Matematika | Felsőoktatás » Székelyhidi László - Aprroximációelmélet

APPROXIMÁCIÓELMÉLET Székelyhidi László Debrecen, 1999. 2 1. APPROXIMÁCIÓ HILBERT-TEREKBEN 1.1 APPROXIMÁCIÓ ÉS ORTOGONALITÁS Legyen X normált tér, Y az X altere. Az X tér x elemének legjobb közelı́tése Y -ban egy y0 elem, ha ||x − y0 || = inf ||x − y||. y∈Y Akkor mondjuk, hogy az X tér z eleme X-ortogonális az Y altérre, ha minden Y -beli y elem esetén ||z + y|| ≥ ||z|| teljesül. 1.11 Tétel Legyen X normált tér, Y az X altere Az Y -beli y0 elem az X-beli x elemnek akkor és csak akkor legjobb közelı́tése Y -ban, ha x − y0 X-ortogonális Y -ra. Bizonyı́tás. Világos 1.12 Tétel Az X Hilbert-tér egy eleme egy altérre akkor és csak akkor Xortogonális, ha rá ortogonális Bizonyı́tás. Ha a z elem X-ortogonális Y -ra, akkor bármely Y -beli y 6= 0 elem, és bármely λ skalár esetén ||z||2 ≤ ||z + λy||2 = ||z||2 + λ < z, y > +λ < y, z > +|λ|2 ||y||2 teljesül, ami

nyilván csak < z, y >= 0 esetén lehetséges. Megfordı́tva, ha z ortogonális Y -ra, akkor tetszőleges Y -beli y elem esetén a Pitagorasz-tétel alapján ||z + y||2 = ||z||2 + ||y||2 teljesül, amiből ||z + y|| ≥ ||z|| következik. 1.13 Tétel Hilbert-tér bármely elemének bármely zárt altérben egyértelműen létezik legjobb közelı́tése. Bizonyı́tás. Ha x az X Hilbert-tér tetszőleges eleme, Y pedig az X zárt altere, akkor x felı́rható x = y0 + z alakban, ahol y0 az Y -hoz, z pedig az Y ortogonális komplementeréhez tartozik. Ezért bármely Y -beli y esetén ||x − y0 + y||2 =< (x − y0 ) + y, (x − y0 ) + y >= ||x − y0 ||2 + ||y||2 ≥ ||x − y0 ||2 teljesül, tehát x − y0 X-ortogonális Y -ra, ı́gy y0 az X legjobb közelı́tése Y -ban. Másrészt, ha y1 is az x legjobb közelı́tése Y -ban, akkor a Pitagorasz-tétel szerint ||x − y1 ||2 = ||x − y0 ||2 + ||y0 − y1 ||2 , amiből ||x

− y1 || = ||x − y0 || miatt y1 = y0 következik. 3 1.14 Tétel Normált tér bármely elemének bármely véges dimenziós altérben létezik legjobb közelı́tése. Bizonyı́tás. Legyen x az X normált térnek, a pedig az Y véges dimenziós altérnek tetszőleges eleme, és legyen K = {y ∈ Y : ||x − y|| ≤ ||x − a||}. Mivel K az Y véges dimenziós normált tér korlátos, zárt részhalmaza, ı́gy K kompakt, s az x 7 ||x − y|| folytonos függvény a K valamely y0 pontjában felveszi minimumát. Az y0 nyilván az x legjobb közelı́tése Y -ban Akkor mondjuk, hogy az X normált tér szigorúan normált, ha bármely x 6= 0, y 6= 0 elemei esetén ||x + y|| = ||x|| + ||y|| csak akkor állhat fenn, ha y = αx teljesül valamely α pozitı́v skalárral. 1.15 Tétel Szigorúan normált tér bármely elemének bármely zárt altérben legfeljebb egy legjobb közelı́tése létezik Bizonyı́tás. Ha az X

szigorúan normált tér x elemének y1 és y2 legjobb közelı́tései Y -ban, akkor ||x − y1 || = ||x − y2 || = ρ, és ||x − x − y1 x − y2 y1 + y2 || = || + || ≤ 2 2 2 ≤ 1 1 ||x − y1 || + ||x − y2 || = ρ 2 2 miatt y1 + y2 || = ρ, 2 tehát a szigorú normáltság miatt x − y1 = α(x − y2 ). Ha itt α 6= 1, akkor x az Y nak eleme, s ı́gy saját magának - egyértelműen meghatározott - legjobb közelı́tése Y -ban, ha pedig α = 1, akkor y1 = y2 . ||x − Mint könnyen látható, bármely Hilbert-tér szigorúan normált. Ugyancsak szigorúan normáltak az Lp (Rn ) terek p > 1 esetén, de L1 (Rn ) nem szigorúan normált. Nem szigorúan normált a C[a, b] tér, és az R2 tér sem az ||(x, y)|| = max{|x|, |y|} normával. 1.2 APPROXIMÁCIÓ HILBERT-TÉRBEN A H Hilbert-tér y1 , y2 , , yn elemeinek Gram-determinánsa alatt a   < y1 , y1 > . < yn , y1 >   . . .   . . . <

y1 , yn > . < yn , y n > mátrix G(y1 , y2 , . , yn ) determinánsát értjük 4 1.21 Tétel Hilbert-tér elemeinek Gram-determinánsa akkor és csak akkor zérus, ha az elemek lineárisan függők. Bizonyı́tás. Világos, hogy lineárisan függő elemek Gram-determinánsa zérus, hiszen ilyenkor a Gram-determináns valamelyik oszlopa a többi oszlop lineáris kombinációja. Legyenek most az y1 , y2 , , yn elemek lineárisan függetlenek, s tételezzük fel, hogy Gram-determinánsuk 0. Ekkor a λ1 < y1 , y1 > +λ2 < y2 , y1 > + · · · + λn < yn , y1 >= 0, λ1 < y1 , y2 > +λ2 < y2 , y2 > + · · · + λn < yn , y2 >= 0, . . . λ1 < y1 , yn > +λ2 < y2 , yn > + · · · + λn < yn , yn >= 0 lineáris egyenletrendszernek van nem triviális, λ1 , λ2 , . , λn megoldása Az x = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λn yn elem az y1 , y2 , . , yn elemek mindegyikére

ortogonális, ı́gy azoktól lineárisan független, ami ellentmondás. 1.22 Tétel Ha a H Hilbert-tér x elemének legjobb közelı́tése az y1 , y2 , , yn lineárisan független elemek által generált altérben y0 , akkor ||x − y0 ||2 = G(x, y1 , y2 , . , yn ) . G(y1 , y2 , . , yn ) Bizonyı́tás. Legyen δ = ||x − y0 || és y0 = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λn yn Mivel x − y0 ortogonális az y1 , y2 , . , yn elemek mindegyikére, ı́gy λ1 < y1 , y1 > +λ2 < y2 , y1 > + · · · + λn < yn , y1 >=< x, y1 >, λ1 < y1 , y2 > +λ2 < y2 , y2 > + · · · + λn < yn , y2 >=< x, y2 >, . . . λ1 < y1 , yn > +λ2 < y2 , yn > + · · · + λn < yn , yn >=< x, yn > teljesül. Másrészt δ 2 =< x − y0 , x − y) >=< x, x > − < y, x > miatt λ1 < y1 , x > +λ2 < y2 , x > + · · · + λn < yn , x >=< x, x > −δ 2 , s a fenti

egyenletekből a λi -ket kiküszöbölve azt kapjuk, hogy δ2 = amit bizonyı́tani kellett. G(x, y1 , y2 , . , yn ) , G(y1 , y2 , . , yn ) 5 1.23 Következmény Hilbert-tér lineárisan független elemeinek Gram-determinánsa pozitı́v Bizonyı́tás. Világos, hiszen G(y) = ||y||2 > 0, ha y 6= 0 1.24 Következmény (Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség) Hilberttér bármely x, y elemeire | < x, y > | ≤ ||x|| · ||y|| teljesül, s egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x és y lineárisan függők. Bizonyı́tás. A fenti egyenlőtlenség egyenértékű a G(x, y) ≥ 0 egyenlőtlenséggel 1.25 Tétel Legyenek 1 ≤ m < n természetes számok Ekkor a H Hilbert-tér y1 , y2 , . , yn elemeire fennáll G(y1 , y2 , . , yn ) ≤ G(y1 , y2 , , ym )G(ym+1 , ym+2 , , yn ) Bizonyı́tás. Nyilván feltehetjük, hogy az y1 , y2 , , yn elemek lineárisan függetlenek Az 122 tételből

kapjuk, hogy k = 1, 2, , m − 1 esetén fennáll G(yk , yk+1 , yk+2 , . , yn ) G(yk , yk+1 , yk+2 , . , ym ) ≤ G(yk+1 , yk+2 , . , yn ) G(yk+1 , yk+2 , . , ym ) és G(ym , ym+1 , . , yn ) ≤ G(ym ). G(ym+1 , ym+2 , . , yn ) Ebből adódóan G(y2 , y3 , . , yn ) G(ym , ym+1 , . , yn ) G(y1 , y2 , . , yn ) ≤ ≤ ≤ ··· ≤ G(y1 , y2 , . , ym ) G(y2 , y3 . , ym ) G(ym ) ≤ G(ym+1 , ym+2 , . , yn ), ami éppen az állı́tás. Mint könnyen látható, a fenti egyenlőtlenségben - lineárisan független y1 , y2 , . , yn vektorok esetén - egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az y1 , y2 , . , ym elemek mindegyike ortogonális az ym+1 , ym+2 , . , yn elemek mindegyikére 6 1.26 Tétel (Hadamard) Legyen  a11 A =  a2 1 an1 . . . . a1n   ann adott komplex elemű mátrix. Ekkor (det A)2 ≤ n X Y ¡ n |ajk |2 ), j=1 k=1 és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az A

mátrix sorvektorai páronként ortogonálisak. Bizonyı́tás. Jelölje k = 1, 2, , n esetén yk azt a vektort Cn -ben, melynek koordinátái az A mátrix k-adik sorának elemei Egyrészt az A determinánsának négyzete éppen G(y1 , y2 , . , yn ), másrészt az 125 tételből kapjuk, hogy G(y1 , y2 , . , yn ) ≤ ||y1 ||2 ||y2 ||2 ||yn ||2 1.3 ORTOGONÁLIS RENDSZEREK HILBERT-TÉRBEN Egy Hilberttér valamely nem üres részhalmazát ortogonális rendszernek nevezzük, ha elemei páronként ortogonálisak. Ha egy ortogonális rendszer elemei 1 normájúak, akkor azt ortonormált rendszernek nevezzük. Értelemszerűen használjuk az ortogonális sorozat, illetve ortonormált sorozat elnevezéseket. Mint könnyen látható, ortogonális rendszer zérustól különböző elemei - ı́gy bármely ortonormált rendszer elemei - lineárisan független halmazt alkotnak 1.31 Tétel Hilbert-tér x elemének legjobb

közelı́tése az e1 , e2 , , en ortonormált rendszer által generált altérben y0 =< x, e1 > e1 + < x, e2 > e2 + · · · + < x, en > en . Bizonyı́tás. Valóban, az x − y0 elem ortogonális az e1 , e2 , , en elemek mindegyikére, ı́gy az általuk generált altérre is, s az 111 és 112 tételekből következik az állı́tás. 1.32 Tétel Hilbert-tér x elemének legjobb közelı́tése az e1 , e2 , , en ortonormált rendszer által generált altérből ³ ´ 21 ||x − y0 || = G(x, e1 , e2 , . , en ) Bizonyı́tás. Az állı́tás az 122 tétel következménye 7 1.4 A SCHMIDT-FÉLE ORTOGONALIZÁCIÓ 1.41 Tétel (Schmidt-féle ortogonalizációs eljárás) Ha adott egy Hilbert-tér lineárisan független elemeinek sorozata, akkor van olyan ortonormált sorozat, melynek első k tagja ugyanazt az alteret generálja, mint az eredeti sorozat első k tagja (k pozitı́v egész).

