Villamosságtan | Felsőoktatás » Dr. Lakatos Béla - Rendszerek tervezése és irányítása

Rendszerek tervezése és irányítása (System Design and Control) dr. Lakatos Béla Veszprémi Egyetem, Folyamatmérnöki Tanszék Tartalomjegyzék Bevezetés 1. A rendszerek anatómiája 1.1 A rendszerek általános tulajdonságai 1.2 Műszaki, gazdasági és műszaki-gazdasági rendszerek 1.3 Dinamikus rendszerek 2. A dinamikus rendszerek elemzése 2.1 Rendszerelemzési metódusok és tartományok 2.2 A struktúra leírása 2.3 A rendszerek bizonytalansági elemei 2.4 A nemreguláris viselkedésről 2.5 Kvalitatív rendszerdinamika 3. A rendszertervezés természete és metodológiája 3.1 A rendszertervezés fogalma és típusai 3.2 Rendszertervezési módszerek 3.3 A tervezés modelljei 3.4 A tervezés szerkezete és fázisai 4. Heurisztikus rendszertervezési eljárások 4.1 A heurisztikus tervezés döntési szintjeinek hierarchiája 4.2 A összetett rendszerek kétszintű leírása 4.3 A hálózatok analízise 5. Rendszertervezés algoritmikus módszerekkel 5.1 A szintézis

feladata 5.2 Az optimalitás fogalma és elemei 5.3 A célfüggvények természete 5.4 Rendszertervezés parametrikus optimálással 5.41 Tervezés nemlineáris programozással 5.42 Tervezés lineáris programozással 5.5 Rendszertervezés topológikus optimálással 5.6 Többszintű rendszerek tervezése 6. Többszempontú tervezés 6.1 A feladat megfogalmazása 6.2 Megoldási lehetőségek 7. Rugalmas struktúrájú rendszerek tervezése 7.1 A rugalmas struktúrájú rendszerek tulajdonságai 7.2 A feladatok ütemezése 8. Diszkrét eseményű rendszerek 8.1 a diszkrét eseményű rendszerek fogalma 8.2 Sorbanállási rendszerek 1 9. A rendszerek megbízhatósága 9.1 A megbízhatóság fogalma 9.2 A rendszerek megbízhatóságának típusai . 10. Rendszerek irányítása 10.1 A rendszerirányítás feladata és típusai 10.2 Irányítási koncepciók és irányítási struktúrák 11. Szabályozási algoritmusok 11.1 Két- és háromállású szabályozás 11.2 PID

szabályozók 11.3 Összetett szabályozások 12. A szabályozási rendszerek analízise 120.1 Analízis az idő-, frekvencia és Laplace-tartományban 12.2 Stabilitási vizsgálatok 12.3 A diszkrét idejű rendszerek analízise 13. Szabályozási rendszerek tervezése 13.1 A szabályozott és beavatkozó jellemzők kiválasztása 13.2 Tervezési kritériumok 13.3 Szabályozók hangolása 14. Modell-bázisú szabályozási algoritmusok 14.1 Modell-hiba visszacsatolás 14.2 Holtidő kompenzáció 14.3 Közvetett mérésen alapuló szabályozás 14.4 Modell-prediktív szabályozók 14.5 Statisztikus folyamatszabályozás 15. Adaptív és tanuló szabályozás 15.1 Rendszeridentifikáció és módszerei 15.2 Adaptív szabályozási rendszerek 15.3 Tanuló és szakértői szabályozás Irodalomjegyzék Mellékletek 2 Bevezetés A rendszerproblematika - rendszerkutatás, rendszerelmélet, rendszertechnika - a tudományos és gyakorlati élet fontos, rendkívül széles körben

elterjedt területe. Kialakulása és viharos fejlődése ⇒ az 1940-es és 1950-es évtizedek fordulójától Kibernetika (Wiener (1947): Cybernetics) általános rendszerelmélet matematikai rendszerelmélet alkalmazások az élet szinte minden területén Ackoff: a modern emberi gondolkodás korszakai az 1940-es évekig • gép-korszak redukcionizmus (mindent alkotóelemeire lehet redukálni és így megérteni) mechanikus megközelítés (minden jelenség megmagyarázható a h atás-effektus (okokozat) sémával) az 1940-es évektől • rendszer-korszak expanzionizmus (minden objektum és esemény valamely nagyobb egésznek a része) rendszer-megközelítés (a részek összege ritkán azonos az egésszel) 1. A rendszerek anatómiája 1.1A rendszerek általános tulajdonságai A rendszer • fogalma ⇒ elemek és relációk, viszonyok; összefüggések és integrációjuk; elkülönült totalitás önmagában való a megismerés tárgya létezésének van valamilyen

célja a megismerés és/vagy a tervezés tárgya • morfológiai osztályozása (nem teljes) Megjelenési forma: konkrét Keletkezési mód: természetes Környezethez való viszony: zárt Időbeli viszony: statikus Meghatározottsága: determinisztikus Struktúrája: merev Elemek számossága: kevés Relációk: egyszerű ⇒ nagyrendszerek absztrakt mesterséges nyitott dinamikus indeterminisztikus rugalmas sok nagyon sok komplex nagyon komplex • leírása és tárgyalása • heurisztikus leírás (metaelmélet) (Bertalanffy, Boulding, Ackoff) 1) a rendszer és környezete (kényszerítő feltételek) 2) a rendszer célja (teljesítményének mértéke) 3) erőforrások, segédeszközök (termelési tényezők) 4) a rendszer komponensei (elemek és funkcióik, belső kapcsolatok) 5) a rendszer vezetése 3 sen) ⇒ két alapvető funkció: a) tervezés b) irányítás • axiomatikus leírás (matematikai elmélet) (Zadeh, Kalman, Mesarovic, Findei1) matematikai fogalmak,

szimbólumok, definíciók 2) matematikai relációk 3) axiómák A rendszertervezésben és rendszerirányításban elsősorban a matematikai rendszerelmélet elemeit kell használnunk a matematikai modellezés és a számítógépes szimuláció eszközeit alkalmazva Környezet Zavarok Rendszer Bemenet Kimenet Struktúra Állapot Paraméterek 1. ábra Rendszer és környezete Az egyes rendszerek modellezése és a m odellezés alkalmazhatósága függ a r endszerek milyenségétől és összetettségétől Gazdasági rendszerek Biológiai rendszerek Kémiai rendszerek Társadalmi rendszerek Pszichológiai rendszerek Spekuláció Fekete doboz Predikció Analízis Irányítás Mechanikus rendszerek Tervezés Villamos rendszerek Fehér doboz 2. ábra A rendszerek modellezésének alkalmazási spektruma 4 1.2 Műszaki, gazdasági és műszaki-gazdasági rendszerek A valós rendszerek egy nagy és fontos csoportját az un. műszaki-gazdasági rendszerek alkotják

a mérnöki és műszaki menedzseri munka alapobjektumai Műszaki-gazdasági rendszer Bonyolult, nagyon sok elemből és kapcsolatból (relációból) álló, heterogén összetételű ember-gép szervezet, amelynek célja termékek és/vagy szolgáltatások előállítása. Alaptulajdonságai: • különböző természetű alrendszerekből áll, és • műszaki alrendszerei dinamikus rendszerek A rendszertechnika vizsgálati szempontjából műszaki, gazdasági és információs alrendszerekre - 3.ábra -, illetve irányítási és irányított alrendszerekre osztjuk fel - 4 ábra Környezet Zavarok Kimenet Bemenet Termékek Anyag,energia Információ Munkaerő Rendszer Műszaki alrendszer Gazdasági alrendszer Információs alrendszer Értékek Melléktermékek 3. ábra Egy műszaki-gazdasági rendszer szerkezete Környezet Zavarok Kimenet Bemenet Anyag, energia Információ Munkaerő Termékek Rendszer Irányítási alrendszer Értékek Irányított alrendszer

Melléktermékek 4. ábra Műszaki-gazdasági rendszer felosztása irányítási szempontból 5 A műszaki rendszerek villamos, mechanikus, kémiai és – újabban - biológiai r rendszerelemekből állnak, amelyekben anyag- és energia• előállítás • átvitel • tárolás • fogyasztás és • (át)alakítás, feldolgozás műszaki jelleg megy végbe • értéktermelés • árutermelés • szolgáltatástermelés gazdasági jelleg céljából • információelőállítás • információfelhasználás információs jelleg segítségével (⇒ hasonló a megfogalmazás az információs rendszerekre is) Az előállítás (forrás): valójában mindig valamilyen anyag- és/vagy energiafajtának egy másik anyag- és/vagy energiafajtába történő konverziója • természetes (természeti) • mesterséges forrásokból (anyag- és energimegmaradás elve) ⇒ A gazdasági jelleg az • értéktermelés • árutermelés és • szolgáltatástermelés funkciókból

ered. A műszaki rendszerek matematikai modellezésében az un. teljesítmény-reprezentáció és néhány alapelem alkalmazásával “elég” egységes leírás érhető el Teljesítmény-reprezentáció az (e,f) hajtóerő-áram párossal e – hajtóerő (effort) f – áram (flow) Teljesítmény: P (t ) = e(t ) f (t ) e(t) f(t) 5. ábra Rendszerelem hajtóerővel és árammal reprezentálva A P teljesítménnyel jellemzett rendszerelem energiafogyasztása vagy energiatermelése: t E (t ) = ∫ e(τ ) f (τ )dτ 0 Energia-reprezentáció: általánosított impulzus- és általánosított elmozdulás (p,q) 6 Statikus energia-tároló elem: K SE Elektromos kapacitás: C de = f dt du C = iC dt , Rugó: 1 dFsp = v sp k dt dp =q dt (Fluidum összenyomhatósága, rugós elem, rugalmas falú vezeték és tároló) Dinamikus energia-tároló elem: df K DE =e dt dv di Elektromos induktivitás: L L = u L Mechanikai tömeg: m m = Fm dt dt , dq Hidraulikus és pneumatikus

induktivitás: Lh =p dt Disszipatív (ellenállás) elem: KD f = e Elektromos ellenállás: Ri R = u R , Surlódó ellenállás: bv fr = f fr Hidraulikus és pneumatikus kapacitás: C h Hidraulikus és pneumatikus ellenállás: Rh q k = p Transzformátor: e1 = K TR e2 f 2 = K TR f1 Elektromos transzformátor: u 2 = Mu1 , i1 = Mi2 i1 M i2 u1 u2 6. ábra Elektromos transzformátor Mechanikus transzformátor: τ 2 = r2 r τ 1 , ω1 = 2 ω 2 r1 r1 τ1,ω1 r1 τ2,ω2 r2 7. ábra Mechanikus transzformátor Hidraulikus és pneumatikus transzformátor: F1 = Ap 2 , q 2 = Av1 7 F1,v1 p2,q2 8. ábra Hidraulikus transzformátor Zsirátor: e1 = K G f 2 Egyenáramú motor: τ 2 = ψi1 , u1 = ψω 2 e2 = K G f1 i1 u1 DC motor τ2,ω2 9. ábra Egyenáramú motor Táblázat. Az különböző típosú rendszerek teljesítmény és energia-változói Rendszer-típus Villamos Transzlációs Rotációs Hajtóerő – e Feszültség - u Erő – F Nyomaték - T Hidraulikus,

pneumatikus Kémiai Nyomás - p Termodinamikai Kémiai potenciál - µ Hőmérséklet – T Áram - f Áram - i Sebesség - v Szögsebesség -ω Térfogatáram - q Moláris áram - ν Entrópiaáram - s Impulzus - p Fluxus - Φ Impulzus - I Forgatónyomaték - N Nyomásimpulzus - Γ Elmozdulás - q Töltés - q Elmozdulás - x Szögelmozdulás - φ Térfogat - V Mólszám - n Entrópia - S Gazdasági rendszerek matematikai modellezése: • termékválaszték meghatározása • technológia megválasztása • termelési feladatok szétosztása • készletezési feladatok • tevékenységek tervezése • egyszektoros modellek • többszektoros modellek 8 1.3 Dinamikus rendszerek Dinamikus rendszer változók és a közöttük lévő relációk olyan együttese, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: Változók u - bemeneti változók; u∈B u , ahol B u a bemeneti változók tere x - állapot-változók; x∈B x , ahol B x az állapot-változók tere z -

zavaró változók; z∈B z , ahol B z a zavaró változók tere p - paraméter változók (vagy állandók); p∈B p , ahol B p a paraméter-változók (állandók) tere y - kimeneti változók; y∈B y , ahol B y a kimeneti változók tere t - időváltozó; t∈T, ahol T a rendszer időtartománya A rendszer folyamatait általában valamely adott T időtartományon követjük végig T=[t 0 ,t f ) - a rendszer időben folytonos T={t i ; i=1If }(izolált pontok halmaza) - időben diszkrét rendszer A változók: időfüggvények a T időtartományon (pl. u) azoknak a t∈T időpontbeli értékei (pl. u(t)) Relációk Állapot-meghatározó (belső) egyenlet: F(u,x,p,z)=0 Az F-re fontos feltétel, hogy létezzen az explicit alakja, és legyen érvényes az összefüggés. (Az F belső függvényt többnyire a x=Φ (u,p,z) F(u,Φ (u,p,z),p,z)=0 dx = f ( x , u, p, z ) dt alakú differenciálegyenlet-rendszer határozza meg a megfelelő kezdeti feltételekkel) Kimeneti egyenlet: y

= g ( x , u, p, z ) (g - kimeneti függvény) Axiómák 1) a bemeneti függvények időbeli szegmentálhatóságról 2) az állapot-átmeneti függvényről: a) félcsoport tulajdonság: b) oksági tulajdonság: (Ennek erősítése a teljességi tulajdonság) 3) a minimális állapot-reprezentációról: 9 Bz Bu ϕ Bp Bx g By x=ϕ(u,x0,p,z) y=g(u,x,p,z) 10. ábra A dinamikus rendszer fogalmához Korlátozások A dinamikus rendszerek tervezése és irányítása esetén gyakran kell korlátozó feltételeket figye-lembe venni v-s(y,u,x,p,z)∈D ahol skorlátozó függvények v - a korlátozások értékei D - a korlátozásokat generáló zárt halmaz A korlátozások lehetnek: • külsők, amelyek a tervezési és irányítási célokkal kapcsolatosak, • belsők, amelyeket a rendszer belső viszonyai határoznak meg, valamint • pszeudó-külsők, amelyeket valójában a rendszer modelljének egyszerűsítése céljából külön előírt belső korlátozások

alkotnak. A korlátozások megsértésének korlátozása (büntetése Ha egy rendszerre korlátozó feltételek vannak előírva, akkor annak azokat teljesítenie kell. Ha valamilyen okok miatt e korlátozásokat mégis megsérti, akkor szankcionálás szükséges ⇒ J - büntetőfunkcionál (-függvény): 1) J(v-s(y,u,x,p,z))=0, ha v-s(y,u,x,p,z)∈D 2) J(v-s(y,u,x,p,z))>0, ha v-s(y,u,x,p,z)∉D 3) ha ρ(v,s(y",u",x",p",z"))≥ρ(v-s(y,u,x,p,z)), akkor J(v-s(y",u",x",p",z"))")≥J(v-s(y,u,x,p,z)), ahol ρ(v,s) a v és s vektorok valamely távolságát jelöli Minőségi értékelés Gyakran van szükség az egyes rendszerek minőségi összehasonlítására, amelyet az un. Minőségi kritériumok szerinti minőségi rendezés definiálásával tehetünk meg ⇒ minőségi funkcionál Q(x)∈R1, (R1 - a valós számok halmaza) A Q a rendszer állapotterén teljes rendezést generál, azaz tetszőleges két x 1 és x 2

