Physics | Higher education » Mozgások leírása, kinematika

Mozgások leírása, kinematika A természet legszembetűnőbb változása a testek mozgása. A mozgások jellemzőinek leírásával foglalkozik a kinematika. I. Alapfogalmak: Mozgásnak nevezzük testek környezetükhöz viszonyított hely- illetve helyzetváltozását. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük testek azon csoportját, amelyhez más testek helyét, helyzetét viszonyítjuk. Általában ez egy koordinátarendszert jelent. Helyvektornak nevezzük a vonatkoztatási rendszer O kezdőpontjából a test pillanatnyi helyzetéhez húzott vektort. Jele: r Bármely test nyugalma és mozgása csak másik testhez képest jellemezhető. A mozgás leírása, jellemzői a vonatkoztatási rendszer megválasztásától függenek. (pl a pálya alakja stb) Pálya: az a folytonos vonal, amelyet a test mozgása közben befut. A pálya alakja, és a mozgás leírása is függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától! (pl. esőcseppek pályája talajhoz illetve a mozgó járműhöz

viszonyítva) Út: a pálya azon darabja, amelyet a test megadott idő alatt befut. Jele: s vagy s(t) vagy s Pontszerű testről beszélünk, ha egy test méreteitől, alakjától eltekintünk, mint a jelenség leírása szempontjából lényegtelentől. A pontszerű testet anyagi pontnak, tömegpontnak is nevezik Ha a Föld Nap körüli, vagy a Hold Föld körüli keringését vizsgáljuk, akkor a Hold, a Föld, sőt a Nap is pontszerűnek tekinthető. A Földön közlekedő gépkocsi mozgása esetén a Föld kiterjedésétől nem tekinthetünk el, de a gépkocsit jól modellezhetjük egy mozgó ponttal. Ugyanezt az autót sem vehetjük pontszerűnek, ha pl kerékcseréhez fel kell emelnünk az elejét. Elmozdulás: A mozgás kezdőpontjából a végpontjába mutató vektor Jele: r. Az elmozdulás-vektor megadható a mozgás végpontjaiba mutató helyvektorok különbségeként: r = r2 – r1 s = AB ív hossza II. A sebesség: jele: v mértékegysége: 1 m/s, 1 km/h 1m/s =

3,6 km/h Jelentése: a test helyének változását jellemző mennyiség. Megadja, hogy a test egységnyi idő alatt mekkora utat tett, vagy fog megtenni. Tipusai: a./ átlagsebesség: v kiszámítási módja: v  megtett út s  t eltelt idő Megadja, hogy a test átlagosan mennyi utat tett meg egységnyi idő alatt, függetlenül attól, hogy egyenletesen mozgott vagy nem. (Helyesebb lenne az átlagos sebesség elnevezés, mivel kiszámítási módja eltér a hétköznapi beszédben használt átlag /számtani átlag kiszámításától! Annál jobban eltér az egyes sebességek számtani átlagától, minél inkább különböznek a menetidők egymástól!) b./ pillanatnyi sebesség: v Megadja, hogy a test mennyi utat tenne meg egységnyi idő alatt, ha mozgása nem változna a jövőben. Általában mozgás típusonként eltérő módon határozható meg képlet segítségével. Egyenletes mozgásnál megegyezik az átlagsebességgel v  s t Egyenletesen változó

mozgásnál: v  v 0  a  t Egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a pillanatnyi és az átlagsebesség megegyezik. A pillanatnyi sebesség vektormennyiség, azaz iránya és nagysága van. Nagyságára vonatkoznak a fentiek A sebesség iránya megadja a test mozgásának pillanatnyi irányát, azaz azt, hogy a test mely irányba folytatná a mozgását, ha a mozgás nem változna. Ez mindig a pálya adott pontbeli érintőjének irányába mutat (pl kalapácsvető) (1.ábra lentebb) Mozgások leírása, kinematika III. A gyorsulás jele: a mértékegysége: 1 m s2 jelentése: A gyorsulás a sebesség változását jellemző mennyiség. Megadja, hogy a test sebessége mennyit változik 1másodperc alatt. Mivel a sebesség vektormennyiség, így gyorsulásról is kétféléről beszélhetünk. a./ Pályamenti gyorsulás (általában ezt nevezzük egyszerűen gyorsulásnak ) A sebesség nagyságának változását jellemzi, megadja, hogy 1 másodperc alatti mennyit