Bizonyı́tás. Legyenek az eredeti sorozat tagjai az y1 , y2 , elemek és legyen e1 = 1 . ||y1 || Ha a kı́vánt tulajdonságú sorozat e1 , e2 , . , ek tagjait már értelmeztük, akkor legyen 0 yk+1 = yk+1 − λ1 e1 − λ2 e2 − · · · − λk ek , 0 ahol a λ1 , λ2 , . , λk számokat úgy választjuk, hogy yk+1 ortogonális legyen az e1 , e2 , . , ek elemek mindegyikére Ennek szükséges és elegendő feltétele az, hogy λi =< yk+1 , ei > teljesüljön i = 1, 2, . , k esetén Ezután legyen ek+1 = 1 . 0 ||yk+1 || Az ı́gy konstruált sorozat nyilván eleget tesz a tétel feltételeinek. 8 2. ORTOGONÁLIS FÜGGVÉNYRENDSZEREK 2.1 A TRIGONOMETRIKUS RENDSZER 2.11 Tétel Az (2.1) 1 1 1 1 1 √ , √ sin x, √ cos x, √ sin 2x, √ cos 2x, . π π π π 2π függvénysorozat az L2 [0, 2π]-ben ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Az állı́tás az alábbi, egyszerű számolással igazolható

egyenlőségekből következik: Z 2π sin kx sin lxdx = 0, 0 Z 2π cos kx cos lxdx = 0, 0 ha k 6= l nem negatı́v egészek, Z 2π sin kx cos lxdx = 0, 0 ha k, l tetszőleges, nem negatı́v egészek, és Z 2π sin2 kxdx = π, 0 Z 2π cos2 kxdx = π, 0 ha k pozitı́v egész. Az (2.1) rendszert trigonometrikus rendszernek nevezzük Szokás az 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . ortogonális (de nem normált) rendszert is trigonometrikus rendszernek nevezni. A trigonometrikus rendszer elemeinek véges lineáris kombinációit trigonometrikus polinomoknak nevezzük. 2.12 Tétel Az 1 √ exp ikx 2π (2.2) (k egész szám) függvénysorozat az L2 [0, 2π]-ben ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Világos az Z 2π ½ exp ikxdx = 0 0, k 6= 0 esetén, 2π, k = 0 esetén, 9 és az Z 2π | exp ikx|2 dx = 2π valós k esetén 0 azonosságok alapján. Az (2.2) ortonormált sorozat a komplex trigonometrikus rendszer 2.13 Tétel Az

(2.3) 1 √ , π r 2 cos x, π r 2 cos 2x, π r 2 cos 3x, . π függvénysorozat az L2 [0, π]-ben ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Világos 2.14 Tétel Az r (2.4) 2 sin x, π r 2 sin 2x, π r 2 sin 3x, . π függvénysorozat az L2 [0, π]-ben ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Világos Az (2.3), illetve (24) rendszert koszinusz rendszernek, illetve szinusz rendszernek nevezzük. 2.2 A LEGENDRE-POLINOMOK Az L2 [−1, 1] Hilbert-térben a nem negatı́v, egész kitevőjű hatványfüggvények - mint könnyen látható - lineárisan független rendszert alkotnak. Ebből a Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással nyert ortonormált rendszer elemeit Legendre-polinomoknak nevezzük A Legendre-polinomoknak az L2 [−1, 1] térben szokásos normálásától eltérő normálásai is használatosak. Így például a Legendre-polinomoknak egy gyakori normálása úgy történik, hogy mindegyiket megszorozzuk

egy olyan valós számmal, hogy főegyütthatója 1 legyen. Egy másik lehetséges normálásnál a polinomok az 1 pontban 1-et vesznek fel értékül. Ha nem okoz félreértést, a különböző normálási eljárással kapott polinomokat szintén Legendre-polinomoknak nevezzük, de ha normálásuk az L2 [−1, 1] térben szokásostól eltérő, akkor mindig utalunk arra, hogy milyen normálást használunk. 10 2.21 Tétel Ha p0 , p1 , p2 , a Legendre-polinomok sorozata, akkor pk pontosan k-adfokú (k nem negatı́v egész). Továbbá a Pk (x) = dk 2 (x − 1)k dxk összefüggéssel értelmezett Pk polinomok az 1 pontban 1 értéket felvevő Legendrepolinomok (k nemnegatı́v egész). Bizonyı́tás. Az az állı́tás, hogy pk pontosan k-adfokú, következik a Schmidt-féle eljárásnak abból a tulajdonságából, hogy 1, x, x2 , . , xk és p0 , p1 , , pk minden nem negatı́v k esetén ugyanazt az alteret

generálják. Mivel Pk pontosan k-adfokú, s a Pk polinomok páronkénti ortogonalitása parciális integrálással egyszerűen igazolható, a második állı́tás is könnyen következik. 2.3 SÚLYFÜGGVÉNYRE ORTOGONÁLIS POLINOMOK Ha ρ mérhető, majdnem mindenütt pozitı́v, négyzetesen integrálható függvény a valós ]a, b[ intervallumon (mely végtelen intervallum is lehet), akkor ρ-t súlyfüggvénynek nevezzük az ]a, b[ intervallumon. Akkor mondjuk, hogy az f mérhető, komplex értékű függvény a ρ súlyfüggvényre nézve négyzetesen integrálható ]a, b[-n, ha az √ f · ρ függvény négyzetesen integrálható ]a, b[-n. Az ]a, b[ intervallumon a ρ súlyfüggvényre nézve négyzetesen integrálható függvények - mint könnyen látható - Hilbert-teret alkotnak, melyet L2ρ (a, b)-vel jelölünk. Ebben a térben az f és g függvények belső szorzatát az Z b < f, g >ρ = f

(x)g(x)dx a összefüggés segı́tségével értelmezzük. Ha a ρ súlyfüggvény az ]a, b[ intervallumon olyan, hogy a nem negatı́v, egész kitevőjű hatványfüggvények rá nézve négyzetesen integrálhatók, akkor az L2ρ (a, b) Hilbert-térben ezek ortogonalizálásával nyert polinomok sorozatát a ρ súlyfüggvényre ortogonális polinomrendszernek nevezzük az ]a, b[ intervallumon. Mint könnyen látható, a Legendre-polinomok a ρ(x) = 1 (x ∈] − 1, 1[) súlyfüggvényre ortogonális polinomok. Ugyanúgy, mint a Legendre-polinomok esetében, a szokásos normálás mellett más normálások is használatosak, melyekre az elnevezésben szokás utalni (például, egy adott pontban adott értéket felvevő ortogonális polinomok, adott főegyütthatójú ortogonális polinomok, stb.) 1 A ] − 1, 1[ intervallumon a ρ(x) = (1 − x2 )− 2 (x ∈] − 1, 1[) súlyfüggvényre ortogonális polinomokat

(elsőfajú) Csebisev-polinomoknak nevezzük. 1 A ] − 1, 1[ intervallumon a ρ(x) = (1 − x2 ) 2 (x ∈] − 1, 1[) súlyfüggvényre ortogonális polinomokat (másodfajú) Csebisev-polinomoknak nevezzük. Legyen α > −1 valós szám. A ] − 1, 1[ intervallumon a ρ(x) = (1 − x2 )α (x ∈] − 1, 1[) súlyfüggvényre ortogonális polinomokat ultraszférikus polinomoknak nevezzük. 11 Legyenek α, β > −1 valós számok. A ] − 1, 1[ intervallumon a ρ(x) = (1 − x)α (1 + x)β (x ∈] − 1, 1[) súlyfüggvényre ortogonális polinomokat Jacobipolinomoknak nevezzük. Legyen α > −1 valós szám. A ]0, +∞[ intervallumon a ρ(x) = xα e−x (x ∈]0, +∞[) súlyfüggvényre ortogonális polinomokat általánosı́tott Laguerrepolinomoknak nevezzük. Az α = 0 esetben ezeket (közönséges) Laguerrepolinomoknak nevezzük 2 A ] − ∞, +∞[ intervallumon a ρ(x) = e−x (x ∈] − ∞, +∞[) súlyfüggvényre

ortogonális polinomokat Hermite-polinomoknak nevezzük. Mint könnyen látható, a Jacobi-polinomok az α = β speciális esetben éppen az ultraszférikus polinomok, melyek speciális esetei az α = β = − 21 esetben az elsőfajú, α = β = 21 esetben pedig a másodfajú Csebisev-polinomok, mı́g az α = β = 0 esetben a Legendre-polinomokat kapjuk. 12 3. TELJES ORTONORMÁLT FÜGGVÉNYRENDSZEREK 3.1 ORTONORMÁLT FÜGGVÉNYRENDSZEREK ZÁRTSÁGA ÉS TELJESSÉGE 3.11 Tétel Legyen e1 , e2 , , en , ortonormált sorozat a H Hilbert-térben Ekkor a H bármely x eleme és bármely n pozitı́v egész szám esetén fennáll: ||x||2 ≥ (3.1) n X | < x, ek > |2 . k=1 Bizonyı́tás. Nyilván 0 ≤ ||x − n X < x, ek > ek ||2 =< x − k=1 n X < x, ek > ek , x − k=1 ||x||2 − n X n X < x, ej > ej >= j=1 | < x, ek > |2 . k=1 A (3.1) egyenlőtlenséget Bessel-egyenlőtlenségnek

nevezzük, az < x, ek > számokat (k pozitı́v egész) pedig az x elemPe1 , e2 , . , en , ortonormált soro∞ zatra vonatkozó Fourier-együtthatóinak. A k=1 < x, ek > ek sort az x elem e1 , e2 , . , en ortonormált sorozatra vonatkozó Fourier-sorának nevezzük 3.12 Tétel Hilbert-térben minden Fourier-sor konvergens Bizonyı́tás. A Bessel-egyenlőtlenség alapján minden Fourier-sor abszolút konvergens Az e1 , e2 , . , en , ortonormált sorozatot zártnak nevezzük, ha minden x elem esetén fennáll az (3.2) ||x||2 = ∞ X | < x, ek > |2 k=1 Parseval-egyenlet. 3.13 Tétel Hilbert-tér ortonormált sorozata akkor és csak akkor zárt, ha minden elem egyenlő Fourier-sorának összegével. Bizonyı́tás. Világos Az e1 , e2 , . , en , ortonormált sorozatot teljesnek nevezzük, ha nincs a térnek olyan nullától különböző eleme, mely a sorozat minden tagjára ortogonális. 13 3.14

