Fizika | Felsőoktatás » BME Fizika előadásjegyzet

1 1. Az elektrosztatikus tér jellemzői A jellemzők közötti kapcsolat áttekinthető, egységbe foglalható egy táblázat segítségével. Ennek a táblázatnak egyes elemeit és a közöttük lévő kapcsolatokat fojuk vizsgálni. A tér egy pontjában A töltés jellemzője A tér két ponja között Kapcsolat Erő hat rá (F) Helyzeti energiával rendelkezik ( W) Térerősség (E) Potenciál különbség (feszültség) (U) Kapcsolat A tér jellemzője Alap kísérletekből megállapítható, hogy két féle elektromos töltés van erőhatás tapasztalható 1.1 A töltések között fellépő erő Az erőhatásra vonatkozó kísérletekből: Coulomb-törvény. Coulomb-törvény: k= F=k⋅ Qo ⋅ q r2 vagy vektor alakban: F = k ⋅  N ⋅ m2  1 = 8,99 ⋅ 10 9   4 ⋅ π ⋅ εo  C 2  +Qo r Qo ⋅ q r ⋅ 2 r r ( ε o a vákuum dielektromos állandója). +q r 1. ábra Coulomb-törvény érvényes:pont töltésre, pontszerű

töltésre, gömbön elhelyezkedő töltésre (r a középpontok közötti távolság) A q töltésre ható erő nagysága számolható. a./ Egy pont-, vagy pontszerű töltés esetén Coulomb-törvényből b./ Több pont-, vagy pontszerű töltés esetén Coulomb-törvényből vektorok összeadásával 2 - Q2 +Q1 F2 F +q F1 2. ábra c./ Végtelen síkon egyenletesen eloszló töltés esetén: A felületen a töltéssűrűség: σ = Qo/A (töltés/a felület) dϕ dr α q R dFx dF a σ 3. ábra dF = (r ⋅ dϕ ⋅ dr ⋅ σ) ⋅ q 1 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ εo r2 + a2 ( dFx = dF ⋅ 2 πR Fx = ∫∫ 00 a r2 + a2 ) = r ⋅ dϕ ⋅ dr ⋅ σ ⋅ q a ⋅σ⋅q 1 a r ⋅ dr ⋅ dϕ ⋅ ⋅ = ⋅ 3 4 ⋅ π ⋅ εo r2 ⋅ a2 r 2 + a 2 4 ⋅ π ⋅ εo r 2 + a 2 2 a ⋅σ⋅q dFx = 4 ⋅ π ⋅ εo ( R 2π R a ⋅σ⋅q r ⋅ dr = ⋅2⋅π⋅ 3 3 4 ⋅ π ⋅ εo 0 0 r2 + a2 2 0 r2 + a2 2 ∫∫ r ⋅ dr ⋅ dϕ ( ) ∫ ( −1  R a ⋅σ⋅q  2 a ⋅

σ ⋅ q  1 1  2 2 − + Fx = ⋅ − r + a =   2 ⋅ ε o  2 ⋅ εo   0 R2 + a2 a   ( Ha R ∞ akkor: ) Fx = σ⋅q 2 ⋅ εo ) ) 3 d./ Végtelen hosszú egyenes vezetőn, egyenletesen eloszló töltés esetén: dy Töltéssűrűség: σ = Q / l (töltés/a vezető hossza) y dFx α q a dF y = a ⋅ tg α 4. ábra dy = a ⋅ dF = (σ ⋅ dy ) ⋅ q 1 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ εo  a 2    cos α  1 cos 2 α ⋅ dα σ ⋅ q ⋅ cos 2 α σ⋅q 1 1 ⋅ cos α ⋅ dα dFx = dF ⋅ cos α = ⋅ ⋅a⋅ ⋅ cos α ⋅ dα = 2 2 4 ⋅ π ⋅ εo 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a a cos α α2 F= ∫ α1 σ⋅q σ⋅q ⋅ cos α ⋅ dα = 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a α2 ∫ cos α ⋅ dα α1 σ⋅q [sin α]αα12 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a π π Ha α1 = − és α 2 = , akkor 2 2 σ⋅q F= [1 − (− 1)] = σ ⋅ q 2 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a F= F= σ⋅q 2 ⋅ π ⋅ εo ⋅ a

Minden esetben azt találtuk, hogy: F = f (q ) (A q töltésen kívül az erő függ a geometriától és a teret kitöltő anyagtól.) 1.2 A térerősség Az elektromos tér állapotára az E = F q hányados, a térerősség jellemző. 4 A térerrősség E= F q számítható (ha ismerjük a töltések nagyságát és elhelyezkedését). és méréssel meghatározható (erőmérés segítségével). A korábbi számítások eredményeit felhasználva: a./ A térerősség Q ponttöltéstől r távolságban: E= 1 Q ⋅ 4 ⋅ π ⋅ εo r 2 b./ A térerősség végtelen síkon lévő σ töltéssűrűség esetén: σ E= 2 ⋅ εo (Az erdmény jól használható véges méretű síkok esetében is a sík közelében.) c./ A térerősség végtelen hosszú, vékony, egyenes vezető mentén egyenletesen megoszló töltés esetén (az eredmény jól használható vége hosszúságú vekony vezetőtől kis σ E= távolságokra). 2 ⋅ a ⋅ π ⋅ εo A tér szemléletessé

tétele érdekében bevezetjük az erővonal fogalmát. (Ezek képzeletbeli vonalak) Az erővonalakat úgy rajzoljuk, hogy - érintőjük iránya megadja a térerősség irányát, - sűrűségük megadja a térerősség nagyságát. A térerősség fluxus: a felületen átmenő erővonalak száma. A térerősség fluxus számítása: E n Ha a felület merőleges az erővonalakra: dΦ = E ⋅ dA dA 5. ábra Ha a felület nem merőleges az erővonalakra: dΦ = E n ⋅ dA = E ⋅ cos α ⋅ dA = E ⋅ d A En n dA E n α dA α dA 6. ábra Egy felület térerősség fluxusa: ∫ Φ E = E ⋅ dA A E 5 A térerősség fluxus meghatározható a fentiek alapján, vagy a Gauss-törvény segítségével. A Gauss-törvény: Qi E ⋅ dA = εo ∑ ∫ Zárt felület fluxusa (a felületen áthaladó erővonalak előjeles összege) egyenlő: a felület által körülvett töltések összege, osztva a teret kitöltő közeg dielektromos állandójával + + 7. ábra A

Gauss-törvény alkalmazása a már korábban is vizsgált esetekre: a./ Ponttöltésre: Q ∫ E ⋅ dA = ε o ∫ E ⋅ dA = A A Q εo E mindenhol a felület mentén (r sugarú koncentrikus gömb) állandó és merőleges a felületre. E ⋅ 4 ⋅ r2 ⋅ π = Q εo E= + 1 Q ⋅ 4 ⋅ π ⋅ εo r 2 8. ábra b./ Végtelen síkon megoszló töltés esetén, ha a felületi töltéssűrűség: σ = +σ A Q A Q =σ⋅A ∫ A E ⋅ dA = Q εo 2⋅E⋅A = σ⋅A εo E= σ 2 ⋅ εo Q . A 6 c./ Végtelen hosszú egyenes vezetőn megoszló töltés esetén a térerősség meghatározása: A töltéssűrűség a vezetőn: σ = Q Q l Q = σ⋅l σ⋅l εo ∫ ∫ E ⋅ dA = ε o E ⋅ dA = A A l r E⋅2⋅r⋅π⋅l = E= σ⋅l εo σ 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ εo 9. ábra 1.3 A helyzetienergia elektrosztatikus térben (A helyzetienergia különbség két pont között) 2 A munka ∫ W = F ⋅ dr 1 A konzervatív erőtér: 2 ∫ F ⋅ dr = 0 , vagy g

