Építészet | Felsőoktatás » Előfeszített tartó tervezése

ELŐFESZÍTETT TARTÓ TERVEZÉSE Határozza meg az adott terhelésű kéttámaszú, előfeszített tartó keresztmetszeti méreteit, majd a szükséges feszítőerőt a középső keresztmetszetben keletkező igénybevételekre. Ellenőrizze a középső keresztmetszetben a beton szélsőszál-feszültségeit, valamint a feszítőbetétekben és a betonacélban ébredő feszültségeket a feszítőerő ráengedésének pillanatában és végleges állapotban. Ellenőrizze a tartó teherbírási határállapotát! 1. Kiindulási adatok 1.0 Vizsgálati idõpontok a) t = t0 a feszítőerő ráengedése idején b) t = tszáll a szállítás és szerelés idején (min. 28 napos korban) c) t = tvégl végleges állapotban A b) esetet jelen feladatban nem vizsgáljuk. 1.1 terhek kN Önsúly (állandó jellegű) g := 4.5 ⋅ γ g := 1.35 m Hasznos teher q := 8.5 ⋅ kN γ q := 1.5 m Mértékadó terhelés p := γ g ⋅ g + γ q ⋅ q p = 18.82 kN m 1.2 statikai váz 1. ábra A

statikai váz l= 16,2 m A szabad nyílás: l := 16.2m A fesztáv: L := 1.05 ⋅ l L = 17.01 m 1.3 Anyagok Beton C35/45 (kezdeti és végleges állapotban egyaránt) Megj.: Jelenleg (már nem gőzöléssel, hanem) gyorsan kötő cementtel, illetve kötésgyorsítóval érik el a beton kezdeti gyors szilárdulását, így a feszítőerő ráengedésének idején is a C35/45 szilárdsági jel vehető figyelembe. fcd := 35 1.5 ⋅ N 2 mm fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd fcd = 23.3 N 2 Ecm.35 := 33300 ⋅ mm N 2 mm 1 Ec.eff35 := 11700 ⋅ N 2 mm 2005.0418 Betonacél B.6050 N fyk := 500 ⋅ fyd := 2 mm 500 N 1.15 2 fyd = 434.8 mm N kN Es := 200 2 mm 2 mm Feszítőpászma: Fp-100/1770, vagy Fp-150/1770 (névleges átmérők) N fpk := 1770 N σ p0 := 1275 2 mm φp := 12.9 ⋅ mm 2 mm nyomott vas esetén 560 ξ c0 := 560 ξ c0v := 2 700 + fyd ⋅ 2 mm φp := 15.7 ⋅ mm A semleges tengely határhelyzete: húzott vas esetén kN Ep :=

190 ⋅ 2 mm 700 − fyd ⋅ N ξ c0 = 0.493 mm N ξ c0v = 2.111 1.4 Nyomatékok g⋅L ad a) Önsúly alapértékéből (feszítéskor) M 1 := ad c) Mértékadó teherből végleges állapotban M 4 := p ⋅ 2 M 1 = 162.75 kN ⋅ m 8 L 2 8 M 4 = 680.85 kN ⋅ m 1.5 Feszített tartó vizsgálata külpontosan nyomott elemként (elvi összefoglalás) 2/a ábra fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 2/b ábra 2 2005.0418 1.6 A tartó méreteinek meghatározása A tartó alakja közelítőleg (a magasság függvényébe A h tartómagasságot úgy vegyük fel, hogy az M4 nyomaték három-negyede egyezzen meg a tartó nagyobbik (felső) övének teljes kihasználtságához tartozó nyomatékkal (l. 3 ábra) Feltételezve: beton: C35/45 felső öv vastagsága: t c = 120 mm felső öv szélessége: 0,6*h alsó öv szélessége 0,4*h és d = 0,8 * h és α = 1,0 3. ábra A keresztmetszet közelítő méretei 0.75 ⋅ M 4 = 120mm ⋅ 06 ⋅ h ⋅ fcd ⋅ ⎛⎜ 08 ⋅ h −

120mm ⎞ ⎝ Ebből a szükséges tartómagasság: LEGYEN h := 650mm 2 ⎠ h = 655.0 mm ekkor a keresztmetszet méretei (l. 21 fejezet) 1.7 A szükséges feszítõerõ közelítõ meghatározása a) Ha csak lágyvasat alkalmaznánk: (z értékét becsüljük: a vasak súlyvonala az alsó öv középvonalában és a teljes fejlemez nyomott) z := 650mm − Asszüks := 120mm 2 M4 − 120mm z = 530.0 mm 2 2 Asszüks = 2954.6 mm z ⋅ fyd alkalmazzunk alul 5Φ25 +2Φ20 vasalást, ekkor: 2 Asalk := 5 ⋅ ( 25mm) π 4 fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 2 + 2⋅ ( 20mm) π 2 Asalk = 3082.7 mm 4 3 2005.0418 b) Ha csak feszítõpászmát alkalmaznánk: (z értékét becsüljük: a vasak súlyvonala az alsó öv középvonalában és a teljes fejlemez nyomott) Apszüks := M4 2 Apszüks = 1007.6 mm z ⋅ σ p0 alkalmazzunk pl. 10 db Fp-100/1770 jelű pászmát, ekkor: 2 2 Apalk := 10 ⋅ 100 mm Apalk = 1000.0 mm c) Vegyes vasalást alkalmazva: alkalmazzunk az

