Physics | Studies, essays, thesises » Dr. Szíki Gusztáv Áron - Kinematika és kinetika

A A A A A r r r r     O O   l  l B Kinematika és kinetika Jegyzet I. A r  A r  O  O  r  O  l  l l B A B A l r r   O O   l l A Írta és szerkesztette: Dr. Szíki Gusztáv Áron r   O  O   O B A  B B A r r      l B  l B r O   l B B A r l l A O O  B r O  O l  O r  l A B A  l  r O O l A r  l  l B A r  O B A r r  B B A r l B A B A O  (Anyagi pont mozgása) B  B A r O l B A r O  l B A  l B  O  l  O r O  l B B 1. ANYAGI PONT MOZGÁSA 3 1.1 A PONT KINEMATIKÁJA 3 1.11 A PONT MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA SKALÁRMENNYISÉGEKKEL 3 1.111 Foronómiai függvények 3 1.112 Kapcsolatok a foronómiai függvények között 9 1.113 Az egyenletes és egyenletesen változó mozgás

foronómiai függvényei 9 1.12 A PONT MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA VEKTORMENNYISÉGEKKEL 12 1.121 Hely-idő függvény (mozgásfüggvény) és sebesség 12 1.122 Gyorsulás 14 1.123 Kapcsolatok a vektoriális mozgásjellemzők között 17 1.13 SPECIÁLIS MOZGÁSOK 19 1.131 Szabad mozgás állandó gyorsulással 19 1.132 Körmozgás 22 1.14 KISÉRŐ TRIÉDER, TERMÉSZETES KOORDINÁTARENDSZER 27 1.2 A PONT KINETIKÁJA 30 1.21 NEWTON TÖRVÉNYEI 30 1.22 ERŐK ÉS ERŐTÖRVÉNYEK 31 1.221 Gravitációs erő 32 1.222 Rugalmas erő 33 1.223 Közegellenállási erő 33 1.224 Kényszererők 34 1.23 A MOZGÁS DIFFERENCIÁL EGYENLETE 36 1.24 A KINETIKA ALAPTÉTELEI 36 1.241 Impulzustétel 37 1.242 Munkatétel és teljesítmény 38 1.243 Perdülettétel 40 1.25 ERŐTEREK 41 1.251 Erőtér típusok, potenciális energia 41 1.252 Munkavégzés és potenciális energia homogén és centrális erőterekben 44 1.253 Az F (r ) függvény meghatározása az U (r )

függvény ismeretében 1.26 PÉLDÁK 48 50 1.261 Szabad mozgás homogén gravitációs térben 50 1.262 Kényszermozgás vízszintes síkon, centrális rugóerőtérben 51 1 1.263 Kényszermozgás adott görbén, homogén gravitációs erőtérben 56 1.2631 Kényszermozgás egyenes vonalú pályán 57 1.2632 Kényszermozgás körpályán 61 1.2633 Kényszermozgás tetszőleges síkgörbén 63 1.264 Matematikai inga mozgása 64 1.2641 Síkinga 64 1.2642 Kúpinga 68 2 1. ANYAGI PONT MOZGÁSA Mozgástani tanulmányainkat olyan problémák vizsgálatával kezdjük, amelyekben a vizsgált test mérete elhanyagolható a problémában szereplő egyéb méretekhez képest. Ekkor a test anyagi ponttal modellezhető. Az anyagi pont egy geometriai pont, amely tömeggel rendelkezik. (Egy gépkocsi Magyarország térképén például anyagi pontnak tekinthető) Ha egy kiterjedt testet gondolatban – méretéhez képest elhanyagolható nagyságú – darabokra bontunk,

(például „kockákra vágunk”) szintén anyagi pontokat kapunk (1. ábra) Test Anyagi pont 1. ábra Így az anyagi pontra nyert ismereteinket felhasználhatjuk a kiterjedt testek vizsgálatánál. 1.1 A PONT KINEMATIKÁJA 1.11 A PONT MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA SKALÁRMENNYISÉGEKKEL 1.111 Foronómiai függvények Az anyagi pont mozgása során egy térgörbén halad végig, amelyet a mozgás pályájának nevezünk (2 ábra). Ha a mozgás pályája adott, akkor azon az anyagi pont helye egy előjeles skalármennyiséggel megadható. Ehhez jelöljük ki a pályán egy O vonatkoztatási pontot, és egy pozitív irányítást. s P O Pálya 2. ábra 3 Pálya irányítása A P anyagi pont helyét a pályán az O-tól mért előjeles ívhossz ( s ) – amelyet pályakoordinátának vagy kitérésnek nevezünk – egyértelműen meghatározza. Ha a P pont az O-tól pozitív irányban van, akkor s pozitív, ha az O pontban, akkor nulla, egyébként pedig negatív. Így,

szemléletesen szólva, a pálya egy „görbe számegyenes” lesz, amelynek az origója az O pont. Az pályakoordináta SI egysége a méter ( s  m) Példaként tegyük fel, hogy a térképen ismerjük egy gépkocsi útvonalát, és az útvonalon a nulla kilométerkő pontos helyét. Ha megadjuk, hogy a kilométerkőtől merre és pontosan hány kilométer távolságban van a gépkocsi, akkor megadtuk annak pontos helyét a térképen. Ahogy az anyagi pont halad a pályán, helyét időről-időre más pályakoordináta érték jellemzi. A pályakoordinátát megadva az egymást követő időpillanatokban, megkapjuk az anyagi pont s( t ) pályakoordináta-idő függvényét. A pályán mozgó P anyagi pont helyét egyenlő, t nagyságú időközönként megjelöltük (P0, P1, P2. )(3 ábra) S 2  S1 S 0 . O . S0 S1 . . S3 P3 S2 P2 P1 P0 3. ábra Ábrázoljuk az s pályakoordinátát, mint az eltelt idő függvényét (4. ábra) Az ábrán látható

esetben például a si ívhosszak monoton nőnek az eltelt idővel, tehát a mozgás sebessége növekszik, azaz a mozgás gyorsuló. 4 st  s3 s 2 s2 s1 s0  s1 s 0 t0 t1 t2 t3 t 4. ábra Az i -edik szakaszon a pont átlagos sebességét a si hányados szolgáltatja. A t t időtartam csökkentésével a fenti hányados egyre inkább a t i időpillanatra lesz jellemző. Ez alapján például a s0 s0 hányados a t0 időpillanatra. Ha t  0 , akkor a hányados t t pontosan a t0 időpillanatbeli v0 sebességet adja. Matematikai megfogalmazásban: s s ds s0  lim 1 0  0 , t1 t0 t  t t 0 t dt 1 0 v0  lim m v  s /1.1/ Az /1.1/ összefüggéssel értelmezett sebességet pálya menti sebességnek, vagy röviden pályasebességnek nevezzük. Az /11/ formula alapján a pályasebesség-idő függvény, a pályakoordináta-idő függvény idő szerinti deriváltja. Az idő szerinti

deriválást ponttal jelölve: v( t )  ds( t )   s( t ) dt /1.2/ Matematikából ismert, hogy egy függvény egy adott pontbeli érintőjének meredeksége megegyezik a függvény deriváltjának értékével. Ezek alapján az s( t ) függvény t 0 pontbeli érintőjének meredekségét leolvasva, megkapjuk a t 0 pontbeli pályasebesség értékét! Most ábrázoljuk a pályasebességet az eltelt idő függvényében (5. ábra)! 5 vt  v3 v 2 v2 v1 v0 v1 v 0 t0 t1 t2 t3 t 5. ábra A pont gyorsulására az i -edik szakaszon a vi hányados jellemző. Az ábrán látható esetben t például a vi pályasebesség-változások monoton nőnek az eltelt idővel, tehát a mozgás gyorsulása növekszik. Minél nagyobb/kisebb a fenti hányados, annál nagyobb/kisebb az adott t időtartamban az átlagos gyorsulás. A pillanatnyi pálya menti vagy röviden pályagyorsulást a pályasebességhez hasonlóan differenciálhányadosként

értelmezzük. Például a t0 időpillanatban: v v dv v0  lim 1 0  0 , t1 t0 t  t t 0 t dt 1 0 a0  lim m a 2 s  /1.3/ Azaz a pályagyorsulás-idő függvényt a pályasebesség-idő függvény idő szerinti deriválásával kapjuk: a( t )   dv( t )   v( t )  s ( t ) dt /1.4/ A pályagyorsulásnak, ugyanúgy ahogyan a pályasebességnek, szemléletes geometriai jelentése van. Nevezetesen, a v( t ) függvény t 0 pontbeli érintőjének meredekségét leolvasva, megkapjuk a t 0 pontbeli pályagyorsulás értékét! Ha a pályagyorsulást ábrázolhatjuk az idő függvényében, akkor az pályagyorsulás-idő függvényt kapjuk. Az s( t ) , v( t ) és a( t ) függvényeket összefoglaló néven foronómiai függvényeknek nevezzük. A foronómiai függvényeket általában együtt, egymás alatt ábrázoljuk. Mint látjuk, az s( t ) függvény ismeretében a v( t ) , a v( t ) függvény ismeretében az a( t )

idő szerinti deriválással meghatározható. Nézzünk meg most néhány példát 6 1. mintafeladat Az alábbi ábrán egy anyagi pont pályasebességét ábrázoltuk az idő függvényében. Határozzuk meg a mozgás egyes szakaszain a pályagyorsulás értékét, és rajzoljuk fel a mozgás pályagyorsulás-idő függvényét! m v  s 6 0 3 2 1 4 3 2 5 -2 10 15 t s  -4 -6 -6 Megoldás Az egyes szakaszok meredekségét leolvasva kapjuk a pályagyorsulások értékét! 1. szakasz: a0   6  ( 2 ) m  1 2  4 0 s  2. szakasz: a1  0 0 m  0 2  6 4 s  3. szakasz: a 2  3  ( 6 ) m  3 2  9 6 s  4. szakasz: a3  0 0 m  0 2  15  9 s  Az pályagyorsulás-idő függvény: m a 2  s  6 0 4 3 2 1 3 2 -1 -2 5 10 -4 -6 7 15 t s  2. mintafeladat Egy anyagi pont pályakoordináta-idő

