Építészet | Felsőoktatás » Hőmérsékleti terhelés

Hőmérsékleti terhelés A hőmérsékletváltozás minden szilárd testben térfogatváltozást okoz. A szerkezetek használata során előforduló hőmérsékleti tartományban ez egy-két valóban kivételes esettől eltekintve a hőmérséklet növekedéséhez a térfogat arányos növekedése tartozik. Ha ez a térfogatváltozás valamilyen irányban gátolva van, a szerkezetben hőfeszültségek lépnek fel. Ezek nagysága olyan, hogy minden szerkezet esetén, amelyben valamilyen formában gátolt a hőmérsékleti térfogatváltozás, a hőmérsékleti terhelést az esetleges terhek egyik legfontosabb tehertípusaként figyelembe kell venni. A hőmérsékleti terhelés hatásainak figyelembevétele sokoldalú vizsgálatot igényel. Erre az ad magyarázatot, hogy a hőmérsékleti terhelés térben és időben lejátszódó folyamat, amelynek során nemcsak a hőmérséklet hely és idő szerinti változását kell figyelemmel kísérnünk, hanem legtöbbször a szerkezet

mechanikai és hőtechnikai jellemzőinek az időtől függő alakulását is. Ez a feladat teljes összetettségében jelentkezik a beton és vasbeton szerkezetek szilárdulásának jelentős hőmérséklet-különbségek kialakulásával kísért folyamatában. A frissbeton hőmérsékleti terhe A cement hidratációs hője olyan mértékig meghatározó tényezője a szilárduló beton hőmérlegének, hogy a beton és vasbeton szerkezetek teljes élettartamát átfogó statikai vizsgálatban sohasem tekinthetünk el a bedolgozástól a teljes szilárdság eléréséig tartó időszakban lezajló belső hőfelszabadulás szerepének körültekintő mérlegelésétől. Az így felszabaduló teljes hő a cementtartalomtól és a cement ásványi összetételétől függően mintegy 25-50 Co melegedést okozna a teljesen hőszigetelt betonban. Különösen nagy a kötéshőjük az aluminátcement kötőanyagú betonoknak (pl. a bauxitbetonnak) Ez a fölmelegedés nagyobb annál,

amelyet egy vasbeton szerkezetnél általában megengedhetünk. Ha a szilárdulás során ilyen nagyságú hőmérséklet-különbség alakul ki a szerkezet egyes részei közt, ez önmagában is károsíthatja a szerkezeti beton szilárdságát azáltal, hogy a hidratációhoz szükséges víz a melegebb helyekről a hidegebb helyekre vándorol, emiatt az optimális víztartalomhoz képest hiány, ill. többlet alakul ki (Ez a jelenség ad magyarázatot arra, hogy a nagy kezdőszilárdságú, emiatt jelentős és gyors hőfelszabadulással szilárduló bauxitbeton szerkezetek közül elsősorban a nagyobb keresztmetszetű oszlopok belsejében alakult a végszilárdság minden várakozásnál kedvezőtlenebbül, ugyanakkor a felületi szilárdság viszonylag magas értékű volt) Ennél is kellemetlenebb következménnyel járhatnak a hőmérséklet-különbséghez tartozó egyenetlen hőmérsékleti alakváltozások és hőfeszültségek, amelyek könnyen meghaladhatják a

szilárduló beton még nem teljesértékű szilárdságát. Az építési tapasztalatok szerint a hőtermelődés ritkán okoz ilyen mértékű fölmelegedést. Ennek az a magyarázata, hogy a hő felszabadulása időben elhúzódó folyamat, amelyet a szerkezet és a környezete közt lejátszódó hőcsere kísér. Gerenda-szerű szerkezetekben a hőtermelést az A keresztmetszeti területtel, a hőleadást a keresztmetszet K kerületével tekinthetjük arányosnak, e két mennyiség alapján képezhető egy 2A veff  K 1 effektív vastagság érték, amelynek nagysága jó tájékoztatást ad arról, hogy mennyire hajlamos a szerkezet a fölmelegedésre. Amíg ez az érték nem haladja meg a magasépítési szerkezetekben szokásos lemezvastagságok értékét (azaz ha v eff  150 ~ 200 mm,) a kötéshő alig érzékelhetően befolyásolja a szerkezetek viselkedését, a felmelegedés kérdésével csak kivételes esetekben (pl. aluminátcement kötőanyag,

kötésgyorsító vagy hőérlelés stb.) alkalmazása esetén kell foglalkoznunk Nagy tömegű és vastagságú szerkezeteknél nem ez a helyzet, így ezek tervezésével és kivitelezésével kapcsolatban elkerülhetetlen a hőmérsékleti terhelés vizsgálata. Ez a magyarázata annak, hogy a Mélyépítési Vasbetonszerkezetek c. tárgyban részletesen foglalkozunk a hőmérséklet-eloszlások meghatározásának alapelveivel A hővezetés alapfogalmai A testek különböző hőmérséklete anyagi részecskéik különböző mozgási energiájával van kapcsolatban. Ezt a mozgást cseppfolyós és légnemű testeknél rendezetlen haladó mozgásnak, szilárd testeknél, amelyek részecskéi helyhez kötöttek, e kötött hely kis környezetében végzett rendezetlen rezgőmozgásnak tekinthetjük. (Ilyen rezgőmozgást gázés folyadékrészecskék alkotó elemei is végeznek, a rendezetlen haladó mozgás „tisztán” csak az egyatomos gázok hőmozgását jellemzi.) A

hőterjedés elmélete abból a tapasztalati tényből indul ki, hogy ha egy test két különböző része között hőmérsékletkülönbség áll fenn, akkor ez idővel kiegyenlítődik olymódon, hogy a melegebb rész lehűl, a hidegebb fölmelegszik. Gázokban és folyadékokban ez a kiegyenlítődés elsősorban makroszkópikus anyagáramlás, ún konvekció formájában zajlik, szilárd testekben viszont csak olymódon képzelhető el, hogy a helyhez kötött anyagi részek mozgási energiájuk egy részét a szomszédjaiknak átadják. A hőterjedésnek ezt a módját hővezetésnek, idegen szóval kondukciónak nevezzük. A hővezetés differenciálegyenlete Bár a szilárd testekben zajló hőterjedést nem kíséri anyagáramlás, a hővezetést – a kondukciót – is úgy képzelhetjük el a legszemléletesebben, mint valamilyen áramlást: a nyomás alatti folyadék áramlását egy porózus közegben. Az analógia szerint ez a porózus közeg maga a szilárd test, a

pórusokban áramló folyadék a hő, a folyadéknyomással analóg szerepű mennyiség pedig a hőmérséklet. A magasabb hőmérsékletnek magasabb folyadéknyomás, alacsonyabbnak alacsonyabb nyomás felel meg. A pórusok folyadékkal való kitöltöttségét a folyadéknyomással arányosnak kell elképzelnünk, ez felel meg annak, hogy a magasabb hőmérsékletű hely fajlagos hőtartalma is magasabb. A szilárd testben benne lévő fajlagos hőmennyiség és a test hőmérséklete egymással bonyolult fizikai kapcsolatban áll, de a mérnöki gyakorlat szempontjából érdekes hőmérséklet-tartományban, a mérnöki gyakorlatban alkalmazott anyagokra vonatkozóan jól használható az a törvényszerűség, hogy a hőmérséklet egyenesen arányos az anyag fajlagos hőenergia-tartalmával: dQ  cT dV 2 ahol Q a hőmennyiséget, V a térfogatot, c a fajhőt (a tömegegység hőtartalmának 1Ko hőmérséklet-emelkedéshez tartozó megváltozását),  a

