Matematika | Diszkrét Matematika » A differenciálgeometria alapjai, görbeelmélet

A differenciálgeometria alapjai: görbeelmélet Előadásvázlat Kovács Zoltán előadásaihoz 2003. december 4 1. Differenciálás A differenciálás fogalmára több szituációban is szükségünk lesz (R R, R R 2 , R R3 , R2 R2 , R2 R, R3 R3 típusú leképezéseknél, ezért vázlatosan áttekintjük a többváltozós, vektorértékű függvények differenciálásáról tanultakat. Legyen U ⊂ Rn nemüres nyílt halmaz, s tekintsünk egy f : U Rm leképezést. Legyen x ∈ U . Ha létezik olyan ϕ ∈ L(Rn , Rm ) lineáris leképezés, hogy kf (x + h) − f (x) − ϕ(h)k = 0, h0 khk lim akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az x pontban, és azt írjuk, hogy f 0 (x) = ϕ. Meg lehet mutatni, hogy ϕ ha létezik, akkor egyértelmű. f -et differenciálhatónak mondjuk U -n, ha annak minden pontjában differenciálható. f diffeomorfizmusa U -nak egy V ⊂ Rn nyílt halmazra, ha bijektív és az inverze is differenciálható. f 0 (x) = ϕ-nek Rn és Rm

kanonikus bázisára vonatkozó mátrixát az f leképezés x-beli Jacobimátrixának nevezzük. Jelöljük f komponensfüggvényeit (f1 , . , fm )-el Meg lehet mutatni, hogy f akkor és csakis akkor differenciálható egy x pontban, ha komponensfüggvényeinek mindegyike differenciálható x-ben, s ekkor f Jacobi mátrixa:   ∂fj Jf (x) = (x) ∈ Mm×n (j = 1 . m, i = 1 n) ∂xi A számítások során sokszor (praktikusan) csak a Jacobi mátrixot írjuk ki. Példa. Legyen ϕ ∈ L(Rn , Rm ) Ekkor ∀x ∈ Rn -re ϕ differenciálható, és ϕ0 (x) = ϕ Valóban: ϕ(x + h) − ϕ(x) − ϕ(h) = ϕ(x) + ϕ(h) − ϕ(x) − ϕ(h) = 0, tehát a vizsgált határértékben a számláló zérus. 1 Példa. Legyen F : Rn Rn izometria, a csatolt leképezése a ϕ ∈ τRn ortogonális leképezés (Azaz ∀x ∈ Rn -re F (x) = ϕ(x) + x0 teljesül valamely rögzített x0 vektorra.) Ekkor ∀x ∈ Rn -re F differenciálható, és F 0 (x) = ϕ. Valóban: F (x + h) − F (x) − ϕ(h)

= ϕ(x + h) + x0 − (ϕ(x) + x0 ) − ϕ(h) = = ϕ(x) + ϕ(h) + x0 − ϕ(x) − x0 − ϕ(h) = 0, a számláló ismét nulla. Példa. Legyen az f : R R függvény differenciálható az x
pontban Az f 0 (x) ∈ τR deriváltfüggvény Jacobi-mátrixa 1 × 1-es, azaz egy szám: f 0 (x)(1) ; a lineáris leképezés pedig ezzel a számmal való szorzást jelent. Ezért f 0 (x)(1) helyett is f 0 (x)-et írunk – s ez egybevág a valós-valós függvények differenciálásának szokásos definíciójával: az ilyen függvény deriváltja egy pontban egy szám. Általánosabban, ha f : R Rn , differenciálható, akkor f 0 (x) ∈ L(R; Rn ) ∼ = Rn . Az izomorfizmust az f 0 (x) ↔ f 0 (x)(1) hozzárendelés adja meg. A továbbiakban f 0 (x)-t és f 0 (x)(1)-t nem fogjuk megkülönböztetni. A differenciálgeometriai tanulmányainkban a differenciálás egyik legtöbbet használt tulajdonsága a láncszabály lesz: Tegyük fel, hogy E egy Rn -beli nyílt halmaz, f : E Rm , f

differenciálható x ∈ E-ben; g egy f (E)-t tartalmazó nyílt halmazt Rk -ba képez, és g differenciálható f (x)-ben. Ekkor az F = g ◦ f : E Rk leképezés is differenciálható x-ben és F 0 (x) = g 0 (f (x)) ◦ f 0 (x). A láncszabály alkalmazásával könnyen igazolhatunk egy fontos összefüggést, nevezetesen, hogy valós diffeomorfizmus deriváltja sohasem lehet zérus. Legyen f : R R diffeomorfizmus Ekkor f −1 ◦ f = id Deriváljuk ezt az összefüggést valamely x pontban! A láncszabályt alkalmazva és felhasználva, hogy az identitásnak, mint lineáris transzformációnak a deriváltja önmaga:
f −10 f (x) ◦ f 0 (x) = id . A leképezések 1 helyen felvett értékével (ld. az előző példát):
f −10 f (x) · f 0 (x) = 1. Innen leolvasható, hogy az f 0 (x) 6= 0. Most induljunk ki a f ◦ f −1 = id összefüggésből:
f 0 f −1 (x) ◦ f −10 (x) = id . Ha a lineáris leképezéseket beazonosítjuk az 1 helyen felvett értékükkel:
f

