Matematika | Felsőoktatás » Kovács Zoltán - Testépítés

Testépítés Kovács Zoltán (Nyíregyházi Főiskola – Debreceni Egyetem) zeus.nyfhu/˜kovacsz 2004. július 7 A címlapon látható csillagtest, a nagy ikozi-dodekaéder modelljének elkészítésére a KöMaL 1981. évi novemberi számában pályázatot írtak ki A pályázatra 16 modell érkezett be A fődíj egy Go játékkészlet volt, emellett 3 darab 100 forintos könyvutalvánnyal jutalmazták a legszebb modellek elkészítőit. Az itt látható virtuális modellt, csakúgy mint a későbbiekben szereplő többi poliédermodellt a Pov-Ray programmal készítettem. 1 Bevezetés A tankönyveket lapozgatva gyakran találkozok olyan feladatokkal, amelyek poliéderek konstrukciójával foglalkoznak, a legkülönbözőbb módon variálva a témát. A kísérletezésnek, konkrét manuális tevékenységnek a szerepe a térszemlélet alakításában felbecsülhetelen, egyéb fejlesztő hatásairól nem is beszélve az ilyen feladatoknak. Ezért ezeket mindig nagy

örömmel fogadom Ebben az előadásban elmondok néhány problémát és kérdést, amely az ilyen típusú feladatokról eszembe jutott, végül magunk is megoldunk egy konstrukciós problémát. A tankönyv idézetek a Hajdú Sándor-féle tankönyvcsaládból valók. 1. Poliéder konstrukciós feladatok 1. A hatodikos tankönyv egy feladatában különböző síkidomok rajza szerepel Az utasítás szerint mindegyikből minél többet kell készíteni és különböző testeket kell konstruálni a lapokból. 2. Még izgalmasabb az a tankönyvben feltett kérdés, hogy létezik-e olyan test a kockán kívül, amelynek lapjai egybevágó négyzetek. (1 ábra) 1. ábra Egybevágó négyzetekből álló konkáv poliéder 3. A hetedikes tankönyvben Építsünk testet: (többek között) hat darab egybevágó rombuszból; két a oldalú egybevágó rombuszból, egy a oldalú négyzetből és két darab a oldalú szabályos háromszögből 2 Ezekben a feladatokban csak a

lapok típusát adjuk meg, azok csatlakozására vonatkozó előírás nélkül. A második kérdés megválaszolása már felveti azt a kérdést, hogy mit tekintünk egyáltalán poliédernek. A továbbiakban (ha mást nem mondunk) csak konvex poliéderekről lesz szó. A későbbiekben megoldjuk a következő problémákat 1. Probléma (KöMaL, F2571)) Hányféle ötlapú konvex poliéder létezik? Az előbbi tankönyvpéldákhoz az a kérdés illene, hogy hányféle hatlapú konvex poliéder létezik. Ezt itt időhiány miatt nem tárgyalom, de bízok benne, hogy az olvasó elég kedvet érez hozzá, hogy önállóan megválaszolja a kérdést, s abban is bízom, hogy a megoldáshoz itt elég útmutatást kap. 2. Probléma (Deltahedron-probléma) Hány olyan konvex poliéder van, amelynek lapjai egybevágó szabályos háromszögek A végére hagytam egy olyan problémát, amely látszólag egy egyszerű felszínszámítási probléma, valójában ez is

poliéder-konstrukciós feladat. Ezt most részletesebben is diszkutálom. 3. Probléma (8 osztály) Vázold fel a 2 ábrán látható gúla egy lehetséges hálóját! Alaplapja rombusz Számítsd ki a felszínét! o o o e f 2. ábra e = 3cm; f = 4cm; o = 5 cm Először – a feladat környezetéből kiindulva – tegyük még azt is hozzá a feladathoz, hogy minden oldalél egybevágó. (A rajz szerint egyébként csak három) Ha így tekintjük a feladatot, akkor első ránézésre is látszik, hogy ilyen poliéder nincs. 3 o o o o e f 3. ábra A kék és zöld háromszög magassága nem egyezik meg Első obstrukció. Ugyanis az (o, e, o) oldalakból és az (o, f, o) oldalakból álló háromszögek magassága nem egyezik meg (3. ábra) Ha ezt rögtön nem vesszük észre, s a rajz alapján tényleg elkészítjük a „poliéder” hálózatát, akkor még egy súlyosabb tényre is fény derül: már az előbbi háromszögek sem léteznek. Nézzük először a

