Informatika | Tanulmányok, esszék » A kettes számrendszer felépítése, szerepe a számítástechnikában

A kettes számrendszer felépítése, szerepe a számítástechnikában Számrendszer: azoknak a jeleknek és elveknek az összessége, melyek birtokában bármely számot fel lehet írni. Ma már kizárólag helyértékes (pozicionális) számrendszereket alkalmaznak. A mindennapi életben általános a t ízes számrendszer, a s zámítástechnikában más pozicionális számrendszereket is alkalmaznak: bináris, nyolcas, hexadecimális. A helyiértékes számrendszer nemcsak egész, hanem tört és írracionális számok jelölésére is alkalmas. A számrendszereket az egy helyiértéken ábrázolható kombinációk alapján szokták elnevezni. A számrendszer alapszáma (alapja) az egy helyiértéken ábrázolható kombinációk számával egyenlő. Az alapszám bármely 1-nél nagyobb egész szám lehet Pl. : 10-es számrendszer alapja = 10, a 8-as számrendszer alapja = 8 Tízes számrendszer: A 10-es számrendszerben egy helyiértéken 10 különböző kombináció (szám)

ábrázolható, ezek a: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 számjegyek. 567 = 100 ⋅ 7 + 101 ⋅ 6 + 102 ⋅ 5 Kettes számrendszer: A 2-es számrendszerben egy helyiértéken 2 különböző kombináció ábrázolható, ezek a: 0,1 számjegyek. A kettes számrendszer jelentősége az elektronikus digitális számítógépek elterjedésével megnőtt, mert az adatokat 2-es számrendszerben célszerű ábrázolni, hiszen minden számjegyet egy elektromos jel meglétével (1) vagy hiányával (0) érzékelhet a gép. Hexadecimális számrendszer: A 16-os számrendszerben egy helyiértéken 16 különböző kombiáció ábrázolható, ezek a: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F számok és betűk. 16-os számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F 10-es számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16 Konverziók számrendszerek között: Szám10:n 1, Szám10 ⇒ Számn A 10-es számrendszerbeli számot osztjuk az alappal. Az egyes maradékok fogják adni az egyes helyiértékeket a legkisebb

helyiérték felöl a legnagyobb felé. 4110 ⇒ 1010012 41 : 2 = 20 20 : 2 = 10 10 : 2 = 5 5:2=2 1 0 0 1 <= 199710 ⇒ 7CD 16 1997 : 16 = 124 124 : 16 = 7 7 : 16 = 0 13 (D) 12 (C) 7 2, Számn ⇒ Szám10 Bármely 10-es számrendszer beli szám felírható: 2:2 =1 0 1:2=0 1 alap 0 ⋅ legkisebb helyiérték + alap1 ⋅ legkisebb helyiérték + 1 + alap n ⋅ legkisebb helyiérték + n alakban. Ezen alapul az átváltás 10-es számrendszerből n számrendszerbe. 3FFF 16 ⇒ 1638310 3FFF 16 = 3 ⋅163 + F ⋅162 + F ⋅161 + F ⋅160 = 12288 + 3840 + 240 + 15 = 16383 1010112 = 1⋅ 25 + 0 ⋅ 24 + 1⋅ 23 + 0 ⋅ 22 + 1⋅ 21 + 1⋅ 20 = 32 + 8 + 2 + 1 = 43 1010112 ⇒ 4310 Műveletek kettes számrendszerben: 1, Összeadás: Bitenként adjuk össze a számokat az előző átvitelek figyelembe vételével. Az egyes bitösszegeket a összeadandó bitek kizáró-vagy kapcsolata adja meg. 0101001 0 ⊕ 0 = 0, 1001 + 0 ⊕1 = 1, 110010 1 ⊕ 0 = 1, 1 ⊕1 = 0, 2, Kivonás: A