testsűrűséget, T pedig a hőmérsékletet jelöli az abszolút hőmérsékleti skálán. A gyakorlati számítások céljára számos táblázat készült, amelyekben c és  és az alábbiakban bevezetett k, különböző építőanyagokra vonatkozó értékét megtaláljuk. Q mérésére régebben a kalóriát (cal), ill. kilokaóriát (Kcal=1000cal) használták: 1 Kcal hő 1kg tömegű víz hőmérsékletét 1 Co-kal növeli A hőtechnikai számításokhoz készített régebbi, de ma is használatban lévő táblázatok a fajhőt [cal/gCo], ill. [Kcal/kg Co] mértékegységben közlik A kalória definíciójából kiolvasható, hogy a víz fajhője ebben a mértékrendszerben c = 100 Kcal/kg Co Az SI rendszerben a hőenergia mérésére is az energia egységes mértékegységét a Joule-t (1 Joule =1 Watt s =1 kgm2/s2 ) alkalmazzuk. A két mértékrendszer váltószáma 1 Kcal= 4.189 kJoule, azaz a víz fajhője az SI rendszerben c = 4.189 kJoule/kg Ko Ez az érték a

betonkeverék többi alkotórészének fajhőjéhez képest rendkívül magas, mintegy ötszöröse a cement és az adalék fajhőjének. A folyadékáramlási analógia alapján kézenfekvő, hogy ha a szilárd test hőmérséklete mindenütt ugyanaz, akkor a testben semmiféle hővezetés nincs, ahogy folyadékáramlás sincs konstans nyomáseloszlás esetén. Ha viszont a különböző helyeken a hőmérséklet különböző, a hő a magasabb hőmérsékletű helyek felől az alacsonyabb hőmérsékletű helyek felé áramlik, mégpedig a legnagyobb hőmérsékletváltozási ráta irányában, annál nagyobb sebességgel, minél nagyobb ez a ráta, ill. minél nagyobb a közeg hő-átbocsátó képessége Ha egy A keresztmetszetű, a palástja mentén hőszigetelt henger hossza mentén a hőmérséklet-eloszlást a t 0 időpontban T(x,t 0 ) függvény írja le, a hőmérsékletkülönbségi ráta jellemzésére a dT  x, t 0  dx differenciálhányadost, használhatjuk, a

hőáramlás jellemzésére pedig az egységnyi idő alatt a vizsgált keresztmetszeten átlépő hő mennyiségnek a felület nagysága szerint fajlagosított értékét: dQ  Adt Az x különböző értékeihez tartozó keresztmetszetek egységnyi felületelemén a t időponttól számított dt idő alatt átáramló hőmennyiség dt-vel elosztott értékét a hőáram t 0 időpontban értelmezett (x,t 0 ) fluxusának nevezzük. A definícióból következően a  fluxus dimenziója [Joule/m2s ] = [Watt/m2]. Tekintsük a fluxust pozitív, értékűnek, ha a hő terjedése x növekedése irányában történik, negatívnak, ha azzal ellentétes irányban A fluxus voltaképpen a hőáramlás intenzitását méri a vizsgált helyen. (Ugyanígy fluxusnak nevezik a felületegységen időegység alatt átáramló folyadék mennyiségét is, ami a folyadékáramlás helyi intenzitását méri.) Mivel ez az intenzitás annál erősebb, minél nagyobb a hőmérsékletváltozási

ráta, ill. a közeg vezetőképessége, a fluxus és a hőmérséklet-eloszlás kapcsolatát kifejező összefüggést a következőképp adhatjuk meg: 3   x, t 0    k dT  x, t 0  , dx ahol k [ Watt /mKo] dimenziójú szorzó, amelyet a közeg belső hővezetési együtthatójának nevezünk. Ez a szorzó analóg az áramló folyadékkal átjárt közeg vezetőképességével A negatív előjel azért szükséges a képletben, mert a hő a magasabb hőmérsékletű hely felől az alacsonyabb hőmérsékletű hely irányában terjed. Vizsgáljuk meg, hogyan függ a fluxustól a hőmérséklet időben történő változása. Az x és az x+dx koordinátájú keresztmetszetekkel határolt dV= Adx térfogatú térrész hőmérséklete nem változik, ha az x koordinátájú keresztmetszeten belépő hőmennyiség ugyanakkora, mint az x+dx koordinátájú keresztmetszeten át távozó hő mennyisége, feltéve, hogy a dV térfogaton belül nem zajlik hőtermelő

vagy hőelnyelő fizikai-kémiai folyamat. A x A(d ) dx Ha a belépő és a kilépő hőmennyiség különbözik, a különbség a dV térrészbe foglalt anyag hőmérsékletének a megváltoztatására fordítódik. A hőtartalom és a hőmérséklet dT megváltozásának összefüggését ennek megfelelően a következő egyenlet adja: A x  dx, t 0     x, t 0 dt  AdxcdT . A fluxust a hőmérséklet-eloszlás függvény x szerinti deriváltjával, a megváltozását annak hőmérséklet-eloszlás függvény x szerinti második deriváltjával kifejezve, rendezés után a következő egyenletet kapjuk: k dT 2 ( x, t 0 ) dT ( x, t 0 )   . c dt dx 2 Az egyenlet jobb oldalát a hőmérséklet-eloszlás időben történő változási sebességének értelmezhetjük, a differenciálhányadosok így a kétváltozós T(x,t) függvény parciális deriváltjainak tekinthetők: k T 2 ( x, t ) T ( x, t )   . c x 2

t Ez az egyenlet a hőszigetelővel körülvett hengerben lejátszódó egyirányú hővezetés differenciálegyenlete. A térbeli hőterjedés differenciálegyenletét ugyanazon az úton kaphatjuk meg, mint amelyet az egyirányú hővezetés fenti vizsgálatánál követtünk, azaz ha felállítjuk egy dV térfogatelembe valamilyen dt idő alatt be-, ill. onnan kiáramló hőmennyiségek mérlegét A háromdimenziós testekben általános esetben a hővezetés is három dimenzióban zajlik, ezért a leírásához a háromdimenziós vektorok analízisét kell használnunk. A hőáram térbeli leírását a  hőáram- vagy fluxus-vektor bevezetése teszi lehetővé. 4  P n dA  n P n n dA Illesszünk a test P pontjához egy tetszőlegesen választott n normálisú, dA területű felületelemet, majd értelmezzük a korábban bevezetett módon a felületelemen áthaladó hőáram  n fluxusát. Ez az érték n forgatásával változik, mégpedig olyan

