Mathematics | Discrete mathematics » Gáspár-Molnárka - Vektorterek előadás

Lineáris algebra és többváltozós függvények Gáspár Csaba Molnárka Győző 2006 Miletics Edit Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Vektorterek norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 2 / 21 Vektorterek és alterek Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális

vetület Az X nemüres halmaz vektortér, ha X elemei közt értelmezett egy összeadás, R és X elemei közt pedig egy skalárral való szorzás úgy, hogy tetszőleges x, y, z ∈ X , λ, µ ∈ R esetén: • x+y =y+x • x + (y + z) = x + (y + z) • létezik X -ben egy 0 zérusvektor, melyre x + 0 = x teljesül minden x ∈ X esetén; • bármely x ∈ X -hez van oly x−1 ∈ X , hogy x + x−1 = 0 • • • • λ · (µ · x) = (λµ) · x λ · (x + y) = λ · x + λ · y (λ + µ) · x = λ · x + µ · x 1·x=x 3 / 21 Vektorterek és alterek Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis •

Ortogonális vetület Az X nemüres halmaz vektortér, ha X elemei közt értelmezett egy összeadás, R és X elemei közt pedig egy skalárral való szorzás úgy, hogy tetszőleges x, y, z ∈ X , λ, µ ∈ R esetén: • x+y =y+x • x + (y + z) = x + (y + z) • létezik X -ben egy 0 zérusvektor, melyre x + 0 = x teljesül minden x ∈ X esetén; • bármely x ∈ X -hez van oly x−1 ∈ X , hogy x + x−1 = 0 • • • • λ · (µ · x) = (λµ) · x λ · (x + y) = λ · x + λ · y (λ + µ) · x = λ · x + µ · x 1·x=x Az X vektortér egy X0 ⊂ X részhalmaza altér, ha maga is vektortér az X -beli műveletekre nézve. 3 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, • R a szokásos műveletekkel; lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis,

dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 4 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, • R a szokásos műveletekkel; C a szokásos műveletekkel lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 4 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • R a szokásos műveletekkel;

C a szokásos műveletekkel • R2 : (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ · (x1 , x2 ) := (λx1 , λx2 ) • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 4 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és • R a szokásos műveletekkel; C a szokásos műveletekkel • R2 : (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ · (x1 , x2 ) := (λx1 , λx2 ) • R3 : (x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) λ · (x1 , x2 , x3 ) := (λx1 , λx2 , λx3 ) norma tulajdonságai •

Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 4 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület • R a szokásos műveletekkel; C a szokásos műveletekkel • R2 : (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ · (x1 , x2 ) := (λx1 , λx2 ) • R3 : (x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) λ · (x1 , x2 , x3 ) := (λx1 , λx2 , λx3 ) • Rn : (x1 , ., xn ) + (y1 , , yn ) := (x1 + y1 , , xn + yn ) λ · (x1 , x2 , ., xn ) := (λx1 , λx2 , , λxn ) 4 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és

alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület • R a szokásos műveletekkel; C a szokásos műveletekkel • R2 : (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ · (x1 , x2 ) := (λx1 , λx2 ) • R3 : (x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) λ · (x1 , x2 , x3 ) := (λx1 , λx2 , λx3 ) • Rn : (x1 , ., xn ) + (y1 , , yn ) := (x1 + y1 , , xn + yn ) λ · (x1 , x2 , ., xn ) := (λx1 , λx2 , , λxn ) • a valós sorozatok halmaza: (xn ) + (yn ) := (xn + yn ), λ · (xn ) := (λxn ) 4 / 21 Példák vektortérre Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai

sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület • R a szokásos műveletekkel; C a szokásos műveletekkel • R2 : (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ · (x1 , x2 ) := (λx1 , λx2 ) • R3 : (x1 , x2 , x3 ) + (y1 , y2 , y3 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) λ · (x1 , x2 , x3 ) := (λx1 , λx2 , λx3 ) • Rn : (x1 , ., xn ) + (y1 , , yn ) := (x1 + y1 , , xn + yn ) λ · (x1 , x2 , ., xn ) := (λx1 , λx2 , , λxn ) • a valós sorozatok halmaza: (xn ) + (yn ) := (xn + yn ), λ · (xn ) := (λxn ) • a valós függvények halmaza: (f + g)(x) := f (x) + g(x), (λ · f )(x) := λ · f (x) 4 / 21 A geometriai sı́k Vektorterek • Vektorterek és alterek •

Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, R2 és a geometriai sı́k azonosı́thatók. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Összeadás a sı́k pontjai (helyvektorai) közt 5 / 21 A geometriai sı́k Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, R2 és a geometriai sı́k azonosı́thatók. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Összeadás a

sı́k pontjai (helyvektorai) közt Alterek: az origóra illeszkedő egyenesek. 5 / 21 A geometriai tér Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, R3 és a geometriai tér azonosı́thatók. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Összeadás a tér pontjai (helyvektorai) közt 6 / 21 A geometriai tér Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, R3 és a geometriai tér azonosı́thatók. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma

Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Összeadás a tér pontjai (helyvektorai) közt Alterek: az origóra illeszkedő egyenesek és sı́kok. 6 / 21 Lineáris kombináció, lineáris burok Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Legyen X vektortér, x1 , x2 , ., xN ∈ X tetszőleges vektorok, λ1 , λ2 , ., λN ∈ R tetszőleges együtthatók A λ1 x1 + λ2 x2 + + λN xN ∈ X vektort a fenti vektorok egy lineáris kombinációjának nevezzük. Ha mindegyik együttható zérus: triviális lineáris kombináció, ha legalább egy együttható zérustól különbözik:

nemtriviális lineáris kombináció. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 7 / 21 Lineáris kombináció, lineáris burok Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X vektortér, x1 , x2 , ., xN ∈ X tetszőleges vektorok, λ1 , λ2 , ., λN ∈ R tetszőleges együtthatók A λ1 x1 + λ2 x2 + + λN xN ∈ X vektort a fenti vektorok egy lineáris kombinációjának nevezzük. Ha mindegyik együttható zérus: triviális lineáris kombináció, ha legalább egy együttható zérustól különbözik:

nemtriviális lineáris kombináció. Legyen X vektortér, A ⊂ X tetszőleges részhalmaz. Az A-beli vektorok összes lineáris kombinációinak halmaza alteret alkot X-ben. Ezt az A halmaz lineáris burkának vagy az A halmaz által generált altérnek nevezzük. Jele: [A] Az A halmaz lineáris burka a legszűkebb olyan X -beli altér, mely A-t tartalmazza. 7 / 21 Lineáris kombináció, lineáris burok Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Egypontú halmaz lineáris burka a sı́kon Példa (lineáris burok R2 -ben): Egyetlen (az origótól különböző) pont

lineáris burka a pontot az origóval összekötő egyenes. Két olyan pont lineáris burka, melyek az origóval nem esnek egy egyenesbe, a teljes sı́kkal egyezik. 8 / 21 Lineáris kombináció, lineáris burok Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Példa: (lineáris burok R5 -ben): Az (1,0,0,0,0), (0,3,0,0,0) és (2,2,0,0,0) vektorok lineáris burka: {(x, y, 0, 0, 0) ∈ R5 : x, y ∈ R}. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 9 / 21 Lineáris kombináció, lineáris burok Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris

kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Példa: (lineáris burok R5 -ben): Az (1,0,0,0,0), (0,3,0,0,0) és (2,2,0,0,0) vektorok lineáris burka: {(x, y, 0, 0, 0) ∈ R5 : x, y ∈ R}. Példa: (lineáris burok a polinomok terében): A 2, 2x és a −5x2 polinomok lineáris burka a legfeljebb másodfokú polinomok altere. • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 9 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Az x ∈ X vektor lineárisan függ az x1 , x2 , ., xN ∈ X vektoroktól, ha előáll azok valamilyen lineáris