Tétel Hilbert-tér ortonormált sorozata akkor és csak akkor zárt, ha teljes Bizonyı́tás. Legyen az e1 , e2 , , en , ortonormált sorozat zárt, s legyen x ortogonális minden ek -ra: < x, ek >= 0 minden k pozitı́v egész esetén A zártság miatt x egyenlő Fourier-sorának összegével, ı́gy x = 0. Megfordı́tva, legyen e1 , e2 , . , en , teljes, x pedig a tér tetszőleges eleme, továbbá legyen y= ∞ X < x, ek > ek . k=1 A 3.12 tétel szerint a felı́rt Fourier-sor konvergens, továbbá y-nak és x-nek azonosak a Fourier-együtthatói, ezért x − y ortogonális minden ek -ra, ı́gy y = x, amiből a 3.13 tétel alapján adódik az ortonormált sorozat zártsága Hilbert-tér egy y1 , y2 , . , yn , sorozata totális, ha a sorozat lineáris burka sűrű a térben. Világos, hogy egy ortonormált sorozat akkor és csak akkor totális, ha teljes. 3.15 Tétel Hilbert-tér elemeinek egy

sorozatából a Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással nyert ortonormált sorozat akkor és csak akkor teljes, ha az eredeti sorozat totális. Bizonyı́tás. Az állı́tás nyilvánvaló, hiszen az eredeti sorozat lineáris burka nyilván megegyezik az eljárás során nyert ortonormált sorozat lineáris burkával, mely pontosan akkor sűrű a térben, ha nincs olyan nullától különböző elem, mely a lineáris burok minden elemére ortogonális lenne. 3.2 A STONE-WEIERSTRASS TÉTEL Ha Γ kompakt Haussdorff-tér, akkor a Γ-n értelmezett összes folytonos, komplex értékű függvények halmaza a pontonkénti vektortér-műveletekkel és az f 7 ||f || = maxγ∈Γ |f (γ)| normával komplex Banach-algebra - mint könnyen látható -, melyet C(Γ) jelöl. A C(Γ) valós értékű függvényei ugyanezekkel a műveletekkel és normával valós Banach-algebrát alkotnak, melyet CR (Γ) jelöl. 3.21 Tétel

(Stone-Weierstrass) Ha a Γ kompakt Haussdorff-tér feletti valós értékű folytonos függvények CR (Γ) Banach-algebrájában, mint normált térben X olyan zárt altér, amely a konstans 1 függvényt, valamint az X-hez tartozó függvények abszolút értékét is tartalmazza, továbbá szétválasztja Γ elemeit (vagyis Γ bármely µ 6= ν elemeihez van olyan X-beli f , hogy f (µ) 6= f (ν)), akkor X = CR (Γ). Bizonyı́tás. Ha f, g tetszőleges X-beli függvények, akkor az (f ∨ g)(ν) = max(f (ν), g(ν)) és az (f ∧ g)(ν) = min(f (ν), g(ν)) 14 (ν ∈ Γ) összefüggéssel értelmezett f ∨ g, illetve f ∧ g függvény X-hez tartozik, mert f ∨ g = 2−1 (f + g + |f − g|) és f ∧ g = 2−1 (f + g − |f − g|). Ezért, ha f1 , f2 , , fn tetszőleges X-beli függvények (n > 1 egész szám), akkor f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fn = (f1 ∨ f2 ∨ · · · ∨ fn−1 ) ∨ fn és f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧

fn = (f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fn−1 ) ∧ fn az X-hez tartoznak. A Γ bármely µ 6= ν elemeihez, és bármely α 6= β valós számokhoz van olyan X-beli f , hogy f (µ) = α és f (ν) = β, mert ha az X-beli g-re g(µ) 6= g(ν) teljesül, akkor van olyan γ és δ valós szám, hogy a velük képzett f = γg + δ függvényre fennáll f (µ) = α és f (ν) = β. Legyen h tetszőleges függvény a CR (Γ)-ből és bármely Γ-beli µ, ν elemeknél legyen fµ,ν olyan X-beli függvény, amelyre fµ,ν (µ) = h(µ) és fµ,ν (ν) = h(ν) teljesül. Ha ε > 0 valós szám, akkor az fµ,ν (λ) < h(λ) + ε egyenlőtlenséget kielégı́tő Γ-beli λ elemek egy Uµ,ν nyı́lt halmazt alkotnak. Bármely µ esetén az Uµ,ν (ν ∈ Γ) halmazok egyesı́tési halmaza a Γ kompakt tér, hiszen ν beletartozik Uµ,ν -be. Ezért vannak olyan Γ-beli ν1 , ν2 , , νn (n természetes szám) elemek, hogy Uµ,ν1 ∪ Uµ,ν2 ∪ · ·

· ∪ Uµ,νn = Γ. Az fµ = fµ,ν1 ∧ fµ,ν2 ∧ · · · ∧ fµ,νn függvényre nyilván érvényes fµ (λ) < h(λ) + ε (λ ∈ Γ) és fµ (µ) = h(µ). Az fµ (λ) > h(λ) − ε egyenlőtlenséget kielégı́tő Γ-beli λ elemek egy Uµ nyı́lt halmazt alkotnak. Az Uµ halmazok befedik Γ-t, mert µ nyilván Uµ -höz tartozik, ezért vannak olyan Γ-beli µ1 , µ2 , . , µk (k természetes szám) elemek, hogy Uµ1 ∪ Uµ2 ∪ · · · ∪ Uµk = Γ Az f = fµ1 ∨ fµ2 ∨ · · · ∨ fµk függvényre nyilván érvényes f (λ) < h(λ) + ε és f (λ) > h(λ) − ε (λ ∈ Γ). Így az X zártsága miatt h az X-hez tartozik, tehát X = CR (Γ). 3.22 Tétel Ha a Γ kompakt tér feletti valós értékű, folytonos függvények CR (Γ) normált teréhez tartozó fn (n természetes szám) és g függvények olyanok, hogy minden Γ-beli ν helyen az fn (ν) számok sorozata monoton fogyó és g(ν)-höz

konvergál, akkor az fn függvények sorozata g-hez konvergál CR (Γ)-ban. Bizonyı́tás. Bármely ε > 0 valós szám és Γ-beli ν elem esetén van olyan nν természetes szám, hogy fnν (ν) − g(ν) < ε. Az fnν és g folytonossága miatt Γ-nak van olyan, a ν-t tartalmazó Uν nyı́lt részhalmaza, hogy minden Uν -beli µ helyen fnν (µ) − fnν (ν) < ε és g(ν) − g(µ) < ε érvényes. Minthogy Γ kompakt tér, vannak olyan Γ-beli ν1 , ν2 , . , νl (l természetes szám) elemek, hogy az Uν1 , Uν2 , , Uνl halmazok befedik Γ-t. Bármely n ≥ max(nν1 , nν2 , , nνl ) indexnél minden Γ-beli, Uνk -hoz tartozó ν helyen fn (ν) − g(ν) ≤ fnνk (ν) − g(ν) = = (fnνk (ν) − fnνk (νk )) + (fnνk (νk ) − g(νk )) + (g(νk ) − g(ν)) < 3ε érvényes, tehát az fn -ek sorozata g-hez konvergál CR (Γ)-ban. 15 3.23 Tétel Van valós együtthatós polinomoknak olyan sorozata, amely a

[−1, 1] zárt intervallumon folytonos, valós értékű függvények normált terében az x 7 |x| függvényhez konvergál. 2 Bizonyı́tás. Az fn (x) = 2−1 (fn−1 (x) + (1 − x2 )) (x valós szám, n természetes szám, f0 a konstans 1 polinom) összefüggéssel értelmezett valós együtthatós fn polinomok |x| ≤ 1 esetén nyilván nem negatı́v értékűek és fn (x) ≥ fn+1 (x), ugyanis ha fn−1 (x) ≥ fn (x), akkor fn (x) − fn+1 (x) = 2 = 2−1 (fn−1 (x) − fn2 (x)) = 2−1 (fn−1 (x) + fn (x))(fn−1 (x) − fn (x)) ≥ 0, és f0 (x) ≥ f1 (x). Ezért |x| ≤ 1 esetén az fn (x) sorozat konvergál egy g(x) ≤ 1 számhoz, amelyre az fn -eket értelmező összefüggésből határátmenettel g(x) = 2−1 (g 2 (x) + (1 − x2 )) teljesül, vagyis g(x) = 1 − |x|. A g függvény folytonos, ı́gy a 3.22 tétel alapján a [−1, 1] zárt intervallumon folytonos, valós értékű függvények normált

terében az 1 − fn polinomok sorozata az |x| függvényhez konvergál. 3.24 Tétel (Stone-Weierstrass) Ha R olyan zárt részalgebra a Γ kompakt Haussdorff-tér feletti komplex értékű folytonos függvények C(Γ) normált algebrájában, amely a konstans 1 függvényt, valamint az R-hez tartozó függvények konjugáltjait is tartalmazza, és szétválasztja Γ elemeit (vagyis Γ bármely µ 6= ν elemeihez van olyan R-beli f , hogy f (µ) 6= f (ν)), akkor R = C(Γ). Bizonyı́tás. Legyen az R-beli valós értékű függvények halmaza Rr A 323 tétel alapján az Rr -hez tartozó függvények abszolút értékét is tartalmazza Rr . Ha f az R egy eleme, akkor vannak olyan valós értékű u, v függvények C(Γ)-ban, hogy f = u + iv, és itt szükségképpen u és v az R-hez tartozik, mert az f függvény f konjugáltjával u = 2−1 (f + f ) és v = −i · 2−1 (f − f ) teljesül. Ezért Rr szétválasztja Γ

elemeit. Így a 321 segédtétel alapján Rr tartalmaz minden C(Γ)-beli valós értékű függvényt. Tehát R = C(Γ) 16 3.3 WEIERSTRASS APPROXIMÁCIÓS TÉTELEI 3.31 Tétel (Weierstrass I tétele) Zárt intervallumon minden folytonos, valós értékű függvény valós együtthatós polinomok egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye. Bizonyı́tás. A 321 tétel feltételeit kell ellenőriznünk, ha X egy zárt intervallumon értelmezett összes valós együtthatós polinomok algebrájának, mint lineáris altérnek lezártját jelenti. Ezek a feltételek azonban - figyelembe véve a 323 tételt is nyilvánvalóan teljesülnek 3.32 Tétel (Weierstrass II tétele) Minden valós értékű, 2π szerint periodikus, folytonos függvény valós trigonometrikus polinomok egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye. Bizonyı́tás. Legyen F valós értékű, 2π szerint periodikus, folytonos

függvény, és ε > 0 adott szám. Elegendő megmutatni, hogy van olyan T valós trigonometrikus polinom, hogy minden valós t pontban |F (t) − T (t)| < ε teljesül. Tekintsük a valós t-re ϕ(t) = és ψ(t) = F (t) + F (−t) , 2 F (t) − F (−t) sin t 2 módon értelmezett ϕ, ψ függvényeket. Mindkettő páros, 2π szerint periodikus, folytonos függvény. Ha x a [−1, 1] intervallum tetszőleges pontja, akkor legyen f (x) = ϕ(arccos x) és g(x) = ψ(arccos x). Az f és g a [−1, 1] intervallumon folytonos függvények, ı́gy Weierstrass I. tétele szerint vannak olyan P, Q polinomok, hogy ε |f (x) − P (x)| < , 4 és |g(x) − Q(x)| < ε 4 teljesül a [−1, 1] intervallum minden x elemére. Ezért a [0, π] intervallum minden t elemére ε |ϕ(t) − P (cos t)| < , 4 és |ψ(t) − Q(cos t)| < ε 4 is fennáll, s mivel az itt szereplő függvények párosak és 2π szerint periodikusak, ezek az

egyenlőtlenségek minden valós t esetén érvényesek. 17 Minthogy F (t) sin t = ϕ(t) sin t + ψ(t), ezért minden valós t-re fennáll |F (t) sin t − U (t)| < ε , 2 ahol U az U (t) = Q(cos t) + P (cos t) sin t (t valós szám) módon értelmezett trigonometrikus polinom. Ugyanezt a gondolatmenetet a t 7 F ( π2 − t) függvényre alkalmazva azt kapjuk, hogy minden valós t-re fennáll |F ´ ε − t sin t − V (t)| < , 2 2 ³π ahol V is egy trigonometrikus polinom. Ebben az egyenlőtlenségben t helyére ( π2 − t)-t ı́rva az adódik, hogy minden valós t mellett |F (t) cos t − V ´ ε −t |< 2 2 ³π érvényes. Ezekből az egyenlőtlenségekből azt kapjuk, hogy minden valós t-re fennáll az ´ ³π − t cos t| < ε |F (t) − U (t) sin t − V 2 egyenlőtlenség, s ezzel a tételt bebizonyı́tottuk. 18 3.4 NEVEZETES TELJES ORTONORMÁLT FÜGGVÉNYRENDSZEREK 3.41 Tétel Ha f : [0, 2π] R