∫ F ⋅ dr = állandó 1 2 A helyzetienergia: ∫ Wpot = − F ⋅ dr 1 A tér által végzett munka negatívja, míg egy testet az 1. pontból a 2-ba viszünk, a test helyzetienergiája a 2. pontban az 1-höz viszonyítva Helyzetienergia a gravitációs térben (a Föld felszínéhez közel és távol,) valamint elektrosztatikus térben. A helyzetienergia meghatározása elektrosztatikus térben néhány egyszerű esetben az erő - hely függvény ismeretében. 7 a./ Pontszerű töltés esetén r2 r2 ∫ ∫ Wpot = − F ⋅ dr = − k ⋅ r1 r1 Q⋅q r2 ⋅ dr +Q +q r2 r2 r  1 2 Wpot = −k ⋅ Q ⋅ q ⋅ r1 ⋅ dr = −k ⋅ Q ⋅ q ⋅ −  2  r  r1 r r1 1 1 Wpot = k ⋅ Q ⋅ q ⋅ ( − ) 10. ábra r2 r1 Ha r1 ∞ akkor a Q töltéstől r távolságban a q töltés helyzetienergiája a vételenben felvett 0 helyzetienergiájú ponthoz képest: ∫ 1 Wpot = k ⋅ Q ⋅ q ⋅ 1 r b./ Végtelen síkon megoszló töltés esetén a

síktól r1 és r2 távolságra lévő pontok között: r2 Wpot = − σ⋅q ∫ 2 ⋅ εo r1 σ⋅q ⋅ (r1 − r2) 2 ⋅ εo c./ Végtelen hosszú vékony vezetőn megoszló töltés esetén, a vezetőtől r1 és r2 távol lévő pontok között: Wpot = r2 r2 r1 r1 σ⋅q − σ⋅q Wpot = − ⋅ dr = 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ εo 2 ⋅ π ⋅ εo ∫ ∫ 1r ⋅ dr σ⋅q r ⋅ [− ln r ]r2 1 2 ⋅ π ⋅ εo r σ⋅q Wpot = ⋅ ln 1 2 ⋅ π ⋅ εo r2 (A végtelen és a reális eset kapcsolata.) Wpot = A vizsgált esetekben a q töltés két pont közötti helyzetienergiája a geometriától, a teret kitöltő anyagtól ( ε ), a teret létesítő töltéstől (Q) és a helyzetienergiával rendelkező töltéstől (q) függ. Mindig: Wpot = f (q ) Ha a helyzetienergia - helyfüggvény ismert, az erő - helyfüggvény meghatározható: Fx = − ∂W ∂x Fy = − ∂W ∂y Fz = − ∂W ∂z 8 1.4 A potenciál és a feszültség: U= Wpot q A eddigi eredményeket

felhasználva a korábban is vizsgált eseteket vesszük sorra az alább. a./ Pontszerű Q töltéstől r1 és r2 távolságra lévő pontok közötti feszültség: 1 1 U = k ⋅ Q ⋅  −   r2 r1  Ha r1 ∞ akkor: 1 r b./ A végtelen síkon megoszló töltéstől r1 és r2 távol lévő pontok között feszültség: σ U= ⋅ (r1 − r2 ) 2 ⋅ εo c./ A végtelen husszú egyenes vezetőn megoszló töltés esetén a vezetőtől r1 és r2 távolságban lévő pontok közötti feszültség: r σ U= ⋅ ln 1 r2 2 ⋅ π ⋅ εo A feszültség és a térerősség közötti kapcsolatok. U = k⋅Q⋅ U= Wpot ∫ − F ⋅ dr = =− F ∫ q ⋅ dr = −∫ E ⋅ dr q q Tehát, ha a térerőssőg-helyfüggvény ismert a feszültség integrálással kiszámítható: ∫ U = − E ⋅ dr A feszültség-helyfüggvény (skalák-vektor függvény) kimérhető. Ismeretében a térerősség-helyfüggvény (vektor-vektor függvény) deriválással

meghatározható: ∂U ∂U ∂U Ex = − ; Ey = − ; és Ez = − . ∂x ∂y ∂z Az erő-helyfüggvényből integrálással kaptuk meg a helyzetienergia-helyfüggvényt, igy a helyzetienergia-helyfüggvény ismeretében deriválással határozhatjuk meg az erő-helyfüggvényt: ∂Wpot ∂Wpot ∂Wpot Fx = − ; Fy = − ; és Fz = − . ∂x ∂y ∂z 9 1.5 A kapacitás Különböző töltéselrendeződés esetén a két pont közötti feszültség függ teret létesítő töltéstől (Q), a geometriai viszonyoktól és a teret kitöltő anyagtól ( ε ). Minden esetben írható, hogy U = f (Q) U= 1 ⋅Q C A C az elrendezés kapacitása, ami geometria és anyagfüggö. (A kapacitás egysége: 1F) Korábbi számításaink eredményeit felhasználva könnyen meghatározhatjuk néhány egyszerű elrendezés kapacitását. a./ "Egyedül" álló gömb kapacitása R sugarú gömbön elhelyezkedő töltés esetén, a gömb középpontjától r f R távolságra az

elektromos tér olyan, mintha a töltés a gömb középpontjában helyezkedne el. (Gauss-törvény alkalmazása.) Tehát a gömb felületének feszültsége, (ha rajta Q töltés helyezkedik el) a végtelen távoli ponhoz képest akkora, mint a Q töltéstől r távolságban lévő pont feszültsége az ugyancsak végtelen távoli ponthoz képest. +Q +Q 11. ábra A korábban kapott eredmény: 1 Q U = k ⋅Q⋅ = r 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ r U= Q C C = 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ r Pl.: a Föld kapacitása: C = 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 6,34 ⋅ 10 6 = 705 ⋅ 10 −6 F = 705µF b./ Koncentrikus gömbök kapacitása Ha r1 és r1 f r2 sugarú, azonos nagyságú, de ellenkező előjelű Q töltéssel ellátott koncentrikus gömbök közötti elektromos tér olyan, mintha a Q töltés a középpontban helyezkedne el. (A többi helyen nincs elektromos tér) Tehát a két felület közötti feszültség akkora, mint a Q töltéstől r1 és r2 távolságban lévő pontok között. 10

 1 1 U = k ⋅ Q ⋅  −   r2 r1  -Q U= Q 4 ⋅ π ⋅ εo +Q -Q +Q    r −r ⋅  1 2  r1 ⋅ r2 r ⋅r C = 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ 1 2 r1 − r2 12. ábra r ⋅r C = 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ 1 2 r1 − r2 Tehát a koncentrikus gömbökből álló kondenzátor kapacitása: (Ez a kifejezés határesetben megadja a síkkondenzátor 4 ⋅ π ⋅ r2 A = εo ) kapacitását is. r1 ≈ r2 = r és r1 − r2 = d esetében C = ε o ⋅ d d c./ A síkkondenzátor kapacitása A síkkondenzátort két azonos nagyságú, de ellenkező előjelű töltéssel ellátott sík lemezsegítségével hozzuk létre az alábbi ábra szerint. -Q +Q E= σ 2 ⋅ εo -Q +Q E=0 ∫ Q ⋅d εo ⋅ A σ 2 ⋅ εo σ E=0 εo 13. ábra E= E = 2⋅ U = (− ) E ⋅ dr = E= Q σ σ = = 2 ⋅ εo εo εo ⋅ A ε ⋅A C= o d a síkkondenzátor kapacitása. 11 Miért van a két elektródán azonos nagyságú és ellenkező előjelű töltés? A

kapacitás függ a geometriától és a teret kitöltő anyagtól. A geometria: - a kondenzátor alakja (sík, egyedül álló gömb, koncentrikus gömbök, stb.) - felületek nagysága, egymástól való távolsága, stb. (Egy lehetséges példa az elrendezés szerepének bemutatására az egyedül álló töltött test és a melléje helyezett földelt test kapacitásának alakulása.) Miért függ a kapacitás a teret kitöltö anyagtól? Szigetelők elektrosztatikus térben. a./ Az elektromos tér hatással van az anyagra b./ A hatás eredménye, hogy az anyagban változás jön létre c./ A megváltozott anyag visszahat a térre Két fajta szigetelő (nincs szabad töltéshordozó) viselkedése elektromos térben. a./ A szigetelőben van dipól F +q -q E F Dipólra nyomaté hat elektromos térben. Az elektromos tér hatására a dipólus molekulák a térerősség irányába fordulnak. 14. ábra b./ A szigetelőben nics dipól, de elektromos tér hatására gerjesztődik. A

