Informatika | Távközlés » Diverziti technikák

Diverziti technikák A diverziti nem jelent mást, mint azt, hogy a mobil vétel helyén két vagy több független (korrelálatlan) fadinggel terhelt jelet f elhasználva (kombinálva) csökkentjük annak az esélyét, hogy az eredő (kombinált) jel szintje egy küszöbérték alatt m arad. A diverziti rendszerek tehát többszörös (többutas) vevőből és kombináló rendszerből (algoritmusból) állnak. A diverziti rendszereket két alapcsoportba osztjuk • Makroszkopikus diverziti: itt az lassú fading hatásának csökkentéséről van szó azáltal, hogy a vételi minőség javítására például több különböző helyen elhelyezett bázisállomásról sugározzuk ugy anazt az adást, és a mobil vevőben tipikusan szelektív kombájnert alkalmazunk. • Mikroszkopikus diverziti: itt a mobil vevő helyén alkalmazunk valamilyen elven többszörös vételt elsősorban a gyors, dinamikusan változó fadingkomponensek hatásának csökkentésére. A továbbiakban

vizsgálatainkat a m ikroszkopikus diverzitire koncentráljuk, melynek típusai a következők • Térdiverziti: két vagy több antenna elhely ezése egymástól elkülönítve a mobil egységen • Frekvencia diverziti: a koherencia sávszélességnél nagy obb frekvencia távolságban az adás és a vétel megismétlése • Polarizáció diverziti: a vett jel tipikusan két polarizációs összetevőjének elválasztott vétele • Elektromágneses komponens diverziti: a vevőnél kialakuló elektromos és mágneses tér összetevőinek párhuzamos vétele • Szögdiverziti: nagyfrekvenciás (>10 GHz) átvitel esetén több irányú irányított antennák alkalmazásával többszörös vétel megvalósítása • Idődiverziti: azonos üzenetek adása és vétele különböző időintervallumokban, amelyekre már független fading hat A kombájnerek felépítése és típusai A következőkben a leggyakrabban alkalmazott kombájnereket ismertetjük. Az egyszerűség kedvéért

valamennyinél csak a kétutas m egoldást rajzoljuk f el. Az egyes kombájnertípusok bemutatása után először rátérünk a leírás szempontjából legösszetettebb lineáris kom binációs maximális jel-zaj viszonyú kombájner részletes analízisére, majd másik három, szuboptimális vételt biztosító megoldást vizsgálunk meg. 127 Szelektív kombájner Ez a legnagyobb szintű jelet választja ki az M különböző, párhuzamosan vett jelből. V V 7.1a ábra Szelektív kombájner Kapuzott kombájner Az alábbi algoritmus szerint működik (két út esetén): kiválasztjuk az egyik jelet, és addig vesszük, amíg az egy adott küszöbszint f elett van, egy ébként a másik jelre kapcsolunk át f üggetlenül attól, hogy annak m ilyen a szintje. Megvalósítástól függ, hogy mi történik, ha a m ásodik jel is éppen a küszöb alatt van ebben az időben. V 7.1b ábra Kapuzott kombájner Azonos erősítésű kombájner Itt a vett jeleket súlyozás nélkül

összegezzük, és az így kapott eredő jelet demoduláljuk. V V 7.1c ábra Azonos erősítésű kombájner 128 Lineáris kombinációs maximális jel -zaj viszonyú kombájner ( optimális lineáris kombájner): Itt azt a súly ozó vektort választjuk, am elyik mellett a kimeneti jel-zaj viszony a legnagyobb. súly súly V V 7.1d ábra Lineáris kombinációs maximális jel-zaj viszonyú kombájner 7.1 Az optimális lineáris kombájner analízise csatornainformáció esetén Az optimális lineáris kombájner analízisét először a csatornainformáció ismeretére alapozva végezzük el. Mindenekelőtt a kiindulási feltevéseket fogaljuk össze. Optimálisnak nevezzük a lineáris kom binációs kombájnert, ha a súlyok megfelelő megválasztásával maximalizáljuk a jel-zaj viszonyt. Feladatunk az optimális vételhez szükséges súlyok meghatározása. A kombájner valós kimeneti jelét az { } r (t ) = Re rekv (t ) e j 2π f 0 t = Re{r+ (t )} jelöli. A