hálózatot: 4. ábra Második obstrukció. Ha a hálózatot a térben össze akarjuk hajtani úgy, hogy konvex poliéder legyen belőle, akkor F az AD szakasz felező merőleges síkjában mozog, a H pont pedig az BC szakasz felező merőleges síkjában. Ezek a síkok pedig párhuzamos, nem egybeeső síkok. (Az 5 ábrán a síkok és a rombusz síkjának metszésvonala a két zöld egyenes) Ez azt jelenti, hogy F és H a térben nem egyesíthetők. (A G és E csúcsra hasonló állítás mondható el, ld az ábra piros egyeneseit.) A feladat megoldásánál tehát szigorúan kell venni az ábrát, csak három oldalél egybevágó. A hálózat megszerkesztéséhez a negyedik oldalél hosszát kell megha4 F E D P A C B G H 5. ábra tároznunk. Az előző, második obstrukciónál alkalmazott gondolatmenetünk rögtön segít a feladat megoldásában: A AB és BC szakaszok felező merőleges síkjai metszik egymást, azaz a G és az H csúcsok a térben

egyesíthetők. Ez a pont a gúla E csúcspontja, melynek merőleges vetülete az alaplap síkjára legyen a P pont. P az AB és BC szakaszfelező merőleges egyenesek metszéspontja és az BD szakaszra illeszkedik. (Következésképpen a P B illetve P D távolságok könnyen meghatározhatók.) Húzzuk be most a gúla magasságát (6. ábra)! A BEP háromszögből a gúla E o o o D e P A f C B 6. ábra magassága kiszámítható majd az EP D háromszögből a hiányzó oldalél is. Ha a hálózatból poliédert akarunk készíteni és kicsit erőszakosabbak vagyunk, akkor ez mégis „sikerülni” fog (7. ábra) Valójában az történt, hogy az E, F , G, H 5 csúcsok egyesítésekor az alaplapot kissé deformáltuk, így már nem síkbeli, hanem térbeli, „torz” rombuszt kapunk. 7. ábra Pontosabban, ha a hálózat rombusz lapját annak rövidebbik átlójával tovább osztjuk, akkor a hálózatból már konvex poliéder kapható. (8 ábra) 8. ábra ♣ Az

előző problémát nagyon általános formában is meg lehet fogalmazni. Egy poliéder síkba kiterített lapjainak rendszere a poliéder hálózata, pontosabban lap6 gráfja, hiszen nem egyszerűen a poliéder lapjait soroljuk fel, hanem azt is, hogy a lapok hogyan csatlakoznak egymáshoz. Számtalan feladat hangzik így: Szerkeszd meg az ábrán látható test egy lehetséges hálóját és építsd meg a testet. A feladat ebben a formájában kiváló agytorna, ráadásul a ragasztáshoz szükséges füleket is ki kell jelölni, mégis izgalmasabb a fordított probléma: 4. Probléma Mikor lehet egy hálózatból (konvex) testet építeni, s ha igen, akkor hányat. A továbbiakban néhány általános elvet tárgyalunk, amely megadja (korlátozza) a konvex testek építésének kereteit. 2. Euler poliédertétele Ez első elv mindenki által jól ismert: 1. Tétel (Euler poliédertétele) Ha a konvex poliéder lapjainak számát `, éleinek számát e, csúcsainak

számát pedig c jelöli, akkor teljesül, hogy ` + c = e + 2. Alkalmazásként oldjuk meg az 1. problémánkat: Hányféle ötlapú konvex poliéder létezik? Megoldás. Az ilyen poliéder csak háromszögekből és négyszögekből állhat Jelölje a háromszög lapok számát a, ekkor a négyszög lapok száma 5 − a Továbbá a · 3 + (5 − a) · 4 = 2e. (1) Euler poliédertételének alakja most: c = e − 3, továbbá c ≥ 5 ⇒ e ≥ 8. (c = 4 csak tetraéder lehet, azaz l = 4) Mivel minden , csúcsból legalább három él indul: 3c ≤ 2e, azaz c ≤ 2e 3 e−3≤ 2e ⇒ e ≤ 9. 3 Az előbbi két összefüggésből: 8 ≤ e ≤ 9, azaz e = 8 vagy e = 9. 7 Behelyettesítve az (1) egyenletbe: e = 8, a · 3 + (5 − a) · 4 = 16, ⇒ a = 4, b = 1, ez a test (típusa szerint) négyszög alapú gúla; e = 9, a · 3 + (5 − a) · 4 = 18, ⇒ a = 2, b = 3, ♣ ez a test (típusa szerint) háromszög alapú hasáb. 3. A konvex korlátozás, Descartes tétele

