek rtkei kztt nem szerepel negatv szm" pl., ha W nylt s a nemkorltos cella hatra

mentn brhol v a nemkorltos cella fel mutat, akkor ezekhez az adatokhoz nem tartozik kiterjeszts. Sz ksg nk lesz az albbi fogalomra is: 3.13 Den ci Rgzts k f -en kv l a v, f (M )-re transzverzlis vektormezt is Legyen tetszleges, f -re transzverzlis s f tbbszrs pontjait elker l W -beli begyazott grbe. -hoz tartoz pros tson a ;1(f (M )) 24 halmaz diszjunkt ktelem rszhalmazainak egy olyan halmazt rtj k, amelyre az igaz, hogy brmely hozz tartoz f x y g esetn a v(f ;1( (x))), illetve v(f ;1( (y))) vektorok (T(x)W = Tx (TxR)) Tf ;1((x))f (Tf ;1((x))M ), illetve T(y)W = Ty (Ty R)) Tf ;1((y))f (Tf ;1((y))M ) direkt sszeg felbontsokhoz tartoz ) Tx (TxR)-re, illetve Ty (Ty R)-re es vet leteinek (Tx );1-, illetve (Ty );1-kpei egymssal ellenttes irny ak. Rgzts nk a tovbbiakra W -n egy h i Riemann-metrikt. Ha -r l s v-rl feltessz k, hogy f (M )-re merlegesek, akkor az elbbi megfogalmazs helyett azt kne megkvetelni, hogy a v(f ;1(

(x))) s v(f ;1( (y))) im( )-t rint vektorok legyenek ellenttes irny ak. Mivel begyazott, azrt ;1(f (M )) helyett beszlhet nk im( ) f (M ) pontjainak prostsr l is. -hoz tartoz prosts helyett idnknt mentn val prostst fogunk mondani. 3.14 Den ci Ha adva van f -nek egy F kiterjesztse, akkor a -hoz kanonikus m don tartozik egy prosts, amit F ltal induklt pros tsnak nevez nk s a kvetkezkppen denilunk: f x y g tartozzon a prostshoz pontosan akkor, ha az i(f ;1( (x))) s i(f ;1( (y))) pontok az F ;1(im( )) halmaz azonos komponenshez tartoznak (annak vgpontjai). Knny igazolni, hogy ezzel val ban egy prostst deniltunk. &Pa]-ban egy m dszer tallhat , amelynek segtsgvel adott f -hez az sszes nem-ekvivalens kiterjeszts megtallhat . Sajnos, azt is ltni fogjuk, hogy a m dszer igen fradsgos, s az algoritmus teljes vgrehajtsa nlk l nem kapunk semmilyen ttekintst a kiterjesztsekrl. Most az algoritmus vzlata kvetkezik. A

lefuttatshoz rgzteni kell v-t s egy v-vel kompatibilis l lefedettsg-f ggvnyt, tovbb egy Morse-f ggvnyt W -n Az ut bbi persze csak segdeszkz, az eredmnyt nem befolysolja" v lnyegben legfeljebb 2M komponenseinek szma-flekppen rgzthet s a hozz tartoz lefedettsgek 1-, illetve megszmllhat an vgtelen sokflekppen vlaszthat ak meg att l f ggen, hogy W nylt-e vagy sem. Legyen teht adva v s l, legyen tovbb h : W ! R Morse-f ggvny legfeljebb 1 loklis minimummal s legfeljebb 1 loklis maximummal" P (t) := h;1(ftg) jellje a t-hez tartoz szintet, Q(t) := h;1((;1 t]) pedig a P (t)-ig terjed szintek egyestst (t 2 R). Legyen Y (k) az f legalbb k-szoros pontjainak halmaza W -ben (Y (k+1)  Y (k)" Y (0) = W , Y 0 = f (M ), Y 00 az f ntmetszseinek halmaza, stb.) Rgzts nk fk : X (k) ! W immerzi kat, ahol X (k) zrt (m + 1 ; k)-sokasg s im(fk ) = Y (k) (legyen f0 = idW s f1 = f ). Legyen h(k) = h  fk (h(0) = h, h0 = h  f , stb.)

Feltehet, hogy h(k) minden k-ra Morse-f ggvny, amelynek fk;1(Y (k+1))-en nincsen kritikus pontja. A h0 egy z kritikus pontjt kapcsoldnak nevezz k, ha hgradh (f (z )) v (f ;1(f (z )))i > 0 s nem-kapcsoldnak, 25 ha hgradh (f (z)) v(f ;1(f (z)))i < 0. Mivel k = n +2 esetn X (k) = Y (k) = ?, azrt a h(k) (k = 0 1 : : : ) f ggvnyeknek egy ttesen is csak vges sok kritikus pontjuk van s az is feltehet, hogy az ezekhez tartoz f ggvnyrtkek mind k lnbz val s szmok" ezeket a kritikus pontokat, illetve hozzjuk tartoz kritikus rtkeket akadlyoknak nevezz k. 3.15 Den ci Azt mondjuk, hogy az Ft : Nt ! Q(t) immerzi kiterjeszti f -et a t-hez tartoz szintig, ha az Nt (n + 1)-dimenzi s peremes sokasg peremnek egy n-dimenzi s peremes rszsokasga f ;1 (Q(t))-vel azonosthat s ezen azonosts utn ezen a halmazon Ft s f megegyeznek, tovbb @Nt fennmarad rszt Ft a P (t) szintbe kpezi. A kiterjesztseket elllt eljrs elindtshoz elszr egy olyan t0

2 h(W ) rtket vlasztunk, melyre t0 < h(f (M )). Q(t0) nyilvn egy c0 cella rsze" legyen Nt0 a Q(t0) l(c0) darab k pijnak diszjunkt uni ja, Ft0 pedig minden pldnyon identikus. Ft0 nyilvn kiterjeszti f -et a t0-hoz tartoz szintig. Legyen t < t0 s Ft, illetve Ft0 f -nek kiterjesztsei a t-hez, illetve t0-hz tartoz szintig. Azt mondjuk, hogy Ft0 tovbbterjesztse Ft-nek, ha Nt  Nt0 , Ft0 Nt = Ft s Ft0 (Nt0 n Nt)  Q(t0) n Q(t). Ha mr rendelkez nk egy Ft kiterjesztssel a t-hez tartoz szintig s t0 > t, tovbb a t t0] intervallumba semelyik h(k) f ggvnynek sem esik szingulris rtke, akkor knny megadni Ft-nek egy Ft0 tovbbterjesztst a t0-hz tartoz szintig, melyre Nt0 = Nt. Akkor tkz nk nehzsgbe a tovbbterjesztssel, ha t t0]-be esik (mondjuk egy) ilyen t szingulris rtk. Ha Ft-nek ltezik s = 1 darab nem-ekvivalens tovbbterjesztse a t0-hz tartoz szintig, akkor azt mondjuk, hogy t-on sflekppen lehet thaladni, ha nem ltezik

tovbbterjeszts, akkor azt, hogy t-on nem lehet thaladni (ezek a fogalmak termszetesen nemcsak a kritikus rtkre, illetve pontra vonatkoznak, hanem az addig elksz lt Ft kiterjesztsre is). Az Ft0 , t0 szintig trtn kiterjesztsbl kiindulva teht megksrelj k Ft0 -t az egyre nagyobb t rtkekig tovbbterjeszteni, azaz thaladni a h(k) f ggvnyek kritikus rtkein. Ez bizonyos esetekben tbbflekpen is lehetsges, ilyenkor a kiterjesztsi proced ra, mint egy back-track algoritmus, elgazik, bizonyos esetekben pedig nem lehetsges, ilyenkor visszalp nk az utols , mg feldertetlen elgazsig. Az albbi Ttel &Pa, Theorem II] rja le, hogy pontosan mikor trtnik elgazs, illetve, hogy mikor lehetetlen a tovbbterjeszts. 3.16 Ttel Legyen M egy m-dimenzis zrt irny that sokasg, W egy (m +1)-dimenzis sszef gg irny tott sokasg, f : M ! W stabil immerzi, v : M ! TW normlis vektormez f mentn (melyhez tartoz irny tsra 26 fM ] = 0 2 Hm(W  Z)) s rgz ts

nk egy l, a v-vel kompatibilis lefedettsgf ggvnyt, tovbb egy, a fenti feltteleknek eleget tev h : W ! R Morsef ggvnyt is. Tegy k fel, hogy rendelkez nk f -nek egy Ft kiterjesztsvel a t-hez tartoz szintig s a t t0] intervallumba es egyetlen akadly t < t < t0. A kvetkez esetekben kpzelhet el, hogy t-on nem lehet thaladni: (1) h0 nem-kapcsold 1 index kritikus pontjainl. Ha t egy ilyennek a h0-kpe, akkor pontosan akkor lehet rajta thaladni (s akkor pontosan egyflekppen), ha a leszll 1-diszk f -kpnek s P (t)-nek a metszspontjai ssze vannak pros tva egy alkalmas P (t)-beli t mentn. (2) h00 0 index kritikus pontjainl. Ha t egy ilyen z kritikus pontnak a h00-kpe s f2(z) kt se f -nl x s y, akkor pontosan akkor lehet t-on thaladni (s akkor pontosan egyflekppen), ha lteznek x-nek, illetve y-nak M -ben olyan U , illetve V , az f ;1 (Q(t))-t metsz diszjunkt krnyezetei, hogy akrhogyan is vlasztva egy-egy pontot f (U ) Q(t)-bl s f (V

