Fizika | Lézerek » A rezonátor leírása sugár-optikával

A rezonátor leírása sugár-optikával A sugarak terjedésének egyszerű geometriai leírása alkalmas a rezonátorok bizonyos tulajdonságainak meghatározására. A sugarakon alapuló fizikai modell, más néven a geometriai optika a fény terjedését egyenes vonalak mentén terjedő fénysugarakként képzeli el, amelyek a fizikai optikában használatos hullámfelületre merőlegesek. A sugáranalízis a fény terjedésének korlátozott leírására alkalmas, igen jól és egyszerűen leírható a fény terjedése optikai elemeken keresztül, képalkotás, fókuszálás jól számolható, ugyanakkor a fény intenzitása, az elektromágneses tér erőssége e módszerrel nem követhető. A geometriai optikában a legtöbbször a paraxiális közelítést alkalmazzuk, amelyben a sugarak az analizálni kívánt elemek optikai tengelyével nem zárnak be nagy szöget, azaz a szög tangense és szinusza a szög értékével közelíthető, radiánban: tan(θ ) ≅ sin(θ ) ≅ θ

Ez a feltétel érzésünk szerint jól teljesül rezonátorokban, amelyek transzverzális mérete a longitudinális méreteknél általában jóval kisebb. Az optikai tengelyhez konvencionálisan a z koordinátatengelyt rendeljük, a rá merőleges síkban az x és y tetszőleges, mi a következő analízisben az x-z síkra szorítkozunk. Ez az általánosságból nem von le semmit, a számítások igazak olyan sugarakra is, amelyek a z tengellyel nem alkotnak síkot (kitérő sugarak). E sugarakra a számolást külön-külön kell elvégezni az x-z és y-z síkra eső vetületekre. x2 x1 x2’ x1’ z A sugár haladása az optikai rendszeren keresztül Az x koordináta z irányú deriváltja a sugár z tengellyel alkotott szöge: dx tan(θ ) ≅ θ = = x , dz ahogy a nyaláb terjed az optikai rendszeren keresztül a z koordináta függvényében megváltozik mind x mind x’. Egy adott optikai rendszeren való áthaladáskor például a nyaláb az (x1,x1’) értékpár által

leírt pontból az (x2,x2’) pontba kerül. Egy d hosszúságú szabad térrészen áthaladva például a nyaláb szöge nem változik, csak a tengelytől mért távolsága (ábra): x2 = 1 ⋅ x1 + d ⋅ x1 x2 = 0 ⋅ x1 + 1 ⋅ x1 Mátrix alakban felírva a két egyenletet:  x2   1 d   x1    =   ⋅    x2   0 1   x1  x  A fenti értelmezése: az  1  vektorral jellemzett sugárra az optikai elem terjedési mátrixa  x1  hat. A sugár minden pontban leírható a fenti két elemű vektorral Egy f fókusztávolságú, vékony lencsén való áthaladásra például: x2 = 1 ⋅ x1 + 0 ⋅ x1 1 x2 = − ⋅ x1 + 1 ⋅ x1 . f 1 A lencse két oldalán, miután az vékony (z irányú mérete elhanyagolható) a sugár ugyanolyan távolságra van a z tengelytől, míg tengellyel bezárt szöge töréseknek megfelelően megváltozik. A lencse terjedési mátrixa tehát: 0  1  1

 1 . −  f  Két egymás után következő optikai elem hatása a terjedési mátrixok szorzásával fejezhető ki. Például egy d hosszúságú szabad térrész és egy utána következő lencse együttes hatása a következőképpen írható: d  x   x2   11 0   1 d   x1   11 d ⋅ 1  .   = −  ⋅   = − ⋅  1 1 −       0 1   x1   x2   f f   x1     f A nyaláb először áthalad a szabad térrészen, utána a lencsén, először szorzunk tehát a térrész mátrixával, utána a lencse mátrixával. Tetszőleges számú optikai elemre elvégezhető a számolás, nagymértékben egyszerűsítve a terjedés leírását komplex optikai rendszerekben. x  Általánosan a módszert ABCD mátrix módszernek is nevezik. Ha az  1  pontban a  x1  x  törésmutató megegyezik az  2 

