Fizika | Lézerek » Fábry-Perot rezonátor és etalon

A rezonátor leírása sugár-optikával A sugarak terjedésének egyszerű geometriai leírása alkalmas a rezonátorok bizonyos tulajdonságainak meghatározására. A sugarakon alapuló fizikai modell, más néven a geometriai optika a fény terjedését egyenes vonalak mentén terjedő fénysugarakként képzeli el, amelyek a fizikai optikában használatos hullámfelületre merőlegesek. A sugáranalízis a fény terjedésének korlátozott leírására alkalmas, igen jól és egyszerűen leírható a fény terjedése optikai elemeken keresztül, képalkotás, fókuszálás jól számolható, ugyanakkor a fény intenzitása, az elektromágneses tér erőssége e módszerrel nem követhető. A geometriai optikában a legtöbbször a paraxiális közelítést alkalmazzuk, amelyben a sugarak az analizálni kívánt elemek optikai tengelyével nem zárnak be nagy szöget, azaz a szög tangense és szinusza a szög értékével közelíthető, radiánban: tan(θ ) ≅ sin(θ ) ≅ θ

Ez a feltétel érzésünk szerint jól teljesül rezonátorokban, amelyek transzverzális mérete a longitudinális méreteknél általában jóval kisebb. Az optikai tengelyhez konvencionálisan a z koordinátatengelyt rendeljük, a rá merőleges síkban az x és y tetszőleges, mi a következő analízisben az x-z síkra szorítkozunk. Ez az általánosságból nem von le semmit, a számítások igazak olyan sugarakra is, amelyek a z tengellyel nem alkotnak síkot (kitérő sugarak). E sugarakra a számolást külön-külön kell elvégezni az x-z és y-z síkra eső vetületekre. x2 x1 x2’ x1’ z A sugár haladása az optikai rendszeren keresztül Az x koordináta z irányú deriváltja a sugár z tengellyel alkotott szöge: dx tan(θ ) ≅ θ = = x , dz ahogy a nyaláb terjed az optikai rendszeren keresztül a z koordináta függvényében megváltozik mind x mind x’. Egy adott optikai rendszeren való áthaladáskor például a nyaláb az (x1,x1’) értékpár által

leírt pontból az (x2,x2’) pontba kerül. Egy d hosszúságú szabad térrészen áthaladva például a nyaláb szöge nem változik, csak a tengelytől mért távolsága (ábra): x2 = 1 ⋅ x1 + d ⋅ x1 x2 = 0 ⋅ x1 + 1 ⋅ x1 Mátrix alakban felírva a két egyenletet:  x2   1 d   x1    =   ⋅    x2   0 1   x1  x  A fenti értelmezése: az  1  vektorral jellemzett sugárra az optikai elem terjedési mátrixa  x1  hat. A sugár minden pontban leírható a fenti két elemű vektorral Egy f fókusztávolságú, vékony lencsén való áthaladásra például: x2 = 1 ⋅ x1 + 0 ⋅ x1 1 x2 = − ⋅ x1 + 1 ⋅ x1 . f 1 A lencse két oldalán, miután az vékony (z irányú mérete elhanyagolható) a sugár ugyanolyan távolságra van a z tengelytől, míg tengellyel bezárt szöge töréseknek megfelelően megváltozik. A lencse terjedési mátrixa tehát: 0  1  1

 1 . −  f  Két egymás után következő optikai elem hatása a terjedési mátrixok szorzásával fejezhető ki. Például egy d hosszúságú szabad térrész és egy utána következő lencse együttes hatása a következőképpen írható: d  x   x2   11 0   1 d   x1   11 d ⋅ 1  .   = −  ⋅   = − ⋅  1 1 −       0 1   x1   x2   f f   x1     f A nyaláb először áthalad a szabad térrészen, utána a lencsén, először szorzunk tehát a térrész mátrixával, utána a lencse mátrixával. Tetszőleges számú optikai elemre elvégezhető a számolás, nagymértékben egyszerűsítve a terjedés leírását komplex optikai rendszerekben. x  Általánosan a módszert ABCD mátrix módszernek is nevezik. Ha az  1  pontban a  x1  x  törésmutató megegyezik az  2 