függvénye s( t )  t 3  6 t 2  2t  1 m  alakú. Az időt másodpercben mérjük. Határozzuk meg a pont pályasebesség-idő és pályagyorsulás-idő függvényeit, majd ábrázoljuk a függvényeket a( t ) , v( t ) , s( t ) sorrendben! Megoldás:    m m v( t )  s( t )  3t 2  12t  2   , a( t )  v( t )  s ( t )  6 t  12  2  s  s m a 2   s  30 20 10 0 -8 -6 -4 -2 0 2 t s  4 0 -10 0 2 t s  4 -10 -20 -30 m v  s 50 40 30 20 10 -8 -6 -4 -2 sm -20 40 30 20 10 0 -8 -6 -4 -2 -10 0 2 t s  4 -20 Az ábra jól szemlélteti a következő, általánosan is igaz megállapításokat:  Azokon a szakaszokon, ahol a pályagyorsulás értéke pozitív, ott a pályasebesség-idő függvény szigorúan monoton növekvő, ahol negatív, ott csökkenő. A pályasebesség és pályakoordináta-idő függvény esetében

analóg állítás érvényes.  Ahol a pályagyorsulás értéke előjelet vált a pályasebesség-idő függvény ott (és csak ott) veszik fel minimális és maximális értékeiket. A pályasebesség és pályakoordinátaidő függvény esetében analóg állítás érvényes  Azokon a szakaszokon ahol a pályagyorsulás pozitív, ott a pályakoordináta-idő függvény konvex, ahol negatív ott konkáv.  Ahol a pályagyorsulás értéke előjelet vált, a pályakoordináta-idő függvénynek inflexiós pontja van. Ezek a tulajdonságok a matematikai függvényvizsgálatnál tanultakból következnek. 8 1.112 Kapcsolatok a foronómiai függvények között    Eddig már két kapcsolatot megállapítottunk: v( t )  s( t ) , a( t )  v( t )  s ( t ) . Ezek felhasználásával az s( t ) függvény ismeretében a v( t ) , a v( t ) függvény ismeretében az a( t ) függvény meghatározható. Vajon fordított esetben tudunk-e eljárást adni?

Azaz meg tudjuk-e határozni az a( t ) függvény ismeretében a v( t ) , a v( t ) függvény ismeretében az s( t ) függvényt, és ha igen akkor milyen további információk birtokában? A válaszhoz alakítsuk át a pályagyorsulás és pályasebesség közötti összefüggést néhány lépésben! a( t )  dv( t )  a( t )dt  dv dt A bal- és jobboldal határozott integrálját véve a t 0 , t és a hozzájuk tartózó v0 és v1 határok t1 v1 t0 v0  a( t )dt   dv  v között: 1  v0 Átrendezve: t1 v1  v0   a( t )dt /1.5/ t0 Azaz a v0 kezdeti pályasebesség, és a pályagyorsulás-idő függvény ismeretében a pályasebesség értéke tetszőleges t1 időpillanatban számolható! Hasonlóan átalakítva a pályasebesség-idő és pályakoordináta-idő függvény közti /1.2/ összefüggést: t1 s1  s0   v( t )dt /1.6/ t0 Azaz az s0 kezdeti pályakoordináta, és a pályasebesség-idő függvény ismeretében a

pályakoordináta értéke tetszőleges t1 időpillanatban kiszámolható! 1.113 Az egyenletes és egyenletesen változó mozgás foronómiai függvényei A címben szereplő egyszerű mozgástípusokkal gyakran találkozunk feladatmegoldás során. Határozzuk meg, majd ábrázoljuk foronómiai függvényeiket! Egyenletes mozgásról akkor beszélünk, ha: a( t )  0 . Legyen t0  0 9 t1 v1  v0   0 dt  v0  v( t )  v0 /1.7/ 0 t1 s1  s0   v0 dt  s0  v0 t 1  s( t )  s0  v0 t /1.8/ 0 Egyenletesen változó mozgásról akkor beszélünk, ha a( t )  a  állandó 0 . Legyen t0  0 . t1 v1  v0   adt  v0  at1  v( t )  v0  at /1.9/ 0 t1 a 2 s1  s0   ( v0  at )dt  s0  v0 t 1  t 1 2 0 Egyenletes a(t) a(t)  s( t )  s0  v0 t  a 2 t 2 /1.10/ Egyenletesen változó a a=0 t0=0 v(t) v0 t1 t0=0 t v(t )  v0 t t1 t v(t )  v0  at v0 t0=0 s(t)

t1 t t0=0 s(t) s1 s1 s(t )  s0  v0 t s0 t1 v(t) v1 s(t )  s 0  v0 t  s0 t0=0 t1 t0=0 t a 2 t 2 t t1 6. ábra 3. mintafeladat Egy anyagi pont a( t ) függvényét megadtuk. Továbbá ismerjük a t  0 időpillanatban az pályakoordináta és pályasebesség értékét. Adatok: m a 2  s  1 s0  2m m v0  2   s 5 10 -1 Rajzolja fel a mozgás v( t ) és s( t ) függvényét! 10 15 t s  Megoldás Kiszámítjuk az egyes szakaszok végpontjaiban a pályasebesség és pályakoordináta értékét, majd ábrázoljuk a v( t ) és s( t ) függvényeket. Az egyes szakaszok időtartamát jelöljük t i vel 2m 0. szakasz: a0   2  3 s  a 1 2 m 2 v1  v0  a0 t0  2  6  2   , s1  s0  v0 t 0  0 t 0  2  2  6  6 2  2m 2 3 3 s m 1. szakasz: a1  0  2  s  m m s 2  s1

 v1 t 1  2  2  2  2   v 2  v1  2   , s s m 2. szakasz: a2  1 2  s  a 1 m 2 s 3  s 2  v 2 t 2  2 t 2  2  2  2  2 2  4m v3  v2  a 2 t 2  2  2  0   , 2 2 s A parabolaívek szerkesztéséhez példaként tekintsük a 2. pályaszakaszt m a 2  s  1 0 1 2 5 10 15 t s  5 10 15 t s  1 m v  s 6 4 2 3 2 4 sm h0 h0 a0 ( t 0 )2  3m 8 h1  0m h0  6 8 6 4 2 2 4 6 8 4 2 5 2 10 5 11 2h2 15 h2   a 2 ( t 2 )2  0 ,5m 8 t s  F2 4 2 P3 h2 F1 P2 h2 F a 2 ( t 2 )2 h2    0 ,5m 8 f 8 9 10 t 2 Először a pályaszakasz P2 kezdő és P3 végpontját egy egyenes szakasszal összekötjük, majd az így kapott szakasz F felező pontján át az s tengellyel párhuzamost húzunk (f egyenes). Az f

egyenesen, az F felező pontból kiindulva, egyszer (F1 pont), majd még egyszer (F2 pont) felmérjük a  a 2 ( t 2 ) 2 előjeles mennyiséget. Az így kapott F2 pontot összekötve a P2 és P3 8 pontokkal megkapjuk a parabolaív P2 és P3 pontbeli érintőit. Ezt követően az F1 ponton át megrajzoljuk a parabolaívet. Ha a pályagyorsulás értéke pozitív, akkor a parabolaív az P2 P3 szakasz alatt, ha negatív, akkor pedig fölött fut. 1.12 A PONT MOZGÁSÁNAK LEÍRÁSA VEKTORMENNYISÉGEKKEL Ha a mozgást skaláris jellemzőkkel kívánjuk leírni, akkor ismernünk kell az anyagi pont pályát. Általában ez nem áll fenn, a feladat gyakran éppen a pálya meghatározása Ekkor a mozgás leírásához vektoriális mozgásjellemzőket kell bevezetni. 1.121 Hely-idő függvény (mozgásfüggvény) és sebesség Tüntessük fel a mozgó anyagi pont helyét egyenlő, t időközönként (P1, P2, P3, pontok, 7. ábra)! Az egyes Pi pontokhoz tartozó helyvektorokat jelölje

r i 12 e0 r 0 P0 v0 P1 r1 P2 r1 r0 r 2 r2 P3 r3 O pálya 7. ábra A helyvektort megadva az idő függvényében megkapjuk a pont r( t ) helyvektor-idő, vagy más néven mozgásfüggvényét. Vezessük be az elmozdulás vektort, mint két, időben egymást követő helyvektor különbségét. A későbbi időponthoz tartozó helyvektorból vonjuk ki a korábbi időponthoz tartozót (7. ábra) Például r 0  r 1  r 0 A sebességet hasonlóan értelmezzük, mint a skaláris jellemzők esetén, csak most a si ívkoordináta-megváltozás helyett, a  r i elmozdulást használjuk a definícióban. Például a t0 időpillanatbeli sebességet a következőképpen írhatjuk: r 0 r1  r0 dr0  lim  t 0 t t1 t0 t  t dt 1 0 v 0  lim /1.11/ Azaz a sebesség-idő függvény, a hely-idő függvény idő szerinti deriváltja: v( t )  d r( t )   r( t ) dt /1.12/ A t időtartamot nullához közelítve a r 0

elmozdulás nagysága tart a s0 ívhosszéhoz, így a /1.11/ összefüggéssel definiált sebességvektor nagysága megegyezik a korábban értelmezett pályasebességével. Továbbá, a t időtartamot nullához közelítve a r 0 elmozdulás fokozatosan befordulnak a pálya adott pontbeli e0 érintőjének irányába. Ebből adódik, hogy a d r elemi elmozdulás – és ezáltal a sebesség – mindig érintőirányú a pályához. 13 1.122 Gyorsulás A gyorsulásvektor értelmezéséhez tekintsük a 8. ábrát! hodográf a0 a1 a2 pálya c, v1 v0 v2 a1 a2 hodográf v0 a0 v1 v3 a, v 0 O v 2  v1 v3 v 2 b, 8. ábra Az ábra a részén felrajzoltuk az anyagi pont pályáját és feltüntettük rajta az anyagi pont sebességvektorát néhány, egymást követő sebességvektorokat az ábra b részén látható O időpillanatban. Ezt követően a pontból, mint közös kezdőpontból felrajzoltuk. A sebességvektorok végpontjai egy