integrálható és Z 2π Z 2π f (x)dx = 0, 0 Z 2π f (x) cos nxdx = 0, 0 f (x) sin nxdx = 0 0 (n = 1, 2, . ), akkor f majdnem mindenütt nulla Bizonyı́tás. A feltételekből következik, hogy Z 2π f (x)T (x) = 0 0 teljesül bármely T trigonometrikus polinom esetén, ı́gy Weierstrass II. approximációs tétele alapján Z 2π f (x)ϕ(x)dx = 0 0 is fennáll minden ϕ : R R folytonos, 2π szerint periodikus függvény mellett. Minden, a [0, 2π] intervallumon értelmezett lépcsősfüggvény olyan folytonos függvények korlátos, majdnem mindenütt konvergens sorozatának határfüggvénye, melyek a végpontokban azonos értékeket vesznek fel, továbbá minden, a [0, 2π] intervallumon értelmezett korlátos, mérhető függvény lépcsősfüggvények korlátos, majdnem mindenütt konvergens sorozatának a határértéke. Ezért Z 2π f (x)g(x) = 0 0 teljesül minden g : [0, 2π] R korlátos, mérhető

függvény esetén. Mivel g(x) = sgn f (x) = lim f (x) n∞ |f (x)| + 1 n (x ∈]0, 2π[) korlátos, mérhető függvény, ı́gy a fenti egyenlőségből Z 2π |f (x)|dx = 0 0 adódik, tehát f majdnem mindenütt nulla. 3.42 Tétel A (21) trigonometrikus rendszer az L2 [0, 2π]-ben teljes ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Az állı́tás a 211 tétel és az előző tétel következménye 19 3.43 Tétel A (23) koszinusz rendszer és a (24) szinusz rendszer az L2 [0, 2π]-ben teljes ortonormált sorozatok. Bizonyı́tás. A (23) és (24) rendszerek ortonormáltsága a 213 és 214 tételek következménye. A koszinusz rendszer teljességének bizonyı́tásához tegyük fel, hogy valamely L2 [0, 2π]-beli f függvény ortogonális a (2.3) rendszer minden elemére Terjesszük ki az f -et a [−π, π] intervallumra úgy, hogy a kiterjesztés páros függvény legyen. Ekkor a kiterjesztés ortogonális lesz L2 [−π,

π]-ben a trigonometrikus rendszer minden elemére. Ebből a trigonometrikus rendszer teljessége alapján következik, hogy f majdnem mindenütt nulla. A szinusz rendszer teljessége hasonlóan igazolható, az f függvény páratlan kiterjesztésével 3.44 Tétel Ha f : [−1, 1] R integrálható és Z 1 f (x)xn dx = 0 −1 (n = 0, 1, 2, . ), akkor f majdnem mindenütt nulla Bizonyı́tás. A bizonyı́tás a 331 tétel bizonyı́tásának mintájára, Weierstrass I approximációs tételének segı́tségével végezhető el 3.45 Tétel A Legendre-polinomok rendszere az L2 [−1, 1]-ben teljes ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Az előbbi tétel alapján az állı́tás nyilvánvaló 3.46 Tétel Az α, β > −1 paraméterű Jacobi-polinomok rendszere L2 [−1, 1]-ben teljes ortonormált sorozat. Bizonyı́tás. Elegendő azt igazolni, hogy ha ρ(x) = (1 − x)α (1 + x)β (x ∈] − 1, 1[) és f egy L2ρ [−1, 1]-beli

függvény, melyre Z 1 f (x)xn ρ(x)dx = 0, −1 akkor f majdnem mindenütt nulla. A 344 tétel alapján az előbbi egyenlőségből az adódik, hogy f ρ majdnem mindenütt nulla, s ı́gy az állı́tást igazoltuk. Speciálisan, az első-, és másodfajú Csebisev-polinomok és általánosabban, az ultraszférikus polinomok rendszerei teljes ortonormált sorozatok a megfelelő súlyfüggvényhez tartozó L2 -terekben. Meg lehet mutatni, hogy a Laguerre-polinomok és a Hermite-polinomok rendszerei is teljes ortonormált sorozatok a megfelelő L2 -terekben. 20 4. A CSEBISEV-FÉLE PROBLÉMAKÖR 4.1 A CSEBISEV-FÉLE VÁLTAKOZÁS Legyenek f, s : [a, b] R folytonos függvények, m, n nem negatı́v egészek és Q(x) = s(x) pn xn + pn−1 xn−1 + · · · + p1 x + p0 , qm xm + qm−1 xm−1 + · · · + q1 x + q0 ha a ≤ x ≤ b. Itt p0 , p1 , , pn , q0 , q1 , , qm valós paraméterek, melyeket úgy akarunk megválasztani,

hogy max |f (x) − Q(x)| a≤x≤b minimális legyen. Abban a speciális esetben, amikor s = 1 és m = 0, az f -et C[a, b]-ben legjobban közelı́tő, legfeljebb n-edfokú polinomot keressük. Legyen Q kompakt Haussdorff-tér és jelölje C(Q) az összes Q-n értelmezett, folytonos, valós értékű függvények normált terét az ||f || = max |f (x)| x∈Q normával. A következőkben a C(Q) egy P alterére vonatkozó C(Q)-ortogonalitást kı́vánjuk jellemezni. A továbbiakban C(Q)-ortogonalitás helyett egyszerűen ortogonalitást mondunk Bevezetjük a következő jelöléseket. Ha f a C(Q) egy eleme, akkor legyen E + (f ) = {x ∈ Q : f (x) = ||f ||}, E − (f ) = {x ∈ Q : f (x) = −||f ||}, E(f ) = E + (f ) ∪ E − (f ). 4.11 Tétel Legyen Q kompakt Haussdorff tér, P a C(Q) altere, f a C(Q) egy nem azonosan nulla eleme. Az f akkor és csak akkor ortogonális P -re, ha a P nek nincs olyan p eleme, melyre f (x)p(x) > 0

teljesül az E(f ) halmaz minden x pontjában. Bizonyı́tás. Tegyük fel, hogy valamely P -beli p-re teljesül a tételben szereplő feltétel. Mivel az E(f ) halmaz kompakt, ezen az f p folytonos függvény felveszi pozitı́v minimumát, ı́gy van olyan E(f )-et tartalmazó G nyı́lt halmaz, melynek x pontjaiban f (x)p(x) > δ > 0. A G halmaz G0 komplementerén (ami ugyancsak kompakt) teljesül az |f | < ||f || egyenlőtlenség, ı́gy van olyan α > 0 szám, hogy a G0 halmaz x pontjaiban |f (x)| ≤ (1 − α)||f || teljesül. Így, ha x a G-hez tartozik, akkor (f (x) − εp(x))2 ≤ ||f ||2 − 2εδ + ε2 ||p||2 < ||f ||2 , 21 ha ε > 0 elég kicsi, és ha x a G0 -höz tartozik, akkor |f (x) − εp(x)| ≤ (1 − α)||f || + ε||p||. Ezért elég kis ε > 0 esetén a Q minden x pontjában fennáll |f (x) − εp(x)| < ||f ||, vagyis ||f − εp|| < ||f ||, tehát f nem ortogonális P -re. Megfordı́tva, ha f nem

ortogonális P -re, akkor van olyan P -beli p, hogy ||f −p|| < ||f ||, azaz |f (x) − p(x)| < ||f || teljesül a Q minden x pontjában. Világos, hogy ez a p pozitı́v az E + (f ) halmazon és negatı́v az E − (f ) halmazon. Könnyen látható, hogy ha C(Q) a Q-n értelmezett, komplex értékű, folytonos függvények tere, akkor a C(Q)-beli, nem azonosan nulla f függvény P -re való ortogonalitásának szükséges és elegendő feltétele úgy módosul, hogy nem létezhet P -ben olyan p függvény, melyre <f (x)p(x) > 0 teljesül az E(f ) halmaz minden x pontjában. 4.12 Tétel Legyen n nem negatı́v egész Az e : [−1, 1] R nem azonosan nulla, folytonos függvény akkor és csak akkor ortogonális a legfeljebb n-edfokú polinomok Pn alterére, ha e az intervallum n+2 egymást követő pontjában abszolút maximumát veszi fel értékül, váltakozó előjellel. Bizonyı́tás. Tegyük fel, hogy e rendelkezik

a tételben megfogalmazott tulajdonsággal, és nem ortogonális Pn -re Ekkor a 411 tétel alapján van olyan Pn -beli p, amely pozitı́v az E + (e) halmazon, és negatı́v az E − (e)-n. Ebből az adódik, hogy p-nek legalább n + 1 gyöke van, tehát azonosan nulla, ami ellentmondás. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy e ortogonális Pn -re. Ekkor jelölje x1 az E(e) halmaz legkisebb elemét. Mivel E(e) kompakt és nem üres, ezért x1 egyértelműen létezik. Feltehetjük, hogy x1 például az E + (e)-hez tartozik Legyen F1 = {x ∈ E − (e) : x ≥ x1 }. Nyilván F1 kompakt, ı́gy, ha nem üres, akkor van legkisebb eleme: x2 . Hasonlóan, legyen F2 = {x ∈ E + (e) : x ≥ x2 }, mely vagy üres, vagy van x3 legkisebb eleme. Ezt az eljárást folytatva vagy kapunk egy x1 , x2 , . , xn+2 sorozatot, melynek elemei felváltva E + (e)-be és E − (e)-be tartoznak, s ekkor a bizonyı́tást befejeztük, vagy valamely r ≤ n + 1 esetén az Fr

halmaz üres. Ez utóbbi esetben elegendő megmutatni, hogy van olyan p, legfeljebb n-edfokú polinom, hogy pe > 0 az E(e) halmazon, ez ugyanis ellentmond 22 annak, hogy e ortogonális Pn -re. Válsszuk meg a λi (i = 1, 2, , r − 1) számokat a következő módon: a) xi < λi < xi+1 , (i = 1, 2, . , r − 1), b) [λi , xi+1 [ ∩ E(e) = ∅ (i = 1, 2, . , r − 1) Könnyű látni, hogy ilyen választás lehetséges, s ekkor a p(x) = ±(x − λ1 )(x − λ2 ) . (x − λr−1 ) módon értelmezett p polinom teljesı́ti a kı́vánt feltételeket (Az előjelet úgy választjuk, hogy p az E(e)-n e-vel azonos előjelű legyen.) Ha e : [−1, 1] R folytonos függvény, mely az intervallum n + 2 egymást követő pontjában váltakozó előjellel abszolút maximumát veszi fel értékül, akkor ezt az n + 2 pontot Csebisev-váltakozásnak nevezzük. 4.13 Tétel (Csebisev) Legyen f : [−1, 1] R folytonos függvény, n

nem negatı́v egész és p legfeljebb n-edfokú polinom. Ha az f −p függvénynek van n+2 pontból álló Csebisev-váltakozása, akkor p az f -et legjobban közelı́tő, legfeljebb n-edfokú polinom. Megfordı́tva, ha f nem legfeljebb n-edfokú polinom, és p az f -et legjobban közelı́tő, legfeljebb n-edfokú polinom, akkor az f − p függvénynek van n + 2 pontból álló Csebisev-váltakozása. Bizonyı́tás. Az állı́tás az előző tételből következik az e = f − p választással 4.2 A CSEBISEV-POLINOMOK A következőkben az elsőfajú Csebisevpolinomok - röviden: Csebisev-polinomok - néhány tulajdonságát vizsgáljuk meg Legyen minden [−1, 1]-beli x és minden n nem negatı́v egész esetén Tn (x) = cos(n arccos x). 4.21 Tétel Minden [−1, 1]-beli x és pozitı́v egész n esetén fennáll Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x), továbbá T0 (x) = 1, T1 (x) = x. Bizonyı́tás. A T0 -ra és T1 -re

vonatkozó állı́tások nyilvánvalóak helyettesı́téssel a fenti rekurzı́v összefüggés a Az x = cos t cos(n + 1)t = 2 cos t cos nt − cos(n − 1)t alakot ölti, mely nyilván fennáll minden valós t esetén. 4.22 Tétel A Tn minden pozitı́v egész n esetén pontosan n-edfokú polinom, melynek főegyütthatója 2n−1 . Bizonyı́tás. Az állı́tás teljes indukcióval következik az előző tételben szereplő rekurzı́v formulából. Mivel Tn polinom, ı́gy a 4.21 tételben szereplő rekurzı́v formula minden valós x esetén fennáll. 23 4.23 Tétel Minden nem negatı́v egész n és minden valós x esetén fennáll p p 1 Tn (x) = [(x + x2 − 1)n + (x − x2 − 1)n ]. 2 Bizonyı́tás. Könnyű ellenőrizni, hogy a megadott egyenlőség jobb oldalán álló függvénysorozat kielégı́ti a 4.21 tételben szereplő rekurzı́v formulát 4.24 Tétel A Tn polinom minden egész n esetén az n-edik