állapotra Q(x 1 )≤Q(x 2 ) vagy Q(x 1 )≥Q(x 2 ) 10 ⇒ Rendezés, rendezési reláció: Melléklet 2. A dinamikus rendszerek elemzése 2.1 Rendszerelemzési metódusok és tartományok ⇒ Analízis az időtartományban • Időfüggvények, vizsgálati jelek • Mérlegegyenletek, kostitutív összefüggések algebrai, differenciál-, és differenciálalgebrai egyenlet(rendszer)ek • Súlyfüggvény t y (t ) = ∫ g (t ,τ )u (τ )dτ 0 időinvariáns eset t y (t ) = ∫ g (t − τ )u (τ )dτ 0 • Átmeneti függvény t y (t ) = ∫ u (τ )dv(t ,τ ) 0 időinvariáns eset t y (t ) = ∫ u (τ )dv(t − τ ) 0 ⇒ Analízis a Laplace-tartományban • Laplace-transzformáció ∞ F ( s ) = L [ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt 0 σ + j∞ 1 f (t ) = L [ F ( s )] = F ( s )e ts ds 2πj σ −∫j∞ -1 • A Laplace-transzformáció tulajdonságai • Átviteli függvény ∞ G ( s ) = L [ g (t )] = ∫ g (t )e − st dt 0 Y ( s ) = G ( s )U ( s ) ⇒

Analízis a frekvencia-tartományban G ( jω ) = lim G ( s ) = G ( jω ) e j arg G ( jω ) s jω Vizsgálati jel: szinuszfüggvény 2.2 A struktúra leírása • Egyszerű rendszer Nem definiálunk alrendszereket 11 • Összetett rendszer Alrendszereket definiálunk, amelyek jól definiált kapcsolatban vannak egymással Geometriai reprezentáció Soros kapcsolás, kaszkádkapcsolás, párhuzamos kapcsolás, hídkapcsolás • Blokk-diagram: s j - változó (jel, áram, stb.) F j - kvantitatív transzformáció R u s2 s1 F1 F2 s3 s7 F4 s4 s5 y F3 s6 • Szerkezeti gráf s5 R F2 F1 s1 F3 s4 s3 s6 s2 • Hatásgráf - kvantitatív kapcsolatok F6 R s1 F1 s2 F2 F3 s3 s4 F4 s5 F5 s6 12 • Hatásgráf - kvalitatív kapcsolatok - R s1 + s2 - + s3 s4 + s5 - s6 • Többszintű rendszer Olyan összetett rendszer, amelyben hierarchiaszinteket definiálunk az információk, illetve rendszerváltozók jól definiált aggregálása

által. A aggregáció gyakran valamilyen átlagolást jelent. A21 2. szint (felsőszint) A11 A01 A02 A12 A03 A04 1. szint (középszint) A05 0. szint (alapszint) 12. ábra Kétszintű hierachikus struktúra 2.3 A rendszerek bizonytalansági elemei Egy rendszer akkor (és csak akkor) determinisztikus, ha összes eleme és változója determinisztikus – egyébként indeterminisztikus (bizonytalan meghatározottságú). A rendszertervezés területén ez a bizonytalanság lehet a • rendszer inherens tulajdonsága (objektív véletlenszerűség), a • rendszer környezetének hatásaiból eredő tulajdonság (objektív véletlenszerűség), valamint a • rendszer modelljének (a rendszerre vonatkozó információink) tulajdonsága (objektív vagy/és szubjektív ismerethiány). A rendszerek bizonytalan meghatározottságának jellege, forrásai és okai: 1) A rendszer inherens tulajdonsága: Forrás: a változók és/vagy paraméter-változók (vagy állandók)

meghatározatlansága; 13 Jellege: objektív véletlenszerűség Okai lehetnek a struktúrában bekövetkező változások (diszkrét jellegű): műveleti és segédegységek elérhetősége és meghibásodása; folyamatbéli változások: áramlási és hőmérséklet változások 2) A rendszer környezetének hatásaiból eredő tulajdonság: Forrás: a zavaró változók és/vagy a bemeneti változók meghatározatlansága Jellege: objektív véletlenszerűség Okai lehetnek a bemeneti anyagok elérhetősége, a piac (igények, árak, stb.) változásai, az információ-ellátottság változásai. 3) A rendszer modelljének (a rendszerre vonatkozó információink) tulajdonsága: Forrás: a rendszermodell bármely eleme lehet Jellege: objektív vagy/és szubjektív ismerethiány • homályosság (életlenség) (fuzziness): a r endszer egyes elemei közötti határozott megkülönböztetés hiánya Például: Almák osztályozása: fajta szerint ↔ szín szerint egy halmaz

élessége: a komplementerétől való megkülönböztetés foka H - halmaz; µ - tagsági függvény µ : H [0,1] • meghatározatlanság (unspecificity): a rendszer egyes elemei nincsenek teljesen specifikálva • ellentmondásosság (strife): a rendszer egyes elemeinek meghatározása ellentmondásban áll egymással Okai lehetnek a a kísérleti adatokban fellépő mérési hibák, a rendszer egyes részeinek korlátozott megfigyelhetősége, a leírás (modell) egyszerűsítéseiből eredő bizonytalanságok. A rendszer-modellezés alapvető eleme a bizonytalanság! (Einstein (parafrázis): egy matematikai modell vagy biztos, és akkor nem a valóságra vonatkozik, vagy a valóságra vonatkozik, akkor viszont nem biztos) A modellezésben rejlő bizonytalanság kezelése szerint a modellezés lehet: • kvantitatív ( "közönséges" fizika: tartályból a folyadék u = 2 gH sebességgel folyik ki, ahol H a kifolyás helyétől mért folyadékszint magasság) •

kvalitatív ( "naiv" fizika: a tartályból a folyadék annál nagyobb sebességgel folyik ki, minél nagyobb a kifolyás helyétől mért folyadékszint magassága) 2.4 A nemreguláris viselkedésről Egy rendszerrel szembeni elvárásaink: • teljesítse feladatát • legyen (mind kivitelezésében, mind üzemeltetésében) a lehető legolcsóbb • viselkedjen "szabályosan" 14 Egy rendszer szabályos - reguláris - viselkedésének ismérvei: • viselkedésében legyen "sima" • válaszai legyenek egyértelműek • ne késlekedjen a válaszokkal Ezzel szemben a rendszerek a • nemlinearitások, a • különböző természetű visszacsatolások, valamint a • hatások véges terjedési sebessége következtében fellépő időkésések okából gyakran nem viselkednek regulárisan Ezek felismerése, illetve természetük megismerése rendkívül fontos, hogy a • kellemetlen következményekkel járó jelenségeket lehetőség szerint

redukáljuk, illetve kiküszöböljük, • megpróbáljuk a nemreguláris jelenségeket saját hasznunkra fordítani Nemlinearitások a szuperpozíció elve A – leképezés (operátor) Az A leképezés homogén és additív, ha értelmezési tartománya két tetszőleges x 1 és x 2 elemére, valamint a λ 1 és λ 2 valós számokra fennáll az A(λ1 x1 + λ 2 x 2 ) = λ1 A( x1 ) + λ 2 A( x 2 ) egyenlőség. ⇒ R – dinamikus rendszer • R – lineáris rendszer, ha az f és g függvények lineárisak (minden változójukban), egyébként • R – nemlineáris rendszer A nemlinearitások forrásai • Statikus nemlineáris karakterisztikájú elemek Példák. ◊ Telítődés: erősítők y u 13. ábra Statikus karakterisztika telítődéssel ◊ Érzéketlenségi sáv: száraz súrlódás y u 14. ábra Statikus karakterisztika érzéketlenségi sávval ◊ Relé-karakterisztika: relék 15 y u 16. ábra Statikus relé-karakterisztika ◊ Hiszterézis: mágnesek, relék

hiszterézissel y u 15. ábra Statikus karakterisztika hiszterézissel • Anyag- és energia-transzport ◊ Koncentrációfüggő diffúzió, turbulens áramlás D0 , 1 + ac ∂c ∂  D0 ∂c  =   ∂t ∂x  1 + ac ∂x  qc = − D(c)∇c, D(c) = ∆p = kq2 • Egyensúlyok ◊ gőz-folyadék egyensúlyok, adszorpciós egyensúlyok yi p = xi pisat , ln( pisat ) = A + θ= Kp 1 + Kp B C+T • Kinetika ◊ kémiai reakciók Gazdasági 1) Az árak és költségek elaszticitása: • Ár ⇒ kereslet görbe p(x) Kínálati ár c Egységnyi termék termelési költsége Kereslet x 16 • Haszonfüggvény P(x) Haszon P(x)=x[p(x)-c] Eladott mennyiség x • Tanulásgörbe egységnyi termék előállításához szükséges munkaórák száma y(u) y(u)=au-b Munkaórák száma Mennyiség 2 A + B C, u dc A = − k exp − E  c A2 cB  RT  dt Időkésések és holtidők a rendszer (folyamat) t időpontbeli viselkedésére

befolyással vannak a korábbi idő-pontokbeli állapotok (is) Állapot-meghatározó (belsõ) egyenlet: dx (t ) = f (u(t ), x (t ), p(t ), z (t ), x (t − τ)), 0 ≤ τ ≤ t dt x (0) = x 0 Az időkésések forrásai • véges sebességű információáramlás ◊ irányítási és szabályozási körök • véges sebességû anyag- és energiatranszport ◊ párhuzamos anyagáramok, anyagáramok recirkulációja • indukciós folyamatok ◊ gócképződési folyamatok 17 • memória hatások ◊ tárolók jelenléte, relaxációs jelenségek t qT = − ∫ k T (ξ )∇T (t − ξ )dξ 0 2.5 Kvalitatív rendszerdinamika ⇒ rendszerben fellépő hatások minőségi vizsgálata Az elemzés segédeszköze a hatásgáf, amely egyrészt tartal-mazza az • ok-okozati viszonyokat, másrészt az okok által előidézett • hatások irányait xy 1) Ha x növekszik, akkor az az y növekedését idézi elő: pozitív hatás 2) Ha x növekszik, akkor az az y csökkenését

idézi elő: negatív hatás Hatás-algebra: a hatások csatolásának eredményét adja Ha ismertek az xy és yz hatások, akkor milyen jellegű az eredő xz hatás? xy + + - yz + + - xz + + Hatások direkt soros csatolása = hatáslánc; Zárt hatáslánc = irányított kör = hurok visszacsatolás A visszacsatolások természete és hatásai amikor egy rendszer (folyamat) önmagára visszahat (valamilyen zárt hatásláncon keresztül (hurok, kör) • visszahatás a rendszerre • visszahatás a rendszer bemenetére A visszacsatolás lehet • pozitív, ha erõsíti önmagát (pozitív hurok, kör) • negatív, ha gyengíti önmagát (negatív hurok, kör) A hurok polaritása a hurok előjele Domináns hurok: aktív vagy meghatározó hurok A kvalitatív kapcsolatokat ábrázoló hatásgráf 18 v7 v6 - + v1 v2 - v5 + - - v3 + + - v13 + + v12 v4 + v8 - v9 + v11 v10 A hurok-dominancia eltolódása az aktív vagy meghatározó hurok idõben való

megváltozása a domináns hurok megváltozása csak nemlineáris rendszerekben fordulhat elő (és ez ezen rendszerek inherens tulajdonsága) differenciálegyenletek elemzése Elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerré való átalakítás, és a j obboldalaknak a d ifferenciálhányadosokra való hatás-vizsgálata Visszahatás a bemenetre u Rendszer y x,p Visszahatás a rendszerre 16. ábra A visszacsatolás típusai Lotka-Volterra modell Ragadozó- és zsákmány-populációk kölcsönhatása x – a zsákmány populáció-sűrűsége y – a ragadozó populáció-sűrűsége α – a zsákmány populáció születési sebesség-tényezője γ – a ragadozó populáció elhalási sebesség-tényezője β – vadászati tényező k – hatékonysági tényező 19 dx = αx − βxy dt dy = −γy + kβxy dt x(0) = x0 , y (0) = y0 + - x + y + - + xy 17. ábra A Lotka-Volterra-modell hatásgráfja 20 A visszacsatolások forrásai • információ

visszacsatolások ◊ irányítási és szabályozási körök • transzport-visszacsatolások ◊ anyagáramok recirkulációja • termodinamikai visszacsatolások ◊ relaxációs hővezetés qT = − DT ∇T − τ T ◊ exoterm folyamatok • kémiai visszacsatolások ◊ autokatalitikus kémiai reakciók A + B 2 B, ∂qT ∂t dcb E = k exp − c c  RT  A B dt Kompetitív kapcsolat különböző fajok versengése ugyanazért a forrásért dx1 = ax1 − bx1 x2 dt dx2 = cx2 − dx1 x2 dt Kooperatív kapcsolat különböző fajok között egymás segítése dx1 = − ax1 + bx1 x2 dt dx2 = −cx2 + dx1 x2 dt Csoportosulás az egyedek csoportja hatékonyabb mint az individuális egyedek halmaza (falka-hatás) dx = −ax + bx 2 dt Általános megfogalmazás a hatások összefoglalása N dxn   =  an + ∑ bnk xk  xn , ∀n ∈ [1, N ] dt  k =1  3. A rendszertervezés természete és metodológiája 3.1 A rendszertervezés fogalma és

típusai Egy rendszerrel kapcsolatos feladatok 1) Adottak: Bemenet, Rendszer ⇒ Meghatározandó: Kimenet rendszerelemzés (direkt feladat) 2) Adottak: Bemenet, Kimenet ⇒ Meghatározandó: Rendszer rendszertervezés, rendszerszervezés (1. inverz feladat) 21 3) Adottak: Rendszer, Kimenet ⇒ Meghatározandó: Bemenet rendszerirányítás (2. inverz feladat) A tervezés: a célok és lehetőségek közötti keresési folyamat valamely a) funkcionális, b) teljesítmény, és c) esztétikai jellegű követelmények teljesítésére A tervezés a mérnöki munka alapfeladata: aluldefiniált feladat konverziója (jól) működő megoldásba ( rokonság a művészeti alkotótevékenységgel) A tervezés fejlődése: az eszközök és módszerek fejlesztése a tervezés folyamatának algoritmizálása és (számító)gépesítése Egy adott cél elérését általában különböző szerkezetű, változatú, minőségű és teljesítményű, és nem utolsó sorban különböző

