Matematika | Analízis » Vajda István - Numerikus sorozatok

Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Analízis előadások Vajda István 2006. augusztus 13 Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A numerikus sorozatok értelmezése Definíció: A Z+ R függvényeket numerikus sorozatnak nevezzük. (Tehát a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékei pedig valós számok.) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A numerikus sorozatok értelmezése Definíció: A Z+ R függvényeket numerikus sorozatnak nevezzük. (Tehát a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékei pedig valós számok.) 1 2 3 . n . a1 a2 a3 . an . Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk,

függvények Numerikus sorozatok A numerikus sorozatok értelmezése Definíció: A Z+ R függvényeket numerikus sorozatnak nevezzük. (Tehát a numerikus sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékei pedig valós számok.) 1 2 3 . n . a1 a2 a3 . an . Jelölések: • A sorozatok esetében a szokásos függvényjelölés helyett gyakran alkalmazzák az (an ) jelölést. • A sorozatok n-edik elemét (zárójel nélkül) an -nel jelöljük. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A numerikus sorozatok megadása • Képlettel Példa: an = n2 + 1,
n2 + 1 Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A numerikus sorozatok megadása • Képlettel Példa: an = n2 + 1, • Rekurzióval
n2 + 1 Példa: a1 = 2, an+1 = √ an + 1 (n ∈ Z+ ) Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok

Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A numerikus sorozatok megadása • Képlettel Példa: an = n2 + 1,
n2 + 1 • Rekurzióval Példa: a1 = 2, an+1 = • Utasítással Példa: Legyen an a √ √ an + 1 (n ∈ Z+ ) 2 szám n-edik tizedesjegye. Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Definíció: Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≤ K Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Definíció: Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≤ K Definíció: Az (an ) sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k ∈ R szám amelynél a

sorozatnak nincs kisebb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≥ k Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Definíció: Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan K ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≤ K Definíció: Az (an ) sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan k ∈ R szám amelynél a sorozatnak nincs kisebb eleme, azaz ∀n ∈ Z+ : an ≥ k Definíció: Az (an ) sorozat korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Korlátosság Példák: • Az an = 2n + 1 sorozat alulról korlátos Alsó korlátja pl. a 0, legnagyobb alsó korlátja (alsó határa) 3 Ez a sorozat felülről nem korlátos. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok

Korlátosság Példák: • Az an = 2n + 1 sorozat alulról korlátos Alsó korlátja pl. a 0, legnagyobb alsó korlátja (alsó határa) 3 Ez a sorozat felülről nem korlátos. 1 • Az an = sorozat alulról is és felülről is korlátos, tehát n korlátos is. Legnagyobb alsó korlátja (alsó határa) a 0, legkisebb felső korlátja (felső határa) 1. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat

monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 . Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 .

Példák: • Az an = 2n + 1 és a bn = n2 sorozatok szigorúan monoton növekedők. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 . Példák: • Az an = 2n + 1 és a bn = n2 sorozatok szigorúan monoton növekedők. 1 • Az an = sorozat szigorúan monoton csökkenő. n Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Monotonitás Definíció: Az (an ) sorozat monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≤ an+1 , szigorúan monoton növekedő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an < an+1 , monoton csökkenő, ha ∀n ∈ Z+ esetén an ≥ an+1 , szigorúan monoton csökkenő,

ha ∀n ∈ Z+ esetén an > an+1 . Példák: • Az an = 2n + 1 és a bn = n2 sorozatok szigorúan monoton növekedők. 1 • Az an = sorozat szigorúan monoton csökkenő.  n n+1 • Az an = sorozat (1, 1, 2, 2, 3, 3, . ) monoton 2 növekedő, de nem szigorúan monoton növekedő. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy ∀ε > 0 valós számhoz megadható olyan nε ∈ Z+ szám, hogy n > nε esetén |an − A| < ε. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy ∀ε > 0 valós számhoz megadható olyan nε ∈ Z+ szám, hogy n > nε esetén |an − A| < ε. Megjegyzés: A fenti definíció úgy is