alsó övben: 8 db Fp-100/1770 jelű pászmát + 2Φ20 lágyvasat, és a felsõ övben 4Φ16 vasalást! Ekkor: 2 2 Ap := 8 ⋅ 100 mm Ap = 800.0 mm 2 Hp3 = 382.5 kN Hp5 := 5 ⋅ 100 mm ⋅ σ p0 2 Hp5 = 637.5 kN Hp := Hp3 + Hp5 Hp = 1020.0 kN Hp3 := 3 ⋅ 100 mm ⋅ σ p0 húzóerõ a pászmákban: húzóerő a lágyvasakban: 2 Hs := 2 ⋅ ( 20 ⋅ mm) ⋅ π 4 ⋅ fyd Hs = 273.2 kN ⋅ fyd Ns = 349.7 kN nyomóerő a felső (lágy)vasakban 2 Ns := 4 ⋅ nyomott zóna magasság: x c := ( 16 ⋅ mm) ⋅ π 4 Hp3 + Hp5 + Hs − Ns 0.6 ⋅ h ⋅ fcd x c = 103.7 mm Megj.: nem metsz bele a bordába (ha belemetszene, részekbõl kéne számítani T keresztmetszetként!) A húzóerők eredőjének súlypontja az alsó húzott száltól ea3 := 35mm d r := ea5 := 70mm ea3 ⋅ Hp3 + ea5 ⋅ Hp5 + eas ⋅ Hs Hp3 + Hp5 + Hs fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd eas := 35mm d r = 52.3 mm 4 d := h − d r d = 597.7 mm 2005.0418 Határnyomaték a húzóerõk

eredõjére: ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ M Rd := ⎢0.6 ⋅ h ⋅ x c ⋅ fcd ⋅ ⎜ d − M Rd = 711.8 kN ⋅ m x c ⎞⎤ 2 ⎥ + Ns ⋅ ( d − 35mm) ⎠⎦ elõzetesen megfelel, mert M 4 = 680.9 kN ⋅ m A feszítõerõ eredõje az alsó húzott száltól (erre később lesz szükség): d p := ea3 ⋅ Hp3 + ea5 ⋅ Hp5 d p = 56.9 mm Hp3 + Hp5 2. A keresztmetszet geometrai adatai, keresztmetszeti jellemzõk 2.1 a keresztmetszet méretei a jelű alsó szélső szál h a := 120mm alsó öv szélessége: felső öv szélessége: tartómagasság: c jelű felső szélső szál h g := 410mm h c := 120mm a := a1 + b + a2 a = 260 mm c := c1 + b + c2 c = 420 mm h := h a + h g + h c h = 650 mm 4. ábra A keresztmetszet geometriai és vasalási adatai fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 5 2005.0418 2.2 Alapadatok (geometria és vasalás) betontakarás: bt := 15mm Megjegyzés: A vasalás az előzetes számításoknak és a szerkesztési szabályoknak megfelelően veendő fel:

a) vasalás az a alsó övben lágyvasalás Φ a := 20mm Aa := ⎛⎝ Φ a 2⎞ n a := 2 π ⎠ ⋅ 4 ⋅ na 2 Aa = 628.3 mm feszítõpászma 2 φp := 12.9 ⋅ mm b) vasalás a c felső övben Φ c := 16mm Ap = 800.0 mm Ac := ⎛⎝ Φ c 2⎞ n c := 4 π ⎠ ⋅ 4 ⋅ nc 2 Ac = 804.2 mm c) kengyel átmérő φk := 10mm d a := bt + φk + d) vastávolságok a szélső száltól d c := bt + φk + Φa 2 Φc 2 + 10mm + 10mm d p = 57 mm d a = 45 mm d c = 43 mm ea := d p 2.3 A vasbeton keresztmetszet ideális területe (A tartót repedésmentesnek feltételezve) merevségi arányok: α s := Es α p := Ecm.35 α s = 6.01 ( Ep Ecm.35 α p = 5.71 ) ( ) Avb := a ⋅ h a + b ⋅ h g + c ⋅ h c + α s − 1 ⋅ ( Aa + Ac) + α p − 1 ⋅ Ap 2 Avb = 133536 mm fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 6 2005.0418 2.4 A semleges tengely helye (vb km esetén) a c felső száltól x vb := 1 Avb ⎡ ⎛ ⎝ ⋅ ⎢ a ⋅ ha ⋅ ⎜ h − ha ⎞ ⎛ ⎝ + b

⋅ hg ⋅ ⎜ hc + hg ⎞ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ hc . 2 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎢+ α − 1 ⋅ A ⋅ h − d + A ⋅ d + α − 1 ⋅ A ⋅ h − e s ⎡⎣ a ( a) c c⎤ p p ( a) ⎣ ⎦ ( ) + c ⋅ hc ⋅ ( ) felső száltól mérve: x vb = 292.5 mm a) Inercia 2 2 3 hc ⎞ ha ⎞ c ⋅ hc ⎛ ⎛ . Ix := + a ⋅ h a ⋅ ⎜ h − x vb − + + c ⋅ h c ⋅ ⎜ x vb − 12 12 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 3 2 b ⋅ hg hg ⎞ ⎛ + + b ⋅ h g ⋅ ⎜ x vb − h c − . 12 2 ⎠ ⎝ 2 2 + ( α s − 1 ) ⋅ ⎡⎣ Aa ⋅ ( h − x vb − d a) + Ac ⋅ ( x vb − d c) ⎤⎦ . 3 a ⋅ ha ( ) + α p − 1 ⋅ Ap ⋅ ( h − x vb − ea) 2 9 b) Keresztmetszeti jellemzők a alsó szélső betonszál Wa := c felső szélső betonszál Wf := Ix pászma vonalában Ix fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 3 6 3 Wf = 24.267 × 10 mm x vb Ix h − x vb − d a Ix Wsf := Wp := 6 Wa = 19.861 × 10 mm h − x vb alsó acélbetét vonalában Wsa := felső acélbetét vonalában 4 Ix = 7.099 ×