fadingről feltételezzük, hogy multiplikatív és lassú, ami azt jelenti, hogy csak szimbólumidőnként változik és a különböző diverziti ágba érkező jelhez tartozó fadingminták függetlenek (a f ading korrelálatlan). Jelölje zk (t ) a k-dik ágra ható fadinget, ekkor és z k (t ) = z k [ ] E z k zi* = 0, k ≠ i . A csatornainformáció megléte azt jelenti, hogy ismerjük a z k fadingmintákat, azaz a csatorna csillapítását és f ázistolását. Ennek b iztosítása a gyakorlatban történhet például pilotjel segítségével. A csatornában fellépő nk (t ) zaj additív, Gauss-eloszlású és sávhatárolt. Az egyes kombájnerágakhoz tartozó zajminták pedig függetlenek [ ] E n k (t ) ⋅ ni* (t ) = 0 129 és egyoldalas teljesítménysűrűség függvényük N 0 . A rádiócsatorna és a kom bájner együttes modelljét a 7.2 ábrán rajzoltuk α k pedig a fel. Az ábrán s ekv (t) jelöli az adó jelének alapsávi ekvivalensét, kombájner

súlyozó paramétereit, melyek megfelelő megválasztásával biztosítható az optimális kombinálás. n1(t) z1 nk(t) sekv (t) zk nM(t) Lineáris kombináció rekv (t) αk zM 7.2 ábra A rádiócsatorna és a kombájner együttes modellje A 7.2 ábra modellje alapján a kombájner kimenő alapsávi jele M rekv (t ) = ∑ α k ( sekv (t ) z k + n k (t )) . k =1 A jel-zaj viszony a k-dik csatornában az alábbi módon állítható elő Γk = [ E | sekv (t ) z k |2 [ E | n k (t )| 2 ] ], ami figyelembe véve, hogy z k ismert s ezért kiemelhető a várható érték képzésből, valamint az egy szimbólumhoz tartozó átlagenergia (teljesítmény) [ ] Ps = E | sekv (t )|2 = továbbá az Es , Ts 1 sávra eső zajteljesítmény Ts [ ] E | n k (t )|2 = N 0 1 , Ts ezért a jel-zaj viszony tovább írható a Es T E Γ k = s | z k |2 = s | z k | 2 N0 N0 Ts formában. A teljes jel-zaj viszony pedig a következőképpen állítható elő 130 2 M   E

sekv (t ) ∑ α k z k  k =1   , Γ=  2  M  E ∑ α k n k (t )   k =1  ahol figyelembe véve a zajminták függetlenségét 2 M E Γ= s N0 ∑α k =1 M k ∑ |α k =1 zk k | . 2 Az optimális kombájner megvalósításához célunk a f enti kifejezés maximálása az α k paraméterek függvényében. Ehhez a Schwarz-egyenlőtlenséget hívjuk segítségül, mely kimondja, hogy tetszőleges a k és b k komplex számokra igaz az alábbi reláció 2 ∑a * k k    bk ≤  ∑ |ak |2   ∑ |bk |2   k  k  és az egyenlőség akkor áll fenn, ha ak = K bk , ahol K konstans. Esetünkre alkalmazva a Schwarz-egyenlőtlenséget M ∑α k =1 2 M  M  2 z ≤ | α | | zk |2     ∑ ∑ k k k  k =1   k =1  amiből a legjobb választás (az egyenlőség teljesülése) nyilvánvalóan az, ha α *k = K zk , α k = K zk . Próbáljunk meg most fizikai tartalommal kitölteni

