Physics | Higher education » Sörlei József - Fizika jegyzet

FIZIKA NYME mechatronikai mérnök BSC JEGYZET Szerző: Sörlei József (Zalaegerszeg) 1 I. Mechanika 1. Kinematika 1.1 Az anyagi pont mozgásának kinematikai jellemzése A képletekben a normál betűvastagság skalár, a félkövér betű vektor mennyiséget jelent! A kinematika a mechanikának olyan része, ami a mozgások időbeli lefolyását vizsgálja, de nem foglalkozik a mozgást okozó hatásokkal. A test anyagi pontnak tekinthető, ha kiterjedése a mozgásra jellemző egyéb méretek (a pálya hossza, testek közötti távolság, stb.) mellett elhanyagolható A mozgás relatív, mindig valamilyen vonatkoztatási (koordináta) rendszerhez képest adjuk meg. Pálya: A mozgó pont által leírt görbe. Az origóból a testhez mutató helyvektor végpontja is ezen mozog. A pályaegyenlet pálya ezt a görbét adja meg. A testek pályája lehet kötött (pl: vasúti sín, úthálózat, versenypálya), vagy szabad (pl.: elhajított kő, Föld körül keringő űrhajó).

simulókör Ívhossz: egyirányú mozgás esetén azon pályaszakasz hossza, melyen az anyagi pont végighaladt. R Út: (pozitív skalár mennyiség) , az anyagi pont mozgása során egy adott idő alatt mért pályamenti távolság. Jele: s, mérték11 ábra egysége az 1 méter [m]. Görbe vonalú mozgásnál a görbét egy adott hely kicsiny környezetében a simulókörével helyettesíthetjük (1.1 ábra) Ez a legnagyobb sugarú kör, ami az adott pontban (a konvex oldalról) érinti a görbét. A pálya görbülete a simulókör sugarának reciproka: G=1/R [1/m] A szögelfordulás mértékegysége SI mértékrendszerben a radián [rad]. Általános görbe vonalú mozgás esetén a szöget kicsiny elmozdulás során tudjuk értelmezni úgy, hogy az ívhosszt elosztjuk a sugárral: ϕ=i/R=s/R [m/m]= [1] = [rad]. Körmozgás esetén természetesen tetszőleges idejű mozgásra értelmezhető a szögelfordulás. Az elmozdulás vektor a mozgás vizsgált részének kezdőpontjából a

végpontjába mutató vektor. Ezt úgy kaphatjuk y meg, ha a t+∆t időpontban levő helyvektorból r( t + Δt ) ki∆r vonjuk a t időpontbeli helyvektort r (t) : r(t) r(t+∆t) 1.2 ábra x Δ r = r (t + Δt) − r (t) 1.11 Sebesség Az átlagsebesség a megtett összes út és a közben eltelt idő hányadosa, skalár mennyiség: Δsi s ∑ i y v= = [m/s] . t ∑ Δti i ∆r2 A pillanatnyi sebességet megkapjuk, ha a na∆r1 gyon rövid idő alatt vett elmozdulás vektort elosztΔr juk a közben eltelt idővel: v = . Az 13 ábrán x Δt 1.3 ábra 2 látható, hogy ha egyre rövidebb időtartamokat veszünk, akkor Δr , következésképpen v iránya egyre jobban közeledik az érintő felé. Pontosabban fogalmazva a pillanatnyi sebesség egyenlő az elmozdulás vektor idő szerinti dr első deriváltjával: v= = r dt A pillanatnyi sebesség nagyságát a megtett út idő szerinti első deriváltja adja: v=ds/dt= s . A sebességvektor koordinátáit a helykoordináták

idő szerinti első deriváltjai határozzák meg: v x =dx/dt= x v y =dy/dt= y v z =dz/dt= z . Ha ismerjük a mozgás v(t) sebesség-idő függvényét, akkor a deriválás és integrálás kapcsolata alapján a t a és t b időpillanatok közötti elmozdulást a következőképpen számíthatjuk ki: n r (t b ) − r (t a ) = ∑ v (t i )∆t (t1 = t a , t 2 = t a + ∆t , , t n i =1 = tb ) ill. tb r (t b ) − r (t a ) = ∫ v (t )dt , ahol r (t a ) az anyagi pont helyvektora a t a időpillanatban. Koordinátákként kiírva, tt tt ta tt x(t b ) − x(t a ) = ∫ v x (t)dt y(t b ) − y(t a ) = ∫ v y (t)dt z(t b ) − z(t a ) = ∫ v z (t)dt ta ta ta Az elmozdulás bármely derékszögű komponense tehát az adott sebességkomponens-idő függvény alatti (előjeles) területtel egyezik meg. ( A területet oly módon kell értelmezni, hogy a tengelyekkel párhuzamos távolságokat a tengelyeken levő fizikai mennyiségekkel azonosítjuk!) Nyilvánvaló, hogy

valamely tengelyre vonatkoztatva visszafelé történő mozgásnál az elmozdulás negatív értéket is felvehet. Ezzel szemben a megtett út nem negatív mennyiség, melyet a n s = ∑ v(t i )Δt ill. i =1 tb s = ∫ v(t )dt , ta kifejezések definiálnak, ahol v(t)=|v(t)|. 1.12 Gyorsulás A gyorsulás a sebességváltozás és a közben eltelt idő hányadosa, a sebességváltozás irányába Δv mutató vektor: [m/s2] a= Δt Ha differenciálisan kicsi változásokat veszünk, akkor azt mondhatjuk, hogy a gyorsulás a sebesség idő szerinti első deriváltja, ill. az elmozdulás idő szerinti második deriváltja: d2 r dv    a r = = a = v = v1 dt dt 2 v1 ∆ vi v1 ∆v v2 v2 ∆vt 1.4 ábra 3 Mivel a sebességnek a nagysága és az iránya is változhat, célszerű a gyorsulást komponensenként meghatározni. Az 14 ábrán látható, hogy ha a görbe vonalú pályán mozgó test sebességének a nagysága és iránya is változik, akkor a ∆v

sebességváltozás összetehető egy csak a nagyság változásából származó ∆v t , és egy, az irány változásából származó ∆v i komponensből. A sebesség nagyságának változásából származó gyorsuláskomponens érintő irányú (tangenciális, pálya menti). d v dv ∆v t A tangenciális gyorsulás nagysága: at = ill. at = . = ∆t dt dt A sebesség irányának változáv1 v1 sából származik a centripetális gyorsulás. ∆v2 ∆ϕ v ∆ϕ 2 Az 1.5 ábra alapján belátható, v2 v3 hogy ha a ∆t időtartamot rövidítR ∆v3 jük, akkor a ∆v sebességváltozás iránya a kezdeti sebesség irányára v3 merőleges lesz. Ha a sebesség nagyságát v-vel jelöljük, akkor kis szögelfordulás esetén ∆ϕ=∆s/R≈∆v/v. Ebből a 1.5 ábra sebességváltozás: ∆v=∆s⋅v/R. Mindkét oldalt ∆t-vel osztva, és annak figyelembe vételével, hogy v=∆s/∆t, v2 a centripetális gyorsulás nagyságára adódik. Ugyanakkor az 15 ábráacp = R ból az

is nyilvánvaló, hogy a centripetális gyorsulás a görbületi kör középpontja felé mutat. Ha ismerjük az anyagi pont gyorsulását az idő függvényében, akkor a sebességet a gyorsulás idő szerinti integrálja adja meg. Az integrálási konstans értékét a kezdeti feltétel, azaz a kezdősebesség határozza meg: tb v(t b ) = v(t a ) + ∫ a(t )dt . ta 1.2 Speciális mozgások kinematikai vizsgálata 1.21 Egyenes vonalú egyenletes mozgás v s t t 1.6 ábra Az jellemzi, hogy a sebességvektor állandó, a gyorsulása zérus. Az átlagsebesség egyenlő a pillanatnyi sebesség nagyságával. A megtett út egyenlő az elmozdulás nagyságával: s=v⋅ t . 1.22 Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás Akkor jön létre, ha a gyorsulásvektor állandó, és a kezdősebesség a gyorsulással egy a =áll. és a // v egyenesbe esik: t Idő szerint integrálva kapjuk a sebességet: v(t) = v 0 + ∫ a⋅ dt = v 0 + a⋅ (t − t 0 ) , t0 4 ill. skalár

alakban: v(t) = v 0 + a(t - t 0 ) , ahol v 0 a t 0 időpillanatban mért kezdősebesség Az elmozdulás a sebesség idő szerinti integrálja: t t t t0 t0 t0 r (t) = r0 + ∫ v(t)dt = r0 + ∫ v 0 dt + ∫ a⋅ (t − t 0 )dt = r0 + v 0 (t − t 0 ) + ami skalár alakban a megtett utat adja: 1 a⋅ (t − t 0 ) 2 2 , 1 a (t − t 0 ) 2 . 2 A mozgás út – idő, sebesség – idő és gyorsulás – idő függvényeit a 1.7 ábrán látjuk, ha t 0 =0 s (t ) = v 0 (t − t 0 ) + s a v v0 1.7 ábra t t t0 t t A megtett út kiszámítható a sebesség – idő függvény alatti terület segítségével is: v +v s= 0 ⋅ ( t − t0 ) . 2 1.23 Hajítások A hajítás olyan mozgás, melynek gyorsulásvektora állandó, nagysága g=9,81m/s2≈10m/s2, iránya függőlegesen lefelé mutat. A legegyszerűbb hajítás a szabadesés, ami kezdősebesség nélküli esetben jön létre. Tehát egy g gyorsulású egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás függőlegesen

lefelé. A függőleges hajítás is egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás, de van függőleges kezdősebessége. Fölfelé hajításnál a kezdősebesség a gyorsulással ellentétes irányú és ellentétes előjelű, lefelé hajításnál pedig azonos irányúak Függőlegesen felfelé hajításkor a test pillanatnyi sebessége a kezdőpillanatot zérusnak választva: v = v 0 − g ⋅ t ,a kezdőponttól mért magasság (elmozdulás): y = v 0 ⋅ t − g ⋅ t 2 / 2 . Az emelkedés idejét abból a feltételből kapjuk meg, hogy a legmagasabb pontban a pillanatnyi sebesség nulla: t e = v 0 / g . Az emelkedés magassága pedig y max = v 02 / 2 g . A ferde hajítás összetehető egy vízszintes irányú egyenes vonalú egyenletes és egy függőleges irányú egyenes vonalú egyenletesen y változó mozgásból. Ferdén fölfelé hajításnál a v0 1.8 ábra alapján írhatjuk, hogy v0y v 0x = v 0 cosα és v 0y = v 0 sinα , t idő alatt az x irányú elmozdulás α x = v

0x t = v 0 t cosα az y irányú elmozdulás pedig x 0 v0x y = v0y ⋅ t − g ⋅ t 2 / 2 = ⋅v0 sinα ⋅ t − g ⋅ t 2 / 2 . 1.8 ábra 5 Ez a pálya idő-paraméteres egyenletrendszere. Ebből t kiküszöbölésével kapjuk a pályaegyenletet: v0y g x2 y= x− ⋅ 2 , v0x 2 v0x y = x ⋅ tgα − ill. g x2 . ⋅ 2 2 v 0 cos 2 α v y = v 0y – g t = v 0 sinα– g t . A függőleges sebesség: A emelkedés idejét abból a feltételből kapjuk meg, hogy a pálya legmagasabb pontján a függőleges sebesség zérus: t e = v 0 sinα /g . Innen a maximális emelkedés, y max = v 02 sin 2 α/2g , és az ennyi idő alatt vízszintes irányban megtett távolság, x = v 02 cos α sin α / g = v 02 sin 2α / 2 g . Egy adott pontban a pálya görbületét úgy határozhatjuk meg, hogy először kiszámítjuk ott a sebesvx ségének a vízszintes és a függőleges komponensét. A gn ϕ 1.9 ábra alapján vy ϕ tg ϕ = v y / v x . A gravitációs gyorsulás vektorát pedig

felbontjuk gt g tangenciális és normális (érintő irányú és rá merőleges) komponensekre. A normális irányú komponens a centripetális gyorsulás: g n = g⋅cosϕ és g n = v2/R 1.9 ábra Ezekből a görbület: 1 g ⋅ cos ϕ . G= = R v2 Az érintő meredekségét (tg ϕ) megadja a pályaegyenlet első deriváltjának helyettesítési értéke is. 1.24 Egyenletes körmozgás A mozgás pályája kör, és a sebesség nagysága állandó. Periódusidő (T ): egy körülfordulás ideje Fordulatszám (f; n):megadja az időegység alatt megtett fordulatok számát: f = 1/T [1/s] A gyakorlatban használják az 1/min mértékegységet is, amit rpm-mel is szoktak jelölni (rot per min= fordulat /perc). Az egyenletes körmozgás sebessége (kerületi sebesség vagy pálya menti sebesség): v = s / t = 2⋅R⋅π / T . A körmozgás vizsgálatánál célszerű polár-koordinátarendszert használni, mivel a sugár R=állandó. A szögelfordulás egyenesen arányos az eltelt idővel

Szögsebesség (ω): a szögelfordulás idő szerinti első deriváltja, ω= ∆ϕ ∆t ω= ill. 6 dϕ = dt ϕ [1/s] . A szögsebesség vektormennyiség. Iránya a kör síkjára merőleges, és a jobb kéz szabállyal állapítható meg: ha a jobb kezünk 4 ujját a szögelfordulás irányába tesszük, akkor a kinyújtott hüvelykujjunk mutatja a szögsebesség irányát. (Az óramutató járásával ellentétes irányú forgás esetén a szögsebesség vektor felénk mutat) 2 ⋅π Egyenletes körmozgásnál a szögsebesség állandó és ω = = 2 ⋅π ⋅ f . T A szöghelyzet a szögsebesség idő szerinti integrálja: t ϕ = ϕ 0 + ∫ ω (t )dt = ϕ 0 + ω (t − t 0 ) , t0 ahol a kezdeti t 0 időpillanatban vett szöghelyzet ϕ 0 . A kerületi sebesség a fenti kifejezések figyelembevételével v = R⋅ω . Az egyenletes körmozgás gyorsuló mozgás, mert változik a sebesség iránya. A centripetális gyorsulás a kör közepe felé mutat, és a már ismert

képlettel számítható ki: v2 a cp = R 1.25 Egyenletesen gyorsuló körmozgás A mozgás pályája kör, és a tangenciális gyorsulása állandó. Polár-koordinátarendszerben vizsgálva a mozgást bevezethetjük a szöggyorsulás fogalmát, ami ennél a mozgásnál szintén állandó. A szöggyorsulás (β) a szögsebesség idő szerinti első deriváltja, dω Δω 1 ill. = ω  2  . β= β= dt Δt s  A szögsebességet megkapjuk a szöggyorsulás idő szerinti integrálásával, t ω (t ) = ω 0 + ∫ β (t )dt = ω 0 + β (t − t 0 ) , t0 ahol ω0 a kezdeti szögsebesség. A szögelfordulás (szöghelyzet) a szögsebesség idő szerinti integrálásával számítható, 1 ϕ (t ) = ϕ 0 + ω 0 (t − t 0 ) + β (t − t 0 ) 2 , 2 ahol ϕ 0 a kezdeti szöghelyzet. A megtett út és a sebesség az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásnál használt összefüggésekkel számítható ki azzal a különbséggel, hogy a gyorsulás itt a tangenciális

(érintő irányú) gyorsulás. A haladó mozgás és a szögjellemzők kapcsolata: s = Rϕ v = Rω at = Rβ , acp R a at azaz minden esetben a sugár az arányossági tényező. Az egyenletesen változó körmozgásnak a tangenciális gyorsuláson kívül van centripetális gyorsulása is: v2 = R⋅ω2 . a cp = R Az eredő gyorsulás a 1.10 ábra alapján a Pitagorasz –tétel segítségével számítható ki: a = at2 + a cp2 1.10 ábra 7 2. Dinamika 2.1 Inerciarendszer Dinamika: A mozgást okozó hatásokat kutatja. A testeket most tömegpontoknak tekintjük, ami azt jelenti, hogy a kiterjedésüket elhanyagoljuk, de a tömegüket figyelembe vesszük A mozgásokat mindig valamilyen vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk. Az inerciarendszer olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a meglökés után magára hagyott pontszerű test egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. Ilyen rendszernek tekinthető az állócsillagokhoz rögzített koordinátarendszer A legtöbb

esetben a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer is ilyennek tekinthető Egy inerciarendszerhez képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végző rendszer is inerciarendszer. (Ez igaz akkor is, ha a két rendszer relatív sebessége megközelíti a fénysebességet, csupán az előző fejezetben tárgyalt Galilei transzformációt kell ’lecserélnünk’ az ún. Lorentz transzformációra) A dinamika alaptörvényei inerciarendszerben érvényesek. 2.2 A dinamika alaptörvényei (Newton törvényei) 2.21 A dinamika I alaptörvénye Ezt a törvényt tehetetlenségi törvénynek is szokás nevezni: Minden test nyugalomban marad, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez a kezdeti állapotától függően mindaddig, amíg a ráható erők eredője nulla. Ez azt jelenti, hogy a nyugalom és az egyenesvonalú egyenletes mozgás dinamikai szempontból megkülönböztethetetlen. v = állandó , ha Σ F = 0 Matematikai formában: Ha az állandó zérus, akkor nyugalomban van a

test. A fenti törvény felfedezése azért volt nehéz feladat, mert azt tapasztaljuk, hogy az ellökött és „magára hagyott” test megáll. A valóságban azonban az ilyen test csak látszólag magára hagyott, ténylegesen kölcsönhatásban van a talajjal, a súrlódás fékezi le. 2.22 A dinamika II alaptörvénye Ahhoz, hogy egy test mozgásállapotát megváltoztassuk, egy másik testtel való kölcsönhatásra van szükség, melyet kvantitatíven erőként értelmezünk. Az erő vektormennyiség, mérése különböző fizikai hatásokon keresztül lehetséges. A tapasztalat szerint ugyanazon a testen nagyobb erő nagyobb gyorsulást hoz létre. Ugyanakkora erő viszont a különböző testeket általában különböző mértékben gyorsítja – pl ha egy azonos mértékben összenyomott rugóval különböző testeket ellökünk. A testek tehetetlenségének a mértéke a tömeg, jele: m, mértékegysége 1 kg. Az a test tehetetlenebb, amelyik ugyanakkora erő hatására

kevésbé gyorsul. A dinamika II. alaptörvénye, az erő értelmezése: A testre ható erő egyenesen arányos az általa okozott gyorsulással, és az arányossági tényező a test tehetetlen tömege. Az erő és a gyorsulás egyirányúak: F = m⋅a . Ezt az egyenletet mozgásegyenletnek is nevezik. Ezen törvény lehetőséget ad a tömeg mérésére anélkül, hogy az erőhatást konkrétan ismernénk. Ha ugyanis különböző testeket azonos erővel gyorsítunk, akkor 8 F=m 1 ⋅ a 1 és F=m 2 ⋅ a 2 . Ebből a gyorsulások mérésével meghatározhatjuk a tömegek arám1 a 2 = nyát: . m2 a1 Ha az m 2 tömeget egységnyinek választjuk, akkor egy tetszőleges test tömege az előbbi öszszefüggés alapján meghatározható. A tömeg egységének az 1dm3 térfogatú 4,2 °C hőmérsékletű desztillált víz tömegét választották, és 1kg-nak nevezték el Etalonja egy platina-iridium ötvözetből készült henger, amit Sevres-ben őriznek. Ha a tömeg egységét

megválasztottuk, akkor az erő mértékegysége a fenti egyenlettel ugyancsak rögzíthető. Megállapodás szerint, az egységnyi erőhatás 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorm sulással mozgat. Az erő mértékegysége tehát 1 kg ⋅ 2 =1 N 1 newton. s m Sűrűség A test tömegének és térfogatának hányadosa az átlagos sűrűség: ρ = mérV kg tékegysége az 1 3 . A helyi (lokális) sűrűség az anyag egy infinitezimális, dm tömegű és dV m dm térfogatú, darabjára vonatkozik: ρ (r ) = , és az anyagon belül helyről helyre változhat. dV 2.23 A dinamika III alaptörvénye Hatás - ellenhatás (akció - reakció) törvénye: Ha egy test erőt fejt ki a másikra, akkor az visszahat az elsőre. Ez a két erő közös hatásvonalú, egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, és két különböző testre hat: FA ,B = − FB ,A , ahol F A,B az A test által a B testre kifejtett erőt, F B,A pedig a B test által az A testre kifejtett erőt jelöli. Felmerülhet a kérdés, hogy

akkor miért a ló húzza el a kocsit, és miért nem a kocsi a lovat? Erre a kérdésre a harmadik test, a talaj figyelembevételével adhatjuk meg a választ. A ló és a kocsi egymásra egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erőt fejt ki. A ló azonban nyomja a talajt hátrafelé a lábával, ezért a talaj ugyanakkora erővel nyomja előre a lovat. Ha ez az erő nagyobb, mint amit a kocsi fejt ki a lóra, akkor a ló előrefelé fog haladni (gyorsulni). 2.24 A dinamika IV alaptörvénye Szuperpozíció elv, az erőhatások függetlenségének elve: Ha egy testre több erő hat (F i , i=1, 2, 3,,n) akkor a test gyorsulását megkaphatjuk úgy, hogy az egyes erők által okozott gyorsulásvektorokat összegezzük, vagy először meghatározzuk az erők vektori összegét, az eredő erőt, és ezzel számítjuk a test gyorsulását: n ∑F i =1 i = m⋅a Mivel az erők egymástól függetlenül fejtik ki hatásukat, ezért több erőt helyettesíthetünk a vektori

összegével (eredő erő), vagy egy erőt vektori összetevőivel. Mindig a számunkra kedvezőbb, egyszerűbb eljárást választjuk Pl. a ferde hajításnál a vízszintes és függőleges irányú mozgás a függetlenségi elv miatt vizsgálható külön Ha egy testet felemelünk, akkor viszont a gyorsulása úgy határozható meg egyszerűen, hogy először kiszámítjuk az eredő erőt (ΣF=F emelő -m⋅g), és ezzel számítjuk a mozgásegyenletből a gyorsulást. 9 Impulzus (lendület; mozgásmennyiség): a test tömegének és sebességének szorzata, a sebesség irányába mutató vektormennyiség. I = m ⋅ v , mértékegysége: kg⋅m/s Ha a mozgásegyenletbe behelyettesítjük a gyorsulás differenciális értelmezését, Δv ∑ F = m ⋅ a = m ⋅ Δt , akkor átrendezve kapjuk, hogy ∑ F ⋅ Δt = m ⋅ Δv = Δ(m ⋅ v ) = Δ I . Az egyenlet bal oldalán álló mennyiséget lökésnek nevezzük. Pl: a bobosok annál nagyobb lökést fejtenek ki a bobra, minél

nagyobb erőt képesek kifejteni rá, és minél hosszabb ideig hat az erő. A jobb oldalon álló mennyiség a test lendületváltozása Az így kapott törvényt lendület-tételnek nevezzük, mely szerint tehát egy test lendületének megváltozása egyenlő a rá ható erők lökésével. 2.3 Erőtörvények 2.31 Gravitációs erő (tömegvonzás) Minden test a másikra a tömegeikkel (m 1 , m 2 ) egyenesen arányos vonzóerőt fejt ki. Ez az erő fordítottan arányos a pontszerű testek közötti távolság (r) négyzetével. Pontszerűnek tekinthetjük a testeket ilyen szempontból, ha a köztük lévő távolsághoz képest a testek mérete kicsi. m ⋅m m ⋅m r m ⋅m F= f⋅ 1 2 2, ill. vektorosan: F1,2 = − f ⋅ 1 2 2 ⋅ 1,2 = − f ⋅ 1 3 2 ⋅ r1,2 r r r r r A képletben szereplő F 1,2 az 1 jelű test által a 2 jelű testre kifejtett erő, 1,2 az 1 jelű anyagi r ponttól a 2 jelű felé mutató egységvektor, a negatív előjel pedig az ezzel ellentétes irányt,

a Nm 2 vonzást fejezi ki. Az f gravitációs állandó értéke: f = 6,67 ⋅ 10 −11 , amit először Cavenkg 2 dish határozott meg torziós ingával. Magát a törvényt Newton fedezte fel. Felismerte, hogy a Föld által a Holdra kifejtett erő, ami a pályáján tartja a Holdat, azonos fajta erő azzal, ami a Föld közelében a magára hagyott testeket „g” gyorsulással gyorsítja. Eötvös Loránd igen nagy pontossággal kimutatta, hogy a gravitációs vonzóerő független a testek anyagi minőségétől, valamint, hogy az erőtörvényben szereplő (gravitációs) tömeg a tehetetlen tömeggel egyezik meg. Gömbszimmetrikus homogén héjakból álló testeket a gömbön kívüli testre gyakorolt hatás szempontjából a középpontjukba helyezett összes tömeggel helyettesíthetjük. Általában azonban nem igaz az, hogy egy kiterjedt testet a gravitációs erő szempontjából a tömegközéppontjába képzelt tömegével helyettesíthetünk Homogén gömbhéj

üregében bármely pontban egy pontszerű tömegre a gömbhéj által gyakorolt gravitációs erő nulla. 2.32 Nehézségi erő, súly, súlytalanság A Földön, adott helyen, légüres térben minden magára hagyott test azonos gyorsulással mozog. Ezt a gyorsulást nevezzük gravitációs gyorsulásnak (g) Értéke függ a földrajzi helyzettől, a tengerszint feletti magasságtól, a Föld helyi összetételétől, a Földnek a Naphoz ill a Holdhoz viszonyított helyzetétől 10 A nehézségi erő az az erő, ami a Föld (égitest) közelében a magára hagyott testeket gyorsítja: F n =m⋅ g . Ez az erő a Föld gravitációs vonzóerejéből származik elsődlegesen, de a Föld forgása miatt nem egyenlő vele (l. később) Ha a testet alátámasztjuk, ugyanekkora erővel kell tartani A súly az az erő, amellyel egy test a vízszintes alátámasztást nyomja, vagy a függőleges felfüggesztést húzza. Szokásos jele: G Általános esetben erőtörvénnyel nem adható

meg Testek súlya függőlegesen gyorsuló rendszerben: Ha egy vízszintesen alátámasztott nyugvó testet vizsgálunk, Ft akkor azt mondhatjuk, hogy hat rá a nehézségi erő és a tartóerő, amelyek kiegyenlítik egymást: a m m ⋅ g + Ft = 0 m ⋅ g = − Ft . mg A tartóerő ellenereje a test súlya, vagyis G = − Ft = m ⋅ g , ami az alátámasztást nyomja. G Ha azonban az alátámasztott test pl. egy gyorsuló liftben van, 2.1 ábra akkor megváltozik a test súlya. Gyorsuljon a lift fölfelé. Vele együtt gyorsul a test is Tekintsük ezt az irányt pozitívnak A 2.1 ábra alapján felírhatjuk a mozgásegyenletet: F t – m⋅g = m⋅a . Ebből F t = m⋅ g + m⋅ a = m⋅ (g+a) , vagyis a test súlya megnövekedett, mert G = Ft . Ha a lift lefelé gyorsul, akkor a gyorsulás negatív előjelű, ezért, F t = m⋅(g–a), tehát ilyenkor a test súlya csökken. Ha a lift szabadon esik, akkor a=g , és így F t =0. Ilyenkor a test nem nyomja az alátámasztást, tehát

súlytalan 2.33 Rugalmas erő; lineáris erőtörvény Ha egy csavarrugóra húzóerőt fejtünk ki, akkor az megnyúlik. Ez a nyúlás addig tart, amíg a rugó által ellenkező irányban kifejtett erő a húzóerőt ki nem egyenlíti. A nyúlás bizonyos határig egyenesen arányos a húzóerővel. A rugóerő tehát a megnyúlással (∆l) egyenesen arányos, és vele ellentétes irányú: F = −D ⋅ Δ l . Az arányossági tényezőt direkciós állandónak (D) vagy rugóállandónak nevezzük, ami a rugó egységnyi megnyújtásához szükséges erőt adja meg. Mértékegysége 1 N/m Megjegyzendő, hogy D elnevezése nem egységes. Szokás D-t rugómerevségnek, a reciprokát pedig rugóállandónak nevezni. A mértékegységéből derül ki, hogy melyik értelmezési módról van szó. A rugóerő és a megnyúlás közötti egyenes arányosság teszi lehetővé, hogy lineáris skálájú rugós erőmérőt készíthessünk. (Léteznek nemlineáris karakterisztikájú rugók

is, például változó keresztmetszetűek) 2.34 Szabaderők és kényszererők Szabaderők: Olyan erők, amelyek nagyságát és irányát valamilyen erőtörvénnyel adhatunk meg, más erőktől ill. külső körülményektől függetlenek Ilyenek pl a már megismert gravitációs vonzóerő vagy a rugóerő. 11 Szabad mozgás esetén a testre csak szabaderők hatnak (pl. vákuumban elhajított kő, égitestek mozgása) Kényszermozgásról beszélünk akkor, ha a test csak valamilyen előre meghatározott pályán ill. geometriai feltétel (vonal vagy felület) mellett mozoghat Ilyen pl egy merev lejtőn vagy sínen való mozgás, vagy a fonalinga lengése. A mozgást korlátozó geometriai feltételek a kényszerfeltételek. Kényszererők: Azon erők, amelyek - a szabaderőkkel együtt - biztosítják, hogy a test a kényszerfeltételeknek megfelelően mozogjon. Nagyságuk vagy irányuk a többi erőtől is függ Értelemszerűen csak kényszermozgás esetén lépnek fel. A

kötélerő mindig fonalirányú Vizsgáljuk meg egy kényszerfelület által kifejtett erőt! A szabaderők eredőjét (F) felbonthatjuk a felülettel párhuzamos és a felületre merőleges (F n ) komponensekre. Legyen a kényszererő F k , a felületre merőleges gyorsuláskomponens a n Ekkor a normálirányú mozgásegyenlet: F k + F n =m⋅a n , és ebből F k = m⋅ a n –F n . Nyugvó, merev, súrlódásmentes sima felület a felületre merőleges kényszererőt fejt ki a mozgó testre, mert a n =0, és így F k = –F n . v2 Nyugvó, görbült felület esetén a n = a cf = , ezért a kényszererő a sebességtől is függ, de r még mindig merőleges a kényszerpályára. 2.351 Csúszási súrlódás 2.35 Súrlódás Ha egy test egy másik testen csúszik, akkor fellép egy, a felülettel párhuzamos kényszererő is, amit csúszási súrlódási erőnek nevezünk. Ez az erő egyenesen arányos a felületekre merőleges nyomóerővel (F n ), valamint függ az érintkező

anyagok fajtájától és érdességétől Iránya a viszonylagos elmozdulással ellentétes irányú. v F s =µ⋅F n ill. vektorosan Fs = −μ ⋅ Fn ⋅ , v ahol µ a csúszási súrlódási tényező és v a két felület relatív sebessége. Azt is szokták mondani, hogy a súrlódás mozgást akadályozó erő. Ez csak annyiban igaz, hogy a felületek viszonylagos elmozdulását akadályozza, de nem jelenti azt, hogy egy test inerciarendszerhez képesti sebességét nem növelheti. Például egy ékszíjnál mindig van egy kis csúszás, mégis mozgásba hozza a hajtott tárcsát. Ha egy füzetre ráteszünk egy könyvet, és a füzetet megrántjuk, akkor a könyv az asztalhoz képest a füzettel egy irányba mozdul el, de a füzethez képest hátrafelé. Mivel a viszonylagos elmozdulást akadályozza a súrlódási erő, a könyvre a füzet mozgásával megegyező irányba hat. 2.352 Tapadási súrlódás Olyan, az érintkező felületekkel párhuzamos erő, ami megakadályozza

a felületek viszonylagos elmozdulását. Ha az érintkezési hely inerciarendszerbeli gyorsulásának a felületekkel párhuzamos komponense a p , a többi erő eredőjének a felülettel párhuzamos komponense F p , akkor Fts + F p = m ⋅ a p Ha nincs gyorsulás, akkor a tapadási súrlódás kiegyenlíti a többi erő eredőjének a felületekkel párhuzamos komponensét: Fts = − F p . A tapadási súrlódási erő maximuma: F tsmax = µ 0 ⋅F n A tapadási súrlódási erő: F ts ≤ µ 0 ⋅F n , ahol µ 0 a tapadási súrlódási tényező. 12 Azonos anyagok esetén a csúszási súrlódási tényező mindig kisebb mint a tapadási súrlódási tényező. 2.353 Közegellenállás Ha egy test az őt körülvevő közeghez képest mozog, akkor a közeg akadályozza a mozgását. A közegellenállási erő egyenesen arányos a relatív sebesség négyzetével (v2), az áramlásra merőleges keresztmetszettel (A), és a közeg sűrűségével (ρ): F=c⋅A⋅ρ⋅v2 ill.