-vel jellemzett pontban érvényes törésmutatóval, a köztük  x2  A B  mátrixának determinánsa 1. levő optikai rendszer  C D   A geometriai sugárkövetést alkalmazhatjuk rezonátorainkra is: fel kell írni a tükrök, a köztük levő szabad tér és az esetleges egyéb, a rezonátorban levő optikai elem mátrixát, és összeszorozni. Az elsődleges tulajdonság, amit ezzel a módszerrel meghatározhatunk, a rezonátor stabilitása. Ha a sugár több ide-oda verődés után elhagyja a rezonátort, instabil rezonátorról, ha bármeddig a rezonátorban marad, stabil rezonátorról beszélünk. Az utóbbi feltétele, hogy a  x sugár periodikusan felvegye ugyanazon   koordinátákat, a periódus nagysága indifferens.  x  A stabilitás igen fontos a lézer-rezonátorok szempontjából. Nagy erősítésű lézerekben elegendő lehet néhány ide-oda verődés, hogy telítésbe vigye az erősítő közeget, ezért ilyen

esetben instabil rezonátor is alkalmazható. Kis erősítés esetén stabil rezonátorra van szükség, amelyben a sugár bent marad. A legegyszerűbb rezonátor mátrixának felírásához szükségünk van a két tükör és a szabad tér mátrixára. A tükör, a lencséhez hasonlóan csak a nyaláb szögét változtatja meg, az x koordinátát nem. A tükör fókusztávolsága f a b-vel jelölt sugarának fele A tükör ilyen szempontból lencseként viselkedik, és a sugár útja a rezonátoron keresztül úgy tekinthető, mintha a két tükörnek megfelelő lencsék sorozatán keresztül haladna. 2 Lencse hullámvezető modellje Ez egy un. lencse-hullámvezetőt alkot, amelyben egy egység, egy cella egy teljes rezonátorkörüljárás: a két tükrön (lencsén) + a szabad tér kétszeresén való áthaladás Egy körüljárásra tehát a mátrix: 1 0 1 d  1 0 1 0 1 d  1 0  A B   1 d  1   1  1 d  2   2 

     =   −   −  −   − =  1 1 1 1         0 1 0 1 b 0 1 b  C D   0 1  f 2   f1    2   1  A b1,b2 sugarak és így a fókusztávolságok pozitívak, ha konvex tükörről és negatívak, ha konkáv tükörről van szó. A teljes körüljárás mátrixa:   2d 2d 2   1− 2d − b2 b2 A B     =  .       2 2 2 d 2 d 2 d 2 d C D    − − 1 −  1 − 1 −  −   b b  b b b b1  2  1  1  2    1 Az egymás után következő cellákra felírható egy rekurzív egyenlet, s a cella sorszáma: 1 xs +1 = A ⋅ xs + B ⋅ xs , átírva xs = ⋅ ( xs +1 − A ⋅ xs ) . B A következő cellára a második egynletet megtartva: 1 xs +1 = ⋅ ( xs + 2 − A ⋅ xs +1 ) = Cxs + Dxs . B Az előzőből

behelyettesítve az xs’-t: 1 1  ⋅ ( xs + 2 − A ⋅ xs +1 ) = Cxs + D ⋅ ( xs +1 − A ⋅ xs )  . B B  Felhasználva, hogy a determináns 1, és átrendezve, egy másodfokú rekurzív egyenletet kapunk: x s + 2 − ( A + D ) ⋅ x s +1 + x s = 0 . A stabil rezonátorban a sugár előbb-utóbb újra áthalad ugyanazon a ponton, tehát felveszi ugyanazt az xs koordinátát. Instabil rezonátorban az xs folyamatosan nő, amíg a sugár ki nem lép a rezonátorból. 3 Stabil rezonátorban bent marad a sugár Az instabil rezonátorból előbb-utóbb minden nyaláb kilép Az első esetben az xs egy szinuszos (periodikus) függvény, a második esetben exponenciálissal közelíthető. Ezért keressük a differenciaegyenlet megoldását exponenciális alakban: xs = x0e jsγ , ahol x0 egy kezdeti, induló koordináta, és γ a rezonátorra jellemző geometriai konstans. Visszahelyettesítve az egyenletbe : x0 e jsγ ⋅ e j 2γ − ( A + D)e jγ + 1 = 0 A

triviális megoldás lenne x0 = 0, de az általános megoldás esetén x0<>0, így a . A FP rezonátor megvilágításának különböző módjai a. síkhullámmal, b divergens fénnyel 3. ábra 4 A gyűrűk kontrasztját a maximális és minimális transzmisszió aránya határozza meg. Nagy reflexiójú tükrökkel érhető el a legnagyobb kontraszt. Ha adott szög alatt több hullámhosszon világítjuk át a rezonátort egy vonalas spektrumot kapunk, ahol a maximálisan átengedett hullámhosszon maximumok, köztük pedig spektrális minimumok figyelhetők meg. A 3 ábrán láthatók ilyen spektrumok, különböző reflexiójú tükrökből alkotott FP interferométerre. A maximum-hullámhosszakat a fázisfeltételből számolhatjuk: 4π ⋅ nλ ⋅ν ⋅ d = q ⋅ 2π , merőleges beesésre, ahol nλ az adott hullámhosszon érvényes c törésmutató, és q egész szám. Ebből a maximufrekvenciák: q⋅c νq = , 2 nλ d A maximumok közötti távolság a szabad