) Q(t)-bl, ezek nincsenek sszepros tva az Ft ltal induklt pros tsnl semmilyen Q(t)-beli t mentn sem. Az albbi esetekben kpzelhet el, hogy t-on egynl tbbflekppen lehet thaladni: (3) h0 nem-kapcsold 0 index kritikus pontjainl. A lehetsgek szma ekkor az ahhoz a cellhoz tartoz l-rtk, amely fel a kritikus ponthoz tartoz v normlvektor mutat. (4) h 1 index kritikus pontjainl. Ha ez a pont a c cellba esik, akkor a lehetsgek szm l(c)! (Ft-nek a leszll 1-diszk s P (t) kt metszspontjnl lev l(c)-l(c) darab gt kell ugyanis sszepros tani). A Ttelben szerepl Morse-elmleti fogalmakkal kapcsolatban ld. &Miln]-t Ha W kompakt, akkor a legnagyobb akadly maxW h, s ha ezen thaladtunk, akkor nyilvn mr f -nek kaptuk egy kiterjesztst. Ha W nem kompakt, akkor lehet, hogy a legnagyobb akadly maxf (M ) h" ha az ezen;val thaladstkveten a megfelel szintig trtn kiterjeszts felvesz h;1 (maxf (M ) h 1) -beli rtkeket, akkor a nem

korltos cella lefedettsge l-nl pozitv, teht kiterjeszts nem lehetsges. Ellenkez esetben minden " > 0 esetn Fmaxf (M ) h+" ugyanaz a f ggvny s ez mr f -nek kiterjesztse. Az elz Ttelbl az is vilgos, hogy a nem-ekvivalens kiterjesztsek szma mindig vges. A 3.16 Ttelt nem bizonytjuk, aminek az oka alapveten terjedelmi, a Ttel ugyanis nem nehz" radsul alacsony dimenzi s pldk vizsglatval brki knnyen meggyzdhet az igazsgr l. 27 3.2 1-kodimenzis lekpezsek kiterjesztsei Ebben a szakaszban egy adott f lekpezsnek olyan kiterjesztseit vizsgljuk, amelyeknl f nem a peremre, hanem a szingulris halmazra trtn megszortssal egyezik meg. Elszr azt kell tisztznunk, hogy mely f lekpezsek jnnek sz ba 3.21 Den ci Legyen M zrt m-sokasg, W pedig sszef gg (m + 1)sokasg Az f : M ! W sima lekpezst -lekpezsnek nevezz k, ha minden x 2 M esetn x-nek van olyan U  M krnyezete s ltezik egy Fx : U  (;1 1) ! W

Morin-lekpezs, hogy S (Fx) = U  f0g s minden y 2 U esetn Fx(y 0) = f (y). Legyen most adva egy f : M ! W -lekpezs Egy F  : X ! W Morin-lekpezst f -kiterjesztsnek nevez nk, ha X egy (elre nem rgztett) (m + 1)-dimenzi s zrt sokasg, tovbb egy alkalmas i : M ! X begyazsra S (F ) = i(M ) s f = F   i teljes lnek. Azt mondjuk, hogy az F  : X ! W s (F )0 : X 0 ! W -kiterjesztsek ekvivalensek, ha egy alkalmas  : X 0 ! X di!eomorzmusra (amely S (F )-t s S ((F )0)-t egymsnak felelteti meg) (F )0 = F    teljes l. Az immerzi k nyilvnval an -lekpezsek, -kiterjesztseik pedig hajts-lekpezsek. Az 1112 Ttel miatt, ha f -lekpezs, akkor S (f )  M egy 1-kodimenzi s rszsokasg, annak ellenre, hogy f ltalban nem stabil. 3.22 ll ts Ha f : M m ! W m+1 egy olyan -lekpezs, melynek ltezik egy F  : X ! W -kiterjesztse, akkor f M ]2 = 0 2 Hm (W  Z2). Ha M s W irny thatak (de a kiterjeszts nem felttlen l), akkor M egy alkalmas irny tsa

mellett f M ] = 0 2 Hm (W  Z). Bizony ts. Elegend bebizonytani, hogy fM ]2 -nek illetve f M ]-nek brmely c (Z- vagy Z2-egy tthat s) ciklussal vett algebrai metszsszma 0 (2 Z2 vagy 2 Z). Reprezentljuk c-t egy i : C ! W begyazott 1-dimenzi s rszsokasggal" errl feltehet, hogy elker li f szingularitsainak kpeit (hiszen az ut bbiak W -ben egy 2-kodimenzi s halmazt alkotnak, ld. az 1112 Ttelt) Az (F );1(i(C ))  X halmaz ezrt csak regulris pontokb l s hajts-szingularitsokb l ll, gy nyilvnval an olyan X -be immertlt krvonalak diszjunkt uni ja, amelyek mindegyike F -nak pontosan kt szingulris pontjt tartalmazza. Mivel ezek a pontok egy-egyrtelmen felelnek meg i(C ) s f (M ) metszspontjainak, azrt az #llts els rsze mris bizonytva van. A msodik rsz bizonytshoz vegy k szre, hogy M s W irnythat sga miatt az f 0 (f ) immerzi normlnyalbja trivilis, st, a hajts- s cs csszingularitsok normlformit felhasznlva azt sem nehz

beltni, hogy az abba az irnyba mutat normlis vektormez, amely fel es oldaln f (M )nek 2-vel nagyobb az F -lefedettsg, egy olyan irnytst denil 0(f )-en, 28 amely kiterjed M egy irnytsv (0(f ) komponenseit ugyanis F  cs csszingularitsai vlasztjk el egymst l). Ezek utn mr knnyen lthat , hogy ha C irnytott s iC ] = c, akkor az i(C ) s f (M ) metszspontjaib l az imnt alkotott prok mindegyiknek elemei (ezekkel az irnytsokkal szmolva) k lnbz eljelek. 3.23 Megjegyzs Ha g : K ! W egy irnytott, zrt (m+1)-sokasg hajtslekpezse a W sszef gg, irnytott (m + 1)-sokasgba, akkor, amint azt a 2.18 #llts Bizonytsban mr lttuk, K elll a K+ s K; peremes sokasgok uni jaknt, melyekre K+ K; = @K+ = @K; = S (g) A g K+ s g K; lekpezsek ugyan nem immerzi k, de nyilvnval , hogy a peremen kttt m don homot pak egy-egy olyan g+ , illetve g; immerzi val (st, C 1(K W )-ben tetszleges krnyezeteik tartalmaznak ilyeneket), amelyekre g+

(K+ ) = g(K+ ) s g; (K; ) = g(K; ), s amelyek g S(g)-nek kiterjesztsei. Ha teht adva van az f : M ! W immerzi a 3.16 Ttelben szerepl felttelek mellett, akkor az elz szakaszban trgyalt m dszerrel ekvivalencia erejig az sszes olyan F  : K ! W hajts-lekpezst meghatrozhatjuk, amelyek f -nek -kiterjesztsei, s ahol K irnythat . Nevezetesen, keress k meg f sszes Fi : Ni ! W kiterjesztst (i = 1 2 : : :  k), majd az sszes ;  k ( 2 darab) lehetsges m don ragasszunk ssze ezekbl kettt a kzs perem mentn. Pappasnak a 3.16 Ttel bizonytshoz felhasznlt segdttelei &Pa, Lemma 4.1-Lemma 410] alapjn eljrst adhatunk a fenti Megjegyzsben s a 3.16 Ttelben szerepl f : M ! W immerzi sszes -kiterjesztsnek (teht a nem irnythat aknak is) a meghatrozsra. Legyen h : W ! R Morse-f ggvny, mint a 3.16 Ttelben, s ugyan gy, mint ott, rgzts k v-t s l-et is. Ha t 2 R, akkor f t-hez tartoz szintig trtn -kiterjesztsnek nevez nk egy olyan Ft : Xt !

Q(t) hajts-lekpezst, ahol Xt egy (m + 1)-dimenzi s peremes sokasg, melyre Xt egy 1-kodimenzi s rszsokasga f ;1(Q(t))-vel azonosthat s ezen azonosts utn ezen a halmazon Ft s f megegyeznek, tovbb Ft(@Xt)  Q(t). Az Ft0 , t0 szintig trtn kezdeti kiterjeszts most is lljon Q(t0) l(c0) pldnynak identikus lekpezsbl s deniljuk a -kiterjesztsek tovbbterjesztsnek fogalmt az elz szakasszal sszhangban. Vilgos, hogy egy -kiterjesztsnl a c cella tnyleges lefedettsge l0(c) := l(c0) + 2(l(c) ; l(c0)) lesz Az akadlyokon val thaladsi lehetsgeket most a 3.25 Ttel fogja lerni, de ennek kimondsa eltt denilnunk kell a kiterjeszts ltal induklt prosts fogalmnak megfeleljt -kiterjesztsekre. 3.24 Den ci Legyen f : M ! W -lekpezs s F  : X ! W ennek -kiterjesztse, mint fent, pedig f -re transzverzlis s f tbbszrs pont29 jait elker l begyazott grbe. A -hoz tartoz, F  ltal induklt pros tson az ;1 (f (M )) = im( ) f (M )

halmaz ktelem rszhalmazainak a kvetkez P multihalmazt rtj k (minden elem egyszeres vagy ktszeres lesz): f x y g (x y 2 im( ) f (M )) annyiszor legyen eleme P-nek, ahny (F );1(im( ))-beli v sszekti i(f ;1(x))-et s i(f ;1(y))-t. 3.25 Ttel Legyen M egy m-dimenzis zrt irny that sokasg, W egy (m +1)-dimenzis sszef gg irny tott sokasg, f : M ! W stabil immerzi, v : M ! TW az f menti normlis vektormez (melyhez tartoz irny tsra fM ] = 0 2 Hm(W  Z)) s rgz ts nk egy l, a v-vel kompatibilis lefedettsgf ggvnyt, tovbb egy (a 3.1 szakaszban szerepl feltteleknek eleget tev) h : W ! R Morse-f ggvnyt is. Tegy k fel, hogy rendelkez nk f -nek egy Ft -kiterjesztsvel a t-hez tartoz szintig s a t t0] intervallumba es egyetlen akadly t < t < t0. A kvetkez esetekben kpzelhet el, hogy t-on nem lehet thaladni: (1) h0 nem-kapcsold 1 index kritikus pontjainl. Ha t egy ilyennek a h0kpe, akkor pontosan akkor lehet rajta thaladni (s akkor