árú rendszerekkel lehet megvalósítani. A ténylegesen megvalósítandó változat kiválasztása és megtervezése során tehát akkor járunk el megfelelő gondossággal, ha a t ervezés folyamatában az összes lehetséges változatot számba vesszük és megvizsgáljuk, és azok összehasonlításával, megfelelő mérlegeléssel választjuk ki a cél nak legjobban megfelelő variánst E folyamat során kezelendő és feldolgozandó információ menynyisége a 18 ábrán bemutatott módon változik A tervezés típusai: • rutinszerű: a tervezendő rendszer komponensei adottak, és ismert a komponensekből - az adott célnak és korlátozásoknak megfelelő - rendszer létrehozására szolgáló eljárás is • innovatív: a tervezendő rendszer komponensei adottak, de nem ismert olyan eljárás, amellyel a komponensekből - az adott célnak és korlátozásoknak megfelelő - rendszert létre lehet hozni • kreatív: : sem a tervezendő rendszer komponensei, sem a

komponensekből - az adott célnak és korlátozásoknak megfelelő - rendszer létrehozására szolgáló eljárás nem ismeretes A tervezés fejlődése - lényegében az eszközök és módszerek fejlődése, illetve fejlesztése a tervezés folyamatának algoritmizálása és számítógépesítése A probléma felvetése A feladat definiálása Definiált feladat A feladat megoldása Lehetséges megoldások (halmaza) A lehetséges megoldások szûrése A legjobb megoldás Alternatív (jó) megoldások keresése Megoldási javaslat 18. ábra Az információk mennyiségének változása a tervezés folyamatában 22 A tervezés folyamata mint iterációs eljárás: A feladat megfogalmazása Adatok, tulajdonságok, módszerek A lehetséges megoldások generálása Választás és értékelés A végleges megoldás kidolgozása 19. ábra A tervezési probléma iterációs megoldása Az egyes pontok részletezése: A tervezési feladat megfogalmazása Termék, berendezés,

folyamat szükséges és elégséges megfogalmazás (a jó megfogalmazás fél eredmény) Adatok,tulajdonságok,módszerek összegyűjtése Könyvek, szabványok, adatbázisok A lehetséges megoldások generálása Szintézis: mérnöki tapasztalat, algoritmusok, szakértői rendszerek: A lehetséges megoldások száma nagy: 104-109 nagyságrendű is lehet Gyakran kombinatorikus robbanás lép fel Választás és értékelés Analízis: korlátozások, becslések, szimuláció Lehetséges megoldások: külső korlátozásokon belül (Erőforrások, fizikai törvények, szabványok és jogszabályok, kormányzati előírások, gazdasági korlátok, biztonsági követelmények) Plauzibilis megoldások: belső korlátozásokon belül (Műveletek, eljárások, anyagok, személyzet, idő) Valószínű megoldások A legjobb megoldás A végleges megoldás kidolgozása A legjobb megoldás részletezése 23 Az összes megoldás tartománya Fizikai törvények Eröforrások Lehetséges

megoldások tartománya Anyagok Mûveletek Hatósági Szabványok és Plauzibilis megoldások tartománya Idõ elõírások jogszabályok Eljárások Folyamatvezetés Személyzet Gazdasági korlátok Biztonsági elõírások 20.ábra A megoldási lehetőségek korlátozásai 3.2 Rendszertervezési módszerek Két nagy módszerbeli csoport: • Konvencionális tervezés 1.lépés A tervezendő rendszer struktúrájának és méreteinek specifikációja a tervező aktuális ismeretei - tudásbázisa - alapján. 2.lépés A specifikált rendszer számításokkal való értékelése. 3.lépés A változók és paraméterek számított értékei a megengedett értékhatárokon belül vannak? 4.lépés Nem. A tervezendő rendszer méreteinek a módosítása a tervező aktuális ismeretei - tudásbázisa - alapján Ugrás a 2lépésre 5.lépés Igen. Stop ( trial and error eljárás) 1.lépés 2.lépés 3.lépés 4.lépés ak5.lépés • Modell-bázisú tervezés A tervezendő

rendszer matematikai modelljének (struktúrájának és viselkedésének) és korlátozásainak a specifikációja a tervező aktuális ismeretei - tudásbázisa - alapján. A specifikált rendszer struktúrájának és méreteinek meghatározása számítógépi modell-kísérletekkel. Elfogadhatók az eredmények? Nem. A matematikai modell és/vagy a korlátozások módosítása a tervező tuális ismeretei - tudásbázisa - alapján. Ugrás a 2lépésre Igen. Stop Más felosztás szerint: • heurisztikus módszerek: heurisztikákat (is) alkalmaznak (többnyire heurisztikák és algoritmusok keverékei) • algoritmikus módszerek: kizárólag algoritmusokat használnak (elsősorban az optimális rendszerek tervezésében) A rutinszerű tervezés teljes mértékben algoritmizálható, míg az innovatív és kreatív tervezési eljárásokban gyakran játszik szerepet a (mérnöki) heurisztika. A tervezés 3ábrán bemutatott folyamatában a lehetséges megoldások

előállításáig, amely többnyire nagy mennyiségű infor24 máció előállítását jelenti, a heurisztikus metodika dominál, míg a további fázisokat már gyakran algoritmikusan is meg lehet oldani. Heurisztika: szigorúan nem igazolt (igazolható), - a tapasztalati tényeken, megfigyeléseken alapuló szabály az induktív gondolkodási sémára épül Döntések, döntéshozatal, döntéselmélet kísérletezéssel - kísérletezés nélkül 21.ábra A döntésfa alakulása a tervezés folyamata során Döntésfa: döntési alternatívák - a lehetséges változatok és/vagy választások - grafikus megjelenítése speciális villákból (csomókból) és ágakból álló gráf döntési villák, véletlen (döntési) villák A tervezésben a keresés során a döntésfát folyamatosan építjük fel, sok esetben probálkozással egy-egy zsákutcába jutva, majd onnan kihátrálva a konstruktívan továbbépíthető döntési villáig. Algoritmus: szigorú sorrendben

végrehajtandó lépéssor a deduktív gondolkodási sémára épül Az innovatív és kreatív tervezési eljárásokban gyakran játszik szerepet a (tervezői) heurisztika 3.3 A tervezés modelljei Rendszertervezés a lényege a problémamegoldás 1) A tervezés axiomatikus modellje Részletes sémát ad (majd) arra, hogy valamilyen jól leírt végállapotot hogyan kell elérni egy tervező rendszer következtetéseket von le a tervezés tárgyának • korlátozó feltételeiből • oksági viszonyairól • a stratégiákról 2) A tervezési folyamat mint jól szervezett emberi tevékenység szisztematikus modellezése • cél-vezérelt (top-down) stratégia a (globális) feladat megfogalmazása ⇒ a feladat felbontása részfeladatokra, ameddig csak lehet ⇒ a tartomány-specifikus adatok megadják a részfeladatok megoldását elsősorban rutin tervezés esetén • adat-vezérelt (bottom-up) stratégia az elérhető, tartomány-specifikus adatok összegyűjtése ⇒

minden megvizsgálása, amit ezekből ki lehet következtetni mindaddig, amíg meg nem találjuk a megoldást 25 elsősorban innovatív és kreatív tervezés esetén Többnyire igen bonyolult ⇒ több szinten célszerű megvalósítani Planner A cél struktúrája Scheduler-Advisor A tervezés terve Designer A tervezés realizációja nagyvonalú terv mérföldkő-események a tervezési lépések a részletes tervek kikijelölése és elosztása dolgozása specifikus I ismeretek alapján ⇐ a szimuláció ⇐ detektált eredményei konfliktusok ⇒ tervezési célok ⇒ a cél(ok)hoz megfogalmazott nagyvonalú terv 22.ábra A többszintű tervezés szerkezete A tervezési folyamat irányítása: “Mi a következő lépésem?” A részfeladatok viszonya lehet: • kooperatív • kompetitív • inferatív • Tudás-bázisú irányítási stratégiák: meta-szabályok alkalmazásával • kooperatív részfeladatok esetén: pl. Először a legsürgősebb feladatot

hajtsd végre! Először a legáltalánosabb feladat megoldását érd el! Tanulj a legkönnyebb feladat végrehajtásából! • kompetitív részfeladatok esetén: pl. A legkevésbé fontos feladatot áldozd fel! Fogalmazz meg egy kiegyensúlyozott . • inferatív részfeladatok esetén: pl. A feladatokat szekvenciálisan oldd meg! Először a kritikus döntéseket hozd meg! Aggregáld a feladatokat! • Modell-bázisú irányítási stratégiák: amit csak lehet, modellekben fogalmazunk meg csak akkor avatkozunk be, ha a feladat összetettsége ezt megkívánja a mérnöki intuíció szerepe ⇒ Modell-alapú tervezés Matematikai modell: a korszerű tervezés alapeszköze Tervezési módszer a modellekkel való manipulációs eljárás • Opportunista irányítási stratégiák: valamilyen (vak) keresési eljárásokra épül-nek, nem pedig célorientált eljárásokra Tanulás a tervezés folyamatában: • tanulás ismételt probléma-megoldásból minta (séma)- illesztési

feladat • a tanulás és a probléma-megoldás integrációja 26 probléma-terek (állapotok, operátorok, feladatok): a tanulás olyan szabályok „rögzítésére”, amelyek a probléma-térben való keresést segítik elő a mesterséges intelligencia (MI) szerepe Az MI a rendszertervezésre való alkalmazáskor szakértői rendszerként jelenik meg A szakértői rendszer felépítése: • tudásbázis: tények, szabályok és fogalmak tárolója jól strukturált formában procedurális ismeretek deklaratív ismeretek tudásreprezentáció produkciós szabályok: if.then forgatókönyv: tevékenységek (műveletek) sémája • következtető mechanizmus: interpretálja az SZR szabályait és vezérli a k övetkeztetési folyamatot • magyarázó mechanizmus: kérdésekre (miért? hogyan? mi lenne ha?) ismerteti a megoldás szabályait és utját, valamint lehetővé teszi a változatok kipróbálását ⇒ tanácsadó rendszerek, ellenőrző rendszerek, rendelési és

konfigurációs rendszerek, valós idejű felügyelő rendszerek, döntés-előkészítő rendszerek 3.4 A tervezés szerkezete és fázisai A tervezési feladat szerkezete Dolgok A tudásra vonatkozó tudás A dolgokra vonatkozó tudás 23. ábra Metatudás: a tudásról való tudás Miért? Mit? - Miből? - Hogyan? - Mivel? Mennyiért? 24. ábra A tervezési feladat szerkezete 27 A tervezés fázisai A szükséglet felismerése és definiálása ⇓ (Kutatás és/vagy fejlesztés) ⇓ Koncepcionális tervezés • Megvalósíthatósági vizsgálat • Élet-ciklus elemzés • Társadalmi elfogadhatóság ⇓ Előzetes tervezés • A rendszer funkcionális elemzése • Szintézis és a tervezési kritériumok allokációja • Analízis (a szintézis számára): az alternatívák értékelése - optimalizálás • A rendszer definiálása ⇓ Részletes tervezés és fejlesztés • A rendszer részletes tervezése a 1 ) funkcionális képesség és teljesítmény, 2)

megbízhatóság, 3) karbantarthatóság, 4) kezelhetőség, 5) produktivitás, 6) fenntarthatóság, 7) gazdasági megvalósíthatóság szempontjai szerint ⇓ Megvalósítás A rendszertervezés hatása a tervezésre Magas Rendszertervezés Szakmai-tervezés Hatás-szint Alacsony KT ET RTF 28 A rendszerek életciklus-elemzése A korszerű rendszertervezésben alapvető elem: a (tervezett) rendszer élet-ciklus folyamatának az elemzése Megvalósítási fázis A szükséglet definiálása Koncepcionális és előzetes tervezés Részletes tervezés és fejlesztés Konstrukció Az idő előrehaladása ⇒ Az idő előrehaladása ⇒ Alkalmazási fázis Üzemel(tet)és, irányítás fenntartás, felújítás Termékek, melléktermékek Hasznosítás, semlegesítés, megsemmisítés Leállítás, megsemmisítés Melléktermékek Biztonság, környezetvédelem: anyag, energia, zaj Életciklus-elemzés: hasznosítás,semleges ítés, megsemmisítés 29

Változások rendszer életciklusa során 100 % Elkötelezettség (a választáshoz) Ráfordítási költségek Rendszer-specifikus tudás Variálhatóság KET RTF K ALM Az idő előrehaladása ⇒ A tervezési feladat formális meghatározása egyszerű rendszerek modell-bázisú tervezése esetén A d tervezési változók bevezetése (design variables) a p 1 ,p 2 ,p 3 , paraméterek halmazának része Legyen valamely R (dinamikus) rendszer matematikai modellje a következő: Állapot-meghatározó (belső) egyenlet: Kimeneti egyenlet: Korlátozó relációk: ⇒ dx/dt=f(u,x,p,z) x(0)=x 0 y=g(u,x,p,z) v-s(y,u,x,p,z)≤0 • az f leírja a rendszer struktúráját és viselkedését • a p leírja az f struktúrájú és viselkedésű rendszer megvalósulási változatait • az (s,v) páros leírja a rendszer korlátait a p paraméterek egy része adott (anyagi - konstitutív - mennyiségek, a vektor), míg a másik részét a tervezés során a tervezőnek kell

megválasztania; ezek a tervezési probléma d tervezési (döntési) változói, azaz p=(a,d) 30 Az R (dinamikus) rendszer tervezése során a feladat: az f és d meghatározása adott u, y, a, (s,v) és - esetleg- a z zavarások ismeretében z determinisztikus: tervezés determinisztikus környezetre z sztochasztikus: tervezés sztochasztikus környezetre Formális meghatározás: N v - a lehetséges változók száma N r - a változók közötti független és ellentmondásmentes relációk (egyenletek) száma ⇒ Akkor: a rendszer szabadsági foka N sz a tervezési változók száma N d N sz =N d =N v -N r Ha N d =0, akkor a megoldás egyértelmű nincs valódi tervezési probléma Ha N d <0, akkor a probléma túldefiniált csak triviális megoldás létezik Ha N d >0, akkor végtelen sok megoldás létezik a rendszer tervezője N d változó értékét meg-választhatja a tervezés szempontjainak megfelelően 4. Heurisztikus rendszertervezési eljárások 4.1 A

heurisztikus tervezés döntési szintjeinek hierarchiája 0.szint: A feladat megfogalmazása (Adatok, módszerek, műveletek, tevékenységek) 1.szint: A rendszer-típus kiválasztása (Szakaszos, folyamatos, diszkrét eseményű) 2.szint: A bemenet-kimenet struktúra kialakítása 3.szint: A visszacsatolási struktúra kialakítása 4.szint: A műszaki alrendszer részletezése 4.aszint: Konvertáló alrendszer 4.bszint: Utókezelési alrendszer 4.cszint: Előkészítési alrendszer 4.dszint: Kiszolgáló alrendszer 5.szint: A gazdasági alrendszer részletezése 5.aszint: Anyagforgalmi alrendszer 5.bszint: Pénzügyi alrendszer 6.szint: Az információs alrendszer részletezése 6.aszint: Információ-konvertáló alrendszer 6.bszint: Információ-mozgatási alrendszer 7.szint: Az alternatív megoldások értékelése A többszintű - hierarchikus - tervezési módszer alapelvei: 1) A rendszer terve több absztrakciós szinten kerül kifejtésre. 2) A tervezés során a magasabb

absztrakciós szintektől az alacsonyabb szintek felé haladunk egy hierarchikus tervezési folyamattal. 3) A hierarchikus tervezési folyamatban a t ervezési specifikációk fokozatos finomítása bővítése - megy végbe. 31 4) A tervezési specifikációk fokozatos finomítása során a korlátozásoknak az alsóbb szintekre való transzformációja biztosítja a szintek közötti konzisztenciát. Két tényezőből áll: 1. Valamely szint korlátozásainak az alsóbb szintre való közvetítése 2. Az alsóbb szint részletesebb specifikációi által indukált új korlátozások kielégítése 5) A finomítási lépések végrehajtása a dekompozíció és koordináció elve alapján történik. 6) Minden absztrakciós szint terv-implementációjának a kidolgozásában a szintézis-analízisértékelés lépéssorból álló transzformációs tervezési metodika kerül alkalmazásra. 7) Minden absztrakciós szint terv-implementációja a következő szint

implementációjának a specifikációjaként szolgál, egyúttal meghatározva a szintek közötti hatásköri relációkat is. 8) Az egyes szintek gazdasági potenciálja: Bevétel − költségek, ha i = 0 EPi =  EPi −1 − i - edik szint költségei, ha i > 0 ahol i – az i-edik szintet jelenti 4.2 A összetett rendszerek kétszintű leírása Összetett rendszerek egyszerű (al)rendszerek (pl. műveleti egységek) áramokkal összekapcsolt rendszere Az összetett rendszerek esetében a többszintű - hierarchikus - leírás a célszerű struktúra és viselkedés leírása nem azonos szinten s5 Rendszer Hálózati szint s1 Bemenet u1 s3 s2 u2 u3 s6 s4 Kimenet s5 s1 s5 s2 s2 u1 Folyamatos rendszer: • hálózati szint • folyamat szint Szakaszos rendszer: s2 s3 u2 s3 Folyamatszint u3 s6 25. ábra Összetett rendszer kétszintű leírása 32 • esemény szint • folyamat szint A struktúra leírása Geometriai reprezentáció •

szerkezeti gráf : (U,S) U - az elemi rendszerek (műveleti egységek) halmaza, U=(u 1 ,u 2 ,u 3 ) S - az áramok halmaza, S=(s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 ,s 5 ,s 6 ) s5 s1 u1=M u2=R s2 u3=Se s6 s4 s3 26. ábra Az R összetett rendszer szerkezeti gráf • hatás gráf : (U,S,C ) U - az elemi rendszerek (műveleti egységek) halmaza, U=(u 1 ,u 2 ,u 3 ) S - az áramok halmaza, S=(s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 ,s 5 ,s 6 ) C - hozzárendelések (kapcsolatok) halmaza, c ij ={u i ,±s j }, ahol +, ha az s j bemeneti áram, -, ha az s j kimeneti áram s1 u1=M u3=Se u2=R s2 s3 s5 s6 s4 27. ábra Az R összetett rendszer hatásgráfja Algebrai reprezentáció • illeszkedési mátrix: A u1  + 1 + 1 − 1 0 + 1 0    A = u2  0 0 +1 −1 0 0 0 0 + 1 − 1 − 1 u 3  0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 • szomszédossági mátrix: N 0 1 0   0 0 1 1 0 0 u1 u 2 u 3 u1 N = u2 u3 • körmátrix: C 33 [ ] C = c1 0 0 + 1 + 1 + 1 0 s1 •

indexmátrix: P s2 s1 s2 s3 P= s4 s5 s6 s3 s4 0 0  1  2 3  3 u1 1 1  2  3 1  0 u2 s5 s6 A viselkedés leírása A rendszer-elemek modelljei: Állapot-meghatározó (belső) egyenletek: dx i /dt=f i (u i ,x i ,a i ,d i ) x i (0)=x i0 Kimeneti egyenletek: y i =g i (u i ,x i ,a i d i ) Korlátozó relációk: v ei -s ei (y i ,u i ,x i ,a i ,d i )=0 v ui -s ui (y i ,u i ,x i ,a i ,d i )≤0 ⇒ Az összetett rendszer változói A rendszer bemenet-vektora: u az u 1 ∪u 2 ∪.∪u Nu része a többiből: u b =(u 1 ,u 2 ,.u Nu ) A rendszer kimenet-vektora: y az y 1 ∪y 2 ∪.∪y Nu része a többiből: y b =(y 1 ,y 2 ,.y Nu ) K - kapcsolati mátrix: d k - a kapcsolati tervezési változók y b =K(d k )u b A rendszer állapot-vektora: A rendszer korlátozó vektora: A rendszer paraméter-vektora: A rendszer tervezési vektora: x=(x 1 ,x 2 ,.x Nu ) v=(v 1 ,v 2 ,.v Nu ) a=(a 1 ,a 2 ,.a Nu ) d=(d 1 ,d 2 ,.d Nu ,d k ) Az

