Mathematics | Probability theory » A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje

24. tétel A valószínűségszámítás kombinatorikus modellje. elemei. A valószínűség kiszámításának GYAKORISÁG ÉS VALÓSZÍNŰSÉG Amennyiben az egyes adatok a sokaságon belüli részarányát adjuk meg (törtben vagy százalékban), akkor relatív gyakoriságról beszélünk. (Általában ezt ábrázolják a kördiagramok és gyakran a táblázatok is ilyenek. A gyakoriságot ábrázoló diagramok egy típusát hisztogramnak nevezzük (ha oszlopdiagram)). A relatív gyakoriság és a valószínűség fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A valószínűségszámítás egyszerű szerencsejátékokról szóló statisztikai megfigyelések alapján született. () Nagy számok törvénye Legyen egy esemény bekövetkeztének valószínűsége p. Végezzünk n kísérletet és figyeljük � meg, hányszor fordul elő az esemény: k (gyakoriság). Ekkor a relatív gyakoriság � Minél nagyobb az n, annál valószínűbb, hogy � � − � kicsi. A

valószínűség néhány alapvető tulajdonsága A valószínűség, mint matematikai fogalom vizsgálatához axiómákat és axiomatikus fogalmakat vezetünk be. A valószínűségszámításban általában a halmazműveleteket és halmazelméleti fogalmakat alkalmazzák. ALAPVETŐ FOGALMAK Eseménytér (univerzum/alaphalmaz) Def: Eseménytérnek nevezzük az összes lehetséges kimenetelt tartalmazó halmazt. Ez lehet véges, megszámlálhatóan végtelen, vagy nem megszámlálhatóan végtelen. Elemi esemény Def:Elemi eseményeknek nevezzük az eseménytér – mint halmaz – elemeit. Az elemi eseményeket axiomatikusan (mindig) egyenlő valószínűségűeknek tekintik. Esemény Def:Eseménynek nevezzük az eseménytér egy tetszőleges részhalmazát.    Lehetetlen eseménynek nevezzük az üreshalmazt az eseménytérben. () Biztos eseménynek nevezzük a teljes eseményteret. (E) Komplementer eseménynek nevezzük a halmazok körében definiált komplementer

halmazt. Általában az összes halmazművelet értelmezett  metszet: AB (A és B) – együttes bekövetkezés (szorzatesemény)  unió: AB (A vagy B) – legalább az egyik bekövetkezik (összegesemény vagy unióesemény) A valószínűség egy valós szám, amelyet az eseménytér részhalmazaihoz rendelünk. 1. oldal A következők axiomatikus állítások:  Lehetetlen esemény valószínűsége 0. (� ∅ = 0) (De a 0 valószínűségű esemény nem biztos, hogy lehetetlen.)  Biztos esemény valószínűsége: � � = 1. (De az 1 valószínűségű esemény nem biztos, hogy biztos. )  Komplementer esemény valószínűsége: � � = 1 − � �  Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 között van. 0 ≤ �(�) ≤ 1  Kizáró esemény: A és B esemény kizáró események ha együtt nem következhetnek be vagyis metszetük az üres halmaz, vagyis diszjunkt halmazok. (� � ∩ � = ∅)  Ha A és B kizáró események �

�∪� =� � +� � Ez már nem axiomatikus: Tetszőleges A és B eseményekre:� � ∪ � = � � + � � − �(� ∩ �)/ � � + � = � � + � � − �(� ∙ �) (logikai szita) Független esemény Def:A és B események függetlenek, ha a metszetesemény valószínűsége a két esemény valószínűségének szorzata. � � ∩ � = �(�) ∙ �(�) / � � ∙ � = �(�) ∙ �(�) A független esemény nem azonos a kizáró eseménnyel. Teljes eseményrendszer Def:Teljes eseményrendszernek nevezzük azt, amikor a teljes eseményteret felbontjuk diszjunkt részhalmazokra. Így a részhalmazok uniója a teljes eseménytér és bármely két részhalmaz metszete az üres halmaz;(egyszerre biztosan megtörténik pontosan egy részhalmaz egy eseménye.) E1 E2 E3 E4 E5 Feltételes valószínűség Tudjuk, hogy egy esemény bekövetkezett, és ezt tudva vizsgáljuk egy másik esemény bekövetkeztének valószínűségét.