10 mm x vb − d c Ix h − x vb − ea 7 6 3 Wsa = 22.722 × 10 mm 6 3 Wsf = 28.449 × 10 mm 6 3 Wp = 23.619 × 10 mm 2005.0418 3. A teherbírási vonal jellegzetes pontjai (a beton km súlypontjára) A feszítõpászmában keletkezõ feszültség a fellépõ feszültségveszteséggel lehet csak eg Feltételezve 30% veszteséget: σ p := 0.3 ⋅ σ p0 N σ p = 383 azaz 2 mm 3.1 Legnagyobb nyomás ( 1 pont) Központos nyomás esetén 2 %o lehet csak az összenyomódás, ezért σ s := Es ⋅ 0.002 N σ s = 400 vagyis σs-sel számolunk 2 mm NRd1 := Ab ⋅ fcd + ( Aa + Ac) ⋅ σ s + Ap ⋅ σ p M Rd1 := Ac ⋅ σ s ⋅ ( x vb − d c) − Aa ⋅ σ s ⋅ ( h − x vb − d a) . + ⎡⎣−Ap ⋅ σ p ⋅ ( h − x vb − ea)⎤⎦ NRd1 = 3739.7 kN M Rd1 = −90.2 kN ⋅ m 3.2 Csak a c oldali fejlemez nyomott ( 23 pont) x c := h c x c = 120.0 mm ξ c := xc ( h − da) ξ c = 0.198 ξcv := xc dc ξcv = 2.791 NRd23 := h c ⋅ c ⋅ fcd + Ac ⋅ fyd

− Aa ⋅ fyd − Ap ⋅ σ p ⎛ ⎝ hc ⎞ + Ac ⋅ fyd ⋅ ( x vb − d c) . 2 ⎠ + Aa ⋅ fyd ⋅ ( h − x vb − d a) + Ap ⋅ σ p ⋅ ( h − x vb − ea) M Rd23 := h c ⋅ c ⋅ fcd ⋅ ⎜ x vb − NRd23 = 946.5 kN fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd M Rd23 = 538.1 kN ⋅ m 8 2005.0418 3.3 Csak az a oldali fejlemez nyomott ( 45 pont) x c := h a x c = 120.0 mm xc ξ c := ( h − dc) ξ c = 0.198 ξ cv := xc da ξ cv = 2.667 NRd45 := h a ⋅ a ⋅ fcd + Aa ⋅ fyd − Ac ⋅ fyd − Ap ⋅ σ p ⎛ ⎝ M Rd45 := h a ⋅ a ⋅ fcd ⋅ ⎜ h − x vb − ha ⎞ 2 ⎠ + Aa ⋅ fyd ⋅ ( h − x vb − d a) . + Ap ⋅ σ p ⋅ ( h − x vb − ea) . + Ac ⋅ fyd ⋅ ( x vb − d c) NRd45 = 345.5 kN M Rd45 := −1 ⋅ M Rd45 M Rd45 = −481.1 kN ⋅ m 3.4 Kis és nagy külp nyomás határa ( 2 pont), a oldali vasak húzottak x c := ξ c0 ⋅ ( h − d a) x c = 298.6 mm ξ cv := xc ξ cv = 6.943 dc NRd2 := ⎡⎣h c ⋅ ( c1 + c2) + b ⋅ x c⎤⎦

⋅ fcd + Ac ⋅ fyd − Aa ⋅ fyd − Ap ⋅ σ p ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ M Rd2 := fcd ⋅ ⎢ x c ⋅ b ⋅ ⎜ x vb − xc ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝ + h c ⋅ ( c1 + c2) ⋅ ⎜ x vb − hc ⎞ ⎤ 2 + ⎡⎣Ac ⋅ fyd ⋅ ( x vb − d c)⎤⎦ . + Ap ⋅ σ p ⋅ ( h − x vb − ea) + Aa ⋅ fyd ⋅ ( h − x vb − d a) NRd2 = 1363.1 kN ⎥ . ⎠⎦ M Rd2 = 572.8 kN ⋅ m 3.5 Kis és nagy külp nyomás határa ( 5 pont), c oldali vasak húzottak x c := ξ c0 ⋅ ( h − d c) x c = 299.5 mm ξ cv := xc dc ξ cv = 6.966 NRd5 := ⎡⎣h a ⋅ ( a1 + a2) + b ⋅ x c⎤⎦ ⋅ fcd + Aa ⋅ fyd − Ac ⋅ fyd − Ap ⋅ σ p ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ M Rd5 := fcd ⋅ ⎢ x c ⋅ b ⋅ ⎜ h − x vb − xc ⎞ ⎛ ⎝ + h a ⋅ ( a1 + a2) ⋅ ⎜ h − x vb − ha ⎞ ⎤ ⎥ . 2 ⎠ 2 ⎠⎦ + Aa ⋅ fyd ⋅ ( h − x vb − d a) + Ap ⋅ σ p ⋅ ( h − x vb − ea) + Ac ⋅ fyd ⋅ ( x vb − d c) M Rd5 := −1 ⋅ M Rd5 NRd5 = 764.5 kN fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd M Rd5 =

