Matematika | Általános Iskola » Számtan tananyag, 8. osztály

00 - Matematikai összefoglaló 8. Osztály (Tartalom) Számtan. Tartalomjegyzék: Számfajták.01 Számrendszerek.02 A számok felosztása.03 A számtani alapmľveletek.04 A négy alapművelet sorrendje.05 Oszthatóság.06 Törzs szám és összetett szám.07 Közönséges törtek.08 Műveletek törtekkel.09 A tizedes törtek.10 Százalék számítás.11 Arány és aránypár.12 Algebra.13 Előjeles számok.14 Algebrai mľveletek.15 Algebrai törtkifejezések.16 Gyökvonás.17 Az egyenlet fogalma és osztályozása.18 Másodfokú egyenlet.19 Egyenlôtlenség.20 Számtani sorozat.21 Mértani sorozat.22 01 - A számfajták Állandó továbbszámlálással keletkeztek a természetes-számok. A természetes-számokban egy, kettő, három, négy, öt, hat satöbbi, végtelen sok szám van. A természetes-számok jelei a számjegyek. Két féle számjegy használatos: a + az arabszámjegyek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. A római számjegyek:i,v,x,l,c,d,m,=1 5 10 50 100 500 1000. 02 -

Számrendszerek Mivel a természetes számsor végtelen sok eleme van, ezért olyan elrendezést kell alkalmazni, hogy kevés számnévvel és számjeggyel sok számot kimondhassunk és leírhassunk. A számrendszert bizonyos szabályok szerint rendezett számok alkotják. Ha a számokat tízesével, tíztől tíz egységet egytől egy nagyobb rendű egységbe foglaljuk, akkor számrendszerünket tízes számrendszernek nevezzük, Melynek alapszáma a tíz. A tízes számrendszerben jobbról az első helyre írjuk az egyeseket ettől egy-egy hellyel balra a tízeseket, százasokat satöbbi. Így a számjegy helye kifejezi a szám helyi értékét, a számjegy alakja pedig jelzi a szám alaki értékét, amely megmutatja, hogy az illető egységből mennyit kell venni. pl.: 345,az ötös öt egyes, négyes négy tízest és hármas három százast jelent Ha valamely rendű egység hiányzik a leírandó számból akkor annak helyére nullát írunk. Általánosságban második harmadik

negyedik egész számok bármelyikét választhatjuk egy számrendszer alapjául. A tízes számrendszerben az alapszám hatványainak összegeként írjuk le az adott számot,pl605=6*10 a másodikon + 0*10az elsőn+510a nulladikon, Ehhez hasonlóan az alapul választott szám hatványainak összegeként írhatjuk le az adott számot. A legkevesebb számjegyet a kettes számrendszer igényli, számjegyei a 0 és az 1. Pl:110 a másodikon kiejtése 1 1 0. Pl:1* 2a másodikon +1 2az elsőn +02 a nulladikon =6 a nulladikon. A tízes rendszerből a kettesbe való átírást a következőképpen végezhetjük: osztjuk a adott számot kettővel s a maradékot leírjuk, a hányadost ismét osztjuk kettővel s a maradékot az előző maradéktól balra írjuk, ismét osztjuk a hányadost, és így fojtatjuk amíg hányadosul egyet nem kapunk, amelyet az előző maradéktól balra leírunk:Pl:61*10 6 /2 = 3 maradék 0 3 /2 =1 maradék 1 a maradékokat sorrendben balra haladva leírjuk, és

elé írjuk az utolsó hányadost, az egyet. Tehát 61*10 =110. 03 - A számok felosztása A pozitív és a negatív számok a nullával együtt az egész számok. A törtszámokat két egész szám hányadosaként értelmezzük (kivéve a nullával való osztást): 35 satöbbi. A 10, 100 satöbbi, nevezőjű törteket tizedes törteknek nevezzük. A pozitív és negatív egész számok, a pozitív és negatív törtek és a 0 racionális számokat alkotják. Az irracionális számok azok amelyek racionális számokkal nem fejezhetőek ki pontosan, csak megközelítőleg. Ilyenek a végtelen, nem szakaszos tizedes törtek. A racionális és a valós számokat alkotják. 04 - A számtani alapműveletek Összeadás: összeadandó +összeadandó egyenlő összeg,5+7 =12. Az összeg független az összeadás sorrendjétôl,7+5 =12. Ez a felcserélési (kommutatív) törvény. Kivonás: Kisebbítendő kivonandó = különbség:12-5=7. Szorzás: Szorzandó szorozva szorzóval