0 f −1 (x) · f −10 (x) = 1, azaz az inverz függvény deriváltjára azt kapjuk, hogy f −10 (x) = 1 f0 2 f −1 (x)
. 2. Parametrizált görbék Megállapodunk abban, hogy a valós-valós függvények differenciálhatósága a továbbiakban akárhányszori differenciálhatóságot jelent, továbbá az f : [a, b] Rn leképezés differenciálhatósága alatt azt értjük, hogy létezik olyan f ∗ : (a0 , b0 ) Rn differenciálható leképezés, hogy [a, b] ⊂ (a0 , b0 ) és f ∗ |[a,b] = f . Definíció. Legyen I ⊂ R esetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum, n = 2∨3 Egy c : I R n differenciálható leképezést (parametrizált) görbének nevezünk, ha ∀t ∈ I-re c 0 (t) 6= 0 (regularitási feltétel). I-t paramétertartománynak nevezzük n = 2 esetén síkgörbéről, n = 3 esetén térgörbéről beszélünk Általános értelemben síkgörbéről beszélünk akkor is, ha im c-t R3 egy síkja (kétdimenziós lineáris sokasága) tartalmazza.

Példa. Legyen c : [0, 2π] R2 , t 7 c(t) = (R · cos t, R · sin t) (R > 0). Ekkor im c az origó középpontú R sugarú kör. A regularitási feltétel nyilván teljesül: c0 (t) = (−R · sin t, R · cos t), kc0 (t)k = R 6= 0. Példa. kc0 (t)k = nevezzük. √ c : [0, 2π] R3 , t 7 c(t) = (R · cos t, R · sin t, a · t) (R, a > 0). R2 + a2 6= 0, azaz a regularitási feltétel teljesül. im c-t hengeres csavarvonalnak z y x 1. ábra A hengeres csavarvonal, a paramétertartomány az ábrán [0, 6π] Az ábrán szaggatott vonallal berajzoltuk a görbe vetületét az xy síkra, amely egy kör. Definíció. Legyen c : I Rn parametrizált görbe A v : I R, t 7 v(t) = kc0 (t)k 3 leképezést pályasebesség-függvénynek (vagy pályamenti sebességnek), míg a c0 : I Rn , t 7 c0 (t) leképezést sebesség-vektormezőnek nevezzük. c0 (t) a görbe t paraméterértékű ponthoz tartozó sebességvektora, míg c(t) + L(c0 (t)) a t paraméterértékű ponthoz

tartozó érintőegyenes. y c0 (t) c(t) c(t) + L(c0 (t)) x 2. ábra Sebességvektor, érintő egyenes A c : I Rn parametrizált görbét természetes paraméterezésűnek, vagy ívhossz paraméterezésűnek mondjuk, ha ∀t ∈ I : v(t) = 1. Rb Legyen most I = [a, b]. Λ(c) = a v(τ ) dτ a görbe ívhossza, a Z t σ : [a, b] R, σ(t) = v(τ ) dτ a függvény pedig a görbe ívhossz-függvénye. 1. Tétel Legyen c : I Rn parametrizált görbe, Ĩ ⊂ R, I és Ĩ valós intervallumok Ha ϕ : Ĩ I diffeomorfizmus és c̃ = c ◦ ϕ, akkor c̃ is parametrizált görbe. Bizonyítás: A regularitási feltételt kell ellenőrizni c̃-re. A láncszabályt alkalmazva: c̃0 (t) = c0 (ϕ(t) · ϕ0 (t). Mivel c reguláris, ezért a szorzat első tényezője, mivel ϕ diffeomorfizmus, ezért a szorzat második tényezője egyetlen paraméterértékre sem nulla. 4 Definíció. Legyenek c : I Rn és c̃ : Ĩ Rn parametrizált görbék Ha létezik olyan ϕ : Ĩ I

diffeomorfizmus, hogy c̃ = c ◦ ϕ, akkor c-t és c̃-t ekvivalens görbéknek nevezzük, ϕ-t pedig paramétertranszformációnak. Ha ráadásul ∀t ∈ Ĩ-re ϕ0 (t) > 0 is teljesül, akkor irányítástartó vagy orientációtartó paramétertranszformációról beszélünk. Megjegyzés. Ha c és c̃ ekvivalens parametrizált görbék, akkor im c = im c̃ 2. Tétel A parametrizált görbék ekvivalenciája ekvivalenciareláció 1 3. Tétel Ekvivalens görbék ívhossza megegyezik Bizonyítás: Az első tétel jelöléseivel. Legyen ϕ : [a, b] [ϕ(a), ϕ(b)] szigorúan monoton növekedő Ekkor Z b Z b Z b Z ϕ(b) 0 0 0 0 0 kc̃ (τ )k dτ = kc (ϕ(τ )) · ϕ (τ )k dτ = kc (ϕ(τ ))k · ϕ (τ ) dτ = kc0 (µ)k dµ a a a ϕ(a) a változó helyettesítésére vonatkozó tétel szerint. 4. Tétel Minden parametrizált görbe ekvivalens egy természetes paraméterezésű görbével (Azaz „az ívhossz mindig bevezethető paraméternek”.) Bizonyítás: Legyen c :

