Villamosságtan | Felsőoktatás » Szinuszos áramú hálózatok

7. fejezet SZINUSZOS ÁRAMÚ HÁLÓZATOK Bevezetés Ebben a fejezetben a szinuszos áramú hálózatok vizsgálatának módszereivel ismerkedünk meg. Nem térünk ki a tananyag minden részére, de bevezetjük, és példákon bemutatjuk az áramkörvizsgálat szempontjából legfontosabb komplex számítási módszert. A periodikus feszültségek, és áramok között kiemelked%en fontos szerepe van a szinuszos feszültségeknek, áramoknak. Homogén mágneses mez%ben állandó szögsebességgel forgó vezet%keretben szinuszos lefolyású feszültség indukálódik, ezért könnyen el%állíthatunk szinuszos feszültség' generátort. Szinuszos feszültség' a villamos energiaellátó hálózatunk A szinuszos áramú hálózatok tárgyalása azért is kiemelten fontos számunkra, mert a periodikus függvények Fourier-sorfejtéssel szinuszos függvények összegére bonthatók. Lineáris áramkörökben a különböz% frekvenciájú komponensek hatása összegezhet%. Ezzel

a Periodikus jel' hálózatok cím' fejezetben foglalkozunk részletesen. Elméleti összefoglaló Az ábrán egy szinuszos feszültség id%függvényét láthatjuk. u = Û sin t Az ábra segítségével definiáljuk a szinuszos jel (itt feszültség) jellemz%it. A csúcsérték, vagy amplitúdó Û = 2 U eff (Ueff a feszültség effektív értéke, kés%bb az Ueff =U jelölést alkalmazzuk.) Szinuszos jelek amplitúdója effektív értékük 2 -szerese. 2 = =2 f T 7. fejezet 7 - 1/16 Szinuszos áramú hálózatok A periódusid%t az ábrán bejelöltük. A periódusid% reciproka a frekvencia (f), mértékegysége hertz (Hz). A frekvencia 2 -szerese a körfrekvencia ( ) Az =2 f körfrekvenciát mértékegységében (rad/s) is megkülönböztetjük a frekvenciától. Az ábra szerinti szinuszos feszültséget 2 független jellemz%vel (leggyakrabban az effektív értékkel és körfrekvenciával) adhatjuk meg. Ha egy áramkör áramait, feszültségeit vizsgáljuk,

még egy fontos jellemz%re szükségünk van, ez a fáziseltérés. Ebben a fejezetben áramköreinket csak egy frekvencián vizsgáljuk (ha több generátorunk van, azok frekvenciája azonos). Két vagy több azonos frekvenciájú jelet összeadva az ered% frekvencia megegyezik a komponensek frekvenciájával (grafikus összegzéssel könnyen belátható) ezért kés%bbiekben számításaink legfontosabb paramétere az effektív érték (esetleg helyette az amplitúdó) és a fáziseltérés lesz. Következ% ábránkon három, különböz% amplitúdójú, feszültséget láthatunk. A feszültségeket t függvényében ábrázoltuk. Ha t=T, akkor t=2 fT=2 különböz% kezd%fázisú (A frekvencia a periódusid% reciproka.) A vízszintes tengelyre az id%függvényekhez tartozó id%léptéket is feltüntettük. u n = Û n sin t u1 = Û 1 sin( t - 1 ) u 2 = Û 2 sin( t + 2 ) Az u1( t) függvény pozitív meredekség' szakaszán t tengellyel való metszéspontjai ott vannak,