−543.0 kN ⋅ m 9 2005.0418 3.6 Tiszta hajlítás ( 3 pont), a oldali vasak húzottak Feltételezve, hogy a nyomott acél nem folyik meg (vetületi egyenlet): 0 = Aa ⋅ fyd + Ap ⋅ σ p − fcd ⋅ c ⋅ x c − Ac ⋅ ⎛⎜ 700 − 560 ⎝ xc ⋅ d c⎞ N x c = 45.3 mm ⎠ mm2 Feszültség a nyomott acélban: σ s := ⎛⎜ 700 − ⎝ ⎛ ⎝ M Rd3 := fcd ⋅ x c ⋅ c ⋅ ⎜ x vb − xc ⎞ 2 ⎠ 560 xc ⋅ d c⎞ N N σ s = 168.3 ⎠ mm2 2 mm . + Ac ⋅ σ s ⋅ ( x vb − d c) + Aa ⋅ fyd ⋅ ( h − x vb − d a) + Ap ⋅ σ p ⋅ ( h − x vb − ea) NRd3 := 0 ⋅ kN M Rd3 = 330.9 kN ⋅ m 3.7 Tiszta hajlítás ( 4 pont), c oldali vasak húzottak Feltételezve, hogy a nyomott acél nem folyik meg (vetületi egyenlet): 0 = Ac ⋅ fyd − fcd ⋅ a ⋅ x c − ( Aa + Ap) ⋅ ⎛⎜ 700 − ⎝ 560 xc ⋅ d a⎞ N x c = 40.2 mm ⎠ mm2 Feszültség a nyomott acélban (feltételezve, hogy ugyanazon redukáló képlet alkalmaz σ s :=

⎛⎜ 700 − ⎝ ⎛ ⎝ 560 xc ⋅ d a⎞ M Rd4 := fcd ⋅ x c ⋅ a ⋅ ⎜ h − x vb − N ⎠ mm2 σ s = 73.87 N 2 mm xc ⎞ . 2 ⎠ + Ac ⋅ fyd ⋅ ( x vb − d c) + Aa ⋅ σ s ⋅ ( h − x vb − d a) + Ap ⋅ σ s ⋅ ( h − x vb − ea) (Megj.: Feltételezzük, hogy a nyomott pászmában is annyi a feszültség, mint a lágyvasban) M Rd4 := −1 ⋅ M Rd4 NRd4 := 0 ⋅ kN fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd M Rd4 = −201.9 kN ⋅ m 10 2005.0418 AZ M-N DIAGRAM adatai: NRd3 = 0 kN M Rd3 = 330.9 kN ⋅ m NRd23 = 946.5 kN M Rd23 = 538.1 kN ⋅ m NRd2 = 1363.1 kN M Rd2 = 572.8 kN ⋅ m NRd1 = 3739.7 kN M Rd1 = −90.2 kN ⋅ m NRd5 = 764.5 kN M Rd5 = −543.0 kN ⋅ m NRd45 = 345.5 kN M Rd45 = −481.1 kN ⋅ m NRd4 = 0 kN M Rd4 = −201.9 kN ⋅ m 1 3500 3000 Erõ (kN) 2500 2000 1500 2 (Pf0;Mf0) 1000 5 23 M4 (Pft;Mft) 500 45 4 400 200 3 0 Nyomaték (kNm) 200 Pf0 = 1020.0 kN Pft = 714.0 kN M f0 = −306.6 kN ⋅ m M ft =

−214.6 kN ⋅ m 400 5. ábra A feszítési jellemzők (Pf - Mf ) ábrázolása a teherbírási vonalban fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 11 2005.0418 4. A feszítõerõ ellenõrzése Az M-N diagramban ábrázoljuk a feltételezett kezdeti és végleges feszítőerőt (l. a kiszámított M-N diagramot, l. 5 ábra), a feszítőerőt a pászmák súlypontjában koncentráltnak képzeljük. Ezután berajzoljuk az M4 mértékadó nyomatékot Ha a pontok belül maradnak, a keresztmetszet megfelel. 4.1 A kezdeti feszítõerõ (0 index-szel jelölve) Alkalmaztunk 8 db Fp-100/1770 jelû pászmát: Az ef külpontosság a vasbeton km súlypontjától mérve: ef := h − x vb − ea ef = 300.6 mm A kezdeti feszítési feszültség: N σ p0 := 1275 2 mm A kezdeti feszítőerő: Pf0 := σ p0 ⋅ Ap Pf0 = 1020.0 kN és nyomaték: M f0 := Pf0 ⋅ ef M f0 = 306.6 kN ⋅ m (ez az adatpár ábrázolandó az M-N diagramban) 6. ábra 4.2 Feszítõerõ végleges állapotban (t index-szel

jelölve) Felvéve a hatásos feszítőerő hányadot: ν := 0.7 Pt := ν ⋅ Pf0 Pt = 714 kN (Pontos számítása a következő fejezetben) A kezdeti feszítőerőből keletkező nyomaték (ef = 300,6 mm figyelembevételével): A becsült végleges Pt = 714.0 kN M ft := Pt ⋅ ef M ft = 214.6 kN ⋅ m hatásos feszítõerõ és nyomaték értéke: (ez az adatpár is ábrázolandó az M-N diagramban) A feszítés hatásának ábrázolása után ábrázolandó az M 4 nyomaték is! fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 12 2005.0418 5. A hatásos feszítõerõ meghatározása A hatásos feszítési feszültség σ pm := σ p0 − ∆σ p.t Pt := σ pm ⋅ Ap a hatásos feszítőerő és képletekkel számolható Figyelem, a feszültségveszteségek számításához a korábban számolt jellemzőket a 2. fejezetből vesszük át 5.1 Feszültségveszteségek A zsugorodás, kúszás és relaxáció miatti feszültségveszteség (a tartó középső keresztmetszetében) Megjegyzés:

Mint ismeretes, a beton kúszását az αι = Es/ Ec értékekben is figyelembe lehet venni. Amennyiben ugyanis az Es/ Eceff35 értékkel számolnánk a keresztmetszeti jellemzőket, úgy a kúszást a feszültségveszteségek számításánál már nem kellene figyelembe venni. De a kúszást az EC-2 szerinti feszültségveszteség-számító képlet (zárt formában) már tartalmazza, így a keresztmetszeti jellemzők számításánál a vasbetéteket az Es / Ecm.35 aránnyal vesszük figyelembe, s a kúszási veszteséget pedig az EC-2 képletében meghagyjuk. A számítás alapképlete (l. EC-2) ε cst ⋅ Ep + ∆σ pr + α p ⋅ φ( tt) ⋅ σ cgp0 ∆σ p.t := 1 + αp ⋅ ahol Ap i Ac ⎡ Ac ⎣ Ic ⋅ ⎢1 + ⋅ ( zcp) 2⎤ ⎥ ⋅ ( 1 + 0.8 ⋅ φ( tt) ) ⎦ ε cst := −0.0005 - a beton fajlagos zsugorodási alakváltozása (-0,5 %o) φt := 2 - a beton kúszási tényezője ∆σ pr - a feszítőbetétek relaxációjából származó

feszültségváltozás az 1000 órás veszteség 3-szorosára vehető fel, ennek kiszámításához: a kezdeti feszítőerőből, valamint az önsúly és állandó terhek alapértékéből származó feszültség a feszítőbetétekben: ⎛ −Pf0 ∆σ pg0 := σ p0 + α p ⋅ ⎜ ⎝ Avb ∆σ pg0 = 1197 + M 1 − Pf0 ⋅ ef Ix ⎞ ⋅ ef ⎠ N 2 mm fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 13 2005.0418 a kezdeti feszítőbetét-feszültség és a pászma szakító szilárdságának hányadosa χ := ∆σ pg0 fpk χ = 67.61 % és diagramból: r1000 := 0.02 ∆σ pr := 3 ⋅ r1000 ⋅ σ p0 N ∆σ pr = 76.5 2 mm σ cpg0 - a kezdeti feszítőerőből, valamint az önsúly és állandó terhek alapértékéből származó feszültség a betonban a feszítőbetétek vonalában σ cpg0 := ⎛ −Pf0 M1 − Pf0 ⋅ ef ⎞ ⋅ ef ⎜A + Ix ⎝ vb ⎠ N σ cpg0 = −13.7 2 mm - a betonkeresztmetszet súlypontja és a feszítőbetétek közötti távolság zcp zcp := h

− x vb − ea zcp = 300.6 mm Ilyen előzetes számítások után ismét az alapképlet és a feszültségveszteség ∆σ p.t := ε cst ⋅ Ep + ∆σ pr + α p ⋅ φt ⋅ σ cpg0 1 + αp ⋅ Ap Avb ∆σ p.t = 2647 Avb ⎡ 2⎤ ⋅ ⎢1 + ⋅ ( zcp) ⎥ ⋅ ( 1 + 0.8 ⋅ φt) Ix ⎣ ⎦ N 2 mm 5.2 A hatásos feszítõerõ A hatásos feszítési feszültség σ pm := σ p0 − ∆σ p.t és σ pm = 1010.3 N 2 mm A Pt hatásos feszítőerő Pt := σ pm ⋅ Ap Pt = 808.3 kN és a hatásos feszítőerő hányad (csak ellenőrzés végett!, a feltételezett 0,7 helyett): ν := fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd Pt ν = 0.792 Pf0 14 2005.0418 6. A középsõ keresztmetszet feszültségállapota 6.1 Szélsõ szálfeszültségek a betonban Feszítőerő ráengedésekor: M1 nyomatékra a alsó betonszál: σ ca0 := − N σ ca0 = −14.88 2 mm Pf0 Avb (0 index) Pf0 ⋅ ef − Wa M1 + Wa megfelel, mert fcd = - 0,6 x fck = -21,0 N/mm2 ( nyomott) c felső

betonszál: σ cf0 := − σ cf0 = −1.711 Pf0 Avb N 2 Pf0 ⋅ ef + Wf − M1 Wf a tartó nem reped be, mivel fctd = 1,5 N/mm2 mm ( nyomott) Végleges állapotban: M4 nyomatékra (t index) A terhek szélső értékéből számított M4 nyomatékra a alsó szálban c felső szálban σ cat := − σ cft := − Pt Avb Pt Avb − + Pt ⋅ ef Wa Pt ⋅ ef Wf + − M4 Wa M4 Wf N σ cat = 16.0 2 mm σ cft = −24.1 N 2 mm Megjegyzés: Végleges állapotban a keresztmetszet sem a nyomott, sem a húzott (beton)oldali feszültség-ellenőrzésre nem felel meg, de ebben a (végleges) állapotban az ellenőrzést a Mörsch-féle határnyomaték számítással fogjuk elvégezni (l. 7 fejezet)! Amúgy az eredmény nem meglepő, hiszen nem repedésmentes állapotra terveztünk, s látható, hogy a repedésmentes keresztmetszet feltételezése nem is igaz. fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 15 2005.0418 6.2 Feszültség a betonacélokban és a