[a, b] Rn parametrizált görbe, Z t σ : [a, b] R, σ(t) = v(τ ) dτ a az ívhosszfüggvény. σ 0 (t) = v(t) > 0, tehát a σ függvény szigorúan monoton növeked ő, azaz invertálható, tehát diffeomorfizmus. Az inverze: σ −1 : [0, Λ(c)] [a, b]. Legyen c̃ = c ◦ σ −1 : [0, Λ(c)] Rn . Számítsuk ki c̃ pályasebesség-függvényét, azaz a ṽ(t) = k(c ◦ σ −1 )0 (t)k = k(c0 (σ −1 (t)) · σ −10 (t)k = |σ −10 (t)| · kc0 (σ −1 (t))k = |σ −10 (t)| · v(σ −1 (t)) függvényt. Alkalmazva az inverz függvény differenciálásáról tanultakat: ṽ(t) = 1 |σ 0 (σ −1 (t))| · v(σ −1 (t)) = 1 1 v(σ −1 (t)) · v(σ −1 (t)) = 1. Ezen ekvivalenciareláció ekvivalenciaosztályait is görbéknek (pontosabban nem parametrizált görbéknek) szokás nevezni. 5 Példa. Az ívhossz bevezetése paraméternek hengeres csavarvonalon Legyen c : [0, 2π] R3 , t 7 c(t) = (R · cos t, R · sin t, a · t), (R, a > 0). Az ívhossz

függvény: t 7 σ(t) = Z t√ 0 σ : [0, 2π] R, √  t √ R2 + a2 dτ = R2 + a2 τ 0 = R2 + a2 · t. Az ívhosszfüggvény inverze: σ −1 [0, 2π · √ R2 + a2 ] [0, 2π], s 7 √ 1 s. R 2 + a2 A tétel bizonyítása szerint a c̃ = c ◦ σ −1 függvény lesz a probléma megoldása, tehát: √ c̃ : [0, 2π · R2 + a2 ] R3 ,   s s s s 7 c̃(s) = R · cos √ , R · sin √ ,a · √ . R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 Ellenőrizzük, hogy a pályasebességfüggvény tényleg a konstans 1 függvény! Példa. Vezessük be az ívhosszat paraméternek a körön! 3. Síkgörbék Frenet apparátusa 5. Tétel Legyen c : I R2 parametrizált síkgörbe Ekkor egyértelműen léteznek olyan T, N : I R2 differenciálható leképezések, hogy ∀t ∈ I-re: (i) (T (t), N (t)) pozitív ortonormált bázis R2 -ben;
(ii) L(c0 (t)) = L T (t) ; (iii) T (t) a c0 (t)-nek pozitív skalárszorosa. Bizonyítás: Legyen T (t) = c0 (t)/v(t). Ekkor T (t) nyilván egységvektor,

továbbá az (iii), így az (ii) feltétel is teljesül. Legyen J : R2 R2 , (x, y) 7 (−y, x), az R2 pozitív irányú π/2 mértékű elforgatása. J lineáris transzformáció, tehát differenciálható. Legyen N = J ◦ T N differenciálható, mert differenciálható leképezések kompozíciója. Így (i) is teljesül Az egyértelműség onnan következik, hogy T (t)-t ortonormált bázissá pontosan kétféleképpen lehet kiegészíteni, nevezetesen ±π/2 szögű elforgatásokkal, a −π/2 szögű elforgatás pedig negatív bázist ad. 6 y T (t) c(t) N (t) x 3. ábra A kísérő kettő-él Definíció. (Az előző tétel jelöléseivel) T -t érintő egységvektormezőnek, T (t)-t érintő egységvektornak, N -t normál egységvektormezőnek, N (t)-t a t paraméterértékű ponthoz tartozó normális vektornak nevezzük. A (T, N ) párt a görbe kísérő kettő-élének nevezzük 6. Tétel Legyen c : I R2 parametrizált síkgörbe Ekkor ∃ω : I R