változik a sebesség nagysága. a v v  v 0 sebesség megváltozása   t t eltelt idő ha a sebesség csökken, akkor a < 0, ha növekszik a > 0 b./ Centripetális gyorsulás A sebesség irányának (a mozgás irányának) változását jellemző mennyiség görbe vonalú mozgásoknál. a cp  v2 r ahol v a pillanatnyi sebesség, r pedig a pálya sugara (az adott ponthoz illesztett érintő kör sugara) A centripetális gyorsulás vektor, iránya a sebességre merőleges, a görbe adott pontjához illesztett kör középpontja felé mutat. v acp acp 1. ábra v IV. A mozgások osztályozhatók a pálya alakja, illetve a sebesség milyensége, a mozgás lefolyása szempontjából 1. 2. a./ A mozgás pályája szerint lehet egyenes vonalú: a sebesség iránya nem változik illetve görbe vonalú mozgás: a sebesség iránya változik, mindig a görbe érintőjének irányába mutat (1. ábra) b./ A mozgás más szempontból lehet egyenletes mozgás: a

test bármely egyforma időközök alatt azonos utakat tesz meg ; változó mozgás: a test egyforma időközök alatt nem egyforma utakat tesz meg; Egyforma utak megtételéhez különböző időre van szükség (pl. kétszer akkora utat nem kétszer annyi idő alatt tesz meg) A sebesség milyensége szerint beszélhetünk arról, hogy : a./ b./ a sebesség állandó, sem iránya sem nagysága nem változik. Ekkor beszélünk egyenes vonalú egyenletes mozgásról. a sebesség változik:  a nagysága változik, iránya nem változik. Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásról beszélünk, ha a = állandó  a sebesség iránya változik, nagysága nem változik. Ide tartozik az egyenletes körmozgás.  a sebesség iránya és nagysága is változik.(Például gyorsuló körmozgás, rezgőmozgás) Az egyes mozgásokat leíró összefüggések (képletek) megtalálhatók a függvénytáblázatokban! Mozgások leírása, kinematika A mozgó testek által megtett

úttal kapcsolatban meg kell jegyeznünk, hogy a sebesség – idő grafikonja alatti terület a megtett úttal egyenlő! Ebből a tényből az egyes mozgásokra levezethetők a megfelelő összefüggések. Egyenletesen gyorsuló mozgásnál, ha a kezdeti sebesség nulla: a v v  , tehát v  a  t t t Tudjuk, hogy a megtett út a sebesség-idő függvény alatti terület, ami most egy háromszög területe: s  Írjuk be v helyére a v  a  t összefüggést, így s  Azt kaptuk tehát, hogy ha v ~ t, akkor s~ t2. v t 2 a t t a t2  2 2 Egyenletesen gyorsuló mozgásnál, ha a kezdeti sebesség nem nulla: A megtett út ismét a függvény alatti terület, ami most egy trapéz területe: s  A gyorsulás definíciója szerint: a  v  v0  állandó s innen v = v0 + a t t v0  v   t 2 Helyettesítsünk be az út-idő kifejezésbe: s v0  v0  a  t   t 2  v0  a  t   t  2 2 

