Matematika | Általános Iskola » 8. osztály teljes tananyag, mértan

Matematikai összefoglaló 8. Osztály Mértan Tartalomjegyzék: Alapfogalmak. 01 Térelemek kölcsönös hejzete. 02 Szögek és szögpárok. 03 Nevezetesebb szögpárok. 04 Háromszögek. 05 Pitagorasz (pitagórász) tétel. 06 Négyszögek. 07 Négyzet. 08 Deltoid. 09 Sokszögek. 10 Kör. 11 Thalész (tálesz) tétel. 12 Testek. 13 Téglatest. 14 Kocka. 15 Henger. 16 Kúp. 17 Gömb. 18 Derékszögű koordinátarendszer. 19 Függvények. 20 Az egyenletek grafikus megoldása. 21 01 - Geometria alapfogalmak A geometriában a tárgyakat testeknek nevezzük. A testet felületek (síkidomok vagy görbe felületek) Határolják. A síkidomokat vonalak határolják. A vonal lehet görbe és egyenes. Ha a vonalat feldaraboljuk, akkor a vonaldarabokat pontok határolják. A pontokat nagybetűkkel jelöljük. Az egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Az egyenes két pontja közé eső darabját szakasznak nevezzük. A szakaszt a két végpontjához írt két nagybetűvel, vagy a

szakasz közepére írt kisbetűvel jelöljük. A síkidomok oldalait kisbetűkkel jelöljük, ha egyenlő oldalakról van szó, akkor azonos kisbetűvel. A csúcsokat nagybetűvel jelöljük. Mind az oldalak, mind a csúcsok jelölésének iránya az óra járásával ellenkező, általában a-tól sorban haladva használjuk az abc betűit. A szögek jelölésére görög kis betűket használunk. A leggyakrabban használt görög kisbetűk: alfa: a béta: b. Delta: d Gamma: g. Pi: p Az ötös-hatos pont a görög kisbetűváltó. 02 - A térelemek kölcsönös helyzete A pontot, az egyenest és síkot térelemeknek nevezzük. Két egyenes lehet metsző, párhuzamos és kitérő. Két párhuzamos egyenesre vagy két metsző egyenesre mindig egy sík fektethető. A kitérő egyenesekre nem fektethető sík. Egy egyenes a síkot két részre, két félsíkra osztja. Két metsző egyenes a síkot négy részre osztja. Merőlegesen metszik egymást, ha a síkot négy egybevágó

síknegyedre osztják. Két - két síkhelyzete a térben lehet metsző, ekkor a két sík egy egyenesben metszi egymást (pl., a kocka két egymással érintkező oldala), vagy párhuzamos, ekkor nincs közös pontja a két síknak(pl., a kocka egymással szembeni oldala) Az egyenes és a sík kölcsönös helyzete a térben háromféle lehet: illeszkedő, az egyenes minden pontja közös a síkkal. (pl., egy síkra helyezett kockának a síkon fekvő él egyenese illeszkedik a síkra), Párhuzamos: ebben az esetben egy egyenesnek nincs közös pontja a síkkal (pl., egy síkra helyezett kockának az alappal párhuzamos oldal bármelyik él egyenese)és lehet metsző: ha az egyenesnek egy közös pontja van a síkkal, ekkor metszi (döfi) a síkot, a közös pont az egyenes döféspontja(pl., az előbbi példában a kocka egyik síkra merőleges élegyenese) 03 - Szögek és szögpárok A szög olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol. A szöget

