Média Ismeretek | Film » Farkas István - Sorozatok

Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok – p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt valós számsorozatnak (röviden sorozatnak) nevezzük. Megjegyzés. Az a sorozat n helyen felvett helyettesítési értékét, amit az a sorozat n-edik tagjának (elemének) nevezünk, an -nel jelöljük. A sorozat jelölésére az (an ) szimbólumot használjuk. Sorozatok – p. 2/2 A sorozat megadása A sorozatokat általában explicit módon adjuk meg. Ez azt jelenti, hogy képlettel megadjuk az általános, n-edik tagot. Példa. an = 5 − 2n2 1 bn = 3 n 2n
2 cn = 1 + n Sorozatok – p. 3/2 Sorozatok szemléltetése • Koordinátarendszerben. n−1 an = n+2
1 0,8 0,6 y 0,4 0,2 0 0 5 10 15 20 x • A sorozat tagjait számegyenesen is megjelölhetjük. a1 0 a6 a2 a3 a4 a5 1 Sorozatok – p. 4/2 Sorozatok

tulajdonságai Mivel a sorozat is egy speciális függvény, ezért a függvényeknél tanult tulajdonságokat itt is megvizsgálhatjuk. Ezek a következők: • Monotonitás, • korlátosság, • szélsőérték. Sorozatok – p. 5/2 Monotonitás Definíció. • Az (an ) sorozatot monoton növőnek nevezzük, ha minden n ∈ N esetén fennáll, hogy an ≤ an+1 . • Az (an ) sorozatot szigorúan monoton növőnek nevezzük, ha minden n ∈ N esetén fennáll, hogy an < an+1 . • Az (an ) sorozatot monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n ∈ N esetén fennáll, hogy an ≥ an+1 . • Az (an ) sorozatot szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n ∈ N esetén fennáll, hogy an > an+1 . Sorozatok – p. 6/2 A monotonitás kiszámítása Feladat. Döntsük el, hogy az an = tekintve, milyen tulajdonságú? n−1 n+2 sorozat, a monotonitást (n + 1) − 1 n − 1 n n−1 an+1 − an = − = − = (n + 1) + 2 n + 2 n+3 n+2 n · (n + 2) −

(n − 1) · (n + 3) = = (n + 3) · (n + 2) (n2 + 2n) − (n2 + 3n − n − 3) = = (n + 3) · (n + 2) 3 = > 0. (n + 3) · (n + 2) Azaz: an+1 − an > 0, amit átrendezve: an+1 > an . A sorozat szigorúan monoton növő. Sorozatok – p. 7/2 Korlátosság Definíció. • Az (an ) sorozatot alulról korlátosnak mondjuk, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz létezik k ∈ R úgy, hogy k ≤ an minden n ∈ N esetén. • Az (an ) sorozatot felülről korlátosnak mondjuk, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz létezik K ∈ R úgy, hogy K ≥ an minden n ∈ N esetén. • Az (an ) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Megjegyzés. Ha egy sorozat monoton növő, akkor alulról korlátos, és az egyik alsó korlátja a sorozat első tagja. Ha egy sorozat monoton csökkenő, akkor felülről korlátos, és egyik felső korlátja a sorozat első tagja. Sorozatok – p. 8/2 Definíció. 1. Az (an ) alulról korlátos

sorozat legnagyobb alsó korlátját az (an ) sorozat pontos alsó korlátjának vagy infimumának mondjuk. Jele: inf an . 2. Az (an ) felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját az (an ) sorozat pontos felső korlátjának vagy suprémumának mondjuk. Jele: sup an . Sorozatok – p. 9/2 Szélsőérték Definíció. • Az (an ) sorozat minimuma a sorozatnak az az am0 tagja, amelyre minden n ∈ N esetén teljesül, hogy am0 ≤ an . • Az (an ) sorozat maximuma a sorozatnak az az am0 tagja, amelyre minden n ∈ N esetén teljesül, hogy am0 ≥ an . Megjegyzések. • Legyen az inf an = k0 . Amennyiben van olyan eleme a sorozatnak, amely éppen k0 , akkor ez azt jelenti, hogy a sorozatnak van minimuma. • Legyen a sup an = K0 . Amennyiben van olyan eleme a sorozatnak, amely éppen K0 , akkor ez azt jelenti, hogy a sorozatnak van maximuma. Sorozatok – p. 10/2 Korlátosság és szélsőérték kiszámítása Feladat. Jellemezzük az an =