v0  t  a t2 2 Általános esetben is igaz, hogy a megtett út a grafikon alatti terület. Matematikai probléma: hogyan lehet grafikon alatti területet kiszámítani általános esetben, ha az nem rakható össze síkidomokból? sebesség 8 6 4 S 2 0 0 1 2 idő 3 4 5 6 Mozgások leírása, kinematika V. Egy konkrét mozgás: A szabadesés A Földön (illetve bármely bolygó felszínén) a gravitáció hatására bekövetkező egyenletesen gyorsuló mozgás. Vizsgálatával először Galileo Galilei (1564 - 1641) foglalkozott. („pisai ferde torony”) Jellemzői:  Légüres térben (a légellenállástól eltekintve) a testek tömegüktől, méretüktől függetlenül egyformán, azonos gyorsulással esnek.  A gyorsulás értéke csak a földrajzi helytől függ: az egyenlítőn: g = 9,78 m/s2 a sarkokon: g = 9,83 m/s2 átlagos értéke. g = 9,81 m/s2  összefüggései: s g 2 t 2 és v  g t illetve s  v0  t  g 2 t 2 és v

 v0  g  t ha van kezdősebessége (a kezdősebességet pozitívnak vesszük, ha lefelé mutat!) VI. Periodikus mozgások A természetben előforduló mozgások a legritkábban bizonyulnak egyenletesnek vagy egyenes vonalúnak. Többnyire valamilyen értelemben változnak, változik a pálya alakja vagy a mozgásuk sebessége. Természetesen mindig az egyszerűt, a jellegzetesen változót vizsgáljuk, még ha a természetben ilyen ideális mozgás ritkán is fordul elő. Az egyszerűsítés, idealizálás legszembetűnőbb alapja lehet például az időbeli ismétlődés, mint annyi más a természetben előforduló jelenségnél is. Az időben ismétlődő, valamilyen értelemben azonos útszakaszokból felépülő mozgásokat nevezzük periodikus mozgásoknak. A periodikus mozgások esetében nem csak a test helye, de a mozgását jellemző sebessége és gyorsulása is bizonyos időközönként azonos értékeket vesz fel. Periodikus mozgások: Körmozgás, rezgő

mozgás, ingamozgás, de bizonyos értelemben a hullámmozgást is sorolhatjuk ide. Jellemzőik: 1. Periódusnak nevezzük a mozgás azon legrövidebb szakaszát, amely ismétlődik, melynek elején és végén a mozgást jellemző mennyiségek pontosan azonos értékeket vesznek fel. (hely, sebesség, gyorsulás), azaz a test mozgásállapota megegyezik. 2. Periódusidő: az ismétlődés ideje, a teljes periódus lejátszódásához szükséges idő jele: T 3. Fázisnak nevezzük a mozgás adott időpontbeli jellemzőinek összességét, tehát azonos fázisról beszélünk, ha minden jellemző értéke azonos a két időpillanatban. (vektorok egyezősége pl sebesség, gyorsulás!) 4. Az egységnyi idő alatt lejátszódó teljes periódusok számát frekvenciának (rezgésszámnak) illetve a körmozgás esetén fordulatszámnak nevezzük. Jele: f mértékegysége: 1/ sec = 1 Hz (hertz) ; 1/ perc Összefüggés: periódusidő és a frekvencia egymás reciprokja: 1  f T A többi

jellemző mozgásonként eltérő, ezek a sebesség, gyorsulás, és mozgás dinamikai feltétele. Az egyenletes körmozgásnál megkülönböztetünk kerületi sebességet (vk ) és szögsebességet ( ω ). A kerületi sebességet nevezzük pálya menti sebességnek is. vk  befutott ív 2r  eltelt idő T   elfordulás i szög 2  eltelt idő T vk = rω Az elfordulási szöget radiánban (ívmérték) fejezzük ki, egy kezdeti rögzített helyzethez viszonyítva a nagyságát! Az elfordulási szög és a szögsebesség a test valamilyen rögzített, kitüntetett helyzethez viszonyított helyzetváltozását jellemzi. A kerületi sebesség mindig érintő irányú, tehát változik az iránya, így értelmezhető a kör középpontja felé mutató centripetális gyorsulás: acp v2  v    r  2 r (1. ábra fent)