Matematika | Diszkrét Matematika » Salát Máté - A Kneser-Pulsen-sejtés, Schlafli-típusú formulák

http://www.doksihu Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Salát Máté matematikus szak A Kneser–Poulsen-sejtés, Schläfli-típusú formulák Diplomamunka témavezető: Dr. Csikós Balázs egyetemi docens ELTE TTK Geometriai Tanszék Budapest, 2008 http://www.doksihu http://www.doksihu Tartalomjegyzék Bevezetés 5 I. 7 A Kneser–Poulsen-sejtés 1. Történeti áttekintés 9 1.1 A sejtés születése 9 1.2 Az első eredmények 11 1.3 Bollobás és Csikós eredménye 12 1.4 Egy lényegesen új bizonyítás 14 1.5 A sejtés általánosabb terekben 17 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén 19 2.1 Virágok 19 2.11 Hálópolinomok 19 2.12 Boole-polinomok 20 2.13 Virágok

21 2.2 A virágok Dirichlet–Voronoi-felbontása 22 2.21 Beágyazás az euklideszi térbe 22 2.22 Rn+1 cellafelbontása 23 2.23 A Dirichlet–Voronoi-cellák 25 2.3 A virágok térfogatának deriváltja 28 2.31 X(t) linearizálása 29 2.32 A térfogatderiváltra vonatkozó képlet 29 2.4 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula . 33 2.41 Tételek a Dirichlet–Voronoi-cellákról 33 2.42 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula 35 2.43 A Kneser–Poulsen-sejtés a folytonos esetben 37 http://www.doksihu 4 Tartalomjegyzék 3. A Kneser–Poulsen-sejtés a nem folytonos esetben 39 3.1 Ugrás magasabb dimenzióba II. – a bakugráslemma . 39 3.2 A Kneser–Poulsen-sejtés bizonyítása a síkban 40

3.3 Nyitott kérdések 41 . Schläfli-típusú formulák 43 4. Skalár értékű Schläfli-formulák 45 4.1 Bevezetés 45 4.2 Schläfli-formula görbült lapú politópokra 46 4.21 Görbült lapú politópok 46 4.22 Politópok variációi 47 4.23 Az általánosított Schläfli-formula 48 4.3 Az általánosított Schläfli-formula alkalmazásai 48 4.31 A klasszikus Schläfli-formula 49 4.32 A Schlenker–Rivin-formula 49 4.33 Souam formulája 49 4.34 Virágok térfogatának variációjára vonatkozó formula 50 4.35 A virágok súlyozott felszínének monotonitását adó formula 51 5. Vektor értékű Schläfli-formulák 53 5.1 Bevezetés 53 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban

54 5.21 R2 vektor értékű Schläfli-formulája 54 5.22 S2 vektor értékű Schläfli-formulája 57 3 5.23 R vektor értékű Schläfli-formulája 63 5.3 Vektor értékű Schläfli-formula görbe oldalú sokszögekre 66 5.31 Variációs formula sima határú síkidomokra 67 5.32 Variációs formula görbe oldalú sokszögekre 70 Irodalomjegyzék 75 http://www.doksihu Bevezetés Kneser (1955) és Poulsen (1954) egymástól függetlenül egy nagyon természetes geometriai problémát fogalmazott meg. Sejtésük szerint ha az euklideszi térben véges sok gömböt elmozdítunk úgy, hogy minden gömb-pár középpontjának távolsága csökken, akkor az uniójuk (ill. a metszetük) térfogata nőni (ill csökkenni) fog A dolgozat első részében amellett, hogy bemutatom a Kneser-Poulsen problémakör fejlődését, kulcs eredményeit, mai helyzetét, és a még nyitott

problémáit, teljes részletességgel közlöm a témakör egyik legáltalánosabb tételének (2.14 Tétel) bizonyítását a korábban ismert változatnál valamivel általánosabb formában. Az általánosítás lényege abban áll, hogy a virágok képzésénél – amikről a tétel állítása szól – az unió és metszet használata mellett megengedem a halmazkivonás műveletét is. A bizonyítás eredeti változata Csikós Balázs eredménye, és a [8] cikkben jelent meg. A 2 fejezetben tehát az ebben szereplő bizonyítást ismertetem a megfelelő helyeken kiegészítve, módosítva azt a kívánt kiterjesztés érdekében. Az 1 fejezet Csikós Balázs [15] habilitációs értekezésének 2 fejezetén alapszik. A dolgozat második részében a Schläfli-formula általánosításaival foglalkozom. Az alapvető tétel, amiből a témakör kifejlődött, a következőképpen fogalmazható meg. Tekintsük az n-dimenziós κ metszetgörbületű hiperbolikus, euklideszi vagy

szférikus tér egy deformálódó poliéderét. Ekkor a poliéder térfogatának deriváltjára a klasszikus Schläfli-formula a következő kifejezést adja a hiperélek We hosszával és a poliéder αe élszögeivel kifejezve: (n − 1)κV 0 = X We αe0 e∈E Az utóbbi évtizedben nagy lett az érdeklődés a téma iránt. Az iménti formulának számos általánosítása született, melyek mindegyike valamilyen deformálódó alakzat bizonyos változó mennyiségei, illetve azok deriváltjai között teremtenek kapcsolatot. Vannak köztük olyanok is, amik hiperfelületekkel határolt tartományok variációjáról fogalmaznak meg hasonló összefüggéseket. Az egyik legáltalánosabb ilyen tételt bemutatom a 4 fejezetben, számos speciális esetével és következményével együtt, többek http://www.doksihu 6 Bevezetés között alkalmazva az I. részben szereplő virágokra is A későbbiekben napvilágot láttak vektor értékű Schläfli-formulák is. A 2006-os

[13] cikkben a szerzők komoly differenciálgeometriai apparátust bevetve először teljesen sima határú felületekre bizonyítanak vektor értékű képleteket, és utána abból írnak át határátmenettel formulákat poliéderekre. Végül pedig laposodó gömbi tereken át kapnak ezekből euklideszi formulákat. Ez fölveti azt a kérdést, hogy hogyan lehetne határátmenet nélküli közvetlen bizonyítást adni ezekre a tételekre. Továbbá azt is, hogy van-e egy olyan általános, görbült lapú poliéderekre vonatkozó vektor értékű formula, aminek közvetlen speciális eseteként adódnak mind a sima határú tartományokra, mind a poliéderekre vonatkozó már ismert formulák. Ezeket a kérdéseket vizsgáltam, és az időközben kijött eredményeket foglalom össze ebben az 5. fejezetben Az 5.2 szakasz első felében ismertetem a kétdimenziós sík és gömb vektor értékű Schläfli-formuláit és elemi bizonyítást adok rájuk. Ezután az 523 szakaszban egy

szép alkalmazást mutatok az eddig bizonyított két formulára. Ezek fölhasználásával ugyanis megmutatom, hogy a háromdimenziós euklideszi tér közönséges Schläfli-formulája ezen vektor értékű formulák közvetlen következménye. Ez további kutatásra ösztönöz abban az irányban, hogy miként lehetne magasabb dimenzióban is bizonyos vektor értékű formulákból kihozni más skalár értékű formulákat, jó lenne feltárni a vektor és skalár értékű formulák közti belső összefüggéseket. Az 5.3 szakaszban az 51 Tételből kiindulva intuitív módszerekkel megalkotom a benne szereplő formulának egy sima görbékre vonatkozó folytonos változatát (5.4 Tétel), amit utána precízen be is bizonyítok. Ezt a tételt általánosítom görbült oldalú sokszögekre, és így az 5.5 tételben egy új vektor értékű Schläfli-formulát adok Ez a jelen dolgozat legfőbb eredménye. A képlet általánossága abban áll, hogy annak közvetlen

következménye a sokszögekre vonatkozó korábbról ismert formula, és az itt levezetett folytonos görbékre vonatkozó formula is. http://www.doksihu I. rész A Kneser–Poulsen-sejtés http://www.doksihu http://www.doksihu 1. fejezet Történeti áttekintés 1.1 A sejtés születése Ha (M, d) egy rögzített metrikus tér, x ∈ M és r ∈ R+ = {r ∈ R | r ≥ 0}, akkor jelölje B(x, r) az x középpontú r sugarú zárt gömböt. Ha adott az M tér k pontja, x = (x1 , . , xk ) ∈ M k , és k darab nemnegatív valós szám, r = (r1 , , rk ) ∈ Rk+ , akkor legyen B(x, r) = k [ B(xi , ri ). i=1 Ha az x = (x1 , . , xk ) ∈ M k és y = (y1 , , yk ) ∈ M k pontrendszerekre fennállnak a d(xi , xj ) ≥ d(yi , yj ), 1 ≤ i < j ≤ k egyenlőtlenségek, akkor azt mondjuk, hogy az y pontrendszer az x pontrendszer összehúzottja és ezt x  y, vagy y ≺ x-szel jelöljük. Ha M az n-dimenziós hiperbolikus, euklideszi vagy gömbi tér, A ⊂ M egy

tetszőleges n-dimenziós térfogattal rendelkező halmaz, akkor az A n-dimenziós térfogatát a tér típusától függetlenül voln (A)-val fogjuk jelölni. Legyen En az n-dimenziós euklideszi tér, d a távolságfüggvény, λn a Lebesguemérték En -en. 1954-ben E. Thue Poulsen a Mathematica Scandinavica folyóirat Problem Section rovatában a következő kérdést vetette fel, minden kommentár nélkül [1]: 1.1 Kérdés Legyen az y ∈ (En )k középpontrendszer az x ∈ (En )k középpontrendszer összehúzottja, r > 0, r = (r, . , r) ∈ Rk+ Következik-e ebből, hogy λn (B(x, r)) ≥ λn (B(y, r))? Egy évvel később jelent meg Martin Kneser [2] munkája a Minkowski-térfogatról, http://www.doksihu 10 1. Történeti áttekintés melyben a Poulsen által megfogalmazott probléma természetes módon vetődik fel a Minkowski-térfogat tulajdonságainak vizsgálata kapcsán. A XX. század első felében, többek között Carathéodory munkássága nyomán, számos

geometriai mértéket konstruáltak, melyek segítségével az euklideszi tér részhalmazainak, illetve metrikus tereknek tág osztályaira ki lehetett terjeszteni az ívhossz, felszín és általában az s-dimenziós térfogat fogalmát. 1932-ben A Kolmogorov bevezetett egy axiomatikus definíciót a mértékfüggvény fogalmára azzal a céllal, hogy egy rendező elvet adjon a különféle mértékfogalmak egységes kezelésére. Az n-dimenzós euklideszi tér Suslin-féle részhalmazain értelmezett és a [0, ∞] intervallumba képező µ halmazfüggvényt pontosan akkor nevezett mértékfüggvénynek, ha eleget tett az alábbi négy axiómának: (I) Ha megszámlálható sok En halmaz lefedi az E halmazt, akkor µ(E) ≤ X µ(En ). (II) Ha a megszámlálhatóan sok En halmaz páronként diszjunkt és része az E halmaznak, akkor X µ(En ) ≤ µ(E). (III) Ha az E 0 halmaz az E halmaz képe egy távolságot nem növelő leképezésnél, akkor µ(E 0 ) ≤ µ(E). (VI) Az

n-dimenzós J egységkockára µ(J) = 1. Kolmogorov cikkének fő tétele azt mondja ki, hogy minden s ≤ n természetes számra az s-dimenziós mértékfüggvények közt, van egy legkisebb és egy legnagyobb. Belátta továbbá azt is, hogy a külső Lebesgue-mérték kielégíti a (III) axiómát, így a Lebesguemérték valóban mértékfüggvény. A mérték ma használt definíciójában már nem szerepel a (III) axióma, nincs is értelme olyan esetekben, amikor a mértéktéren nincs adva metrika. Kolmogorov dolgozata saját korában az alapkövetelmény szintjére emelte azt az elvárást az euklideszi tér részhalmazain definiált geometriai mértékekkel szemben, hogy egy halmaz összehúzottjának mértéke ne legyen nagyobb a halmaz mértékénél. http://www.doksihu 11 1.2 Az első eredmények Kolmogorov cikkének fényében nem meglepő, hogy Martin Kneser a Minkowskitérfogat alaptulajdonságait vizsgálva külön figyelmet fordított arra a kérdésre, hogy az

kielégíti-e a (III) axiómát a Minkowski-térfogat. Legyen s ≥ 0 esetén π s/2 ωs = . Γ(1 + s/2) Ha s egész, akkor ωs az s-dimenziós egységgömb térfogata. Ha A az n-dimenziós euklideszi tér egy korlátos részhalmaza, akkor jelöljük B̆(A, )-nal az A -sugarú nyílt környezetét, azaz az A halmaztól -nál kisebb távolságra fekvő pontok halmazát. Ekkor az A halmaz alsó, illetve felső s-dimenziós Minkowski-térfogatát a µsn (A) = lim inf +0 λn (B̆(A, )) ωn−s n−s illetve µsn (A) = lim sup +0 λn (B̆(A, )) ωn−s n−s határértékként definiáljuk. Nyilvánvalóan ahhoz, hogy a tetszőleges dimenziós alsó és felső Minkowskitérfogatok egy halmaz összehúzottjához legfeljebb akkora értéket rendeljenek, mint a halmazhoz, elegendő azt belátni, hogy bármely pozitív -ra egy halmaz nyílt -sugarú környezetének Lebesgue-mértéke legalább akkora, mint bármely összehúzottja -sugarú nyílt környezetének

Lebesgue-mértéke. Mivel pedig tetszőleges A halmaz esetén λn (B̆(A, )) = sup λn (B̆(A0 , )), A0 ⊂A A0 véges ez utóbbi állítás minden korlátos halmazra igaz, ha a véges halmazokra igaz. Egy véges halmaz -sugarú környezete a pontjai köré írt -sugarú gömbök uniója, ezért a Minkowski-térfogatok összehúzásokkal szembeni monoton viselkedése következne abból, ha a Poulsen által felvetett kérdésre igen lenne a válasz. Kneser sejtésként azt fogalmazza meg, hogy a válasz igen lesz. A sejtést teljes egészében csak az euklideszi síkon sikerült bizonyítani, a magasabb dimenziókban a kérdés még mindig nyitott. 1.2 Az első eredmények Már a probléma születésekor ismert volt néhány speciális eset, amikor a sejtés igaz. H. Hadwiger az Elemente der Mathematik folyóirat Ungelöste Probleme rovatában ismertette a Kneser–Poulsen-sejtést, annak mértékelméleti hátterét és az alábbi speciális http://www.doksihu 12 1.

Történeti áttekintés eseteket, melyekben be tudták bizonyítani a sejtést: (i) n = 1. Az egyenesen a Kneser–Poulsen-sejtés egy egyszerű teljes indukcióval bizonyítható. (ii) Ha a gömbök k száma legfeljebb n + 1. (iii) Ha az x1 , . , xk középpontrendszer hasonló az y1 , , yk középpontrendszerhez Ezt az esetet G. Bouligand bizonyította 1928-ban (iv) Mind Kneser, mind Hadwiger megemlíti, hogy W. Habicht bebizonyította a sejtésnek azon speciális esetét, amikor n = 2 és az x1 , , xk középpontrendszer folytonosan átmozgatható az y1 , . , yk középpontrendszerbe úgy, hogy a mozgás során a pontok közti távolságok mindvégig csökkennek. Habicht nem publikálta bizonyítását. Érdemes bevezetni egy elnevezést a (iv) esetben megfogalmazott feltételre. Ha (M, d) egy metrikus tér, azt mondjuk, hogy az y ∈ M k pontrendszer az x ∈ M k pontrendszer folytonos összehúzottja (M -ben), ha létezik olyan F : [0, 1] M k folytonos leképezés,

melyre • F(0) = x, és F(1) = y0 , ahol y0 egybevágó y-nal, és • 0 ≤ t1 < t2 ≤ 1 esetén F(t1 )  F(t2 ). A relációra az x 3 y, vagy y 2 x jelölést fogjuk használni. Az F leképezést a két konfigurációt összekötő összehúzó homotópiának fogjuk nevezni. Általában x  y-ból nem következik x 3 y. Viszont abban a speciális esetben igen, mikor a pontok k száma legfeljebb n + 1. Emiatt a (ii) esetben szereplő feltétel erősebb, mint a (iv)-beli, csak az (iv)-gyel ellentétben nem szorítkozik a síkra. 1.3 Bollobás és Csikós eredménye A (iv) Habicht-féle síkbeli esetre először Bollobás Béla adott 1968-ban megoldást ([3]). Bizonyítása azon az észrevételen alapult, hogy ha rögzített középpontrendszer mellett A(r), illetve K(r) jelöli a pontok köré írt r sugarú körök uniójának területét, illetve kerületét, akkor K = A0 , vagy másképpen A(r) = Rr 0 K(t) dt. Emiatt elegendő azt belátni, hogy ha a középpontrendszert

folytonos mozgatással húzzuk össze, akkor a pontok köré írt r sugarú körök uniójának kerülete csökken. Ez viszont azért igaz, mert a http://www.doksihu 1.3 Bollobás és Csikós eredménye 13 K(r)/r hányados kifejezhető a körök uniójának, mint körívekkel határolt görbevonalú sokszögnek a belső szögeivel és Euler-karakterisztikájával. Csikós Balázs a Kneser–Poulsen-problémával kapcsolatos első eredményeit 1983ban, egyetemista korában érte el és a XVI. országos TDK Konferencián adta elő, melyek később megjelentek az [5] cikkben. A TDK dolgozat fő eredménye, hogy a Kneser–Poulsen-sejtés Habicht és Bollobás által igazolt speciális esetét sikerült belátni arra az esetre is, amikor a mozgó körök nem feltétlenül kongruensek. A bizonyítás lényegében a Bollobás-féle gondolatmenet egy alkalmas kiterjesztése nem kongruens körök esetére, kiegészítve egy analitikus ötlettel, melyre a kongruens körök esetén nincs

szükség. 1.2 Tétel (Csikós Balázs, [4], [5]) Legyen z : [0, 1] (E2 )k egy tetszőleges összehúzó homotópia. x ∈ (E2 )k és r ∈ Rk+ esetén jelölje A(x, r) a B(x, r) unió területét, Ki (x, r) az i-edik kör kerületének a B(x, r) unió peremére eső részének hosszát, ha a B(xi , ri ) körlap nem esik egybe egyik kisebb indexű körlappal sem, egyébként Ki (x, r) legyen 0 (l. 11 Ábra) Ekkor (i) (ii) ∂A (x, r) = Ki (x, r), ha a B(xi , ri ) kör különbözik a többitől; ∂ri Pk i=1 Ki (x,r) ri = 2πχ + s (αs − π), P ahol αs a B(x, r) unió, mint körívekkel határolt sokszög belső szögein fut végig, χ a tartomány Euler-karakterisztikája; (iii) A Pk i=1 Ki (z(t),r) ri és A(z(t), r) függvények monoton csökkennek. 1.1 Ábra http://www.doksihu 14 1. Történeti áttekintés Bizonyítás. Az (i) azonnal következik abból, hogy a dx ∧ dy területi forma polárkoordinátákkal felírva r dr ∧ dφ-vel egyenlő A (ii) formula

