Matematika | Felsőoktatás » Várnai Róbert - GDF Matematika szigorlat tételek

Matematika szigorlat (A és B tételek kidolgozása) Készítette: Várnai Róbert Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 1. oldal A1. A halmaz fogalma, műveletek Tetszőleges dolgok összességét halmaznak tekintjük. Az összességbe tartozó dolgok a halmaz elemei. A halmaz jelölésére a nagybetűket használjuk (A, B, C stb.), elemeiket { } között tüntetjük fel (analitikus megadás), illetve megfogalmazzuk az őket összefogó utasításokat (szintetikus megadás), ha a halmaz összes eleme nem sorolható fel. A halmazokat Venn-diagrammal ábrázoljuk (kör, téglalap stb.) A halmazba tartozás jele: ∈ (eleme) Speciális halmazok Az alaphalmaz (teljes halmaz) azon elemek összessége, melyeken adott esetben a halmazműveletek értelmezhetőek. Jele: X Az üres halmaznak egyetlen eleme sincs. Jele: ∅ Két (vagy több) halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Halmaz és részhalmaza Az A halmaz (valódi) részhalmaza a B halmaznak, ha A minden

eleme B-nek is eleme. Jele: A ⊂ B Ha A = ∅ vagy A = B, akkor A triviális (nem valódi) részhalmaza B-nek. Ha két halmaz kölcsönösen tartalmazza egymást, akkor egyenlőek. A részhalmazokra teljesülnek az alábbiak: • A ⊆ A (reflexivitás) • A ⊆ B ⇒ B ⊆ A (antiszimmetria) • A ⊆ B és B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (tanzitivitás) Az előzőekből következik, hogy • minden halmaz tartalmazza önmagát (részhalmaza önmagának), • az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Valamely halmaz összes lehetséges részhalmazának hatványhalmazának nevezzük. Jele: P(A) Ha A n-elemű, akkor P(A) elemeinek száma 2n. halmazát az adott halmaz Műveletek Egyesítés (összeg vagy unió) (Jele: ∪) Az A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek az A és B közül legalább az egyiknek elemei. Az unió asszociatív és kommutatív Metszet (szorzat vagy közös rész) (Jele: ∩) Az A és B halmazok metszete azon elemek halmaza, melyek az A-nak is és a

B-nek is elemei. A metszet asszociatív és kommutatív. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 2. oldal Különbség (Jele: -) Az A és B halmaz különbsége azon elemek halmaza, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem elemei. Komplementer (Jele: (föléhúzás)) B halmaz komplementere X alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, melyek nem elemei B halmaznak. A De Morgan szabályok itt is érvényesek. Két halmaz diszjunkt, ha metszetük üres: A ∩ B = ∅ Rendezett halmazok Rendezett párok: Olyan kételemű halmazok, ahol az egyes elemek sorrendje lényeges. Két rendezett pár akkor egyenlő, ha a két pár azonos indexű elemei megegyeznek. Rendezett párok transzponáltja: Rendezett párok elemeinek felcserélésével kapjuk. Valamely rendezett pár akkor egyenlő a transzponáltjával, ha elemei egyformák. Rendezett n-es: n db elem rögzített sorrendben történő felsorolása. Direkt szorzat (Descatres szorzat): A és B direkt szorzata (A x B) mindazon

rendezett párok halmaza, amelyek első eleme A-ból, második eleme B-ből való. Reláció: a direkt szorzat részhalmaza Binér reláció: olyan rendezett párok, ahol a két elem közötti kapcsolat valamilyen matematikai vagy logikai kifejezéssel írható le. Jelölése: aRb Halmazok számossága Véges halmazok: az elemek számával mérhetőek. Végtelen halmazok: nem adható meg az elemek számossága, és nincs ekvivalenciában a természetes számokkal (nem számlálhatóak). Megszámlálhatóan végtelen halmazok: nem adható meg az elemek számossága, de az egyes elemek a természetes számokkal indexelhetőek. Végtelen számhalmazok • természetes számok (N) • egész számok (I) • racionális számok (Q) • valós számok (R) Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 3. oldal A2. Komplex számok: algebrai, trigonometrikus és exponenciális alak Algebrai alak Az a + bi alakú számokat, ahol a és b valós számok, i pedig olyan szám,

amelyre i2 = -1 (ún. képzetes egység), komplex számoknak nevezzük. A komplex számokat általában z-vel jelöljük (z = a + bi). Műveletek z1 = a1 + b1i és z2 = a2 + b2i Két komplex szám egyenlő, azaz z1 = z2, ha a1 = a2 és b1 = b2. Összeadás: tagonként összeadjuk a valós és a képzetes tagokat. z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i Kivonás: mindenben megegyezik az összeadással, csak a műveleti jel „+” helyett „-”. z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i Szorzás: a tagokat formálisan összeszorozzuk (i2 = -1). z1 * z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) Osztás: a törtet bővítjük a nevező konjugáltjával, így a nevezőben mindig valós számot kapunk. Konjugált: a z = a + bi komplex szám konjugáltján az a - bi komplex számot értjük, és ezt z -vel (ill. a + bi -vel) jelöljük Abszolút érték: a z = a + bi komplex szám abszolút értékén a a 2 + b2 valós számot értjük, és ezt | z |-vel, ill | a + bi |-vel jelöljük. Ez a szám a komplex szám

nagysága, hossza A komplex szám geometriai ábrázolása A z = a + bi komplex számot az (a,b) koordinátájú ponttal ábrázolhatjuk. y (a,b b r ϕ a x Az x tengelyt éppen ezért valós tengelynek, az y tengelyt képzetes tengelynek nevezzük. Az (a,b) pont a síkon egy helyvektort jelent. Ennek az r hossza (az (a,b) pontnak az origótól mért távolsága) r = a 2 + b 2 , azaz r = | z |. A komplex számot ábrázoló vektornak az x tengellyel bezárt ϕ szögét a tg ϕ = b / a egyenlőségből kapjuk meg, azaz ϕ = arctg(b / a). Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 4. oldal Trigonometrikus alak z = a + bi = r(cos ϕ + isin ϕ), ahol r = | z |, ϕ = arctg(b / a). (a = r*cos ϕ, b = rsin ϕ) Műveletek z1 = r1(cos ϕ1 + isin ϕ1) és z2 = r2(cos ϕ2 + isin ϕ2) Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z1* z2 = r1 r2(cos (ϕ1 + ϕ2) + isin (ϕ1 + ϕ2)) z1 r1 = (cos(φ1 − ϕ 2 ) + i sin (φ1 − ϕ 2 )) z2 r2 Hatványozás: zn = rn(cos

nϕ + i sin nϕ) Osztás: Gyökvonás: n ϕ + 2πk ϕ + 2πk   + i sin , ahol k = 0,1,2,., n − 1 n n   Egy komplex számnak n db n-dik gyöke van. z = n r  cos Exponenciális alak z = a + bi = reϕi, ahol r = | z | és ϕ = arctg(b / a). Műveletek z1 = r1e iϕ és z2 = r2 e iϕ 1 2 Összeadás, kivonás: nincs értelmezve. Szorzás: z1 * z2 = r1 r2 e i (ϕ1 +ϕ 2 ) Osztás: z1 r1 i (ϕ −ϕ = *e z2 r2 1 2 ) Hatványozás: z n = r n e inϕ Gyökvonás: n z = r *e n i ϕ + 2 kπ n , ahol k = 0,1,2,., n − 1 Összefüggés a trigonometrikus és az exponenciális alak között: reϕi = r(cos ϕ + i sin ϕ) Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 5. oldal A3. Matematikai logika: ítéletek, műveletek, kifejezések Azok a kijelentő mondatok, amelyekről egyértelműen megállapítható, hogy igazak, vagy hamisak, ítéletek (predikátumok). Az ítélet logikai értéke tehát kétféle lehet: igaz, hamis, ezeket

igazságértékeknek nevezzük. Az ítélet (logikai változó) jele latin kisbetű, az értékek: i, h (true, false). Egyszerű ítéletekből (elemi állításokból) logikai műveletekkel összetett ítéleteket (logikai kifejezéseket) képezhetünk, melyek értéke az összetevők értékétől függ. Logikai alapműveletek (ítéletkalkulusok) Negáció (jele: ¬ (NEM - NOT)) A negáció az ítélet tagadása. p ¬p i h h i Konjunkció (jele: ∧ (ÉS - AND)) A konjunkció értéke csak akkor igaz, ha mindkét ítélet igaz. p q p∧q i i i i h h h i h h h h Diszjunkció (jele: ∨ (VAGY - OR)) A diszjunkció értéke akkor igaz, ha legalább az egyik ítélet igaz. p q p∨q i i i i h i h i i h h h Implikáció (jele: ⇒ (ha, akkor; p-ből következik q)) Az implikáció értéke csak akkor hamis, ha a feltétel (p) igaz és a következmény (q) hamis. p q p⇒q i i i i h h h i i h h i Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 6. oldal Ekvivalencia (jele:

⇔ (akkor és csak akkor)) Az ekvivalencia értéke csak akkor igaz, ha a két ítélet értéke megegyezik. p q p⇔q i i i i h h h i h h h i Logikai műveletek tulajdonságai A kommutativitás (megfordíthatóság) és az asszociativitás (csoportosíthatóság) az implikáció kivételével az összes kétoperandusú műveletre igaz (konjunkció, diszjunkció és ekvivalencia esetén). Disztributivitás (szétbonthatóság) (A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) De Morgan szabályok ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B Implikáció felbontása A ⇒ B = ¬A ∨ B Ekvivalenciára vonatkozó tulajdonságok A ⇔ B = (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) ¬(A ⇔ B) = ¬A ⇔ B = A ⇔ ¬B Logikai kifejezések A logikai műveletek több tagra úgy terjeszthetőek ki, hogy az összetett ítéleteket zárójelbe téve egy ítéletként vesszük figyelembe. Ekkor logikai kifejezésekről beszélünk A logikai kifejezések

kiszámításánál a következő szabályokat kell figyelembe venni: Elsőbbségi sorrend 1. negáció 2. konjukció 3. diszjunkció 4. implikáció 5. ekvivalencia Valamely operandus mindig ahhoz a szomszédos operandushoz tartozik, amelyhez magasabb precedenciájú műveleti jel kapcsolja. Balról jobbra szabály Ha egy operandus mindkét oldalán egyenértékű jelek állnak, akkor a tőle balra eső operandushoz csatlakozik Természetesen ez a két szabály a zárójelezéssel megbontható. Alkalmazás A matematikai logikai műveletek fontos alkalmazási területe a programozás, illetve a digitális logikai áramkörök tervezése. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 7. oldal A4. Kombinatorika: permutáció, kombináció, variáció A kombinatorika azzal foglalkozik, hogy egy n elemű véges halmaz elemeit különböző szempontok alapján hányféleképpen lehet elrendezni, illetve kiválasztani. Permutáció n elem meghatározott sorrendben való

elhelyezését az n elem egy permutációjának nevezzük. Ha az elemek mind különbözőek, akkor az ismétlés nélküli permutációk száma: Pn = n! Ha az n elem közül k (≤ n) megegyező van, de a többi elem ezektől is és egymástól is P n! különbözik, akkor az ismétléses permutációk száma: Pn ,k = n = k! k! Ha az n elem r különböző csoportra bomlik úgy, hogy az egyes csoportokba tartozó elemek egyenlőek (egymástól nem különböztethetőek meg), de a különböző csoportbeliek különböznek, és az első csoportban k1, a másodikban k2,., az r csoportban kr elem van (k1+k2+.+kr = n), akkor az n elem összes ismétléses permutációjának n! száma: Pn ;k1 ,k2 ,.,kr = k1! k2 !.kr ! Variáció Ha n különböző elem közül k (≤ n) elemet kell úgy kiválasztani, hogy minden elemet legfeljebb egyszer választunk ki és a sorrendre is tekintettel vagyunk, akkor az n elem k-adosztályú (ismétlés nélküli) variációit kapjuk: n! (Ha n = k, akkor

Vn,k = Pn .) Vn ,k = n * ( n − 1) . * ( n − k + 1) = ( n − k )! Ha egy elemet többször is kiválaszthatunk, akkor az n elem k-adosztályú ismétléses variációit kapjuk: Vn(,ik) = n k Kombináció Ha n különböző elem közül k (≤ n) különböző elemet választunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor az n elem egy k-adosztályú (ismétlés nélküli) kombinációját kapjuk: n n! n( n − 1).( n − k + 1)  n  = =     = 1 C n ,k = k k!( n − k )! k!   0  Ha a kiválasztáskor egy elemet többször is kiválaszthatunk, akkor az n elem k-adosztályú  n + k − 1 ismétléses kombinációit kapjuk: C n( i,k) =   k   n Az   számot binomiális együtthatónak nevezzük, értéke kis számok esetén a Pascal k háromszögből határozható meg. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 8. oldal A5. A gráf

fogalma, jellemzői, fák Fogalmak Vegyük a G = (V, E) rendezett párt, ahol V = {a1, a2,.an} tetszőleges halmaz, E = {ai, aj} párok halmaza (ahol ai, aj ∈ V). Ebben az esetben G halmaz definiálja magát a gráfot, V halmaz adja a gráf csúcsait, míg E halmaz a gráf éleit. Amennyiben E elemei rendezett párok, akkor a gráf irányított, ellenkező esetben nem irányított. A gráfot grafikusan úgy ábrázolhatjuk, hogy az egyes csúcsokat ponttal vagy körrel jelezzük, az éleket pedig a csúcspárokat összekötő vonallal. Irányított gráf esetén vonal helyett a megfelelő irányba mutató nyilakat rajzolunk. Az ábrázolásnál az egyes pontok tényleges helyzete közömbös, vagyis ugyanazt a gráfot nagyon sokféleképpen felrajzolhatjuk. A különbözőképpen felrajzolt, de azonos szerkezetű gráfok egymással ekvivalensek. A gráfok jellemzői Izomorfnak nevezünk két gráfot akkor, ha csúcsaik és éleik megegyeznek (vagyis azonos szerkezetűek), de

ábrázolásukban (alakjukban) eltérnek. Üres gráf: olyan gráf, melynek csak izolált csúcsai vannak, éleket nem tartalmaz. Teljes gráf: minden csúcspár éllel össze van kötve. Hurok: egy adott csúcsból önmagába vezető él. A gráfok vizsgálatánál az ilyen típusú éleket nem vesszük figyelembe. Csúcs fokszáma Irányítatlan gráf esetén a gráf valamely a csúcsában végződő éléről azt mondjuk, hogy „illeszkedik a -ra”. Egy adott csúcs fokszámát a rá illeszkedő élek száma adja meg Mivel minden él pontosan két csúcsra illeszkedik, ezért a gráfban levő csúcsok fokszámának összege éppen kétszerese az élek számának. Irányított gráfok esetében annyi az eltérés, hogy minden egyes irányított él pontosan egy csúcsból indul, és pontosan egy csúcsba érkezik. Ha q(a)-val jelöljük a csúcsból induló, q*(a)-val az oda befutó élek számát, akkor N = q(a) + q(a), ahol N = élek száma. Reguláris gráf Egy rányitott

gráfot r-ed fokú reguláris gráfnak nevezünk akkor, ha minden csúcsából pontosan r él indul, és annyi is fut be, azaz r = q(a) = q*(a) Izolált csúcs: olyan csúcs, melyre nem illeszkedik él. Terminális csúcs: Olyan csúcs, amelyből nem indul él más csúcs felé, csak érkező élek illeszkednek rá. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 9. oldal Ciklikus rang (ciklomatikus szám): γ = N - n + 1, ahol N az élek, n a csúcsok száma. Út: ai, aj csúcsokat összekötő élek sorozata. Az egy útban levő (láncolt) élek száma adja meg az adott út hosszát. Összefüggő gráf: olyan gráf, melynek bármely csúcsából bármely csúcsába egy úton eljuthatunk (irányítatlan gráfnál ez mindig teljesül, ha nincsenek izolált csúcsok). Kör: olyan út, melynek kiindulási pontja és végpontja (első és utolsó csúcsa) azonos. Az az irányítatlan gráf, amelynek ciklikus rangja > 0, biztosan tartalmaz kört. Gráf részgráfja