a f enti eredményt. Abból, hogy a kom bájnerparamétereket a fading komplex konjugáltjára választjuk, az következik, hogy a vett hasznos je let jelképező fazor szögét minden ágban visszaforgatjuk annyival, amennyit a csatorna forgatott rajta s így a fazorok mind egy irányba mutatnak. Ezzel elérjük, hogy a hasznos jelet képviselő fazorok amplitúdóban adódnak össze, míg a rájuk ültetett zaj vektoriálisan. Ráadásul azt az ágat vesszük nagyobb erősítéssel figyelembe az összegzéskor, ahol a jel-zaj viszony nagyobb. Ezzel olyan vételt valósítunk meg, amelynél nem lehet jobbat csinálni. Megjegy ezzük ugyanakkor, hogy ehhez a csatornainformáció ismerete szükséges. Mivel ismerjük z k értékeket, ezért α k -kat be tudjuk állítani a f enti szabálynak megfelelően. Ezért 2 M ∑α k =1 k zk  M  =  K ∑ | z k |2   k =1  2 és 131 M M k =1 k =1 ∑ | α k | 2 = K 2 ∑ | z k |2 , amiből az eredő jel-zaj

viszonyra E Γ= s N0 M M ∑ |z | = ∑ Γ 2 k k k =1 k =1 adódik. Az eredményből jól látszik, hogy az eredő jel-zaj viszony kialakításában az összes kombájner ág részt vesz, tehát a legrosszabb jel -zaj viszonyú ág is javít a vételen. Tekintettel arra, hogy a fadinget valószínűségi változóval írjuk le, ezért a jel-zaj viszony is az lesz. Az eredő jel-zaj viszony valószínűségi sűrűségfüggvényét az egyes ágakra vonatkozó sűrűségfüggvények konvolúciójával határozhatjuk meg M f Γ (γ ) = ∗ f Γk (γ ) ; γ ≥ 0 . k =1 Az eredő jel-zaj viszony számítása visszavezethető az sűrűségfüggvényének Laplace-transzformáltjára az alábbi módon M L { f Γ (γ )} = ∏ L { f Γ k k =1 egyes ágak } (γ ) . Rayleigh-fading esetében f Γk (γ ) = 1 γ0 − e γ γ0 ; γ ≥ 0, melynek Laplace-transzformáltja L { fΓ k } (γ ) = L  1 − γγ  1 .  e 0=  γ 0  1 + s γ 0 Így

az eredő jel-zaj viszony Laplace-transzformáltjára L  1  { f Γ (γ )} =    1 + sγ 0  M adódik, amiből az eredő sűrűségfüggvény γ 1 γ M −1 − γ 0 f Γ (γ ) = e . ( M − 1)! γ 0M Mivel nem minden esetben M darab egyforma csatornából érkezik a jel, ezért vezessük be a jel-zaj viszony pontosabb jellemzése és az egyes modulációk jobb összehasonlíthatósága érdekében az alábbi normálást Y= Teljes jel - zaj viszony a kimeneten Γ , = A jel - zaj viszony átlagos értéke Mγ 0 132 melynek sűrűségfüggvénye f Y ( y) = és y= M ( M y ) M −1 e − M y ( M − 1)! γ . Mγ 0 A 7.3 ábrán a normalizált eredő jel-zaj viszony sűrűségfüggvényét rajzoltuk fel M-ben paraméterezve. M= 1 esetén visszakapjuk a diverzitimentes Rayleigh-fadinges csatornát, m íg a diverziti ágak szám ának növelésével a sűrűségfüggvény a δ ( y − 1) függvényhez tart, azaz a konstans jel -zaj viszonyt jelentő esethez. Ez