szigetelő elektromos A szigetelő elektromos tér nélkül térben 15. ábra Elektromos tér a kondenzátorban Polarizáció a feltöltött lemezek közötti szigetelőben 16. ábra Elektromos tér a kondenzátor lemezei között 12 Eo = σ εo Ep = E = Eo − Ep = σp εo σ σp − εo εo A polarizáció mértéke függ a térerősségtől, azzal arányosnak vehető, ekkor σp = κ ⋅ εo ⋅ E ( κ az anyag szuszceptibilitása.) E= σ κ ⋅ εo ⋅ E − εo εo E= σ − κ⋅E εo E= σ σ = (1 + κ ) ⋅ ε o ε r ⋅ ε o 1 + κ = εr ε r dimenzió nélküli szám, a relatív dielektromos állandó. ( ε r értéke szigetelőanyagok esetén 2 és 8 közötti érték. Víz esetén kiemelkedően magas: 81) Korábbi vizsgálatainkat mind vákuumban végeztük, ha a jelenségek nem vákuumban zajlanak, akkor ε o helyett mindenhol ε = ε r ⋅ ε o -t kell alkalmaznunk. Például a Coulomb-törvény esetében F = Q⋅q 1 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ εo r 2 vagy a

síkkondenzátor kapacitása ε ⋅A C= o d F= Q⋅q 1 ⋅ , 4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ εr r 2 ε ⋅ε ⋅A C= r o d Kondenzátorok kapcsolása. n Párhuzamos kapcsolás esetén az eredő kapacitás Cp = C1 + C2 + . Ce = ∑ Ci i =1 C1 (Mindegyik kondenzátoron ugyanakkora a feszültség.) C2 1 1 1 = + + . C s C1 C 2 (Mindegyik kondenzátoron ugyanakkora a töltés.) Soros kapcsolás esetén az eredő kapacitás: C1 C2 m 1 1 = C s i=1 C i ∑ 13 A kondenzátor energiájának kiszámítása. a./ A kondenzátor dq töltés-csomagokkal való feltöltésekor végzett munka segítségével q dW = U ⋅ dq = ⋅ dq C Q Q ∫ ∫ q 1 1 Q2 W= ⋅ dq = ⋅ q ⋅ dq = ⋅ C C C 2 0 +dq 0 U 2 W= Q 1 1 = ⋅ U ⋅ Q = ⋅ U2 ⋅ C 2⋅C 2 2 17. ábra b./ Az egymás mellett lévő feltöltött lemezek egymástól d távolságra történő eltávolításakor végzett munka segítségével. +q -q -q Q σ E= = 2 ⋅ εo 2 ⋅ εo ⋅ A F= E⋅q = Q2 2 ⋅ εo ⋅ A d 2 W

= F⋅d = 2 Q Q ⋅d = 2 ⋅ εo ⋅ A 2⋅C 18. ábra A kondenzátor energiájára kapott kifejezésekből kiszámítható az elektrosztatikus tér energia1 sűrűsége. ( w = ⋅ E 2 ⋅ ε ) 2 A kondenzátor mint érzékelő (mérőátalakító, szenzor). C = f ( ε r , A, d) Változik a kapacitás ha változik - a dielektromos állandó (nedvességtartalom-, szint-mérés) - a szembenálló felületek nagysága (elmozdulás-, szögelfordulás-, szint-mérés) - a lemezek közötti távolság (vastagság-, elmozdulás-mérés) Az érzékelő kapacitása lehetőleg nagy legyen. Ezt több párhuzamos lemezzel érik el Egy példa. D = 7 cm átmérőjű korongokból kialakított kondenzátor kapacitását 500 pF-nak mérjük. Mekkora a lemezek közötti távolság? (Vastagságmérés) ε ⋅ A 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ (7 ⋅ 10 −2 ) 2 ⋅ π d= o = = 6,8 ⋅ 10 −2 mm − 12 C 4 ⋅ 500 ⋅ 10 14 2. A piezoelektromosság F A direkt piezoelektromosság: Ha az anyagra erő hat,

a felületén az erővel arányos töltés jelenik meg. +Q -Q F A reciprok piezoelektromosság: Ha az anyagra feszültséget kapcsolunk, a kristály deformálódik. A piezoelektromos jelenség. 19. ábra Milyen agyagokon tapasztalható a piezoelektromos jelenség? Zömmel kristályos anyagok. Ezek közül azok, amelyeknek nincs szimmetria centruma és legalább egy poláris tengelyük van. Természetes piezoelektromos anyagok: kvarc, turmalin. Mesterséges piezoelektromos anyagok: Egykristályok: Kvarc (SiO2) Rochelle-só = Seignette-só = KNT (KNaC4H4O6. 4H2O) EDT (C6H14N2O6 etiléndiamintartarát) KDP (KH2PO4 káliumdihidrogénfoszfát) ADP ((NH4)H2PO4 ammoniumdihidrogénfoszfát) BaTiO3 (báriumtitanát) Kerámiák: PZT (olomcirkonáttitanát) Műanyagok: PVDF (polivinildiflorid) Felhasználás: ultrahangkeltők és érzékelők, gáz gyujtók, hangjelzők, rezgés- és gyorsulás érzékelők, hangszedők, pénzautomaták, szívütemjelzők, szellőztetők stb.) A

piezoeffektus és a minta kivágása a kvarc esetén. A kvarc: SiO2. Az egykristály 50 - 50%-ban tartalmaz kovalens és ionos kötéseket Tehát a kirtályban találhatók O- és Si+ ionok. A térben elhelyezkedő ionokat levetítve a z tengelyre (ez az optikai tengely) merőleges síkra, az ionok egy hatszög csúcsaiban helyezkednek el. x elektromos tengely y mechanikai tengely z optikai tengely 20. ábra 15 Erő hatására a kristály deformálódik és töltés jelenik meg a felületén. Az érzékelőelem kivágása a kvarc egykristálybó 21. ábra 22. ábra Az elektródák a x-tengelyre merőleges felületen helyezkednek el. Az elektródákon megjelenő töltés arányos a kristályra ható erővel. Q x = d11 ⋅ Fx Q y = d11 ⋅ b ⋅ Fy a Qx x-tengelyre merőleges elektródán megjelenő töltés Fx x-tengely irányú erő Fy y-tengely irányú erő a és b a minta x-, illetve y-tengely irányú méretei Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie egy jó

piezoelektromos anyagnak? a piezoállandója legyen nagy (nagy töltés jelenik meg, nagy az érzékenység) mechanikailag szilárd = terhelhető (Ekvarc = 0,77 1011 Pa) jó szigetelő (a töltések lassan vezetődnek el) fizikai tulajdonságai kevéssé függjenek a hőmérséklettől relativ dielektromosállandója legyen kicsi Milyen legyen az érzékelőhöz csatlakozó elektronika? Miért alkalmaznak az érzékelőkben több kristályt? Sztatikus mérésre nem alkalmas a piezoelektromos érzékelő. (A megjelenő töltés idővel levezetődik.) Dinamikus mérésnél az alkalmazási frekvencia felső határa az a frekvencia, melynél a kristály nég lineárisan viselkedik, azaz a deformációja arányos a ráható erővel. ez a frekvencia közelítőleg a kristály mechanikai sajátfrekvenciájának a tizede. 16 Néhány feladat a piezoelektromos érzékelők működésével kapcsolatban. 1./ Mekkora feszültség jelenik meg 10N nagyságú, elektromos-tengely irányú erő