görbét rajzolnak ki Ezt a görbét a mozgás sebesség-hodográfjának nevezzük. (Ez alapján persze a pályát helyvektor-hododráfnak is nevezhetnénk.) A gyorsulást az ábra b része alapján hasonlóan értelmezzük, mint ahogy azt a sebesség esetében tettük. Csak most a  r i elmozdulás helyett a  v i sebességváltozást használjuk a definícióban. Például a t0 időpillanatbeli gyorsulás: v 0 v1  v0 d v0  lim  t 0 t t1 t0 t  t dt 1 0 a 0  lim /1.13/ Szavakban megfogalmazva, a t0 időpontbeli gyorsulás a sebesség-idő függvény t0 időpontbeli, idő szerinti deriváltja. Ha a függvényekről beszélünk, akkor pedig azt mondjuk, hogy a gyorsulás-idő függvény a sebesség-idő függvény idő szerinti deriváltja: 14 a( t )   d v( t )   v( t )  r ( t ) dt /1.14/ Mint azt korábban említettük, a sebesség a pálya adott pontbeli érintőjének irányába mutat. Analóg módon adódik, hogy a

gyorsulás a sebesség-hodográf adott pontbeli érintőjének irányába mutat. Ez alapján a 8 ábra c részén feltüntettük a hodográfon a gyorsulásvektorokat Fontos eredményre jutunk, ha a gyorsulásvektorokat átmásoljuk az ábra a részére, a pálya megfelelő pontjaiba. Látható, hogy a gyorsulás mindig a pálya belseje (homorú oldal) felé mutat. Most vizsgáljuk meg részletesebben az a 0 gyorsulásvektort (9. ábra)! v1 v0  v0 v 0 n v0 v 0 v 0 e v0 a 0e P1 pálya a0 P0 v0 a 0n a, b, 9. ábra A 9. ábra a részén feltüntetett v 0  vektort, a v vektornak a v irányába történő 0 1 elforgatásával kaptuk. Bontsuk fel a v0 vektort a v 0 n  v 0 v 0 és a v 0 e  v 1  v 0 komponensekre, ekkor: v 0 v 0 n  v 0 e v 0 n v 0 e  lim  lim  lim  a 0 n  a 0e t 0 t t 0 t 0 t t 0 t t a 0  lim Mivel t  0 esetén /1.15/ v 0 e párhuzamos,

v 0 n pedig merőleges v 0 irányára, így a v 0 e v 0 n vektor párhuzamos, az a 0 n  lim vektor pedig merőleges a pálya P0 t 0 t t 0 t a 0 e  lim pontbeli érintőjére, és az utóbbi a pálya belseje (homorú oldala) felé mutat. Tehát a gyorsulás mindig felbontható egy érintőirányú, és egy rá merőleges normálirányú komponensre, ahol az utóbbi mindig a pálya belseje felé mutat. a  an  ae 15 /1.16/ 4. mintafeladat Egy rakétát egy 200m magas épület tetejéről indítunk. A rakéta síkmozgást végez, hely-idő  t 4  2t 2  [ m ] alakú. Az időt függvénye az ábrán vázolt koordinátarendszerben r( t )   2   200  4 ,9t  másodpercben mérjük. y 200 m x a, Adja meg a rakéta v( t ) sebesség-idő függvényét, és a sebesség nagyságát az indítást követően 4s -mal! b, Adja meg a rakéta a( t ) gyorsulás-idő függvényét, és a gyorsulás nagyságát az

indítást követően 4s -mal! c, Adja meg a rakéta pályájának y  f ( x ) egyenletét! Megoldás a, A sebesség-idő függvényt a hely-idő függvényből idő szerinti deriválással kapjuk. A deriválást koordinátánként végezzük el.     4t 3  4t  m x( t )   v( t )  r( t )          9 ,8t  s   y( t )   A sebességvektor az indítás után 4s -al:  4  4 3  4  4   272   m        v( 4 )     9 , 8  4     39,2   s  2 2 m A sebesség nagysága: v( 4 )  v x ( 4 ) v y ( 4 )  274,81  s b, A gyorsulás-idő függvényt a sebesség-idő függvényből idő szerinti deriválással kapjuk:    2  v x ( t )   12t  4   m  a( t )  v( t )     2  v ( t )    9 ,8   s   y   16 A

gyorsulásvektor komponensei az indítás után 4s -al:  12  4 2  4   196  m      2  a( t )      9 ,8    9 ,8  s  2 2 m A gyorsulás nagysága: a( 4 s )  a x ( 4 ) a y ( 4 )  196,24 2  s  c, Az x( t ) és y( t ) koordináta-idő függvényekből az időt, mint paramétert kiküszöbölve kapjuk a pálya egyenletét. I. x  t 4  2t 2 II. y  200  4 ,9t 2  t 2  200  y 4 ,9 2 2 2  200  y   200  y   200  y   204,9  y  I. x    1  1     2   1  4 ,9   4 ,9   4 ,9   4 ,9  Az I. egyenletből a pálya egyenlete: y  4,9 x  1  204,9 1.123 Kapcsolatok a vektoriális mozgásjellemzők között    Eddig már két kapcsolatot megállapítottunk: v( t )  r( t ) , a( t )  v( t )  r ( t ) . Ezek felhasználásával az r( t )

függvény ismeretében a v( t ) , a v( t ) függvény ismeretében az a( t ) függvény meghatározható. Vajon fordított esetben tudunk-e eljárást adni, úgy ahogy azt a foronómiai függvények esetében tettük? Végezzünk itt is hasonló átalakításokat! a( t )  d v( t )  a( t )dt  d v dt t1 v1 t0 v0  a( t )dt   d v  v  v0 1 t1 Átrendezve: v 1  v 0   a( t )dt /1.17/ t0 Azaz a v 0 kezdeti sebesség, és a gyorsulás-idő függvény ismeretében a sebesség értéke tetszőleges t1 időpillanatban meghatározható. Ugyanúgy, ahogy a pályasebesség a skaláris mozgásjellemzők esetében! Hasonlóan kapjuk a helyvektorra: t1 r 1  r 0   v( t )dt t0 17 /1.18/ 5. mintafeladat  2t  m   2  gyorsulás-idő függvény szerint szabad mozgást végez. Egy anyagi pont a( t )     9 ,81 s  A pont kezdeti r 0 helye és v 0 sebessége ismert. Az időt másodpercben mérjük 

5  m   10 Adatok: r 0   m , v 0     . 5  3  s  Kérdések: a, Adjuk meg a pont gyorsulásvektorát, és gyorsulásának nagyságát annak indulása után 3smal! b, Adjuk meg a pont v( t ) sebesség-idő függvényét, és a sebesség nagyságát, az indulást követően 4s-mal! c, Adja meg a pont r( t ) hely-idő függvényét (mozgásfüggvényét), és a pont kiinduló ponttól mért távolságát, az indulását követően 2s-mal! Megoldás  2  3   6  m   2     a( 3 )     9 ,81   9 ,81 s  a, 2 2 m a( 3 )  a x ( 3 ) a y ( 3 )  11,5 2  s  b, A /1.17/ összefüggést alkalmazzuk Az összefüggésben legyen t0  0   t t  5  1  2t   5   t 2 01   5   t 1 2   5  t 1 2   m    dt     v 1  v 0   a(

t )dt            t1    3  9 ,81t   s   3  9 , 81 3 3  9 , 81 t    9 , 81 t   0        0 1 1  0  t1 Tehát a sebesség idő függvény:  5  t 2  m    v( t )     3  9 ,81t  s  2 2 m v( 4 )  v x ( 4 ) v y ( 4 )  41,88  s c, A /1.18/ összefüggést alkalmazzuk Az összefüggésben legyen t0  0 t1    1  3 1 3     5t  t t1 t1 5t 1  t 1  2    10  5t   10   10       3 0 3 dt           r 1  r 0   v( t )dt       t1     9 , 81 2  5 5 5 3  9 , 81 t 9 , 81          2   0 0 t1   3t   3t 1  t    2   2 0   1 3   

10  5t 1  t 1  3 m  9 , 81 2  5  3t  t1   1 2   18 1 3    10  5t  t  3 m r( t )    5  3t  9 ,81 t 2  2   Tehát a hely-idő függvény: A kiinduló ponttól mért távolság: 1 3    10  5  2   2   22,66  3    m r( 2 )   9 , 81  8 , 66 2  5  3  2    2  2   d  r( 2 )  r 0  ( x( 2 )  x0 )2  ( y( 2 )  y0 )2  18,62m 1.13 SPECIÁLIS MOZGÁSOK 1.131 Szabad mozgás állandó gyorsulással  Adott egy állandó gyorsulással mozgó anyagi pont. A gyorsuláson a kívül ismerjük     a pont kezdeti helyét r 0 és sebességét v 0 . A pálya nem ismert Határozzuk meg a mozgás sebesség-idő és hely-idő függvényt, majd adjuk meg a pont pályáját leíró egyenletet! Alkalmazzuk a /1.17/ és /118/ összefüggéseket, felhasználva,

hogy a  állandó! Legyen t0  0 . t1 vt 1   v 0   adt v 0  at 1  v( t )  v 0  at /1.19/, 0 t1   a 2 r t1   r 0   v 0  at dt r 0  v 0 t1  t1 2 0  r( t )  r 0  v 0 t  a 2 t 2 /1.20/ A mozgást Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben írjuk le. A koordinátarendszert úgy rögzítjük, hogy az anyagi pont kezdeti helyvektora és sebessége az xy síkba essen, továbbá a gyorsulás y tengely irányú és azzal ellentétes értelmű legyen (10. ábra). 19 y v0  a r0 x z 10. ábra Ekkor a gyorsulás, a kezdeti sebesség, és a kezdeti hely koordinátái:  0   v0 x   x0        a    a  , v 0   v0 y  , r 0   y 0   0  0  0        a  a  . Felhasználva a fenti kezdeti értékeket, és a /21/ és /22/ összefüggések kiírva az egyes koordinátákra:  v0 x 