vektorosan F = −c ⋅ A ⋅ ρ ⋅ v ⋅ v , ahol c az ún. alaktényező 3.1 A perdület (impulzusmomentum) és a forgatónyomaték Írjuk fel a mozgásegyenletet a lendületváltozás segítségével, és szorozzuk meg balról vektoriálisan az r vektorral, ami egy kiválasztott pontból a testhez irányított helyvektor: m⋅∆v ∆(r× m v ) r× = r × F , ill. = r× F ∆t ∆t Az egyenlet bal oldalán szereplő N = r × m ⋅ v mennyiséget perdületnek nevezzük. Egy test adott pontra vonatkoztatott perdülete (impulzusmomentuma) a pontból a testhez irányított helyvektor és a test lendületének vektorszorzata: m2 N = r× m ⋅ v , ill. N=r⋅ m⋅ v⋅sinα , mértékegysége kg ⋅ s ahol α-az r és v vektorok által bezárt szög. Az impulzusmomentum vektor az r és v vektorok síkjára merőleges, és irányát a jobbmenetű csavar haladási iránya adja meg, ha az r vektort a kisebb szög alatt v-be forgatjuk. A k=r⋅ sinα szorzat megadja az impulzusvektor

hatásvonalának a ponttól mért merőleges távolságát. Ezt az impulzusvektor karjának nevezzük Az egyenlet jobb oldalán szereplő mennyiség az erő pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka: M=F⋅ r⋅sinα , k=r⋅ sinα - az erő karja M = r × F , ill. A forgatónyomaték mértékegysége 1 newtonméter [Nm] A forgatónyomaték nagysága egyenlő az erő és az erőkar szorzatával, iránya az r és F vektorok által meghatározott síkra merőleges, és ha r vektort a kisebb szög alatt F-be forgatjuk, a jobbmenetű csavar haladási irányával egyezik meg. m⋅∆v Az r × = r × F egyenlet azt jelenti, hogy a test időegység alatt bekövetkező ∆t ΔN M= = N perdületváltozása egyenlő a testre ható forgatónyomatékkal: Δt Ezt átrendezve a lendülettétellel analóg összefüggést kapunk, amit perdülettételnek nevezünk: A test perdületének megváltozása egyenlő a testre ható forgatónyomaték és a hatás időtartamának szorzatával (a

forgatólökéssel). 3.2 Centrális erők A területi sebesség Centrális erők tétele Az olyan erőt, amelyiknek a hatásvonala mindig ugyanazon a ponton megy keresztül, centrális erőnek, azt a pontot pedig, amelyiken keresztülmegy, centrumnak nevezzük. Ilyen erő pl. egy pontszerű test vagy egy homogén gömb által egy másikra kifejtett gravitációs vonzóerő, vagy a pontszerű töltések által egymásra kifejtett vonzó vagy taszítóerő 13 A centrális erőtérben mozgó test impulzusmomentuma állandó (N=állandó), mert nincs forgatónyomaték, hiszen az erő egyirányú a helyvektorral: M=F˟r=0, mert F//r A konstans vektor azt is jelenti, hogy a centrális ∆r erőtérben való mozgás síkmozgás (Kepler 0. törvév nye: A bolygómozgás síkmozgás) A területi sebesség egy olyan vektor, melynek ∆A nagysága megadja a centrumból a testhez húzott vektor (vezérsugár) által időegység alatt súrolt terü1 letet: ΔA = ⋅ r × v 2 Iránya az r és v

vektorok által meghatározott síkra merőleges, és a vektorszorzat szabálya szerint állapítható meg. A 31 ábrán felénk mutat A perdület állandóságának következménye, hogy a centrális erőtérben mozgó test centrumra 3.1 ábra vonatkoztatott területi sebessége állandó. Δr r × Δr N = r× m v = m ⋅ r× v = m ⋅ r× = m⋅ Δt Δt Mivel kis ∆t idő esetén a háromszög területe ∆A=r⋅∆r/2, ill. r⋅∆r=2⋅∆A, a perdület 2ΔA ∆A = állandó (Kepler II. törvénye: A Naptól a bolygóhoz N = m⋅ = állandó , vagyis ∆t Δt húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol.) Centrális erők tétele: A centrális erőtérben a tömegpont síkmozgást végez úgy, hogy a centrumra vonatkoztatott területi sebessége állandó. 3.3 A bolygók mozgása (Kepler törvényei) Kepler részben saját megfigyelései, részben korábbi csillagászati adatok elemzése alapján a bolygók mozgására vonatkozó

törvényszerűségeket állapított meg. Ezek a törvények Newton törvényei alapján levezethetők. Nem csak a Naprendszer bolygóira érvényesek, hanem minden olyan rendszerre, ahol egy nagy tömegű égitest körül nála sokkal kisebb tömegű égitestek keringenek (pl.: egy bolygó körül keringő természetes és mesterséges holdak). A 3.2 fejezetben már láttuk, hogy a bolygómozgás síkmozgás (centrális erőtérben való mozgás). Ezt szokás Kepler 0 törvényének is nevezni Kiegészítés: A Naprendszer bolygóinak pályái közel egy síkban vannak. A Föld-pálya síkjával (ekliptika) bezárt legnagyobb szög 17 ° a Plútónál Kepler I. törvénye: A bolygók olyan ellipszis alakú pályákon keringenek, amelyek egyik fókuszpontjában (gyújtópont) van a Nap. Kiegészítés: A bolygók pályái csak kis mértékben térnek el a körtől. Kepler II. törvénye: A Naptól a bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol

(a területi sebesség állandó): r 1 ⋅v 1 =r 2 ⋅v 2 Ezt is láttuk a 3.2 fejezetben Ebből következik, hogy a bolygó pillanatnyi sebessége Napközelben (perihélium) maximális, Naptávolban (afélium) minimális Megjegyzés: A tél és a nyár nem a Naptól mért távolsággal van kapcsolatban, hanem attól függ, hogy a napsugarak délben milyen szögben érik az adott helyet. Ez a Föld tengelyének ferdeségével függ össze. 14 A 3.2 ábrán láthatjuk, hogy Napközelben a déli féltekét, Naptávolban az északi féltekét süti a É É merőlegeshez közelebb a Nap, mert a Föld tengelye ferde, és a pálya síkjával állandó szöget zár N be. D D A Naptól mért távolság változása miatt a déli féltekén a tél hidegebb, a nyár pedig melegebb, 3.2 ábra mint az északin. Kepler III. törvénye: A bolygók keringési idejeinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, T 2 r3 mint a pályasugarak (fél nagytengelyek) köbei: 12 = 13 T2 r2 Ha a bolygók

pályáit körnek tekintjük, akkor azt mondhatjuk, hogy a Nap által a bolygóra kifejtett gravitációs vonzóerő egyenlő a centripetális erővel: M Nap ⋅ mb1 f⋅ = mb1 ⋅ r1 ⋅ ω 2 2 r1 Egyszerűsítés után és a szögsebességet a periódusidővel kifejezve kapjuk, hogy M Nap r13 f⋅ = 4 ⋅ π 2 T12 A másik bolygóra hasonló egyenletet felírva megállapíthatjuk, hogy a bal oldalon levő mennyiség mindkét esetben azonos, tehát a jobb oldalak is egyenlők. 3.4 Az egyenletes körmozgás dinamikája A kinematikai fejezetben láttuk, az egyenletes körmozgás gyorsuló mozgás, mert változik v2 a sebesség iránya, és ebből származik a centripetális gyorsulás: a cp = = r ⋅ ω2 r A mozgás dinamikai feltétele: a testre ható eredő erő mindig a kör közepe felé mutató álv2 landó nagyságú erő legyen, amit centripetális erőnek nevezünk: Fcp = m ⋅ r ⋅ ω 2 = m ⋅ r A vízszintes úton kanyarodó jármű esetén a centripetális erőt a tapadási

súrlódásnak kell biztosítania, hogy a jármű ne csússzon ki, azaz F ts =F cp v2 Vízszintes talajon: F tsmax =µ 0 ⋅m⋅g, tehát µ 0 ⋅ m ⋅ g = m ⋅ r Ebből adott tapadási súrlódási tényező esetén a kanyarban lehetséges legnagyobb sebesség a megcsúszás veszélye nélkül: v = µ 0 ⋅ g ⋅ r Versenypályákon, autópályákon, éles kanyarokban gyakran megdöntik az utat, hogy a kanyar nagyobb sebességgel is biztonságosan bevehető legyen. 3.5 Példák kényszermozgásokra Fny Fn α mg Fp 3.3 ábra Súrlódásmentes lejtőn csúszó test: A 3.3 ábrán látható test súrlódásmentesen csúszik le a lejtőn. Függőlegesen lefelé hat rá a nehézségi erő (mg), és a lejtőre merőleges kényszererő (F ny ). A két erő eredője α 15 biztosan a lejtővel párhuzamos, mert a test lejtőirányban gyorsul. A nehézségi erő felbontható a lejtővel párhuzamos (F p ) és a lejtőre merőleges (F n ) komponensekre. A lejtőre merőleges erők

eredője nulla, ezért F n =F ny . Az eredő erő a lejtővel párhuzamos komponens, ami az ábra alapján: F p =mg⋅sinα A mozgásegyenlet: F p =ma, ill. mg⋅sinα=ma A test gyorsulása: a= g⋅sinα A leérkezés idejét és sebességét a kezdeti feltételek figyelembevételével az egyenletesen gyorsuló mozgásnál megismert kinematikai összefüggésekkel számolhatjuk ki. Súrlódásos lejtőn csúszó test: Fny Fs Fn α Fp mg α 3.4 ábra ( F p − Fs ) ⋅ s = 1 m v 2 − v 02 , 2 ( ) A 3.4 ábrán már súrlódási erő is szerepel A test nyugalmi állapotában a tapadási súrlódási erő egyenlő a lejtővel párhuzamos erőkomponenssel, tehát F ts =mg⋅sinα. A megcsúszás határán F ts =µ 0 ⋅F ny =µ 0 ⋅ mg⋅cosα A két egyenletet egymással egyenlővé téve kapjuk, hogy a megcsúszás határán µ 0 =tg α Ha a test lefelé gyorsul, akkor F p – F s =ma mg⋅ sinα – µ⋅ mg⋅cosα=ma Ebből a gyorsulás: a= g⋅(sinα – µ⋅cosα) Ha a

lejtővel párhuzamos, lefelé mutató v 0 kezdősebességgel indítjuk a testet, akkor a leérkezés sebességét a munkatétel alkalmazásával is kiszámíthatjuk: 1 (mg ⋅ sin α − µmg ⋅ cos α ) ⋅ s = m(v 2 − v 02 ) 2 Ebből a sebesség: v = 2 g (sin α − µ cos α ) ⋅ s + v 02 Ha a test h magasságból indul, akkor s = A leérkezés ideje: t = v− v 0 a h sin α 4. Munka, energia, teljesítmény, hatásfok 4.1 A munka A munka egyenlő az erő és az elmozdulás skalárszorzatával: W = F ⋅ Δr , ill. W=F⋅∆r⋅cosα ahol α– az erő és az elmozdulás által bezárt szög. Más megfogalmazásban a munka egyenlő az erő, és az erő irányába történő elmozdulás szorzatával. Skalár mennyiség W=F⋅∆r, ha F párhuzamos ∆r-rel Mértékegysége: [Nm=J] 1 joule (dzsúl) Nincs munkavégzés akkor, ha az erő merőleges az elmozdulásra. Ha egy testre több erő hat, akkor az eredő erő munkája egyenlő az erők munkáinak összegével. 16 Ha

az erő nem állandó, de párhuzamos az elmozdulással, akkor az elemi munkavégzés egy rövid ∆s úton: ∆W=F⋅∆s ill. dW=F⋅ ds Mindkét oldalt integrálva kapjuk a végzett összes mun- F B W kát: W = ∫ F d s A 4.1 ábra s Ennek szemléletes jelentése: Ha ismerjük az erőt a vele párhuzamosan megtett út függvényében, akkor a grafikon alatti terület megadja a végzett munkát (4.1 ábra) 4.2 A teljesítmény Az átlagteljesítmény megadja az egységnyi idő alatt végzett munkát: W J Mértékegysége:   = [W ] 1 watt. P= t s  A pillanatnyi teljesítmény egyenlő a végzett munka idő szerinti első deriváltjával: ΔW dW ill. P= P= Δt dt Ha egy v sebességű testre F erő hat, akkor a pillanatnyi teljesítménye: F⋅ Δ r Δr P= = F⋅ = F⋅ v Δt Δt Az erő pillanatnyi teljesítménye egyenlő az erő és a vele párhuzamos sebesség szorzatával. 4.3 Hatásfok A hasznos munka és az összes (befektetett) munka, ill. a hasznos

teljesítmény és az összes W P η= h = h teljesítmény hányadosa: Wö Pö Ideális esetben η=1, a valóságban azonban η<1. 4.4 Energia Néhány erőfajta munkája Mechanikai energiafajták Munkatétel Az energia = munkavégző képesség Egy test vagy rendszer energiája egyenlő azzal a munkával, amit végezni képes, miközben egy meghatározott alapállapotba jut, vagy azzal a munkával, amit ideális esetben végeznünk kell ahhoz, hogy a testet az alapállapotból egy adott állapotba juttassuk. Jele: E, skalár mennyiség. Mértékegysége: [J] 1 joule Konzervatív erők: Azok az erők, amelyek által végzett munka csak a kezdő és a végponttól függ, de független attól, hogy milyen úton jutott a test az egyik pontból a másikba. Ez azt is jelenti, hogy egy zárt görbe mentén végzett összes munka zérus (pl.: nehézségi erő munkája) A konzervatív erőteret potenciálos erőtérnek nevezzük. Ez azt jelenti, hogy az erőtér minden pontjához

megadhatunk egy potenciált (potenciális energia), ami egyenlő azzal a munkával, amit a konzervatív erő végez, miközben a test az adott pontból egy választott vonatkoztatási pontba jut 17 Ha egy test konzervatív erőtérben az A pontból a B pontba jut, akkor a konzervatív erőtér által kifejtett erő munkája egyenlő a test potenciális energiája megváltozásának mínusz egyszeresével: W A 0 = W A B + W B 0 Ebből: W A B = W A0 − WB 0 = W A − WB = −(WB − W A ) = −∆W Disszipatív erők: A végzett munka nagysága nem csak a szélső pontok helyzetétől függ, hanem attól is, hogy milyen úton jut el a test az egyik pontból a másikba (pl. súrlódási erő munkája). A disszipatív erő a mechanikai energiát szétszórja (disszipál = szétszór), rendezetlenné teszi, hővé alakítja 4.41 A rugóerő munkája, a rugalmas energia Ha egy rugót megnyújtunk, munkát végzünk, miközben a rugóban energia tárolódik. A rugó

összehúzódásakor ideális esetben ugyanennyi munkát képes végezni. Ez kiszámítható a ∆l W 4.2 ábrán látható trapéz területeként: Fr1 F + Fr 2 Fr2 W = ∆E = r1 ⋅ (∆l 2 − ∆l1 ) 2 Mivel F r =D⋅∆l, a végzett munka és a rugalmas energia vál4.2 ábra tozása: 1 1 W = ∆E = ⋅ D ⋅ (∆l1 + ∆l 2 ) ⋅ (∆l 2 − ∆l1 ) = ⋅ D ⋅ (∆l 22 − ∆l12 ) 2 2 1 Ha a nyújtatlan rugó rugalmas energiája zérus, akkor a rugalmas energia: E r = ⋅ D ⋅ ∆l 2 2 Fr ∆l1 ∆l2 4.42 A nehézségi erő munkája, a helyzeti (potenciális) energia a nehézségi erőtérben Ha egy testet állandó sebességgel felemelünk h magasságba, a nehézségi erő egyenlő az emelőerő nagyságával. A végzett munka és a test helyzeti energiájának megváltozása: W=∆E h =m⋅g⋅h , független az úttól, tehát a nehézségi erő konzervatív. A helyzeti (potenciális) energia egy általunk szabadon választott nulla szinthez értendő: E h =m⋅ g⋅ h Ha a

test a nulla szint alatt van, akkor a helyzeti energiája negatív, ha fölötte van, pozitív előjelű. 4.43 A gravitációs erő munkája A gravitációs erőtér szintén konzervatív. A gravitációs erő által végzett munka: R2 R2  1 1  M ⋅m  M ⋅ m W g = ∫ − f ⋅ 2 dr =  f ⋅ = f ⋅ M ⋅ m −   r  R1 r   R2 R1  R1 A gravitációs potenciális energia legyen nulla a tér végtelen távoli pontjaiban (R 2 =∞, és 1/R 2 =0) . Ekkor a gravitációs mezőben levő m tömegű test potenciális energiája: 1 E gr = − f ⋅ M ⋅ m R A rugalmas energiát, a nehézségi erőtérben levő magassági energiát és a gravitációs erőtérben lévő energiát gyűjtőnéven szokás helyzeti vagy potenciális energiának nevezni, hiszen az első esetben a rugó megnyújtott helyzetéből, a másik két esetben a testnek az erőtérben lévő helyzetéből származik az energiája. 18 4.44 A kényszererő munkája Ha a

kényszererő merőleges a sebességre, akkor nem végez munkát. Ilyen kényszererőt fejt ki egy inerciarendszerben a nyugvó merev kényszerfelület a rajta mozgó testre, de ilyen az inga fonala által kifejtett erő is. 4.45 A gyorsító erő munkája, a mozgási energia Munkatétel Ha egy v 0 kezdősebességű testet a sebességgel párhuzamos állandó erővel (a testre ható eredő erő) gyorsítunk, akkor a test egyenesvonalú egyenletesen változó mozgást végez. Ekkor v +v v − v0 ⋅ t , a munkavégzés ideje t = a végzett munka: W = F ⋅ s = F ⋅ 0 , a mozgásegyenlet 2 a pedig: F=m⋅ a v + v0 v − v0 ⋅ A gyorsító erő munkája W = m ⋅ a ⋅ , amiből egyszerűsítés és rendezés után 2 a 1 kapjuk, hogy W = ⋅ m ⋅ v 2 − v02 . 2 A kapott egyenletet munkatételnek is szokás nevezni. Ez azt mondja ki, hogy a testre ható erők eredőjének munkája (vagy a testre ható erők munkáinak összege) egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával

1 Mozgási (kinetikus) energia: E m = ⋅ m ⋅ v 2 2 Egy test mozgási energiája nem lehet negatív előjelű mert negatív tömeg nincs, v2 pedig csak pozitív lehet. Mivel a sebesség függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától, a mozgási energia is rendszerfüggő ( ) 4.46 A mechanikai energia-megmaradás elve Ha egy pontszerű testre csak konzervatív erők hatnak, akkor a mechanikai energiáinak összege állandó. A munkatétel alapján ugyanis ha egy test az A pontból a B pontba jut egy tetszőleges pályán, akkor a végzett munka, azaz a potenciális energiák különbsége egyenlő a mozgási ener1 1 gia megváltozásával: W A B = E pA − E pB = ⋅ m ⋅ v 2B − ⋅ m ⋅ v 2A . 2 2 Ezt átrendezve kapjuk, hogy E PA +E mA =E PB +E MB , azaz E p +E m =állandó E p - az összes potenciális energia, E m – a mozgási energia. 19 5. Pontrendszerek dinamikája Pontrendszer: Egymással valamilyen kapcsolatban álló tömegpontok halmaza. A rendszer

elemeit tetszőlegesen választhatjuk meg Kötött pontrendszer: Amelynek tagjai valamilyen kényszer mentén egymáshoz képest nem mozdulhatnak el. Szabad pontrendszer: A rendszer elemei közötti távolság szabadon változhat. Belső erők: Amelyeket a rendszer tagjai fejtenek ki egymásra. Külső erők: Amelyeket a rendszerhez nem tartozó testek fejtenek ki a rendszer bármelyik elemére. Zárt rendszer: Amelyre ható külső erők eredője nulla. 5.1 Pontrendszer mozgásának vizsgálata mozgásegyenlet-rendszerrel A véges számú elemből álló pontrendszer minden elemére felírhatjuk a mozgásegyenletét. Az i-edik tömeg mozgásegyenlete: ∑ Fi = m i ⋅ a i Ha ismerjük a belső és külső erőket, akkor az egyenletrendszerből a gyorsulások meghatározhatók. A kezdeti feltételek ismeretében a többi kinematikai jellemző is kiszámítható Leegyszerűsíti a feladatot, ha a pontrendszer kötött, mert a kényszerfeltételek miatt a gyorsulások, a sebességek ill.

az elmozdulások között a kényszertől függő meghatározott öszszefüggések írhatók fel Fs Fn Fk Fk m1⋅g m2 m2⋅g 5.1 ábra Az 5.1 ábrán két testből álló kötött pontrendszert látunk A két test gyorsulása nyújthatatlan fonal esetén közös. A mozgásegyenlet-rendszer: Fk − Fs = m1 ⋅ a m2 ⋅ g − Fk = m2 ⋅ a A tömegek és a súrlódási tényező ismeretében ebből az egyenlet-rendszerből a kötélerő és a gyorsulás meghatározható. 5.2 A pontrendszer impulzusa (lendülete; mozgásmennyisége) A pontrendszer impulzusa egyenlő a rendszer tagjai lendületeinek vektori összegével: n I = ∑ mi ⋅ v i i =1 Mivel a belső erők eredője nulla, a rendszer összes lendületét a külső erők változtatják meg: n ΔI = I Fi = ∑ Δt i =1 Impulzustétel pontrendszerre: A rendszer összes lendületének idő szerinti első deriváltja egyenlő a külső erők eredőjével. (A rendszer összes impulzusának időegység alatti megváltozása

egyenlő a külső erők eredőjével) Átrendezve: n F i ⋅ Δt = ΔI ∑ i 1 = A külső erők által okozott lökés egyenlő a rendszer összes impulzusának megváltozásával. Lendületmegmaradás tétele: Az impulzustétel következménye, hogy zárt mechanikai rendszerben (ha a külső erők eredője nulla) a rendszer összes impulzusa állandó. 20 Ezen alapul a rakétahajtás is. Ott a rakétából a hozzá képest állandó u sebességgel kiáramló forró gáz hajtja a rakétát A rakétához rögzített rendszerben az impulzusmegmaradás, ha ∆m hajtógáz nagyon kicsi a rakéta tömegéhez képest: m rakéta ⋅∆v+∆ m hajtógáz ⋅u=0 , ill. m rakéta ⋅dv=-dm hajtógáz ⋅u 1 Átrendezve: d v = −u ⋅ dm m v mr v0 m0 Mindkét oldalt integrálva: : ∫ d v = −u ⋅ 1 dm m ∫ Ebből a rakéta sebességének megváltozása: v − v 0 = u ⋅ ln m 0 – a rakéta kezdeti tömege v 0 sebességnél m r – a rakéta megmaradt tömege m0 mr 5.3

Tömegközéppont Tömegközépponti tétel A tömegközéppont az a pont, amelyre vonatkoztatva a tömegelemek elsőrendű nyomatékainak összege zérus. n A tömegközéppont helye: rTKP = mi ⋅ r i ∑ i 1 = n mi ∑ i 1 = m i – az i-edik elem tömege, r i – az i-edik tömegelemhez húzott helyvektor Tömegközépponti tétel: A rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha ebben a pontban lenne a rendszer összes tömege, és erre hatna a külső erők eredője. A tömegközéppont mozgásegyenlete tehát: n n n i =1 i =1 i =1 ∑ F i = ∑ mi ⋅ rTKP = ∑ mi ⋅ a TKP n a TKP = Ebből a tömegközéppont gyorsulása: Fi ∑ i 1 = n mi ∑ i 1 = A tömegközéppont gyorsulása egyenlő a külső erők eredőjének és a rendszer összes tömegének a hányadosával. Zárt rendszer esetén a külső erők eredője nulla, ezért a TKP =0, és vTKP = állandó , tehát zárt mechanikai rendszerben a tömegközéppont a kezdeti feltételtől függően

vagy nyugalomban van, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. 5.31 A pontrendszer tömegközéppontjának meghatározása n A tömegközéppont definíciója: rTKP = mi ⋅ r i ∑ i 1 = n mi ∑ i 1 = Ez a vektoregyenlet három skalár egyenlettel egyenértékű, amelyekből megkapjuk a tömegközéppont koordinátáit: 21 n xTKP = ∑m i =1 i ⋅ xi n ∑m i =1 n , yTKP = ∑m i =1 i ⋅ yi n ∑m i i =1 i n , zTKP = ∑m i =1 i ⋅ zi n ∑m i =1 i Két tömegpontból álló rendszer tömegközéppontja a tömegeket összekötő szakaszon van a nagyobb tömeghez közelebb úgy, hogy ezt a szakaszt a tömegekkel fordított arányban osztja. Vegyük föl az x tengelyt úgy, hogy a tömegeken menjen keresztül. Az 52 ábra jelöléseivel xTKP-x1 x2-xTKP m ⋅ x + m2 ⋅ x 2 xTKP = 1 1 . A nevezővel beszorozm1 m2 m1 + m2 va mindkét oldalt: xTKP x x2 0 x1 m 1 ⋅x TKP +m 2 ⋅x TKP =m 1 ⋅x 1 +m 2 ⋅x 2 , ahonnan xTKP − x1 m2 5.2 ábra =

x 2 − xTKP m1 5.4 Pontrendszer perdülete, sajátperdület és pályaperdület 5.41 Pontra vonatkozó perdület A pontrendszer adott pontra vonatkozó impulzusmomentuma egyenlő a tömegpontok n ugyanerre a pontra vonatkoztatott perdületeinek vektori eredőjével: N = ∑ r i × mi v i i =1 A pontrendszer adott pontra vonatkoztatott perdülete egyenlő a sajátperdület és a pályaperdület vektori összegével. N = N s + N p A sajátperdület: A rendszer elemeinek a saját tömegközéppontra vonatkoztatott perdülete. A pályaperdület: A rendszer összes tömegét a tömegközéppontba képzeljük, ami a tömegközéppont sebességével mozog (a rendszer eredő impulzusa). Ennek a testnek az adott pontra vonatkoztatott perdülete a pályaperdület. 5.42 Pontrendszerre vonatkozó impulzusmomentum-tétel (perdület-tétel) A pontrendszerre ható külső erők tetszőleges pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak vektori eredője egyenlő a pontrendszer ezen pontjára

vonatkozó impulzusmomentumának idő szerinti első deriváltjával. (A pontrendszerre ható külső erők tetszőleges pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak vektori eredője egyenlő a pontrendszer impulzusmomentumának időΔN egység alatti megváltozásával.) ill. ∑ M külső = ∑ M külső = N , Δt Mindkét oldalt ∆t-vel szorozva: ∑ M külső ⋅ Δt = ΔN , azaz a külső erők által okozott forgatólökés egyenlő a rendszer perdületének megváltozásával. 5.43 Az impulzusmomentum megmaradásának elve (perdületmegmaradás elve) Az impulzusmomentum-tétel miatt ha ∑ M külső = 0 , akkor ΔN = 0 , azaz ha a külső erők forgatónyomatékainak eredője egy választott pontra vonatkoztatva nulla, akkor a rendszer perdülete ugyanezen pontra vonatkoztatva nem változik: 22 Ha ∑ M külső = 0 , akkor ∑ N = állandó , 5.44 Tengelyre vonatkoztatott perdület és forgatónyomaték Pontrendszer vagy merev test síkmozgásán olyan mozgást

