Mathematics | Statistics » Domján György - Statisztika összefoglaló

 2002 · 5 page(s)  (167 KB)    Hungarian    1176    January 23 2006  
    
Comments

No comments yet. You can be the first!

Content extract

STATISZTIKA Prof. Dr Katona Tamás Kovacsicsné Nagy Katalin féle statisztika könyv alapján Összeállította: Domján György SZTE-KRE ÁJK Statisztikai sokaság: A statisztikai sokaság a statisztikai megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. Típusai: álló (stock) – egy adott időpontra vonatkozik, mozgó (flow) – egy adott időtartamra vonatkozik. Statisztikai ismérvek: Azokat a kritériumokat, amelyek jellemzői a sokaság egységeinek, statisztikai ismérveknek nevezzük. Ezeknek egyértelműeknek kell lenniük Fajtái: időbeli, területi és tárgyi (minőségi és mennyiségi). A gyakorlatban ezeket statisztikai változóknak is nevezzük. A statisztikai törvény tartalma: (1993. évi XLVI törvény) A rendszerváltást követően 1993-ban alkotta meg az Országgyűlés az új statisztikai törvényt. A törvény a statisztika célját az alábbiak szerint határozza meg: A statisztika feladata és célja, hogy valósághű, tárgyilagos képet adjon a

társadalom, a gazdaság, a tulajdonviszonyok, a környezet állapotáról és változásairól az államhatalmi és a közigazgatási szervek, valamint a társadalom szervezetei és tagjai számára. A cél elérése érdekében e törvény – összhangban a személyes adatok védelméről és a közérdekű adatok nyilvánosságáról szóló 1992. évi LXIII törvénnyel – az adatok statisztikai módszerekkel történő felvételét, feldolgozását, tárolását, átadását, átvételét, elemzését, szolgáltatását, közlését, valamint közzétételét (a továbbiakban: statisztikai tevékenység) szabályozza. A törvényben meghatározott statisztikai tevékenység ellátása a hivatalos statisztikai szolgálat feladata. A hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek: a) a Központi Statisztikai Hivatal; b) a minisztériumok és a Miniszterelnöki Hivatal; c) az Országos Igazságszolgáltatási Tanács Hivatal; d) a Legfőbb Ügyészség; e) a Magyar Nemzeti

Bank; f) a Gazdasági Versenyhivatal; g) az Országos Műszaki Fejlesztési Bizottság; h) az Állami Bankfelügyelet. A törvény a KSH feladatait az alábbiakban határozza meg: a) adatfelvételek megtervezése, adatok felvétele, feldolgozása, tárolása, átadása, átvétele, elemzése, közlése, közzététele és védelme; b) a statisztikai tevékenységek összehangolása, szakmai – meghatározott esetekben egyéb jellegű – irányítási tevékenység ellátása; c) a népesség adatainak összeírása céljából időszakonként népszámlálás végrehajtása külön törvény alapján; d) egyéb országos összeírások szervezése és végrehajtása; e) a hivatalos statisztikai szolgálat éves országos statisztikai adatgyűjtési programja tervezetének összeállítása, jóváhagyásra történő előterjesztése, a saját adatgyűjtéseinek végrehajtása és a program végrehajtásának figyelemmel kísérése a hivatalos statisztikai szolgálat szerveinél; f)

az Országos Statisztikai Tanács bevonásával a statisztikai módszerek, fogalmak, osztályozások kialakítása, és számjelek meghatározása, névjegyzékek készítése, nyilvánosságra hozatala és használatuk kötelezővé tétele; g) más információrendszerek, a nyilvános, a közhitelű és egyéb nyilvántartások, valamint a hatósági ellenőrzési, gazdasági vagy egyéb tevékenységgel járó adatgyűjtések fogalmi és osztályozási rendszerének kialakításában való közreműködés; h) az Országgyűlés és a Kormány évenkénti tájékoztatása az ország társadalmi, gazdasági, népesedési adatairól; i) statisztikai adatok szolgáltatása az államhatalom és a közigazgatás szervei , a társadalmi szervezetek, az érdekképviseletek, a helyi önkormányzatok, a köztestületek, a tudományos, a gazdasági szervezetek, a lakosság és a hírközlő szervek, valamint a nemzetközi szervezetek részére; j) a Magyar Köztársaság Közigazgatási