hatására, az elektromos tengelyre merőleges elektródákon, ha az érzékelő 10 mm átmérőjű és A ⋅s C , ε r = 4 d11 = 2,2 ⋅ 10 −12 ) 1 mm vastag kvarc lemez? ( ε o = 8,85 ⋅ 10 −12 V⋅m N ε ⋅ ε ⋅ D 2 ⋅ π 4 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ (10 ⋅ 10 −3 ) 2 ⋅ π C= r o = = 3,1 ⋅ 10 −12 F − 3 4⋅v 4 ⋅ 10 Q d11 ⋅ Fx 2,2 ⋅ 10 −12 ⋅ 10 U= = = = 7,3V C C 3,1 ⋅ 10 −12 2./ Hogy változik a kristályon lévő feszültség az idő függvényében állandó terhelés mellett? A kristály egy kondenzátorral (a kristály kapacitása) és egy vele párhuzamosan kapcsolt ellenállással (a kristály átvezetési ellenállása) helyettesíthető. n ∑ Uk = 0 k =1 C R UC + UR = 0 q dq ) +i⋅R =0 (i = C dt q dq = 0 egyenletet kell megoldani. +R⋅ C dt 23. ábra Kísérleti eredményekre támaszkodva feltételezzük, hogy q = A + B ⋅ e p⋅t alakú. dq = p ⋅ B ⋅ e p⋅t Ebben az esetben: dt 1 A megoldandó egyenlet most: ⋅ (A + B ⋅ e

p⋅t ) + R ⋅ p ⋅ B ⋅ e p⋅t = 0 C Keressük A, B és p értékét. A 1 Rendezve az egyenletet: + B ⋅ e p⋅t ( + p ⋅ R ) = 0 C C A 1 = 0 és Az egyenlet értéke minden időpontban 0. Ezért: + p⋅R =0 C C 1 Ezekből az következik, hogy: A = 0 és p = − R ⋅C Tehát azt kaptuk, hogy q = B ⋅ e − t R⋅C . A t = 0 időpontban q = qo , ezért B = qo. t R Az eddigiek szerint a kristályon lévő töltés q = q o ⋅ e ⋅C t q q o − R ⋅C ⋅e A kristályon lévő feszültség: u = = − C C függvény szerint változik. u= t U o ⋅ e R⋅C − 17 A piezoelektromos érzékelőn megjelenő töltés az idő függvényében exponenciálisan let u = U o ⋅ e R ⋅C − csökken: függvény szerint. Ha az érzékelőhöz elektronika csatlakozik, annak bemeneti ellenállása és kapacitása párhuzamosan kapcsolódik az érzékelő ellenállásához, illetve kapacitásához. 3./ Mekkorának kellene lennie a kristály ellenállásának, R-nek, ha azt

akarjuk, hogy az érzékelőn megjelenő feszültség 100 s alatt csak 1%-kal csökkenjen? (A kristály kapacitása C = 1 pF legyen.) t u = U o ⋅ e R ⋅C − ln 1 t = 0,99 R ⋅ C 0,99 = e 0,01 = − t R ⋅C 100 R ⋅ 10 −12 t 1 = e R ⋅C 0,99 R = 1016 Ω 18 3. Fémek érintkezése, termoelemek A Volta-féle alapkísérlet. 24. ábra A kontaktpotenciál függ: az érintkező fémektől és a hőmérséklettől (felhasználható hőmérsékletmérésre). Volta-féle feszültségi sor: + Alunínium (Al), - cink (Zn), - ólom (Pb), - ón (Sn), - antimon (Sb), - bizmut (Bi), vas (Fe), - réz (Cu), - ezüst (Ag), - arany (Au), - platina (Pt), - szén (C), - barnakő. Volta-törvény: a sor tagjai között a Volta-feszültség független attól, hogy a két tag közvetlenül, vagy akárhány más tag közbeiktatásával érintkezik-e egymással, feltéve, hogy valamennyi érintkezési pont egy hőmérsékleten van 25. ábra Fém - fém átmenetnél a fémektől és a

hőmérséklettől függő kontaktpotenciál jelenik meg. U CD = U12 ( t + ∆t ) − U12 ( t ) 2 A feszültség megadása lehetséges egyenlet segítségével, vagy táblázatos formában. U12(t + ∆ t) U12(t) 1 26. ábra Egyenlet formájában: U = β12 ⋅ ∆t + γ12 ⋅ ∆t 2 + . β12 , γ12 a két érintkező fémtől függő állandó (mérésből). ∆t hőmérsékletkülönbség. A táblázatos megadási formára a következő oldalon mutatunk be példát. Itt közöljük a fontosabb anyagok platinához viszonyított kontaktpotenciáját és a legfontosabb hőelemek működési tartományát dU12 Termoelemek jellemzésére használatos a hőfoktényező is: α12 = dt 19 Termoelemek kialakítása. 3 2 tx mV 1 3 Hőmérsékletmérés termoelemmel 27. ábra Az 1-2 átmenetnél a tx hőmérséklettel arányos feszültség jelenik meg. Ezt kéne mérnünk. Sajnos azonban jelen van két "járulékos" termoelem is, az 1-3 és a 2-3 átmenet. (Ezek

feszültsége különbözőek és hőmérséklet változáskor különböző módon változnak.) A kapcsolás hitelesíthető és a hitelesítés körülményei között használható. Hőmérsékletmérés termopárral (két termoelemmel). Az A és B pontok között a to és tx hőmér3 sékletek különbségével arányos feszült2 A ség jelenik meg. Ha to ismert (Pl: 0 oC, tx az olvadó jég hőmérséklete) tx meghatá1 mV rozható. to Most is van két "járulékos" termoele2 B münk, az A és a B pontnál lévő 2-3 3 átmenet. Ez a két termoelem szembe 28. ábra kapcsolódik, feszültségük külöbnsége adódik hozzá a mérni kívánt feszültséghez. Ezért ha az A és B pont hőmérséklete egyforma (értékük változhat az idő során) nem keletkezik mérési hiba. Termoelemek feszültsége mérhető: egyenfeszültségek mérésére alkalmas műszerrel, vagy kompenzációval. Rv Az első esetben a vezetékeken áram Utx folyik, ami feszültségesést

eredményez. Ez mérési hibát okoz: 29. ábra Uto mV Rv Egyenfeszültség mérése kompenzációval. (Ezzel a módszerrel a vezetékeken eső feszültség okozta hiba kiküszöbölhető, hiszen ott nem folyik áram.) Us R Is A I = 0 UN B A kapcsoló 2-es állásában hasonló módon: 1 K Ux A K kapcsoló 1-es állásában a csúszkát addig mozgatjuk, míg a műszer 0-t mutat. Ekkor UN = IS RA. 2 30. ábra mV UX = IS RB. (RA és RB ismert, változtatható ellenállások UN pontosan ismert feszültségű elem.) A két egyenletet elosztva egymással UX meghatározható. 20 A kompenzációs feszültségmérés előnye, hogy a vizsgált feszültségforráson és a hozzá csatlakozó vezetékeken nem folyik áram. Ezért a vizsgált telep nem terhelődik és a vezetékeken nincs feszültségesés. A kompenzográfok működési elve is a kompenzációs feszültségmérés. Termoelemek gyakorlati alkalmazása: hőmérsékletmérés és biztonságtechnika. Építőipari

alkalmazásoknál egyszerűen, olcsón előállítható hőmérők, amelyek kedvező mérési lehetőséget biztosítanak. Az érzékelő feszültsége közvetlenül kijelezhető, az eredmények regisztrálhatók, lehetőség van távmérésre, stb. Biztonságtechnikai alkalmazásoknál elsősorban gázüzemű berendezések biztosító elemeit működtetik termoelemek. 21 22 4. Töltéstranszport, elektromos áram Milyen mennyiségek transzportjáról van szó?(Extenzív menyiségek és jellemzőik.) A transzportfolyamatok mennyiségi jellemzői: az áramerősség és az áramsűrűség. Ω (tömeg, hőmennyiség, térfogat, darabszám, töltés, stb.) mennyiség transzportja esetén: dΩ dt dI Az áramsűrüség: jΩ = Ω ⋅ u dA ⊥ dQ dt dI Q töltéstranszport esetén: I Q = Az áramerősség: I Ω = töltéstranszport esetén: jQ = dA ⊥ . Az áramerősség és az áramsűrűség közötti kapcsolat: dI Ω = jΩ ⋅ dA . A transzportot kiváltó