kombinációjaként Az X beli vektorok egy véges rendszere lineárisan összefüggő, ha van köztük olyan vektor, mely lineárisan függ a többitől, ill. lineárisan független, ha közülük egyik vektor sem függ lineárisan a többitől. • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 10 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az x ∈ X vektor lineárisan függ az x1 , x2 , ., xN ∈ X vektoroktól, ha előáll azok valamilyen lineáris kombinációjaként Az X

beli vektorok egy véges rendszere lineárisan összefüggő, ha van köztük olyan vektor, mely lineárisan függ a többitől, ill. lineárisan független, ha közülük egyik vektor sem függ lineárisan a többitől. A 0 zérusvektor minden vektortól lineárisan függ. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 10 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Két sı́kvektor lineáris függetlensége ill. összefüggősége norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Példa (lineáris függetlenség

R2 -ben): Két olyan pont, melyek az origóval egy egyenesbe esnek, lineárisan összefüggők. Ha nem esnek egy egyenesbe vele, akkor lineárisan függetlenek. Három vektor R2 -ben mindig lineárisan összefüggő. 11 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 12 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris

kombináció, Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. A (4,5,6,0), (1,1,3,0), és a (2,3,0,0) vektorok lineárisan összefüggők, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 12 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. A (4,5,6,0), (1,1,3,0), és a (2,3,0,0) vektorok lineárisan összefüggők, mert (4, 5, 6, 0) = 2 · (1, 1, 3, 0) + (2, 3, 0, 0). lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat

és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 12 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. A (4,5,6,0), (1,1,3,0), és a (2,3,0,0) vektorok lineárisan összefüggők, mert (4, 5, 6, 0) = 2 · (1, 1, 3, 0) + (2, 3, 0, 0). Példa: Az x3 + 2x5 ötödfokú polinom nem függ lineárisan másodfokú polinomok semmilyen rendszerétől. • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 12 / 21 Lineáris

összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. A (4,5,6,0), (1,1,3,0), és a (2,3,0,0) vektorok lineárisan összefüggők, mert (4, 5, 6, 0) = 2 · (1, 1, 3, 0) + (2, 3, 0, 0). Példa: Az x3 + 2x5 ötödfokú polinom nem függ lineárisan másodfokú polinomok semmilyen rendszerétől. Az 1 + x, x + x2 , −1 + x2 polinomok lineárisan összefüggők, norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 12 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák

vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. A (4,5,6,0), (1,1,3,0), és a (2,3,0,0) vektorok lineárisan összefüggők, mert (4, 5, 6, 0) = 2 · (1, 1, 3, 0) + (2, 3, 0, 0). Példa: Az x3 + 2x5 ötödfokú polinom nem függ lineárisan másodfokú polinomok semmilyen rendszerétől. Az 1 + x, x + x2 , −1 + x2 polinomok lineárisan összefüggők, de az 1 + x, x + x2 , −1 + x3 polinomok már lineárisan függetlenek. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 12 / 21 Lineáris összefüggőség és függetlenség Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai

sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Példa: A (0,1,0,0) és a (0,0,0,3) vektorok lineárisan függetlenek. A (4,5,6,0), (1,1,3,0), és a (2,3,0,0) vektorok lineárisan összefüggők, mert (4, 5, 6, 0) = 2 · (1, 1, 3, 0) + (2, 3, 0, 0). Példa: Az x3 + 2x5 ötödfokú polinom nem függ lineárisan másodfokú polinomok semmilyen rendszerétől. Az 1 + x, x + x2 , −1 + x2 polinomok lineárisan összefüggők, de az 1 + x, x + x2 , −1 + x3 polinomok már lineárisan függetlenek. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x1 , x2 , ., xN ∈ X vektorok pontosan akkor lineárisan összefüggők, ha létezik olyan nemtriviális lineáris kombinációjuk, mely a zérusvektorral egyenlő, és

pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha csak a triviális lineáris kombinációjuk egyenlő a zérusvektorral: λ1 x1 +λ1 x2 +.+λN xN = 0 csak úgy lehetséges, ha λ1 = λ2 = . = λN = 0 12 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Az A ⊂ X részhalmazt az X vektortér egy bázisának nevezzük, ha lineárisan független, és az egész teret generálja, azaz [A] = X . A bázis számosságát az X vektortér dimenziójának nevezzük. A triviális {0} alteret 0-dimenziósnak nevezzük. • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 13 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek

és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az A ⊂ X részhalmazt az X vektortér egy bázisának nevezzük, ha lineárisan független, és az egész teret generálja, azaz [A] = X . A bázis számosságát az X vektortér dimenziójának nevezzük. A triviális {0} alteret 0-dimenziósnak nevezzük. Minden, a triviális {0}-tól különböző vektortérnek létezik bázisa. Egy adott vektortér minden bázisa azonos számosságú, azaz a dimenzió egyértelműen meghatározott. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 13 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k

• A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az A ⊂ X részhalmazt az X vektortér egy bázisának nevezzük, ha lineárisan független, és az egész teret generálja, azaz [A] = X . A bázis számosságát az X vektortér dimenziójának nevezzük. A triviális {0} alteret 0-dimenziósnak nevezzük. Minden, a triviális {0}-tól különböző vektortérnek létezik bázisa. Egy adott vektortér minden bázisa azonos számosságú, azaz a dimenzió egyértelműen meghatározott. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Egy n-dimenziós vektortérben bármely N > n számú vektor lineárisan összefüggő. 13 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák

vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az A ⊂ X részhalmazt az X vektortér egy bázisának nevezzük, ha lineárisan független, és az egész teret generálja, azaz [A] = X . A bázis számosságát az X vektortér dimenziójának nevezzük. A triviális {0} alteret 0-dimenziósnak nevezzük. Minden, a triviális {0}-tól különböző vektortérnek létezik bázisa. Egy adott vektortér minden bázisa azonos számosságú, azaz a dimenzió egyértelműen meghatározott. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Egy n-dimenziós vektortérben bármely N > n számú vektor lineárisan összefüggő. Példa: R egydimenziós, bármely nemnulla szám

mint egyelemű halmaz, bázist alkot. 13 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az A ⊂ X részhalmazt az X vektortér egy bázisának nevezzük, ha lineárisan független, és az egész teret generálja, azaz [A] = X . A bázis számosságát az X vektortér dimenziójának nevezzük. A triviális {0} alteret 0-dimenziósnak nevezzük. Minden, a triviális {0}-tól különböző vektortérnek létezik bázisa. Egy adott vektortér minden bázisa azonos számosságú, azaz a dimenzió egyértelműen meghatározott. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Egy n-dimenziós

vektortérben bármely N > n számú vektor lineárisan összefüggő. Példa: R egydimenziós, bármely nemnulla szám mint egyelemű halmaz, bázist alkot. Példa: C mint valós vektortér, kétdimenziós. Egy bázisa pl: {1, i} Egy másik bázisa: {1 + i, 1 − i}. 13 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Példa: R2 kétdimenziós, egy bázisa pl. {(1, 0), (0, 1)} (standard bázis. Általában, bármely két pont, mely az origóval nem esik egy egyenesbe, bázist alkot a sı́kon. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület A sı́k standard bázisa 14 / 21 Bázis, dimenzió

Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Példa: R2 kétdimenziós, egy bázisa pl. {(1, 0), (0, 1)} (standard bázis. Általában, bármely két pont, mely az origóval nem esik egy egyenesbe, bázist alkot a sı́kon. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület A sı́k standard bázisa Példa: Rn n-dimenziós, egy bázisa pl. a (1, 0, 0, , 0), (0, 1, 0, ., 0), , (0, 0, , 0, 1) vektorrendszer (standard bázis) 14 / 21 Bázis, dimenzió Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Példa: R2 kétdimenziós, egy bázisa pl.