spektrális távolság, egy igen fontos paramétere a rezonátornak, amely a tükrök közötti távolsággal szabályozható: c ∆ν = . 2nd Fontos paraméter még a spektrális csúcsok félértékszélessége, ∆ν1/2 amelyet gyakran a felbontás terminológiával jelölnek: 2π ⋅ ∆ν 1 / 2 = 2(ω + − ω q ), ahol ω+ jelöli a körfrekvenciát, ahol a transzmisszió éppen a maximális fele a q-dik csúcstól jobbra, míg ωq a q-dik maximum-körfrekvencia. Levezetés után a félértékszélesség, veszteségmentes esetben: ∆ν 1 / 2 = c ⋅ 1 − R1 R2 2ndπ ⋅ 4 R1 R2 Az FP rezonátorokra jellemző paraméter az un. Finesse, amely a szabad spektrális távolság és a maximum-félértékszélesség aránya: ∆ν ℑ= ∆ν 1 / 2 A reflexiókkal kifejezve: π ⋅ 4 R1 R2 ℑ= 1 − R1 R2 A finesse egy nagyon jó mérőszám az eszköz hullámhossz-felbontóképességére (lézer esetében a rezonátor finesse a lézersugár monokromatikusságát határozza meg),

amely csak a tükrök reflexiójától függ. Az abszorpciós optikai veszteségeket is figyelembe véve a Finesse bonyolultabb alakban fejezhető ki: ℑα = π⋅ R1 R2 ⋅ e −α 2 d , ahol az α paraméterben egyesítettük a tükrök abszorpciójából, a 1 − R1 R2 ⋅ e −α 2 d diffrakcióból, szóródásból származó optikai veszteségeket. Látható, hogy a veszteségek jelentősen csökkentik a finesse-t és gyakorlatilag a tükörgyártás fejlesztése a finesse növelését igyekszik elérni a tükröző rétegek javításán és a veszteségek csökkentésén keresztül. A mai elérhető Finesse-k a 100.000-500000 nagyságrendbe esnek Az optikai veszteségeket egy más paraméterrel, a rezonátor élettartamával is kifejezhetjük. Egy körüljárás esetén a tükrök reflexiójából és az egyéb veszteségekből származó relatív 5 intenzitáscsökkenés R1 R2 e −α 2 d . Ha feltételezzük, hogy egy kezdeti pillanatba a rezonátorba I0 intenzitást

injektáltunk, az minden körüljárás után ennyiszeresére csökken. Felfoghatjuk ezt mint időben elosztva bekövetkező, folyamatos veszteséget, amelyet egy exponenciális formában fejezhetünk ki:  t  I 0 ⋅ R1 R2 e −α 2 d = I 0 exp − RT  , ahol tRT a körüljárási idő, és τc a csökkenés időállandója, azaz  τc  a rezonátor-élettartama. A körüljárási idő adott hullámhosszon 2nd/c. Ezekből az időállandóra kapjuk: 1 c = ⋅ (2αd − ln (R1 R2 )) . τ c 2nd Ideális, veszteségmentes rezonátorban is értelmezhetjük a rezonátor élettartamát, ilyenkor a fény a tükrökön való véges reflexió miatt csökken: − 2nd 2nd τc = ≅ , ahol nagy reflexiók esetén érvényes c ⋅ ln (1 − (1 − R1 R2 )) c ⋅ (1 − R1 R2 ) az ln(1 − x) ≈ x formula x<<1 értékekre. További közelítésekkel, nagy reflexiójú tükrök esetén belátható, hogy 1 ≅ 2π ⋅ ∆ν 1 / 2 . τc Így a rezonátor-élettartam és a

félértékszélesség a veszteségeket fejezi ki más-más módon. De ez az egyenlőség, csak igen kis veszteségek esetén igaz, mert az élettartam számításakor a veszteségeket a rezonátor hosszára elosztva számoltuk, míg a félértéknél a veszteségek lokalizálva a tükrökön jelentkeztek, és egyáltalán nem számoltunk a közeg abszorpciójával. 6