pedig azt jelenti, hogy elvben diverziti alkalmazásával biztosítható a fadingmentes vétel. 2 ↑ f Y ( y) Rayleigh M=1 2 4 8 16 32 0 0 1 y= γ Mγ 0 2 7.3 ábra A normalizált eredő jel-zaj viszony sűrűségfüggvénye Az optimális vétellel kapcsolatban egy fontos kérdést nem érintettünk még. Az optim ális lineáris kom bájner igényli, hogy az α k = K zk* meghatározásához pontosan ism erjük a csatorna am plitúdó és fázis adatait. A probléma megoldására pilot jelet alkalm azunk. A kombájner k-dik ágának elvi felépítése a 7.4 ábrán látható 133 ( k) zk e k-dik bemenet j 2π f p t Pilot Jel Pilotszûrõ z k s( t ) Jelszûrõ Lineáris súlyozású kombájner zk α k (t ) Demodulátorhoz 7.4 ábra Az optimális lineáris kombájner elvi felépítése # Az adó jelének sekv alapsávi ekvivalense kiegészül az a amplitúdójú, f p frekvenciájú periodikus pilot jellel az alábbi módon # sekv = sekv ( t ) + a ⋅ e j 2

πf p t . A k-dik kombájnerágba jutó alapsávi vett jel ez alapján ( rk ( t ) = sekv ( t ) + a ⋅ e j 2 πf p t )⋅z k = sekv ( t ) ⋅ zk + a ⋅ e j 2 πf p t ⋅ zk , amiből kiszűrve a pilotot közelítőleg az a ⋅e j 2 πf p t ⋅ zk mennyiséget kapjuk. Ezt mérve tudjuk azután a z k értéket számítani 7.2 Az optimális lineáris diverziti kombinációs eljárás hibaanalízise Rayleigh-fading esetén A hibaanalízist most is a korábbiakhoz hasonló m ódon végezhetjük el. Először meghatározzuk az adott modulációs rendszerre jellemző Pb (γ ) bithibavalószínűség függvényt és a jel-zaj viszony f Γ (γ ) valószínűségi sűrűségfüggvényét. Majd ezek ism eretében kiszámoljuk az átlagos hibaarányt az alábbi módon ∞  PbMR = ∫ f Γ (γ ) Pb (γ ) dγ , 0 ahol az MR index a Maxim um Ratio (m aximális jel-zaj viszonyú) kifejezés rövidítése. A következőkben néhány tipikus modulációra meghatározzuk az M-utas

diverzitit alkalmazó vevő bithibavalószínűségét majd összehasonlításul feltüntetjük a diverziti nélküli eredményeket is. BPSK PbPSK = ( ) 1 erfc γ 2 134 ∞  1 PbMRPSK = ∫ erfc γ f Γ (γ ) dγ = 20 ( ) ∞ γ 1 1 γ M −1 − γ 0 = ∫ erfc γ e dγ = 20 ( M − 1)! γ 0M ( ) M −1 2r  1− µ2  1  = 1− µ ∑   2  4  r =0  r   r  γ0  , ahol µ =  1+ γ 0   γ0  1  PbPSK =  1 − 2 1+ γ 0  FSK (nemkoherens) PbFSK = 1  γ exp −   2 2 γ ∞ γ  1 −2 1 γ M −1 − γ 0 1 1 PbMRFSK = ∫ e e dγ = M 20 2  γ 0M ( M − 1)! γ 0 1 +   2  PbFSK = 1 2+γ 0 PbDPSK = 1 exp( −γ ) 2 DPSK γ ∞  1 −γ 1 γ M −1 − γ 0 1 1 PbMRDPSK = ∫ e e dγ = M 20 2 (1 + γ 0 ) M ( M − 1)! γ 0  PbDPSK = 1 2 + 2γ 0 A fenti eredményekből általánosítva megállapíthatjuk, hogy nemkoherens vétel