differenciálható függvény, hogy T0 = ω·N N 0 = −ω · T. Bizonyítás: Írjuk fel T 0 és N 0 Fourier előállítását (minden pontban): T 0 = hT 0 , T i · T + hT 0 , N i · N N 0 = hN 0 , T i · T + hN 0 , N i · N. Deriválva a hT, T i = 1 összefüggést: 2 hT 0 , T i = 0; hasonlóan 2 hN 0 , N i = 0. Most a hT, N i = 0 összefüggést deriválva: hT 0 , N i + hT, N 0 i = 0. Tehát ω = hT 0 , N i = − hN 0 , T i adódik Definíció. Legyen c : I R2 parametrizált síkgörbe A κ : I R, κ = függvényt a c síkgörbe görbületének nevezzük. 7 hT 0 , N i v Következmény. (Frenet formulák, vagy derivációs formulák) T0 = κ·v·N 0 N = −κ · v · T. Speciálisan, természetes paraméterezésű síkgörbékre: T0 = κ·N 0 N = −κ · T. Példa. (A körvonal görbülete) Legyen c : [0, 2π] R2 , t 7 c(t) = (R · cos t, R · sin t) Ekkor: c0 (t) = R(− sin t, cos t), v(t) = R, T (t) = (− sin t, cos t), N (t) = (− cos t, − sin t), T 0 (t) = (−

cos t, − sin t). Innen láthatjuk, hogy T 0 = N , tehát az első Frenet formula szerint c görbületi függvénye konstans, κ = 1/R. Megjegyezzük, hogy nemnulla konstans görbületű síkgörbe csak körvonal lehet (kés őbb bizonyítjuk is). 7. Tétel (A görbület kiszámítása) (A korábbi feltételek mellett) hc00 , N i . v2 Bizonyítás: A görbületet definiáló formulát átalakítjuk a derivációs formula segítségével: κ= c0 = v · T c00 = v 0 · T + v · T 0 c00 = v 0 · T + κ · v 2 · N. Ez utóbbi sort N -el skalárisan szorozva: hc00 , N i = κ · v 2 adódik, mert T ⊥ N . Innen leolvasható a bizonyítandó formula Példa. Tekintsük a c : [0, 2π] R2 , t 7 (t, sin t) szinuszgörbét Számítsuk ki a görbületi függvényét! Az előbbiek alapján: c : t 7 (t, sin t), 0 c : t 7 (1, cos t), v(t) = √ 1+ cos2 t, T =  1 cos t , v v  , N =J ◦T = c00 : t 7 (0, − sin t); azaz κ(t) = hc00 (t), N (t)i sin t sin t =− 3 =− . 2 v (t) v

(1 + cos2 t)3/2 8  cos t 1 − , v v  8. Tétel Legyen c : I R2 parametrizált síkgörbe, melynek görbületi függvénye κ Legyen továbbá ϕ : Ĩ I paramétetranszformáció, c̃ = c ◦ ϕ : Ĩ R2 c̃ görbületi függvényét jelölje κ e. 0 Ekkor κ e = sgn ϕ · κ ◦ ϕ. Tehát síkgörbe görbülete irányítástartó paramétertranszformációval szemben invariáns. Bizonyítás: A görbület alábbi kifejezését használjuk: κ= hc00 , N i hc00 , J ◦ c0 i hT 0 , N i = = . v v2 v3 Tehát: c̃ = c ◦ ϕ c̃0 = (c0 ◦ ϕ) · ϕ0 , J ◦ c̃0 = ϕ0 · (J ◦ c0 ◦ ϕ), c̃00 = (c00 ◦ ϕ) · ϕ02 + (c0 ◦ ϕ) · ϕ00 . ṽ = |ϕ0 | · (v ◦ ϕ) Eszerint hϕ02 · (c00 ◦ ϕ) + ϕ00 · (c0 ◦ ϕ), ϕ0 · (J ◦ c0 ◦ ϕ)i = ṽ 3 ϕ03 hc00 ◦ ϕ, J ◦ c0 ◦ ϕi = = |ϕ0 |3 · v ◦ ϕ = sgn ϕ0 · κ ◦ ϕ. κ̃ = mivel c0 ◦ ϕ ⊥ J ◦ c0 ◦ ϕ 9. Tétel Legyen c : I R2 parametrizált síkgörbe, melynek görbületi függvénye κ

Legyen továbbá F : R2 R2 izometria, a csatolt ortogonális leképezése f ∈ τR2 , továbbá c̃ = F ◦ c : I R2 . c̃ görbületi függvényét jelölje κ e . Ekkor κ e = det f · κ. Tehát síkgörbe görbülete irányítástartó izometriával szemben invariáns. Bizonyítás: Könnyen ellenőrizhető, hogy J ◦ f = det f · (f ◦ J). Továbbá a láncszabályt alkalmazva: c̃ = F ◦ c f ◦ c0 e J ◦ f ◦ c0 c̃0 = (F 0 ◦ c) ◦ c0 = f ◦ c0 , Te = , N= , ṽ ṽ c̃00 = (f 0 ◦ c0 ) ◦ c00 = f ◦ c00 . A görbületet kiszámítva, felhasználva, hogy f ortogonális transzformáció, tehát a normát és a skaláris szorzatot megtartja: κ̃ = hc̃00 , J ◦ f ◦ c0 i hf ◦ c00 , det f · (f ◦ J ◦ c0 )i hc00 , J ◦ c0 i = = det f · = det f · κ. ṽ 3 kf ◦ c0 k3 kc0 k3 10. Tétel Legyen c : [a, b] R2 természetes paraméterezésű parametrizált síkgörbe Ha valamilyen s ∈ [a, b]-re c00 (s) 6= 0, akkor s-nek van olyan I ⊂ [a, b]