ahol ( t - 1) = 0±k2 , ahol k pozitív egész szám. Az ábrán látható origótól számított els% metszéspont t = 1-nél van. Hasonlóképpen az u2( t) pozitív meredekség' szakaszán az t tengellyel való (az origóhoz legközelebbi) metszéspontja t = - 2-nél van. 7. fejezet 7 - 2/16 Szinuszos áramú hálózatok Az u1( t) függvénnyel megadott feszültség az un( t) feszültséghez képest 1 szöggel késik, míg u2( t) feszültség 2 szöggel siet. Az u2( t) függvénnyel megadott feszültség u1( t) feszültséghez képest 1 + 2 szöggel siet. Ha az azonos frekvenciájú u1 = Û 1 sin( t + 1 ) és u 2 = Û 2 sin( t + 2 ) feszültséget összeadjuk (két sorosan kapcsolt áramköri elem esetén az ered% feszültséget is összegzéssel kapjuk), az ered% frekvenciája megegyezik a komponensekével, ezért annak fázisa (kezd%fázisa) és amplitúdója kiszámításával az ered%t egyértelm'en meghatározhatjuk. Az összegzés utáni ered% legyen: u =

Û sin( t + ) . Û sin( t + )= Û 1 sin( t + 1 ) + Û 2 sin( t + Az egyenlet bal oldalát átalakítva: Û sin( t + ) = 2 ). = Û sin t cos + Û cos t sin A jobb oldal átalakítva: Û 1 sin( t + 1 ) + Û 2 sin( t + 2 )= Û 1 sin t cos 1 + Û 1 cos t sin 1 + + Û 2 cos t sin 2 + Û 2 sin t cos 2 = = sin t ( Û 1 cos 1 + Û 2 cos 2 )+ + cos t ( Û 1 sin 1 + Û 2 sin 2 A sin t és cos t tényez%k szorzója mindkét oldalon azonos kell, hogy legyen, ezért : Û cos = Û1 cos 1 + Û 2 cos 2 és Û sin = Û1 sin 1 + Û 2 sin 2 . A két egyenletet négyzetre emelve, összeadva, majd négyzetgyököt vonva kapjuk: Û = Û1 + Û 2 + 2Û1Û 2 cos( 1 - 2 ) A második egyenletet az els%vel elosztva kapjuk az ered% fázisszög tangensét. Ebb%l: Û sin 1 + Û 2 sin 2 = arc tg 1 . Û1 cos 1 + Û 2 cos 2 A fázis meghatározásánál azt is figyelembe kell venni, hogy az arctg(x) függvény többérték', ezért a lehetséges szögek

közül csak a nekünk megfelel%t vegyük figyelembe. 2 2 Ha definiáljuk 7. fejezet 7 - 3/16 Szinuszos áramú hálózatok Uˆ = Ûe j , Uˆ1 = Ûe j 1 , Uˆ 2 = Ûe j 2 komplex amplitúdókat (komplex csúcsértékek), akkor Uˆ = Uˆ + Uˆ 1 2 Az ábra alapján láthatjuk, hogy az ered% abszolút értékét ( Û ) és fázisszögét ( ) az id%függvények összegzéséb%l levezetett két összefüggés szerint számíthatjuk ki. Ha ezeket a komplex amplitúdókat az óramutató járásával ellentétesen körfrekvenciával forgatjuk, a komplex id%függvényeket kapjuk. Így u ( t ) = 2Ue j e j t Ennek az imaginárius tengelyre es% vetülete az a valós id%függvény. u ( t ) = Im[u ( t )] = 2U sin( t + ) A forgó komplex mennyiséget (komplex id%függvényt) szinornak, a komplex amplitudó 2 -ed részét fázornak nevezzük. A komplex effektív érték (fázor): U = Ue j . Lineáris szinuszos áramú hálózataink elemei ideális, lineáris ellenállások,

ideális, lineáris induktivitású tekercsek, ideális, lineáris kapacitású kondenzátorok. Ideálisnak nevezzük azokat az áramköri elemeket, amiknek szórt paraméterei (ellenállás esetén szórt induktivitás, kapacitás) elhanyagolhatóak. Ideális tekercsnek csak induktivitása, ideális kondenzátornak csak kapacitása van. Lineárisnak nevezzük azokat az áramköri elemeket, amelyeken n-szeres amplitúdójú gerjesztésre (feszültség vagy áram) a válasz is (áram, vagy feszültség) n-szeres amplitúdójú. Ebben a fejezetben szerepl% áramköri elemek értékei id%ben sem változnak. Áramköreinkben az ideális, lineáris áramköri elemek paramétereit szerepeltetjük, ezek az ellenállás, az induktivitás és a kapacitás, tehát ha például a 7. fejezet 7 - 4/16 Szinuszos áramú hálózatok szakirodalomban elterjedt szokás szerint kapacitásról beszélünk, ideális, lineáris kondenzátort értünk alatta. A feszültség és áram közötti