Helynévkönyvének vezetése, a Magyar Köztársaság Helységnévtárának kiadása; k) részvétel nemzetközi szervezetek statisztikai munkájában, valamint kapcsolattartás külföldi nemzeti statisztikai hivatalokkal; l) kötelespéldányra jogosult országos feladatkörű tudományos szakkönyvtár és szaklevéltár fenntartása, üzemeltetése; m) részvétel a statisztikával összefüggő jogszabályok előkészítésében. A törvény rendelkezik a Statisztikai Tanács létrehozásáról. A hivatalos statisztikai szolgálat működésének, munkája összehangolásának elősegítésére, a társadalmi érdekek képviseletének és az adatfelhasználók igényeinek érvényesítésére, a társadalmi érdekek képviseletének és az adatfelhasználók igényeinek érvényre juttatására, az országos statisztikai adatgyűjtési program tervezetének véleményezésére, a KSH elnökének szakmai tanácsadó, véleményező szerveként Országos Statisztikai Tanács (OST)

működik. Az adatszolgáltatási kötelezettséggel járó statisztikai adatgyűjtéseket a hivatalos statisztikai szolgálat éves országos statisztikai adatgyűjtési programja tartalmazza. A program tervezetét a hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek javaslatai alapján a KSH állítja össze. A KSH az általa összeállított program tervezetét véleményezés céljából az OST elé terjeszti, amely azt elsősorban az adatgyűjtések szükségessége, szakszerűsége, az adatszolgáltatók megterhelése szempontjából és a párhuzamosság elkerülése érdekében véleményezi. A KSH elnöke az OST véleménye alapján véglegesíti a program tervezetét. A törvény a statisztikai adatok nyilvánosságát és védelmét is biztosítja. A hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek által végrehajtott adatgyűjtések eredményei nyilvánosak. A nyilvánosságra hozásról e szervek saját hatáskörükben gondoskodnak. Nem lehet nyilvánosságra

hozni az államtitoknak vagy szolgálati titoknak minősített adatokat, valamint a statisztikai célt szolgáló, a természetes és a jogi személy, valamint a jogi személyiséggel nem rendelkező adatszolgáltatóval kapcsolatba hozható adatot (a továbbiakban: egyedi adat). Egyedi adat csak statisztikai célra használható, mással csak akkor közölhető, és abban az esetben adható át, valamint hozható nyilvánosságra, ha ehhez a az adatszolgáltató hozzájárult. Ez a korlátozás nem vonatkozik az azonos szerven belüli statisztikai tevékenységet végző személyek egymás közötti adatközlésére. Közérdekű feladatot ellátó szerv, illetőleg társadalmi szervezet, valamint a költségvetési szerv ezen tevékenységére vonatkozó egyedi adat az adatszolgáltató írásbeli hozzájárulása nélkül is nyilvánosságra hozható. n VISZONYSZÁMOK 1. Dinamikus viszonyszámok (2 fajtája van) a) bázisviszonyszám: X=Hiba! b) láncviszonyszám: X=Hiba! A

bázisviszonyszám a növekedés színvonalát méri a bázisadatokhoz viszonyítva, míg a láncviszonyszám a fejlődés ütemét az előző adathoz viszonyítva. 2. Megoszlási viszonyszámok A megoszlási viszonyszámok azt mutatják, hogy a sokaság részei hogyan aránylanak az egészhez. X1=Hiba!; X2=Hiba! XHq= =1 n qi ∑ i =1 1 xi MÉRTANI ÁTLAG: Egyszerű mértani átlag: Egy statisztikai sokaság mértani átlaga az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, az értékek szorzata nem változik. XG= n x1 ⋅ x2 ⋅ . ⋅ xn Súlyozott mértani átlag: 3. Koordinációs viszonyszámok A koordinációs viszonyszámok a részsokaságok egymáshoz való viszonyát fejezik ki. X=Hiba! 4. Intenzitási viszonyszámok Az intenzitási viszonyszámok egymástól különböző, de bizonyos összefüggésben álló jelenségeknek egymáshoz való viszonyát fejezik ki. Pl. népsűrűség=Hiba! qi ∑ i XGq= Q x1q ⋅ x2q ⋅ . ⋅ xnqn 1 2 (Q=q1+q2++qn)