=szorzat:4*5=20. Kommutatív mľvelet:5*4=20. Osztás: Osztandó / osztó=hányados:20/4=5. 05 - A négy alapművelet sorrendje Ha összeadás és kivonás következik egymás után, akkor a sorrend tetszőleges. Az osztás vagy szorzás és a kivonás vagy összeadás esetében az osztás vagy a szorzás az elsődleges. Az osztás és a szorzás esetében zárójellel kell a sorrendet jelezni:(6/3)*2=4, 6/(32)=1. Bonyolultabb kifejezéseknél először a zárójelben lévő kifejezéseket végezzük el, a zárójelen belül először a szorzást és az osztást számítjuk ki:3*(20-52)=3(20-10)=310=30. 06 - Oszthatóság Egy szám osztói azok a számok, amelyek maradék nélkül megvannak benne. Minden szám osztható egyel és önmagával, de ezeket nem tekintjük valódi osztónak. Pl.: 15-nek valódi osztói az 5 és a 3 Kettővel oszthatók azok a számok melyeknél az egyesek helyén páros szám vagy 0 áll. Hárommal az a szám osztható, amelynek számjegyeinek

összege hárommal osztható. Pl:111 1+1+1=3 111 /3 =37. Néggyel az a szám osztható, melynek utolsó két számjegyéből álló szám osztható néggyel: Pl: 312 osztható néggyel, mert 12 is osztható,312/4=78. Öttel oszthatók az ötre vagy nullára végződő számok. Hattal mindazon páros szám osztható amely hárommal osztható. Pl:222 2+2+2=6,a hat osztható hárommal, és páros, tehát osztható hattal:222/6=37. Nyolccal azok a számok oszthatók, amelyeknek utolsó három számjegyéből álló szám osztható nyolccal. Pl.: 2152 osztható, mert 152 osztva 8 =19,2152/8=269 Kilenccel azok a számok oszthatók, melyek számjegyeinek összege osztható kilenccel. Pl.: 531 5+3+1=9,531 /9 =59 07 - Törzsszám és összetett szám Azokat a számokat, amelyeknek nincs valódi osztóik törzs számoknak vagy prím számoknak, azokat pedig amelyeknek van, összetett számoknak nevezzük. Az egyet nem soroljuk sem a törzsszámok, sem az összetett számok közé. Az

összetett szám összes osztóinak meghatározását elősegíti a törzstényezőkre bontás. Ez úgy történik, hogy az adott számot elosztjuk a legkisebb törzsszámmal, amelyikkel a szám osztható. Pl:8/2=4,a hányadost, vagyis a négyet ismét elosztjuk a benne található legkisebb törzsszámmal,4/2 =2 a hányadost ismét elosztjuk, ebben az esetben kettôvel,2/2=1. Az így kapott törzsszámok az adott szám törzstényezôi:8=2*22=2 a harmadikon. Pl:63 legkisebb valódi osztója a 3,63/3=21 21nek legkisebb valódi osztója ismét a 3,21 /3=7,7nek az osztója7,7/7=1. Tehát 63 törzstényezős alakja 3*37=3a másodikon 7. Legnagyobb közös osztó: az a legnagyobb szám, amely két vagy több adott szám mindegyikében maradék nélkül megvan. Jele:lnko,Pl:18 és 30 legnagyobb közös osztója 6. Több szám legnagyobb közös osztóját úgy kapjuk meg, hogy a számokat törzstényezőikre bontjuk, és a közös törzstényezőket az előforduló legkisebb

hatványkitevővel véve összeszorozzuk. Pl:54,45és 63 legnagyobb közös osztója:54=2*333=23a harmadikon,45=3a másodikon5 63=3a másodikon *7,aközös tényezők a 3,a legkisebb hatványkitevôvel:3 a másodikon, tehát a 3 szám legnagyobb közös osztója 9. Legkisebb közös többszörös: Az a legkisebb szám, amelyben két vagy több adott szám maradék nélkül megvan. Jele: lkkt. Pl:18 és 30 legkisebb közös többszöröse 90. Legkisebb közös többszörös meghatározása úgy történik hogy az adott számok összes törzstényezőit az előforduló legnagyobb hatványkitevővel véve összeszorozzuk. Pl:18=2*3a másodikon,30=235,a különböző törzs tényezők 2 3 és 5, a legnagyobb hatványkitevôvel:23 amásodikon*5=90. 08 - Közönséges törtek Ha az egészet több egyenlő részre osztjuk, törtet kapunk. Pl.: a 4kilenced törtszám azt jelenti, hogy a négy egészet 9 egyenlő részre kell osztani, vagy hogy az egészet9 részre kell osztani, és ebből

kell venni 4 részt. Az osztandót (4) számlálónak, az osztót(9)nevezőnek, az osztás jelét törtvonalnak nevezzük. Azt a tört számot, amelynek számlálója kisebb, mint a nevezője valódi törtnek nevezzük: 25.4 a valódi tört értéke kisebb egynél Ha a tört számlálója nagyobb, mint nevezője, áltörtnek nevezzük. Értéke nagyobb vagy egyenlő egyel: 4negyed,6harmad satöbbi. Ha az áltört számlálója nem osztható maradék nélkül a nevezővel, akkor az egész számon kívül törtrész is marad, ez a vegyes tört. Pl.: 7negyed=1 3negyed A tört értéke nem változik, ha mind a számlálót, mind a nevezőt ugyan azzal a számmal megszorozzuk. Ez az eljárás a tört bővítése: 2negyed=4nyolcad. A tört értéke nem változik, ha mind a számlálót, mind a nevezőt ugyanazzal a számmal elosztjuk. Ez a tört egyszerűsítése: 12tizennegyed=6heted . 09 - Műveletek törtekkel Két egyenlő nevezőjű tört szám közül az a nagyobb, amelynek