értünk, amikor minden pont egymással párhuzamos síkokban mozog. Ilyen esetben a síkokra merőleges tengelyre vonatkoztatott perdületet ill forgatónyomatékot célszerű vizsgálni A tengelyre vonatkoztatott perdület és forgatónyomaték is előjeles skalár mennyiségek. Tengelyre vonatkoztatott forgatónyomaték: Határozzuk meg az erőnek a tengelyre merőleges síkra eső vetületét (F xy )! A tengelyre csak ez a komponens fejt ki forgatónyomaz tékot. Ez egyenlő az erő és az erőkar (k) szorzatával. Az erőkar az F xy erő hatásvonalának a forgástengelytől mért merőleges távolsága (5.3 ábra) M= F xy ⋅ k k F A forgatónyomaték pozitív előjelű, ha a tengely irányából nézve az óramutató járáFxy sával ellentétes irányba forgat. ( Az 53 ábrán látható erő nyomatéka negatív előjelű) 5.3 ábra Hasonló módon a tengelyre vonatkoztatott perdület esetén is először az impulzusvektornak a tengelyre merőleges síkra eső vetületét kell

meghatározni. A tengellyel párhuzamos komponensnek nincs perdülete a tengelyre vonatkoztatva. A vetület impulzusvektornak a karja itt is a hatásvonalnak a tengelytől mért merőleges távolsága A tengelyre vonatkoztatott perdület egyenlő a vetület impulzusvektor és a karjának szorzatával: N= I xy ⋅ k Az előjelet a nyomatékhoz hasonlóan kell megállapítani. A pontra és a tengelyre vonatkoztatott mennyiségek kapcsolata: A z tengelyen helyezkedik el az O pont. Az F xy erő a z tengelyre merőleges síkban hat. A 5.4 ábra alapján írhatjuk, hogy a tengelyre k vonatkoztatott forgatónyomatéka: M z =F xy ⋅k=F xy ⋅r⋅sinα=M⋅ sinα r Az O pontra vonatkoztatott forgatónyomaték: M= F xy ⋅r α Egy tengelyre merőleges síkban ható erő forgatónyomatéka a tengelyre vonatkoztatva α egyenlő a tengelyen levő pontra vonatkoztatott M 5.4 ábra O forgatónyomaték tengelyirányú vetületével. Hasonló módon az O pontra vonatkoztatott perdület z tengely

irányú vetülete egyenlő a z tengelyre vonatkoztatott perdülettel. z Fxy 23 5.5 Pontrendszerekre vonatkozó energetikai tételek A pontrendszer mozgási energiája egyenlő a tömegpontok mozgási energiáinak összegén 1 2 vel: E m = ∑ ⋅ mi ⋅ v i 2 i =1 Pontrendszerre vonatkozó munkatétel: Ha minden tömegpontra felírjuk a munkatételt, és a kapott egyenleteket összeadjuk, azt kapjuk, hogy a rendszer összes mozgási energiájának megváltozása egyenlő a külső és belső erők munkáinak összegével E m 2 − E m1 = ∑ Wkülső + ∑ Wbelső A belső erők munkái nem mindig kompenzálják egymást, csak abban az esetben, F12 F21 F ha a testek ugyanakkora sebességgel mozognak ugyanabban az irányban. Ha pl két testet fonallal összekötünk, és egy asztalon húzzuk őket, akkor a fonalerő belső erő, és a 5.5 ábra két testre ható belső erők munkáinak összege zérus. (55 ábra) Ellenben ha pl. egy nyugvó gránát felrobban, és két részre

szétesik, akkor a két darab elmozdulása ellentétes irányú, de a belső erők is ellentétes irányúak, ezért mindkét belső erő munkája pozitív lesz. Itt a rendszer összes mozgási energiáját a belső erők változtatták meg Természetesen ez összhangban van az energia megmaradásának tételével, mert itt a rendszer mozgási energiáját a robbanószer kémiai energiája változtatta meg. Pontrendszerre vonatkozó mechanikai energia megmaradásának tétele: Zárt mechanikai rendszerben, ha nincsenek disszipatív erők, akkor a kölcsönhatás előtt a rendszer összes mechanikai energiája egyenlő a kölcsönhatás utáni összes mechanikai energiával. Ha ΣF külső =0 és F disszipatív =0, akkor ΣE mech,előtt =ΣE mech,után 5.6 Ütközések Ütközéskor a testek egymásra viszonylag rövid ideig jelentős erőt fejtenek ki egymásra, Ezt a hatást pillanatszerűnek tekintjük. Ütközés normálisa: Az érintkezési felületre állított merőleges

Centrális ütközés: Az ütközési normális átmegy mindkét test tömegközéppontján. Egyenes ütközés: A sebességvektorok az ütközés normálisával párhuzamosak. Abszolút rugalmatlan ütközés: A testek összekapcsolódnak, a sebességük közössé válik. Rugalmatlan ütközés: A mechanikai energia egy része másfajta energiává alakul át. Abszolút rugalmas ütközés: A testek szétpattannak, és nincs mechanikai energiaveszteség. Tökéletesen rugalmatlan centrális egyenes ütközés: A rendszer impulzusa változatlan marad. m1 v m 1 2 v2 I. Ha a kezdeti sebességeket v, az ütközés utáni sebességeket u betűvel jelöljük, akkor a 5.6 ábra irányai és jelölései alapján a lendületmegmaradás törvénye: m1+m2 u m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = (m1 + m2 ) ⋅ u II. Ebből a közös sebesség kifejezhető: m ⋅ v + m2 ⋅ v 2 u= 1 1 5.6 ábra m1 + m2 24 A mechanikai energia csökkenése: 1 1 1  ∆E = (m1 + m2 )u 2 −  m1 v12 + m2 v 22  (A

pillanatszerű változás miatt a potenciális 2 2 2  energia állandó marad) Tökéletesen rugalmas centrális egyenes ütközés: Az 5.7 ábra alapján felírhatjuk a mozgási energia megmaradását és a m1 v m 1 2 lendületmegmaradást: v2 I. 1 1 1 1 m1 v12 + m2 v 22 = m1u12 + m2 u 22 2 2 2 2 m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ u1 + m2 ⋅ u 2 m1 u m2 Egyszerűsítés után rendezzük úgy az 1 u2 II. egyenleteket, hogy a bal oldalon legyenek az 1 indexű, a jobb oldalon pedig a 2 indexű tagok: m1 v12 − u12 = m2 u 22 − v 22 5.7 ábra m1 v1 − u1 = m2 u 2 − v 2 ( 2 2 ( ( ) )( ( ) ) ( ) ) A v − u = v − u v + u azonosság figyelembevételével a két egyenletet elosztva egymással: : v1 + u1 = v 2 + u 2 tehát az ütközés előtti sebességek összege egyenlő az ütközés utáni sebességek összegével. Ebből u 2 -t kifejezve és az impulzus-megmaradás tételbe visszahelyettesítve: m1 v 1 − u 1 = m2 (v 1 + u 1 − v 2 ) − v 2 , (m − m2 ) v1 +

2m2 v 2 u1 = 1 amelyből m1 + m2 ( ) ( ) 25 6. A harmonikus rezgőmozgás 6.1 A harmonikus rezgés kinematikája A rezgés tágabb értelemben egy fizikai mennyiség egyensúlyi helyzet körüli ingadozása. Villamos rezgés például a hálózati váltakozó feszültség. Mechanikai rezgést végez a rugóra akasztott test, ha egyensúlyi helyzetéből kitérítjük és magára hagyjuk. Harmonikus rezgésről beszélünk, ha a kitérés az időnek szinuszos függvénye. A harmonikus rezgés jellemzői: Kitérés (y): Az egyensúlyi helyzettől mért távolság. Amplitúdó (A): A legnagyobb kitérés. Periódusidő (T): Egy teljes rezgés ideje (Egy teljes rezgés két, egymást követő azonos fázisú állapot között megy végbe. Az azonos fázis azt jelenti, hogy a rezgő test ugyanott van, és ugyanabba az irányba mozog.) 1 Frekvencia (f): Megadja az időegység alatti rezgések számát. [1/s=Hz] f = T ω =2⋅π⋅f = 2⋅π / T [1/s] Körfrekvencia (ω): A

frekvencia 2⋅π-szerese: Minden harmonikus rezgéshez található egy olyan egyenletes körmozgás, amelynek a merőleges vetülete együtt mozog a rezgő testtel. R A y α 6.1ábra A 6.1 ábrán az α szöghöz tartozó y kitérés a körmozgás alapján: y=R⋅sinα, de R=A és α=ω⋅t, így a rezgés kitérése: y(t)=A⋅sin(ω⋅t) . Ha a t = 0 időpontban a kitérés nem zérus, akkor y(t)=A⋅ sin(ω⋅t+ϕ 0 ) , ahol ϕ 0 a kezdeti fázis. A kitérés idő szerinti első deriváltja adja a sebességet, v(t)= y (t ) = A⋅ω⋅cos(ω⋅t+ϕ 0 ) , ahol a legnagyobb sebesség: v max = A⋅ω . Vizsgáljuk a nulla kezdőfázisú rezgést! Ekkor a sebesség: v=Aωcosωt=��√1 − ���2 �� = �√�2 − �2 ���2 �� = ���2 − � 2 Tehát a sebesség – hely függvény: �(�) = ���2 − � 2 A sebesség idő szerinti deriváltja a gyorsulás, a= –A⋅ω 2⋅sin(ω⋅t+ϕ 0 ) ahol a legnagyobb gyorsulás: a max = A⋅ω 2 .

Nyilvánvalóan fennáll az a = – ω 2⋅ y összefüggés (gyorsulás – hely függvény), azaz a gyorsulás (és, mint nemsokára látni fogjuk, a mozgást létrehozó erő is) a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú. 6.2 A csillapítatlan harmonikus rezgés dinamikája Helyettesítsük be a mozgásegyenletbe (F=m⋅ a) a gyorsulást: F= –m⋅ω2⋅ y 26 A harmonikus rezgés dinamikai feltétele, hogy az eredő erő a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú legyen. Ezt a feltételt kielégíti a rugóerő: F = − D ⋅ y Az erő két kifejezését egyenlővé téve a rugón rezgő test körfrekvenciáját kapjuk meg: D m A rezgés periódusideje: T = 2π –m⋅ω0 2⋅ y = –D⋅ y, és ebből ω 0 = m D �0 = 1 � � 2� � A szabadrezgés frekvenciája (sajátfrekvencia): A rezgés kialakulásához 2 energiatároló szükséges. Csillapítatlan rezgés esetén – nincs súrlódás, közegellenállás – a rezgő rendszer

összes energiája állandó. Szélső helyzetben a sebesség zérus, a kitérés pedig maximális (y=A), ezért csak rugalmas 1 energia van: E összes = D ⋅ y 2 2 A középső, egyensúlyi helyzetben a kitérés zérus, a sebesség pedig maximális, csak moz1 2 gási energia van: E összes = m ⋅ v max 2 1 1 Egy tetszőleges kitérésnél rugalmas és mozgási energia is van: E összes = D ⋅ y 2 + m ⋅ v 2 2 2 Szabadrezgés: Akkor jön létre, ha a rezgőképes rendszerrel energiát közlünk, majd magára hagyjuk. Kényszerrezgés: Akkor keletkezik, ha a rezgőképes rendszert periodikus erővel gerjesztjük. 6.3 Csillapított szabadrezgés 6.31 Coulomb féle csillapítás: a csillapító erő a súrlódás, állandó nagyságú Vízszintes talajon rugóhoz rögzített test végezzen csillapított szabadrezgést. A szélső helyzetben meglevő rugalmas energia a másik szélső helyzetig a súrlódási munkával csökken: 1 �(�12 − �22 ) = ���(�1 + �2 ) 2 Az

(�12 − �22 ) = (�1 + �2 )(�1 − �2 ) azonosság alapján egyszerűsítve 2��� az egymást követő ellentétes oldali amplitúdók különbsége: �1 − �2 = állandó. � A frekvencia nem változik a csillapítatlan esethez képest. A1 A2 6.2 ábra 27 6.32 Sebességgel arányos csillapítás: Kis sebességek esetén ilyen a közegellenállás csillapítása (pl olajfilmen csúszó rezgő alkatrész csillapítása) Kis csillapítási tényező esetén exponenciálisan csillapodó amplitúdójú rezgést kapunk. A csillapítási tényezőt β vagy ξ (kszí) görög kisbetűkkel szokás jelölni. Ha a sebességgel arányos csillapítóerő ��� = ��, akkor C megadja a csillapítóerő és a sebesség hányadosát. � A csillapítási tényező: � = 2� A csillapodó rezgés időfüggvénye: �(�) = �0 � −�� sin (��� � + �0 ) A 0 – szélső helyzetből indítva a kezdeti amplitúdó ω cs – a csillapított

körfrekvencia (tehát ilyenkor nem csak az amplitúdó változik, hanem a frekvencia is): ��� = ��02 − � 2 6.3 ábra A csillapítás különböző esetei: a.) Exponenciális csillapodás jön létre, ha β2<ω 0 2 (kicsi a csillapítás) b.) Aperiodikus határeset β=ω 0 , a szélső helyzetből induló tömegpont a legrövidebb idő alatt áll meg úgy, hogy már éppen nem lép át az egyensúlyi helyzet másik oldalára c.) Aperiodikus csillapodás β2>ω 0 2 (nagy a csillapítás), a test lassan kúszik az egyensúlyi állapot felé. 6.4 Kényszerrezgés állandó amplitúdójú, időben szinuszosan változó gerjesztő erő hatására A rezgő rendszer kénytelen felvenni a gerjesztő erő frekvenciáját, és bizonyos amplitúdónál egyensúlyi rezgés alakul ki Csillapítatlan esetben ez az amplitúdó annál nagyobb, minél közelebb van a gerjesztő erő frekvenciája a rendszer sajátfrekvenciájához. Egyenlőség esetén végtelen nagy amplitúdó

jönne létre. 28 A valóságban mindig van csillapítás. Kis csillapítás esetén az amplitúdó akkor maximális, ha a gerjesztő erő frekvenciája egyenlő a rendszer sajátfrekvenciájával Ezt az állapotot rezonanciának nevezzük A rezonancia akkor hasznos, ha nagy energiát akarunk átvinni egyik rendszerből a másikba. Pl egy autót ki akarunk tolni a kátyúból, először meghintáztatjuk, vagy a sok különböző rádióadó közül egy hangolható rezgőkörrel választjuk ki a venni kívánt adó frekvenciáját A rezonancia káros is lehet. Például az autóban meghatározott sebességnél (fordulatszámnál) búgó hangot hallunk, ami kisebb és nagyobb sebességnél is elhalkul Ilyenkor valami rosszul rögzített alkatrész rezonál. Nincs kellő csillapítás, és a mosógép centrifugáláskor elkezd ugrálni Rezonanciakatasztrófa: A rezonancia miatt kis csillapítás esetén olyan nagy amplitúdójú rezgés jöhet létre, hogy a rendszer nem bírja ki,

szétesik. Ez vezetett a Takoma-híd katasztrófájához is Nagy csillapítás esetén a rezonanciagörbe maximuma f 0 –nál kisebb frekvencián jön létre. Az amplitúdó annál kisebb, minél távolabb van a gerjesztőerő frekvenciája a rezonanciafrekvenciától. A rezgés fázisban késik a gerjesztő erőhöz képest 7. Merev testek A merev test olyan idealizált kiterjedt test, amelynek pontjai a ráható erők hatására egymáshoz képest nem mozdulnak el. Egy végtelen sok pontból álló kötött pontrendszernek tekinthető 29 Helyzetét a térben 3 nem egy egyenesen elhelyezkedő pontja határozza meg. Ez 9 koordinátát jelent, de csak 6 független egymástól, mert a pontok közötti távolság állandó 7.1 Rögzített tengely körül forgó merev test dinamikája A rögzített tengely körül forgó merev test pontjai egymással párhuzamos síkokban mozognak. 7.11 Rögzített tengely körül forgó merev test perdülete Osszuk fel a merev testet nagyon kicsi

térfogatelemekre. A tengelyre vonatkozó impulzusmomentumát megkapjuk az egyes térfogatelemek perdületeinek összegeként: n n n i =1 i =1 i =1 N = ∑ ri ⋅mi ⋅ v i = ∑ ri ⋅mi ⋅ ri ⋅ ω = ∑ mi ⋅ ri 2 ⋅ ω = Θ ⋅ ω A képletekben r i az i-edik térfogatelemnek a tengelytől mért távolságát, m i a tömegét, ω a szögsebességét jelenti (ω =állandó). n Tehetetlenségi nyomaték (Θ ): Θ = ∑ mi ⋅ ri 2 mértékegysége: kg⋅m2, skalár mennyiség i =1 A tehetetlenségi nyomaték a tömegelemek tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatékainak összege. 7.12 A testek tehetetlenségi nyomatéka A pontszerű test tehetetlenségi nyomatéka a fenti definíció alapján: Θ =m⋅ r2 Két tömegpontot kössünk össze egy elhanyagolható tömegű merev rúddal. Ennek a merev testnek a tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton d átmenő tengelyre vonatkoztatva (a tengely merőleges a tömegpontokat összekötő egyenesre):Θ=m 1 ⋅ r 1 2

+ m 2 ⋅ m2 m1 r22 TKP Az ezzel a tengellyel párhuzamos, tőle d távolságra levő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a 7.1 ábra jelöléseivel: r1 r2 Θ=m 1 ⋅ (r 1 +d)2 + m 2 ⋅ (r 2 -d)2 A négyzetre emelés elvégzése és kiemelés után: 7.1 ábra Θ=m 1 ⋅ r 1 2 + m 2 ⋅ r 2 2 +(m 1 +m 2 )⋅d2 +2⋅d⋅(m 1 ⋅r 1 -m 2 ⋅r 2 ) A tömegelemek elsőrendű nyomatékainak összege a tömegközéppontra vonatkoztatva nulla, azaz m 1 ⋅ r 1 -m 2 ⋅ r 2 =0, ezért az utolsó tag zérus. A tömegközépponton átmenő tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték: Θ=m 1 ⋅ r 1 2 + m 2 ⋅ r 2 2 +(m 1 +m 2 )⋅ d2 =Θ TKP +m⋅ d2 . A kapott összefüggés általában is igaz és Steiner tételnek nevezzük: : Θ=Θ TKP +m⋅ d2 . Ha ismerjük egy test tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát, akkor a vele párhuzamos, tőle d távolságra levő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi

nyomaték egyenlő a tömegközépponti tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték, plusz a rendszer összes tömegének és a tengelytávolság négyzetének szorzata. Ennek következménye, hogy az egymással párhuzamos tengelyek közül a tömegközépponti tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. Ha azonos ponton átmenő különböző irányú tengelyekre számítjuk ki a tehetetlenségi nyomatékot, akkor azt tapasztaljuk, hogy három egymásra merőleges tengely esetén ennek helyi szélsőértéke van. Ezeket a tengelyeket főtengelyeknek, az ezekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. 30 Általában egy test adott tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka integrálással számítható ki: Θ = ∫ ρ(V) ⋅ r 2 dV V ρ(V) – helyi sűrűség, r – a dV infinitezimális térfogatelem távolsága a tengelytől. A rögzített tengely körül forgó merev test perdülete: N=Θ⋅ω

Néhány szabályos homogén test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő tengelyre vonatkoztatva: 1 Hosszú vékony rúd, a tengely merőleges a rúdra: Θ = m ⋅ l 2 12 1 Tömör henger, korong, a tengely a szimmetriatengely: Θ = m ⋅ R 2 2 2 Tömör gömb: Θ = m ⋅ R 2 5 7.13 Rögzített tengely körül forgó test mozgásegyenlete A merev test kötött pontrendszernek tekinthető. Írjuk fel a pontrendszerre a perdület-tételt: ∆N Θ ⋅ ω 2 − Θ ⋅ ω1 ∆ω M = = = Θ⋅ = Θ⋅β ∆t ∆t ∆t A kapott összefüggés a forgómozgás mozgásegyenlete: M = Θ ⋅ β A szöggyorsulás okozója a testre ható eredő forgatónyomaték. A forgatónyomaték és a szöggyorsulás egyenesen arányosak, arányossági tényező a test forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. Ez az összefüggés analóg a haladó mozgásra vonatkozó mozgásegyenlettel: F=m⋅ a A két egyenletet összehasonlítva azt látjuk, hogy a forgómozgás esetén

a tehetetlenség mértéke a tehetetlenségi nyomaték. Ez nem csak a tömegtől függ, hanem attól is, hogy a tömegelem milyen messze van a forgástengelytől 7.14 A forgási energia (rotációs energia) 1 2 ⋅ mi ⋅ v i i =1 2 A rögzített tengely körül forgó test minden pontja azonos szögsebességgel forog, ezért v i =r i ⋅ω n A pontrendszer mozgási energiája: : E m = ∑ n 1 1 Ezt behelyettesítve: E rot = ∑ mi ⋅ ri 2 ⋅ ω 2 = Θ ⋅ ω 2 2 i =1 2 1 A forgási (rotációs) energia: E rot = Θ ⋅ ω 2 2 Ha az F erő karja r, és ∆s úton munkát végez a rögzített tengely körül forgó testen, akkor a végzett munka: W=F⋅∆s=F⋅ r⋅∆ϕ=M⋅∆ϕ, tehát a végzett munka a forgatónyomaték és a szögelfordulás szorzatával egyenlő. A munkatétel alapján ez a munka egyenlő a test forgási (rotációs) energiájának megváltozásával: M ⋅ ∆ϕ = ∆E rot 7.2 Merev test síkmozgása A merev test síkmozgása azt jelenti, hogy pontjai

egymással párhuzamos síkokban mozdulnak el. 31 A merev test mozgása mindig összetehető a tömegközéppont haladó mozgásából (transzláció), és a tömegközéppont körüli forgásból (rotáció). Ez a mozgás úgy is vizsgálható, hogy felírjuk a tömegközéppont haladó mozgására a mozgásegyenletet, és a tömegközéppont körüli rotációra a forgómozgás mozgásegyenletét: ∑ F = m ⋅ aTKP és ∑ M = ΘTKP ⋅ β A lejtőn csúszásmentesen gördülő henger: A hengerre ható erők a 7.2 ábrán láthatók A forogva haladó mozgást két mozgásegyenlettel írhatjuk le. A tömegközéppont haladó mozgásának mozgásegyenlete: F p − Fts = m ⋅ a , ahol F p =mg⋅ sinα A tömegközéppont körüli forgás mozgásegyenlete: Fts ⋅ r = Θ ⋅ β , mert a többi erő hatásvonala átmegy a tömegközépponton. Csúszásmentes esetben a henger szélső pontjai érintőirányú gyorsulásának meg kell egyeznie a tömegközéppont gyorsulásával: a =

r ⋅ β Fny Fts Fn α Fp mg ⋅ sin α − Fts = ma a Fts ⋅ r = Θ r 7.2 ábra Ebből az egyenletrendszerből a tömegközéppont mg ⋅ sin α gyorsulása: a = Θ m+ 2 r Θ ⋅ a mg ⋅ sinα A tapadási súrlódási erő: Fts = 2 = r mr 2 1+ Θ Az ehhez szükséges súrlódási tényező abból a feltételből számítható ki, hogy µ 0 ⋅ mg ⋅ cos α ≥ Fts Csúszva gördülés esetén: nem áll fent az a = r ⋅ β összefüggés, viszont a súrlódási erő erőtörvényét ismerjük: F s =µmg mg α 7.3 Merev test egyensúlyának feltételei Egyensúly esetén a merev testnek semmilyen gyorsulása nincs. Ez akkor lehetséges, ha a ráható erők eredője nulla, és a ráható forgatónyomatékok egy tetszőleges tengelyre vonatkoztatva nulla: és ∑F = 0 ∑ M =0 D’Alembert-elv (e.: dalamber-elv): A mozgásegyenlet: ΣF=m∙a Átalakítva: ΣF – m∙a=0 A gyorsuló rendszerben fellépő – m∙a erőt tehetetlenségi erőnek nevezzük. Ennek az erőnek nincs

ellenereje. Ha benne vagyunk a gyorsuló rendszerben, akkor érezzük ezt a tehetetlenségi erőt, viszont a rendszerhez képest egyensúlyban vagyunk (az eredő erő a tehetetlenségi erővel együtt zérus). Ezt az egyensúlyt kinetikai egyensúlynak is szokás nevezni A tehetetlenségi erőt érezzük akkor, amikor egy autó gyorsít, és nekinyomódunk a háttámlának, vagy amikor fékez,és előredőlünk, vagy amikor a kanyarban kifelé dőlünk. 32 Ezen elv segítségével a dinamikai feladatokat egyensúlyi feladatokra vezethetjük vissza, ami sokszor leegyszerűsíti a feladatok megoldását. 7.4 Fonalinga (matematikai inga) Elhanyagolható tömegű nyújthatatlan fonal végére rögzítsünk egy kis méretű testet (tömegpontot). A fonal másik végét l 7.3 ábra rögzítsük, majd a testet stabil egyensúlyi helyzetéből kicsit α kitérítve engedjük el. Az inga állandó periódusidejű lengésbe Fk jön. y A 7.3 ábra alapján az ingára a nehézségi erő és a

kötélerő hat, melyek eredője érintő irányú a szélső helyzetben, és nagysága F é =m⋅ g⋅sinα. m⋅g y A kitérés: y=l⋅sinα, amiből = sin α m⋅g⋅sinα l Kis kitérés esetén az érintőirányú erő és a kitérés közelítőleg y m⋅ g ellentétes irányú, így írhatjuk, hogy Fé = − m ⋅ g ⋅ = − ⋅y l l Ez az összefüggés a harmonikus rezgés dinamikai feltételének felel meg (az erő a kitéréssel egyenesen arányos és ellentétes irányú), ezért Fé = −mω 2 ⋅ y 2π g A két egyenlet jobb oldalainak egyenlővé tételéből , így ω 2 = , de ω = l T l a kis kitérésű fonalinga lengésideje: T = 2π ⋅ g 7.5 A fizikai inga tengely α s k 7.4 ábra β= l α TKP mF mg m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin α M = F Θ pill mF ⋅ l 2 Ha egy merev testet a súlypontja fölötti tengely körül kis kitérésű lengésbe hozunk, fizikai ingát kapunk. Minden fizikai ingához található egy olyan matematikai inga, amelyik vele együtt leng. A

7.4 ábrán látható fizikai ingára ható nehézségi erő M=m⋅ g⋅ s⋅sinα nagyságú forgatónyomatékot fejt ki a tengelyre. A fizikai inga szöggyorsulása: M m ⋅ g ⋅ s ⋅ sin α β= = Θ pill Θ pill A vele együtt lengő fonalinga szöggyorsulása: Az együttlengő ingák szöggyorsulásai is megegyeznek, amiből Ebből a fizikai inga redukált hossza: l r = Θ pill m⋅s 33 m⋅ g ⋅s g = , Θ pill l A fonalinga lengésidejére vonatkozó képlet segítségével a fizikai inga lengésideje: Θ pill T = 2π ⋅ m⋅ g ⋅s 8. Deformációk, térfogati és felületi erők, Hooke-törvény Külső erők hatására a testek megváltoztatják alakjukat, térfogatukat. Ezt deformációnak nevezzük Rugalmas deformációról beszélünk akkor, ha a külső erők megszűntetése után a test visszanyeri eredeti alakját, méreteit. Egyéb esetben maradó alakváltozásról beszélünk Arányossági tartomány: A rugalmasság határán belül létezik egy olyan

tartomány, ahol a deformáció mértéke, azaz a relatív méretváltozás egyenesen arányos a deformációt okozó hatással. Térfogati erők: A melyek egy vizsgált kis térfogatelem minden pontjában hatnak Ilyenek például a nehézségi erő és a gyorsuló rendszerben fellépő tehetetlenségi erők (centrifugális erő, stb) Felületi erők: Egy vizsgált kis térfogatelemet határoló felületeken hatnak. Ilyenek a külső nyomásból származó és a súrlódásból (belső súrlódásból is) származó erők. Deformációk fajtái: • Nyújtás: Két, közös hatásvonalú, egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, kifelé irányuló erővel hatunk a testre. • Összenyomás: Közös hatásvonalú, egyenlő nagyságú, ellentétes irányú befelé mutató erők hatására jön létre. Ez történhet meghatározott irányban, vagy minden irányból. F -F 34 • Nyírás: Két egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, nem egy egyenesbe eső párhuzamos

hatásvonalú erő egymáson elcsúsztatja az anyag rétegeit. • Hajlítás: Egyik végén befogott rudat a hossztengelyére merőleges erővel veszünk igénybe. (Más megvalósítási lehetőségek is vannak, de azok erre visszavezethetők) A hajlító nyomaték hatására a rúd úgy deformálódik, hogy lesz egy olyan semleges (neutrális) szál, aminek csak az alakja változik, de a hosszúsága nem. Ennek ellentétes oldalain húzó illetve nyomó igénybevétel jön létre. • Csavarás (torzió): Akkor jön létre, ha egy rudat a hossztengelyébe eső két ellentétes irányú egyenlő nagyságú forgatónyomatékkal veszünk igénybe. Ennek hatására az egyes rétegek elcsúsznak egymáson, az egymással párhuzamos lapok között φ elcsavarodási szög jön létre. 8.1 Nyújtás, egyirányú összenyomás, Hooke-törvény Vizsgáljuk először a lineáris nyújtást! A hosszváltozás (Δl) egyenesen arányos a húzóerővel (F) és a kezdeti hosszúsággal (l 0 )

(hiszen ha egy adott hosszúságú darab megnyúlik, akkor kétszer akkorra darab mindkét része ugyananynyival nyúlik meg), fordítottan arányos a rúd keresztmetszetével, (A) arányossági tényező a Young-modulus (E) reciproka: 1� ∆� = 0 � �� ∆� Jelöljük a relatív hosszváltozást ε (epszilonnal): � = �0 Az egységnyi keresztmetszetre jutó húzóerőt húzófeszültségnek � nevezzük és σ (szigma)-val jelöljük: � = � Hooke-törvény: σ=Eε 35 A húzófeszültség egyenesen arányos a relatív megnyúlással, arányossági tényező az anyagra jellemző Young-modulus. A Young-modulus mértékegysége N/m2=Pa, értékét az anyag kristályrácsára vonatkozó adatok határozzák meg. Egy rúd nyújtásakor nem csak a hossza növekszik, hanem közben a keresztmetszete csökken is. A keresztirányú hosszméret relatív csökkenését kontrakciónak nevezzük A kontrakció egyenesen arányos a relatív megnyúlással, arányossági tényező

az anyagra jel∆� lemző Poisson-szám (μ) (e.: poászon): = −�� �0 A negatív előjel azt fejezi ki, hogy nyújtáskor a rúd keresztirányú méretei csökkennek. A Poisson-szám értéke 0 és 0,5 közé eshet. A Hooke-törvény egyirányú összenyomáskor is ér vényes, de ekkor a húzófeszültség (σ ) helyébe a nyomás (p) kerül: p=Eε Az összenyomó erők hatásvonala tökéletesen nem esik egybe, illetve egy rúd belső szerkezete nem tökéletesen azonos mindenütt. Ezek miatt bizonyos nyomásnál kihajlás jön létre, a rúd meggörbül, esetleg el is törik. 8.2 Kompresszió (minden irányból történő összenyomás) A környezet nyomásának hatására egy szerkezeti elemet minden irányból deformálunk (pl.: mély vízbe tesszük). Ilyenkor a relatív térfogatváltozás egyenesen arányos és ellentétes irányú a nyomásváltozás∆� sal, arányossági tényező a kompresszibilitás (κ) (kappa): = −��� �0 3(1−2�) A három anyagi