környezete, hogy s1 , s2 , s3 ∈ I-re c(s1 ), c(s2 ), c(s3 ) nem egy egyenesre illeszkednek. Ha si s (i = 1, 2, 3), akkor a c(si ) pontokra illeszkedő kör tart egy 1/kc00 (s)k = 1/|κ(s)| sugarú, c(s)-re illeszkedő körre. (Ezt a kört a görbe c(s) ponthoz tartozó simúlókörének nevezzük.) Bizonyítás: Az előadásvázlat jelenlegi változata nem tartalmazza. 9 4. A síkgörbe meghatározása a görbületből Definíció. Legyen c : [a, b] R2 parametrizált síkgörbe, az érintő-vektormező T : [a, b] R2 , továbbá µ : R R2 , t 7 µ(t) = (cos t, sin t). Ekkor minden olyan θ : [a, b] R differenciálható függvényt, melyre T = µ ◦ θ, a chajlásszögfüggvényének nevezzük. 11. Tétel (A definíció jelöléseivel) θ 0 = κ · v, ahol v a pályasebesség Bizonyítás: T = (µ ◦ θ)0 = θ 0 · (µ0 ◦ θ) = θ 0 · (J ◦ µ ◦ θ) = θ 0 · N . A Frenet formulák alapján: T 0 = κ · v · N , ahonnan az állítás leolvasható. 12. Tétel

(A görbeelmélet alaptétele síkban, létezés) Legyen κ : I R adott differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan c : I R2 természetes paraméterezésű parametrizált síkgörbe, mely görbületi függvénye éppen κ. Bizonyítás: (A korábbi jelölésekkel, jelölje θ a hajlásszög-függvényt.) A v = 1 R c a
keresett görbét, feltételezés mellett θ = κ, ahonnan θ = κ + θ0 . A c0 = µ ◦ θ differenciálegyenlet megoldása c = (x, y)-re: Z  Z  x= cos ◦ θ + x0 , y= sin ◦ θ + y0 , ahol θ0 , x0 , y0 tetszőleges konstansok. Egyszerű behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy c természetes paraméterezésű és görbületi függvénye κ 13. Tétel Legyen a c síkgörbe görbületi függvénye κ κ = 0 az (esetleg elfajuló) egyenes szakaszokat jellemzi Bizonyítás: Az egyenes (szakasz) lineáris előállításából látszik, hogy görbülete nulla. Megfordítva, mivel a görbület abszolút értéke paramétertranszformációval

szemben invariáns, ezért feltehetjük, hogy c természetes paraméterezésű. Alkalmazzuk az el őző tételt! κ = 0 =⇒ θ = θ0 , c(t) = ((cos θ0 ) · t + x0 , (sin θ0 ) · t + y0 ) , ahol θ0 , x0 , y0 konstansok. Ez valóban egy egyenes paraméteres előállítása 14. Tétel A konstans, nemnulla görbületű síkgörbék a körívek Bizonyítás: Feltehetjük, hogy a c síkgörbe természetes paraméterezésű. Legyen κ = 1/R Az integrációs konstansokat az egyszerűség kedvéért mindenütt nullának választva θ(t) = 1/R · t,         Z Z t t t t x(t) = cos dt = R · sin ; y(t) = sin dt = −R · cos . R R R R 10 15. Tétel (A görbeelmélet alaptétele síkban, egyértelműség) Legyenek c 1 , c2 : [a, b] R2 természetes paraméterezésű parametrizált síkgörbék, melyek görbületi függvényei megegyeznek Ekkor létezik olyan F : R2 R2 irányítástartó izometria, hogy c2 = F ◦ c1 Bizonyítás: Jelölje (Ti , Ni ) a ci görbe