mennyiségek (Intenzív mennyiségek - nyomás, hőmérséklet, feszültség, stb - és jellemzőik.) jele: τ Az extenzív és intenzív mennyiségek közötti kapcsolatot a vezetési egyenlet adja meg. dτ dx ( jΩ az áramsűrűség, K Ω a vezetési tényező, τ az intenzív mennyiség, amelynek inhomodτ genitása eredményezi a transzportot és az intenzív mennyiség gradiense.) dx A vezetési egyenlet (egydimenziós esetre) Ω mennyiség transzportjára: jΩ = −K Ω ⋅ dτ 〈 0 A τ + dτ τ A jΩ dx x Töltés transzportjára: jQ = −σ ⋅ dU ( σ a fajlagos vezetőképesség, U a feszültség, dx dU a feszültséggradiens.) dx dU 〈 0 U U+dU A A jΩ x dx I = jQ ⋅ A = σ ⋅ U U U U ⋅A = = = l ρ⋅l R l σ⋅A A Stacioner forrásmentes esetre (részletesen később): dU U = dx l ( ρ a fajlagos ellenállás) 23 Az ellenállás: R = l l =ρ⋅ σ⋅A A Az elektromos munka és teljesítmény: dW = U⋅i dt dW = U ⋅ dQ = U ⋅ i ⋅

dt P= Stacioner esetben: W = U ⋅ Q = U ⋅ I ⋅ t P = U⋅ I További szükséges tudnivalók: - az elektromotoros erő - a kapocsfeszültség - a Kirchhoff-törvények és alkalmazásuk (Ezen anyagrészek felelevenítése az első számítási gyakorlat anyaga volt!) 24 5. Mágneses tér Mágneses kölcsönhatás tapasztalható: - bizonyos anyagok között (innen a jelenség elnevezése) - mágneses anyagok és áram között, - áram és áram között - áram és mozgó töltés között Mágneses kölcsönhatás mindig mozgó elektromos töltések közötti kölcsönhatás. 5.1 A mágneses erőtér és a mágneses indukció vektor A mágneses tér alaptörvényei. A mágneses tér tulajdonságainak vizsgálata, különböző hatásai alapján lehetséges. (Korábbi tanulmányaik során mérőkeret segítségével történt a vizsgálat. Később erre visszatérünk.) Most a mágneses térben mozgó töltés segítségével vizsgáljuk a tér tulajdonságait. A tér egy

adott pontjában különböző töltésű, különböző sebességű töltéseket mozgatunk különböző irányokban. a/ Ha állandó az irány, azt tapasztaljuk, hogy: - a töltésre erő hat - az erő arányos a töltés nagyságával - az erő arányos a sebesség nagyságával - az erő iránya merőleges a sebesség irányára b./ Ha az irányt változtatjuk: - találunk egy erőmentes irányt erőmentes - az erőmentes iránytól eltérő irány esetén a irány fellépő erő arányos az adott irány és az erőmentes irány közötti szög szinuszával F - az erő iránya merőleges az erőmentes irányra. α +q v F ∼ q ⋅ v ⋅ sin α 33. ábra Ha a tér adott pontjára jellemző arányossági tényezőt B-vel jelöljük: F = B ⋅ v ⋅ q ⋅ sin α Az erő irányát úgy adhatjuk meg, hogy a B arányossági tényezőt vektorként kezeljük és irányát az erőmentes egyenes irányába vesszük fel. Irányítottságát úgy állapítjuk meg, hogy az erő irányát

(pozitív töltésre) az alábbi kifejezés helyesen adja meg. B a mágneses indulció vektor F = q⋅v×B B B v F v B +q -q +q F v v +q F F 34. ábra B 25 A fent vázolt kísérlet eredményeként egy mérési utasításhoz jutottunk, amely segítségével meghatározhatjuk egy adott mágneses térben a B = f r kapcsolatot. Egy adott pontban megkeressük az erőmentes irányt, majd ettől az iránytól eltérő irányban mozó töltések segítségével meghatározzuk a B indukcióvektor nagyságát és irányát. F ) ( B= q ⋅ v ⋅ sin α (A mágneses tér szerkezetét árammal átjárt vezetők és esetén vasreszelék segítségével mutathatjuk be.) () A mágneses tér szerkezetének bemutatása vasreszelék segítségével. 35. ábra 26 Miután ísmerjük a tér egyes pontjaiban az indukcióvektort (az indukció irányát és nagyságát) a mágneses tér szemléletessé tétele érdekében bevezetjük az indukcióvonalat fogalmát. Az

indukcióvonalakat úgy vezetjük, hogy egy adott pontban az indukcióvonal érintője megadja az indukció irányát, és az érintőre merőleges egységnyi felületen átmenő indukcióvonalak száma megadja az indukció nagyságát a pontban. Az indukcióvonalak ismeretében kerülhet sor az indukciófluxus fogalmának bevezetésére. Az indukciófluxus az adott felületen áthaladó indukcióvonalak előjeles összegét adja meg. Az indukciófluxus kiszámitása az alábbiak szerint történhet. Az indukciófluxus meghatározása. Ha a felület merőleges az indukcióvonalakra: n B dA dΦ = B ⋅ dA Ha a felület nem merőleges az indukcióvonalakra: dΦ = B n ⋅ dA = B ⋅ dA ⋅ cos α dA n Bn α dA B dΦ = B ⋅ d A 36. ábra Az A felület indukciófluxusa: ∫ Φ B = B ⋅ dA A (Hasonlóság a térerősségvonalakkal és a térerősség fluxussal.) A megfelelő mérési utasítás és az alapfogalmak bevezetése után megvizsgálhatjuk a mágneses tér

tulajdonságait. Megállapíthatjuk a mágneses tér törvényszerűségeit a./ Az indukcióvonalak önmagukban záródnak Ebből következik, hogy ∫ B ⋅ dA = 0 B1 A B3 B2 37. ábra A Az indukció zárt felületi integrálja: 0 (Ahány indukcióvonal belép a felületbe, annyi ki is lép belőle.) 27 b./ Az áram és az általa létrehozott mágneses tér kapcsolatát vizsgálva kapjuk a gerjesztési törvényt: ∫ n B ⋅ dr = µ o ⋅ ∑ Ik k =1 g Az indukció zárt görbe menti integrálja arányos a görbe által körülvett áramok összegével. Az arányosságitényező a vákuum permeabilitása. Ha nem vákuum a közeg, akkor: µ = µ r ⋅ µ o A gerjesztési törvény segítségével egyszerű elrendezések esetén könnyen meghatározható a mágneses tér értéke. A törvény alkalmazását egyenes vezetőre, egyenes tekercsre és köralakú tekecsre az alábbiakban bemutatjuk. Hosszú egyenes vezetőben folyó áram mágneses terének

meghatározása a gerjesztési törvény alkalmazásával. A választott görbe mentén az indukció értéke mindenhol azonos nagyságú. Az indukció iránya az érintő irányába mutat. Az indukció vektor párhuzamos az elemi hosszal I ∫ B ⋅ dr = B ⋅ ∫ dr = B ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π = µo ⋅ I r g g dr B B = µo ⋅ I 2⋅r⋅π 38. ábra N menetszámú és l husszúságú tekercsben folyó I áram mágneses tere. (A számítás eredménye bizonyos körülmények között jó közelítése a tényleges helyzetnek) D C Feltételezzük, hogy a tekercs belsejében homogén mágneses tér alakul ki. ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ A B ⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕ l B C D A A B C D ∫ B ⋅ dr = ∫ B ⋅ dr + ∫ B ⋅ dr + ∫ B ⋅ dr + ∫ B ⋅ dr g 39. ábra B B ∫ B ⋅ dr = ∫ B ⋅ dr + 0 + 0 + 0 = B ⋅ ∫ dr = B ⋅ l = µ o ⋅ N ⋅ I g A A B = µo ⋅ N⋅I l 28 Kör alakú tekercs esetén a fentihez hasonló számítás

eredménye, hogy a tekercs belsejében az indukció értéke: N⋅I B = µo ⋅ (R a tekercs középkörének sugara.) 2⋅R ⋅π Áram által létrehozott mágneses tér meghatározása a gerjesztési törvényen kívül a Biot-Savart-törvény segítségével lehetséges. Ez az összefüggés a vezető dl hosszú darabjában folyó I áram által létrehozott indukció értékét adja meg az elemi hosszú darabtól az r helyvektorral megadott P pontban. P dl α o dB dB = µ ⋅ r I dl × r o ⋅ 4⋅π r2 ro = r r I 40. ábra A Biot-Savart törvény alkalmazására is bemutatunk két feladatot. Az első feldat: mekkora a mágneses indukció értéke egy köralakú vezető középpontjában, ha benne I áram folyik? B dB R B= r µ ⋅ I dl ⋅ sin 90 o µ⋅I ⋅2⋅R ⋅π ⋅ = 2 2 4⋅π π ⋅ R 4 ⋅ R g ∫ dl I 41. ábra B=µ I 2⋅R A második alkalmazási példa lehet a már egyszer megoldott feladat: mekkora a mágneses indukció értéke a hosszú egyenes

