Mathematics | Discrete mathematics » Gáspár-Molnárka - Mátrixok előadás

Lineáris algebra és többváltozós függvények Gáspár Csaba Molnárka Győző 2006 Miletics Edit Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 2 / 55 Lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Legyenek X , Y vektorterek. Az A : X Y függvény lineáris leképezés, ha • a DA értelmezési tartomány altér X -ben; • A(x + y) = A(x) + A(y)

minden x, y ∈ DA esetén; • A(λx) = λ · A(x) minden x, y ∈ DA , λ ∈ R esetén. mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 3 / 55 Lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Legyenek X , Y vektorterek. Az A : X Y függvény lineáris leképezés, ha • a DA értelmezési tartomány altér X -ben; • A(x + y) = A(x) + A(y) minden x, y ∈ DA esetén; • A(λx) = λ · A(x) minden x, y ∈ DA , λ ∈ R esetén. mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris

egyenletrendszerek Ha A : X Y lineáris leképezés, akkor • tetszőleges x = λ1 x1 + λ2 x2 + . + λn xn lineáris kombináció esetén Ax = λ1 Ax1 + λ2 Ax2 + . + λn Axn • az RA képtér is altér (Y -ban) Adjungált Speciális mátrixok 3 / 55 Lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Legyenek X , Y vektorterek. Az A : X Y függvény lineáris leképezés, ha • a DA értelmezési tartomány altér X -ben; • A(x + y) = A(x) + A(y) minden x, y ∈ DA esetén; • A(λx) = λ · A(x) minden x, y ∈ DA , λ ∈ R esetén. mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Ha A : X Y lineáris leképezés,

akkor • tetszőleges x = λ1 x1 + λ2 x2 + . + λn xn lineáris kombináció esetén Ax = λ1 Ax1 + λ2 Ax2 + . + λn Axn • az RA képtér is altér (Y -ban) Adjungált Speciális mátrixok Minden lineáris leképezésre: A0 = 0. 3 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, 1. Legyen A : R R, Ax := a · x (a ∈ R adott) Akkor A lineáris leképezés. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 4 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, 1. Legyen A : R R, Ax :=

a · x (a ∈ R adott) Akkor A lineáris leképezés. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns 2. Tekintsük az [a, b] intervallumon folytonos függvények C[a, b] halmazát, és az ugyanitt folytonosan differenciálható függvények C 1 [a, b] halmazát. Legyen D : C 1 [a, b] C[a, b] a differenciálás operátora: Df := f 0 minden f ∈ C 1 [a, b]-re. Akkor D lineáris leképezés. Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 4 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, 1. Legyen A : R R, Ax := a · x (a ∈ R adott) Akkor A lineáris leképezés. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal •

Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek 2. Tekintsük az [a, b] intervallumon folytonos függvények C[a, b] halmazát, és az ugyanitt folytonosan differenciálható függvények C 1 [a, b] halmazát. Legyen D : C 1 [a, b] C[a, b] a differenciálás operátora: Df := f 0 minden f ∈ C 1 [a, b]-re. Akkor D lineáris leképezés. Rb 3. Legyen I : C[a, b] R, If := a f (x)dx Akkor I lineáris leképezés. Adjungált Speciális mátrixok 4 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, 1. Legyen A : R R, Ax := a · x (a ∈ R adott) Akkor A lineáris leképezés. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális

mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek 2. Tekintsük az [a, b] intervallumon folytonos függvények C[a, b] halmazát, és az ugyanitt folytonosan differenciálható függvények C 1 [a, b] halmazát. Legyen D : C 1 [a, b] C[a, b] a differenciálás operátora: Df := f 0 minden f ∈ C 1 [a, b]-re. Akkor D lineáris leképezés. Rb 3. Legyen I : C[a, b] R, If := a f (x)dx Akkor I lineáris leképezés. Adjungált Speciális mátrixok 4. Legyen δ : C(R) R, δf := f (0) Akkor δ lineáris leképezés (Dirac-féle δ -funkcionál). 4 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák 5. Az R2 sı́k minden pontjához rendeljük hozzá az origó körüli, adott t szögű

elforgatás útján kapott pontot. Ezzel egy R2 R2 lineáris leképezést definiáltunk. • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 5 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák 5. Az R2 sı́k minden pontjához rendeljük hozzá az origó körüli, adott t szögű elforgatás útján kapott pontot. Ezzel egy R2 R2 lineáris leképezést definiáltunk. • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések 6. Az R3 tér minden pontjához rendeljük hozzá a pontnak

egy adott, az origóra illeszkedő sı́kra vett ortogonális vetületét. Ezzel egy R3 R3 lineáris leképezést definiáltunk. • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 5 / 55 Lineáris leképezések, példák Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák 5. Az R2 sı́k minden pontjához rendeljük hozzá az origó körüli, adott t szögű elforgatás útján kapott pontot. Ezzel egy R2 R2 lineáris leképezést definiáltunk. • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek 6. Az R3 tér minden pontjához rendeljük hozzá a

pontnak egy adott, az origóra illeszkedő sı́kra vett ortogonális vetületét. Ezzel egy R3 R3 lineáris leképezést definiáltunk. 7. Legyen a ∈ R3 adott vektor és minden x ∈ R3 esetén jelölje Ax := x × a. Az ı́gy definiált A : R3 R3 leképezés lineáris leképezés. Adjungált Speciális mátrixok 5 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Az n sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex.

Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 6 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az n sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex. Ha n = m: négyzetes mátrix, ekkor n a mátrix rendje. Adjungált Speciális mátrixok 6 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok

• Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az n sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex. Ha n = m: négyzetes mátrix, ekkor n a mátrix rendje. Ha n = 1: sorvektor, ha m = 1: oszlopvektor. Adjungált Speciális mátrixok 6 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze •

Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Az n sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex. Ha n = m: négyzetes mátrix, ekkor n a mátrix rendje. Ha n = 1: sorvektor, ha m = 1: oszlopvektor. Zérusmátrix: minden eleme zérus. 6 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Az n

sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex. Ha n = m: négyzetes mátrix, ekkor n a mátrix rendje. Ha n = 1: sorvektor, ha m = 1: oszlopvektor. Zérusmátrix: minden eleme zérus. Az A négyzetes mátrix diagonálmátrix, ha csak a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig tartó fődiagonálisban lévő elemek különbözhetnek 0-tól. 6 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek

Adjungált Speciális mátrixok Az n sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex. Ha n = m: négyzetes mátrix, ekkor n a mátrix rendje. Ha n = 1: sorvektor, ha m = 1: oszlopvektor. Zérusmátrix: minden eleme zérus. Az A négyzetes mátrix diagonálmátrix, ha csak a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig tartó fődiagonálisban lévő elemek különbözhetnek 0-tól. Egységmátrix: minden diagonálelem 1, a többi elem 0. Jele: I 6 / 55 Mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések •

Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Az n sorból és m oszlopból álló téglalap alakú      a11 a12 a21 a22 . . an1 an2 . a1m . a2m . . anm      számtáblázatot n × m -es mátrixnak nevezzük. Első index: sorindex, második idex: oszlopindex. Ha n = m: négyzetes mátrix, ekkor n a mátrix rendje. Ha n = 1: sorvektor, ha m = 1: oszlopvektor. Zérusmátrix: minden eleme zérus. Az A négyzetes mátrix diagonálmátrix, ha csak a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig tartó fődiagonálisban lévő elemek különbözhetnek 0-tól. Egységmátrix: minden diagonálelem 1, a többi elem 0. Jele: I Az n × m -es mátrixok halmazát Mn×m -mel jelöljük. 6 / 55 Műveletek mátrixokkal Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris

leképezések, Legyenek A = [akj ], B = [bkj ] ∈ Mn×m tetszőleges mátrixok, λ ∈ R tetszőleges szám. Az A és B mátrixok összege: példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok    A+B :=   a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 . . an1 + bn1 an2 + bn2 . a1m + b1m . a2m + b2m . . . anm + bnm Az A mátrix λ-szorosa:    λ · A :=   λa11 λa12 λa21 λa22 . . λan1 λan2 . λa1m . λa2m . . . λanm     ∈ Mn×m      ∈ Mn×m  7 / 55 Műveletek mátrixokkal Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Legyenek A = [akj ], B = [bkj ] ∈ Mn×m

tetszőleges mátrixok, λ ∈ R tetszőleges szám. Az A és B mátrixok összege: példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok    A+B :=   a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22 . . an1 + bn1 an2 + bn2 . a1m + b1m . a2m + b2m . . . anm + bnm Az A mátrix λ-szorosa:    λ · A :=   λa11 λa12 λa21 λa22 . . λan1 λan2 . λa1m . λa2m . . . λanm     ∈ Mn×m      ∈ Mn×m  Mn×m az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve nmdimennziós vektorteret alkot. 7 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések,

példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Az A = [akj ] ∈ Mn×m , B = [bkj ] ∈ Mm×r tetszőleges mátrixok A · B szorzata az a C = [ckj ] ∈ Mn×r mátrix, melynek kj -edik eleme: ckj := m X aki bij , i=1 azaz az A mátrix k -adik sorának és a B mátrix j -edik oszlopának skaláris szorzata. Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 8 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek Az A = [akj ] ∈ Mn×m , B = [bkj ] ∈ Mm×r tetszőleges mátrixok A · B szorzata az a C = [ckj ] ∈ Mn×r mátrix, melynek kj -edik eleme: ckj := mátrixokkal • Mátrixok szorzása •

Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns m X aki bij , i=1 azaz az A mátrix k -adik sorának és a B mátrix j -edik oszlopának skaláris szorzata. Példa: Legyenek Lineáris egyenletrendszerek A := Adjungált Speciális mátrixok 1 0 0 0 ! 0 1 0 0 ! Akkor: AB = , és B := , és BA = 0 1 0 0 ! 0 0 0 0 . ! . 8 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, A mátrixszorzás asszociatı́v, azaz, ha A ∈ Mn×m , B ∈ Mm×p , C ∈ Mp×q , akkor (AB)C = A(BC). példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns

Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 9 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések A mátrixszorzás asszociatı́v, azaz, ha A ∈ Mn×m , B ∈ Mm×p , C ∈ Mp×q , akkor (AB)C = A(BC). Az (AB)C mátrix kj -edik eleme: ((AB)C)kj = Pp i=1 (AB)ki ci j = Pp i=1 Pm r=1 akr bri cij . • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 9 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok

• Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns A mátrixszorzás asszociatı́v, azaz, ha A ∈ Mn×m , B ∈ Mm×p , C ∈ Mp×q , akkor (AB)C = A(BC). Az (AB)C mátrix kj -edik eleme: Pp Pp Pm ((AB)C)kj = i=1 (AB)ki ci j = i=1 r=1 akr bri cij . Az A(BC) mátrix kj -edik eleme: Pm Pm Pp (A(BC))kj = u=1 aku (BC)uj ci j = u=1 v=1 aku buv cvj . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 9 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek A mátrixszorzás asszociatı́v, azaz, ha A