-vel jellemzett pontban érvényes törésmutatóval, a köztük  x2  A B  mátrixának determinánsa 1. levő optikai rendszer  C D   A geometriai sugárkövetést alkalmazhatjuk rezonátorainkra is: fel kell írni a tükrök, a köztük levő szabad tér és az esetleges egyéb, a rezonátorban levő optikai elem mátrixát, és összeszorozni. Az elsődleges tulajdonság, amit ezzel a módszerrel meghatározhatunk, a rezonátor stabilitása. Ha a sugár több ide-oda verődés után elhagyja a rezonátort, instabil rezonátorról, ha bármeddig a rezonátorban marad, stabil rezonátorról beszélünk. Az utóbbi feltétele, hogy a  x sugár periodikusan felvegye ugyanazon   koordinátákat, a periódus nagysága indifferens.  x  A stabilitás igen fontos a lézer-rezonátorok szempontjából. Nagy erősítésű lézerekben elegendő lehet néhány ide-oda verődés, hogy telítésbe vigye az erősítő közeget, ezért ilyen

esetben instabil rezonátor is alkalmazható. Kis erősítés esetén stabil rezonátorra van szükség, amelyben a sugár bent marad. A legegyszerűbb rezonátor mátrixának felírásához szükségünk van a két tükör és a szabad tér mátrixára. A tükör, a lencséhez hasonlóan csak a nyaláb szögét változtatja meg, az x koordinátát nem. A tükör fókusztávolsága f a b-vel jelölt sugarának fele A tükör ilyen szempontból lencseként viselkedik, és a sugár útja a rezonátoron keresztül úgy tekinthető, mintha a két tükörnek megfelelő lencsék sorozatán keresztül haladna. 2 Lencse hullámvezető modellje Ez egy un. lencse-hullámvezetőt alkot, amelyben egy egység, egy cella egy teljes rezonátorkörüljárás: a két tükrön (lencsén) + a szabad tér kétszeresén való áthaladás Egy körüljárásra tehát a mátrix: 1 0 1 d  1 0 1 0 1 d  1 0  A B   1 d  1   1  1 d  2   2 

     =   −   −  −   − =  1 1 1 1         0 1 0 1 b 0 1 b  C D   0 1  f 2   f1    2   1  A b1,b2 sugarak és így a fókusztávolságok pozitívak, ha konvex tükörről és negatívak, ha konkáv tükörről van szó. A teljes körüljárás mátrixa:   2d 2d 2   1− 2d − b2 b2 A B     =  .       2 2 2 d 2 d 2 d 2 d C D    − − 1 −  1 − 1 −  −   b b  b b b b1  2  1  1  2    1 Az egymás után következő cellákra felírható egy rekurzív egyenlet, s a cella sorszáma: 1 xs +1 = A ⋅ xs + B ⋅ xs , átírva xs = ⋅ ( xs +1 − A ⋅ xs ) . B A következő cellára a második egynletet megtartva: 1 xs +1 = ⋅ ( xs + 2 − A ⋅ xs +1 ) = Cxs + Dxs . B Az előzőből

behelyettesítve az xs’-t: 1 1  ⋅ ( xs + 2 − A ⋅ xs +1 ) = Cxs + D ⋅ ( xs +1 − A ⋅ xs )  . B B  Felhasználva, hogy a determináns 1, és átrendezve, egy másodfokú rekurzív egyenletet kapunk: x s + 2 − ( A + D ) ⋅ x s +1 + x s = 0 . A stabil rezonátorban a sugár előbb-utóbb újra áthalad ugyanazon a ponton, tehát felveszi ugyanazt az xs koordinátát. Instabil rezonátorban az xs folyamatosan nő, amíg a sugár ki nem lép a rezonátorból. 3 Stabil rezonátorban bent marad a sugár Az instabil rezonátorból előbb-utóbb minden nyaláb kilép Az első esetben az xs egy szinuszos (periodikus) függvény, a második esetben exponenciálissal közelíthető. Ezért keressük a differenciaegyenlet megoldását exponenciális alakban: xs = x0e jsγ , ahol x0 egy kezdeti, induló koordináta, és γ a rezonátorra jellemző geometriai konstans. Visszahelyettesítve az egyenletbe : x0 e jsγ ⋅ e j 2γ − ( A + D)e jγ + 1 = 0 A