vezetőtől r távolságban lévő pontban, ha a vezetőben I áram folyik? dy υ R cos α y α I R 42. ábra y = R ⋅ tg α dy = R ⋅ 1 cos 2 α ⋅ dα 29 ( o ) µ ⋅ I dy ⋅ sin 90 + α µ⋅I B= ⋅ = ⋅ 2 4⋅π 4⋅π R ∫ cos 2 α α2 ∫ R cos 2 α α1 ⋅ dα ⋅ cos α R2 µ⋅I = ⋅ 4⋅π⋅R cos 2 α α2 ∫ cos α ⋅ dα α1 µ⋅I µ⋅I α ⋅ [sin α ]α 2 = ⋅ (sin α 2 − sin α1 ) 1 4⋅R ⋅π 4⋅R ⋅π π π és α 2 = Ha a vezeték végtelen hosszú: α1 = − 2 2  π  I π  I Ekkor B = µ ⋅ ⋅  sin −  sin −   = µ 4⋅R ⋅π  2  2  2⋅R ⋅π B= Árammal átjárt vezetőre ható erő mágneses térben. Korábban megbeszéltük, hogy mágneses térben mozgó töltésre erőhat. Ez az erő a vezetőben lévő töltésekre is hat. Egy dl hosszúságú vezetőre ható erő - ha benne I áram folyik - kiszámítható úgy, hogy a vezetőben tévő töltések számát

beszorozzuk az egy töltésre hető erővel F1 = q ⋅ v × B I B F A dl hosszú és A keresztmetszetű vezetőben lévő töltéshordozók szám: N = A ⋅ dl ⋅ n ahol n a töltéshordozó sűrűség a vezetőben. Igy a dl hosszú vezetőre ható erő: I dl 43. ábra dF = A ⋅ n ⋅ dl ⋅ q ⋅ v × B Mivel a vezetőben folyó áram értéke: I = A ⋅ n ⋅ q ⋅ v A fentiek alapján : dF = I ⋅ dl × B (dl elemi hosszúságú és az áram irányába mutató vektor.) Hosszú egyenes vezetőre ható erő: F = I⋅l⋅B Ismereteink alapján meghatározhatjuk az árammal átjárt vezető hurokra ható nyomaték értékét: B I B ⊕ F F B α F = B⋅ I ⋅ l M n ⊕ F α a M ⊕ I F M = B⋅I⋅l⋅a = B⋅I⋅A , 44. ábra F ⊕ M = B ⋅ I ⋅ l ⋅ a ⋅ sin α = B ⋅ I ⋅ A ⋅ sin α 30 Eddig egy menetes hurkot - vezetőkeretet - vizsgáltunk. Amennyiben N menetű tekercset helyezünk a vezetőkeret helyére a nyomaték N-szeres lesz: M = N ⋅

B ⋅ I ⋅ A ⋅ sin α Ha az amelyben áram folyik szabadon elmozdulhat, olyan egyensúlyi helyzetet vesz fel, hogy síkja merőleges az indukció vektorra. B F n F I I F F I Korábban, a középiskolai tanulmányaik során hogyan vezették be a mágneses tér fogalmát? Milyen "mérési utasítást" alkalmaztak az indukció megállapítása érdekében? F B= M max N⋅I⋅A 45. ábra Annak a ténynek, hogy áramal átjárt vezetőre mágneses térben erő hat számtalan gyakorlati alkalmazása van. Ezek közül kettőt emelünk ki: a motorokat és az áram jellemzőinek mérésére szolgáló mutatós műszereket A mutatós műszerek számos fajtája közül az állandómágnesű műszert, a Deprez-műszert mutatjuk be. Ez a műszer önmagában egyenáramú jellemzők (áram és feszültség) mérésére szolgál. Egyenirányítóval váltóáramu jelek mérésére is alkalmazható Működési elvét megismerve más típusú műszerek működése is könnyebben

belátható Az állandómágnesű műszer. 45. ábra 31 A műszerben található mágnes és a hozzá csatlakozó vas-test a légrésben mindenhol azonos mágneses teret hoz létre. (Az indukcióvonalak mindenütt sugárirányúak és mindenhol merő legesek a vezetőre.) Ebben a légrésben egy tekercs helyezkedik el A mágneses tér hatására a tekercsre, ha abban áram folyik nyomaték hat, amely igyekszik azt a tengely körül elforgatni. Ez a "kitérítő nyomaték": Mk = N ⋅ B⋅ A ⋅ I A tekercs tengelyére egy rugó csatlakozik, amely egy "visszatérítő nyomatékot" ad. A viszsza térítő nyomaték arányos a tengely elfordulásával: M v = cr ⋅ α A tekercs azt a helyzetet fogja felvenni amelyikben a két nyomaték egyenlő. A két nyomaték egyenlőségéből levezethető, hogy egyensúly esetén a tekercs, és vele együtt a tengely elfordulása, arányos a tekercsben folyó árammal: N⋅B⋅A α= ⋅I cr A mágneses tér és árammal

átjárt vezető közötti kölcsönhatás eredménye a vezetők között fellépő erőhatás amely akkor jön létre, ha a vezetőkben áram folyik. (Elektrolizáló kádak vezetékei, tekercsek vezetékei, stb.) Szemléltetésül megvizsgáljuk két párhuzamos vezető között fellépő erőhatást, ha a két vezetőben egyirányú áramok folynak. B2 I1 F21 F12 I2 ⊕ II. ⊕ I. r B1 46. ábra Az l hosszúságú szakaszokra ható erők: F12 = B1 ⋅ I 2 ⋅ l I F12 = µ ⋅ 1 ⋅ I 2 ⋅ l 2⋅r ⋅π F21 = B 2 ⋅ I1 ⋅ l I F21 = µ ⋅ 2 ⋅ I1 ⋅ l 2⋅r⋅π I ⋅I ⋅l F = F21 = F12 = µ ⋅ 1 2 2⋅r ⋅π 32 Mágneses Ohm-törvény, mágneses körök. 2 ∫ (Elektromos térben a feszültség U E = − E ⋅ dl és 1 ∫ E ⋅ dl = 0 ) 2 Mágneses térben általában ∫ B ⋅ dl értéke nem csak a végpontoktól függ! 1 2 Bizonyos esetekben azonban az ∫ B ⋅ dl adhat az integrálási úttól független eredményt. Ilyen 1 speciális

esetekben szokás mágneses potenciálkülönbségről, mágneses feszültségről beszélni. Ilyen speciális eset egy tekercs belsejében kialakult homogén mágneses tér, ahol a két pont közötti mágneses feszültséget az alábbi módon definiáljuk: 2 Um = B ∫ µ ⋅ dl 1 A tekercsen belül lévő homogén mágneses térre a fluxus: Φ B = B ⋅ A . Így írható, hogy: 2 Um = Φ l ∫ µ ⋅ A ⋅ dl = µ ⋅ A ⋅ Φ 1 A most kapott eredmény teljesen analóg az egyenáramú áramkörökre megismert Ohm-törvénnyel. Ez a mágneses Ohm-törvény: Um = l ⋅Φ = Rm ⋅Φ µ⋅A Um a mágneses feszültség, l Rm = a mágneses ellenállás. µ⋅A 47. ábra A mágneses Ohm-törvény ismeretében könnyen megérthetjük, értelmezhetjük különböző mágneses ellenállású szakaszokból álló zárt körök viselkedését, amelyekben a mágneses teret tekercs hozza létre. Ezekre a rendszerint ferromágneses anyagokból kialakított mágneses körökre