 0   v0 x        v( t )  v 0  at   v0 y     a   t   v0 y  at   0   0   0        /1.21/  x0  v0 x t   0   x0   v0 x    a a 2     a  r( t )  r 0  v 0 t  t   y0    v0 y   t      t 2   y0  v0 y t  t 2  2 2    2  0  0    0      0    /1.22/ Látható, hogy az anyagi pont z irányban nyugalomban van, így mozgásának síkja az xy sík. Most határozzuk meg a pálya y  f ( x ) egyenletét! Fejezzük ki az időt az x( t ) függvényből, és helyettesítsük be az y( t ) függvénybe. Az egyszerűség kedvéért legyen x0  y0  0 x  v0 x t  t  x v0 x 2 y  v0 y v0 y x a x  a      x2  x 2 v0 x 2  v0 x  v0 x 2 v0 x /1.23/ Az egyenlet egy kis matematikai

ügyeskedéssel átírható az alábbi alakba: y   A( x  B )2  C /1.24/ Az A , B és C paraméterek értékét az alábbi összefüggések szolgáltatják: 20 A a 2 v0 x /1.25/, B  2 v0 x v0 y a /1.26/, C  v0 y 2 2a /1.27/ Ez egy parabola egyenlete. A parabola képét a B és C paraméterek szemléletes jelentésével együtt a 11. ábra tartalmazza y C B x 11. ábra Állandó gyorsulású szabad mozgásra példa a Földfelszín közelében mozgásba hozott, majd magára hagyott anyagi pont (elhajított kődarab, kilőtt lövedék) mozgása, ha a közegellenállástól eltekintünk. További példát jelent egy homogén elektrosztatikus térben mozgó töltött részecske mozgása, ha a részecskére ható elektrosztatikus erőn kívül minden más erőt elhanyagolunk. 6. mintafeladat A vízszinteshez képest milyen  szögben kell elhajítani egy pontszerű testet, hogy ugyanolyan magasra emelkedjék, mint amilyen távol ér vissza az

elhajítás szintjére? A közegellenállástól eltekintünk. Megoldás: m Ebben a feladatban a  g , ahol g a gravitációs gyorsulás értéke ( g  9 ,81 2  ). s  Jelöljük az elhajítástól a pálya tetőpontjának eléréséig eltelt időt t 1 -el. A tetőpontban a sebesség y irányú komponense nulla. Ezt felhasználva: v  v   v0 x    t1  0 y v( t 1 )   0 x     g  0   v0 y  gt 1  x r( t 1 )   MAX  y MAX v0 y   v0 x v t   0x 1 g       v0 y t 1  g t 1 2   v0 y g  v 0 y   2   v0 y    g 2 g  21   v0 x v0 y     g 2   v 2     0 y     2g       A földet érés helyének az elhajítás helyétől mért távolsága: 2v0 x v0 y d MAX  2  x MAX  A feladat feltétele szerint: g v0 y d max  y MAX  v0 x

 4  tg    76  1.132 Körmozgás Itt a pont pályája speciálisan körpálya, így célszerű az eddig használt skaláris kerületi mennyiségek ( a , v , s ) helyett szögmennyiségeket bevezetni. (12 ábra) O s P R  12. ábra Vegyünk fel a körpályán egy O vonatkoztatási pontot! Legyen az s pályakoordináta értéke az O pontban nulla. Vezessük be a  szögkoordinátát (szögkitérést), mint az s pályakoordináta és a sugár hányadosát, azaz  s R /1.28/ Ha a kör középpontja és sugara adott, akkor az anyagi pont síkban elfoglalt helyét a  szögkoordináta egyértelműen meghatározza. A definícióból adódóan a  szög forgásszög, így értéke tetszőleges valós szám lehet, előjele pedig megegyezik a pályakoordináta előjelével. A pályasebesség és pályagyorsulás mintájára bevezetjük a szögsebességet és szöggyorsulást, mint a  függvény idő szerinti első és második deriváltját. 

d   dt /1.29/,   d     dt /1.30/,  rad   rad  ,  2    s  s   Természetesen az így értelmezett szögsebesség előjele megegyezik a pályasebességével, a szöggyorsulás előjele pedig a pályagyorsuláséval. 22 Néhány átalakítást elvégezve, egyszerű kapcsolatot találunk a megfelelő szög- és kerületi ds d R 1 ds v     dt dt R dt R mennyiségek között: dv d 1 dv a  R    dt dt R dt R /1.31/ /1.32/ Mint látjuk a szögmennyiségek a megfelelő kerületi mennyiségekből egyszerűen, a sugárral való osztással kaphatók. Ezt felhasználva a /15/ és /16/ összefüggésekből adódnak az alábbiak: t1 1  0    ( t )dt /1.33/ t0 t1  1   0   ( t )dt /1.34/ t0 A fentiek miatt, a  ( t ) , ( t ) és  ( t ) függvényeket is foronómiai függvényeknek tekintjük. Egyenletes és

egyenletesen változó körmozgás Az egyenletes és egyenletesen változó körmozgás esetében a mozgás s( t ) , v( t ) és a( t ) függvényeit elosztva a körpálya sugarával, és felhasználva a kerületi és szögmennyiségek közti összefüggéseket, megkapjuk a megfelelő szögmennyiségek foronómiai függvényeit. Egyenletes körmozgás:  ( t )  0 ( t )  0  állandó ( t )  0  0 t /1.35/, /1.36/ Egyenletesen változó mozgás:  (t )    állandó 0 ( t )  0  t /1.37/,   ( t )   0  0 t  t 2 2 /1.38/ Most vizsgáljuk meg a mozgást leíró vektormennyiségeket! Ehhez célszerű bevezetni az n normálirányú, és az e érintőirányú egységvektorokat. Az n vektor a pálya minden pontjában merőleges a pálya érintőre, és a kör középpontja felé mutat, amíg az e egységvektor érintő irányú, értelme pedig egyező a pálya irányításával (13. ábra) 23 v0 

0 v 0  v 0 v 0 n v0 P0 e0 n0 v 0 v0 v 0e R v1 P1  0 O v1 13. ábra Írjuk fel a pont sebességét és gyorsulását a fenti egységvektorokkal, majd határozzuk meg koordinátáikat az egységvektorok által kifeszített koordinátarendszerben! A P0 pontbeli sebesség, mivel érintőirányú a pályához, és nagysága egyezik a pályasebességével, az alábbi alakban írható: v 0  v0 e0 /1.39/ Az összefüggésben v0 a P0 pontbeli pályasebesség. A P0 pontbeli gyorsulás az /116/ összefüggés alapján egy érintő és egy normálirányú komponensre bontható: a 0  a 0 n  a 0e  a0 n n 0  a0e e 0 /1.40/ Most határozzuk meg az a0 n és a0 e koordinátákat! 2 v0 n v0  0  0 v0 2 a0 n  lim  lim  v0 lim  v0  0   0 R t  0 t 0 t t 0  t t R v0 e v  v0  lim 1  a0   0 R t 0 t t 0 t a0 e  lim /1.41/ /1.42/ Az

összefüggésekben v0 és a0 a P0 pontbeli pályasebesség és pályagyorsulás. Tehát a P0 pontbeli gyorsulás: 2 a0  v0 2 n0  a0 e0  0 R n0   0 Re0 R 24 /1.43/ A sebesség- és gyorsulásviszonyokat a körpálya egy tetszőleges P pontjában a 14. ábra szemlélteti. v  ve , a e  ae , a n  v2 n R n e an O ae a v 14. ábra 7. mintafeladat Az R sugarú körpálya P0 kezdőpontjából v01 és v02 kezdeti pályasebességgel két anyagi pont indul mozgásnak. Az egyik egyenletesen gyorsuló, a másik egyenletesen lassuló mozgást végez. m m m m Adatok: v01  2   , v02  20  R  2m, a1  2  2  , a 2  2  2  . s s  s  s Kérdések: a, Rajzoljuk fel közös koordináta rendszerben a mozgások  ( t ) , ( t ) és  ( t ) függvényeit! b, Az indulás után mennyi idővel lesz a két pont szögsebessége egymással egyenlő? c, Mekkora a fenti

időpillanatban a pontok normális irányú gyorsulása és gyorsulásuk nagysága? d, Az indulástól számítva mennyi idő telik el addig, amíg a 2-es számú pont először lekörözi az 1-es számút? 25 Megoldás a, 2  rad   (1 / s ) 2  2 s   1,5 1-es 1 0,5 0 -0,5 0 1 2 3 4 -1 2-es -1,5 -2  rad    s    (1 / s) 12 10 2-es 8 6 4 1-es 2 0 0 1 2 3 4  (rad)  rad  40 35 32 30 2-es 25 2 20 2 15 12 10 1-es 2 2 5 0 0 1 2 3 4 v01 a m m  1  ,  1  1  1 2  1 ( t )  01   1 t R R s s  v a m m 02  02  10  ,  2  1  1 2   2 ( t )  02   2 t R R s s  Jelölje t * azt az időpillanatot, amikor a két pont szögsebessége egymással egyenlő. b, 01  Ekkor: 01   1t*  02   2 t  1  t  10  t  t  4 ,5s  rad 

m 2 c, 1   2  02   2 t*  10  1  t  5 ,5  , a n1  an 2   2 R  60,5  2    s  s  m m a e1  2  2  , ae 2  2  2  s  s  26 m m 2 2 2 2 a1  ae1  an1  60,53 2  , a 2  ae 2  a n 2  60,53 2  s  s  t a lekörözéshez tartozó időpontot. Az egyes pontok által a lekörözés d, Jelölje időpontjáig befutott szögek:  1   01 t  1 2 Tehát: 02 t   2   02 t  t 2 , 2 2 2 2 lekörözésnél:  2   1  2 t 2 t 2  01t   1 t 2  2  t 2  9t 2  0  2 t  0 ,76s  1.14 KISÉRŐ TRIÉDER, TERMÉSZETES KOORDINÁTARENDSZER A körmozgás vizsgálatánál bevezettük az érintőirányú, e és n normálirányú egységvektorokat, és levezettük a pont sebesség- és gyorsulásvektorára vonatkozó