kísérő kettő-élét. Egyértelműen létezik olyan ϕ ∈ SO(2) elforgatás, mely a (T1 (a), N1 (a)) bázist a (T2 (a), N2 (a)) bázisba viszi. Jelölje τ : R2 R2 azt az eltolást, mely ϕ(c1 (a))-t c2 (a)-ba viszi. Legyen F = τ ◦ ϕ Belátjuk, hogy F ◦ c1 = c2 Definiáljuk a következő differenciálható függvényt: d : [a, b] R, d(t) = kT2 (t) − ϕ(T1 (t))k2 + kN2 (t) − ϕ(N1 (t))k2 . d-t deriválva és a Frenet-formulákat felhasználva: 1 0 d = hT20 − ϕ ◦ T10 , T2 − ϕ ◦ T1 i + hN20 − ϕ ◦ N10 , N2 − ϕ ◦ N1 i = 2 = hκN2 − κ · ϕ ◦ N1 , T2 − ϕ ◦ T1 i + h−κT2 + κ · ϕ ◦ T1 , N2 − ϕ ◦ N1 i = = −κ hN2 , ϕ ◦ T1 i − κ hϕ ◦ N1 , T2 i + κ hT2 , ϕ ◦ N1 i + κ hϕ ◦ T1 , N2 i = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans. Mivel d(a) = 0, ezért d = 0 Innen következik, hogy ϕ ◦ T 1 = T2 , azaz (F ◦ c1 − c2 )0 = 0. F ◦ c1 − c2 tehát konstans Mivel (F ◦ c1 − c2 )(a) = 0, ezért F ◦ c1 = c2 5.

Térgörbék Frenet apparátusa
Definíció. A c : I R3 parametrizált térgörbét biregulárisnak nevezzük, ha ∀t ∈ I-re c0 (t), c00 (t)
lineárisan független vektorok. Ekkor a c(t)+L c0 (t), c00 (t) síkot (kétdimenziós lineáris sokaságot) a c görbe c(t) pontbeli simulósíkjának nevezzük. Emlékeztetünk arra (a lineáris algebrából), hogy két bázist akkor nevezünk azonos irányításúnak, ha a báziscsere mátrixa pozitív determinánsú. 16. Tétel Legyen c : I R3 parametrizált bireguláris térgörbe Ekkor egyértelműen léteznek olyan T, F, B : I R3 differenciálható függvények, hogy ∀t ∈ I-re:
(i) T (t), F (t), B(t) pozitív ortonormált bázis;

(ii) L T (t) = L c0 (t) ,

L T (t), F (t) = L c0 (t), c00 (t) ; (iii) T (t) a c(t) pozitív skalárszorosa,

T (t), F (t) és c0 (t), c00 (t) irányítása megegyezik (közös síkjukban). 11 Bizonyítás: (T, F )-et (c0 , c00 )-ből a Gram – Schmidt eljárással lehet

megkonstruálni: azaz c0 T = , v F ∗ = − hc00 , T i T + c00 , F = F∗ . kF ∗ k A konstrukció pontonként érvényes, s a fenti transzformációs formulák garantálják (T, F ) a differenciálhatóságát. A jelöléseket egyszerűsítve: T = a11 c0 (a11 > 0), F = a12 c0 + a22 c00 (a22 > 0). A (c0 , c00 ) (T, F ) báziscsere mátrixának determinánsa pozitív:   a11 a12 det = a11 · a22 > 0, 0 a22 tehát a két bázis azonos irányítású. Végezetül legyen B = T × F (vektoriális szorzat) Az egyértelműséget a Gram – Schmidt eljárás garantálja (Az eljárás két vektor ortogonalizálása esetén két ortonormált bázist adna, de az egyik nem azonos irányítású a (c 0 , c00 ) bázissal. A megtalált két vektort pozitív bázissá kiegészíteni egyértelműen lehet.) Definíció. (Az előző tétel jelöléseivel) T, F, B-t a c bireguláris térgörbe érintő egységvektormezőjének, főnormális vektormezőjének, binormális

vektormezőjének nevezzük, együttesen a görbe kísérő háromélmezőjének. z B T y F x 4. ábra A kísérő háromél Az ábrán az adott pontbeli kísérő háromél vektorait a görbepontból, mint kezdőpontból kiindulva reprezentáltuk. 17. Tétel T = Természetes paraméterezés esetén c0 c0 × c00 , B= 0 , F = B × T. v kc × c00 k F = c00 . kc00 k 12 Bizonyítás: Az első három formula esetében nyilván elegendő csak a B-re vonatkozó állítást belátni. B és c0 × c00 egyaránt merőlegesek a simulósíkra, csak azt kell bizonyítani, hogy egymás pozitív skalárszorosai. A Gram - Schmidt eljárás konstrukcióját használva: B = T × F = (a11 c0 ) × (a12 c0 + a22 c00 ) = = a11 · a22 (c0 × c00 ), és a11 · a22 > 0. A negyedik formulára áttérve, természetes paraméterezés esetén hc 0 , c0 i = 1, amely relációt deriválva: hc00 , c0 i + hc0 , c00 i = 0 2 · hc0 , c00 i = 0, azaz ívhosszparaméterezés esetén c0 ⊥ c00 ,