G=(V, E) gráf akkor részgráfja G=(V, E) gráfnak, ha E élek V-beli pontokat kötnek össze, vagyis a gráfból kifelé nem vezet él. Gráf bázisa: a gráf csúcsainak az a legkisebb részhalmaza, melyből minden csúcs egy vagy több úttal elérhető. Fák Ha a G irányított gráfban található olyan r csúcs, melybe nem fut be él, és amelyből az összes többi csúcs pontosan egy úttal érhető el, akkor G gráf fa. Ebből következik, hogy a fának nincs izolált pontja, és nincs benne kör. Élek száma: egy n csúcsú fának n-1 éle van. Gyökérelem: a fának az a csúcsa, melyből az összes többi csúcs pontosan egy úton érhető el. Elágazási elemek: azok a csúcsok, melyekbe be is fut, és melyekből indul is él. Levelek: a fa terminális csúcsait leveleknek hívjuk. Bináris fa: olyan fa, melyben minden csúcsból legfeljebb két él indul ki. Csúcsmátrix (szomszédsági mátrix): olyan mátrix, melynek cellái az ai, aj csúcsokat összekötő élek

számát tartalmazzák. (0 vagy 1) C = [ci j]; C mátrix p hatványa megmutatja ai és aj csúcsokat összekötő, p hosszúságú utak számát. Gráfok alkalmazása A gráfok a gyakorlati életben folyamatok tervezése során, illetve adatszerkezetek létrehozásánál használhatóak fel. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 10. oldal A6. A vektor fogalma (geometriai, koordinátás alak), műveletek Az egyenes és a sík egyenletei. Fogalmak A vektort geometriailag irányított szakaszként, algebrailag pedig számhármasként értelmezzük. Jelölése: a = (a1,a2,a3) Az a1,a2,a3 számok a vektor koordinátái A számokat skalároknak (skaláris mennyiségeknek) nevezzük. Vektor abszolút értéke: az irányított szakasz hossza (ez skalár, tehát nincs iránya). Jele: | a | Egységvektor: ha | a | = 1. Jele: a0 Nullvektor: ha | a | = 0. Jele: 0 Helyvektor: ha a vektor (irányított szakasz) kezdőpontja rögzített. Geometriai alak Vektorok

egyenlősége Két vektor egyenlő, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók úgy, hogy kezdőpontjuk és végpontjuk egybeessen. Vektorok összege, különbsége Az a és b vektor a + b összegét, illetve a - b különbségét a paralelogramma szabály segítségével értelmezzük. Vektor szorzása számmal Az a vektor λ-szorosán azt a λ*a vektort értjük, melynek abszolút értéke | λ || a |, iránya pedig megegyezik a irányával, ha λ > 0 és ellentétes irányú, ha λ < 0. Egységvektor Az a0 = (a / | a |) vektort az a vektor egységvektorának nevezzük, amit úgy kapunk meg, hogy az a vektort osztjuk az abszolút értékével. Vektorok lineáris kombinációja λ1a1 + λ2a2 +.+ λnan, ahol λ1, λ2,, λn tetszőleges számok Lineáris függetlenség Két vagy több vektor akkor lineárisan független egymástól, ha közülük egyik sem fejezhető ki a többiek lineáris kombinációjaként. Bázisvektorok A háromdimenziós térben legfeljebb három

lineárisan független vektor adható meg. Három ilyen vektor a tér bázisát alkotja. Ezek az ún bázisvektorok A tér bármely vektora előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 11. oldal Skaláris szorzat ab = | a |*| b |cos ϕ, melynek eredménye skalár, és ahol ϕ az a és b vektorok által közrezárt szög. Ha két vektor merőleges egymásra (ϕ = π/2), akkor a skaláris szorzatuk nulla Ez fordítva is igaz. Vektoriális szorzat Az a és b vektorok a x b vektoriális szorzata az a vektor, mely merőleges mind az a, mind a b vektorra, abszolút értéke: | a x b | = | a |*| b |sin ϕ, geometriailag ez a két vektor által kifeszített paralelogramma területe. A vektoriális szorzat nem kommutatív A tényezők felcserélése esetén az eredő vektor iránya ellentettjére vált. Ha a két vektor párhuzamos, akkor vektoriális szorzatuk nullvektor. Vegyes szorzat a, b és c vektorok

vegyes szorzatán az (a x b)c szorzatot értjük, mely skalárt ad eredményül. Geometriailag az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát adja. Ha abc = 0, akkor a három vektor egy síkban van. Ekkor azok lineárisan függők Koordinátás alak Hozzunk létre egy derékszögű koordinátarendszert. Az x, y és z tengelyek irányvektorainak egységvektorát nevezzük rendre i, j és k vektoroknak. Ha a vizsgált r vektort párhuzamosan úgy toljuk el, hogy kezdőpontja az origóba kerül, akkor a vektor végpontját Pr = (xr, yr, zr) koordinátájú pont adja meg. Fentiek alapján egy vektor megadható koordinátáival is (számhármas). Jelen esetben Pr ponthoz tartozó r vektort Pr pont helyvektorának is nevezhetjük. Ha valamely vektort koordinátás alakban adunk meg, akkor mindig azt feltételezzük, hogy annak kezdőpontja az origóban van. Vektor abszolút értéke A vektor hosszúságát jelenti. Iránykoordinátáiból a Pitagorasz-tétel alapján

számítható: |r|= x 2 + y 2 + z2 Vektorok egyenlősége Az a és b vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha ax = bx, ay = by, az = bz. Vektorok összeadása és kivonása Meghatározásához az azonos indexű koordinátákat kell összeadni/kivonni. a ± b = (ax, ay, az) ± (bx, by, bz) = (ax ± bx, ay ± by, az ± bz) Vektor szorzása számmal Az egyes koordinátákat kell λ szorzóval megszorozni. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 12. oldal Vektorok skaláris szorzata Értékét úgy kapjuk, hogy az azonos indexű koordinátákat összeszorozzuk, és ezeket a szorzatokat összegezzük: ab = (ax,ay,az)*(bx,by,bz) = axbx+ayby+azbz (skalárt ad) Vektorok vektoriális szorzata Legegyszerűbben determináns segítségével határozható meg, a formális megoldás műveletei is a megfelelő determináns kifejtését adják eredményül. i j a x b = ax ay bx b y k az bz (vektor) Mivel i, j, k rendre az x, y, z tengelyek egységvektora, ezért a

determináns első sor szerinti kifejtése a x b vektor koordinátáit adja. Vektorok vegyes szorzata Formálisan úgy hajtható végre, hogy először elvégezzük a vektoriális szorzást, majd az eredő vektort skalárisan szorozzuk a harmadik taggal. Egyszerűbben célt érünk, ha meghatározzuk a három vektor koordinátái alkotta determináns értékét: ax ay abc = (a x b)c = bx b y cx c y az bz cz (skalár) Ha a determináns értéke zérus, akkor a vektorok lineárisan függők, vagyis egy síkban fekszenek. Az egyenes egyenletei Egy alakzat egyenletén olyan egyenletet értünk, amelyet az alakzat minden pontjának helyvektora, ill. koordinátái kielégítenek, de más pontok helyvektora, ill koordinátái nem Egy egyenest egyértelműen meghatároz egy pontja és irányvektora. Az egyenes pontjait az alábbi általános formula adja meg: r = r0 + tv ahol r az egyenes tetszőleges pontja r0 az egyenes megadott pontja v egyenes irányvektora koordinátái: (a,b,c) t

tetszőleges valós szám Koordinátás alakban felírva: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + t (a,b,c) A műveleteket az egyes koordinátákra végrehajtva: Ez az egyenes paraméteres vektoregyenlet-rendszere. x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 13. oldal Ha a fenti egyenletekből kifejezzük t paramétert, akkor újabb egyenletrendszerhez jutunk: x − x0 y − y0 z − z0 = = t= a b c Természetesen ez utóbbi egyenletrendszer csak akkor használható, ha az irányvektor egyik koordinátája sem 0. A sík egyenletei Egy síkot (a síkba eső pontok halmazát) egyértelműen meghatározza a sík három, nem egy egyenesre eső pontja. Ugyancsak meghatározza egy pontja, és egy rá merőleges vektor (normálvektor). Felhasználva a skaláris szorzat törvényszerűségeit, felírható a sík vektoregyenlete: (r - r0) n = 0 ahol r a sík tetszőleges (futó) pontja (x,y,z) r0 a sík megadott pontja (x0,y0,z0) n a sík

normálvektora (A,B,C) A fenti egyenletnél felhasználtuk, hogy (r - r0) éppen a megadott és a tetszés szerint kiválasztott (futó) pontot összekötő egyenes (egy) irányvektorát adja. Koordinátás alak A fenti egyenlet koordinátás alakján formálisan elvégezve a skaláris szorzás műveletét, rendezés után az alábbi összefüggést kapjuk: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0, ebből Ax + By + Cz = Ax0 + By0 Cz0 A D = r0n = Ax0 + By0 Cz0 jelölést bevezetve felírható az alábbi forma: Ax + By + Cz - D = 0, ahol A, B és C a normálvektor koordinátái. Ezt a formát a sík általános egyenletének nevezzük. Hesse-féle normálegyenlet Úgy kapjuk, hogy a sík egyenletét elosztjuk a normálvektor abszolút értékével: Vektoros alakban: Koordinátás alakban: rn D − =0 n n Ax + By + Cz − D A2 + B 2 + C 2 =0 Kétparaméteres vektoregyenlet A síkot meghatározza egy pontja és két olyan vektor is, amelyek a síkkal párhuzamosak, de egymással nem. A P0

pontra illeszkedő, u és v vektorokkal párhuzamos sík egyenlete: r = r0 + tu + τv, ahol a t és τ paraméterek minden valós értéket felvehetnek. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 14. oldal A7. Számsorozatok, a határérték, műveletek, nevezetes sorozatok A számsorozat fogalma Sorozaton olyan függvényt értünk, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (vagy annak részhalmaza). Számsorozatnak az olyan sorozatokat nevezzük, melyeknek függvényértékei valós számok. Egy sorozat általános tagját an-ként adjuk meg, és megadjuk azt a függvényt, mely a sorozat elemeit előállítja. Mivel a sorozat értelmezési tartománya diszkrét számokat tartalmaz, ezért a sorozat is diszkrét pontok halmazaként ábrázolható. Korlátosság Korlátosnak nevezzük a sorozatot, ha alulról és felülről egyaránt korlátos. Sorozat határértéke Amennyiben a vizsgált sorozathoz található olyan A szám, melynél

teljesül az alábbi feltétel, akkor a sorozatnak az A szám határértéke: | an - A | > | an-1 - A | A fenti megállapítással egyenértékű az alábbi definíció: an sorozatnak A szám akkor határértéke, ha A tetszőlegesen (de végesen) kicsiny környezetén (hibakorlátján) kívül a sorozatnak csak véges számú (küszöbszám) eleme található. Ilyenkor azt is mondhatjuk, hogy a sorozat A felé konvergál. A definícióból következik, hogy minden sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Az is könnyen belátható, hogy minden konvergens sorozat korlátos. Torlódási pont A sorozat torlódási pontjának nevezzük azt a B számot, melynek tetszőlegesen szűk környezetében a sorozat végtelenül sok eleme helyezkedik el. Végtelen sorozat esetén ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy az említett tartományon kívül csak véges számú elem található, ugyanis vannak olyan sorozatok, melyeknek több torlódási pontjuk van. Kimondható, hogy a

konvergens sorozatoknak csak egy torlódási pontjuk lehet, és az a határértékkel azonos. Végtelenhez tartó sorozatok Vannak olyan számsorozatok, amelyeknél an ∞, ha n ∞ Ezeket a sorozatokat végtelenbe tartó (divergens) sorozatoknak nevezzük. Végtelenhez tartó sorozatok esetén kimondható, hogy tetszőleges k számhoz mindig létezik olyan n0 küszöbszám, amelynél an > k, ha n > n0. Végtelenhez tartó sorozat esetén azt mondjuk, hogy a sorozat tágabb értelemben konvergens. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 15. oldal Műveletek konvergens sorozatokkal Konvergens sorozatok alapműveletei Ha lim an = A és lim bn = B, akkor igazak az alábbi állítások. lim an + lim bn = A + B lim an - lim bn = A - B lim an * lim bn = A B lim an / lim bn = A / B Ez utóbbi nyilván csak akkor igaz, ha B<>0. Részsorozat konvergenciája Ha valamely sorozat konvergens és határértéke = A, akkor bármely részsorozata is konvergens,

és határértéke szintén = A. Rendőrelv Ha lim an = lim bn = A és valamely n1-től kezdve igaz, hogy an ≤ cn ≤ bn, akkor cn is konvergens, és lim cn = A. Konvergens sorozat gyöke Minden nemnegatív sorozatra igaz, hogy lim k a n = k A, ha lim a n = A . Sorozat monotonitása Szigorúan monoton nő: ha an < an+1 Monoton növekszik: ha an ≤ an+1 A csökkenésre a fentiek értelemszerűen a relációjel megfordításával igazak. Háromféle lehetőség van a monotonitás vizsgálatára: 1. Behelyettesítve n-t illetve (n+1)-t közvetlenül igazoljuk az egyenlőtlenséget 2. Azt vizsgáljuk, hogy az (n+1)-dik tagból az n-dik tagot kivonva mindig pozitív (negatív) számot kapunk-e. 3. Az n-dik és az (n+1)-dik tag hányadosát vizsgáljuk, hogy minden n értékre nagyobb-e (kisebb-e) 1-nél. Valamely monoton sorozat vagy korlátos, vagy (+/-) végtelenhez konvergál. Nevezetes sorozatok határértéke lim qn q>1 q=1 |q|<1 q ≤ -1 ∞ 1 0 divergens, nincs

határértéke. n n  1  k Az e szám eredete (kb 2.72): lim1 +  = e; általános alakban : lim1 +  = e k  n  n n-dik gyök határértéke Minden pozitív a számra igaz: lim n a = 1. Bernoulli egyenlőtlenség: a fentiek igazolására az (1 + k)n ≥ (1 + n*k) egyenlőtlenség használható fel, amely tetszőleges n-re és k-ra igaz. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 16. oldal A8. Függvény határértéke, folytonossága A határérték vizsgálata folyamán azt vizsgáljuk, hogyan viselkedik a függvény az értelmezési tartomány egy bizonyos pontján, illetve akkor, ha a független változó a végtelenhez tart. Határérték a végesben Heine-féle definíció Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A határértéke, ha: 1. az f(x) függvény a bármilyen környezetében értelmezett, de nem szükséges, hogy a függvény a-ban is értelmezett legyen; 2. a-hoz tartó bármely xn konvergens sorozat

esetén a függvényértékek A-hoz konvergálnak. Cauchy-féle definíció Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A határértéke, ha bármely pozitív ε-hoz megadható olyan pozitív δ szám, amelynél ha x benne van a-nak δ sugarú környezetében (de azzal nem egyenlő), akkor: 1. f(x) értelmezve van x helyen; 2. f(x) benne van A szám ε sugarú környezetében Egyoldali határérték Akkor mondjuk, hogy f(x) függvénynek a helyen A bal oldali határértéke, ha: 1. f(x) értelmezve van a bal oldali környezetében (B környezet); 2. bármely B-beli, a-hoz konvergáló sorozat esetén a függvényérték A-hoz konvergál A jobb oldali határérték hasonlóképpen definiálható. Amennyiben a bal és a jobb oldali határértékek egy adott pontban léteznek és egyenlőek, akkor a függvénynek az adott ponton van határértéke, és az egyenlő a közös bal és jobb oldali határértékekkel. Ha a bal és jobb oldali határértékek nem egyeznek meg, akkor a

függvénynek az adott ponton nincs határértéke. Ilyen pl az Y = SGN(x) függvény is Határérték a végtelenben Ha [k, ∞) intervallumban értelmezett f(x) függvény értéke bármely, k-ból ∞-hez tartó xn sorozat esetén konvergál A-hoz, akkor a függvény végtelenben vett határértéke A. Ez az értelmezés mind pozitív, mind negatív végtelen határértékre igaz. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 17. oldal Műveletek határértékekkel Ha f(x) és g(x) függvényeknek az a pontban létezik határértéke, akkor ezen függvények összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának is létezik határértéke, az alábbiak szerint: lima (f(x)+g(x)) = lima f(x) + lima g(x) lima (f(x)-g(x)) = lima f(x) - lima g(x) lima (f(x)*g(x)) = lima f(x) lima g(x) lima (f(x) / g(x)) = lima f(x) / lima g(x) Hányadosok esetén van két megszorítás: 1. lima g(x) <> 0 illetve g(x) <> 0; 2. ha a hányados "0 / 0" vagy

"∞ / ∞" típusú határértéket adna, akkor a törtet addig kell rendezni, míg véges értéket nem kapunk. Függvények folytonossága Valamely f függvény a pontban akkor folytonos, ha: 1. értelmezve van a pontban, 2. létezik véges határértéke a pontban, 3. a pontban vett határértéke megegyezik az a-beli függvényértékkel Nyilvánvalóan nem sok értelme van a folytonosság végtelenben való vizsgálatának. Ha f függvény a pontban folytonos, akkor azt mondjuk, hogy a pont az f függvény folytonossági helye. Ha f függvény folytonos a pont valamely környezetében, de magában a-ban nem, akkor a pont a függvény szakadási helye. Fontosabb függvénytípusok Racionális egész függvények Polinomfüggvények. Ha nem tartalmaznak n-nél nagyobb kitevőt, akkor n-edfokú polinomfüggvényeknek nevezzük őket. Az értelmezési tartomány minden pontján folytonosak. Racionális törtfüggvények: két polinomfüggvény hányadosa. Irracionális

függvények: olyan függvények, melyekben a gyökvonás művelete is szerepel. Inverz függvények: f függvény inverze az a f-1 függvény, melynél f-1(f(x)) = x Egy függvény akkor és csak akkor invertálható egy adott tartományban, ha abban a tartományban szigorúan monoton. Ekkor inverze is szigorúan monoton, és monotonitásának iránya megegyezik az eredeti függvénnyel. Grafikusan az invertálást úgy végezhetjük el, hogy az eredeti függvényt tükrözzük az y = x egyenesre (derékszögű koordinátarendszerben). Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 18. oldal A9. A differenciálhányados fogalma Differenciálási szabályok Elemi függvények deriváltjai. A derivált fogalma f(x) függvény x pontjába húzott érintőjét úgy közelíthetjük, hogy kiszámítjuk a függvényérték f ( x + h) − f ( x) változását x érték h-val történő változtatásának hatására, azaz keressük az h hányados értékét x pontban.