triviális megoldás lenne x0 = 0, de az általános megoldás esetén x0<>0, így a zárójeles tag kell 0 legyen. Ez egy másodfokú egyenlet ejγ ismeretlennel, ebből: ( ) A + D ± ( A + D) 2 − 4 A + D  A+ D  e = = ± j ⋅ 1−   . 2 2  2  Felfedezhetjük, hogy ha a fenti egyenlet második tagját az Euler összefüggéssel hasonlítjuk össze, hogy A+ D a cos(γ ) = összefüggés esetén az pontosan teljesül. A valós rész cos, a képzetes rész 2 pedig sin, ugyanazzal az argumentummal. A próbafüggvény helyett a teljes megoldás egy összetettebb függvény, mivel az xs mérhető fizikai mennyiség, ezért valós kell legyen. Kiegészítve egy kezdeti komplex taggal, amely a nyaláb kezdeti tengellyel bezárt α szögét tartalmazza, és a komplex konjugálttal: xs = x0 e jα e jsγ + x0 e − jα e − jsγ Ez a függvény már mindenkor valós, és ha γ valós, egy oszcilláló, periodikus függvényként írható fel: xs = x0 ⋅ cos( sγ +

α ) , 2 jγ 4 azaz bármely s esetén biztosan nem haladja meg az x0 értéket abszolút értékben, és mindig újra felveszi ugyanazokat az értékeket. Tehát ha a rezonátor tükreinek apertúrája (az optikai tengelytől a tengelyre merőlegesen mért sugara) meghaladja ezt az x0 értéket, a sugár bent is marad a rezonátorban. (Az α paraméterrel megadtuk a nyaláb kezdeti szögét is, a kezdetben felvett x koordináta x0cos(α).) A γ paraméter csak a rezonátor geometriai viszonyaitól, a tükrök görbületi sugarától és távolságuktól függ. Ezek határozzák meg, hogy egy sugár képes egyáltalán bent maradni ( a 0 kezdeti koordinátájú 0 szögű sugarat kivéve) vagy nem. Ha a γ komplex, az xs amplitúdójában megjelenik egy s-től függő exponenciális tag, és bármilyen nem nulla kezdeti feltételekkel rendelkező sugár előbb-utóbb elhagyja a rezonátort! Mint láttuk a γ paraméter A –tól és D –től függ, akkor valós, ha: A+ D A+ D+ 2

−1 ≤ ≤ 1 azaz 0 ≤ ≤ 1. 2 4 Belátható, a körüljárási ABCD mátrix tagjainak behelyettesítésével, hogy A+ D + 2  d   d = 1 −  ⋅ 1 −  . 4  b1   b2  Be szokás vezetni a g1 és g2 paramétert, úgy, hogy d g1, 2 = 1 − , b1, 2 így sokkal rövidebb formába lehet írni a stabilitási feltételt: 0 ≤ g1 g 2 ≤ 1 . A feltétel teljesülése esetén a rezonátor stabil, azaz vannak olyan paraxiális sugarak, amelyek nem lépnek ki, míg ha a feltétel nem teljesül, minden sugár, amelyik nem az optikai tengely mentén halad, kilép. Látható, hogy azért nem stabil rezonátorokban is elég sok visszaverődésen keresztül bent maradhatnak a sugarak ahhoz, hogy elegendő legyen az erősítésük a lézerműködéshez, és stabil rezonátorból is kilépnek a nem megfelelő α kezdeti szögű nyalábok. Az analízisben egyáltalán nincs benne a tükrök apertúrája, pedig ténylegesen ettől függ, hogy a nyaláb