számlálója nagyobb. Pl:3tized < 7tized. Két egyenlő számlálójú törtszám közül az a nagyobb, amelyiknek a nevezője kisebb. Pl:3ötöd<3negyed. Különböző számlálójú és nevezőjű törteket úgy hasonlítunk össze, hogy előbb közös nevezőre hozzuk. Közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse. Ezt követően ahányszorosára növekedett a tört nevezője, annyiszorosára kell növelni a tört számlálóját. Pl:2harmad és 4ötöd közös nevezőjük a 15,az első törtben a nevező ötszörösére növekedett, tehát a számlálóját is öttel szorozzuk, a másodiknál háromszorosára nőtt a nevező tehát a számlálót hárommal szorozzuk: 10tizenötöd és 12tizenötöd. Törteket úgy adunk össze, hogy ha szükséges közös nevezőre hozzuk, és a számlálóikat összeadjuk, s a nevezőt változatlanul leírjuk. Pl:1ketted +3negyed =2negyed +3negyed=5negyed. A kivonás hasonlóképpen történik, természetesen a számlálókat

kivonjuk egymásból. Tört számot egész számmal úgy szorzunk, hogy vagy a számlálót szorozzuk az egésszel, és a nevezőt változatlanul hagyjuk, vagy a nevezőt osztjuk az egésszel, ha maradék nélkül osztható és a számlálót változatlanul hagyjuk. Pl:8tizenötöd *5=40tizenötöd =2 2harmad,vagy 8tizenötöd5 =8harmad=2 2harmad. Tört számot egész számmal úgy osztunk, hogy vagy a nevezőt osztjuk az egész számmal, és a számlálót változatlanul hagyjuk, vagy a számlálót elosztjuk az egész számmal, ha maradék nélkül osztható, és a nevezőt változatlanul hagyjuk. Pl:4ötöd /2 =4tized=2ötöd,vagy 4ötöd /2=2ötöd. Tört számot tört számmal úgy szorzunk, hogy a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel összeszorozzuk. Pl:3ötöd *4kilenced=12negyvenötöd=4huszonötöd. Törtszámot törtszámmal úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprok (fordított) értékével szorozzuk.

Pl:3hatod/2negyed=3hatod*4ketted=12tizenketted=1 egész. Egész számot tört számmal úgy osztunk, hogy az osztó reciprok értékével szorozzuk az egész számot. Pl:24 /3ötöd=24*5harmad=120harmad=40. Vegyes számmal végzendő műveletnél a vegyes számot áltörté alakítjuk. Pl:3 2ötöd*3negyed=17ötöd3negyed=51huszad=2 11huszad. 10 - Tizedes törtek Azokat a törteket, amelyeknek nevezője 10, 100, 1000 satöbbi, tizedes törteknek nevezzük. A tizedes számrendszerben balról jobbra haladva, a számjegyek értéke tizedannyi, mint a megelőző számjegyé. Az egyesektől jobbra tized, század, ezred satöbbi, helyiérték található, s az egyes helyiértékű számjegytől vesszővel (tizedesvessző) választjuk el:2.25(két egész huszonöt század),03(nulla egész 3tized) A tizedes tört értéke tízszeresére, százszorosára satöbbi nő, ha a tizedesvesszőt egy, két satöbbi, hellyel jobbra toljuk el:34.54 tíz-szerese 3454 Ha a tizedesvesszőt ballra toljuk

egy, két satöbbi hellyel, akkor a tört értéke tized, század satöbbi részére csökken:121.5 századrésze 1215 Összeadás vagy kivonás tizedes törtekkel: helyi értéküknek megfelelően összeadjuk vagy kivonjuk a számokat, és a tizedesvesszőt ki tesszük a megfelelő helyre. Pl:2.34+342=3654 Szorzás: úgy szorzunk mint ha a tényezők egész számok volnának, de a szorzatban annyi tizedes jegyet jelölünk ki, amennyi a tényezőkben együttvéve van:2.32 *3.2=7424 Tizedes törtet egész számmal úgy osztunk, mint ha egész szám lenne, de amikor a maradékhoz az első tizedes jegyet leírjuk, akkor a hányadosban is kitesszük a tizedesvesszőt:13.2/3=4,maradék 1,a következő szám már a tizedes számjegy(2), Ezért a hányadosban kitesszük a tizedesvesszőt,12/3=4,tehát 13.2 /3=44 Tizedes törtet tizedes törttel úgy osztunk hogy mind a két tényezőt megszorozzuk 10nek annyiadik hatványával, tizedes jegy az osztóban van, így a műveletet egész