összefüggés szerint, mintha a különböző normálvektor-irányokhoz tartozó  n egy megkötött irányú vektornak az n-nel alkotott skaláris szorzata lenne Ezt a megkötött irányú vektort tekintjük a hőáram P pontbeli fluxusvektorának. A fluxusvektor iránya tehát megegyezik annak a felületelemnek a normális irányával, amelyben  n maximális, abszolút értéke ezzel a maximummal azonos. A  fluxusvektor segítségével az n normálisú egységnyi felületelemen egységnyi idő alatt átáramló hő a  n = n skaláris szorzattal fejezhető ki. A térbeli T(x,y,z) hőmérsékleteloszlás változásának rátája ugyancsak iránytól függő. A leggyorsabb hőmérsékletváltozás, a hőmérsékleti gradiens irányában azaz a T T T grad(T) = T = i +j +k y x z derivált-vektor irányában mutatkozik. A hőmérsékleti gradiens által kitűzött iránymezőre minden pontjában merőleges felület mentén a hőmérséklet állandó, az

ilyen felületeket izotermáknak nevezzük. (A földkéreg hőmérséklete pl a térszinttől mért mélységgel növekszik, a geotermikus gradiens vektora kisebb-nagyobb eltéréssel mindenütt a Föld középponja felé mutat, nagysága elég tág határok közt változó érték. A földkéreg izotermái ugyanígy kisebb-nagyobb eltérést mutatnak a földfelszínnel párhuzamos felületektől.) Izotróp testekben a  hőáram-vektor iránya párhuzamos a hőmérsékleti gradienssel, de azzal ellentett irányítású. Ilyen esetben a belső hővezetés jellemzésére minden irányban ugyanazt a k skalárt használhatjuk, amelyet az egyirányú hőterjedéssel kapcsolatban bevezettünk. A fluxus és a hőmérséklet hely szerinti változásának kapcsolata ezért a következő:  = - k grad(T). A korábban használt egyenlettől való eltérés csupán annyi, hogy ezt az összefüggést nem két skalár, hanem két vektor kapcsolatára értelmezzük. Anizotróp hővezető

tulajdonságú közeg (pl. fa, kristályok stb) esetén a hővezetés iránytól függő, ezért a vektorok kapcsolata bonyolultabb. Ilyenkor a hővezetés egy K hővezetési mátrixszal jellemezhető, a kapcsolati egyenlet pedig:  = - K grad(T). A továbbiakban csak a legegyszerűbb izotróp esetet vizsgáljuk, amikor tehát a K hővezetési mátrix az egységmátrix k-szorosa, ennek megfelelően a fluxusvektor a hőmérsékleti gradienssel párhuzamos (de azzal ellentett irányú). 5 Egyszerűsítsük előbb a test egy anyagi pontja köré képzelt dV térfogatelemhez tartozó mérleg felállítását azzal, hogy legyen a térfogatelem alakja olyan dA alapterületű, d magasságú hasáb vagy henger, amelynek köbtartalma dV = dA d, alaplapja pedig a grad(T)-re merőleges, így palástjának alkotói párhuzamosak grad(T)vel. ( + d )dAdt d dAdt Ebben az esetben a paláston keresztül nem történik hőátadás, vagyis a hőmérlegben a korábbi esethez

hasonlóan csak a dA területű alaplapon a dt idő alatt belépő dQ 1 = dA abs()dt , az ettől d távolságban fekvő szintén dA területű fedőlapon ezzel egyidejűleg kilépő dQ 2 = - dA abs( +d)dt , továbbá a dV térfogaton belül a vizsgált dt időintervallumban felszabaduló dQ 3 = dV q dt hőmennyiség szerepel. A második egyenletben d a hőáram-vektor d hosszúsághoz tartozó növekményét, a harmadikban q az egységnyi tömegű anyagban egységnyi idő alatt felszabaduló hőmennyiséget jelöli. Ha a három hőmennyiség összegeként adódó mérleg pozitív, a térfogatelem hőmérséklete a dt idő alatt egy dT értékkel növekszik, ha negatív, akkor csökken. A dT hőmérsékletváltozás arányos a fajlagos hőtartalom megváltozásával: dT c = ( dQ 1 + dQ 2 + dQ 3 ) /dV . A dQ 1 és a dQ 2 hőmennyiségek összegét a többváltozós függvények deriváltjait tartalmazó integrálokra vonatkozó azonosságok alkalmazásával olyan

formában is fel lehet írni, amely független a térfogatelem alakjától: dQ 1 + dQ 2 = - div()dVdt = -div(-k grad(T) )dVdt = -k (T) dVdt ahol  x  y  z   , y x z Δ pedig a (háromváltozós) Laplace-operátor:  2T  2 T  2T T   2  2  2 . x y z div() = 6 A dQ 1 + dQ 2 különbséget ebben a formájában a hőmérleg egyenletébe behelyettesítve, rendezés után az alábbi parciális másodrendű differenciálegyenletre jutunk: T k q   T   . t c c Ezt a differenciálegyenletet nevezzük a konduktív hővezetés differenciálegyenletének. Ha a belső hőfelszabadulást zérusnak feltételezzük, a fenti differenciálegyenlet az alábbi, ismertebb alakra hozható: T   a 2 T  , t amelyben az a2 = k/c 2 [m /s] dimenziójú mennyiség együtt tartalmazza a vizsgált anyag hővezetésében szerepet játszó anyagállandókat. Anizotróp testek esetén a

hőáram iránya nem azonos a hőmérsékleti gradiens ellentett irányával, ezért a fenti egyenlet helyett bonyolultabb, de ugyancsak másodrendű differenciálegyenlet adódik. A mindennapos mérnöki gyakorlatban ritkán van szükség arra, hogy a hővezetés differenciálegyenletének a konkrét szerkezeti kialakításból adódó peremfeltételeknek megfelelő megoldásai alapján vizsgáljuk a szerkezet belsejében kialakuló hőmérsékleteloszlásokat, ehelyett általában egyszerűsítő feltételek alapján végezhetjük a vizsgálatot. Ilyen egyszerűsítések pl. az alábbiak A hosszú prizmatikus testek belsejében zajló hővezetésről fel lehet tenni, hogy a véglapoktól megfelelő távolságban a hőterjedés iránya mindenütt a hossztengelyre merőleges irányú. Ezzel a feltételezéssel a feladat a keresztmetszeten belüli hőmérsékleteloszlás vizsgálatára redukálható, vagyis a térbeli feladat síkbeli feladatra vezethető viszsza Ilyenkor a hővezetés

differenciálegyenletében szereplő Δ operátor a kétváltozós feladatoknál megismert síkbeli Laplace-operátorral, a három hely-koordinátától függő függvények két hely-koordinátától függő függvényekkel helyettesíthetők. Ha a vizsgált szerkezetet párhuzamos síkok határolják, és a határoló síkok mentén a hőmérséklet hely szerinti változása elhanyagolható, az izotermák is a határoló felületekkel párhuzamos síkok, és hőáramlás csak e felületekre merőlegesen, a vastagság irányában zajlik. Ilyenkor a T(x,y,z,t) hőmérséklet-eloszlás is csak a vastagság irányú x koordináta és az idő T(x,t) függvénye, a hővezetés differenciálegyenlete ennek megfelelően a T  2T q  a 2 2  t c x differenciálegyenletre egyszerűsödik. Lényegét tekintve ugyanazt kapjuk tehát, mint az egyirányú hővezetés differenciálegyenletének közvetlen levezetésével. Ugyancsak egyetlen hely-koordinátát, az r

hengerkoordinátát tartalmazó differenciálegyenetet kapunk, ha olyan feladatot vizsgálunk, amelyben fel lehet tenni, hogy az izotermák közös tengelyű hengerfelületek. A legegyszerűbb ilyen feladat egy hosszú, kör keresztmetszetű rúd kihűlésének vizsgálata, amelynek belsejében a kezdeti hőmérséklet-eloszlás állandó, Ebben az esetben szintén egyetlen hely-koordinátától függő T(r,t) eloszlásfüggvénnyel dolgozhatunk. A differenciálegyenlet azonban más lesz, mint T(x,t) esetén, mert a síkbeli Laplace-operátor forgásszimmetria esetén érvényes alakját kell alkalmaznunk: 7   2T 1 T  q T  .   a 2  2  t r r  c  r Hasonlóképpen egyetlen hely-változós függvénnyel vizsgálhatók azok a feladatok, ahol az izotermák koncentrikus gömbfelületek. Ilyen feladatok pontos megoldásának analitikus úton történő előállítására közvetlenül alkalmazható a következő szakaszban bemutatott