pontosan egyflekppen), ha a leszll 1-diszk f -kpnek s P (t)-nek a metszspontjai egy alkalmas P (t)-beli t mentn ktszeresen is ssze vannak pros tva az Ft ltal induklt pros tsnl. (2) h00 0 index kritikus pontjainl. Ha t egy ilyen z kritikus pontnak a h00-kpe s f2(z) kt se f -nl x s y, akkor pontosan akkor lehet t-on thaladni (s akkor pontosan egyflekppen), ha lteznek x-nek, illetve y-nak M -ben olyan U , illetve V , az f ;1 (Q(t))-t metsz diszjunkt krnyezetei, hogy akrhogyan is vlasztva egy-egy pontot f (U ) Q(t)-bl s f (V )Q(t)-bl, ezek egyszer sincsenek sszepros tva az Ft ltal induklt pros tsnl semmilyen Q(t)-beli t mentn sem. Az albbi esetekben kpzelhet el, hogy t-on egynl tbbflekppen lehet thaladni: (3) h0 nem-kapcsold 0 index kritikus pontjainl. Ha egy ilyen; 0 ponthoz  tartoz v vektor a c cellba mutat, akkor a lehetsgek szma l (2c) . (4) h 1 index kritikus pontjainl. Ha ez a pont a c cellba esik, akkor a

lehetsgek szm (l0(c))! (Ft-nak a leszll 1-diszk s P (t) kt metszspontjnl lev l0(c)-l0(c) darab gt kell ugyanis sszepros tani). Az immerzi kon kv l a -lekpezsek mg egy osztlyra fogjuk megadni a kiterjesztseket elllt eljrst (illetve lerni annak elgazsait s zskutcit), ezek pedig a zrt 1-sokasgokat (azaz krvonalak vges diszjunkt 30 3.1 bra: f egy elsfaj cs csa s ennek krnyezetben a v normlis vektormez uni it) irnytott fel letekbe kpez -lekpezsek. Vegy k szre, hogy egy ilyen sima grbe pontosan akkor -lekpezs, ha nincsenek msodfaj cs csai, csak vges sok elsfaj cs csa s inexi s pontja (ld. &HC, 203-204 oldal]). Meggyzds nk, hogy magasabb dimenzi kra vonatkoz hasonl ttelek megfogalmazsnak s bebizonytsnak egyetlen elfelttele a Morinszingularitsok pontos megrtse. Legyen teht M zrt 1-sokasg, W irnytott 2-sokasg, f : M ! W pedig sima grbe msodfaj cs csok nlk l. Rgzts k a v : 0(f ) ! TW normlis

vektormezt gy, hogy az ltala (s W irnytsa ltal) induklt irnyts 0(f )-en kiterjedjen M egy olyan irnytsv, melyre fM ] = 0. Tegy k fel azt is, hogy f szingulris pontjainak a krnyezetben v a 3.1 brnak megfelelen van megadva Egy ilyen v vektormez, ugyan gy, mint az elz szakaszban, megad vgtelen sok v-vel kompatibilis lefedettsgf ggvnyt (amelyek egy a+n teret alkotnak Z felett). A h : W ! R Morsef ggvnyrl az eddigieken kv l az is feltehet, hogy f elsfaj cs csaiban gradh a cs ccsal prhuzamos (azaz v mindkt oldali hatrrtkre merleges). A cs csokat, illetve azok h-kpeit is az akadlyok kz soroljuk" feltehet, hogy az akadlyok tovbbra is mind k lnbz szinteken tallhat ak. A cs csot kapcsoldnak nevezz k, ha ott gradh a cs cs belseje fel mutat (azaz arra az oldalra, amerre v), ellenkez esetben nem-kapcsoldnak. Az Ft0 kezdeti kiterjesztst ugyan gy vlasztjuk, mint eddig. Vilgos, hogy egy c cellnak az Ft0 brmely tovbbterjesztsnl

most is l0(c) = l(c0) + 2(l(c) ; l(c0)) lesz a tnyleges lefedettsge. A kiterjesztsi eljrs lershoz a 325 Ttelen kv l az albbi, a cs csokon val thaladsr l sz l #lltsra van sz ksg. 3.26 ll ts Legyen adva az f : M 1 ! W 2 -lekpezs, ahol W irny tott Rgz ts k a fentieknek megfelelen a v normlis vektormezt s a vele kompatibilis l lefedetsg-f ggvnyt, tovbb a h : W ! R Morse-f ggvnyt. Legyen s 2 S (f ) egy tetszleges cscs f ;1-kpe. Tegy k fel, hogy rendelke31 z nk f -nek egy -kiterjesztsvel a t-hez tartoz szintig, ahol t olyan, hogy P (t) metszi az f (s)-bl kiindul grbegakat s a t 1) intervallumba es legkisebb akadly t < t = h(f (s)). (1) Ha f (s) kapcsold, akkor t-on l0(c)-flekppen lehet thaladni, ahol c az a cella, amelybe a cscs mutat. (2) Ha f (s) nem-kapcsold, akkor t-on pontosan akkor lehet thaladni (s akkor pontosabban egyflekppen), ha a cscsbl kiindul kt grbedarabnak s P (t)-nek a metszspontjai pontosan egyszer

vannak sszepros tva az Ft ltal induklt pros tsnl egy alkalmas P (t)-beli grbe mentn. Az #llts teljesen nyilvnval . Termszetesen, h megvltoztatsval elrhet, hogy az sszes cs cs kapcsol d (vagy az sszes nem-kapcsol d ) legyen, de ez ltalban az akadlyok szmnak nvekedsvel jr. 32 4. Fejezet Morin-lekpezsek 4-sokasgok k z tt Ebben a fejezetben ngydimenzi s sokasgok kztti stabil lekpezsekkel foglalkozunk. Ennl a dimenzi -prnl (amely a 113 #llts rtelmben szp) a stabil lekpezsek a Morin-szingularitsok mellett izollt 20-szingularitsokkal is rendelkezhetnek, amelyeknek ez esetben ktfle normlformja kpzelhet el: y1 = x1 y2 = x2 y3 = x23 + x1x4 y4 = x24 + x2x3 vagy y1 = x1 y2 = x2 y3 = x23 ; x24 + x1x3 + x2x4 y4 = x3x4 + x2x3 ; x1x4: Az els esetben hiperbolikus umbilikus pontrl, a msodikban pedig elliptikus umbilikus pontrl beszl nk. A (4 4) dimenzi -prhoz tartoz Thom-polinomok megtallhat ak az 123 Ttelben s az 125

#lltsban Megjegyezz k mg, hogy amg minden hiperbolikus umbilikus pont minden krnyezetben tallhat fecskefarok-szingularits, addig az elliptikusokra ennek ellenkezje igaz Pontosabban, ha F : M 4 ! N 4 stabil lekpezs s 2h0(f ) jelli f hiperbolikus umbilikus szingularitsainak halmazt, akkor a kvetkezk teljes lnek (ld. &La]-t):  S (f ) = A1(f ) = 4  l=1 4  ! 20(f ) Al(f )  A2(f ) = l=2 4  ! 20(f ) Al(f )  A3(f ) = l=3 33 ! Al(f ) 2h0(f ): 4.1 A norml Euler-szm Az albbi Lemma alapvet fontossg a Morin-szingularitsok vizsglatban: 4.11 Lemma (Fukuda F]) Legyen M n zrt, N p pedig sszef gg sokasg (n = p) Ha f : M ! N Morin-lekpezs, akkor (M ) p X l=1 (Al(f )) + f (N ) (mod 2) ahol f az f egy regulris bruma Euler-karakterisztikjnak a paritsa (n = p esetn a modulo 2 fokszm) s ha N nem zrt, akkor (N ) = 0. A 4-sokasgok elmletbl klcsnzz k a kvetkez #lltst: 4.12 ll ts Egy M zrt, irny tott

ngydimenzis sokasg pontosan akkor stabilan parallelizlhat, ha w2 (M ) = 0 2 H 2 (M  Z2) s  (M ) = 0 Emlkeztet nk tovbb a Rohlint l s Thomt l szrmaz 4-dimenzi s szignat ra-formulra: 4.13 ll ts Ha M egy zrt, irny tott 4-sokasg, akkor hp1 (M ) M ]i = 3(M ). 4.14 Den ci Egy g : F k ! V 2k , zrt sokasgot irnytott sokasgba kpez immerzi (specilisan, egy begyazs) e(g ) norml Euler-szma alatt a kvetkezt rtj k: Tekints k a g : g ! F normlnyalbnak egy s : F ! g generikus szelst s ezt komponljuk egy i : g ! N (g(F )) immerzi val, ahol N (g(F )) a g(F ) egy csszer krnyezete. Ha s(x) = 0, akkor rgzts k a TxF vektortr egy tetszleges irnytst s ezt Txg, illetve Tx(i  s) segtsgvel vigy k t Txg(TxF )-re illetve Tx(i  s)(TxF )-re. Legyen 8 < (x) = : 1 ha Txg(TxF ) s Tx(i  s)(TxF ) irnytsai (ebben a sorrendben) kiadjk Tg(x)V irnytst : ;1 ha nem Vegy k szre, hogy (x) rtke nem f gg TxF irnytst l. Vg l legyen

e(g) := X x2M : s(x)=0 (x): Vilgos, hogy ez az sszeg vges s az is knnyen meggondolhat , hogy e(g ) nem f gg az s szels vlasztst l. A kvetkez Ttel megtallhat &SS]-ben 34 4.15 Ttel Legyen M zrt, N pedig stabilan parallelizlhat 4-sokasg Ha f : M ! N Morin-lekpezs, akkor (1) (M ) (A2(f )) (mod 2). (2) Ha M irny that, akkor A2(f )  M normlhEuler-szma 0. Tovbb, M i pontosan akkor stabilan parallelizlhat, ha A2(f ) = 0 2 H2 (M  Z2). 2 Bizony ts. Elszr (1)-et bizonytjuk Mivel (N ) = 0, a 411 Lemma szerint (M ) (S (f )) + (A2(f )) + (A3(f )) + (A4(f )) (mod 2): A pratlan dimenzi s sokasgok Euler-karakterisztikja 0 lvn, elegend bebizonytanunk, hogy a pillang -szingularitsok szma pros. A 123 Ttelt alkalmazva (A4(f )) hw14 + w 1 w3 M ]2i hw14 + w1 (w13 + w3) M ]2i hw1 w3 M ]2 i (mod 2) ad dik. A Wu-formult, a vk Wu-osztlyok denci jt (ezeket ld &MS]ben), illetve az Sqi Steenrod-ngyzet opertorokra vonatkoz