fogalmazható, hogy az elemei tetszőlegesen kis pozitív számnál jobban megközelítik A-t, ha a sorozat elejéről elegendően sok (nε ) elemet elhagyunk. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy ∀ε > 0 valós számhoz megadható olyan nε ∈ Z+ szám, hogy n > nε esetén |an − A| < ε. Megjegyzés: A fenti definíció úgy is fogalmazható, hogy az elemei tetszőlegesen kis pozitív számnál jobban megközelítik A-t, ha a sorozat elejéről elegendően sok (nε ) elemet elhagyunk. A fenti definícióval ekvivalens a következő: Definíció: Az (an ) sorozat konvergens, ha létezik olyan A ∈ R szám, hogy A-nak bármely környezetébe a sorozatnak véges sok eleme kivételével minden eleme beletartozik. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk,

függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Megjegyzés: A fenti két definícióban szereplő A számot az (an ) sorozat határértékének nevezzük. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Megjegyzés: A fenti két definícióban szereplő A számot az (an ) sorozat határértékének nevezzük. Jelölések: • lim an = A, illetve n∞ • an A, ha n ∞ Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája Megjegyzés: A fenti két definícióban szereplő A számot az (an ) sorozat határértékének nevezzük. Jelölések: • lim an = A, illetve n∞ • an A, ha n ∞ Példák:   1 • Az sorozat konvergens, ugyanis n   1 megfelel a ha A = 0, akkor ∀ε > 0 valós számhoz nε = ε definíció feltételeinek: 1 = 0. Tehát lim n∞ n

Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Az alkalmas nε számhoz a gondolatmenet megfordításával juthatunk: Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok

konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Az alkalmas nε számhoz a gondolatmenet megfordításával juthatunk: n n 1 1 1 1 + 2ε <ε⇔ − − <ε⇔ <ε⇔ <n 2n − 1 2 2n − 1 2 2 (2n − 1) 4ε Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • Az  n 2n − 1  sorozat konvergens, ugyanis ha A = 12 , akkor ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε , amely megfelel a definíció feltételeinek: Az alkalmas nε számhoz a gondolatmenet megfordításával juthatunk: n n 1 1 1 1 + 2ε <ε⇔ − − <ε⇔ <ε⇔ <n 2n − 1 2 2n − 1 2 2 (2n − 1) 4ε   1 + 2ε Tehát nε = , 4ε lim n∞ n 1 = . 2n − 1 2 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus

sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Igaz, pl. A = 0 és ε = 1 10 esetén találnánk megfelelő nε -t. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Igaz, pl. A = 0 és ε = 1 10 esetén találnánk megfelelő nε -t. 1 (vagy még kisebb), akkor már nem Ha azonban pl. ε = 100 létezik a definíciónak megfelelő nε , bármi legyen is az A ∈ R szám. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok konvergenciája • A (−1)n  1 1 + 100 n  sorozat nem konvergens. Igaz, pl. A = 0 és ε = 1

10 esetén találnánk megfelelő nε -t. 1 (vagy még kisebb), akkor már nem Ha azonban pl. ε = 100 létezik a definíciónak megfelelő nε , bármi legyen is az A ∈ R szám. A sorozat két szomszédos elemének különbsége ugyanis mindig 2 nagyobb 100 -nál, ezért két szomszédos elem közül az egyik soha nincs benne az A szám ε-sugarú környezetében, ha 1 . ε ≤ 100 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A határérték egyértelműsége Tétel: Konvergens sorozat határértéke egyértelmű. Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A határérték egyértelműsége Tétel: Konvergens sorozat határértéke egyértelmű. Bizonyítás: (Indirekt!) Tegyük fel, hogy A ∈ R és B ∈ R mindegyike határértéke a sorozatnak. Ha ε-t kisebbnek választjuk mint |A−B| 2 , akkor A és B ε-sugarú környezeteinek nincs közös eleme.

