Physics | Lasers » Fábry-Perot rezonátor és etalon

Fabry-Perot rezonátor és etalon A Fabry Perot rezonátor két egymással szembefordított tükör hullámhossz-szelektív hatását használja ki. Működése a fény tükrök közötti ide-oda verődése során kialakuló többsugaras interferencián alapul. Ez az alapja mindenféle rezonátornak, a lézer-rezonátoroknak is, amelyek azonban a legritkább esetben síktükrök. Ebben az értelmezésben a tükör egy síkfelület, amelynek optikai reflexiója és transzmissziója van: elektromágneses amplitúdó reflexiója r, transzmissziója t, intenzitás (optikai teljesítmény) reflexiója R, illetve transzmissziója T. Ezek között fennállnak a következő összefüggések: R = r ,T = t . 2 2 Emellett még lehet abszorpciója is (optikai vesztesége): α ill. A, térerősségre és teljesítményre. Az energia-megmaradás alapján T + R + A =1 Azaz ha egy tükör 100% reflexiójú (R = 1 lenne, de ilyen nincs a valóságban), nem alkalmas Fabry-Perot rezonátorba, mert nem

megy át rajta a fény. Ugyanez igaz a foncsorozott hátú előszobai fémtükrökre, mert ha egy ilyet hátulról megvilágítunk, a fény el sem jut a tükörlapig – a nagy abszorpció miatt (az a szürke felület ugye keveset reflektál). Látni fogjuk, hogy általában egy tükör akkor alkalmas FP eszköz készítésére, ha a transzmissziója kicsi, de nem nulla. Nézzük előszür a tükrök síkjára merőlegesen beeső fényt. A fény egy része először áthalad a kis transzmissziójú első tükrön, majd a másodikon a bejutott fény nagyobb része visszaverődik, és így ide-oda vándorol a két tükör között, miközben egyre csökken, egy kis része mindig kilép a két tükör valamelyikén. Azaz csak csökkenne, de mindig utánpótlást kp a belépő irányból, ha folyamatosan világítunk. Folyamatos üzemmódban tehát kialakul egy egyensúly, amikor mind a tükrökön kívül mind közöttük állandó elektromágneses téreloszlás alakul ki,

stacionáriusan. Ezt a téreloszlást többsugaras interferenciával számolhatjuk ki, feltételezve azt, hogy a fény annyira koherens, hogy több rezonátor körüljárásnyi idő alatt sem következzen be véletlenszerű fázisugrás. Az eredő térerősség kiszámítása interferenciával, az egyes reflektált és átengedett terek vektoriális összeadásával 1. ábra 1 Ha a beeső térerősség Ei,, akkor ez a belépés után az 1. tükör jobb oldalán egy E+0=t*Ei jobb fele tartó térerősséget eredményez (a + jel a jobbra terjedést jelképezi). Áthaladva az α0 veszteségű tükrök közötti, d hosszúságú téren (e-jΦ/2*e-α0d), reflektálódva a második tükrön (r2), újra áthaladva a téren (e-jΦ/2*e-α0d) és reflektálódva az első tükrön(r1) egy újabb jobbra terjedő E+1 komplex amplitúdójú hullámot eredményez, amely az elsőhöz adódik: E1+ = E 0+ ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ e − jΦ − 2α 0d Ugyanígy minden visszaverődés után egy újabb tag

alakul ki. A teljes jobbra haladó tér az első tükör jobb oldalán: + E j = E 0+ + E1+ + E 2+ + . = E0+ ⋅ (1 + r1 ⋅ r2 ⋅ e − jΦ − 2α 0 d + (r1 ⋅ r2 ) 2 ⋅ e − j 2Φ − 4α 0 d + ) Az egymás után következő tagok csökkenők, ezért ez egy konvergens geometriai sor, amelynek kvóciense: r1 ⋅ r2 ⋅ e − jΦ − 2α 0 d A teljes tér tehát felírható zártabb formában: t1 E i + Ej = . 1 − r1 ⋅ r2 ⋅ e − jΦ − 2α 0 d Ez a tér áthalad a tükrök közötti téren, közben fázistolást szenved és egy része elnyelődik, majd áthalad a második tükrön is. Így alakul ki a második tükrön kívül az áteresztett, a beesővel megegyező irányba haladó teljes tér: t1 E i + ET = ⋅ t 2 ⋅ e − jΦ / 2 e −α 0 d . Itt, a tükrökön kívül, a beesővel ellentétes oldalon 1 − r1 ⋅ r2 ⋅ e − jΦ − 2α 0 d ellenkező irányba haladó elektromágneses tér nincs, tehát a teljes teret leírja a fenti képlet. Az átjutott