Adem-relci t felhasznlva (ezeket pedig ld. &MT]-ben) kapjuk, hogy w1 w3 = v1 Sq1 v2 = Sq1 Sq1 v2 = 0 2 H 4(M  Z2) amibl (1) mr trivilisan ad dik. (2) els lltsnak bizonytshoz elegend megmutatni, hogy a megfelel normlnyalbnak ltezik sehol sem eltn szelse, azaz, egy A2(f ) ! TM normlis vektormez az A2(f ) mentn. Mivel az A2(f ) fel let rszsokasga S (f )-nek, azrt elegend, ha S (f ) mentn ltezik normlis vektormez, azaz, ha S (f )  M 1-dimenzi s normlnyalbja trivilis. Ez pedig teljes l, hiszen M s N irnythat sga miatt az M n S (f ) halmaznak legalbb kt sszef ggsgi komponense van. Mivel ltezik az f Morin-, azaz umbilikus szingularitsokkal nem rendelkez lekpezs, azrt az 1.25 #llts rtelmben p1(M ) = 0 kell, hogy legyen A 4.12 #llts miatt teht M pontosan akkor lesz stabilan parallelizlhat , ha wh2(M ) =i 0. Az 123 Ttelbl viszont az olvashat ki, hogy eset nkben DM A2(f ) 2 = w2(M ), s ebbl (2) mr trivilis. 35 4.2 A cs

cs-szingularitsok fel lete Elszr az albbi formult bizonytjuk be (ld. &Sz]) Legyen g : M n ! 2 n R ;1 ntranszverzlis immerzi s jellje 2(g)  R2n;1 a g kettspontjainak halmazt. Ez R2n;1-be immertlt krvonalak uni ja, nevezetesen, legyen h : ~2(g) ! 2(g) egy ilyen immerzi . Ha C a ~2(g) egy komponense, akkor ad dik egy g;1(h(C )) ! C ketts feds" att l f ggen, hogy ez trivilise vagy sem (azaz g;1(h(C )) sszef gg-e vagy sem), C -t trivilisnak, illetve nemtrivilisnak nevezz k. Jellje  (g ) 2 Z2 a ~2(g ) nemtrivilis komponensei szmnak paritst. 4.21 Lemma Ha n pros, akkor (g) = hw1(M ) wn;1 (M ) M ]2i Bizony ts. Legyen  a g;1 (2(g )) normlnyalbja M -ben, "1 pedig trivilis vonalnyalb g;1(2(g)) felett Mivel (TS 1 = S 1  R miatt)  "1 = TM g;1( 2 (g)), azrt w1( ) = w1(M ) g;1( 2(g)). Ezek szerint hw1 ( ) g ;1 (2(g ))]2 i = hw1 (M ) wn;1 (M ) M ]2i hiszen DM g;1(2(g))]2 = wn;1 (M ) (ld. &He]-t) Msrszt hw1 ( )

g ;1 (2(g ))]2i =  (g ) hiszen mindkett megegyezik g;1(2(g)) azon komponensei szmnak paritsval, amelyeknek nemtrivilis az M -beli normlnyalbjuk (ha C trivilis komponense ~2(g)-nek, akkor g;1(h(C )) kt komponense kz l vagy mindkett, vagy egyik sem rendelkezik trivilis M -beli normlnyalbbal" ezzel szemben egy nemtrivilis C 0 komponens esetn g;1(h(C 0)) normlnyalbja mindig nemtrivilis). 4.22 Den ci Legyen M egy n-dimenzi s sokasg s a 2 Hk (M  Z2), valamint b 2 Hn;k (M  Z2) (k 2 f 0 1 : : :  n g). Az a s b metszsi szmnak nevezz k s a  b-vel jellj k a hDM a DM b M ]2i 2 Z2 rtket. Ha M irnytott, tovbb a s b egsz egy tthat s (s tovbbra is komplementer dimenzi s) homol gia-osztlyok, akkor hasonl an denilhat az a  b egsz rtk metszsi szm. Ha a s b (a Z2-, illetve Z-egy tthat s esetben) reprezentlhat ak (a Zegy tthat s esetben irnytott) sokasgok fa : A ! M s fb : B ! M (felteheten egymsra transzverzlis) immerzi ival,

akkor termszetesen a  b megegyezik im(fa) s im(fb ) metszspontjainak algebrai szmval. Az a = b esetben is biztostani kell a transzverzalitst, pldul gy, hogy egy adott reprezentl immerzi t perturblunk s ezutn kpezz k a merszspontok algebrai szmt. A kvetkez formula Audintl &Au] s Litl &Li] szrmazik. 36 4.23 ll ts Legyen F zrt fel let, N irny tott 4-sokasg s f : F ! N stabil lekpezs (s mint ilyen, immerzi). Ekkor (4.1) e + 2D(f ) hP~ (DN fF ]2) N ]4i + 2 (F ) (mod 4) ahol e az f norml Euler-szma, D(f ) az f kettspontjainak a szma, P~ : H 2(N  Z2) ! H 4(N  Z4) a Pontrjagin-ngyzet, N ]4 2 H4(N  Z4) pedig N modulo 4 fundamentlis osztlya. Egy sokasg modulo 4 fundamentlis osztlya pontosan akkor denilhat , ha a sokasg irnythat " ha a sokasg irnytott, akkor az egsz egy tthat s fundamentlis osztly (amelyet 0-nak tekint nk, ha a sokasg nem zrt) modulo 4 redukci jval egyezik meg. A Pontrjagin-ngyzettel s

tulajdonsgaival kapcsolatban ld &MT]-t Nek nk itt csak arra lesz sz ksg nk, hogy kohomol gia-osztlyok folytonos f ggvnnyel val visszah zsval szemben termszetes m don viselkedik, illetve arra, hogy hogyan hat egsz egy tthat s kohomol gia-osztlyok modulo 2 redukci in (ld. a kvetkez Bizonytst) Bizony ts. Elszr bebizonytjuk az #lltst az N = R4 esetre azzal a tovbbi felttellel, hogy az f immerzi nak ltezik n t skzse, azaz a f normlnyalbnak egy sehol sem eltn szelse. Ekkor persze e = 0 s gy nyilvn a D(f ) (F ) (mod 2) kongruencit kell igazolni. A Hirsch-lemma &Hi] szerint f regulrisan homot p egy g : F ! R3 (ntranszverzlis) immerzi val, ahol R3  R4 a+n altr. Knny meggondolni, hogy D(f ) (g) (mod 2). A 421 Lemma szerint teht D(f ) hw1(M ) w1(M ) M ]2i hw12 (M ) M ]2i hw2 (M ) M ]2i (M ) (mod 2), amint kvntuk. A bizonyts szinte trivilis abban az esetben, amikor F irnythat . Ekkor ugyanis hP~ (DN fF ]2) N ]4i fF ]  fF ]

(mod 4), ahol fF ] 2 H2(N  Z) az f ltal reprezentlt egsz egy tthat s homol gia-osztly, tovbb nyilvn 2 (F ) 0 (mod 4). Ezek utn a norml Euler-osztly denci ja alapjn a bizonyts erre az esetre mr knnyen elvgezhet (az ott szerepl s szels 0-helyeihez egy-egy, f minden kettspontjhoz pedig kt-kt metszspontja tartozik f (F )-nek s im(i  s)-nek, msrszt f s i  s egyarnt fF ]-et reprezentljk). A tovbbiakban az #lltst visszavezetj k erre az esetre. Ehhez elszr visszavezetj k a (F ) 0 (mod 2) esetre. Tekints nk egy RP 2 ! R3 immerzi t (pl. a Boy-fel letet) s egy regulris homot pival vigy k ezt t egy  : RP 2 ! R4 ntranszverzlis immerzi ba. Ha (F ) pratlan, akkor im(f ) egy csszer krnyezetben, de im(f )-tl diszjunktan (s a kettspontokt l tvol) vlasszunk egy kis, R4-gyel di!eomorf halmazt" ezt azonostsuk R4-gyel s az azonosts segtsgvel msoljuk bele (RP 2)-t. Kpezz k f (F ) s (RP 2) sszef gg sszegt: ezzel egy olyan,