(elsőfajú) Csebisevpolinom konstansszorosa 1 Bizonyı́tás. Elegendő azt igazolni, hogy a Tn polinomok a ρ(x) = (1 − x2 )− 2 súlyfüggvényre ortogonálisak a [−1, 1] intervallumon. Ez viszont egyszerű számolással ellenőrizhető 4.25 Tétel (Csebisev) Bármely pozitı́v egész n esetén min ||xn − p|| = 21−n . p∈Pn−1 Bizonyı́tás. Legyen pn egy n-edfokú, 1 főegyütthatójú és minimális normájú polinom Ekkor pn ortogonális Pn−1 -re, ı́gy létezik (n + 1 pontból álló) Csebisevváltakozása A |pn | nem veheti fel maximumát n − 1-nél több belső pontban, mert akkor ezekben a pontokban p0n eltűnne, de p0n legfeljebb n − 1-edfokú, ı́gy azonosan nulla lenne, pn pedig állandó, ami lehetetlen. Ezért az n + 1 pont közül kettő végpont. Legyen Mn = ||pn ||, ekkor fennáll Mn2 − pn (x)2 = Cn (1 − x2 )p0n (x)2 , hiszen a két oldalon azonos fokszámú polinomok állnak, azonos

gyökökkel. A főegyütthatók összehasonlı́tásából cn = n12 adódik. Így fennáll a következő differenciálegyenlet: (1 − x2 )p0n (x)2 + n2 pn (x)2 − n2 Mn2 = 0. Ennek megoldása pn (x) = Mn cos(n arccos x + c), ahol c állandó. Ez akkor és csak akkor polinom, ha c a π egész számú többszöröse, s mivel pn főegyütthatója pozitı́v, ı́gy páros számú többszöröse, tehát pn (x) = Mn cos(n arccos x). Ismét összehasonlı́tva a főegyütthatókat, az Mn = 21−n összefüggést kapjuk, s ezzel a tételt igazoltuk. A tétel úgy is fogalmazható, hogy a [−1, 1] intervallumon az xn hatványfüggvényt egyenletesen legjobban közelı́tő, legfeljebb n − 1-edfokú polinom a x 7 21−n Tn (x) − xn polinom, illetve, a [−1, 1] intervallumon az azonosan nulla függvényt egyenletesen legjobban közelı́tő, 1 főegyütthatójú, n-edfokú polinom az 1 főegyütthatójú n-edik

Csebisev-polinom. 24 4.3 A LEGJOBB POLINOMAPPROXIMÁCIÓ EGYÉRTELMŰSÉGE 4.31 Lemma Legyen n nem negatı́v egész A [−1, 1] intervallum tetszőleges −1 ≤ x1 < x2 < · · · < xn+2 ≤ 1 pontjaihoz vannak olyan ci > 0 (i = 1, 2, . , n + 2) számok, melyekre n+2 X (−1)i−1 ci p(xi ) = 0 i=1 teljesül minden legfeljebb n-edfokú p polinom esetén. Bizonyı́tás. Értelmezzük Pn -en az Li (i = 1, 2, , n + 2) lineáris funkcionálokat Li (p) = p(xi ) módon. Mivel Pn dimenziója n+1, ı́gy az Li lineáris funkcionálok lineárisan függők: léteznek olyan bi (i = 1, 2, . , n + 2) számok, melyek nem mindegyike nulla, és bármely legfeljebb n-edfokú p polinom esetén fennáll n+2 X bi p(xi ) = 0. i=1 Alkalmazzuk ezt a p(x) = (x − x1 )(x − x2 ) . (x − xk−1 )(x − xk+2 ) (x − xn+2 ) módon értelmezett p polinomra, ekkor n+2 X bi p(xi ) = bk p(xk ) + bk+1 p(xk+1 ) = 0 i=1 adódik. Mivel xk−1

és xk+2 között p nem vált előjelet, ezért a bi számok váltakozó előjelűek, s ı́gy a ci = (−1)i−1 (i = 1, 2, . , n+2) választás megfelel a feltételeknek 4.32 Lemma Legyen n nem negatı́v egész A [−1, 1] intervallum tetszőleges −1 ≤ x1 < x2 < · · · < xn+2 ≤ 1 pontjai esetén legyen p olyan legfeljebb n-edfokú polinom, melyre (−1)i−1 p(xi ) ≥ 0 (i = 1, 2, . , n + 2) teljesül Ekkor p = 0 Bizonyı́tás. Az előző lemma szerint vannak olyan ci > 0 (i = 1, 2, , n+2) számok, melyekre n+2 X (−1)i−1 ci p(xi ) = 0 i=1 teljesül. Mivel az összeg minden tagja nem negatı́v, ı́gy az összeg csak úgy lehet nulla, ha minden tagja nulla. Mivel p legfeljebb n-edfokú és n + 2 pontban eltűnik, ı́gy azonosan nulla. 25 4.33 Tétel Legyen n pozitı́v egész Bármely f : [−1, 1] R folytonos függvény legfeljebb n-edfokú polinommal való legjobb egyenletes approximációja

egyértelmű. Bizonyı́tás. Nyilván feltehetjük, hogy f nem legfeljebb n-edfokú polinom Legyen p1 az f legjobb egyenletes közelı́téseinek egyike Pn -ben. Ekkor f − p1 -nek van −1 ≤ x1 < x2 < · · · < xn+2 ≤ 1 Csebisev váltakozása. Feltehetjük, hogy f (x1 ) − p(x1 ) > 0. Ha valamely p2 , legfeljebb n-edfokú polinom esetén ||f − p1 || = ||f − p2 || teljesülne, azaz ||(f − p1 ) − (p2 − p1 )|| = ||f − p1 || állna fenn, akkor nyilván (p2 − p1 )(x1 ) ≥ 0, (p2 − p1 )(x2 ) ≤ 0, stb., ı́gy az előző lemma alapján p2 − p1 = 0. 4.4 A DUALITÁSI TÉTEL Az X lineáris tér E részhalmaza konvex, ha bármely x, y elemei és bármely 0 ≤ λ ≤ 1 esetén λx + (1 − λ)y az E-hez tartozik. Könnyen látható, hogy konvex halmazok metszete is konvex Egy halmaz konvex burka a halmazt tartalmazó összes konvex halmazok metszete, mely tehát maga is konvex halmaz. Ha x1 , x2 , , xn az X elemei és

λ1 , λ2 , , λn nem negatı́v valós számok, melyek összege 1, akkor a n X λi xi i=1 lineáris kombinációt az x1 , x2 , . , xn elemek konvex kombinációjának nevezzük Amint az könnyen látható, egy halmaz konvex burkát a halmaz elemeinek összes konvex kombinációi alkotják. 4.41 Lemma (Carathéodory) Az Rn tér egy részhalmaza konvex burkának bármely eleme a részhalmaz legfeljebb n + 1 elemének konvex kombinációja. Bizonyı́tás. Legyen x az A halmaz konvex burkának egy eleme Eltolás alkalmazásával feltételezhetjük, hogy x = 0 Ekkor tehát vannak az A-ban olyan x1 , x2 , , xr elemek, valamint vannak olyan α1 , α2 , . , αr nem negatı́v valós számok, melyekre r X αi xi = 0. i=1 Tegyük fel, hogy r > n + 1. Meg fogjuk mutatni, hogy ekkor az xi elemeknek egy r-nél kisebb tagszámú konvex kombinációja is 0-val egyenlő. Valóban, az x2 , x3 , . , xr elemek lineárisan függők,

hiszen számuk nagyobb, mint n, tehát vannak olyan βi (i = 2, 3, , r) valós számok, melyek nem mindegyike nulla, hogy r X i=2 βi xi = 0. 26 Legyen β1 = 0. Bármely valós λ esetén azt kapjuk, hogy 0= r X αi xi + λ i=1 r X βi xi = i=1 r X (αi + λβi )xi . i=1 Megmutatjuk, hogy λ megválasztható úgy, hogy ebben az összegben legalább egy együttható nulla legyen, a többi pedig nem negatı́v. Legyen j olyan egész szám 1 és r között, melyre βj 6= 0 és |αj /βj | minimális (a nem nulla nevezőjű, ilyen alakú hányadosok között). Ha λ = −αj /βj , akkor könnyű látni, hogy legalább egy együttható nulla (az i = j-nek megfelelő), a többi pedig nem negatı́v (beleértve α1 +λβ1 = α1 -et is). Így a fenti r tagú, nem negatı́v együtthatós lineáris kombináció helyett egy s ≤ r−1 tagút kapunk, s ha ennek együtthatóit elosztjuk az együtthatók összegével, akkor azt

kapjuk, hogy a nulla előáll az A r-nél kevesebb elemének konvex kombinációjaként. Ezt az eljárást addig folytathatjuk, amı́g r = n + 1 lesz, s ezzel az állı́tást bebizonyı́tottuk. Meg lehet mutatni, hogy ha x a konvex burok határpontja, akkor x már n tagú konvex kombinációként is előállı́tható. Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, n pozitı́v egész, P pedig a C(Q)-nak ndimenziós altere. Ha f a C(Q) egy eleme, akkor, mint korábban, legyen E(f ) = {x ∈ Q : |f (x)| = ||f ||}. 4.42 Tétel Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, n pozitı́v egész, P a C(Q)-nak n-dimenziós altere, f a C(Q)-nak nem azonosan nulla eleme. Az f akkor és csak akkor ortogonális P -re, ha léteznek E(f )-ben x1 , x2 , . , xr pontok, valamint léteznek c1 , c2 , . , cr pozitı́v számok úgy, hogy r X ci f (xi )p(xi ) = 0 i=1 teljesül minden P -beli p esetén. Itt r ≤ n + 1, ha C(Q) valós, és r ≤ 2n + 1, ha C(Q) komplex értékű