3 dimenziós forrásfüggvény Sok feladatnál – pl. a lakóházak falainak rutinszerű hőtechnikai vizsgálatánál - azt is föl lehet tenni, hogy a határfelületek hőmérséklete állandó, és a problémát elsősorban az állandósult hővezetés esetén kialakuló hőmérséklet-eloszlás, ill. az időegység alatt átáramló hő mennyiségének meghatározása jelenti Ilyenkor a feladat gyökeresen egyszerűsödik, mert ha állandósult a hővezetés, az időtől független T(x) hőmérséklet-eloszlásnak az idő változó szerinti deriváltja zérus. Az ennek figyelembevételével módosított differenciálegyenletet a vastagság mentén lineárisan változó hőmérséklet-eloszlás elégíti ki A hengeres izotermákkal bíró feladatoknál az állandósult hővezetéshez tartozó hőmérsékleteloszlás T(r) függvénye logaritmusfüggvény. A differenciálegyenlet kezdeti- és peremfeltételei Matematikai tanulmányaink alapján nyilvánvaló, hogy egy

differenciálegyenlet önmagában nem elegendő a hővezetési feladatok matematikai leírásához, a feladat határozottá tételéhez kellő számú feltételt kell a megoldásra tennünk. Mivel a T(x,y,z,t) megoldásfüggvény a helykoordináták és az idő függvénye, a feltételek egy része időpontra, kézenfekvően a vizsgálatban szereplő időszak kezdetére, – másik része helyre, - kézenfekvően a peremekre - vonatkozó állítás Ennek megfelelően megkülönböztetünk kezdeti feltételeket és peremfeltételeket. A differenciálegyenlet struktúrájából az következik, hogy a megoldás matematikai határozottsága biztosított, ha adott egy rögzített t 0 időpontban a T(x,y,z,t) hőmérsékleteloszlás, továbbá a test határfelületének minden pontjában egy – az időtől függő vagy attól független – peremfeltétel teljesülését írjuk elő. Ha a vizsgált test eltérő hőtechnikai tulajdonságú tartományokból tevődik össze, minden

tartományon belül más egyenlet és más megoldás érvényes, ezeknek a megoldásoknak azonban a szomszédos tartományok határfelületein illeszkedniük kell egymáshoz. Az illeszkedés a határfelület minden pontjában két folytonossági feltétel teljesítésével biztosítható Kezdeti feltételként általában a t = 0 időpontban érvényes hőmérséklet-eloszlást kell felvennünk. Ezt egyszerű fizikai megfontolások alapján általában úgy választjuk meg, hogy a továbbiakban minél könnyebben kezelhető függvényekkel dolgozhassunk. A peremfeltételeket a vizsgált tartomány és a környezete közti hőcsere sajátos körülményeinek mérlegelésével vesszük fel. A legegyszerűbb, bár a valóságban pontosan soha nem teljesülő feltételek a következők: a. Állandó hőmérsékletű környezet: Ha a vizsgált testet határoló környezet hőmérséklete állandó, azzal a feltételezéssel élhetünk, hogy a testnek az állandó hőmérsékletű

környezettel határos felületén is állandó, a környezetével megegyező a hőmérséklet, azaz a peremfeltétel T határ (t) = T 0 , azaz a különböző időpontokhoz tartozó hőmérséklet-eloszlások diagramjai a peremen közös pontban metsződnek össze. 8 Ha részletesen megvizsgáljuk a vizsgált test és a környezet hőcseréjének lehetséges mechanizmusait, az állapíthatjuk meg, hogy ez a feltételezés a valóságban soha nem teljesülhet pontosan, de többé-kevésbé elfogadható közelítésnek tekinthető olyankor, ha a határoló környezet áramló folyadék vagy gáz. Egyes feladatoknál a számítási eredmény reálisabbra adódik, ha a határoló felület és a környezet hőmérsékletét nem azonosnak tekintjük, hanem a két érték között konstans nagyságú eltérést tételezünk fel. T Tb t= t3 T0 t=0 t2 t 1 Ta x A fenti ábra T a és T b állandó hőmérsékletű környezetet elválasztó, a t=0 időpontban T 0 hőmérsékletű fal

hőmérséklet-eloszlását mutatja t 1 <t 2 <t 3 és t= időpontban. A t= időpontban érvényes lineáris hőmérséklet-eloszlást állandósult hőmérséklet-eloszlásnak, az ehhez tartozó hőáramlást állandósult hővezetésnek nevezzük, az időben változó, ill. az állandósult hőmérséklet-eloszlás különbségét az eloszlás tranziens komponensének nevezzük. A különböző időpontokra vonatkozó hőmérséklet-eloszlásokon azt figyelhetjük meg, hogy a test belsejében a hőmérsékleti gradiens is, a hőfluxus is állandó értékhez, tart, a tranziens komponens nullához törekszik. b. Tökéletesen szigetelő környezet Ha a határoló környezet rossz hővezető tulajdonságú anyag, közelítésként feltehetjük, hogy a határfelületen át távozó (vagy beérkező) hőmennyiség lényegtelenül befolyásolja a test hőmérlegét, azaz  határ n = - k grad(T) határ n = 0, azaz hőáramlás csak a határfelülettel párhuzamosan

lehetséges. Egydimenziósra redukálható feladatnál ez a peremfeltétel úgy értelmezhető, hogy a hőmérsékleti diagram iránytényezője a peremen zérus. T t=0 t2 t1 T0 t3 t= Ta x 9 A fenti ábra egy T 0 kezdeti hőmérsékletű, a környezet T a hőmérsékletére lehűlő fal egydimenziós hőmérsékleteloszlásának változását mutatja, a bal oldali felületen tökéletes hőszigetelő, a jobb oldalon szabad hőleadás feltételezésével. Ebben a feladatban az állandósult hőmérséklet-eloszlás hőmérsékleti gradiense nulla, ezért a hőáram fluxusa is az c. Eltérő belső hővezetési tényezőjű testek határfelülete Egy k 1 és egy k 2 belső hővezetési tényezőjű test határfelületének két oldalán a hőmérséklet-eloszlást olyan T 1 (x,y,z,t) és T 2 (x,y,z,t) függvények írják le, amelyek egyike az egyik, másika a másik tartományban érvényes. A határfelületen a két függvénynek illeszkednie kell egymáshoz, ez mindkét