Nyilvánvaló, hogy a fenti hányados annál pontosabban közelíti a függvény érintőjét, minél kisebbre választjuk h értékét. A legnagyobb pontosságot h=0 helyen kapnánk, de itt a fenti hányados nem értelmezhető. Értelmezhető viszont a h0 helyen vett határértéke, amely a függvény differenciálhányadosát, más néven deriváltját adja. f (x + h) − f (x) df (x) ≡ f (x) = lim h 0 h dx Az f(x) értelmezési tartományát azon pontok halmaza adja, ahol fenti határérték létezik és véges. Az összefüggésből látható, hogy f(x) függvény x ponton csak akkor differenciálható, ha ott folytonos. Ez szükséges, de nem elégséges feltétel További feltétel, hogy f(x) értelmezett legyen x pontban. Differenciál Meghatározhatjuk, hogy x pont környezetében hogyan változik f(x) függvény értéke. Ezt az alábbi összefüggés adja meg: df(x) = f(x) dx df(x)-et nevezzük a függvény differenciáljának Differenciálási szabályok Ha f és g

függvények valamilyen H halmazon (x valamilyen környezetében) differenciálható függvények, akkor ezek összege, különbsége, szorzata és hányadosa is differenciálható (kivéve a nevező zérushelyeit). Összeg és különbség deriváltja (f + g) = f + g és (f - g) = f - g Szorzat deriváltja (f * g) = f g + f g Hányados deriváltja / f f g − f g   = g2 g Függvény szorzása konstanssal (c*f(x)) = cf(x) Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 19. oldal Összetett függvény deriváltja (Láncszabály) Ha g függvény differenciálható x helyen, és f függvény differenciálható g(x) helyen, akkor y = f(g(x)) függvény is differenciálható x helyen az alábbiak szerint: y(x) = f(g(x)) * g(x) Az összefüggés tetszés szerinti mélységben egymásba ágyazott függvényekre alkalmazható. Implicit függvény deriválása Implicit függvényről akkor beszélünk, ha a függvény nem rendezhető oly módon, hogy

bal oldalán csak függő, jobb oldalán csak független változó legyen. Ilyenkor az egyenlet mindkét oldalát differenciálhatjuk (ha egyébként differenciálható). Magasabbrendű deriváltak Ha f függvény x ponton n-szer differenciálható, f(n) függvény az x helyen értelmezett, akkor azt mondjuk, hogy f(n) az f n-edrendű deriváltja. Elemi függvények deriváltjai (c) = 0 (sin x) = cos x (ex) = ex (xn) = n*xn-1 (cos x) = -sin x (ax) = ax * lna (log a x) ( tg x) / = ln(x) = 1 x (ctg x) / = − (arc tg x) = 1 (sin x) 1 1 + x2 2 / = (arcsin x) = 1 x ln a 1 1 − x2 1 (arc ctg x) = − 1 + x2 1 (cos x) 2 (arccos x) = − 1 1 − x2 Rolle-féle középértéktétel Ha f függvény deriválható [a, b] halmazon, és f(a) = f(b), akkor (a, b) halmazon biztosan található olyan k érték, hogy f(k) = 0. Értelmezése: ha a függvény deriválható a megadott tartományban és a fenti egyenlőség fennáll, akkor a tartomány belső pontjában a

függvénynek stacionárius pontja van (szélsőérték, inflexiós pont, illetve konstansfüggvény). Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 20. oldal A10. A differenciálhányados alkalmazásai: Taylor-polinom, a LHospital szabály Egymást érintő görbék f és g függvénynek van közös pontja abban az esetben, ha értelmezési tartományuk tartalmaz olyan a helyet, ahol f(a)=g(a). Ebben a közös pontban akkor érinti egymást a két görbe, ha érintőjük megegyezik, vagyis deriváltjaik értéke is azonos a helyen: f(a)=g(a). Előfordul, hogy a magasabb rendű deriváltak értéke is egyezik. Akkor mondjuk, hogy f és g függvény a pontban n-edrendben érinti egymást, ha: f(n)(a)=g(n)(a), de f(n+1)(a)<>g(n+1)(a), vagy utóbbiak valamelyike nem létezik. Taylor-polinom Bizonyos függvények értékének a helyen való meghatározása közvetlen módon nem lehetséges. Ezek értéke a görbét adott helyen érintő polinom segítségével

történhet Ha a vizsgált függvény n-szer deriválható a helyen, akkor az a függvényt n-ed rendben érintő, azaz n-edfokú polinommal közelíthető. Maclaurin polinom Ha egy függvény az X0=0 helyen legalább n-szer differenciálható, akkor az alábbi polinomot a függvény n-edfokú Maclaurin polinomjának nevezzük: f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n Pn (x) = f (0) + x+ x + .+ x 1! 2! n! Ez a polinom f függvény grafikonját n-ed rendben érinti X0=0 helyen. Taylor-polinom Ha a vizsgálatot X0=a (<>0) helyen kívánjuk végezni, úgy tudunk eljárni, hogy: 1. a vizsgált függvényt eltoljuk az X0=0 pontba: g(x)=f(x+a), 2. felírjuk g(x)-re a Maclaurin polinomot, 3. a polinomban visszahelyettesítjük az eredeti értékeket: f(x)=g(x-a) f (a ) f (a ) f ( n ) (a ) 2 t n (x) = Pn (x − a ) = f (a ) + (x − a ) + (x − a ) + .+ (x − a ) n n! 1! 2! A fenti polinomot f függvény Taylor-polinomjának nevezzük. Az előbbiek során mindvégig feltételeztük, hogy a

függvények a helyen, illetve 0 pontban (mindig a vizsgálat helyén) differenciálhatóak. LHospital szabály Gyakran fordul elő, hogy ki kell számítani f(x) és g(x) függvények hányadosának határértékét olyan a helyen, ahol lim f(x) = lim g(x) = 0. Az ilyen határértékékeket határozatlan alaknak nevezzük. A fontosabb határozatlan alakok: 0 / 0 ; ∞ / ∞ ; 0 * ∞ ; 00 ; ∞ - ∞ stb. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 21. oldal LHospital szabály Amennyiben a pontban lim f(x) = lim g(x) = 0, továbbá lim akkor: lim f (x) létezik (végtelen is lehet), g (x) f (x) f (x) = lim g (x) g (x) Kiszámításának menete: 1. Megvizsgáljuk, hogy f és g differenciálhatóak-e a környezetében (nem követelmény, hogy a helyen is differenciálhatóak legyenek). 2. Külön-külön differenciáljuk f és g függvényeket f ( x) f (x) 3. Meghatározzuk a lim határértéket. Ez adja lim -et. g (x) g ( x) A fenti szabály akkor is

érvényes, ha a ±∞ helyen vett határértékeket vizsgáljuk. Amennyiben a deriválás eredményeképpen is határozatlan forma keletkezik, akkor vezessük be a v(x)=f(x) és u(x)=g(x) függvényeket, és alkalmazzuk rájuk is a fenti szabályt. FONTOS: Csak határozatlan formákra alkalmazhatjuk a LHospital szabályt. Amennyiben a vizsgált határérték nem tört formájú, akkor megfelelő átalakításokkal kell erre a formára hozni. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 22. oldal A11. Függvények diszkussziója: monotonság, szélsőérték, konvexség, konkávság A függvények viselkedése egyszerűen írható le a deriváltak segítségével. Szélsőérték - első derivált szerinti vizsgálatok Monotonitás Ha a megadott értelmezési tartományon a függvény első deriváltja nem vált előjelet, akkor a vizsgált tartományon monoton. Ha ezek mellett az a feltétel is teljesül, hogy f(x)<>0, akkor a függvény szigorúan monoton.

Pozitív értékeknél a függvény szigorúan monoton nő, negatívnál csökken. Stacionárius pont Stacionárius pontja van a függvénynek az értelmezési tartomány azon pontjain, ahol az első deriváltnak zérushelye van. Ha a derivált a zérushely környezetében előjelet vált, akkor az eredeti függvénynek az adott helyen lokális szélsőértéke van. Ha a derivált adott ponton csökken (pozitívból negatívba vált), akkor azon a ponton maximumhely, negatívból pozitívba váltás esetén minimumhely található. Ha a stacionárius ponton a derivált nem vált előjelet, akkor ott a függvénynek inflexiós pontja lehet (de nem biztos, hogy van). Szélsőérték - második derivált szerinti vizsgálat Ha a függvény első deriváltjának a vizsgált ponton zérushelye van, második deriváltja a vizsgált ponton létezik és értéke negatív, akkor a vizsgált ponton a függvénynek helyi maximuma, pozitív második derivált esetén minimuma van. Arra az esetre,

ha a mind az első, mind a második derivált értéke zérus adott helyen, alkalmazandó a következő tétel: n-dik derivált szerinti vizsgálat Legyen f(k) = 0 és f(n)<>0, ha k = [1.n-1] (természetes számok) Ha ez a feltétel n páros értékére teljesül, akkor az eredeti függvénynek a vizsgált helyen szélsőértéke van. Ha f(n)(a)<0, akkor maximuma, egyébként minimuma. Inflexiós pont vizsgálata Valamely függvénynek inflexiós pontja lehet azon a helyen, ahol első deriváltjának szélsőértéke van. Az első derivált értékétől függetlenül, ha valamely intervallumon a második derivált létezik, és értéke pozitív, ott az eredeti függvény konvex (az x tengely felől nézve domború), ha negatív, akkor konkáv (x tengely felől nézve homorú). Amennyiben a vizsgált a helyen a második derivált értéke előjelet vált, akkor ott az eredeti függvénynek inflexiós pontja van. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat

23. oldal A12. A határozatlan integrál, alapintegrálok, integrálási szabályok (parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel) Az integrálás során lényegében azt az F(x) függvényt keressük, melyre teljesül az F(x) = f(x) egyenlőség. Primitív függvény, határozatlan integrál F(x) függvényt f(x) függvény primitív függvényének nevezzük, ha teljesül rá az alábbi három feltétel: 1. f(x) és F(x) értelmezési tartománya megegyezik, 2. F(x) az értelmezési tartományban differenciálható, 3. Teljesül az F(x) = f(x) egyenlőség Mivel a deriválási szabályok alapján F(x) = F(x)+C (C tetszőleges valós szám) az f(x) függvény primitív függvénye lehet bármely F(x)+C függvény. f(x) függvény primitív függvényeinek halmazát f(x) határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése: ∫ f (x)dx A C tagot integrációs állandónak nevezzük. Alapintegrálok Az elemi függvények deriváltjaihoz hasonlóan azok integráljai is

felírhatóak. Ezek felírása során szokásosan nem írjuk ki a C integrációs állandót, de mindig beleértjük, és az integrálási műveletek során, szükség esetén számolunk vele. ∫ x a dx = xa +1 a +1 ∫ sin xdx = − cos x ∫ a x dx = ax ln a ∫ cos xdx = sin x 1 ∫ x dx = ln x 1 ∫ cos 2 x dx = tg x Az egyes integrálok nyilván nem értelmezhetőek azon a ponton, ahol a kapott függvény nem értelmezhető, vagy ahol a nevezőbe zérus kerülne. A többi egyszerű integrál részint az alapderiváltakból származtatható, részben az integrálási szabályok megfelelő alkalmazásával állítható elő. Integrálási szabályok Feltételezve, hogy ∫ f (x)dx és ∫ g ( x)dx integrálok léteznek a vizsgált halmazon, igazak a következő összefüggések: ∫ ( f (x) ± g (x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx , illetve ∫ k f (x)dx = k ∫ f (x)dx , ahol k tetszőleges valós szám. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat

24. oldal Összetett függvény integrálja Ha f(x) egy primitív függvénye F(x), akkor felírható az alábbi összefüggés: ∫ f ( g ( x)) g ( x)dx = F ( g ( x)) + C Természetesen a fenti szabály alkalmazásához az integrandusnak eléggé speciális alakúnak kell lennie, illetve ilyen alakra kell hozni. A fenti egyenlőség speciális esetének tekinthető az alábbi három összefüggés: f a + 1 (x) a f ( x ) f ( x ) dx = +C ∫ a +1 f (x) ∫ f (x) dx = ln f (x) + C 1 ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C a Parciális integrálás A parciális integrálás során a függvények szorzatára vonatkozó deriválási szabályt használjuk fel. Ha u és v valamely intervallumon differenciálható függvények, és itt létezik primitív függvénye az uv függvénynek, akkor az uv függvénynek is létezik primitív függvénye. Ekkor felírható az alábbi összefüggés: ∫ u( x) * v ( x)dx = u( x) v( x) − ∫ u ( x) v( x)dx Integrálás helyettesítéssel Első

esetben az összetett függvény integrálásánál bemutatott speciális formát használjuk fel: ∫ f ( g ( x)) g ( x)dx = F ( g ( x)) + C Ha elvégezzük az u = g(x) helyettesítést, akkor az ∫ f (u)du formulához jutunk. Ekkor megkeressük f(u) primitív függvényét, majd u helyére visszahelyettesítjük g(x)-t. Integrálás inverz függvény behelyettesítésével Mivel ∫ f ( x) dx = F ( x) esetén ∫ f (g (x)g (x)dx = F (g (x)) + C , illetve g(g-1(x)) = x, ezért alkalmasan megválasztott (és invertálható) g(x) esetén az alábbi algoritmus megkönnyítheti bonyolultabb f(x) függvények integrálását: 1. Kiválasztunk egy alkalmas g(x) függvényt 2. x helyett g(u)-t, dx helyett g(u)du -t írunk Az integrandusban x sehol nem maradhat 3. u szerint meghatározzuk F(u) primitív függvényt 4. A primitív függvényen elvégezzük az u = g-1(x) helyettesítést Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 25. oldal A13. A határozott

integrál definíciója, a Newton-Leibniz formula, improprius integrál, területszámítás, forgástest térfogata A határozott integrál fogalma Legyen f(x) valamely [a,b] intervallumon folytonos, nemnegatív függvény. Az említett intervallumban az x tengely és a görbe közé eső területet az intervallumot n részre felosztó és a görbét érintő téglalapok területének összegeként közelíthetjük. Az így kapott részterületek összegét nevezzük a függvény adott intervallumhoz tartozó, Riemann-féle közelítő összegének. Nyilvánvaló, hogy minél finomabb a felbontás (n minél nagyobb), a kapott Riemann-féle közelítő összeg annál pontosabban közelíti a terület valódi nagyságát. Ha a felbontás minden határon túl finomodik (n∞), az említett összeg a görbe alatti területtel lesz egyenlő. A fentiek alapján a következőképpen adhatjuk meg a határozott integrál fogalmát: Határozott integrál f(x) [a,b] intervallumon értelmezett

korlátos függvény integrálható, és határozott integrálja = I abban az esetben, ha [a,b] intervallum tetszőleges, minden határon túl finomodó felosztásához tartozó Riemann-összegek bármely sorozata I-hez konvergál. A határozott integrált a fentiek miatt Riemann-integrálnak is nevezzük. Egy függvény [a,b] intervallumhoz tartozó határozott integrálját az alábbiak szerint jelöljük: b ∫a f ( x)dx Műveletek határozott integrálokkal A határozott integrálokkal ugyanazon műveletek értelmezhetőek, mint a határozatlan integrálok esetében, azzal a megszorítással, hogy csak azonos intervallumhoz tartozó határozott integrálok kapcsolhatóak össze művelettel. Részintervallumok integrálja Ha f(x) integrálható [a,b] intervallumban, és a ≤ c ≤ b, akkor: b c b ∫a f (x)dx = ∫a f (x)dx + ∫c f (x)dx Geometriailag úgy értelmezhető ez az állítás, hogy [a,b] intervallumban f(x) függvény görbe alatti területe egyenlő a vizsgált

intervallumot felosztó részintervallumokhoz tartozó területek összegével. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 26. oldal Newton-Leibniz formula Abban az esetben, ha f(x) primitív függvénye, akkor a formula használható: b ∫a f ( x)dx = F (b) − F (a ) függvénynek [a,b] intervallumban határozott integrál kiszámítására létezik F(x) a következő jelölése: [ F (x)] x= a vagy [ F (x)] a b b Ezt a képletet nevezzük Newton-Leibniz formulának. A Newton-Leibniz formulánál nem kell figyelembe venni a primitív függvényekben szereplő C konstanst, mivel az a kivonás művelete során kiesik. Improprius integrálok A határozott integrál olyan esetekre is értelmezhető, amikor a vizsgált intervallum végtelen, illetve az integrandus az adott intervallumon nem korlátos. Legyen f(x) függvény értelmezve az [a,∞) intervallumon, és annak bármely véges részintervallumán legyen integrálható. Ha létezik az alábbi

határérték, akkor azt f(x) függvény [a,∞) intervallumon vett improprius integráljának nevezzük: ∞ u lim ∫ f ( x)dx u ∞ jelölése: a ∫a f ( x)dx Értékének kiszámítása a következő formula szerint történik: ∞ ∫a f ( x)dx = ulim F (u) − F (a ) ∞ jelölése: lim[ F ( x)] a u u ∞ Fentiekkel analóg módon kell eljárni a (-∞,a], illetve a (-∞,+∞) intervallumok esetén is, értelemszerűen a megfelelő tagoknál alkalmazva a határértéket. Amennyiben a fentiek szerint kiszámolt határérték véges, akkor konvergens, ellenkező esetben divergens improprius integrálról beszélünk. Területszámítás határozott integrál segítségével Amennyiben f(x) függvény [a,b] intervallumban folytonos és nemnegatív, akkor a függvénygörbe alatti területet f(x) megadott intervallumon vett határozott integrálja adja. Ha f(x) függvény a vizsgált intervallumban negatív, de nem vált előjelet, akkor a függvényérték abszolút