/1.39/ és /1.43/ összefüggéseket A továbbiakban megmutatjuk, hogy a körpályára kapott eredmények általánosíthatók tetszőleges alakú, térbeli pálya esetére. Matematikából ismert, hogy a pálya minden P pontjához hozzárendelhető egy simuló (görbületi) kör. A pályát az adott pontban érintő körök közül, ennek a körnek az íve simul bele legjobban a pálya ívébe a P pont környezetében (15. ábra) pálya görbületi kör a R n simuló sík b v e P 15. ábra Ha a környezet elegendően kicsi, a pálya íve helyettesíthető a simuló kör ívével, azaz a mozgás a P pontban felfogható úgy, mintha a simuló körön történne. Ebből adódóan a körmozgásnál kapott összefüggések itt is érvényesek, csak a sugár itt a simuló kör sugara, az úgynevezett görbületi sugár lesz. A pálya tetszőleges P pontjához (feltéve, hogy a görbületi kör az adott pontban létezik) hozzárendelhető egy kísérő triéder, amelyet három,

egymásra páronként merőleges 27 egységvektor alkot ( e , n és b vektorok, 15.ábra) Az e érintő irányú egységvektor a pálya adott pontbeli érintőjének irányába mutat, értelme pedig a pálya irányításával egyező. Az n normális irányú egységvektort úgy vesszük fel, hogy a görbületi kör középpontja felé mutasson, tehát merőleges a pálya érintőjére, így az e egységvektorra. A b binormális irányú egységvektort az alábbi összefüggés értelmezi: b  en /1.44/ A vektori szorzat tulajdonsága alapján e , n és b jobbsodrású rendszert alkot. A sebesség- és gyorsulásvektort a /1.39/ és /143/ összefüggések alapján az alábbi alakban írhatjuk: v  ve /1.45/ v2 a n  ae R /1.46/ A /1.46/ összefüggésben R a görbületi sugár Mivel a gyorsulás az e és n egységvektorok síkjába esik, a binormális irányú gyorsulás mindig nulla. A simuló kör sugara a pálya egyenletének ismeretében bármely pontban

számolható. Itt csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor a pálya síkgörbe, és egyenlete y  f ( x ) alakban adott. Ekkor a görbületi sugarat egy tetszőleges x0 pontban az alábbi összefüggés szolgáltatja: 3 2 ( 1  y( x0 ) ) 2 R0  y( x0 ) /1.47/ 8. mintafeladat Az ábra egy hullámvasutat szemléltet. Az ábrán vázolt koordinátarendszerben a pálya egyenlete y  a  sin( bx ) alakú, továbbá az A, B és C pontokban ismerjük a kocsi sebességének nagyságát. Adatok: m v A  2  s m v B  18  s m vC  22  s m  y 15 A 10 v 5 B x m  25 0 0 10 20 30 -5 C -10 -15 28 40 50 Kérdések: a, Határozzuk meg az a és b paraméterek értékét a pálya egyenletében! b, Határozzuk meg a pálya görbületi (simuló) körének sugarát az A, B és C pontokban! c, Számítsuk ki a kocsi normális irányú gyorsulásának nagyságát a fenti pontokban! Megoldás

a, Írjuk fel az y  a  sinbx egyenletet, ha x  10 és x  20 ! I . 10  a  sinb  10 II. 0  a  sinb  20  0  sinb  20  b  20    b   20      10  a  sin   a  10  20  2 I . 10  a  sin   Tehát a pálya egyenlete: y  10  sin x   20  b, y x   10       cos x  , y ( x )  10 sin x  20  20  400  20  2 A pont: y 10 )  10 y 10  10          cos x   cos 10  cos   0 20  20  2  20  2 2 2       sin x   10 sin 10   400  20  400  20  40 2 RA  (1 0 ) 2  B pont: y 20  10 2  2 3 2  40 2 m 40         cos

x  )  cos 20  cos    20  20  2 2  20  2 y 10  10 2      sin x  )  10 sin 20  0 400  20  400  20  2 3 ( 1  02 )2 RB   0 C pont: y 25  10 y 25  10  2        5  cos x   cos 25  cos    20  20  2 4  20  2  4  2 2 2 2     sin x   10 sin 25  400  20  400  20  80 29 2 3  2  2   (1  ) 4   RC   19,13m 2 2 80 c, vA 2 m ,   RA 10  s 2  2 an A 2 2 an B v m  B  0 2  , RB s  an C v m  C  25,3 2  RC s  1.2 A PONT KINETIKÁJA 1.21 NEWTON TÖRVÉNYEI A kinetika alapját Newton négy törvénye képezi. Ezeket most anyagi pont mozgására fogalmazzuk meg,

majd később kiterjedt testek mozgására általánosítjuk. A mechanika alapfeltevése az, hogy mindig található olyan vonatkoztatási rendszer – úgynevezett inercia rendszer –, amelyben Newton törvényei teljesülnek. A műszaki mechanikában a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer ilyen. Az ehhez képest gyorsuló rendszerek nem inercia rendszerek. Bennük egy test akkor is gyorsuló mozgást végez, ha nincs kölcsönhatásban más testekkel. (Például egy gyorsuló járműben, mint vonatkoztatási rendszerben, egy tárgy akkor is gyorsulhat, ha a rá ható erők eredője nulla!) Newton törvényei tehát inercia rendszerben teljesülnek. Newton I. törvénye (tehetetlenség törvénye) Ha egy anyagi pont nincs mechanikai kölcsönhatásban más testekkel, akkor lendülete időben állandó. I  mv  állandó /1.48/ Mivel a vizsgált esetekben a testek tömegét állandónak vesszük, ebből az is következik, hogy a test sebessége állandó; azaz

egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, vagy nyugalomban van. Tehát a sebesség fenntartásához nem szükséges egy másik test hatása (A világűrben mozgásba hozva egy anyagi pontot, az egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, amig valamilyen égitesttel kölcsönhatásba nem kerül.) Newton II. törvénye (mozgásegyenlet): Ha egy anyagi pont mechanikai kölcsönhatásban van más testekkel, akkor azok hatása minden időpillanatban egyértelműen 30 meghatározza az anyagi pont lendületének időbeli változási gyorsaságát (deriváltját). A kölcsönhatás jellemzésére az erő nevű fizikai mennyiséget vezetjük be, jele F . Tehát: dI dt F /1.49/ Ha a tömeg időben állandó, akkor: F d I d ( mv ) dv  m  ma dt dt dt /1.50/ Az erő a kölcsönhatást leíró paraméterek függvénye. Függhet például az anyagi pontnak a testekhez viszonyított relatív helyétől, sebességétől, függvénye lehet az időnek, a

testek tömegének, és mint az 1.22 fejezetben majd látjuk, számos más paraméternek Tehát írhatjuk, hogy: F  F( r , v, t .) Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás törvénye): Egy test és egy anyagi pont kölcsönhatása során mindig teljesül, hogy: F tp  F pt /1.55/ Ahol F tp a test által a pontra, F pt pedig a pont által a testre kifejtett erő. Newton IV. törvénye (erőhatások függetlenségének elve): Ha egy anyagi pontra több test is hatást gyakorol, akkor a Newton II. törvényében szereplő F erő helyére azon F i erők vektoriális összegét kell írni, amelyeket a testek külön-külön, a többi test hiányában fejtenének ki a tömegpontra. Azaz az erők nem befolyásolják egymás hatását: F  Fi /1.56/ i 1.22 ERŐK ÉS ERŐTÖRVÉNYEK Most számba vesszük a műszaki mechanikában leggyakrabban előforduló kölcsönhatásokat, és megadjuk az erőnek a kölcsönhatás paramétereitől való függését, azaz az

erőtörvényt. Az erőtörvényeket általában kísérleti úton, méréssel határozzák meg 31 1.221 Gravitációs erő Bármely két tömeggel rendelkező test között fellép a gravitációs erő, amely mindig vonzó jellegű (16. ábra) m Fg M er r 16. ábra Az erő nagyságát pontszerű, vagy gömbszimmetrikus testek esetén az alábbi összefüggés adja, Fg   mM r2 /1.57/  Nm 2  a gravitációs állandó, m , M a két test tömege, r pedig a két 2  kg   ahol   6 ,679  10 11  test geometriai középpontjának távolsága. Az erő nagysága akkor érzékelhető, ha legalább az egyik test nagyon nagy tömegű (pl. egy égitest) Ebben az esetben be szokták vezetni a nagy, M tömegű test középpontjából a kis, képzett e r  m tömegű testhez mutató r helyvektort, vagy a belőle r egységvektort. Ekkor az m tömegű testre ható erő: r F g   Mm Mm e r   3 r 2 r r /1.58/ A műszaki gyakorlatban

a nagy tömegű test általában a Föld. A Föld felszínén, vagy annak közvetlen közelében mozgó testek esetén az r távolság változása az RF Földsugárhoz képest elhanyagolható, így a gravitációs erő nagysága állandónak tekinthető, és az alábbi, egyszerű formában írható: Fg   MF RF 2 m  gm  állandó /1.59/ Az összefüggésben g a gravitációs gyorsulás nagyságát, M F és RF a Föld tömegét és sugarát jelöli. Mivel a Föld nem tökéletesen gömb alakú, a gravitációs gyorsulás nagysága kis mértékben függ a földrajzi helytől, értéke Magyarország területén g  9 ,81 32 m . s2 1.222 Rugalmas erő Ha egy spirálrugót megnyújtunk, vagy összenyomunk akkor az a rugó hossztengelyével egyirányú, a megnyúlással/összenyomódással ellentétes értelmű erőt fejt ki. r P Fr r* P* r er C 17. ábra A rúgóerő előjeles nagyságát az alábbi összefüggés szolgáltatja, Fr  cr , N