függvényre vonatkozóan a peremfeltételekhez hasonló hatású megkötést jelent. A hőmérséklet nem változhat ugrásszerűen a tartományok határán, ezért az egyik feltétel, amelyet elő kell írnunk T 1határ = T 2határ . A hővezetés áramlástani analógiája alapján egyszerűen adhatunk egy másik feltételt is: az egyik testből a határfelületen átlépő hőáramnak meg kell egyeznie a másik testbe a határfelületen át érkező hőárammal. Ezt a feltételt az alábbi egyenlőség fejezi ki: -k 1 grad(T 1 ) határ n =- k 2 grad(T 2 ) határ n. A feltételből az olvasható ki, hogy a hőmérsékleti görbék lefutásában a határfelületen törésnek kell kialakulnia: a görbék iránytényezője a magasabb belső hővezetési tényezőjű tartományban kisebb, mint az alacsonyabb belső hővezetési tényezőjű tartományban. Ha pl az a esetben vizsgált falat két eltérő hővezetésű falréteg, egy jó hővezető és egy hőszigetelő (az ábrán

sárgával jelölt) réteg alkotja, a határfelületen mérhető hőmérséklet a külső oldalak hőmérsékletének átlagától a magasabb hővezetési tényezőjű réteg külső oldalán lévő hőmérséklet irányában tér el. T Tb T0 t=0 t1 t2 t3 t= Ta x Állandósult hővezetés esetén, amikor a falvastagság mentén lineáris függvény írja le a hőmérséklet-eloszlást, a hőmérsékleti diagram iránytényezője a gyengébb hővezető képességű közegben meredekebb, a jobb hővezető képességűben lankásabb, a töréspontban az iránytényező változása a fenti egyenletnek megfelelően alakul. Fontos tudnunk, hogy a szigetelő szerepű anyag szigetelő hatásának mérlegelésénél nem közvetlenül a k belső hővezetési tényező, hanem az a2 = k/c hányados minél alacsonyabb értékére célszerű törekednünk, amelyet hőmérsékletvezetési együtthatónak is 10 szoktak nevezni. Ezzel magyarázható pl, hogy gyakran jó hőszigetelő

hatást érhetünk el viszonylag magas belső hővezetési tényezőjű, de nagy fajhőjű és sűrűségű anyagok alkalmazásával. d. Állandó hőelvonás a határfelületen Az építési gyakorlatban is gyakori eset, hogy a vizsgálandó test határfelületen olyan fizikai folyamat – esetünkben legtöbbször párolgás – zajlik, amelynek fenntartása állandó energiaelvonást igényel. Az ennek megfelelő peremfeltétel  határ n = - k grad(T) határ n =  0 ( T határ , t), ahol  0 ( T határ , t) a fizikai folyamat fenntartásához szükséges, a felületi hőmérséklettől függő nagyságú hőáram fluxusa. Közelítésként legtöbbször az is feltehető, hogy az energia-utánpótlást jelentő hőáram fluxusa a felület hőmérsékletétől független konstans érték Egydimenziósra redukálható probléma esetén ez az egyszerűsített peremfeltétel úgy értelmezhető, hogy a hőmérsékleti diagram iránytényezője kötött érték a peremen. T t=0

t1 T0 t2 t3 t4 x A fenti ábra egy T 0 kezdeti hőmérsékletű fal egydimenziós hőmérsékleteloszlásának változását mutatja, hozzávetőleg egyenlő időközökben, a bal oldali felületen tökéletes hőszigetelő, a jobb oldalon állandó intenzitású hőelvonás feltételezésével. Az ábra azt mutatja, hogy az idő növekedésével egyre nagyobb hőmérsékletkülönbség alakul ki a fal két oldala között Ilyen feltételek mellett a megoldás szerint nincsen állandósult hőmérséklet-eloszlás, hiszen - az elvont hő utánpótlásának hiányában - a fal átlaghőmérséklete folyamatosan csökken. (Ez formálisan ellentétben áll a termodinamikai egyik alaptörvényével, amely szerint az abszolút nullánál alacsonyabb hőmérséklet nem érhető el. Az ellentmondás azt mutatja, hogy az egyszerűsítő feltételezéseken alapuló számításaink korlátozott érvényességűek Maga a peremfeltétel is előbb-utóbb ellentmondásossá válik, mert az

abszolút nulla hőmérséklethez közeledve fizikailag megvalósíthatatlan az állandó intenzitású hőelvonás) A feladatban vizsgált peremfeltételt a valóságban jól megközelíti a nedvesen tartott, szabad levegővel érintkező betonfelület. A víz párolgáshője magas, ezért a párolgás jelentős hőmennyiséget vonhat el a frissen bedolgozott beton felületének környezetéből Az ennek megfelelően kialakuló jelentős hőmérséklet-különbség a betonozás-technológiai hibából fellépő repedezettség leggyakoribb oka. e. Sugárzási hőveszteség 11 A tapasztalat azt mutatja, hogy azok a testek is képesek hőt leadni (vagy fölvenni,) amelyek (pl. vákuummal) tökéletesen el vannak szigetelve a környezetüktől Ennek oka a hőmérsékleti sugárzás. A tökéletesen hőszigetelt test a környezeti sugárzás elnyelésével, idegen szóval abszorbciójával - hőt is vesz fel A hőmérsékleti sugárzás és abszorbció fizikai elmélete meglehetősen

bonyolult, (hiszen pl. a klasszikus sugárzási elméletekben mutatkozó ellentmondások vezették Max Planckot a kvantumhipotézis megtételére.) A műszaki feladatokban kielégítő eredménnyel használható a Stefan-Boltzman sugárzástörvény, amely alapján az abszolút hőmérsékleti skálán T határ hőmérsékletű test felületén elektromágneses sugárzás következtében fellépő hőveszteség fluxusa  n = h (T4 határ – T k 4) értékre vehető fel, ahol a h sugárzási állandó a felület optikai tulajdonságaira jellemző, egyébként az anyagtulajdonságoktól független szám, T k pedig a felületnek a környezet sugárzási viszonyaitól függő ú.n sugárzási egyensúlyi hőmérséklete, amelyen a sugárzással távozó, ill abszorbcióval érkező energia egyenlő, vagyis az a hőmérséklet, amelyre a környezetével csak sugárzási hőcserét végző test lehűl. T k -nak a környezet sugárzási viszonyaitól való függését mutatja, hogy a

közvetlen napsugárzásnak kitett felület sugárzási egyensúlyi hőmérséklete lényegesen magasabb a környezet átlagos hőmérsékleténél, árnyékban lévő felületé viszont általában alacsonyabb annál. A felület optikai jellemzőitől való függést mutatja, hogy a különböző színű és textúrájú felületek anyaguktól függetlenül különböző hőmérsékletűre melegednek fel a tűző napon. Az ú.n abszolut fekete felület h sugárzási állandójának értéke a fizikában általában -val jelölt Stefan-Boltzman-féle állandóval egyenlő,  = 5.67*10-8 Watt/m2K4, amely a h elméleti felső korlátja. Sötét és érdes felületek sugárzási állandója ezt a korlátot jól megközelítheti, erősen reflektáló, világos, ill. polírozott felületek esetén ennek az értéknek csak töredéke vehető figyelembe A kondukciós és konvekciós hőcserétől tökéletesen elszigetelt felületre vonatkozó peremfeltétel a fentiek