kapcsolat ellenállás esetén: u=Ri. Ha i ( t ) = Î sin t , akkor u ( t ) = RÎ sin t = Û sin t . i ( t ) = Î e j t , u ( t ) = RÎ e j t = Ûe j t I =I, , U = U = RI U =R I A feszültség és áram közötti kapcsolat induktivitáson esetén: Z = u=L di dt , így, ha: i ( t ) = Î sin t , akkor: u( t ) = u(t ) = LÎ cos t = LÎ sin( t + i ( t ) = Î e j t , I =I, j LÎ e 2 e j t = Z = 2 ). LÎ je j t , U = j LI U = j L I Kapacitás esetén az áram és feszültség közötti kapcsolat: i =C 7. fejezet 7 - 5/16 du , dt Szinuszos áramú hálózatok így, ha u( t ) = Û sin t , akkor: i( t ) = CÛ cos t = CÛ sin( t + 2 ). u ( t ) = Ûe j t , U = U i(t ) = Z = j CÛe 2 e j t = U 1 = = j C I j CÛje j t , I = j CU 1 C Y = 1 = j C Z A komplex számításmód bevezetésével az egyenáramú hálózatoknál a lineáris áramkörökre megismert tételek és hálózatszámítási módszerek itt is érvényesek.

Számításainkat itt a komplex feszültségekkel, áramokkal és impedanciákkal végezhetjük el. Most vizsgáljuk meg egy soros RLC kétpólus áramának és feszültségeinek fázisviszonyát. Példánkban szerepl% kétpólus az adott frekvencián induktív jelleg'. 7. fejezet 7 - 6/16 Szinuszos áramú hálózatok Végül röviden foglalkozzunk a villamos teljesítménnyel. Ellenállás esetén Legyen i = Î sin t , akkor u = Û sin t , ahol Û = RÎ . p = Î Û sin 2 t = UI( 1- cos 2 t) . Tá-val az áram periódusidejét jelöltük. A feszültség periódusideje azonos az áraméval, míg a teljesítményé annak fele. Az ellenállás teljesítménye mindig pozitív (energiát felvev%) teljesítmény. Az ellenállás teljesítménye hatásos teljesítmény. Induktivitás esetén Ha i = Î sin t , akkor u = Û cos t , ahol Û = LÎ . p = Î Û sin t cos t = IU sin 2 t A teljesímény id%függvénye kétszeres frekvenciájú, mint az áram, vagy

feszültség id%függvénye. Az induktivitás a teljesítményének el%jele az áram egy periódusa alatt kétszer pozitív (ekkor energiát vesz fel), kétszer negatív (ekkor energiát ad le). A teljesítmény id%beli átlaga nulla. Ezt a teljesítmény medd% teljesítménynek hívjuk 7. fejezet 7 - 7/16 Szinuszos áramú hálózatok Kapacitás esetén Legyen u = Û cos t akkor i = Î sin t , ahol Î = CÛ . p = ÛÎ sin t cos t = UI sin 2 t A teljesímény id%függvénye itt is kétszeres frekvenciájú, mint az áram, vagy feszültség id%függvénye. A kapacitás teljesítménye a példánkban szerepl% esetben t=0-tól kezdve negatív (ekkor energiát természetesen egy korábban felvett energiát ad le), majd pozitív, aztán felváltva negatív, pozitív. Ilyen periodikus energiaátadás zajlik egy ideális rezg%körben induktivitás és kapacitás között. Végül legyen egy kétpólus kapcsain az áram i = Î sin t , akkor a feszültség u = Û sin( t + ) .