Egy kiválasztott csúcshoz tartozó élszögek összege konvex poliéder esetében 2π-től kisebb. A továbbiakban ezt a tényt a konvex korlátozás elvének nevezzük A konvex korlátozás elvéből rögtön kijön, hogy ha egy konvex poliéder csak egybevágó négyzetekből áll, akkor minden csúcsa harmadfokú, s egy harmadfokú csúcsból kiindulva már csak a kockát lehet felépíteni. (Lásd a hatodikos tanköny példáját.) Tekintsünk egy másik közvetlen alkalmazást: hasonlóságtól eltekintve legfeljebb öt szabályos test létezik. Mivel egy csúcs fokszáma legalább három, ezért hatszögekből (és ettől nagyobb oldalszámú szabályos sokszögekből) a szabályos test már nem állhat: 3 · 2π/3 6< 2π. Ha a test szabályos háromszögekből áll, akkor a csúcsok fokszáma 3, 4 vagy 5 lehet: 3 · π/3 < 2π, 4 · π/3 < 2π, 5 · π/3 < 2π, (Tetraéder, oktaéder, ikozaéder.) Hasonlóan, 3 · π/2 < 2π, 4 · π/2 6< 2π, 6

· π/3 6< 2π. tehát ha a szabályos test négyzetekből áll, akkor minden csúcs harmadfokú. (Kocka) Végezetül 3 · 3π/5 < 2π, 4 · 3π/5 6< 2π, tehát ha a szabályos test szabályos ötszögekből áll, akkor minden csúcs harmadfokú. (Dodekaéder) 2π és egy kiválasztott csúcshoz tartozó élszögek összegének különbségét nevezzük a csúcs defektusának. Egyszerűen bizonyítható, nevezetes tény, hogy a konvex poliéder csúcsdefektusainak összege mindig 4π. A továbbiakban ezt az állítást mint Descartes poliédertételét említjük. 8 Bizonyítás. Jelölje a poliédert alkotó konvex i-szögek számát ni (Tehát a poliédert alkotó háromszögek száma n3 , a poliédert alkotó konvex négyszögek száma n4 , stb.) A csúcsdefektusok összegét – melyet az alábbi sorban D jelöl) kiszámíthatjuk az alábbi módon: X D = c · 2π − (i − 2) · π · ni , i ahol c jelöli a poliéder csúcsai számát. Folytatva: · X X ¸ D =

π 2c − ni · i + 2 ni = i i = π [2c − 2e + 2`] = 4π, a szokásos jelölésekkel, Euler poliédertételét alkalmazva. 4. ♣ Poliéderek merevségéről Vajon a poliéder hálózata egyértelműen meghatározza-e a testet. Nyilvánvalóan nem, az alábbi két test ugyanabból a hálózatból készült: 9. ábra Megjegyzem, ha a hálózaton az élek csatlakozási rendszerét nem adjuk meg (nevezzük ezt egyszerűen hálónak), akkor könnyű olyan hálót konstruálni, amelyből két konvex test is felépíthető (10. ábra) 9 10. ábra A háló két élének az aránya az aranymetszés aránya A hálóból két konvex poliéder készíthető, ehhez instrukciót a csúcsok színezése ad Másik kérdés, hogy a hálózatból konstruált (összeragasztott) testek vajon merevek-e: ha három csúcsukat a térben rögzítjük, akkor a többi mozoghat-e. A tapasztalatai alapján erre valószínűleg mindenki azt mondja, hogy a csúcsok nem mozoghatnak, tehát a

poliéder merev. Pedig ez a merevség a síkbeli „poliédereknél”, vagyis a sokszögeknél egyáltalán nem teljesül: az egyetlen merev sokszög a háromszög. (Az oldalak egybevágóságából a szögek egybevágósága már négyszögnél sem következik) Cauchy (1789–1857) francia matematikus 1813-ban bizonyította, hogy a konvex poliéderek merevek. Sőt az is igaz, hogy adott hálózatból legfeljebb egy konvex poliéder állítható össze. 10 Arra is választ lehet adni, hogy mikor lehet egyáltalán egy hálózatból konvex poliédert „ragasztani”. Két szükséges feltétel nyilvánvaló: teljesülnie kell Euler poliédertételének, valamint az élszögekre vonatkozóan a konvex korlátozás elvének. A D Alekszandrov 1939-ben bebizonyította, hogy ez a két feltételel elégséges is, ha a lapok további lapokra bontását is megengedjük (Az alaplap felosztásával ezért tudtunk az eredeti hálózatból is poliédert konstruálni a 3 problémában)

