Mathematics | Higher education » Függvénytranszformációk

Kettõs integrál transzformációja ( x, y ) (u , v) x = x(u, v) y = y(u, v) ∂ ( x , y ) x u = ∂ (u , v ) y u x v y v = J : Jacobi-féle függvénydetermináns ∂ ( x, y ) ≠ 0 , akkor létezik az x = x(u, v); y = y(u, v) ∂ (u, v) függvényrendszer inverze: u = u(x, y); v = v(x, y) függvényrendszer, mely az adott leképzés inverz leképzését határozza meg. Ez esetben a leképzés az adott hely környezetében kölcsönösen egyértelmû és így megfordítható. Fennáll a ∂ ( x, y ) ∂ (u , v) ⋅ =1 ∂ (u, v) ∂ ( x, y ) összefüggés is. Ha egy hely környezetében Ha x = x(u, v); y = y(u, v) függvényrendszer kölcsönösen egyértelmû és megfordítható módon képzi le A*-ot A-ra:

1 dxdy =

A*  A ∂(x , y) dudv ∂(u , v) f ( x, y) dxdy =  f ( x(u, v), y(u, v)) ⋅ A* ∂( x, y) dudv ∂(u, v) Polártranszformáció x = r cos ϕ y = r sin ϕ J =r 0≤r≤ R 0 ≤ ϕ ≤ 2π J= x u x v y u y v = cos ϕ − r sin ϕ

sin ϕ r cos ϕ =r Általános helyzetû kör: x = x 0 + r cos ϕ y = y 0 + r sin ϕ 0≤r≤ R 0 ≤ ϕ ≤ 2π J =r ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ≤ R 2 Ennek speciális esete: x 2 − 2 Rx + y 2 ≤ 0 a) x = R + r cos ϕ y = r sin ϕ 0≤r≤ R 0 ≤ ϕ ≤ 2π J =r b) x = r cos ϕ y = r sin ϕ J =r 0 ≤ r ≤ 2 R cos ϕ − π 2 ≤ϕ ≤ π 2 Általános polártranszformáció x = ar cos ϕ y = br sin ϕ J = abr x2 y2 + ≤1 a2 b2 0 ≤ r ≤1 0 ≤ ϕ ≤ 2π  x 2 a2 +  y2 ≤ 1 b2 Speciális transzformációk: Pl. A 1 2 dA = ? A korlátos tartomány határai: y 2 = 2 x; y 2 = x; y = x; y = x 3 x 1 ≤ u := y2 ≤2 x 2 y ≤ v := ≤ 1 3 x  u y2 y= u= v x u = v⋅ y u y   x= 2 v= v x 1 2 ∂ ( x, y ) = v 1 ∂ (u, v) v T Pl.   1 dxdy = x f dA = ? 1 2 2 1 3 − 2u v 3 = − u + 2u = u > 0 −u v4 v4 v4 v2 1 2 v2 u 1 1 dudv = 2 u dv = − 4 u v v 2 v 1 3 A : x 2 − 4 xy + y 2 ≤ 0; y ≥ 0 A a) f ( x, y ) = y ( x 2

+ y 2 ) 3 b) f ( x, y ) = y ( x 2 − 4 x + y 2 ) 5 1 2 3 = −1 + 3 1 = 2 2 Hármas integrál transzformációja ( x, y, z ) (u , v, w) V x = x(u , v, w) y = y (u , v, w) z = z (u , v, w) grad x xu ∂ ( x, y , z ) = grad y = y u J= ∂ (u, v, w) z u grad z V*   x v x w y v yw ≠ 0 z v z uw   f ( x, y , z ) dxdydz = V f ( x (u , v , w), y (u , v, w), z (u , v, w)) ⋅ J dudvdw v* Gömbi koordináták x = r sin ϑ cos ϕ 0≤r≤ R 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ϑ ≤π x = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ J = r 2 sin ϑ x2 + y2 + z 2 = r 2 sin ϑ cos ϕ r cosϑ cosϕ − r sin ϑ sin ϕ J = sin ϑ sin ϕ r cosϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ − r sin ϑ 0 cosϑ J = cosϑ r cosϑ cos ϕ − r sin ϑ sin ϕ r cosϑ sin ϕ r sin ϑ cosϕ + r sin ϑ sin ϑ cosϕ − r sin ϑ sin ϕ sin ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ J = cosϑ (r 2 cosϑ sin ϕ cos 2 ϕ + r 2 cosϑ sin ϕ sin 2 ϕ ) + r sin ϑ ( r sin 2 ϑ cos 2 ϕ + r sin 2 ϑ sin 2 ϕ ) J = r 2 sin ϑ (cos

2 ϑ + sin 2 ϑ ) = r sin ϑ Általánosított gömbi koordináták x = ar sin ϑ cos ϕ y = br sin ϑ sin ϕ z = cr cosϑ 0≤r ≤R 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ϑ ≤π x2 y2 z 2 + 2 + 2 = r 2 ≤ 1 (ellipszoid ) 2 a b c 2 J = abcr sin ϑ Hengerkoordináták (N xy esetén, ha A xy kör vagy annak egy része) ( x , y , z ) (r , ϕ , z ) x = r cos ϕ y = r sin ϕ z=z cos ϕ J = sin ϕ 0 − r sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 =r 1 J =r z szerinti kiintegrálás + polártranszformáció