feszítõpászmában Feszítőerő ráengedésekor: M1 nyomatékra (0 index) ⎛ Pf0 Pf0 ⋅ ef M1 ⎞ alsó betonacél: σ sa0 := α s ⋅ ⎜ − − + Wsa Wsa ⎠ ⎝ Avb N σ sa0 = −83.9 2 mm ⎛ Pf0 Pf0 ⋅ ef M1 ⎞ felső betonacél: σ sf0 := α s ⋅ ⎜ − + − Wsf Wsf ⎠ ⎝ Avb N σ sf0 = −15.5 2 mm (mindkét oldali betonacél nyomott!!) feszítőpászma: ⎛ Pf0 σ pa0 := σ p0 + α p ⋅ ⎜ − ⎝ Avb Pf0 ⋅ ef − Wp + M1 ⎞ Wp ⎠ σ pa0 = 1196.7 N 2 mm Megjegyzés: Ne feledjük, hogy a kezdeti feszítési feszültség σ p0 = 1275.0 N volt. 2 mm Elhanyagoltuk azt a tényt, hogy a feszítőerő ráengedésekor a veszteségek egy része esetleg már lezajlott! Végleges állapotban: M4 nyomatékra alsó betonacél: ⎛ Pt σ sat := α s ⋅ ⎜ − ⎝ Avb felső betonacél: − ⎛ Pt σ sft := α s ⋅ ⎜ − ⎝ feszítőpászma: (t index) Avb Pt ⋅ ef Wsa + Pt ⋅ ef Wsf ⎛ Pt σ pat := σ pm + α p ⋅ ⎜

− + ⎝ Avb − M4 ⎞ Wsa ⎠ − σ sft = −128.8 Wsf ⎠ Wp + 2 mm M4 ⎞ Pt ⋅ ef N σ sat = 79.4 N 2 mm M4 ⎞ Wp ⎠ σ pat = 1081.6 N 2 mm Megjegyzés: Ne feledjük, hogy a hatásos feszítési feszültség σ pm = 1010.3 N volt. 2 mm fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 16 2005.0418 7. A keresztmetszet határnyomatéka (Mörsch−féle határnyomaték− számítás) 7.1 Anyagjellemzõk betonacél: B.6050 beton: C35/45 7/a ábra A beton σ − ε diagramja 7/b ábra A betonacél σ − ε diagramja feszítőpászma: Fp 100/1770 7/c ábra A feszítőpászma σ − ε diagramja 7.2 Az eljárás elvi vázlata 8. ábra Nyúlások és belső erők a keresztmetszetben fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 17 2005.0418 7.3 A középsõ keresztmetszet alakváltozási állapota t idõpontban Feszültségek és nyúlások a betonacélban és a pászmában csak feszítésből, végleges állapotban ⎛ Pt alsó betonacél: σ sa := α s ⋅ ⎜ −

− ⎝ Avb N σ sa = −100.6 Pt ⋅ ef ⎞ Wsa ⎠ < fyd, így 2 σ sa ε sa0 := Es mm ⎛ Pt felső betonacél: σ sf := α s ⋅ ⎜ − ⎝ Avb + 2 mm összenyomódás Wsf ⎠ < fyd, így σ sf ε sf0 := ε sf0 = 7.468 × 10 Es σ pat = 917.1 N 2 < 0,9*fpd, így mm −5 megnyúlás Pt ⋅ ef ⎞ ⎛ Pt σ pat := σ pm + α p ⋅ ⎜ − − Wp ⎠ ⎝ Avb feszítőpászma −4 Pt ⋅ ef ⎞ N σ sf = 14.9 ε sa0 = −5.029 × 10 ε p0 := σ pat Ep −3 ε p0 = 4.827 × 10 megnyúlás 7.4 Az iterációs eljárás 7.41 Az 1 próbálkozás Feltételezem: x1 := 60mm értéket, vagyis a c fejlemez fele nyomott x 1 = 60 mm ε ct := 0.0035 N fpd := 1539 2 mm Nyúlások: felső betonacél ε sf1 := − 1.25 ⋅ x 1 − d c 1.25 ⋅ x 1 ⋅ ε ct + ε sf0 −3 ε sf1 = −1.419 × 10 > 2.17%o (nyomott és folyik) alsó betonacél ε sa1 := h − 1.25 ⋅ x 1 − d a 1.25 ⋅ x 1 ⋅ ε ct + ε sa0 −3 ε sa1 = 24.230

× 10 > 2.17%o (húzott és folyik) (l. 7/b ábra) feszítő pászma ε p1 := fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd h − 1.25 ⋅ x 1 − ea 1.25 ⋅ x 1 ⋅ ε ct + ε p0 −3 ε p1 = 29.006 × 10 > 7.29%o (II. szakaszon) (l 7/c ábra) 18 2005.0418 Belső erők beton Nc1 := −x 1 ⋅ c ⋅ fcd Nc1 = −588.0 kN alsó betonacél Hsa1 := fyd ⋅ Aa Hsa1 = 273.2 kN felső betonacél Nsf1 := −fyd ⋅ Ac Nsf1 = −349.7 kN ε p1 − 0.00729 ⎞ ⎛ feszítőpászmaHp1 := Ap ⋅ ⎜ 0.9 ⋅ fpd + 01 ⋅ fpd ⋅ 0.035 − 000729 ⎠ ⎝ ΣN1 := Nc1 + Nsf1 Az erők összegzése ΣN1 = −937.7 kN Hp1 = 1204.6 kN ΣH1 := Hsa1 + Hp1 < ΣH1 = 1477.8 kN Mivel a húzóerők a nagyobbak, próbálkozzunk az x2 := 120mm -rel. 7.42 A 2 próbálkozás Feltételezem: x2 = 120.0 mm vagyis a teljes fejlemez nyomott Nyúlások felső betonacél ε sf2 := − 1.25 ⋅ x 2 − d c 1.25 ⋅ x 2 ⋅ ε ct + ε sf0 −3 ε sf2 = −2.422 × 10 >2.17%o (nyomott