értékének határozott vagy impropius integrálja adja a függvénygörbe és az x tengely közötti (ez esetben görbe fölötti) területet. Amennyiben a függvény a vizsgált intervallumban előjelet vált, akkor a zérushelyek mentén részintervallumokra kell bontani, és az előbbiek figyelembevételével az egyes részintervallumokra külön-külön kell meghatározni a területeket, majd azokat összegezni. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 27. oldal Függvények által közrezárt terület Közrezárt területként közvetlenül megadhatjuk a két függvény görbe alatti területe különbségének abszolút értékét, ha az alábbi feltételek teljesülnek: 1. A függvények legfeljebb az intervallum határpontjain keresztezik egymást 2. A keresztezési pontok által kijelölt tartományban egyik függvény sem vesz fel negatív értéket. Ha az 1. pont nem teljesül, akkor az egymással vagy az intervallumhatárral szomszédos

keresztezési pontokat intervallumhatárként tekintve egyenként kell a területeket meghatározni. Amennyiben a 2 pont nem teljesül, akkor mindkét függvényt egyforma mértékben úgy kell eltolni az y tengely mentén, hogy a feltétel teljesüljön. Forgástestek térfogata Ha egy [a,b] tartományban értelmezett f(x) függvényt az x tengely körül megforgatunk, forgástestet kapunk. Amennyiben ezt a testet az x tengelyre merőlegesen messük, kör felületeket kapunk. Ezeknek a köröknek a területét a T = f2(x)π összefüggés adja A vizsgált intervallumot n részre osztva, a függvény alatti terület téglalapokkal való közelítésével teljesen analóg módon, koncentrikus hengerek térfogatának összegeként közelíthetjük a forgástest térfogatát. A felosztást minden határon túl finomítva, az így kapott Riemann-féle közelítő összegek értékének n∞ esetén vett határértéke, vagyis a függvény határozott integrálja adja a forgástest

térfogatát. b A fentiekből következik: V[a,b] = π ∫ f 2 (x)dx a Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 28. oldal A14. Kétváltozós függvények definíciója, parciális derivált, szélsőérték Kétváltozós függvénynek nevezzük az olyan függvényt, mely egy rendezett számpárhoz valós számot rendel. Jelölése: f(x,y), ahol x és y a függvény független változói A kétváltozós függvény értelmezési tartománya külön megadható. Megadás hiányában mindazon (x,y) pontot az értelmezési tartomány részének tekintünk, ahol f(x,y) értelmezhető. Ábrázolása A kétváltozós függvényeket a derékszögű koordinátarendszerben szokásosan úgy ábrázoljuk, hogy a függvényértéket a z tengelyen (függőleges), míg a független változókat az x és y tengelyen vesszük fel. A fentieknek megfelelően a kétváltozós függvény felülettel ábrázolható. A geometriában ismert felületek minden esetben leírhatóak

kétváltozós függvényként (pl. a sík egyenlete: Ax + By +Cz -D = 0 ) Parciális derivált A derivált fogalma két (vagy több) változós függvények esetén is értelmezhető, de mindig csak egyetlen változó szerint képezhető: f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) fx(x0,y0) = lim h A fenti határértéket az f függvény (x0,y0) helyhez tartozó x szerinti parciális differenciálhányadosának nevezzük, ha az létezik és véges. fx függvény neve: x szerinti parciális derivált. h 0 A parciális derivált előállítása úgy történik, hogy a függvényt x változó szerint deriváljuk, a többi független változót konstans paraméterként kezeljük. A derivált értékének kiszámításához a derivált függvénybe behelyettesítjük az (x0,y0) értékeket. Az egyváltozós függvények deriváltjaira érvényes deriválási szabályok a parciális deriváltakra is vonatkoznak. A fentiekkel analóg módon állítható elő és értelmezhető az y változó

szerinti parciális derivált. Másodrendű parciális deriváltak Mivel a kétváltozós függvények parciális deriváltjai is kétváltozósak, ezért ezek a deriváltak is deriválhatóak parciálisan. Így jutunk a másodrendű (második) parciális deriváltakhoz Ezekből négyféle létezik: f"xx ; f"yy ; f"xy és f"yx Utóbbi két esetben az egyik deriválás az x, a másik az y változó szerint történt. Amennyiben ez utóbbi, ún. vegyes parciális deriváltak folytonosak, akkor azok egyenlőek is, tehát: f"xy = f"yx. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 29. oldal Felület érintősíkja Az f(x,y) felület megadott (x0,y0) ponthoz tartozó érintősíkja formálisan az alábbi lépéseken keresztül adható meg: 1. Meghatározzuk z0 értékét a megadott helyen 2. Elvégezzük a függvény x és y szerinti parciális deriválását 3. Kiszámítjuk az (x0,y0) helyhez tartozó x és y tengely menti érintőket 4. Az

érintők vektoriális szorzata adja az érintősík normálvektorát Az érintősík normálvektora egyszerűbben is meghatározható a következő összefüggés segítségével: n = (fx(x0,y0), fy(x0,y0), -1) Kétváltozós függvény szélsőértéke A kétváltozós függvénynek azon a ponton lehet helyi szélsőértéke, ahol a felület érintősíkja párhuzamos az x - y síkkal, vagyis ahol mind x, mind y szerinti parciális deriváltjának zérushelye van. Ezeket a pontokat (több is lehet) a függvény stacionárius helyeinek nevezzük Az, hogy egy stacionárius pont valóban lokális szélsőértéhely-e, a másodrendű parciális deriváltak segítségével dönthető el. Ennek érdekében képezzünk a másodrendű deriváltakból determinánst az alábbiak szerint: f xx/ / (x, y) f xy/ / (x, y) D(x, y) = / / f yx (x, y) f yy/ / (x, y) Amennyiben D(x,y) > 0 a vizsgált helyen, akkor a függvénynek ott lokális szélsőértéke van. D(x,y) < 0 esetén biztosan nincs

szélsőérték, D(x,y) = 0 esetén a kérdés eldöntéséhez további összetett vizsgálatok szükségesek. Ha van szélsőérték, akkor f"xx(x,y) > 0 esetén minimuma, f"xx(x,y) < 0 esetén maximumhelye van a függvénynek. Informatikai Alkalmazások Intézete A15. Elsőrendű differenciálegyenletek, differenciálegyenletek megoldása MATEMATIKA szigorlat 30. oldal szétválasztható, lineáris A differenciálegyenlet fogalma, osztályozása A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amelyben szerepel egy ismeretlen függvény valamely deriváltja. A derivált függvény mellett szerepelhet benne maga az ismeretlen függvény, illetve a független változó egy vagy több ismert függvénye is. Rendűség, linearitás Ha a differenciálegyenletben előforduló legmagasabb rendű derivált n-edrendű, akkor a differenciálegyenletet n-edrendű differenciálegyenletnek nevezzük. A differenciálegyenlet akkor lineáris, ha az ismeretlen függvény, illetve

annak deriváltja lineárisan szerepel benne. Parciális differenciálegyenletek Akkor beszélünk parciális differenciálegyenletről, ha az ismeretlen függvény többváltozós. Az egyváltozós ismeretlen függvényt tartalmazó differenciálegyenletek az ún. közönséges differenciálegyenletek. Homogenitás, inhomogenitás Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános alakja: a(x)y + b(x)y = r(x), ahol a(x) és b(x) az együttható-függvények, r(x) a zavarótag Homogén differenciálegyenletről abban az esetben beszélünk, ha r(x) = 0, egyébként a differenciálegyenlet inhomogén. Amennyiben a(x) és b(x) konstansfüggvények, akkor a differenciálegyenlet állandó együtthatójú. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása Az y = f(x) típusú differenciálegyenletnek végtelen sok megoldása lehet, ugyanis: ∫ y dx = y = ∫ f (x)dx = F (x) + C , ahol C tetszőleges konstans, más néven szabad paraméter. Könnyen belátható, hogy

n-edrendű differenciálegyenlet esetén n számú szabad paramétert tartalmaz a megoldás. Általános megoldás A differenciálegyenlet olyan megoldását, amely pontosan annyi szabad paramétert tartalmaz, ahányad rendű a differenciálegyenlet, a differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 31. oldal Partikuláris megoldás A fentiek alapján belátható, hogy a differenciálegyenlet általános megoldása geometriailag egy görbesereget eredményez. Ezek közül kiválasztva egyet, az egyenlet partikuláris megoldásához jutunk. A partikuláris megoldást gyakran határozzuk meg úgy, mint az említett görbesereg (x0,y0) ponton átmenő elemét. Ezt az y(x0) = y0 feltételt kezdeti feltételnek is nevezzük. Inhomogén egyenletek általános megoldása Az elsőrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását a neki megfelelő homogén egyenlet általános megoldása, és az

inhomogén egyenlet egy (tetszőleges) partikuláris megoldása összegeként kapjuk. Ennek megfelelően a megoldási algoritmus: 1. Elhagyjuk az egyenlet jobb oldalát (r(x) := 0), majd az így kapott homogén egyenletnek meghatározzuk az általános megoldását. 2. Az eredeti inhomogén egyenletnek keressük egy tetszőleges partikuláris megoldását 3. Összeadjuk a fentiek szerint kapott általános és partikuláris megoldásokat Szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldása Szétválasztható a differenciálegyenlet, ha y = f(x)h(x) alakú, vagy átalakításokkal ilyen alakúra hozható. Az ilyen típusú differenciálegyenlet mindig megoldható A megoldás főbb lépései: 1. A derivált tagot y = dy alakban írjuk fel. dx 2. Formálisan szorozzuk az egyenletet dx taggal 3. Úgy rendezzük (választjuk szét) az egyes tényezőket, hogy az egyik oldalon csak y, a másikon csak x függvényei legyenek. 4. Integráljuk külön-külön mindkét oldalt A

két oldalon kapott C állandókat összevonjuk egy oldalra, és általában ln C alakban adjuk meg. A megoldást nem szükséges (sokszor nem is lehetséges) y-ra feloldott, explicit alakban felírni. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 32. oldal A16. Másodrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek Általános alak A másodrendű differenciálegyenlet explicit alakja az alábbi általános formában írható fel: y = f(x, y, y) Az így megoldott egyenlet általános alakja két független konstanst (szabad paramétert) tartalmaz. Hiányos másodrendű differenciálegyenletek Akkor beszélünk hiányos másodrendű differenciálegyenletről, ha az explicit forma jobb oldalán található három tényező valamelyike hiányzik. Hiányzik az ismeretlen függvény Az egyenlet y = f(y, x) alakú. Megoldása azon alapul, hogy y = p(x) helyettesítést elvégezve, az egyenletet elsőrendű egyenletre vezetjük vissza, és ennek megfelelően

keressük megoldását. Ha az egyenletből y és y is hiányzik, akkor nincs szükség helyettesítésre sem. Ilyenkor az egyenletet kétszer integrálva kapjuk az általános megoldást. Hiányzik az ismert függvény Az egyenlet y = f(y, y) alakú. Megoldásánál az y = p(x) helyettesítés után kapott elsőrendű egyenletet megoldjuk p(x)-re, majd visszahelyettesítjük, és az így kapott, szétválasztható differenciálegyenletet megoldjuk. Másodrendű lineáris differenciálegyenlet Általánosan az a2(x)y + a1(x)y + a0(x)y = r(x) alakban írható fel, ahol r(x) a zavarótag. Amennyiben a2(x), a1(x) és a0(x) konstansok, akkor állandó együtthatós differenciálegyenletről, egyébként változó együtthatós differenciálegyenletről beszélünk. A változó együtthatós homogén differenciálegyenletek általában nem oldhatóak meg. Állandó együtthatós homogén másodrendű egyenlet megoldása Ezek az a2y + a1y + a0y = 0 formában felírható egyenletek mindig

megoldhatóak, és megoldásuk algebrai úton lehetséges, integrálás nélkül. A megoldáshoz vezessük be az y = erx helyettesítést. (r egyelőre ismeretlen), majd vegyük fel az újonnan bevezetett függvény első és második deriváltját: y = rerx és y = r2erx Az így kapott helyettesítéseket hajtsuk végre az eredeti függvényen: a2y + a1y + a0y = 0 a2r2erx + a1rerx + a0erx = 0 erx -t kiemelve: erx(a2r2 + a1r + a0)= 0 mivel erx soha nem lehet nulla, ezért: 2 a2r + a1r + a0 = 0 Ezzel megkaptuk a differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletét. Az így kapott másodfokú egyenlet megoldásaként kapott r1 és r2 gyökök alapján az egyenlet általános megoldásait az alábbiak szerint kapjuk: r1 <> r2 y = C1er1x + C2er2x C1 és C2 tetszőleges konstansok r1 = r2 = r y = C1erx + C2xerx Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 33. oldal Wronski-féle determináns A fenti megoldás során felhasználtuk, hogy y1 és y2 akkor alaprendszere a

differenciálegyenletnek, ha lineárisan függetlenek, vagyis C1y1+C2y2 = 0 egyenlet csak C1=C2=0 esetben teljesül. Ekkor y = y1 ± y2 is megoldása az egyenletnek f1 és f2 függvényekből és ezek deriváltjaiból felírhatjuk az alábbi determinánst: W= f1 f 1 f2 f 2 Ha valamilyen intervallumban W <> 0, akkor abban az intervallumban f1 és f2 függvények lineárisan függetlenek egymástól. Inhomogén egyenletek megoldása Az inhomogén egyenlet általános megoldását kapjuk, ha összeadjuk a megfelelő homogén egyenlet általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy tetszőleges úton kapott partikuláris megoldását. A partikuláris megoldást kereshetjük a konstans-variálás módszerével, próbafüggvény módszerrel, vagy egyéb, szinguláris megoldást adó módon. A próbafüggvény módszer lényege, hogy a partikuláris megoldást a zavarótag típusának megfelelő alakban keressük. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA

szigorlat 34. oldal A17. n-dimenziós vektorok, műveletek, lineáris függetlenség, bázis Végesen sok, rendezett sorrendű számot (rendezett n-est) vektornak nevezünk. Ha a számokat egymás mellé írjuk, akkor sorvektort, egymás alá írva őket oszlopvektort kapunk. A vektort alkotó számokat a vektor koordinátáinak nevezzük. Ha valamely vektort n koordináta határoz meg, akkor azt mondjuk, hogy az a vektor n-dimenziós. Speciális vektorok Nullvektor: olyan vektor, melynek mindegyik koordinátája nulla. Egységvektor Kétféle értelmezésben használjuk. Az első szerint egységvektor az egységnyi hosszúságú vektor. A másik értelmezés szerint az egységvektor olyan vektor, melynek pontosan egy koordinátája egységnyi, a többi zérus. Ez utóbbi tulajdonképpen a bázis egy vektorának egységvektora. Vektor abszolút értéke A vektor hosszúságát értjük alatta. Értékét a Pitagorasz-tétel szerint számíthatjuk az egyes koordinátákból. Skaláris

mennyiség Műveletek vektorokkal Ha valamely műveletben egynél több vektor fordul elő operandusként, akkor a művelet csak akkor értelmezhető, ha valamennyi bennefoglalt vektor azonos dimenziójú. Összeadás, kivonás Az eredő vektort úgy kapjuk, ha a vektorok azonos indexű koordinátáit összeadjuk, illetve kivonjuk egymásból. Szorzás skalárral Úgy végezzük, hogy a vektor minden koordinátáját külön-külön megszorozzuk a kívánt számmal. Vektorok skaláris szorzata Úgy képezzük, hogy a két vektor azonos koordinátáit összeszorozzuk, majd az így kapott szorzatokat összeadjuk. A művelet eredményeként nem vektort, hanem számot (skalárt) kapunk. Ha két vektor skaláris szorzata nulla, akkor azt mondjuk, hogy a két vektor merőleges egymásra. (mindenesetre ez geometriailag nehezen értelmezhető 3-nál több dimenzió esetén). Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 35. oldal Lineáris kombináció x1, x2,.xn legyenek

tetszőleges számok Az a1, a2,an vektorok e számokkal képzett lineáris kombinációján az alábbi vektort értjük: x1a1 + x2a2 + . + xnan Az a1, a2,.an vektorok összes lehetséges lineáris kombinációjának halmazát az e vektorok által generált vektortérnek nevezzük. Lineáris függetlenség Az a1, a2,.an vektorokat akkor mondjuk egymástól lineárisan függetlennek, ha az x1a1 + x2a2 + . + xnan = 0 egyenlőség csak x1=x2=xn = 0 esetben teljesül, egyébként lineárisan összefüggőnek mondjuk őket. Másik - de az előbbivel ekvivalens - definíció szerint az a1, a2,.an vektorrendszer akkor lineárisan független, ha egyetlen elemét sem lehet a többiek lineáris kombinációjaként előállítani. Egy n-dimenziós vektortér legfeljebb n számú lineárisan független vektort tartalmazhat. A vektortér bázisa Ha b1, b2,.bn vektorok lineárisan függetlenek, és lineáris kombinációjukkal a tér minden vektora előállítható, akkor az említett vektorokat a