jellemző, hogy az indukciófluxus mindegyik szakasz ban azonos. (Érintő irányban az indukcióvonalak nem lépnek ki a körből.) Egy ilyen mágneses kört mutat az ábra,ahol Ai, li és µ i az i. szakasz keresztmetszete, hossza, illetve permeabilitása. ( Φ1 = Φ 2 = . = Φ ) 33 Alkalmazzuk a 47. ábrán látható mágneses körre a gerjesztési törvényt B ⋅ dr = I µ ∑ ∫ g ∫ g 2 3 1 B3 B B2 B ⋅ dr = 1 ⋅ dr + ⋅ dr + ⋅ dr = N ⋅ I µ µ1 µ2 µ3 ∫ 1 ∫ 2 ∫ 3 A teljes kör mágneses feszültsége egyenlő az egyes szakaszok mágneses feszültségének U mi (Analógia az elektromos áramkörökkel.) összegével. U m = ∑ l3 l1 l2 ⋅Φ + ⋅Φ + ⋅Φ = N⋅I µ1 ⋅ A1 µ2 ⋅ A2 µ3 ⋅ A3 R m1 ⋅ Φ + R m 2 ⋅ Φ + R m3 ⋅ Φ = (R m1 + R m 2 + R m3 ) ⋅ Φ = N ⋅ I A teljes kör mágneses ellenállása egyenlő az egyes szakaszok mágneses ellenállásának R mi = Rm1 + Rm2 + Rm3 (Analógia az elektromos áramkörökkel.)

összegével. Rm = ∑ A gerjesztés: Θ = N ⋅ I bevezetésével a mágneses Ohm-törvény a mágneses körre: Rm ⋅Φ = Θ Mágneses körök folyamatai az elektromos áramrörökkel való analógia alapján elemezhetők. Néhány példa erre: 48. ábra 34 ∼ 49. ábra 35 6. Az időben változó elektromágneses tér Az eddig vizsgált jelenségeknél az elektromos-, vagy a mágneses tér időben állandó volt. A tárgyalt törvények és összefüggések ezekre a terekre érvényesek. Ha az elektromos, vagy mágneses tér időben változik új jelenségek tapasztalhatók. Az elektromágneses indukció jelensége. Az anyagrésszel kapcsolatos kísérletek. I II I É D K 51./a 51./b I II I K 51./c 51./d I II I 51./e a./ A II tekercs áramát változtatjuk c./ A II tekercset önmagával párhuzamosan mozgatjuk e./ Az I tekercs felületét változtatjuk 51. ábra II 51./f b./ Az I tekercsben mágnest mozgatunk d./ A b ábra mágnese helyett tekercset

alkalmazunk. f./ Az I tekercset tengelye körül forgatjuk 36 Az 51. ábrán vázlatosan bemutatott kísérletek tanulsága, hogy akkor jön létre feszültség az I-es tekercsben, ha megváltozik valami miatt az indukció-fluxusa. Azt is tapasztalhatjuk, hogy a kialakuló feszültség annál nagyobb minél gyorsabb a fluxusváltozás. A tapasztalati eredményeket a Faraday-törvény foglalja össze: Ui = − dΦ d B ⋅d A =− dt dt ∫ A A negatív előjel a Lenz-törvényt fejezi ki, erre a kérdésre még visszatérünk. Mekkora feszültség indukálódik egy homogén mágneses térre merőlegesen mozgó egyenes vezetőben? B l v s 52. ábra A Faraday-törvény szerint: Ui = − ds d d (B ⋅ l ⋅ s ) B ⋅ dA = − = B⋅l⋅ = B⋅l⋅ v dt dt dt ∫ A Ha a vezető és a sebessége merőleges az indukció vektorra, valamint a sebesség merőleges a vezetőre is, az indukált feszültség: Ui = B ⋅ l ⋅ v Amennyiben a fenti feltételek nem teljesülnek, a

kérdéses mennyiségek (indukció, vezetőhossz és sebesség) megfelelő komponenseit kell figyelembe venni. Hogyan jelenik meg a Lenz-törvény az előbbi feladatnál? B FI I Fq 53. ábra FH I v 37 Az előbbi feladatnál a mozgó vezetőben lévő (pozitív) töltésekre ható erő: Fq = q ⋅ v × B (Ez megadja az áram irányát.) Az I árammal átjárt vezetőre ható erő: FI = I ⋅ d l × B A vezető állandó sebességgel történő mozgatásához ezzel az erővel egyensúlyt tartó FH húzóerő szükséges. Az indukált feszzültség által létrehozott áram, az indukált áram olyan irányú, hogy az őt létrehozó változást gátolni igyekszik. Itt az indukált feszültség által létrehozott áram miatt olyan erő hat a vezetékre, amely a húzóerővel ellentétes irányú. Az időben változó mágneses térrel kapcsolatos tapasztalatok összefoglalása. Φ I II g 54. ábra Ha a II jelű területen belül mágneses tér van, amelynek fluxusa az

időben változik, az I jelű vezetőben feszültség jön létre, amelynek értéke független a vezető tulajdonságaitól. A vezető csak azt jelzi, hogy a helyén elektromos tér van jelen. Az időben változó mágneses tér körül elektromos tér jön létre akkor is ha nincs ott vezető. (Természetesen ilyenkor nincs áram) A vezetőn kialakuló feszültség az elektromos tér térerősségével: d ∫ E ⋅ dl = − dt ∫ B ⋅ dA A A kapott kifejezés tartalmazza a sztatikus térre vonatkozó összefüggést is. Mert ebben az dΦ = 0 és így E ⋅ d l = 0 esetben: dt ∫ g A kapott kifejezés az aktív mérőátalakítók (érzékelők, szenzorok) egyik csoportjának működési elve. Ezeknél az eszközöknél a mérendő mennyiséggel (Pl: fordulatszám, sebesség, stb) arányos feszültség jön létre. Az időben változó mágneses tér körül kialakuló elektromos tér más tulajdonságokkal rendelkezik mint a sztatikus elektromos tér. a./ Ebben a térben

töltések nem találhatók (Sztatikus térben az erővonalak pozitív töltésekből indultak és negatív töltéseken végződtek.) b./ Itt az elektromos erővonalak zárt hurkokat alkotnak 38 Elektrosztatikus térben: Változó mágneses tér körüli elektromos térbe ∫ E ⋅ dl = 0 ! ∫ E ⋅ dl ≠ 0 g g A Lenz-törvényt egy konkrét esetben (mágneses térben mozgó vezető esetében) már megvizsgáltuk. Most általánosabb esetben tesszük vizsgálat tárgyává A Lenz- törvény tulajdonképpen egy a természetben mindenhol megtalálható jelenség, a negatív visszacsatolás megjelenési formája az indukciós jelenségeknél Ha egy vezetőhurokban Io áram folyik, akkor a vezető által körülvett felületen fluxus tapasztalható. a./ Ha az Io áramot megnöveljük megnől a fluxus és az ekkor indukálódó feszültség (Ui) által létrehozott áram (Ii = az indukált áram) olyan fluxust hoz létre, amely a fluxus növekedést gátolja. ∆Φ ∆Φ