Megjegyezzük, hogy konstrukciót lehet adni nem merev konkáv poliéderre. (Egy ilyen test hálózata megtalálható például a KöMaL 1979, 8–9. száma hátsó borítóján, javaslom továbbá ugyanitt Csirmaz László ide vonatkozó cikkét: Mozoghat-e valaki, akit síklapokkal határolt páncélba öltöztettünk?) 5. Konvex háromszögtestek A tetraéder, az oktaéder és az ikozaéder lapjai szabályos háromszögek. Ebben a fejezetben azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy hány olyan konvex poliéder létezik, mely lapjai (egybevágó) szabályos háromszögek. Példákat nagyon könnyü találni ilyen testekre: két szabályos tetraéder egy-egy lapjuknál összeragasztva; két szabályos ötszög alapú gúla szintén az alaplapoknál összeragasztva. (Az oldallapok egybevágó szabályos háromszögek, az összeragasztott lapokat természetesen töröljük.) 2. Tétel Hasonlósági transzformációtól eltekintve pontosan nyolc olyan konvex poliéder van, mely lapjai

egybevágó szabályos háromszögek. Bizonyítás. A konvex korlátozás elve alapján egy csúcsban 3, 4 vagy 5 szabályos háromszög találkozhat, azaz a csúcsok fokszáma 3, 4 vagy 5 A harmadfokú csúcsok számáét jelölje a, a negyedfokú csúcsok számát jelölje b, az ötödfokú csúcsok számát pedig c. A harmadfokú csúcs defektusa π, a negyedfokú csúcs defektusa 2π/3, míg az ötödfokú csúcs defektusa π/3. Írjuk fel a poliéderre Descartes poliédertételét: 1 2 πa + πb + πc = 4π, 3 3 azaz 1 2 a + b + c = 4. 3 3 11 Ennek az egyenletnek a nemnegatív egészek körében csak véges sok megoldása van: a 4 3 3 b 0 1 0 c 0 1 3 + 1 1 2 3 0 + 2 2 2 1 2 1 4 1 2 0 6 1 1 4 1 2 1 3 3 2 1 2 5 2 1 1 7 2 1 0 9 2 0 6 0 + 0 5 2 + 0 4 4 + 0 3 6 + 0 0 0 2 1 0 8 10 12 + 3 + Az utolsó sorban a „+” jelzi, hogy a test létezik, az 1, 2, 3 számokkal jelölt esetek pedig különböző „obstrukciós elvek” miatt nem léteznek. Az első

obstrukciós elv az, hogy harmadfokú csúcs szomszédságában nem lehet ötödfokú csúcs. (Az egyes számmal jelölt esetek) Ragasszunk össze egy-egy lapjuknál egy azonos élhosszúságú oktaédert és tetraédert. (11 ábra) Így egy szomszédos harmadfokú (kék) és ötödfokú (piros) 11. ábra Az első obstrukciós elv csúcsot kapunk, azonban a tetraéder és az oktaéder lapszögének az összege π, ami azt jelenti, hogy ennek a testnek rombusz lapja is van. A tetraéderhez csatlakozó egy-egy háromszöglapot tehát ki kell mozdítani a rombusz síkjából. (A piros tengelyek körül kell forgatni) Azonban ha a két sárga csúcs egyikét „benyomjuk”, akkor a másik „kifelé” mozog, mert a köztük lévő távolság nem változhat. (A fekete rúd merev.) Ez pedig konkáv lapszöggel járna, ami nem lehetséges A második obstrukciós elv az, hogy nem létezhet olyan konvex háromszögtest, melynek egyetlen harmadfokú csúcsa van. (2-es szám a táblázatban)

Tegyük fel, hogy csak egyetlen harmadfokó csúcs van. Az előzőek miatt ez azt jelenti, hogy minden szomszédos csúcs negyedfokú. A harmadfokú csúcshoz tartozó lapokhoz tegyünk hozzá egy-egy háromszöget (12 ábra) A szomszédos lapok megfelelő éleinek egyesítésekor a pirossal jelölt csúcsok egybeesnek, ami a kettős háromszög-piramist adja, de ennek két harmadfokú csúcsa van. 12 12. ábra A második obstrukciós elv A (0, 1, 10) eset maradt hátra. Ha csak egy negyedfokú csúcs van, s az összes többi ötödfokú, akkor a poliédert a negyedfokú csúcsból kiindulva egyértelműen fel lehet építeni (úgyanúgy, mint az előbb a kettős háromszög-piramist), s az eredmény a (0, 2, 8) lenne, tehát még egy negyedfokú csúcs létezése adódna. A megmaradó esetek konstrukciója az a, b, c értéknek megfelelően már lehetséges. A következő három ábra az eddig még nem szereplő három esetet mutatja: ♣ 13. ábra 13 14. ábra

15. ábra 14 Hivatkozások [1] Bérczi Tamás. Konvex háromszögtestek Középiskolai Matematikai Lapok, 67(3–4):104–107, 1983. [2] Csirmaz László. Mozoghat-e valaki, akit síklapokkal határolt páncélba öltöztettünk? Középiskolai Matematikai Lapok, 59(3–4), 1979 [3] Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and Beyond Springer, 2000 [4] Lakatos Imre. Bizonyítások és cáfolatok Gondolat, 1981 15