esetében PbMR = 1 M ∏ 2 Pbk . 2 k =1 A 7.5a és 75b ábrákon BPS K és nem koherens FSK moduláció esetére rajzoltuk fel az átlagos bithibaarány t az optim ális lineáris kombájner ágai számában paraméterezve. Az M=1 eset felel meg a diverziti alkalm azása nélküli vételnek. A diverziti ágak számának növelésével várakozásunknak megfelelően az átlagos bithibavalószínűség csökkenő tendenciát mutat. 135 1 Pb BPSK -1 10 -2 10 M=1 -3 10 M=2 -4 10 M=4 -5 10 M=8 -6 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 γ 0 = E s / N 0 [dB] 7.5a ábra Átlagos bithibaarány BPSK moduláció esetén optimális lineáris kombájner alkalmazásakor 1 Pb FSK -1 10 -2 10 M=1 -3 10 M=2 M=4 -4 10 M=8 M =16 -5 10 -6 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 γ 0 = E s / N 0 [dB] 136 7.5b ábra Átlagos bithibaarány nemkoherens FSK moduláció esetén optimális lineáris kombájner alkalmazásakor

7.3 Optimális kombinációs eljárás csatornainformáció nélkül Nyilvánvaló, hogy az optim ális vétel kérdése nemcsak koherens esetben vethető fel, ezért a következőkben feltételezzük, hogy semmilyen információval sem rendelkezünk a csatornáról. Nemkoherens csatornában azt vizsgáljuk, hogy milyen a legkisebb hibavalószínűséghez vezető kombináció. Analízisünk során az alábbi feltevésekből indulunk ki • a vétel bináris, • FSK modulációt alkalmazunk ortogonális jelekkel, • M db. független Rayleigh-fadinggel terhelt jelutat veszünk figyelembe, • a kombináció a vevőszűrő kimenetén történik és • az egyes diverziti csatornákon f üggetlen Gauss-zaj és f üggetlen fading hat. Induljunk ki a 6.18 ábra diverziti nélküli optimális vevőstruktúrájából Gondolatban minden diverziti ághoz rendeljünk egy ilyen struktúrát, az alábbi gondolatmenettel pedig m egmutatjuk, hogy milyen módosításra van szükség diverziti

alkalmazása esetén. A f entiek figyelembe vételével a k-dik ág vevőszűrőjének bemenetén lévő alapsávi ekvivalens jel az alábbi módon írható fel rk (t ) = s j (t ) ⋅ z k + n k (t ); k = 1,2, . , M ahol s j (t ) az adó kimenő jelének alapsávi ekvivalense a j-dik szimbólum küldése esetén, nk (t ) pedig a k-dik diverziti csatorna f üggetlen, N 0 egyoldalas teljesítménysűrűségű, valós és képzetes résszel rendelkező Gauss-zaja. A bináris eset miatt j értéke csak 1 vagy 2 lehet. Az i-dik elemi jelhez tartozó vevőszűrő kimenetén T s időnként megjelenő jel ezután a következőképpen számolható 1 rik = Ts 1 Ps Ts ∫ r (t ) g (t ) dt ; i = 1,2 k i 0 ahol P s a szimbólum teljesítmény, ezért  P T z + nik ha i = j rik =  s s k nik ha i ≠ j , ahol n ik i-ben és k-ban független Gauss-eloszlású valószínűségi változó N 0 szórásnégyzettel. A z k pedig független komplex Gauss-eloszlású valószínűségi

változó, mely valós és képzetes részei szórásnégyzete a következő módon határozható meg. A hasznos jel teljesítménye [ ] [ ] E | Ps Ts z k |2 = Ps Ts E | z k |2 = Ps Ts 2σ 2 , mivel zk = xk + j yk és 137 [ ] [ ] E x k2 = E y k2 = σ 2 . Az átlagos jel-zaj viszony ezután γ0 = [ E | Ps Ts z k |2 [ E | nik |2 ] ] = P T 2σ s s N0 2 , amiből σ2 = γ 0 N0 2 Ps Ts . A fentiek tükrében a kombájner ágak együttes r vételi vektorának f eltételes valószínűségi sűrűségfüggvénye az alábbi alakban adható meg 2  rik2I + rik2Q    1     f r | j ( r| j ) = ∏   exp − 2 N  ⋅ π 2 N k =1  0   0  M   ⋅   2π  2    2 2    + r r ik I ik Q 1 ,  exp −    1 1 N0 + γ 0 N0   2 N0 + γ 0 N0     2 2 ahol i ≠ j , j = 1,2 és rik , rik az k-dik kombájner ágban az i-dik szimbólum I Q küldése esetén a vett