összetett rendszer egyenletei A rendszer belső egyenletei: A rendszer kimeneti egyenletei: f=(f 1 ,f 2 ,.f Nu ) a többiből: g b =(g 1 ,g 2 ,.g Nu ) A rendszer korlátozó egyenletei: g a g 1 ∪g 2 ∪.∪g Nu része s=(s 1 ,s 2 ,.s Nu ) Tehát: Állapot-meghatározó (belső) egyenletek: dx/dt=f(u,u b ,x,a,d) 34 x(0)=x 0 y b =g b (u,u b ,x,a,d) y b =K(d k )u b Kimeneti egyenletek: y=g(u,u b ,x,a,d) Korlátozó relációk: v e -s e (y,u,u b ,x,a,d)=0 v u -s u (y,u,u b ,x,a,d)≤0 (A változók száma 100 és 100.000 között is változhat!) A rendszer szabadsági foka: Nu Na i =1 j =1 N sz = N d = ∑ N di − ∑ N sj ahol N di - az i-edik elemi rendszer szabadsági foka N sj - az j-edik összekötő áram szabadsági foka 4.3 A hálózatok analízise Analízis: számítási módszerek (flow sheeting) 1) Moduláris (szekvenciális) számítási módszer • egyszerű szekvenciális számítás ⇒ ha a rendszer összes árama - vagy bemeneti áram - vagy

kimeneti áram - vagy egy szekvenciális sorrend szerinti “korábbi” elemből egy “későbbi” elembe vezet • iterációs-szekvenciális számítás ⇒ ha a rendszerben van recirkulációs áram - a recirkulációs áramok okozta körök felvágása sin2 sin1 u1 s1 u2 s2 u3 s3 u5 u4 s4 u6 s5 s7 u8 u7 s6 s8 sout1 u10 u9 s9 sout2 sin3 28. ábra A hálózatok egyszerű szekvenciális számításához - dekomponálás • direkt iteráció Az iterált változók vektora: x* A megoldást az x* = Φ ( x, s in ) sémának (fixpont-probléma) az x * k Φ ( x k , s in ) = x k +1 , k = 0,1,2, . 35 iterációval történő megoldása adja s10’ s10” u1 u2 s1 sin1 u3 u4 s2 s1 s1 u11 s11” s3 s1 u12 u6 u5 s4 s1 u13 s11’ s5 s6 u8 s7 u14 u7 u9 u10 s9 s8 sout1 sout2 sin2 29. ábra A hálózatok iterációs szekvenciális számításához s10 s11 u5 sin1 u1 s1 u2 s2 u3 s3 u4 s4 u6 s5 u8 s7 u7 s6 s8 u9 u10 s9 sout1

sout2 sin2 30. ábra A hálózatok dekompozícióval kombinált szekvenciális számításához 2) Egyenlet-orientált (szimultán) számítási módszer A teljes rendszert (hálózati szinten) leíró f(u,u b ,x,a,d)=0 y b =g b (u,u b ,x,a,d) y b =K(d k )u b y=g(u,u b ,x,a,d) egyenletrendszer szimultán megoldása a v e -s e (y,u,u b ,x,a,d)=0 v u -s u (y,u,u b ,x,a,d)≤0 korlátozó relációk figyelembevételével 3) Szimultán-moduláris számítási módszer a kétszintű leírással kompatibilis (kombinált) számítási módszer két modell-rendszer alkalmazásával - hálózati szinten redukált modellek - folyamat szinten részletes modellek Algoritmus: 1) Az iterációs változók kezdeti értékeinek megadása 2) A felvágott rendszer számítása a részletes modellekkel - a moduláris (szekvenciális) módszer alkalmazásával 36 3) A leállási feltételek ellenőrzése. Ha az eredmények kielégítők, akkor STOP: ha nem, akkor folytatás a 4) lépéssel 4) A

redukált modell paramétereinek a kiszámítása a 2) lépésben kapott változó-értékek felhasználásával 5) A redukált modell megoldása az egyenlet-orientált (szimultán) módszer alkalmazásával 6) A részletes modell paramétereinek a kiszámítása a 4) lépésben kapott változó-értékek felhasználásával, és folytatás a 2) lépéssel Moduláris számítás - részletes mollekkel Redukált modellparaméterek számítása Szimultán számítás redukált modellekkel Belső iteráció Külső iteráció 31. ábra A szimultán-moduláris számítási módszer 5. Rendszertervezés algoritmikus módszerekkel 5.1 A szintézis feladata Szintézis: a tervezési alternatívák (automatikus) generálása és a "legjobb" megoldások szelekciója (- hiányos információk alapján) Alapvető elemei: • a rendszer reprezentációja • az alternatívák generálása • az alternatívák értékelése • a "legjobb" megoldások kiválasztása

Módszerek: • heurisztikus 37 • algoritmikus: optimalizációs feladatként való megfogalmazás A rendszer reprezentációja: szuperstruktúra formájában Szuperstruktúra: a lehetséges tervezési variánsok szervezett formában megadott együttese Az első feladat: a szuperstruktúra generálása a kiindulási adatokból Általános gyakorlat a bemeneti-kimeneti struktúra evolúciós kifejtése A szuperstruktúra leírása: egzisztencia (bináris) változók segítségével Műveleti egységek: az i-edik műveleti egység vagy benne van a szuperstruktúrában, vagy nincs benne: ezt az eu i ∈{0,1}, i=1N u bináris változókkal írjuk le, azaz ha eu i =1, akkor az i-edik műveleti egység jelen van a rendszerben, ha eu i =0, akkor az i-edik műveleti egység hiányzik a rendszerből A műveleti egységek közötti kapcsolatok: az i-edik és j-edik műveleti egységek között vagy van ij irányú kapcsolat a szuperstruktúrában, vagy nincs: ezt az ec ij ∈{0,1}, i=1N

u , j=1N u bináris változókkal lehet leírni, azaz ha ec ij =1, az i-edik és j-edik műveleti egységek között van ij irányú kapcsolat ha ec ij =0, az i-edik és j-edik műveleti egységek között nincs ij irányú kapcso-lat Zárt felírásban: eu=(eu 1 ,eu 2 ,.eu Nu ) a műveleti egységek egzisztencia vektora, Ec=[ec ij ] a műveleti egységek közötti kapcsolatok egzisztencia mátrixa, amelyben lagalább (N u -1) darab egyes található, és a bemeneti elemeknek megfelelő oszlopokban, valamint a kimeneti elemeknek megfelelő sorokban csupa nulla van Ec a szomszédossági mátrix Logikai korlátozások modellezése egzisztencia változókkal és lineáris egyenlőtlenségekkel (P i –nek megfelel e i ; ¬P j –nek megfelel 1-e j ) Logikai korlátozás Logikai VAGY (P 1 ∨P 2 ) Logikai ÉS (P 1 ∧P 2 ) Implikáció (P 1 ⇒P 2 ) Lineáris egyenlőtlenség e 1 +e 2 ≥1 e 1 ≥1 e 2 ≥1 1-e 1 +e 2 ≥1 38 Ekvivalencia (P 1 ⇒P 2 )∧(P 2 ⇒P 1 ) Kizáró VAGY

e 1 =e 2 e 1 +e 2 =1 Logikai kifejezések konverziója konjunktív normál alakba Algoritmus 1) Az implikációk helyettesítése ekvivalens diszjunkcióval: (P 1 ⇒P 2 )⇔¬P 1 ∨P 2 2) A negált zárójelek felbontása a DeMorgan-tétel alapján: ¬(P 1 ∧P 2 )⇔¬P 1 ∨¬P 2 ¬(P 1 ∨P 2 )⇔¬P 1 ∧¬P 2 3) A VAGY-ok elosztása az ÉS-ek között az alábbiak szerint: (P 1 ∧P 2 )∨P 3 ⇔(P 1 ∨P 3 )∧(P 2 ∨P 3 ) Az eu és Ec elemei között fennálló (természetes) korlátozások: ec ij ≤eu j minden i=1N u -re tetszűleges j=1N u esetén azaz ha a j-edik műveleti egység nincs benne a rendszerben, akkor nem lehet semmivel sem összekapcsolni! A szuperstruktúrára vonatkozó korlátozások: 1)Több műveleti egység-lehetőség közötti választás: Válassz (pontosan) egy műveleti egységet: ∑ i eu i =1 Válassz legfeljebb egy műveleti egységet: ∑ i eu i ≤1 Válassz legalább egy műveleti egységet: ∑ i eu i ≥1 2)If-then feltételek: Ha a v

álasztás a k -adik műveleti egység, akkor a j-edik műveleti egységet ahhoz szükséges kiválasztani: eu k -eu j ≤0 3)A folytonos változók aktiválása: A "ha eu i =1, akkor L≤x≤U, de ha eu i =0, akkor x=0" feltételek kifejezése: eu i L≤x≤Ueu i 5.2 Az optimalitás fogalma és elemei Az optimális megoldások keresése az alkotó emberi gondolkodással egyidős Optimális = valamilyen jól meghatározott körülmények között, valamilyen szempont (érték) szerint a legjobb Szigorú, absztrakt kifejezése a matematikában valósult meg: ⇒ ókori geometriai feladatok a klasszikus analízis szélsőérték feladatai matematikai programozás variációszámítás modern funkcionálanalízis irányításelmélet 39 Elemei: modell, megengedett megoldások tartománya, cél-(érték)-függvény, optimalizálási változók A feladat szerkezete: ⇒ Rendezés, rendezési reláció Legyen R az előzőekben meghatározott dinamikus rendszer a

korlátozások megadott B s terével. Legyen: B c ={d: F(u,x,a,z,d)=0 és v-s(y,u,x,p,z,d)∈D⊂B s } azaz B c jelölje az R rendszer tervezési változóinak a k orlátozó feltételek által megengedett tartományát. Ekkor a rendszernek a Q(u,x,y,p,z,d)∈R1 minőségi funkcionál szerinti optimális tervét az extr d Q(u,x,y,p,z,d) f.m: d∈B c optimalizálási feladat megoldása szolgáltatja, ahol az extr= extrémum - a feladat jellegétől függően - lehet minimum vagy maximum. Ha a d tervezési változók időfüggetlen mennyiségek, akkor statikus optimalizációról - statikusan optimális rendszer tervezéséről -, ha pedig a d tervezési változók időfüggvények, akkor dinamikus optimalizációról - dinamikusan optimális rendszer tervezéséről - beszélünk. Az optimalizáció csapdája A meghatározott optimum valójában a modell optimuma ⇒ az eredmény gyakorlati értéke a modell pontosságától függ A megoldás létezése és egyértelműsége • Van-e

egyáltalán megoldás? • Ha van megoldás, akkor az egyértelmű-e? ⇒ a probléma matematikai vizsgálatát igényli Gyakran feltételezik, hogy ha gyakorlati problémát vizsgálunk, akkor optimális megoldásnak ab ovo léteznie kell. Azonban mi mindig a vizsgált modell optimális megoldását keressük, és egy (nem jó, ellentmondásos, stb.) modell esetén előfordulhat, hogy • nem létezik optimális megoldása, vagy ha igen, akkor • az optimális megoldás nem egyértelmű. A gyakorlatban általában több cél, azaz több célfüggvény is létezik, amit egyidejűleg szeretnénk valamely rendszer megtervezésével elérni: ez vezet az un. többkritériumos (poli)optimalizáció fogalmához, ami a műszaki-gazdasági (nagy) rendszerek menedzsmentjében, magasabb szintű irányításában, egyes döntések előkészítésében egyre fontosabb szerepet játszik Ekkor: Q 1 , Q 2 , . Q p célfüggvények (p - pozitív egész szám és >1) ⇒ A Pareto rendezés

fogalma: Jelölése: ≤ P = nem rosszabb Pareto-értelemben Jelentése: ha adottak 40 a Q=(Q 1 (d),Q 2 (d), . Q p (d)) vektor és a P={y∈Rp:y i ≥0,i=1,2,p} halmaz, akkor Q(d 1 )≤ P Q(d 2 ), ha Q i (d 1 )≤Q i (d 2 ) minden i=1,2,.p esetén A Pareto-optimalizáció megfogalmazása: minP d Q(d) felt.: d∈B c ahol B c ={d: s(d)≤ D 0} A probléma: ≤ P csak részben rendezést ad, ui. abból, hogy Q(d 1 )no≤ P Q(d 2 ) még nem követke-zik, hogy Q(d 2 )≤ P Q(d 1 )! Az ellentmondás feloldása: kompromisszumos megoldások keresése. Az optimum érzékenysége = a célfüggvény (relatív) változásának mértéke a tervezési változóknak az optimális értéktől való eltérése esetén Q = Q(d1 , d 2 ,.d n ) ⇒ Qopt = Q(d1opt , d 2 opt ,d nopt ) Taylor-sor 1 n n ∂ 2Q ∂Q ∆d i ∆d j ∆d i + ∑∑ 2 i =1 j =1 ∂d i ∂d j i =1 ∂d i n ∆Q ≅ ∑ Ha ∂Q (d )= 0,i = 1,2,.n ∂d i opt ∆d i ≤ ρ ,i = 1,2,.n akkor 1 2 n n ∂ 2Q ∆Q ≤ ρ ∑∑