alkotó egyenesek a szög szárai, közös pontjuk a szög csúcsa. A szög szárai általában két szöget határoznak meg, az ezek közül szóba jövő szöget körívvel jelöljük, ezt a részt szögtartománynak nevezzük. A szöget megadhatjuk három nagybetűvel, vagy a szögtartományba írt, a csúcs betűének megfelelő görög kisbetűvel. A szöget származtathatjuk forgásból is. Úgy, hogy két közös kezdőpontú, egymást szedő félegyenes közül az egyiket a kezdőpont körül elforgatjuk. Ha a mozgó szár elforgatása az óramutató járásával ellenkező irányú, akkor a szöget pozitívnak, ha egyezőirányú, negatívnak mondjuk. Ha a mozgó szár egy teljes körülforgást ír le, vagyis eredeti helyzetébe kerül, akkor teljes szöget kapunk. Ezt 360 egyenlő részre osztva 1 egységet kapunk, 1 egység egy fok, tehát a teljes szög 360 fok. A fok 60-ad része a perc, a perc60-ad része a másodperc. A szöget radiánban is mérhetjük, 1 fok =p/180

rad, ez megközelítőleg 0. 017 rad, vagyis 180 fok =p radián Ha a mozgó szár félkört ír le, akkor egyenes szögről beszélünk, nagysága 180 fok. Ha csak negyed forgást végez, akkor derékszögről van szó, nagysága 90 fok. A derékszögnél kisebb szöget hegyes-szögnek nevezzük. A derékszögnél nagyobb szöget, de az egyenes szögnél kisebbet tompaszögnek nevezzük. Az egyenes szögnél nagyobb szög a homorúszög. Az egyenes-szögnél kisebb szögeket együttesen domborúszögeknek nevezzük. 04 - Nevezetesebb szögpárok Két egyenes metszéspontja körül keletkező szögek közül az egymással szemben fekvő szögek a csúcsszögek, az egymás mellettiek a mellékszögek. A csúcsszögek egyenlők, a mellékszögek 180 fokra egészítik ki egymást, az ilyen szögeket kiegészítő szögeknek is nevezzük. Azok a szögek amelyeknek szárai egymással párhuzamosak és megegyező irányúak, az egyállású szögek. Azok amelyeknek szárai egymással

párhuzamosak, de ellentétes irányúak, a váltószögek. Az egyállású szögek és a váltószögek egyenlők. Azokat az egymással párhuzamos szárú szögeket, amelyeknek az egyik száruk megegyező irányú, a másik száruk azonban ellentétes irányú, a társszögek. A társ-szögek kiegészítő szögek(egymást 180 fokra egészítik ki). Ha két szög szárai merőlegesek egymásra és a szögpár mindkét szöge hegyes szög vagy mindkét szöge tompaszög, akkor a két szög egymással egyenlő. Ha az egyik hegyes szög a másik tompaszög, akkor a két szög összege 180 fok. Ha két szög egymást 90 fokra egészíti ki, pótszögeknek nevezzük a szögpárt. 05 - Háromszögek A síknak három egyenes szakasszal határolt része. A háromszögek oldalai szerint lehetnek: Egyenlő oldalúak, ha mind három oldaluk egyenlő, egyenlőszárúak, ha két oldaluk egyenlő Szögei szerint lehetnek: hegyesszögek, ha mind három szögük hegyes, derékszögek, ha az

egyik szög derékszög (a derékszöget bezáró oldalak a befogók, a derékszöggel szemben fekvő oldal az átfogó) és tompaszögűek, ha az egyik szög tompaszög. A szögek összege minden háromszögben 180 fok. A háromszög egyik csúcsából a vele szemközti oldalra szerkesztett merőleges a háromszög magasságvonala, a három magasságvonal egy pontban metszi egymást, ez a háromszög magasságpontja. A háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz a háromszög súlyvonala. A súlyvonalak a háromszög súlypontjában metszik egymást. A súlypont a súlyvonalat 2/1 arányban osztja. A háromszög szögfelezője az az egyenes, amely valamely belső szögét felezi. A három szögfelező egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. A szögfelező azon pontok mértani helye, melyek a szögszáraitól egyenlő távolságra vannak. A háromszög oldalfelező merőlegesei egy ponton metszik

egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. 06 - Pitagorasz tétel A derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. A négyzet + b négyzet =c négyzet. A háromszög területe: az alaphoz tartozó magasság és az alap szorzat, osztva 2-vel: T=a*m/2. Kerülete az oldalak összege: K= a+b+c. 07 - Négyszögek A síknak négy egyenes szakasszal határolt részét négyszögnek nevezzük. Négy csúcsa és négy szöge van. Szögeinek összege 360 fok. A négyszög szemben levő csúcsait összekötő egyenes szakaszt átlónak nevezzük a négyszögnek két átlója van. A négyszögek a következő síkidomok: szabálytalan négyszög, paralelogramma, általános paralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet; trapéz és a deltoid. Paralelogramma: Azt a négyszöget, amelynek mindkét pár szemközti oldala párhuzamos, paralelogrammának nevezzük. A szemben lévő oldalai egyenlők. Két

hegyesszöge (egymással szemben) és két tompaszöge(egymással szemben) van. Átlói felezik egymást. T= a*m, K=2(a+b). Téglalap: Olyan paralelogramma, amelynek szembe levő oldalai egyenlők. Szögei egyenlők, tehát derékszögek. Átlói egyenlők és felezik egymást és a csúcsnál levő szöget. T= a*b, K= 2(a+b). Rombusz: Olyan paralelogramma, amelynek oldalai és szemben levő szögei egyenlők. Átlói merőlegesek és felezik egymást. T= a*m, K=4a. 08 - Négyzet A négyzet olyan paralelogramma, amelynek oldalai és szögei egyenlők. Átlói merőlegesek és felezik egymást és a csúcsnál levő szöget. T= a* a(a a négyzeten),K=4a. Trapéz: Olyan négyszög, amelynek csak egy párhuzamos oldalpárja van. A párhuzamos oldalak a trapéz alapjai, a nem párhuzamosak a trapéz szárai. A párhuzamos oldalak egymástól való távolsága a trapéz magassága. Az egyenlőszárú trapéz átlói egyenlők egymással, az alapon fekvő szögek egyenlők. T=(a+c)/2*m,

K= a + b + c + d. 09 - Deltoid Olyan négyszög, amelynek két - két szomszédos oldala egyenlő. A nem egyenlő oldalai által bezárt szögek egyenlők. Átlói merőlegesek egymásra, a hosszabbik átló (a fő átló) ez elfelezi a mellékátlót (d) és az egyenlő oldalak által bezárt szögeket. T=(d * e)/2,K=2(a + b). 10 - Sokszögek A síknak n számú egyenes szakasszal határolt rész. Ha az n oldalú sokszög minden oldala és minden szöge egyenlő, akkor szabályos sokszögnek nevezzük. A sokszög bármelyik csúcsából hárommal kevesebb átló húzható, mint amennyi csúcsa van: azaz n-3. A csúcspontokból összesen húzható átlók száma: n*(n-3)/2, pl.: A hatszög egy csúcsából húzható átlósnak száma: 6-3=3. Az összesen húzható átlók száma: 6 *(6-3)/2=9. A szabályos sokszög egyik szögének értéke:(n-2)*180/n, pl.: A hatszög szögei 120 fokosak. A csúcsokat a középponttal összekötve n számú egyenlőszárú háromszöget

kapunk, egyik területét n-szer vesszük. A szabályos sokszög területe: T:=a*n/2n, K:= n a. 11 - Kör A tör a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek távolsága egy adott ponttól állandó. Az állandó távolság a sugár, jele: r, az adott pont a középpont. A kör két pontján átmenő egyenest szelőnek, a két pont közé eső szakaszt pedig húrnak nevezzük. A középponton átmenő húr a kör átmérője, jele: d. A körvonal két pontja közé eső szakasz az ív. A körlapnak a két sugár közé eső része a körcikk, a körlapból a szelő által lemetszett rész a körszelet. Az ív két végpontjához húzott két sugár közé eső szöget középponti szögnek, a körvonal egy pontjából az ív két végpontjához húzott húrok közéeső szöget pedig kerületi szögnek nevezzük. A kerületi szög a vele közös íven nyugvó középponti szög fele. A körvonal egy pontján átmenő egyenest érintőnek nevezzük. A kör adott pontjához