szempontjából! n−1 n+2 sorozatot korlátosság és szélsőérték n−1 (n + 2) − 3 3 0≤ = =1− < 1. n+2 n+2 n+2 a1 a2 a3 a4 a5 alsó korlátok 1 } } 0 a6 felső korlátok inf an = 0, sup an = 1, min an = 0, max an : nincs. Sorozatok – p. 11/2 Sorozatok konvergenciája Definíció. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat konvergens és határértéke az A ∈ R szám, ha minden ε > 0-hoz létezik N ∈ N (ε-tól függő) szám úgy, hogy |an − A| < ε minden n > N esetén. Azt, hogy az (an ) sorozat határértéke az A szám, így jelöljük: lim an = A, és így olvassuk: „limesz n tart a végtelenbe an egyenlő n∞ A”. A lim an = A jelölés mellett szokás még alkalmazni az n∞ an A A-hoz”. (n ∞) jelölést is, amit így olvasunk ki: „az an tart az Sorozatok – p. 12/2 Megjegyzések. • Az |an − A| < ε egyenlőtlenség azt jelenti, hogy A − ε < an < A + ε, azaz az an az ]A − ε, A + ε[ nyílt

intervallumban, vagyis A-nak az ε sugarú környezetében van. Az (an ) sorozat konvergenciája azt jelenti, hogy létezik olyan A ∈ R szám, amelynek minden környezete olyan, hogy azon kívül a sorozatnak csak véges sok eleme, azon belül pedig végtelen sok eleme van. • A definícióban szereplő ε pozitív számot hibakorlátnak, az N számot az ε-hoz tartozó küszöbindexnek nevezzük. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat divergens, ha nem konvergens. Sorozatok – p. 13/2 Küszöbszám keresés Feladat. Határozza meg, hogy az an = n−1 n+2 sorozat elemei, hányadik tagtól kezdve esnek a határérték ε = 10−2 sugarú környezetén belülre! a1 a2 a3 a4 a5 ( ) 1 } } 0 a6 ε ε |an − A| < ε,   n − 1   < 1 , − 1 n + 2  100 Sorozatok – p. 14/2 Küszöbszám keresés    (n − 1) − (n + 2)   < 1 ,   100 n+2    −3   < 1 ,  n + 2  100 1 3 < , n+2 100 300 < n + 2, 298 < n. A

sorozat elemei a 299. tagtól kezdve esnek a határérték ε sugarú környezetén belülre. Sorozatok – p. 15/2 Konvergencia, korlátosság, monotonitás kapcsolata Tételek. • A határérték mindig egyértelmű. • Minden konvergens sorozat korlátos. • Ha az (an ) sorozat monoton növekvő és felülről korlátos, akkor konvergens és lim an = sup(an ). n∞ • Ha az (an ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens és lim an = inf(an ). n∞ Sorozatok – p. 16/2 Határértékre vonatkozó tételek • Tétel. Legyen (an ), (bn ) konvergens sorozat Ekkor az (an + bn ) is konvergens sorozat és lim (an + bn ) = lim an + lim bn . n∞ n∞ n∞ • Tétel. Legyenek az (an ) és (bn ) konvergens sorozatok Ekkor (an · bn ) is konvergens sorozat és lim (an · bn ) = n∞     lim an · lim bn . n∞ n∞ • Tétel. Legyenek az (an ) és (bn ) konvergens sorozatok és lim bn = 0 n∞
 an Ekkor az sorozat is

konvergens, és bn
lim n∞ an bn  = lim an n∞ lim bn . n∞ Sorozatok – p. 17/2 • Tétel. Legyen az (an ) sorozat konvergens és λ ∈ R Ekkor a (λ · an ) sorozat is konvergens sorozat és   lim (λ · an ) = λ lim an . n∞ n∞ Sorozatok – p. 18/2 A végtelen, mint határérték • Definíció. Az (an ) sorozat a +∞-be divergál, ha minden K ∈ R esetén létezik N ∈ N (K-tól függő) küszöbindex, hogy an > K minden n > N -re. Jele: lim an = +∞ n∞ • Definíció. Az (an ) sorozat a −∞-be divergál, ha minden k ∈ R esetén létezik N ∈ N (k-tól függö) küszöbindex, hogy an < k minden n > N -re. Jele: lim an = −∞ n∞ Sorozatok – p. 19/2 Nevezetes határértékek ⎧ ⎪ ⎪ ⎨∞, ha c > 1 • lim cn = 1, ha c = 1 n∞ ⎪ ⎪ ⎩ 0, ha −1 < c < 1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨∞, ha q > 0, q ∈ Q • lim nq = 1, ha q = 0 n∞ ⎪ ⎪ ⎩ 0, ha q < 0, q ∈ Q • • lim n lim n n∞

c = 1, ha c > 0. n = 1.
n • lim 1 + 1 = e. n∞ n  n c • lim 1 + = ec . n∞ n n∞ Sorozatok – p. 20/2