vektortér bázisának nevezzük. A fentiekből következik, hogy egy n-dimenziós vektortér bázisa pontosan n számú vektorból áll. Lineáris függetlenség vizsgálata Rendezzük mátrixba a vizsgált vektortér feltételezett bázisvektorait, majd számítsuk ki a mátrix determinánsát. Ha a determináns értéke nem nulla, akkor a vizsgált vektorok lineárisan függetlenek, tehát a vektortér bázisát alkotják, ellenkező esetben nem. Következmények 1. Ha a1, a2,an valamely eleme nullvektor, akkor a vektorrendszer nem lehet lineárisan független. 2. Lineárisan független vektorrendszerből tetszőleges vektort elvéve a vektorrendszer lineárisan független marad. 3. Lineárisan összefüggő vektorrendszerhez tetszőleges vektort adva a vektorrendszer lineárisan összefüggő marad. 4. Valamely vektortér bármely bázisvektora helyett bevihető bázisvektorként az adott vektor többi bázisvektorral képzett tetszőleges lineáris kombinációja, amennyiben a

kicserélendő vektor nem zérus együtthatóval szerepel a lineáris kombinációban. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 36. oldal A18. Mátrixok: műveletek, elemi transzformációk, a determináns, a mátrix inverze A mátrix fogalma (jele: A, B.stb) Elemeknek táblázatban, sorokba és oszlopokba rendezett formában való elrendezését mátrixnak nevezzük. Ha a táblázat m sorból és n oszlopból áll, m x n típusúnak mondjuk, és aij elem (i=1.m és j=1n) azt az elemet jelenti, amely a táblázat i-dik sora és j-dik oszlopa által kijelölt cellában található. Egyenlőség Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha méretük (típusuk) is, és azonos indexű celláik tartalma is egyenlő. Rang Valamely mátrix rangja a benne levő lineárisan független sorok vagy oszlopok számával egyenlő. Speciális mátrixok Mátrix transzponáltja Ha valamely mátrix sorait és oszlopait felcseréljük egymással, a mátrix transzponáltját

kapjuk. Jele: A* Négyzetes (kvadratikus) mátrix Olyan mátrix, amely ugyanannyi sort és oszlopot tartalmaz. Ha a mátrix n számú sort és oszlopot tartalmaz, akkor a mátrixot n-edrendű mátrixnak nevezzük. Szimmetrikus mátrix Olyan kvadratikus mátrixot jelent, mely egyenlő a transzponáltjával. Ekkor a mátrix elemei a főátlóra szimmetrikusak. (A = A*) Ferdén szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix) Olyan kvadratikus mátrix, melynél a főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek összege nulla. Ekkor A = -A*. Az ilyen mátrixok főátlójában csak nulla van Diagonális mátrix: olyan mátrix, melynél a főátlón kívüli valamennyi elem zérus. Egységmátrix: olyan diagonális mátrix, melynél a főátló valamennyi eleme 1. Zérusmátrix: olyan mátrix, melynek valamennyi eleme nulla. Reguláris mátrix: olyan kvadratikus mátrix, melynek determinánsa nem zérus. Szinguláris mátrix: olyan kvadratikus mátrix, melynek determinánsa zérus. Informatikai

Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 37. oldal Inverz-mátrix Az a mátrix (ha létezik), mellyel az eredeti mátrixot megszorozva egységmátrixot kapunk eredményül. Műveletek mátrixokkal Összeadás, kivonás Ezek a műveletek csak megegyező típusú mátrixokon értelmezhetőek. Maga a művelet úgy történik, hogy az azonos indexű elemeket összeadjuk (kivonjuk egymásból). Az összeadás (kivonás) művelete asszociatív, disztributív és kommutatív. Bizonyítható, hogy minden mátrix előállítható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegeként. Mátrix szorzása számmal Úgy történik, hogy a mátrix minden elemét ugyanazzal a számmal megszorozzuk. Mátrix szorzása mátrixszal (jele: A * B) Csak speciális esetben értelmezhető művelet. C(m,n) = A(m,p) * B(r,n) szorzat akkor és csak akkor létezik, ha A ugyanannyi oszlopot tartalmaz, mint ahány sort B, vagyis p = r. Ebben az esetben az eredményül kapott mátrix m sort és n

oszlopot tartalmaz. A szorzat képzése úgy történik, hogy A mátrix i-dik sorvektorát skalárisan szorozzuk B mátrix j-dik oszlopvektorával, és az így kapott értéket tesszük Cij cellába. A definícióból látszik, hogy A * B <> B A, sőt A B létezése nem is implikálja B * A létezését. Mátrixok osztása Közvetlenül nem hajtható végre, de az osztó inverz-mátrixával való szorzásként értelmezhető, feltéve, hogy az inverz-mátrix létezik, és teljesül rájuk a mátrixok szorzásánál megadott feltétel. Elemi transzformációk Olyan műveletek, melyek a mátrix belső tulajdonságait nem változtatják meg. Minden esetben teljes sorokra, vagy teljes oszlopokra vonatkoznak. 1. a mátrix két tetszőleges sorának (oszlopának) felcserélése, 2. a mátrix tetszőleges sorának (oszlopának) nullától különböző számmal szorzása, 3. a mátrix tetszőleges sorához (oszlopához) bármely másik sora (oszlopa) k-szorosának hozzáadása. Elemi

transzformációk segítségével minden mátrix vagy egységmátrixszá, vagy valamilyen zérusmátrixszal bővített egységmátrixszá alakítható. Transzformációs mátrix A fenti műveleteket azonos rendű egységmátrixon elvégezve kapjuk. Valamely A mátrixot transzformációs mátrixával megszorozva eredményül olyan mátrixot kapunk, mintha az eredeti A mátrixon hajtottuk volna végre ugyanazokat az elemi transzformációkat. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 38. oldal Az inverz-mátrix meghatározása Csak reguláris mátrix esetén végezhető el. Bár meghatározható a mátrix determinánsa segítségével is, egyszerűbb az alábbi algoritmus követése: 1. Bővítsük az invertálni kívánt mátrixot a vele azonos rendű egységmátrixszal (egyszerűen írjuk mellé)! 2. Hajtsuk végre azokat a sortranszformációkat a teljes (bővített) mátrixon, melyek eredményeképpen a mátrix eredeti része egységmátrixszá alakul! 3. Az

összetett mátrix bővítménye (eredetileg egységmátrix) lesz a kiindulási reguláris mátrix inverze. Mátrix determinánsa Kvadratikus mátrixok esetén a mátrixokhoz egy valós számot rendelhetünk az alábbiak szerint. Ez a szám a determináns Másodrendű determináns kiszámítása A(2,2) másodrendű mátrix determinánsa az alábbiak szerint értelmezhető: detA = a 11 a 12 = a11a22-a12a21 a 21 a 22 (mindig valós szám) Harmadrendű determináns kiszámítása A determináns értékét a tetszőlegesen kiválasztott sorához vagy oszlopához tartozó előjeles aldeterminánsok (ezek másodrendűek) összegeként kapjuk. Célszerű az alábbi algoritmust követni: 1. Kiválasztjuk, melyik sor szerint kívánjuk a kifejtést elvégezni 2. Meghatározzuk a sor első eleméhez tartozó előjelet a (-1)i+j képlet segítségével 3. Elhagyjuk a determinánsból a kiválasztott elem teljes sorát és oszlopát, majd az így kapott aldetermináns értékét meghatározva

megszorozzuk azt az előző pont szerint kapott előjellel, így megkapjuk az előjeles aldeterminánst. 4. A 2 és 3 műveletet az adott sor összes elemére végrehajtjuk 5. Az előjeles aldeterminánsok összeadásával megkapjuk a mátrix determinánsának értékét. Az oszlop szerinti kifejtés a fentiekkel teljesen analóg módon történik. Magasabbrendű determinánsok A fentieket általánosítva kimondható, hogy minden determináns megadható tetszőleges sora (oszlopa) szerint kifejtett, eggyel alacsonyabbrendű előjeles aldeterminánsok összegeként. Mivel ez rekurzívan alkalmazható, ezért minden determináns visszavezethető a másodrendű determináns kiszámítására. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 39. oldal A19. Lineáris egyenletrendszer: megoldhatósága, a Cramer-szabály, a Gauss-féle módszer, megoldás elemi transzformációkkal A lineáris egyenletrendszer fogalma Lineáris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert

értünk, amely végesen sok elsőfokú egyenletből áll. Rendezzük úgy az egyenleteket, hogy az ismeretleneket tartalmazó tagok a bal oldalra, a konstansok a jobb oldalra kerüljenek. Ekkor az együtthatókat mátrixba rendezve kapjuk az együttható-mátrixot, a konstansokat azonos sorrendben oszlopvektorba rendezve kapjuk az eredményvektort, míg az ismeretleneket x1-től xn-ig oszlopvektorba rendezve megkapjuk az ismeretlenek oszlopvektorát. Ha az együttható-mátrix mellé hozzávesszük az eredményvektort is, akkor megkapjuk az egyenletrendszer bővített mátrixát. Homogén lineáris egyenletrendszer: a lineáris egyenletrendszer akkor homogén, ha eredményvektora nullvektor. Az egyenletrendszer megoldhatósága Ha egy lineáris egyenletrendszert megoldhatóság szempontjából vizsgálunk, háromféle kimenetele lehet a vizsgálatnak: 1. az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, 2. végtelen sok megoldás létezik, 3. nem oldható meg az egyenletrendszer Az

egyenletrendszer megoldhatóságát mátrixai rangjának vizsgálatával végezhetjük. A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha együttható-mátrixának rangja megegyezik bővített mátrixának rangjával (1. és 2 eset) Megoldás inverz-mátrix segítségével Ez az eljárás csak akkor alkalmazható, ha az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, és az együttható-mátrix inverze létezik. Jelöljük az együttható-mátrixot E-vel, az ismeretlenek oszlopvektorát X-szel, míg az eredmények (konstansok) oszlopvektorát K-val. Ekkor felírható: X * E = K, azaz X = K / E, vagyis X = K E-1 Tehát az ismeretlenek vektorát megkapjuk az eredményvektornak az együttható-mátrix inverzével képzett szorzataként. A Cramer-szabály alkalmazása Ez a megoldás is csak akkor alkalmazható, ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával. A megoldáshoz vezessünk be két új fogalmat: Alapdetermináns (jele: detE) Az

egyenletrendszer együttható-mátrixának (E) determinánsa. Ha ennek értéke nulla, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása. (vagy nincs megoldás, vagy végtelen sok megoldás lehetséges). Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 40. oldal xi szerinti módosított determináns (jele: Di) Az együttható-mátrix i-dik oszlopát - a sorrend megtartása mellett - cseréljük ki az eredményvektorra, és vegyük ennek a módosított mátrixnak a determinánsát! Nyilvánvaló, hogy a módosított determináns értéke nulla is lehet. A Cramer-szabály értelmében az i-dik ismeretlen (xi) az alábbi összefüggés szerint határozható meg: xi = Di det E A Gauss-módszer alkalmazása Ebben az esetben semmiféle megszorítást nem teszünk az ismeretlenek számára és az egyenletek számára vonatkozóan. Az egyes egyenleteket úgy rendezzük, hogy bal oldalon sorrendben az ismeretlen tagok helyezkedjenek el, jobb oldalon pedig a konstansok

legyenek. A megoldás lényege, hogy az egyes egyenletek konstansszorosait úgy adjuk más egyenletekhez, hogy a műveletek eredményeképpen minden egyenletben lehetőleg pontosan egy ismeretlen szerepeljen nullától különböző együtthatóval, vagyis egyismeretlenes egyenletek jöjjenek létre, melyek megoldása azonnal adódik. Ha az egyenletek kombinációja során "0 = 0" formájú egyenletet kapunk, akkor azt elhagyjuk, és a többi egyenlettel folytatjuk a munkát. Amennyiben valamelyik egyenlet "0 = k (k<>0)" formájúvá válik, akkor az egyenletrendszer egymásnak ellentmondó egyenleteket tartalmaz, így nincs valós megoldása. Ha a rendezés végére egyenleteink száma kevesebb az ismeretlenek számánál, és nincs közöttük ellentmondásos feltételt támasztó egyenlet, akkor az egyenletrendszernek végtelenül sok megoldása van, és legalább az egyik ismeretlen kifejezhető a többi ismeretlen lineáris kombinációjaként. Megoldás

elemi transzformációkkal A megoldás teljesen ekvivalens a Gauss-módszerrel, attól csak a felírás módjában különbözik. Menete: 1. Írjuk fel az egyenletrendszer együttható-mátrixát, és bővítsük ki további oszlopként az eredmények oszlopvektorával! 2. Végezzünk olyan elemi sortranszformációkat, melyek eredményeképpen az eredeti együttható-mátrix szabályos egységmátrixszá alakul! Értelemszerű, hogy a bővítményen is végre kell hajtani azokat a műveleteket, amiket az együtthatómátrixon végrehajtunk. 3. Az átalakítások végén (mikor az eredeti együttható-mátrix egység-mátrixszá alakult) a bővítmény oszlopvektora sorrendben az egyes ismeretlenek értékeit tartalmazza. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 41. oldal A20. Végtelen sorok, függvénysorok A végtelen sor és a konvergencia fogalma Ha az a1,a2,,an, számsorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsoljuk, akkor az így keletkező a1 + a2

+.+ an += ∞ a n kifejezést ∑ n végtelen sornak (vagy röviden sornak) =1 nevezzük. Az a1,a2, számok a sor tagjai Ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy a sor tagjai számok, akkor numerikus sort mondunk. Részletösszegek sorozatának nevezzük az s1 = a1, s2 = a1 + a2, , sn = a1 + a2 ++ an sorozatot, ahol az sn szám a sor n-edik részletösszege. A végtelen sor összegét a részletösszegek sorozatának határértékeként értelmezzük: lim sn = s. A végtelen sort konvergensnek mondjuk, ha a részletösszegek sorozata konvergens. Ha az (sn) sorozat divergens, akkor a végtelen sor is divergens. Konvergenciakritériumok A részletösszegek sorozatának konvergenciájáról általában nehéz meggyőződni. A konvergenciakritériumok segítségével a sorozat vizsgálata nélkül lehet eldönteni, hogy a sor konvergens, vagy divergens. Cauchy-féle kritérium A ∑an sor pontosan akkor konvergens, ha minden ε > 0 esetén van olyan N küszöbszám, hogy n ≥ N esetén

|an+1 + an+2 ++ an+k| < ε, akármekkora is a k szám. Tehát ez a kritérium azt mondja ki, hogy a sor pontosan akkor konvergens, ha az (n+1)-edik (n ≥ N) tagtól kezdődő akármilyen nagy „szeletének” a számértéke előírtan kicsiny. A végtelen sor konvergenciájának szükséges feltétele, hogy lim an = 0 legyen. Összehasonlító kritériumok (pozitív tagú sorokra) Legyenek ∑an és ∑bn pozitív tagú sorok, továbbá legyen minden n esetén an ≤ bn. Ekkor, ha ∑bn konvergens, akkor ∑an is konvergens. Ha ∑an divergens, akkor ∑bn is divergens Másképpen fogalmazva: • Pozitív tagú konvergens sor minoránsa konvergens. • Pozitív tagú divergens sor majoránsa divergens. Hányadoskritérium (pozitív tagú sorokra) Ha a ∑an pozitív tagú sornál lim divergens, lim a n +1 a < 1 , akkor a sor konvergens, lim n +1 > 1 , akkor a sor an an a n +1 = 1 , akkor a sor lehet konvergens is, de lehet divergens is. an Informatikai Alkalmazások

Intézete MATEMATIKA szigorlat 42. oldal Gyökkritérium (pozitív tagú sorokra) Ha a ∑an pozitív tagú sornál lim n a n < 1 , akkor a sor konvergens, lim n a n > 1 , akkor a sor divergens, lim n a n = 1 , akkor a sor lehet konvergens is, de lehet divergens is. Integrálkritérium (pozitív tagú sorokra) Legyen f(x) az [1,∞) intervallumon pozitív, csökkenő függvény. Legyen továbbá f(n) = an minden n természetes szám esetén. Ekkor a ∑an pozitív tagú végtelen sor konvergens vagy ∞ divergens, aszerint hogy az ∫ f ( x)dx improprius integrál konvergens vagy divergens. 1 Ez a kritérium igen hatékony. A konvergenciát (vagy a divergenciát) akkor is képes kimutatni, amikor a hányados- vagy a gyökkritériummal ez nem lehetséges. Leibniz-kritérium (váltakozó előjelű sorokra) Ha a ∑an váltakozó előjelű sornál az |an| számok csökkenő módon nullához tartanak, akkor a sor konvergens. Abszolút és feltételes konvergencia Az ∑an sor

abszolút konvergens, ha a ∑|an| sor konvergens. Ha egy sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor a sort feltételesen konvergensnek mondjuk. Műveletek konvergens sorokkal 1. Konvergens sor tagjainak egy-egy csoportját szabad zárójelbe tenni A sor összege ezzel nem változik meg. 2. Konvergens sor tagonként szorozható egy c számmal Ekkor a sor összege c-szerese az eredetinek. 3. Két konvergens sor összege is konvergens sor Függvénysorok A függvénysor olyan végtelen sor, amelynek tagjai függvények. Összege (ha létezik) szintén függvény, amely a sor részletösszegeiből képzett sorozat határfüggvénye. Azoknak a számoknak a halmaza, amelyekre a sor konvergens, a függvénysor konvergenciatartománya. Ha a részletösszegek sorozata egyenletesen konvergens, akkor a függvénysor is egyenletesen konvergens. A függvénysor n-edik maradéktagja a sor összegfüggvényének és n-edik részletösszegfüggvényének a különbsége. Informatikai

Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 43. oldal Hatványsorok A hatványsor tagjai hatványfüggvények. Konvergenciatartománya egy intervallum, az ún konvergenciaintervallum. Ennek félhossza a konvergenciasugár A ∑cnxn hatványsor c 1 formulával számítható. konvergenciasugara az r = lim n vagy r = n cn +1 lim | cn | A hatványsor a konvergenciaintervallum belsejében konvergens, a konvergenciaintervallumban lévő bármely zárt intervallumon pedig egyenletesen konvergens. Ennek következtében az összegfüggvény itt folytonos, továbbá a sor itt tagonként differenciálható, ill. integrálható Taylor-sor n-edfokú, x = a körüli Taylor polinom: f (a ) f (a ) f ( n ) (a ) 2 3 * (x − a) + * ( x − a ) + . + Tn ( x) = f ( a ) + f ( a ) * ( x − a ) + * ( x − a )n 2 3! n! n-edfokú Maclaurin (x = 0 körüli) polinom: f ( 0) 2 f ( 0) 3 f ( n ) ( 0) n *x M n ( x) = f (0) + f (0) * x + *x + * x + . + 2 3! n! A Taylor-féle maradéktag

Lagrange-féle alakja: f ( n +1) (ξ ) ( x − a ) n +1 ahol ξ az x és a közötti hely. Rn ( x) = f ( x) − Tn ( x) = ( n + 1)! f ( n +1) ( x) Ha ξ=x, a Hiba < ( x − a ) n +1 ( n + 1)! Ha lim Rn(x) = 0, akkor a Taylor-sor összegfüggvénye maga az f(x) függvény. A függvény hatványsorba fejtésének egyik módja a Taylor (Maclaurin) sorfejtés. Az egyenletes és abszolút konvergencia miatt azonban a sorfejtés egyszerűbben is végrehajtható. Például ismert sorokból kiindulva, összeadással, szorzással, tagonkénti deriválással, integrálással stb. Fourier-sorok A 2π szerint periodikus f függvény Fourier-sora: ak = 1 π 2π 1 a0 2 ∞ + ∑ ( a n cos nx + bn sin nx) , ahol n =1 2π ∫ f ( x) cos kx dx , bk = π ∫ f ( x) sin kx dx , k = 0, 1, 2, 3, 0 0 Az ak, bk számok a Fourier-együtthatók. Páros függvény esetén minden bk = 0, páratlan függvény esetén pedig minden ak = 0. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA

szigorlat 44. oldal A21. Automaták Determinisztikus automata Ez az automata egy öt alkotóelemből álló M = (S, A, f, k, V) objektum, ahol • S az állapotok halmaza, • A egy ábécé, • f az automata állapotváltozásait megadó f(p,a) = q alakú függvény, az állapotfüggvény, amely meghatározza, hogy p állapotban beolvasott a jel hatására a q állapotba menjen át az automata, • k ∈ S a kezdőállapot, • V ⊂ S a végállapotok halmaza. Azt mondjuk, hogy az automata felismeri az s szót, ha kezdőállapotból indulva a szó minden betűjét beolvassa és az utolsó betű beolvasása után végállapotba megy át (olyan állapotot vesz fel, ami a V halmaznak eleme). Az automata megadható gráffal is Veremautomata A veremautomata és a determinisztikus automata közötti legfőbb strukturális különbség az, hogy a veremautomata tartalmaz egy központi tárolót, az ún. veremmemóriát (más néven vermet). A veremautomata egy PM = (S, A, B, #, k, f, V)

hetes, ahol • A a bemenő adatok egy véges ábécéje, • S a PM automata belső állapotainak halmaza, • B egy véges ábécé (a gép belső ábécéje), • # egy speciális veremszimbólum (a „verem alja” jel, az „üres verem” csak ezt az egy szimbólumot tartalmazza), • V a végállapotok halmaza, • k a kezdőállapot, • f egy leképezés. Turing-gép A Turing-gép olyan determinisztikus automata, amely egy végtelen szalagról nem csak olvasni, hanem arra írni is tud. Megadása egy T = (S, A, f, k) négyessel történik, ahol • S az állapotok halmaza, • A egy ábécé, • f : (s, a) (b, m, v) leképezési szabály, • k ∈ S a kezdőállapot. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 45. oldal A22. Formális nyelvek Alapfogalmak Ábécé: egy szimbólumhalmaz. Elemeit betűnek nevezzük Szó (szöveg, mondat): betűk sorozata. A szó hossza: a szót alkotó betűk száma. Üres szó: olyan szó, amely egyetlen betűt sem

tartalmaz. Jele: ε Műveletek szavakkal • Szorzás: Az S 1 és S 2 szavak szorzatán (egyesítésén, összeláncolásán, konkatenációján) azt az új szót értjük, amely úgy jön létre, hogy S2-t az S1 után írjuk. Az új szót S 1 S 2 -vel jelöljük • Hatványozás: Az S szó önmagával való szorzását a szó hatványozásának nevezzük. S i = SSi-1 • Tükrözés: Az S szó tükörképének azt az S-1-gyel jelölt szót nevezzük, amely az S betűit fordított sorrendben tartalmazza. Formális nyelvek Egy adott ábécéből alkotott szavak tetszőleges halmazát az ábécéből alkotott formális nyelvnek nevezzük. A nyelvekre, mint halmazokra érvényesek a megszokott halmazműveletek (unió, metszet, különbség, komplementer), a szorzás és a hatványozás. A grammatika azt adja meg, hogy hogyan hozzuk létre (generáljuk) a mondatokat, ezért a formális nyelvek nyelvtanát generatív grammatikának is szokták nevezni. A grammatika megadása Egy generatív

grammatikának a következő négy alkotóeleme van: • Egy ábécé, melynek elemeiből a szavak felépülnek (vagyis a definiálandó nyelv ábécéje). Ennek elemeit terminális szimbólumoknak nevezzük • Egy másik ábécé, melynek elemeit nemterminális jeleknek nevezzük. Ezt az ábécét (ennek jeleit) csak segédeszközként használjuk a generálás során, betűi nem szerepelnek a generált nyelv szavaiban. • Egy kezdőszimbólum, ami tulajdonképpen egy rögzített nemterminális jel (egy kitüntetett szimbólum). • A generatív grammatika helyettesítési szabályai, amelyekkel a szavak származtathatóak. A generatív grammatikával a következőképpen generáljuk egy nyelv szavait: 1. Kiindulunk egy szóból, amely kezdetben egyetlen jelből, a kezdőszimbólumból áll 2. Ezek után az éppen vizsgált szót - valamilyen helyettesítési szabály alapján - egy másik szóra cseréljük ki. 3. Az eljárást akkor fejezzük be, ha olyan szóhoz jutunk, amely

csak terminális jelekből áll. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 46. oldal B1. Esemény, eseménytér, műveletek eseményekkel; a valószínűség matematikai fogalma; a klasszikus valószínűségi mező Esemény, eseménytér fogalma Esemény Valamely kísérlet egy lehetséges, az összes többitől megkülönböztethető kimenetelét eseménynek nevezzük. Ha adott esemény további rész-eseményekre már nem bontható, akkor elemi eseménynek, egyébként összetett eseménynek nevezzük. Az elemi eseményeket az Ei szimbólummal, az összetett eseményeket pedig az ábécé nagybetűivel jelöljük. Ha egy esemény a kísérlet során biztosan bekövetkezik, azt biztos eseménynek, amelyik soha nem következik (következhet) be, azt lehetetlen eseménynek nevezzük. A lehetetlen esemény jele általában a ∅, a biztos eseményé a H vagy az I szimbólum. Eseménytér Valamely kísérlet összes lehetséges kimenetelének halmazát

eseménytérnek nevezzük, és általában a H szimbólummal jelöljük. Fentiek alapján könnyen belátható, hogy H bekövetkezése biztos esemény. Műveletek eseményekkel A kísérlet eseményeire a halmazelméletnél megismert műveleteket alkalmazhatjuk. Összeg A és B esemény A ∪ B összegén azt az eseményt értjük, amikor A és B közül legalább az egyik (de esetleg mindkettő) bekövetkezik. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért az A+B szimbólumot fogom használni. Szorzat A és B esemény A ∩ B szorzatán (metszetén) azt az eseményt értjük, amikor mind A, mind B esemény egyaránt bekövetkezik. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért az AB vagy A*B szimbólumot fogom használni. Ellentett esemény A esemény ellentettje az az esemény, amely akkor következik be, ha az A esemény nem következik be. Jele: A Különbség Az A és B események A - B különbségén azt az eseményt értjük, amely akkor következik be, ha A bekövetkezik, de B nem.

Másik gyakori jelölése: A B Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 47. oldal Teljes eseményrendszer A és B eseményeket egymást kizáróknak nevezzük akkor, ha egyszerre nem következhetnek be, vagyis szorzatuk nulla. Ha H eseményterét olyan A1, A2, . An események alkotják, melyek egymást páronként kizárják, ugyanakkor A1+A2+.+An= H, azaz összegük az eseménytér, akkor a H={A1, A2,.An} eseményhalmazt teljes eseményrendszernek nevezzük A műveletek tulajdonságai Az események ugyanazoknak az algebrai törvényszerűségeknek tesznek eleget, mint amelyeket a halmazoknál megismertünk (Boole-algebra). A+A=A A*A = A A+A=H A *A = ∅ A(B+C) = AB + AC A+B=B+A A*B = BA A+∅=A A*∅ = ∅ A + BC = (A+B)*(A+C) A + (B+C) = (A+B) + C A(BC) = (AB)C = ABC A+H=H A*H = A De Morgan féle szabályok Gyakoriság, valószínűség A esemény bekövetkezésének valószínűségére úgy kaphatunk megbízható eredményt, ha a kísérletet sokszor

elvégezzük. Ez esetben A esemény bekövetkezéseinek számát A esemény gyakoriságának nevezzük. Ha ezt a számot elosztjuk a kísérletek számával, akkor A esemény relatív gyakoriságát kapjuk meg. Azt a számértéket, amely körül A esemény relatív gyakorisága viszonylag stabilan ingadozik, A esemény valószínűségének nevezzük, és P(A)-val jelöljük. A fentiek alapján nyilvánvaló, hogy 0 ≤ P(A) ≤ 1. A valószínűség matematikai fogalma I. axióma Minden A eseményhez hozzárendelhető egy P(A) valós szám, amelyre fennáll, hogy 0 ≤ P(A) ≤ 1; A P(A) szám az A esemény valószínűsége. II. axióma A biztos esemény valószínűsége: P(H) = 1. III. axióma Ha AB = ∅, akkor P(A+B) = P(A) + P(B). IV. axióma Ha Ai*Aj = ∅, akkor P(A1+A2+.+An) = P(A1) + P(A2)++P(An) Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 48. oldal Valószínűségszámítási tételek P(∅) = 0 P( A ) = 1 - P(A) P(A1) + P(A2)++P(An) = 1, ha Ai*Aj =

∅ P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) P(B - A) = P(B) - P(AB) Ha A ⊂ B, akkor P(B - A) = P(B) - P(A) A fenti állítások legkönnyebben Venn-diagram segítségével igazolhatóak. Valószínűségi mező Ha H = {A1, A2,.An} teljes eseményrendszer mindegyik eseményéhez hozzárendeljük adott esemény P(Ai) valószínűségét, akkor meghatároztuk H valószínűségi mezőjét. Másképpen fogalmazva az A1,.Ai eseményeket a hozzájuk rendelt P1,Pi valószínűségekkel együtt valószínűségi mezőnek nevezzük, ha teljesül az alábbi két feltétel: 0 ≤ P(Ai) ≤ 1 és n P ( Ai ) = 1 ∑ i =1 Klasszikus valószínűségi mező Ha véges elemszámú H eseménytér minden eseményéhez azonos valószínűség tartozik, akkor egyenlő valószínűségi mezőről, más néven klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 49. oldal B2. A feltételes valószínűség, a szorzási tétel, a teljes valószínűség

tétele, a Bayes-tétel A feltételes valószínűség Legyen A és B a H eseménytér két tetszőleges eseménye azzal a kikötéssel, hogy B nem lehet lehetetlen esemény (P(B) > 0). Ebben az esetben azt a valószínűséget, amellyel A megvalósul, amennyiben B már bekövetkezett, A esemény B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük, és az alábbiak szerint számíthatjuk ki: P ( AB) P ( A| B) = P ( B) Mint látható, a feltételes valószínűség kiszámítható a feltétel nélküli valószínűségekből, ha azok értéke nem nulla. A fenti összefüggésből leolvasható, hogy egymást kizáró események feltételes valószínűsége nulla. Események függetlensége A és B események akkor és csak akkor függetlenek egymástól, ha teljesül az alábbi feltétel: P(AB) = P(A) * P(B) Ebben az esetben P(A|B) = P(A) és P(B|A) = P(B) Vagyis adott esemény bekövetkezésének valószínűsége független a másik esemény

bekövetkezésétől. A szorzási tétel A tétel segítségével két tetszőleges esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét lehet kiszámítani: P ( AB) = P ( A | B) * P ( B) Látható, hogy ez az összefüggés a feltételes valószínűségnél megadott képlet egyszerű átrendezésével jött létre. A szorzási tétel érvényessége nem korlátozódik két eseményre, hanem a teljes indukció alapján tetszőleges A1, A2,.,An eseményre kiterjeszthető A teljes valószínűség tétele Ha B1, B2, , Bn teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi) > 0, i = 1, 2, , n és A egy n tetszőleges esemény, akkor P ( A) = ∑ P ( A| Bi ) * P ( Bi ) . i =1 Bayes-tétele Ha B1, B2, , Bn teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi) > 0, i = 1, 2, , n és A egy P ( A | Bk ) * P ( Bk ) . tetszőleges pozitív valószínűségű esemény, akkor P ( Bk | A) = n ∑ P ( A| Bi ) * P ( Bi ) i =1 Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 50. oldal B3. A

diszkrét valószínűségi változó, a várható érték, a szórás A diszkrét valószínűségi változó Legyen H valamely kísérlettel kapcsolatos elemi események halmaza. Minden egyes elemi eseményhez rendeljünk egy számértéket. Ezzel a hozzárendeléssel egy függvényt értelmezünk, amelynek értelmezési tartományát az eseménytér eseményei alkotják, értékkészletét pedig a hozzájuk rendelt számértékek. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük. A valószínűségi változó véletlenszerűen vesz fel értékeket Jelölése görög betűkkel történik: ξ = ξ(E). A valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha ξ lehetséges értékei egy véges, vagy végtelen sorozatot alkotnak. A várható érték Ha egy valószínűségi változóra vonatkozóan független kísérletsorozatot végzünk, a változó által felvett értékek egy meghatározott érték körül ingadoznak. Ezt a valós számot várható értéknek nevezzük.