számokkal végezhetjük el. Pl:40/0.8=400/8=50 11 - Százalékszámítás A százalék századrészt jelent:1/100=0.01=1század Azt a számot, amely megmutatja, hogy egy mennyiség hány százalékát kell kiszámítani százaléklábnak (t)nevezzük. Azt a mennyiséget, amelynek a százalékát számítjuk, alapnak(a),a számítás értékét százalékértéknek(sz)nevezzük. Százalékérték = alap / 100*százalékláb,az-az sz=a/100p,alap =százalékérték /százalékláb100,az-az a =sz/p*100, Százalékláb =százalékérték / alap*100,az-az p=sz/a100. Pl: mennyi 125nek a 13 százaléka? Sz=125/100*13=16.25 Melyik az a szám amelynek 18 százaléka 6.3? A=6.3/13*100=35.4 Hány százaléka 31 az 1500nak? P=33/1500*100=212 százalék. 12 - Arány és aránypár Arányt kapunk, ha két számot azért hasonlítunk össze, hogy megállapíthassuk, hányszorosa egyik a másiknak. Arány: a hányados másik neve. Az arány tehát osztás. Két mennyiség egymással egyenesen

arányos, ha az egyik mennyiség növekedése a másik mennyiség ugyanannyi szoros növekedését vonja maga után. Pl: az árú mennyisége és az ára. Két mennyiség egymással fordítottan arányos, ha az egyik mennyiség növekedésével a másik mennyiség ugyanannyi szorosára csökken vagy csökkenésével a másik mennyiség ugyanannyi szorosára nő. Pl: sebesség és a menetidő. Aránypárt akkor kapunk, ha két egyenlő értékű arányt az egyenlőség jelével összekapcsolunk. Pl:6/3=4/2,6/3=4/2,általános alak: a/b=c/d*d. Az első és a negyedik tag (a és d)az aránypár kültagjai, a második és a harmadik tag (b és c)az aránypár beltagjai. A kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával. Ha az aránypár egyik kültagja ismeretlen, azt úgy számítjuk ki, hogy a beltagok szorzatát elosztjuk az ismert kültaggal: a =(b*c)/dd. Ha az egyik beltag ismeretlen, akkor a kültagok szorzatát osztjuk az ismert beltaggal: b=(a*d)/cd. Példa:3 automata 249 darab

alkatrészt készít egy műszak alatt. Hány alkatrészt készítene 7 automata egy műszak alatt? Az arányosság célszerű felírása:3 automata 249 alkatrész 7 automata x darab alkatrész. Mivel ez egyenes arányosság az aránypárt így írjuk fel:3/7=249/x,x=(249*7)/3=581,tehát 7 automata egy műszak alatt 581 alkatrészt készítene. 80 kilométeres sebességgel 3 óra alatt érünk Gyulára,100 kilométeres sebességgel hány óráig tartana az út? 80 kilométer 3 óra 100 kilométer x óra. Itt fordított arányosság van ezért az egyik arányt fordított sorrendben írjuk fel tehát nem 3/x,hanem x/3,tehát az aránypár 80/100=x/3=(3*80)/100=2.4 óra, Tehát 100 kilométeres sebességgel 2.4 óráig tartana az út 13 - Algebra Az abc betűivel bármilyen számot jelölhetünk. A számokat helyettesítő betűket és számokat algebrai mennyiségeknek nevezzük. Ha az algebrai mennyiségeket, valamint ezek egész kitevőjű hatványát és gyökét a négy

alapművelet véges számú alkalmazásával kapcsoljuk össze akkor algebrai kifejezést kapunk. Ha az algebrai mennyiségeket valamint ezek egész kitevőjű hatványát és gyökét csak szorzás és osztás véges számalkalmazásával kapcsoljuk össze, egy tagú algebrai kifejezést kapunk. Pl:3*a a másodikon b. A betű előtti számot együtthatónak nevezzük. Az egytagú algebrai kifejezéseket plusz és mínusz jellel összekapcsolva több tagú algebrai kifejezést kapunk. Ha az algebrai kifejezés nevezőjében nem szerepel változó, akkor azt algebrai egész kifejezésnek (polinomnak)nevezzük. Pl:a+4*b-5c-9d+3a a másodikon b. Az egyenlő tényezők szorzatát hatványnak nevezzük: a*aa=aa harmadikon az alap 3 a hatványkitevő. Közös alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a közös alapot a kitevő összegére hatványozzuk: a a harmadikon * a a negyediken =a ahetediken,2*a a másodikon 5aa negyediken=10a a hatodikon. Egyenlő alapú hatványokat úgy osztunk

