Fotózás | Digitális fotózás » Főkomponens analízis

1 Főkomponens analı́zis Mérési adatok dimenziós vektor φi ortonormális (φiφj = δij ) bázis: X= n X yiφi = ΦY i=1 itt Φ = [φ1 . φn] és Y = [y1 yn]T Az ortonormalitás miatt yi = φiX Y X elforgatottja φi: tulajdonság, yi méri Keressük m(< n) olyan φ-t, amelyik X-et legjobban közelı́ti! Y nem használt tagjait (előre meghatározandó) bi konstansokkal helyettesı́tjük: X̂(m) = m X i=1 yiφi + n X i=m+1 biφi 2 Minimalizálás χ2 eltérés-négyzet 2 χ = = EkX − X̂(m)k E n X n X T (yi − bi)(yj − bj )φi φj i=m+1 j=m+1 = n X E(yi − bi) 2 i=m+1 E(): várható érték operátor Minimum: deriválni kell χ2-t bi szerint! bi = E yi. Ezt visszaı́rva χ2-be: χ 2 = n X E(yi − E[yi]) 2 i=m+1 = n X T i=m+1 = n X i=m+1 T φi E(X − E[X])(X − E[X]) φi T φi ΣX φi 3 ΣX az adatok kovariancia mátrixa! Bebizonyı́tható, hogy φi-re az optimum ΣX φi =

λiφi φi a λi sajátértékhez tartozó sajátvektor 2 χ = n X λi i=m+1 Azt az eredményt kaptuk tehát, hogy a (a χ2 közelı́tés értelemben) Legjobb lineáris reprezentáció: kovariancia mátrix sajátvektorai szerinti ortogonális transzformáció alapján! Ha i monoton csökken, λi ≥ λj , ha i > j m(< n) fő” komponens minimalizálja az eltérést! ” 4 A φ1 és φ2 sajátvektorok az eloszlás fő tengelyei λ1 és λ2 sajátértékek: φ1 és φ2 mentén az eloszlás varianciája Mivel yi = φTi X, ezért y1 és y2 lesz X vetületei φ1 és φ2 tengelyekre. 5 A yi tulajdonságok ha töröljük az yi tulajdonságot, akkor a közelı́tés hibája λi-vel nő meg. Veszteséges tömörı́tés: csak a legnagyobb m sajátkomponenst és az arra vett vetületek alapján! Visszaállı́tás: átlagos eltérés értéke n X λi i=m+1 ha lesz. Ha ez sokkal kisebb, mint m X λi

i=1 , és m sokkal kisebb, mint n, akkor jelentős tömörı́tés! Egyes tulajdonságok egymástól függetlenek”: ” yi egymás közötti korrelációja 0. Adatok entrópiájára is szélsőérték: az összes lineáris transzformáció közül ez a transzformáció minimalizálja a transzformációk Y terében mért entrópiamaximumot (minimax viselkedés)! Stacionárius idősorok + főkomponens analı́zis 6 yi tulajdonság-függvényei ejωit alakúak ! Visszakapjuk a Fourier-transzformációt! Főkomponens analı́zis hátrányai: nem mindig (fizikailag) értelmes levonni E[X]-t Csak lineáris tulajdonságok! Ellenpélda: adott sı́kban körı́vet leı́ró adatok Ezt a hátrányt az adatok Normalizálás: xi adatok kxk szerint normálva a főkomponens analı́zis rendben végrehajtható! Pn zi = xi/ j=1 xj normálás ΣX szinguláris! 7 Képfeldolgozás 8 9 10 11 12 13 2D

FFT F (u, v) F (u, v) F (u, v) = M N vy 1 XX −2πi( ux + ) N M f (x, y)e N M x=0 y=0 = N M vy 1 X 1 X −2πi ux −2πi N M f (x, y)e e N x=0 M y=0 = M vy 1 X −2πi M F (u, y)e M y=0 14 15 16 17 18 19 20 Eltolás F (u, v) Modulo 2π ! = −2πi( F (u, v)e ux0 vy0 + ) N M 21 22 23 Szűrés 24 25 26 27 Korreláció 28 29 30 Homomorf szűrés 31 Morfológiai feldolgozás Dilatáció (ha objektummal érintkezik, akkor objektum) és erózió (ha háttérrel érintkezik, akkor háttér): Zárás (dilatáció, majd erózió) és nyitás (erózió, majd dilatáció): 32 33 •