Definíciója Az ξ diszkrét valószínűségi változó M(ξ) várható értékét megkapjuk, ha vesszük a lehetségesen felvett értékek előfordulási valószínűségük (relatív gyakoriságuk) szerinti súlyozott átlagát. Ezt a következőképpen írhatjuk fel: n M (ξ ) = ∑ pi xi i =1 A várható érték tulajdonságai M(k) = k k∈R M(kξ) = kM(ξ) M(ξ1+ξ2+.+ξn) = M(ξ1) + M(ξ2) ++ M(ξn) A szórás A szórás megmutatja, hogy a ξ értékei mennyire ingadoznak a várható érték körül. Kiszámítása a szórásnégyzet meghatározásán keresztül történik. A szórásnégyzetet úgy kapjuk meg, hogy vesszük a valószínűségi változó egyes értékei várható értéktől való eltérése négyzetének adott valószínűség szerint súlyozott átlagát: D2(ξ) = M((ξ - M(ξ))2) A szórás ennek a számnak a gyöke. Jelölése: D(ξ) A szórás tulajdonságai D2(ξ) = M(ξ2) - M2(ξ) D(aξ + b) = | a |*D(ξ) a ∈ R, b ∈ R Informatikai

Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 51. oldal B4. Nevezetes diszkrét eloszlások: binomiális eloszlás, Poisson-eloszlás, hipergeometrikus eloszlás Binomiális eloszlás A ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha a ξ lehetséges értékei: 0, 1, n 2, , k, , n és pk = P(ξ = k) =   p k q n −k , ahol 0 < p < 1; q = 1-p; k = 0, 1, , n. k A binomiális eloszlás szerint viselkedő kísérletek a p értékében különböznek egymástól, ezért p-t az eloszlás paraméterének nevezzük. Várható értéke: M(ξ) = n*p Szórása: D(ξ) = npq Poisson-eloszlás Egy ξ valószínűségi változót λ paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha lehetséges értékei a k = 0, 1, 2, egész számok, és a ξ = k esemény valószínűségét a pk = P(ξ = k) = λk − λ e , (λ > 0) összefüggés adja meg. k! A Poisson-eloszlás leggyakrabban az ún. „pontelhelyezkedési” problémákban, a „ritka”

jelenségek leírásában fordul elő. Ilyen problémák pl a következők: a csillagok száma a tér adott térfogatú részében, adott időtartam alatti telefonhívások száma egy központban, sajtóhibák száma egy könyvlapon, az emberek születési időpontjai stb. Várható értéke: M(ξ) = λ Szórása: D(ξ) = λ A binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással Ha n elég nagy és p elég kicsi, akkor a binomiális eloszlás jól közelíthető a Poissoneloszlással. A definíció szerint, ha n ∞ esetén p 0 úgy, hogy az n*p = λ szorzat állandó, akkor n λk − λ lim  p k q n −k = e n ∞ k k!   Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 52. oldal Hipergeometrikus eloszlás Azt a ξ valószínűségi változót, amely az xk = k (k = 0, 1, 2, , n) értékeket  M  N − M     k  n − k   pk = P(ξ = k) = N   n valószínűséggel veszi

fel, hipergeometrikus eloszlású valószínűségi változónak nevezzük, ahol N, M, n nemnegatív egészek és M < N, 0 < n ≤ min(M, N - M). A hipergeometrikus eloszlás a visszatevés nélküli mintavétel modelljének felel meg, mégpedig: • adva van N elem, • ebből M valamilyen kitüntetett tulajdonságú (pl. piros, selejtes stb) (N - M) pedig nem ilyen tulajdonságú, • véletlenszerűen kiválasztunk n elemet (visszatevés nélkül) • és azt vizsgáljuk, mekkora annak valószínűsége, hogy az n elem közül k kitüntetett tulajdonságú. Várható értéke: M(ξ) = n M N n −1   Szórása: D(ξ) = np(1 − p )1 −   N −1 A binomiális és a hipergeometrikus eloszlás kapcsolata A hipergeometrikus eloszlás nagy N és M értékek esetén a binomiális eloszláshoz közelít, azaz ilyen esetben a hipergeometrikus eloszlás a binomiálissal helyettesíthető. Azaz érvényes az alábbi tétel. Ha N és M úgy tartanak a végtelenhez,

hogy közben az M / N = p hányados állandó marad, valamint n és k rögzített számok, akkor  M  N − M     k  n − k   n  k  lim =   p (1 − p ) n −k M , N ∞ N k   n Informatikai Alkalmazások Intézete B5. Folytonos valószínűségi változó, sűrűségfüggvény, a várható érték, a szórás MATEMATIKA szigorlat 53. oldal az eloszlásfüggvény, a Fogalma Azokat a valószínűségi változókat, amelyek egy adott intervallumon bármely értéket felvehetnek folytonos valószínűségi változóknak nevezzük. Az eloszlásfüggvény A folytonos valószínűségi változók matematikai vizsgálatához bevezetünk egy olyan F(x) függvényt, melyre igaz az alábbi összefüggés: F(x) = P(ξ < x) Az F(x) függvényt ξ változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Az eloszlásfüggvény értéke egy valószínűség. Ellentett esemény valószínűsége: P(ξ ≥

x) = 1 - F(x) Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 1. F(x) ≥ 0 2. F(x) ≤ 1 3. monoton növekvő 4. lim F ( x) = 0 x −∞ 5. lim F ( x) = 1 x ∞ 6. balról folytonos (azaz a bal oldali határértékét kell venni, ha adott helyen nem egyforma a jobb és a bal oldali határértéke) 7. P(a ≤ ξ < b) = F(b) - F(a) Az eloszlásfüggvény fogalma diszkrét valószínűségi változók esetében is értelmezhető. Ekkor F(x) ún. lépcsős függvényt alkot, ahol az egyes lépcsőkhöz tartozó intervallumok balról nyitottak, jobbról zártak. Az [a,b] intervallumon értelmezett ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye az alábbi általános alakban adható meg: F(x) = 0, ha x ≤ a F(x) = a diszkrét valószínűségek összege [a,b] intervallumban, ha a < x ≤ b F(x) = 1, ha x > b A sűrűségfüggvény Ha ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye folytonos, és derivált-függvénye néhány diszkrét pont kivételével létezik, akkor

ezt az f(x) = F(x) függvényt ξ változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Az f(x) sűrűségfüggvény azt fejezi ki, hogy a ξ valószínűségi változó a teljes számegyenesen egységnyi súllyal (valószínűséggel) oszlik el. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 54. oldal A sűrűségfüggvény tulajdonságai 1. f(x) ≥ 0 x 2. F ( x) = ∫ f (t )dt −∞ +∞ 3. ∫ f ( x)dx = 1 −∞ b 4. ∫a f ( x)dx = F (b) − F (a ) = P (a ≤ ξ < b) F(x) általános felírásából és a deriválási szabályokból következik, hogy az f(x) sűrűségfüggvény értéke csak ξ valószínűségi változó értelmezési intervallumán belül vehet fel nullától különböző (és nemnegatív) értékeket. Diszkrét valószínűségi változó esetén az eloszlás hisztogramja hasonlóan értelmezhető, mint a folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye. A várható érték +∞ M (ξ ) = ∫ xf ( x)dx −∞ A szórás D(ξ ) = +∞

∫ ( x − M (ξ )) −∞ 2 f ( x)dx Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 55. oldal B6. Nevezetes folytonos eloszlások: egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás Egyenletes eloszlás Egy ξ valószínűségi változó akkor egyenletes eloszlású, ha értelmezési tartományában bármely értéket egyforma valószínűséggel vesz fel, azaz eloszlásfüggvénye lineáris. Amennyiben R = [a,b], akkor felírhatóak az alábbiak: Sűrűségfüggvénye 1 , ha a < x < b f ( x) = b−a f(x) = 0, egyébként Eloszlásfüggvénye F(x) = 0, ha x ≤ a x−a F(x) = , ha a < x ≤ b b−a F(x) = 1, ha x > b Várható értéke: M (ξ ) = Szórása: D (ξ ) = a +b 2 b−a 2 3 Exponenciális eloszlás ξ folytonos valószínűségi változót λ paraméteres exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha az alábbi sűrűségfüggvénnyel írható le: λe − λx , ha x ≥ 0 ha x < 0  0, f ( x) = 

Eloszlásfüggvénye F(x) = 0, ha x ≤ 0 F(x) = 1 - e-λx, ha x > 0 Várható értéke: M (ξ ) = Szórása: D (ξ ) = 1 λ 1 λ Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 56. oldal Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) Egy ξ valószínűségi változó akkor normális eloszlású, ha az alábbi sűrűségfüggvénnyel írható le: − 1 f ( x) = e σ 2π ( x− m) 2 2σ 2 , (-∞ < x < +∞), ahol m tetszőleges valós szám, σ pedig tetszőleges pozitív szám. Várható értéke: M(ξ) = m Szórása: D(ξ) = σ Az eloszlásfüggvény A sűrűségfüggvény integrálásával kapjuk a korábbiak szerint, a Newton-Leibniz formula megfelelő alkalmazásával. 1 F ( x) = σ 2π x ∫e − ( t − m) 2 2σ 2 dt −∞ Mivel ez az integrál nem fejezhető ki elemi függvények segítségével, ezért közelítő értékét táblázatból kereshetjük ki. A táblázat alkalmazhatósága érdekében a valószínűségi változó értékeit a

paraméterek szerint standardizálni kell. Az említett táblázatból a standard értékekhez keressük ki az eloszlásfüggvény megfelelő értékeit. Standard normális eloszlás Kitüntetett szerepe van az m = 0, σ = 1 paraméterű normális eloszlásnak, melyet standard normális eloszlásnak nevezünk. x2 1 −2 Sűrűségfüggvénye: ϕ ( x) = e , 2π 1 Eloszlásfüggvénye: Φ ( x) = 2π x ∫e − -∞ < x < +∞ t2 2 dt , -∞ < x < +∞ −∞ Standardizálás (F(x) és f(x) kiszámítása Φ(x) és ϕ(x) segítségével) 1  x− m  x− m f ( x) =   és F ( x) = Φ   σ σ   σ  Ezek a képletek nagyon fontosak, hiszen így a Φ függvény segítségével (amire táblázatunk van) bármely F(x) érték kiszámítható (legalábbis közelítőleg). Tulajdonságok ϕ(-x) = ϕ(x) és Φ(-x) = 1 - Φ(x) P(-x < ξ ≤ x) = Φ(x) - Φ(-x) = Φ(x) - (1 - Φ(x)) = 2Φ(x) - 1 Informatikai Alkalmazások Intézete

MATEMATIKA szigorlat 57. oldal B7. A Csebisev egyenlőtlenség, a nagy számok törvénye A Csebisev-egyenlőtlenség Ha egy ξ valószínűségi változónak csak a várható értékét ismerjük, eloszlási jellemzőit nem, akkor a Markov-egyenlőtlenség alapján adhatunk közelítő becslést arra vonatkozólag, mekkora valószínűséggel vesz fel egy bizonyos c számnál nagyobb értéket: M (ξ ) P (ξ ≥ c ) ≤ c Ha az említett valószínűségi változónak ismerjük a szórását, de nem ismerjük eloszlása típusát, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség alapján arra adhatunk becslést, mekkora a valószínűsége annak, hogy a várható értéktől a szórás λ-szorosánál nagyobb az eltérés (λ > 0). 1 P (ξ − M (ξ ) ≥ λD(ξ ) ) ≤ 2 λ A nagy számok törvénye (Bernoulli tétel) A relatív gyakoriság valószínűségtől való eltérését becsüljük. Ha egy p valószínűségű eseményre vonatkozó n független kísérlet során az esemény

gyakorisága kn, és ε tetszőleges pozitív szám, akkor k  pq P  n − p ≥ ε  ≤ 2 , ahol q = 1 - p.  n  nε A tétel azt mondja ki, annak valószínűsége, hogy a relatív gyakoriság a valószínűségtől ε-nál jobban eltér, nem nagyobb, mint a pq hányados. nε 2 Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 58. oldal B8. Többdimenziós eloszlások: az együttes eloszlás (diszkrét és folytonos eset), peremeloszlások, a feltételes eloszlás Diszkrét valószínűségi változók együttes és peremeloszlása Adott Q eseménytér két valószínűségi változója kapcsolatát azok együttes eloszlásával írhatjuk le. A pij = P(ξ=xi, η=yj) (i=1n, j=1m) valószínűségek összességét ξ és η együttes eloszlásának nevezzük. Peremeloszlás Táblázatban ábrázolva ξ és η együttes eloszlását, az egyes xi, yj valószínűségeket soronként, illetve oszloponként összesíthetjük. Az így kapott összesített

valószínűségeket nevezzük ξ-re, illetve η-ra vonatkozó marginális eloszlásoknak, más néven peremeloszlásoknak: m pi = ∑ pij j =1 n illetve q j = ∑ pij i =1 A (ξ, η)-nak a ξ-hez tartozó peremeloszlása pontosan azt mutatja meg, hogy mekkora valószínűséggel veszi fel a ξ az xi értékét, függetlenül attól, hogy az η milyen értéke valósul meg. Hasonló meggondolással jutunk a η eloszlásának meghatározására is Tehát pi = P (ξ = xi ) és q j = P (η = y j ) . Nyilvánvaló, hogy a pij együttes eloszlás teljesíti az alábbi feltételt: ∑∑ pij = 1 j i Feltételes eloszlások A ξ valószínűségi változó η = yi feltételre vonatkozó feltételes valószínűségeloszlása az alábbi képlettel adható meg: P (ξ = xi ,η = y j ) pij P(ξ = xi | η = yi) = , i = 1,2, = P (η = y j qj Hasonlóképpen értelmezzük az η = yj esemény ξ = xi feltétel melletti valószínűségét is: P (ξ = xi ,η = y j ) pij P(η = yi | ξ = xi) = ,

j = 1,2, = P (ξ = xi pi Változók függetlensége ξ és η valószínűségi változók akkor függetlenek, ha a vizsgálatba vont minden elemre teljesül az alábbi összefüggés: pij = pi*qj, azaz együttes valószínűségük a változók minden értékénél megegyezik a megfelelő sor és oszlop szerinti peremeloszlások szorzatával. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 59. oldal Folytonos valószínűségi változók együttes és peremeloszlása Ha a (ξ, η) valószínűségi változópárban a ξ és η is folytonos változó, akkor együttes eloszlásukat egy eloszlásfüggvénnyel (ill. sűrűségfüggvénnyel) adjuk meg A H(x,y) = P(ξ, < x, η < y) kétváltozós függvényt a kétdimenziós (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó kétdimenziós eloszlásfüggvényének, vagy a ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlásának nevezzük. A függvény tulajdonságai megegyeznek az egydimenziós eloszlásfüggvény

tulajdonságaival: 1. H(x,y) mindkét változója szerint monoton növekvő, 2. lim H ( x, y) = 1 , lim H ( x, y) = 0 , lim H ( x, y) = 0 , x ∞ y ∞ x −∞ y ∞ x ∞ y −∞ 3. H(x,y) mindkét változója szerint balról folytonos Peremeloszlás A kétdimenziós eloszlásokból a lim H ( x, y) = H ( x, ∞) = F ( x) és a lim H ( x, y) = H ( ∞, y) = G ( y) szabállyal származtatott x ∞ y ∞ F(x) és G(y) egydimenziós eloszlásokat peremeloszlásoknak nevezzük. Együttes sűrűségfüggvény A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény másodrendű parciális deriváltja. Tehát x y h( x, y) = H xy ( x, y) és H ( x, y) = ∫ ∫ h(u, v) dv du . − ∞− ∞ A sűrűségfüggvény tulajdonságai 1. h(x,y) ≥ 0, -∞ < x < ∞, -∞ < y < ∞, ∞ ∞ 2. ∫ ∫ h( x, y) dx dy = 1 , −∞ −∞ b d 3. P(a ≤ ξ < b; c ≤ η < d) = ∫ ∫ h( x, y) dx dy a c Perem-sűrűségfüggvények ∞ A ξ változó sűrűségfüggvénye:

∫ h( x, y) dy = f ( x) . −∞ ∞ A η változó sűrűségfüggvénye: ∫ h( x, y) dx = g ( y) . −∞ Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 60. oldal Feltételes eloszlások A ξ folytonos valószínűségi változó η = y feltételre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényén h( x, y) h( x, y) az f(x | y) = függvényt értjük. Hasonlóan g(y | x) = . g ( y) f ( x) A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény parciális deriváltja. A ξ valószínűségi változó η = y feltételre vonatkoztatott feltételes eloszlásfüggvényét az F(x | y) = P(ξ ≤ x | η = y) egyenlőséggel definiáljuk. Hasonlóan definiálhatjuk az η változónak a ξ = x feltételre vonatkozó feltételes eloszlásfüggvényét: G(y | x) = P(η ≤ y | ξ = x) . Változók függetlensége A ξ és η valószínűségi változókat függetlennek tekintjük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő perem-eloszlásfüggvényük szorzatával, ill.

sűrűségfüggvényük egyenlő peremsűrűségfüggvényük szorzatával H(x,y) = F(x)G(y) és h(x,y) = f(x)g(y) Korrelációs együttható Q eseménytérben felvett ξ és η valószínűségi változók közötti kapcsolat általában nem írható le függvénnyel, mert a változók között sztochasztikus kapcsolat van. Ennek a kapcsolatnak a szorosságát mérhetjük a kovariancia, illetve a korrelációs együttható segítségével. Kovariancia A kovarianciát úgy definiálhatjuk, mint ξ és η változók súlyozott átlagtól való eltérései szorzatának várható értékét: cov(ξ,η) = M((ξ - M(ξ))(η - M(η))). Egyszerűbb alakban: cov(ξ,η) = M(ξη) - M(ξ)*M(η). A kovariancia tulajdonságai 1. Szimmetria: cov(ξ,η) = cov(η,ξ); 2. |cov(ξ,η)| ≤ D(ξ)*D(η). Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 61. oldal Korrelációs együttható A kovariancia nagyságát jelentősen befolyásolja a valószínűségi változók értékeinek

nagyságrendje, így számszerű értéke önmagában nem jellemző a két változó közötti kapcsolat szorosságára. A korrelációs együttható értékét úgy kapjuk, ha a kovarianciát egységnyi szórásra normalizáljuk, azaz értékét elosztjuk a két változó szórásának szorzatával: cov(ξ ,η ) M (ξη ) − M (ξ ) * M (η ) R(ξ ,η ) = = D (ξ ) ∗ D(η ) D(ξ ) ∗ D(η ) A korrelációs együttható tulajdonságai 1. |R(ξ,η)| ≤ 1; 2. Az |R(ξ,η)| akkor és csak akkor egyenlő 1-gyel, ha ξ és η között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz, ha létezik olyan a <> 0 és b szám, hogy η = aξ + b. Ebben az esetben R(ξ,η) = 1, ha a > 0, és R(ξ,η) = -1, ha a < 0.; 3. Ha a ξ és η valószínűségi változók függetlenek, akkor R(ξ,η) = 0; 4. Ha R(ξ,η) = 0, akkor ebből nem következik, hogy a valószínűségi változók függetlenek. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a valószínűségi változók korrelálatlanok Ez azt jelenti, hogy az