a Gauss–Bonnet-formula egy egyszerű szögszámolással is ellenőrizhető speciális esete. Azt kell csak észrevenni, hogy a P i Ki /ri „súlyozott kerület” a körunió határát alkotó ívek középponti szögeinek összege. A (iii) első fele következik az (ii) formulából, ugyanis az αs szögek csökkennek, amikor a középponttávolságok csökkennek. Arra vonatkozóan, hogy mennyi az unió Euler-karakterisztikája, és hogy a körpárok metszéspontjainál kialakuló potenciális belső szögek közül melyek lesznek ténylegesen az unió belső szögei, adott k esetén csak véges sok lehetőségünk van, így a folytonos összehúzást paraméterező intervallum felbomlik véges sok zárt részre, melyek mindegyikén a P i Ki /ri funkcionál monoton csökken. Ebből viszont következik, hogy monoton csökken az egész intervallumon is Az (iii) pont második felét a körök k száma szerinti indukcióval bizonyítjuk. A k = 1 eset triviális. Ha k − 1

körre az állítás igaz, de k körre van ellenpélda, mondjuk x 3 y, de A(x, r) < A(y, r) valamely r ∈ Rk+ -ra, akkor van olyan  > 1, melyre még A(x, r) < A(y, r) is fennáll. Ekkor az Rk+ tér-2n -eden definiált f (r) = A(x, r) − A(y, r) függvény felvesz negatív értékeket, ugyanakkor az indukciós feltevés szerint Rk+ peremén f nemnegatív. f pozitív, ha a legnagyobb kör sugara elég nagy, mert ha a legnagyobb sugár tart végtelenbe, akkor a körunió területe aszimptotikusan a legnagyobb kör területével egyezik meg. Mindebből az következik, hogy az f függvény felveszi minimumát az Rk+ tartomány egy r0 belső pontjában. Az extremális konfigurációban az indukciós feltevés miatt nem lehetnek egybeeső körök sem az eredeti, sem az összehúzott körrendszerben, és f parciális deriváltjainak el kell tűnni, így az (i) pont felhasználásával Ki (x, r0 ) = Ki (y, r0 ). Ez azt jelentené, hogy a B(y, r0 ) körunió súlyozott kerülete

nagyobb, mint a B(x, r0 ) körunióé, ami ellentmondana a korábbiaknak. 1.4 Egy lényegesen új bizonyítás A következő előrelépés 1998-ban történt. Ekkor M Bern és D Eppstein publikált egy lényegesen új bizonyítást a nem feltétlenül kongruens körök folytonos összehúzásának esetére, tehát az [5] cikk már ismertetett eredményére. A bizonyításban szerepel néhány egyszerű képlet, például az, hogy két mozgó kör uniója területének deriváltja a két kör közös húrjának hossza szorozva a középpontok távolságának deriváltjával. Hasonló képletet bizonyítottak, amikor három, közös ponttal rendelkező kör úgy mozog, http://www.doksihu 1.4 Egy lényegesen új bizonyítás 15 hogy a három középponttávolság közül csak egy változik. Ekkor az unió területének a deriváltja a változó középponttávolság deriváltja szorozva annak a szakasznak a hosszával, mely a három kör hatványpontját az egymáshoz képest mozgó

két körnek az unió határára eső metszéspontjával köti össze. Kiderült, hogy ezek a képletek egy általános formula speciális esetei, melyek tetszőleges dimenzióban kifejezik véges sok mozgó gömb uniója térfogatának deriváltját a középponttávolságok deriváltjaival. A tétel kimondásához vezessünk be néhány újabb jelölést. Legyen x : [0, 1] (En )k egy differenciálható leképezés, r ∈ Rk+ rögzített Legyen V (t) := λn (B(x(t), r)) és dij (t) := d(xi (t), xj (t)) Ha a t időpillanatban a középpontok közt nincs két egybeeső, akkor legyen Wij (t) a B(x(t), r) unió Dirichlet–Voronoi-, röviden DV-felbontásában az i-edik és a j-edik gömb DV-celláját elválasztó fal. Wij (t) a B(xi (t), ri ) és B(xj (t), rj ) gömbök hatványhipersíkjának egy korlátos tartománya, tehát egy (n − 1)-dimenziós tartomány, mely akár üres is lehet. 1.2 Ábra A B(x, r) unió DV-felbontása 1.3 Tétel (Csikós Balázs, [6]) Ha n ≥ 2 és a t

∈ (0, 1) pillanatban nincs két egybeeső gömbközéppont, akkor a V függvény differenciálható t-ben és ottani deriváltja V 0 (t) = X voln−1 (Wij (t))d0ij (t). (1.1) 1≤i<j≤k A következő fejezetben teljes részletességgel belátjuk ennek a formulának egy nagyfokú általánosítását (2.14 Tétel) Az általánosítás két szempont szerint történik Egyrészt a befoglaló teret választhatjuk bármilyen egyszeresen összefüggő térformának, másrészt pedig a gömbök uniójáról kiterjesztjük az állítást unió, metszet és különbség felhasználásával épített tetszőleges halmazokra. http://www.doksihu 16 1. Történeti áttekintés Ezért ennek a speciális esetnek csak vázoljuk a bizonyítását, előkészítve ezzel az általános bizonyítás részleteinek alaposabb megértését. Bizonyításvázlat. Ha feltesszük, hogy a tekintett t időpillanatban az i-edik gömb határának az unió határára eső felületdarabja Fi , az i-edik

gömb külső felületi normális egységvektormezője Ni , σi a felszínmérték az Fi -n és az i-edik gömb középpontjának sebessége vi , akkor első lépésként belátjuk a V 0 (t) = k Z X i=1 Fi hNi , vi i dσi egyenlőséget. Ehhez az általános Stokes-tétel speciális esetét, a divergenciatételt alkalmazzuk a mozgó gömbök által végigsöpört „életcsövek” uniójára az En × R téridőben, és a 0 divergenciájú (0, 1) konstans időirányú egységvektormezőre. A szummában szereplő integrálok kiszámításához azt vesszük észre, hogy az Fi gömbfelületdarab az i-edik gömb Ci DV-cellájának egyik sima határdarabja. A Ci cella többi határdarabját a Wij (j 6= i) falak közül a nem üresek alkotják. Legyen nij a Ci cella külső normális egységvektormezője a Wij fal mentén. A konstans vi vektormező divergenciája 0, így felírva rá a divergenciatételt a Ci tartományon az Z Fi hNi , vi i = − k Z X j=1 Wij j6=i hnij , vi i = − k

X hnij , vi ivoln−1 (Wij ) j=1 j6=i egyenlőséget kapjuk. Ha észrevesszük, hogy nij = −nji az i-edik és j-edik középpontokat összekötő egyenesekkel párhuzamos egységvektorok és d0ij (t) = hnij , vj − vi i, akkor láthatjuk, hogy V 0 (t) = X hnij , vj − vi ivoln−1 (Wij ) = 1≤i<j≤k X voln−1 (Wij (t))d0ij (t), 1≤i<j≤k amint azt bizonyítani akartuk. A tételből könnyen adódik, hogy egy differenciálható összehúzó homotópia során a folytonos V függvény véges sok pont kivételével mindenütt deriválható és deriváltja nempozitív, tehát V csökkenő függvény. Valamennyi többletmunkával a sima összehúzásokról át lehet térni a folytonosakra 1.4 Tétel (Csikós Balázs, [6]) Ha F : [0, 1] (En )k egy összehúzó homotópia, r ∈ Rk+ , akkor a t 7 λn (B(F(t), r)) függvény (gyenge értelemben) monoton csökkenő. http://www.doksihu 1.5 A sejtés általánosabb terekben 17 1.5 A sejtés általánosabb terekben

Természetes módon vetődik fel, a Kneser–Poulsen-sejtés kiterjesztésének gondolata a hiperbolikus és a szférikus térre. A szférikus térben a gömbök komplementerei szintén gömbök, és az unió komplemetere a komplementerek metszete, így a gömbön a sejtés egyenértékű azzal az állítással, hogy véges sok gömb metszetének a térfogata nem csökkenhet, ha a gömböket úgy rendezzük át, hogy a középpontjaik közelebb kerüljenek egymáshoz. Észrevehetjük továbbá azt is, hogy két gömb különbsége nem más, mint az elsőnek, és a második komplementerének a metszete, aminek területe mint tudjuk, csak növekedni tud a metszetben szereplő körök középpontjainak összehúzása esetén, ami viszont az eredeti körök középpontjainak távolodásával egyenértékű. Ezek az észrevételek felvetik azt a kérdést, hogy tudunk-e más térformákban is mondani valamit olyan halmazok térfogatának a monotonitásáról, melyek véges sok gömbből az

unió, a metszet és a különbség műveletek vegyes alkalmazásával állíthatók elő, ha megfelelően szabályozzuk, hogy egy átrendezés során a középponttávolságok közül melyek nőjenek és melyek csökkenjenek. Ezt az általánosabb kérdést vizsgálta Y. Gordon és M Meyer, akik virágoknak nevezték el a gömbökből az unió és metszet segítségével kapható halmazokat. A következő fejezetben látni fogjuk, hogy tetszőleges térforma esetén bármilyen virágra kiterjeszthető a sejtés állítása, amire ebben az általános környezetben teljes bizonyítást adunk. http://www.doksihu http://www.doksihu 2. fejezet A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén 2.1 Virágok A szférikus térben a gömbök komplementerei szintén gömbök, és az unió komplemetere a komplementerek metszete, így a gömbön a sejtés egyenértékű azzal az állítással, hogy véges sok gömb metszetének a térfogata nem csökkenhet, ha a gömböket úgy rendezzük

át, hogy a középpontjaik közelebb kerüljenek egymáshoz. Ez az egyszerű észrevétel felveti azt a kérdést, hogy tudunk-e más térformákban is mondani valamit olyan halmazok térfogatának a monotonitásáról, melyek véges sok gömbből az unió és a metszet műveletek vegyes alkalmazásával állíthatók elő, ha megfelelően szabályozzuk, hogy egy átrendezés során a középponttávolságok közül melyek nőjenek és melyek csökkenjenek. Gordon és Meyer tétele természetes módon veti fel azt a kérdést, hogy ki lehet-e terjeszteni az (1.1) formulát és annak következményeit az euklideszi, gömbi és hiperbolikus tér virágaira Mint kiderült, a válasz igen Az általánosításban az igazi nehézséget az jelentette, hogy meg kellett találni a megfelelő definíciót egy virághoz tartozó DVcellarendszerre. 2.11 Hálópolinomok Legyen h(x1 , . , xk ) egy k-változós hálópolinom, vagyis egy olyan formális algebrai kifejezés amely x1 , . , xk

változókból és az ∪ és ∩ műveletekből épül fel, a kiértékelési sorrendnek megfelelően kirakott zárójelek felhasználásával. Két hálópolinomot azo- http://www.doksihu 20 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén nosnak tekintünk, ha megkaphatók egymásból az ∪ és ∩ kommutatív és asszociatív tulajdonsága segítségével. (Más hálóelméleti azonosságokat viszont nem használunk az azonosításhoz.) h struktúrája kódolható egy Th gyökeres fagráfban, amit h hossza szerinti rekurzióval definiálunk a következők szerint. Ha h egyetlen változó, akkor Th álljon egyetlen csúcsból, amelyet megcímkézzünk meg az illető változóval. Különben írjuk fel h-t tovább már nem bővíthető h1 ∪ · · · ∪ hj unió- vagy h1 ∩ · · · ∩ hj metszetalakban Hogy megkapjuk Th -t vegyük a diszjunkt unióját a Thi gráfoknak, és egy új csúcsot, amit címkézzük meg ∪-val vagy ∩-tel h iménti felírásának

megfelelően. Az új csúcsot nevezzük ki a Th fa gyökerének, és kössük össze új élekkel az Thi fák gyökereivel Th legfeljebb elsőfokú csúcsai a változókkal vannak címkézve, míg minden más csúcs az ∪ vagy ∩ valamelyikével aszerint, hogy páros vagy páratlan távolságra fekszik a fa gyökerétől. Világos, hogy ha ismerjük a Th gráfot, valamint a gyökérpontja és az elsőfokú csúcsainak címkéit, akkor abból rekonstruálni tudjuk h-t. Tegyük föl, hogy h(x1 , . , xk ) egy hálópolinom, melynek minden változója pontosan egyszer szerepel h-ban Ez azt jelenti, hogy minden 1 ≤ i ≤ k esetén, pontosan egy xi -vel címkézett csúcsa van Th -nak. Minden i 6= j esetén tekintsük xi és xj útját a Th gyökeréhez. Ha ezek az utak legelőször egy q címkéjű csúcsban találkoznak, akkor legyen    1 ha q = ∪ hij =  −1 ha q = ∩ Világos, hogy hij = hji . 2.12 Boole-polinomok Legyen f (x1 , . , xk ) egy k-változós

Boole-polinom, vagyis egy olyan formális algebrai kifejezés amely x1 , , xk változókból és az ∪, ∩ és műveletekből épül fel, a kiértékelési sorrendnek megfelelően kirakott zárójelek felhasználásával. Minden ilyen polinom fölírható használata nélkül, megengedve helyette a komplementerképzés műveletét. Valóban, a különbségjelet egyenként komplementerre cserélhetünk az A B = A ∩ B összefüggés felhasználásával. Ezután tovább alakíthatjuk a polinomot az A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B és A = A összefüggésekkel mindaddig, amíg komplementerképzés csakis változókra van alkalmazva. Így minden Boole-polinom a változóinak, illetve azok komplementereinek hálópolinomjaként állt elő A továbbiakban a http://www.doksihu 21 2.1 Virágok Boole-polinomokra mindig ilyen alakban tekintsünk. Vegyük észre, hogy az átalakítás során a polinomban a változók előfordulásainak száma, sőt még a sorrendjük sem

változik meg, csupán a műveleti jelek átrendeződése történik. Két Boole-polinomot tekintsünk azonosnak, ha az ezen előállításukban szereplő hálópolinomok egyenlők. Rögzítsünk egy olyan f Boole-polinomot, amiben minden változó pontosan egyszer szerepel. Mint láttuk, f -et az f f f (x1 , . , xk ) = h(x11 , , xkk ) alakra hozhatjuk, ahol fi ∈ {1, −1} csupán f -től és i-től függő konstans minden i-re, és xν =   x ha ν = 1  x ha ν = −1. Az fi -et nevezzük az xi változó előjelének a Boole-polinomban. Világos, hogy az x változó aszerint pozitív ill. negatív előjelű, hogy a Boole-polinom eredeti fölírásában páros vagy páratlan különbségnek szerepel x a második argumentumában. Vezessük be továbbá az fij = fi fj hij jelölést. Világos, hogy fij = fji , és hogy  iménti definíciója az hij 211 szakaszbeli definíciójának kiterjesztése Boole-polinomokra. 2.13 Virágok Jelölje M a

hiperbolikus, euklideszi, vagy a szférikus teret, vagyis az egyszeresen összefüggő állandó metszetgörbületű teljes Riemann sokaságok valamelyikét. Ezen sokaságok közül azok, melyeknek a metszetgörbülete azonos előjelű, hasonlók egymáshoz, így az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy az M κ metszetgörbülete a három esetben rendre −1, 0, illetve 1. Jelölje R+ a pozitív valós számok halmazát amikor κ ≤ 0, illetve a nyílt (0, π) intervallumot amikor κ = 1. Egy x ∈ M pont és r ∈ R+ pozitív szám esetén jelölje B(x, r) a zárt x középpontú r sugarú gömböt, és S(x, r) a határoló gömbfelületet. 2.1 Definíció Az M -beli f (B1 , , Bk ) alakú halmazokat virágnak nevezzük, ahol f egy Boole-polinom, a Bi halmazok pedig M -beli gömbök. Legyen x = (x1 , . , xk ) ∈ M k egy k elemű pontrendszer M -ben, és r = http://www.doksihu 22 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén (r1 , . , rk )

∈ Rk+ Jelölje Bf (X, r) a Bf (x, r) = f (B(x1 , r1 ), . , B(xk , rk )) virágot, Sf (x, r) ennek a ∂Bf (x, r) határát, valamint Vf (x, r) a térfogatát. 2.1 Ábra Egy gyökeres fa és egy értékeként megkapható virág 2.2 A virágok Dirichlet–Voronoi-felbontása A 2.3 képletben szereplő integrálokat ki lehet számolni úgy, hogy alkalmazzuk a divergencia tételt a Bf (X, r) Dirichlet–Voronoi-felbontásának celláira, melyek definícióját most ismertetjük. 2.21 Beágyazás az euklideszi térbe Ahhoz, hogy egységesen tudjuk kezelni a hiperbolikus, euklideszi és szférikus tereket, M -et egy Rn+1 -ben fekvő másodrendű felületen modellezzük. Legyen h , i a szokásos skaláris szorzás Rn -en, és vezessük be az Rn+1 = Rn × R vektortéren az {(y1 , t1 ), (y2 , t2 )} = hy1 , y2 i + κt1 t2 szimmetrikus bilineáris függvényt, ahol κ ∈ {−1, 0, 1} az M tér metszetgörbülete. Definiáljuk az Mκ hiperfelületet κ szerinti esetszétválasztással.

(i) Ha κ = 1, akkor legyen Mκ = {x ∈ Rn+1 | {x, x} = 1}, az Rn+1 tér |x|2 = 1 egyenletű egységgömbje. http://www.doksihu 2.2 A virágok Dirichlet–Voronoi-felbontása 23 (ii) Ha κ = 0, akkor legyen Mκ = {x = (y, t) ∈ Rn+1 | hy, yi = t}, az Rn+1 tér |y|2 = t egyenletű paraboloidja. (iii) Ha κ = −1, akkor legyen Mκ = {x = (y, t) ∈ Rn+1 | {x, x} = −1, t > 0} az Rn+1 tér |y|2 − t2 = −1 egyenletű kétköpenyű hiperboloidjának felső köpenye. Be lehet látni, hogy a { , } bilineáris függvény megszorítása az M bármely pontjában vett érintőtérre pozitív definit, így ezek a megszorítások M -t egy Riemann-metrikával látják el. Az M1 , M0 , illetve M−1 Riemann-sokaságok rendre az n-dimenziós szférikus, euklideszi, illetve hiperbolikus terek modelljei. M1 a gömb standard modellje, M−1 a hiperbolikus tér hiperboloid modellje. M0 és az euklideszi tér standard modellje között az (y, t) 7 y ∈ Rn projekció ad egy izomorfizmust.