(Ha pozitív, akkor a kétpólus induktív, például ilyen egy veszteséges tekercs, vagy egy csak induktivitásokból és ellenállásokból álló kétpólus. Ha negatív, a kétpólus kapacitív.) A teljesítmény p = Î Û sin t sin( t + ) = Î Û (sin t cos Î Û (sin t cos + cos t sin ) sin t = sin t + cos t sin sin t ) = Î Û sin 2 t cos + Î Û sin t cos t sin . Az els% tag hatásos teljesítmény (a cos együtthatója egy ellenállás teljesítménye), a második tag medd% teljesítmény (a sin együtthatója egy induktivitás teljesítménye), a kétpólus impedanciájának fázisszöge. A teljesítmény id%függvénye hatásos és medd% komponenst is tartalmaz. 7. fejezet 7 - 8/16 Szinuszos áramú hálózatok A hatásos komponens középértéke és amplitúdója is Ph = UI cos A medd% teljesítményt a lengések amlitúdójával jellemezhetjük Q = UI sin A komplex teljesítményt úgy definiáljuk, hogy annak valós része a hatásos, képzetes része

a medd% teljesítmény legyen. S = UI (cos + j sin ) A komplex teljesítményt a fezültség és áram komplex effektív értékével az S = P + jQ = U I összefüggéssel számíthatjuk ki (a csillaggal konjugálást jelölünk). A komplex teljesítmény abszolút értéke (S=UI) a látszólagos teljesítmény. Egy Z = Ze j impedancián 1 (vagy Y = admittancián) Z a komplex teljesítmény kiszámítható I2 U2 S = UI = I 2Z = = = U 2Y ; Y Z szerint is. Mintapéldák 7.1 példa A komplex számítási módszert egy egyszer' feladat kapcsán mutatjuk be. ug(t)=14,1sin t V f=50Hz, R=4 L=12,7mH Határozzuk meg a bejelölt id%függ% feszültségeket és áramot. 7. fejezet 7 - 9/16 Szinuszos áramú hálózatok Most áttérünk a komplex tartományba: ZR = R = 4 - U g = 10V Z L = j L = j 2 fL = j 2 50 12 ,73 10 3 I= 10 A = ( 1 ,25 4+4j 1 ,25 j ) A = 1 ,25 2 e U R = I R = ( 1 ,25 1 ,25 j ) A 4 j 4 A = ( 5 5 j )V = 5 2 e U L = I Z L = ( 1 ,25 1 ,25 j ) A 4 j = 4j j

4 V j = ( 5 + 5 j )V = 5 2 e 4 V Ezeket fázorábrában ábrázolva A komplex effektív értékek segítségével az id%függvényeket meghatározhatjuk. i ( t ) = 2 ,5 sin( t 4 u R ( t ) = 10 sin( t u L ( t ) = 10 sin( t + 7. fejezet )A 4 4 )V )V 7 - 10/16 Szinuszos áramú hálózatok 7.2 példa u g ( t ) = 14 ,1 sin t V f=500Hz; R1=2 ; L=0,955mH; R2=1 ; C=159µF. Határozzuk meg u(t) feszültséget! A következ% ábránkat impedanciákkal rajzoltuk meg. U = Ug Z RC 2+3j = 10 V = (0,82 - 2,18j) V , 2 ,8 + 2 ,6 j Z RL + Z RC vagy: U = 2 ,34 e j 1 ,21V Ebb%l: u ( t ) = 3 ,3 sin( t 1,21 )V . 7.3 példa Most bemutatjuk, hogyan lehet egyszer' módon méréssel egy impedanciát meghatározni. Áramkörünkben egy szinuszos feszültség' feszültséggenerátor, egy ismert ellenállás, és az ismeretlen impedancia szerepel. 7. fejezet 7 - 11/16 Szinuszos áramú hálózatok Az impedancia meghatározásához szükségünk van még egy ideális