figyelembevételével: -k grad(T) határ n = h (T4 határ - T k 4 ) . (Ilyen peremfeltételű hővezetési feladat kapcsán adott becslést – a T határ kezdeti értékét a tűzhányókból kiömlő láva hőmérsékletével azonosnak, a T k értékét 00 K-nek felvéve, a h sugárzási állandóra pedig a geotermikus gradiens alapján következtetve – Lord Kelvin a földkéreg hűlését vizsgálva a Föld lehetséges korára. A bonyolult számítás elvégzése után úgy találta, hogy az így becsült kor sokszorosa a Biblia alapján akkoriban sokak által vallott 6000 évnek. A maga nemében korrekt számítás alapján ma is vállalható az a következtetés, hogy a Föld a más módokon becsült életkorának töredéke alatt a közepéig szilárd kőgolyóvá fagyott volna a belsejében zajló hőtermelő folyamatok nélkül) A hővezetés differenciálegyenletének megoldása Amint ezt a parciális differenciálegyenletekkel kapcsolatban megszokhattuk, a hővezetés

differenciálegyenletének is kevés közvetlenül használható analitikus megoldása van. Az ilyen megoldások nagy része idealizált kezdeti feltételekre és végtelen vagy 12 félvégtelen izotróp tartományra vonatkozik. Ezekben a megoldásokban központi szerepe van az ú.n forrásfüggvénynek Az n dimenziós forrásfüggvény a következő:   T r , t   Qe 4 a r / t 4a 2 t , 2 ahol a a korábban már bevezetett hőmérsékletvezetési együttható, r pedig az origótól mért távolság. A függvény azt a hőmérséklet-eloszlást adja meg, amely a t=0 időpontban az n dimenziós végtelen tartomány origójában koncentrálódó véges Q mennyiségű hő szétterjedése során kialakul. Az alábbi ábra a Q = 1 hőmennyiségre "normált" 3 dimenziós forrásfüggvény izotermáit mutatja az r,t síkban. Hasonló struktúrájú, de függőleges irányban egyre elnyújtottabb hagyma-alakot alkotnak a két-, ill egy dimenziós

forrásfüggvény izotermái 2 2 n / 2 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.25 0.2 0.5 0,125 1.0 0.1 4.0 0.1 0.2 2.0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 A 3 dimenziós forrásfüggvény A forrásfüggvények vizsgálata azt mutatja, hogy a „forróponttól” adott távolságban fekvő pont hőmérséklete egy ideig növekszik, (az ábrán függőleges irányban haladva elmetszett izoterma-vonalakhoz egy ideig egyre magasabb hőmérséklet tartozik,) majd folyamatosan tart a 0 felé. A hőmérsékleti maximumok értéke minden r értéknél más, ez az érték (az r függőlegese által érintett izoterma vonalhoz tartozó hőmérséklet) r növekedtével rohamosan csökken. Ez a viselkedés azt mutatja, hogy a forrásfüggvény, amely n = 1 esetén a prizmatikus testekben zajló hosszirányú hőterjedést, n = 2 esetén a tárcsák „forrópontjai” körül a középfelület irányaiban lejátszódó hengerszimmetrikus, n = 3 esetén pedig a testek „forrópontjai”

körüli gömbszimmetrikus hőterjedést írja le, bizonyos korlátozásokkal véges tartományok esetén is közvetlenül használható a hőterjedés 13 vizsgálatára. Igazi jelentőségét mégsem ez adja, hanem az, hogy a hőterjedési feladatokban is lehet a megoldások szuperpoziciójának elvét alkalmazni, így a különböző helyeken felvett „forrópontokhoz” tartozó forrásfüggvények felhasználásával további analitikus alapmegoldások előállítására, ill. numerikus közelítő módszerek kidolgozására van lehetőség A részletes hőmérséklet-eloszások vizsgálatára az integrálegyenletek, a differenciamódszer, a mozaik-módszer, ill. a peremelem-módszer elvén kidolgozott numerikus eljárások alkalmazhatók A komplex hőterhelés-vizsgálat céljára kidolgozott felhasználói programok a hőmérséklet-eloszlások meghatározása mellett lehetőséget kínálnak arra is, hogy a vizsgált test szilárdságtani jellemzőinek és

statikai-geometriai peremfeltételeinek figyelembevételével meghatározzák a számított hőmérséklet-eloszláshoz tartozó hőfeszültségeket és hőmozgásokat is. A hőmérsékleti terhelés hatásának mérséklése vasbeton szerkezetekben A hőmérsékleti terhelés hatásainak mérséklése komplex feladat, amely egyidejűleg sok szempont mérlegelését igényli. Lehetőségei ennek megfelelően sokoldalúak, mert kiterjednek a szerkezeti rendszer és a szerkezeti méretek megválasztására, az alkalmazott cement, ill. betonminőség és a betonkeverék tulajdonságait befolyásoló adalékszerek kiválasztására, a bedolgozás és az utókezelés módszerének finom részleteire A szilárdulást kísérő hőmérsékleti terhelés forrása alapvetően a cement kötéshője, a felmelegedéssel kapcsolatos problémák elkerülésének egyik legfontosabb eszköze a kötéshő mérséklése. A teljes kötéshő nagyságát a cementadagolás mennyisége és a cement

ásványi öszszetétele határozza meg. Általában igaz, hogy minél magasabb a cementadagolás, ill az adott cement felhasználásával – azonos adalékstruktúra és víz-cement-tényező esetén – készült beton végszilárdsága, annál nagyobb a teljes kötéshő mennyisége. Törekedni kell arra, hogy a betonkeverékben lehetőleg csak a kívánt szilárdság, ill. tömörség eléréséhez minimálisan szükséges cementmennyiséget alkalmazzuk. Ehhez korlátoznunk kell az adalékváz cementpép-igényét, aminek egyetlen módszere megfelelő szemszerkezetű adalék alkalmazása. A cementpép mennyiségének csökkentése mindig a konzisztencia romlásával jár, ezért a megfelelő minőségű tömörítéshez általában folyósító adalékszereket (plasztifikátorokat) kell alkalmaznunk. Az azonos végszilárdságot biztosító cementek közül a legmagasabb az egyébként is rövid kötésidejű, nagy kezdőszilárdságú aluminátcementek kötéshője, ilyen

kötőanyagot mélyépítési szerkezetekben csak különleges hőelvezetési technológia alkalmazásával használhatunk, de a gyors hőfelszabadulás még a szokványos méretű magasépítési szerkezeteknél is problémát okozhat. (Egyes kutatók véleménye szerint a gyors hőfelszabadulás elsődleges szerepet játszott a 30-as években a magasépítésben alkalmazott bauxitbeton szerkezetek gyors szilárdságromlásában is) A portlandcementek közül annál alacsonyabb a cement a kötéshője, minél magasabb a hidraulikus kötőanyagában a természetes eredetű komponensek aránya. A felmelegedés mérséklése érdekében célszerű ezért a magas trasz-tartalmú cementek alkalmazása A cement örlési finomsága elvben nem befolyásolja a teljes kötéshő nagyságát, csak a hőfelszabadulás ütemét. Minél finomabb azonban az örlés, annál gyorsabb és teljesebb a hidratáció, annál inkább számítani lehet arra, hogy a hidratációhoz tartozó hő túl- 14