csak egy érintő, a körön kívül fekvő bármely pontból a körhöz két érintő húzható. A kör sugara merőleges az érintési pontba húzott érintőre. 12 - Thalész (tálesz) tétel A félkörívhez tartozó minden kerületi szög derékszög, másképpen fogalmazva, ha a kör átmérőjének két végpontját összekötve a körív bármely más pontjával, minden esetben derékszögű háromszöget kapunk. A kör területe és kerülete: T=r*r (r a négyzeten)pi,K=2rpi. 13 - Testek A tér minden oldalról határolt része a test. A valóságos tárgyak testek, ezeket síklapok és görbelapok határolják. Az egyenes hasábot két párhuzamos helyzetű, egybevágó (egyenlő nagyságú) sokszög és annyi téglalap, ahány oldalú a sokszög, határolja. A kocka, a téglalap és a négyzetes oszlop is egyenes hasáb. A testek felszínén a határoló lapok területének összegét értjük, jele A. A térfogaton a test lapjaival bezárt térrész nagyságát

értjük, jele, V-. 14 - Téglatest Három pár, páronként egybevágó téglalap határolja. V-=a*bc,A=2(a+b+ac+bc). 15 - Kocka Minden éle egyenlő, hat egybevágó négyzet határolja. V=a a harmadikon A =6*aa(6a a négyzeten). Gúla: Egy sokszög és annyi háromszög határolja, ahány oldalú a sokszög. V-=(a*tm)/4,A=at+n(ac)/2 (n a háromszögek száma). 16 - Henger Két egybevágó síklap és egy görbelap határolja. A görbe felület a henger palástja, amely kiterítve olyan téglalap, melynek alapja a henger alapkörének kerülete, magassága pedig a henger magassága. V-4 30-ötöd=p,R*r(r a négyzeten)n, A=pidd (d a négyzeten). 17 - Kúp Alapja körlap, palástja pedig egy olyan körcikk, amelynek íve egyenlő a kúp alapjának kerületével. V-=(a*tm/3a=pir(r+a) 18 - Gömb Gömbfelületet akkor kapunk, ha egy félkört az átmérője körül addig forgatunk, amíg eredeti helyzetébe vissza nem tér. A gömbfelülettel határolt testet, gömbnek

nevezzük. Az a pont, amelytől a gömbfelületnek minden pontja egyenlő távolságra van, a gömb középpontja, a távolság pedig a gömb sugara. V-=4*pirrr(r a köbön),A= pidd(d a négyzeten). 19 - Derékszögű koordináta-rendszer A koordináta-rendszer két egymásra merőleges, irányított, egységgel ellátott egyenes. Az egyeneseket koordináta-tengelyeknek, metszéspontjukat origónak mondjuk. A víz-szintes tengely (x) az abszcissza tengely, a függőleges (y) az ordináta tengely. A sík bármely pontjának helyzetét a pontnak a koordinátarendszer két tengelyétől mért előjeles távolságával határozzuk meg. A pontnak a tengelyektől mért előjeles távolságai a pont koordinátái. Az x tengellyel párhuzamos koordináta az ordináta. Az abszcissza az origótól jobbra pozitív, balra negatív. Az ordináta az origótól felfelé pozitív, lefelé negatív. Ha a P pont abszcisszája x=3, ordinátája y=2,akkor a P pontot röviden így jelölhetjük: P (3,