függvényekből áll. Bizonyı́tás. Tegyük fel, hogy a feltétel teljesül és (i = 1, 2, . , r), ezért ||f ||2 = r X ci f (xi )f (xi ) = r X i=1 i=1 ci = 1. Mivel |f (xi )| = ||f || ci f (xi )(f (xi ) − p(xi )) ≤ i=1 i=1 ≤ ||f || r X Pr ci max |f (xj ) − p(xj )| ≤ ||f || · ||f − p|| j teljesül minden P -beli p-re, ı́gy f ortogonális P -re. A megfordı́tás bizonyı́tásához tegyük fel, hogy f ortogonális P -re. Legyen ϕ1 , ϕ2 , . , ϕn a P egy bázisa és legyen T : Q Rn (illetve T : Q Cn ) a következő módon értelmezett leképezés: T (x) = f (x)(ϕ1 (x), ϕ2 (x), . , ϕn (x)) 27 Megmutatjuk, hogy az origó a T (E(f )) halmaz konvex burkához tartozik. Valóban, ellenkező esetben ugyanis a Hahn-Banach-tétel alapján létezne olyan hipersı́k, mely az origót elválasztja a T (E(F )) halmaz konvex burkától, azaz, léteznének olyan a1 , a2 , . , an komplex számok (a valós esetben

valós számok), melyekre n X <( ai f (x)ϕi (x)) > 0 i=1 teljesülne minden E(f )-beli x esetén. Ha p0 = Pn i=1 ai ϕi , akkor tehát <f (x)p0 (x) > 0 teljesülne az E(f ) halmaz x pontjaiban, ami a 4.11 tételhez fűzött megjegyzés alapján ellentmond annak, hogy f ortogonális P -re. Így az origó a T (E(f )) halmaz konvex burkához tartozik, s a Carathéodorylemma alapján léteznek olyan x1 , x2 , . , xr pontok E(f )-ben, továbbá ci (i = 1, 2, . , r) pozitı́v számok úgy, hogy r X ci f (xi )ϕk (xi ) = 0 (k = 1, 2, . , n), i=1 tehát r X ci f (xi )p(xi ) = 0 i=1 teljesül minden P -beli p-re. A valós esetben r ≤ n+1 Ha C(Q) komplex tér, akkor P izomorf egy 2n-dimenziós valós lineáris térrel, ı́gy ekkor r ≤ 2n + 1. 4.43 Következmény Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, n pozitı́v egész, P a C(Q)-nak n-dimenziós altere, f a C(Q) egy eleme. Ha f ortogonális P -re a C(Q)ban, akkor Q-nak van

olyan, a valós esetben legfeljebb n + 1, a komplex esetben pedig legfeljebb 2n + 1 pontból álló F részhalmaza, hogy f -nek F -re való szűkı́tése ortogonális a P -beli függvények F -re való szűkı́téseinek PF alterére a C(F ) térben. Bizonyı́tás. Világos, hiszen F -nek válszthatjuk az előző tételben konstruált, x1 , x2 , . , xr pontokból álló halmazt Ugyancsak nyilvánvaló a következő állı́tás. 4.44 Következmény (De la Vallée Poussin) Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, n pozitı́v egész, P a C(Q)-nak n-dimenziós altere, f a C(Q) egy eleme. Ha a P -beli p az f legjobb approximációja P -ben, akkor van a Q-nak egy olyan F részhalmaza, mely a valós esetben legfeljebb n + 1, a komplex esetben legfeljebb 2n + 1 pontból áll, s az f függvény F -re való szűkı́tésének PF -ben a legjobb approximációja a p függvény F -re való szűkı́tése . A 4.42 tétel a következő

módon fogalmazható 28 4.45 Tétel Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, n pozitı́v egész, P a C(Q)-nak n-dimenziós altere, f a C(Q) egy nem azonosan nulla eleme. Az f akkor és csak akkor ortogonális P -re, ha létezik olyan ρ, nem azonosan nulla, pozitı́v mérték Qn, melynek tartója az E(f ) halmaz legfeljebb n + 1 pontja a valós esetben, illetve legfeljebb 2n + 1 pontja a komplex esetben úgy, hogy Z p(x)f (x)dρ(x) = 0 teljesül minden P -beli p esetén. Nyilván feltételezhetjük, hogy a ρ mérték 1-re normált, azaz R dρ = 1. 4.46 Tétel Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, P a C(Q)-nak szeparábilis altere, f a C(Q) egy nem azonosan nulla eleme. Az f akkor és csak akkor ortogonális P -re, ha létezik olyan ρ, nem azonosan nulla, pozitı́v mérték Q-n, melynek tartója az E(f ) részhalmaza, s Z p(x)f (x)dρ(x) = 0 teljesül minden P -beli p esetén. Bizonyı́tás. Először a feltétel szükségességét igazoljuk

Mivel P szeparábilis, léteznek a P -nek olyan Rn véges dimenziós alterei, hogy Rn dimenziója n, és az Rn alterek egyesı́tése sűrű P -ben. Minden n-re létezik olyan 1-re normált ρn mérték R a Q-n, melynek tartója (n-től függő) véges részhalmaza E(f )-nek, s melyre pf dρn = 0 teljesül minden Rn -beli p esetén. Mivel a C(Q) duális terében az egységgömb gyenge*-kompakt, ı́gy a ρn mértékek sorozatának van olyan részsorozata, mely a gyenge*-topológiában konvergál egy E(f )-beli tartójú, 1-re normált, pozitı́v ρ mértékhez. A gyenge*-konvergencia miatt Z Z pf dρ = lim pf dρn n∞ teljesül minden P -beli p esetén, s mivel az Rn alterek egyesı́tése (egyenletesen) sűrű P -ben, és Z lim n∞ qf dρn = 0 is fennáll az Rn alterek egyesı́tésének minden q elemére, ı́gy a feltétel szükségességét bebizonyı́tottuk. Az elegendőség bizonyı́tásához vegyük figyelembe,

hogy ha az 1-re normált ρ mérték teljesı́ti a tétel feltételeit, akkor Z Z ||f ||2 = f · f dρ = f (f − p)dρ ≤ ||f || · ||f − p|| is fennáll minden P -beli p mellett, amiből az f -nek P -re való ortogonalitása következik. Megjegyezzük, hogy a Hahn-Banach-tétel és a Riesz-féle reprezentációs tétel alapján a tétel feltételei közül a P szeparabilitása elhagyható. 29 4.47 Tétel (Dualitástétel) Legyen n pozitı́v egész, Q kompakt Haussdorff-tér Ekkor bármely C(Q)-beli f esetén R | f dµ| , min ||f − p|| = max R µ p∈P |dµ| ahol a maximum az összes r pontból álló tartójú, P -t annihiláló diszkrét (komplex) mértékek halmazát futja be, továbbá r ≤ n + 1 a valós, s r ≤ 2n + 1 a komplex esetben. R Bizonyı́tás. Ha pdµ = 0 minden P -beli p esetén, és p∗ az f -nek egy legjobb approximációja P -ben (melyről tudjuk, hogy létezik), akkor Z Z Z | f dµ| = | (f −

p∗ )dµ| ≤ ||f − p∗ || |dµ|, azaz R | f dµ| . min ||f − p|| ≥ R p∈P |dµ| Másrészt, mivel f −p∗ ortogonális P -re, létezik olyan ρ, nem azonosan nulla, pozitı́v mérték, melynek tartója az E(f − p∗ ) halmaz r pontjából áll (és r ≤ n + 1 a valós, r ≤ 2n + 1 a komplex esetben), hogy Z f (x) − p∗ (x)p(x)dρ(x) = 0 teljesül minden P -beli p esetén. Legyen dµ0 (x) = (f (x) − p∗ (x)), ekkor Z Z Z ∗ | f dµ0 | = | f (f − p )dρ = | (f − p∗ )(f − p∗ )dρ| = Z = ||f − p∗ ||2 dρ. R R Ha ezt elosztjuk az |dµ0 | = ||f − p∗ || dρ kifejezéssel, akkor azt kapjuk, hogy R | f dµ0 | , ||f − p∗ || = R |dµ0 | s mivel µ0 annihilálja P -t, a tételt bebizonyı́tottuk. 4.5 HAAR-ALTEREK ÉS UNICITÁSI TÉTELEK Korábban láttuk, hogy a [−1, 1] intervallumon értelmezett folytonos függvények terében a legfeljebb nedfokú polinomokkal való legjobb approximáció egyértelmű.

Általánosabb esetben ez nem feltétlenül igaz, ha a polinomokat akármilyen véges dimenziós altérrel helyettesı́tjük. Az egyértelműséghez általában további feltételek teljesülése szükséges. Legyen n pozitı́v egész és Q legalább n pontból álló kompakt Haussdorff-tér. Legyenek g1 , g2 , . , gn a C(Q) elemei, és jelölje P az általuk kifeszı́tett alteret Akkor mondjuk, hogy a g1 , g2 , . , gn függvények teljesı́tik a Haar-feltételt, ha bármely nem triviális lineáris kombinációjuknak legfeljebb n − 1 zérushelye van. Ekkor azt mondjuk, hogy a g1 , g2 , . , gn függvények Haar-rendszert, vagy Csebisevrendszert alkotnak Q-n, s a P alteret Haar-altérnek nevezzük Nyilvánvaló, hogy egy Haar-rendszer elemei lineárisan függetlenek. 30 4.51 Tétel Legyen n pozitı́v egész, Q kompakt Haussdorff-tér, és legyenek g1 , g2 , . , gn a C(Q) elemei A következő feltételek

egyenértékűek: i) a g1 , g2 , . , gn függvények Haar-rendszert alkotnak; ii) a Q bármely x1 , x2 , . , xn különböző pontjai esetén a   g1 (x1 ) . g1 (xn )  .  D(x1 , x2 , . , xn ) = det  . .  gn (x1 ) . gn (xn ) általánosı́tott Vandermonde-determináns nullától különböző; iii) a Q bármely x1 , x2 , . , xn különböző pontjai, és bármely c1 , c2 , , cn skalárok esetén egyértelműen létezik a g1 , g2 , . , gn függvényeknek olyan p lineáris kombinációja, melyre p(xi ) = ci (i = 1, 2, . , n) teljesül; iv) nincs olyan, legfeljebb n pontból álló tartójú, nem nulla mérték Q-n, mely annihilálja a g1 , g2 , . , gn függvények által kifeszı́tett alteret Bizonyı́tás. Ha a D(x1 , x2 , , xn ) determináns a Q valamely x1 , x2 , , xn különböző pontjai esetén eltűnik, akkor léteznek olyan λ1 , λ2 , . , λn skalárok, melyek nem

mindegyike nulla, hogy n X λi gi (xj ) = 0 i=1 Pn teljesül j = 1, 2, . , n mellett, tehát a g1 , g2 , , gn függvények i=1 λi gi nem triviális lineáris kombinációjának az x1 , x2 , . , xn különböző elemek mind gyökei, ı́gy ezek a függvények nem alkothatnak Haar-rendszert Q-n. Ezért i)-ből következik ii). Tegyük fel most, hogy fennáll ii), és legyenek adottak a Q tér x1 , x2 , . , xn különböző pontjai, s a c1 , c2 , . , cn skalárok Mivel az ii)-ben szereplő determináns, s ı́gy transzponáltja is, zérustól különböző, ezért a n X λi gi (xj ) = cj i=1 (j = 1, 2, . , n) lineáris Pn egyenletrendszernek egyértelműen létezik λ1 , λ2 , . , λn megoldása, s a p = i=1 λi gi lineáris kombináció eleget tesz az iii) feltételnek, azaz, ii)-ből következik iii). Most tételezzük fel, hogy fennáll iii), és van olyan nem nulla mérték, melynek tartója legfeljebb n