2 i =1 j =1 ∂d i ∂d j A tervezési változók változási tartománya adott ∆Q esetén: ρM = 2 ∆Q ∂ 2Q ∑∑ i =1 j =1 ∂d i ∂d j n n 5.3 A célfüggvények természete Célfüggvények: a tervezendő rendszerekre vonatkozó műszaki-gazdasági követelmények mutatókkal való kifejezése Az anyag- és/vagy energiaátalakítás • átalakításának mértéke, • melléktermék/hulladék mennyisége • hatékonysága, • beruházzási és/vagy üzemelési költsége, • nyeresége. A műszaki-gazdasági rendszerek nagy része lépték-gazdaságosságot mutat 41 Beruházási költségek: gyakran nemlineáris összefüggések β CC = α C Pc C , 0 < βC < 1 ahol C C - beruházási költség P c - a rendszer kapacitása αC ,β C - a rendszertől függő együtthatók Gyártási kapacitás az a termékmennyiség, amely az adott termelési rendszerben vagy termelő/berendezésen egységnyi idő alatt maximálisan előállítható a

legkedvezőbb termelési feltételekre vonatkozik Például: • vegyipari berendezések: P c =V (térfogat) • szállító eszközök: P c =Q (szállítási intenzitás) gyakran: n≅0.6-07, de a részletesebb elemzés további nemlinearitásokat mutat Termelési költségek: többnyire lineárisnak tételezhetők CO = ∑ Ci qi i ahol C i - az i-edik termelési tényező egységének a költsége q i - az i-edik termelési tényező intenzitása ("áramerőssége") Például: • fenntartás, nyersanyag, munkaerő, minőségbiztosítás, felügyelet, licenc, adó, royalty, csomagolás, biztosítás, • segédtényezők: infrastruktúra, energia-, gőz-, levegő és vízellátás, kiszolgáló egysé-gek, hulladék-kezelés Azonban: nagy kapacitás-intervallumban az n is változik, mivel a segédtényezők előállítása is termelő rendszer(eke)t igényel CA = α A ( uA Pc ) A , 0 ≤ β A ≤ 1 β ahol C A - a segédtényező költsége u A - egységnyi termelés

által igényelt segédtényező-mennyiség αA ,β A - a segédtényezőtől és a termelési rendszertől függő együtthatók Környezetvédelmi költségek: • a hulladékok feldolgozási költségei: CW = αW ( uW Pc ) W , 0 < βW < 1 β ahol C W - a hulladék feldolgozási költsége u W - egységnyi termelés által termelt hulladék-mennyiség αW ,β W - a hulladéktól és a termelési rendszertől függő együtthatók • környezetvédelmi büntetési költségek: CEP = α EP ( uW Pc ) β EP , 0 < β EP ahol 42 C W - a hulladék feldolgozási költsége u W - egységnyi termelés által termelt hulladék-mennyiség αEP ,β EP - a hulladéktól és a termelési rendszertől függő együtthatók Nagy szigorúság esetén esetleg: C EP = α EP exp β EP (uW Pc ) , 0 < β EP [ ] 5.4 Rendszertervezés parametrikus optimálással 5.41 Tervezés nemlineáris programozással Ekkor a feladat többnyire egy struktúra-alternatíván belül a folytonos

döntési változók szerinti alternatív megoldások közötti optimális változat meghatározása. A továbbiakban legyen: d - tervezési (döntési) változók optimalizálási változók Q - minőségi kritérium célfüggvény, ahol az egyszerűség kedvéért már nem jelöljük a teljes Q=Q(u,x,y,pz,d) függést, csak a tervezési változók szerintit, azaz: d∈Rn, és Q: Rn R1 a célfüggvény B c - a d tervezési változóknak a rendszer modellje és a korlátozások által kijelölt megengedett tartománya. Ekkor az optimalizációs feladatot a (*) min d Q(d) f.m: d∈B c formában írjuk fel ahol B c ={d∈Rn: s 1 (d)=0, s 2 (d)=0,.s k (d)=0, s k+1 (d)≤0,s m (d)≤0} (Ha k=0, akkor csak egyenlőtlenségi korlátozások vannak) Az optimalizáció egyik nagyon fontos fogalma a konvexitás Lineáris tér: x=(x 1 ,x 2 ,.x n ), y=(y 1 ,y 2 ,y n ) x,y∈Rn, α,β∈R1 1) α(x+y)=αx+αy 2) (α+β)x=αx+βx 3) 0x=0 Konvex halmaz (tartomány): Ha x,y∈Rn, akkor

αx+(1-α)y∈Rn minden 0≤α≤1∈R1 esetén Konvex függvény szigorúan konvex függvény: Az f: Rn R1 függvény konvex, ha a gráfja felett található tartomány (azaz az {(x,α):α≥f(x)} tartomány) konvex f[αx+(1-α)y]≤αf(x)+(1-α)f(x) ⇒ Az optimalizációs feladat konvex, ha a célfüggvény konvex, valamint a korlátozások halmaza is konvex Az optimalitás szükséges és elégséges feltételei a) Ha a korlátozások nem aktívak, akkor az optimalitás szükséges feltétele 43 ∇ d Q(d opt )=0 ha a feladat konvex, akkor ezek a feltételek elégségesek is (a minimumhoz) Hess-mátrix  ∂ 2 Q (d )     ∂d i ∂d j  a lokális minimum elégséges feltétele, hogy a Hess-mátrix pozitiv definit legyen a d opt pontban Valamely A mátrix: • pozitív definit, ha tetszőleges x vektorra: xTAx>0, • pozitív szemidefinit, ha tetszőleges x vektorra: xTAx≥0 • negatív definit, ha tetszőleges x vektorra: xTAx<0, •

negatív szemidefinit, ha tetszőleges x vektorra: xTAx≤0 b) Ha legalább egy korlátozás aktív azaz f.m: d∈B c - és csak egyenlőtlenségi feltételek vannak min d Q(d) ahol B c ={d: s(d)≤0) ⇒ Lagrange-függvény, Lagrange-multiplikátorok λ=(λ 1 ,λ 2 ,.λ m ) (*) m L(d , λ) = Q(d ) + ∑ λi si (d ) i =1 Kuhn-Tucker (Karush-Kuhn-Tucker) -tétel Ha a) a Q és s i i=1,2,m függvények parciális differenciálhá-nyadosai folytonosak, b) d opt lokális minimuma a (*) feladatnak, c) a d opt pontban teljesülnek a regularitási feltételek, akkor létezik olyan λ opt ∈Rm, λ opt ≥0 vektor, hogy m ∇Q(d opt ) + ∑ λi , opt ∇si (d opt ) = 0 i =1 (KKT1) λi , opt si (d opt ) = 0, i = 1,2,.m Megfogalmazás a Lagrange-függvény segítségével Ekkor a Kuhn-Tucker (Karush-Kuhn-Tucker)–tétel szükséges feltételeit az alábbi módon is meg lehet fogalmazni (KKT2) ∇ d L(d opt , λopt ) = 0 ∇ λ L(d opt , λopt ) ≤ 0 λopt , ∇ λ L(d opt , λopt ) =

0 λopt ≥ 0 44 c) Ha vannak mind egyenlőtlenségi, mind egyenlőségi feltételek, akkor a Lagrange-függvény k L ( d , λ) = Q (d ) + ∑ μ i s i (d ) + i =1 m ∑ λ s (d ) i = k +1 i i és a Kuhn-Tucker (Karush-Kuhn-Tucker)–tétel szükséges fel-tételeit az alábbi módon lehet megfogalmazni (KKT3) ∇ d L(d opt , λopt , μopt ) = 0 ∇ λ L(d opt , λopt , μopt ) ≤ 0 λopt , ∇ λ L(d opt , λopt , μopt ) = 0 ∇ μ L(d opt , λopt , μopt ) = 0 λopt ≥ 0 , µ opt nem definit Az optimalitás elégséges feltételei Tétel Ha a) a Q és s i i=1,2,m függvények parciális differenciálhá-nyadosai folytonosak, b) a Q és s i i=1,2,m konvex függvények, c) a d opt pontban teljesülnek a (KKT’) Kuhn-Tucker feltétel-ek, akkor d opt a (*) NLP-feladat megoldása Ha a feladat nem konvex, és csak egyenlőségi feltételek vannak, ak-kor ⇒ bővített Lagrange-függvény k 1 k 2 L(d , μ, ρ) = Q(d ) + ∑ μi si (d ) + ∑ ρi [si (d )] 2 i =1 i =1

ρ>0 Ha a feladat nem konvex, és csak egyenlőtlenségi feltételek vannak, akkor a z≥0 eltérésváltozók bevezetésével min ( d , z ) Q(d ) f .m : (d , z ) ∈ Bb ahol Bb = {(d , z ) : d ∈ Bc , z ≥ 0 , si (d ) + zi = 0} Ekkor m L(d , z , λ, ρ) = Q(d ) + ∑ λi [si (d ) + zi ] + i =1 1 k ρi [si (d ) + zi ]2 ∑ 2 i =1 ⇒ Nyeregpont a) Ha s (d ) ≤ 0 , akkor max λ λ, s (d ) = 0 f .m : λ ≥ 0 b) minimum-maximum (min-max) feladat 45 min d Q(d ) = min d max λ L(d , λ) f .m : d ∈ Bc Primális függvény f .m : d ∈ Bc , λ ≥ 0 LP (d ) = max λ L(d , λ) f .m λ ≥ 0 azaz m   Q(d ), ha d ∈ Bc LP (d ) = max λ Q(d ) + ∑ λi si (d ) =  i =1   + ∞, ha d ∉ Bc f .m λ ≥ 0 Duális függvény LD ( λ) = min d L(d , λ) f .m d ∈ Bc Ha az optimalizációs feladat konvex és a korlátozások regulárisak, akkor az optimalizációs feladat megoldására vonatkozó szükséges és elégséges feltételek

ekvivalensek a Lagrangefüggvény nyeregpontjá-nak a létezési feltételeivel amelyre fennáll, hogy L(d opt , λ) ≤ L(d opt , λopt ) ≤ L(d , λopt ) duális-feladat: max λ -min d primális-feladat: min d -max λ c) Ha a feladat nem konvex, akkor min d max λ L(d , λ) = L(d opt , λopt ) ≥ max λ min d L(d , λ) egyébként f .m : d ∈ Bc , λ ≥ 0 f .m : λ ≥ 0 , d ∈ Bc min d max λ L(d , λ) = L(d opt , λopt ) = max λ min d L(d , λ) f .m : d ∈ Bc , λ ≥ 0 f .m : λ ≥ 0 , d ∈ Bc a dualitás interpretációja Célfüggvény költségekből λ i - az s i korlátozásokkal, mint bizonyos javak iránti szükség-letekkel kapcsolatos árak L - a d döntéssel járó teljes költség d - a vásárló döntése λ - az eladó döntése Egyenlőségi feltételek esetén d opt =d opt (s) és λ opt =λ opt (s) - folytonosak és differenciálhatók Qopt = Q(d opt ) ⇒ ∂Qopt = λi ,opt , i = 1,2,.m ∂si A megoldás többnyire numerikus módszerekkel

történik. 5.42 Tervezés lineáris programozással 46 Ha mind a tervezési célt kifejező célfüggvény, mind a korlátozó feltételek lineárisak, akkor a probléma a jelentősen egyszerűbb lineáris programozási feladatba megy át. Általános megfogalmazás: korlátozottan rendelkezésre álló források optimális elosztása egymással konkuráló célokat szolgáló tevékenységek (nyelők) között Kiindulási feltételek Legyen • a különböző jellegű források száma: m; szabad (véges) kapacitásaik vektora: b=(b 1 ,b 2 ,.b m ), ahol ∀i: b i <∞; • a különböző jellegű nyelők (felhasználók) száma: n; az i-edik forrásnak a j-edik nyelő egysége által felhasznált mennyisége: a ij , (i=1m, j=1n), A=[a ij ]; • a rendszer döntési változóinak vektora: d∈Rn, amely a j-edik nyelő teljes intenzitását jelöli; és d j ≥0, j=1n; • a rendszer minőségi (értékelési, érték-) függvénye: Q:RnR1; Q=Q(d), d∈Rn; a j-edik nyelőnek a

Q-hoz való hozzájárulása egységenként: c j , j=1n, azaz a teljes hozzájárulás c j d j , j=1n, c=(c 1 ,c 2 ,.c n ); A feladat: határozzuk meg a döntési változók azon d opt vektorát, amelynél a Q minőségi (cél-) függvény értéke optimális! Formálisan: extremum d Q(d) f.m: Ad-b≤0 Megoldási módszerek • grafikus módszer • szimplex-módszer ⇒ szimplex-módszer algebrai eljárás, amely véges számú iterációs lépésben az optimális megoldást adja Algoritmus Kezdő lépés Válasszunk ki egy (lehetséges) csúcspontmegoldást. Iterációs lépés Ugorjunk a legjobb szomszédos csúcspontmegoldásra. Optimalitási ellenőrzés Ha nincs ennél jobb szomszédos csúcspontmegoldás, akkor az aktuális megoldás optimális. Ha van, akkor folytassuk a következő iterációs lépéssel. 47 Források x(1) b(1) a(1,1) x(2) a(1,2) a(2,2) b(2) Nyelők d(1) d(2) a(1,j) x(i) b(i) Irányítási rendszer a(i,j) d(j) a(1,n) x(m) b(m) a(m,n) d(n)

Bemenet c(1),c(2),c(n) - értékvektor 32. ábra Források elosztása lineáris programozással 5.5 Rendszertervezés topológikus optimálással Ekkor a feladat mind a struktúra-alternatívákat leíró diszkrét döntési változók, mind az egyes struktúrákon belüli folytonos döntési változók által leírt alternatív megoldások közötti optimális változat meghatározása. Optimális rendszerek tervezése a struktúra és a viselkedés egyidejű figyelembevételével Egy telepítési probléma valamely termék gyártására Beruházási költségek: (1) - CC1 = α1 FPβ1 (2) - CC2 = α 2 FPβ2 Termelési költségek: A anyag : B anyag : Segédtényezők: Szállítási költségek: (1)(2): F A C SA (2)(1): F B C SB Bevétel: P termék: (3) - CC3 = α 3( u3 FP ) β3 (4) - CC 4 = α 4 ( u4 FP ) β4 CAFA CBFB C U u i F P , i=3,4 (1)(2): u 3 F P C SU (2)(1): u 4 F P C SU CPFP 48 ⇒ Vegyes egészértékű-lineáris (VELP) programozás ⇒ Vegyes

egészértékű-nemlineáris (VENLP) programozás A és B nyersanyagokból P termék (1) (2) A A B B e1 e2 e3 e4 33. ábra Telepítési probléma egy új termék gyártására Ehhez: ⇒ Egészértékű (EP) programozás Egészértékű (EP) programozás min e Q(e) felt.: e∈B c e értékei egészek A korlátos megengedett tartományú EP feladatoknak véges sok megengedett megoldása van de a feladat nehézsége exponenciális növekedésű Definíció Egy (lineáris) EP feladathoz tartozó LP-relaxáltnak nevezzük azt a feladatot, amelyet az EP feladatból az egészértékű változóknak folytonos változókkal való helyettesítésével kapunk megoldás leszámlálási algoritmussal (támaszmegoldás, felderített részhalmaz, alsó korlát, felső korlát A szétválasztás és korlátozás módszere - minimalizálásra Algoritmus Kezdő lépés Q U =∝ (Q U - felső korlát) Szétválasztási lépés a legjobb korlát szabálya; a legutolsó korlát szabálya