2). A két koordináta tengely a síkot négynegyedre osztja, melyeket a jobb felső negyedtől kiindulva, balfelé számozzuk, és az abszcisszák és az ordináták szerint határozunk meg az előjelüket: az első negyed pozitív, második negyed negatív- pozitív, harmadik negyed negatív és a negyedik negyed pozitívnegatív. 20 - Függvények Függvénynek nevezünk minden olyan megfeleltetést, amely egy x halmaz minden egyes x eleméhez hozzárendeli egy y halmaz y elemét. Mind azon x értékek amelyek szóba kerülhetnek, a függvény értelmezési tartományát, a megfelelő értékek összessége pedig függvényért ékkészletét alkotja. Az x-et független, az y-t függő változónak nevezzük. A függvényt koordináta rendszerben úgy ábrázolhatjuk, hogy az x szóba jöhető értékeihez meghatározzuk az y megfelelő értékeit. Ezeket az x, y értékeket pontokként ábrázolhatjuk a koordinátarendszerben, és a pontok összekötése lesz a pontok görbéje

vagy grafikonja. Lineáris függvények azok a függvények amelyek értelmezési tartománya ugyan az a halmaz mint az értékkészlete, a lineáris függvények. Általános alakjuk y=ax+b, amelyben az a és a b állandó tagok, a függvény egyenesének meredekségét jelenti,b pedig az egyenes és az y tengely metszéspontjának ordinátáját. A lineáris függvények grafikonja egymással párhuzamos egyenesek, ha az x változók együtthatója = a= ugyanaz. A függvények grafikus ábrázolásához először értéktáblázatot kell készíteni, vagyis az x-nek értékeket adva kiszámítjuk az y-t. Pl: Az y = 2*x-3 lineáris függvény értéktáblázata: =(ábrázolása az ábra gyűjteményben található). x=2 0 3 y=2*x-3 13 3. A táblázatban x megfelelő értékei aláírjuk az y értékeit Az így kapott x,y érték párok az egyenes három pontjának koordinátáját jelentik, ezekkel ábrázoljuk és összekötjük. Az így kapott egyenes az y =2*x-3 függvény

grafikonja. Nem lineáris függvények: a lineáris függvényben a változó és a hozzátartozó függvényértékek között egyenes arányosság áll fenn. Ha a változó és a hozzátartozó függvényértékek között fordított arányosság áll fenn,akkor a függvény grafikonja hiperbola. Általános alakja y=a/x-. pl:y=12/x,(ábrázolása az ábra gyűjteményben található.) x 2 3 4 5 6 8 12 y=6 4 3 2.4 2 15 1 ha x-nek negatív értékeket adunk,akkor hasonló görbét kapunk a harmadik negyedben. A másodfokú függvény görbéjének neve parabola. Általános alakja: y= x* x (x a négyzeten). (ábrázolása az ábra gyűjteményben található). x=1 2 3 4 y=1 4 9 16. 21 - Az egyenletek grafikus megoldása Az egy ismeretlenes lineáris egyenlet jobb és bal oldala egy-egy lineáris függvény, ha ezeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk, akkor a két egyenes metszéspontjának abszcisszája az egyenlet gyöke: pl.: 2*x+1=5 egyenletnél az y =2x+1 és az y=5

függvényeket az y=5 grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes. Az y=2*x+1 értéktáblázata: x=1 2 3 y =3 5 7 az egyenesek metszéspontjának abszcisszája 2 lesz, tehát x=2. (ábrázolása az ábra gyűjteményben.)Az elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszert is megoldhatjuk a grafikus úton. A két szükséges egyenletből kifejezzük az y-t, s így két lineáris függvényt kapunk Ezeket az előbbiekhez hasonlóan ábrázoljuk, és az egyenesek metszéspontjának abszcisszája és ordinátája lesznek az egyenlet gyökei. Pl.: 2x -y =5,y=2*x-5 x+3y =13,y=(13-x)+3. Ha ezt a két egyenest ábrázoljuk, akkor metszéspontjuk abszcisszája 4,ordinátája 3 lesz