pontból áll, s mely annihilálja a g1 , g2 , . , gn által kifeszı́tett alteret. Ekkor léteznek a Q-nak olyan x1 , x2 , , xn különböző pontjai, és olyan µ1 , µ2 , . , µn skalárok, melyek nem mindegyike nulla, s melyekre fennáll n X µi gj (xi ) = 0 i=1 (j = 1, 2, . , n) Ez azt jelenti, hogy a D(x1 , x2 , , xn ) determináns, s ı́gy transzponáltja is nulla, tahát a n X λi gi (xj ) = 0 i=1 31 homogén lineáris egyenletrendszer megoldása nem egyértelmű, ellentétben a iii) feltevéssel, ami azt mutatja, hogy iii)-ből következik iv). Végül tegyük fel, hogy teljesül iv), és a g1 , g2 , . , gn függvények nem alkotnak Haar-rendszert, azaz, vannak a Q-ban olyan x1 , x2 , . , xn különböző pontok, és vannak olyan λ1 , λ2 , . , λn skalárok, melyek nem mindegyike nulla, hogy n X λi gi (xj ) = 0 i=1 teljesül j = 1, 2, . , n esetén Ekkor a fenti gondolatmenet megismétlésével

kapjuk, hogy olyan µ1 , µ2 , . , µn skalárok is léteznek, melyek nem mindegyike nulla, s melyek teljesı́tik a n X µi gj (xi ) = 0 i=1 feltételeket j = 1, 2, . , n esetén Így az a ρ mérték, melynek tartója az {x1 , x2 , . , xn } halmaz, s mely az {xi } halmazon a µi értéket veszi fel (i = 1, 2, . , n), nem nulla, és annihilálja a g1 , g2 , , gn függvényeket, tehát az általuk kifeszı́tett alteret is, ami ellentmondás. A iv)-ből tehát következik i), s a tételt bebizonyı́tottuk. Megjegyezzük, hogy ha Q = [−1, 1], és a g1 , g2 , . , gn függvények n-szer folytonosan differenciálhatóak, akkor a fentiekkel egyenértékű a következő feltétel: a   (n−1) g1 (t) . g1 (t)   . W (g1 , g2 , . , gn )(t) = det   . . gn (t) . (n−1) gn (t) Wronski-determináns nem tűnik el [−1, 1]-en. 4.52 Lemma Legyen n pozitı́v egész és legyen P valós, n-dimenziós Haar-altér a

[−1, 1] intervallumon. Ha adottak a −1 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < 1 pontok, akkor előjeltől eltekintve egyértelműen létezik a P -nek olyan eleme, mely ezekben a pontokban előjelet vált. Bizonyı́tás. Legyen g1 , g2 , , gn a P egy bázisa, és legyen a [−1, 1] intervallum bármely x pontja esetén   g1 (x1 ) . g1 (xn−1 ) g1 (x)   . D(x1 , x2 , . , xn−1 , x) = det  . . . gn (x1 ) . gn (xn−1 ) gn (x) Nyilván D(x1 , x2 , . , xn−1 , x) eltűnik az adott pontokban és az x 7 D(x1 , x2 , . , xn−1 , x) függvény a P -hez tartozik. Megmutatjuk, hogy bármely k = 1, 2, , n − 1 esetén ez a függvény az xk pontban előjelet vált, vagy, ami ugyanaz, az y 7 32 D(x1 , x2 , . , xn−1 , xk + y) függvény a 0 pontban előjelet vált Valóban, elég kis pozitı́v |y| esetén D(x1 , x2 , . , xn−1 , xk + y) előjele megegyezik a D(x1 , x2 , . , xk−1 , xk − y, xk+1 ,

, xn−1 , xk + y) determináns előjével, viszont az utóbbi kifejezés y-nak páratlan függvénye, tehát nullában előjelet vált. Ezzel az állı́tást igazoltuk, ugyanis az egyértelműség azonnal adódik abból, hogy P Haar-altér. Ugyanez az állı́tás érvényes a komplex egységkörön, s bizonyı́tása is ugyanı́gy végezhető el. 4.53 Lemma Legyen n pozitı́v egész és legyen P valós, n-dimenziós Haar-altér a komplex egységkörön. Ha z1 , z2 , , zn−1 a komplex egységkör egymást követő pontjai, akkor a P -nek előjeltől eltekintve egyértelműen létezik olyan eleme, mely ezekben a pontokban előjelet vált. 4.54 Következmény A komplex egységkörön nem létezik páros dimenziójú valós Haar-altér. A Haar-féle egyértelműségi tétel bizonyı́tásához szükségünk lesz a következőkre. Egy topologikus teret normálisnak nevezünk, ha benne bármely két

diszjunkt, zárt halmazhoz léteznek olyan diszjunkt, nyı́lt halmazok, melyek egyike az egyik, másika a másik zárt halmazt tartalmazza. 4.55 Tétel (Uriszon-lemma) Normális topologikus tér két diszjunkt, zárt részhalmaza esetén van a téren olyan valós értékű, folytonos függvény, melynek értékei 0 és 1 közé esnek, s az egyik zárt halmazon azonosan 0, a másikon azonosan 1. Bizonyı́tás. Legyenek F1 , F2 az adott zárt halmazok A tér egy H részhalmazának komplementerét H 0 -vel, lezártját H-val jelöljük. Legyen V1 = F10 A tér normalitása miatt van olyan V1/2 nyı́lt halmaz, hogy F0 ⊆ V1/2 ⊆ V1/2 ⊆ V1 teljesül. Ugyancsak léteznek olyan V1/4 és V3/4 nyı́lt halmazok, hogy F0 ⊆ V1/4 ⊆ V1/4 ⊆ V1/2 , és V1/2 ⊆ V3/4 ⊆ V3/4 ⊆ V1 . Ezt az eljárást folytatva, minden r = 2mn (0 ≤ m ≤ 2n egész) esetén kapjuk a Vr nyı́lt halmazt, melyre F0 ⊆ Vr ⊆ Vr ⊆ V1 , teljesül, és Vr

⊆ Vs is fennáll, ha r < s. 33 Legyen f (x) = 1, ha x nincs benne egyetlen Vr halmazban sem, és legyen f (x) = inf{r : x ∈ Vr }. Ekkor f (x) = 1, ha x az F1 -hez tartozik, f (x) = 0, ha x az F0 -hoz tartozik, s az f értékkészlete a [0, 1] intervallumba esik. Ha 0 < b ≤ 1, akkor f (x) < b akkor és csak akkor teljesül, ha x valamely r < b esetén a Vr -hez tartozik, ı́gy {x : f (x) < b} = [ Vr , r<b ami nyı́lt halmaz. Hasonlóan, ha 0 ≤ a < 1, akkor {x : f (x) > a} = [ Vr0 , r>a ami szintén nyı́lt halmaz. Mivel a [0, b[ és ]a, 1] alakú intervallumok metszetei a [0, 1] topológiájának bázisát alkotják, ezért minden [0, 1]-beli nyı́lt halmaz ősképe nyı́lt, tehát f folytonos. 4.56 Tétel Kompakt Haussdorff-tér normális Bizonyı́tás. Ha F0 , F1 a tér diszjunkt, zárt részhalmazai, akkor minden F0 -beli x elemhez vannak olyan Ux , Vx diszjunkt, nyı́lt halmazok, hogy x az Ux -hez

tartozik, Vx pedig tartalmazza F1 -et. S Mivel F0 kompakt, ezért léteznekSolyan x1 , x2 , . T , xn n elemek F0 -ban, hogy F0 ⊆ i=1 Uxi teljesül, s ekkor U = Uxi és V = Vxi diszjunkt, nyı́lt halmazok, valamint F0 ⊆ U , F1 ⊆ V . 4.57 Tétel Ha n pozitı́v egész és C1 , C2 , , Cn egy kompakt Haussdorff-tér páronként diszjunkt, zárt részhalmazai, a1 , a2 , . , an pedig adott, 1-nél nem nagyobb abszolút értékű valós számok, akkor van a téren olyan valós értékű, folytonos f függvény, melynek értékei −1 és 1 közé esnek, s a Ci halmazon azonosan ai (i = 1, 2, . , n) Bizonyı́tás. A normalitásból következően vannak olyan U1 , U2 , , Un páronként diszjunkt, nyı́lt halmazok, hogy Ci ⊆ Ui (i = 1, 2 . , n) Az Uriszon-lemma alapján i = 1, 2, . , n esetén létezik a téren olyan fi valós értékű, folytonos függvény, mely a Ci halmazon az ai értéket veszi fel, az Ui halmazon

kı́vül nulla, továbbá |fi (x)| ≤ 1 teljesül minden Q-beli x esetén. Az f = f1 + f2 + · · · + fn függvény teljesı́ti a tétel feltételeit. Ezek után bebizonyı́tjuk Haar Alfréd unicitási tételét. 34 4.58 Tétel (Haar) Legyen Q kompakt Haussdorff-tér, és legyen P a valós C(Q) tér véges dimenziós altere. Bármely C(Q)-beli f függvénynek akkor és csak akkor létezik egyértelműen legjobb approximációja P -ben, ha P Haar-altér. Bizonyı́tás. Legyen először P egy n-dimenziós Haar-altér, s legyenek p1 , p2 az f 2 is legjobb approximációja függvény legjobb approximációi P -ben. Ekkor p3 = p1 +p 2 f -nek P -ben, tehát f − p3 ortogonális P -re. Ez azt jelenti, hogy f − p3 a Q halmaz r különböző pontjában felveszi a ±||f − p3 || értéket, s ez az r pont valamely, a P -t annihiláló mérték tartója. Ezért r ≥ n + 1 Másrészt, ha f (x) − p3 (x) = ±||f − p3 ||

teljesül valamely x pontban, akkor p1 (x) = p2 (x) = p3 (x) is fennáll, azaz a p1 − p2 függvénynek n − 1-nél több gyöke van, amiből p1 = p2 következik. A megfordı́tás bizonyı́tásához tegyük fel, hogy a P altér nem Haar-altér, és legyen g1 , g2 , . , gn a P egy bázisa Ekkor vannak a Q-nak olyan x1 , x2 , , xn különböző pontjai, melyekre a (4.1) n X ai gj (xi ) = 0 i=1 (j = 1, 2, . , n) homogén lineáris egyenletrendszernek van nem triviális a1 , a2 , , an megoldása. Ekkor a transzponált mátrixszal felı́rt n X bi gi (xj ) = 0 i=1 (j = 1, 2, . , n) homogén lineáris Pegyenletrendszernek is van nem triviális n b1 , b2 , . , bn megoldása, s ha q = i=1 bi gi , akkor q(xj ) = 0 teljesül (j = 1, 2, . , n) Nyilván feltehetjük, hogy ||q|| = 1 Válasszunk C(Q)-ban egy olyan f függvényt, melyre ||f || = 1 és f (xj ) = sgn aj teljesül (j = 1, 2, . , n) Legyen minden Q-beli x esetén h(x) =

f (x)(1 − |q(x)|), ekkor h(xj ) = sgn aj (j = 1, 2 . , n) Megmutatjuk, hogy ||h − p|| ≥ 1 teljesül minden P -beli p-re. Valóban, ha ez nem teljesülne, akkor ||h − p|| < 1 miatt sgn p(xi ) = sgn h(xi ) = sgn ai (i = 1, 2, . , n) állna fenn valamely P -beli p-re, s ez ellentmondana a (4.1) feltételnek Végül, ha 0 ≤ λ ≤ 1, akkor |h(x) − λq(x)| ≤ |f (x)|(1 − |q(x)| + λ|q(x)|) ≤ 1 + (λ − 1)|q(x)| ≤ 1 teljesül minden Q-beli x-re, tehát λq a h legjobb approximációja P -ben, mely ı́gy nem egyértelmű. Természetes módon merül fel a kérdés, hogy vajon melyek azok a kompakt Haussdorff-terek, melyeken létezik legalább kétdimenziós Haar-altér. Már Haar Alfréd észrevette, hogy ha n ≥ 2, és Q az Rn olyan kompakt részhalmaza, melynek 35 van belső pontja, akkor Q-n nincs valós, kétdimenziós Haar-altér. Valóban, ha g1 , g2 valós értékű, folytonos függvények Q-n, akkor valamely