nyomó része a szilárdulás első néhány órájában felszabadul. A jelentős vastagságú vasbeton szerkezetekben ezért kerülni kell a nagy örlésfinomságú cement alkalmazását A hőmérsékleti vizsgálat legtöbbször azt mutatja, hogy a szerkezetben kialakuló hőmérséklet-különbségek nagysága hatékonyan csökkenthető olymódon is, hogy a szerkezet eltérő időpontokban bedolgozott részeiben a hőfelszabadulás ütemét eltérő mértékűre vesszük fel. Erre valós lehetőséget ad a kötésidő adalékszerekkel történő szabályzása Megfelelően választott vegyszerekkel késleltethető a kötés megindulása, lassítható, ill. gyorsítható a hidratáció – ezzel együtt a hőfelszabadulás – üteme Fontos tudnunk, hogy a hidratációs hőfelszabadulás a szilárdulás első fázisában ú.n pozitív visszacsatolású folyamat, ami azt jelenti, hogy a hőmérséklet emelkedésével növekszik a hidratáció sebessége. A visszacsatolást a

szilárdulás második fázisában negatívvá teszi az, hogy a hidratáció előrehaladtával egyre fogy a még hidratálatlan cementásvány a keverékben A pozitív visszacsatolású folyamatokról köztudott, hogy sokkal érzékenyebben reagálnak a körülmények minden változására, mint a negatív visszacsatolású folyamatok, különösen fontos ezért a technológiai követelmények pontos és maradéktalan betartása a bedolgozáskor és az utókezelés első néhány órájában. A hőmréséklet-különbségek miatt hőfeszültségek lépnek fel a hőmozgásaiban globális kényszerekkel nem gátolt testekben is. Ezek olyan sajátfeszültségi állapotot alkotnak, amely az átlagosnál hidegebb helyeken húzás, az átlagosnál melegebb helyeken nyomás. Az így kialakuló belső feszültségek leginkább a szilárdulás kezdeti szakaszában veszélyesek, amikor a beton pillanatnyi húzószilárdsága még alacsony, mert könnyen a beton megrepedését eredményezik az

átlagosnál hidegebb helyeken. A betonból a hő jelentős része a nedves felület párolgása révén távozik, a párolgó felület a környezeténél is alacsonyabb hőmérsékletűre hűl le. A vízveszteség jelentősen károsíthatja a szilárduló beton végszilárdságát, („megéghet” a beton,) ezért a felületet az elpárolgott víz pótlására – általában a betonnál hidegebb vízzel – locsolni szokták, ami további hőveszteségre vezet. A párolgási hőveszteség a leggyakoribb oka annak, hogy a nem megfelelően utókezelt nagyméretű beton és vasbeton szerkezeteken repedések alakulhatnak ki. A megengedhetőnél nagyobb hőmérséklet-különbség kialakulásának úgy tudjuk elejét venni, ha nem a víz utánpótlásával, hanem a párolgás meggátlásával biztosítjuk a kötéshez szükséges víz jelenlétét a betonban. Ezt célozza a betonfelület fóliatakarása vagy párazáró filmmel való lefújása Kedvezőtlen hőmérsékleti körülmények

közt a bedolgozott beton felületének, sőt a zsaluzatának a hőszigetelése is szükséges lehet a betontömegben fellépő hőfeszültségek mérséklése céljából. A felület hőszigetelésének egyik leghatékonyabb módja a fóliára terített nádpaplan alkalmazása. A szerkezet statikai rendszerét és méreteit az elkészült létesítmény használatából adódó követelmények határozzák meg, így látszólag szűk a mozgásterünk a hőmérsékleti terhelés mérséklése szempontjából szükséges méretváltoztatásokkal kapcsolatban. Ez azonban csak addig van így, amíg a hőmérsékleti terhelésből adódó problémák nem veszélyeztetik a megépült szerkezet zavartalan használatát. Erre vonatkozóan a magasépítési szerkezetek köréből is hozhatunk példát. A 40-50 m-nél hosszabb monolit vázas épületekbe a tapasztalat és az előírások szerint részletes vizsgálat alá kell vetnünk a szerkezet hőmérsékleti terhelését, amelynek az

eredménye legtöbbször az, hogy dilatációs hézagot kell beépíteni a komolyabb károsodások elkerülésére. Annak ellenére ezt kell tennünk, hogy ez a hézag kedvezőtlenebbé teszi az önsúly és 15 az esetleges terhek hatására fellépő igénybevételek eloszlását, emellett egy sereg nehezen megoldható építészeti, épületszerkezeti problémát visz a szerkezetbe. Mélyépítési műtárgyaknál is gyakran kerülünk hasonló választás elé: a hőmérsékleti terhelésből származó jelentős többlet-igénybevételek felvételét vállaljuk-e, vagy inkább a tágulási hézag kialakításával kapcsolatos szerkezeti és technológiai nehézségeket. A kötéshővel kapcsolatos problémák általában akkor válnak a szerkezeti kialakítás szempontjából elsődleges fontosságúvá, amikor a vasbetonszerkezetek méretei túllépnek a szokványos magasépítési vasbeton szerkezetek körében még alkalmazott méreteken. A mélyépítési szerkezetek

rendeltetésükből adódóan robusztusabb szerkezetek, ezek jelentős része már azoknak a szerkezeteknek a körébe tartozik, amelyek megvalósításában jelentős feladatok elé állít bennünket a kötéshővel kapcsolatos problémák elkerülése. Különösen áll ez a vízépítési nagyműtárgyakra, amelyeknek nemcsak oldalfalaikra adódó hatalmas terhek felvételére alkalmas keresztmetszeti méretekkel, hanem a fenéklemezükre működő felhajtóerővel szemben kellő ellentartást adó súllyal is kell bírniuk. A magasépítési szerkezeteknél alkalmazott szerkezeti kialakításoknak és bedolgozási technológiák gépies alkalmazása ezeknél a szerkezeteknél azzal járna, hogy a kötéshő miatt kialakuló hőfeszültségek még a megszilárdulás előtt használhatatlanná tennék a szerkezetet. Szokásos ilyen esetekben a teherbírási követelményeknek és a hőmérsékleti terhek mérséklésére vonatkozó követelményeknek többfázisú építéssel

eleget tenni. Ennek egyik módszere az, hogy a gyakran több négyzetméteres szerkezeti keresztmetszeteknek az első kivitelezési fázisban csak a külső kérgét készítik el. Ez a kéreg a szilárdság és a tömörség igényeinek megfelelő cementtartalmú betonból, olyan vastagságban készülhet, amely még nem okoz súlyos fölhevülési problémát, majd ezt a dobozszerű kérget a következő fázisban alacsonyabb cementadagolású, a fölmelegedésre kevésbé hajlamos betonnal töltik ki. Ugyancsak szokásos a nagy vastagságú szerkezetek rétegekben vagy ún. zömökben betonozása. Egy-egy réteg vagy zöm méretét úgy veszik fel, hogy a bebetonozása ne okozzon fölmelegedési problémát. A zömök mérete növelhető, ha nem betonozzuk azokat közvetlenül egymáshoz, hanem hézagokat hagyunk köztük, amelyeket utólag töltünk ki betonnal. A rétegek, ill zömök méreteinek megválasztásánál és a betonozási fázisok közti idő felvételénél nem

csupán a hőmérsékleti hatásokat kell mérlegelni, hanem a beton zsugorodását is. A rétegekben, ill. zömökben történő betonozás mindig magában hordja annak a veszélyét, hogy az egymáshoz betonozott különböző korú betonok csatlakozó felülete mentén nem alakul ki együttdolgozás, így ezek a felületek a későbbiekben szerkezeti hibák kiinduló helyeivé válhatnak. Bár ennek a kockázatát körültekintő munkával – a csatlakozó felület feldurvításával, átvasalásával, stb – jelentősen csökkenteni lehet, kiemelt statikai szerepű, különleges funkciójú szerkezeti elemeknél (pl atomerőművek védőpajzsánál célszerűbb választás lehet, hogy a nagytömegű szerkezet folyamatos betonozása mellett döntünk, a kötéshőt pedig a szerkezetbe beépített, megfelelően méretezett hűtőrendszerrel vonjuk ki a betonból. Ilyen belső hűtő- vagy fűtőrendszer alkalmazása indokolt lehet szélsőséges klimatikus feltételek melletti