NÉGYZETES ÁTLAG: Egyszerű négyzetes átlag: Egy statisztikai sokaság értékeinek négyzetes közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva az értékek négyzetösszege nem változik. XK= KÖZÉPÉRTÉKEK x12 + x22 + . + xn2 n Súlyozott négyzetes átlag: Számított középértékek: 1. számtani átlag 2. harmonikus átlag 3. geometriai átlag 4. quadratikus átlag XKq= q1 x12 + q 2 x22 + . + q n xn2 q1 + q 2 + . + q n Számított átlagok közötti egyenlőtlenségek: XH ≤ XG ≤ XA ≤ XK Helyzeti középértékek: 1. medián és quartilis értékek 2. modus SZÁMTANI ÁTLAG: Egyszerű számtani átlag: Egy statisztikai sor tagjainak számtani átlaga az a szám, amelyet az egyes értékek helyére írva, az értékek összege nem változik. n XA= xi ∑ i =1 n Mérlegelt számtani átlag: n XAq= qi xi ∑ i =1 n qi ∑ i =1 Osztályközös gyakorisági sor számtani átlaga: Osztályközök középértékével számolt súlyozott számtani

átlag. HARMONIKUS ÁTLAG: Egyszerű harmonikus átlag: Egy statisztikai sor tagjainak harmonikus közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, azok reciprok értékeinek összege nem változik. MEDIÁN és QUARTILISEK: Mediánnak nevezzük valamely nagyság szerint elrendezett statisztikai sor középső tagját. A medián azon tag értéke, amely előtt és amely után egyenlő számú tag helyezkedik el. A quartilisek nem középértékek, de azokkal rokon tulajdonságúak. Míg a medián a nagyságrendbe rendezett statisztikai sort felezi, a quartilisek negyedelik, pontosabban az alsó quartilis (Q1) a medián előtti félsor mediánja, a felső quartilis (Q3) a medián utáni félsor mediánja. MODUS: Egy statisztikai sornak azon tagját, amely a leggyakrabban fordul elő, modusnak nevezzük. A modus a sor egy tényleges tagja lévén, gyakran jobban magán hordja a sor jellegzetességeit, mint akár a számtani, akár a mértani átlag vagy a medián. Amennyiben

egy statisztikai sor minden értéke különböző, vagy minden értéke ugyanannyiszor lép fel, akkor a sor modusa nem definiálható. SZÓRÓDÁS ÉS SZÓRÁS közötti különbség Szóródás: A statisztikai sorban a tagok nagyságának egymástól és az átlagtól való eltérését szóródásnak nevezzük. Szórás: Egy statisztikai sor tagjainak valamely középértéküktől (általában számtani középtől) vett eltérések kvadratikus átlagát (középértékét) értjük szórás alatt. (standard, vagy négyzetes eltérés!) n XH= n =1 Súlyozott harmonikus átlag: 1 ∑ x i i SZÓRÓDÁS ÉS ASZIMETRIA A szóródás mutatói: Helyzeti mutatók: 1. a range 2. a quartilis eltérés Számított mutatók: 3. a középeltérés 4. a standard eltérés (szórás) Szóródási együttható: A szóródási együttható a standard eltérés és a számtani átlag hányadosa: σ = A range (terjedelem): A range (terjedelem) a statisztikai sor legnagyobb és

legkisebb értékeinek (szélső értékek) különbsége: r=maxXi – minXi A quartilis eltérés: A quartilis eltérés azt mutatja meg, hogy a sor tagjainak a fele mekkora intervallumon szóródik, figyelmen kívül hagyva a legkisebb és a legnagyobb negyedet: Q=Hiba! A középeltérés: Egy statisztikai sor tagjainak középértéküktől (leggyakrabban számtani közepüktől, esetleg mediántól, modustól) mért eltéréseinek abszolút értékét (előjelek figyelmen kívül hagyása mellett) összeadjuk és osztjuk a sor tagjainak a számával: σ ⋅100 x Az aszimetria mutatói: Az aszimetria abszolút mutatószáma: Az aszimetria egyik következménye, hogy a medián és a számtani átlag eltávolodnak a modustól, a medián mindig a modus és a számtani átlag közé esik, így az aszimetria mérőszáma [A]: A = XA – Mo E különbség előjele meghatározza az aszimetria jellegét: bal oldali aszimetria – modus < számtani átlag jobb oldali aszimetria –