A továbbiakban M legyen ezen f az M konvex burkát Rn+1 -ben. modellek közül az egyik, és jelölje M 2.2 Ábra A lapos DV-cellák konstrukciója (a jobboldali ábrán a (B1 ∪ B2 ) ∩ B3 virág lapos DV-cellái láthatók). 2.22 Rn+1 cellafelbontása Az x ∈ M középpontú B(x, r) ⊂ M gömböket úgy kapjuk meg M -ben, hogy az M f c hiperfelületet elmetsszük egy olyan x-et tartalmazó H(x, r) féltérrel, melynek H(x, r) határoló hipersíkja párhuzamos az M x-beli Tx M érintőterével. http://www.doksihu 24 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén c Mivel H(x, r) párhuzamos a Tx M érintőtérrel, a { , } bilineáris forma megszorítása c egy euklideszi struktúrát ad meg rajta. A B(x, r) határgömbje, S(x, r) = H(x, r) ∩ M , c c f euklideszi a H(x, r) euklideszi térben is egy gömbfelület. Az általa határolt H(x, r)∩ M b gömböt jelöljük B(x, r)-rel. b f ∩ H(x, f B(x, r) és B(x, r) együtt Rn+1 -nek a fél lencse alakú M r)

tartományát e határolja, amit jelöljünk B(x, r)-rel. 2.2 Definíció Ha 2 ≤ s ≤ n + 1, akkor azt fogjuk mondani, hogy a B(xi , ri ), c , r ) (1 ≤ i ≤ k) hipersíkok közül 1 ≤ i ≤ k gömbök s-transzverzálisak, ha a H(x i i bármely l ≤ s metszete vagy üres, vagy (n + 1 − l)-dimenziós. Tekintsünk most egy Bf = Bf (x, r) = f (B(x1 , r1 ), . , B(xk , rk )) virágot, amely az M tér k darab 2-transzverzális gömbből épül fel. Vegyük észre, hogy a 2-transzverzalitási feltétel egyenértékű a 2.10 Tétel feltételével, mely azt követeli meg, hogy a gömbök közül bármely kettőnek a határgömbje különböző legyen. (Tehát a szférikus térben a komplementáris gömböket sem engedjük meg.) Erre a feltételre szükségünk van, hogy a virág DV-felbontásának fogalmát megfelelő módon tudjuk értelmezni. c = H(x c , r ) hipersíkok Rn+1 -et (nem feltétlenül kompakt) konvex poliéderekre AH i i i darabolják. Ennek a felbontásnak a

celláit és azok lapjait Hσ = k Hiσi (2.1) i=1 alakú metszetként kaphatjuk meg, ahol σ = (σ1 , . , σk ), f, Hi1 = H i c, Hi0 = H i σi ∈ {−1, 0, 1}, f)∪H c. Hi−1 = (Rn+1 H i i f az f (H f ,.,H f ) poliédert, és H azon cellák halmazát, amelyek H f Jelölje H f 1 k f f lezártjában fekszenek: f )} Hf = {H σ | σ ∈ {−1, 0, 1}k , H σ ⊂ cl(H f f -et lefedik a H -beli cellák. Egy H σ cella akkor és csak akkor van benne a H f halmaz H f f f http://www.doksihu 25 2.2 A virágok Dirichlet–Voronoi-felbontása f határában, ha relatív belsejében van olyan pont, mely a ∂ H f határhoz tartozik. ∂H f f f egy n-dimenziós cella. Ekkor 2.3 Tétel Tegyük föl, hogy H σ ⊂ ∂ H f c hipersíkok közül pontosan egyben van benne, (i) H σ a H i c és p a H σ egy relatív belső pontja, akkor p-nek van olyan U (ii) Ha H σ ⊂ H i f =U ∩H f. környzete, melyre U ∩ H f i c hipersíkok páronként különbözők, bármely Bizonyítás. (i)

Mivel föltettük, hogy a H i kettejük metszete vagy üres, vagy (n − 1)-dimenziós. Ily módon egy n-dimenziós cellát c -k közül legfeljebb egy tartalmazhat. Másfelől, ha a H σ cella a H c hipersíkok a H i i egyikében sem lenne benne, akkor A (2.1) előállításban szükségképpen σi 6= 0 minden i-re, ami azt jelenti, hogy H σ egyenlő k különböző féltér metszetével, ami viszont egy n-dimenziós halmaz. c a H σ cella relatív belsejébe esik, akkor létezik p-nek olyan U kör(ii) Ha p ∈ H i f c (j 6= i) hipesíktól. Ekkor U ∩ H fj vagy üres, nyezete, amely diszjunkt az összes H j j f f i halmazcsalád zárt a ∩ és ∪ műveletekre, vagy egyenlő U -val. Mivel a ∅, U, U ∩ H i f f f = h(U ∩ H f 1,.,U ∩ H f k ) megegyezik ezen halmazok valamelyikével. Mivel U ∩H f 1 k f a H f halmaz határpontja, U ∩ H f sem üres, sem U nem lehet, így az p ∈ U ∩H f f f f f i halmazzal kell egyenlő legyen. U ∩H i 2.23 A

Dirichlet–Voronoi-cellák f -ben fekvő n-dimenziós H σ cellák C b egyesítését a 2.4 Definíció A Hi ∩ ∂ H f i Bf virág i-edik teljes lapos Dirichlet–Voronoi-cellájának hívjuk. A teljes lapos Dirichlet–Voronoi-cellák családját a virág Dirichlet–Voronoi-felbontásának nevezzük. f metszetre úgy fogunk hivatkozni, minta a virág i-edik megszorított A Ci = Cbi ∩ M lapos Dirichlet–Voronoi-cellára. Az elnevezést a alábbi észrevétel indokolja. Tegyük föl, hogy M az euklideszi tér (κ = 0), és f (x1 , . , xk ) = x1 ∪ · · · ∪ xk Ha p : Rn+1 M jelöli az utolsó koordinátatengellyel párhuzamos vetítést M -re, akkor a p(Cbi ) vetületek a tér, a p(Ci ) cellák pedig a gömbök uniójának szokásos Dirichlet–Voronoi-felbontását adják. Megjegyezzük, hogy eltérően a szokásos DV-felbontás celláitól, a lapos DV-cellák rendszere maga nem a virág egy feldarabolása, hiszen a lapos DV-cellák még csak nem is az M térben

vannak. A lapos DV-cellákból egyszerűen származtathatjuk a Bf virág egy hagyományos értelemben vett DV-felbontását, ha a cellákat rávetítjük M -re  = http://www.doksihu 26 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén ±1 esetén az origóból,  = 0 esetén az (n+1)-edik koordinátatengellyel párhuzamosan. A gömbön ez a kivetítés csak akkor működik megfelelően, ha a Bb i lapos gömb vetülete minden i-re a Bi gömb, amihez pontosan az kell, hogy a Bi gömbök sugarai kisebbek legyenek egy negyedfőkörnél. Érdemes azt is megjegyezni, hogy már egészen egyszerű virágoknál is előfordulhat, hogy a DV-cellák nem összefüggőek. Például a 22 ábrán a C3 cella két komponensből áll. Ez azt mutatja, hogy az általános esetben ezeket a cellákat nem lehet egy lineáris egyenlőtlenségrendszerrel definiálni úgy, mint az unió vagy metszet DV-cellái esetén. f halmaz ∂ H f határát modulo Világos, hogy a Cbi poliéderek (1 ≤ i ≤ k)

lefedik a H f f a Hf család (n − 1)-váza. c poliédert, amit az i-edik és j-edik teljes lapos DirichDefiniálunk egy W ij let–Voronoi-cella közti falnak fogunk nevezni. A 3-transzverzális konfigurációkra Wij c -t a szinguláris kontermészetes módon definiálható. Szinguláris konfigurációkra W ij figurációhoz tartó reguláris konfigurációk megfelelő falainak határértékeként fogjuk c általában függeni fog a közelítő sorozat választásától, ennek mégdefiniálni. Bár W ij sem lesz jelentősége a bizonyítás szempontjából. A formulák, melyekben ezek a falak szerepelni fognak, a reguláris sorozat bármely választása esetén igazak lesznek. Tekintsük először a 3-transzverzális konfigurációt. 2.5 Tétel Tegyük föl, hogy a B(xi , ri ) gömbök 3-transzverzálisak Legyen H σ egy n0 0 dimenziós cella Cbi -ben, H σ a H σ egy (n − 1)-dimenziós cellája, p pedig egy pont H σ relatív belsejében. Ekkor teljesülnek a következő

állítások: 00 (i) Ha p a Cbi relatív belsején van, akkor van pontosan egy n-dimenziós H σ 6= H σ 0 00 cella Cbi -ben, melyre H σ egy közös lapja H σ -nak és H σ -nek. (ii) Ha p a Cbi relatív határán van, akkor létezik pontosan egy j 6= i index és pontosan 0 00 egy n-dimenziós cella Cbj -ben, melyre H σ egy közös lapja H σ -nak és H σ -nek. f egyenlő Ebben az esetben van p-nek egy olyan U környezete, melyre U ∩ H f f f f f fi ∩H f j -vel, ha h = −1, ill. U ∩ (H fi ∪H f j )-vel, ha h = 1. U ∩H i j i j ij ij Bizonyítás. (i) Ez világos, mivel Cbi n-dimenziós c hipersíkok egyikében sincs benne j 6= i esetén, akkor ugyanúgy, ahogy (ii) Ha p a H j a 2.3 Tétel (ii) pontjának bizonyításában tettük, beláthatjuk, hogy p-nek van olyan f f = U ∩H fi . Ez azt eredményezné, hogy p a C b relatív U környezete, melyre U ∩ H f i i belsejébe esik, ami ellentmond a feltevésünknek. Így létezik egy olyan j 6= i, melyre c

hipersíkok közül p ∈ Hj . A transzverzalitási feltevés miatt H σ azon pontjai amik a H k http://www.doksihu 27 2.2 A virágok Dirichlet–Voronoi-felbontása legalább háromhoz hozzátartoznak legfeljebb n − 2 dimenziós cellákban vannak benne. Emiatt j egyértelműen meghatározott. Az állítás másik felének bizonyításához tekintsük p-nek egy olyan U konvex nyílt c halmazoktól minden i és j-től különböző k-ra. Ilyen környezetét, amely diszjunkt a H k f vagy üres, vagy egyenlő U -val. Az f Boole-polinom k-ra, U ∩ H k f f f (x1 , . , xk ) = h(x11 , , xkk ) előállításában szereplő h hálópolinom felírható h(x1 , . , xk ) = g0 (xi1 , , xik−r−s , g1 (xik−r−s+1 , , xik−s ) ∗ g2 (xik−s+1 , , xik )) alakban, ahol g0 , g1 , illetve g2 rendre k − r − s + 1, r, illetve s változós hálópolinomok, melyekben minden változó legfeljebb egyszer szerepel, (i1 , . , ik ) az (1, , k) számok egy

permutációja, melyben i az ik−r−s+1 , . ik−s tartományban van, j az ik−s+1 , , ik tartományban, a ∗ az ∪ ha hij = 1 és a ∩ ha hij = −1. Ebből az alakból látszik, hogy az f f f = h(U ∩ H f 1,.,U ∩ H f k) U ∩H f 1 k f f f f f j ), U halmazok egyike lehet. Tudjuk, f i ∗H f j , U ∩ (H f i , U ∩H halmaz csak az ∅, U ∩ H j i j i f az n-dimenziós H σ ⊂ C b ⊂H c ∩ ∂H f cellához tartozik, ezért U ∩ H f hogy p ∈ U ∩ H f i i f f f f fj és U . U ∩ H b f nem lehet U ∩ H fi sem, mivel p nincsen benne C nem lehet ∅, U ∩ H i f i j relatív belsejében. Az egyetlen megmaradt lehetőség, hogy f f f j ). f = U ∩ (H fi ∗H U ∩H f i j 00 Ez a lokális kép garantálja azt, hogy egyértelműen létezik egy n-dimenziós H σ cella 0 00 Cbj -ben, melyre H σ a H σ és H σ cellák közös lapja. Az (1.1) formula általánosításához a DV-cellákat elválasztó falakra lesz szükség Előc ször csak

azzal a speciális esettel foglalkozunk, amikor a Bi gömbökhöz tartozó H i hipersíkok között nincs három, melyek egy metsző hipersíksorhoz tartoznak. Ebben az esetben a cellákat elválasztó falak definíciója nem okoz nehézséget. 2.6 Definíció Ha a B(xi , ri ) gömbök 3-transzverzális rendszert alkotnak, akkor dec falat azon (n − 1)finiáljuk a Cbi és Cbj teljes lapos Dirichlet–Voronoi-cellák közti W ij 0 dimenziós H σ cellák uniójának, melyek Cbi és Cbj relatív határán fekszenek. A Cbi és c ∩M f Cbj megszorított lapos Dirichlet–Voronoi-cellák közti Wij falat definiáljuk a W ij http://www.doksihu 28 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén metszetnek. c =W c . A 25 Tétel miatt C b relatív határát lefedik a W c falak Világos, hogy W ij ji i ij (1 ≤ j ≤ k, j 6= i) a Hf cellarendszer (n−2)-dimenziós vázába eső pontoktól eltekintve. Bármely két fal metszete része Hf (n − 2)-dimenziós vázának. Ha még

egy pillanatra eltekintünk a Hf cellarendszer (n − 2)-dimenziós vázába eső pontoktól, az alábbi állításokat fogalmazhatjuk meg. Helyettesítsük be az f polinomba a Bi gömbök Be i konvex burkát. A kapott Be f = f (Be 1 , , Be k ) tartomány határa egyrészt a Bf virágból, másrészt néhány „lapos” tartományból áll. A határ ezen lapos darabjainak unióját lefedi a Bb i lapos gömbök uniója. A Bb i lapos gömb hozzájárulása a Be f határához éppen a Bf virág i-edik megszorított lapos DV-cellája, vagyis Ci = Bb i ∩ ∂ Be f . Az i-edik és j-edik cella metszete pedig az i-edik és a j-edik megszorított c ∩H c lapos Dirichlet–Voronoi-cellák közti fal, vagyis Wij = Ci ∩ Cj . A Wij fal a H i j c = c esetén vagy egy (n − 1)-dimenziós euklideszi altérben helyezkedik el, mely H H i 6 j tér vagy üreshalmaz. A bevezetett jelöléseket használva megfogalmazhatjuk a virág térfogatának deriváltjára vonatkozó fő tételünket. A

fejezet további részében kifejtjük ennek a bizonyítását abban az általánosabb esetben, amikor eggyel gyengébb transzverzalitást feltételt követelünk meg. 2.7 Tétel Ha n ≥ 2, és egy adott t0 ∈ (a, b) pillanatban a Bi (t0 ) gömbök elhelyezc (t) hipersíkok közül bármely k ≤ 3-nak a metszete vagy üres, kedése olyan, hogy a H i vagy (n − k)-dimenziós, akkor a V függvény a t0 pontban differenciálható, és ott a deriváltjára Vf0 (t0 ) = X   fij d0ij (t0 )voln−1 Wij (t0 ) , (2.2) i<j áll fenn. 2.3 A virágok térfogatának deriváltja Tegyük föl, hogy adott egy r ∈ Rk+ sugárrendszer és egy X : (a, b) M k sima (vagyis végtelen sokszor differenciálható) görbe. Az X leképezéssel k M -ben mozgó gömb középpontjának mozgását írjuk le. Az a célunk, hogy egy képletet találjunk a Vf (t) = Vf (X(t), r) függvény deriváltjára. Először néhány technikai jellegű lemmával kezdjük. http://www.doksihu 29 2.3 A

virágok térfogatának deriváltja 2.31 X(t) linearizálása 2.8 Lemma Vezessük be M k -n a dmax (X, Y) = max1≤i≤k d(xi , yi ) távolságfüggvényt, ahol X = (x1 , . , xk ), Y = (y1 , , yk ) Ekkor tetszőleges rögzített r ∈ Rk+ mellett fennáll, hogy |Vf (X, r) − Vf (Y, r)| = O(dmax (X, Y)) miközben dmax (X, Y) tart 0-hoz. Bizonyítás. Jelölje ε a dmax (X, Y) távolságot, 4 a halmazpárok szimmetrikus differenciáját, β(r) pedig az r-sugarú gömb térfogatát M -ben Ekkor érvényes a |Vf (X, r) − Vf (Y, r)| ≤ V (Bf (X, r)4Bf (Y, r)) ≤ ≤V k [ ! B(xi , ri )4B(yi , ri ) ≤ i=1 k  X  β(ri + ε) − β(ri ) = O(ε) i=1 becslés, amit bizonyítani kellett. 2.9 Következmény Legyen X : [a, b] M k egy sima görbe, t0 ∈ (a, b), Y(t) = (y1 (t), . , yk (t)) legyen az yi (t0 ) = xi (t0 ), yi0 (t0 ) = xi0 (t0 ) kezdeti feltételekkel egyértelműen meghatározott yi : [a, b] M geodetikus görbék rendszere Ekkor bármely rögzített r ∈ Rk+

sugárrendszerre a Vf (t) = Vf (X(t), r) függvény pontosan akkor differenciálható t0 -ban, ha a t 7 Vf (Y(t), r) függvény differenciálható t0 -ban. Továbbá ha ez fennáll, akkor a két függvény t0 -beli deriváltja megegyezik. Bizonyítás. Mivel dmax (X(t), Y(t)) = O((t − t0 )2 ) miközben t tart t0 -hoz, ezért |Vf (X(t), r) − Vf (Y(t), r)| = O((t − t0 )2 ), és ebből következik az állítás. 2.32 A térfogatderiváltra vonatkozó képlet 2.10 Tétel Tegyük föl, hogy dim M = n ≥ 2 és legyen X : [a, b] M k egy sima görbe, r ∈ Rk+ . Tegyük föl, hogy t0 ∈ (a, b) egy olyan pont, melyre az S(xi (t0 ), ri ) gömbök különbözők. Jelöljük Fi -vel az S(xi (t0 ), ri ) ∩ Sf (X(t0 ), r) metszetet, ni -vel a külső normális egységvektormezőt az S(xi (t0 ), ri ) gömbön, és µi -vel a Riemann-metrika által indukált (n − 1)-dimenziós térfogati mértéket S(xi (t0 ), ri )-n. Ekkor a Vf (t) = http://www.doksihu 30 2. A

Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén Vf (X(t), r) függvény differenciálható t0 -ban, és ottani deriváltja Vf0 (t0 ) = k X fi i=1 Z Fi b i , xi0 (t0 )i dµi , hn (2.3) b i : S(xi , ri ) Txi (t0 ) M az a leképezés, melynek a p ∈ S(xi , ri ) pontban felvett ahol n értéke az ni (p) vektor párhuzamos eltoltja a p-t az i-edik gömb xi (t0 ) középpontjával összekötő geodetikus sugár mentén. (Itt a Riemann-geometriában használt görbe menti párhuzamos eltolás fogalmát használjuk.) Bizonyítás. A 29 Következmény szerint az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az x1 , , xk görbék geodetikusok M -ben Legyen M × R az M és az R valós egyenes Riemannian-féle metrikus szorzata. Az M × R sokaság érintőtere az (x, t) pontban azonosítható a Tx M ⊕ Tt R ∼ = Tx M × R ortogonális direkt összeggel. Definiáljuk a ξ vektormezőt a ξ(x,t) = (0, 1) ∈ Tx M × R ∼ = T(x,t) (M × R) ∀(x, t) ∈ M × R

képlettel. Ha t ∈ (a, b), 1 ≤ i ≤ k, akkor tekintsük az i-edik gömb csonka „életcsövét” M × R-ben: Bi (t) = {(x, τ ) ∈ M × R | a ≤ τ ≤ t, x ∈ B(xi (τ ), ri )} és alkalmazzuk a divergenciatételt az Ω(t) = f (B1 (t), . , Bk (t)) tartományra és a ξ vektormezőre. Emlékeztetünk rá, hogy a divergenciatétel szerint, ha Ω egy Riemann-sokaság kompakt tartománya szakaszonként sima ∂Ω határral, ξ egy sima vektormező, mely Ω egy környezetén van definiálva, akkor Z Ω div ξ dλ = Z hn, ξi dµ, ∂Ω ahol div ξ a ξ vektormező divergenciáját jelöli, λ, illetve µ a Riemann-metrika által indukált térfogati mértékek a sokaságon, illetve a ∂Ω peremen, n a külső normális egységvektormező ∂Ω mentén (mely a ∂Ω sima komponensein majdnem minden pontban http://www.doksihu 2.3 A virágok térfogatának deriváltja 31 definiálva van). Az Ω(t) tartomány határa véges sok sima komponensre bontható. (Ez

az állítás nem igaz tetszőleges sima xi görbékre, de nyilvánvaló abban az esetben, amikor mindegyik xi görbe geodetikus.) ∂Ω(t)-nek van egy alap- és egy fedőlapja. A külső normális egységvektormező megegyezik ξ-vel a Bf (X(t), r) × {t} fedőlapon, míg −ξ-vel egyenlő a Bf (X(a), r) × {a} alaplapon. Ω(t) határának az oldalsó része, a palástja, az Sf (t) = {(x, τ ) ∈ M × R | a ≤ τ ≤ t, x ∈ Sf (X(τ ), r)} halmaz lezárása, mely lefedhető a Bi (t) csövek határaival. Legyen Fi (t) az Sf (t) halmaz metszete az Si (t) = {(x, τ ) ∈ M × R | a ≤ τ ≤ t, x ∈ S(xi (τ ), ri )}, csővel és a ≤ τ ≤ t-re vezessük be a Fi (τ ) = Fi (t) ∩ (M × {τ }) jelölést. Nem nehéz egy olyan Φ : S(xi (t0 ), ri ) × [a, t] Si (t) diffeomorfizmust készíteni, melyre Φ az S(xi (t0 ), ri )×{τ } gömböt izometrikusan képezi le az S(xi (τ ), ri ) × {τ } gömbre minden τ ∈ [a, t]-re. Φ inverze úgymond kiegyenesíti az S(xi (t0

), ri ) az Si (t) életcsövét az M × {t0 } pontban fixálva azt. Az S(xi (t0 ), ri ) × [a, t] hengert érintő ξ vektormezőt a Φ deriváltleképezése egy (v, 1) alakú, Si (t)-t érintő vektormezőbe képezi. Legyen (x, τ ) = Φ(y, τ ) egy tetszőleges pont Si (t)-ben és tekintsük a (γ(u), u) = Φ(y, u) egyenlettel definiált γ : [a, t] M görbét. A v vektormező definíciója szerint γ 0 (τ ) = v(x, τ ). A γ(u) pont az S(xi (u), ri ) gömbfelületre esik, így a d(γ(u), xi (u)) távolság konstans. A γ(τ ) és xi (τ ) pontokat összekötő sugárirányú geodetikus kifelé mutató érintő egységvektora megegyezik az S(xi (τ ), ri ) gömb ni (x, τ ) külső normáb i (x, τ ) vektorral az xi (τ ) pontban, lis vektorával a γ(τ ) végpontban és egyenlő a −n b i (x, τ ) az ni (x, τ ) vektor párhuzamos eltoltja a sugárirányú geodetikus mentén. ahol n Következésképpen 0= d b i (x, τ ), xi0 (τ )i. d(γ(u), xi (u))|u=τ = hni (x, τ ), v(x,

τ )i − hn du http://www.doksihu 32 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén A T(x,τ ) Si (t) érintőteret kifeszíti a Tx S(xi (τ ), ri ) × {0} altér és a (v(x, τ ), 1) vektor, ezért az Si (t) hiperfelület külső egységnormálisa az (x, τ ) ∈ Si (t) pontban  ni (x, τ ), −hni (x, τ ), v(x, τ )i  q 1 + hni (x, τ ), v(x, τ )i2  = b i (x, τ ), xi0 (τ )i ni (x, τ ), −hn  q b i (x, τ ), xi0 (τ )i2 1 + hn . Az Ω(t) tartomány Fi (t) határfelülete menti külső egységnormálisa az iménti vektor fi -szerese. Az Si (t) térfogati mértékét a Φ-vel visszahúzva a q 1 + hni (x, τ ), v(x, τ )i2 µ i ×σ = q b i (x, τ ), xi0 (τ )i2 µi × σ 1 + hn mértéket kapjuk S(xi (t0 ), ri ) × [a, t]-n, ahol σ a Lebesgue-mértéket jelöli az [a, t] intervallumon. Mivel a ξ = (0, 1) vektormező divergenciája 0, a divergenciatétel azt adja, hogy 0= Z div ξ dλ = Ω(t) Z hn, ξi dµ = ∂Ω(t) = V (X(t),

r) − V (X(a), r) − b i , xi0 (τ )i fi hn k Z X i=1 Fi (t) = V (X(t), r) − V (X(a), r) − k X i=1 fi Z t q b i , xi0 (τ )i2 1 + hn Z a Fi (τ ) dµ = (2.4) ! b i , xi0 (τ )i dµi hn dτ Amikor n ≥ 2, az Z Fi (τ ) b i , xi0 (τ )i dµi hn integrálok folytonosan függnek τ -tól minden olyan τ0 pont egy környezetében, melyre az S(xi (τ0 ), ri ) gömbök különbözők, speciálisan a függés folytonos a t0 pont egy környezetében. A t szerint deriválva a (24) egyenlőséget a t0 pontban a (23) egyenlőséghez jutunk. http://www.doksihu 2.4 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula 33 2.4 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula 2.41 Tételek a Dirichlet–Voronoi-cellákról 0 c -ben fekvő (n − 1)-dimenziós cella, γ : [0, d ] M 2.11 Tétel Legyen H σ egy W ij ij ij egy ívhossz szerint paraméterezett geodetikus, mely az xi = γij (0) pontot az xj = 0 cγij (dij ) ponttal köti össze. Ekkor a Cbi külső

normális egységvektora H σ mentén H i ben, melyet a { , } bilineáris függvény által indukált euklideszi struktúra szerint képzünk, megegyezik az fj hij γij0 (0) vektorral. f f lokálisan úgy néz ki, mint a H fi Bizonyítás. A 25 Tétel második része szerint H f i f f j félterek metszete vagy uniója minden olyan pont egy kis környezetében, mely és H j 0 a H σ relatív belsejéhez tartozik. Ezért elég az állítást arra az esetre ellenőrizni, amikor Bf két gömb Boole-polinomja Egyszerű explicit számolással ellenőrizhető, hogy c ∩H c -re. Ily a γij geodetikus egy olyan affin síkban fekszik, mely { , }-merőleges H i j c ∩H c -re, másrészt viszont párhuzamos H c -vel. módon γij0 (0) szintén { , }-merőleges H i j i c ∩H c altér két normális egységvektora a H c hipersíkban egyenlő Ebből adódóan a H i j i ±γij0 (0)-val. Mivel γij egy sugárirányú geodetikusa a B(xj , dij ) gömbnek, a γij0 (0) sef f bességvektor az xi

pontból a H(x j , dij ) féltér belseje felé mutat. Mivel a H(xj , rj ) és f H(x j , dij ) félterek egymás eltoltjai, a következő megállapításokat tehetjük: f c ∩H c egy pontját egy kicsit elmozdítjuk γ 0 (0) irányába, akkor az H • Ha H j i j ij belsejébe kerül, mely f f belsejében, vagyis nincs rajta annak határán, így f ∪H fj =H – benne van H f i j Cbi -n sem, mivel az a határ része. Ezért az fj = 1, hij = 1 esetben γij0 (0) a c mentén. Cbi külső normális egységvektora W ij f fC ∩ H fj = H f külsejében, vagyis nincs rajta annak határán, – benne van H f j i így Cbi -n sem, mivel az a határ része. Ezért az fj = −1, hij = −1 esetben c mentén. γij0 (0) a Cbi külső normális egységvektora W ij • Ha ugyanezt a pontot az ellenkező irányba, vagyis −γij0 (0) irányába mozdítjuk f külsejébe kerül, mely el, akkor az H j f fC ∪ H fj =H f belsejében, vagyis nincs rajta annak határán, így – benne van H f

j i Cbi -n sem, mivel az a határ része. Ezért az fj = −1, hij = 1 esetben −γij0 (0) c mentén. a Cbi külső normális egységvektora W ij http://www.doksihu 34 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén f f külsejében, vagyis nincs rajta annak H f határán, f ∩H fj =H – benne van H f f i j f része. Ezért az f = 1, h = −1 esetben −γ 0 (0) így Cbi -n sem, mivel az H f j ij ij c mentén. a Cbi külső normális egységvektora W ij Bizonyítás. A négy esetet összefoglalva azt kaptuk, hogy fj hij γij0 (0) a Cbi külső normális c mentén. egységvektora W ij Tekintsünk most k darab B(x1 , r1 ), . , B(xk , rk ) gömböt, melyek 2-transzverzálisak, f = H(x f , r ) félterek definiálhatók egy-egy de nem feltétlenül 3-transzverzálisak. A H i i i hmi , xi ≤ bi alakú egyenlőtlenséggel, ahol h , i a standard skaláris szorzás Rn+1 -en, mi csak az xi középponttól függ, bi pedig az ri sugár egy monoton függvénye. A

2-transzverzalitási feltétel miatt a hmi , xi = bi hipersíkok páronként különbözők. A 3-transzverzalitási feltétel azt jelenti, hogy a hipersíkok közül semelyik három sem tartozhat egy metsző hipersíksorhoz. Hi , Hj , Hk pontosan akkor tartozik egy metsző hipersíksorhoz, ha az mi , mj , mk vektorok egy 2-dimenziós lineáris alteret feszítenek ki és αmi + βmj + γmk = 0 esetén αbi + βbj + γbk = 0. Ez azt jelenti, hogy egy rögzített középpontrendszer esetén azok a bi -k, melyekre a 3-transzverzalitási feltétel nem teljesül, jellemezhető néhány lineáris egyenlettel. Ily módon mindig tudunk találni egy olyan d = (d1 , . , dk ) ∈ Rk vektort, hogy bármely elég kicsi ε > 0 számra a hmi , xi = bi + εdi hipersíkok páronként különböznek és nincs közöttük három, mely egy metsző hipersíksorhoz tartozik. Definiáljuk a ρi (ε) sugarakat úgy, hogy a c (x , ρ (ε)) hipersík egyezzen meg az hm , xi = b + εd egyenletű

hipersíkkal. EkH i i i i i i kor elég kicsi ε > 0-ra, a B(xi , ρi (ε)) gömbök 3-transzverzálisak. A d kiválasztásakor nagy szabadságunk van, mivel Rk majdnem minden vektora jó választás. A következő c, H f, H , C b,W c stb. objekkonstrukcióknál rögzítünk egy lehetséges d-t Amikor a H i i f i ij tumokat a B(xi , ρi (ε)) perturbált gömbrendszerből kiindulva készítjük el, akkor rájuk c (ε), H f (ε), H (ε), C b (ε), W c (ε) stb. jelölést fogjuk használni aH i i f i ij 0 0 c hipersíkok Legyen H σ ∈ Hf egy (n − 1)-dimenziós cella. Tegyük fel, hogy H σ a H i közül s-ben van benne. 3-transzverzális konfigurációkra s = 2, általában pedig s ≥ 2 0 Általában σ 0 -t nem határozza meg H σ . Pontosan 0   k 2 olyan σ∗0 ∈ {−1, 0, 1}k van, 0 melyre H σ∗ = H σ . Jelöljük ezeket σ10 , , σ 0 k -vel (2) 2.12 Definíció Egy 2-transzverzális gömbrendszerre a Bf (X, r) virág i-edik és j-edik c d falat H bizonyos

Dirichlet–Voronoi-cellája közti, a d perturbáció által indukált W f ij 0 (n − 1)-dimenziós celláinak uniójaként definiáljuk. A H σ (n − 1)-cella pontosan akkor c d -hez ha a H σl0 (ε), 1 ≤ s ≤ tartozzon W ij cd ∩ M f metszetet. Jelölje Wijd a W ij   k 2 c (ε)-hoz tartozik. cellák közül az egyik W ij http://www.doksihu 2.4 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula 35 cd = W c és így nem függ a d választásától. Ha a rendszer 3-transzverzális, akkor W ij ij c d függhet d-től. Az általános esetben azonban W ij c hipersíkok mindegyike egy euklideszi tér struktúrával rendelkezik és ezek a AH i c ∩H c euklideszi struktúrája struktúrák kompatibilisek a metszeteken. Jelölje voln−1 a H i j szerinti (n − 1)-dimenziós térfogati mértéket. 2.13 Lemma lim voln−1 (Wij (ε)) = voln−1 (Wijd ). ε+0 0 c d egy (n − 1)-cella és σ 0 , . , σ 0 a fentiek Bizonyítás. Vegyük észre, hogy ha H σ ∈ W 1 ij

(k2) 0 cd. szerint van definiálva, akkor pontosan egy olyan l létezik, melyre H σl ∈ W ij 0 Egyszerű becslések mutatják, hogy ha dim H σ (ε) egy (n − 1)-cella bármely elég 0 kicsi pozitív ε-ra, akkor dim H σ ≤ n − 1, és 0 0 σ f ) = vol f lim voln−1 (H σ (ε) ∩ M n−1 (H ∩ M ). ε+0 Ezek a tények a Wijd definíciójával együttesen már adják a lemmát. 2.42 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula 2.14 Tétel Legyen n ≥ 2 és X : (a, b) M k egy sima görbe, r ∈ Rk+ egy olyan időpillanat, melyre a B(xi (t0 ), ri ) gömbök 2-transzverzálisak A d perturbációt válasszuk úgy, mint az előző részben. Ekkor a Vf (t) = Vf (X(t), r) függvény differenciálható t0 -ban, és ott a deriváltját a Vf0 (t0 ) = X   fij d0ij (t0 )voln−1 Wijd (X(t0 ), r) , (2.5) i<j c euklideszi struktúrája képlet adja meg, ahol dij (t) = d(xi (t), xj (t)), voln−1 pedig a H i által indukált (n − 1)-dimenziós térfogati

függvény. Megjegyezzük, hogy bár dij nem differenciálható a t0 helyen, ha xi (t0 ) = ±xj (t0 ), c és H c párhuzamos, és emiatt W d = ∅. Az alábbi bizonyítás de az ilyen esetekben H i j ij azt mutatja, hogy a (2.5) formula ekkor is érvényes azzal a megállapodással, hogy az   ilyen i, j párokra a d0ij (t0 )voln−1 Wijd (X(t0 ), r) kifejezést 0-nak értelmezzük. Bizonyítás. Tegyük fel először, hogy a B(xi (t0 ), ri ) gömbök 3-transzverzálisak Ebben az esetben a d perturbációt figyelmen kívül hagyhatjuk. http://www.doksihu 36 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén A 2.10 Tétel szerint Vf (t) differenciálható t0 -ban és Vf0 (t0 ) megadható a (23) képlettel Első lépésként kiszámoljuk az integrálokat ebben a képletben Tudjuk, hogy c ) ∩ (M ∩ ∂ H f ) = M ∩ (H c ∩ ∂H f ). Fi = Si ∩ ∂M Bf = (M ∩ H i f i f c ∩ ∂H f megegyezik C b -vel modulo a H (n − 1)-dimenziós váza, Mivel H i f i f Z Fi b i ,

xi0 (t0 )i dµi hn = Z bi ∩M C b i , xi0 (t0 )i dµi hn X = Z H σ ∩M bi H σ ⊂C dim H σ =n b i , xi0 (t0 )i dµi . hn f belsejét. AlTegyük föl, hogy H σ egy olyan n-dimenziós cella Cbi -ben, ami metszi M kalmazzuk a divergenciatételt a konstans, divergenciamentes ξi ≡ xi0 (t0 ) vektormezőre 0 f tartományon. H σ ∩ M f határát H σ ∩ M és a H σ ∩ M f alakú lapos tartomáa Hσ ∩ M 0 nyok alkotják, ahol H σ egy (n − 1)-dimenziós lapja H σ -nak. Rn+1 egy affin tér, így Rn+1 érintővektorait azonosíthatjuk a közönséges vektorokkal. Ezzel az azonosítással c euklideszi térben fekvő B b gömb külső normális egységvektormezője. Ha b i éppen a H n i i 0 0 n(σ,σ ) -vel jelöljük a H σ H σ -menti külső normális egységvektormezőjét, a divergenciatétel azt adja, hogy Z H σ ∩M b i , xi0 (t0 )i dµi = − hn X 0 0 f ). hn(σ,σ ) , xi0 (t0 )ivoln−1 (H σ ∩ M (2.6) 0 H σ ⊂H σ σ0 dim H =n−1