állandó között fennáll, hogy � = � 8.3 Nyírás A nyírás mértékét az ábrán látható Θ [rad] nyírási szög1� gel jellemezhetjük: � = , ahol G a nyírási vagy �� torziós modulus (csavarásnál is ezt a jellemzőt használják). Az erő és a vele párhuzamos felület hányadosát csúsztató (nyírási) feszültségnek nevezzük (τ). τ=GΘ A nyírási modulus és a Young-modulus nem � függetlenek egymástól:� = 2(1+�) 9. Folyadékok 9.1 Hidrosztatika: Nyugvó folyadékok mechanikája A folyadékok felveszik az edény alakját, de a térfogatuk csak nehezen változtatható meg. Ennek oka, hogy nyugvó folyadékokban nyíróerők nem léphetnek fel A folyadékoknak kicsi a szakítószilárdságuk, ami a felületi feszültséggel kapcsolatos, viszont nagy a nyomószilárdságuk, csak kismértékben nyomhatók össze. A folyadékok szabad felszíne a térfogati erők eredőjére merőleges, hiszen nem ébred bennük nyíróerő. A térfogati erők a

nehézségi erő és gyorsuló rendszerben a tehetetlenségi erő (-m∙a) Ennek következménye,hogy a nyugvó folyadékok szabad felszíne vízszintes, és a kevergetett tea szabad felszíne forgásparaboloid. 36 h Pascal-törvény: A folyadékokban a külső nyomás minden irányban egyenletesen és gyengítetlenül terjed. Ezen alapul a hidraulikus emelő működése Hidraulikus emelő: A kisebb A 1 felületű dugattyút F 1 erővel lenyomva a baloldali szelep1 lezár, a jobboldali szelep 2 kinyit, és az olaj a nyomóhengerből a munkahengerbe áramlik, a teher emelkedik. A nyomóhenger dugattyúját felemelve a szelep 2 zár, szelep 1 nyit, és a kiegyenlítő tartályból olaj áramlik a nyomóhengerbe. Az elemi folyamat így sokszor megismételhető. A Pascal-törvény értelmében a nyomóhengerben és a munkahengerben a nyo�1 � más egyenlő, tehát = 2 , ahonnan a �1 �2 �1 teher emeléséhez szükséges emelőerő: �1 = � , vagyis a felületek arányában

csökken �2 2 az emeléshez szükséges erő. Munkát azonban nem tudunk megtakarítani, hiszen ha h 1 -gyel süllyed a nyomóhenger dugattyúja, akkor h 2 -vel emelkedik a munkahengeré. A két hengerben a hidraulika-olaj térfogatváltozása azonos, tehát A 1 h 1 =A 2 h 2 �2 � A két hengerben végzett munka egyenlő: �1 ℎ1 = �2 ℎ2 = �1 1 ℎ1 �1 �2 Hidrosztatikai nyomás: A folyadékoszlop súlyából származó nyomás, egyenesen arányos a folyadék sűrűségével és a folyadékoszlop magasságával, arányossági tényező a gravitációs gyorsulás: p H =ρ f gh A folyadék belsejében a tényleges nyomás a hidrosztatikai nyomás és a külső nyomás összege: p=p külső +p H sával. Hidrosztatikai paradoxon: Robert Boyle magyarázta meg azt a jelenséget, hogy egy edény alján a hidrosztatikai nem a folyadék mennyiségétől függ. Az ábrán mindhárom edényben azonos folyadék van ugyanaddig a magasságig, ezért a fenéklapra ható nyomás is

azonos. A hengeres edényben ez egyenlő a folyadék súlyának, és az alaplap felületének a hányadoA felfelé táguló edényben az alaplapra szintén csak a fölötte levő folyadék súlya hat, a többi folyadékot a ferde oldalfalak tartják. A szűkülő edényben kevesebb folyadék van. Mivel a folyadék nyomóerőt fejt ki az oldalfalra, és az merőleges a felületre, az edény oldalfala egy ferdén lefelé ható megoszló ellenerőt fejt ki a folyadékra. Ennek vízszintes komponensei kiegyenlítik egymást, a függőleges komponensek 37 eredője pedig éppen a hiányzó folyadék súlyát pótolja. A nyugvó folyadék belsejében a szabad felszín alatt h mélységben a nyomás egyenlő a külső nyomás és a hidrosztatikai nyomás összegével: p=p 0 +ρ f gh Hidrosztatikai felhajtóerő (Arkhimédész törvénye): Merítsünk egy hasáb alakú testet folyadékba az ábra szerint. A hidrosztatikai nyomásból származó, az oldallapokra ható erők eredője zérus.

Az alsó és felső alaplapokra ható erők különbsége a hidrosztatikai felhajtóerő: F f =(ρ f gh 2 - ρ f gh 1 )A= ρ f g(h 2 -h 1 )A=ρ f gV be , ahol V be a test bemerülő részének térfogata. A hidrosztatikai felhajtóerő egyenesen arányos a folyadék sűrűségével és a bemerülő rész térfogatával, arányossági tényező a gravitációs gyorsulás. 9.2 Felületi feszültség A folyadékok részecskéi között összetartó erő van, mert különben nagyon gyorsan elpárologna. Ez az erő rövid hatótávolságú, mert a gőzrészecskék között már ez nem számottevő Ez az erő tartja össze a folyadékcseppeket, a lebegő cseppeket gömb alakúvá húzza össze. Az egynemű részecskék között ható erőt kohéziós erőnek nevezzük. Az esőcseppek alakját a kohéziós erő és a közegellenállás együttesen határozzák meg. A különböző fajta részecskék közötti vonzóerő az adhéziós erő. Ha tiszta üveglapot vízbe mártunk, majd

kiemeljük, az üveg nedves marad, mert az adhéziós erő nagyobb a kohéziós erőnél. Azt mondjuk, hogy a víz nedvesíti az üveget. A zsíros üvegen a víz kis cseppekbe húzódik össze, ami könnyen lepereg róla, vagyis a zsírt nem nedvesíti a víz, mint ahogyan a higany sem az üveget. A folyadék belsejében levő részecskékre ható kohéziós erők kiegyenlítik egymást. A szabad felszínnél levő részecskékre ható kohéziós erők eredője a folyadék belseje felé mutat, ami akadályozza a párolgást, a minimálisra igyekszik összehúzni a felületet. Természetesen a felszíni részecskékre egyéb erők is hatnak (a belső részecskék tartóereje, külső nyomásból származó erő), az eredő erő időátlagban zérus. A felületi feszültség következménye, hogy egy zsilettpenge óvatosan a víz felületére fektethető úgy, hogy nem süllyed le, vagy a molnárka a víz felületén tud szaladgálni. A szappanbuborékot is a felületi feszültség

tartja össze. Az ábrán látható szappanhártya húzóereje a mozgatható huzal és a nehezék súlyának összegével tart egyensúlyt. Mivel a hártyának két oldal la van, az F húzóerő 2l hosszúsággal egyenesen arányos, az arányossági tényező a felületi feszültség (α): � =∝∙ 2 ∙ � A felületi feszültség a folyadék anyagi minőségétől és a hőmérséklettől függ, megadja az egységnyi hosszúságú határvonal mentén fellépő húzóerőt. 38 A saját gőzével érintkező folyadék szabad felszínének megnövelése munkavégzést igényel. A befelé irányuló kohéziós erővel szemben kell a felszínre jutni a folyadék részecskéinek. A szabad felszín dAval történő megnövelése dW munkavégzést igényel, ezért növekszik a felszíni részecskék összes potenciális energiája. A keret l hosszúságú mozgó részét dx-szel elmozdítva a felületváltozás: dA=2ldx (két oldalon növekszik a felület) A közben végzett munka:

dW=Fdx=α2ldx. �� � � � Ebből a felületi feszültség: ∝= = mértékegysége: = �� � �2 � A felületi feszültség megadja a saját gőzével érintkező folyadék szabad felszínének egységnyi megnöveléséhez szükséges energiát. A felületi feszültség az adott peremfeltételek között mindig a szabad felület minimalizálását okozza. Határfelületi feszültségről akkor beszélünk, ha a folyadék nem a saját gőzével érintkezik. Nedvesítő és nem nedvesítő folyadékok Θ folyadék szilárd Θ folyadék szilárd Ha egy vízszintes szilárd lapon a folyadékcsepp szétterül, akkor a folyadék nedvesíti a testet. A kohéziós erők befelé húzzák a folyadék részecskéit, gömb alakká akarják öszszehúzni a cseppet. Az adhéziós erők pedig a szilárd lap felé húzzák a cseppet. A nedvesítés mértékét a Θ (theta) nedvesítési peremszöggel jellemezzük. Ha a peremszög 90 °-nál kisebb,akkor a folyadék nedvesíti a

szilárd testet, 0 °-nál beszélünk tökéletes nedvesítésről. 39 Ha a folyadék nedvesíti az edény függőleges falát, akkor a falnál fölfelé kúszik, a szabad felszín fölülről nézve homorú. A fal irányába mutató nagyobb adhéziós erő, és a folyadék belseje irányába mutató kisebb kohéziós erő eredőjére merőleges a szabad felszín az edény falával való érintkezés helyén. Ha a kohéziós erő nagyobb, az adhéziós erő kisebb, akkor az eredő erő a folyadék belseje felé mutat, a szabad felszín fölülről nézve domború. 9.3 Kapilláris jelenségek R ε r Θ Ha egy folyadék nedvesíti egy cső anyagát, akkor vékony csövekben a szabad felszínnél magasabbra emelkedik (pl. víz üvegcsőben), ha pedig nem nedvesíti, akkor lesüllyed (pl. higany üvegcsőben). Ezt a görbületi (kapilláris) nyomásból származó erő okozza. A kapilláris emelkedés teszi lehetővé a fák tápanyagfelszívását. Először vizsgáljunk meg egy

szappanbuborék gömbhártyát! Ha a sugarát dr-rel megnöveljük, akkor a görbületi nyomás változása elhanyagolható, de megnövekszik a felületi energia, mert a külső és belső felület is megnövekszik. p G 8πR2dR=α8π[(R+dR)2 – R2] 2∝ Egyszerűsítés után és dR2 ≈0 figyelembevételével a görbületi nyomás: �� = � Kapilláris emelkedésnél a folyadékoszlop hidrosztatikai nyomásával a görbületi nyomás tart 2∝ � � egyensúlyt: �� �ℎ = és � = = � ���� ���� 2∝∙���� Ebből a kapilláris emelkedés: ℎ = , �� ∙�∙� ahol r – a kapilláris cső sugara, Θ - illeszkedési szög A végzett munka: dW=FdR= αdA 9.4 Folyadékok áramlása Az ideális folyadék súrlódásmentes és összenyomhatatlan. Áramlás szempontjából mindaddig, amíg a hang terjedési sebességét nem közelíti meg az áramlás sebessége, a gázok is ideális folyadéknak tekinthetők Áramlási cső: Ahol az áramlás

létrejön. Az áramlást a sebességével jellemezhetjük, ami a hely és az idő függvénye: v=f(r,t) Stacionárius áramlás: időben állandó áramlás, azaz az áramlási tér kiválasztott pontjában a sebesség minden pillanatban ugyanakkora. Általános esetben a közeg sűrűsége és nyomása is a hely és idő függvénye. Áramlási vonalak: sűrűségük az áramlás sebességével arányos, érintőjük pedig megadja a vizsgált pontban a sebesség irányát. 40 Áramlás intenzitása: Megadja az áramlási cső keresztmetszetén időegység alatt átáramlott közeg térfogatát: I=dV/dt=d(As)/dt=A(ds/dt)=Av 9.41 Kontinuitási törvény Összenyomhatatlan közegű stacionárius áramlás esetén az áramvonalakra merőleges keresztmetszeteken időegység alatt ugyanannyi folyadék áramlik át: �� = á�����ó �� A 1 v1 = A 2 v2 Ezzel magyarázható, hogy ha az öntöző slag végét elszűkítjük, akkor a víz nagyobb sebességgel áramlik ki,

messzebbre tudunk locsolni. 9.42 Bernoulli egyenlet Alkalmazzuk a munkatételt (az összes erő munkája egyenlő a közeg mozgási energiájának megváltozásával) a rajzon látható áramlási csőre! p 1 A 1 Δx 1 – p 2 A 2 Δx 2 – mg(y 2 -y 1 )=0,5m(v 2 2-v 1 2) A 1 Δx 1 = A 2 Δx 2 =V , ezért p 1 V+mgy1 +0,5mv 1 2= p 2 V+mgy2 +0,5mv 2 2 , vagyis a nyomási energia, a helyzeti energia és a mozgási energia összege állandó. Osszuk el mindkét oldalt a térfogattal: p 1 +ρgy1 +0,5ρv 1 2= p 2 +ρgy2 +0,5ρv 2 2 A statikus nyomás, a magassági nyomás és a torló nyomás összege állandó. Ennek következménye, hogy vízszintes áramlás esetén a nagyobb sebességű helyen csökken a nyomás. 9.43 Súrlódásos áramlások Az összenyomhatatlan közegű súrlódásos áramlások esetén a súrlódás miatt áramlási veszteség lép fel. Ez a Bernoulli egyenletben azt jelenti, hogy az áramlás irányában nyomásesés (nyomásveszteség) keletkezik: p 1 +ρgh 1

+0,5ρv 1 2= p 2 +ρgh 2 +0,5ρv 2 2+Δp A Δp nyomásesés megadja, hogy az ideális folyadék áramlásához képest mennyivel csökken a nyomás az áramvonal vé- 41 gén a belső súrlódás miatt. Nem egyenlő a statikus nyomások különbségével! A térfogategységre vonatkoztatott energiaveszteséget adja meg A folyadékok belső súrlódását a viszkozitásukkal jellemezhetjük. Newton megállapította, hogy a valódi folyadékban ébredő csúsztatófeszültség (nyírófeszültség) az áramlásra merőleges hosszegységre jutó sebességváltozással (sebesség-gradiens) egyenesen arányos és ellentétes irányú, arányossági tényező a közeg dinamikai viszkozitása: �� � = −� �� � Dinamikai viszkozitás: � = �� a nyírófeszültség és a sebesség gradiens hányadosa. Mér�� tékegysége: [Pas] [pascal * secundum] � Kinematikai viszkozitás: (ν) [e. nű]: � = � a dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa

Mértékegysége: [ ��� � �2 �2 �� �3 = �2 � ] Lamináris (réteges) áramlás: A közeg egymás melletti rétegei eltérő sebességűek. Határréteg: Az áramló valódi közegnek az a tartománya, amelyben az áramlási sebesség a szilárd testnél levő zérus értékről az áramlásra jellemző maximumig növekszik. z v határréteg Lamináris áramlásnál a csúsztatófeszültségből származó erő egyenlő a nyomásesésből származó erővel. Zárt, kör keresztmetszetű csővezetékben áramló közegnél:�2��� = −��� 2 � �� −� 2��� = −��� 2 � �� Egyszerűsítés és a változók szétválasztása után a sebességváltozás: ∆� �� = ��� 2�� integrálás után: � ∆� � ∆� ∫0 �� = 2�� ∫0 � �� = 4�� � 2 azaz a se- besség a cső közepe felé a távolság négyzetével egyenesen arányosan növekszik, tehát térben egy forgásparaboloid

szerint változik. Az átlagos sebesség a maximális sebesség fele Az ábrán látható, hogy ha egy csővezetékbe belépés helyén az áramlás zavartalan, akkor a távolság (csőhosszúság) növekedésével fokozatosan alakul ki a cső teljes keresztmetszetében a lamináris áramlás. Reynolds-szám: Re=vl/ν az áramlási sebesség és az áramlási csőre jellemző hosszméret szorzatának (itt a cső átmérője) és a kinematikai viszkozitásnak a hányadosa [puszta szám]. Ha a Reynolds-szám Re>2300, akkor nem jöhet létre lamináris áramlás, hanem turbulens, örvénylő áramlás alakul ki. 42 10. Hőtan (termodinamika) 10.1 Hőtani alapfogalmak Hőmérséklet: A hőmérséklet fogalma a hőérzetünk alapján alakult ki. A különböző állapotú testeket hidegnek vagy melegnek érezzük, néha fázunk, néha melegünk van A hőérzet azonban szubjektív Ha pl. egyik kezünket meleg, a másikat hideg vízben tartjuk, majd mindkettőt langyos vízbe

tesszük, akkor az egyik kezünkkel ezt melegnek, a másikkal hidegnek érezzük Az is megfigyelhető, hogy a testek fizikai tulajdonságai megváltoznak, ha a hőérzetünk változik. Ezek a fizikai tulajdonság változások már lehetővé teszik a hőmérséklet mérését A termodinamika nulladik főtétele: Legyen egy A és egy B test. Egy kis méretű harmadik testet (C) – ami csak elhanyagolhatóan változtatja meg a másik testek hőállapotát – hozzunk termikus egyensúlyba először az A, majd a B testtel. Ha C fizikai tulajdonságai a két esetben megegyeznek, akkor az A és B testek egymással hőegyensúlyi állapotban vannak, hőmérsékletük egyenlő. Ezt a tapasztalati tényt a termodinamika nulladik főtételének nevezzük. Ha a C test fizikai tulajdonságai a két esetben eltérőek, akkor A és B hőmérséklete is különböző. A hőmérséklet mérésére a C test fizikai tulajdonságainak változásai alkalmasak A Celsius-féle hőmérsékleti skála két

alappontja normál légköri nyomáson a jég olvadáspontja (0 °C) és a víz forráspontja (100 °C). Ha higanyos hőmérőt termikus egyensúlyba hozunk az alappontokat meghatározó testekkel, és megjelöljük az egyensúlyi állapotokban a higany szintjét, majd a kapott távolságot 100 egyenlő részre osztjuk, akkor megkapjuk a Celsius-féle hőmérsékleti skálát. A °C-ban mért hőmérséklet jele: t Ha különböző kezdeti állapotú gázok nyomását vizsgáljuk a hőmérséklet függvényében állandó térfogaton, akkor azt tapasztaljuk, hogy csökkenő hőmérséklettel lineárisan csökken a nyomásuk is. A kezdeti állapottól függetlenül azonos hőmérsékleten lenne a nyomásuk nulla W. Thomson (Lord Kelvin) javasolta, hogy a Celsius-féle beosztást megtartva a skála kezdőpontját ide célszerű eltolni Az így kapott hőmérséklet a termodinamikai vagy abszolút hőmérséklet. Jele: T, mértékegysége: kelvin [K] A két skálán a változás azonos,

tehát: ∆T=∆t A kezdőpontok különbsége miatt T=(t+273) [K] A hőmérséklet állapotjelző, csak a test állapotától függ, nem függ az anyagától vagy a méretétől. Az anyagok részecskéi rendezetlen mozgást végeznek. A testek abszolút hőmérséklete az egy részecskére jutó átlagos rendezetlen mozgási energiával arányos. Hőmennyiség (Q): A hőmennyiség egy energiafajta, ami a hőfolyamatok során egyik testről a másiknak adódik át, vagy más energiafajtából állítható elő. A tapasztalat szerint két különböző hőmérsékletű test érintkezésekor a hidegebb felmelegszik, a melegebb pedig lehűl Eközben a melegebb test hőenergiát, hőmennyiséget ad át a hidegebbnek. Ha két testet összedörzsölünk, a súrlódás miatt felmelegszenek. Ha egy ellenálláson villamos áramot vezetünk át, akkor is melegedést tapasztalunk Ezekben az esetekben is hőenergia fejlődik. A testek által felvett hőenergia növelheti a testek részecskéinek

átlagos mozgási energiáját (hőmérsékletét), megváltoztathatja a részecskék közötti kapcsolatokat, a részecskék egymáshoz viszonyított potenciális energiáját (halmazállapot változás, fázisátalakulás), de fordítódhat munkavégzésre is. A hőmennyiség nem állapotjelző, hanem útfüggvény (A hőmennyiség 44 attól is függ, hogy milyen úton, milyen állapotváltozásokon keresztül jutott a test a kezdeti állapotból a végállapotba.) Belső energia (U): Egy test belső szerkezetével, belső tulajdonságaival összefüggő energiát belső energiának nevezzük. Egy test belső energiája a részecskék rendezetlen mozgási energiáinak és egymáshoz viszonyított potenciális energiáinak összege A belső energia összetett állapotjelző Térfogati munka (W): Egy hengerbe zárt gáz térfogatát csökkentsük a 10.1 ábrának megfelelően úgy, hogy közben a gáz nyomása ne változzon meg (nagyon lassú és kicsi elmozdulás, és közben a

gázt hűteni kell) A gázon végzett munka: ∆W=F⋅ ∆s. Ha a dugattyú egyenletesen mozog, akkor F=–p⋅ A, mert a dugattyúra a gáz nyo∆s mása kifelé ható erőt fejt ki. A gázon végzett munka így: F A ∆W= –p⋅ A⋅ ∆s= – p⋅ ∆V ∆V Differenciálisan kicsi elmozdulás esetén: dW= – p dV, V2 10.1 ábra ill. W = − ∫ pdV V1 Ez azt jelenti, hogy ha ismerjük a nyomást a térfogat függvényében, akkor a grafikon alatti terület megadja a térfogati munka abszolút értékét. A térfogati munka összenyomáskor pozitív (∆V negatív), táguláskor negatív előjelű. A térfogati munka nem állapotjelző, hanem útfüggvény 10.2 Hőmérők A gyakorlatban használnak a folyadékos hőmérőkön (higanyos, alkoholos) kívül ellenállás-, ikerfémes-, hőelemes-, tenziós, termokolor festékes és egyéb hőmérőket is. Magas hőmérsékletek mérésére a sugárzásmérésen alapuló pirométerek alkalmasak Ellenállás-hőmérők: • fém:

néhány tized mm átmérőjű platina ( - 200 °C ÷ 1000 °C) vagy nikkel huzalt ( - 60 °C ÷ 180 °C)használnak a gyakorlatban fém tokban elhelyezve, melynek ellenállás-változása egyenesen arányos a hőmérsékelt-változással. �� = �0 (1+∝ ∆�) R 0 – az alaphőmérsékleten mért ellenállás, α – ellenállás hőfoktényező Szélesebb hőmérsékleti tartományban a Taylor-sor második, esetleg harmadik hatványú tagját is figyelembe kell venni pontos mérések esetén. • Félvezető NTK ellenállás (termisztor): Exponenciális karakterisztikával rendelkezik. �� = �� � � T – termodinamikai (abszolút) hőmérséklet [K] Az A és B anyagi állandókat az egyenlet logaritmálása segítségével határozhatjuk meg: � 1 ���� = ��� + � (lne=1), vagyis ���� = � � + ��� Ha az abszolút hőmérséklet reciproka függvényében ábrázoljuk az ellenállás természetes alapú logaritmusát,akkor az

egyenes meredeksége megadja B értékét [1/K] mértékegységben, és ln A az lnR t tengellyel való metszéspont. Az ellenállás változását általában egy Wheatstone-híd (e.: vícton-híd) kiegyenlítő áramával értékelik ki. A tárcsatermisztor kb 1 cm átmérő- 10.2 ábra 45 jű fémtárcsán levő félvezető bevonat, a gyöngytermisztor gombostűfejnél kisebb félvezető érzékelő üvegcsőben, a rúdtermisztorok különböző hosszúságú és átmérőjű félvezető rudak. Az NTK termisztorok csak meghatározott kis áramerősséggel vehetők igénybe, különben az áram fűtő hatása miatt megváltozik az ellenállásuk. • Félvezető PTK termisztorok: Báriumtitanátból, fémoxidokból, fémszulfidokból készített polikristályos szerkezetű kerámiák, melyek ellenállása bizonyos hőmérsékleti tartományban jelentősen növekszik. Porkohászati úton rúd, henger vagy tárcsa, esetleg gyöngy formában készülnek. Ezeket is

hőmérsékletmérés céjából csak nagyon kis árammal terhelhetjük, hogy a fűtőhatás elhanyagolható legyen. Az ábrán a „b” jelleggörbe a külső elektromos tér hatását mutatja, mely az ellenállás növekedési meredekségét és maximumát is csökkenti. Hőelem: Ha két különböző anyagú fém egyik végét egymáshoz rögzítjük, akkor a másik két szabad vég között az érintkezési hely és a szabad végek közötti hőmérséklet különbségével arányos feszültség jön létre. A vas-konstantán termoelemek -200 °C- +1000 °C hőmérséklet-tartományban használhatók (A konstantán 55 % Cu és 45% Ni ötvözet.) A forrasztási pont hőmérsékletét 1 °C-kal növelve, 0,00005 V termofeszültség-növekedés adódik A réz-konstantán termoelem -200 és +600 °C hőmérséklethatárok közt alkalmazható, 1 °C hőmérsékletváltozásra 0,00004 V feszültségváltozást ad. Tudományos vizsgálatoknál +1700 °C-ig platina-platinaródium, illetve

a nikkelkrómnikkel (0 °C-tól +1200 °C-ig) termoelemeket használják A kereskedelemben kapható termoelemek vékony vezetékeit egymástól elszigetelve, fémtokba zárják. A könnyebb felismerhetőség céljából a termoelemeket egyezményes színjelzésekkel látják el (A rézkonstantán termoelem színe barna, a vas-konstantáné kék, a nikkel-krómnikkelé zöld, a platina- platinaródiumé fehér) Termoelemeket alkalmaznak például gázkonvektorokban lángőrként. (A gyújtóláng melegíti a hőelem érintkezési helyét, és a termofeszültség egy mágnesszelepet kinyit. Ha a gyújtóláng kialszik a mágnesszelep elejt, elzárja a gázt.) • Tenziós hőmérők: folyadék, gőz vagy gáz hőmérsékletváltozás miatt bekövetkező nyomásváltozását használják a hőmérséklet mérésére. • Termocolor festékek: Viszonylag kis hőmérsélet-változás hatására megváltoztatják a színüket. Ilyen festékeket használnak üvegpoharak színének

megváltoztatására,ami jelzi, hogy kellően hideg-e az ital, vagy lázmérők is készülnek ilyen festékekkel. • Pirométerek: Magas hőmérsékletek mérésére alkalmas hőmérők. Az optikai pirométerek a színhőmérséklet összehasonlításának elvén működnek. Ha egy izzószál hőmérsékletét változtatjuk a rajta átfolyó árammal, és egy távcsövön keresztül nézzük a magas hőmérsékletű sugárzó tárgyat is (pl. izzó vasat, fémolvadékot), akkor a szín egyezésekor az izzószál eltűnik a háttérben. Az izzószál fűtőáramának mérésével a hőmérséklet meghatározható. Az összsugárzásmérő pirométerek termoelem, vagy több hőelemből álló termooszlop által elnyelt sugárzásból keletkező hőmennyiség melegítő hatását használják hőmérséklet mérésére. • 46 A különböző hőmérsékleti tartományokban eltérő fizikai tulajdonságok változásait használjuk a hőmérséklet mérésére. 10.3 Állapotjelzők

Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyek a rendszer egyensúlyi állapotát egyértelműen meghatározzák, állapotjelzőknek nevezzük. Ha megváltozik a rendszer állapota, akkor az állapotjelzők értéke csak az új állapottól függ, és nem függ attól, hogy milyen állapotváltozásokon keresztül jutott a rendszer ebbe az állapotba. Ilyen pl a hőmérséklet, a nyomás, a térfogat, stb Azokat a mennyiségeket, amelyek értéke függ attól, hogy egy rendszer milyen változásokon keresztül került az új állapotba, útfüggvényeknek nevezzük. Ilyen pl a hőmennyiség és a térfogati munka. Extenzív állapotjelzők: Azokat az állapotjelzőket, amelyek a rendszereket elválasztó szigetelések megszűntetésekor összeadódnak, extenzív állapotjelzőknek nevezzük. Ilyenek például a tömeg, részecskeszám, anyagmennyiség, térfogat, belső energia Intenzív állapotjelzők: Azokat az állapotjelzőket, amelyek az egyensúlyi rendszereket elválasztó

szigetelések feloldásakor kiegyenlítődnek, intenzív állapotjelzőknek nevezzük. Ilyenek pl a hőmérséklet és a nyomás A gázok állapotjelzői: – Térfogat (V): A tárolóedény térfogatát tekintjük az ideális gáz térfogatának. – Nyomás (p): Abból származik, hogy a gázrészecskék az edény falával abszolút rugalmasan ütköznek, és közben erőt fejtenek ki az edény falára: F N  , ha F ⊥ A , mértékegysége:  2  = [Pa ] pascal p= A m  – Hőmérséklet (T ): Az egy részecskére jutó átlagos mozgási energiával arányos – Anyagmennyiség (n): 6,02⋅1023 db részecske = 1 mol (Avogadro-szám: N A =6,02⋅1023 1/mol) N m – Részecskeszám (N ) , = n= NA M ahol M – moláris tömeg [kg/mol], mely megadja 1 mol anyag tömegét. – Sűrűség (ρ): ρ=m/V 10.4 Szilárd testek és folyadékok hőtágulása Térfogati hőtágulás: Ha szilárd testeket vagy folyadékokat melegítünk, akkor megváltozik a térfogatuk. A legtöbb

esetben növekvő hőmérséklettel a térfogat növekszik (Eléggé közismert az is, hogy a víz térfogata 4 °C alatt csökkenő hőmérséklettel növekszik) A térfogatváltozás (∆V) egyenesen arányos a kezdeti térfogattal (V 0 ) és a hőmérsékletváltozással (∆t): ill. V=V 0 (1+β⋅ ∆t) ∆V = β ⋅ V0 ⋅ ∆t β – térfogati hőtágulási tényező, mely megadja, hogy 1°C hőmérsékletváltozás mekkora ΔV V0 1 1 = Δt K °C A térfogati hőtágulást használjuk pl. a folyadékos hőmérőkben Az üreges testek hőtágulásakor az üreg ugyanúgy tágul, mint ha ott is anyag lenne. Mivel a hőmérsékletváltozás nem okozza a testek tömegének változását, a hőtágulás a tes- relatív térfogatváltozást okoz. β = Mértékegysége: 47 ρ0 m m = = V V0 ⋅ (1 + β ⋅ ∆t ) 1 + β ⋅ ∆t A víz megfagyásakor bekövetkező térfogat növekedés okozza télen az utak fagykárait. Lineáris hőtágulás: Hosszú, vékony, rúdszerű testek

esetén a keresztirányú kezdeti méretek kicsik, ezért az ilyen irányú hosszváltozások is elhanyagolhatók. Az ilyen testeknél csak a hosszméret változása (∆l) számottevő, ami a kezdeti hosszúsággal (l 0 ) és a hőmérsékletváltozással (∆t) egyenesen arányos: ∆l = α ⋅ l 0 ⋅ ∆t , ill. l=l 0 (1+α⋅ ∆t) tek sűrűségét is megváltoztatja: ρ= α – lineáris hőtágulási tényező, mely megadja, hogy 1°C hőmérsékletváltozás mekkora re- 1 1 Adott anyag esetén β≅3α = K °C A lineáris hőtágulást hasznosítják pl. az ikerfémeknél Két különböző hőtágulási tényezőjű fémet egymásra hengerelnek, és egyik végét rögzítik. Növekvő hőmérséklet hatására a nagyobb hőtágulási együtthatójú fém jobban megnyúlik, ezért a szabad vég a kisebb hőtágulási tényezőjű fém felé elhajlik. Gyakran használják a hőtágulást csapágyak tengelyvégre való rögzítésekor. A tengelyt lehűtik, majd ráhúzzák a

csapágyat A tengely felmelegedésekor a csapágy rászorul A hordókra az abroncsot felmelegítve húzzák rá, ami lehűléskor összeszorítja a dongákat. latív hosszváltozást okoz. Mértékegysége: 10.5 Az ideális gázok állapotegyenletei Az ideális gázoknál a részecskék egymással és az edény falával abszolút rugalmasan ütköznek. Két ütközés között egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek, tehát egymásra ilyenkor nem fejtenek ki erőt. Ezt a mozgást rendezetlen hőmozgásnak nevezzük, mert az ütközések miatt a részecskék sebességének mind a nagysága, mind az iránya változik, az átlagsebesség nagysága pedig a hőmérséklettől függ. Ilyen mozgást végeznek a porszemek, ami a sötét szobában keseny réseken beszűrődő fényben figyelhető meg (Thundall-jelenség e: tündál) 10.51 Boyle – Mariotte törvény (izoterm állapotváltozás) Ha egy jó hővezető anyagból készített mozgatható falú tartályban a bezárt gáz

térfogatát nagyon lassan változtatjuk úgy, hogy a gáz hőmérséklete állandó maradjon, akkor azt tapasztaljuk, hogy a nyomás és a térfogat szorzata állandó: p⋅ V= állandó, ha p T=állandó és n=állandó. Ez azt jelenti, hogy a gáz nyomása és térfogata között fordított arányosság van: T2 állandó , ha n = állandó és p= izotermák V T=állandó. A p - V diagramon ez hiperboT1 lákat eredményez. A magasabb hőmérséklethez tartozó hiperbola feljebb van Ezeket a görbéket izotermáknak nevezzük. Az izotermák egymást nem metszik V Ilyen izotermák láthatók a 10.3 ábrán 10.3 ábra Az állandó mennyiségű gáz állandó hő- 48 mérsékleten bekövetkező állapotváltozását izoterm állapotváltozásnak nevezzük. 10.52 Gay-Lussac I törvénye (izobár állapotváltozás) Izobár állapotváltozás: Az állandó mennyiségű gáz állandó p nyomáson végbemenő állapotváltozása (n=állandó és p=állandó). Ha egy jó hővezető

anyagból készült mozgatható falú tartályp ban a gázt nagyon lassan összenyomjuk és közben hűtjük úgy, hogy a nyomás állandó maradjon, vagy a gázt lassan melegítjük, miközben a külső nyomás állandó, akkor azt tapasztaljuk, hogy a gáz térfogatának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó: V1 V2 V V = állandó , ha n=állandó és p=állandó T 10.4 ábra Ez azt is jelenti, hogy a térfogatváltozás és a hőmérsékletváltozás között egyenes arányosság van: ∆V = β ⋅ V0 ⋅ ∆t ill. V=V 0 (1+β⋅ ∆t) 1 Ha az alaphőmérséklet 0 °C, akkor a gáz anyagi minőségétől függetlenül β = 273°C Ennek az állapotváltozásnak a p – V diagramja látható a 10.4 ábrán 10.53 Gay-Lussac II törvénye (izochor állapotváltozás) Izochor (izokór) állapotváltozás: Állandó mennyiségű gáz állandó térfogaton bekövetkező állapotváltozása (n=állandó és V=állandó). p Ha egy zárt, merev, hővezető falú tartályban

levő gázt melegíp2 tünk, akkor a gáz nyomásának és abszolút hőmérsékletének hányadosa állandó: p = állandó , ha n=állandó és V=állandó p1 T Ez azt is jelenti, hogy a nyomásváltozás egyenesen arányos a V V hőmérsékletváltozással és a kezdeti nyomással. ∆p = β ⋅ p 0 ⋅ ∆t 10.5 ábra Ha az alaphőmérséklet 0 °C, akkor a gáz anyagi minőségétől függetlenül az arányossági tényező ebben az 1 . esetben is β = 273°C Ennek az állapotváltozásnak a p – V diagp ramja látható a 10.5 ábrán p1 T1 10.54 Az általános gáztörvény A p 1, V 1 , T 1 kezdeti állapotú állandó T2 mennyiségű gázt juttassuk el a p 2, V 2, T 2 végállapotba. Mivel a kezdeti és végállapop2 tot is az állapotjelzők határozzák meg, a két állapot között tetszőleges utat választhatunk. Legyen az útfüggvény a 7.4 ábra szerinti izobár majd izoterm folyamat. V1 V2 V Az első változásra felírhatjuk, hogy V V1 V 10.6 ábra = , a másodikra

pedig hogy T1 T2 p1 ⋅ V = p 2 ⋅ V2 . 49 Ha a két egyenletet összeszorozzuk, majd V-vel egyszerűsítünk, akkor megkapjuk az állandó mennyiségű ideális gázokra vonatkozó általános gáztörvényt: p1 ⋅ V1 p 2 ⋅ V2 p ⋅V = , ill.: = állandó T1 T2 T Mérések alapján a fenti egyenlet jobb oldalán levő állandó értéke 1 mol gáz esetén a gáz J . fajtájától függetlenül R ≈ 8,31 mol ⋅ K n mol gáz esetén az állandó értéke n⋅ R. R – univerzális (egyetemes; moláris) gázállandó, mely csak a mértékrendszertől függ, a gáz fajtájától, mennyiségétől független. m Ideális gázok állapotegyenlete: p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T = ⋅ R ⋅T M m Mindkét oldalt V-vel osztva, és a sűrűség értelmezését figyelembe véve ( ρ = )kapjuk az V ρ állapotegyenlet másik alakját: p = ⋅ R ⋅T M p ⋅V Az állapotegyenletet átrendezve kapjuk, hogy = R = állandó n ⋅T p ⋅V p ⋅V Ebből az általános gáztörvény nem állandó

mennyiségű gáz esetén: : 1 1 = 2 2 n1 ⋅ T1 n2 ⋅ T2 11. A termodinamika I főtétele Nyílt folyamatok 11.1 Az ideális gázok belső energiája. Az ekvipartíció –tétel Az ideális gázok belső energiaváltozása kiszámítható a ∆U=Q=c v ⋅ m⋅ ∆T képlettel. Ha T 0 =0 hőmérsékleten U 0 =0, akkor az ideális gázok belső energiája: U= c v ⋅m⋅T Az ideális gázok belső energiája azonban a modell alapján is kiszámítható. Szabadsági fok ( f ): Egy részecske szabadsági fokán azt értjük, hogy a mozgása hány egymástól független mozgásból tehető össze. Más megfogalmazásban a szabadsági fok megadja, hogy a részecske hány négyzetes energiataggal leírható energiát tárol (Négyzetes energiatagok: mozgási energia, forgási energia, rugalmas energia) Egyatomos gázok esetén f=3. A gázatomot ugyanis úgy tekinthetjük, hogy az elhanyagolható méretű, de nagy tömegű atommagot elhanyagolható tömegű elektronfelhő veszi körül

Egy ilyen részecske csak haladó mozgást (transzláció) végezhet, a sebessége pedig a tér három irányába mutató sebességkomponensből tehető össze. Ha z egy részecske tömege µ, akkor a tárolt energia: 1 1 1 1 µ r r µ E = µ ⋅ v 2 = µ ⋅ v 2x + µ ⋅ v 2y + µ ⋅ v 2z 2 2 2 2 y Kétatomos gázok esetén f=5. A kétatomos molekulát a súlyx zómodellel jellemezhetjük. A két atom magjában van két jelentős 11.1 ábra tömeg, és őket összeköti az elhanyagolható tömegű merev rúdnak tekinthető elektronfelhő. Olyan ez, mint a súlyemelők súlyzója (111 ábra) 50 Egy ilyen részecske a haladó mozgáson kívül foroghat is. A tér három irányába mutató sebességkomponens 3 szabadsági fokot jelent Az atommagokat összekötő szakasz két egymásra merőleges felezőmerőlegese körüli forgás újabb 2 szabadsági fokot jelent (az ábrán az x és 1 1 z tengely körüli forgás) A forgási energia E x = E z = Θ ⋅ ω 2 = ⋅ 2 ⋅ µ ⋅ r 2

⋅ ω 2 2 2 A harmadik tengely (az ábrán az y tengely) körüli forgás nem tárol energiát, mert r≈ 0, a tengely átmegy a magokon, a tehetetlenségi nyomaték zérus. 1 Ekvipartíció-tétel (egyenlő rész elv): Minden részecske minden szabadsági fokára k ⋅ T 2 energia jut. k – Boltzmann-állandó. f Az N részecskéből álló ideális gáz belső energiája: U = ⋅ N ⋅ k ⋅ T 2 f Mivel N⋅ k=n⋅ R, a belső energia az U = ⋅ n ⋅ R ⋅ T képlettel is kiszámítható. 2 11.2 A termodinamika I főtétele Az általános energia-megmaradás elve A termodinamika I. főtétele: Egy test belső energiájának megváltozása (∆U) egyenlő a közölt hőmennyiség (Q) és a testen végzett térfogati munka (W) összegével: ∆U=Q+W A felvett hőmennyiség, és az összenyomáskor végzett munka pozitív előjelű. A térfogati munka negatív értékét tágulási munkának (W t ) nevezzük: Wt = – W A hőtan I. főtétele a tágulási munkával: Q= ∆U+ W t Ezt

az alakot a hőerő gépészek szeretik elsősorban. Fizikai tartalma: A gázzal közölt hőmennyiség (a tüzelőanyag elégetése során fejlődött hőenergia) tágulási munkát végez, egy része pedig a gáz belső energiáját növeli. Ez a törvény nem vezethető le, de ezzel ellentéteset még senki nem tapasztalt. Az általános energia-megmaradás elve: Zárt rendszerben a folyamatok jellegétől függetlenül a rendszer összes energiája állandó. Nyitott rendszer esetén ez azt jelenti, hogy a rendszer energiája pontosan annyival változik, amennyi a környezetből felvett vagy leadott energia. Energia tehát nem keletkezhet, és nem is tűnhet el. 11.3 A fajhő és a fázisátalakulási hők A termodinamika I. főtétele alapján egy test belső energiaváltozása egyenlő a közölt hőmennyiség és a testen végzett munka összegével Mivel a belső energia állapotjelző, a változása is csak a kezdeti és végállapottól függ Ha szilárd testeket vagy

folyadékokat melegítünk, akkor a test térfogata kis mértékben változik. Eközben a test a környező közeg nyomása ellenében munkát végez A kicsi térfogatváltozás miatt azonban ez a munka nem számottevő, így jó közelítéssel azt mondhatjuk, hogy a felvett hőmennyiség a test belső energiáját növelte: ∆U≈Q. A melegedéskor felvett hőmennyiség (Q) egyenesen arányos a test tömegével (m) és a hőmérsékletváltozással (∆t) A különböző anyagok esetén az arányossági tényező méréssel határozható meg. Ezt az anyagi állandót fajhőnek nevezzük (c), ami megadja, hogy mennyi hőenergia kell az 1kg tömegű anyag hőmérsékletének 1 °C-kal való megváltoztatásához Q=c⋅ m⋅ ∆t A C=Q/∆t mennyiséget hőkapacitásnak nevezzük, melynek mértékegysége: J/kg. 51 Gázok fajhői: Gázok esetén a térfogatváltozás jelentős lehet, ezért a munkavégzés nem mindig elhanyagolható. A hőmennyiség útfüggvény, ezért azonos

kezdeti és végállapotok esetén a felvett hőmenynyiség attól is függ, hogy a gáz milyen állapotváltozásokon keresztül jutott az kezdetiből a végállapotba. Állandó térfogaton nincs munkavégzés, ezért Q=∆U. Ezt a hőmennyiséget az előzőhöz hasonlóan számíthatjuk, de a fajhőt állandó térfogaton mért fajhőnek (c v ) nevezzük: ∆U= Q=c v ⋅ m⋅ ∆t Ha a hőfelvétel állandó nyomáson történik, akkor azonos hőmérsékletváltozáshoz a belső energia megváltoztatásán kívül még munkát is kell végezni, ezért több hőre van szükség. A felvett hőmennyiség ilyenkor Q=c p ⋅ m⋅ ∆t Egy gáz állandó nyomáson mért fajhője (c p ) mindig nagyobb, mint az állandó térfogaton mért fajhő. Állandó nyomáson a felvett hőmennyiség: Q= ∆U+ W t = c v ⋅ m⋅ ∆T + p⋅ ∆V= c v ⋅ m⋅ ∆T + n⋅ R⋅ ∆T A fenti két egyenletből: c p ⋅ m⋅ ∆T= c v ⋅ m⋅ ∆T + n⋅ R⋅ ∆T m és ill.: c p ⋅ m⋅ ∆T – c v ⋅

m⋅ ∆T = n⋅ R⋅ ∆T n= M R Ezekből a két fajhő különbsége: c p − cv = M Fázisátalakulás, halmazállapot-változás Ugyanaz az anyag különböző körülmények között eltérő halmazállapotban fordul elő, de egy kristályos anyag belső szerkezete is eltérő lehet. A kénnek pl két allotrop módosulata van, egy rombuszos ill. egy monoklin szerkezet A grafit és a gyémánt is szénatomokból áll,de eltérő A halmazállapot vagy a belső szerkezet megváltozását fázisátalakulásnak is nevezzük. A fázisátalakulás állandó hőmérsékleten megy végbe, és hőfelvétellel vagy hőleadással jár. Ez a hőmennyiség egyenesen arányos az anyag tömegével, és függ az anyag fajtájától: Q=L⋅m Az L arányossági tényező a fázisátalakulási hő, amit halmazállapot-változáskor az átalakulás fajtájától függően olvadáshőnek (L o ), párolgáshőnek (L p ), vagy forráshőnek (L f ), nevezünk. Mértékegysége J/kg Megadja az 1 kg

tömegű anyag halt mazállapotának megváltoztatásához szükséges hőmennyiséget. párolgás forrás tf Olvadás fagyás to szilárd Szilárd + folyadék folyadék gőz Folyadék + gőz Q 11.2 ábra 52 Ha egy szilárd testet lassan melegítünk, a felvett hőmennyiség függvényében a hőmérséklete és a halmazállapotai a 11.2 ábrának megfelelő módon változik Ha a test halmazállapota nem változik, akkor a felvett hőmenynyiség a test hőmérsékletét növeli, a részecskék átlagos mozgási energiája növekszik Ha halmazállapot-változás vagy fázisátalakulás van, akkor a felvett energia a részecskék egy- máshoz viszonyított potenciális energiáját változtatja meg, a test hőmérséklete állandó. 11.4 Nyílt folyamatok ideális gázokkal Azt a folyamatot, amelynek végén a rendszer eredeti állapotába kerül vissza, körfolyamatnak nevezzük. Azt a folyamatot, amelynek végén a rendszer az eredetitől eltérő állapotba kerül,

nyílt folyamatnak nevezzük. 11.41 Izoterm folyamat Állandó mennyiségű gáz állandó hőmérsékleten végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy ilyen változásnál a p⋅ V szorzat állandó. Mivel állandó a hőmérséklet, ∆T=0, ezért a belső energia sem változik, ∆U=0 A termodinamika I. főtétele alapján a felvett hőmennyiség munkavégzésre fordítódik: Q= –W V2 A gázon végzett munka kiszámítható a W = ∫ − pdV összefüggéssel. Az állapotegyenletből V1 p= V2 V 1 n ⋅ R ⋅T , ezért W = −n ⋅ R ⋅ T ∫ dV = −n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2 V V V1 V1 Tehát izoterm állapotváltozáskor a gázon végzett munka: V p W = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 1 = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2 V2 p1 11.42 Izobár folyamat Állandó mennyiségű gáz állandó nyomáson végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy V ilyen esetben a hányados állandó. T A gázon végzett térfogati munka: W= – p⋅(V 2 –V 1 )=n⋅R⋅ (T 2 –T 1 ), mert a nyomás

állandó, és p⋅ V=n⋅ R⋅ T f m f A belső energia változása: ∆U = cv ⋅ m ⋅ ∆T = ⋅ ⋅ R ⋅ ∆T = ⋅ p ⋅ ∆V , 2 M 2 mert a belső energia állandó gázmennyiség esetén csak a hőmérséklettől és a gáz fajtájától függ. f R Ebből az egyenletből az állandó térfogaton mért fajhő: cv = ⋅ 2 M A felvett hőmennyiség: Q=c p ⋅ m⋅ ∆T, valamint az I. főtétel alapján Q=∆U + p⋅ ∆V Az I. főtételbe a belső energia-változást és a végzett munkát behelyettesítve: f f +2 f +2 Q = ⋅ p ⋅ ∆V + p ⋅ ∆V = ⋅ p ⋅ ∆V = ⋅ n ⋅ R ⋅ ∆T 2 2 2 f +2 R Ezekből kapjuk az állandó nyomáson mért fajhőt: c p = ⋅ 2 M cp f +2 A két fajhő hányadosát adiabatikus kitevőnek (κ) nevezzük: κ = = cv f 53 11.43 Izochor (izokór) folyamat Állandó mennyiségű gáz állandó térfogaton végbemenő állapotváltozása. Már láttuk, hogy p ilyen esetben a hányados állandó. T A térfogat állandósága miatt nincs

elmozdulás, ezért nincs munkavégzés sem: W=0 A belső energia változása egyenlő a felvett hőmennyiséggel: ∆U=Q=c v ⋅ m⋅ ∆T 11.44 Adiabatikus folyamat Az adiabatikus állapotváltozásnál a rendszer és környezete között nincs hőcsere. Ez nagyon jó hőszigetelő falú tartály esetén valósítható meg, ill. ha a változás nagyon gyors, és nincs idő a hőcserére. p adiabata Adiabatikus folyamatnak tekinthető, amikor a szódás szifon patronját kibökjük, és a széndioxid gáz hirtelen kitágul. Azt T2 tapasztaljuk, hogy a gáz lehűl, mert a végizotermák zett tágulási munka a saját belső energiáját csökkenti. Adiabatikusnak tekinthető az is, amikor T1 a pumpában hirtelen összenyomjuk a levegőt, ami ekkor felmelegszik, mert a gázon végzett munka növeli a gáz belső energiáját. V Az adiabatikus állapotváltozásnál tehát: 11.3 ábra Q=0 ∆U=W=c v ⋅ m⋅ ∆T Az adiabatikus változást a p – V síkon a 11.3 ábra mutatja Az

adiabata meredekebb, mint az izotermák, ezért metszi őket Ha egy differenciálisan kicsi térfogatváltozást vizsgálunk, akkor a nyomást állandónak tekinthetjük. Ekkor a végzett munka kifejezhető a nyomással, de ez egyenlő a belső energia megváltozásával is, mert Q=0: – pdV= c v ⋅ mdT (11.1 ) m R ⋅ R ⋅T m ⋅ ⋅T R M Az állapotegyenletből p = M , valamint = c p − cv = V V M m ⋅ (c p − c v ) ⋅ T Ezekből p = V m ⋅ (c p − c v ) ⋅ T Visszahelyettesítve a 8.1 egyenletbe: − dV = cv ⋅ mdT V cp Mindkét oldalt c v ⋅ m – mel osztva, és figyelembe véve, hogy = κ kapjuk, hogy cv κ −1 1 − dV = dT V T κ −1 1 Mindkét oldalt integrálva: − ∫ dV = ∫ dT V T Az integrálást elvégezve: − (κ − 1) ln V = ln T + ln C , C – integrálási konstans 54 e-adik hatványra emelve mindkét oldalt: V −(κ −1) = T ⋅ V κ −1 Ebből Mivel T= p ⋅V , n⋅R ezért 1 = CT V κ −1 = állandó ( 11.2 ) p ⋅ V κ =

állandó ( 11.3 ) Tκ A 11.2 és 113 egyenletekből V eliminálásával kapjuk, hogy: κ −1 = állandó p 11.5Reális gázok Telítetlen és telített gőzök Az ideális gázok térfogatán a tároló edény térfogatát értettük. A valóságban a gáz részecskéinek van saját térfogatuk is, ezért a mozgáshoz rendelkezésre álló hely ennél kisebb A térfogat csökkenése arányos a részecskék számával (N ), ill. a gáz tömegével (m) és függ a gáz fajtájától. A valódi gázrészecskék egymásra gyenge vonzóerőt fejtenek ki. Ez a vonzóerő arányos a N térfogategységben levő részecskeszámmal   , ami csökkenti a nyomást. Mivel a falba ütV  2 N N köző részecskék száma is arányos   -vel, így a nyomáscsökkenés   − nel arányos. V  V  Ezek figyelembevételével a valódi gázok viselkedését pontosabban adja meg a 2   N    van der Waals állapotegyenlet: p + a ⋅

 ⋅ (V − b N ) = N ⋅ k ⋅ T   V    N m Adott gáz esetén az   hányados arányos   -vel, és N arányos m-mel, V  V  2   m    így a van der Waals egyenlet szokásos alakja: p + a ⋅   ⋅ (V − b ⋅ m ) = n ⋅ R ⋅ T   V    Az egyenletben „a” és „b” anyagi állandók 2 n ⋅ R ⋅T m A valódi gáz nyomása a van der Waals – egyenletből: p = − a ⋅  V −b⋅m V  A p – V síkon különböző állandó hőmérsékleteken ábrázolva az állapotváltozást, azt tapasztaljuk, hogy magas hőmérsékleten a görbe alakja pp jó közelítéssel hiperbola, olyan mint T>Tkr az ideális gázoké. Alacsonyabb hőmérsékleten a görbe eltér a hiperbolától. A kritikus T=Tkr pkr hőmérsékletű (T kr ) izotermának egy bizonyos térfogaton inflexiós pontja van. Ehhez a ponthoz tartozik a kriT<Tkr tikus nyomás (p kr ). A kritikus

hőmérséklet alatt a VV Vkr 9.5ábra görbe alakja kicsit eltér a méréssel felvehető görbétől, mert a valóság11.4 ábra 55 ban egy szakaszon összenyomáskor állandó nyomáson lecsapódás, táguláskor pedig forrás következik be. Mindez a 11.4 ábrán látható A kritikus hőmérsékletnél kisebb hőmérsékletű izotermán a vastagabb vízszintes vonal a méréssel felvehető, halmazállapot-változással járó folyamatot mutatja. A keletkező folyadék már nagyon nagy nyomással is csak kicsit nyomható össze A kritikus hőmérséklet felett a légnemű anyagot gáznak nevezzük. A gázok semekkora nyomással sem cseppfolyósíthatók. A kritikus hőmérséklet alatt a légnemű anyagot gőznek nevezzük. A gőzöknek két jól megkülönböztethető állapota lehetséges. Telítetlen gőz: Ha a gőzt állandó hőmérsékleten összenyomjuk, és közben a nyomása növekszik, akkor a gőz telítetlen. Telített gőz: Ha a gőzt állandó hőmérsékleten

összenyomva a nyomása állandó marad, de eközben a halmazállapota változik meg, mert lecsapódik, akkor a gőz telített. Az adott hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomásán térfogatnöveléskor a párolgás biztosítja a nyomás állandóságát 11.6 Halmazállapot-változások Olvadás, fagyás: A szilárd – folyadék átalakulást olvadásnak nevezzük. Az a hőmérséklet, amelyen ez bekövetkezik, az olvadáspont A folyadék hűtésekor az olvadásponton a folyadék megfagy. A nagyon tiszta folyadék rázkódásmentesen túlhűthető, ami azt jelenti, hogy a fagyáspontja alatti hőmérsékleten is folyadék halmazállapotú. Ha a túlhűtött folyadékot megmozgatjuk, azonnal megfagy, és felmelegszik a fagyáspontjára. A melegedéshez szükséges hőmennyiséget a fagyás miatt felszabaduló energia biztosítja Túlhűtött folyadékból készített kéz és fülmelegítők kaphatók a kereskedelemben. A nem kristályos szerkezetű szilárd testeket amorfnak

nevezzük. Ilyen anyag pl a bitumen és az üveg. Az amorf testeknek nincs határozott olvadáspontjuk, hanem melegítéskor fokozatosan lágyulnak, egyre kisebb lesz a viszkozitásuk Párolgás, lecsapódás: A folyadékokban a részecskék energiája állandó hőmérsékleten eltérő. A felszínhez közeli nagy mozgási energiájú részecskék ezért képesek legyőzni a többi molekula kohéziós erejét, és légneművé válnak. Állandó hőmérsékleten a párolgási sebesség függ a hőmérséklettől, és a felület nagyságától. Ha a folyadék fölötti gőzt eltávolítjuk, akkor a párolgási sebesség növekszik Ezért szárad gyorsabban a nedves ruha, ha fúj a szél. Forrás: A párolgásnak van egy speciális esete. Ha a folyadék telített gőzének a nyomása az adott hőmérsékleten éppen meghaladja a külső nyomást, akkor a folyadék forrni kezd. Ez abban nyilvánul meg, hogy a folyadékban buborékok keletkeznek, és felszállnak. Általában a

folyadékokban találhatók apró buborékok, amelyek a felületi feszültség miatt az edény falához tapadnak. Ha állandó nyomáson a folyadékot melegítjük, az adott nyomáshoz tartozó forrásponton nem csak a folyadék felszínéről lépnek ki részecskék, hanem a folyadék belsejében ezekbe a pici buborékokba is megindul a párolgás, mert a külső nyomás már ezt nem tudja megakadályozni. A buborékokban a folyadék telített gőze van A rohamos növekedés miatt a hidrosztatikai felhajtóerő is gyorsan nő, ezért a buborék felszáll. Forráspont: Forrás közben a folyadék hőmérséklete a hőfelvétel ellenére állandó nyomáson állandó. A forráspont növekvő nyomással növekszik 56 Túlhevített folyadék: Ha a folyadék nem tartalmaz semmiféle szennyeződést és teljesen buborékmentes, akkor a forráspontja fölé növelhető a hőmérséklete. A buborékmentes folyadék többszöri átforralással és lassú hűtéssel állítható elő A

túlhevített folyadék rázás vagy más zavar hatására robbanásszerűen forrásba jön. Szublimáció: A szublimáció azt jelenti, hogy a szilárd test közvetlenül légneművé alakul. Szokták mondani, hogy „eltűnt mint a kámfor”. Szobahőmérsékleten és légköri nyomáson ugyanis a kámfor szublimál. Megfelelő hőmérsékleten és eléggé alacsony nyomáson minden anyag szublimál. 11.7 Entalpia (hőtartalom) Nyitott rendszerek esetén használatos állapotjelző. Technikai munkának nevezzük a p=f(V) grafikonon az állapotváltozást leíró függvény és a p tengely közötti területet: 2 ����ℎ = ∫1 �(�)�� (piros és sárga terület) Az entalpia (hőtartalom): H=U+pV, szintén állapotjelző, mert a jobb oldalon csak állapotjelzők találhatók. Differenciálisan kicsi entalpiaváltozás: dH=dU+d(pV)=dU+Vdp+pdV A termodinamika I. főtétele: A belső energia megváltozása egyenlő a gázzal közölt hőmennyiség és a gázon végzett

munka összegével: dU=dQ – pdV Ebből dQ=dU+pdV, ami az entalpiaváltozással kifejezve: dQ=dH – Vdp=dH – W tech A közölt hőmennyiség egyenlő az entalpiaváltozás és a technikai munka különbségével. A termodinamika I. főtétele az entalpiaváltozással: Az entalpiaváltozás egyenlő a közölt hőmennyiség és a technikai munka összegével: dH=dQ+ W tech Adiabatikus állapotváltozásnál: nincs hőcsere, ezért az entalpia változása egyenlő a technikai munkával. Állandó nyomású folyamatokban Vdp=0, ezért W tech =0 Izobár állapotváltozásnál az entalpiaváltozás egyenlő a közölt hőmennyiséggel: dH=dQ, ha p=állandó Izobár állapotváltozásnál a hőmennyiség meghatározható a rendszer hőkapacitásával is: dQ=C p (T)dT=dH 2 2 Mindkét oldalt integrálva: ∫1 �� = ∫1 �� (�)�� C p =c p m Izobár állapotváltozásnál (állandó fajhő esetén és ha nincs közben fázisátalakulás): H 2 – H 1 =C p (T 2 – T 1 ) Az