modus > számtani átlag Az aszimetria relatív mutatószámai: aszimetria hányadosa: d X − Me A= A d − Mo X A A= σ A= Q3 − Q1 − 2 M Q3 − Q1 modus hiányában medián: Pearson-mutató: n d= xi − x ∑ i Bowley-mutató: =1 A= X A − Mo n INDEXSZÁMÍTÁS Súlyozott középeltérés: n d= q i xi − x ∑ i Volumenindex [Iq]: A volumenindex több különböző termékből termelt, eladott, stb. mennyiség (volumen) együttes átlagos változását fejezi ki. Aggregát formula: =1 n qi ∑ i =1 Iq= ∑ q1 p s (ps = standard ár) A standard eltérés (négyzetes eltérés v. SZÓRÁS): Egy statisztikai sor szórásán a sor tagjainak valamely középértéküktől vett eltérések kvadratikus középértékét értjük. Általában a számtani átlagtól vett eltérésekkel számolunk, mivel egy statisztikai sor tagjainak a középértéktől való eltéréseinek négyzetösszege akkor minimális, ha a középérték a számtani átlag. n σ = ( xi −

x) ∑ i 2 =1 , ahol: n n így: σ = n i =1 0 p0 Tárgyidőszaki súlyozású formula (Paasche-féle volumenindex): Iq= ∑ q1 p1 ∑q ∑ qs p xi − x = d i 0 p1 0 Bázissúlyozású formula (Laspeyres-féle árindex): Ip= ∑ q 0 p1 n qi ∑ i ∑q =1 n így: σ = ∑q Ip= ∑ q s p1 (qs = standard mennyiség) Súlyozott standard eltérés: σ = ∑ qi ( xi − x) , ahol: ps Árindex [Ip]: Az árindex több termék egységárának együttes átlagos változását fejezi ki; és az árszínvonal mérésére használjuk. Aggregát formula: 2 =1 2 0 Iq= ∑ q1 p0 xi − x = d i di ∑ i n ∑q Bázissúlyozású formula (Laspeyres-féle volumenindex): qi d i ∑ i =1 n qi ∑ i 2 0 p0 Tárgyidőszaki súlyozású formula (Paasche-féle volumenindex): Ip= ∑ q1 p1 ∑q =1 1 p0 Értékindex [Iv]: Az értékindex több termék értékének együttes átlagos változását fejezi ki. Iv= ∑q ∑q 1 p1 0 p0 KÖZÉPÉRTÉKEK

Megnevezés Számtani átlag Harmonikus átlag Mértani átlag Négyzetes átlag Meghatározás Egy statisztikai sor tagjainak számtani átlaga az a szám, amelyet az egyes értékek helyére írva, az értékek összege nem változik. Egy statisztikai sor tagjainak harmonikus közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, azok reciprok értékeinek összege nem változik. Egy statisztikai sokaság mértani átlaga az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, az értékek szorzata nem változik. Egy statisztikai sokaság értékeinek négyzetes közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva az értékek négyzetösszege nem változik. Egyszerű forma képlete Súlyozott forma képlete n ∑ qi xi XAq= i n XA= xi ∑ i =1 =1 n qi ∑ i n =1 n XH= n n 1 ∑ x i =1 XHq= i qi ∑ i =1 n 1 qi ∑ i xi =1 XG= n x1 ⋅ x2 ⋅ . ⋅ xn XGq= Q x1q ⋅ x2q ⋅ . ⋅ xnqn 1 2 (Q=q1+q2++qn) XK= x12 + x22 + . + xn2 n

XKq= q1 x12 + q 2 x22 + . + q n xn2 q1 + q 2 + . + q n A számított átlagok közötti egyenlőtlenségek: XH ≤ XG ≤ XA ≤ XK Medián [Me] Quartilisek [Q1, Q3] Modus [Mo] Mediánnak nevezzük valamely nagyság szerint elrendezett statisztikai sor középső tagját. A medián azon tag értéke, amely előtt és amely után egyenlő számú tag helyezkedik el. A quartilisek nem középértékek, de azokkal rokon tulajdonságúak. Míg a medián a nagyságrendbe rendezett statisztikai sort felezi, a quartilisek negyedelik, pontosabban az alsó quartilis (Q1) a medián előtti félsor mediánja, a felső quartilis (Q3) a medián utáni félsor mediánja. Egy statisztikai sornak azon tagját, amely a leggyakrabban fordul elő, modusnak nevezzük. A modus a sor egy tényleges tagja lévén, gyakran jobban magán hordja a sor jellegzetességeit, mint akár a számtani, akár a mértani átlag vagy a medián. Amennyiben egy statisztikai sor minden értéke különböző, vagy minden