feszültségmér%re, amelyik az adott frekvencián a feszültség effektív értékének mérésére alkalmas. Legyen Ug=35V; UR=15V; UZ=25V; R=1,5k . Módszerünkkel az impedancia abszolút értékét és fázisának abszolút értékét tudjuk meghatározni. A fázis el%jelét más módszerrel kell meghatározni Legyen a feladatunkban szerepl% impedancia induktív jelleg', tehát fázisszöge pozitív el%jel'. Z = Uz UZ j = e I RZ I RZ Z= UZ I RZ I RZ = UR , R Mivel Z= UZ R = 2 ,5 kUR UZ Re j , UR mivel U I RZ = R R A fázis meghatározásához rajzoljuk fel a feszültségek és áramok fázorábráját. Válasszuk az áram ( I RZ ) fázisát nullának. Ekkor U R fázisa is nulla, és U I RZ = I RZ = R R 7. fejezet 7 - 12/16 Szinuszos áramú hálózatok Az ábra alapján U g = U R + U Z + 2U RU Z cos , 2 ahol 2 az impedancia fázisszöge. cos = 2 = Ug 2 UR 2 UZ 2U R U Z 2 = 0 ,5 3 Az abszolút értéket már ismerjük, tehát j Z = 2 ,5 e 3

k-. 7.4 példa Most határozzuk meg az alábbi áramkörben i(t) id%függvényt! u g ( t ) = 220 2 sin t V (Ez nem az energiaellátó villamos hálózatunk feszültsége.) f=50Hz; R0=20 ; R=36 L és C elemeket úgy választjuk meg, hogy Z L = j10 - , Z C = j10 - legyen. Áramkörünk impedanciákkal és a feszültség komplex effektív értékével: A megoldás menete legyen a 36 ellenállás nélkül A-B kapocspárra Theveninhelyettesítés, majd az ellenállást visszahelyezve az áram meghatározása. 7. fejezet 7 - 13/16 Szinuszos áramú hálózatok U ABü = 220 ( j10 20 + j10 j10 )V = 176 j V 20 j10 A feszültséggenerátor helyett rövidzárt téve az A-B kapocspár fel%l a következ% kétpólust látjuk: Z AB = Z L × 20 - + Z C × 20 - = 8 A keresett Thevenin-helyettesítés tehát: 7. fejezet 7 - 14/16 Szinuszos áramú hálózatok Az A-B kapocspárra az R=36 I = ellenállást visszatéve U ABü 176 j = A = 4 j A. Z AB + R 8 + 36 Tehát a keresett

áram. i ( t ) = 4 2 sin( t + 2 ) A. Ha R=0 (A-B kapocspáron rövidzár van), 176 j I = Ir = A = 22 j A 8 Mivel ekkor az ellenállásokon nem folyik áram (emiatt U g = U LC ), a rövidzár árama egyszer'bben is számítható. Ir = U LC U g 220 = = A = 22 j A. j10 ZC ZC 7. fejezet 7 - 15/16 Szinuszos áramú hálózatok 7.5 példa Számítsuk ki a komplex teljesítményt Z t impedancián Z t = ( 2 + 3 j ) - , és Zt = ( 2 3 j ) - esetben. Ha Z t = ( 2 + 3 j ) akkor U t = 10 Zb =5V 2Zb 5( 2 3 j ) 10 15 10 A= A= j A 4 +6 j 13 13 13 A komplex teljesítmény: S = U t I = ( 3 ,85 + 5 ,77 j ) VA Ebb%l P=3,85 W a hatásos teljesítmény, Q=5,77 var a medd% teljesítmény. I = Ha Z t = ( 2 akkor 3j)U t = 10 2 3j V = ( 5 7 ,5 j )V 4 I = 10 A = 2 ,5 A 4 S = U t I = ( 12 ,5 18 ,75 )VA A hatásos teljesítmény 12,5 W Ez a terhelés éppen a maximális hatásos teljesítményre illesztés esete. Ekkor a hatásos teljesítmény 2 Ug 100 P = Pmax = = W = 12 ,5 W 4 Rb

8 szerint közvetlenül számítható. A medd% teljesítmény: –18,75 var. 7. fejezet 7 - 16/16 Szinuszos áramú hálózatok