egymással, hogy a közös alapot a kitevők különbségére hatványozzuk: a az ötödiken/a a másodikon =a a harmadikon,7*b az ötödiken/2ba másodikon=3eba harmadikon. Különböző alapú, azonos hatványkitevőjű hatványokat úgy szorzunk vagy osztunk, egymással, hogy az alapok szorzatát vagy hányadosát az azonos kitevőre hatványozzuk: a a másodikon *b a másodikon =(ab)a másodikon a a negyediken /b a negyediken =(a/b)a negyediken. Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára hatványozzuk. Pl:(a a harmadikon)másodikon = a a hatodikon,(2 a hatodikon)másodikon=2 a hatodikon. 14 - Előjeles számok Pozitív szám abszolút értéke maga a szám, negatív szám abszolút értéke a vele ellentett pozitív szám, a 0 abszolút értéke 0. Egyenlő előjelű számokat úgy adunk össze, hogy abszolút értékük összegét közös előjellel vesszük:3+2=5,(4)+(-6)=-10. Két különböző előjelű számot úgy adunk össze, hogy a nagyobb

abszolút értékű számból kivonjuk a kisebb abszolút értékű számot, és a különbséget a nagyobb abszolút értékű szám előjelével látjuk el: (15)+(-4)=11 (21)+(-27)=-6. Két különböző előjelű számot úgy vonunk ki egymásból, hogy a kivonandó előjelét ellenkezőjére változtatva hozzáadjuk a kisebbítendőhöz:(9)-(-3)=12. Több előjeles szám összeadását és kivonását úgy végezzük el hogy ha a zárójelben és a zárójel előtt egyező előjel van akkor a számot zárójel nélkül plusz előjellel, ha különböző az előjel a zárójelben és előtte, akkor a számot zárójel nélkül mínusz előjellel írjuk le, majd összeadjuk külön a plusz előjelűeket és külön a mínusz előjelűeket, és a nagyobb abszolút értékűből kivonjuk a kisebbet, az eredményt a nagyobb abszolút értékű szám előjelével látjuk el: (-9)+(4)-(7)-(-21)=-9+4-7+21=25-16=9. Két előjeles számot úgy szorzunk össze vagy osztunk el, hogy az

abszolút értéküket összeszorozzuk vagy elosztjuk, s az eredményt egyenlő előjelű tényezők esetén plusz különböző előjelű tényezők esetén mínusz jellel látjuk el. Pl:-3*3=-9,-4-5=20. Több tényezőből álló szorzat előjele plusz, ha a mínusz előjelű tényezők száma páros; és mínusz, ha a mínusz előjelű tényezők száma páratlan: -2*4-3=74. -5*2-3-6=-180. 15 - Műveletek algebrai kifejezésekkel Egynemű egytagú kifejezések: azok az egytagúak, amelyek legfeljebb együtthatójukban különböznek. Ezeket úgy adjuk össze hogy az együtthatókat összeadjuk, és a betűtényezőket változatlanul leírjuk:18*x a másodikon *y(a harmadikon-6x a másodikon y(harmadikon=12x a másodikon y(a harmadikon. Egytagú algebrai kifejezéseket úgy adunk össze, hogy azokat előjelükkel egymás után leírjuk, és az egyneműeket összevonjuk:9*x+(-6y)+(3ex)+(-5y)+5(zs=9x-6y+3ex-5y+5z=12ex-11y+5z. Egy algebrai kifejezéshez több tagút úgy adunk

hozzá, hogy a több tagú minden egyes tagját saját előjelével hozzákapcsoljuk, ha vannak egynemű tagok, azokat összevonjuk:(25*a+(31a a másodikon b +8a 2)=25a+31a a másodikon b =8*a-2=33a+31a a másodikonb-2. Egytagú algebrai kifejezést úgy vonunk ki, hogy ellenkező előjellel a kisebbítendő után írjuk,és az egynemű tagokat, ha vannak összevonjuk: 15*xy-(-8xy)=23xy. Többtagút úgy vonunk ki, hogy minden tagját ellenkező előjellel kapcsoljuk a kissebbítendőhöz:7*ax(8y+9ax)=7ax-8y-9ax=-2ax-8y. Zárójelek felbontása: ha az algebrai kifejezésben a zárójeles részek csak mint összeadandók vagy kivonandók fordulnak elő, akkor a plusz előjelű zárójelet úgy bontjuk fel, hogy elhagyjuk a zárójelet, és a zárójelben levő tagokat változatlan előjellel hagyjuk meg, a mínusz előjelű zárójelet pedig úgy bontjuk fel, hogy a mínusz előjel és a zárójel elhagyásával egyidejűleg a zárójelben levő tagok előjelét az ellenkezőjére

változtatjuk. Több zárójel esetén a legbelső zárójelet bontjuk fel, majd a következőt, csak legvégül a külsőt: t2*x-{3y-[6x+(9x-5y)]+2x}=2x-{3y-[6x+9x-5y]+2x}, =2*x-{3y-6x-9x+5y+2x}=2x-3y+6x+9x-5y-2x =15*x-8y. Egytagú algebrai kifejezést úgy szorzunk vagy osztunk egytagúval, hogy az együtthatókat és az egyenlő alapú hatványokat összeszorozzuk vagy osztjuk, a különböző alapú hatványok szorzását pedig kijelöljük: (4*a a harmadikon b a másodikon x a negyediken)(0fa a másodikon b az ötödiken y a másodikon), =2*da az ötödiken b a hetediken x a negyediken y a másodikon. Szorzatot úgy hatványozunk, hogy a tényezőket egyenként kijelölt hatványra hatványozzuk, s a kapott eredményt összeszorozzuk: (a*bc)a másodikon = a a negyediken b a negyediken c a negyediken. Több tagú kifejezést egy tagúval úgy szorzunk vagy osztunk, hogy a több tagúnak minden tagját megszorozzuk vagy elosztjuk az egytagúval, s az így kapott részletszorzatokat