értéke ugyanannyiszor lép fel, akkor a sor modusa nem definiálható. SZÓRÓDÁS ÉS ASZIMETRIA Számított mutatók Helyzeti mutatók Megnevezés Meghatározás A range (terjedelem) a statisztikai sor legnagyobb és legkisebb értékeinek Range (szélső értékek) különbsége. A quartilis eltérés azt mutatja meg, hogy a sor tagjainak a fele mekkora intervallumon szóródik, figyelmen kívül Quartilis eltérés hagyva a legkisebb és a legnagyobb negyedet. Egy statisztikai sor tagjainak középértéküktől (leggyakrabban számtani közepüktől, esetleg mediántól, modustól) mért eltéréseinek abszolút Közép eltérés értékét (előjelek figyelmen kívül hagyása mellett) összeadjuk és osztjuk a sor tagjainak a számával. Egy statisztikai sor szórásán a sor tagjainak valamely középértéküktől vett eltérések kvadratikus középértékét értjük. Általában a számtani átlagtól vett Standard eltérés eltérésekkel számolunk, mivel egy

(négyzetes eltérés; statisztikai sor tagjainak a középértéktől való eltéréseinek négyzetösszege akkor SZÓRÁS!) minimális, ha a középérték a számtani átlag. Egyszerű forma képlete Súlyozott forma képlete - r = maxXi – minXi Q=Hiba! - n n d= xi − x ∑ i d= =1 q i xi − x ∑ i =1 n qi ∑ i n =1 n σ = n σ = ( xi − x) ∑ i 2 qi ∑ i =1 ahol: xi − x = d i n di ∑ i =1 2 ahol: xi − x = d i n így: σ = qi d i ∑ i =1 n qi ∑ i =1 Domján György – SZTE-KRE ÁJK σ = σ x ⋅ 100 , n n n Szóródási együttható: 2 =1 , =1 így: σ = qi ( xi − x) ∑ i 2 INDEXEK Megnevezés Egy termék Meghatározás [Ip] A volumenindex több különböző termékből termelt, eladott, stb. mennyiség (volumen) együttes átlagos változását fejezi ki. Az árindex több termék egységárának együttes átlagos változását fejezi ki; és az árszínvonal mérésére használjuk. Értékindex [Iv]

Az értékindex több értékének együttes változását fejezi ki. Volumenindex [Iq] Árindex Összefüggések: Iq= Iq= ∑ q1 p s q1 q0 ∑q ∑ qs p termék q1 ⋅ p1 átlagos Iv= q0 ⋅ p0 1 ⋅ x0 f1 ∑f 0 ⋅ x0 f0 ∑ f ⋅x Tárgyidőszaki főátlag: Domján György – SZTE-KRE ÁJK ∑f 1 1 f1 ∑f x ÷∑f x ∑f ∑f fx ∑fx I’= ∑ ÷ ∑f ∑f fx ∑f x I’’= ∑ ÷ ∑f ∑f I= 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 I I I Iq1= ∑ q1 p1 ∑ q0 p0 Iv= Iv I q1 I p 0 V. Iq0= ∑ q1 p0 ∑q 0 0 0 0 p1 Ip1= ∑ q1 p1 ∑q ∑ q0 p0 - Iv I q 0 I p1 tárgyidőszaki súlyozású Paasche-féle Ip0= ∑ q 0 p1 0 (qs = standard mennyiség) Bázisidőszaki főátlag: Összefüggések: ps Ip= ∑ q s p1 p Ip= 1 p0 Standard főátlag: Változatlan állományú index [I’] Arány, v. összetételváltozási index [I’’] 0 (ps = standard ár) Főátlagok Változóállományú index [I] Aggregát formula Több

termék bázisidőszaki súlyozású Laspeyres-féle ∑q ∑q 1 p1 0 p0 1 p0