és folyik) alsó betonacél ε sa2 := h − 1.25 ⋅ x 2 − d a 1.25 ⋅ x 2 ⋅ ε ct + ε sa0 −2 ε sa2 = 1.011 × 10 < 2.17%o (húzott és rugalmas) feszítő pászma ε p2 := h − 1.25 ⋅ x 2 − ea ⋅ ε ct + ε p0 1.25 ⋅ x 2 −2 ε p2 = 1.517 × 10 > 7.29%o (húzott, II. szakaszon) Belső erők Nc2 := −x 2 ⋅ c ⋅ fcd Nc2 = −1176.0 kN alsó betonacél Hsa2 := fyd ⋅ Aa Hsa2 = 273.2 kN felső betonacél Nsf2 := −fyd ⋅ Ac Nsf2 = −349.7 kN beton fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 19 2005.0418 ε p2 − 0.00729 ⎞ ⎛ feszítő pászma Hp2 := Ap ⋅ ⎜⎝ 0.9 ⋅ fpd + 01 ⋅ fpd ⋅ 0035 − 000729 ⎠ ΣN2 := Nc2 + Nsf2 Az erők összegzése ΣN2 = −1525.7 kN Hp2 = 1143.1 kN ΣH2 := Hp2 + Hsa2 > ΣH2 = 1416.3 kN 9. ábra Az erők egyensúlyát eredményező x3 értékének grafikus meghatározása Az ábrából látható, hogy az x3 := 109mm -rel érdemes próbálkozni. 7.43 A 3 próbálkozás Feltételezem: x3 =

109.0 mm értéket, vagyis a c fejlemezben marad a nyomott zóna ε ct := 0.0035 Nyúlások: N 2 mm felső betonacél ε sf3 := − alsó betonacél ε sa3 := feszítő pászma fpd := 1539 ε p3 := 1.25 ⋅ x 3 − d c 1.25 ⋅ x 3 ⋅ ε ct + ε sf0 h − 1.25 ⋅ x 3 − d a 1.25 ⋅ x 3 h − 1.25 ⋅ x 3 − ea 1.25 ⋅ x 3 ⋅ ε ct + ε sa0 ⋅ ε ct + ε p0 −3 ε sf3 = −2.321 × 10 > 2.17%o (nyomott és folyik) −3 ε sa3 = 11.538 × 10 > 2.17%o (húzott és folyik) (l. 7/b ábra) −3 ε p3 = 16.563 × 10 (II szakaszon) fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 20 > 7.29%o (l. 7/c ábra) 2005.0418 Belső erők beton Nc3 := −x 3 ⋅ c ⋅ fcd Nc3 = −1068.2 kN alsó betonacél Hsa3 := fyd ⋅ Aa Hsa3 = 273.2 kN felső betonacél Nsf3 := −fyd ⋅ Ac Nsf3 = −349.7 kN ε p3 − 0.00729 ⎞ ⎛ feszítőpászma Hp3 := Ap ⋅ ⎜ 0.9 ⋅ fpd + 01 ⋅ fpd ⋅ 0.035 − 000729 ⎠ ⎝ ΣN3 := Nc3 + Nsf3 Az erők összegzése Hp3 =

1149.3 kN ΣH3 := Hsa3 + Hp3 ΣN3 = −1417.9 kN ΣH3 = 1422.5 kN A húzó- és nyomóerõ egyenlõnek vehetõ! 7.44 A határnyomaték A húzóerők eredőjének súlypontja az alsó húzott száltól (l. 9 ábra) d r := ea ⋅ Hp3 + d a ⋅ Hsa3 d r = 54.6 mm Hp3 + Hsa3 ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ M Rd := ⎢ h c ⋅ ( c1 + c2) ⋅ ⎜ h − d r − + ( −Nsf3) ⋅ ( h − d r − d c) hc ⎞ 2 ⎠ ⎛ ⎝ + x3 ⋅ b ⋅ ⎜ h − dr − A mértékadó nyomaték Msd := M4 x3 ⎞ ⎤ 2 ⎥ ⋅ fcd . ⎠⎦ A határnyomaték M sd = 680.9 kN ⋅ m M Rd = 810.5 kN ⋅ m Tehát a tartó hajlításra megfelel. Csak gyakorlás képpen!!! 7.44 A számítás menete, ha a nyomott zóna belemetsz a gerincbe is! Feltételezem: x4 := 312mm vagyis a teljes fejlemez és a borda felső része nyomott Nyúlások felső betonacél fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd ε sf4 := − 1.25 ⋅ x 4 − d c 1.25 ⋅ x 4 ⋅ ε ct + ε sf0 21 −3 ε sf4 = −3.039 × 10 > 2.17%o (nyomott és

folyik) 2005.0418 h − 1.25 ⋅ x 4 − d a ε sa4 := alsó betonacél 1.25 ⋅ x 4 ⋅ ε ct + ε sa0 −3 ε sa4 = 1.427 × 10 < 2.17%o (húzott és rugalmas) h − 1.25 ⋅ x 4 − ea ε p4 := feszítõ pászma 1.25 ⋅ x 4 ⋅ ε ct + ε p0 −3 ε p4 = 6.650 × 10 < 7.29%o (húzott, I. szakaszon) Belső erők Nc4 := −⎡⎣ h c ⋅ c + ( x 4 − h c) ⋅ b⎤⎦ ⋅ fcd beton Nc4 = −1624.0 kN alsó betonacél Hsa4 := Es ⋅ ε sa4 ⋅ Aa Hsa4 = 179.3 kN felső betonacél Nsf4 := −fyd ⋅ Ac Nsf4 = −349.7 kN Hp4 := Ap ⋅ ε p4 ⋅ Ep feszítő pászma Hp4 = 1010.8 kN ΣN4 := Nc4 + Nsf4 Az erők összegzése ΣH4 := Hp4 + Hsa4 ΣN4 = −1973.7 kN ΣH4 = 1190.1 kN 8. Nyírásvizsgálat A vizsgálat a lágyvasas tartónál alkalmazott (EC-2 szerinti) eljárással lényegében megegyezik, itt csak rámutatunk a különbségekre. a) A VRd1 számításában a 0.15 σcp is figyelembe veendő: ⎡ ⎣ ⎛ ⎝ VRd1 := ⎢τ Rd ⋅ k ⋅