összegezzük: 2*a(-5x a másodikon -3y)=-1tax a másodikon-6ay. Ennek a műveletnek az ellenkező művelete a kiemelés. (-10*ax a másodikon-6ay) legnagyobb közös osztója, ezt kiemeljük és az eredeti szorzatot kapjuk: 2*a(5x a másodikon-3y). Több tagú kifejezést többtagúval úgy szorzunk, hogy az egyik többtagú minden tagját megszorozzuk a másik többtagú mindegyik tagjával, és a részlet szorzatokat összegezzük: (2*a+5b)(7a+4b), =14*a a másodikon+35*ab+8ab+20b a másodikon=14*a a másodikon+43*ab+20b a másodikon. Nevezetes alakú szorzatok: Két tag összegének a négyzetét megkapjuk, ha az első tag négyzetéhez hozzáadjuk az első és a második tag kétszeres szorzatát és a második tag négyzetét: (a+b)a másodikon =a a másodikon+2*ab+b a másodikon. Két tag különbségének négyzetét megkapjuk, ha az első tag négyzetéből kivonjuk az első és a második tag kétszeres szorzatát, és hozzáadjuk a második tag négyzetét: (a-b)a

másodikon-2*ab+b a másodikon. Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag négyzetének különbségével: (a+b)*(a-b)=a a másodikon -b a másodikon. Két tag összegének a köbét megkapjuk, ha az első tag köbéhez hozzáadjuk az első tag háromszoros négyzetének második taggal való szorzatát, az első tag háromszorosának a második tag négyzetével alkotott szorzatát és a második tag köbét: (a+b) a harmadikon =a a harmadikon+3*a a másodikonb+3ab a másodikon +b a harmadikon. Két tag különbségének köbét megkapjuk, ha az első tag köbéből kivonjuk az első tag háromszoros négyzetének a második taggal való szorzatát, hozzáadjuk az első tag háromszorosának a második tag négyzetével alkotott szorzatát, és kivonjuk a második tag köbét: (a-b)a harmadikon =a a harmadikon-3*a a másodikonb+3ab a másodikon -b a harmadikon. (a+b)a másodikon 16 - Algebrai törtkifejezések Az algebrai törtekre mindazok a

szabályok érvényesek, amelyek a közönséges törtekre. Algebrai törtbővítése és egyszerűsítése: Abéd =a*cbéd c=ax amásodikonbédx a másodikon, =5x2a hatody2a=5x hatody. Algebrai törtek összeadása és kivonása: x ad+ybéd =b*x adb+ay adb=(bx+ay)/abx ad-y béd=bx adb-ay adb, =(bx-ay)/ab. Szorzás és osztás: A béd*x=ax béda béd/x=abédx(a béd)(cdéd), =acbéd d/dcéd/d=ad/bc. 17 - Gyökvonás Azt a műveletet, amellyel az adott hatványhoz és hatványkitevőhöz keressük a hatványalapot, gyökvonásnak nevezzük. A második gyököt négyzetgyöknek, a harmadik gyököt köbgyöknek nevezzük. Egy mennyiség értéke nem változik, ha gyököt vonunk belőle, s aztán ugyanannyiadik hatványra emeljük: (ncsa)az ennediken = ncsa az n-ediken =a* (az előbbi kifejezés betűvel): n-ik gyök alatt a az enik hatványon =nik gyök alatt az ennedik hatványon =(a-val),(cskilenced)a másodikon =cskilenced a másodikon=9negyed. Hatványból úgy vonhatunk

gyököt, hogy az alapot a hatványkitevő és a gyökkitevő hányadosára hatványozzuk: ncsa az emmediken =a(x emmediken*cs/16 a másodikon=16(2negyed)=4. Szorzatból úgy vonhatunk gyököt, hogy a szorzat minden egyes tényezőjéből gyököt vonunk, és az eredményeket összeszorozzuk: ncsa*b=ncsancsbcs416=cs4cs16=24=8. Törtből úgy vonhatunk gyököt, hogy mind a számlálóból, mind a nevezőből gyököt vonunk: ncsa/b=ncsa/csb=css16negyed=cs16/csnegyed=4ketted=2. Egyenlő gyökkitevőjű gyököket úgy oszthatunk egymással, hogy a gyökjel alatt álló kifejezéseket egymással osztjuk, és a nyert hányadosból a közös gyökkitevővel gyököt vonunk: ncsa/ncsb=ncsa/bcs16/csnegyed=cs16/4=cs4=2. Gyökből úgy vonhatunk gyököt, hogy a gyökjel alatti mennyiségből a gyökkitevők szorzatával vonunk gyököt: ncsmcsa (olvasd ennedik gyök alatt ennedik gyök)=n*mcsacscs-64=6cs64=2. Az egynemű gyökmennyiségeket összeadhatjuk vagy kivonhatjuk különneműek