M -be immertlt fel let ad dik, amelynek pros az Euler-karakterisztikja. e( ) = 0 37 (Hirsch-lemma) alapjn knny meggondolni, hogy ezzel az operci val e-n nem vltoztattunk. (41)-nek a Pontrjagin-ngyzetet tartalmaz tagjn szintn nem, hiszen az eredeti s a m dostott fel letek egymssal homol gok Azt kell teht mg meggondolni, hogy pratlan szmmal nvelt k a kettspontok szmt, azaz, hogy -nak pratlan sok kettspontja van" ez azonban az els bekezds alapjn vilgos. Feltehet teht, hogy (F ) pros. Ekkor w1(F ) reprezentlhat egyetlen, a fel letbe trivilis normlnyalbbal begyazott C  F krvonallal Feltehet az is, hogy f (C ) elker li f kettspontjait. Ekkor f (C ) egy N be gyazott krvonal, melynek N irnythat sga miatt irnythat , s gy trivilis a normlnyalbja, F -beli normlnyalbja pedig ennek egy trivilis rsznyalbjval azonosthat . Tekints nk egy  : A^2 ! S 4 immerzi t, amit egy R3-ba men immerzi R4-be val felemelsvel, majd ennek

kompaktiklsval kapunk. Erre (s egy C 0  A^2, w1(A^2)-t reprezentl krvonalra) hasonl ak mondhat k el, mint az elbb f (C ) s  (C 0) egy-egy zrt csszer krnyezete teht azonosthat oly m don, hogy f (F )-nek, illetve  (A^2)-nak ezekbe es rszei egymsnak felelnek meg. Hagyjuk el ezeknek a halmazoknak a belsejeit a megfelel 4-sokasgokb l s a keletkez peremeket ragasszuk ssze az imnti azonosts segtsgvel. Ily m don egy N 0 irnythat 4-sokasg (azrt az, mert az elhagyott csszer krnyezetek peremei, S 1  S 2-vel di!eomorfak lvn, sszef ggek) s egy ebbe immertlt F 0 irny that fel let jn ltre. Egyszeren ad dik, hogy (F 0) = (F ) Irnytsuk N 0-t N (megmaradt rsze) irnytsnak kiterjesztsvel. Knny meggondolni, hogy e( ) = 0 s az is elrhet, hogy D( ) = 0 legyen Ezekbl az kvetkezik, hogy (4.1) baloldalnak tagjai s a jobboldal msodik tagja az imnti operci nl nem vltoznak, s az els bekezds alapjn az is vilgos, hogy hP~ (DS4

A^2]2) S 4]4i = 0. Kszen lesz nk teht (felhasznlva, hogy N 0 kobordns N s S 4 diszjunkt uni jval), ha bebizonytjuk az albbi Lemmt. 4.24 Lemma Legyenek A s B irny tott 4-sokasgok, f1 : F1 ! A s f2 : F2 ! B pedig stabil immerzik. Tegy k fel, hogy az (A f1(F1)) s (B f2(F2)) trprok kztt ltezik egy pr-kobordizmus, amin most a kvetkezt rtj k. Legyen W egy irny tott peremes 5-sokasg, g : X ! W pedig egy peremes 3-sokasgnak egy immerzija ebbe. Tegy k fel, hogy @W azonos that A B -vel (gy, hogy W irny tsa A-n az adott irny tst, B -n viszont annak ellentettjt induklja valamilyen rgz tett konvenci mellett), @X pedig F1 F2-vel oly mdon, hogy mindezen azonos tsok utn g @X megegyezik f1 f2-vel. Ekkor ~ (DA f1F1]2) A]4i = hP~ (DB f2F2]2) B ]4i: hP 38 Bizony ts. Elegend beltni, hogy hP~ (D@W g@X ]2) @W ]4i = 0 Mrpedig, ha j -vel jellj k a @W ! W identikus begyazst, akkor ~ ( @W g@X ]2) @W ]4i = hj  P~ ( W gX ]2) @W ]4i =

hP ~ ( W g X ]2) j@W ]4i = hP~ ( W gX ]2) 0i = 0: hP D D D D 4.25 Ttel (SS]) Legyen M zrt 4-sokasg, N pedig zrt, irny tott s stabilan parallelizlhat 4-sokasg. Ha f : M ! N stabil lekpezs csak hajts- s cscs-szingularitsokkal, akkor (4.2) 2D(f ) hP~ (f!w2(M )) N ]4i + 2 (M ) (mod 4) ahol D(f ) az f A2 (f ) immerzi kettspontjainak a szma, f! = DN  f  D;M1 pedig a Gysin-homomorzmus. Bizony ts. Alkalmazzuk a 423 #lltst f e + 2D(f ) A2 (f )-re: ~ ( N fA2(f )]2) N ]4i + 2 hP D (A2(f )) ahol e a megfelel norml Euler-osztlyt jelli. Mivel a 415 Ttel (1) pontja szerint 2 (A2(f )) 2 (M ) (mod 4), tovbb az 1.23 Ttelbl A2(f )]2 = DM w2(M ), azrt elegend megmutatni, hogy e = 0. Ehhez pedig elegend egy sehol sem eltn f (A2(f ))-re normlis vektormezt mutatni f A2(f ) mentn, ami knnyen megtehet a cs cs-szingularits normlformjnak felhasznlsval (az (1.1) kpletben szerepl koordintkban felrt (y1 y2 y3 y4) = (1 0 0 0)

vektor egy kanonikus normlirnyt hatroz meg). 4.26 K vetkezmny Legyenek M s N zrt 4-sokasgok, N stabilan parallelizlhat, tovbb f : M ! N stabil lekpezs csak hajts- s cscsszingularitsokkal Ha M irny that spin-sokasg (azaz w2(M ) = 0), vagy ha (M ) pros s H 2(N  Z2) = 0, akkor D(f ) pros. Bizony ts. Az elz Ttelt alkalmazva, mindkt esetben elegend beltni, hogy (4.2) jobboldalnak mindkt tagja 4-gyel oszthat A msodik esetben ez mindkt tagr l trivilisan ltszik s az els esetben is csak az nem magt l rtetd, hogy (M ) pros. Ezt sem nehz azonban beltni, ugyanis 20(f ) = ? miatt p1 (M ) = 0 s gy (M ) = 0 kell, hogy legyen (ld. az 125 s a 4.13 #lltsokat), teht val ban (M ) (M ) 0 (mod 2) 39 5. Fejezet A Sakuma-sejts A szingularitselmlet egy rdekes nyitott krdse a kvetkez sejts igaz vagy hamis voltnak eldntse. Maga a sejts Kazuhiro Sakumt l szrmazik" a kvetkezkben bebizonytunk nhny, mr ismert rszeredmnyt (5.210

s 535 Ttelek), illetve megmutatjuk, hogy a felttelek valamennyien sz ksgesek 5.1 A felttelek sz ksgessge 5.11 Sejts Legyen M zrt, irny that s pratlan Euler-karakterisztikj 4-sokasg Ekkor nem ltezik M ! R3 hajts-lekpezs Elszr megmutatjuk, hogy az 5.11 Sejts felttelei kz l nem hagyhat el M irnythat sga. 5.12 Plda Elszr egy olyan 0 : RP 2 ! R2 lekpezst konstrulunk, amelynl a szingulris halmaz kpe az 51 brn lthat grbepr Az 52 brt kvetve, elszr kpezz nk le egy Mbius-szalagot a skba" ezt egy diszkkel, majd egy trapzzal kiegsztve tovbbra is egy Mbius-szalagot kapunk, amelynek a hatra egy 8-asba kpezdik. Egy diszket R3-ban megcsavarva, majd alkalmasan levettve a skba a perem ugyanebbe a grbbe megy t, mikzben egy cs cs-szingularits keletkezik. Egy ttesen pedig ppen a projektv sknak nyerj k egy lekpezst" ennek a legelszr ltrejtt hajts-szakasz vgpontjaiban keletkezkkel egy tt sszesen hrom cs

cs-szingularitsa van. Legyen pr az E egyenesre (amelyet, az 5.1 brn lthat m don, R-rel azonostunk) vonatkoz merleges vetts Ekkor h = pr 0 : RP 2 ! R egy Morse-f ggvny hrom kritikus ponttal" ;0 1(x1) az egyetlen loklis minimum, ;0 1(x2) az egyetlen loklis maximum, a harmadik kritikus pont pedig a ktelem ;0 1 (fx0g) halmaz szingulris eleme, amelynek az indexe csak 1 40 x0 x1 x2 E 0 5.1 bra: A projektv sk lekpezse R2-be 5.2 bra: A 51 brn lthat lekpezs konstrukci ja lehet. A konstrukci , illetve annak szimmetrija segtsgvel knnyen igazolhat , hogy ltezik egy olyan : RP 2 ! RP 2 invol ci , hogy ha  : R2 ! R2 jelli az x0-on tmen, E -re merleges egyenesre vonatkoz t krzst, akkor az albbi diagram kommutatv: RP 2 ;;;0! R2 ? ? ? y ? y RP 2 ;;;! R2: Jellje  a (; id)  : S 2  RP 2 ! S 2  RP 2 invol ci t,  pedig a (; id)  (; id): S 2  R ! S 2  R invol ci t" az elbbiekbl nyilvnval , hogy az 0 albbi diagram szintn kommutatv:

S 2 ?RP 2 id h ;;;! ? y S 2 ? R ? y h S 2  RP 2 ;id;;! S 2  R: Mivel  s  xpontmentesek, azrt az M = (S 2  RP 2)= s N = (S 2  R)= 41 faktorterek sima sokasgok, az imnti diagram pedig azt mutatja, hogy denilhat az id h ltal induklt g : M ! N sima lekpezs, amelynek csak hajts-szingularitsai vannak: (S 2 fx0g)=( S2 fx0g) az RP 2-vel di!eomorf, (S 2  fx1 x2g)=( S2fx1 x2g) pedig S 2-vel. Vilgos, hogy M Euler-karakterisztikja 221 = 1" msrszt, M egy (RP 2 feletti) RP 2-nyalb totlis tere lvn nem-irnythat (mivel brmely brum normlnyalbja a totlis trben trivilis, azrt egy irnytsvlt t egy tetszleges brumban egyben a totlis trben is irnytsvlt ). Vg l, vegy k szre, hogy N irnythat , hiszen (; idS2 ) s (; idR) mindketten irnytsfordt ak" ezek szerint parallelizlhat s mint ilyen, lvn nylt is, R3-ba immertlhat . Ezzel az immerzi val komponlva g-t egy M ! R3 hajts-lekpezs ad dik, amelynek szingulris

halmaza g-vel egyezik meg. 5.13 Megjegyzs A 0 lekpezs elll a kvetkezkppen is #lltsuk el a  Mbius-szalagot, mint egy S 1 feletti ;1 1]-brls totlis tert. Azonostsuk minden brumban az tellenes pontprok tagjait s az gy kapott szalagot kpezz k le a skbeli f (x y) 2 R2 : 1 5 x2 + y2 5 4 g koncentrikus krgyrre oly m don, hogy az eredeti szalag kzpvonalnak kpe a k ls krvonal legyen. Tekints k tovbb a D2 = f (x y) 2 R2 : x2 + y2 5 1 g krlapnak nmagra trtn, a (cos # sin #) 7! (cos 2# sin 2#) kplettel denilt lekpezst. Nyilvnval , hogy @ s @D2 azonosthat ak gy, hogy az elbb denilt  ! R2 s D2 ! R2 lekpezseknek a megfelel peremekre val megszortsai megegyezzenek. Ha teht ennek az azonostsnak a segtsgvel ragasztjuk ssze -t s D2 -t, akkor a keletkez projektv sknak mindjrt egy lekpezse is ad dik R2-be. Ez azonban nem stabil a (0 0) 2 D2 pontbeli viselkedse miatt" kis megvltoztatsval azonban(ld &AVG]-t) egy

olyan stabil lekpezs jn ltre, amely mr stabil lekpezseken kereszt l homot p 0-lal. A sejts tbbi felttelnek sz ksgessge lnyegesen egyszerbben belthat . Az S 4  R5 standard egysggmb (amely termszetesen irnythat ) merleges vettse valamely R3  R5 altren pldul 10-lekpezs. Megjegyezz k mg, hogy az 511 Sejtsben szerepl 4-sokasg nem kpezhet le sem R2-be (ld. a 211 Ttelt), sem pedig R4-be csak hajts-szingularitsokkal (ez ut bbi azrt van gy, mert a cs cs-szingularits Thom-polinomja ebben az esetben w2 (1.23 Ttel), a 20-szingularits (egsz egy tthat kkal, ld az 125 #lltst) pedig p1 , s ha ezek mindketten 0-val egyenlek, akkor M stabilan parallelizlhat , s gy pratlan karakterisztikj volna (4.12 #llts)) R1-be a Morse-lemma szerint brmely sokasg lekpezhet csak 10-szingularitsokkal. 42 5.2 A Sejts egy specilis esete Az 5.11 Sejtst Saeki &Sae1] bebizonytotta a C P 2 komplex projektv skra. A bizonyts csak a zrt

4-sokasg homologikus strukt rjt hasznlja Tbb elksz letre is sz ksg nk lesz, amelyek kz l nem mindent bizonytunk be, kzt k az albbi Ttelt sem, amelyet Rohlin &Roh] bizonytott elszr, majd Guillou s Marin &GM] ltalnostottak. 5.21 Ttel Legyen M olyan irny tott, zrt ngydimenzis sokasg, melyre H1(M  Z) = 0 s F  M karakterisztikus fel let (azaz DM F ]2 = w2(M )) Ekkor (M ) F  F + 2 (F ) (mod 4): 5.22 Lemma Legyen M zrt 4-sokasg, N stabilan parallelizlhat 3sokasg s f : M ! N stabil lekpezs Ekkor (M ) (S (f )) (mod 2) Bizony ts. A 411 Lemma szerint (M ) (A1(f )) + (A2(f )) + jA3(f )j Mivel A2(f ) krvonalak egyestse, azrt (A2(f )) = 0. Msrszt, mivel A3(f ) Thom-polinomja eset nkben w14 + w1 w3 (ld. &An]) s w1(M ) = 0, azrt jA3(f )j hw14 + w1 w3 M ]2i 0 (mod 2). Az 117 #llts felhasznlsval teht kszen is vagyunk. 5.23 Ttel (Sakuma Sak]) Legyen M olyan zrt, irny tott 4-sokasg, melyre H1(M  Z) = 0, N pedig stabilan

parallelizlhat 3-sokasg. Ha f : M ! N stabil lekpezs, akkor (M ) ;S (f )  S (f ) (mod 4). Bizony ts. Az 124 #llts szerint S (f )  M karakterisztikus fel let, az 5.21 Ttelt alkalmazva teht azt kapjuk, hogy (5.1) (M ) S (f )  S (f ) + 2 (S (f )) (mod 4): Mivel (M ) (M ) (S (f )) (mod 2) (az els kongruencia kzismert, a msodik pedig az 5.22 Lemma lltsa), azrt 2 (S (f )) 2(M ) (mod 4), amit (5.1)-be helyettestve ppen a bizonytand lltst kapjuk Legyen f : M n ! N p stabil lekpezs (n = p), S pedig S (f ) egy hajts-komponense. Jellje  (S ) az S rszsokasg M -beli,  (f S ) pedig az f S ntranszverzlis immerzi N -beli normlnyalbjt (ezek (n ; p + 1)-, illetve 1-dimenzi sak)" ha x 2 S , akkor jelljk az ehhez tartoz brumokat x(S ), illetve x(f S ). 5.24 Lemma Ltezik egy d2f :  (S ) !  (f S ) sima brumonknti lekpezs (azaz 2  d2 f = 1, ahol 1 :  (S ) ! S s 2 :  (f S ) ! S a nyalbprojekcik), melyre minden x 2 S esetn d2 f x (S) : x

(S ) ! x (f S ) egy index kvadratikus alak, ahol az S indexe. 43 Bizony ts. Minden x 2 S -re ltezik egy ;  (d2f )x : ker(Txf ) ! Tf (x)N= im(Txf ) = coker(Txf ) kvadratikus alak &B]1, ahol ker(Txf ) a x(S )-sel, coker(Txf ) pedig  (f S )-sel azonosthat " a hajts-szingularits normlformjb l az is knnyen lthat , hogy a kapott d2f :  (S ) !  (f S ) lekpezs indexe minden pontban . 5.25 Lemma Ha  (f S ) nem trivilis, akkor az S hajts-komponens indexre 2 = n ; p + 1 teljes l. Bizony ts. Ha x 2 S , akkor  (f S ) nem trivilis volta miatt (azaz amiatt, hogy egy alkalmas S -beli hurok mentn krbemenve x(f S )-nek R-rel val azonostsa tfordul) ltezik egy olyan : x(S ) ! x(S ) lineris izomorzmus s egy olyan a < 0 val s szm, melyekre (d2f )x  = a(d2f )x teljes l. Ezek szerint (d2f )x s ;(d2f )x indexe megegyezik x(f S ) s R ugyanazon azonostsa mellett, amibl az llts mr nyilvnval . Az elz Bizonyts kevsb precz fogalmazsban a

kvetkezkppen is elmondhat . x(f S ) s R egy azonostsval egy kvadratikus alak ad dik x(S )-en, amihez rendelhet (sajnos, nem kanonikusan) egy-egy -, illetve (n ; p + 1 ; )-dimenzi s altr, amelyekre megszortva a kvadratikus alakot az negatv-, illetve pozitv denit (vagy fordtva). Ha ezek k lnbz dimenzi sak, akkor kanonikusan kijellhet x(f S ) egyik flegyenese, pl. az, amelyre a kett kz l a nagyobb dimenzi s altr kpzdik. 5.26 ll ts Legyen f : M n ! N p (n > p) sima lekpezs s S ennek egy index hajts-komponense (0 < < n ; p + 1). Ekkor a  (S ) normlnyalb struktracsoportja reduklhat a  ( )  O(n ; p + 1 ; ) (2 6= n ; p + 1) G= O fO( )  O( )g o Z2 (2 = n ; p + 1) csoportra (G  O(n ; p + 1)), ahol O( )-t a    P 0 O In;p+1; 2 O(n ; p + 1) : P 2 O( )  O(n ; p + 1 ; )-t pedig az    I 0 2 O(n ; p + 1) : R 2 O(n ; p + 1 ; ) 0 R halmazzal azonos tjuk, tovbb fO;( ) O( )g oZ2 nem ms, mint O(2 )-nak az O( )  O( ) rszcsoport s a I0

I0 elem ltal generlt rszcsoportja. Bel that , hogy m sodrend parci lis deriv ltjai j l de ni ltak modulo im( x ), ha a deriv l si ir nyok ker x -hez tartoznak. 1 f T f T f 44 Bizony ts. Az els esetben, amikor 2 6= n ; p + 1, az 525 Lemma szerint  (f S ) trivilis. Rgztve egy trivializci jt az 524 Lemma felhasznlsval egy d2f :  (S ) ! R lekpezst kapunk, amely minden brumra megszortva egy index kvadratikus alak Ezek szerint  (S ) strukt racsoportja reduklhat az O(  n ; p + 1 ; )  GL(n ; p + 1), a Q : Rn;p+1 ! R, Q(x1 : : :  xn;p+1) = ;x21 ; : : : ; x2 + x2+1 + : : : + x2n;p+1 kvadratikus alakot megrz ortogonlis csoportra, amelyrl pedig ismert, hogy maximlis kompakt rszcsoportja (amelyre a strukt racsoport tovbb-reduklhat ) nem ms, mint O( )  O(n ; p + 1 ; ). Ha 2 = n ; p + 1, akkor az elzhz hasonl an azt talljuk, hogy  (S ) strukt racsoportja reduklhat a G0 = f 2 GL(n ; p + 1) : Q  = aQ valamely a 2 R mellett g csoportra.