 c  m /1.60/ ahol c a rúgóállandó vagy rugómerevség, r a rúgó megnyúlása/összenyomódása, amely megnyúlás esetén pozitív, összenyomódás esetén pedig negatív előjelű. A rúgóerőt vektorosan az alábbi összefüggés adja, F r  cre r  c( r  r* )e r /1.61/ ahol r * és r az anyagi pontnak a rugó rögzített C végponttól mért távolsága a rugó terheletlen, és megnyújtott (összenyomott) állapotában, e r pedig a C pontból az anyagi pont irányába mutató egységvektor. 1.223 Közegellenállási erő Egy folyadékban, vagy gázban mozgó testre közegellenállási erő hat, amely a test pillanatnyi sebességével azonos irányú, de ellentétes értelmű. Kis sebességek esetén az erő nagysága a közeghez viszonyított sebesség első, a sebesség növelésével egyre inkább annak második hatványával arányos. (Kis sebességről addig beszélünk, amíg a közeg örvénymentesen 33 áramlik a test

körül.) Ha a test speciálisan gömb alakú, kis sebességeknél teljesül a Stokestörvény: F  6R v /1.62/ Az összefüggésben R a gömb sugara  pedig a folyadék vagy gáz viszkozitása. A viszkozitás a folyadék belső súrlódását jellemzi. Nagyobb sebességeknél az erő nagyságára – számos gyakorlati esetben – teljesül az alábbi összefüggés: F  1 CAv 2 2 /1.63/ Az erőt vektorosan felírva: 1 F  CA vv 2 /1.64/ Az egyenletben szereplő C konstans az alaki tényező (a test „áramvonalasságát” jellemzi), az A konstans a test homlokfelülete (legnagyobb felülete a sebességre merőleges irányban),  a közeg sűrűsége. 1.224 Kényszererők Számos gyakorlati esetben a tömegpont csak egy előírt felület, vagy pálya mentén mozoghat. Erre példa egy vasúti kocsi, amely csak a sínen haladhat, vagy egy nyújthatatlan kötélre függesztett pontszerű test, amelynek mozgása egy gömbfelületre korlátozott. De

példaként említhetjük egy síkfelületű lejtőn, vagy hepehupás dombvidéken haladó gépkocsit, amelynek mozgási felülete a terepviszonyok által meghatározott. Az előírt pályán/felületen történő mozgást minden esetben egy merev (nem deformálható) test által kifejtett erő biztosítja. A fenti példákban a merev test a sín, kötél, lejtő, dombvidék, amelyeket összefoglaló néven kényszereknek nevezünk, a kényszerek által kifejtett erőt pedig kényszererőnek. A kényszererőkre mindig teljesül valamilyen feltétel. A kötélerő kötélirányú és húzó jellegű. Egy ideálisan sima, súrlódásmentes felület által kifejtett kényszererő a felületre merőleges irányú és nyomó jellegű. Egy súrlódásmentes görbe által kifejtett kényszererő pedig mindig a pálya érintőjére merőleges. A valóságban minden felületnek van érdessége, ami azt eredményezi, hogy a kényszererőnek a felület síkjába eső (görbe érintőjének

irányába mutató) komponense is van. Ezt a komponenst mozgó pont esetén csúszási súrlódási, míg nyugvó pont esetén tapadási 34 súrlódási komponensnek nevezzük. A csúszási súrlódási komponens mindig a tömegpont sebességével egyező irányú és ellentétes értelmű (18. ábra) Fk  Fs  Fn Fk Fk 0 Fn   Ft max n v Fs Fn Ft e Fk  Ft  Fn n e Súrlódási kúp 18. ábra Nagysága arányos a felületre (görbe érintőjére) merőleges komponens nagyságával. Fs  Fn , (   tg ) /1.65/ A felület érdességét jellemző  arányossági tényezőt (csúszási) súrlódási tényezőnek nevezünk. Nyugvó pont esetén, rögzített nagyságú Fn nyomókomponens mellett, az Ft tapadási súrlódási komponensnek létezik egy Ft max maximális értéke, amely fölé nem emelkedhet, mert akkor bekövetkezik a megcsúszás. Ez a maximális érték arányos az Fn komponens nagyságával. Az arányossági tényezőt

tapadási súrlódási tényezőnek nevezzük, jele: 0 Tehát: Ft max  0 Fn , ( 0  tg 0 ) Az elmondottakból adódik, hogy az F k kényszererő mindig egy olyan kúpon belül, vagy határesetben annak alkotóján helyezkedik el, amelynek csúcsa egybeesik az anyagi ponttal, szimmetria tengelye a nyomókomponens egyenese, fél nyílásszögét pedig az  0  arctg0 összefüggés definiálja. A fenti kúpot súrlódási kúpnak nevezzük (18 ábra) Az elmondottak alapján tehát mindig teljesül az alábbi egyenlőtlenség: Ft  0 Fn  Ft max 35 1.23 A MOZGÁS DIFFERENCIÁL EGYENLETE Az 1.22 számos fejezetben F i  Fi ( r ,v,t .)erőtörvényeket a F erő i erőtörvényét megadtuk. Az egyes  ma egyenletbe beírva, és felhasználva, hogy a i sebesség és a gyorsulás az r( t ) függvény idő szerinti első, és második deriváltja, egy differenciál egyenletet kapunk. A Föld gravitációs terében mozgó, m tömegű

anyagi pont differenciálegyenlete például  MFm  r( t )  m r ( t ) r3 alakú, egy folyadékban kis sebességgel mozgó, m tömegű golyóé pedig:   m g  6R r( t )  m r ( t )  A differenciálegyenletben ismeretlenként szerepel az r ( t ) gyorsulás-idő függvény, bizonyos  esetekben szerepelhet az r( t ) helyvektor-idő függvény vagy annak első deriváltja az r( t ) sebesség-idő függvény. A mozgásegyenlet megoldásának célja az r( t ) helyvektor-idő függvény, (ismert pálya esetén az s( t ) vagy  ( t ) függvény) meghatározása. Az r( t ) függvény ismeretében minden további, a mozgásra jellemtő fizikai mennyiséget származtatni tudunk (sebesség, gyorsulás, lendület.) A legegyszerűbb esetet az jelenti, ha az egyenletben szereplő erők nem függnek a tömegpont sebességtől és helyétől. Ekkor a gyorsulás-idő függvény a tömeggel való osztás után közvetlenül adódik. 1.24 A KINETIKA

ALAPTÉTELEI Newton II törvényéből kiindulva levezetünk néhány tételt. Ezek alaklmazásával egyes kinetikai problémák megoldása lényegesen differenciálegyenletének megoldásával. 36 egyszerűbb, mint a mozgás 1.241 Impulzustétel (lendülettétel) Írjuk fel Newton II. törvényét: F  ma Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát dt -vel, majd végezzünk el néhány átalakítást! Fdt  madt t 0 -tól t 1 -ig integrálva: t1 t1 t0 t0  F ( t )dt  m  a( t )dt  mv t1 Az  F ( t )dt 1  mv 0 /1.66/ mennyiség az eredő erő t0 ,t1  időtartamon leadott impulzusa. Vagyis az eredő t0 erő impulzusa tetszőleges időtartamon egyenlő az anyagi pont lendületének megváltozásával. Az eredő erő impulzusa az egyes erők impulzusainak összege:  F ( t )dt   F t1 t1 t0 t0 1  t1 t1 t0 t0 ( t )  F 2 ( t )  . dt   F 1 ( t )dt   F 2 ( t )dt  Speciálisan, ha F( t )  F

 állandó: Ft  F 1 t  F 2 t  .  mv 1  mv 0 /1.67/ Az impulzustétel különböző alakjai Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben:  Fx ( t )   m v1 x  m v0 x         m v m v F ( t ) dt F ( t ) dt    1y 0y    y t0  t0     Fz ( t )   m v1 z  m v0 z  t1 t1 Például x irányban: t1  F ( t )dt  mv x 1x  mv 0 x t0 Pálya-menti mennyiségekkel kifejezve: F  ma Fe  F e  mae  mae  ma 37 /1.68/ t1 t1  F ( t )dt   ma ( t )dt mv e t0 1  mv 0 /1.69/ t0 Azaz a lendület nagyságának megváltozása egyenlő az eredő erő pálya-menti komponensének impulzusával. Ha egy erő egy adott időtartamon belül mindvégig merőleges a pálya érintőjére, akkor az anyagi pont lendületének nagyságát nem változtatja meg. Speciálisan, ha Fe ( t )  Fe  állandó: Fe t  F1e t  F2e t .  mv1 

mv0 /1.70/ 1.242 Munkatétel Írjuk fel Newton II. törvényét: F  ma Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát skalárisan az elemi d r elmozdulással, majd végezzünk el néhány átalakítást!! Fd r  mad r Fd r  m  dv  a    dt   dr dv dt Fd r  mvd v Az összetartozó r 1 , v 1 és r 2 ,v 2 értékek között integrálva:  F r d r  m  vd v  2 mv r2 v2 r1 1 2 2 v1  1 2 mv 1 2 /1.71/ v2  Fr v1 G P2 dr r2 r P1 r1 19. ábra 38 O r2   Az WF   F r d r mennyiség az F r eredő erő munkája a G pályagörbe P1 és P2 pontja r1 között W  J  , az E m  1 2 mv mennyiség pedig a pont mozgási energiája Em  J  . Az 2 integrál additivitása alapján az eredő erő munkája az egyes erők munkáinak összege: r2  WF   F r d r  r1  F ( r )  F r2 1 2  r2  r2  ( r )  . d r   F 1 r d