összevonását jelöljük: 5*cs4+3cs4=8cs4=16. Ha egy tört nevezője gyökmennyiség, akkor a nevezőt gyökteleníthetjük, hogy a tört számlálóját és nevezőjét a nevező megfelelő hatványával szorozzuk: a/csb=(a*csb)/csbcsb=acsb/b. 18 - Az egyenlet fogalma és osztályozása Egyenletet kapunk, ha két kifejezést egyenlőségjellel összekötünk. Az olyan egyenletet, amely a benne előforduló betűk minden számértéke mellett érvényes, azonosságnak nevezzük. Pl:a+a=2*ad. Az ismeretlen minden olyan értéke, amelyre az egyenlőség fenn áll, az egyenlet megoldása vagy gyöke. Az egyenleteket az ismeretlenek száma szerint(egy két és n ismeretlenes )és az előforduló ismeretlenek legmagasabb hatványa szerint(első második és enned fokú) osztályozzuk. Az egyenletek gyökeit általában az egyenletek rendezésével, átalakításával határozzuk meg. Egyenlet átalakítása közben arra törekszünk, hogy minden átalakítás egyenértékű egyenletet

hozzon létre. Egyenértékű egyenletet kapunk akkor, ha az egyenlet mind két oldalát ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozzuk vagy osztjuk, ha mind két oldalához ugyanannyit hozzáadunk, ha mindkét oldalából ugyanannyit elveszünk. Elsőfokú (lineáris ) egy ismeretlenes egyenlet: Általános alapja: a*x+b=0. az egyenlet megoldásának lépései: Eltávolítjuk a törteket, ha vannak: Elvégezzük a kijelölt műveleteket, felbontjuk a zárójelet, rendezzük az egyenletet, összevonjuk az egyneműeket, elosztjuk az ismeretlen együtthatójával mindkét oldalt és elvégezzük a próbát, vagyis behelyettesítünk: (9*x+7)/2+(x-2)/7=36+x=14, Ez a közös nevező (9*x+7)7+(x-2)2=(36+x)14. Zárójel felbontása: 63*x+49 +2x-4=504+14x (rendezés ): 63*x+2x-14x=504-49+4. Összevonás: 51*x=459+517 x=459+51 x=9. Behelyettesítés: (9*9+7)/2+(9-2)/7=36+9. 44+1=45. Elsőfokú (lineáris ) két ismeretlenes egyenletrendszer: Általános alakja: a*x+by=d ahol x és y

ismeretlen mennyiségek. A két ismeretlen meghatározásához egyidejűleg fennálló két elsőfokú két ismeretlenes egyenlet szükséges, melyek egymástól függetlenek és nincsenek ellent mondásban egymással. Az elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszer megoldására három eljárást alkalmazhatunk. Helyettesítő módszer: Valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, s azt a második egyenletbe ugyanannak az ismeretlennek a helyére behelyettesítjük, majd az így kapott egy ismeretlenes egyenletet megoldjuk. Az így kapott értéket bármelyik egyenletbe behelyettesítjük és kiszámítjuk a másik ismeretlent is: i*x-2y=-4yy2x+y=-3. i*x=2y-4a ezt behelyettesítjük a második egyenletbe: (2*y-4)+y=-3. 4*y-8+y=-3. 5*y=5. y=1 A kiszámított y értéket behelyettesítjük a második egyenletbe: 2*x+1=-3 2*x=-4. x=-2. Tehát az egyenletrendszer gyökei: x=-2*y=1d. Egyenlő együtthatók módszere: Az egyenleteket egy-egy olyan számmal megszorozzuk, hogy a

kiküszöbölendő ismeretlen mindkét egyenletben megegyezzen: i*3x+7y=17 ii 2x+9y=20. Az első egyenletet -2vel,a másodikat 3mal szorozzuk s a két egyenlet megfelelő oldalait összeadjuk illetve kivonjuk egymásból: i *-6x-14y=-34 ii 6x+27y=60 13y=26 y=2. Az y értékét behelyettesítjük, pl. a második egyenletbe: 2*x+92=20 2x=2 x=1. Tehát az egyenletrendszer gyökei: x=1 y=2. Összehasonlító módszer: Mindkét egyenletből kifejezzük ugyanazt az ismeretlent s a két kifejezést egy egyenletté kapcsoljuk össze, és kiszámítjuk a benne szereplő ismeretlent. Ezt a kapott gyököt bármelyik eredeti egyenletbe behelyettesítve kiszámítjuk a másik ismeretlent: i *x-3y=-12 ii y+2y=13 i x =3y-12 ii x =13-2y 3y -12=13-2y 5*y =25 y=5 Ez az első egyenletbe behelyettesítve: x-3*5=-12 x=3. Tehát az egyenlet gyökei: X=3*y=5. 19 - Másodfokú egy ismeretlenes egyenlet Általános, nullára redukált alakja: a*x a a másodikon +bx+c=0x az ismeretlen az abc adott