∈ Mn×m , B ∈ Mm×p , C ∈ Mp×q , akkor (AB)C = A(BC). Az (AB)C mátrix kj -edik eleme: Pp Pp Pm ((AB)C)kj = i=1 (AB)ki ci j = i=1 r=1 akr bri cij . Az A(BC) mátrix kj -edik eleme: Pm Pm Pp (A(BC))kj = u=1 aku (BC)uj ci j = u=1 v=1 aku buv cvj . A mátrixszorzás az összeadás felett disztributı́v: ha A, B ∈ Mn×m , C ∈ Mm×p , akkor (A+B)C = AC +BC , és ha A, B ∈ Mn×m , C ∈ Mp×n , akkor C(A + B) = CA + CB . Adjungált Speciális mátrixok 9 / 55 Mátrixok szorzása Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok A mátrixszorzás asszociatı́v, azaz, ha A ∈

Mn×m , B ∈ Mm×p , C ∈ Mp×q , akkor (AB)C = A(BC). Az (AB)C mátrix kj -edik eleme: Pp Pp Pm ((AB)C)kj = i=1 (AB)ki ci j = i=1 r=1 akr bri cij . Az A(BC) mátrix kj -edik eleme: Pm Pm Pp (A(BC))kj = u=1 aku (BC)uj ci j = u=1 v=1 aku buv cvj . A mátrixszorzás az összeadás felett disztributı́v: ha A, B ∈ Mn×m , C ∈ Mm×p , akkor (A+B)C = AC +BC , és ha A, B ∈ Mn×m , C ∈ Mp×n , akkor C(A + B) = CA + CB . Az n × n-es zérusmátrix (0), és az n × n-es egységmátrix (I ) tetszőleges A ∈ Mn×n mátrixszal felcserélhető, éspedig A0 = 0A = 0, és AI = IA = A. 9 / 55 Speciális mátrixszorzatok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Azonos méretű négyzetes mátrixok szorzata ugyanolyan méretű négyzetes mátrix. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és

lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 10 / 55 Speciális mátrixszorzatok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Azonos méretű négyzetes mátrixok szorzata ugyanolyan méretű négyzetes mátrix. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális n × n-es mátrix és n × 1-es oszlopvektor szorzata n × 1-es oszlopvektor. mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 10 / 55 Speciális mátrixszorzatok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Azonos

méretű négyzetes mátrixok szorzata ugyanolyan méretű négyzetes mátrix. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns n × n-es mátrix és n × 1-es oszlopvektor szorzata n × 1-es oszlopvektor. 1 × n-es sorvektor szorzata n × 1-es oszlopvektorral egy 1 × 1-es mátrixot, azaz egyetlen számot eredményez (skaláris szorzat). Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 10 / 55 Speciális mátrixszorzatok Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Azonos méretű négyzetes mátrixok szorzata ugyanolyan méretű négyzetes mátrix. példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok

• Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns n × n-es mátrix és n × 1-es oszlopvektor szorzata n × 1-es oszlopvektor. 1 × n-es sorvektor szorzata n × 1-es oszlopvektorral egy 1 × 1-es mátrixot, azaz egyetlen számot eredményez (skaláris szorzat). Lineáris egyenletrendszerek n × 1-es oszlopvektor szorzata 1 × n-es sorvektorral egy n × n-es Adjungált mátrixot ad (diadikus szorzat). Speciális mátrixok 10 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Tetszőleges A ∈ Mn×m mátrix esetén az x Ax hozzárendelés egy Rm Rn lineáris leképezést definiál (x ∈ Rm ). példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris

leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 11 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Tetszőleges A ∈ Mn×m mátrix esetén az x Ax hozzárendelés egy Rm Rn lineáris leképezést definiál (x ∈ Rm ). példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Minden Rm Rn lineáris leképezéshez van oly n × m-es mátrix, mely előállı́tja ezt a lineáris leképezést (legyen e1 , e2 , ., em a standard bázis Rm -ben, és tekintsük azt az n × m-es mátrixot, melynek oszlopai: Ae1 , Ae2 , ., Aem ) • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A

determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 11 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Tetszőleges A ∈ Mn×m mátrix esetén az x Ax hozzárendelés egy Rm Rn lineáris leképezést definiál (x ∈ Rm ). példák mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Minden Rm Rn lineáris leképezéshez van oly n × m-es mátrix, mely előállı́tja ezt a lineáris leképezést (legyen e1 , e2 , ., em a standard bázis Rm -ben, és tekintsük azt az n × m-es mátrixot, melynek oszlopai: Ae1 , Ae2 , ., Aem ) • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Ily módon kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesı́tettünk Mn×m elemei és az Rm Rn lineáris leképezések között. • Mátrixok •

Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 11 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Tetszőleges A ∈ Mn×m mátrix esetén az x Ax hozzárendelés egy Rm Rn lineáris leképezést definiál (x ∈ Rm ). példák mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Minden Rm Rn lineáris leképezéshez van oly n × m-es mátrix, mely előállı́tja ezt a lineáris leképezést (legyen e1 , e2 , ., em a standard bázis Rm -ben, és tekintsük azt az n × m-es mátrixot, melynek oszlopai: Ae1 , Ae2 , ., Aem ) • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Ily módon kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesı́tettünk Mn×m elemei és az Rm Rn lineáris

leképezések között. • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Az Rn tér identikus leképezésének mátrixa az I ∈ Mn×n egységmátrix (minden x ∈ Rn -re Ix = x). 11 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Tetszőleges A ∈ Mn×m mátrix esetén az x Ax hozzárendelés egy Rm Rn lineáris leképezést definiál (x ∈ Rm ). példák mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Minden Rm Rn lineáris leképezéshez van oly n × m-es mátrix, mely előállı́tja ezt a lineáris leképezést (legyen e1 , e2 , ., em a standard bázis Rm -ben, és tekintsük azt az n × m-es mátrixot, melynek oszlopai: Ae1 , Ae2 , ., Aem ) • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze •

Tételek az inverzre • A determináns Ily módon kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesı́tettünk Mn×m elemei és az Rm Rn lineáris leképezések között. • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Az Rn tér identikus leképezésének mátrixa az I ∈ Mn×n egységmátrix (minden x ∈ Rn -re Ix = x). Legyenek A ∈ Mn×m , B ∈ Mm×r tetszőleges mátrixok, x ∈ Rr tetszőleges (oszlop)vektor. Akkor A(Bx) = (AB)x, ı́gy az A ◦ B összetett függvény mátrixa az AB szorzatmátrix. 11 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák Példa: Az R2 sı́k minden pontjához rendeljük hozzá az origó körüli, adott t szögű elforgatás útján kapott pontot. Ezzel egy R2 R2

lineáris leképezést definiálunk. Határozzuk meg ennek mátrixát • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 12 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Példa: Az R2 sı́k minden pontjához rendeljük hozzá az origó körüli, adott t szögű elforgatás útján kapott pontot. Ezzel egy R2 R2 lineáris

leképezést definiálunk. Határozzuk meg ennek mátrixát Megoldás: Legyen (x, y) ∈ R2 tetszőleges, x := r cos θ , y := r sin θ, ahol r az (x, y) pont helyvektorának hossza, θ pedig az irányszöge. Akkor az elforgatott pont koordinátái: x0 = r cos(θ + t) = r(cos θ cos t − sin θ sin t) = x cos t − y sin t, y 0 = r sin(θ + t) = r(sin θ cos t + cos θ sin t) = x sin t + y cos t, Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 12 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Példa: Az R2 sı́k

minden pontjához rendeljük hozzá az origó körüli, adott t szögű elforgatás útján kapott pontot. Ezzel egy R2 R2 lineáris leképezést definiálunk. Határozzuk meg ennek mátrixát Megoldás: Legyen (x, y) ∈ R2 tetszőleges, x := r cos θ , y := r sin θ, ahol r az (x, y) pont helyvektorának hossza, θ pedig az irányszöge. Akkor az elforgatott pont koordinátái: x0 = r cos(θ + t) = r(cos θ cos t − sin θ sin t) = x cos t − y sin t, y 0 = r sin(θ + t) = r(sin θ cos t + cos θ sin t) = x sin t + y cos t, azaz x0 y0 ! = cos t − sin t sin t cos t ! x y ! Az origó körüli t szögű elforgatás mátrixa tehát az alábbi 2 × 2-es forgatómátrix: ! cos t − sin t sin t cos t 12 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák Példa: Az R3 tér minden pontjához rendeljük hozzá a

pontnak egy adott, n irányú ortogonális vetületét. Ezzel egy R3 R3 lineáris leképezést definiáltunk. Határozzuk meg ennek mátrixát • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 13 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Példa: Az R3 tér minden

pontjához rendeljük hozzá a pontnak egy adott, n irányú ortogonális vetületét. Ezzel egy R3 R3 lineáris leképezést definiáltunk. Határozzuk meg ennek mátrixát Megoldás: Feltehető, hogy ||n|| = 1. Tetszőleges x := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 pont n irányú ortogonális vetülete: P x := hx, ni · n, azaz:     n1   P x = (x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 ) ·  n2  = n3  n21 =  n1 n2 n1 n3  n1 n2 n1 n3 x1   n21 n2 n3   x2  n2 n3 n23 x3 Az n irányú vetı́tés mátrixa tehát n-nek önmagával vett diadikus szorzata. 13 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák Példa: Legyen a ∈ R3 adott vektor és minden x ∈ R3 -hez rendeljük hozzá az x × a vektort. Ezzel lineáris leképezést definiáltunk. Határozzuk meg ennek mátrixát • Mátrixok •

Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 14 / 55 Mátrixszorzás és lineáris leképezések Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek Példa: Legyen a ∈ R3 adott vektor és minden x ∈ R3 -hez rendeljük hozzá az x × a vektort. Ezzel lineáris leképezést definiáltunk. Határozzuk meg ennek mátrixát Megoldás: mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 

    x2 a3 − x3 a2 0 a3 −a2 x1      x × a =  x3 a1 − x1 a3  =  −a3 0 a1   x2  x1 a2 − x2 a1 a2 −a1 0 x3 tehát a vektoriális szorzás mátrixa:   0 a3 −a2   0 a1   −a3 a2 −a1 0 14 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 15 / 55 Mátrixok inverze

Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok •

Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az

inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre •

A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris

leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal •

Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB = B −1 (A−1 A)B 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok •

Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1

. B −1 A−1 AB = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I .

Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB = B −1 B = I . 15 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris

leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok

inverze • Tételek az inverzre • A determináns Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes

mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix

invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A

determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris

leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB = B −1 (A−1 A)B 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok •

Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak, akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB 16 / 55 Mátrixok inverze

Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix invezének azt az A−1 ∈ Mn×n mátrixot nevezzük, melyre A−1 A = I teljesül. Ha ilyen A−1 mátrix létezik, akkor A-t reguláris, ellenkező esetben szinguláris. Példa: a 0 zérusmátrixnak nincs inverze. Az I egységmátrix inverze önmaga. Ha A mint lineáris leképezés invertálható, akkor az inverz leképezés mátrixa az inverz mátrix. Ha A reguláris, akkor inverze egyértelműen meghatározott, (A−1 )−1 = A, és AA−1 = I . Adjungált Speciális mátrixok Ha A, B ∈ Mn×n mindketten regulárisak,

akkor AB is az, és (AB)−1 = B −1 A−1 . B −1 A−1 AB = B −1 (A−1 A)B = B −1 IB = B −1 B = I . 16 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Példa: Ha egy diagonálmátrix diagonálelemei mind 0-tól különböznek, akkor a mátrix reguláris, és példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns      a11 0 0 a22 . 0 0 . 0 . 0 . . ann −1      a−1 11   0 =  . 0 0 a−1 22 . 0 . 0 . 0 . . a−1 nn      Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 17 / 55 Mátrixok inverze Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris

leképezések, Példa: Ha egy diagonálmátrix diagonálelemei mind 0-tól különböznek, akkor a mátrix reguláris, és példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok      a11 0 0 a22 . 0 0 . 0 . 0 . . ann −1      a−1 11   0 =  . 0 0 a−1 22 . 0 . 0 . 0 . . a−1 nn      Példa: A 2 × 2-es forgatómátrixok mindig regulárisak, éspedig: cos t − sin t sin t cos t !−1 = cos t sin t − sin t cos t ! azaz egy t szögű forgatás inverze megegyezik egy (−t) szögű forgatással. 17 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések •

Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. Ha A reguláris, akkor mindig A0 = 0, ha pedig x 6= 0,

akkor az egy-egy-értelműség miatt Ax 6= 0. mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. Ha A reguláris, akkor mindig A0 = 0, ha pedig x 6= 0, akkor az egy-egy-értelműség miatt Ax 6= 0. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy A

csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba Megmutatjuk, hogy ekkor A egy-egy-értelmű. Legyen x1 6= x2 , akkor x1 − x2 6= 0, Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. Ha A reguláris, akkor mindig A0 = 0, ha pedig x 6= 0, akkor az egy-egy-értelműség miatt Ax 6= 0. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy A csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba Megmutatjuk, hogy ekkor A

egy-egy-értelmű. Legyen x1 6= x2 , akkor x1 − x2 6= 0, ı́gy A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 6= 0, Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. Ha A reguláris, akkor mindig A0 = 0, ha pedig x 6= 0, akkor az egy-egy-értelműség miatt Ax 6= 0. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy A csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba Megmutatjuk, hogy ekkor A egy-egy-értelmű. Legyen x1 6= x2 ,

akkor x1 − x2 6= 0, ı́gy A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 6= 0, azaz Ax1 6= Ax2 . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. Ha A reguláris, akkor mindig A0 = 0, ha pedig x 6= 0, akkor az egy-egy-értelműség miatt Ax 6= 0. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy A csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba Megmutatjuk, hogy ekkor A

egy-egy-értelmű. Legyen x1 6= x2 , akkor x1 − x2 6= 0, ı́gy A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 6= 0, azaz Ax1 6= Ax2 . Egy A ∈ Mn×n mátrix ill. lineáris leképezés magterének a ker A := {x ∈ Rn : Ax = 0} halmazt nevezzük (mely mindig altér Rn -ben). 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés) csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba, azaz Ax = 0 csak úgy lehetséges, ha x = 0. Ha A reguláris, akkor mindig A0 = 0, ha pedig x 6= 0, akkor az egy-egy-értelműség

miatt Ax 6= 0. Megfordı́tva, tegyük fel, hogy A csak a zérusvektort viszi a zérusvektorba Megmutatjuk, hogy ekkor A egy-egy-értelmű. Legyen x1 6= x2 , akkor x1 − x2 6= 0, ı́gy A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 6= 0, azaz Ax1 6= Ax2 . Egy A ∈ Mn×n mátrix ill. lineáris leképezés magterének a ker A := {x ∈ Rn : Ax = 0} halmazt nevezzük (mely mindig altér Rn -ben). A ∈ Mn×n pontosan akkor reguláris, ha ker A = {0}. 18 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés), lineárisan független vektorokat lineárisan független vektorokba visz. mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A

determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 19 / 55 Tételek az inverzre Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha (mint leképezés), lineárisan független vektorokat lineárisan független vektorokba visz. Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha képterének dimenziója n-nek egyenlő, azaz, ha a képtér a teljes Rn -nel egyezik. • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 19 / 55 A determináns Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák •

Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Az egyetlen a ∈ R szám alkotta 1×1-es mátrix determinánsa legyen maga az a szám. Ha pedig az (n − 1)-edrendű mátrixok determinánsát már definiáltuk, akkor tetszőleges A := [akj ] ∈ Mn×n mátrix esetén definiáljuk az A mátrix determinánsát a det A := a11 D11 − a12 D12 + a13 D13 − . ± a1n D1n , formulával, ahol D1j jelentse annak az (n − 1)-edrendű mátrixnak a determinánsát, melyet A-ból az első sor és a j -edik oszlop elhagyásával kaptunk. Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 20 / 55 A determináns Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, példák • Mátrixok •

Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Az egyetlen a ∈ R szám alkotta 1×1-es mátrix determinánsa legyen maga az a szám. Ha pedig az (n − 1)-edrendű mátrixok determinánsát már definiáltuk, akkor tetszőleges A := [akj ] ∈ Mn×n mátrix esetén definiáljuk az A mátrix determinánsát a det A := a11 D11 − a12 D12 + a13 D13 − . ± a1n D1n , formulával, ahol D1j jelentse annak az (n − 1)-edrendű mátrixnak a determinánsát, melyet A-ból az első sor és a j -edik oszlop elhagyásával kaptunk. Példa:  Adjungált Speciális mátrixok =1· −2 1 0 3  1 −2 3   2 1 = det  0 0 0 3 ! − (−2) · 0 1 0 3 ! + 0 2 0 0 ! = 6. 20 / 55 A determináns Lineáris leképezések,

mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Ha A := [akj ] ∈ M2×2 egy másodrendű mátrix, akkor det A = a11 a22 − a12 a21 . példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 21 / 55 A determináns Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Ha A := [akj ] ∈ M2×2 egy másodrendű mátrix, akkor det A = a11 a22 − a12 a21 . példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal Négyzetes mátrixokra det (AB) = det (A) · det (B) mindig teljesül. • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze •

Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 21 / 55 A determináns Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Ha A := [akj ] ∈ M2×2 egy másodrendű mátrix, akkor det A = a11 a22 − a12 a21 . példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal Négyzetes mátrixokra det (AB) = det (A) · det (B) mindig teljesül. • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések Átalában det (A + B) 6= det (A) + det (B)! • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 21 / 55 A determináns Lineáris leképezések, mátrixok • Lineáris leképezések • Lineáris leképezések, Ha A := [akj ] ∈ M2×2 egy másodrendű mátrix, akkor

det A = a11 a22 − a12 a21 . példák • Mátrixok • Műveletek mátrixokkal Négyzetes mátrixokra det (AB) = det (A) · det (B) mindig teljesül. • Mátrixok szorzása • Speciális mátrixszorzatok • Mátrixszorzás és lineáris leképezések • Mátrixok inverze • Mátrixok inverze • Tételek az inverzre • A determináns Átalában det (A + B) 6= det (A) + det (B)! Egy A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha det A 6= 0, másszóval, pontosan akkor szinguláris, ha det A = 0. Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok 21 / 55 Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Lineáris egyenletrendszerek elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett •

Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 22 / 55 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Legyen A = [akj ] ∈ Mn×n adott mátrix, b ∈ Rn adott jobboldal, tekintsük az Ax = b egyenletet. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 23 / 55 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris

egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Legyen A = [akj ] ∈ Mn×n adott mátrix, b ∈ Rn adott jobboldal, tekintsük az Ax = b egyenletet. Ez ekvivalens a következő n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerrel: a11 x1 + a12 x2 + . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . + a2n xn = b2 . an1 x1 + an2 x2 + . + ann xn = bn elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 23 / 55 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A

Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Legyen A = [akj ] ∈ Mn×n adott mátrix, b ∈ Rn adott jobboldal, tekintsük az Ax = b egyenletet. Ez ekvivalens a következő n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerrel: a11 x1 + a12 x2 + . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . + a2n xn = b2 . an1 x1 + an2 x2 + . + ann xn = bn Az egyenletrendszer homogén, ha b = 0. Ekkor x = 0 mindig megoldás (triviális megoldás). Ha x legalább egy komponense zérustól különbözik, azt nemtriviális megoldásnak nevezzük. Adjungált Speciális mátrixok 23 / 55 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris

egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Legyen A = [akj ] ∈ Mn×n adott mátrix, b ∈ Rn adott jobboldal, tekintsük az Ax = b egyenletet. Ez ekvivalens a következő n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszerrel: a11 x1 + a12 x2 + . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . + a2n xn = b2 . an1 x1 + an2 x2 + . + ann xn = bn Az egyenletrendszer homogén, ha b = 0. Ekkor x = 0 mindig megoldás (triviális megoldás). Ha x legalább egy komponense zérustól különbözik, azt nemtriviális megoldásnak nevezzük. A homogén egyenletek esetében a jellemző

probléma az, hogy létezik-e nemtriviális megoldás, mı́g az inhomogén egyenlet esetén az a kérdés, hogy van-e egyáltalán megoldása, és ha igen, akkor hány. 23 / 55 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 24 / 55 Lineáris

egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 24 / 55 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok

Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz A pontosan akkor szinguláris, ha a homogén egyenletnek létezik nemtriviális megoldása (és ekkor végtelen sok nemtriviális megoldás is létezik). Adjungált Speciális mátrixok 24 / 55

Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz A pontosan akkor szinguláris, ha a homogén egyenletnek létezik nemtriviális megoldása (és ekkor végtelen sok

nemtriviális megoldás is létezik). Példa: Ha az A ∈ Mn×n mátrixnak valamelyik sora vagy oszlopa csupa 0-ból áll, akkor a mátrix szinguláris. Adjungált Speciális mátrixok 24 / 55 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan

akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz A pontosan akkor szinguláris, ha a homogén egyenletnek létezik nemtriviális megoldása (és ekkor végtelen sok nemtriviális megoldás is létezik). Példa: Ha az A ∈ Mn×n mátrixnak valamelyik sora vagy oszlopa csupa 0-ból áll, akkor a mátrix szinguláris. Ha pl. a k -adik sor csupa 0, akkor az ek standard báziselem mellett az Ax = ek egyenletnek nincs megoldása Speciális mátrixok 24 / 55 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor •

Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz A pontosan akkor szinguláris, ha a homogén egyenletnek létezik nemtriviális megoldása (és ekkor végtelen sok nemtriviális megoldás is létezik). Példa: Ha az A ∈ Mn×n mátrixnak valamelyik sora vagy oszlopa csupa 0-ból áll, akkor a mátrix szinguláris. Ha pl. a k -adik sor csupa 0, akkor az ek standard báziselem mellett az Ax = ek egyenletnek nincs megoldása (mert Ax k -adik eleme biztosan 0). Speciális mátrixok 24 / 55 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris

egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz A pontosan akkor szinguláris, ha a homogén egyenletnek létezik nemtriviális megoldása (és ekkor végtelen sok nemtriviális megoldás is létezik). Példa: Ha az A ∈

Mn×n mátrixnak valamelyik sora vagy oszlopa csupa 0-ból áll, akkor a mátrix szinguláris. Ha pl. a k -adik sor csupa 0, akkor az ek standard báziselem mellett az Ax = ek egyenletnek nincs megoldása (mert Ax k -adik eleme biztosan 0). Ha pedig pl a k -adik oszlop csupa 0, akkor Aek = 0, 24 / 55 Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = b egyenletnek minden jobboldal

mellett létezik megoldása. Ekkor a megoldás egyértelmű is, éspedig x = A−1 b. Az A ∈ Mn×n mátrix pontosan akkor reguláris, ha az Ax = 0 homogén egyenletnek csak a triviális megoldása létezik, azaz A pontosan akkor szinguláris, ha a homogén egyenletnek létezik nemtriviális megoldása (és ekkor végtelen sok nemtriviális megoldás is létezik). Példa: Ha az A ∈ Mn×n mátrixnak valamelyik sora vagy oszlopa csupa 0-ból áll, akkor a mátrix szinguláris. Ha pl. a k -adik sor csupa 0, akkor az ek standard báziselem mellett az Ax = ek egyenletnek nincs megoldása (mert Ax k -adik eleme biztosan 0). Ha pedig pl a k -adik oszlop csupa 0, akkor Aek = 0, azaz a homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása. 24 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Legyen A ∈ Mn×n reguláris mátrix. Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek

megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 25 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Legyen A ∈ Mn×n reguláris mátrix. a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + . + a3n xn = b3 . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . + ann xn = bn elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett •

Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 25 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Legyen A ∈ Mn×n reguláris mátrix. a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + . + a3n xn = b3 . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . + ann

xn = bn Osszuk le az 1. egyenletet az a11 főegyütthatóval: x1 + a012 x2 + a013 x3 + . + a01n xn = b01 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . + a2n xn = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + . + a3n xn = b3 . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . + ann xn = bn 25 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Az 1. sor ak1 -szeresét vonjuk ki a k -adik sorból (k = 2, 3, , n): x1 + a012 x2 + a013 x3 + . + a01n xn = b01 a022 x2 + a023 x3 + . + a02n xn = b02 a032 x2 + a033 x3 + . + a03n xn = b03 . a0n2 x2 + a0n3 x3 + . + a0nn xn = b0n elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek

kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 26 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Az 1. sor ak1 -szeresét vonjuk ki a k -adik sorból (k = 2, 3, , n): x1 + a012 x2 + a013 x3 + . + a01n xn = b01 a022 x2 + a023 x3 + . + a02n xn = b02 a032 x2 + a033 x3 + . + a03n xn = b03 . a0n2 x2 + a0n3 x3 + . + a0nn xn = b0n A 2.,3,,n egyenletre az eljárást megismételjük, Adjungált Speciális mátrixok 26 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok

Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Az 1. sor ak1 -szeresét vonjuk ki a k -adik sorból (k = 2, 3, , n): x1 + a012 x2 + a013 x3 + . + a01n xn = b01 a022 x2 + a023 x3 + . + a02n xn = b02 a032 x2 + a033 x3 + . + a03n xn = b03 . a0n2 x2 + a0n3 x3 + . + a0nn xn = b0n A 2.,3,,n egyenletre az eljárást megismételjük, és ı́gy tovább: x1 + ã12 x2 + ã13 x3 + . + ã1n xn = b̃1 x2 + ã23 x3 + . + ã2n xn = b̃2 x3 + . + ã3n xn = b̃3 . xn = b̃n Speciális mátrixok 26 / 55 A Gauss-elimináció Lineáris leképezések,

mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Az 1. sor ak1 -szeresét vonjuk ki a k -adik sorból (k = 2, 3, , n): x1 + a012 x2 + a013 x3 + . + a01n xn = b01 a022 x2 + a023 x3 + . + a02n xn = b02 a032 x2 + a033 x3 + . + a03n xn = b03 . a0n2 x2 + a0n3 x3 + . + a0nn xn = b0n A 2.,3,,n egyenletre az eljárást megismételjük, és ı́gy tovább: x1 + ã12 x2 + ã13 x3 + . + ã1n xn = b̃1 x2 + ã23 x3 + . + ã2n xn = b̃2 x3 + . + ã3n xn = b̃3 . xn = b̃n Speciális mátrixok Most már xn−1 , xn−2 , ., x1

visszahelyettesı́tésekkel meghatározható. 26 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága 2x1 − 6x2 + 10x3 = −12 2x1 − 5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 27 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- 2x1

− 6x2 + 10x3 = −12 2x1 − 5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 2x1 − 5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 27 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága 2x1 − 6x2 + 10x3 = −12 2x1 −

5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 2x1 − 5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 − 7x3 = 8 7x2 − 14x3 = 21 Adjungált Speciális mátrixok 27 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált 2x1 − 6x2 + 10x3 = −12 2x1 − 5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 2x1 − 5x2 + 3x3 = −4 3x1 − 2x2 + x3 = 3 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 − 7x3 = 8 7x2 − 14x3 = 21 x1 − 3x2 + x2 − 5x3 = −6 7x3 = 8 35x3

= −35 Speciális mátrixok 27 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 − 7x3 = 8 x3 = −1 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 28 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 − 7x3 = 8 x3 =

−1 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 = 1 x3 = −1 elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 28 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 − 7x3 = 8 x3 = −1 x1 − 3x2 + 5x3 = −6 x2 = 1 x3 = −1 x1 x2 x3 = 2 = 1 = −1 Adjungált

Speciális mátrixok 28 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  −12  −4  3 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 29 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2 5 3 1  −6  −4  3

• A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 29 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0

7 −14   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2  5 3 1  −6  −4  3 −6  8  21 Adjungált Speciális mátrixok 29 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2   5 3 1 −6 1 −3 5   8  0 1 −7 21 0 0 35  −6  −4  3  −6  8  −35 Adjungált Speciális

mátrixok 29 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14  1 −3 5   0 1 −7 0 0 1   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2   5 3 1 −6 1 −3 5   8  0 1 −7 21 0 0 35  −6  8  −1  −6  −4  3  −6  8  −35 Adjungált Speciális mátrixok 29 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok

Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14  1 −3 5   0 1 −7 0 0 1   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2      −6  −4  3 5 3 1 −6 1 −3 5   8  0 1 −7 21 0 0 35 −6 1 −3   8  0 1 −1 0 0 5 0 1  −6  8  −35  −6  1  −1 Adjungált Speciális mátrixok 29 / 55 Elimináció, példa Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek •

Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2 2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14   1 −3 5   0 1 −7 0 0 1      −6  −4  3 5 3 1 −6 1 −3 5   8  0 1 −7 21 0 0 35 −6 1 −3   8  0 1 −1 0 0  1 0 0   0 1 0 0 0 1  2  1  −1 5 0 1  −6  8  −35  −6  1  −1 29 / 55 Főlemkiválasztás Lineáris leképezések, mátrixok Ha egy

főelem 0, az algoritmus megakad. Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 30 / 55 Főlemkiválasztás Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Ha egy főelem 0, az algoritmus megakad. Részleges főlemkiválasztás: Cseréljük fel a k -adik egyenletet az r -edikkel, • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció

szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 30 / 55 Főlemkiválasztás Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Ha egy főelem 0, az algoritmus megakad. Részleges főlemkiválasztás: Cseréljük fel a k -adik egyenletet az r -edikkel, ahol r ≥ k az az index, melyre |a0rk | a lehető legnagyobb. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált

Speciális mátrixok 30 / 55 Főlemkiválasztás Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Ha egy főelem 0, az algoritmus megakad. Részleges főlemkiválasztás: Cseréljük fel a k -adik egyenletet az r -edikkel, ahol r ≥ k az az index, melyre |a0rk | a lehető legnagyobb. Teljes főlemkiválasztás: Cseréljük fel a k -adik egyenletet az r -edikkel és cseréljük fel a k -adik ismeretlent a p-edikkel, Adjungált Speciális mátrixok 30 / 55 Főlemkiválasztás Lineáris

leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Ha egy főelem 0, az algoritmus megakad. Részleges főlemkiválasztás: Cseréljük fel a k -adik egyenletet az r -edikkel, ahol r ≥ k az az index, melyre |a0rk | a lehető legnagyobb. Teljes főlemkiválasztás: Cseréljük fel a k -adik egyenletet az r -edikkel és cseréljük fel a k -adik ismeretlent a p-edikkel, ahol r ≥ k és p ≥ k azok az indexek, melyekre |a0rp | a lehető legnagyobb. Adjungált Speciális mátrixok 30 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció

Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Alapötlet: nemcsak a következő egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 31 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix

mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Alapötlet: nemcsak a következő egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. Példa:  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  −12  −4  3 Adjungált Speciális mátrixok 31 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Alapötlet: nemcsak a következő

egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. Példa:  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2 5 3 1  −6  −4  3 Adjungált Speciális mátrixok 31 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Alapötlet: nemcsak a következő egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. Példa:  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14  

−12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2  5 3 1  −6  −4  3 −6  8  21 Adjungált Speciális mátrixok 31 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Alapötlet: nemcsak a következő egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. Példa:  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14   −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2   5 3 1 −6 1 0 −16   8   0

1 −7 21 0 0 35  −6  −4  3  18  8  −35 Adjungált Speciális mátrixok 31 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Alapötlet: nemcsak a következő egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. Példa:  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14    −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2 1 0 −16   0 1 −7 0 0 1   5 3 1

−6 1 0 −16   8   0 1 −7 21 0 0 35  18  8  −1  −6  −4  3  18  8  −35 31 / 55 A Gauss-Jordan-elimináció Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Alapötlet: nemcsak a következő egyenletekből eliminálunk, hanem a megelőzőekből is. Példa:  2 −6 10  3  2 −5 3 −2 1  1 −3 5   0 1 −7 0 7 −14    −12 1 −3   −4   2 −5 3 3 −2 1 0 −16   0 1 −7 0

0 1  5 3 1  −6 1 0 −16   8   0 1 −7 21 0 0 35   18 1 0 0   8  0 1 0 −1 0 0 1  −6  −4  3  18  8  −35  2  1  −1 31 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 1 −2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + x2 − 2x3 = 1 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 32 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek

• Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 1 −2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + x2 − 2x3 = 1  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  1  4  1 Adjungált Speciális mátrixok 32 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett •

Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 1 −2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + x2 − 2x3 = 1  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2   1 1 −2 1   4   0 −3 3 1 0 3 −3  1  6  0 Adjungált Speciális mátrixok 32 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 =