r   F 2 r d r   r1 r1 r1  W1  W2  .  WFi /1.72/ i  A munkavégzés tehát általában függ az egyes F i r erőktől, a P1 és P2 pontok megválasztásától, és a két pontot összekötő G pályagörbe alakjától. A munkatétel tömör jelölésekkel: W Fi  E m /1.73/ i Azaz az anyagi ponton a különböző erők által végzett munkák összege, egyenlő a pont mozgási energiájának megváltozásával. A munkatétel pálya-menti mennyiségekkel Írjuk fel az F eredő erő munkáját pálya menti mennyiségekkel: Fe ( s )   s2 WF   F ( r )d r   F ( s )eds   Fe ( s )ds r2 s2 s1 r1 /1.74/ s1 Vagyis az eredő erőnek az érintő irányú komponense végzi a munkát, a normális irányú komponens munkavégzése nulla. Ebből adódóan az ideális kényszererők munkája minden esetben nulla. Speciálisan, ha Fe ( s )  Fe  állandó: s2 WF  Fe  ds  Fe ( s 2  s1 )  Fe

s s1 A /1.74/ összefüggés felhasználásával a munkatétel: s2 WF   Fe ( s )ds  s1 1 2 1 2 m v2  m v1 2 2 39 /1.75/ Teljesítmény Egy F erő teljesítményét egy t időpillanatban a /1.76/ összefüggés értelmezi: P J  P     W  s dW F d r   Fv , dt dt /1.76/ Azaz a teljesítmény, mint fizikai mennyiség, a munkavégzés időbeli intenzitását jellemzi. A /1.76/ összefüggésből leolvashstó, hogy ha az erő merőleges az anyagi pont sebességére, akkor teljesítménye zérus. 1.243 Perdülettétel Egy P anyagi pont valamely A pontra vonatkozó perdületét az /1.77/ összefüggés értelmezi (20. ábra): LA vP P, m . vA r AP A 20. ábra L A  r AP  I P  r AP  mv P /1.77/ Azaz az A pontra vonatkozó perdület a P pont lendületének A pontra vonatkozó nyomatéka. A definícióból adódóan a perdületvektor merőleges az r AP helyvektor és a v P sebességvektor síkjára, és az r AP ,

v P és L A vektorok ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak. A továbbiakban tegyük fel, hogy A nyugvó pont, és deriváljuk az /1.77/ kifejezés idő szerint: 0     dLA   r AP  mv P  r AP  m v P  v P  mv P  r AP  ma P  r AP  F  M A dt /1.78/ A /1.78/ egyenletben F a P pontra ható erők eredője, M A pedig az egyes erők A pontra vonatkozó forgatónyomatékainak összege. differenciális alakjának is nevezik. 40 A /1.78/ összefüggést a perdülettétel Szorozzuk be az /1.78/ egyenletet mindkét oldalát dt -vel, majd végezzünk el néhány átalakítást! t2  M A dt   d L A  M A dt t1 t2 A /1.79/ egyenletben az M A L A2 dL A  L A 2  L A1   L A /1.79/ L A1 dt kifejezés az M A összegzett nyomaték t0 ,t1  időtartamon t1 leadott impulzusa. Azaz az A pontra vonatkozó forgatónyomatékok összegének impulzusa egyenlő az anyagi pont

perdületének megváltozásával. 1.25 ERŐTEREK Egyes esetekben az anyagi pontra ható erő csak a hely függvénye, azaz:  FFr /1.80/  Ezekben az esetekben az F r függvény a tér egy tartományának minden pontjához egyértelműen hozzárendel egy erőt, másképpen fogalmazva erőteret határoz meg (21. ábra)     F r2 P1 P2 F r1 r1   F r3 r2   P3 r3 F r4 r4 P4 O  21. ábra Úgy is fogalmazhatunk, hogy az F r függvény „erőtulajdonsággal ruházza fel” a teret. Az erőt minél több pontban feltüntetjük, az erőtér szerkezete annál részletesebben kirajzolódik. 1.251 Erőtér típusok, potenciális energia Most vegyük számba a gyakorlatban előforduló fontosabb erőtértípusokat! 41 Homogén erőtér  Az F r függvény a tér egy tartományának minden pontjához ugyanazt az erőt rendeli(22. ábra), azaz:  F r  F  állandó F 22. ábra Centrális erőtér Minden erő

hatásvonala a tér ugyanazon pontján, az úgynevezett erőcentrumon ( C ) halad keresztül (23. ábra)  F r  F r e r er r C 23. ábra Ha az erő nagysága csak a centrumtól mért távolság függvénye, akkor teljesül az alábbi összefüggés: F( r )  F( r )er 42 A fenti összefüggésben F r  az erő előjeles nagysága az erőcentrumtól r távolságban, e r a centrumtól az anyagi pont irányába mutató egységvektor. F r  értéke pozitív, ha F r  és r egyező értelmű, egyébként negatív. Konzervatív erőtér Ha a munkavégzés csak a mozgás kezdő és végpontjától függ, de független a két pontot összekötő pálya alakjától, akkor konzervatív erőtérről beszélünk. r1 P1 3 1 WF 2 WF G2 WF G1 P2 G3 r2 O 24. ábra Azaz rögzített P1 és P2 pontpár esetén (24. ábrán): WF  2 WF  3 WF  .  WF 1 Azaz konzervatív erőtérben a tér minden egyes pont párjához tartozik egy és csak

egy W F munkavégzés. Potenciális energia A potenciális energia fogalma csak konzervatív erőtérben értelmezhető. Rögzítsük az erőtér egy P0 pontját. Az anyagi pont potenciális energiáján a P pontban, definíció szerint azt a munkát értjük, amelyet a tér végez mialatt a pontot a P -ből a P0 pontba viszi. A potenciális energiát U -val jelölve:  U r  W Fr r 0 43 /1.81/ P0 , U (r 0 )  0 WFr1r 0 WFr 2 r 0 r0 P1 , U(r 1 ) r1 P2 , U (r 2 ) r2 O 25. ábra Ez alapján a P1 és P2 pontokban vett potenciális energia: U ( r 1 )  WFr 1 r 0 és U ( r 2 )  WFr 2 r 0 (25. ábra) Az U ( r ) függvény a tér egy tartományának minden pontjához egyértelműen hozzárendel egy potenciális energiát, másképpen fogalmazva potenciálteret határoz meg. Az U ( r ) függvény pontról-pontra jellemzi a teret munkavégző képesség szempontjából. A definícióból következik, hogy a P0 pontban a potenciális energia

értéke nulla. Ebből adódóan a P0 pontot a potenciális energia nullhelyének nevezzük 1.252 Munkavégzés és potenciális energia homogén és centrális erőterekben Most homogén és centrális erőterekben származtatjuk a munkavégzésre és potenciális energiára vonatkozó összefüggéseket. Homogén erőtér Munkavégzés: y U (h2 ) F y2 dy P2 dr y U ( h1 ) G P1 y1 r1 j r2 x O z 26. ábra 44 Vegyünk fel egy Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az y tengely iránya egyezzen az erőével! Írjuk fel z F erő munkáját a tér két tetszőleges P1 és P2 pontját összekötő, tetszőleges alakú G pályagörbére, majd felhasználva, hogy az adott koordinátarendszerben az erő F  F j alakú, végezzünk el néhány átalakítást: r2 r2 y2 r1 r1 y1 WF   F d r   F jd r F  dy  F ( y2  y1 )  Fy /1.82/ Tehát a munkavégzés csak a mozgás kiinduló, és végpontjához tartozó y1

és y 2 koordinátáktól függ, így független a P1 és P2 pontokat összekötő pálya alakjától! Ebből adódik az alábbi tétel: Tétel: Minden homogén erőtér egyben konzervatív erőtér. Potenciális energia: Az eddig elmondottakból következik, hogy homogén erőtérben bármely, az y tengelyre merőleges felület mentén a potenciális energia értéke állandó. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az ilyen felületek szintfelületek, vagy ekvipotenciális felületek. Azaz homogén erőtérben a potenciális energiának az erő irányára merőleges szintfelületei vannak. Válasszuk a potenciális energia nullhelyét y  0 egyenletű felületen, azaz legyen y0  0 ! Ekkor: U ( y )  WFy y0  F ( y0  y )   Fy /1.83/ Speciálisan homogén gravitációs erőtérben: F  m g , y  h WFg  mg( h2  h1 )  mgh /1.84/ U ( h )  W Fhgh0  m g( h0  h )  m gh 45 /1.85/ Centrális erőtér Munkavégzés: r G

P1 r1 F dr er dr C r2 U (r1 ) P2 U ( r2 ) 27. ábra Vegyünk fel a C erőcentrumból kiindulóan egy e r egységvektort úgy, hogy az mindig az anyagi pont, így a rá ható erő irányába mutasson (27. ábra)! Ekkor az erő F  F( r )e r alakban írható, ahol F r  az erő előjeles nagysága. Írjuk fel az F erő munkáját a tér két tetszőleges P1 és P2 pontját összekötő, tetszőleges alakú G pályagörbére, majd végezzünk el néhány átalakítást! dr  r2 WF   F r d r   F r e r d r   F r  )dr r2 r1  r2 /1.86/ r1 r1 A /1.86/ összefüggésben dr a d r elmozdulás sugár irányú komponensét jelöli (27 ábra) Tehát a munkavégzés csak a centrumtól mért kezdeti r1 és végső r2 távolságtól függ, de független a P1 és P2 pontot összekötő pálya alakjától. Ebből adódik az alábbi tétel: Tétel: Minden centrális erőtér egyben konzervatív erőtér. Speciálisan centrális gravitációs

erőtérben: F ( r )   /1.87/ 2 2 1 1 Mm 1  1   F ( r )dr     2 dr   Mm  2 dr   Mm   Mm   r  r  r1  r1 r2  r1 r1 r1 r r2 WFg Mm r2 r2 r r 46 /1.88/ Potenciális energia: Az eddig elmondottakból adódik, hogy centrális erőtérben a C középpontú gömbfelületek szintfelületek. Válasszuk a potenciális energia nullhelyét az r   sugarú gömbfelületen, azaz legyen r0   ! Ekkor: 1 1 U ( r )  W Fr r0  Mm  g  r r0  1 1 1   Mm    Mm r r   /1.89/ Speciálisan rugóerőtérben: Munkavégzés: F( r )  c( r  r * ) W P1  P2 Fr r2 /1.90/ r2 r2 1 1  1    F ( r )dr    c( r  r )dr   c( r  r* )2   c( r1  r )2  c( r2  r )2 /1.91/ 2  2  r1 2 r1 r1 * Potenciális energia: Válasszuk a potenciális energia

nullhelyét az r  sugarú gömbfelületen, azaz legyen r0  r * ! Ekkor: r* U( r )  W r  r* Fr 1  1    c( r  r* )2   c( r  r )2 2  2 r /1.92/ 9. mintafeladat m a, Milyen magasra jut fel a Föld felszínéről függőlegesen fellőtt, 4000  kezdősebességű s lövedék? A közegellenállástól eltekintünk. b, Hány százalékos hibát okoz az előbbi számításban, ha a gravitációs teret homogén erőtérnek tételezzük fel, amelyben az erő nagysága a Föld felszínén mért érték?  Nm 2  Adatok: RF  6 ,371 106 m, M F  5,973 1024 kg ,   6 ,679  10 11  2   kg  Megoldás a, Írjuk fel a munkatételt, felhasználva, hogy csak a gravitációs erő végez munkát a lövedéken, valamint, hogy a tetőponton a lövedék sebessége nulla. 0    1 1 1 1  1 1 1 2 2 i WFi  WFg  Mm r  r   Mm R  r