⎜ 1.2 + 40 ⋅ ⎞ ⎤ + 0.15 ⋅ σ cp⎥ ⋅ b w ⋅ d bw ⋅ d ⎠ ⎦ Asl ahol (előkészítve a számítást is) τ Rd := 0.37 N 2 As1 := Aa + Ap 2 As1 = 1428.3 mm mm b w := b b w = 100 mm d := h − d r k := 1.6m − d fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 22 d = 595.4 mm k = 1.0 m 2005.0418 σcp átlagos normálirányú feszültség, vegyük a feszítésből keletkező szélső szálfeszültségek átlagának: a alsó szálban c felső szálban σ cat := − Pt − Avb ⎛ Pt σ cft := ⎜ − ⎝ Avb és az átlag Pt ⋅ ef + σ cp := N σ cat = −18.3 Wa 2 mm Pt ⋅ ef ⎞ ⎠ Wf σ cat + σ cft 2 N σ cft = 4.0 2 mm N σ cp = 7.16 2 mm és akkor a képlet (ismételten) a végeredménnyel: ⎛⎜ ⎛⎜ As1 ⎞ ⎞ ρ l := min⎜ ⎜ b w ⋅ d ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎜⎝ 0.02 ⎠ ⎠ ρ l = 0.020 ⎛ ⎛ 1.6m − d ⎞ ⎞ ⎝ ⎝ 1.0m ⎠ ⎠ k := max⎜ ⎜ VRd1 := ⎡⎢τ Rd ⋅ k ⋅ ⎣ 1 m k = 1.0 m ⋅ 1.2 + 40 ⋅ ρ l +

015 ⋅ σ cp⎤⎥ ⋅ b w ⋅ d ( ) ⎦ VRd1 = 108.2 kN b) A VRd2 számításában az alábbi változásokat kell figyelembe venni: VRd2 := 1 2 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ ( 1 + cotα) fck ⎞ ⎞ ⎛⎛ 0.7 − ⎜ ⎜ ν := max 200 ⎜⎜ ⎝ ⎝ 0.5 ⎠ ⎠ ahol (előkészítve a számítást is)fck := 35 ν = 0.525 felhajlított betétek és kengyelek együttes alkalmazása esetén cotα := 0 A feszítés nélküli tartón tehát VRd2 := VRd2 = 328.2 kN fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 1 2 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ ( 1 + cotα) a nyírási teherbírási "felső" értékét kapjuk. 23 2005.0418 A "megszokott" képlet után, normálerővel is terhelt tartó esetén redukált felső határt számolunk: ⎛ σ cpeff ⎞ ⎝ fcd VRdred( N) := 1.67 ⋅ VRd2 ⋅ ⎜ 1 − ⎠ ahol σ cpeff := σ cp a tengelyirányú erő hatására a betonban keletkező átlagos hatásos feszültség σ cpeff = 7.16 N 2 mm

Vagyis ⎛ σ cpeff ⎞ ⎝ fcd VRdred( N) := 1.67 ⋅ VRd2 ⋅ ⎜ 1 − ⎠ VRdred( N) = 379.9 kN De VRdred(N) nem lehet nagyobb, mint VRd2, vagyis a nyírási teherbírás felső értéke ⎛ ⎛ VRd2 ⎞ ⎞ VRd2min := min⎜ ⎜ ⎝ ⎝ VRdred( N) ⎠ ⎠ VRd2min = 328.2 kN c) A mértékadó nyíróerő (nem részletezve, csak az összehasonlíthatóság kedvéért) VSd := p ⋅ L VSd = 160.1 kN 2 A redukált mértékadó nyíróerő VSdred := VSd − p ⋅ d VSd = 160.1 kN VSdred = 148.9 kN VRd2min = 328.2 kN kisebb, mint tehát nyírásra be lehet (és kell is) vasalni 9. Repesztõnyomaték számítása alsó szálban σ rep := 1.5 N 2 mm σ rep = − fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd Pt Avb − Pt ⋅ ef Wa + M cr Wa 24 2005.0418 Ebből a repesztőnyomaték M cr = 393.0 kN ⋅ m γ := A ridegtörés elkerülését igazolandó M Rd M cr γ = 2.062 A dekompressziós nyomaték (amikor az alsó szélső szálban éppen zérus a feszültség) ⎡

⎛ Pt ⎣ ⎝ Avb M dek := ⎢0 − ⎜ − − Pt ⋅ ef ⎞⎤ Wa ⎥ ⋅ Wa ⎠⎦ M dek = 363.2 kN ⋅ m Vagyis a dekompressziós nyomaték 10. További vizsgálatok (E vizsgálatoktól most eltekintünk) A feszített tartó részletes erőtani vizsgálatához a következő számítások is hozzátartozn 1. Tartóvég vizsgálat 2. Repedéstágasság ellenőrzés 3. Alakváltozás vizsgálat 4. Helyi igénybevételek (pl erőbevezetés helyén) vizsgálata (általában) fesz gerenda 2005 ápr2000.mcd 25 2005.0418