amiből következik az állítás. 18. Tétel (Derivációs formulák) T0 = ω1 F 0 F = −ω1 T + ω2 B 0 B = − ω2 F Bizonyítás: Írjuk fel T 0 , F 0, B 0 Fourier előállításait a (T, F, B) bázisban: T 0 = hT 0 , T i T + hT 0 , F i F + hT 0 , Bi B, F 0 = hF 0 , T i T + hF 0 , F i F + hF 0 , Bi B, B 0 = hB 0 , T i T + hB 0 , F i F + hB 0 , Bi B. Legyen X és Y 6= X a T, F, B bármelyike. Ekkor deriválással adódik, hogy hX, Xi = 1 hX, Y i = 0 =⇒ =⇒ hX 0 , Xi = 0, hX 0 , Y i + hX, Y 0 i = 0. Másrészt T ∈ L(c0 ) =⇒ T 0 ∈ L(c0 , c00 ) =⇒ hT 0 , Bi = 0, hB 0 , T i = 0. Tehát ω1 = hT 0 , F i, ω2 = hF 0 , Bi a kívánt formulákat adja. Definíció. A c : I R3 bireguláris térgörbe κ : I R görbületi- és τ : I R torziófüggvényét az alábbiak szerint definiáljuk: κ= hT 0 , F i hF 0 , Bi , τ= . v v Következmény. (Frenet formulák) T0 = κvF, 0 F = −κvT + τ vB, 0 B = − τ vF. 13 19. Tétel Egy c : I R3 bireguláris parametrizált

görbe akkor és csakis akkor síkgörbe, ha torziófüggvénye zérus. Bizonyítás: A harmadik Frenet formula alapján τ = 0 ekvivalens azzal, hogy B konstans. Legyen f : I R, t 7 f (t) = hB0 , c(t) − c0 i , ahol B0 , c0 valamely rögzített paraméterértékhez tartoznak. Mindkét oldal deriválva: f 0 (t) = hB0 , c0 (t)i = hB(t), c0 (t)i = 0, tehát a görbe benne van a c0 -hoz tartozó érintősíkban. 6. A görbület és a torzió tulajdonságai, a görbeelmélet alaptétele 20. Tétel Parametrizált térgörbe görbületi függvénye mindig pozitív értékű Bizonyítás: (T, F )-et a Gram - Schmidt eljárással az alábbiak szerint konstruáltuk meg: T = a11 c0 és a11 > 0, =⇒ T 0 = a011 c0 + a11 c00 ; F = a12 c0 + a22 c00 és a22 > 0. Ennek alapján: hT 0 , F i = ha011 c0 + a11 c00 , F i = = a11 hc00 , F i = a11 = hF − a21 c0 , F i = a22 a11 = > 0, a22 c0 és F merőlegességét kétszer is használva. 21. Tétel Ha a c : I R3 bireguláris térgörbe

természetes paraméterezésű, akkor a κ görbületi és τ torziófüggvényére: |c0 , c00 , c000 | κ = kc00 k, τ = . κ2 Bizonyítás: A természetes paraméterezés miatt: T = c0 . Az első Frenet formula alapján: T 0 = c00 = κF =⇒ kc00 k = |κ| · kF k = κ hiszen kF k = 1 és κ > 0. A másik formulát szintén a Frenet formulákat használva lehet ellen őrizni, ettől most eltekintünk. 14 Példa. A hengeres csavarvonal görbülete és torziója Legyen a hengeres csavarvonal paraméteres előállítása:   s s as 3 c : [0, 2π] R , t 7 c(t) = R cos √ , R sin √ ,√ (R, a > 0). R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 Mint korábban már láttuk, ekkor c természetes paraméterezésű.   1 s s 0 T (s) = c (s) = √ −R sin √ , R cos √ ,a R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2   1 s s 0 T (s) = −R cos √ , −R sin √ ,0 R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 R κ = kT 0 (s)k = 2 . 2 R + a   T 0 (s) s s F (s) = = − cos √ , − sin √ ,0 , kT 0 (s)k R 2 + a2 R 2 + a2

  1 s s B(s) = T (s) × F (s) = √ a sin √ , −a cos √ ,R , R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2   s s 1 0 a cos √ , a sin √ ,0 . B (s) = R 2 + a2 R 2 + a2 R 2 + a2 A Frenet formulákból tudjuk, hogy (ívhossz paraméterezés esetén) B 0 = −τ F , tehát az előbbi képletekből a torzió leolvasható: a τ = 2 . R + a2 22. Tétel A bireguláris térgörbék görbülete izometriával és paramétertranszformációval szemben invariáns A bireguláris térgörbék torziója irányítástartó izometriával és tetszőleges paramétertranszformációval szemben invariáns, míg irányításváltó izometriánál előjelet vált Bizonyítás: Az alábbi – könnyen ellenőrizhető – kiszámítási szabályokba behelyettesítve, a síkgörbéknél megismert módon: κ= kc0 × c00 k , kc0 k3 τ= |c0 , c00 , c000 | . kc0 × c00 k2 A görbület és torziófüggvény jelentősége, hogy paramétertranszformációtól és izometriától eltekintve egyértelműen