állandó nyomáson mért hőkapacitás – hőmérséklet függvény alatti terület megadja az entalpia megváltozását. 57 12. A hőtan II főtétele Az Entrópia 12.1 Kvázisztatikus reverzibilis és irreverzibilis folyamatok A lassan változó, egyensúlyi állapotokon keresztül végbemenő folyamatokat kvázisztatikus folyamatoknak nevezzük. Megfordítható (reverzibilis) folyamatok: Ha egy rendszert eredeti állapotába úgy tudjuk visszajuttatni, hogy a környezetében maradandó változás nem következik be, akkor a folyamat reverzibilis. Ilyennek tekinthető pl egy gáz kvázisztatikus izoterm állapotváltozása. Ha nagyon lassan izotermikusan a gázt összenyomjuk, akkor a környezete melegszik. Ha ezután a gáz izotermikusan eredeti térfogatára tágul, akkor pontosan annyi hőt vesz fel, mint amennyit az összenyomáskor leadott. Ha a dugattyú súrlódása elhanyagolható, akkor a környezetben a folyamat végén nincs maradandó változás Irreverzibilis (nem

megfordítható) folyamatok: A valóságos folyamatok mind irreverzibilisek, mert ha egy rendszer állapotát megváltoztatjuk, majd eredeti állapotát visszaállítjuk, akkor a környezetben maradó állapotváltozás történik. Mozgások esetén a súrlódás, közegellenállás miatt a környezet melegszik Két különböző hőmérsékletű test termikus kölcsönhatásakor a hőmérséklet kiegyenlítődik. Ez a folyamat önként megy végbe. Jó hőszigetelő merev falú tartályban a felvett és leadott hőmennyiségek egyenlők. Ahhoz azonban, hogy az eredeti hőmérsékleteket visszaállítsuk, jelentős energia befektetés szükséges, mert a hűtés csak energia befektetésével valósítható meg. 12.2 A termodinamika II főtétele Ez a főtétel a természetben önként végbemenő folyamatok irányára vonatkozik, melynek többféle megfogalmazása is ismert. Clausius – féle megfogalmazás: Hő magától csak a melegebb helyről a hidegebb helyre mehet át, ezért a

természeti folyamatokban a hőmérséklet-különbségek kiegyenlítődésre törekszenek. Planck – féle megfogalmazás: Nem lehet olyan periodikusan működő hőerőgépet készíteni, amelyik egyetlen hőtartály lehűlése árán munkát végezne. Az ilyen gépet másodfajú perpetuum mobilének nevezzük A periodikus működésű gép úgy kerül vissza eredeti állapotába, hogy nullánál nagyobb eredő munkát végez. Ha létezne ilyen gép, akkor például az óceánok lehűlése árán mechanikai munkát végezhetne. Ez a főtétel nem zárja ki, hogy egy gép egyirányban működve a hőtartály leadott energiáját teljes egészében mechanikai energiává alakítsa, de a folyamat végén a gép leáll, így folyamatos munkavégzésre nem használható. Ilyen gép lenne egy izotermikusan táguló gáz dugattyúja A periodikus működéshez azonban vissza kell vinni a dugattyút az eredeti állapotába 2.3 A Carnot körfolyamat A hőerőgépek olyan periodikus

működésű gépek, amelyek 2 hőtartállyal vannak kapcsolatban. Mivel a ciklus végére eredeti állapotukba kerülnek vissza, a p – V diagrammon a működésüket zárt görbe írja le Az ilyen folyamatokat körfolyamatoknak nevezzük A Carnot (karnó) körfolyamat két izoterm és két adiabatikus állapotváltozásból áll. A 12.1 ábrán látható a körfolyamat ciklusa Az A – B változás egy izoterm tágulás a magasabb hőmérsékleten. Ilyenkor a belső energia nem változik, a felvett hőmennyiség teljes egészében mechanikai munkavégzéssé alakul. A B – C állapotváltozás adiabatikus tágulás. Itt nincs hőcsere, a munkavégzés a gáz belső energiájának rovására történik, ezért a gáz lehűl. 58 A C – D állapotváltozás egy izoterm összenyomás az alacsonyabb hőmérsékleten. A végzett munka egyenlő a leadott hőmennyiséggel. Ilyenkor a környezet melegszik p A D – A állapotváltozás adiabatikus összenyomás. A végA zett munka a

gáz belső energiáját növeli, ezért növekszik a gáz hőmérséklete. T2 Mivel az adiabatikus változások azonos hőmérsékleti hatáB D rok között történtek, az összenyomáskor végzett munka egyenlő a táguláskor a gáz által T1 végzett munka nagyságával: C c v ⋅ m⋅ ∆T= – W BC =W DA Az izoterm munkavégzések V azonban különbözők, a maga12.1 ábra sabb hőmérsékleten végzett munka nagyobb (görbe alatti területek). Az összes munkavégzés, a hasznos munka egyenlő a bezárt területtel: W h =W AB +W BC –W CD –W DA Wh =W AB –W CD Mivel az adiabatikus változásoknál nincs hőcsere, az izoterm változásoknál pedig a belső energia állandó, a hasznos munkavégzés kiszámítható a felvett és a leadott hőmennyiségek abszolútértékének kűlönbségeként is: W h =ΣQ=Q fel –  Q le  12.4 A hőerőgépek termodinamikai hatásfoka Egy ideális Carnot – gép a betáplált és a leadott hőmennyiség különbségét mechanikai Q

fel − Qle Qle W ΣQ = = 1− munkává alakítja. A hatásfoka: η = h = Q fel ΣQ fel Q fel Q fel Ez a hatásfok független a használt gáz anyagi minőségétől. Adott hőmérsékleti határok között működő hőerőgépek közül a Carnot – gép a legjobb hatásfokú. V n ⋅ R ⋅ T1 ⋅ ln C VD η = 1− V n ⋅ R ⋅ T2 ⋅ ln B VA Az adiabatikus folyamatokra felírhatjuk, hogy: ill. T2 ⋅ V Aκ −1 = T1 ⋅ VDκ −1 T2 ⋅ V Bκ −1 = T1 ⋅ VCκ −1 , A két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy: VB VC = V A VD A Carnot – körfolyamat hatásfoka az egyszerűsítések után: 59 η = 1− T1 T2 − T1 = T2 T2 Tehát az ideális Carnot – gép hatásfoka csak a hőmérsékleti határoktól függ, és annál nagyobb, minél nagyobb a hőmérsékletek különbsége. 12.5 Entrópia Az entrópianövekedés és az entrópiamaximum elve Jelöljük a T 2 hőmérsékleten felvett hőmennyiséget Q 2 -vel, a T 1 hőmérsékleten leadott hőmennyiséget Q 1

-gyel. A Carnot – gép hatásfokára kapott kétféle összefüggést egyenlővé téve : T Q Q2 Q1 Q2 Q = − 1 , ill.: 1− 1 = 1+ 1 + =0 . , majd rendezve T2 Q2 T2 T1 T2 T1 Q Ez általánosan is igaz: Bármely reverzibilis körfolyamatban a hányadosok összege zéT rus. (Bármelyik folyamat megközelíthető nagyon finom felosztású izoterm és adiabatikus részfolyamatokkal): n ∆Qi ∑ reverzibilis = 0 i =1 Ti Irreverzibilis folyamatoknál a Clausius - féle egyenlőtlenség érvényes: n ∆Qi −irreverzibilis <0 ∑ Ti i =1 azaz az irreverzibilis folyamatokban több a leadott hőmennyiség (a leadott hőmennyiség előjele negatív). Ha egy rendszert „A” állapotból „B” állapotba juttatjuk reverzibilis „a” úton, majd reverzibilis módon visszajuttatjuk eredeti állapotába egy másik „b” úton, akkor ∆Qi ∆Qi ∆Qi ∆Qi + ∑ = − ∑ =0 ∑ ∑ A B a úton Ti B A b úton Ti A B a úton Ti A B b úton Ti Bármilyen reverzibilis úton juttatjuk

is el a rendszert egyik állapotából a másikba, a ∆Qi hányados állandó, tehát állapotjelző. ∑ reverzibilis i =1 Ti Ez a hányados megadja a kezdeti és végállapot közötti entrópia különbségét. Az entrópia jele S, mértékegysége: [J/K], skalár mennyiség Az entrópia változása egyenlő a reverzibilis módon felvett hőmennyiség és a hőmérséklet n ∆Qi dQ hányadosával: ∆S = ∑ reverzibilis , ill. dS = reverzibilis T i =1 Ti n Mivel az entrópia állapotjelző, a megváltozása független attól, hogy egy állapotváltozás reverzibilis vagy irreverzibilis úton történt, csak a kezdeti és végállapottól függ. Reverzibilis körfolyamatban: ∆S=0 Redukált hőmennyiség: ∆Qi Ha a rendszer állapotváltozása irreverzibilis, akkor a irreverzibilis hányadost redukált Ti hőmennyiségnek nevezzük. A Clausius féle egyenlőtlenség alapján a redukált hőmennyiségek összege kisebb mint a ∆Qi rendszer entrópiaváltozása: ∑

irreverzibilis < S B − S A Ti A termodinamika II. főtétele ezek alapján úgy is megfogalmazható, hogy: 60 Zárt rendszerben önként lezajló folyamatok esetén a rendszer entrópiája nem csökkenhet (a valóságos folyamatok irreverzibilisek, ezért az entrópia csak növekedhet). Ez az entrópianövekedés elve. Egyensúlyi állapotban a rendszer entrópiája maximális. Ez az entrópiamaximum elve Ez tekinthető a hőtan II. főtétele matematikai megfogalmazásának is: ∆Qi ∆S ≥ ∑ zárt rendszerben önként végbemenő folyamatok esetén. Ti 12.6 Hőerőgépek és hűtési körfolyamat A hőerőgépek olyan periodikus működésű gépek, amelyek hőenergiát mozgási (forgási) energiává alakítanak át. A hőerőgépekben a körfolyamat a p=f(V) grafikonon az óramutató járásával megegyező irányban megy végbe, a közeg hasznos munkát végez. Otto-körfolyamat: Az ideális körfolyamat részei: • Adiabatikus sűrítés (3 – 4): A beszívott

benzinlevegő keveréket gyorsan összenyomjuk. A térfogat növekedés hőmérséklet és nyomás növekedéssel jár együtt (A kompresszió-viszonyt {V 4 /V 3 } korlátozza az, hogy az öngyulladás nem engedhető meg.) • Izochor nyomásnövekedés (4 – 1): Az összesűrített benzin-levegő keveréket a gyújtószikra meggyújtja, ami viszonylag gyorsan elég (közben csak kicsi a térfogatváltozás, és nagy a nyomásnövekedés és a hőmérséklet-növekedés) • Adiabatikus tágulás (munkaütem 1 – 2): A táguló gáz munkát végez, és közben hűl. • Izochor nyomáscsökkenés, lehűlés (2 – 3): A kipufogó szelep nyitásakor a nyomás légköri értékre csökken, a kipufogógáz lehűl. Természetesen a valóságos folyamat ennél lényegesen bonyolultabb. Elsősorban az égési folyamat nem pillanatszerű, a dugattyú mozgásának felső holtpontja előtt kezdődik, és az égési csúcsnyomás a felső holtpont után néhány fokkal jön létre. Az

adiabatikus folyamatoknál is van hőveszteség. A hőerőgépek hatásfokát tovább rontja a töltéscsere (szívás, kipufogás) Diesel-körfolyamat (ideális): • Adiabatikus összenyomás (1 – 2): A beszívott levegőt itt is közel adiabatikusan sűrítjük, ami a gázolaj gyulladási hőmérséklete fölé melegszik. • Izobár tágulás (hőbevezetés 2 – 3): A hengerbe nagy nyomással gázolajat fecskendezünk be, ami elég. Ez egy viszonylag lassú folyamat, közben a dugattyú már nagyrészt lefelé halad, a nyomás közelítőleg állandó. • Adiabatikus tágulás (3 – 4): Ekkor történik a munkavégzés jelentős része. • Izochor lehűlés, nyomáscsökkenés (4 – 1): A kipufogó szelep nyitásakor a nyomás légköri értékre csökken. A Diesel-motorok kompresszió-viszonya nagyobb az Otto-motorokénál, kisebb fordulatszámúak, jobb hatásfokúak. 61 Kompresszoros hűtőgépek: A hűtési körfolyamat a p=f(V) diagramon az óramutató járásával

ellentétesen megy végbe. Olyan hűtőközeget használunk, ami a körfolyamatban halmazállapot-változást szenved, mert ekkor jelentős hőcsere valósul meg. • Az első részfolyamatban a kompresszor kiszívja a hűtőközeget a kisnyomású elpárologtatóból (3) és összesűrítve benyomja a nagynyomású kondenzátorba (1). Közben a közeg jelentősen felmelegszik, • Ezután a hűtőközeg közel állandó nyomáson lehűl és lecsapódik (kondenzáció). A kondenzátor a hűtőszekrényen kívül (hátul) elhelyezett nagynyomású hőcserélő. • A szelepen (2) keresztül a hűtőközeg a kisnyomású hőcserélőbe, az elpárologtatóba jut. Itt elpárolog és adiabatikusan kitágul, közben lehűl • A környezetéből hőt von el A hűtési körfolyamat hőmérséklet=f(entrópiaváltozás) diagramja A piros görbe a hűtőközeg fázisdiagramja. • Az 1 – 2 változás az adiabatikus kompresszió, a közeg fölmelegszik. • A 2 – 3 változás hőleadás a

konFolyadék Gőz denzátorban gőzállapotban. • A 3 – 4 változás lecsapódás állanFolyadék + dó hőmérsékleten és nyomáson. Gőz • A 4 – 5 változás hűlés folyadékállapotban, • Az 5 – 6 változás a folyadék gyors nyomáscsökkenése és jelentős részének elpárolgása az elpárologtatóban (izentalpikus változás) • A 6 – 1 változás hőfelvétel és párolgás alacsony nyomáson, a környezet hűtése. A hőszivattyú olyan hűtőgép, amelynek a kondenzátora van a fűtendő térben, és a kisnyomású elpárologtató van kívül (a levegő, vagy a talajvíz energiáját szivattyúzza). A befektetett energia 3 – 5-szöröse a hasznosítható hőmennyiség. Ugyanaz a gép nyáron hűtésre, télen fűtésre használható 12.7 A termodinamika III főtétele A termodinamika III. főtétele (Nernst-tétel): A kémiailag egységes anyagok hőmérsékletét nullához közelítve az entrópiájuk is nullához tart: lim S = 0 T 0 Ebből következik,

hogy a fajhőjük is tart a zérushoz, ezért a 0 K nem érhető el, csak megközelíthető. (A nagyon kis fajhő miatt az anyag nagyon könnyen vesz fel hőt, ezért a hőmérséklete növekszik) 62 13. A kvantummechanika alapjai 13.1 Az abszolút fekete test sugárzása (Max Planck) Vannak lumineszcens anyagok, amelyek hidegen sugároznak (szentjánosbogár, foszforeszkáló festék óramutatókon), ezekre nem vonatkozik a hőmérsékleti sugárzás. Ha egy vastárgyat melegítünk, először vörös színű lesz, majd egyre sárgásabb, majd fehér, kékesfehér fényt sugároz. A szín függ a hőmérséklettől Spektrális emisszióképesség E(f,T): A T hőmérsékletű test egységnyi felülete által időegység alatt egy f frekvencia környezetében egy keskeny sávban kisugárzott elektromágneses energia. Spektrális abszorpcióképesség A(f,T): Megadja, hogy a T hőmérsékletű test f frekvencia körüli keskeny sávban a ráeső elektromágneses sugárzás hányad

részét nyeli el. Kirchhoff mérésekkel igazolta, hogy bár az egyes testek emissziós és abszorpciós képessége eltérő, de a két mennyiség hányadosa állandó: E i /A i =E/A=E(f,T) „A” az abszolút fekete test abszorpciója egységnyi. Az abszolút fekete test minden ráeső elektromágneses sugárzást elnyel. Úgy valósítható meg, hogy egy belül matt fekete falú üreges testre kis lyukat fúrunk A bejutó elektromágneses hullámok belül össze-vissza addig szóródnak, míg teljesen el nem nyelődnek Egy ilyen abszolút fekete test magas hőmérsékleten jelentősen sugároz. A kép két különböző hőmérsékleten mutatja a hullámhossz függvényében az abszolút fekete test sugárzásának spektrális eloszlását. A melegebb test (piros görbe) minden frekvencián jobban sugároz. Mindkét hőmérsékleten a kis hullámhosszú, azaz nagy frekvenciájú valamint a nagy hullámhosszú, kis frekvenciájú összetevők is igen kis értékkel szerepelnek. A

sugárzás intenzitásának a hőmérséklettől függő hullámhossznál maximuma van Stefan-Boltzmann törvény: Az egységnyi felületről kisugárzott összteljesítmény egyenesen arányos az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával Psug = σT 4 ahol a σ állandó értéke: 5.67 x 10-8 W/m2K4 Wien (1894) eltolódási törvénye kimondja, hogy a maximális erősségű sugárzáshoz tartozó hullámhossz és az abszolút hőmérséklet szorzata állandó λ maxT = b= állandó ( = 2.898 x 10−3 méter × K ) Többen is próbálkoztak a spektrális emisszió elméleti levezetésével, de Wien csak kis hullámhosszakra, Rayleigh és Jeans pedig csak nagy hullámhosszakra kapott kielégítő eredményt, a teljes görbére egyikük sem. 1900-ban Max Planck egészen új hipotézis segítségével levezette elméleti úton az abszolút fekete test sugárzásának spektrális eloszlását. 63 Planck szerint a sugárzást véges számú lineáris monokromatikus oszcillátor

(atomok, molekulák elektronjai) hozza létre, N 1 számú f 1 frekvenciájú, N 2 számú f 2 frekvenciájú, stb. Az oszcillátorok között E 1 , E 2 , energiákat osztott szét ε 1 =h·f 1 , ε 2 =h·f 2 , energiaadagokban. A h konstans a fizika egyik legfontosabb univerzális állandója, a hatáskvantum vagy Planck-állanó (h=6,62·10-34 Js). Megszámolta, hogy az elosztás hányféle módon lehetséges. Kikereste, hogy melyik az az energia-eloszlás, amelyik a legtöbb módon valósítható meg. A lehetséges esetek és az összes eset számából kiszámítható a termodinamikai valószínűség és az entrópia. Ebből kifejezhető a kisugárzott intenzitás a frekvencia illetve a hullámhossz és az abszolút hőmérséklet függvényeként. A spektrális intenzitássűrűség (egységnyi felületről időegység alatt kisugárzott energia): 2�ℎ�3 ami a mért görbével kiválóan egyezik. ℎ� � 2 (� �� −1) c – fénysebesség, k –

Boltzmann-állandó Ebből integrálással megkaphatjuk a Stefan – Boltzmann törvényt, deriválással pedig a Wientörvényt. 1911-ben megfogalmazta a termodinamika III. főtételét: Minden termikus egyensúlyban levő test entrópiája zérushoz tart, ha az abszolút nulla hőmérséklethez tartunk. Emiatt a fajhő is nullához tart, így a 0 K csak tetszőlegesen megközelíthető, de el nem érhető. 1918-ban fizikai Nobel-díjat kapott, mert a kvantummechanika megalapozásával elősegítette a fizika fejlődését. �(�, �) = 13.2 Fényelektromos jelenség Albert Einstein 1905-ben publikálta a fotoeffektus magyarázatát. A hivatalos indoklás szerint 1921-ben elsősorban ezért kapta a fizikai Nobel-díjat Ha egy kis kilépési U munkájú fémre (fotokatód) fény esik, akKatód kor belőle elektronok lépAnód I nek ki. A kilépő elektronok száma a beeső fény Imax intenzitásától, a sebessége A a fény frekvenciájától függ. Ha egy vákuumfotocella

katódját monokromatikus fénnyel megU világítjuk, és az anód – katód közötti feszültséget – + változtatjuk, akkor a fotoáram a diagramm szerint változik. Kis pozitív feszültségnél az elöl repülő elektronok a mögöttük jövőkre taszítóerőt fejtenek ki, és ez a tértöltés csökkenti az áramot. A feszültséget növelve az áram telítődik az elektronok felgyorsulása miatt. Ilyenkor az időegység alatt kilépő összes elektron eléri az anódot: e N ⋅ = I max t e – elemi töltésegység I max ⋅ 1 s N= e Ebből az időegység alatt kilépő elektronok száma: 64 Negatív anódfeszültségnél (ellentér) az elektromos taszítás miatt az elektronok fékeződnek. Annál a feszültségnél, amelynél megszűnik az áram, a villamos munka és a maximális sebes1 2 e ⋅ U = m ⋅ v max 2 séggel kilépő elektronok mozgási energiája egyenlő: e ⋅U m Ebből a kilépő elektronok maximális sebessége: A tapasztalatok nem egyeztethetők

össze Maxwell elektrodinamika elméletével, hiszen abból az következne, hogy ha gyenge fénnyel sokáig világítjuk meg a katódot, akkor kellene áramot tapasztalni. Ehelyett ha a fény frekvenciája meghalad egy, a katód anyagától függő értéket, akkor igen kis intenzitásnál is kapunk fotoáramot, míg ennél kisebb frekvenciájú fény esetén igen nagy intenzitásnál sem folyik áram. Einstein felhasználta Planck kvantum-hipotézisét. Feltette, hogy a fény h·f energiájú kvantumokból, fotonokból áll. Ha egy foton energiája fedezi a kilépési munkát, akkor tapasztalunk elektronkilépést, villamos áram jön létre A fotoeffektust leíró egyenlet: A beeső foton energiája fedezi a kilépési munkát, a maradék 1 pedig az elektron mozgási energiájában nyilvánul meg: h ⋅ f − Wki = m e ⋅ v 2 2 Mivel az egyenlet jobb oldala nem lehet negatív, az elektronok kilépése csak akkor lehetséges, ha h•f ≥W ki . A fény tehát kettős természetű.

Terjedés közben a hullámtulajdonság dominál, ezért tapasztaljuk az interferenciát, elhajlást, polarizációt Keletkezéskor és elnyelődéskor viszont a korpuszkula-jelleg dominál, meghatározott energiájú foton keletkezik, vagy nyelődik el. v max = 2 ⋅ 13.3 Compton – effektus A klasszikus fizika szerint a beeső elektromágneses hullámok az atom elektronjait rezgésbe hozzák, és az elektronok a külső sugárzással azonos frekvenciájú hullámokat bocsátanak ki véletlenszerű irányokban. Meglepetést keltett az a mérési eredmény, mely szerint a grafit gyengén kötött elektronjain a néhány keV (kiloelektronvolt) energiájú beeső röntgen- vagy gammasugárzás frekvenciája (és energiája) megváltozik. A jelenséget először Arthur Compton figyelte meg 1923-ban. A szóródás során a foton energiája a meglökött elektronnak átadott energiával csökken – így a foton hullámhossza megnövekszik. Ez a fény klasszikus hullámelméletével nem

magyarázható, és felismerése a kvantumelmélet egyik fontos bizonyítéka lett. Compton a nyugvónak tekinthető elektron és foton rugalmas ütközésére felírta az impulzusmegmaradás és az energia-megmaradás törvényét. A foton energiája: E=hf=mc2 A foton impulzusa: I=mc=hf/c=h/λ ℎ� A foton tömege: � = 2 � Az impulzus-megmaradás: I be =I szórt +I elektron Az energia-megmaradás: E be =E szórt +E elektron 65 Az egyenletrendszer megoldása azt eredményezi, hogy a szórt foton energiája: ��� ���ó�� = ��� 1+ (1 − ����) �� � 2 ℎ (1 − ����) A foton hullámhosszának megváltozása: ∆� = �� � 13.4 Színképek A prizmán áthaladó fehér fény szivárvány színűre bomlik. Az optikai rács nem nulladrendű erősítési helyei is szivárvány színűek. Az ernyőn a rácsvonalakra merőleges irányban minden ponthoz (minden színhez) más frekvencia illetve hullámhossz tartozik. Ezt színképnek

vagy spektrumnak nevezzük. Ha egy fényforrás által kibocsátott fény intenzitását a hullámhossz (vagy a frekvencia) függvényében jelenítjük meg, akkor ezt emissziós színképnek nevezzük. Az abszorpciós vagy elnyelési színképet úgy kapjuk, hogy azt vizsgáljuk meg, hogy a fehér (azaz minden hullámhosszt tartalmazó) fényből a vizsgált anyag milyen hullámhosszúságú fényt nyel el. Folytonos színkép: A kibocsátott fény intenzitása a hullámhossznak folytonos függvénye, tehát minden frekvenciájú komponenst tartalmaz. Ilyen általában az izzó szilárd testek és folyadékok emissziós színképe (pl izzólámpa) Vonalas színkép: Csak meghatározott frekvenciákat tartalmaz. Az atomokból álló izzó gázok és gőzök emissziós színképe vonalas. A valóságban a színképvonalak egy nagyon keskeny frekvenciatartományt illetve hullámhossztartományt jelentenek Ha izzó gázt vagy gőzt fehér fénnyel megvilágítunk, akkor azokon a helyeken,

ahol az emissziós színképben vonalakat kapunk, ott fekete vonalakat látunk az abszorpciós színképben, tehát ugyanazokat a frekvenciákat nyeli el, mint amiket kibocsátani képes. A fekete vonalaknak az a magyarázata, hogy az elnyelt frekvenciájú fényt nagyon rövid időn belül kisugározza az atom, de ez az energia a teljes térszögbe sugárzódik szét, így a spektroszkóp felbontó optikai rácsára csak nagyon kis intenzitás jut belőle, míg a többi frekvenciájú összetevő irányítottan érkezik a megvilágító fényforrásból. A színképvonalak frekvenciája jellemző a kibocsátó elemre, ezért az anyagok meghatározására alkalmas. A Nap színképe abszorpciós színkép. A Nap belsejéből érkező fényből a külső hidegebb gázok elnyelik a rájuk jellemző hullámhosszú összetevőket. Ebből a gáz összetevőire következtethetünk (H, He, Li, Na) Sávos színkép: Bizonyos intervallumokban az intenzitás nullánál nagyobb, míg más

intervallumokban nulla. Nagyobb felbontóképességű spektroszkópokkal kimutatható, hogy egy – egy sáv sok egymáshoz közeli „vonalból” áll. Az izzó gázok molekulái sávos színképet bocsátanak ki 66 Kompakt fénycső sávos színképe LED folytonos színképe Higanygőz lámpa színképe 13.5 Bohr-féle atommodell Niels Bohr 1913-ban alkotta meg atommodelljét, ami a klasszikus fizikára épült, de kvantumfeltételeket is tartalmazott. Ez az átmeneti modell lehetővé tette a vonalas színkép magyarázatát A Rutherford modell szerint keringő elektronoknak az elektrodinamika törvényei szerint elektromágneses hullámokat kell kisugározni, emiatt az energiájuk csökken, nagyon gyorsan spirális pályán be kellene esniük az atommagba. Bohr ezt két posztulátum (nem levezethető alapfeltevés) segítségével kizárta: E2 1.) Az elektronok csak olyan stacionárius (időben állandó, stabil) pályákon keringhetnek, amelyeken nincs

energiakisugárzás. A pályákhoz meghatározott energiaszint tartozik. 2.) Energia elnyelés vagy kisugárzás (abszorpció, emisszió) csak akkor jön létre, ha az elektron egyik pályáról a másikra ugrásszerűen átmegy. Az elnyelt vagy kisugárzott energia a két pálya energiájának különbsége. E4 E1 A pályák meghatározásához és a kibocsátott fény frekvenciájának kiszámításához két feltételnek kell teljesülnie: E3 Kvantumfeltétel: A stacionárius pályákon az elektron perdülete (impulzusmomenh tuma) m ⋅ v ⋅ r csak =  (olvasd! h vonás) egész számú többszöröse lehet. 2⋅π 2.) Frekvencia-feltétel: Az elnyelt vagy kisugárzott elektromágneses hullám energiája: E 2 – E 1 =h⋅f Ezek után nézzük a modellt a hidrogénatomra: Az elektront a proton által kifejtett elektromos vonzóerő tartja körpályán, a Coulomb-erő v2 e2 m⋅ = k⋅ 2 r r egyenlő a centripetális erővel: A kvantumfeltétel: m ⋅ v ⋅ r = n ⋅  ,

ahol n a főkvantumszám, az atommagtól kifelé a pálya sorszáma 1.) 67 A két egyenletből a sebesség kiküszöbölésével a pályasugárra kapjuk: n2 ⋅ 2 r= k ⋅ e 2 ⋅ m , tehát a főkvantumszám négyzetével egyenesen arányos a pálya sugara. Ha pedig a két egyenletet elosztjuk egymással, akkor a sebesség: k ⋅ e2 v= n ⋅  , tehát az elektron sebessége a főkvantumszámmal fordítva arányos. Az elektron energiája a kinetikus és a potenciális energia összegével egyenlő. A potenciális energia nulla szintje a szabaddá váláshoz tartozik, kötött állapotban pedig negatív. 1 e2 2 E = ⋅m⋅v −k⋅ 2 r Ebbe az egyenletbe a sebesség és a pályasugár fenti kifejezéseit behelyettesítve az elektron energiája: m ⋅ k 2 ⋅ e4 E=− 2 2 n ⋅  , az elektron energiája a főkvantumszám négyzetével fordítottan arányos, és a kötött állapot miatt negatív előjelű. Ha az elektron adatait és a konstansok értékeit

behelyettesítjük a kapott összefüggésekbe, akkor az elektron alapállapotában (n=1) a pálya sugara r = 0,52⋅10–10 m, az energiája (ionizációs energia) E= –2,19 aJ, a sebessége v=2,2⋅106 m/s. A hidrogénatomra, illetve az 1 elektronos hidrogénszerű ionokra kiszámítva az energiaszinteket, majd a frekvencia-feltételből a kisugárzott fény frekvenciáját, a spektroszkópiai mérésekkel igen jó egyezést kapunk. Többelektronos atomok esetében a mért és számított színképvonalak helye eltér Sommerfeld ellipszispályák megengedésével, a mellékkvantumszám (l=0 n-1) bevezetésével, a relativisztikus tömegnövekedés figyelembevételével javított a modellen. A mellékkvantumszám az elektron impulzusmomentumát, illetve az ellipszis lapultságát jellemzi. A külső mágneses térben felvett energia jellemzésére a mágneses kvantumszám alkalmas (m= – l l). Bevezetésére azért volt szükség, mert a nagy felbontóképességű spektroszkópok

kimutatták, hogy a mágneses térben a színképvonalak felhasadnak. A félklasszikus Bohr – Sommerfeld modell mégsem válhatott tökéletessé. A hidrogénatom a modell szerint lapos korong lenne, nem tudja értelmezni a színképvonalak intenzitását sem, nagyobb rendszámú elemeknél pedig a számított frekvencia is eltér a mért értéktől. 1927-ben (Koppenhága) Bohr megfogalmazta a korrespondencia elvet: Csak olyan új törvények lehetnek elfogadhatók, amelyek határesetben visszaadják a klasszikus fizika törvényeit. 13.6Az atomi elektronok kvantumszámai, Pauli-elv, periódusos rendszer Wolfgang Pauli osztrák származású fizikus, aki főleg Németországban, Svájcban és az USA-ban dolgozott. 1924-ben egy új kvantumszám bevezetését javasolta a molekulaspektrumok helyes leírásához (spin – 1925; Uhlenbeck) 1925-ben megalkotta a kizárási elvet, amely szerint egy atomban két elektron nem lehet ugyanabban a kvantumállapotban, tehát az elektronokat