�(�B)feltételes valószínűségben B bekövetkezettesemény, mennyi ekkor a valószínűsége, hogy A is bekövetkezett. �(� ∩ �) � �� = �(�) Tétel: Teljes valószínűség tétele Ha B1; B2; B3 Bn a teljes eseményrendszer, akkor A esemény valószínűsége: � � = � ��1 ∙ � �1 + � ��2 ∙ � �2 + ⋯ + � ��� ∙ � �� B1 E1 E2 E3 E4 Bn B2 E5 A AA AA A 2. oldal ⋯ Tétel: Bayes-tétel Legyen B1, B2, B3 Bn a teljes eseményrendszer (diszjunktak és lefedik a teljes eseményteret), A pedig tetszőleges esemény. Ismert � ��1 , � ��2 , � ��� A esemény valószínűsége különböző feltételek mellett, valamint � �1 , � �2 � �� . Ekkor Bivalószínűsége A feltétel mellett: � �� � = � ��� ∙�(�� ) � ��� ∙� �� +� ��2 ∙� �2 +⋯+� ��� ∙�(� ) 1≤�≤� �

� a teljes valószínűség tétele miatt Bizonyítás:Rajzoljuk fel az események gráfját! Az élekre írjuk az átmenet valószínűségét. � �1 � �2 ⋯ � �� � ��1 B1 � ��1 � ��B2 2 � ��2 A A � �� � = = A � ���Bn A �−�� � �� −� ������� ü� ����� ő ú� ��� ó��í�ű�é�� ö����� �−�� ����� ő ú� ��� ó��í�ű�é�� A � ��� A = � ��� ∙�(�� ) � ��� ∙� �� +� ��2 ∙� �2 +⋯+� ��� ∙�(� ) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KOMBINATORIKUS MÓDJA/KLASSZIKUS MODELL A valószínűségszámítás klasszikus modellje (Laplace-modell/kombinatorikus modell) szerint egy esemény bekövetkeztének valószínűsége (elemi eseményekkel/egyenlő valószínűségű eseményekkel számolva): �= ������ő

������ ��á�� ö����� ���� ��á�� Akkor használható, ha az eseménytér véges halmaz. Néhány tipikus példa Tétel: Visszatevés nélküli mintavétel (hipergeometrikus eloszlás) Van N elem, ezek közül pontosan K rendelkezik valamilyen tulajdonsággal. n elemet kiválasztunk ismétlés (azaz visszatevés) nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztottak közül pontosan k darab lesz az adott tulajdonsággal rendelkező? � ∙ �−� � �−� �� = � � 3. oldal Bizonyítás: N elem van, n-t választunk visszatevés nélkül Ismétlés nélküli kombináció: Összes eset: �� Kedvező esetek száma: N K (adott tul.) N – K (nem adott tul.) � � Kiválasztunk k db adott tulajdonságút 2 diszjunkt részhalmaz (ismétlés nélküli kombináció) A többi n – k –t pedig a másik részhalmazból kell kiválasztani kombináció) �−� �−� (ismétlés nélküli Kedvező esetek

száma: �� ∙ �−� (azért van szorzás, mert minden adott tulajdonságú �−� elemhez tartozhat bármilyen nem adott tulajdonságú) Klasszikus modell szerint:� = � � ∙ �� −� −� � � (természetesen � ≥ �). Tétel: Visszatevéses mintavétel (binomiális eloszlás) Az adott tulajdonsággal rendelkező elemek aránya nem változik meg. Legyen p egy esemény valószínűsége.Annak a valószínűsége, hogy ez n független kísérletből pontosan k-szor következik be: � � � − ���� = ∙ �� ∙ (1 − �)�−� �   hány sorrendbenk-szor igen a többinél nem Valószínűségi változó Egy valószínűségi kísérletnél az egyes lehetséges kimenetelekhez rendeljünk számokat: x1; x2; x3; x4; ; xn A valószínűségi változó ezeket az értékeket veszi fel. Mindegyiket valamekkora valószínűséggel: p1; p2; p3; p4; ; pn A számértéket a hozzátartozó valószínűségekkel nevezik

valószínűségi változónak, és ezeknek a valószínűségeknek az eloszlását nevezik a valószínűségi változó eloszlásának. Valószínűségi változó: �1 ; �2 ; �3 ; ; �� � = � ; � ; � ; ; � eloszlás: p1+p2++pn=1 1 2 3 � Egyenletes eloszlásnak nevezzük, amikor minden kimenetel egyformán valószínű, vagyis a valószínűségi változó mindegyik értéket ugyanakkora valószínűséggel vesz fel. Természetesen lehet hipergeometrikus és binomiális. Ezek diszkrét eloszlások. Folytonos eloszlásokat máshogy definiáljuk Várható érték 4. oldal � = �1 ∙ �1 + �2 ∙ �2 + ⋯ + �� ∙ �� Az egyes kimenetelekhez tartozó számértékeknek a valószínűségi eloszlással súlyozott átlaga. Pl. binomiális eloszlás várható értéke: � ∙ � Alkalmazások  várható érték a szerencsejátékban: a szerencsejáték-szervező olyan játékot szervez, melynek várható értéke neki kedvez (tehát az ő

szempontjából pozitív)   közvélemény-kutatások (választások) nagy számok törvénye statisztikák (pl. érettségi eredmények, reklámokban, gazdasági elemzésekben)  mérhető kísérletek: sokszor elvégzik, utána statisztika (pl.: fizikai állandók mérése) relatív gyakoriság, várható érték gyógyszerek hatásossága   meteorológia, időjárás előrejelzés matematikai modell, valószínűség (a hőmérséklet előrejelzése pontosabb, mint a csapadéké)   biztosítások várható érték elektron megtalálási valószínűsége 5. oldal