jel kvadratúra komponenseit jelöli. Mivel a természetes alapú logaritmus függvény szigorúan m onoton növekvő, ezért a 6.14 alfejezet döntéselméleti kitérőjében leírtak alapján maximum likelihood döntésnél a kritérium   I  max[ln ( f (r| j ))] = max ln ∏ f (ri | j )  , m m    i =1 ami bináris esetben a m aximumkereső helyett nullkomparálást alkalmazva a következő  f r |1 (r|1)  > 0 ; akkor az 1- es  =  üzenetre döntünk . ln  f r |2 (r|2)  < 0; akkor a 2 - es Behelyettesítve a feltételes sűrűségfüggvényre kapott eredményünket a döntési szabály az alábbi  f r |1 (r|1)  M  = ∑ − ln  f r |2 (r|2)  k =1 r12k I + r12kQ  γ  2 N 0 1 + 0   2 − r22k I + r22kQ 2N0 + r12k I + r12kQ 2N0 + r22k I + r22kQ 1 >0,  γ 0  <2 2 N 0 1 +   2 vagyis 138 ∑ (r M k =1 2 1k I + r12kQ )    1

 M 1   − ∑ r22k I + r22kQ − γ  2 N 0 2 N  1 + 0   k =1 0   2      1 1 1  >0, −  2 N 0 2 N  1 + γ 0   <2 0   2   ( ) ( ) azaz ∑ (r M k =1 ) 1 M + r12k Q > ∑ r22k I + r22k Q <2 k =1 2 1k I amiből a végleges forma M ∑ r1k 1 M > ∑ r2 k . <2 k =1 2 k =1 2 Az ML értelem ben vett, csatornainf ormáció nélküli optimális döntésnek ezt az alakját kvadratikus kombinációnak hívják. A hozzá tartozó vevőstruktúrát a 7.6 ábrán rajzoltuk fel két kvadratúra ág eset ére M növelése esetén az abszolút érték képzők kimenetén elhelyezett összegzők bemeneteinek számát kell növelni. g1* (t ) nTs Ts 2 ∫ dt 0 r1(t) g 2* (t ) j=1 nTs Ts 2 ∫ dt 0 + - * 1 g (t ) 0 j=2 2 ∫ dt y1 g 2* (t ) Ts j nTs Ts r2(t) nullkomparátor nTs 2 ∫ dt 0 7.6 ábra ML értelemben optimális nemkoherens

vevőstruktúra ortogonális elemi jelkészlet esetén M=2 kvadratúra ágat alkalmazva Kvadratikus kombináció alkalmazása esetén nemkoherens FSK moduláció átlagos bithibavalószínűségre az alábbi eredmény vonatkozik PbQK FSK  1  =  1+ γ 0  M k  M − 1 + k 1   ,   1 − ∑ k  2 + γ 0  k =0  M −1 139 melyre a 7.5b és 77 ábrák összehasonlítása alapján várakozásainknak megfelelően fennáll, hogy PbQK FSK > PbMR FSK , hiszen a csatornainformáció hiánya rontja a helyes detektálás valószínűségét. 1 Pb 10-1 M=1 M=2 -2 10 M=4 -3 10 M=8 -4 10 M = 16 -5 10 M = 32 -6 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 γ 0 = E s / N 0 [dB] 7.7 ábra Átlagos bithibaarány nemkoherens FSK moduláció esetén csatorna információ nélküli kvadratikus kombinációjú (optimális) kombájner alkalmazásakor 7.4 Lineáris szuboptimális kombájnerek A következőkben