Korlátozási lépés Q L - alsó korlát Felderítési lépés 1. Q L ≥ Q U 2. A részhalmaz nem tartalmaz megengedett megoldást 3. (Q L <Q U ) ⇒ (Q L =Q U ) Az optimalitás ellenőrzése [(nincs felderítetlen részhalmaz) ⇒ (az aktuális támaszmegoldás optimális) STOP]; egyébként Szétválasztási lépés Optimális rendszerek tervezése a struktúra és a viselkedés egyidejű figyelembe-vételével (eu,Ec) e - a struktúrát meghatározó bináris változók vektora 49 d - a viselkedést meghatározó folytonos változók vektora A feladat megfogalmazása: min d,e, Q(d,e) felt.: d∈B c e∈E c ⊆{0,1}dim(e) 5.6 Többszintű rendszerek tervezése A dekompozíció és koordináció elve A tervezési vektor, a célfüggvény és a korlátozó feltételek alakja: tervezési vektor: d=(d 1 ,d 2 ,.d L ,d int ) ahol d l , l=1L lokális tervezési változók, d int kölcsönhatási (interakciós) tervezési változók; célfüggvény: Q(d)=Q ml (Q 1 (d 1 ,d

int ),Q 2 (d 2 ,d int ),. Q L (d L ,d int ))=Q ml (d 1 ,d 2 ,d L ,d int ) ahol Q l , l=1L a lokális feladatok parciális (lokális) célfüggvényei Feltétel A Q ml célfüggvénynek a rendezést szigorúan megőrzőnek kell lennie, azaz abból, hogy d 1 ≥d 1 ",d 2 ≥d 2 ",.d L ≥d L " és legalább az egyik egyenlőtlenség éles, következnie kell, hogy Q ml (d 1 ,d 2 ,.d L ,d int )>Q ml (d 1 ",d 2 ",d L ",d int ) (Ilyenek: a parciális célfüggvények összege, pozitív parciális célfüggvények szorzata) korlátozó feltételek: lokális feltételek s l (d 1 ,d int )≤ D1 0, s 2 (d 2 ,d int )≤ D2 0,.s L (d L ,d int )≤ DL 0 és kölcsönhatási feltételek s int (d int )≤ Dint 0. Egy speciális forma d int =(d int1 ,d int2 ,.d intL ) Q 1 (d 1 ,d int )=Q 1 (d 1 ,d intl ), l=1L s 1 (d 1 ,d int )=s 1 (d 1 ,d intl ), l=1L Q(d)=Q 1 (d 1 ,d int1 )+Q 2 (d 2 ,d int2 )+.+Q L (d L ,d intL ) és az egyes részproblémák közötti kapcsolatokat

az Kd int =0 kapcsolati egyenletek adják meg. K - kapcsolati mátrix: leírja a rendszer szerkezetét. A dekompozíció és koordináció típusai • közvetlen dekompozíció lényegében a dekompozíció-koordináció elve által meghatározott algoritmus közvetlen alkalmazása • duális dekompozíció: feltételezi a Lagrange függvény nyeregpontjának létezését • dekompozíció büntetőfüggvény segítségével: 50 a közvetlen módszer módosítása: az adott alrendszerre vonatkozó kölcsönhatási változók értékeit (is) lokálisan választjuk meg, amelyeket a koordináló szint megpróbál a saját követelményeihez igazítani 6. Többszempontú tervezés 6.1 A feladat megfogalmazása ⇒ a gyakorlatban általában több cél(függvény) is létezik: többkritériumos (poli)-optimalizáció: a műszaki-gazdasági (nagy)rendszerek irányításában, egyes döntések előkészítésében egyre fontosabb szerepet játszik Legyen: Q 1 , Q 2 , . Q p p

különböző szempontot figyelembe vevő célfüggvény (p - pozitív egész szám és p>1) Ekkor a Pareto-optimalizáció megfogalmazása: minP d Q(d) felt.: d∈B c ahol B c ={d: s(d)≤ D 0} A probléma: ≤ P csak részben rendezést ad, ui. abból, hogy Q(d 1 )no≤ P Q(d 2 ) még nem követke-zik, hogy Q(d 2 )≤ P Q(d 1 )! Az ellentmondás feloldása: kompromisszumos megoldások keresése. Kétdimenziós eset: illusztráció (d 1 ,d 2 ) (Q 1 ,Q 2 ) Q2 Összehasonlíthatlan megoldások Rosszabb megoldások Jobb megoldások Összehasonlíthatlan megoldások Q1 34. ábra Értékelés két szempont szerint minimalizálás esetén 6.2 Megoldási lehetőségek Efficiens megoldások A d* a polioptimalizációs feladat gyenge efficiens megoldása, ha nem található olyan d∈B c , amelyre minden k=1,2,.p esetén Q k (d)<Q k (d*). (Nem növelhető meg egyszerre az összes célfüggvény értéke.) 51 A d* a polioptimalizációs feladat erős efficiens

(Pareto-optimális) megoldása, ha nem található olyan d∈B c , amelyre minden k=1,2,.p esetén Q k (d)≤Q k (d*), és legalább egy i-re Q i (d)<Q i (d*). (Egyik célfüggvény értéke sem növelhető úgy, hogy a többié ne csökkenjen) az efficiens pontok vagy határpontok, vagy izolált pontok A d e pont efficiens, ha létezik olyan λ=(λ 1 ,λ 2 ,.λ p ), amelyre ∑ i=1p λ i ∇ d Q i (d e )=0, ∑ i=1p λ i =1, λ i ≥0. Kétdimenziós esetben: λ∇ d Q 1 (d e )+(1-λ)∇ d Q 2 (d e )=0, 0≤λ≤1. az efficiens megoldások keresése numerikus úton Kompromisszumos megoldások az efficiens megoldások között keresendők Két megközelítés: 1)Az összes efficiens megoldás halmazának a generálása, amelyből a választás szakértői tevékenységgel történik. 2)Szakértői tevékenységgel hasznossági függvény (U) definiálása, és a hasznossági függvény szerinti optimális megoldás(ok) meghatározása. Q2 Összehasonlíthatlan Rosszabb

megoldások megoldások Jobb megoldások Efficiens megoldások Összehasonlíthatlan megoldások 35. ábra Efficiens megoldások Q1 a) A hasznossági függvény módszere • Lineáris kombináció U(d,λ)=∑ i=1p λ i Q i (d), ahol λ i ≥0,i=1p • Kvadratikus kombináció U(d,λ)=∑ i=1p λ i Q i 2(d), ahol λ i ≥0,i=1p ⇒ az eredeti feladat valamely efficiens megoldásait szolgáltatják (de nem biztos, hogy mindegyiket) b) A korlátok módszere Primális célfüggvény: Q m , 1≤m≤p, valamint ε i -korlátok, i=1p, i≠m 52 min d Q m (d) felt.: Q i (d) ≤ε i , i=1p, i≠m d∈B c , B c ={d: s(d)≤ D 0} c) A kompromisszum-programozás módszere Definíció Legyen Q iu =min d Q i (d), i=1p felt.: d∈B c , Ekkor a Q u =(Q 1u ,Q 2u ,.Q pu ) vektort a polioptimalizációs feladat utópikus pontjának nevezzük. az utópikus pont kijelöli a tervezési célok vektorát (halmazát) az utópikus ponttól való távolság minimalizálása min d ρ(Q(d),Q u (d))

felt.:d∈B c , B c ={d: s(d)≤ D 0} az utópikus ponttól való súlyozott eltérés minimalizálása ω=(ω1 ,ω2 ,.ωp ), ωi ≥0 - súlyvektor min γ felt.:γ∈R, d∈B c , Q i (d)-ωi γ≤Q iu , i=1p min d max i |(Q i (d)-Q iu )/ωi | felt.:d∈B c 7. Rugalmas struktúrájú rendszerek tervezése 7.1 A rugalmas struktúrájú rendszerek tulajdonságai Rugalmas struktúrájú rendszer: valamely feladatcsoport megvalósítására szolgáló rendszer, amely a különböző, időben elosztott (és többnyire ismétlődő) feladatokat az azoknak megfelelően változó struktúrákkal képes végrehajtani Összetett szakaszos rendszerek, mint csatolt szakaszos műveleti egységek (szervezett) együttese Időben folytonos, (többnyire) dinamikus rendszerek és egy diszkrét eseményű rendszer sajátos, hierarchikus kombinációja, mivel • a rendszerelemek és/vagy alrendszerek (műveleti egységek) időben folytonos, diszkrét vagy folytonos állapotterű rendszerek, míg •

a rendszerelemek és/vagy alrendszerek együttese változó struktúrájú, diszkrét eseményű rendszert alkot Rugalmasság (flexibilitás) ⇒ az ellenpontja az egységesítés ⇒ adaptációs képesség 53 Alapanyag Termék Munkaerő stb. Rugalmassági kategóriák Termék-mennyiség Termelési program Művelet Tervezés Műveleti egység Folyamat • parametrikus: egyetlen struktúrán belül • topológikus: különböző struktúrákon keresztül Az optimális rendszer általában nem rugalmas ⇒ a rendszer minden tervezéstől függő változója pontosan meghatározott 7.2 A feladatok ütemezése Az aggregált terv első periódusának ismeretében lehet szintetizálni el az adott periódusra vonatkozó struktúrákat és tevékenységi programot. Ez A műveleti kapacitás a program kidolgozása során fontos korlátozás A rendszer kapacitása: a rendszer műveleti kapacitásaiból származó fontos korlátozás Átbocsájtó-képesség: a tényleges

teljesítőképesség Legyen: U={U α ,U β ,U χ ,.} - a műveleti egységek halmaza O={O a ,O b ,O c ,.} - a műveletek halmaza C={C 1 ,C 2 ,C 3 ,.} - a korlátozások halmaza Korlátozások: • időbeli: kezdési idő, befejezési idő, megszakítások • kizárási: egyes feladatoknak osztozkodniuk kell bizonyos forrásokon • sorrendi: egyes feladatok olyan dolgokat igényelnek (anyag, információ), amit más feladatok hoznak létre (generálnak) OxU={(O a ,U α ,)} - a műveleti egységek és műveletek Descartes-szorzata Műveleti hozzárendelés (allokáció): P ⊂ OxU={(O a ,U α ,)} Feladat-osztályok: 1) Adott a műveletek O halmaza. Határozzuk meg a műveleti egységek U és a h ozzárendelések P halmazát úgy, hogy teljesüljenek a rendszerre vonatkozó C korlátozások, és az U és P halmazok adott értelemben legyenek optimálisak! ütemezési feladat 2) Adott: a műveletek O halmaza, a műveleti egységek U halmaza, valamint a hozzárendelések P halmaza.

Mutassuk meg, hogy a rendszerre vonatkozó C korlátozásokat ki lehet elégíteni! megvalósíthatósái vizsgálat Geometriai reprezentáció: Gantt diagramokkal 54 Algoritmikus tervezés vegyes egészértékű-lineáris (vagy nemlineáris) programozással. Kitűnő megoldásokat kaphatunk a szakaszos rendszerek szimulációs vizsgálatainak segítségével is A szakaszos rendszerek szimulációja diszkrét eseményű rendszerekként 8. Diszkrét eseményű rendszerek 8.1 A diszkrét eseményű rendszerek fogalma Diszkrét eseményű rendszer: véges működési idő alatt (korlátos T időtartományban) véges számú esemény történik Az egyes rendszerelemekkel kapcsolatos (diszkrét) események a folytonos rendszeridő-koordinátára vannak felfűzve szekvenciálisan-szimultán (egymást követő/egymással egyidejű események/műveletek/tevékenységek) a rendszeridőt mérő óramechanizmussal • szinkronizált • nem szinkronizált módon. x (állapot) t0 t1

Események t2 t3 t4 . ti-1 ti ti+1 t (rendszeridő) 36. ábra Diszkrét eseményű rendszer állapotváltozásai Előnyeik: • nagy flexibilitás: a rugalmas gyártósorok alapelemeiként lehet őket felhasználni Tervezésük lényegében egy térbeli – struktúra- – és időbeli – tevékenység- (művelet-) – tervezés sajátos kombinációja. Azonban itt is nagyon hasznos a hierarchikus tervezési metodika alkalmazása Itt ez az időhorizontok hierarchiáját jelenti Hosszabb időhorizontra (koordinációs szint): aggregált terv Rövid időhorizontra (lokális szint): műveletterv Ez már lényegében a rendszertervezés és rendszerirányítás kombinációja. 55 A rendszerrel kapcsolatos (diszkrét) események a folytonos rendszeridő-koordinátára vannak felfűzve szekvenciálisan-szimultán (egymást követő/egymással egyidejű események / műveletek / tevékenységek) a rendszeridőt mérő óramechanizmussal • szinkronizált • nem

szinkronizált módon. Általános komponensei (fogalmai) • Rendszer-állapot • Rendszer-idő szimulációs óramechanizmus • Esemény esemény-lista • Inicializáló eljárás • Időkezelő eljárás • Eseménykezelő eljárás(ok) • Folyamatokat modellező eljárások megfigyelések alapján • Statisztikai értékelő eljárás • Jelentés-generáló eljárás Módszerei: • esemény-orientált szimuláció • folyamat-orientált szimuláció 8.2 Sorbanállási rendszerek Alapfogalmak: Ügyfél-populáció (kliens) Kiszolgáló egység-kapacitás Kiszolgálási idő A potenciális Kiszolgáló ügyfelek egység halmaza Várakozó ügyfelek 25. ábra Rendszer-kapacitás Érkezési folyamat 56 A várakozó sor viselkedése N(t) - a rendszerben tartózkodó munkafeladatok száma P n (t)=P{N(t)=n N(0)=0} P n - a P n (t) stacionárius állapotbeli értéke λ n - érkezési intenzitás (ha n munkafeladat van a rendszerben) µ n - feldolgozási

(kiszolgálási) intenzitás (ha n munkafeladat van a rendszerben) ρ - a rendszer kihasználási intenzitása c - a műveleti egységek száma L - a rendszerben lévő munkafeladatok várható értéke (stacionárius állapotban) L q - a várakozó sorban lévő munkafeladatok várható értéke (stacionárius állapotban) W - egy munkafeladat várakozási idejének várható értéke (stacionárius állapotban) Wq - egy munkafeladat sorban való várakozási idejének várható értéke (stacionárius állapotban) K - a rendszerben lévő munkafeladatok maximális száma Feltétel: az érkezési és feldolgozási intezitások állandó értékűek (λ, µ) ρ= λ cµ W = Wq + Little-formulák T 1 µ L = λW Lq = λWq - két szukcesszív beérkezés között eltelt idő véletlen változó: exponenciális eloszlású P{T > t} = exp(−λt ) P{t ≤ T } = 1 − exp(−λt ) p (t ) = λ exp(−λt ) Memória nélküli folyamatok ⇒ A t időpontig történt beérkezések

száma Poisson-eloszlású: (λt ) n exp(−λt ) P{ A(t ) = n} = , n = 0,1,2,. n! Sorbanállási rendszerek jelölése Beérkezési folyamat jellege/Kiszolgálási folyamat jellege/Kiszolgáló egységek száma M - Markov típusú folyamat G – általános eloszlású folyamat M/M/1 rendszer: Mérlegelv: Stacionárius állapotban a bérkezési és eltávozási inetnzitásoknak egyenlőknek kell lenniük. Mérlegegyenletek: 57 µPn +1 + λPn −1 Stacionárius megoldás: akkor létezik, ha µP1 = λP0 = ( µ + λ ) Pn , 1 ≤ n < ∞ ρ= λ <1 µ és akkor Pn = ρ n (1 − ρ ), n = 0,1,2,3,. N(t) 6 5 4 3 2 1 t Beérkezések Eltávozások 26. ábra Karakterisztikus jellemzők: ρ2 és Lq = L= 1− ρ (1 − ρ ) ρ2 ρ és Wq = W = λ (1 − ρ ) λ (1 − ρ ) ρ A várakozási idők eloszlásai: P{W > t} = exp[− ( µ − λ )t ] P{Wq > t} = ρ exp[− ( µ − λ )t ] M/M/c rendszer: Ha a T 1 , T 2 , T m független exponenciális eloszlású

valószinűségi változók azonos µ intenzitásokkal, akkor akkor a T = min (T1 , T2 ,.Tm ) szintén exponenciális eloszlású mµ intenzitással. 58  c −1 (cρ ) n (cρ ) c  + (1 − ρ ) −1  P0 = ∑ c!  n =0 n!  c c +1 c ρ Lq = P0 c!(1 − ρ ) 2 L = Lq + cρ Wq = −1 Lq λ W = Wq + 1 µ 9. A rendszerek megbízhatósága 9.1 A megbízhatóság fogalma A rendszer struktúrafüggvénye Feltételek • az R rendszer N elemből (részrendszerből) áll • az n-edik elem (részrendszer) működési állapotát az X n bináris valószínűségi változóval jellemezzük 1, ha az n-edik elem működik a [0,t] intervallumban Xn= 0, ha az n-edik elem elromlik a [0,t] intervallumban • az R rendszer működési állapotát a Φ(X 1 ,X 2 ,X N ) bináris valószínűségi változóval (függvénnyel) jellemezzük Φ(X 1 ,X N )= 1, ha rendszer működik a [0,t] intervallumban 0, ha rendszer elromlik a [0,t] intervallumban Párhuzamos rendszer akkor

működik, ha legalább egy komponense működik Φ(X 1 ,X N )=1-(1-X 1 )*(1-X 2 )(1-X N )=max{X 1 ,X N } ⇒ Φ - az R rendszer (működési) struktúrafüggvénye Soros rendszer akkor és csak akkor működik, ha minden komponense működik Φ(X 1 ,X N )=X 1 *X 2 X N =min{X 1 ,X N } “N-ből k” rendszer akkor működik, ha az N komponensből legalább k működik 59 N 1, ha ∑X 0, ha ∑X Φ(X 1 ,X N )= n =1 n ≥k n <k N n =1 Feltétel a Φ függvényre: Ha x n ≤y n minden n=1,2, N esetén, akkor Φ(x 1 ,x 2 ,x N )≤Φ(y 1 ,y 2 ,y N ) Az R rendszer megbízhatósága R=P{Φ(X 1 ,X 2 ,X N )=1} Illusztráció P{X n =1}=p n ; P{X n =0}=1-p n Soros rendszer Párhuzamos rendszer “N-ből k” rendszer p 1 =p, p 2 =p,p N =p R(p 1 ,p 2 ,p N )=p 1 ∗p 2 ∗∗p N R(p 1 ,p 2 ,p N )= 1-(1-p 1 ) ∗ (1-p 2 ) ∗∗ (1-p N ) N R(p,p,p)= ∑ n= k n! p k (1 − p) N − k k !(n − k )! 9.2 A rendszerek megbízhatóságának típusai Időbeli változások