{(1, 0), (0, 1)} (standard bázis. Általában, bármely két pont, mely az origóval nem esik egy egyenesbe, bázist alkot a sı́kon. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület A sı́k standard bázisa Példa: Rn n-dimenziós, egy bázisa pl. a (1, 0, 0, , 0), (0, 1, 0, ., 0), , (0, 0, , 0, 1) vektorrendszer (standard bázis) Példa: A polinomok tere végtelen dimenziós. A legfeljebb k -adfokú polinomok altere (k + 1)-dimenziós, egy bázisát az 1, x, x2 , ., xk alappolinomok alkotják. 14 / 21 Skaláris szorzat és norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Az x := (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , y := (y1 , y2 , ,

yn ) ∈ Rn vektorok skaláris szorzata: P hx, yi := nk=1 xk yk = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 15 / 21 Skaláris szorzat és norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az x := (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , y := (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn vektorok skaláris szorzata: P hx, yi := nk=1 xk yk = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn Az x ∈ Rn vektor norm q út értéke: q ája vagy abszol ||x|| := p hx, xi = Pn 2 = x k=1 k x21 + x22

+ . + x2n norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 15 / 21 Skaláris szorzat és norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x := (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , y := (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn vektorok skaláris szorzata: P hx, yi := nk=1 xk yk = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn Az x ∈ Rn vektor norm q út értéke: q ája vagy abszol ||x|| := p hx, xi = Pn 2 = x k=1 k x21 + x22 + . + x2n Az x, y ∈ Rn vektorok (pontok) távolsága: ||x − y||. Következésképp ||x|| az x vektor távolsága a 0 zérusvektortól. 15 / 21

Skaláris szorzat és norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x := (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn , y := (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn vektorok skaláris szorzata: P hx, yi := nk=1 xk yk = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn Az x ∈ Rn vektor norm q út értéke: q ája vagy abszol ||x|| := p hx, xi = Pn 2 = x k=1 k x21 + x22 + . + x2n Az x, y ∈ Rn vektorok (pontok) távolsága: ||x − y||. Következésképp ||x|| az x vektor távolsága a 0 zérusvektortól. Ezekkel a fogalmakkal a Cauchy-egyenlőtlenség alakja: |hx, yi| ≤ ||x|| · ||y||. 15 / 21 Skaláris szorzat és

norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Skaláris szorzat és norma a sı́kon x1 = r cos t, x2 = r sin t, y1 = R cos T, y2 = R sin T , ezért hx, yi = Rr cos T cos t + Rr sin T sin t 16 / 21 Skaláris szorzat és norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás

• Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Skaláris szorzat és norma a sı́kon x1 = r cos t, x2 = r sin t, y1 = R cos T, y2 = R sin T , ezért hx, yi = Rr cos T cos t + Rr sin T sin t = Rr cos(T − t) 16 / 21 Skaláris szorzat és norma Rn -ben Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Skaláris szorzat és norma a sı́kon x1 = r cos t, x2 = r sin t, y1 = R cos T, y2 = R sin T , ezért hx, yi = Rr cos T cos t + Rr sin T sin t = Rr cos(T − t) = ||x|| · ||y|| · cos φ (φ: a két vektor által bezárt szög). 16 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai

Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás •

Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség) 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi •

hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség) ||x + y||2 = hx + y, x + yi 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0,

és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség) ||x + y||2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x

+ y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség) ||x + y||2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = ||x||2 + 2hx, yi + ||y||2 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség)

||x + y||2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = ||x||2 + 2hx, yi + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2||x||||y|| + ||y||2 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség) ||x + y||2 = hx + y, x

+ yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = ||x||2 + 2hx, yi + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2||x||||y|| + ||y||2 ||x − y||2 = ||x||2 − 2hx, yi + ||y||2 17 / 21 A skaláris szorzat és norma tulajdonságai Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Tetszőleges x, y, z ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén: • hx + y, zi = hx, zi + hy, zi • hx, yi = hy, xi • hλx, yi = λ · hx, yi Tetszőleges x, y ∈ Rn vektorok és λ ∈ R esetén:: • ||x|| ≥ 0, és ||x|| = 0 pontosan akkor teljesül, ha x = 0 • ||λx|| = |λ| · ||x|| • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (háromszög-egyenlőtlenség) ||x +

y||2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = ||x||2 + 2hx, yi + ||y||2 ≤ ||x||2 + 2||x||||y|| + ||y||2 ||x − y||2 = ||x||2 − 2hx, yi + ||y||2 = ||x||2 − 2||x|| · ||y|| cos φ + ||y||2 (koszinusztétel). 17 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség

és függetlenség Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y (Pitagorász tétele): Tetszőleges x, y ∈ Rn , x ⊥ y vektorok esetén: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y (Pitagorász tétele): Tetszőleges

x, y ∈ Rn , x ⊥ y vektorok esetén: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . Tetszőleges x1 , x2 , ., xm ∈ Rn , (m ≤ n) páronként ortogonális vektor esetén: || m X j=1 xj ||2 = m X ||xj ||2 j=1 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y (Pitagorász tétele): Tetszőleges x, y ∈ Rn , x ⊥ y vektorok esetén: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . Tetszőleges x1 , x2 , ., xm ∈ Rn , (m ≤ n) páronként ortogonális vektor esetén: || m X xj ||2 = j=1 || Pm j=1 xj ||2

=h Pm j=1 xj , m X ||xj ||2 j=1 Pm k=1 xk i 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y (Pitagorász tétele): Tetszőleges x, y ∈ Rn , x ⊥ y vektorok esetén: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . Tetszőleges x1 , x2 , ., xm ∈ Rn , (m ≤ n) páronként ortogonális vektor esetén: || m X xj ||2 = j=1 || Pm j=1 xj ||2 =h Pm j=1 xj , m X ||xj ||2 j=1 Pm Pm Pm k=1 xk i = j=1 k=1 hxj , xk i 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek •

Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y (Pitagorász tétele): Tetszőleges x, y ∈ Rn , x ⊥ y vektorok esetén: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . Tetszőleges x1 , x2 , ., xm ∈ Rn , (m ≤ n) páronként ortogonális vektor esetén: || m X j=1 xj ||2 = m X ||xj ||2 j=1 Pm Pm Pm Pm Pm 2 || j=1 xj || = h j=1 xj , k=1 xk i = j=1 k=1 hxj , xk i Pm = k=1 hxk , xk i 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris

burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az x, y ∈ Rn , vektorok merőlegesek vagy ortogonálisak, ha hx, yi = 0. Jele: x ⊥ y (Pitagorász tétele): Tetszőleges x, y ∈ Rn , x ⊥ y vektorok esetén: ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . Tetszőleges x1 , x2 , ., xm ∈ Rn , (m ≤ n) páronként ortogonális vektor esetén: || m X xj ||2 = j=1 m X ||xj ||2 j=1 Pm Pm Pm Pm Pm 2 || j=1 xj || = h j=1 xj , k=1 xk i = j=1 k=1 hxj , xk i Pm Pm 2 = k=1 hxk , xk i = k=1 ||xk || . 18 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló

vektorrendszer lineárisan független. lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 19 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer lineárisan független. Ha Pm j=1 λj xj = 0, akkor Pm 2 ||x ||2 = 0, |λ | j j j=1 • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 19 / 21 Ortogonalitás

Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer lineárisan független. Pm Pm Ha j=1 λj xj = 0, akkor j=1 |λj |2 ||xj ||2 = 0, ezért szükségképp λ1 = . = λm = 0 • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 19 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A

skaláris szorzat és Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer lineárisan független. Pm Pm Ha j=1 λj xj = 0, akkor j=1 |λj |2 ||xj ||2 = 0, ezért szükségképp λ1 = . = λm = 0 Ha egy x ∈ Rn vektor ortogonális egy e1 , e2 , ., em ∈ Rn generátorrendszer minden elemére, akkor szükségképp x = 0. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 19 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n)

páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer lineárisan független. Pm Pm Ha j=1 λj xj = 0, akkor j=1 |λj |2 ||xj ||2 = 0, ezért szükségképp λ1 = . = λm = 0 Ha egy x ∈ Rn vektor ortogonális egy e1 , e2 , ., em ∈ Rn generátorrendszer minden elemére, akkor szükségképp x = 0. Pn Legyen x = j=1 λj ej alakú, akkor az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan szorozva x-szel: 19 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló

vektorrendszer lineárisan független. Pm Pm Ha j=1 λj xj = 0, akkor j=1 |λj |2 ||xj ||2 = 0, ezért szükségképp λ1 = . = λm = 0 Ha egy x ∈ Rn vektor ortogonális egy e1 , e2 , ., em ∈ Rn generátorrendszer minden elemére, akkor szükségképp x = 0. Pn Legyen x = j=1 λj ej alakú, akkor az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan szorozva x-szel: ||x||2 = 0, 19 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer lineárisan független. Pm Pm