meghatározzák a parametrizált térgörbét. 23. Tétel (A görbeelmélet alaptétele) Unicitás Tegyük fel, hogy c 1 , c2 : I R3 természetes paraméterezésű bireguláris térgörbék, továbbá görbület és torziófüggvényük megegyezik. Ekkor létezik olyan ϕ : R3 R3 irányítástartó izometria, mely egyiket a másikba viszi, azaz c2 = ϕ ◦ c1 . Egzisztencia. Tetszőlegesen adott κ : [a, b] R pozitív, differenciálható és τ : [a, b] R differenciálható függvényekhez létezik olyan c : [a, b] R3 természetes paraméterezésű bireguláris térgörbe, melynek görbületi és torziófüggvénye éppen κ és τ . 15 Bizonyítás: Egzisztencia. A bizonyítás technikailag összetett (ld el őadás!), de az ötlete nagyon egyszerű: ha a görbület és a torzió ismert, akkor a Frenet formulák a kísér ő háromélre (pontosabban a 9 komponensfüggvényre) egy 9 egyenletből álló közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, amelyre

alkalmazhatjuk az analízisből ismert egzisztencia és unicitástételt (megfelelő kezdeti feltételek esetén). Miután T -t meghatároztuk, c0 = T egy újabb közönséges differenciálegyenletrendszer (c három komponensfüggvényére), mely integrálással megoldható Az kell még ellen őrizni, hogy az így kapott görbe kielégíti az összes feltételt Unicitás. Jelölje (T1 , F1 , B1 ) ill (T2 , F2 , B2 ) a megfelelő kísérő 3-éleket A lineáris kiterjesztés tétele miatt létezik olyan ϕ ∈ L(R3 ; R3 ) pozitív ortogonális transzformáció, hogy ϕ(T1 (a)) = T2 (a), ϕ(F1 (a)) = F2 (a), ϕ(B1 (a)) = B2 (a). Létezik továbbá olyan ν : R3 R3 transzláció, hogy ν(ϕ(c1 (a))) = c2 (a). Azt állítjuk, hogy Φ = ν ◦ ϕ a keresett izometria. Definiáljuk a d : I R függvényt a következőképpen: 2d = kϕ ◦ T1 − T2 k2 + kϕ ◦ F1 − F2 k2 + kϕ ◦ B1 − B2 k2 . Egyszerű, de kissé hosszadalmas számolással – a Frenet formulákat alkalmazva

– látható, hogy d0 = 0. Ez azt jelenti, hogy d konstans függvény, ∀s ∈ [a, b]-re d(s) = d(a) = 0 Innen az következik, hogy: ϕ ◦ T 1 = T2 , ϕ ◦ F 1 = F2 , ϕ ◦ B 1 = B 2 . Az első relációt használva: ϕ ◦ c01 = c02 =⇒ (Φ ◦ c1 )0 = c02 , azaz a Φ ◦ c1 − c2 leképezés konstans: ∀s ∈ [a, b] : (Φ ◦ c1 − c2 )(s) = (Φ ◦ c1 − c2 )(0) = (Φ ◦ c1 )(0) − c2 (0) = 0, amivel az állítást igazoltuk. 24. Tétel A konstans görbületű és torziójú bireguláris parametrizált térgörbék képhalmaza kör vagy hengeres csavarvonal. Bizonyítás: Mivel a paramétrertranszformáció a képhalmazt nem változtatja meg, feltehet ő, hogy természetes paraméterezésű bireguláris térgörbékről beszélünk. Legyen először a torziófüggvény zérus. κ = 1/R > 0 A c : I R3 , s 7 c(s) = (R · cos s s , R · sin , 0) R R parametrizált görbe görbülete 1/R, a görbe természetes paraméterzésű és im c körvonal. Ha valamely

c̃ : I R3 zérus torziójú bireguláris parametrizált görbe görbülete szintén 1/R, akkor ez a görbe már a görbeelmélet alaptétele szerint egybevágó c-vel. Azaz im c és im c̃ egybevágó körvonalak. 16 Ha a torziófüggvény nem zérus – felhasználva a hengeres csavarvonal görbületére és torziójára korábban kapott eredményt –, ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, de most c hengeres csavarvonal lesz. Tehát adott konstans görbülethez és konstans torzióhoz konstruálunk egy természetes parametrizálású hengeres csavarvonalat, melynek görbülete és torziója éppen ez a két szám (azaz a megfelelő értékre beállítjuk a henger sugarát és az emelkedés sebességét), s minden más ugyanilyen görbületű és torziójú, természetes paraméterezésű bireguláris parametrizált térgörbe ettől már csak izometriában különbözik. 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 5. ábra Tervezzünk görbét! Az

ábrán egy olyan görbe látható, melyre el őírtuk, hogy menjen át az origón, a görbülete az origótól mért ívhosszal arányos legyen (azaz annál jobban görbüljön, minél messzebb vagyunk az origótól), a torzió pedig konstans legyen. (κ(t) = 10 · |t|, τ = 2) A görbét az előbb leírt eljárásnak megfelelően meghatároztuk. A számítást numerikus módszerekkel a Maple program végezte. 7. Síkgörbék globális kérdései Az előadásvázlat ezen része még nem elérhető. 17