kivonás az összeadásra vezethető vissza az A-B=A+(-B) összefüggés alapján. Azaz a kisebbítendőhöz hozzáadjuk a kivonandó ellentettjét. Kettes számrendszerben egy szám ellentettjét kettes komplemensnek nevezzük. Kettes komplemens előállítása: 1., képezzük a szám egyes komplemensét, ezt úgy tesszük, hogy a számot bitenként invertáljuk. Majd az így kapott egyes komplemenshez hozzáadunk 1-et Így kapjuk a kettes komplemenst számolással. 2., jobbról az első 1-ig leírjuk változatlanul a biteket (az első 1-et is), majd innen kezdve invertáljuk a biteket. Így kapjuk a kettes komplemenst mechanikus úton Pl.: 1011101-nek az ellentettje az 100011 bináris szám. - egyes komplemens előállítása: 0100010 - kettes komplemens előállítása: 010001 0 + 1 100011 Példa kivonásra. 100011-101010 101010 kettes komplemense 10110 100011 + 10110 111001 3. Szorzás: A bitenkét összeszorozzuk a számokat, majd az összeadásra vonatkozó szabályokkal

összeadjuk az egyes részszorzatokat. Példa szorzásra: 1011*101 1011 0000 1011 110111 4. Osztás : pl. 1010 : 10 = 101 001 10 0 1111 : 11 = 101 0011 00 Számábrázolás kettes számrendszerben A kettes számrendszerben az alapszám a 2 , tehát két számjegy van értelmezve: 0;1. Egy kettes számrendszerbeli számot szoktunk bináris számnak is nevezni. A kettes számrendszer helyiértékei: 20=1; 21=2; 22=4; 23=8; 24=16 stb. Egy kettes számrendszerbeli szám tízes számrendszerbeli értékét úgy kapjuk meg, hogy az egyes helyiértékeket elfoglaló bináris számjegyeket (0;1) megszorozzuk kettőnek a helyiértékéből adódó hatványával, majd a kapott értéket összeadjuk. Pl.: 11001 ↑ =1*24+123+022+021+120=16+8+0+0+1=25 Tízes számrendszerbeli szám binárissá való átírását a következőképpen végezzük: az átírás sorozatos osztásokkal végezhető el, és a maradékok adják a kettes számrendszerbeli számjegyeket. Az osztást addig végezzük,

amíg a hányados 0 ne m lesz A maradékokat visszafelé kell leírni! Pl.: 83/2=41 és 1-et ad maradékul 42/2=21 és 0-át ad maradékul 21/2=10 és 1-et ad maradékul 10/2=5 és 0-át ad maradékul 5/2=2 és 1-et ad maradékul 2/2=1 és 0-át ad maradékul ½=0 és 1-et ad maradékul 83=1010101 ↑ Egy adott számrendszerben megadott szám átszámítását egy másik számrendszerbe „konvertálásnak” nevezzük. A számítógép szinte minden műveletet el tud végezni, de valójában csak összeadásra van szükség, hogy a többi műveletet ennek segítségével végezhesse el. Fixpontos ábrázolásnál a bináris pont („kettedes” vessző) fix helyen van. Előjeles fixpontos számok esetén az első bitet (balról az elsőt) előjelbitnek nevezzük. Pozitív számok esetén az előjelbit értéke 0.A legnagyobb pozitív szám 16 biten ábrázolva 215-1 Negatív számok esetén az előjelbit 1. Negatív számok ábrázolása a következőképpen törénik: 1. lépés: a

szám abszolút értékét ábrázoljuk binárisan Pl: +29=11101 (balról feltöltjük) 2. lépés: invertáljuk a számot, azaz minden egyes pozícióban az ott lévő bitet az ellenkezőjére váltjuk. 3. lépés: a legalacsonyabb helyiértéken 1-et hozzáadunk A legnagyobb abszolútértékű, 16biten ábrázolható negatív szám: -215 A kettes komplemensben megadott szám visszaalakítása teljesen hasonló módon történik. A lebegőpontos számábrázolással valós számokat ábrázolhatunk. Egész és törtszámok ábrázolásával egyaránt alkalmas