Φo Ii Ui Io Φo Ii ∆I 55/a. ábra Ui Io ∆I 55/b. ábra b./ Ha az Io áramot csökkentjük, csökken a fluxus, és az ekkor indukálódó feszültség (Ui) által létrehozott indukált áram (Ii) olyan fluxust eredményez amely a fluxus csökkenést gátolja. Ha a folyamatok nem a fentiek szerint játszódnának le, ha nem érvényesülne a Lenz-törvény a kezdeti áram növekedés folyamatos további áram növekedést eredményezne az eszközök tönkremeneteléig. A kezdeti áram csökkenés pedig végül az áram megszünését eredményezné. Az időben változó elektromos tér és a mágneses tér. Kondenzátort tartalmazó váltóáramú körben váltóáram folyik. Az áramot mágneses tér veszi körül. A kondenzátor lemezek között azonban nincs áram. ? C Mi van a kondenzátor körül? A tapasztalat az, hogy a kondenzátor körül is mágneses tér található. Mi hozza ezt létre? ∼ 56. ábra 39 A kondenzátor lemezei között váltakozó

elektromos tér van jelen, ez eredményezi a kondenzátor körül kialakuló mágneses teret. Időben változó elektromos tér maga körül mágneses teret hoz létre. A tapasztalat szerint az időben változó elektromos tér és a körülötte kialakuló mágneses tér közötti kapcsolat: d ∫ B ⋅ dl = dt ∫ E ⋅ dA ⋅ ε ⋅ µ g A A gerjesztési törvény az áram és az áram által létesített mágneses tér közötti kapcsolatot fejezte ki. Ha a térben időben változó elektromos tér és áram egyidejüleg van jelen akkor az általuk létrehozott mágneses teret az alábbi kifejezés segítségével határozhatjuk meg: d ∫ B ⋅ dl = µ∑ I + ε ⋅ µ ⋅ dt ∫ E ⋅ dA g A Az indukcióval kapcsolatos kiegészítések. a./ A kölcsönös indukció Kölcsönös indukcióról akkor beszélünk, ha az egyik áramkör áramának változása egy másik áramkörben feszültséget indukál. I. és II vezető hurok I-ben I1 áram folyik I1 áram hatására

kialakuló mágneses térben II. fluxusa ( Φ 2 ) arányos I1-el: Φ 2 = M 21 ⋅ I1 I. II. Φ 2 Ha I1 megváltozik, akkor a második kör I1 fluxusa is megváltozik, tehát a második körben feszültség indulálódik: dΦ 2 d dI U2 = 57. ábra = (M 21 ⋅ I1 ) = M 21 ⋅ 1 dt dt dt Hasonló a helyzet akkor ha a II. jelű vezetőben folyik áram (I2) és ennek változása eredményez az I vezetőben feszültséget Ekkor: Φ1 = M12 ⋅ I 2 és dΦ 1 d dI = (M12 ⋅ I 2 ) = M12 ⋅ 2 dt dt dt Kimutatható, hogy a két arányosságitényező egyenlő (M21 = M12 = M) és ez a kölcsönös indukciós együttható (M). U1 = A kölcsönös indukcióval kapcsolatban elmondottakra jó példa két tekercs, amelyek közül az egyik a másikban helyezkedik el úgy, hogy a két tekercs tengelye egybeesik. 40 1./ Mekkora feszültség indukálódik a belső tekercsben, ha a külső tekercs árama (I1) az idő függvényében változik? A külső (1.) tekercs hossz l1, menetszáma N1,

kereszmetszetének területe A1 míg ezek a jellemzők a belső (2.) tekercs esetében: l2, N2 és A2 (Feltételezzük, hogy az árammal átjárt tekercs belsejében homogén a mágneses tér, valamint azt, hogy a mágneses tér a tekercsen kívül elhanyagolhatóan kicsi.) A2 I1 A1 l2 l1 58. ábra N ⋅I B = µ⋅ 1 1 l1 A ⋅N ⋅N A 2. tekercs fluxusa: Φ 2 = B ⋅ A 2 ⋅ N 2 = µ ⋅ 2 1 2 ⋅ I1 l1 A 2. tekercsben indukálódó feszültség:  dΦ 2 d  A 2 ⋅ N1 ⋅ N 2 A ⋅ N ⋅ N dI U2 = − =  µ ⋅ ⋅ I1  = µ ⋅ 2 1 2 ⋅ 1 l1 dt dt dt  l1  (Az eredményből látszik, hogy ha I1 állandó nem indukálódik feszültség a 2. tekercsben) Az 1. tekercsben kialakuló mágneses tér indukciója : A 2 ⋅ N1 ⋅ N 2 l1 2./ Mekkora feszültség indukálódik a külső (1) tekercsben, ha a belső (2) tekercs I2 árama változik az idő függvényében? (A körülmények azonosak az "a" pontban megfogalmazottakkal. A mágneses tér csak a

belső tekercsben van) A kapott eredményből a kölcsönös indukciós együttható: M = µ ⋅ N2 ⋅ I2 l2 Az 1. tekercs fluxusa, figyelembe véve azt, hogy csak l2 hosszú darabjában és A2 felületenvan mágneses tér: N ⋅l Φ1 = B ⋅ A 2 ⋅ 1 2 l1 Az 1. tekercsben indukálódó feszültség: dΦ1 d  N 2 ⋅ I 2 N ⋅l  A ⋅ N ⋅ N dI =  µ ⋅ ⋅ A 2 ⋅ 1 2  = µ ⋅ 2 1 2 ⋅ 2 U1 = l1 dt dt dt  l2 l1  A 2. tekercsben kialakuló mágneses tér indukciója: B = µ⋅ A kapott eredményből a kölcsönös indukciós együttható: M = µ ⋅ A 2 ⋅ N1 ⋅ N 2 l1 41 A most megoldott feladatból is látszik - amit korábban is állítottunk - hogy M12 = M21. b./ Az önindukció Az önindukció lényege, hogy egyetlen vezető (ez rendszerint egy tekercs) van amelyben áram folyik és ennek az áramnak a változása eredményez fluxus változást a vezetőben (tekercsben) ami feszültséget indukál magában a vezetőben (tekercsben). Ilyen

esetben az önindukciós feszültség: dI U i = −L ⋅ ahol L az önindukciós együttható dt Az előbb megoldott feladat eredményéből kiindulva könnyen meghatározhatjuk egy tekercs önindukciós együtthatóját azzal az ötlettel, hogy úgy gondolkozunk, hogy mind a két 42 A most megoldott feladatból is látszik - amit korábban is állítottunk - hogy M12 = M21. b./ Az önindukció Az önidukció lényege, hogy egyetlen vezető hurok (ez rendszerint egy tekercs) van amelyben áram folyik, és ennek az áramnak a változása eredményez fluxus változást a vezető hurokban (tekercsben), ami feszültséget indukál magában a vezetőben (tekercsben). Ilyen esetben az önindukciós feszültség: U i = −L ⋅ dI dt ahol L az önindukciós együttható. Egy tekercs önindukciós együtthatója hasonló módon állapítható meg mint ahogy korábban kiszámítottuk a kölcsönös indukciós együtthatót. Most más utat választunk Az előbb megoldott feladat

eredményéből kiindulva közvetlenül megkaphatjuk az önindukciós együtthatót ha azt képzeljük el, hogy a két tekercs szerepét egyetlen tekercs veszi át. Ez azt jelenti, hogy N1 = N2 = N, valamint A1 = A2 = A. Így az önindukciós együttható: L = µ⋅ N2 N2 N2 ⋅ A = = l l Rm µ⋅A ahol Rm a tekercs mágneses körének mágneses ellenállása. L= N2 Rm A most kapott kifejezés az induktív mérőátalakítók működési elve. Ezeknél az eszközöknél egy nem villamos mennyiség változása mágneses ellenállás-változást hoz létre, ami az önindukciós együttható változását eredményezi. Az önindukciós együttható mérése segítségével meghatározhatjuk a nem villamos mennyiség aktuális értékét. A mágneses ellenállás változtatása a mágneses úthossz, a keresztmetszet és a permeabilitás változtatásával lehetséges. c./ A váltóáramú generátor elve (Homogén mágneses térben forgatott tekercsben indukálódó feszültség.) ω

Homogén mágneses térben, az indukcióB vonalakra (B) merőleges tengely körül ω szögsebességgel A felületű és N menetű vezetőkeret forog. n α Egy menet fluxusa: Φ1 = B ⋅ A ⋅ cos α N menetű tekercs fluxusa: Φ N = N ⋅ B ⋅ A ⋅ cos α Állandó szögsebesség esetén: α = ω ⋅ t Így a tekercs fluxusa Φ N = N ⋅ B ⋅ A ⋅ cos ω ⋅ t 59. ábra 43 A forgó keretben indukálódó feszültség: Ui = − dΦ d = − (N ⋅ B ⋅ A ⋅ cos ω ⋅ t ) = ω ⋅ N ⋅ B ⋅ A ⋅ sin ω ⋅ t dt dt Ennek az időben színuszosan változó feszültségnek a maximális értéke: U max = ω ⋅ N ⋅ B ⋅ A A csúcsérték bevezetésével a szinuszos váltakozó feszültség: u (t ) = U max ⋅ sin ω ⋅ t A vizsgált összeállítás lényegében a váltóáramú generátor modellje