jellemző kvantumszámok legalább egyikének különbözőnek kell lennie. Ez lehetővé tette a periódusos rendszer felépítésének magyarázatát. 1945-ben Einstein javaslatára Nobel-díjat kapott. 68 Ervin Schrödinger 1925-ben felírt egy differenciálegyenletet – időtől független Schrödinger-egyenlet – amelybe a rendszert jellemző potenciálfüggvényt behelyettesítve meghatározható a Ψ (pszí) komplex állapotfüggvény. Ez a függvény egyszerre jellemzi a részecske helyét (bizonyos esetekben a megtalálási valószínűségét) és mozgását (impulzusát). A függvény sajátértékei a mérhető fizikai mennyiségek Az atomban kötött elektronok: Az atommag térben gyorsan változó Coulomb-féle erőterében az elektronok Ψ állapotfüggvénye térbeli állóhullámokat határoz meg. Ezek csomófelületekkel rendelkeznek, ahol a hullámfüggvény értéke zérus. A Ψ függvény szélei elmosódottak. Az elektronok szétkent töltésfelhőnek

tekinthetők, amik az atommagot veszik körül. A 2 s pálya 1 s pálya hullámfüggvény négyzete 1 csomógömb Nincs csomóa töltéssűrűséget adja meg, van gömb illetve az elektron megtalálási valószínűségét fejezheti ki. Az n főkvantumszám lényegében meghatározza az elektronok energiáját. A főkvantumszám n = 1, 2, 3, pozitív egész szám le2 px 2py 2pz het. 1 csomósík van Az l mellékkvantumszám (0 ≤ l ≤ n-1 egész szám) a belső csomófelületek számát és alakját adja meg, és egyúttal meghatározza az elektronok pályaperdületét (impulzusmomentumát) is. Itt azonban nem beszélhetünk keringésről, mint a Bohr – Sommerfeld modell esetén. A mellékkvantumszám 3p pálya 1csomógömb 3s pálya 2 csomógömb van kismértékben módosítja az és 1 csomósík van elektron energiáját is. Ezzel magyarázható a vonalas színképek finomszerkezete. A csomófelületek gömbök és síkok lehetnek. Az l = 0-hoz tartozó alhéjat s betűvel is

jelölik (szférikus), l = 1 p (propeller), stb. 3d állapot 2 csomósík van Az m mágneses kvantumszám az állóhullámok 69 térbeli elhelyezkedését, irányát adja meg. Értéke –l, –(l – 1), 0, 1, l értékeket vehet fel, összesen 2l+1 értéket. Az m≠0 esetekben meghatározza a csomósíkok irányát Ez azt jelenti, hogy ha méréssel vagy egy külső mágneses térrel kiválasztottunk egy térbeli irányt, akkor ehhez képest hogyan helyezkedik el a többi csomósík. Az s spinkvantumszám az elektron saját impulzusmomentumát és mágneses momentumát határozza meg. Értéke ± ½ lehet A spin az elektronnak ugyanolyan tulajdonsága, mint a tömege, vagy a töltése A Pauli-elv szerint egy atomon belül 2 elektron nem tartózkodhat azonos kvantumállapotban, a négy kvantumszám közül legalább egyben eltérnek egymástól. Az n főkvantumszámú pályán maximum 2n2 számú elektron helyezkedhet el. Az elektronok először a legalacsonyabb energiaszintű

pályákat töltik be (energiaminimum elve) Egy alhéjon belül az azonos spinbeállású elektronok energiája kisebb, ezért először azonos spinnel töltődnek be, és csak ezután jönnek az ellentétes spinű elektronok. Ezt Hundszabálynak nevezzük n l m s ±1/2 állapot jelölése 1s A lehetséges állapotok száma 2 l (K) 2 (L) 0 0 (nincs csomógömb) 0 (1csomógömb) ±1/2 2s 2 -1,0,1 (1 csomósík, 3 irányban) 0 (2 csomógömb) ±1/2 2p 6 ±1/2 3s 2 1 -1,0,1 (1 csomógömb, és 1 csomósík 3 irányban) ±1/2 3p 6 2 -2,-1,0,1,2 (2 csomósík 5 irányban) ±1/2 3d 10 0 1 3 (M) 0 13.7Határozatlansági reláció 1927-ben Werner Heisenberg kimutatta, hogy bizonyos fizikai mennyiségek egyszerre nem határozhatók meg tetszőleges pontossággal. Ilyen komplementer mennyiségek egy adott irányban a részecske impulzuHULLÁMFÜGGVÉNY sának és helyének a meghatározása: ΔI x ∙Δx≥ћ/2 valamint az energia és az Szélesebb idő

meghatározása ΔE x ∙Δt≥ћ/2 hullámhossz Ez azt jelenti, hogy egy mikrotartomány objektumnak nincsenek éles határai, a hullámfüggvénye szélei elmosódottak. Ha a hullámfüggvénye egy szélesebb spektrumból (hullámhossz Szűkebb tartományból) épül fel, akkor kisebb hullámhossz helyre lokalizálódik, ami azt jelenti, tartomány hogy nagyobb az impulzus bizonytalansága és kisebb a hely bizonytalan- 70 sága. Ha a részecske hullámfüggvénye szűkebb spektrumú akkor kisebb az impulzus bizonytalansága, de szétfolyik, nagyobb a hely bizonytalansága Hasonló módon egy adott energiaállapotot a frekvencia határozza meg. A spektrumvonalak azonban véges szélességűek, tehát az energiának is van bizonytalansága Az adott energiaállapotban tartózkodás idejét is csak valamilyen pontossággal határozhatjuk meg. Ha e két mennyiség közül valamelyik meghatározásának vagy megmérésének pontosságát növeljük, a másik mennyiség pontossága

csökken (bizonytalansága növekszik). A határozatlansági relációval magyarázható az egy fotonos két réses interferencia kísérlet. 1/2mv2<mgh Ez teszi lehetővé az alagút-effektust is. Ez azt jelenti, hogy egy potenciálgödörből bizonyos m valószínűséggel kijuthatnak a mikrorészecsék v v akkor is, ha az energiájuk kisebb, mint a gödör h falmagassága. Ez teszi lehetővé a tranzisztorok működését, vagy a radioaktív bomlást is. 13.8 Anyaghullámok A foton energiája a hullámtulajdonsága alapján felírható az E=h∙f képlettel, és a tömeg energia ekvivalencia alapján Csillag E=m∙c2 képlettel is. csillag képe Ezek egyenlőségéből h∙f=m∙c2, tehát a fotonnak van tömege: ℎ� �= 2 � A Nap nagy tömege miatt az a csillag, amelyiknek a fénye a Nap közelében halad, eltolódik. Ezt a jóslatot 1919-ben Eddington Nap megfigyelése igazolta. Kiszámítható, hogy egy csillagnak adott időpontban hol kellene látszania. Olyan irányban

látjuk, amilyen irányból közvetlenül érketávcső zik a szemünkbe a fény. Teljes napfogyatkozáskor azonban a csillagból a Nap közelében érkező csillagfény pályája a gravitácó miatt elgörbül, emiatt a csillagot a számítotthoz képest máshol látjuk. A Hubble űrteleszkóp egy távoli kvazárról egy gravitációs lencseként működő, sokkal közelebbi 4 karú spirális galaxison át készített fényképet. Az elhajlás miatt a kvazár képe megnégyszereződött (Einstein-kereszt) Louis de Broglie (e. lui dö broji;) francia Nobel-díjas elméleti fizikus 1924-ben a doktori disszertációjában ismertette kvantumelméleti kutatási eredményeit az anyaghullámokról. mc 2 h⋅ f h h Az m tömegű, c sebességű foton impulzusa I = m⋅ c = = = = c λ c c f De Broglie feltételezte, hogy ha a fény viselkedhet részecskeként, akkor az eddig korpuszkulának tekintett anyag is viselkedhet hullámként. 71 Az m tömegű, v sebességű részecske impulzusa: I

= m ⋅ v = hullámhossz: λ = h , amiből a hozzárendelhető λ h . m⋅v A (nem relativisztikus) mozgási energia: 1 2 � = �� = �2 2� 2 A kötött elektronok az atomokban állóhullámnak tekinthetők. Ha léteznek az anyaghullámok, akkor azok interferenciára is képesek. De Broglie feltevését először 1927-ben két amerikai fizikus, Davisson és Germer bizonyították kísérletileg úgy, hogy nagy sebességre gyorsított elektronokkal bombáztak nikkel egykristályt (az ábrán vékony grafitréteg van), és a röntgensugarakkal való méréshez hasonló interferencia képet kaptak. Az anyaghullámok létezése vezetett az elektronmikroszkóp felfedezéséhez, ami az elektronok rövidebb hullámhossza miatt sokkal nagyobb felbontást tesz lehetővé, mint a hagyományos mikroszkóp. 14.1 Sávmodell 14. Molekulák, szilárd testek A Pauli-elv érvényes molekulákra vagy szilárd testekre is. Ha azonos atomok közelednek egymáshoz, akkor az atomokban

eredetileg azonos energiaszintek minden atomban kicsit eltérő szintet vesznek fel, az energiaszintek felhasadnak, sávokká alakulnak. A sávon belül annyi, egymástól csak alig különböző energiaállapot jön létre, ahány atom alkotja a rendszert. Mivel az elektronok energiáját az n és l kvantumszámok határozzák meg alapvetően, a kialakuló sávok lényegében az azonos n és l kvantumszámokkal jellemzett értékekből keletkeznek. A sáv szélessége az atomok közötti távolságtól, tehát a kristály felépítésétől függ, a sávon belüli állapotok száma pedig az atomok számától. A sávok igen közel kerülhetnek egymáshoz, akár át is lapolhatják egymást Az elektronoknak akkor van a legkisebb energiájuk, ha a legmélyebb szintekből kiindulva folyamatosan töltik be a lehetséges energiaállapotokat. A belső sávok általában telítettek, ezért csak a vegyértéksávot (valenciasáv) és a vezetési sávot szokás ábrázolni. A fémeknél a

vegyértéksáv és a vezetési sáv átfedi egymást. A félvezetőknél a vegyértéksávot és a vezetési sávot néhány tized elektronvolt szélességű tiltott sáv választja el egymástól. A szigetelőknél ez a tiltott sáv sokkal szélesebb 72 Tiszta félvezetőknél (intrinsic félvezető) gerjesztés nélküli állapotban a vegyérték sáv teljesen betöltött és a vezetési sáv teljesen üres. Hő, fény vagy egyéb energiát közlő hatásra a vegyértéksáv egyes elektronjai átkerülhetnek a vezetési sávba, és így részt vehetnek a vezetésben. A vegyértéksávban az elektron helyén keletkezett elektronhiány a"lyuk" is részt tud venni a vezetésben, mert a lyukba a szomszédos atomból egy elektron kis energia hatására át tud kerülni. A lyuk elmozdulása az elektronéval ellentétes irányú, így pozitív töltésként is felfogható. A szennyezett félvezető azt jelenti, hogy a nagyon tiszta és szabályos kristályba meghatározott

tulajdonságú idegen atomokat építünk be diffúzióval vagy ionimplantációval. Körülbelül 100000 atomra jut egy szennyező atom 1 mm3 térfogatú szilícium kristályban így is nagyságrendileg 1015 számú idegen atom van. n-típusú szennyezés: Ha a szennyező teljesen betöltött legfelső energiaszintje a vezetési sáv aljának közelében van, akkor ezek az elektronok kis termikus energia hatására a vezetési sávba kerülnek. Az ilyen szennyezőket donornak nevezzük A donorszinten keletkezett lyukak helyhez kötöttek, lokalizáltak, nem vesznek részt az áramvezetésben. p-típusú szennyezés: Ha a szennyező a vegyértéksáv tetejéhez közel a tiltott sávban betöltetlen akceptor energiaszintekkel rendelkezik, akkor már alacsony hőmérsékleten a vegyértéksávból ide kerülnek elektronok, így a valencia sávban mozgékony lyukak keletkeznek. Természetesen mindkét szennyezésnél szobahőmérsékleten már hőenergia hatására is kerülnek elektronok

a vezetési sávba. 14.2 A félvezetők működésének szemléletes magyarázata Félvezetők: olyan anyagok, amelyek fajlagos ellenállása szobahőmérsékleten a vezetőkénél nagyságrendekkel nagyobb, és a szigetelőkénél nagyságrendekkel kisebb. Alacsony hőmérsékleten, a 0 K közelében szigetelők, energia (hő, fény) hatására azonban egyre jobban vezetővé válnak. A legfontosabb félvezető a szilícium (Si) 73 Tiszta félvezetők: A szilíciumkristály tetraéderes szerkezetű. Egy szabályos tetraéder csúcspontjaiban és a köré írható gömb középpontjában található egy-egy atom. Minden csúcspont egyúttal egy másik tetraéder középpontja, így minden szilíciumatomtörzs atom négy másikkal létesít kovalens kötést. Az ábra Si egy ilyen kristály kis részSi Si Kovalens kötés letét mutatja síkban kiterítve. Alacsony hőmérsékle+ ten nincsenek szabad Si lyuk Si Si elektronok, tehát a tiszta szilícium szigetelő. Energia

hatására lesznek olyan elektronok, amik Szabad elektron Si Si Si kiszakadnak a kötésből, és szabaddá válnak A helyükön elektronhiány, azaz lyuk keletkezik, a semleges atom pedig pozitív ionná válik. Ezt generációnak nevezzük Ha a hőmozgás során egy szabad elektron egy lyuk közelébe kerül, befogódik, rekombinálódik. Állandó hőmérsékleten a generáció és rekombináció egyensúlyban van. Növekvő hőmérsékletnél a generáció, csökkenőnél a rekombináció a nagyobb Ez okozza a félvezetők ellenállás-változását Feszültség hatására a szabad elektronok a pozitív pólus felé vándorolnak úgy, mint a fémekben. A lyukakba a szomszédos kötött elektronok viszonylag könnyen át tudnak ugrani, ezért a lyukak is vándorolnak, de a negatív pólus felé. Ez lényegében az ionok helyzetváltoztatását jelenti anélkül, hogy az atomtörzsek helye változna A lyukak pozitív töltésként viselkednek Mivel a technikai áramirány a pozitív

töltések mozgásával megegyező, illetve a negatív töltések mozgásával ellentétes irány, a lyukak és szabad elektronok mozgása azonos irányú áramot eredményez Szennyezett félvezetők: Ha a félvezető egykristály Szenyezés (szabályos, egyetlen magból hatására növesztett kristály) bizonyos keletkező atomjait idegen atomra cserélszabad jük úgy, hogy a kristályszerSi Si Si elektron kezet nem változik meg, akkor szennyezésről beszélünk. Ha minden egymilliomodik atomot helyettesítjük, akkor As+ Si Si egy 1 mm3 térfogatú kristályba kb. 5 ⋅ 1013 darab idegen atomot viszünk be. n-típusú szennyezés: Ha 5 Si Si Si vegyértékű szennyezőt, például arzént használunk, akkor az ötödik vegyértékelektron- 74 jának nincs helye a kötésekben, ezért már alacsony hőmérsékleten szabaddá válik. Az ilyen szennyezőt donornak nevezzük, mert töltéshordozót ad. Természetesen ebben a kristályban is keletkeznek energia (hő, fény)

hatására szabad elektron – lyuk párok is. Az ilyen kristály többségi töltéshordozói a szabad elektronok, a kisebbségi töltéshordozók pedig a lyukak Mivel a többségi töltéshordozók negatív töltésűek, az ilyen kristályt vagy réteget n-típusú félvezetőnek nevezzük. p-típusú szennyezés: Ha 3 vegyértékű szennyezőt, például indiSzennyezés umot használunk, akkor hatására keegy kötő elektron hiánySi Si Si letkezett zik. Ez a lyuk általában lyuk nem marad a szennyező atomnál, hanem a hőmozgás miatt máshova + In Si Si kerül. Ezt a szennyezőt akceptornak nevezzük, mert elektront fogad el. Az ilyen kristály többSi Si Si ségi töltéshordozói a lyukak, kisebbségi töltéshordozói a szabad elektronok. Hangsúlyozom azonban, hogy a szennyezett kristály is összességében semleges, hiszen csak semleges atomokat vittünk a kristályba. 14.3 Rétegdióda Félvezető egykristályon belül két ellentétesen szennyezett réteget hoznak

létre. A p-réteget anódnak, az n-réteget katódnak nevezik. A töltéshordozók koncentráció-különbsége miatt az n-rétegből elektronok mennek a p-rétegbe. A diffúzió miatt a p réteg kismértékben negatív, az n-réteg pedig pozitív töltésű lesz. A rétegek között kialakult feszültség a diffúziót akadályozza, így kialakul egy egyensúlyi állapot Az egyensúlyi feszültséget küszöbfeszültségnek (U 0 ) nevezzük. Szobahőmérsékleten szilíciumdiódánál kb 0,6 V A kontaktusoknál fellépő érintkezési feszültségek miatt nem mérhető Ha a diódára egyenfeszültséget kapcsolunk egy áramkorlátozó ellenálláson elektronvándorlás lyukvándorlás keresztül, akkor a polaritástól függően viselkedik. Pozitív anód esetén a többségi töltéshordozók a villamos tér hatására a szemközti réteg felé mennek, a határréI tegben rekombinálódnak, a generátorból pedig folyamatosan pótlódnak. A rétegekben így egyirányú áram folyik

A dióda ellenállása ilyenkor elhanyagolható, a dióda vezet. 75 Ha az anódra kapcsoljuk a negatív pólust, akkor a többségi töltéshordozók kimennek a rétegek szélére, és nem tudnak pótlódni. Középen egy széles kiürített réteg marad. Mivel itt nincsenek töltéshordozók, ez a réteg szigetelő, így áram nem folyik, a dióda lezár. A valóságban ilyenkor a kisebbségi töltéshordozók elhanyagolható visszáramot okoznak. Kiürített réteg 14. 4Bipoláris tranzisztor: tápfeszültség n p n C E B Vezérlő feszültség Walter Brattain, John Bardeen, William Shockley (e.: bráten, bardin, sokli) az amerikai Bell laboratórium munkatársai készítették az első tranzisztort 1947-ben., amiért 1956-ban megosztva fizikai Nobel-díjat kaptak. Egy félvezető egykristályon belül három ellentétesen szennyezett réteget kétféleképpen hozhatunk létre, ezért vannak pnp és npn tranzisztorok. Működésük azonos, csak a tápfeszültség és a

vezérlő feszültség polaritását kell ellentétesre vál- toztatni. Az egyik szélső réteg az erősen szennyezett emitter. A középső réteg gyengén szennyezett és keskeny bázis. A kollektor a másik szélső réteg, ami közepesen szennyezett, és viszonylag széles. Példaként vizsgáljuk az npn tranzisztort! Kapcsoljunk tápfeszültséget egy áramkorlátozó ellenálláson keresztül az emitter és a kollektor közé úgy, hogy az emitter-bázis diódát nyitó, a bázis-kollektor diódát záró irányba vegye igénybe. (Két szomszédos ellentétesen szennyezett réteg egy diódának tekinthető) A szokásos tápfeszültség néhány V és néhányszor 100 V között lehet. Ilyenkor a lezárt báziskollektor dióda miatt áram nem folyik Most kapcsoljunk az emitter és a bázis közé vezérlőfeszültséget. A vezérlőfeszültség polaritásától függően több eset lehetséges. • Záró-tartomány: Ha a bázis-emitter feszültség záróirányú, nulla, vagy

nyitóirányú és kisebb a küszöbfeszültségnél, akkor nincs bázisáram, és nincs kollektoráram sem. • Áramerősítési tartomány: Ha a vezérlőfeszültség nyitóirányú, és kicsit nagyobb a küszöbfeszültségnél, akkor az emitterből a többségi töltéshordozók megindulnak a bázis felé. Egy részük rekombinálódik a bázisban, a többiek pedig az alagúteffektus miatt behatolnak a kollektorba, és áram folyik az emitter és a kollektor között. Ebben a tartományban a bázis- 76 áram és a kollektoráram egyenesen arányosak, arányossági tényező az áramerősítési tényező: I C = β ⋅ I B . Típustól függően az áramerősítési tényező 20 és 600 között lehet Mivel I B <<I C , az emitteráram és a kollektoráram egyenlőnek tekinthető. A vezérlőfeszültség ilyenkor 0,6 V ÷ 0,7 V közötti. Nagyon kis bázisáram-változás jelentős kollektoráramváltozást hoz létre Olyan ez, mint amikor egy hadgyakorlaton egy nagy, és

egy kis létszámú hadsereg áll egymással szemben. Ha beveti Emitter tábornok a seregének adott százalékát, Bázis tábornok a sajátjának azonos százalékát küldi hadba A határrétegben egy-egy katona lekaszabolja egymást (rekombináció), de Emitter seregének nagyobb része tovább mehet a kollektor felé. • Telítési tartomány: ha kicsit tovább növeljük a vezérlőfeszültséget, akkor a bázisáram növekszik, de a kollektoráram változatlan marad. Ez azért van, mert az emitter összes töltéshordozója részt vesz már az áramvezetésben. Ilyenkor a kollektor-emitter feszültség néhány tized volt A tranzisztor alkalmazásai: A rádiók, tv-k, videók, egyéb analóg áramkörök kis szintű jeleit felerősíti. Kapcsoló üzemben működik a számítógépekben és egyéb digitális berendezésekben, valamint a kapcsolóüzemű tápegységekben, teljesítményelektronikai áramkörökben. A kapcsolóüzem azt jelenti, hogy vagy a záró-tartományban,

vagy a telítési tartományban működik Egy mikroprocesszorban milliós nagyságrendű tranzisztor van egyetlen félvezető lapkán. 15. Lézer LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radition angol rövidítés, aminek a jelentése: fényerősítés a sugárzás kényszerített kibocsátásával. Az első lézert az amerikai Theodore Maiman (e. teodor méjmen) készítette 1960-ban, ami egy impulzus üzemben működő rubinlézer volt. Rubinlézer A működés elve 3 lépésre bontható: 1.) Pumpálás: A fénykibocsátáshoz az atomok elektronjait gerjesztett állapotba kell hozni Ezt pumpálásnak nevezik. A pumpálás történhet fénnyel úgy, hogy egy villanólámpát (vaku) egy feltöltött kondenzátor kisütésével működésbe hozunk. Ez nagy intenzitású fényt bocsát ki 77 széles hullámhossztartományban. Ilyen gerjesztést használnak a szilárdtest és a folyadéklézerek többségében, ezért ezek impulzusüzemben működnek A gázlézerekben

(pl. hélium – neon lézer) elektromos gerjesztéssel gázkisülést hozunk létre Ezek folytonos működésűek A félvezető lézerekben a pumpálást a p – n átmeneten nyitó irányban folyó áram biztosítja. Folyamatos és impulzus üzemmódban is működhetnek. 2.) Populáció inverzió Az elektronok gerjesztett állapota általában 10-8 s-ig áll fent, majd minden külső hatás nélkül elektromágneses hullám kibocsátásával alacsonyabb energiaszintű állapotba kerülnek. Ez a spontán emisszió véletlenszerű folyamat. Léteznek azonban úgynevezett metastabil állapotok, amelynél a gerjesztett állapot akár néhány ms-ig, azaz 100 000-szer hosszabb ideig is fennállhat. Az optikai tartományban a metastabil állapot létrehozásához legalább három energianívós rendszerre van szükség. A gerjesztetlen állapotú elektront pumpálással olyan felső gerjesztett állapotba juttatjuk, ahonnan a kicsit alacsonyabb szintű metastabil állapotba kerül spontán

emisszióval. A rubinkristály Al 2 O 3 alumíniumoxid, de az Al3+ ionok egy részét Cr3+ krómionok helyettesítik. A krómionok a vaku hatására gerjesztett állapotba kerülnek, és az energia egy részét igen gyorsan átadva a rácsnak, metastabil állapotba jutnak. Ha gerjesztett állapotú elektronból több van, mint gerjesztetlenből, akkor beszélünk populáció inverzióról (fordított energiaállapotú népesség). Olyan ez, mintha egy állatkertben kiszabadulna a ketrecéből egy oroszlán Ekkor az emberek villámgyorsan fölmásznak a rácsokra, fákra, inverz, gerjesztett állapotba kerülnek. A He – Ne lézerben a kb. 130 Pa nyomású gázrészecskék 90 %-a He-atom, és 10 % Neatom A gázkisülés hatására a gerjesztett állapotú hélium ütközéssel metastabil állapotba juttatja a neonatomok elektronjait A Brewster-ablak (e: brjúszter) a fény haladási irányával bezárt szöge olyan, hogy az átmenő és a visszavert fénynyaláb egymásra merőleges,

így a kilépő fénynyaláb lineárisan poláros lesz. 3.) indukált emisszió Már Albert Einstein 1917-ben kimutatta, hogy a gerjesztett elektronok 97 %-os tükör tükör külső hatásra alacsonyabb energiájú állapotba kerülhetnek foton kibocsátásával, még mielőtt a spontán emisszió He - Ne bekövetkezne. Ha egy foton a metastabil állapotú elektronnal kerül kölcsönhatásba, indukált emisszió jön létre. Az emittált foton az indukálóBrewster-ablak val azonos irányba halad, frekven3 kV ciája, fázisa, polarizációs síkja is fűtőszál megegyezik vele. Az előző példához visszatérve, -8 amikor a gondozó az altató injekcióval 10 s spontán energialeadás Ef leteríti az oroszlánt, egy ember spontán Ek metastabil szint leugrik a fáról. Ezt látva a többiek, pumpálás szinte egyszerre ugranak le (indukált emisszió) Indukált emisszió Ha a lézeranyag két végénél párhuEa zamos tükröket helyezünk el, akkor a 78 tengellyel

párhuzamosan haladó fotonok sok – sok indukált emissziót okoznak, jelentős fényerősítés jön létre. A tükrök között állóhullámok alakulnak ki, ezért a tükrök távolságának a félhullámhossz egész számú többszörösének kell lennie: c ∆E λ A kibocsátott fény frekvenciája: f = l = k⋅ = k⋅ 2 2⋅f h Mivel a Pauli-elv a szilárd testekre is érvényes, ott az energiaszintek sávokra bomlanak, így a szilárdtest lézerek kevésbé monokromatikusak, mint a gázlézerek. Ha az egyik tükör kismértékben áteresztő, akkor ott a fény egy része kilép. 1979-ben Horváth Zoltán György a Központi Fizikai Kutató Intézet fizikusa létrehozta az első síkban sugárzó lézert, a Glóriát (halo-lézer). Itt a tükrök koaxiális hengerfelületek. A neodímiumüveg lézerből kilépő fény 360 °-os szögben koherens fényt bocsátott ki. Az ilyen lézer impulzus üzemben fénykarikákat sugároz. Lézerdióda: A nyitóirányú áram bizonyos

nagyságánál kialakul az indukált emisszió lézerfény I p határréteg Csiszolt felület n A lézerfény tulajdonságai: Az indukált emisszió miatt a lézersugár monokromatikus, nagymértékben koherens és polarizált. Mivel a ferde irányú fotonok kilépnek a rezonátorból, a lézernyaláb keskeny, és a széttartása (divergenciája) igen kicsi. A párhuzamos nyaláb igen jól fókuszálható, nagyon nagy teljesítménysűrűség érhető el vele (egységnyi felületen időegység alatt átáramló energia) A lézerek alkalmazási területei: • Üvegszálas távközlés: mivel a fény terjedési sebessége egy anyagban függ a hullámhossztól (diszperzió) nagy távolságú gyors adatátvitel csak monokromatikus fénnyel valósítható meg. • Optikai adatrögzítés: CD, DVD írók, olvasók, lézernyomtató • Holográfia • Távolságmérés: Például az Apolló űrhajó utasai a Holdon elhelyeztek egy szögtükröt, és a lézerimpulzus visszaérkezési

idejéből a két pont távolsága meghatározható. Az észleléshez az is fontos, hogy kicsi a divergencia, így az energia nem csökken nagymértékben még ilyen távolságnál sem • Gépkocsik sebességének mérése • Irányok kitűzése: Metró alagút építése, fénymutató pálca • Gyógyászat, kozmetika: szemműtétek, sebgyógyítás • Fémmegmunkálás: lemezvágás, fúrás, precíziós hegesztés 79 16. Magfizika alapjai 16.1 Az atommag összetétele,jellemzői Ernest Rutherford (e.: razerford) 1909 és 1911 között végzett kísérletei jelentős mértékben hozzájárultak az atom szerkezetének megismeréséhez. Híressé vált szórási kísérletében alfarészecskékkel bombázott aranyfüst lemezt. A fólián szóródott részecskéket szcintillációs ernyőn α-sugarak detektálták. Az alfarészecskék nagy része távcső akadálytalanul áthatolt az aranypolónium fólián, egy részük eltérült, és volt néhány részecske (kb. minden

tízezredik), amely közel 180 foAranyfüstkos eltérülést szenvedett. lemez Rutherford a kísérletekből arra Szcintillációs következtetett, hogy az alfaréernyő szecske egy igen kis térrészben koncentrált pozitív töltésű részecskével ütközik, hiszen csak nagyon ritkán figyelhető meg ez a jelenség. Ez a részecske nagyon nagy tömegű a héliumhoz képest, mert csak így tud róla "visszapattanni". Az alfarészecske a kis tömegű elektronokat elsöpörte, eltérülését a poziAlfatív töltések között ható elektromos taszítóatommag sugarak erő okozta. Rutherford megállapította, hogy Az atom tömegének nagyon nagy része, kb. 99,98 %-a az atommagban koncentrálódik, és az atommag pozitív töltéseinek száma megegyezik az elem periódusos rendszerbeli rendszámával. A hidrogén atom magját protonnak nevezte el Az atommag átmérője 10-14÷10-15 m nagyságrendű, míg az atom ennél százezerszer nagyobb. James Chadwick (e.: dzsémsz

sedvik) angol Nobel-díjas kísérleti fizikus 1932-ben felfedezte a neutront. protonok Alfa-részecskékkel berilpolónium α-sugarak liumot bombázott, és a keletkező sugárzást parafinrétegbe vezette. A kilökött protonok ködkamrafelvételeiből kiszámította, hogy a protonnal közel berillium egyenlő tömegű semleges ködkamra parafin részecske lépett ki a berilliumból. Ezt neutronnak neneutronok vezte el. 4 9 12 1 2 He + 4 Be= 6 C + 0 n 80 Az atommag tehát protonokból és neutronokból, azaz gyűjtőnéven nukleonokból áll. A protonok száma megegyezik az elem rendszámával (Z), a protonok és neutronok számának összege (nukleonszám) egyenlő a tömegszámmal (A). Az azonos rendszámú, de eltérő tömegszámú atomokat az elem izotópjainak nevezzük. 16.2 Radioaktivitás 1896 tavaszán fedezte fel a radioaktivitást Henry Becquerel (e. anri bekverel) Különböző anyagok foszforeszkálását vizsgálta úgy, hogy a napsugárzásnak kitett anyag