Nyilvánvaló, hogy a (2.6) egyenlet olyan n-dimenziós H σ ⊂ Cbi cellákra is fennáll, f belsejétől. Összeadva a H σ ⊂ C b cellákra felírt (2.6) egyenlősémelyek diszjunktak M i geket, majd i szerint előjelesen összegezve Vf0 (t0 ) = − k X i=1 0 0 f ). fi hn(σ,σ ) , xi0 (t0 )ivoln−1 (H σ ∩ M X (2.7) 0 H σ ⊂H σ ⊂Ci σ σ0 b dim H =dim H +1=n 0 adódik. A 25 Tétel szerint egy H σ ⊂ H σ ⊂ Cbi (n − 1)-cella kétféle lehet 0 00 Ha H σ metszi a Cbi relatív belsejét, akkor pontosan egy H σ 6= H σ n-dimenziós 0 00 cella létezik Cbi -ben, melyre H σ a H σ és H σ cellák közös lapja. Ebben az esetben a 0 n(σ,σ ) és n(σ 00 ,σ 0 ) 0 normálvektorok egymás ellentettjei, emiatt az 0 f ) és f hn(σ fi hn(σ,σ ) , xi0 (t0 )ivoln−1 (H σ ∩ M i 00 ,σ 0 ) 0 f) , xi0 (t0 )ivoln−1 (H σ ∩ M http://www.doksihu 37 2.4 A virágok térfogatderiváltjára vonatkozó formula tagok kiejtik egymást (2.7)-ben 0 c

fal, Ha H σ a Cbi cella relatív határában van, akkor egyértelműen létezik egy W ij 00 0 melynek ő része, és Cbj -ben létezik pontosan egy H σ -t tartalmazó H σ n-cella. A 211 Tétel szerint ha γij : [0, dij (t0 )] M a legrövidebb geodetikus xi (t0 )-ból xj (t0 )-ba, 0 akkor n(σ,σ ) = fj hij γij0 (0) és n(σ 00 ,σ 0 ) 0 = −fi hij γij0 (dij (t0 )). Összevonva a (H σ , H σ ) és 0 00 (H σ , H σ ) párhoz tartozó tagokat (2.7)-ben azt kapjuk, hogy 0  − fi hn(σ,σ ) , xi0 (t0 )i + fj hn(σ 00 ,σ 0 ) 0  f) = , xj0 (t0 )i voln−1 (H σ ∩ M   0 f) = = fij −hγij (0), xi0 (t0 )i + hγij (dij (t0 ), xj0 (t0 )i voln−1 (H σ ∩ M 0 f ), = fij d0ij (t0 )voln−1 (H σ ∩ M és Vf0 (t0 ) = fij d0ij (t0 )voln−1 (Wij ) X 1≤i<j≤k amint azt bizonyítani akartuk. Az általános esetre rátérve, jelölje Fi (ε) az S(xi (t0 ), ρi (ε)) gömb hozzájárulását a Bf (X(t0 ), r(ε)) határához, ahol ρi (ε) az ri

sugárnak az előző részben definiált perturbációja, r(ε) = (ρ1 (ε), . , ρk (ε)) Ha niε ∈ Txi (t0 ) M az Fi (ε) külső normális egységvektorának párhuzamos eltoltja a sugárirányú geodetikus mentén, akkor Vf0 (t0 ) = k X fi i=1 = lim ε+0 Z Fi b i , xi0 (t0 )i dµi hn X = lim ε+0 k X i=1 fi Z Fi (ε) fij d0ij (t0 )voln−1 (Wij (ε)) = 1≤i<j≤k b iε , xi0 (t0 )i dµi = hn X fij d0ij (t0 )voln−1 (Wijd ). 1≤i<j≤k 2.43 A Kneser–Poulsen-sejtés a folytonos esetben 2.15 Tétel Ha X : [a, b] M k egy szakaszonként sima folytonos görbe, melyre az fij dij (t) = fij |xi (t) − xj (t)| függvények csökkennek az [a, b] intervallumon, akkor bármely r ∈ Rk+ sugárrendszerre Vf (X(a), r) ≥ Vf (X(b), r). (2.8) Bizonyítás. Elég a sima esettel foglalkozni Ha (27) fennáll, amikor r az Rk+ halmaz http://www.doksihu 38 2. A Kneser–Poulsen-sejtés folytonos mozgás esetén egy rögzített sűrű részhalmazába

esik, akkor minden r-re fennáll, mert V (Bf (X, r)) folytonosan függ r-től. Ezen észrevétel miatt feltehetjük, hogy ri 6= rj és ri + rj 6= π minden i 6= j-re. Ebben az esetben a gömbök 2-transzverzálisak, Vf0 létezik és kifejezhető a (25) formulával Mivel ekkor (25) jobboldalán minden összeadandó nempozitív, Vf csökkenő. http://www.doksihu 3. fejezet A Kneser–Poulsen-sejtés a nem folytonos esetben 3.1 Ugrás magasabb dimenzióba – a bakugráslemma Az eddig ismertetett eredmények a folytonos mozgások esetére vonatkoztak. A folytonos, illetve sima mozgások azáltal voltak kezelhetők, hogy vagy egy olyan formulát sikerült találni, melyből a vizsgált mennyiség deriváltjának előjelét le lehetett olvasni, vagy egy olyat, mely a vizsgált funkcionált kifejezte a pontrendszer kombinatorikus szerkezetéből. Ez utóbbi monotonitása egészen addig triviális, amíg a kombinatorikus szerkezet és vele együtt a formula érvényessége meg nem

változik. Az utóbbi típusba tartozik például az 1.2 Tétel (ii) pontjában leírt Gauss–Bonnet-féle formula, melyből a súlyozott kerület monotonitása következik folytonos összehúzásokra. Van egy rendkívül ötletes módszer, mely bizonyos esetekben lehetővé teszi, hogy a folytonos összehúzásokra vonatkozó eredményeket a diszkrét összehúzások vizsgálatára alkalmazzuk. A módszer hátterében egy egyszerűen bizonyítható lemma áll, melyet bakugráslemmának szoktak nevezni. 3.1 Lemma (bakugráslemma) Bármely két x, y ∈ (En )k pontrendszerhez létezik olyan őket összekötő z = (z1 , . , zk ) : [0, 1] (E2n )k (z(0) = x, z(1) = y) homotópia az En -t tartalmazó 2n-dimenziós E2n euklideszi térben, melyre a dij = d(zi , zj ) távolságok mindegyike monotonon változik. http://www.doksihu 40 3. A Kneser–Poulsen-sejtés a nem folytonos esetben Bizonyítás. Tekintsük a zi (t) = xi − y i |xi − yi | xi + yi + cos πt , sin πt 2 2 2 !

homotópiát. Mivel ennél dij (t) = |zi (t) − zj (t)|2 = |xi − xj |2 − |yi − yj |2 cos πt + const, 2 dij monoton a [0, 1] intervallumon. Ez például azt jelenti, hogy ha egy En -beli pontrendszereken értelmezett Φ funkcionálról be szeretnénk látni, hogy egy pontrendszer összehúzottján legfeljebb akkora e funkcioértéket vesz fel, mint az eredeti pontrendszeren, akkor elegendő találni egy Φ nált az E2n -beli pontrendszereken, mely monoton a folytonos összehúzásokkal szemben (amit egy alkalmas formulával be tudjuk bizonyítani), és amely az n-dimenziós pontrendszereken megegyezik Φ-vel. R. Alexander, illetve V Capoyleas és Pach János a bakugráslemma segítségével adott bizonyítást arra a tételre, hogy egy síkbeli pontrendszer konvex burkának kerülete a pontrendszer összehúzásakor nem nőhet. Ez egy nagyon jó példa, ahol a bakugráslemma módszere működik A síkbeli pontrendszerekre értelmezett „konvex burok kerülete” funkcionált

a folytonos összehúzásokkal szemben monoton „átlagszélesség” funkcionál segítségével lehet kiterjeszteni magasabb dimenziós pontrendszerekre. 3.2 A Kneser–Poulsen-sejtés bizonyítása a síkban Bezdek Károly és Robert Connelly nagy áttörést ért el [9] cikkével, melyben teljes egészében bebizonyították a Kneser–Poulsen-sejtést az euklideszi síkban nem kongruens körök esetén is. A bizonyítás három szép gondolatra épül Az egyik ezek közül az, hogy a súlyozott kerületnek az 1.2 Tétel (iii) pontjában ismertetett monotonitási tulajdonsága kiterjeszthető tetszőleges dimenzióra. 3.2 Tétel Jelölje Ki (x, r) a ∂B(x, r)∩∂B(xi , ri ) tartomány felszínét, vagyis az i-edik gömb hozzájárulását a virág felszínéhez. Ha x : [a, b] M k egy szakaszonként sima folytonos görbe, melyre az fij dij (t) = fij |xi (t) − xj (t)| előjeles középpont távolságok monoton csökkennek, és a gömbök páronként különbözők az [a, b]

intervallumon, akkor http://www.doksihu 41 3.3 Nyitott kérdések a virág k X Ki (x, r) i=1 ri súlyozott felszíne monoton csökken. A második fontos észrevétel, hogy az n-dimenziós virágok térfogata és az (n + 2)dimenziós virágok súlyozott felszíne között szoros kapcsolat áll fenn. 3.3 Tétel Tekintsük Rn -et mint az Rn+2 euklideszi tér egy altere a természetes beágyazás szerint Legyen x ∈ (En )k egy ebbe az altérbe eső pontrendszer Jelölje Vfn (x, r) az altérben képzett Bfn (x, r) virág térfogatát, továbbá Pk i=1 Kin+2 (x,r) ri a befoglaló térben képzett B n+2 (x, r) virág súlyozott felszínét. Ekkor fennáll, hogy k X Kin+2 (x, r) i=1 ri = 2πVfn (x, r), ha a gömbök páronként különböznek. A harmadik gondolat, hogy a magasabb dimenzióba való kiugrás alkalmazása. A 32 és 33 Tételek összekapcsolásával azt az eredményt kapjuk, hogy a Kneser–Poulsen-sejtés igaz az n-dimenziós euklideszi tér minden olyan

gömbrendszerére és annak összehúzottjára, melyeknél a kezdeti középpontrendszer az (n + 2)dimenziós térbe kilépve folytonos összehúzással is átvihető az összehúzott középpontrendszerbe. Mivel a bakugráslemma szerint a 2n-dimenziós térbe kilépve tudunk folytonos összehúzást készíteni és n = 2 esetén még 2n ≤ n + 2, a síkbeli Kneser–Poulsensejtés teljes bizonyítása innen már adódik 3.3 Nyitott kérdések A Kneser-Poulsen sejtés a térfogat mérés egy alapvető kérdést veti fel. Számos nyitott kérdés van, amik további kutatások tárgyát képezhetik. Az egyik kérdés, hogy igaz-e a sejtés bármely 2-nél magasabb dimenzióban. Ugyanis a bakugrás lemma állítása éles, minden n-re van olyan n-dimenziós pontrendszer, és annak egy összehúzottja, amikhez nem létezik folytonos összehúzás a 2n−1 dimenziós térben. Egy másik kérdés, hogy mit mondhatunk a nem euklideszi terekben. A hiperbolikus térben nem ismert bakugrás

lemma, a szférikusban pedig 2n + 1 dimenziós folytonos mozgást tudunk csak megadni, és nem tudjuk, van-e ilyen 2n dimenzióban. Ebből ugyanis következ- http://www.doksihu 42 3. A Kneser–Poulsen-sejtés a nem folytonos esetben ne, hogy a 2-dimenziós gömbön igaz a Kneser–Poulsen-sejtés. További, a témakörhöz kapcsolódó eredmények és problémák összefoglalása található a [17] cikkben. http://www.doksihu II. rész Schläfli-típusú formulák http://www.doksihu http://www.doksihu 4. fejezet Skalár értékű Schläfli-formulák 4.1 Bevezetés Legyen Mκn az n-dimenziós κ metszetgörbületű hiperbolikus, euklideszi vagy szférikus tér. Tekintsük az Mκn -beli poliéderek egy (Pt )t∈[0,1] sima egyparaméteres családját, amiben minden Pt poliédernek ugyanaz a kombinatorikus szerkezete. Jelölje a Pt poliéder térfogatát Vt , hiperéleinek halmazát Et , továbbá jelölje We az e ∈ Et él n − 1 dimenziós térfogatát, valamint αe a

poliéder ottani élszögét. A klasszikus Schläfliformula a térfogat deriváltját a következőképpen fejezi ki az élszögek deriváltjainak segítségével: (n − 1)κV 0 = X We αe0 (4.1) e∈E Az utóbbi évtizedben nagy lett az érdeklődés a téma iránt, és az iménti formulának számos általánosítása született. Például J-M Schlenker és R Souam a [10] cikkükben ennek a képletnek egy olyan változatát vezették le, amiben a poliéder térfogata és hiperéleinek térfogata helyett a p és p + 2 kodimenziós lapjainak térfogatai szerepelnek. Másfelől J-M. Schlenker és I Rivin a [7] cikkben egy olyan képletet is találtak, ami egy Einstein-sokaságban fekvő sima hiperfelülettel határolt tartomány térfogatának variációját fejezi ki. Megmutatták továbbá, hogy ha egy poliédert a parallel tartományaival közelítünk, akkor a paralell tartományokra alkalmazott formulájuk határátmenetben éppen visszaadja a 4.1 formulát Emiatt nem

meglepő, hogy formulájukat a Schläflitípusú formula sima változatának nevezték Csikós Balázs a cikket megismerve egy olyan formulát akart megalkotni, ami ötvözi ezt a két képletet úgy, hogy abból rögtön speciális eseteként adódik a klasszikus és a sima Schläfli-formula is. Ehhez először meg kellett mondani, milyen testekről is szóljon http://www.doksihu 46 4. Skalár értékű Schläfli-formulák az általános formula. A szimplexek és a sima határú testek egyaránt a görbült lapokkal határolt poliéderek osztályába tartoznak Ez az igen tág osztály, a sokaság sima hiperfelületei által határolt kompakt tartományokat tartalmazza, aminek ráadásul a gömbökből képzett virágok is elemei. A 2006-os [12] cikkben Csikós Balázsnak sikerült kiterjeszteni a formulát a görbe lapú poliéderekre (4.2 Tétel) Ugyanarra a dimenzió és görbülettel súlyozott térfogatderiváltra kapunk egy olyan kifejezést mint a közönséges

Schläfli-formulában, csak abban több tag van. Lesz egy olyan tag, ami a lapok sima részén egy olyan integrált ad mint a sima esetben. Most is lehet beszélni az élszögekről, amiket a hiperélek mentén találkozó sima hiperlapok zárnak be, csak az a különbség a klasszikus Schläflihez képest, hogy itt a szög pontról-pontra változhat az él mentén. Így az általános formulában a szög deriváltakat nem összeadni, hanem integrálni kell az éleken A harmadik tag pedig abból jön, hogy a poliéder infinitezimális variációját olyan lapok menti sima vektormezőkkel adjuk meg, amikről nem tesszük föl, hogy a közös élek mentén folytonosan csatlakoznak egymáshoz. Ez a szabadság a vektormezők választásában nagyon hasznosnak bizonyul, amikor a formulát néhány mozgó gömbből elkészített virágra akarjuk alkalmazni. Mivel a gömbök mereven mozognak, a virág lapjainak infinitezimális variációit Killing-mezőkkel tudjuk leírni, és ennek

hatására a formulában megjelenő tagok leegyszerűsödnek. Ugyanakkor ezeket a Killing-mezőket általában nem lehet úgy megválasztani, hogy azok egy folytonos vektormezővé álljanak össze a virág határán. Ez adja tehát a formula harmadik tagját, ami a vektormező élek menti szakadásának mértékét méri. A következő szakaszban röviden összefoglalom a tétel kimondásához szükséges fogalmakat, viszont elhagyom a hozzájuk tartozó technikai részek tárgyalását. Ezek teljes részletességgel megtalálhatók a [12] cikkben a formula pontos kimondásával és bizonyításával együtt. 4.2 Schläfli-formula görbült lapú politópokra 4.21 Görbült lapú politópok Intuitívan egy görbült lapú politóp a sokaság olyan kompakt tartománya, melyet véges sok sima hiperfelület-darab határol. Ezt a képet többféle matematikai modellel le lehet írni. Most úgy definiáljuk a görbült lapú politópokat, mint olyan kompakt halmazokat, melyek egy sokaság

sima hiperfelületekkel határolt tartományaiból Boole- http://www.doksihu 4.2 Schläfli-formula görbült lapú politópokra 47 műveletek egymásutáni alkalmazásával kaphatók. 4.1 Definíció Egy sima sokaságban fekvő görbült lapú P politópon vagy egyszerűen politópon egy rögzített f (P1 , . , Pk ) reprezentációval megadott testet értünk, ahol f (x1 , . , xk )-ben minden xi változó pontosan egyszer szerepel, a Pi kezdő objektumok pedig olyan sima hiperfelülettel határolt tartományok, hogy a Σi = ∂Pi hiperfelületek közül bármely legfeljebb 3 transzverzálisan metszi egymást. Ezután definiálható a politóp Fi lapja mint a Σi hiperfelület hozzájárulása a P határához, valamint az Fi és Fj lapok közös Wij éle, mint a Σi ∩ Σj részsokaság hozzájárulása az Fi lap határához. A politóp minden lapja mentén van egy jól definiált sima kifelé mutató Ni normális egységvektormező, továbbá P minden Fi lapjához megadható

egy sima, kifelé mutató nij ∈ Γ(T Σi |Wij ) egységnormális mező a Wij él mentén. A politóp lapszögét a Wij él mentén egy αij : Wij (0, 2π) sima függvény adja meg. 4.22 Politópok variációi Jelöljön I egy 0 körüli nyílt intervallumot. A Σ sima hiperfelület egy (Σt )t∈I variációja egy Φ : I × Σ M (sima) deformációjával írható le, melyre teljesül Φt (Σ) = Σt minden t ∈ I-re, és hogy Φ0 a Σ beágyazása. Az X = ∂t Φt |t=0 ∈ Γ(T M |Σ ) Σ-menti vektormezőt a Σ hiperfelület (Φ-hez tartozó) kezdő sebességmezőjének (más szóval infinitezimális variációjának) nevezzük. Az Σi és Σj hiperfelületek variációi meghatározzák a Σi ∩ Σj metszetnek is egy variációját, amely szintén leírható egy Φ : I × Σi ∩ Σj M deformációval. Ekkor a Σi ∩ Σj részsokaság Φ által indukált kezdő sebességmezőjén az X = ∂t Φt |t=0 ∈ Γ(T M |Σi ∩Σj ) vektormezőt értjük. Jelölje It , IIt és Ht =

hIt , IIt i a Σt hiperfelület első és második alapformájának, illetve összeggörbületének Φt általi visszahúzottját a Σ hiperfelületre. Legyen I = I0 és II = II0 a Σ első és második alapformája, továbbá jelölje I 0 , II 0 és H 0 a ∂t It |t=0 , ∂t IIt |t=0 és ∂t Ht |t=0 deriváltat. Tekintsünk most egy változó alakú P = f (P1 , . , Pk ) politópot Ennek a Pt = f (P1,t , . , Pk,t ) variációja (t ∈ I, P0 = P ) a kezdő objektumainak P1,t , , Pk,t variációiból áll, amelyeket a határhiperfelületeik Σ1,t , , Σk,t variációióival adhatunk meg Az előző pont alapján legyen Xi ∈ Γ(T M |Σi ) a Σ hiperfelület egy olyan kezdő sebességmezője, mely kompatibilis a Σi variációjával. Válasszunk minden Wij élhez http://www.doksihu 48 4. Skalár értékű Schläfli-formulák is egy tetszőleges Xij ∈ Γ(T M |Σi ∩Σj ) kezdő sebességmezőt, mely kompatibilis az ott találkozó lapoktól örökölt variációjával.