Q-beli nyı́lt gömb x1 és x2 különböző pontjai a Q-ban ”folytonos deformációval” ”ütközés nélkül” felcserélhetőek, mely deformáció során a µ det g1 (x1 ) g1 (x2 ) g2 (x1 ) g2 (x2 ) ¶ mátrix oszlopai felcserélődnek, tehát a determináns előjele ellenkezőjére változik, ı́gy valahol ”közben” zérusnak kellett lennie, ellentétben a Haar-feltétellel. Hasonló érvelés alkalmazható az olyan Q halmazokra, melyek tartalmaznak három, közös ponttal rendelkező szakaszt (vagy ilyennel homeomorf részhalmazt). Azokat a kompakt Haussdorff-tereket, melyeken létezik legalább kétdimenziós, valós Haar-altér, Mairhuber karakterizálta. 4.59 Tétel (Mairhuber) Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy egy kompakt Haussdorff-téren létezzen legalább kétdimenziós valós Haar-altér az, hogy a tér homeomorf legyen a körvonal egy részhalmazával. Ha a Haar-altér

dimenziója páros, akkor ennek a részhalmaznak valódinak kell lennie. 4.510 Tétel Legyen n pozitı́v egész, Q kompakt Haussdorff-tér, és legyen P valós, n-dimenziós Haar-altér Q-n. Ekkor a Q bármely n + 1 különböző pontja tartója valamely, konstans szorzótól eltekintve egyértelműen meghatározott, P -t annihiláló mértéknek. Ha Q = [−1, 1], akkor ez a mérték tartójának szomszédos pontjaiban ellenkező előjelű értékeket vesz fel. Bizonyı́tás. Legyen g1 , g2 , , gn a P egy bázisa Azt kell megmutatni, hogy a Q bármely különböző x1 , x2 , . , xn+1 pontjai mellett a n+1 X ai gj (xi ) = 0 i=1 (j = 1, 2 . , n) homogén lineáris egyenletrendszernek konstans szorzótól eltekintve egyértelműen létezik nem triviális megoldása. Ez nyilvánvaló, hiszen az egyenletrendszer alapmátrixának rangja n A Q = [−1, 1] esetben legyen p a P -nek olyan nullától különböző eleme,

mely eltűnik az x1 , x2 , . , xk−1 , xk+2 , , xn+1 pontokban. Ekkor p-nek nincs más gyöke, és ak p(xk ) + ak+1 p(xk+1 ) = 0 Mivel p(xk ) és p(xk+1 ) azonos előjelűek, ı́gy sgn ak = − sgn ak+1 . 36 5. EGY ALKALMAZÁS 5.1 ÁLTALÁNOSÍTOTT POLINOMOK Legyen n ≥ 1 egész, és legyenek p1 , p2 , . , pn különböző, − 21 -nél nagyobb valós számok Az x 7 xpi (i = 1, 2, , n) függvények a ]0, 1[ intervallumon folytonosak és négyzetesen integrálhatóak. Ezek lineáris kombinációit általánosı́tott polinomoknak nevezzük. Az alábbiakban azt a problémát vizsgáljuk meg, hogy ha q > − 21 valós szám, mely a p1 , p2 , . , pn számoktól különbözik, akkor az x 7 xq függvénynek mennyi a távolsága az x 7 xpi (i = 1, 2, . , n) függvények által kifeszı́tett H = H(p1 , p2 , , pn ) altértől az L2 [0, 1] térben. Legyen Z 1 δ 2 = min |tq − h(t)|2 dt h∈H 0 a keresett

távolság négyzete. Szükségünk lesz a következő lemmára. 5.11 Lemma Legyen m ≥ 1 egész, és legyenek a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bm valós számok, melyekere ai 6= aj és bi 6= bj teljesül, ha i 6= j, valamint ai + bj > 0 (i, j = 1, 2, . , m) Ekkor   1 1 1 . a1 +b a1 +b1 a1 +b2 m   . . Dm =  . = . . 1 1 1 . am +bm am +b1 am +b2 Q 1≤i<j≤m (aj − ai )(bj − bi ) Qm . = i,j=1 (ai + bj ) Bizonyı́tás. Világos, hogy Pm , i,j=1 (ai + bj ) Dm = Qm (m = 1, 2, . ) ahol Pm az a1 , a2 , . , am , b1 , b2 , , bm változók m2 − m-edfokú polinomja Másrészt, ha ai = aj , vagy bi = bj teljesül valamely i 6= j esetén, akkor Pm = 0, ı́gy Pm osztható Am · Bm -mel, ahol Y Y Am = (aj − ai ), Bm = (bj − bi ). 1≤i<j≤m 1≤i<j≤m -edfokú polinomok, tehát Viszont Am és Bm m(m−1) 2 Pm = αm Am Bm , (m = 1, 2, . ) ahol αm az a1 , a2 , . , am , b1 , b2 , , bm értékektől

független állandó Nyilván α1 = 1. Ha Dm utolsó sorát megszorozzuk am -el, majd először am -el, utána bm -el végtelenbe tartunk, akkor am Dm Dm−1 adódik. Másrészt, Q Q am 1≤i<j≤m (aj − ai )(bj − bi ) 1≤i<j≤m−1 (aj − ai )(bj − bi ) Qm , = lim Qm−1 am ∞,bm ∞ i,j=1 (ai + bj ) i,j=1 (ai + bj ) ezért αm = αm−1 (m = 2, 3, . ), s ebből az állı́tás következik 37 5.12 Tétel Legyen n ≥ 1 egész, q, p1 , p2 , , pn pedig különböző, − 21 -nél nagyobb valós számok. Ekkor az x 7 xq függvénynek az L2 [0, 1] térben a H altértől való δ távolságára n 1 Y ³ q − pk ´2 δ2 = 2q + 1 q + pk + 1 k=1 teljesül. Bizonyı́tás. Az 122 tétel alapján δ2 = G(xq , xp1 , . , xpn ) , G(xp1 , . , xpn ) s mivel < xα , xβ >= Z 1 xα+β dt = 0 1 , α+β+1 ezért az állı́tás az 5.11 lemma alapján következik 5.2 Müntz tétele A Müntz-féle probléma a

következő: milyen feltételeket kell a különböző, − 21 -nél nagyobb valós számokból álló, végtelenhez tartó p1 , p2 , . , pn , számsorozatnak kielégı́tenie ahhoz, hogy az x 7 xpi (i = 1, 2, . ) függvények által kifeszı́tett altér az L2 [0, 1], vagy a C[0, 1] térben sűrű legyen? Nyilvánvaló, hogy a C[0, 1] tér esetében a pi ≥ 0 (i = 1, 2, . ) feltételeknek is teljesülni kell Mivel hZ 1 |f (t) − 0 n X αi tpi |2 dt i 21 i=1 ≤ max |f (t) − 0≤t≤1 n X αi tpi | i=1 érvényes bármely n ≥ 1 egész és α1 , α2 , . , αn valós számok esetén, ı́gy azok a feltételek, melyek az L2 [0, 1] tér esetén szükségesek, szükségesek C[0, 1] esetén is. Mivel a polinomok halmaza az L2 [0, 1]-ben sűrű, ı́gy az x 7 xpi (i = 1, 2, . ) függvények által kifeszı́tett altér L2 [0, 1]-beli sűrűségéhez szükséges és elegendő, hogy bármely nem negatı́v

q egész, és bármely ε > 0 valós szám esetén létezzenek olyan λ1 , λ2 , . , λn (n ≥ 1 egész) valós számok, hogy Z 1 |tq − 0 n X λi tpi |2 dt < ε. i=1 Az 5.12 tétel szerint ennek szükséges és elegendő feltétele az, hogy bármely nem negatı́v egész q esetén n ³ Y q − pi ´2 lim =0 n∞ q + pi + 1 i=1 teljesüljön. (Feltehetjük, hogy q nem esik egybe egyik pi -vel sem) Ez ı́gy is ı́rható: lim n∞ n ³ Y 1 − pq ´2 i i=1 1 + 1+q pi = 0. 38 (Az esetleges pi = 0-nak megfelelő tényezőt nyilván elhagyhatjuk.) Mivel pi ∞, ezért az előbbi feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha a ∞ X 1 i=1 pi sor divergens. Valóban, ha ez a sor konvergens, akkor a n Y (1 − i=1 és a n Y (1 + i=1 q ) pi q+1 ) pi szorzatok mindegyike nullától különböző, véges határértékhez tart n ∞ esetén. P∞ Ha viszont a i=1 p1i sor divergens, akkor az első szorzat

nullához, a második pedig végtelenhez tart. Így a következő tételt igazoltuk 5.21 Tétel (Müntz) Legyenek p1 , p2 , , pn , − 21 -nél nagyobb valós számok, melyek sorozata végtelenhez tart. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az x 7 xpi (i = 1, 2, . ) függvények által kifeszı́tett altér az L2 [0, 1] térben sűrű legyen az, hogy a ∞ X 1 p i=1 i sor divergens legyen. A C[0, 1] térben a következő tétel érvényes. 5.22 Tétel (Müntz) Legyenek p1 , p2 , , pn , nem negatı́v, valós számok, melyek sorozata végtelenhez tart. Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy az x 7 xpi (i = 1, 2, . ) függvények által kifeszı́tett altér a C[0, 1] térben sűrű legyen az, hogy valamely i-re pi = 0 teljesüljön, és a ∞ X 1 i=1 pi sor divergens legyen. Bizonyı́tás. A második feltétel szükségessége következik az 521 tétel előtt leı́rtakból.

Másrészt, ha minden pi pozitı́v volna, akkor az x 7 xpi függvények mindegyike nulla volna az x = 0 pontban, ı́gy ezek lineáris kombinációi nem közelı́thetnék az azonosan 1 függvényt tetszőleges pontossággal, ezért az első feltétel is szükséges. A két feltétel elegendőségének bizonyı́tásához vegyük észre, hogy ha 0 ≤ x ≤ 1, és n pozitı́v egész, akkor Z x Z 1 m m m X X X n pi n−1 pi −1 n−1 |x − λi t | = n| (t − µi t )dt| ≤ |t − µi tpi −1 |dt ≤ i=1 0 i=1 0 i=1 39 ³Z 1 ≤n |t n−1 0 − m X ´ 12 µi tpi −1 |2 dt i=1 teljesül minden m ≥ 1 egész esetén, feltéve, hogy a pi számok között a nulla nem szerepel. Mivel a ∞ X 1 =∞ pi ∞, p i=1 i feltételekből következnek a pi − 1 ∞, ∞ X 1 =∞ p −1 i=1 i feltételek, ı́gy a fenti egyenlőtlenség jobboldala alkalmasan választott m ≥ 1 egész számmal és µi (i = 1, 2, . , m)

valós számokkal tetszőlegesen kicsivé tehető Ezért, ha a pi számok között a nulla is szerepel, akkor a m ¯ ¯ ¯ n X ¯ max ¯x − λi xpi ¯ 0≤x≤1 i=1 kifejezés értéke is tetszőlegesen kicsi, alkalmas m ≥ 1 egész, és λi (i = 1, 2, . , m) valós számok mellett. Ebből következik a tétel két feltételének elegendősége