fényteljesítmény a komplex amplitúdó abszolút-értékének négyzetével arányos:  ET+ TFP =   Ei azaz   ET+  ⋅    Ei    * t12 ⋅ t 22 ⋅ e −2α 0 d t12 ⋅ t 22 ⋅ e −2α 0d = . 1 − r1 r2 e − jΦ e − 2α 0d ⋅ 1 − r1 r2 e jΦ e − 2α 0 d 1 − r1 r2 e − 2α 0 d e − jΦ + e jΦ + r12 r22 e − 4α 0 d Felhasználva az Euler féle összefüggést: e − jΦ + e jΦ = 1 − 2 ⋅ sin 2 (Φ / 2 ) és a térerősség-reflexiókról és transzmissziókról optikai teljesítmény reflexiókra és transzmissziókra térve át 2 2 R1, 2 = r1, 2 , T1, 2 = t1, 2 a Fabry-Perot rezonátor teljesítmény-transzmissziója: T1T2 ⋅ e −2α 0d TFP = . 2 1 − R1 R2 e − 2α 0 d + 4 ⋅ R1 R2 ⋅ e − 2α 0 d ⋅ sin 2 (Φ / 2) A klasszikus tárgyalásban elhanyagolják a FP rezonátor veszteségeit, mint alacsonyakat, elsősorban azért, hogy az ideális rezonátor működését bemutassák. A valóságban éppen az

elkerülhetetlen veszteségek korlátozzák az elérhető paramétereket, és a technológiai fejlesztés mind a veszteségek csökkentésére, a tükrök és a köztük levő közeg előállítási technológiájának javítására irányul. Meghatározóak a tükrök alakhűsége, a tükröző réteg tisztasága, egyenletes vastagsága, a rétegek száma, stb. Veszteségmentes rezonátor transzmissziója a következőképpen alakul: TFP = ( )( ( ) ) ( ) 2 TFP = (1 − (1 − R1 )⋅ (1 − R2 ) R1 R2 ) + 4⋅ 2 R1 R2 ⋅ sin 2 (Φ / 2) , ahol felhasználtuk az energia-megmaradásból származó T1, 2 + R1, 2 = 1 összefüggést. A reflektált teljesítmény, amely a beeső fénnyel ellentétes irányba halad az első tükör előtt:, hasonló meggondolás alapján: R − 2 R1 R2 ⋅ cos(Φ) + R2 RFP = 1 1 − 2 R1 R2 ⋅ cos(Φ ) + R1 R2 A gyakorlatban reflexiós üzemmódban nem szokták használni a Fabry-Perot üreget, interferométerben sem, így gyakorlati

jelentősége a transzmissziónak van. Az ideális rezonátort vizsgálva (csupán az egyszerűség kedvéért) láthatjuk, hogy adott rezonátor transzmissziója maximális illetve minimális lehet a fény körüljárási fázistolásától (Φ) függően. Az FP rezonátor átvitele különböző tükör-reflexiók esetén a körüljárási fázistolás függvényében 2. ábra 3 Ha a fázistolás éppen 2π-nek egész számú többszöröse a sin(Φ/2)=0 és a transzmissziónk maximuma van. Ugyanígy, ha sin(Φ/2)=1, a transzmissziónak minimuma van A körüljárási fázis adott rezonátor esetén elsősorban a fény hullámhosszától és belépési szögétől függ: 4πn ⋅ν ⋅ d ⋅ cos(ϑ ) Φ= , ahol n a közeg törésmutatója, ν a fény frekvenciája, c a sebessége és c θ a közegen belüli terjedési szöge. A körüljárási fázistolást tehát a frekvencia és a szög befolyásolja adott rezonátor esetén (tükörtávolság, törésmutató). A maximális

transzmisszió veszteségmentes esetben, (1 − R1 )(1 − R2 ) TFP − MAX = 2 1 − R1 R2 míg a minimális: (1 − R1 )(1 − R2 ) . TFP − MIN = 2 1 + R1 R2 Ha a tükrök reflexiója egyforma, a maximális transzmisszió 1, a minimális pedig (1R)2/(1+R)2. ( ) ( ) Ha a rezonátort egy adott hullámhosszon és egy adott szög alatt (síkhullámmal) világítjuk át, a transzmisszió valamekkora érték a minimum és a maximum között. Ha egy adott hullámhosszon, de különböző szögek alatt terjedő nyalábokból álló fénnyel világítjuk át, akkor fénye és sötét gyűrűk keletkeznek, a szög függvényében a fázisfeltétel alapján. Bizonyos szögekre maximális (világos gyűrűk közepe), másokra minimális a transzmisszió (sötét gyűrűk közepe), a köztük levő átmenet pedig a fenti bonyolult függvény szerint változik. Ha ráadásul megengedjük, hogy a széttartó beeső nyaláb többszínű legyen, azaz valamilyen fehér fénnyel világítjuk