Ha Φ-vel jelöljük a Σi ∩ Σj metszet azon deformációját, amiből az Xij vektormező származik, terjesszük ki az αij függvényt egy sima αij : I × Σi ∩ Σj R függvénnyé t úgy, hogy αij (p) a Pt politóp lapszöge legyen a Φt (p) pontban, feltéve, hogy Φt (p) a Pt politóp i-edik és j-edik lapja közötti élre esik. Az αij lapszög Xij mező szerinti t Xij αij : Wij R deriváltját úgy definiáljuk, mint ∂t αij t=0 . Megjegyezzük, hogy Xij αij csak az Xij vektormezőtől függ, a Φ deformáció választásától nem. 4.23 Az általánosított Schläfli-formula Most már minden készen áll ahhoz, hogy kimondjuk a Schläfli-formula általánosítását Einstein-sokaságokban fekvő görbült lapú politópokra: 4.2 Tétel Legyen Pt egy n-dimenziós s skalárgörbületű Einstein-sokaságban fekvő P politóp egy variációja. Jelölje V 0 a Pt térfogatának 0-beli deriváltját Ekkor a fentebb bevezetett jelöléseket használva fennáll a  s

0 XZ  0 1 0 V = Hi + 2 hIt , IIt i dσi + n Fi i + XZ i<j + Wij XZ i6=j Wij (Xij αij ) dσij + D (4.2) E Li (Xij − Xi ), nij dσij variációs formula, ahol σi , illetve σij a Riemann-metrika által indukált térfogati mértékek a lapokon, illetve az éleken, valamint Li az i-edik lap Weingarten-operátora. Mint ahogy a bevezetésben említettük, a jobboldalon egy Schlenker–Rivin-féle tag, egy Schläfli-típusú tag, és egy olyan harmadik tag áll, ami az X szakadásainak nagyságát méri. 4.3 Az általánosított Schläfli-formula alkalmazásai A (4.2) formula erejét jól szemlélteti, hogy belőle speciális esetként megkapható a klasszikus Schläfli-formula, a Rivin–Schlenker-formula, R. Souam formulája (mely a Rivin–Schlenker formula egy általánosítása), a virágok téfogatának deriváltját kifejező http://www.doksihu 49 4.3 Az általánosított Schläfli-formula alkalmazásai korábban tárgyalt képlet, valamint a virágok

súlyozott felszínének monotonitását adó formula. 4.31 A klasszikus Schläfli-formula Az állandó κ metszetgörbületű sokaságok Einstein-sokaságok s = n(n − 1)κ skalárgörbülettel. A hiperbolikus, euklideszi, vagy gömbi tér poliéderei előállnak néhány féltér metszeteként. A szimplex variációjakor a félterek mereven mozognak, ezért az Xi vektormezők választhatók Killing-mezőknek. Ekkor azonban a (42) egyenlet jobboldalának első blokkja eltűnik, mert Hi0 = 0, és Ii0 = 0 lesz A jobboldal harmadik blokkja szintén eltűnik, mert a hipersíkok Weingarten-leképezése 0. Marad tehát a középső blokk. Itt viszont síklapok esetén az αij lapszögfüggvény és annak idő szerinti 0 (0) = Xij αij derivált értéke nem függ az deriváltja konstans az éleken, valamint az αij 0 Xij vektormező tényleges választásától. Ily módon αij integrálja a Wij élen egyszerűen 0 a Wij él térfogata szorozva αij -vel. (n − 1)κV 0 = X 0 voln−1

(Wij )αij i<j 4.32 A Schlenker–Rivin-formula Ez a formula az a speciális eset, amikor a variált politóp egyetlen egy sima hiperfelülettel határolt kompakt tartomány. Ekkor egyetlen egy lap van, így a jobboldal első blokkjában az összegzésre nincs szükség, élek pedig egyáltalán nincsenek, így a második és harmadik blokk eltűnik.  s 0 Z  0 1 0 V = Hi + 2 hIt , IIt i dσi n F 4.33 Souam formulája Souam formulája megenged éleket a lapok között, de feltételezi, hogy a lapok Xi variációi folytonosan ragadnak össze az éleken. Ebben az esetben Xij = Xi Wij = Xj Wij választással a jobboldal harmadik blokkja eltűnik és megkapjuk Souam formuláját. k Z   XZ s 0 X V = Hi0 + 12 hIt0 , IIt i dσi + (Xij αij ) dσij n i=1 Fi i<j Wij http://www.doksihu 50 4. Skalár értékű Schläfli-formulák 4.34 Virágok térfogatának variációjára vonatkozó formula A formulából levezethető a virágok térfogatának variációját kifejező (2.2)

egyenlet a gömbön és a hiperbolikus térben. Használjuk a 22 részben bevezetett jelöléseket f ,.,H f )∩ Alkalmazzuk a (4.2) formulát a 0 görbületű Rn+1 euklideszi térben az f (H 1 k f tartományra. Ez egy görbült lapú politóp, melynek k + 1 lapja van: a C b ,.,C b M 1 k c falak és a B ∩ C b gömbdarabok. lapos DV-cellák és a Bf virág. A politóp élei a W ij f i c hipersíkok A (4.2) bal oldala eltűnik s = 0 miatt Mivel a virág variációjakor a H i mereven mozognak, az M hiperfelület pedig fix, ezért az Xi vektormezők választhatók Killing-mezőknek. Ekkor azonban a (42) egyenlet jobboldalának első blokkja eltűnik, mert Hi0 = 0, és Ii0 = 0 lesz. A variáció során a Bf és a Cbi lap által bezárt szög nem változik. A Wij élnél levő αij szög változik ugyan, de az éleken mindig konstans. Deriváltja előjeltől eltekintve egyenlő a Bi és Bj gömbök középpontjai közti gömbi távolság deriváltjával. Kis elemzéssel látható, hogy ez

az előjel nem más, mint a 2.12 szakaszban definiált fij előjel. Ily módon (42) második blokkja a (22) egyenlet jobboldalával egyenlő A (4.2) egyenlet jobboldalának harmadik blokkjában csak azokban a tagokban lehet 0-tól különböző az integrálandó függvény, amelyekben i a Bf lap indexével, mert a Cbi lapos cellákat tartalmazó hipersíkok Weingarten-operátora 0. Mivel az M hiperfelület fix, ezért a Bf laphoz tartozó Xi vektormező 0-nak választható. A Bf Weingartenoperátora a −1-gyel való szorzás Így a harmadik tagból megmaradó integrálok − Z ∂Bf hXij , nij i dσ alakban írhatók, ahol σ a Riemann-metrika által indukált térfogati mértékek a Bf peremén. A Stokes-tétel felhasználásával igazolható, hogy ez nem más, mint a Bf virág térfogatderiváltjának ellentettje. Így adódik a korábbi (22) egyenlet: Vf0 (t0 ) = X   fij d0ij (t0 )voln−1 Wij (t0 ) i<j A hiperbolikus tér virágaira hasonlóan kapható a (2.2)

formula, csak mivel ott az Rn+1 Lorentz-metrikával van ellátva, a (4.2) formulát az Rn+1 pszeudo-euklideszi térben kell alkalmazni. Az Euklideszi tér virágaira viszont ez a módszer közvetlenül nem alkalmazható, mert ott az Rn+1 -en levő metrika elfajuló. Határátmenettel viszont megkapható az euklideszi eset a görbült változatokból. http://www.doksihu 4.3 Az általánosított Schläfli-formula alkalmazásai 51 4.35 A virágok súlyozott felszínének monotonitását adó formula Vizsgáljuk meg, hogy mit ad az előző részben bemutatott Schläfli-típusú formula, ha közvetlenül egy állandó görbületű tér virágaira alkalmazzuk. Legyen M az ndimenziós hiperbolikus, euklideszi, vagy szférikus tér κ = s/(n2 − n) (konstans) görbülettel Legyen P = f (B1 , . , Bk ) egy virág M -ben A Bi (xi , ri ) gömb határa egy konstans κi = − r1i normálgörbületű hiperfelület Tekintsük P egy olyan Pt variációját, melyet a Bi kezdő objektumok merev

mozgatásával nyerünk. Ebben az esetben az Xi kezdő sebességmezők választhatók Killing-mezőnek. Ekkor azonban a (42) egyenlet jobboldalának első blokkja eltűnik, mert Hi0 = 0 és Ii0 = 0 lesz. Két gömb metszési szöge és annak idő szerinti deriváltja a metszet minden pontjá0 0 ban ugyanaz, így αij integrálja a Wij élen a Wij él térfogata szorozva αij -vel. Mivel ∂Bi umbilikus felület, a hozzá tartozó Li Weingarten-leképezés egyszerűen a κi számmal való szorzás. Ebből adódik, hogy a (42) egyenlet a következő egyszerűsített alakot ölti: 0 κ(n − 1)V (0) = X 0 αij σij (Wij ) + i<j XZ Wij i6=j {κi (Xij − Xi ), nij } dσij Mivel Xi egy Killing-mező, és Xij a Wij él változásával kompatibilis sebességmező, a Stokes-tétel miatt rögzített i-re P j6=i Wij {(Xij R − Xi ), nij } dσij az i-edik lap (n − 1)-dimenziós térfogatának deriváltja a t = 0 időpillanatban. Így a 42 Tétel alábbi speciális esetéhez

jutunk: 4.3 Tétel Az M n -ben mereven mozgó gömbökből épített virágok térfogatára érvényes a következő variációs formula: ∂t κ(n − 1)V + X σi (Fi ) i ri ! = t=0 X 0 αij σij (Wij ) i<j Ebből rögtön adódik egy monotonitási tétel: 4.4 Következmény Ha egy P = f (B1 , , Bk ) virág alakját úgy változtatjuk, hogy a Bi gömböket simán és mereven mozgatjuk, miközben a P politóp αij lapszögei nem nőnek, akkor a κ(n − 1)V + P i σi (Fi ) ri mennyiség szintén nem nő. Két egymást metsző Bi és Bj gömbre a Bi ∪ Bj unió α(Bi , Bj ) belső lapszöge a középpontok távolságának monoton növő függvénye. Véve egy f Boole-polinomot, amiben minden változó pontosan szerepel, definiálhatunk fij előjelet, mely teljesíti, hogy http://www.doksihu 52 4. Skalár értékű Schläfli-formulák tetszőleges gömbrendszerre a f (B1 , . , Bk ) virág αij belső lapszöge fij α(Bi , Bj )-től π egy konstans

többszörösével tér el. Ez azt jelenti, hogy a rögzített sugarú gömbökből felépített virág αij belső lapszöge az fij d(Pi , Pj ) előjeles középponttávolság monoton növő függvénye. Kis utánagondolással látható, hogy az imént definiált fij előjelek megegyeznek a 212 szakaszbeli értékükkel Vagyis a 43 Tétel következményeként a 32 Tétel alábbi általánosítását kapjuk: 4.5 Tétel Ha egy P = f (B1 , , Bk ) virágot a Bi = B(Pi , ri ) gömbök szakaszonként analitikus merev mozgatásával változtatunk úgy, hogy az előjeles fij dij (t) középponttávolságok a mozgás során monoton csökkennek, akkor az κ(n−1)V + nem növekszik. P i σi (Fi ) ri mennyiség http://www.doksihu 5. fejezet Vektor értékű Schläfli-formulák 5.1 Bevezetés J-M. Schlenker és R Souam további Schläfli-típusú formulákat vezetnek le az egészen friss [13] cikkükben, de most már nem skalár-, hanem vektor értékűeket A régi hagyományt

követve elég komoly differenciálgeometriai apparátust bevetve először teljesen sima határú felületekre bizonyítanak képleteket, és utána abból írnak át formulákat poliéderekre ugyanolyan határátmenettel, mint ahogy ezt a korábbi cikkekben tették. Végül pedig laposodó gömbi tereken át kapnak ezekből euklideszi formulákat Ez fölveti azt a kérdést, hogy hogyan lehetne határátmenet nélküli közvetlen bizonyítást adni ezekre a tételekre. Másrészt azt is, hogy van-e egy olyan általános, görbült lapú politópokra vonatkozó vektor értékű formula, aminek közvetlen speciális eseteként adódnak mind a sima határú tartományokra, mind a politópokra vonatkozó már ismert formulák. Ezeket a kérdéseket vizsgáltam, és az időközben kijött eredményeket foglalom össze ebben a fejezetben. Az 5.2 szakasz első felében ismertetem a 2-dimenziós sík és gömb vektor értékű Schläfli-formuláit és egy-egy figyelemre méltó elemi

bizonyítást adok rájuk. Ezután az 5.23 szakaszban egy szép alkalmazást mutatok az eddig bizonyított két formulára Ezek fölhasználásával ugyanis megmutatom, hogy a háromdimenziós euklideszi tér közönséges Schläfli-formulája ezen vektor értékű formulák közvetlen következménye. Ez további kutatásra ösztönöz abban az irányban, hogy miként lehetne magasabb dimenzióban is bizonyos vektor értékű formulákból kihozni más skalár értékű formulákat, jó lenne feltárni a vektor és skalár értékű formulák közti belső összefüggéseket. Az 5.3 szakaszban az 51 Tételből kiindulva intuitív módszerekkel megalkotom a benne szereplő formulának egy sima görbékre vonatkozó folytonos változatát (5.4 http://www.doksihu 54 5. Vektor értékű Schläfli-formulák Tétel), amit utána precízen be is bizonyítok. Utána ezt a tételt általánosítom görbült oldalú sokszögekre, és így az 55 Tételben egy új vektor értékű

Schläfli-formulát adok. Ez a jelen dolgozat legfőbb eredménye A képlet annyira általános, hogy közvetlen következménye mind a sokszögekre, mind a folytonos görbékre vonatkozó formula Megmutatom ugyanis, hogy egy-egy variálódó sokszögre lineáris infinitezimális variációkkal alkalmazzuk az 5.5 Tételt, visszakapjuk az 51 Tételt, amire így egy második elemi bizonyítást is nyerünk. További kérdés, hogy hogyan kell ugyanezt megcsinálni magasabb dimenzióban, és hogy mi lesz az 5.21 formula magasabb dimenziós megfelelője 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban Ebben a szakaszban egy adott deformálódó alakzatból származó, vele együtt változó h mennyiség esetén a h0 -vel a h függvény 0 időpontbeli deriváltját fogjuk jelölni. 5.21 R2 vektor értékű Schläfli-formulája 5.1 Tétel Tekintsünk egy sokszöget az R2 síkon A sokszög csúcsait valamely körüljárás szerint jelölje x1 , , xk , a nekik megfelelő irányított

külső szögeket (modulo 2π) jelölje rendre θ1 , . , θk ∈ S1 Az xj−1 xj oldal hossza legyen `j > 0, jelölje továbbá nj az − x−−− x oldalvektor π szögű elforgatottjának a normáltját. Ekkor a sokszög bármely j−1 j 2 elsőrendű variációja esetén az oldalak variációi kielégítik az alábbi egyenleteket: i) k X θj0 = 0, (5.1) j=1 ii) k X θj0 xj + j=1 k X `0j nj = 0. (5.2) j=1 Megfordítva, bármely (`01 , . , `0k , θ10 , , θk0 ) ∈ R2k vektorhoz, ami kielégíti a fenti két egyenletet, létezik a sokszögnek egy (egyértelműen meghatározott) elsőrendű variációja, melynél a szögek és oldalak variációja éppen ez a vektor. Bizonyítás. A bizonyítás során az R2 ∼ = C azonosítást használjuk, vagyis a sík pontjaival mint komplex számokkal számolunk. A Θ = Rk+ × Rk konfigurációs tér minden ϑ = (`1 , . , `k , θ1 , , θk ) ∈ Θ vektora egybevágóság erejéig egyértelműen meghatároz egy

töröttvonalat a síkon, melynek a végén ki van jelölve egy új irány. Ezt a következőképpen kaphatjuk meg: http://www.doksihu 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban 55 5.1 Ábra Sokszög • Indítsuk a töröttvonalat a komplex számsík origójából a pozitív félegyenes irányába. • Mérjünk föl egy `1 hosszú szakaszt. Ennek végpontja x1 = `1 lesz Forgassuk el az irányvektort θ1 szöggel. Így az eiθ1 vektort kapjuk, amit válasszunk a következő oldal irányvektorának. • Mérjünk föl egy `2 hosszú szakaszt. Ennek végpontja x2 = `1 +`2 eiθ1 lesz Forgassuk el az irányvektort θ2 szöggel Így az ei(θ1 +θ2 ) vektort kapjuk, amit válasszunk a következő oldal irányvektorának. . . • Mérjünk föl egy `k hosszú szakaszt. Ennek végpontja xk = `1 + `2 eiθ1 + + `k ei(θ1 +.+θk−1 ) lesz Forgassuk el az irányvektort θk szöggel Így az ei(θ1 ++θk ) vektort kapjuk, amit válasszunk a töröttvonal végén kijelölt iránynak.

Bizonyítás. A ϑ vektor pontosan akkor tartozik egy sokszöghöz, ha az általa meghatározott töröttvonal záródik, és a végén kijelölt irány egyezik a kezdőiránnyal A záródás feltétele, vagyis hogy xk = 0, a következő alakban írható föl: f1 (ϑ) := `1 + `2 eiθ1 + `3 ei(θ1 +θ2 ) + . + `k ei(θ1 ++θk−1 ) = 0 (5.3) http://www.doksihu 56 5. Vektor értékű Schläfli-formulák A kezdő és a végső irány egyenlősége pedig az alábbi egyenlettel ekvivalens: f2 (ϑ) := ei(θ1 +.+θk ) = 1 (5.4) A két kifejezésből hozzuk létre az f = (f1 , f2 ) : Θ C × S1 sima függvényt. A sokszögekhez tartozó ϑ vektorok tere tehát a C × S1 térbeli (0, 1) reguláris pont f −1 (0, 1) ősképeként adódó Θ-beli 3 kodimenziós részsokaság. Tekintsük most a sokszög egy variációját. A deformálódó sokszög megadható egy γ : R f −1 (0, 1) ⊆ Θ, γ(t) = (`1 (t), . , `k (t), θ1 (t), , θk (t)) sima függvénnyel, melyre γ(0) = ϑ.