Knnyen lthat , hogy G0 = (O(  ) o Z2)  R+, ahol R+ a pozitv val s szmok multiplikatv csoportja, s azt sem nehz bebizonytani, hogy ennek a maximlis kompakt rszcsoportja ppen fO( )  O( )g o Z2" ezzel a bizonytst befejezt k. Jellje Zr < SO(2) a 2r szg elforgats ltal generlt rszcsoportot. 5.27 Lemma Legyen  : E ! B egy R2-nyalb, amelynek struktracsoportja Zr-re reduklhat Ha H 2 (B  Z)-ben nincsen r-torzi elem, akkor  trivilis. Bizony ts. Legyenek B Zr s BSO(2) a Zr-, illetve SO(2) strukt racsoport nyalbok klasszikl terei. Mivel Zr  SO(2), azrt ltezik az  : B Zr ! BSO(2) kanonikus lekpezs. Legyen  : B ! BSO(2) a -nek megfelel B BSO(2)]-beli homot piaosztly egy eleme. A felttel szerint ltezik egy olyan  : B ! B Zr folytonos lekpezs, melyre  s    homot pak. Legyen e 2 H 2(BSO(2) Z) = Z az a genertor, amelyre (s a  nyalb e() Euler-osztlyra) e() =  e = e" mivel H 2(B Zr Z) = Zr, azrt2re() = re

= re = 0 = 0, amibl felttel nk szerint az kvetkezik, hogy e() = 0, amint az bizonytand volt. A Zr tr, amely termszetesen csak homotopikus ekvivalencia erejig van meghat rozva, el ll a kvetkezkppen. A Zr csoport hat az 2m;1 = f ( 1 m) 2 C m : 2 2 m q q q m ) ltal, j 1j + + j m j = 1 g  C egysggmbn ( ( 1 m )) 7! ( 1 ahol a Zr egy rgz tett gener tora, pedig rgz tett primit v -edik egysggyk. Ez a hat s kiterjed a p ratlan dimenzi s gmbk indukt v limeszeknt standard m don el ll 1 CW-komplexusra a keletkez faktortr Zr. Ebbl az el ll t sb l egy CW-struktra is ad dik Zr-en, amelynek 4-(val j ban 3-)v za az = 3 Zr lencse-tr Ezrt 2( Z Z)  = 2( Z)  = 1( Z)  = 1( ) 1 ( ) 1( )]  = Zr Zr Zr]  = Zr. r 2 B S z ::: z a " S " z  : : : " z r B B H z  : : : z a  z  : : : z B H L L H L  L =  45 L  L S = =  5.28 ll ts Legyen f : M n ! N n;1 egy irny that zrt sokasg sima lekpezse s S ennek egy

1 index hajts-komponense. (1) Ha S irny that s H 2(S  Z)-ben nincsen 4-torzi elem, akkor  (S ) trivilis. (2) Ha S nem irny that s ! : S~ ! S az irny that ketts fedse, tovbb H 2(S~ Z) nem tartalmaz 4-torzit, akkor ! (S ) trivilis. Bizony ts. (1) esetben, mivel M s S irnythat ak, azrt  (S ) is az, emiatt s az 526 #llts miatt teht strukt racsoportja SO(2) (fO(1)  O(1)g o Z2) = Z4-re reduklhat . Az 527 Lemmt felhasznlva teht kszen vagyunk (2)-re trve, itt is elegend bebizonytani, hogy ! (S ) strukt racsoportja Z4-re reduklhat Mivel  (S ) totlis tere (M -be gyazhat lvn) irnythat , azrt ! (S )- is az s gy ! (S ) irnythat (mert S~ az). Msrszt, az 526 #llts most is alkalmazhat , teht  (S ), s gy ! (S ) strukt racsoportja is reduklhat fO(1)  O(1)g o Z2-re. Specilisan, n = 4 esetn a kvetkez ad dik. 5.29 K vetkezmny Legyen M 4 irny tott, f : M 4 ! N 3 sima lekpezs s S  M ennek egy 1 index hajts-komponense.

Ekkor az S  S ntmetszsi szm 0. Bizony ts. Ha S irnythat , akkor H 2(S  Z) = Z s az llts nyilvnval az 5.28 #lltsb l Ha S nem irnythat s ! : S~ ! S az irnythat ketts fedse, akkor (mivel S be van gyazva M -be) S  S = 21 S~  S~, ahol S~  S~ a 0-szels ntmetszsi szma ! (S )-ben (amelyet  (S ) irnytsnak visszah zsval irnytunk). Msfell, mivel H 2(S~ Z) = Z, ! (S ) trivilis s gy S~  S~ = 0. 5.210 Ttel Legyen M zrt 4-sokasg, melyre H(M  Z) = H(C P 2  Z) Ekkor nem ltezik f : M ! R3 hajts-lekpezs. Bizony ts. Tegy k fel, hogy mgis ltezik egy ilyen f lekpezs #lltsuk el S (f )-et S (f ) = Sd(f ) Si (f ) alakban, ahol Sd(f ) a denit (0 vagy 2 index), Si(f ) pedig az indenit (1 index) hajts-szingularitsok halmaza. Sd(f ) s Si(f ) M -be gyazott fel letek" vegy k szre, hogy Sd(f ) irnythat s gy egy Sd(f )] 2 H2(M  Z) elemet reprezentl, ugyanis az f Sd(f ) immerzi normlnyalbja az 5.25 Lemma szerint trivilis s R3

irnythat Mivel H4(M  Z) = Z, azrt M irnythat , rgzthetj k teht egy tetszleges irnytst. Az 529 Kvetkezmny alapjn Si(f )  Si(f ) = 0 Msrszrl, az 523 Ttel szerint S (f )  S (f ) ;(M ) (mod 4), teht ;(M ) 46 S (f )  S (f ) = Sd(f )  Sd(f ) + Si(f )  Si(f ) = Sd (f )  Sd(f ) (mod 4). Ha a a H 2(M  Z) = Z csoport egy genertora s Sd(f )] 2 H2(M  Z) Poincar-dulisa la (l 2 Z), akkor Sd(f )  Sd(f ) = hla la M ]i = l2ha a M ]i = l2(M ), amit az imnti kongruenciba helyettestve ;(M ) l2(M ) (mod 4), azaz ;1 l2 (mod 4) ad dik, ami ellentmonds. 5.3 Egyszer hajts-lekpezsek A 5.11 Sejtsnek mg egy fontos rszeredmnyt fogjuk bebizonytani A ttelben szerepelni fog az albbi fogalom. 5.31 Den ci Legyen f : M ! N sima lekpezs Az x 2 S (f ) pontot egyszer nek nevezz k, ha az f ;1 (ff (x)g) halmaz x-et tartalmaz sszef gg komponense S (f )-et csak x-ben metszi. Maga az f lekpezs egyszer , ha minden szingularitsa egyszer. Pldul, az 5.12

Pldban megkonstrult lekpezs egyszer Tovbb egyszer minden specilis generikus lekpezs, ugyanis egy ilyen f esetn brmely x szingularitsra az f ;1(ff (x)g)-nek x-et tartalmaz sszef gg komponense fxg. A kvetkez fogalom alapvet fontossg hajts-lekpezsek vizsglatnl. 5.32 Den ci Legyen f : M ! N sima lekpezs Vezess k be a kvetkez relci t (amely nyilvn ekvivalencia-relci ) M -en: x y, ha f (x) = f (y), tovbb x s y az f ;1(ff (x)g)-nek ugyanahhoz az sszef ggsgi komponenshez tartoznak. A Wf := M= topologikus teret M Stein-faktorizltjnak, a qf : M ! Wf faktor-lekpezst pedig az f -hez tartoz Stein-faktorizcinak nevezz k Az egyszer lekpezsek fontos tulajdonsga, hogy ilyeneknl a Steinfaktorizci megszortsa a szingulris halmazra begyazs. Brmely olyan f -re, melyre dim M = dim N , a qf (0(f ))  Wf halmaz egy p-dimenzi s sokasg. A szingulris pontok kpeinek krnyezetben azonban Wf ltalban nem rendelkezik sokasg-strukt rval, mg

egyszer lekpezsek, st, egyszer hajts-lekpezsek esetn sem. Ez ut bbi esetben azonban kielgt lerst kaphatunk Wf -rl (ld. &Le4]-et, illetve az 534 #lltst)" ehhez lesz sz ksg a kvetkez fogalomra. 5.33 Den ci Legyen f : M n ! N p stabil lekpezs, ahol n = p s x 2 10(f ). Ha J  N elegenden kicsiny sima, f (x)-et belsejben tartalmaz , Txf (TxM )-re transzverzlis grbedarab, akkor az f ;1(J ) halmaz x-et tartalmaz T komponense s brmely hasonl tulajdonsg J 0  J 47 vdarabhoz tartoz hasonl an denilt T 0 halmazok peremes sokasgok s di!eomorfak" T -t az x-hez tartoz transzverzlis sokasgnak nevezz k. p S Jellj k I -vel a 0 1] szakaszt, Y -nal pedig az 2j=0 f t(; 21 + 23 i)j : t 2 R g  C topologikus teret. 5.34 ll ts Legyen f : M n ! N p stabil lekpezs (n = p) s x 2 M egy egyszer hajts-szingularits. Jellje tovbb U  S (f ) az x egy elg kis krnyezett, U   M pedig S (f ) egy elg kis zrt csszer krnyezetnek  U feletti