utánvilágítási idejét és intenzitását mérte. Egyik alkalommal a napokig tartó borús idő miatt a mintát nem tudta megvilágítani. Az urán-sót a fiókjában tárolta a fekete papírba csomagolt fotólemezekkel együtt Az uránt tartalmazó minta képe akkor is megjelent az előhívás után, ha nem tette ki napsugárzásnak. Kimutatta, hogy a sugárzás erőssége az urán koncentrációjától függ, tehát az uránból származik. Becquerel, Rutherford, és a Curie házaspár [Marie Curie – Maria Sklodowska -, Pierre Curie] is vizsgálták az új sugárzás tulajdonságait. Elektromos és mágneses térrel a radioaktív α sugarak három összetevőre bonthatók. Az alfa-sugarak az atommagból kilépő héliB um atommagok, emiatt a keletkező új elem rendszáma kettővel, a tömegszáma néggyel csökken. G. Gamow az alfabomlást az alagút-effektus alapján értelmezte. Az α−részecske bizonyos valószínűséggel képes áthaladni a magerők által létesített

potenciálgáton, és β így az újmag alacsonyabb energia-állapotba kerül. Az α−sugarak levegőben való áthatolóképessége kicsi, mindössze néhány cm. Nagy az ionizáló képessége, elektront vesz fel, és semleges hélium atommá alakul. A béta-sugarak az atommagból kilépő elektronok. Ezt bizonyítja, hogy új elem keletkezik, aminek a rendszáma 1-gyel növekszik, a tömegszáma változatlan marad. A kilépő elektron energiája is olyan nagy, hogy az elektronhéjból nem származhat. A béta-bomlás általában alfa-bomlást követő folyamat, mert az alfa-bomláskor keletkező magban nem megfelelő a proton neutron arány. Enrico Fermi magyarázta meg a β-bomlást: A magban levő egyik neutron protonra és elektronra bomlik szét, és az elektron kilép az atommagból. A kilépő elektronok sebességeloszlása folytonos. Ez csak úgy lehetséges, ha keletkezik egy harmadik, semleges részecske is, aminek a nyugalmi tömege nagyon kicsi. Ezt ma

elektron-antineutrinónak nevezzük Gamma-sugárzás: Az α−bomlás illetve a β-bomlás során keletkező atommagok gyakran gerjesztett állapotúak. Az alapállapotba kerüléshez igen nagy energiájú elektromágneses hullámokat, γ−sugarakat bocsájtanak ki A rendszám és a tömegszám is változatlan marad A γ−sugarak áthatolóképessége nagyon nagy. Aktivitás: Az időegység alatt bekövetkező bomlások száma. 1 Bq (bequerel) az aktivitás, ha egy másodperc alatt 1 bomlás jön létre. Irene Joliot-Curie (e.: iréne zsolio-küri;1897 – 1956) Pierre Curie és Marie Curie leánya, és Frederic Joliot-Curie (1900 – 1958) francia fizikusok 1935-ben kaptak kémiai Nobel-díjat a 81 mesterséges radioaktivitás felfedezéséért. A különböző sugárzásoknak kitett anyagokból olyan izotópok keletkezhetnek, amelyek radioaktívak. A pozitron-bomlásnál (β+-bomlás) egy proton bomlik el neutronra és pozitronra, és keletkezik egy elektron-neutrinó. A

pozitron az elektron antirészecskéje. Minden tulajdonságuk megegyezik, csak a töltésük ellenkező előjelű. Ha egy részecske találkozik az antirészecskéjével, akkor az energiájuk γ−sugárzássá alakul (szétsugárzódás) Az elektronbefogás azt jelenti, hogy egy mag a legbelső K héjról egy elektront befog, a rendszám eggyel csökken, a tömegszám változatlan marad. Ez úgy lehetséges, hogy egy protonból és a befogott elektronból egy neutron keletkezik. Ehhez energia-felvétel szükséges, amit fotonok biztosítanak Bomlási törvény: Az időegység alatt elbomló részecskék száma (dN) arányos az összes ré�� szecskék számával (N): �� = −� ∙ �, λ – bomlási állandó A változókat szétválasztva és mindkét oldalt integrálva: lnN= - λt+lnC A t idő alatt el nem bomlott magok száma a kezdeti feltétel figyelembevételével: � = �0 � −�� Az exponenciális bomlási törvény azt is jelenti, hogy a részecskék fele

mindig ugyanannyi idő alatt bomlik el statisztikusan. Ezt az időt felezési időnek nevezzük � − � A bomlási törvény a felezési idővel: � = �0 2 Tömegspektroszkóp: ha nagy sebességre gyorsított töltött részecskéket párhuzamos homogén villamos és mágneses téren vezetünk keresztül, akkor a különböző sebességű, de azonos fajlagos töltésű részecskék egy parabola mentén csapódnak az ernyőbe. Azonos töltés, de eltérő tömeg esetén különböző parabolákat kapunk Ilyen mérésekből a részecskék tömege nagy pontossággal megállapítható. A mérési eredmények azt mutatták, hogy egy összetett atommag tömege kisebb, mint a benne levő nukleonok össztömege: � �� < ��� + (� − �)�� A tömeghiány (tömegdefektus) a kötési energia miatt van (a nukleonok összekapcsolódása alacsonyabb energiájú állapotot jelent). A kötési energia Einstein egyenlete alapján: E k =Δm∙c2 Fajlagos (egy nukleonra

jutó) kötési energia: � 16.3 Magmodellek = �� � Cseppmodell: Egy új típusú kölcsönhatás jelenik meg tehát a nukleonok között, amelynek általános jellemzői a következőkben foglalhatók össze: • a kölcsönhatás (magerő) elektromos töltéstől független, • bármely két nukleon között vonzás jellegű, • erősebb, mint az elektromos, hiszen legyőzi a protonok taszítását (innen származik az erős kölcsönhatás elnevezés), • igen kis hatótávolságú, csak a közvetlenül szomszédos néhány nukleon között hat. Az atommag sok szempontból egy folyadékcsepphez hasonlítható. Innen a cseppmodell elnevezés 82 A folyadékcseppet a rövid hatótávolságú kohéziós erő tartja össze. A nukleonokból álló atommagot szintén a rövid hatótávolságú nukleáris kötőerő tartja össze. Az atommaggal kapcsolatos tapasztalatok: • a tömegszám növekedésével a mag sűrűsége nem változik. • a tömegszám növekedésével a

mag felülete kevésbé növekszik, mint a térfogata. E két dolog a magban lévő energiákat jelentősen meghatározza. • Térfogati energia: A nukleonok közötti vonzóerőből származik. A magban a tömegszám növekedésével nő a fajlagos kötési energia, mert újabb és újabb nukleonok között jelenik meg vonzó kölcsönhatás. Ez az energiajárulék az erős kölcsönhatásból származik. • Felületi energia: A kötési energiát csökkenti az, hogy a mag felületén elhelyezkedő nukleonok nincsenek minden oldalról körülvéve, ezért csak a belül lévők képesek kölcsönhatásba lépni. Ezek a nukleonok nem vesznek részt teljes intenzitással a kötésben A tömegszám növekedésével az összes nukleonhoz képest egyre kisebb lesz a felszín, így ennek a járuléknak a jelentősége csökken. • Coulomb energia: A tömegszám növekedésével növekszik a magban található protonok száma és a mag mérete. A Coulomb-féle taszítóerő egyre

jelentősebb lesz, ami csökkenti a kötési energiát. • Pauli energia: A Pauli elvnek megfelelően mind a protonok, mind a neutronok párosával töltik be az energiaszinteket. Energetikailag legkedvezőbb, ha egyszerre töltődik a két potenciál gödör. A neutronok és protonok számának eltérése többletenergiával jár. • Párenergia: Mélyebb a kölcsönhatási energia, ha minden nukleonnak van azonos párja A fajlagos kötési energia-tömegszám grafikon elemzése: Kezdetben a tömegszám növekedésével a fajlagos kötési energia nő. Kis tömegszámnál aránylag nagy a felületi energia A tömegszám növekedésével a térfogat gyorsabban növekszik, mint a felület, ezért a térfogati energia gyorsabban növekszik, mint a felületi energia. A fajlagos kötési energia növekedése egészen az 56-os tömegszámig tart. A vas fajlagos kötési energiája a legnagyobb, mérések szerint 8,81 MeV (vastócsa) Mérések szerint az egyes nukleonok kötési energiája

független a nukleon fajtájától, ezért a kötési energiája arányos a nukleonok számával. A mag térfogata arányos a nukleonok számával, ezért a sűrűsége állandó, olyan, mint egy folyadékcsepp. Ebből következik, hogy az atommag sűrűsége is állandó minden atommag esetében, hasonlóan ahhoz, ahogy egy adott folyadék sűrűsége sem változik attól, hogy többet, vagy kevesebbet veszünk belőle. A nagy rendszámú elemek radioaktív bomlással vagy maghasadással, a kis rendszámúak magfúzióval (magegyesüléssel) kerülhetnek alacsonyabb energiaszintű állapotba. 83 Héjmodell: Az atom elektronjainak kvantummechanikai leírásához hasonlóan leírták a nukleonok állapotait is. A nukleonok ugyanúgy fermionok (feles spinű részecskék), mint az elektronok, azaz teljesülnek rá a kvantummechanika fermionokra értelmezett törvényszerűségei: • a nukleonok diszkrét energiaszintű állapotokat töltenek be az állapotnak megfelelő

valószínűséggel • ezeket az energiaszinteket a Fermi-Dirac statisztika szerint töltik be, tehát érvényes rájuk a Pauli-féle kizárási elv • az állapotok (fő-, mellék-, és spin-) kvantumszámokkal jellemezhetőek (pont úgy, ahogy az elektronok energia-héjszerkezeténél) Már korábban is felfigyeltek a kutatók arra, hogy a 2, 8, 20, 28, 50, 82 vagy 126 protont, illetve neutront tartalmazó magok különösen stabilak. Ezeket a magokat nevezzük „mágikus magoknak”. Ezek a zárt héjak Egyesített magmodell: Aage Bohr (Niels Bohr fia) 1946-ban dolgozta ki a kis tömegszámokra igaz héjmodell és a nagy tömegszámokra igaz cseppmodell egyesítéséből adódó elméletet. Az egyesített magmodell szerint a magtörzs cseppviselkedésű, a többi nukleon ezt réteges héjszerkezettel veszi körül. A modell különösen a fúzió leírásában mutatkozott helyesnek 16. 4 Az atomenergia felszabadítása A neutron felfedezése lehetővé tette az atomenergia

felszabadítását, és a transzuránok létrehozását. Németországban Otto Hahn, Fritz Strassmann és Lise Meitner elkezdték vizsgálni a neutronsugárzással létrehozott magátalakításokat. 1938-ban Hahn és Strassmann kimutatta, hogy az uránból neutron hatására radioaktív báriumizotóp keletkezett. Meitner értelmezte a jelenséget: Az urán báriumra és kriptonra hasadt szét és szabad neutronok is keletkeztek. A hasadási termékek össztömege kisebb az urán tömegénél Ebből kiszámította a felszabaduló energiát, amire 200 MeV (megaelektronvolt) értéket kapott 84 Szilárd Leó 1929-ben jelent meg Entrópiacsökkenés termodinamikai rendszerben intelligens lény hatására című írása, amelyben az entrópia és az információ közötti kapcsolatot elemezte. Míg az entrópia a rendezetlenség mértéke, az információ a rendezettséget növeli. Gondoljunk arra, hogy a földben és a levegőben levő rendezetlen anyagokból a növényi magban levő

információk hatására egy jól szervezett rendszer, a növény fejlődik ki. 1934-ben felismerte és szabadalmaztatta a nukleáris láncreakció lehetőségét, bevezette a kritikus tömeg fogalmát. A kritikus tömeg annak a legkisebb gömb alakú anyagnak a tömege, amelyben a keletkező neutronok közül legalább egy újabb reakciót hoz létre, és így a folyamat önfenntartóvá válik 1939-ben Fermi és Szilárd egymástól függetlenül kimérték, hogy az uránmag hasadásakor átlag 2÷2,3 neutron keletkezik. Ez lehetővé tette az önfenntartó láncreakciót Miután 1942 decemberében beindult az első atomreaktor, az atombomba megvalósításán, illetve plutónium tenyésztőreaktor létrehozásán dolgozott. Az atombomba program vezetője Los Alamosban Julius Robert Oppenheimer volt. Neumann János, aki a tárolt programú számítógép elvét feltalálta, ebben az időszakban szintén részt vett a fejlesztésben, elsősorban a lökéshullámokkal kapcsolatos

számításokat végezte. Wigner Jenő (1902 -1995) 1963-ban az atommagok és „az elemi részek elméletének fejlesztéséért, kiváltképpen az alapvető szimmetriaelvek felfedezéséért és alkalmazásáért” Nobel-díjat kapott. Uránmag Nem sokkal a neutron felfedezése után, 1933-ban kimutatta, hogy a magerők (erős kölcsönhatás) függetlenek a töltéstől, és rövid hatótávolságúak. Ezután az atommag kötési energiáját vizsgálva megállapította, hogy a páros számú protont és neutront tartalmazó atommagok stabilabbak a környezetükben levő többi magnál. A legstabilabb magok 2, 8, 20, 28, 50, 82 vagy 128 protont Szabad neutron vagy neutront tartalmaznak. Ezeket a számokat mágikus számoknak nevezik, és az atommagok héjszerkezetével magyarázhatók. Az atommag héjmodellje azonban alapvetően különbözik az elektronhéjaktól, mert itt nincs egy erős vonzócentrum, hanem a nukleonok egymás átlagos vonzó erőterében vannak. Ő tervezte az

első nagyobb teljesítményű hanfordi reaktorokat, ahol a Nagaszakira ledobott atombombához szükséges plutóniumot termelték. Az első kísérleti atombomba, és a Hirosimára ledobott atombomba dúsított uránból készült A II. világháború után energiatermelő atomreaktorok tervezésével foglalkozott elsősorban Igen sok ezzel kapcsolatos szabadalma van A nyomottvizes közönséges vízhűtéses reaktor mellett, nehézvíz moderátoros trícium termelésére alkalmas reaktort is tervezett, ami a fúziós bomba előállításához szükséges. Az urán bomba 2 vagy 3, egyenként a kritikus tömegnél kisebb, de összességében a kritikus tömegnél nagyobb tömbből áll. Egy hagyományos bomba felrobbantásakor ezek összepréselődnek A rádium és berillium neutronforrásként szolgál, és beindul a láncreakció. 85 A plutónium bomba tömege a kritikus tömegnél nagyobb, és gömbhéj alakban van elhelyezve. A gömbhéj nagy felületén sok neutron távozhat,

a láncreakció nem tud beindulni. A körkörösen elhelyezett gyújtószerkezetek a robbanóanyagot egyszerre sok helyről aktiválják, a plutónium gömb alakba préselődik, és a láncreakció beindul. Plutónium bomba Körkörös bomba plutónium acélköpeny Atomreaktorok A paksi atomreaktor közönséges vízhűtéses (H 2 O), nyomott vizes. A hűtőközeg és egyben moderátor (neutronlassító) közönséges víz, a zárt primer körben a nyomás 123 bar, a víz hőmérséklete kb. 300 °C Ezen a nyomáson a víz forráspontja 330 °C Az üzemanyag 3,6% dúsítású 235 92 U izotópot tartalmazó urándioxid. A természetes uránnak csak 0,7 %-a a 235 tömegszámú izotóp Ezt az urán izotópot csak az un lassú (termikus) neutronok tudják elhasítani, ezért a hasadáskor keletkező gyors neutronokat le kell lassítani. A szabályozás szerepét betöltő neutronelnyelő anyag a hűtővízben oldott bórsav, valamint az automatikával mozgatott szabályozó rudak. Erre

alkalmas a kadmium, a bór és a hafnium Az urán hasadásakor az azonnali (promt) neutronok 10-12 s alatt kilépnek, ilyen sebességgel a szabályozás nem valósítható meg. Sokkal kisebb számban keletkeznek a késő neutronok, amelyek a hasadási termékekből lépnek ki 1 s ÷ 100 s késéssel. Ezek teszik lehetővé a szabályozást A bórsav a neutronszámot a szükségesnél kicsit nagyobb értéken tartja. A szabályozó rudak nagyobb része az aktív zóna fölött van, és csak a reaktor leállításához vagy vészleállításához szükséges A kisebb részét a szabályozóautomatika mozgatja föl – le a szükséges neutronszám függvéSzekunder kör Primer kör nyében. A reaktor fala hőcserélő szabályozó rúd vastag acélköpeny, amit kívülturbina ről több méteres beton vesz körül. Belül a neutronok visszaverésére szolgáló reflektor van a falak mentén. A reflektor víz, nehézvíz vagy grafit lehet. A primer kör vize hasadóanyag szivattyú

radioaktív, ezért zárt rendszerű. visszahűtés Egy hőcserélőben előmelegítés a szekunder köri 86 alacsonyabb nyomású vizet elforralja, és a gőzt a turbinára vezetik. A fáradt gőzt a Duna vízével hűtve lecsapatják, és a vizet előmelegítve visszavezetik a hőcsrélőbe Hűtőközegként a különböző reaktortípusokban használnak még gázokat (széndioxid, hélium), és folyékony fémeket (nátrium, ólom) A nehézvíz moderátoros és hűtőközegű (D 2 O) reaktorok működéséhez nem szükséges az uránt dúsítani, mivel a deutérium alig nyel el neutront szemben a hidrogénnel. Az elgőzölögtető típusú reaktorok primer köre ugyancsak zárt, de már a reaktortérben gőzt fejlesztenek, és a leválasztott gőzt vezetik közvetlenül a turbinára. A munkavégzés után a gőzt kondenzálják, és visszavezetik a reaktortérbe. Ha a hasadóanyag plutónium, akkor nincs szükség moderátorra, mert azt elsősorban a gyors neutronok hasítják.

Magfúzió Teller Ede 1938-ban az ukrán származású Gamow-val közösen dolgozták ki a termonukleáris fúzió elméletét. Ilyen folyamat termeli a Napban az energiáját Két protonból deuteron, és béta-bomlással egy elektron keletkezik, és közben energia szabadul fel. 2p11 = D12 + e 0−1 A folyamat beindulásához nagyon magas hőmérséklet szükséges, hogy a protonok elegendően nagy energiával rendelkezzenek ahhoz, hogy a magerők hatótávolságán belül megközelítsék egymást. A protonok sebessége adott hőmérsékleten a Maxwell-eloszlás szerinti, így az átlagsebességnél sokkal nagyobb sebességű részecskék is vannak A fúzió beindulásához szükséges hőmérsékletet az alagúteffektus is csökkenti Két deutérium-magból trícium és proton, egy deuteronból és egy trícium-magból Héliummag és neutron keletkezhet energia-felszabadulás közben. Chicagóban Fermi munkatársaként dolgozott az első atomreaktor megépítésén. Az atommáglya

elkészülte után részt vett a Manhattan programban Los Alamosban 1947-ben lett az USA Reaktorbiztonsági Bizottságának elnöke. Rájött, hogy a grafitmoderátoros vízhűtéses reaktorok instabil állapotba kerülhetnek, ami katasztrófához vezethet A víznek ugyanis nemcsak hűtő szerepe van, hanem a neutronok egy részét el is nyeli. Ha valamilyen ok miatt a reaktorban fölforr a víz, akkor kevesebb neutron nyelődik el, több maghasadás jön létre, így a reaktor megszalad. Ezt Teller-effektusnak nevezik Sajnos ez be is következett Csernobilban 1986-ban. Részt vett a bolond-biztos TRIGA-reaktorok kifejlesztésében. A reaktor biztonsága ne az emberi tényezőkön, vagy a számítógépeken múljon, hanem a megszaladás kezdetekor automatikusan szűnjön meg a folyamat. Ez a neutronok elszökésével, vagy a neutronelnyelő rudak reaktortérbe esésével oldható meg. Teller Edét sokan a hidrogénbomba atyjaként emlegetik. Kezdeményezésére Kaliforniában

létrehoztak egy laboratóriumot, ahol 1952-ben elkészült az első fúziós bomba. A fúzió a bombában deutérium és trícium egyesülése, de a tríciumot a helyszínen kellett előállítani. Légnemű anyag sűrűsége túl kicsi lenne ahhoz, hogy a fúzió beinduljon. A lítium neutron hatására héliumra és tríciumra bomlik A lítium-deuterid üzem- 87 anyag egy nehézfémből készült forgási ellipszoid (Teller – Ulam tükör) egyik fókuszpontjában van, a másik fókuszpontban pedig egy fissziós atombomba. A maghasadás beindulásakor keletkező röntgensugárzás, majd a neutronok és a lökéshullám a másik fókuszban koncentrálódik, így jön létre a trícium és a fúzió feltétele, mielőtt a tükör szétrobban. Szabályozott fúziós kísérleti megoldások TOKAMAK A fúziós erőmű egyik megvalósításának elvi lehetőségét adja. A kamrát a kísérlet kezdetekor feltöltik a munkagázzal (általában hidrogénnel, deutériummal vagy

héliummal) majd a toroidális tekercsben hajtott áram segítségével erős mágneses teret keltenek a tóruszban a cső hossztengelye mentén. Amikor a tér már felépült a transzformátor primer tekercsében egy időben lineárisan növekvő áramot indukálnak. Ez a tórusz mentén elektromos teret indukál, (a tórusz maga tekinthető a transzformátor szekunder tekercsének) és ez az elektromos tér egy gázkisülést indít meg a munkagázban, amely ennek hatására gyorsan ionizálódik. Az így keletkezett plazmában a transzformátor erős áramot indukál és az magas hőmérsékletre fűti a plazmát. A plazmaoszlopnak a vákuumkamra közepén tartásához kiegészítő szabályzó mágneses tekercsek szükségesek. Lézeres fúzió: Egy kisméretű (< 1mm) Deutérium-Tricium keveréket tartalmazó kapszulát lézer- vagy részecskenyalábokkal összenyomunk, majd fűtünk. Az összenyomás során körülbelül a szilárdtestek sűrűségének tízszeresét kell

elérni A kapszula a gyújtáskor szabályozatlanul robban fel, mint egy mini hidrogénbomba, így nem lehet túl nagy méretű Az első lépésben a kapszula felületén levő réteget fűti fel a lézer. Az plazma állapotba kerül és nyomása (mint egy rakétahajtómű) összenyomja a D-T keveréket. Amikor elég nagy sűrű- 88 ség és hőmérséklet keletkezik, akkor a töltetben beindul a fúziós reakció és a kapszula "felrobban". 16.5 Elemi részecskék Már az ókorban négy őselemet különböztettek meg (föld, víz, levegő, tűz), Demokritosz atomokból építette fel az anyagot. Dalton (angol) a 19. század elején a kémiai reakciók tömegarányaiból következtetett az atomok létezésére 1895-ben Joseph John Thomson a katódsugárzás vizsgálatakor felfedezte az elektront. A 20. század elején Ruherford bevezette az atommag és a proton fogalmát, majd 1932-ben Sir James Chadwick felfedezte a neutront. Az atommagot alkotó protonokat és

neutronokat nukleonoknak nevezzük. A radioaktív bomlásokban, a részecskegyorsítókban, a háttér és a kozmikus sugárzásban újabb elemi részecskéket fedeztek fel (pozitron, neutrinó, müon, pion, kaon, stb.) Az elemi részecskéket több szempont szerint csoportosíthatjuk. A spin szerint az elemi részek lehetnek fermionok, amik feles spinűek (a saját impulzusmomentumuk ħ 0,5-szerese vagy annak páratlan számú többszöröse {s= 1/2; 3/2; 5/2 }(elektron, proton, neutron ), vagy bozonok, amelyek egész spinűek (s=0, 1, 2, ), például foton. A fermionokra érvényes a Pauli-elv, míg a bozonokra nem. 1927-ben Dirac meghatározta a Schrödinger egyenlet relativisztikus alakját. Ebből az következett, hogy minden feles spinű elemi részecskének van egy antirészecske párja ezek azonos tulajdonságú részecskék, de ellentétes töltésűek. Ha egy részecske találkozik az antirészecskéjével, akkor szétsugárzódnak (annihiláció), egész spinű bozonok

keletkeznek. A neutron és a neutrinó is feles spinű, ezeknek nincs elektromos töltésük, de van antineutron illetve antineutrinó párjuk. Ezekre is igaz a szétsugárzódás a találkozáskor A jelenség fordítottja, a párkeltés is lehetséges. Egy nulla nyugalmi tömegű és egész spinű kellően nagy energiájú γ-fotonból keletkezhet egy részecske – antirészecske pár. Ezt párkeltésnek nevezzük Ha egy gamma-foton energiája nagyobb két elektron (egy elektron és egy pozitron) nyugalmi tömegéből származó energiánál, akkor egy atommagba ütközve elektron – pozitron pár keletkezik. Ma már részecskegyorsítókban kis rendszámú antiatomokat is sikerült létrehozni. Az elemi részek nagy száma miatt újabb, elemibb részekből próbáljuk az anyagot fölépíteni. Ezek jellemzésére újabb kvantumszámokat is kell használni (leptontöltés, bariontöltés, szín {R, G, B, de ezek nem tényleges színek, csak kvantumszámok, amelyek a színkeveréshez

hasonlóan kezelhetők}) A leptonok (könnyű részecskék, a nukleonoknál sokkal kisebb tömegűek) olyan elemi részecskék, amelyek nem vesznek részt az erős kölcsönhatásban és nem is közvetítenek kölcsönhatást. Ide tartozik az elektron, a müon, a tau (τ) részecske és a nekik megfelelő neutrínók, valamint ezek antirészecskéi. Név jel nyugalmi tömeg elektromos töltés (e) élettartam (s) Elektron neutrínó ν e < 7 eV/c2 0 stabil 2 Elektron e 511 keV/c -1 stabil 2 Müon neutrínó ν μ < 270 keV/c 0 stabil Müon μ 105,7 MeV/c2 -1 2,197 · 10−6 Tau neutrínó ντ < 31 MeV/c2 0 stabil 2 Tau-lepton τ 1777 MeV/c -1 3,4 · 10−13 89 A részecskefizika standard modellje 12-féle elemi fermiont (anyagi részecskét) és 12-féle bozont (közvetítő részecskét), valamint antirészecskéiket és a még kísérletileg fel nem fedezett Higgs-bozont tartalmazza. Létezhetnek ezenkívül olyan elemi részecskék, amelyeket a standard modell nem ír

le. A legfontosabb ilyen részecske a graviton, a gravitációs kölcsönhatás feltételezett közvetítője. A 12 alapvető anyagi részecske (fermion) 3 családba sorolható, amelyek mindegyikének 4 tagja van (lásd az ábrát). 6 részecske közülük kvark, 6 pedig lepton. Az utóbbiak közül 3 neutrínó, a maradék pedig az elektron, a müon és a taulepton. A kvarkok azok az elemi részecskék, amelyekből a mezonok és a barionok (például a proton és a neutron) felépülnek. Feles spinűek, tehát fermionok. Részt vesznek mind az erős, mind az elektromágneses, mind a gyenge kölcsönhatásban. Az erős kölcsönhatás tartja össze az atommagot, a gyenge kölcsönhatás okozza a radioaktív bomlást A Standard Modell szerint a kölcsönhatások helyi szimmetriákból erednek, forrásuk valamilyen töltés, és bozonok közvetítik őket. Ezek a bozonok nemcsak a kölcsönhatások hordozóiként, hanem szabadon is léteznek, ugyanolyan elemi részecskék tehát, mint a

fermionok, és kísérletileg is észlelhetők. A kvarkokat csak kötött állapotaikban, a hadronok belsejében, közvetve figyelhetjük meg. • három kvark alkotja a legegyszerűbb barionokat (három antikvark az antibarionokat), • egy kvark és egy antikvark alkotja a legegyszerűbb mezonokat. Barion például a proton {uud} és a neutron {udd}, mezon például a pion. . A "barion" kifejezés a görög "barüsz" ("nehéz") szóból származik, mivel nehezebbek, mint a részecskék többi fő csoportja. Bariontöltésük +1, az antibarionoké pedig -1 A kvarkok színe A kvarkok nem létezhetnek szabadon. Az erős kölcsönhatás az úgynevezett szín-töltésre hat Mindegyik kvarknak 3 állapota lehetséges, amelyek megkülönböztetésére a 3 alapszín jelölést vezették be (R - vörös, G - zöld, B - kék), de ezek nem tényleges színek, hanem kvantumállapotok. A kvarkok kis energián csak olyan kötött állapotban létezhetnek, amelyek

színsemlegesek. Ilyenek például a három szín mindegyikét tartalmazó barionok, egy színt és egy antiszínt tartalmazó mezonok és a három antiszínt tartalmazó antibarionok 90 A kölcsönhatásokat közvetítő részecskék: Ezek egész spinűek • Az elektromágneses kölcsönhatás esetén a foton. • A gyenge kölcsönhatás esetén a semleges Z-bozon, valamint a két töltött (+ és – ) W-bozon. • Az erős kölcsönhatás esetén a nyolc gluon (glue – ragasztó). Minden gluon egy színt és egy antiszínt hordoz. Összesen tehát tizenkét kölcsönhatást közvetítő részecskénk van. . Hadronok: a mezonok, nukleonok és hiperonok gyűjtőneve A mezonok: Közepes tömegű részecskék, amik egy kvarkból és egy anti-kvarkból állnak. Néhány mezon Részecske kvarkok tömeg·c² átlagos elektromos ritkaság antirészecske élettartam töltés (e) (Y) + -8 pozitív π 139 2,6·10 s +1 0 negatív pion pion MeV negatív π-1 0 pozitív pion pion semleges

π0 135 8,3·10-17s 0 0 semleges pion MeV pion pozitív kaon negatív kaon semleges kaon K+ KK0 494 MeV 498 MeV 1,2·10-8s 5,2·10-8s és 8,9·10-11s 91 +1 +1 negatív kaon -1 -1 pozitív kaon 0 +1 anti-kaon