Mivel A ε-sugarú környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van, B ε-sugarú környezetében is csak véges sok elem lehet. Ugyanakkor B ε-sugarú környezetén kívül is csak véges sok eleme lehet a sorozatnak, tehát a sorozatnak összességében is csak véges sok eleme lehet, ami ellentmondás. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények A konvergencia szükséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens, akkor korlátos is. Numerikus sorozatok Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens, akkor korlátos is. Bizonyítás: Jelölje a sorozat határértékét A és válasszunk egy ε > 0 számot. A H1 halmaz elemei legyenek azok a számok, amelyek az (an ) sorozatban előfordulnak és A ε-sugarú környezetében vannak. H1 korlátos, mert ∀ak ∈ H1 esetén A − ε

< ak < A + ε. Legyenek a H2 elemei azok a számok, amelyek az (an ) sorozatban előfordulnak, de nem elemei H1 -nek. H2 korlátos, mert csak véges sok eleme van. H1 ∪ H2 korlátos, mert két korlátos halmaz egyesítése, tehát (an ) is korlátos. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel: Konvergens

sorozat minden részsorozata is konvergens és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel: Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Bizonyítás: Ha az eredeti sorozat határértéke A, akkor A bármely környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van. Ez nyilván igaz bármelyik részsorozatára is. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Definíció: Ha egy sorozat elemeinek egy részét elhagyjuk

úgy, hogy az elemei közül végtelen sok megmarad és a megmaradó elemek egymás közötti sorrendje nem változik meg, akkor az eredeti sorozat egy részsorozatát kapjuk. Tétel: Konvergens sorozat minden részsorozata is konvergens és a részsorozat határértéke megegyezik az eredeti sorozat határértékével. Bizonyítás: Ha az eredeti sorozat határértéke A, akkor A bármely környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok eleme van. Ez nyilván igaz bármelyik részsorozatára is. Megjegyzés: Ha az (an ) sorozat egy részsorozata konvergens, akkor az (an ) sorozat sorozat lehet konvergens is és lehet divergens is. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Tétel: Ha az (an ) sorozat minden részsorozata konvergens, akkor (an ) is konvergens Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Részsorozatok Tétel: Ha az (an )

sorozat minden részsorozata konvergens, akkor (an ) is konvergens Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens, akkor véges sok elemet hozzávéve olyan sorozatot kapunk, amely ugyancsak konvergens és határértéke megegyezik (an ) határértékével. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Definíció: Az α ∈

R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezetében van a sorozatnak legalább egy eleme. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának három ekvivalens definíciója: Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha bármely környezetében van a sorozatnak legalább egy eleme. Definíció: Az α ∈ R számot az (an ) sorozat torlódási pontjának nevezzük, ha van (an )-nek α-hoz tartó részsorozata. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények

Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos, akkor van legalább egy torlódási pontja. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos, akkor van legalább egy torlódási pontja. Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos és csak egy torlódási pontja van, akkor konvergens. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Torlódási pont Tétel: Ha

az (an ) sorozat konvergens és lim = A, akkor A a sorozat egyetlen torlódási pontja. n∞ Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos, akkor van legalább egy torlódási pontja. Tétel: Ha az (an ) sorozat korlátos és csak egy torlódási pontja van, akkor konvergens. Bizonyítás: (Indirekt!) Tegyük fel, hogy a sorozat nem konvergens. Ekkor az α torlódási pontnak van olyan környezete, amelyen kívül a sorozatnak végtelen sok eleme van. A kimaradó elemek (an ) egy korlátos részsorozatát alkotják, amelynek van α-tól különböző torlódási pontja, ami ellentmondás. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények

Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás: Legyen pl. a sorozat monoton növekedő és korlátos, felső határát jelöljük L-lel. Tudjuk, hogy van a sorozatnak legalább egy torlódási pontja. Ha α > L, akkor α nem lehet torlódási pont. (Mert létezik olyan környezete, amelynek minden eleme nagyobb, mint L, tehát a sorozat egyetlen elemét sem tartalmazza.) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás: Legyen pl. a sorozat monoton növekedő és korlátos, felső határát

jelöljük L-lel. Tudjuk, hogy van a sorozatnak legalább egy torlódási pontja. Ha α > L, akkor α nem lehet torlódási pont. Ha β < L, akkor β nem lehet torlódási pont. (Mert van a sorozatnak olyan ak eleme, amely nagyobb β-nál (hiszen β nem felső korlát), de ekkor van β-nak olyan környezete, amely csak véges sok (legfeljebb k − 1) elemét tartalmazza a sorozatnak.) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia elégséges feltétele Tétel: Ha az (an ) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Ha monoton növekedő, akkor a felső határhoz, ha monoton csökkenő, akkor az alsó határhoz konvergál. Bizonyítás: Legyen pl. a sorozat monoton növekedő és korlátos, felső határát jelöljük L-lel. Tudjuk, hogy van a sorozatnak legalább egy torlódási pontja. Ha α > L, akkor α nem lehet torlódási pont. Ha β < L, akkor β nem lehet torlódási pont. Tehát (an

) egyetlen torlódási pontja L, ahonnan lim an = L. n∞ Monoton csökkenő és korlátos sorozat esetén hasonló a bizonyítás. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges és elégséges feltétele Tétel: Cauchy-féle konvergenciakritérium: Az (an ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre teljesül, hogy n, m > nε esetén |an − am | < ε. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges és elégséges feltétele Tétel: Cauchy-féle konvergenciakritérium: Az (an ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre teljesül, hogy n, m > nε esetén |an − am | < ε. Bizonyítás: ⇒ Ha (an ) konvergens, akkor ∀ε > 0-hoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre |ak − A| < 2ε , ha k > nε .

(A jelöli a sorozat határértékét) |an − am | ≤ |an − A| + |A − am | = = |an − A| + |am − A| < ε ε + =ε 2 2 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok A konvergencia szükséges és elégséges feltétele Tétel: Cauchy-féle konvergenciakritérium: Az (an ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ε > 0 valós számhoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre teljesül, hogy n, m > nε esetén |an − am | < ε. Bizonyításvázlat: ⇐ A feltétel alapján belátható, hogy a sorozat korlátos. Az (an ) sorozatnak van konvergens részsorozata. A konvergens részsorozat határértéke határértéke (an )-nek is. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példák: • Ha ∀n ∈ Z+ esetén an = a, ahol a ∈ R, azaz (an ) konstans sorozat, akkor konvergens és lim an = a. n∞ Halmazok Valós számok

Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példák: • Ha ∀n ∈ Z+ esetén an = a, ahol a ∈ R, azaz (an ) konstans sorozat, akkor konvergens és lim an = a. n∞ 1 1 • Az an = sorozat konvergens és lim = 0. n∞ n n Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példák: • Ha ∀n ∈ Z+ esetén an = a, ahol a ∈ R, azaz (an ) konstans sorozat, akkor konvergens és lim an = a. n∞ 1 1 • Az an = sorozat konvergens és lim = 0. n∞ n n 1 1 • Az an = (−1)n sorozat konvergens és lim (−1)n = 0. n∞ n n Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példa: Az an = q n sorozat konvergens és határértéke 0, ha |q| < 1, konvergens és határértéke 1, ha q = 1, minden más esetben divergens. Halmazok Valós számok

Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példa: Az an = q n sorozat konvergens és határértéke 0, ha |q| < 1, konvergens és határértéke 1, ha q = 1, minden más esetben divergens. Bizonyítás: A q = 1 eset nyilvánvaló. Ha |q| < 1, akkor |q n − 0| = |q|n < ε ⇔ 1 q n 1 > . ε Ez az Archimedesi-axióma szerint teljesül elég nagy n esetén, mert 1 q n = (1 + a)n ≥ 1 + na, ahol a > 0. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Sorozatok konvergenciája Példa: Az an = q n sorozat konvergens és határértéke 0, ha |q| < 1, konvergens és határértéke 1, ha q = 1, minden más esetben divergens. Ha q = −1, akkor (q n ) divergens, hiszen két torlódási pontja van. Ha |q| > 1, akkor |an | = |q|n = (1 + b)n ≥ 1 + nb (ahol b > 0) nem korlátos, ekkor azonban an sem korlátos, tehát nem konvergens. Halmazok

Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és határértéke A, akkor ∀c ∈ R esetén a (can ) sorozat is konvergens és határértéke cA. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és határértéke A, akkor ∀c ∈ R esetén a (can ) sorozat is konvergens és határértéke cA. Bizonyítás: A határérték definíciója szerint, ∀ε > 0-hoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre ε n > nε esetén |an − A| < . c Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) sorozat konvergens és határértéke A, akkor ∀c ∈ R esetén a (can ) sorozat is konvergens és határértéke cA. Bizonyítás: A határérték definíciója

szerint, ∀ε > 0-hoz ∃nε ∈ Z+ , amelyre ε n > nε esetén |an − A| < . c De ekkor n > nε esetén |can − cA| = c |an − A| < c · ami az állítást igazolja. ε = ε, c Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an + bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A + B. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an + bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A + B. Bizonyítás: A határérték definíciója szerint, ∀ε > 0-hoz ∃n1 ∈ Z+ , amelyre n > n1 esetén |an − A| < 2ε és ∃n2 ∈ Z+ , amelyre n > n2 esetén |bn − B| < 2ε . Legyen

nε = max (n1 , n2 ) Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an + bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A + B. Bizonyítás: A határérték definíciója szerint, ∀ε > 0-hoz ∃n1 ∈ Z+ , amelyre n > n1 esetén |an − A| < 2ε és ∃n2 ∈ Z+ , amelyre n > n2 esetén |bn − B| < 2ε . Legyen nε = max (n1 , n2 ) Ekkor n > nε esetén |an + bn − (A + B)| ≤ |an − A| + |bn − B| < ami az állítást igazolja. ε ε + = ε, 2 2 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an − bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A − B. Halmazok Valós

számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an − bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A − B. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an bn ) sorozat is konvergens és határértéke n∞ AB. Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Műveletek és határérték Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an − bn ) sorozat is konvergens és n∞ határértéke A − B. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞ lim bn = B, akkor az (an bn ) sorozat is konvergens és határértéke n∞ AB. Tétel: Ha az (an ) és (bn ) sorozatok konvergensek, lim an = A és n∞   an lim bn = B 6= 0, akkor

az sorozat is konvergens és n∞ bn A határértéke . B Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim lim n∞ 2− 3+ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 = Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim lim n∞ 2− 3+ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 = 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim lim n∞

2− 3+ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 = 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim lim n∞ lim 2− 3+ n∞ 3 n 1 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim lim n∞ lim 2− 3+ n∞ 3 n 1 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = lim n∞ 0−0+0 =0 1−0+0 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1

= n∞ 3n2 + 4n − 6 lim n∞ 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim 6n3 − 2n + 3 = n∞ −4n2 + 2n + 9 lim lim lim 2− 3+ n∞ 3 n 1 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = lim n∞ 0−0+0 =0 1−0+0 Halmazok Valós számok Nevezetes egyenlőtlenségek Relációk, függvények Numerikus sorozatok Polinomok hányadosának határértéke 2n2 − n + 1 = n∞ 3n2 + 4n − 6 lim n∞ 3n2 − 6n + 1 = n∞ n3 − n2 + 8 lim 6n3 − 2n + 3 = n∞ −4n2 + 2n + 9 lim lim lim 2− 3+ 3 n n∞ lim 1 n∞ 1 n 4 n + − 1 n2 6 n2 6 + n13 n2 − n1 + n83 − 2 n + n2 6n − −4 3 2−0+0 = n∞ 3 + 0 − 0 2 lim = = 3 n2 + n92 + lim n∞ = −∞ 0−0+0 =0 1−0+0