A λ(t) intenzitásfüggvény lehet állandó, növekvő vagy csökkenő értékű - a fizikai-kémiai folyamatok hatásától függően • a hatás elhanyagolható mértékű tranziens folyamat - állandó intenzitásfüggvényt eredményez λ(t)≡constant=λ exponenciális megbízhatóság R (t ) = exp( − λt ) • adaptációs hatás tranziens folyamat - csökkenő intenzitásfüggvényt eredményez ⇒ csökkenő elromlási arány (CsEA) • elhasználódási hatás állandósult folyamat - növekvő intenzitásfüggvényt eredményez ⇒ növekvő elromlási arány (NEA) 60 Összetett rendszer megbízhatósága A számítás a hálózati szinten történik 1.módszer 1.lépés: Az R rendszer működését biztosító realizációk meghatározása 2.lépés R(R)=∑ k P k {Utat tartalmazó realizáció} ⇒ logikai hálózatok szimulációja 2.módszer 1.lépés: Az R rendszer minimális útjai halmazának a meghatározása 2.lépés: R(R)=R{Az összes minimális út

mint párhuzamosan kapcsolt alrendszerek együttese} Mintapélda u1 u2 s1 s2 s3 u4 s4 s5 u3 28. ábra M1. Irodalom 1 Lakatos B.: Rendszerek tervezése és irányítása Előadások VE, Veszprém 2 Blanchard, B.S and WJ Fabrycky, 1998, Systems Engineering and Analysis Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. 3 Hillier, F.S és GJ Lieberman, 1994, Bevezetés az operációkutatásba LSI Oktatóközpont, Budapest. 4 Douglas, J.M, 1988, Conceptual Design of Chemical Processes McGraw-Hill, New York 5 Findeisen, W. (Ed), 1985, Systems Analysis: Fundamentals and Methodology PWN, Warsaw Szintézis Értékelés Analízis 61 Tartalomjegyzék 8. Rendszerek irányítása 8.1 A rendszerirányítás feladata és típusai 8.2 Irányítási koncepciók és irányítási struktúrák 9. Szabályozási algoritmusok 9.1 Két- és háromállású szabályozás 9.2 PID szabályozók 9.3 Összetett szabályozások 10. A szabályozási rendszerek analízise 10.1 Analízis az idő-,

frekvencia és Laplace-tartományban 10.2 Stabilitási vizsgálatok 10.3 A diszkrét idejű rendszerek analízise 11. Szabályozási rendszerek tervezése 11.1 A szabályozott és beavatkozó jellemzők kiválasztása 11.2 Tervezési kritériumok 11.3 Szabályozók hangolása 12. Modell-bázisú szabályozási algoritmusok 12.1 Modell-hiba visszacsatolás 12.2 Holtidő kompenzáció 12.3 Közvetett mérésen alapuló szabályozás 12.4 Modell-prediktív szabályozók 12.5 Statisztikus folyamatszabályozás 13. Adaptív és tanuló szabályozás 13.1 Rendszeridentifikáció és módszerei 13.2 Adaptív szabályozási rendszerek 13.3 Tanuló és szakértői szabályozás Irodalomjegyzék Mellékletek 63 8. A rendszerek irányítása 8.1 A rendszerirányítás feladata és típusai Minden műszaki-gazdasági rendszer irányított (is) 1769: J. Watt gőznyomás-szabályozója 1920: az automatikus irányítás kezdetei - szervomechanizmusok 1932: az első általános elméleti

megközelítés (Bode) 1948: kibernetika (N.Wiener) - visszacsatolás ⇒SISO rendszerek irányítása ⇒MIMO rendszerek irányítása ⇒ rendszerek optimális irányítása Definíciók Irányítás: valamely rendszer működésének, viselkedésének a befolyásolása jól meghatározott cél érdekében Vezérlés: a beavatkozás alapja (kizárólag) valamely külső ismérv, és eredménye a vezérlő egységre nem hat vissza Szabályozás: a beavatkozás alapja az irányított objektumról kapott információ Kézi szabályozás Önműködő szabályozás • értéktartó • követő • menetrendi (program-) szabályozás • értékkövető szabályozás A szabályozási kör elemei: Szabályozott szakasz (objektum, folyamat, rendszer) Beavatkozó szerv Végrehajtó szerv Különbségképző szerv Alapjelképző szerv Érzékelő szerv Távadó Az irányítási folyamat műveletei: érzékelés, ítéletalkotás, rendelkezés, beavatkozás Információ: valamely jelhordozó

által közvetített jelelemek olyan konfigurációja, amelynek (a címzett számára) értelme van Jel: valamely (fizikai, kémiai, biokémiai) állapothatározó olyan értéke vagy értékváltozása, amely (a címzett számára) értelmezhető A szabályozási kör jellemzői: Alapjel Rendelkező jel Beavatkozó jel Módosított jellemző 64 Szabályozott jellemző Ellenőrzőjel 8.2 Irányítási koncepciók és irányítási struktúrák Előrecsatolt szabályozás GCf(s) D Gmd(s GD(s - W GCc(s) GM(s + GS(s) Y + + Előrecsatolt szabályozás zárt hurkú rendszeren GCF(s D GMD( GD(s - W + - GCB(s GM(s + GS(s + Y + GFB(s 9. Szabályozási algoritmusok 9.1 Két- és háromállású szabályozás • kétállású szabályozás (ki-be; on-off; bang-bang) u be , ha e ≥ e0 u (t ) =  u ki , ha e < e0 ⇒ kétállású szabályozás hiszterézissel Ha a hibajel zajos, akkor a ki-be szabályozó megpróbálja a z ajt szabályozni. Ezt a h

atást a háromállású szabályozóval lehet redukálni • háromállású szabályozás 65 u be , ha e ≥ e0  u (t ) = nincs változás, ha − e0 < e ≤ e0 u , ha e < e 0  ki u(t)=u max , ha e≥0 u(t)=u min , ha e<0 9.2 PID szabályozók • arányszabályozás (P) u (t ) = Ke(t ) + u s • integráló szabályozás (I) t 1 u (t ) = ∫ e(τ )dτ + u s TI 0 • differenciáló szabályozás (D) u (t ) = TD • PID szabályozás de(t ) + us dt t   de(t ) 1 u (t ) = K e(t ) + TD + ∫ e(τ )dτ  + u s dt TI 0   9.3 Összetett szabályozások Arányszabályozás A szabályozási struktúra célja két mennyiség (változó) arányának megadott értéken való tartása ⇒ gyakran áramlási sebességek aránya Arányszámító eszközök: 1) osztó: direkt működés F 1 - szabad áramlási sebesség F 2 - szabályozott áramlási sebesség ⇒ változik az F 1 változásával R=F 2 /F 1 K d =(∂R/∂F 2 )=1/F 1 R=F 2 /F 1

K d =(∂R/∂F 2 )=-R/F 2 ⇒ az F 2 nemlineáris függvénye 1) szorzó: a nyitott kör erősítése állandó  Eszköz Bemenet Kimenet Hely  osztó szabad és szabárendelkező zárt kör 66 szorzó lyozott változó szabad változó jel alapjel a zárt körön kívül  Kaszkádszabályozás A szabályozási struktúra célja a z avaró hatások eliminálása és a s zabályozási rendszer dinamikai tulajdonságainak a javítása Alapfogalmak: Elsődleges (szabályozott) változó, másodlagos (szabályozott) változó; Elsődleges folyamat, másodlagos folyamat; Elsődleges (master) szabályozó, másodlagos (slave) szabályozó; Elsődleges szabályozási kör, másodlagos szabályozási

kör; Előnyei: 1) A másodlagos körben fellépő zavaró hatásokat a másodlagos szabályozó redukálja 2) A másodlagos folyamat dinamikai tulajdonságait javítja a másodlagos szabályozási kör 3) A másodlagos szabályozó csökkenti a másodlagos körben fellépő erősítési változásoknak a rendszer válaszára való hatását ⇒ A másodlagos változó kiválasztása: a lehető legnagyobb mértékben redukálja a fő zavaró hatásokat ⇒ Elsődleges szabályozó: PID Másodlagos szabályozó: P 10. A szabályozási rendszerek analízise 10.1 Analízis az idő-, frekvencia és Laplace-tartományban Vizsgálati módszerek: • Időtartomány • Laplace-tartomány • Frekvencia-tartomány ⇒ a vizsgálati jelek problematikája 10.2 Stabilitási vizsgálatok Stabilitás 67 eps x0 xs xs(t) xa(t) delta xu(t) .ábra A Ljapunov stabilitás magyarázatához 1) A rendszer x s stacionárius állapota stabilis, ha tetszőleges ε>0 valós számhoz található

olyan δ(ε)>0 valós szám, hogy az ║x(t 0 )-x s ║=δ feltétel teljesülésekor ║x(t)-x s ║<ε minden t>t 0 időpontra 2) A rendszer x s stacionárius állapota aszimptotikusan stabilis, ha stabilis, és létezik olyan δ>0 valós szám, hogy lim║x(t)-x s ║=0 ha t∝ amennyiben ║x(t 0 )-x s ║=δ 3) A rendszer x s stacionárius állapota nagyban (globálisan) aszimptotikusan stabilis, ha aszimptotikusan stabilis és δ ∝ ⇒ előjel-meghatározottság (definit, szemidefinit, indefinit) ⇒ a Ljapunov-függvény fogalma: V(x) Ljapunov stabilitási tétele Ljapunov labilitási tétele ⇒ csak elégséges feltételek, de általánosak Lineáris időinvariáns rendszerek stabilitása: dx/dt=Ax(t) ⇒ V(x)=xTSx ⇒ A (lineáris, időfüggetlen) rendszer akkor és csak akkor nagyban aszimptotikusan stabilis, ha létezik olyan S szimmetrikus, pozitív definit mátrix, amelyre az mátrix pozitív definit L=-(ATS+SA) ⇒ Szilveszter-kritérium: a kvadratikus

formák előjelhatározottságára 68 Stabilitási kritériumok (a karakterisztikus polinom alapján): K(s)=a n sn+a n-1 sn-1+.+a 1 s+a 0 =0 • Routh-Hurwitz kritérium: A rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha a karakterisztikus polinom valamennyi együtthatója pozitív (szükséges feltétel), és a Routh séma első oszlopának minden egyes eleme is pozitív (elégséges feltétel) K ( s) = a n s n + a n −1 s n −1 +.+ a1 s + a 0 K ( s) = a n ( s + λ1 )( s + λ 2 )( s + λ 3 ).( s + λ n ) Szükséges feltétel: {-λ i <0 ∀i} ⇒ {a j >0 ∀j} Szükséges és elégséges feltétel: Routh séma: sn : sn-1: sn-2: sn-3: an a n-1 b1 c1 s0 : h1 b1 = − 1 an a n −1 a n −1 an−2 c1 = − 1 an −1 b1 b1 an−3 b2 an−3 a n-2 a n-3 b2 c2 a n-4 a n-5 b3 c3 b2 = − 1 an an−1 an−1 c2 = − 1 a n −1 b1 b1 an −4 a n −5 a n −5 b2 ⇒ {A rendszer stabilis} ⇔ (a n >0, a n-1 >0, b 1 >0, b 2 >0, c 1 >0,h 1 >0}

• Mihajlov-Leonhard kritérium: A rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha a K(jω) görbe nem halad át az origón, és az ω körfrekvenciát a 0 <ω<∝ tartományban változtatva éppen n síknegyeden halad keresztül az óramu-tató járásával ellentétes irányban K ( jω ) = a n ( jω ) n + a n −1 ( jω ) n −1 +.+ a1 ( jω ) + a 0 K ( jω ) = (a 0 − a 2ω 2 + a4ω 4 −.) + j(a1 − a3ω 3 + a5ω 5 −) K ( jω ) = Re[ K ( jω )] + Im[ K ( jω )] 69 1.rendű: stabil Im[K(jω)] 2.rendű: stabil ω2 3. rendű: instabil ω3 ω1 ω0=0 Re[K(jω)] a0 ω4 ω5 4.rendű: stabil ω1<ω2<ω3<ω4<ω5 25.ábra A Mihajlov-Leonhard kritérium magyarázatához • Nyquist kritérium A zárt rendszer akkor és csak akkor stabilis, ha a felnyitott kör teljes amplitudó-fázis jelleggörbéje annyiszor fogja körül az óramutató járásával ellentétes pozitív körüljárási irányban a 1+j0 pontot, amennyi a felnyitott kör jobb oldali

pólusainak a száma Nyquist kritérium 1 + G f ( s)Gb ( s) = 0 1 + G ( s) = 0 G ( jω ) = −1 + j 0 + - Gf Gb 26.ábra Visszacsatolt szabályozási rendszer a Nyquist kritériumhoz Im[G(jω)] ω0=0 -1 1.rendű Re[G(jω)] 3.rendű 70 27.ábra A Nyquist kritérium magyarázatához 10.3 A diszkrét idejű rendszerek analízise • Folytonos jelek mintavételezése T - mintavételezési idő f (t ) ⇒ k =∞ f * (t ) = ∑ f (kT )δ (t − kT ) k =0 • Folytonos jelek rekonstrukciója ( Shanon mintavételezési tétele; ωs >2ω0 )  ω (t − kT )  sin  s  2   , ω = 2π f (t ) = ∑ f (kT ) s ω s (t − kT ) T k = −∞ 2 ⇒ Irányítási problémákban: tartószervekkel k =∞ • Z-transzformáció z = exp( sT ) s = ln( z ) T k = ∞  k =∞ L{ f * (t )} = L  ∑ f (kT )δ (t − kT ) = ∑ f (kT ) exp(−kTs )  k =0  k =0 k = ∞  k =∞ Z{ f * (t )} = Z  ∑ f (kT )δ (t − kT ) = ∑ f (kT ) z − k  k =0

 k =0 • Differencia-egyenletek Eltolási operátor q qf (k ) = f (k + 1) ; q n f (k ) = f (k + n) q −1 f (k ) = f (k − 1) ; q − n f (k ) = f (k − n) Differencia operátor ∆α f (k ) = f (k + 1) − αf (k ) = qf (k ) − αf (k ) = (q − α ) f (k ) ∆αn f (k ) = (q − α ) n f (k ), n = 0,1,2,3,. Differencia egyenlet A( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + . + a1 z + a 0 és B ( z ) = bm z m + bm −1 z m −1 + + b1 z + b0 A(q ) y (k ) = B (q )u (k ) vagy A( z ) = a n z − n + a n −1 z − ( n −1) + . + a1 z −1 + a 0 és B( z ) = bm z − m + bm −1 z − ( m −1) + + b1 z −1 + b0 A(q −1 ) y (k ) = B(q −1 )u (k ) • Diszkrét idejű rendszerek stabilitása z = exp(sT ) = exp((σ + jω )T ) = exp(σT ) exp( jωT ) 71 azaz a -∞<σ<0 baloldali félsíknak a z <1 egységsugarú kör felel meg ⇒ Egy lineáris diszkrét idejű rendszer akkor és csak akkor stabil, ha a karakterisztikus függvényének minden gyöke az