Ha j=1 λj xj = 0, akkor j=1 |λj |2 ||xj ||2 = 0, ezért szükségképp λ1 = . = λm = 0 Ha egy x ∈ Rn vektor ortogonális egy e1 , e2 , ., em ∈ Rn generátorrendszer minden elemére, akkor szükségképp x = 0. Pn Legyen x = j=1 λj ej alakú, akkor az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan szorozva x-szel: ||x||2 = 0, ezért x = 0. 19 / 21 Ortogonalitás Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Minden x1 , x2 , ., xm ∈ Rn (m ≤ n) páronként ortogonális nemzérus vektorokból álló vektorrendszer lineárisan független. Pm Pm Ha j=1 λj xj = 0, akkor j=1 |λj |2

||xj ||2 = 0, ezért szükségképp λ1 = . = λm = 0 Ha egy x ∈ Rn vektor ortogonális egy e1 , e2 , ., em ∈ Rn generátorrendszer minden elemére, akkor szükségképp x = 0. Pn Legyen x = j=1 λj ej alakú, akkor az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan szorozva x-szel: ||x||2 = 0, ezért x = 0. Egy tetszőleges M ⊂ Rn halmaz összes elemére ortogonális vektorok alteret alkotnak Rn -ben. Ezt az alteret M halmaz ortogonális kiegészı́tő alterének nevezzük. Jele: M ⊥ 19 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, .,

n-re • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 20 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, ., n-re Példa: A standard bázis ortonormált Rn -ben. norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 20 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és

alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, ., n-re Példa: A standard bázis ortonormált Rn -ben. Legyen e1 , e2 , ., en ∈ Rn egy ortonormált bázis, és x ∈ Rn Pn tetszőleges vektor, akkor: x = j=1 hx, ej iej . 20 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris

összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, ., n-re Példa: A standard bázis ortonormált Rn -ben. Legyen e1 , e2 , ., en ∈ Rn egy ortonormált bázis, és x ∈ Rn Pn tetszőleges vektor, akkor: x = j=1 hx, ej iej . y := Pn j=1 hx, ej iej , akkor tetszőleges k = 1, 2, ., n-ra: 20 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió •

Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, ., n-re Példa: A standard bázis ortonormált Rn -ben. Legyen e1 , e2 , ., en ∈ Rn egy ortonormált bázis, és x ∈ Rn Pn tetszőleges vektor, akkor: x = j=1 hx, ej iej . y := nj=1 hx, ej iej , akkor tetszőleges k = 1, 2, ., n-ra: Pn hx − y, ek i = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i P 20 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és

norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, ., n-re Példa: A standard bázis ortonormált Rn -ben. Legyen e1 , e2 , ., en ∈ Rn egy ortonormált bázis, és x ∈ Rn Pn tetszőleges vektor, akkor: x = j=1 hx, ej iej . y := nj=1 hx, ej iej , akkor tetszőleges k = 1, 2, ., n-ra: Pn hx − y, ek i = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i · hek , ek i = 0, P 20 / 21 Ortogonális bázis Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió •

Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Az e1 , e2 , ., en ∈ Rn bázist ortogonális bázisnak nevezzük, ha ek ⊥ ej minden k 6= j esetén. Az ortogonális bázist ortonormáltnak nevezzük, ha még ||ek || = 1 is teljesül minden k = 1, 2, ., n-re Példa: A standard bázis ortonormált Rn -ben. Legyen e1 , e2 , ., en ∈ Rn egy ortonormált bázis, és x ∈ Rn Pn tetszőleges vektor, akkor: x = j=1 hx, ej iej . y := nj=1 hx, ej iej , akkor tetszőleges k = 1, 2, ., n-ra: Pn hx − y, ek i = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i · hek , ek i = 0, ezért x − y = 0. P 20 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és

függetlenség Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 .

Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor

az x⊥ := x − x0 ortogonális X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej .

Akkor az x⊥ := x − x0 ortogonális X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: hx − x0 , ek i = hx − Pm j=1 hx, ej iej , ek i 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor az x⊥ := x − x0 ortogonális

X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: Pm hx − x0 , ek i = hx − j=1 hx, ej iej , ek i Pm = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor az x⊥ := x − x0 ortogonális

X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: Pm hx − x0 , ek i = hx − j=1 hx, ej iej , ek i Pm = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i = 0. 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor az

x⊥ := x − x0 ortogonális X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: Pm hx − x0 , ek i = hx − j=1 hx, ej iej , ek i Pm = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i = 0. ⊥ Egyértelműség: ha x = x0 + x⊥ 0 és x = y0 + y0 két olyan ⊥ ⊥ felbontás, hogy x0 , y0 ∈ X0 és x⊥ 0 , y0 ∈ X0 , akkor 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az

x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor az x⊥ := x − x0 ortogonális X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: Pm hx − x0 , ek i = hx − j=1 hx, ej iej , ek i Pm = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i = 0. ⊥ Egyértelműség: ha x = x0 + x⊥ 0 és x = y0 + y0 két olyan ⊥ ⊥ felbontás, hogy x0 , y0 ∈ X0 és x⊥ 0 , y0 ∈ X0 , akkor ⊥ x0 − y0 = −(x⊥ 0 − y0 ). 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis •

Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor az x⊥ := x − x0 ortogonális X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: Pm hx − x0 , ek i = hx − j=1 hx, ej iej , ek i Pm = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i = 0. ⊥ Egyértelműség: ha x = x0 + x⊥ 0 és x = y0 + y0 két olyan ⊥ ⊥ felbontás, hogy x0 , y0 ∈ X0 és x⊥ 0 , y0 ∈ X0 , akkor ⊥ ⊥ ⊥ x0 − y0 = −(x⊥ 0 − y0 ). Innen x0 − y0 = 0, és x0 − y0 = 0 21 / 21 Ortogonális vetület Vektorterek • Vektorterek és alterek • Példák vektortérre • A geometriai sı́k • A geometriai tér • Lineáris

kombináció, lineáris burok • Lineáris összefüggőség és függetlenség • Bázis, dimenzió • Skaláris szorzat és norma Rn -ben • A skaláris szorzat és norma tulajdonságai • Ortogonalitás • Ortogonális bázis • Ortogonális vetület Legyen X0 ⊂ Rn egy tetszőleges altér. Akkor minden x ∈ Rn vektor egyértelműen előáll x = x0 + x⊥ 0 alakban, ahol x0 ∈ X0 ⊥ és x⊥ 0 ∈ X0 . Ezt az x0 vektort az x vektornak az X0 altérre vett ortogonális vetületének nevezzük. Legyen e1 , e2 , ., em egy ortonormált bázis X0 -ban, és Pm x0 := j=1 hx, ej iej . Akkor az x⊥ := x − x0 ortogonális X0 -ra, mert mindegyik ek bázisvektorra ortogonális: Pm hx − x0 , ek i = hx − j=1 hx, ej iej , ek i Pm = hx, ek i − j=1 hx, ej ihej , ek i = hx, ek i − hx, ek i = 0. ⊥ Egyértelműség: ha x = x0 + x⊥ 0 és x = y0 + y0 két olyan ⊥ ⊥ felbontás, hogy x0 , y0 ∈ X0 és x⊥ 0 , y0 ∈ X0 ,

akkor ⊥ ⊥ ⊥ x0 − y0 = −(x⊥ 0 − y0 ). Innen x0 − y0 = 0, és x0 − y0 = 0 Speciálisan eset (X0 egydimenziós): Tetszőleges x ∈ Rn vektor hx,ei adott e ∈ Rn irányú ortogonális vetülete: ||e||2 e. 21 / 21