át, a gyűrűk színesek lesznek, és a színek középről kifele haladva periodikusan követik egymást. A FP rezonátor megvilágításának különböző módjai a. síkhullámmal, b divergens fénnyel 3. ábra 4 A gyűrűk kontrasztját a maximális és minimális transzmisszió aránya határozza meg. Nagy reflexiójú tükrökkel érhető el a legnagyobb kontraszt. Ha adott szög alatt több hullámhosszon világítjuk át a rezonátort egy vonalas spektrumot kapunk, ahol a maximálisan átengedett hullámhosszon maximumok, köztük pedig spektrális minimumok figyelhetők meg. A 3 ábrán láthatók ilyen spektrumok, különböző reflexiójú tükrökből alkotott FP interferométerre. A maximum-hullámhosszakat a fázisfeltételből számolhatjuk: 4π ⋅ nλ ⋅ν ⋅ d = q ⋅ 2π , merőleges beesésre, ahol nλ az adott hullámhosszon érvényes c törésmutató, és q egész szám. Ebből a maximufrekvenciák: q⋅c νq = , 2 nλ d A maximumok közötti távolság

a szabad spektrális távolság, egy igen fontos paramétere a rezonátornak, amely a tükrök közötti távolsággal szabályozható: c ∆ν = . 2nd Fontos paraméter még a spektrális csúcsok félértékszélessége, ∆ν1/2 amelyet gyakran a felbontás terminológiával jelölnek: 2π ⋅ ∆ν 1 / 2 = 2(ω + − ω q ), ahol ω+ jelöli a körfrekvenciát, ahol a transzmisszió éppen a maximális fele a q-dik csúcstól jobbra, míg ωq a q-dik maximum-körfrekvencia. Levezetés után a félértékszélesség, veszteségmentes esetben: ∆ν 1 / 2 = c ⋅ 1 − R1 R2 2ndπ ⋅ 4 R1 R2 Az FP rezonátorokra jellemző paraméter az un. Finesse, amely a szabad spektrális távolság és a maximum-félértékszélesség aránya: ∆ν ℑ= ∆ν 1 / 2 A reflexiókkal kifejezve: π ⋅ 4 R1 R2 ℑ= 1 − R1 R2 A finesse egy nagyon jó mérőszám az eszköz hullámhossz-felbontóképességére (lézer esetében a rezonátor finesse a lézersugár monokromatikusságát határozza

meg), amely csak a tükrök reflexiójától függ. Az abszorpciós optikai veszteségeket is figyelembe véve a Finesse bonyolultabb alakban fejezhető ki: ℑα = π⋅ R1 R2 ⋅ e −α 2 d , ahol az α paraméterben egyesítettük a tükrök abszorpciójából, a 1 − R1 R2 ⋅ e −α 2 d diffrakcióból, szóródásból származó optikai veszteségeket. Látható, hogy a veszteségek jelentősen csökkentik a finesse-t és gyakorlatilag a tükörgyártás fejlesztése a finesse növelését igyekszik elérni a tükröző rétegek javításán és a veszteségek csökkentésén keresztül. A mai elérhető Finesse-k a 100.000-500000 nagyságrendbe esnek Az optikai veszteségeket egy más paraméterrel, a rezonátor élettartamával is kifejezhetjük. Egy körüljárás esetén a tükrök reflexiójából és az egyéb veszteségekből származó relatív 5 intenzitáscsökkenés R1 R2 e −α 2 d . Ha feltételezzük, hogy egy kezdeti pillanatba a rezonátorba I0

intenzitást injektáltunk, az minden körüljárás után ennyiszeresére csökken. Felfoghatjuk ezt mint időben elosztva bekövetkező, folyamatos veszteséget, amelyet egy exponenciális formában fejezhetünk ki:  t  I 0 ⋅ R1 R2 e −α 2 d = I 0 exp − RT  , ahol tRT a körüljárási idő, és τc a csökkenés időállandója, azaz  τc  a rezonátor-élettartama. A körüljárási idő adott hullámhosszon 2nd/c. Ezekből az időállandóra kapjuk: 1 c = ⋅ (2αd − ln (R1 R2 )) . τ c 2nd Ideális, veszteségmentes rezonátorban is értelmezhetjük a rezonátor élettartamát, ilyenkor a fény a tükrökön való véges reflexió miatt csökken: − 2nd 2nd τc = ≅ , ahol nagy reflexiók esetén érvényes c ⋅ ln (1 − (1 − R1 R2 )) c ⋅ (1 − R1 R2 ) az ln(1 − x) ≈ x formula x<<1 értékekre. További közelítésekkel, nagy reflexiójú tükrök esetén belátható, hogy 1 ≅ 2π ⋅ ∆ν 1 / 2 . τc Így a

rezonátor-élettartam és a félértékszélesség a veszteségeket fejezi ki más-más módon. De ez az egyenlőség, csak igen kis veszteségek esetén igaz, mert az élettartam számításakor a veszteségeket a rezonátor hosszára elosztva számoltuk, míg a félértéknél a veszteségek lokalizálva a tükrökön jelentkeztek, és egyáltalán nem számoltunk a közeg abszorpciójával. 6