Tekinthetjük γ-t úgy, mint egy sima görbét, ami a Θ konfigurációs tér egy f −1 (0, 1) részsokaságában fut, és áthalad a ϑ ponton. Világos továbbá az is, hogy minden ilyen sima görbéhez tartozik a sokszögnek egy deformációja. A γ görbe 0-beli γ 0 (0) sebességvektora éppen a ϑ-nak megfelelő sokszög oldalainak és szögeinek (`01 , . , `0k , θ10 , , θk0 ) elsőrendű variációja Mivel γ speciálisan a f −1 (0, 1) részsokaságban fut, a 0-beli sebességvektora (ϑ-ban) érinti a részsokaságot. Igaz továbbá az is, hogy a részsokaság minden ϑ-beli érintővektorához létezik egy benne futó ϑ-n átmenő γ sima görbe, aminek éppen ez a ϑ-beli sebességvektora. Azt kaptuk tehát, hogy a sokszög oldalainak és szögeinek lehetséges elsőrendű variációi éppen az f −1 (0, 1) részsokaság ϑ-beli érintővektorai. Ismert, hogy egy sima függvény reguláris értékének inverz képeként definiált részsokaság érintővektorai a

befoglaló térnek a sima függvény gradiensére merőleges vektorai. Tehát előbbi feltételünk egyenértékű azzal, hogy (`01 , , `0k , θ10 , , θk0 ) merőleges az f 0 (ϑ) gradiensvektorra. Vegyük észre, hogy ha az f ◦γ ≡ (0, 1) konstans függvényt deriváljuk a 0-ban, formálisan ugyanezt a feltételt kapjuk Valóban, a kompozíció függvény 0-beli deriváltja f 0 (ϑ)γ 0 (ϑ) = 0, ami a γ 0 (ϑ) sebességvektor és a f 0 (ϑ) gradiensvektor merőlegességét jelenti. Deriváljuk tehát az (5.3) és (54) kifejezéseket A második komponens deriváltja (f2 ◦ γ)0 (0) = (θ10 + . + θk0 )ei(θ1 ++θk ) = 0 http://www.doksihu 57 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban Ez pontosan akkor teljesül, ha θ10 + . + θk0 = 0, ami az i) pont állítása. Az első komponens deriváltja (f1 ◦ γ)0 (0) = `01 + `02 eiθ1 + `03 ei(θ1 +θ2 ) + . + `0k ei(θ1 ++θk−1 ) + 0 )ei(θ1 +.+θk−1 ) = 0 + `2 iθ10 eiθ1 + `3 i(θ10 + θ20 )ei(θ1 +θ2 ) +

. + `k i(θ10 + + θk−1 Szorozzunk i-vel, és rendezzük a tagokat a derivált tényezők szerint. `01 i + `02 ieiθ1 + `03 iei(θ1 +θ2 ) + . + `0k iei(θ1 ++θk−1 ) −   −θ10 `2 eiθ1 + `3 ei(θ1 +θ2 ) + . + `k ei(θ1 ++θk−1 ) −   −θ20 `3 ei(θ1 +θ2 ) + . + `k ei(θ1 ++θk−1 ) − . .   0 −θk−1 `k ei(θ1 +.+θk−1 ) = 0 Ebben az összegen minden `0j együtthatójú tag a j-edik oldal irányvektorának i-szerese, így nem más, mint nj . Egy θj0 együtthatójú tag pedig az f1 (ϑ)-t definiáló (5.3) összeg utolsó k − j tagjából áll, így lecserélhetjük a maradék rész (első j tag) ellentettjére, ami viszont éppen xj . Ezek alapján az iménti egyenlet az 0 xk−1 + θk0 xk = 0 `01 n1 + `02 n2 + `03 n3 + . + `0k nk + θ10 x1 + θ20 x2 + + θk−1 alakot ölt, ami az ii) pont állítása. 5.22 S2 vektor értékű Schläfli-formulája 5.2 Tétel Tekintsünk egy sokszöget az S2 gömbön A sokszög csúcsait

valamely körüljárás szerint jelölje x1 , , xk , a nekik megfelelő irányított külső szögeket (modulo 2π) jelölje rendre θ1 , . , θk ∈ S1 Az xj−1 xj oldal hossza legyen `j ∈ (0, π), jelölje továbbá http://www.doksihu 58 5. Vektor értékű Schläfli-formulák nj ∈ S2 az xj−1 xj oldal tetszőleges pontbeli egység hosszú sebességvektorának π 2 szögű elforgatottját az érintősíkban. Ekkor a sokszög bármely elsőrendű variációja esetén az oldalak variációi kielégítik az alábbi egyenletet: k X j=1 θj0 xj + k X `0j nj = 0. j=1 Megfordítva, bármely (`01 , . , `0k , θ10 , , θk0 ) ∈ R2k vektorhoz, ami kielégíti a fenti egyenletet, létezik a sokszögnek egy (egyértelműen meghatározott) elsőrendű variációja, melynél a szögek és oldalak variációja éppen ez a vektor. + + + 3 2 Bizonyítás. Legyen b+ 0 = (x0 , v0 , n0 ) az R ⊇ S befoglaló tér természetes ortonor- mált bázisa, ahol x0+ = (1, 0,

0)> , v0+ = (0, 1, 0)> , n0+ = (0, 0, 1)> (5.5) A Θ = (0, π)k × (S1 )k konfigurációs tér minden ϑ = (`1 , . , `k , θ1 , , θk ) ∈ Θ vektora egybevágóság erejéig egyértelműen meghatároz egy gömbi töröttvonalat, melynek a végén ki van jelölve egy új irány. Ezt a következőképpen kaphatjuk meg: • Indítsuk a töröttvonalat a gömb x0+ pontjából a v0+ érintővektor irányába. • Mérjünk föl egy `1 hosszú szakaszt. Ennek végpontját jelölje x1 , és ottani egység hosszú sebességvektorát v1− . Ezután forgassuk el v1− -t θ1 szöggel az x1 -beli érintősíkban. A kapott v1+ vektort válasszuk a következő oldal kezdő sebességvektorának. • Mérjünk föl egy `2 hosszú szakaszt. Ennek végpontját jelölje x2 , és ottani egység hosszú sebességvektorát v2− . Ezután forgassuk el v2− -t θ2 szöggel az x2 -beli érintősíkban. A kapott v2+ vektort válasszuk a következő oldal kezdő sebességvektorának. . .

• Mérjünk föl egy `k hosszú szakaszt. Ennek végpontját jelölje xk , és ottani egység hosszú sebességvektorát vk− . Ezután forgassuk el vk− -t θk szöggel az xk -beli érintősíkban. A kapott vk+ vektort válasszunk a töröttvonal végén kijelölt iránynak. http://www.doksihu 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban 5.2 Ábra 2-dimenziós gömbsokszög 59 http://www.doksihu 60 5. Vektor értékű Schläfli-formulák − Bizonyítás. Minden i-re vezessük be az xj− = xj+ := xj és az nj+1 = nj+ := nj jelöléseket. Az iméntiekben definiált vektorok a sokszög minden csúcsában egy oda befutó b+ j 3 2 és egy onnan kifutó b− j jobbrendszerű ortonormált bázist alkotnak az R ⊇ S befoglaló térben: − − − − + + + b+ j = (xj , vj , nj ) és bj = (xj , vj , nj ) (5.6) Minden ϑ-hoz rendeljük hozzá a belőle származó + − + − b+ 0 , b1 , b1 , b2 , . , bk ortonormált bázis sorozatot. A ϑ vektor pontosan akkor

tartozik egy gömbi sokszöghöz, ha az általa meghatározott töröttvonal záródik, és a végén kijelölt irány egyezik a kezdőiránnyal, vagyis ha teljesül, hogy xk+ = x0+ és vk+ = v0+ . (5.7) Mivel a gömb irányítható, az (5.7) feltételből következik, hogy nk+ = n0+ Így annak, hogy ϑ egy sokszöget határoz meg, az a feltétele, hogy a hozzá tartozó bázis sorozat első és utolsó eleme megegyezik, vagyis + b+ k = b0 . (5.8) A továbbiakban az előző ponthoz hasonló módon fogunk eljárni. Az (58) feltételből (korábban az (5.3) és (54)-ből) előállítottunk egy a konfigurációs téren értelmezett sima függvényt, aminek egy adott reguláris értékének ősképeként állna elő a megfelelő ϑ-k. Ezután ugyanaz a gondolatmenet mutatja, hogy a kapott függvény deriváltja adja az elsőrendű variációra vonatkozó kritériumot. − Vizsgáljuk meg az egymást követő bázisok kapcsolatát. A b+ j−1 bázist a bj bázisba − a origón

átmenő nj irányú tengely körüli `j szögű forgatás viszi át. Tehát a b+ j−1 bj átmenetet az xj− = + + cos `j xj−1 + sin `j vj−1 + + vj− = − sin `j xj−1 + cos `j vj−1 + nj− = nj−1 http://www.doksihu 61 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban + egyenletek adják. A b− j bázist a bj bázisba az origón átmenő xj+1 irányú tengely körüli + θj szögű forgatás viszi át. Tehát a b− j bj átmenetet az xj+ = xj− vj+ = cos θj vj− + sin θj nj− nj+ = − sin θj vj− + cos θj nj− egyenletek adják. Jelölje N` és Mθ az imént említett transzformációkhoz tartozó forgatásmátrixokat:  cos ` − sin ` 0   N` =  sin `  0    , cos ` 0   0 1  1 0 0      Mθ =  0 cos θ − sin θ  .   0 sin θ cos θ Az egymást követő bázisokat az ezekkel való jobbról szorzás viszi át egymásba: + b− j = bj−1 N`j , − b+ j = bj Mθj . Ezen

átmenetek egymás utáni alkalmazásával + b+ 0 N`1 Mθ1 . N`k Mθk = bk | {z } b− 1 | {z b+ 1 } adódik. Ezt összevetve az (58) egyenlőséggel, a záródás feltétele az N `1 M θ 1 . N `k M θ k = I (5.9) új alakot ölti, ahol I az egységmátrixot jelöli. Így az f (ϑ) = N`1 Mθ1 . N`k Mθk alakban megkaptuk a keresett sima függvényt. A ϑ tehát pontosan akkor lehet egy deformálódó gömbi sokszög oldalainak és szögeinek elsőrendű variációja, ha teljesül rá az f 0 (ϑ) = I http://www.doksihu 62 5. Vektor értékű Schläfli-formulák egyenlőség. A Leibniz-szabály szerint fejtsük ki az egyenlet bal oldalát k z X }| { }| z { N`1 Mθ1 . N`j Mθ0 j N`j+1 N`k Mθk + j=1 k z X }| { }| z { N`1 Mθ1 . Mθj−1 N`0j Mθj N`k Mθk = 0 j=1 A megjelenő forgatásmátrixok deriváltjai:  − sin ` − cos ` 0    N`0 = `0     0 −`0 0     0 = N`  `0 cos ` − sin ` 0 

  0 0 0 0 0 0 0        0   0 0 0  0 0       0 − sin θ − cos θ  =  0 0 −θ 0  Mθ Mθ0 = θ0      0 θ0 0 0 cos θ − sin θ A ferdén szimmetrikus mátrixok azonosíthatók R3 -beli vektorokkal. Minden a ∈ R3 vektorral való vektoriális balszorzás egyenlő egy Aa ferdén szimmetrikus mátrixszal való balszorzással, és viszont, az alábbi összefüggés alapján:  0 −a3   a × b = Aa b =  a 3  0 −a2 a1 a2   b   1   b  . −a1    2 0 b3 Ennek fölhasználásával a forgatásmátrixok deriváltja az N`0 = N` A`n+ 0 Mθ0 = Aθx+ Mθ 0 alakot ölti. Írjuk be ezeket a derivált egyenletbe k z X }| { z }| { N`1 Mθ1 . N`j Aθ0 x+ Mθj N`k Mθk + j=1 j 0 k z X }| { z }| { N`1 Mθ1 . N`j A`0 n+ Mθj N`k Mθk = 0 j=1 j 0 Az Aa ferdén szimmetrikus mátrixok előtt-, illetve

után álló szorzatok az (5.9) feltétel miatt egymás inverzei. Az Aa mátrixot egy ilyen Φ ortogonális mátrixszal való konjugálás a ΦAa Φ−1 = AΦa http://www.doksihu 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban 63 egyenlőség szerint transzformál át, amit az alábbi átalakítás mutat: ΦAa Φ−1 b = Φ(a × Φ−1 b) = Φa × ΦΦ−1 b = Φa × b = AΦa b Alkalmazva ezt az azonosságot k X AN ` j=1 Mθ1 .N`j θj0 x0+ 1 + k X AN` j=1 1 Mθ1 .N`j `0j n+ 0 =0 adódik. Kihasználva az A operátor linearitását APk (N` Mθ .N` θ0 x+ +N` Mθ N` `0 n+ ) = 0 1 1 1 1 j j 0 j j 0 j=1 Mivel A injektív, ebből következik, hogy k  X  N`1 Mθ1 . N`j θj0 x0+ + N`1 Mθ1 N`j `0j n0+ = 0 j=1 Szorozzunk be tagonként balról a b+ 0 bázissal. k  X  0 + + 0 + b+ =0 0 N`1 Mθ1 . N`j θj x0 + b0 N`1 Mθ1 N`j `j n0 j=1 A forgatásmátrixok bázisról-bázisra transzformálják át a b+ 0 -t. k  X  0 + − 0 + b− =0 j θj x0 + bj `j n0

j=1 A bázisok (5.6) definícióját és az alap bázisvektorok (55) alakját figyelembe véve k  X  θj0 xj− + `0j nj− = 0 j=1 adódik, éppen az, amit bizonyítani akartunk. 5.23 R3 skalár értékű Schläfli-formulája A következőkben megmutatjuk azt az érdekes tényt, hogy az iménti 2-dimenziós vektor értékű Schläfli-formulából ki lehet hozni a 3-dimenziós euklideszi tér skalár értékű Schläfli-formuláját. http://www.doksihu 64 5. Vektor értékű Schläfli-formulák 5.3 Tétel Tekintsünk egy poliédert az R3 euklideszi térben Jelölje C, E, L a poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak a halmazát. A poliéder bármely elsőrendű deformációja esetén fennáll a X θe0 `e = 0 e∈E egyenlőség, ahol `e az e él hossza, θe pedig a poliéder e élénél levő lapszöge. Bizonyítás. A poliéder minden csúcsa körül rajzolunk egy kicsi S2 gömböt Minden ilyen kis gömb egy gömbi sokszögben metszi a poliédert. Ahogy

deformálódik a poliéder, úgy deformálódnak ezek a gömbi sokszögek is Írjuk föl ezekre az S2 -beli vektor értékű formulát. Egy metszetsokszög valamely csúcsánál levő belső szöge éppen a poliéder ott találkozó két lapja által bezárt θe belső szög. Válasszuk a kimetszett gömbi sokszögek körüljárási irányait pozitívnak. Ekkor a gömbi sokszögeknek az e élnél levő irányított külső szögei θe − π nagyságúak. Így azok deriváltjai θe0 -vel egyenlők. A poliéder x csúcsához tartozó metszetsokszögnek a poliéder L lapján levő oldalának hosszát jelölje `x,L . Ekkor a sokszögre felírt gömbi Schläfli-formula a X θe0 vx,e + e∈E x∈e X `0x,L nL = 0 L∈L x∈L formában írható föl, ahol vx,e a poliéder e élének az x végpontjából a másik végpontjába mutató egység hosszú irányvektora, nL pedig az L lap külső normális egységvektora. Szorozzuk be skalárisan az x csúcsához tartozó egyenletet az x-szel,

majd összegezzük őket a csúcsokra. XX θe0 hx, vx,e i + x∈C e∈E x∈e XX `0x,L hx, nL i = 0 (5.10) x∈C L∈L x∈L A második összeget rendezzük át úgy, hogy az egy laphoz tartozó tagok kerüljenek egy belső összegbe: X X `0x,L hx, nL i L∈L x∈C x∈L Egy rögzített L lap csúcsaira az hx, nL i skaláris szorzat értéke konstans, mégpedig az L lap origótól mért távolságával egyenlő. Ennélfogva minden belső összegből kiemelhető http://www.doksihu 5.2 Schläfli-formulák alacsony dimenziókban 5.3 Ábra 3-dimenziós poliéder 65 http://www.doksihu 66 5. Vektor értékű Schläfli-formulák a skaláris szorzat: X d(0, L) L∈L X `0x,L x∈C x∈L A mostani belső összegek viszont mind eltűnnek az R2 -beli vektor értékű Schläfliformula miatt. Ugyanis az 51 egyenlőséget az L lapra alkalmazva `0xL = 0 X x∈C x∈L adódik. Tehát az (5.10) egyenlet második összege eltűnik Ami megmarad: XX θe0 hx, vx,e i = 0 x∈C

e∈E x∈e Ezt az összeget is rendezzük át, most viszont az élek szerint. Azt kapjuk, hogy X   θe0 he1 , ve1 ,e i + he2 , ve2 ,e i = 0, e∈E ahol e1 és e2 az e él végpontjait jelöli. Fölhasználva, hogy ve2 ,e = −ve1 ,e , emeljük ki az él irányvektorát. X θe0 he1 − e2 , ve1 ,e i = 0 e∈E Mivel ve1 ,e az e2 − e1 vektor normáltja, az he1 − e2 , ve1 ,e i skaláris szorzat az e él hosszának az ellentettje. Így az előbbi egyenlőségből a X θe0 `e = 0 e∈E egyenlőség következik. Ez pont az, amit bizonyítani akartunk 5.3 Vektor értékű Schläfli-formula görbe oldalú sokszögekre Ebben a szakaszban sima görbékre vonatkozó összefüggéseket tárgyalunk. Az idő szerinti deriválás mellett így megjelenik a görbe menti deriválási művelet is. Ezért az előző szakaszhoz képest célszerű kissé módosítani a jelöléseket. Az időben változó h http://www.doksihu 67 5.3 Vektor értékű Schläfli-formula görbe oldalú

sokszögekre mennyiség 0-beli deriváltjára mostantól használjuk a ḣ jelölést. Ha pedig h egy sima görbén értelmezett mennyiség, akkor a h-nak a görbe menti deriváltfüggvényét jelöljük h0 -vel. Legyen γ : I R2 egy szakaszonként sima, folytonos, zárt görbe, ahol I ⊂ R egy zárt intervallum. A γ kísérő Frenet-bázisát alkossák a T, N : I R2 vektormezők Rα -val jelölve az α szögű forgatást, fennáll, hogy N = R π2 (T). A továbbiakban léptennyomon használni fogjuk a T0 = vκN N0 = −vκT, Frenet-képleteket, melyekben v = |γ 0 | a γ sebességfüggvénye, valamint κ = det(γ 0 ,γ 00 ) |γ 0 |3 a γ előjeles görbületi függvénye. Tekintsük most γ egy variációját. Vegyünk hozzá egy vele kompatibilis γ ε deformációt, aminek az ε = 0 körüli hatványsora γ ε = γ + εX + . , ahol az X = γ̇ vektormező a γ kezdő sebességmezője. 5.31 Variációs formula sima határú síkidomokra Megkísérlünk felírni egy sima