1 −2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + x2 − 2x3 = 1  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  1 −2 1   0 1 −1 0 3 −3   1 1 −2 1   4   0 −3 3 1 0 3 −3  1  −2  0  1  6  0 Adjungált Speciális mátrixok 32 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 1 −2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + x2 − 2x3 = 1  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  1 −2 1   0 1 −1 0 3 −3   1 1 −2 1

  4   0 −3 3 1 0 3 −3   1 1 −2 1   −2   0 1 −1 0 0 0 0  1  6  0  1  −2  6 Adjungált Speciális mátrixok 32 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 1 −2x1 + x2 + x3 = 4 x1 + x2 − 2x3 = 1  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  1 −2 1   0 1 −1 0 3 −3 Nincs megoldás   1 1 −2 1   4   0 −3 3 1 0 3 −3   1 1 −2 1 

 −2   0 1 −1 0 0 0 0  1  6  0  1  −2  6 Adjungált Speciális mátrixok 32 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 33 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága

• A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  0  0  0 Adjungált Speciális mátrixok 33 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor •

Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2   0 1 −2 1   0   0 −3 3 0 0 3 −3  0  0  0 Adjungált Speciális mátrixok 33 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2 

1 −2 1   0 1 −1 0 3 −3   0 1 −2 1   0   0 −3 3 0 0 3 −3  0  0  0  0  0  0 Adjungált Speciális mátrixok 33 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  1 −2 1   0 1 −1 0 3 −3   0 1 −2 1   0   0 −3 3 0 0 3 −3   0 1 −2 1   0  0 1 −1 0 0

0 0  0  0  0  0  0  0 Adjungált Speciális mátrixok 33 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Példa: x1 − 2x2 + x3 = 0 −2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 − 2x3 = 0  1 −2 1  1 1  −2 1 1 −2  1 −2 1   0 1 −1 0 3 −3   0 1 −2 1   0   0 −3 3 0 0 3 −3   0 1 −2 1   0  0 1 −1 0 0 0 0  0  0  0  0  0  0 Valamelyik ismeretlent, pl. x3 -at

tetszőlegesen megválaszthatjuk: x3 := t. Adjungált Speciális mátrixok 33 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága  1 −2 1  1 −1  0 0 0 1  0  0  t • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 34 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága  1 −2 1  1 −1  0 0 0 1  

0 1 −2 0   0  0 1 0 t 0 0 1  −t  t  t • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 34 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek

kondı́cionáltsága  1 −2 1  1 −1  0 0 0 1   0 1 −2 0   0  0 1 0 t 0 0 1  1 0 0   0 1 0 0 0 1  t  t  t  −t  t  t Adjungált Speciális mátrixok 34 / 55 Elimináció szinguláris mátrix mellett Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága  1 −2 1  1 −1  0 0 0 1   0 1 −2 0   0  0 1 0 t 0 0 1  1 0 0   0 1 0 0 0 1  t  t  t  −t  t  t Végtelen sok nemtriviális megoldás

van: x1 = t, x2 = t, x3 = t. Adjungált Speciális mátrixok 34 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Legyen A ∈ Mn×n reguláris mátrix, ekkor AA−1 = I . Jelölje az A−1 inverz mátrix oszlopait a1 , a2 , . , an , az I egységmátrix oszlopait pedig e1 , e2 , . ,en , akkor  A ·  a1  a2 .   an  =  e1   e2 .  en   Adjungált Speciális mátrixok 35 / 55 Mátrixinvertálás

Gauss-eliminációval Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Legyen A ∈ Mn×n reguláris mátrix, ekkor AA−1 = I . Jelölje az A−1 inverz mátrix oszlopait a1 , a2 , . , an , az I egységmátrix oszlopait pedig e1 , e2 , . ,en , akkor  A ·  a1  azaz a2 .   an  =  e1 Aak = ek   e2 .  en   (k = 1, 2, ., n) Adjungált Speciális mátrixok 35 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris

egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Legyen A ∈ Mn×n reguláris mátrix, ekkor AA−1 = I . Jelölje az A−1 inverz mátrix oszlopait a1 , a2 , . , an , az I egységmátrix oszlopait pedig e1 , e2 , . ,en , akkor  A ·  a1  azaz a2 .   an  =  e1 Aak = ek   e2 .  en   (k = 1, 2, ., n) Tehát megoldandó n db (különböző jobboldalú, de azonos mátrixú) egyenletrendszer. Adjungált Speciális mátrixok 35 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa:  −3 −2 0  3 2

 0 −2 0 1  1 0 0  0 1 0  0 0 1 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa:  −3 −2 0  3 2  0 −2 0 1   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1  −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa:  −3 −2 0  3 2  0 −2 0 1  1 2/3 0  3 2  0 0 4/3 1   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1   −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1 −1/3 0 0  0 1 0  −2/3 0 1 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa:  −3 −2 0  3 2  0 −2 0 1  1 2/3 0  3 2  0 0 4/3 1   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1   −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 1 2/3 −2/3 0 1 0 4/3 1  −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1  −1/3 0 0  0 1/3 0  −2/3 0 1 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa: 

−3 −2 0  3 2  0 −2 0 1  1 2/3 0  3 2  0 0 4/3 1  1 2/3 0  1 2/3  0 0 0 1/9   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1   −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 1 2/3 −2/3 0 1 0 4/3 1  −1/3 0 0  0 1/3 0  −2/3 −4/9 1  −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1  −1/3 0 0  0 1/3 0  −2/3 0 1 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa:  −3 −2 0  3 2  0 −2 0 1  1 2/3 0  3 2  0 0 4/3 1  1 2/3 0  1 2/3  0 0 0 1/9   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1   −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 1 2/3 −2/3 0 1 0 4/3 1    −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1  −1/3 0 0  0 1/3 0  −2/3 0 1 −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1/3 0   0 1 2/3 −2/3 −4/9 1 0 0 1  −1/3 0 0  0 1/3 0  −6 −4 9 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa: 

−3 −2 0  3 2  0 −2 0 1  1 2/3 0  3 2  0 0 4/3 1  1 2/3 0  1 2/3  0 0 0 1/9  1 2/3 0 1 0 0 0 1   0   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1   −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 1 2/3 −2/3 0 1 0 4/3 1    −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1 −1/3 0 0  0 1/3 0  −2/3 0 1 −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1/3 0   0 1 2/3 −2/3 −4/9 1 0 0 1  −1/3 0 0  4 3 −6  −6 −4 9   −1/3 0 0  0 1/3 0  −6 −4 9 36 / 55 Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval Példa:  −3 −2 0  3 2  0 −2 0 1  1 2/3 0  3 2  0 0 4/3 1  1 2/3 0  1 2/3  0 0 0 1/9  1 2/3 0 1 0 0 0 1   0   1 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 3 2 0 0 1 −2 0 1   −1/3 0 0 1 2/3 0   0 1 0  0 1 2/3 −2/3 0 1 0 4/3 1    −1/3 0 0  0 1 0  0 0 1 −1/3 0 0  0 1/3 0  −2/3 0 1 −1/3

0 0 1 2/3 0   0 1/3 0   0 1 2/3 −2/3 −4/9 1 0 0 1   −1/3 0 0 1 0 0   4 3 −6   0 1 0 −6 −4 9 0 0 1   −1/3 0 0  0 1/3 0  −6 −4 9  −3 −2 4  4 3 −6  −6 −4 9 36 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs (sajátértékegyenlet). • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális

mátrixok 37 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs (sajátértékegyenlet). Ha s egy sajátvektor λ sajátértékkel, akkor α nemzérus számra A(αs) = λαs, azaz αs is sajátvektor, ugyanazzal a λ sajátértékkel. elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 37 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris

leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs (sajátértékegyenlet). Ha s egy sajátvektor λ sajátértékkel, akkor α nemzérus számra A(αs) = λαs, azaz αs is sajátvektor, ugyanazzal a λ sajátértékkel. Példa: Az sajátvektora: 1 2 2 1 ! 1 1 ! mátrixnak a 3 sajátértéke, egy hozzátartozó , Adjungált Speciális mátrixok 37 / 55

Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs (sajátértékegyenlet). Ha s egy sajátvektor λ sajátértékkel, akkor α nemzérus számra A(αs) = λαs, azaz αs is sajátvektor, ugyanazzal a λ sajátértékkel. Példa: Az sajátvektora: 1 2 2 1 ! 1 1 ! mátrixnak a 3 sajátértéke, egy hozzátartozó , mert 1 2 2 1 ! 1

1 ! =3· 1 1 ! . • Adjungált Speciális mátrixok 37 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs (sajátértékegyenlet). Ha s egy sajátvektor λ sajátértékkel, akkor α nemzérus számra A(αs) = λαs, azaz αs is sajátvektor, ugyanazzal a λ sajátértékkel. Példa: Az sajátvektora: 1 2 2 1 !

1 1 ! mátrixnak a 3 sajátértéke, egy hozzátartozó , mert 1 2 2 1 ! 1 1 ! =3· 1 1 ! . • A 0 zérusmátrixnak a 0 szám sajátértéke (és csak az): minden nemzérus vektor sajátvektor. • Speciális mátrixok 37 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs

(sajátértékegyenlet). Ha s egy sajátvektor λ sajátértékkel, akkor α nemzérus számra A(αs) = λαs, azaz αs is sajátvektor, ugyanazzal a λ sajátértékkel. Példa: Az sajátvektora: 1 2 2 1 ! 1 1 ! mátrixnak a 3 sajátértéke, egy hozzátartozó , mert 1 2 2 1 ! 1 1 ! =3· 1 1 ! . • A 0 zérusmátrixnak a 0 szám sajátértéke (és csak az): minden nemzérus vektor sajátvektor. • Az I egységmátrixnak az 1 szám sajátértéke (és csak az): minden nemzérus vektor sajátvektor. • 37 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval •

Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrixnak a λ szám sajátértéke, az s ∈ Rn , s 6= 0 vektor pedig a λ-hoz tartozó sajátvektora, ha As = λs (sajátértékegyenlet). Ha s egy sajátvektor λ sajátértékkel, akkor α nemzérus számra A(αs) = λαs, azaz αs is sajátvektor, ugyanazzal a λ sajátértékkel. Példa: Az sajátvektora: 1 2 2 1 ! 1 1 ! mátrixnak a 3 sajátértéke, egy hozzátartozó , mert 1 2 2 1 ! 1 1 ! =3· 1 1 ! . • A 0 zérusmátrixnak a 0 szám sajátértéke (és csak az): minden nemzérus vektor sajátvektor. • Az I egységmátrixnak az 1 szám sajátértéke (és csak az): minden nemzérus vektor sajátvektor. • Diagonálmátrix sajátértékei a főátlóban szereplő számok (és csak azok): a sajátvektorok a

standard bázis elemei. 37 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A

Gauss-Jordan- Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú polinom (karakterisztikus polinom) gyökeivel. elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei

megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú polinom (karakterisztikus polinom) gyökeivel. As = λs elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris,

ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú polinom (karakterisztikus polinom) gyökeivel. As = λs ⇐⇒ az (A − λI)s = 0 homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei

megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú polinom (karakterisztikus polinom) gyökeivel. As = λs ⇐⇒ az (A − λI)s = 0 homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása ⇐⇒ (A − λI) szinguláris mátrix Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú

polinom (karakterisztikus polinom) gyökeivel. As = λs ⇐⇒ az (A − λI)s = 0 homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása ⇐⇒ (A − λI) szinguláris mátrix ⇐⇒ det(A − λI) = 0. Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor szinguláris, ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú polinom

(karakterisztikus polinom) gyökeivel. As = λs ⇐⇒ az (A − λI)s = 0 homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása ⇐⇒ (A − λI) szinguláris mátrix ⇐⇒ det(A − λI) = 0. Ha a sajátértékek már ismertek, az (A − λI)s = 0 homogén egyenlet nemtriviális megoldásai a sajátvektorok. Adjungált Speciális mátrixok 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix pontosan akkor

szinguláris, ha a 0 sajátértéke. Egy A ∈ Mn×n négyzetes mátrix sajátértékei megegyeznek az det(A − λI) n-edfokú polinom (karakterisztikus polinom) gyökeivel. As = λs ⇐⇒ az (A − λI)s = 0 homogén egyenletnek van nemtriviális megoldása ⇐⇒ (A − λI) szinguláris mátrix ⇐⇒ det(A − λI) = 0. Ha a sajátértékek már ismertek, az (A − λI)s = 0 homogén egyenlet nemtriviális megoldásai a sajátvektorok. Valós elemű mátrixok esetén minden sajátérték komplex konjugáltja is sajátérték. 38 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága   −3 2 1   Példa: Számı́tsuk ki a A :=  1 −3 2  mátrix 1 2 −3 sajátértékeit és sajátvektorait. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás

• A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 39 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága   −3 2 1   Példa: Számı́tsuk ki a A :=  1 −3 2  mátrix 1 2 −3 sajátértékeit és sajátvektorait.  

−3 − λ 2 1   det(A − λI) = det  1 −3 − λ 2 = 1 2 −3 − λ   (−3 − λ) (3 + λ)2 − 4 − 2 · (−3 − λ − 2) + (2 + 3 + λ) = −λ3 − 9λ2 − 20λ, ennek gyökei a sajátértékek: 0, −4 és −5. Adjungált Speciális mátrixok 39 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága   −3 2 1   Példa: Számı́tsuk ki a A :=  1 −3 2  mátrix 1 2 −3 sajátértékeit és sajátvektorait.   −3 − λ 2

1   det(A − λI) = det  1 −3 − λ 2 = 1 2 −3 − λ   (−3 − λ) (3 + λ)2 − 4 − 2 · (−3 − λ − 2) + (2 + 3 + λ) = −λ3 − 9λ2 − 20λ, ennek gyökei a sajátértékek: 0, −4 és −5. A sajátvektorok az (A − λI)s = 0 homogén egyenlet nemtriviális megoldásai. Adjungált Speciális mátrixok 39 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága A sajátvektorok:   −3 2 1   (A − 0 · I)s =  1 −3 2 s = 0 1 2 −3 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek

kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 40 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága A sajátvektorok:   −3 2 1   (A − 0 · I)s =  1 −3 2 s = 0 1 2 −3   1   ⇒s= 1  1 • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 40 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A

Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága A sajátvektorok:   −3 2 1   (A − 0 · I)s =  1 −3 2 s = 0 1 2 −3   1 2 1   (A + 4 · I)s =  1 1 2  s = 0 1 2 1   1   ⇒s= 1  1 Adjungált Speciális mátrixok 40 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval •

Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága A sajátvektorok:   −3 2 1   (A − 0 · I)s =  1 −3 2 s = 0 1 2 −3   1 2 1   (A + 4 · I)s =  1 1 2  s = 0 1 2 1   1   ⇒s= 1  1   −3   ⇒s= 1  1 Adjungált Speciális mátrixok 40 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága A sajátvektorok:   −3 2 1  

(A − 0 · I)s =  1 −3 2 s = 0 1 2 −3     1 2 1   (A + 4 · I)s =  1 1 2  s = 0 1 2 1 2 2 1   (A + 5 · I)s =  1 2 2  s = 0 1 2 2   1   ⇒s= 1  1   −3   ⇒s= 1  1 Adjungált Speciális mátrixok 40 / 55 Sajátérték, sajátvektor Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága A sajátvektorok:   −3 2 1   (A − 0 · I)s =  1 −3 2 s = 0 1 2 −3     1 2 1   (A + 4 · I)s =  1 1 2

 s = 0 1 2 1 2 2 1   (A + 5 · I)s =  1 2 2  s = 0 1 2 2   1   ⇒s= 1  1     −3   ⇒s= 1  1 2   ⇒ s =  −3  2 Adjungált Speciális mátrixok 40 / 55 Másodrendű mátrixok sajátértékei Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordan- Legyen A := a11 a12 a21 a22 ! , akkor a karakterisztikus egyenlet: ! a11 − λ a12 det(A − λI) = det = a21 a22 − λ λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 ) = 0, elimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális

mátrixok 41 / 55 Másodrendű mátrixok sajátértékei Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Legyen A := a11 a12 a21 a22 ! , akkor a karakterisztikus egyenlet: ! a11 − λ a12 det(A − λI) = det = a21 a22 − λ λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 ) = 0, azaz λ2 − sp(A)λ + det(A) = 0. (sp(A): a mátrix nyoma, azaz a főátlóbeli elemek összege). Adjungált Speciális mátrixok 41 / 55 Másodrendű mátrixok sajátértékei Lineáris leképezések, mátrixok

Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok Legyen A := a11 a12 a21 a22 ! , akkor a karakterisztikus egyenlet: ! a11 − λ a12 det(A − λI) = det = a21 a22 − λ λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 ) = 0, azaz λ2 − sp(A)λ + det(A) = 0. (sp(A): a mátrix nyoma, azaz a főátlóbeli elemek összege). Egy másodrendű mátrix két sajátértékére teljesülnek az alábbi egyenlőségek: λ1 + λ2 = sp(A) λ1 λ2 = det(A). 41 / 55 Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Lineáris

leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 1 Megoldása : x = 1, y = −1. • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Adjungált Speciális mátrixok 42 / 55 Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás

Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 1 Megoldása : x = 1, y = −1. 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 0.999 Megoldása: x = 0.001, y = 0 Adjungált Speciális mátrixok 42 / 55 Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 1 Megoldása : x = 1, y = −1. 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 0.999

Megoldása: x = 0.001, y = 0 |λ| Kondı́ciószám: cond(A) := |λ|max min Jól kondı́cionált egyenletek: cond(A) ≤ 102 . Rosszul kondı́cionált egyenletek: cond(A) > 106 . Adjungált Speciális mátrixok 42 / 55 Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek • Lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága • A Gauss-elimináció • Elimináció, példa • Főlemkiválasztás • A Gauss-Jordanelimináció • Elimináció szinguláris mátrix mellett • Mátrixinvertálás Gauss-eliminációval • Sajátérték, sajátvektor • Másodrendű mátrixok sajátértékei • Egyenletrendszerek kondı́cionáltsága 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 1 Megoldása : x = 1, y = −1. 1000x + 999y = 1 999x + 998y = 0.999 Megoldása: x = 0.001, y = 0 |λ| Kondı́ciószám: cond(A) := |λ|max min Jól kondı́cionált

egyenletek: cond(A) ≤ 102 . Rosszul kondı́cionált egyenletek: cond(A) > 106 . Adjungált Speciális mátrixok A példában: cond(A) ≈ 4 · 106 . 42 / 55 Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Adjungált 43 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja •

Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. esete Speciális mátrixok 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. hAx, yi = Pn k=1 (Ax)k yk 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált •

Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. hAx, yi = Pn k=1 (Ax)k yk = Pn k=1 Pn j=1 akj xj yk , és 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. Pn Pn Pn hAx, yi = k=1 (Ax)k yk = k=1 j=1 akj xj yk , és Pn

∗ hx, A yi = x (A∗ y) p=1 p p 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. Pn Pn Pn hAx, yi = k=1 (Ax)k yk = k=1 j=1 akj xj yk , és Pn Pn Pn ∗ ∗ hx, A yi = p=1 xp (A y)p = p=1 q=1 xp (A∗ )pq yq 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy

adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. Pn Pn Pn hAx, yi = k=1 (Ax)k yk = k=1 j=1 akj xj yk , és Pn Pn Pn ∗ ∗ hx, A yi = p=1 xp (A y)p = p=1 q=1 xp (A∗ )pq yq Pn Pn = p=1 q=1 aqp xp yq . 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. Pn Pn Pn hAx, yi = k=1 (Ax)k yk = k=1 j=1 akj xj yk , és Pn Pn Pn ∗ ∗ hx, A yi = p=1 xp (A y)p = p=1 q=1 xp (A∗ )pq yq Pn Pn = • • • • • p=1 q=1

aqp xp yq . (A + B)∗ = A∗ + B ∗ (c · A)∗ = c · A∗ minden c ∈ R-re (AB)∗ = B ∗ A∗ (A∗ )∗ = A ha A reguláris, akkor A∗ is az, és (A∗ )−1 = (A−1 )∗ 44 / 55 Mátrixok adjungáltja Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Az A ∈ Mn×m , A = [akj ] mátrix transzponáltjának (vagy adjungáltjának) a sorok és oszlopok felcserélésével nyert A∗ := [ajk ] ∈ Mm×n mátrixot nevezzük. Minden x, y ∈ Rn -re hAx, yi = hx, A∗ yi teljesül. Pn Pn Pn hAx, yi = k=1 (Ax)k yk = k=1 j=1 akj xj yk , és Pn Pn Pn ∗ ∗ hx, A yi = p=1 xp (A y)p = p=1 q=1 xp (A∗ )pq yq Pn Pn = • • • • • p=1 q=1 aqp xp yq . (A + B)∗ = A∗ + B ∗ (c · A)∗ = c · A∗ minden c ∈ R-re (AB)∗ = B ∗ A∗ (A∗ )∗ = A ha A reguláris, akkor A∗ is az,

és (A∗ )−1 = (A−1 )∗ (A−1 )∗ A∗ = (AA−1 )∗ = I ∗ = I . 44 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az egységmátrix önadjungáltak. esete Speciális mátrixok 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris

leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az egységmátrix önadjungáltak. Ha A önadjungált, akkor hAx, yi = hx, Ayi teljesül minden x, y ∈ Rn -re. Speciális mátrixok 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az egységmátrix önadjungáltak. Ha A önadjungált, akkor hAx, yi = hx, Ayi

teljesül minden x, y ∈ Rn -re. Speciális mátrixok Ha A ∈ Mn×n önadjungált, akkor a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az egységmátrix önadjungáltak. Ha A önadjungált, akkor hAx, yi = hx, Ayi teljesül minden x, y ∈ Rn -re. Speciális mátrixok Ha A ∈ Mn×n önadjungált, akkor a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Legyenek λ1 6= λ2 , és As1 = λ1 s1 , As2 = λ2 s2 . 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok

Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az egységmátrix önadjungáltak. Ha A önadjungált, akkor hAx, yi = hx, Ayi teljesül minden x, y ∈ Rn -re. Speciális mátrixok Ha A ∈ Mn×n önadjungált, akkor a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Legyenek λ1 6= λ2 , és As1 = λ1 s1 , As2 = λ2 s2 . Akkor hAs1 , s2 i = λ1 hs1 , s2 i, és hAs2 , s1 i = λ2 hs2 , s1 i. 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok

adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az egységmátrix önadjungáltak. Ha A önadjungált, akkor hAx, yi = hx, Ayi teljesül minden x, y ∈ Rn -re. Speciális mátrixok Ha A ∈ Mn×n önadjungált, akkor a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Legyenek λ1 6= λ2 , és As1 = λ1 s1 , As2 = λ2 s2 . Akkor hAs1 , s2 i = λ1 hs1 , s2 i, és hAs2 , s1 i = λ2 hs2 , s1 i. Innen: (λ1 − λ2 ) · hs1 , s2 i = 0. 45 / 55 Önadjungált mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n négyzetes mátrix szimmetrikus (vagy önadjungált), ha A∗ = A, azaz akj = ajk minden k, j = 1, 2, ., n-re Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Példa: Az n × n-es zérusmátrix és az

egységmátrix önadjungáltak. Ha A önadjungált, akkor hAx, yi = hx, Ayi teljesül minden x, y ∈ Rn -re. Speciális mátrixok Ha A ∈ Mn×n önadjungált, akkor a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Legyenek λ1 6= λ2 , és As1 = λ1 s1 , As2 = λ2 s2 . Akkor hAs1 , s2 i = λ1 hs1 , s2 i, és hAs2 , s1 i = λ2 hs2 , s1 i. Innen: (λ1 − λ2 ) · hs1 , s2 i = 0. Mivel λ1 6= λ2 , azért szükségképp hs1 , s2 i = 0. 45 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek A Q : Rn R, Q(x) := hAx, xi függvényt az A ∈ Mn×n önadjungált mátrixhoz tartozó kvadratikus alaknak nevezzük. Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok 46 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok

adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok A Q : Rn R, Q(x) := hAx, xi függvényt az A ∈ Mn×n önadjungált mátrixhoz tartozó kvadratikus alaknak nevezzük. hAx, xi = Pn k=1 Pn j=1 akj xk xj esete Speciális mátrixok 46 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok A Q : Rn R, Q(x) := hAx, xi függvényt az A ∈ Mn×n önadjungált mátrixhoz tartozó kvadratikus alaknak nevezzük. hAx, xi = Pn k=1 Pn j=1 akj xk xj Az A ∈ Mn×n önadjungált mátrix pozitı́v szemidefinit, ha a hozzátartozó kvadratikus alak csak nemnegatı́v értékeket vesz fel; pozitı́v definit, ha a kvadratikus alak pozitı́v minden x 6= 0 esetén. Hasonlóan, A negatı́v szemidefinit, ha a hozzátartozó kvadratikus

alakra Q(x) ≤ 0 teljesül; negatı́v definit, ha Q(x) < 0 minden x 6= 0 esetén. Az A mátrix indefinit, ha a kvadratikus alak pozitı́v és negatı́v értékeket egyaránt felvesz. 46 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok A Q : Rn R, Q(x) := hAx, xi függvényt az A ∈ Mn×n önadjungált mátrixhoz tartozó kvadratikus alaknak nevezzük. hAx, xi = Pn k=1 Pn j=1 akj xk xj Az A ∈ Mn×n önadjungált mátrix pozitı́v szemidefinit, ha a hozzátartozó kvadratikus alak csak nemnegatı́v értékeket vesz fel; pozitı́v definit, ha a kvadratikus alak pozitı́v minden x 6= 0 esetén. Hasonlóan, A negatı́v szemidefinit, ha a hozzátartozó kvadratikus alakra Q(x) ≤ 0 teljesül; negatı́v definit, ha Q(x) < 0 minden x 6= 0 esetén. Az

A mátrix indefinit, ha a kvadratikus alak pozitı́v és negatı́v értékeket egyaránt felvesz. Példa: A zérusmátrix pozitı́v szemidefinit, ugyanakkor negatı́v szemidefinit is. Az egységmátrix pozitı́v definit Egy diagonálmátrix pozitı́v (negatı́v) definit, ha a diagonálelemei mind pozitı́vak (negatı́vak). 46 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az A := 2 1 1 2 ! mátrix pozitı́v definit. Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok 47 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az A := Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok Legyen x y ! 2 1 1 2 ! mátrix pozitı́v definit. ∈ R2 tetszőleges vektor, akkor esete Speciális

mátrixok 47 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok 2 1 1 2 Példa: Az A := Legyen h 2 1 1 2 x y ! ! ! mátrix pozitı́v definit. ∈ R2 tetszőleges vektor, akkor x y ! , x y ! i=h 2x + y y + 2x ! , x y ! i= 47 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az A := Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Legyen x y ! ! 2 1 1 2 ! ∈ R2 tetszőleges vektor, akkor ! 2 1 x x , 1 2 y y 2x2 + yx + xy + 2y 2 = h mátrix pozitı́v definit. ! i=h 2x + y y + 2x ! , x y ! i= 47 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az A :=

Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Legyen x y ! ! 2 1 1 2 ! mátrix pozitı́v definit. ∈ R2 tetszőleges vektor, akkor ! ! ! 2 1 x x 2x + y , i=h , 1 2 y y y + 2x 2x2 + yx + xy + 2y 2 = 2 · (x2 + xy + y 2 ) = h x y ! i= 47 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az A := Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Legyen x y ! ! 2 1 1 2 ! mátrix pozitı́v definit. ∈ R2 tetszőleges vektor, akkor ! ! ! 2 1 x x 2x + y , i=h , 1 2 y y y + 2x 2x2 + yx + xy + 2y 2 = 2 · (x2 + xy + y 2 ) = 2 · ((x + 21 y)2 + 43 y 2 ). h x y ! i= 47 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált • Mátrixok adjungáltja •

Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Legyen A = [akj ] ∈ Mn×n önadjungált mátrix és jelölje Ak a mátrix bal felsősarkának elemeiből álló k × k -as mátrixot (minormátrixok):   Ak :=   a11 a12 a21 a22 . ak1 ak2 . a1k . a2k . . akk    Akkor az A mátrix pontosan akkor  • pozitı́v definit, ha minden minormátrixának determinánsa pozitı́v, azaz det(Ak ) > 0 (k = 1, 2, ., n); • negatı́v definit, ha minormátrixainak determinánsai váltakozó előjelűek, pontosabban: sign(det(Ak )) = (−1)k (k = 1, 2, ., n), ahol ”sign” az előjelfüggvényt jelöli 48 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok A ∈ Mn×n önadjungált mátrix pontosan akkor Lineáris egyenletrendszerek • pozitı́v (ill. negatı́v) szemidefinit, ha minden sajátértéke nem- Adjungált • Mátrixok adjungáltja •

Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete negatı́v (ill. nempozitı́v); • pozitı́v (ill. negatı́v) definit, ha minden sajátértéke pozitı́v (ill negatı́v); • indefinit, ha van pozitı́v és negatı́v sajátértéke is. Speciális mátrixok 49 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok A ∈ Mn×n önadjungált mátrix pontosan akkor Lineáris egyenletrendszerek • pozitı́v (ill. negatı́v) szemidefinit, ha minden sajátértéke nem- Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok negatı́v (ill. nempozitı́v); • pozitı́v (ill. negatı́v) definit, ha minden sajátértéke pozitı́v (ill negatı́v); • indefinit, ha van pozitı́v és negatı́v sajátértéke is. Legyen pl. A pozitı́v definit Ha As = λs, akkor innen 0 < Q(s) = hAs, si = λ · hs, si = λ||s||2 ,

49 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok A ∈ Mn×n önadjungált mátrix pontosan akkor Lineáris egyenletrendszerek • pozitı́v (ill. negatı́v) szemidefinit, ha minden sajátértéke nem- Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok negatı́v (ill. nempozitı́v); • pozitı́v (ill. negatı́v) definit, ha minden sajátértéke pozitı́v (ill negatı́v); • indefinit, ha van pozitı́v és negatı́v sajátértéke is. Legyen pl. A pozitı́v definit Ha As = λs, akkor innen 0 < Q(s) = hAs, si = λ · hs, si = λ||s||2 , ezért szükségképp λ > 0. 49 / 55 Definitség Lineáris leképezések, mátrixok A ∈ Mn×n önadjungált mátrix pontosan akkor Lineáris egyenletrendszerek • pozitı́v (ill. negatı́v) szemidefinit, ha minden sajátértéke nem- Adjungált • Mátrixok adjungáltja

• Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok negatı́v (ill. nempozitı́v); • pozitı́v (ill. negatı́v) definit, ha minden sajátértéke pozitı́v (ill negatı́v); • indefinit, ha van pozitı́v és negatı́v sajátértéke is. Legyen pl. A pozitı́v definit Ha As = λs, akkor innen 0 < Q(s) = hAs, si = λ · hs, si = λ||s||2 , ezért szükségképp λ > 0. A megfordı́tást nem bizonyı́tjuk 49 / 55 Másodrendű mátrixok esete Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Legyen A = [akj ] ∈ M2×2 önadjungált mátrix. Akkor λ1 + λ2 = sp(A), λ1 λ2 = det(A). Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok Következésképp: esete Speciális mátrixok 50 / 55 Másodrendű mátrixok esete Lineáris leképezések, mátrixok Legyen A = [akj ] ∈ M2×2

önadjungált mátrix. Akkor Lineáris egyenletrendszerek λ1 + λ2 = sp(A), λ1 λ2 = det(A). Adjungált • Mátrixok adjungáltja • Önadjungált mátrixok • Definitség • Másodrendű mátrixok esete Speciális mátrixok Következésképp: Az A ∈ M2×2 önadjungált mátrix pontosan akkor • • • • • definit, ha det(A) > 0 szemidefinit, ha det(A) ≥ 0 indefinit, ha det(A) < 0 pozitı́v definit, ha det(A) > 0, és sp(A) > 0 negatı́v definit, ha det(A) > 0, és sp(A) < 0 50 / 55 Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Speciális mátrixok 51 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális

mátrixok 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. Példa: Egyetlen v = (v1 , v2 , ., vn ) ∈ Rn egységnyi hosszúságú vektor  önmagával vett diadikus szorzata  projektor:   P :=   v12 a1 v2 v2 v1 v22 . . vn v1 vn v2 . v1 vn . v2 vn    .  . vn2 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P .

Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. Példa: Egyetlen v = (v1 , v2 , ., vn ) ∈ Rn egységnyi hosszúságú vektor  önmagával vett diadikus szorzata  projektor: v12 a1 v2 . v1 vn  v v v22 . v2 vn   2 1  P :=    . .  vn v1 vn v2 . vn2 Minden x ∈ Rn -re P x = hx, vi · v , 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. Példa: Egyetlen v = (v1 , v2 , ., vn ) ∈ Rn egységnyi hosszúságú vektor  önmagával vett diadikus szorzata  projektor: v12 a1 v2 . v1 vn  v v v22 . v2 vn   2 1  P := 

  . .  vn v1 vn v2 . vn2 Minden x ∈ Rn -re P x = hx, vi · v , innen P 2 x = hx, vi · P v 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. Példa: Egyetlen v = (v1 , v2 , ., vn ) ∈ Rn egységnyi hosszúságú vektor  önmagával vett diadikus szorzata  projektor: v12 a1 v2 . v1 vn  v v v22 . v2 vn   2 1  P :=    . .  vn v1 vn v2 . vn2 Minden x ∈ Rn -re P x = hx, vi · v , innen P 2 x = hx, vi · P v = hx, vi · hv, vi · v = P x. 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális

mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. Példa: Egyetlen v = (v1 , v2 , ., vn ) ∈ Rn egységnyi hosszúságú vektor  önmagával vett diadikus szorzata  projektor: v12 a1 v2 . v1 vn  v v v22 . v2 vn   2 1  P :=    . .  vn v1 vn v2 . vn2 Minden x ∈ Rn -re P x = hx, vi · v , innen P 2 x = hx, vi · P v = hx, vi · hv, vi · v = P x. P ∈ Mn×n projektor, akkor I − P is az. 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok A P ∈ Mn×n mátrix projektor, ha P 2 = P . Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A zérusmátrix és a egységmátrix projektorok. Példa: Egyetlen v = (v1 , v2 , ., vn ) ∈ Rn egységnyi hosszúságú vektor  önmagával vett diadikus szorzata  projektor: v12 a1 v2 . v1 vn  v v v22 . v2 vn   2 1  P :=    . .  vn v1

vn v2 . vn2 Minden x ∈ Rn -re P x = hx, vi · v , innen P 2 x = hx, vi · P v = hx, vi · hv, vi · v = P x. P ∈ Mn×n projektor, akkor I − P is az. (I − P )2 = I 2 − IP − P I + P 2 = I − 2P + P = I − P . 52 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0

és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 53 / 55 Projektorok Lineáris

leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. Ha A ∈ Mn×n önadjungált, λ1 ,λ2 , . , λn sajátértékekkel és s1 , s2 , ., sn ortonormált sajátvektorrendszerrel, akkor tetszőleges x ∈ Rn esetén érvényes az alábbi spektrálelőállı́tás: Ax = Pn k=1 λk hx, sk isk 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0,

ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. Ha A ∈ Mn×n önadjungált, λ1 ,λ2 , . , λn sajátértékekkel és s1 , s2 , ., sn ortonormált sajátvektorrendszerrel, akkor tetszőleges x ∈ Rn esetén érvényes az alábbi spektrálelőállı́tás: Ax = Pn k=1 λk hx, sk isk Mivel s1 , s2 , ., sn ortonormáltak, azért x = Pn k=1 hx, sk isk . 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. Ha A ∈ Mn×n önadjungált, λ1 ,λ2 , . , λn sajátértékekkel és s1 , s2 , ., sn ortonormált sajátvektorrendszerrel, akkor tetszőleges x ∈ Rn esetén érvényes az alábbi

spektrálelőállı́tás: Ax = Pn k=1 λk hx, sk isk Mivel s1 , s2 , ., sn ortonormáltak, azért x = Pn Ax = k=1 hx, sk iAsk . Pn k=1 hx, sk isk . Innen 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. Ha A ∈ Mn×n önadjungált, λ1 ,λ2 , . , λn sajátértékekkel és s1 , s2 , ., sn ortonormált sajátvektorrendszerrel, akkor tetszőleges x ∈ Rn esetén érvényes az alábbi spektrálelőállı́tás: Ax = Pn k=1 λk hx, sk isk Mivel s1 , s2 , ., sn ortonormáltak, azért x = Pn Ax = k=1 hx, sk iAsk . Tetszőleges m természetes számra: Am x = Pn k=1 hx, sk isk . Innen Pn m k=1

λk hx, sk isk , 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. Ha A ∈ Mn×n önadjungált, λ1 ,λ2 , . , λn sajátértékekkel és s1 , s2 , ., sn ortonormált sajátvektorrendszerrel, akkor tetszőleges x ∈ Rn esetén érvényes az alábbi spektrálelőállı́tás: Ax = Pn k=1 λk hx, sk isk Mivel s1 , s2 , ., sn ortonormáltak, azért x = Pn Ax = k=1 hx, sk iAsk . Tetszőleges m természetes számra: Am x Pn −1 és A x = k=1 λ−1 k hx, sk isk . = Pn k=1 hx, sk isk . Innen Pn m k=1 λk hx, sk isk , 53 / 55 Projektorok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris

egyenletrendszerek Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Ha P ∈ Mn×n projektor, akkor P sajátértékei csak a 0 és az 1 lehetnek. Ha P s = λs, akkor P 2 s = λP s = λ2 s. De P s = P 2 s, innen λ(1 − λ)s = 0, ezért szükségképp λ(1 − λ) = 0. Ha A ∈ Mn×n önadjungált, λ1 ,λ2 , . , λn sajátértékekkel és s1 , s2 , ., sn ortonormált sajátvektorrendszerrel, akkor tetszőleges x ∈ Rn esetén érvényes az alábbi spektrálelőállı́tás: Ax = Pn k=1 λk hx, sk isk Mivel s1 , s2 , ., sn ortonormáltak, azért x = Pn Ax = k=1 hx, sk iAsk . Tetszőleges m természetes számra: Am x Pn −1 és A x = k=1 λ−1 k hx, sk isk . = Pn k=1 hx, sk isk . Innen Pn m k=1 λk hx, sk isk , Az önadjungált mátrixú Ax = b egyenlet megoldása: x = A−1 b = Pn 1 k=1 λ hb, sk isk . k 53 / 55 Nilpotens mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok

Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix nilpotens, ha valamely pozitı́v hatványa a zérusmátrixszal egyenlő. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 54 / 55 Nilpotens mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix nilpotens, ha valamely pozitı́v hatványa a zérusmátrixszal egyenlő. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok   0 1 0   Példa: Az A :=  0 0 1  ∈ M3×3 mátrix nilpotens, A3 = 0. 0 0 0 54 / 55 Nilpotens mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix nilpotens, ha valamely pozitı́v hatványa a zérusmátrixszal egyenlő. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok   0 1 0   Példa:

Az A :=  0 0 1  ∈ M3×3 mátrix nilpotens, A3 = 0. 0 0 0 Nilpotens mátrixok minden sajátértéke 0. 54 / 55 Nilpotens mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix nilpotens, ha valamely pozitı́v hatványa a zérusmátrixszal egyenlő. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok   0 1 0   Példa: Az A :=  0 0 1  ∈ M3×3 mátrix nilpotens, A3 = 0. 0 0 0 Nilpotens mátrixok minden sajátértéke 0. Ha A ∈ Mn×n nilpotens, akkor az I − A mátrix invertálható, és: (I − A)−1 = P∞ k k=0 A , 54 / 55 Nilpotens mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix nilpotens, ha valamely pozitı́v hatványa a zérusmátrixszal egyenlő. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális

mátrixok   0 1 0   Példa: Az A :=  0 0 1  ∈ M3×3 mátrix nilpotens, A3 = 0. 0 0 0 Nilpotens mátrixok minden sajátértéke 0. Ha A ∈ Mn×n nilpotens, akkor az I − A mátrix invertálható, és: (I − A)−1 = P∞ k k=0 A , Legyen m egy olyan kitevő, melyre Am = 0. Akkor a jobboldal az I + A + A2 + . + Am−1 véges összeggel egyenlő 54 / 55 Nilpotens mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix nilpotens, ha valamely pozitı́v hatványa a zérusmátrixszal egyenlő. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok   0 1 0   Példa: Az A :=  0 0 1  ∈ M3×3 mátrix nilpotens, A3 = 0. 0 0 0 Nilpotens mátrixok minden sajátértéke 0. Ha A ∈ Mn×n nilpotens, akkor az I − A mátrix invertálható, és: (I − A)−1 = P∞ k k=0 A , Legyen m egy olyan kitevő,

melyre Am = 0. Akkor a jobboldal az I + A + A2 + . + Am−1 véges összeggel egyenlő Ezt jobbról (I − A)-val szorozva: (I + A + A2 + . + Am−1 )(I − A) = I+A+A2 +.+Am−1 −A−A2 −−Am−1 −Am = I−Am = I 54 / 55 Ortogonális mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, ha oszlopai mint (oszlop)vektorok, ortonormált rendszert alkotnak Rn -ben. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok 55 / 55 Ortogonális mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, ha oszlopai mint (oszlop)vektorok, ortonormált rendszert alkotnak Rn -ben. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A M2×2 forgatómátrixok, azaz a cos t − sin t sin t cos t ! alakú mátrixok minden t ∈

R esetén ortogonális mátrixok. 55 / 55 Ortogonális mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, ha oszlopai mint (oszlop)vektorok, ortonormált rendszert alkotnak Rn -ben. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A M2×2 forgatómátrixok, azaz a cos t − sin t sin t cos t ! alakú mátrixok minden t ∈ R esetén ortogonális mátrixok. Ha az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, akkor invertálható, és A−1 = A∗ . 55 / 55 Ortogonális mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, ha oszlopai mint (oszlop)vektorok, ortonormált rendszert alkotnak Rn -ben. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A M2×2 forgatómátrixok, azaz a cos t − sin t sin

t cos t ! alakú mátrixok minden t ∈ R esetén ortogonális mátrixok. Ha az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, akkor invertálható, és A−1 = A∗ . Az A∗ A szorzatmátrix kj -edik eleme az A∗ mátrix k -adik sorának (tehát az A mátrix k -adik oszlopának) és az A mátrix j -edik oszlopának skaláris szorzata. 55 / 55 Ortogonális mátrixok Lineáris leképezések, mátrixok Lineáris egyenletrendszerek Az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, ha oszlopai mint (oszlop)vektorok, ortonormált rendszert alkotnak Rn -ben. Adjungált Speciális mátrixok • Projektorok • Nilpotens mátrixok • Ortogonális mátrixok Példa: A M2×2 forgatómátrixok, azaz a cos t − sin t sin t cos t ! alakú mátrixok minden t ∈ R esetén ortogonális mátrixok. Ha az A ∈ Mn×n mátrix ortogonális, akkor invertálható, és A−1 = A∗ . Az A∗ A szorzatmátrix kj -edik eleme az A∗ mátrix k -adik sorának (tehát

az A mátrix k -adik oszlopának) és az A mátrix j -edik oszlopának skaláris szorzata. Ezért A∗ A = I 55 / 55