rszt (azaz, a csszer krnyezetet a normlnyalb golynyalbjval azonos tva, az U inverz kpt a nyalb-projekcinl). Legyen vg l V = qf (U ). (1) Ha n ; p + 1 = 1, akkor (V qf (U )) = (U  I U  f 21 g). (2) Ha n ; p + 1 = 2, akkor (a) ha = 0 vagy 2, akkor (V qf (U )) = (U  I U  f0g). (b) ha = 1, akkor (V qf (U )) = (U  I U  f 12 g) vagy (V qf (U )) = (U  Y U  f0g). (3) Ha n ; p + 1 = 3, akkor (a) ha = 0 vagy n ; p + 1, akkor (V qf (U )) = (U  I U  f0g). (b) ha = 1 vagy n ; p, akkor (V qf (U )) = (U  I U  f 12 g) vagy (V qf (U )) = (U  Y U  f0g). (c) ha 2 5 5 n ; p ; 1, akkor (V qf (U )) = (U  I U  f 21 g). Bizony ts. Az #llts a szemi-euklideszi vektorterek ismert tulajdonsgaib l s egyszer megfontolsokb l kvetkezik Azt kell ugyanis megvizsglni, hogy a (d2f )x kvadratikus f ggvny 0-helyeinek halmaza hny sszef ggsgi komponensre bontja a x(U ) rtelmezsi tartomnyt, illetve, hogy az U  megfelel brumval trtnt azonosts utn ezek

kz l a rszek kz l melyek kthetek ssze egymssal qf egy alkalmas szinthalmazban (pl. az x-hez tartoz T transzverzlis sokasg egy peremkomponensben) halad ttal. Az #lltsnak az n ; p + 1 = 2, ezen bel l a denit esetekre vonatkoz rszei ezek utn trivilisak, hiszen ott a 0-halmaz egyelem, gy a felbonts 1 rszre trtnik. Ha n ; p + 1 = 1, azaz n = p, akkor elszr 2 komponens nk van, amelyek meg is maradnak" ebben az esetben ugyanis stabil lekpezsekre (Wf  qf ) = (M idM ). Ha n ; p + 1 = 2 s = 1, akkor a felbonts 4 rszre trtnik (ugyanis (d2f )x alkalmas bzisokban x21 ; x22 alak ), azt kell teht csak megmutatnunk, hogy ezek kz l legalbb 2 a mondott 48 m don sszekthet. Ebben az esetben T egy peremes fel let, amely x egy krnyezetben egy olyan krlappal di!eomorf, amelybl 4 szalag indul ki (az x = y, illetve x = ;y egyenlet egyenesek sszesen 4 irnynak megfelelen). Mivel x egyszer, azrt ezeknek a szalagoknak egymssal tallkozva kell egy

peremes fel letet alkotniuk. A J vdarab ellenkez vgpontjaiba kpzd pontok termszetesen nem lehetnek a peremben sszekthetek" ennek alapjn knny meggondolni, hogy lnyegben csak kt eset lehetsges: vagy a szemkztes szalag-prok tallkoznak, egy ttesen egy Mbius-szalagot alkotva, vagy pedig szomszdos szalag-prok, csavarods nlk l. Ezek pedig ppen a fenti kt esetnek felelnek meg. Vg l, ha n ; p + 1 = 3, akkor a kiindulsi komponensek szma a (b) esetben 3, a (c) esetben pedig 2 s az indenitsg miatt nem lehet mindegyik mindegyikkel sszekthet. Ezzel a bizonytst befejezt k. A Fejezetet s magt a szakdolgozatot az albbi gondolatmenettel zrjuk, amely j l illusztrlja a Stein-faktorizci hasznossgt. 5.35 Ttel Legyen M zrt, irny that s pratlan Euler-karakterisztikj 4-sokasg, N pedig irny that 3-sokasg Ekkor nem ltezik f : M ! N hajts-lekpezs. Bizony ts. Tegy k fel, hogy f mgis ilyen Legyen Si az f indenit (1 index), Sd pedig a denit (0

vagy 2 index) hajts-szingularitsainak a halmaza (fel lete). Legyenek Xi, illetve Xd ezeknek elg kis zrt csszer krnyezetei M -ben, tovbb Zi = qf (Xi ) s Zd = qf (Xd). Az 534 #llts szerint qf (Sd)  @Zd s Zd egy Sd feletti I -nyalb strukt rval rendelkezik. Az indenit esetben fennll kt lehetsg kz l most csak a msodik jhet szmtsba, ugyanis M irnythat sga miatt a transzverzlis sokasgok (fel letek) is irnythat ak (ugyanis egy S (f ) feletti loklisan trivilis brls brumai lvn, trivilis az M -beli normlnyalbjuk). Ezek szerint Zi egy Si feletti kanonikus Y -nyalb strukt rval rendelkezik. Vegy k szre, hogy a Wf n int Zi n int Zd hromdimenzi s peremes sokasg egy kobordizmus egy Si-t hromszorosan fed (nem felttlen l sszef gg) fel let, illetve Sd (pontosabban ezekkel di!eomorf fel letek) kztt. Az ellentmonds onnan fog szrmazni, hogy megmutatjuk: (Sd) pros, (Si) pedig pratlan, a kobordizmus teht egy pros s egy pratlan

Euler-karakterisztikj fel let kztt ll fenn. Az elbbi igen egyszer, hiszen f Sd egy immerzi ja Sd-nek N -be s mivel N irnythat , Sd -nek is annak kell lennie. Msrszt, a 411 Lemma szerint (M ) (A1(f )) + f (N ) (mod 2), ahol persze (N ) = 0, teht val ban 1 (M ) (S (f )) (Sd) + (Si) (Si) (mod 2). 49 Irodalomjegyzk &An] Y. Ando, On the higher Thom polynomials of Morin singularities, Publ. Res Inst Math Sci 23 (1987), 195-207 &AVG] V. I Arnold, A N Varcsenko s Sz M Guszejn-Zade, Aszobennosztyi dierencirujem h atabrazsenyij, Nauka, Moszkva, 1982. &Au] M. Audin, Quelques remarques sur les surfaces lagrangiennes de Givental, Journal of Geometry and Physics 7 (1990), 583-598 &B] T. Brcker, Dierentiable germs and catastrophes, ford L Lander, London Math. Soc Lect Note Ser 17, Cambridge Univ Press, 1975 &E] J. liaberg, On singularities of folding type, Math USSR Izv 4 (1970.), 1119-1134 &F] T. Fukuda, Topology of folds, cusps and Morin singularities,

A Fete of Topology (szerk. Y Matsumoto, T Mizutani s S Morita), Academic Press, 1987., 331-353 &Ga] T. Ga!ney, The Thom polynomials of 1111, Proc Sympos Pure Math., Amer Math Soc 40 (1983), 399-408 &GM] L. Guillou s A Marin, Une extension dune thor me de Rohlin sur la signature, C. R Acad Sci Paris 285 (1977), 95-98 &He] R. J Herbert, Multiple points of immersed manifolds, Mem Amer Math. Soc 34, no250, 1981 &HC] D. Hilbert s S Cohn-Vossen, Szemlletes geometria, ford Strommer Gy., Gondolat Knyvkiad Budapest, 1982 &Hi] M. W Hirsch, Immersions of manifolds, Trans Amer Math Soc 93 (1959.), 242-276 50 &La] L. Lander, The structure of the Thom-Boardman singularities of stable germs with type 20 , Proc. London Math Soc 33 (1976), 113-137 &Le1] H. Levine, Elimination of cusps, Topology 3 (suppl 2) (1965), 263296 &Le2] H. Levine, Mappings of manifolds into the plane, Am J of Math LXXXVIII no.2 (1966), 357-365 &Le3] H. Levine, Stable maps: an

introduction with low dimensional examples, Bol Soc Bras Mat 72 (1976), 145-184 &Le4] H. Levine, Classifying immersions into R4 over stable maps of 3manifolds into R2, Lecture Notes in Math vol 1157, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1985. &Li] B. H Li, Generalization of the Whitney-Mahowald theorem, Trans Amer. Math Soc 346 (1994), 511-521 &Ma] J. Mather, Stability of C 1 mappings : VI, The nice dimensions, Proceedings of Liverpool Singularities - Symposium I, Lecture Notes in Math. vol 192, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1971, 207-253. &Mill] K. C Millett, Generic smooth maps of surfaces, Topology Appl 18 (1984.), 197-215 &Miln] J. Milnor, Morse theory, Princeton Univ Press, Princeton, NJ, 1963 &MS] J. W Milnor s J Stashe!, Characteristic Classes, Annals of Mathematics Study 76, Princeton Univ Press, Princeton, NJ, 1974 &Mo] B. Morin, Formes canoniques des singularits dune application direntiable, C R Acad Sci Paris 260 (1965),

5662-5665, 6503-6506 &MT] R.E Mosher s M C Tangora, Cohomology operations and applications in homotopy theory, Harper & Row, New York-Evanston-London, 1968. &O] T. Ohmoto, A geometric approach to Thom polynomials for smooth stable mappings, J. London Math Soc 47 (1993), 157-166 &Pa] C. Pappas, Extensions of codimension one immersions, Trans Amer Math. Soc 348 (1996), 3065-3083 51 &Po] I. R Porteous, Simple singularities of maps, Proceedings of Liverpool Singularities - Symposium I, Lecture Notes in Math vol 192, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1971., 286-307 &Roh] V. A Rohlin, Proof of a conjecture of Gudkov, Functional Anal Appl 6 (1972.), 62-64 &Ron] F. Ronga, Le calcul des classes duales aux singularits de Boardman dordre deux, Comment. Math Helv 47 (1972), 15-35 &Sae1] O. Saeki, Notes on the topology of folds, J Math Soc Japan 44 (1992.), 551-566 &Sae2] O. Saeki, Studying the topology of Morin singularities from a global

viewpoint, Math. Proc Camb Phil Soc 117 (1995), 223-235 &SS] O. Saeki s K Sakuma, Stable maps between 4-manifolds and elimination of their singularities, preprint, 1995 &Sak] K. Sakuma, On special generic maps of simply connected 2n-manifolds into R3, Topology Appl. 50 (1993), 249-261 &Sz] Szcs. A, Note on double points of immersions, Manuscripta Math 76. (1992), 251-256 &T] R. Thom, Les singularits des applications direntiables, Ann Inst Fourier (Grenoble) 6 (1955-56.), 43-87 52