betonozásnál is. 16 Befogott peremű henger hőfeszültségei Az alábbi feladatban a gátolt hőmérsékleti mozgások figyelembevételének néhány jellemző megfontolását ismerhetjük meg. Vizsgáljuk egy alsó peremén befogott, a fölső peremén szabad, a sugarú, H magasságú, t falvastagságú henger hőfeszültségeit az alábbi hőmérséklet-változások figyelembevételével: - az építési hőmérséklet T 0 , - a belső felület hőmérséklete T b , - a külső felület hőmérséklete T k , jelölje a fal dilatációs állandóját, rugalmassági modulusát és Poisson-tényezőjét , E és . Tételezzünk fel a fal vastagsága mentén az állandósult hővezetésnek megfelelően lineáris hőmérséklet-eloszlást, és bontsuk a hőmérséklet-változást két részre: egy egyenletes hőmérséklet-változásra és egy antimetrikus hőmérséklet-változásra. - az egyenletes hőmérséklet-változást jelölje  1 = (T b + T k )/2- T 0 - az

antimetrikus hőmérséklet-változás jelölje  2 = (T b - T k )/2. A vastagság mentén lineáris hőmérséklet-eloszlás feltételezéséből az következik, hogy  1 voltaképpen a középfelület hőmérsékletváltozása,  2 pedig a határfelületek és a középfelület hőmérsékletkülönbsége. Ez a felbontás lehetőséget ad arra, hogy magukat a hőfeszültségeket is két részből, az egyenletes és az antimetrikus változáshoz tartozó feszültségekből tegyük össze a szuperpozició elvén. Minden ilyen vizsgálatot célszerű az ún. „tiszta esetek” valamelyikéből kiindulva végezni. A „tiszta esetek” egyike az, hogy minden hőmérsékleti mozgás gátolatlanul létre tud jönni, azaz mindenütt, minden irányban a hőmérsékletváltozással arányos  =  fajlagos hosszváltozás alakul ki, a másik pedig az, hogy minden hőmérsékleti mozgás gátolva van, ezért mindenütt, minden irányban a hőmérsékletváltozással arányos 

= - E(1+2)/(1-2) hőfeszültség lép fel. A felületeknél általában eltekinthetünk a vastagodást okozó, a középfelületre merőleges irányú antimetrikus hőmérsékleti mozgások figyelembevételétől, ennek megfelelően „tiszta hőfeszültség”-nek felületeknél a  = -E(1+)/(1-2) = -T E/(1-), a középfelülettel párhuzamos síkbeli feszültségállapot feszültségeit tekinthetjük. a./ Az egyenletes hőmérsékletváltozás hatásának vizsgálatát a „tiszta hőmozgás” feltételezésével indíthatjuk. Feltesszük tehát, hogy a henger minden irányban  =  1 fajlagos megnyúlást szenved. Ehhez a magasság 17 H=H  1 és a sugár r=a  1 megváltozása tartozik. A magasság változása szabadon létrejöhet, a sugár megváltozását viszont gátolja az alsó peremen a (mozdulatlannak feltételezett) befogás. Az alsó perem környezetében ezért feszültségek lépnek fel, amelyeket a

körszimmetrikus terhelésű szerkezetek hajlításának módszerével (pl. Márkus Gy körszimmetrikus szerkezetek elmélete és számítása) határozhatunk meg. A hengerhéjak peremén működő peremterhek és elmozdulás-kényszerek hatásait az ún típusmegoldások alkalmazásával vehetjük figyelembe, (l Hegedűs I: Héjszerkezetek) Ezek a felületén terheletlen hengerhéj körszimmetrikus hajlításának alábbi alapmegoldásai: 1  e  kz cos kz ,  2  e  kz sin kz ,  3  1   2 ,  4  1   2 , k ahol 4  3 1  2  at és z a befogott peremtől mért távolság. A befogás módosító hatását az  3 peremzavar-függvény szolgáltatja. Ennek megfelelően a henger sugárirányú elmozdulása a „tiszta hőmozgás”-hoz tartozó r értékhez képest a következőképp módosul: r(z)=a  1 [1- 3 (kz)], A hőfeszültségeket képviselő igénybevételeket ugyancsak a peremzavarfüggvényekkel

fejezhetjük ki: N    EtΔ1 3 , ill. K-val a hajlítási merevséget jelölve M z  2 Kk 2 a Δ1 4 , M   M z , Q z  4 Kk 3 a Δ11 . A peremzavarok gyorsan elcsengő függvények, ezért a befogott permtől távolodva a hőfeszültségek egyre inkább elhanyagolható nagyságúak. b./ Az antimetrikus hőmérsékletváltozás „tiszta hőmozgásként” a középfelület = 2 /(t/2) görbületváltozását okozná, mind alkotó-, mind gyűrűirányban. Teljes hengeren ilyen alakváltozás nem jöhet létre, mert az alkotók meggörbüléséhez, ill. a forgáskörök görbületváltozásához a középfelület hosszváltozásai tartoznának, de ez nyilvánvalóan összeférhetetlen a középfelület nyúlásmentességével, ami az antimetrikus hőmérsékleteloszláshoz tartozik A vizsgálat kiinduló állapotának ezért a „tiszta hőfeszültségek” felületeknél értelmezett állapotát tekintjük. Ennek megfelelően a  2

antimetrikus hőmérséklet-változáshoz minden irányban 18 2 2 E 1    t2     K 1    2 2 t 6 1  nagyságú nyomaték tartozik. Ez a nyomatéki feszültségállapot a henger közbenső szakaszán fennállhat, tökéletesen összefér a befogás peremfeltételével is, csupán a felső perem peremfeltételeivel nincs teljesen összhangban. Ahhoz, hogy ezen a peremen is teljesüljenek a peremfeltételek, ki kell egészíteni a feszültségállapotot egy –M nagyságú nyomatéki peremteher hatásával Ehhez szintén a hosszú henger típus-megoldásait alkalmazhatjuk Az  4 peremzavar-függvény mechanikai értelmezés szerint a -M=2Kk2 nyomatéki peremteherrel terhelt henger elmozdulásait írja le, ezért a keresett peremzavart a 2 2 1    r  z     4 kz  k 2t elmozdulásfüggvény adja, amelyben z most a felső peremtől mért távolságot jelenti. A nyomatékok változását az M 

M z   K 1    2 2 1  3 kz  , t ill. M    K 1    2 2 1  3 kz  t képletek szolgáltatják. Irodalom Palotás L.: Mérnöki Kézikönyv 1-2 köt Műszaki Könyvkiadó Bp 1981 Frank-Mises: A fizika és mechanika differenciál és integrálegyenletei. Műszaki Könyvkiadó Bp 1962 Hegedűs I.: Héjszerkezetek Műegyetemi Kiadó 1998 Hütte: A mérnöki tudományok könyve. Springer Verlag Budapest, Berlin etc 1993 19