számok, Az a*x a másodikon a másodfokú, a bx az elsőfokú és c a szabad tag. A másodfokú egy ismeretlenes egyenlet megoldásához a következő képletet használjuk: x*a= (-b+csb a másodikon-4ketted a c) /2aaxb=(-b-csb a másodikon-4ac)/2a. A másodfokú egy ismeretlenes egyenletnek két valós gyöke van. Pl: 8 x a másodikon +2*x=1, Először nullára redukáljuk,8*x a másodikon+2x-1=0. A gyökképletet felhasználva (a=8.6*b=2c=-1t xa=(-2-fcs2 a másodikon -48-1)/28, =(-2+cs4+32)/16=(-2+cs36)/16=(-2+6)/16, =4/16=0.25*a xb=(-2-x2 a másodikon, -4*8-1)/28=(-2x4+32)/16, =(-2-csb36)/16=(-2-6)/16=-8/16=-0.5*a, Tehát az egyenlet gyökei: x*a=0.25*xb=-0.5 20 - Egyenlőtlenségek Ha két szám vagy algebrai kifejezés <(nagyobb),>(kisebb), Ez (nem egyenlő),nagyobb vagy kisebb, vagy nagyobb, vagy egyenlő, >=(kisebb vagy = jelek valamelyikével van összekapcsolva), akkor azt egyenlőtlenségnek nevezzük. Az egyenlőtlenség gyökeinek halmaza változatlan marad,

ha az egyenlőség mind két oldalát ugyanazzal a pozitív számmal osztjuk vagy szorozzuk, mindkét oldalához ugyanannyit hozzáadunk, ha mindkét oldalából ugyanannyit elveszünk. Negatív számmal való szorzás vagy osztás esetén az egyenlőtlenség iránya megfordul. Az egyenlőtlenség megoldása ugyan úgy történik mint az egyenleté: 11*x+17>9x+3 2x>-14 x>-7. Tehát az egyenlőtlenség minden -7nél nagyobb számra teljesül. 3*x-2>5x+8-2x>10 x<-5. Az egyenlőség mindkét oldalát el kellett osztanunk -2vel, ezért az egyenlőtlenség ellenkezőjére változott. Az egyenlőtlenségek osztályozása, megegyezik az egyenletek osztályozásával. 21 - Számtani sorozat A számtani sorozat a számok olyan sorozata, amelyben bármelyik számból kivonva az előzőt, a különbség állandó. Pl:2*5811 satöbbi. A sorozatot alkotó számok a számtani sorozat elemei, ezt a-val jelöljük. Az állandó különbséget d-vel jelöljük. A számtani sorozat

ennedik (n: tetszőleges egész szám) elemét úgy kapjuk meg, hogy az első elemhez hozzáadjuk a különbség (n-1)szeresét: a*n a+(n-1)d. Pl: 2*58 satöbbi huszadik eleme: =3*a=2n=20 értékeket behelyettesítjük az an képletbe: a*b=2+(20-1), *3=2+193=59,Tehát a sorozat huszadik eleme 59. A számtani sorozat első n elemének összegét úgy kapjuk meg, hogy az elemek számának felét megszorozzuk az első és az utolsó összegével: s*n=n/2(a+an). Pl: 1*57. Első 11 elemének összegét akarjuk kiszámítani. d=2*a1n=11an, =21 (ezt az a *n képlettel számítjuk ki) behelyettesítve sa=11/2(1+21), =121. Tehát a sorozat első 11 elemének összege 121. 22 - Mértani sorozat A mértani sorozat a számok olyan sorozata, amelyben bármelyik számot az előzővel osztva a hányados állandó. A hányadost q-val jelöljük. A mértani sorozat ennedik elemét úgy kapjuk meg, hogy az első elemet megszorozzuk a hányados n-1edik hatványával: a*n=aq (n -1). Pl.: 3*612

kilencedik eleme: q=2*a=3n=9,behejettesítve ai=32(9-1)=32 a nyolcadikon=3256=768, Tehát a mértani sorozat kilencedik eleme 768. A mértani sorozat első n elemének összegét úgy kapjuk meg, hogy az első elemét megszorozzuk egy olyan törttel, amelynek számlálója a hányados ennedik hatványa egyel kisebbítve, nevezője pedig az egyel kisebbített hányados: s*n=a(q az ennediken -1)/q-1. Pl.: 3*612 satöbbi, első hat elemének összege: q=2*a=3n=6 értékeket az sn képletbe behelyettesítve: s*n=6(2 a hatodikon -1)/2-1=3(63/1), =189, tehát a mértani sorozat első hat elemének összege 189