egységsugarú körön belül található Módosított Routh kritérium: a z +1 w +1 , illetve z = w= z −1 w −1 Möbius transzformáció segítségével 10.4 Diszkrét idejű szabályozási rendszerek • Folytonos idejű szabályozóval w(t) + Folytonos idejű szabályozó - Szabályozott szakasz y(t) • Diszkrét idejű szabályozóval w(t) + Diszkrét idejű szabályozó - w(t) + - Diszkrét idejű szabályozó Szabályozott szakasz Szabályozott szakasz y(t) y(t) ⇒ A diszkrét idejű szabályozó lehet számítógép is • A PID szabályozó digitális implementációja  1   E (s) U ( s ) = K 1 + TD s + TI s   ⇒ numerikus integrálás, numerikus differenciálás 72 KTD {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} + KT u (kT ) = Ke(kT ) + T TI k ∑ e( jT ) j =1 • A diszkrét idejű szabályozók tervezése A. 1 A folytonos idejű rendszerhez megtervezzük a folytonos idejű szabályozót 2. A folytonos idejű szabályozót átalakítjuk

diszkrét idejű szabályozóvá B. 1 Meghatározzukk a folytonos idejű rendszer diszkrét idejű (rendszer)modelljét 2. A diszkrét idejű rendszerhez diszkrét idejű szabályozót tervezünk Tervezési egyenlet közvetlen szintézisre G(z)Gc ( z ) Y (z) = W(z) 1 + G(z)Gc ( z ) ⇒ Y (z) Gc ( z ) = G(z)[W(z) - Y ( z )] A mintavételezési idő meghatározása Fontos a szabályozási rendszer minősége szempontjából ⇒ a Shannon tétel alapján Empirikus szabályok a mintavételezési idő kiválasztására Amihez illesztjük Folyamat modell: exp( −TH s) K 1 + Ts P szabályozó PID szabályozó Mintavételezési idő Ts Megjegyzés 0.2<T s /T H <1 Ha T H túlságosan kicsi, akkor T s <0.1T T s >0.01T I 0.1T D <T s <05T D 0 T s >0.01T I 11. Szabályozási rendszerek tervezése 11.1 A szabályozott és beavatkozó jellemzők kiválasztása A kimeneti jellemzők közül válaszd szabályozott jellemzőnek: 1) A termék minőségét direkt módon

meghatározó, vagy azt erősen befolyásoló jellemzőt; 2) A berendezés vagy az üzemelés korlátait meghaladó jellemzőt; 3) Azt a jellemzőt, amelynek valamelyik módosított jellemzőhöz viszonyítva jók a dinamikus és stacionárius átviteli karakterisztikái; 4) Azt a jellemzőt, amelyet könnyen, gyorsan és megbízhatóan lehet mérni (kis időállandójú mérőrendszerrel)! Ne válaszd szabályozott jellemzőnek: 5) Az önszabályozó jellemzőt! 73 A módosított jellemzők kiválasztása A bementi jellemzők közül válaszd módosított jellemzőnek: 1) Azt a jellemzőt, amelynek jelentős hatása van a kiválasztott szabályozott jellemzőre (az erősítési tényező nagy); 2) Azt a jellemzőt, amelyet széles tartományban lehet változtatni; 3) Azt a jellemzőt, amelyik gyorsan befolyásolja a kiválasztott szabályozott jellemzőt (a dinamikus válasz gyors); 4) Azt a jellemzőt, amelyik közvetlenül befolyásolja a kiválasztott szabályozott jellemzőt,

és minimális a hatása az egyéb szabályozott jellemzőkre! Az irányítási rendszerek fejlesztésének lépései 1) Az irányítandó rendszer és az irányítás céljának meghatározása • a zavaró jellemzők hatásának csökkentése/kiküszöbölése • a rendszer stabilitásának a biztosítása • a rendszer előírt állapotának/viselkedésének a biztosítása stacionárius, instacionárius programszerű, kedvező, optimális 2) Az irányítandó rendszer matematikai modelljének a k idolgozása – a korlátozásokkal együtt • Laplace-tartomány, frekvencia-tartomány • időtartomány 3) Az irányítási algoritmus megtervezése 4) Az irányítási rendszer számítógépes szimulációja 1. ellenőrzés: Ha a szimulációval kapott eredmények nem kielégítők, akkor ugrás a 3 lépésre 5) Az irányítás hardver elemeinek a szelekciója 2. ellenőrzés: Az irányító rendszer hardver elemeit a 3 lépésben kapott modell(ek)nek megfelelően kell

kiválasztani. Ha eredmény nem kielégítő, akkor ugrás a 2 lépésre 6) A rendszer installációja és hangolása 11.2 Tervezési kritériumok 74 11.3 Szabályozók hangolása A reakciógörbe módszere Ugrásfüggvény + GC(s) - GS(s) GF(s) Válasz y∞ u∞ y(t) u(t) tan(α)=m=y∞/T m T TH G A ( s) = K T=y∞/m t K=y∞/u∞ exp( −TH s) 1 + Ts Beállítás Szabályozó P PI PID KC T/T H 0.9T/T H 1.2T/T H TI ∞ 3.33T H 2T H TD 0 0 0.5T H 12. Modell-bázisú szabályozási algoritmusok 12.1 Modell-hiba visszacsatolás 12.2 Holtidő kompenzáció Smith prediktor IMC struktúrával: Ha G m =G s , akkor G c G s e − TH s Y ( s) = W ( s) 1 + G m (1 − e − TH s )G c + G s e − TH s G c 75 Inverz válaszú rendszer szabályozása Gs = − Y ( s) G c G m e TH s = W ( s) 1 + Gm Gc K 2 − K1 + ( K 2 T2 − K1 T1 )s K1 K 2 (1 + T1 s)(1 + T2 s) Ha K 2 T 2 -K 1 T 1 >0, akkor inverz válaszú rendszer 12.3 Közvetett mérésen alapuló

szabályozás ⇒ a modellek alkalmazásának sok esetben hasznos esete 12.4 Modell-prediktív szabályozók Optimális irányítás-bázisú módszer a rendelkező jel (irányítás szelekciójára valamely célfüggvény szélsőértékének a meghatározásával • A t 0 időpontban az u opt irányítás meghatározása a t 0 idő-pontban megfigyelt feltételekre u(t) uopt(t) t0 t1 tf t tf t y(t) yopt(t) t0 t1 76 • A t k0 időpontban az u k,opt irányítás meghatározása a t k0 időpontban megfigyelt feltételekre uk(t) ukopt(t) tk0 t1 t0 tk1 tf tkf t yk(t) ykopt(t) t0 tk0 t1 tk1 tf tkf t • A t k0 időpontban az u k,opt irányítás meghatározása a t k0 Diszkrét idejű szabályozó uk Szabályozott szakasz Modell y(t) yM(t) Optimalizáló Célfüggvény 12.5 Statisztikus folyamatszabályozás A rendszerek automatizálásának két oldala: 77 • folyamat-szabályozás a folyamat-jellemzők megadott értékeinek elérése és/vagy

stabil megtartása (fenntartása) jelenleg már nagy mértékben automatizált • folyamat-menedzsment a folyamat-jellemzők kedvező (optimális) értékeinek, és az elérésükhöz szükséges feltételek meghatározása ( azaz a folyamat-szabályozás számára az alapjelek meghatározása) ez még többnyire a humán felügyelet (menedzsment) feladata (rendszertervezés, termeléstervezés, termelés-programozás), de egyre több funkciója kerül automatizálásra A technikai fejlődéssel a fejlesztés súlypontja a folyamat-menedzsmentre tevődik át Sok jellemzőt azonban csak statisztikai eszközökkel lehet (bizonyos mértékig) kvantifikálni ⇒ statisztikus folyamat-szabályozás (SPC) statisztikus minőség-szabályozás (SQC) Statisztikus folyamat-szabályozás SFS,SPC Alapfeladata: a (termelési) folyamat szisztematikus és statisztikailag értékelhető módon való ellenőrzése • Rövid távon: a problémák identifikálása és mérése • Hosszabb távon:

a mérések eredményeinek, a körülmények, az ok-okozati viszonyok elemzésével a (termelési) folyamat javítása A matematikai statisztika alapfogalmaival dolgozik (minta, mintavétel, statisztika, hipotézis, statisztikai próba) Egy jellemző SFS-értelemben jól szabályozott, ha a jellemző méréseivel előállított véletlen minta normális eloszlású, és az előírt átlagérték körül a szórás függvényeként meghatározott ablakba esik Folyamatjellemző Felső határérték Jellemző-átlagérték Alsó határérték Folyamat-idő 25.ábra A statisztikus folyamatszabályozáshoz Az előírt értéktől való eltérések okai lehetnek 78 • természetes változások • rendkívüli változások ⇒ Pareto analízis 13. Adaptív és tanuló szabályozás 13.1 Rendszeridentifikáció és módszerei 13.2 Adaptív szabályozási rendszerek Adaptív szabályozási algoritmusok Egy szabályozott rendszer (folyamat) • paraméterei • környezete változnak

az időben 13.3 Tanuló és szakértői szabályozás Mellékletek M1. Irodalom 1 Lakatos B., 1999, Rendszerek tervezése és irányítása Előadások VE, Veszprém 2 Szeifert F., Chován J Tibor és Nagy L,1995,Szabályozó algoritmusok - szabályozó tervezés Jegyzet VE, Veszprém 3 Helm L., 1970, A szabályozástechnika kézikönyve Műszaki, Budapest 4 Rao, M. and H Qui, 1993, Process Control Engineering Gordon & Breach, Chemin de la Sallaz, Switzerland. M2. Definíciók Algoritmus: szigorú sorrendben, lépésenként végrehajtandó módszer valamely feladat elvégzé-sére (probléma megoldására) Rendszer: a valóság meghatározott része, amelyet környezete a rendszer bemenetein keresztül befolyásol, és amely környezetre maga a rendszer kimenetei által van hatással Matematikai modell: a rendszerről való lényeges, szervezett ismereteink matematikai fogalmak és relációk formájában történő kifejtése Számítógépi modell: a rendszer matematikai

modelljének számítógépi program formájában megadott (számítógépi) reprezentációja Megismerési modell: a rendszerről való ismereteink teljes reprezentációja a rendszer sokrétű, különböző szempontok szerinti vizsgálatára ⇒ elégséges leírás Alkalmazási modell: a rendszerről való ismereteink (egy részének) az adott alkalmazási célhoz szükséges reprezentációja 79 ⇒ szükséges leírás Metamodell: valamely modellről mint rendszerről alkotott modell Esemény: a rendszer és környezete valamely részének (elem, alrendszer, stb.) és/vagy tulajdonságának a megváltozása Folyamat: események időben szekvenciális sorozata ⇒ természetes; mesterséges munkafolyamat Folyamat-rendszer: folyamatok szervezett, rendszerbe foglalt együttese Kísérlet: a rendszer egyes bemeneteinek célszerű változtatása a rendszer válaszának megfigye-lése érdekében Rendszer-szimuláció: a rendszer modelljén végzett kísérlet Művelet: az ember

által tudatosan előidézett esemény ⇒ időben koncentrált, időben elosztott Tevékenység: az ember által (tudatosan) végzett művelet ⇒ időben koncentrált, időben elosztott Munka-tevékenység: használati érték (termék, szolgáltatás) előállítását célzó tevékenység Munkafolyamat: használati érték előállítását célzó tevékenységek időben szekvenciális sorozata Műszaki-gazdasági folyamat(rendszer): folyamatok komplex, szervezett együttese, amely használati értékek (termékek, szolgáltatások) előállítását (termelését) célozza Műszaki-gazdasági rendszer: materiális és humán elemek komplex, szervezett együttese, amely használati értékek (termékek, szolgáltatások) előállítását (termelését) célozza ⇒ szupermakro-, makro-, mikro- és szubmikro műszaki-gazdasági rendszer Rendszer-folyamat: a rendszer időbeli állapotváltozása (a folyamat matematikai megfogalmazása) geometriai reprezentációja a trajektória

Rendszer- és modell-típusok: időben - állapottérben • folytonos • diszkrét rendszerek modellek Szuperstruktúra: a lehetséges tervezési variánsok szervezett formában megadott együttese Modell-típusok: • kvantitatív • kvalitatív modellek Szakaszos rendszer: működése idején (a T időtartományban) zárt rendszer ⇒ x(0)≠0; u(t)≡0 és y(t)≡0 Folyamatos rendszer: működése idején (a T időtartományban) nyílt rendszer ⇒ x(0) tetszőleges; u(t)≠0 és y(t)≠0 Félfolyamatos rendszer: van olyan bemenete (és kimenete), amely működése idején (a T időtartományban) nem azonosan zérus értékű ⇒ x(0) tetszőleges; ∃i ui(t)≠0 és y(t)≠0 Diszkrét eseményű rendszer: véges működési idő alatt (korlátos T időtartományban) véges számú esemény történik Összetett szakaszos rendszer: csatolt szakaszos műveleti egységek (szervezett) együttese Elemi rendszer: nincsenek (definiálva) alrendszerek Összetett rendszer: alrendszerek

rendszerré szervezett együttese Keresés: olyan módszer, amellyel egy probléma megoldásához el lehet jutni, amikor a lehetséges utak (megoldások) száma magas 80 ⇒ módszeres gondolkodás • állapotgráf, keresési fa, keresési tér • keresés mélységben és szintben Mesterséges intelligencia: az ember intellektuális tevékenységét szimuláló (számító)gép Intuíció: nem teljes vagy ellentmondó információból megfelelő magyarázatra való átug-rás Heurisztika: szigorúan nem igazolható, - tapasztalati tényeken, megfigyeléseken - alapuló szabály Döntésfa: döntési alternatívák - a lehetséges változatok és/vagy választások - grafikus megjelenítése Receptúra: termék vagy szolgáltatás előállításához szükséges feladatok rendezett halmaza Részben rendezett halmaz: Elemek valamely H halmazát részben rendezettnek mondjuk, ha egyes elempárjaira értelmezve van egy a≤b rendezési reláció úgy, hogy tetszőleges a,b,c∈H

elemekre teljesülnek a következők: 1) a≤a (reflexivitás) 2) ha a≤b b≤a, akkor a=b (antiszimmetria) 3)ha a≤b és b≤c, akkor a≤c (tranzitivitás). Az a<b jelentése: a≤b, de a≠b. Lineárisan rendezett halmaz: A H halmaz teljesen (lineárisan) rendezett halmaznak nevezzük, ha értelmezve van benne egy rendezési reláció úgy, hogy tetszőleges a,b∈H elempárra vagy a≤b, vagy b≤a. Metrika: A ρ:RnxRn R+ 0 nemnegatív függvényt metrikának nevezzük az Rn lineáris vektortérben, ha tetszőleges a∈Rn, b∈Rn és c∈Rn vektorokra fennáll: a) ρ(a,b)≥0, és ρ(a,b)=0 akkor és csak akkor, ha a=b; b) ρ(a,b)=ρ(b,a); c) ρ(a,b)+ρ(b,c)≥ρ(a,c); vektorok távolsága l ∝ (a,b)=ρ ∝ (a,b)=max 1≤i≤n |a i -b i | l p (a,b)=ρ p (a,b)=[∑ i=1n |a i -b i |p] 1/p l g (a,b)=ρ g (a,b)=∏ i=1n |a i -b i | vektorok súlyozott távolsága l ∝ (a,b)=ρ ∝ (a,b)=max 1≤i≤n ωi |a i -b i | l p (a,b)=ρ p (a,b)=[∑ i=1n ωi |a i -b i |p] 1/p l g

(a,b)=ρ g (a,b)=∏ i=1n ωi |a i -b i | ahol ωi >0, i=1n 81