görbére vonatkozó vektorértékű variációs formulát. Ezt a síkbeli sokszögekre bizonyított (5.2) formula analógiájára próbáljuk megalkotni Idézzük fel tehát a sokszögek variációjára fennálló i) k X θ̇i = 0 i=1 ii) k X i=1 θ̇i xi + k X `˙i ni = 0 (5.11) i=1 egyenleteket. A sokszöget most egy záródó γ sima görbe helyettesíti Közelítsük γ-t növekvő csúcsszámú beírt sokszögek sorozatával. A k-adik sokszög csúcsai legyenek xk,i = γ   i k , i = 1, . , k Ekkor a sokszög oldalainak hossza `k,i = γ Nagy k esetén nk,i ≈ N   i k , továbbá k γ   i k −γ  i−1 k  ≈ γ0   i k   i k −γ = v  i−1 k   i k  . . Ezt http://www.doksihu 68 5. Vektor értékű Schläfli-formulák fölhasználva az ii) formula második összegének határértéke: lim k∞ k X `˙k,i nk,i = lim k∞ i=1 = lim k∞ k X k X 1 i i=1 k v k i k   i k −γ   i−1 k   ˙N i k =

i=1   ˙N γ = lim k∞ k X 1 i=1 k   (v̇N) i k = Z v̇N Az ii) formula első összegének megfelelőjét más módszerrel állítjuk elő, mivel a sokszög szögeinek θ̇i deriváltját adó képlet igen komplikált lenne. E helyett koncentráljunk a θ̇i együttható-sorozat azon tulajdonságára, hogy a belőle képzett Pk i=1 θ̇i xi összeg ér- téke független az origó választásától. A sokszög esetében ezt az i) egyenlet garantálja, ami a külső szögek összegére vonatkozó Pk i=1 θi = 2π összefüggés deriválásával kapható meg. Ennek analogonja viszont ismert a sima esetben, ez a teljes görbületre vonatkozó R R vκ = 2π formula. Ennek időderiváltjaként (vκ)˙ = 0 adódik, ahol az integrandust használva súlyfüggvényként egy vektorértékű integrálban, annak értéke független lesz R az origó választásától. Így (vκ)˙γ tűnik az ii) pontbeli második összeg megfelelőjének Tehát az ii) formula sima

változatára a jelöltünk az Z (vκ)˙γ + Z v̇N = 0 egyenlet. Ahhoz, hogy bebizonyítsuk az így kapott összefüggést, számoljuk ki a benne szereplő együtthatófüggvényeket. A sebességfüggvény időderiváltja: v̇ = hγ 0 , γ 0 i˙ 2 hX0 , γ 0 i = = hX0 , Ti 2v 2v Nézzük most a variálódó κε = det(γ 0 +εX0 ,γ 00 +εX00 ) |γ 0 +εX0 |3 görbületfüggvény időderiváltját. Használjuk föl, hogy a determinánst szorzatként lehet deriválni, hogy det(a, b) = http://www.doksihu 69 5.3 Vektor értékű Schläfli-formula görbe oldalú sokszögekre D E D E R π2 (a), b = a, R− π2 (b) , és hogy γ 00 = (vT)0 = v 0 T + vT0 = v 0 T + v 2 κN. κ̇ = det(X0 , γ 00 ) + det(γ 0 , X00 ) 0 00 3 − det(γ , γ ) 4 hX0 , Ti = 3 v v = det(X0 , γ 00 ) − det(X00 , γ 0 ) det(γ 0 , γ 00 ) 3 hX0 , Ti = − 3 3 v v v = det(X0 , v 0 T + v 2 κN) − det(X00 , vT) 3 − κ hX0 , Ti = 3 v v = hX0 , v 2 κT − v 0 Ni + hX00 , vNi 3κ hX0 , Ti

= − v3 v =− 2κ 1 hX0 , Ti + 3 h−v 0 X0 + vX00 , Ni = v v =− E 2κ 1D 0 0 (X /v) , N hX0 , Ti + v v Így a másik együtthatófüggvény: 0 D E D 0 E (vκ)˙ = v̇κ + v κ̇ = κ hX0 , Ti − 2κ hX0 , Ti + (X0 /v) , N = −κ hX0 , Ti + (X0 /v) , N 5.4 Tétel Egy deformálódó R2 -beli zárt, sima γ görbére és annak a pillanatnyi X infinitezimális variációjára fennáll az Z  D 0 0 0 E −κ hX , Ti + (X /v) , N γ+ Z hX0 , Ti N = 0 (5.12) variációs formula. Bizonyítás. Bontsuk föl X-et a Frenet-bázisban, X koordinátafüggvényeit jelölje f és g. X = f T + gN X0 = (f 0 − vκg)T + (vκf + g 0 )N X0 /v = (f 0 /v − κg)T + (κf + g 0 /v)N D 0 E (X0 /v) , N = κ(f 0 − vκg) + (κf + g 0 /v)0 κ hX0 , Ti = κ(f 0 − vκg) http://www.doksihu 70 5. Vektor értékű Schläfli-formulák Ezek alapján helyettesítsünk be az (5.12) bal oldalába: Z  D 0 0 0 −κ hX , Ti + (X /v) , N = = = = = = E  0 γ + hX , Ti N

= Z   (κf + g 0 /v)0 γ + (f 0 − vκg)N = Z  (κf + g 0 /v)γ Z  Z  Z  Z  0 0 0 0 0 (κf + g /v)γ (κf + g /v)γ (κf + g 0 /v)γ 0  − (vκf + g 0 )T + (f 0 − vκg)N = 0  0 + (−vκf T + f N) − (g T + vκgN) = 0 0 0 0  (5.13) + (f N + f N) − (g T + gT ) =  + (f N)0 − (gT)0 = (κf + g 0 /v)γ + f N − gT 0 Ez az integrál pedig zárt görbén 0, amivel igazoltuk a tétel állítását. 5.32 Variációs formula görbe oldalú sokszögekre Most vizsgáljuk meg, hogy mit mondhatunk görbe oldalú sokszögekről, vagyis a sík zárt, folytonos, szakaszonként sima görbéiről. Legyen γ egy ilyen görbe A töréspontjait – csúcsait – jelölje xi = γ(ti ), i = 1, , k, ahol t monoton növő Az egyszerűség kedvéért egy γ menti h függvény esetén jelölje [h]xi a h ugrását a ti pontban, továbbá R xi xi−1 h, illetve [h]xxii−1 a h integrálját, illetve megváltozását a (ti−1 , ti ) nyílt

intervallu- mon. A γ variációját az oldalainak egymástól független deformációinak kezdő sebességmezőjével fogjuk leírni, tehát a csúcsokban nem kötjük ki, hogy az ott találkozó vektormezők illeszkedjenek egymáshoz. Hogy ez megtehessük, tegyük a következőket Az i-edik oldalra megszorított γ függvényt terjesszük ki az egész számegyenesre a γ i : R R2 sima görbévé, amire tehát fennáll, hogy γ i |[ti−1 ,ti ] = γ|[ti−1 ,ti ] . Minden γ i görbének vegyük egy γ variációjával kompatibilis γ iε deformációját, aminek ε = 0 körüli hatványsora γ iε = γ i + εXi + . , ahol az Xi = γ̇ i vektormező a γ i kezdő sebességmezője. Az Xi vektormezőkből rakjunk össze egy γ menti szakaszonként sima X vektormezőt az X1 |(ti ,ti+1 ) = X|(ti ,ti+1 ) összefüggések alapján. Az előbbi bizonyítás (5.13) egyenlősége ebben az általánosabb esetben is fennáll, http://www.doksihu 71 5.3 Vektor értékű Schläfli-formula

görbe oldalú sokszögekre csak most a derivált integrálja nem tűnik el, hanem a Newton-Leibniz-formula alapján a következőképpen néz ki: Z  0 0 (κf + g /v)γ + f N − gT = k Z X xi 0 [(κf + g 0 /v)γ + f N − gT] = i=1 xi−1 = k X x [(κf + g 0 /v)γ + f N − gT]xii−1 = − i=1 k X [(κf + g 0 /v)γ + f N − gT]xi (5.14) i=1 Vajon mi ezeknek a csúcsokhoz tartozó tagoknak a geometriai jelentése? Azt várjuk, hogy a végső formulában lesz egy (5.11) első tagjának megfelelő komponens Számoljuk ezért ki, hogy mit ad a Pk i=1 θ̇i xi összeg γ esetén. Először azt nézzük meg, hogy a sokszög deformációját leíró X vektormező miként határozza meg a sokszög csúcsainak elsőrendű variációját. Vegyük a sokszög egy xi = γ(ti ) csúcsát. Egy γ menti h függvény esetén vezessük be a h1 = limti −0 h és h2 = limti +0 h jelöléseket. Írjuk föl az X1 , X01 , X2 , X02 , T2 , N2 vektorok mindegyikét a (T1 , N1 )

Frenetbázisban: X1 = f1 T1 + g1 N1 X01 = (f10 − v1 κ1 g1 )T1 + (g10 + v1 κ1 f1 )N1 T2 = cos θ T1 + sin θ N1 N2 = − sin θ T1 + cos θ N1 A γ 1ε és a γ 2ε görbék a 0 egy kicsi környezetében levő minden ε pillanatban metszik egymást. Jelölje xi,ε ezt a metszéspontot Az xi,ε görbe az xi csúcs γ variációjának megfelelő deformációja. Legyen X̄i = ẋi az xi csúcs kezdő sebességvektora Vezessük be az α1 , α2 függvényeket, amikre minden ε esetén teljesül, hogy xi,ε = γ 1 (α1 (ε)) = γ 2 (α2 (ε)). Ahhoz, hogy megkapjuk az X̄i sebességvektort, az γ 1ε = γ 1 + εX1 + . γ 2ε = γ 2 + εX2 + . (5.15) http://www.doksihu 72 5. Vektor értékű Schläfli-formulák sorfejtések felhasználásával deriváljuk az (5.15) egyenletet X̄i = X1 + γ 01 α10 = X1 + v1 α10 T1 = X1 + v1 α10 T1 (5.16) Innen α10 -re a D v1 α10 = X̄i − X1 , T1 E (5.17) előállítást nyerjük. Természetesen ugyanezek igazak indexcserével is Az

(516) összefüggés eljárást ad az xi csúcs X̄i sebességvektorának megszerkesztésére a csúcs oldalakhoz tartozó sebességvektoraiból és az oldalak ottani irányvektoraiból Ugyanis (516) geometriailag azt jelenti, hogy az X̄i vektor végpontja illeszkedik az X1 végpontján át a T1 -gyel páthozamos egyenesre, és ugyanígy a másik oldalhoz tartozó egyenesre is, tehát X̄i ezek metszéspontja. Számoljuk most ki az xi -nél levő θi szög deriváltját. Ehhez szükségünk lesz Tε = γ 0ε vε vektormező 0-beli időderiváltjára: γ̇ 0 v − γ 0 v̇ X0 v − γ 0 hX0 , Ti X0 − hX0 , Ti T Ṫ = = = v2 v2 v Deriváljuk most a cos θi,ε = hT1ε (α1 (ε)), T2ε (α2 (ε))i összefüggést, és jelölje mindenhol az addig leírt tagok 1 ↔ 2 indexcserével való megismétlését. * −θ̇ sin θ = X01 − hX01 , T1 i T1 , T2 + hv1 κ1 N1 α10 , T2 i + v1 + = hX01 , T2 i − hX01 , T1 i hT1 , T2 i + v1 κ1 α10 hN1 , T2 i + v1 = (f10 − v1 κ1 g1 ) cos

θ + (g10 + v1 κ1 f1 ) sin θ − (f10 − v1 κ1 g1 ) cos θ + v1 κ1 α10 sin θ − v1 = (g10 /v1 + κ1 f1 + v1 κ1 α10 ) sin θ − Innen a szög deriváltjára a h θ̇ = κf + g 0 /v + vκα0 i (5.18) xi előállítást kapjuk. Ez nagyon hasonlít az (514)-beli γ együtthatójához A két kifejezés különbsége viszont az (5.17) egyenletből már ismerős: h D [vκα0 ]xi = κ X̄i − X, T Ei xi (5.19) http://www.doksihu 73 5.3 Vektor értékű Schläfli-formula görbe oldalú sokszögekre Végül vegyük észre, hogy f N − gT = R π2 (f T + gN) = R π2 (X), így az (5.14) még hátralevő része [f N − gT]xi = R π2 ([X]xi ) (5.20) alakban írható föl. Az (5.18), (519), (520) eredményeket az (514) kifejezésbe helyettesítve: − 0 Z  (κf + g 0 /v)γ + f N − gT = k X k h D X θi0 xi − κ X̄i − X, T i=1 Ei i=1 xi xi + k X R π2 ([X]xi ) i=1 Ezt beírva az (5.13) formulába, a következő tételt kapjuk 5.5 Tétel Egy

deformálódó R2 -beli zárt, szakaszonként sima γ görbére és annak a pillanatnyi X sebességmezőjére fennáll az Z  0 D −κ hX0 , Ti + (X0 /v) , N + k X θi0 xi − k h D X κ X̄i − X, T E Ei xi i=1 i=1 γ+ Z xi + hX0 , Ti N + k X R π2 ([X]xi ) = 0 (5.21) i=1 variációs formula. Alkalmazzuk most ezt az általános képletet egy sokszögre, és nézzük meg mit kapunk ekkor. Vegyünk egy sokszöget leíró ívhossz szerint paraméterezett γ : I R2 görbét. A sokszög variációját meghatározzák a csúcsainak az X̄i sebességvektorai A ti 7 X̄i függvényt terjesszük ki I-re az osztópontok között lineárisan, vagyis legyen X|[ti−1 ,ti ] (t) = (1 − t)X̄i−1 + tX̄i minden i-re. Az így definiált X sebességmező kompatibilis γ variációjával Az (511)-beli mennyiségek a következőképpen alakulnak: v = 1, v 0 = 0, κ = 0, X0 |(ti−1 ,ti ) = X̄i − X̄i−1 , valamint X00 = 0 majdnem mindenütt. Így a formulában a második

és harmadik tagon kívül minden más eltűnik: k Z X ti i=1 ti−1 D E T, X̄i − X̄i−1 N + k X θ̇i xi = 0 i=1 D E Könnyen látható, hogy T, X̄i − X̄i−1 éppen az i-edik oldal hosszának idő szerinti deriváltja. Ezáltal az általános formula k X i=1 `˙i ni + k X θ̇i xi = 0 i=1 alakra egyszerűsödik, ami nem más, mint az (5.2) egyenlet Vegyük észre, hogy ezzel http://www.doksihu 74 5. Vektor értékű Schläfli-formulák egy új bizonyítást adtunk az 5.1 Tételre Úgy sejtem, hogy az 5.21 Tételnek van egy magasbb dimenziós változata is görbelapú politópok variációjára A legtöbb tagnál látszik a kiterjeszthetőség lehetősége magasabb dimenzióba. Az utolsó előtti tagnál ehhez érdemes elvégezni az alábbi átalakítást: k h D X κ X̄i − X, T i=1 Ei xi xi = = k Z X  i=1 xi k X D E D κ1 X̄ − X1 , T1 + κ2 X̄ − X2 , −T2 X Z i=1 az xi -ben xi találkozó ` oldalakra D E xi dσxi = E L`

X̄ − X` , n`,xi xi dσxi Itt σxi az xi -re koncentrált valószínűségi mérték, L` az ` oldal Weingarten-leképezése, illetve n`,xi az ` oldal kifelé mutató egységnormálisa az xi csúcsban. Így már ismerős ez a kifejezés, mivel a vektortényezők híján nem más, mint a (4.2) politópokra vonatkozó skalár értékű formulának az utolsó tagja. http://www.doksihu Irodalomjegyzék [1] E. T Poulsen: Problem 10 Math Scandinavica, 2:346, 1954 [2] M. Kneser: Einige Bemerkungen über die Minkowskische Flächenmaß Arch Math., 6, 382-390, 1955 [3] Bollobás Béla: Area of the union of disks. Elem Math, 23, 60-61, 1968 [4] Csikós Balázs: Körrendszer által lefedett tartomány területének megváltozása a körök mozgatása esetén. A XVI Országos Tudományos Diákköri Konferencia kiemelkedő pályamunkái III, Művelődési Minisztérium Tudományszervezési és Informatikai Intézete, 209-212, 1984 [5] Csikós Balázs: On the Hadwiger-Kneser-Poulsen conjecture.

In Intuitive Geometry, Budapest (Hungary), 1995, volume 6 of Bolyai Mathematical Studies, 291-299, 1997. [6] Csikós Balázs: On the volume of the union of balls. Discrete Comput Geom, 20, 449-461, 1998. [7] I. Rivin, J-M Schlenker: The Schläfli formula in Einstein mainfolds with Bundary Electronic Research Announcements of the Amer. Math Soc, 5, 18-23, 1999 [8] Csikós Balázs: On the volume of flowers in space forms. Geometriae Dedicata, 86., 59-79, 2001 [9] Bezdek Károly, Robert Connelly: Pushing disks apart – the Kneser-Poulsen conjecture in the plane. J reine angew Math, 553, 221-236, 2002 [10] J-M. Schlenker, R Souam: Higher Schläfli formulas and applications Compositio Math., 135, 1, 1-24, 2003 [11] R. Souam: The Schläfli formula for polyhedra and piecewise smooth hypersurfaces Differential Geom. Appl, 20, 1, 31-45, 2004 http://www.doksihu 76 Irodalomjegyzék [12] Csikós Balázs: A Schläfli-type formula for polytopes with curved faces and its application to the

Kneser-Poulsen conjecture. Monatshefte für Mathematik, 147, 4., 273-292, 2006 [13] J-M. Schlenker, R Souam Higher Schläfli formulas and applications II – vectorvalued differential relations Inventiones math, 163:109-169, 2006 [14] Csikós Balázs, Moussong Gábor: On the Kneser-Poulsen Conjecture in Elliptic Space. Manuscripta Math, 121, 4, 481-489, 2006 [15] Csikós Balázs: A Kneser–Poulsen-sejtés. Habilitációs értekezés, ELTE TTK, Budapest, 2007 [16] Csikós Balázs, Kunszenti-Kovács Dávid: On the Extendability of the KneserPoulsen Conjecture to Riemannian Manifolds. Submitted to Advances in Geometry, 2007 [17] Bezdek Károly: From the Kneser-Poulsen conjecture to ball-polyhedra. Colloquium - Univ. of Calgary, 28 March, 2008