bent marad vagy sem, a stabilitási feltétel pusztán egy szükséges feltétel, a tényleges stabilitáshoz még egy sor egyéb feltételt is teljesíteni kell. 5 Stabilitási diagram – stabil rezonátorok a két tengely és a két hiperbola közé eső, majdnem háromszög lakú tartományokban vannak A stabilitási diagramon (ábra) a g1 és g2 paraméterek függvényében ábrázolt görbék vannak, az egyes rezonátor-konstrukciókat a diagramon pontok jellemzik. Ha az adott pont a stabilitási tartományon belülre esik, a rezonátor potenciálisan stabil, ellenkező esetben nem. Vannak speciális rezonátorok, egyeseket már jól ismerünk, amelyek a stabilitási tartomány határára esnek: 1. konfokális rezonátor: két konvex gömbtükörből áll, sugaraik b1 és b2, és a két tükör fókuszpontja egybeesik, azaz d = (b1 + b2)/2 = f1 + f2. Alapesetben (b − b )2 1  b  1  b  1 b 2 + b22 = − 1 2 ≤ 0. g1 g 2 = 1 − 2  ⋅ 1 − 1

 = − 1 2  b1  2  b2  2 4b1b2 4b1b2 azaz a rezonátor akkor kerül a stabilitás határára, ha b1=b2, vagyis szimmetrikus. Minden más esetben a konfokális rezonátor instabil. Stabil, szimmetrikus konfokális rezonátor 2. koncentrikus rezonátor – a két konvex síktükörből álló rezonátor tükreinek középpontja egybeesik, azaz d = b1+b2. Ekkor g1g2=1, azaz a rezonátor a stabilitás határán van 6 3. síkpárhuzamos rezonátor – két síktükörből áll, görbületi sugaruk végtelen Ekkor g1g2=1 ismét, a rezonátor ugyancsak a stabilitás határán van. 4. kvázi hemiszférikus rezonátor – egy síktükörből és egy b sugarú gömbtükörből áll, valamint hossza kisebb mint a tükör görbületi sugara. A stabilitás határára kerül, éppen d=b, és instabil, ha a tükrök közötti távolság a görbületi sugárnál nagyobb. Érdekes megvizsgálni, hogy a bentmaradó sugarak hol metszik a rezonátor egy tetszőleges, tengelyre

merőleges síkját, mondjuk egy síktükör (ha van benne) felületét. Általános sugár esetén a sugár és az optikai tengely nincsenek egy síkban, ezért külön kell tárgyalni az x-z és y-z síkra eső vetületeket: xs = xmax ⋅ sin( sγ + α x ) , y s = y max ⋅ sin( sγ + α y ) Ezek gyakorlatilag egy ellipszis pontjait határozzák meg, ahol az eredeti szögek különbsége (αx-αy) határozzák meg az ellipszis dőlését az x tengelyhez képest. A γ pedig a két egymás után következő pont szögtávolsága, ahogy az ábrán is látható. Az ellipszisen N számú pont látszik, a nyaláb N körüljárás után ugyanazon a ponton halad át. A feltétel: Nγ = 2 Kπ , ahol K egész szám. Egy bentmaradó sugár egymás utáni beérkezési pontjainak helye egy tükör felületén De a geometria feltételekből láttuk, hogy 2  A+ D  γ = acos  = acos(2 g1 g 2 − 1) = acos g1 g 2  2  Ezekből megkapjuk az N periódust, ahány körüljárás után

egy sugár mindig ugyanazon a ponton halad át, egy stabil rezonátorban. N leginkább a rezonátor geometriai körülményeitől függ: Kπ N= , ahol K egész szám lehet, K<N/2. acos g1 g 2 Például a korábban látott szimmetrikus konfokális rezonátorban g2=g1=0, ezért π acos g 1 g 2 = 2 Innen K/N=1/2, azaz K=1-re N=2-t kapunk, ahogyan a konfokális rezonátorról készült ábrán látható: a sugár minden második körüljárás után visszatér eredeti kiindulópontjába. ( ( ( ) ) ) 7