Informatika | Középiskola » Számrendszerek, számábrázolások

4. Számrendszerek, számábrázolások A tízes (decimális) számrendszer A hétköznapi életben a 10-es számrendszert alkalmazzuk, ami azt jelenti, hogy 10 féle számjegyet használunk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A helyiértékek 10 nemnegatív egész kitevős hatványai jobbról-balra növekvő sorrendet jelentenek. pl.: 567=7*101+6102+5103 A kettes (bináris) számrendszer A számítástechnikában ez terjedt el a könnyű ábrázolhatósága miatt. Kettes számrendszerben csak kétféle jel létezik: 0, 1. Ezeket elektronikus vagy mágneses úton könnyű ábrázolni Van áram (1), nincs áram (0). A kettes számrendszer alapszáma a 2, ez jelenti azt, hogy kétfajta jelet használhatunk a számok ábrázolásához. A nyolcas (oktális) számrendszer A számrendszer alapszáma a 8, tehát 8-féle jelet használhatunk a számok ábrázolásához. Ezek a következők: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 A tizenhatos (hexadecimális) számrendszer A 16-os számrendszerben 16-féle jelet

használhatunk a számok ábrázolására. (0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15 Számrendszerek közti átváltás Tízes számrendszerből kettesbe A tízes számrendszerbeli számot addig kell osztani kettővel, ameddig 0-t nem kapunk. A maradékokat visszafelé olvasva megkapjuk a kettes számrendszerbeli számot. Amikor különböző számrendszerekben lévő számokkal dolgozunk, akkor a szám után, alsó indexben jelölni kell a számrendszert. Tehát 57-et tízes számrendszerben így kell jelölni: 5710 Példa: Váltsuk át a következő számot kettes számrendszerbe: 5710 5710=1110012 57 1 28 0 14 0 7 1 3 1 1 1 0 Tízes számrendszerből nyolcasba A tízes számrendszerbeli számot addig kell osztani nyolccal, ameddig 0-t nem kapunk. A maradékokat visszafelé olvasva megkapjuk a nyolcas számrendszerbeli számot. Példa: Váltsuk át a következő számot nyolcas számrendszerbe: 8410 8410=1248 84 4 10 2 1 1 0 Tízes

számrendszerből tizenhatosba A tízes számrendszerbeli számot addig kell osztani tizenhattal, ameddig 0-t nem kapunk. A maradékokat visszafelé olvasva megkapjuk a tizenhatos számrendszerbeli számot. Példa: Váltsuk át a következő számot tizenhatos számrendszerbe: 17210 17210=AC16 172 C 10 A 0 Kettes számrendszerből tízesbe Az egyes helyiértékeken lévő számokat (0 vagy 1) megszorozzuk 2 hatványaival és ezeket összeadjuk. A legkisebb helyiértéken lévő számot 20-nal, a következőt 21-nel és így tovább Példa: 10112=1*20+121+022+123=1+2+0+8=1110 Kettő hatványai 20=1 26=64 21=2 27=128 22=4 28=256 23=8 29=512 24=16 210=1024 25=32 Nyolcas számrendszerből tízesbe Az egyes helyiértékeken lévő számokat megszorozzuk 8 hatványaival és ezeket összeadjuk. A legkisebb helyiértéken lévő számot 80-nal, a következőt 81-nel és így tovább. Példa: 1248=4*80+281+182=4+16+64=8410 Nyolc hatványai 80=1 81=8 82=64 83=512 84=4096 Tizenhatos

számrendszerből tízesbe Az egyes helyiértékeken lévő számokat megszorozzuk 16 hatványaival és ezeket összeadjuk. A legkisebb helyiértéken lévő számot 160-nal, a következőt 161-nel és így tovább. Példa: 2FD16=D*160+F161+2162=131+1516+2256=13+240+512=76510 Tizenhat hatványai 160=1 161=16 162=256 163=4096 164=65536 Számábrázolások A számok ábrázolására kétféle módszer létezik: a fixpontos és a lebegőpontos ábrázolás. A fixpontos ábrázolást egész számokra, míg a lebegőpontosat tört számok ábrázolására használjuk. Fixpontos számábrázolás A fixpontos ábrázolás – mint azt a neve is elárulja – meghatározott, azaz fix mennyiségű biten tárolja a számokat (általában 1 vagy 2 byteon). Ez azt jelenti, hogy bármekkora a szám, mindig ugyanannyi bitet használunk a megjelenítésére. Ha 1 byte-on akarjuk a 0-át ábrázolni, akkor az így néz ki: 000000002. Eleinte csak pozitív egész számok ábrázolására

használták, de miután felmerült az igény a negatív számok tárolására is, funkciója kibővült. Alapvetően kétféle módszerrel lehetett negatív számokat előállítani: előjelbites ábrázolással és kettes komplemens képzésével. • Előjelbites ábrázolás: Az ábrázolásnál a legfelső bit nem vesz részt a szám képzésében, hanem előjelként működik. Ha a legfelső bit 1-es, akkor pozitív, ha 0, akkor negatív számról van szó. Pl.: 100110102 = +26 000110102 = -26 • Kettes komplemens: Az eredeti számnak vesszük az egyes komplemensét (azaz a számjegyeket az ellenkezőjükre váltjuk), és ehhez hozzáadunk 1-et (a kettes számrensdszer szabályai szerint). Pl.: 110001012 eredeti szám 001110102 egyes komplemens (számjegyek ellenkezőre váltva) hozzáadunk egyet eredeti szám negatív formája + 000000012 001110112 Lebegőpontos számábrázolás Az előzőekben láthattuk a számítógép hogyan ábrázolja a pozitív és

negatív egész számokat. Most nézzük meg, hogy mi a helyzet a valós számokkal. Tízes számrendszerben tizedes vessző választja el a szám egész részét a tört részétől. Kettes számrendszerben a tizedes vessző helyett bináris pont van. A bináris ponttól balra lévő számokat ugyanúgy váltjuk át 10-es számrendszerbe ahogyan azt már feljebb láttuk. Mi a helyzet a bináris ponttól jobbra? Példa: 11001.0112=1*20+021+022+123+124+02-1+12-2+12-3=25,37510 Most már láttuk, hogyan kell átváltani tízes számrendszerbe egy kettes számrendszerbeli valós számot, de hogyan lehet ábrázolni a memóriában? Nézzük meg egy példán keresztül! Ábrázoljuk a következő számot: 11001.0112! 1. lépés: fogjuk a bináris pontot és mozgassuk el a szám elejére: 0110010112 2. lépés: az előző lépésben kapott számot szorozzuk meg 2-nek annyiadik hatványával ahány hellyel elmozgattuk a bináris pontot: 0.110010112*25 3. lépés: ábrázoljuk a bináris

ponttól jobbra lévő számokat (a mantisszát) mondjuk 2 byte-on: 0000000011001011 4. lépés: ábrázoljuk a kitevőt (karakterisztikát) mondjuk 1 byte-on: 00000101 5. lépés: írjuk egymás mellé a mantisszát és a karakterisztikát: 0000000011001011 00000101 A bemutató példában lazán kezeltem a mantissza és a karakterisztika méretét, azonban ezek nagyon fontosak például a programozásnál. Nem mindegy ugyanis, hogy mekkora hely van lefoglalva a mantisszának és mekkora a karakterisztikának. Gondoljuk végig, hogy miért!