szuboptimális vételt biztosító lineáris kombájnerek közül hármat vizsgálunk meg. Az első az azonos erősítésű kombájner csatornainformáció nélkül, ahol az azonos erősítés azt jelenti, hogy minden kombájner ágban ugyanazzal a súlyozó tényezővel szorozzuk a vett jelet. Természetesen ennek az egyszerűsítésnek következtében az eredő jel-zaj viszony romlani fog az optimális kombinációhoz képest. A korábbiakhoz hasonlóan most is igaz, hogy a kombájner eredő kimenő jele az M rekv (t ) = ∑ α k ( sekv (t ) z k + n k (t )) k =1 alakban adható m eg, de m ost univerzálisan |α k | állandó, vagyis α k = α , azaz minden úton ugyanazt a súlyozó tényezőt alkalmazzuk. Ekkor az M kombájner ág kimeneti eredő jel-zaj viszonya az alábbi módon határozható meg 140 2  M  α E ∑ s(t ) z k   k =1  PT Γ= = s s M M N0   α 2 E∑ | n k (t )|2   k =1  2 2 M ∑z k =1 k . Tudjuk, hogy a

fadinget reprezentáló komplex valószínűségi változó valós és képzetes rész összegére bontható a következőképpen 2 M ∑z k =1 = k 2 M ∑(x k =1 k + j yk ) . Az egyes összetevőkre Rayleigh-fading esetén a korábbiakkal összhangban igaz, hogy függetlenek [ ] E xk ⋅ yk = 0 , várható értékük nulla [ ] [ ] E xk = E yk = 0 és [ ] [ ] E x k2 = E y k2 = σ 2 , ahol σ 2 a fadingösszetevők szórását jelöli, melyek mint tudjuk Gauss eloszlásúak, azaz sűrűségfüggvényük az alábbi f Σxk ( x) = f Σyk ( x) = 1 2π  x2  exp − .  2 Mσ2 Mσ 2 Az eredő jel-zaj viszony valószínűségi sűrűségfüggvénye ezek után f Γ (γ ) =  γ  exp −  , γ0  γ 0 1 ahol a jel-zaj viszony várható értéke γ0= Mσ2 σ2 E = = s . M N0 N0 N0 Eredményül az eredő jel-zaj viszonyra szintén Rayleigh-eloszlást kaptunk. Ez úgy modellezhető, mintha az M db. diverziti ág helyett csak egy etlen egyet

használnánk, tehát a kombájner nem javított sem mit a jel -zaj viszonyon. Belegondolva a jelenség f izikai hátterébe világossá válik, hogy ugyan a többszörös vétel miatt javulás várható, de az azonos erősítés miatt a zajt is többszörösen vesszük. Második kísérletként tételezzük fel, hogy az egyes jelutakon az amplitúdó nem, de a fázis becsülhető, azaz a súlyozó tényezőket αk = K zk* = K e− j arc( zk ) |zk | 141 értékűre választjuk. Ezáltal |α k |= K minden k-ra Ezt a megoldást azonos erősítésű fázisforgatásos kombinációnak hívják. Sajnos ebben az esetben sem jutunk megfelelő analitikus eredményre, mert az f Γ (γ ) sűrűségfüggvény nem adható meg zárt alakban. A harmadik az ún. azonos erősítésű szelektív diverziti módszer alkalmazásakor is egyforma a súlyozó tényezőket használunk, de mindig csak azt az ágat választjuk, ahol a legnagyobb a jel-zaj viszony, azaz 0 ; k ≠ k0 1 ; k = k0 αk =