M(ξη) = M(ξ)*M(η) egyenlőség fennáll. 5. Ha ξ és η korrelálatlanok és létezik a szórásuk, akkor D2(ξ+η) = D2(ξ)+D2(η) Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 62. oldal B9. Statisztikai mintavétel A statisztikai mintavétel jellemzői: empirikus várható érték, medián, terjedelem, empirikus eloszlásfüggvény, hisztogramok, tapasztalati szórásnégyzet A matematikai statisztika döntően azzal foglalkozik, hogy egy alapsokaságból kivett véges számosságú minta statisztikai jellemzői alapján következtetéseket vonjon le az alapsokaság tulajdonságaira vonatkozólag. Statisztikai mintavétel Célja a statisztikai sokaságból olyan minta kivétele, amely reprezentatív a sokaságra. Statisztikai sokaság Az elemeknek az a halmaza, melyre a vizsgálat irányul. Jellemzően olyan nagy számosságú, hogy elemeinek egyenkénti vizsgálata a gyakorlatban lehetetlen. Szinonim kifejezéssel alapsokaságnak is nevezzük. Mintavétel Az

alapsokaság véges számú elemét véletlenszerűen, vagy meghatározott szisztéma szerint kiválasztjuk. A szisztematikus kiválasztás akkor alkalmazható, ha a sokaság elemei rendezetlen formában vannak jelen. Reprezentativitás A kiválasztott minta akkor reprezentatív az alapsokaságra, ha teljesülnek az alábbi feltételek: • a mintaelemek eloszlása azonos, és megegyezik az alapsokaság eloszlásával, • a sokaság minden egyes elemének egyforma esélye van a kiválasztásra. A statisztikai minta jellemzői Empirikus várható érték (mintaközép) A minta empirikus várható értékének a mintaelemek számtani átlagát tekintjük. A mintaközép az elméleti várható érték közelítésére szolgál. ξ + ξ + . + ξ n ξ= 1 2 n Tapasztalati medián A nagyság szerint rendezett mintaelemek közül a középső a tapasztalati medián. Ha a mintaelemek n száma páratlan: n = 2m+1, akkor a medián ξ*m+1, míg ha n = 2m (páros), akkor a medián ξ m + ξ m+1

. 2 Terjedelem A rendezett minta legkisebb és legnagyobb indexű eleme különbségének abszolút értéke. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 63. oldal Empirikus eloszlásfüggvény Úgy kapjuk, hogy az x tengelyen a rendezett minta ξi értékeit vesszük fel, míg az y tengelyen az x < ξi elemek relatív gyakoriságát. 1 Fn ( x) = ∑1 n ξi < x Közelítő empirikus eloszlásfüggvény Nagyobb számosságú minta esetén érdemesebb ezt használni. Előállítása: 1. A terjedelem intervallumát célszerű számú intervallumra osztjuk 2. Meghatározzuk, hogy az egyes intervallumokba milyen relatív gyakorisággal esnek a minták. 3. Az empirikus eloszlásfüggvényhez hasonló módon ábrázoljuk a közelítő eloszlásfüggvényt, csak az x tengelyre az egyes intervallumokat vesszük fel Sűrűséghisztogram A sűrűségfüggvény közelítése. Úgy kapjuk, hogy az x tengelyen ábrázoljuk az intervallumokat, az y tengelyen pedig az egyes

intervallumokhoz tartozó relatív gyakoriságokat. Itt is igaz, hogy a sűrűséghisztogram alatti terület egységnyi Tapasztalati szórásnégyzet Az alábbi összefüggés szerint számítható: 1 n σ n2 = ∑ ξ i − ξ n ( ) 2 i =1 Korrigált tapasztalati szórásnégyzet A gyakorlati számítások során általában megbízhatóbb értéket ad. 10-nél kisebb elemszámú minta esetén csak ez használható. Számítása: σ n*2 = n n −1 σ n2 Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 64. oldal B10. Statisztikai becslések: a pontbecslés módszere, intervallum, a várható érték becslése, a szórás becslése konfidencia- A statisztikai becslés során valamely alapsokaságból kivett véges számosságú minta tapasztalati statisztikai paraméterei alapján következtetéseket vonunk le az alapsokaság statisztikai jellemzőire vonatkozóan. A becslések jellemzői Torzítatlanság Valamely, a paraméterre vonatkozó becslést akkor

nevezünk torzítatlannak, ha a becslés alapján várható érték megegyezik a értékével. Hatásosság Valamely becslés annál hatásosabb, minél kisebb szórásnégyzetet eredményez. Konzisztencia Valamely becslést akkor nevezünk konzisztensnek, ha a becsült érték valódi értéktől való eltérése a minta elemszámának növelésével monoton csökken. Pontbecslés Akkor alkalmazzuk, ha az ismeretlen paramétert (paramétereket) egyetlen konkrét számértékkel kívánjuk jellemezni. A várható érték a minta elemeinek számtani középértékével egyenlő. A várható szórás a korrigált tapasztalati szórással adható meg Nagyobb elemszámú minta esetén általában elegendő pontosságot eredményez a közelítő empirikus eloszlással (sűrűséghisztogrammal) történő számolás. Intervallumbecslés Arra ad választ, hogy ismeretlen paraméter mekkora valószínűséggel (megbízhatósággal) esik egy kijelölt tartományba, vagy egy megadott

valószínűséghez mekkora tartomány (konfidencia intervallum) rendelhető. Várható érték ismert szórás esetén Az ismeretlen várható értékét a pontbecsléshez hasonlóan, itt is a mintaelemek számtani átlagaként kapjuk. Nyilvánvaló, hogy azonos minta esetén az átlagértékek átlagára (jele: a) ugyanezt az értéket kapjuk. Ha ismerjük az alapsokaság elméleti szórását, akkor a minta átlagának szórását az alábbi összefüggés adja: D(ξ ) = σ n Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 65. oldal Ebben az esetben a ξ változó standardizált értékét az alábbiak szerint határozhatjuk meg: ξ −a u= n σ Ezt követően az alábbi formában írhatjuk fel az (1-ε) megbízhatósághoz tartozó valószínűséget: P (− uε ≤ u < uε ) = 1 − ε A fenti képletben a reprezentálja a keresett intervallum középértékét. Mivel uε a megadott intervallum felső határa feletti valószínűségnek feleltethető meg,

ezért értéke az alábbi összefüggés felhasználásával számítható: Φ ( uε ) = 1 − ε 2 A zárójelben levő kifejezést a-ra rendezve kapjuk: ξ − uε σ σ < a ≤ ξ + uε n n Várható érték ismeretlen szórás esetén Akkor alkalmazzuk, ha az alapsokaságnak nem ismerjük az elméleti szórását, de meg tudjuk határozni a tapasztalati korrigált szórást. Ebben az esetben a ξ változó helyett a t változót vesszük, ami az n szabadságfokú Studenteloszlást követi. A Student-eloszlás szabadságfoka mindig eggyel kisebb, mint a minta számossága. ξ −a t= * n σn Az (1-ε) megbízhatósághoz tartozó valószínűséget az alábbi alakban írjuk fel: P (− tε ≤ t ≤ tε ) = 1 − ε A fenti összefüggés tε értékét a szabadságfok és ε valószínűség figyelembevételével táblázatból kereshetjük ki. Ezt követően a zárójelben levő kifejezést a-ra rendezve megkapjuk az adott megbízhatósághoz tartozó intervallumot.

Szórás becslése Az ún. χ2 becslést alkalmazzuk σ keresésére Az (1-ε) megbízhatósághoz tartozó valószínűséget az alábbi alakban írhatjuk fel:   nσ *2 P  χ 2 ε ≤ 2n ≤ χ ε2  = 1 − ε σ 2   1− 2 A szabadságfok és ε valószínűség alapján kikeressük a megfelelő táblázatból a χ2 értékeket, majd a zárójelben levő kifejezésbe behelyettesítve σ-ra rendezzük az egyenlőtlenséget. Ennek eredményeképpen megkapjuk adott megbízhatósággal a szórás tartományát. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 66. oldal B11. Statisztikai hipotézisek vizsgálata: u-próba, t-próba, F-próba, illeszkedésvizsgálat, homogenitásvizsgálat A hipotézisvizsgálat fogalma A vizsgálat során egy alaphipotézisből (nullhipotézis) (H0 = m0) indulunk ki, ezt igaznak tekintjük. A nullhipotézissel szembeni valamely más lehetőséget ellenhipotézisnek (H <> m0) nevezzük. A két hipotézisnek

egymást ki kell zárnia A hipotézisvizsgálat célja annak eldöntése, hogy a nullhipotézist vagy annak ellenhipotézisét fogadjuk-e el. Menete 1. Megadjuk az elfogadottsági valószínűséget (a próba megbízhatósági szintjét) (1-ε), és a hozzátartozó T elfogadási tartományt. Ez azt jelenti, hogy H0 szerint feltételezzük, hogy a vizsgált valószínűségi változó értéke legalább (1-ε) valószínűséggel esik a T tartományba. 2. Felvesszünk egy K = T kritikus tartományt, és azt mondjuk, hogy ε a valószínűsége annak, hogy a valószínűségi változó ebbe a kritikus tartományba esik. 3. Az ε számot a vizsgálat szignifikancia szintjének nevezzük, és azt mondjuk, hogy az alaphipotézist (1-ε) megbízhatósággal elfogadjuk vagy elutasítjuk. Elsőfajú hiba Akkor követjük el, ha elvetjük a nullhipotézist, holott az igaz. Másodfajú hiba Akkor követjük el, ha igaznak fogadjuk el a nullhipotézist, holott az hamis. Hibás döntés

valószínűsége Úgy kapjuk, ha összeadjuk az elsőfajú hiba és a másodfajú hiba valószínűségét, miután ezek egymást kizáró események. Egymintás u-próba (hipotézis a várható értékre ismert szórás mellett) Azt a hipotézist vizsgáljuk, hogy egy normális eloszlású sokaság várható értéke egyenlő-e egy megadott értékkel. A vizsgálatot a következő algoritmus szerint végezzük: 1. uε meghatározása Az alábbi összefüggés felhasználásával kikeressük a táblázatból az (1-ε) megbízhatósághoz tartozó uε értéket: Φ ( uε ) = 1 − ε 2 2. usz meghatározása Az alábbi összefüggés segítségével a minta jellemzői alapján kiszámítjuk usz értékét: ξ − m0 u sz = n σ Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 67. oldal 3. Hipotézisvizsgálat Amennyiben u sz ≤ uε , akkor a nullhipotézist elfogadjuk, azaz kimondhatjuk, hogy adott megbízhatósági szinten a tapasztalati átlag eltérése az

elméleti (várható) értéktől nem szignifikáns. Amennyiben a fenti egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az eltérést szignifikánsnak mondjuk, és elutasítjuk a nullhipotézist. Kétmintás u-próba (hipotézis a várható értékek egyezőségére) Azt a hipotézist vizsgáljuk, hogy két ismert szórású (σ1, σ2) valószínűségi változó (ξ és η) várható értéke megegyezik-e. Az itt alkalmazott algoritmus hasonló az u-próbálnál tárgyaltnál, a próbastatisztika az alábbiak szerint írható fel: u sz = ξ −η σ 12 σ 22 + n m Egymintás t-próba (hipotézis a várható értékre ismeretlen szórás esetén) Annak vizsgálatára alkalmas, hogy egy ismeretlen szórású alapsokaságból vett minta tapasztalati átlagértéke adott megbízhatóság esetén mutat-e szignifikáns eltérést a feltételezett várható értéktől. Mivel az elméleti szórás ismeretlen, ezért a Student-eloszlást alkalmazzuk A vizsgálat az alábbi algoritmus alapján

történik: 1. tε meghatározása (1-ε) megbízhatóság és n mintaszám esetén táblázatból kikeressük az (n-1) szabadságfokhoz és ε valószínűséghez tartozó tε értéket. 2. tsz meghatározása A minta adataiból kiszámítjuk tsz értékét az alábbi összefüggés alapján: ξ − m0 t sz = n * σn 3. Hipotézisvizsgálat Amennyiben t sz ≤ tε , akkor a nullhipotézist elfogadjuk, azaz kimondhatjuk, hogy adott megbízhatósági szinten a tapasztalati átlag eltérése az elméleti (várható) értéktől nem szignifikáns. Amennyiben a fenti egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az eltérést szignifikánsnak mondjuk, és elutasítjuk a nullhipotézist. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 68. oldal Kétmintás t-próba (hipotézis a várható értékek egyenlőségére) Arra ad választ, hogy két, normális eloszlású és azonos szórású minta azonos alapsokaságból származik-e, vagyis adott megbízhatósági szint mellett

mutat-e szignifikáns eltérést várható értékük. A vizsgálatot szintén a Student-eloszlás felhasználásával végezzük Legyen az ξ és η mintasorozat elemszáma n és m. Ebben az esetben a megadott (1-ε) megbízhatósághoz tartozó tε értékét az (n+k-2) szabadságfok szerint keressük, míg tsz értékét az alábbi összefüggés adja meg: ξ −η nm( n + m − 2) t sz = n+m ( n − 1)σ n*2 + ( m − 1)σ m2 Az így kapott értékkel végezzük el a korábbiaknak megfelelően a hipotézis-vizsgálatot a nullhipotézis elfogadására vagy elutasítására. F-próba (hipotézis a szórások egyezőségére) Alkalmazásával azt dönthetjük el, hogy két normális eloszlású, ismeretlen várható értékű statisztikai sokaság szórása (szórásnégyzete) azonos-e, vagy sem. A vizsgálatot az alábbi algoritmus szerint végezzük: 1. Külön-külön határozzuk meg a két minta tapasztalati szórásnégyzetét A nagyobbik értéket jelöljük σ2max, a kisebbiket

σ2min jelöléssel! A nagyobb szórású minta számossága legyen n, a kisebbé m! 2. Keressük ki a megfelelő táblázatból az f1=n-1 oszlop és f2=m-1 sor metszéspontjában levő Fε értéket! 3. Számítsuk ki Fsz értékét az alábbi összefüggés szerint: Fsz = *2 σ max *2 σ min 4. Amennyiben Fsz ≤ Fε, akkor a két sorozathoz tartozó sokaság szórása adott szinten megegyezik. Illeszkedés- és homogenitásvizsgálat Annak vizsgálatára alkalmas, hogy valamely minta származhat-e egy bizonyos, paramétereivel megadott eloszlású sokaságból. Ha mind az eloszlás típusát, mind annak paramétereit megadjuk, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk. Amennyiben csak az eloszlás típusa feltételezhető, de annak paramétereit a mintából kell becsülni, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatról van szó. Amennyiben a normál eloszláshoz való illeszkedés becsléses vizsgálatát végezzük, akkor ezt normalitás-vizsgálatnak nevezzük. Ennek

egy lehetséges módja a χ2 vizsgálat Homogenitásvizsgálat Arra ad választ, hogy bizonyos minták azonos alapsokaságból származnak-e, illetve a minták alapsokasága bizonyos paramétereiben egyezik-e. Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 69. oldal B12. Korreláció és regressziószámítás: a legkisebb négyzetek módszere, a statisztikai modell Gyakori az olyan feladat, amikor összetartozó adatpárok kapcsolatának szorosságát, illetve a közöttük levő függvénykapcsolatot kell meghatározni. A valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat szorosságának mérésével a korrelációanalízis foglalkozik, míg az összefüggő változók közötti függvénykapcsolat (képlet) meghatározása a regresszióanalízis feladata. Korrelációanalízis Az együttes eloszlások vizsgálatánál alkalmazott kovariancia- és korreláció-vizsgálat arra ad választ, hogy a vizsgálatba vont valószínűségi változók között

van-e lineáris kapcsolat, és az milyen erősségű. Mivel megfelelő felírás esetén a korrelációanalízis során kapott eredmények közvetlenül felhasználhatóak a regresszióanalízisben is, a korrelációs együtthatót célszerű az alábbi alakban felírni: n r= (ξ i − ξ )(η i − η ) ∑ i =1 n n i =1 i =1 ∑ (ξ i − ξ ) 2 ∗ ∑ (ηi − η ) 2 Mint a felírásból látható, egyenként ki kell számítani az egyes értékek átlagtól való eltérését, és ezeket a részösszegeket (különbségeket) kell a további számítások során felhasználni. Ha a korrelációanalízis eredményeképpen 1-hez közeli értéket kapunk, akkor a két változó között lineáris függvénykapcsolat feltételezhető. Regresszióanalízis Végrehajtása során keressük azt a függvényt, melynek görbéje az egymással korreláló adatsorok összetartozó adatpárjai által felvett ponthalmazra a legjobban illeszkedik. A közelítés szorosságát a

hibanégyzetek összegzése útján mérhetjük, vagyis az egyik adatsort független változónak tekintve, összegezzük a regressziós függvény felvett értékei és a nekik megfelelő nem független adat közötti eltérés négyzeteit. Ennek megfelelően, a regresszióanalízis során azt a függvényt keressük, melynél az említett hibanégyzetek összegének minimuma van. Lineáris függvénykapcsolatot feltételezve, a közelítő függvényt a következő alakban célszerű keresni: η = a ξ + b Informatikai Alkalmazások Intézete MATEMATIKA szigorlat 70. oldal Ez esetben a regressziós egyenlet paramétereit az alábbi összefüggések adják: n a= (ξ i − ξ )(η i − η ) ∑ i =1 n (ξ i − ξ ) ∑ i és b = η − aξ 2 =1 Látható, hogy a fenti összefüggések ugyanazokat a rész-statisztikákat használják, mint amiket a korrelációvizsgálatnál alkalmaztunk. Az áttekinthetőség érdekében a konkrét számításokhoz célszerű az

adatokat és a részeredményeket táblázatos formában felvenni. Statisztikai modell Lineáris összefüggést mutató adatpároknál a két adathalmaz statisztikai modellje a fentiek szerint írható fel