 és γ k > γ k minden k ≠ k 0 esetén. A 7.1 táblázatban az utóbbi két szuboptimális diverziti módszert hasonlítottuk össze a diverziti ágak f üggvényében Rayleigh-fading és nemkoherens FSK moduláció esetén. Az egy es számértékek decibelben adják meg, hogy az adott módszer átlagos bithibaarány nyeresége mekkora az optimális vételhez képest. A fázisforgatásos megoldás segítségével hiába növeljük a diverziti ágak számát, látható m ódon nem érhetjük el a f adingmentes esetet, de elég jól közelítjük azt (-1.33 dB) Ugy anakkor szelektív diverziti alkalm azásával a bithibaarány még csak aszimptotikusan sem fut az optimális esettel. 0 M 2 4 8 ∞ Fázisbecslés -0.62 dB -0.97 dB -1.15 dB -1.33 dB Szelektív -1.52 dB -3.45 dB -5.76 dB -∞ 7.1 táblázat Szuboptimális kombájnerek összehasonlítása Rayleigh-fading és FSK moduláció esetén 7.5 A diverziti eljárások határtulajdonságai Eddigi vizsgálatainkban a

bithibavalószínűség ábrázolása az átlagos jel-zaj viszony γ0= Es N0 függvényében történt. Ha M különböző csatornán érkezik a jel, akkor bináris esetben az egy bitre jutó energia átlagos értéke Eb = M E s , így célszerű referenciának a γb = M Es Eb = N0 N0 142 értéket választani. Az egyes diverziti eljárások értékelésénél gyakran vizsgálják ezért az átlagos bitenergiára vonatkoztatva a bithibavalószínűség függését a diverziti utak számától. Példaként a nem koherens FSK és DPS K modulációk esetében meghatározzuk a hibaarány alakulását a diverziti csatornák számának növekedése során Rayleigh-csatornát alapul véve. Kvadratikus kombinációt feltételezve FSK moduláció esetén az átlagos bithibaarány PbMR FSK    1 1  =   2 1+ γ 0   2  M M    1 1  =   . 2 1+ γ 0   2M  Ha a diverziti utak száma minden határon túl nő, azaz M ∞ , akkor

PbMR FSK mivel γ 1 − 0 = e 2 2 x x  lim  1 +  M ∞  M M M   x x    = lim  1 +   = ex . M ∞   M    A 7.8 ábra alapján m egállapíthatjuk, hogy bármely jel-zaj viszony és átlagos bithibaarány értékpárhoz rendelhető egy maximális M érték, amit még célszerű alkalmazni. 1 Pb 10-1 M=1 -2 10 M=2 -3 10 M=4 -4 10 -5 10 M=8 M = 16 10 -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 γ b = E b / N 0 [dB] 143 7.8 ábra Az átlagos bithibaarány aszimptotikus viselkedése nemkoherens FSK moduláció és kvadratikus kombinációjú kombájner alkalmazásakor Optimális lineáris kombinációt alkalmazó BPSK moduláció (koherens) esetében, ha M ∞ , akkor a rendszer is konvergál a Gauss-csatornához (fadingmentes csatorna). Ennek belátása a következő módon történhet Mint azt a 7.2 alfejezetben megmutattuk ∞  1 PbMRPSK = ∫ erfc γ f Γ (γ ) dγ = 20 ( ) ∞ γ

1 1 γ M −1 − γ 0 = ∫ erfc γ e dγ = 20 ( M − 1)! γ 0M ( ) Tudjuk, hogy γ b = Mγ 0 , ezért ha M ∞ , akkor f Γ (γ ) a Dirac-függvényhez tart, ezért ∞  1 1 PbMRPSK = ∫ erfc γ δ (γ ) dγ = erfc γ 20 2 ( ) ( ) 10–1 Pb 10–2 M=1 M=2 10–3 M=4 10–4 M=8 M = 16 M = 32 –5 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 γ b = E b / N 0 [dB] 144 7.9 ábra Az átlagos bithibaarány aszimptotikus viselkedése BPSK moduláció és optimális lineáris kombájner alkalmazásakor 145