  2 m v2  2 m v0   2 m v0 2  max   1  F  1 1  M    R F rmax 47  1    v0 2 2  1 rmax rmax  2 v 1   0 RF 2M 2RF M F 2M F  RF v0 2  7 ,610 106 m hmax  rmax  RF  1,239 106 m b, Most válaszoljunk a kérdésre homogén teret feltételezve. A feladat nem említi, hogy milyen földrajzi helyről indítjuk a lövedéket, így a g értékét az átlagos Földsugárral számítjuk ki, azaz: g  MF RF 2  6 ,679 1011 5,973 1024 m  9 ,828 2  6 2 ( 6 ,371 10 ) s  Írjuk fel a munkatételt: W Fi  WFg i 0   1 2 1 1 2 2  mg( h2  h1 )  mv  mv0   mv0 2 2 2 1 2  mg ( hmax  0 )   mv 0 2 2 hmax v  0  8 ,139 105 m 2g Az okozott hiba: 1,239  106  8 ,139  105  100  34,3% 1,239  106   1.253 Az F r függvény meghatározása az U r

függvény ismeretében   Eddig azt vizsgáltuk, hogy az F r függvény ismeretében hogyan határozható meg az U r függvény. A fordított irányra az alábbi tétel vonatkozik: Tétel: A tér egy tetszőleges r 0 pontjában az erő, az U ( r ) függvény r 0 pontban vett gradiens vektorának mínusz egyszeresével egyenlő. Azaz: F( r 0 )   gradU( r 0 ) Azaz az F ( r ) függvény az U ( r ) függvényből az alábbi összefüggéssel határozható meg: F( r )  gradU( r ) 48 /1.93/ 10. mintafeladat A Föld gravitációs térben mozgó műhold potenciális energiáját az alábbi összefüggés szolgáltatja: U ( r )  M F m 1 r Az összefüggésben m és M F a műhold és a Föld tömegét, r a műholdnak a Föld középpontjától mért távolságát jelöli.  Nm 2  Adatok: m  1000kg, M F  5,973 1024 kg ,   6 ,679  10 11  2  .  kg  Adjuk meg a műholdra ható erőt a Föld

középpontjától a műholdhoz mutató r helyvektor függvényében! (A Föld középpontjától mért távolságot méterben mérjük.) Megoldás: U ( r )  M F m 1 1  3 ,989  10 17 J  r r  1  F ( r )  F ( x , y , z )   gradU( x , y , z )   grad  3,989  1017    grad  3,989  1017  r    3,989  1017 grad( x 2  y 2  z 2 ) grad( x 2  y 2  z 2 )     x   x  1 2 1 2  y2  z2    2 2 2  x y z  1 2  3  3 )  (  x( x 2  y 2  z 2 ) 2 ; y( x 2  y 2  z 2 ) 2 ; z( x 2  y 2  z 2 )  3 ; y x 1 1 2  y2  z2  3 ; z  Tehát: F r  3,989  10 17 49 3 2 )  1 1 1      x 3 ; y 3 ; z 3   3  r r r  x 2  y 2  z 2   1  x 1   1   3  y   3 r r   r z   1

r N  r3  1.26 PÉLDÁK 1.261 Szabad mozgás homogén gravitációs térben Indítsunk el egy anyagi pontot v 0 kezdősebességgel a homogén gravitációs tér egy r 0 helyvektorral jellemzett pontjából (28. ábra) A pont, mivel nem korlátozzák kényszerek, szabadon végzi mozgását. y v0  mg r0 x z 28. ábra A pont mozgásegyenlete, és mozgásjellemzőinek kezdeti értékei az alábbiak: mg  ma , v( 0 )  v 0 , r( 0 )  r 0 /1.94/ A mozgásegyenlet két oldalát a tömeggel osztva a gyorsulásra a  g  állandó adódik. Ez a kinematikai részben (1.131 fejezet) tárgyalt állandó gyorsulású mozgás esete Az ott elmondottak alapján a tömegpont hely-idő függvénye az alábbi: r( t )  r 0  v 0 t  g 2 t 2 /1.95/ Az ábrán szereplő koordinátarendszer rögzítése után megadhatók az x( t ) , y( t ) , z( t ) függvények, és a mozgás pályája is (lásd 1.131 fejezet) 11. mintafeladat Egy sík terepen elhelyezett

légvédelmi ágyúval egy 2km magasságban haladó repülőgépre lövünk, és el is találjuk. Az ágyú csöve a kilövés pillanatában a vízszintessel 30  -os szöget zár be. 50 m a, Mekkora sebességgel csapódik a lövedék a repülőgépbe, ha kezdősebessége 500  s m ( g  9 ,81 2  , a közegellenállástól eltekintünk)? s  b, Ha nem találtuk volna el a repülőgépet, akkor a kilövés után mennyi idővel ért volna talajt a lövedék? Megoldás A feladat megoldható kizárólag az 1.131 fejezet ismeretanyagára támaszkodva Ezt az utat most meghagyjuk az olvasónak, és az impulzus- és munkatételből indulunk ki! a, Írjuk fel a munkatételt! W i  WF g  m gh  i 1 2 1 2 m v  m v0 2 2 m 2 v  v0  2 gh  459  s b, Írjuk fel az impulzustételt y irányban, felhasználva, hogy az erő időben állandó, és a becsapódáskor v1 y  v0 y ! Fy t 

mgt  mv1 y  mv0 y  mv0 y  mv0 y  2mv0 y t  2v0 y g  50,96s  1.262 Kényszermozgás vízszintes síkon, centrális rugóerőtérben Vegyünk egy spirálrugót, és egyik végét rögzítsük egy vízszintes, tökéletesen sima síklaphoz, a másik végére pedig erősítsünk egy m tömegű, pontszerű testet. A test a vízszintes síkon ellenállásmentesen elmozdulhat. Rögzítsük a rugó hossztengelyében az x koordinátatengelyt, és legyen a rugó terheletlen helyzetében x  0 ( O pont, 29. ábra) 51 0 R v0  0 O X X 0  R sin 0 29. ábra Térítsük ki a testet az x0 koordinátájú pontba, és adjunk neki x irányú, v0 kezdősebességet, majd hagyjuk magára. A test az O pont körül lengőmozgást végez Írjuk fel x irányban a test mozgásának differenciálegyenletét, felhasználva, hogy a sík súrlódásmentes, és a rugó által kifejtett erő Fr  cx alakú ( lásd /1.60/ egyenlet) 

 Fix  cx  m a  m x /1.96/ i A differenciálegyenletet megoldva megkapjuk a test x( t ) kitérés-idő függvényét. A megoldást egy kísérleti megfigyelésből kiindulva is megadhatjuk. Ehhez tekintsük a 29 ábrát! Az ábrán egy körpálya látható x  0 középponti koordinátával, és a lengő mozgást végző pont maximális kitérésével egyező nagyságú sugárral. Indítsunk el a körpályán egy egyenletes mozgást végző anyagi pontot, a lengőmozgást végző testtel közös x0 koordinátájú pontból és azzal egy időben. Tapasztalatok szerint a pont  szögsebessége mindig beállítható úgy, hogy x koordinátája minden pillanatban egyenlő legyen a lengő mozgást végző testével. Ez alapján a lengőmozgást végző pont kitérése, tetszőleges időpillanatban, az alábbi alakban írható: x  A sin  Felhasználva, hogy egyenletes körmozgásnál   0  t , a lengőmozgás esetén az alábbi kitérés idő

függvény adódik: x( t )  A sin(t  0 ) /1.97/ Az A és  0 paraméterekek neve amplitúdó és kezdőfázis, értékük a kezdeti x0 és v0 mozgásjellemzőkből meghatározható (lásd a 12. mintafeladatot ) A pályasebességet és pályagyorsulást az x(t ) függvényből idő szerinti egyszeres és kétszeres deriválással kapjuk: 52  v( t )  x( t )  A cos(t   0 )  a( t )  x( t )   A 2 sin( t   0 ) /1.98/ /1.99/ Az összefüggésekben 0 a t  0 időpillanatban vett szögkoordináta, amelyre a kezdőfázis elnevezést használjuk. Az összefüggésekből leolvasható a kitérés, pályasebesség és pályagyorsulás értéke néhány nevezetes szögértéknél (1. táblázat)  Y v A 0 0 A 0  /2 A 0 -A2  0 -A 0 3 /2 -A 0 A2 1. táblázat Az  mennyiséget harmonikus rezgőmozgás esetén körfrekvenciának nevezzük Szokásos még a   2

/1.100/, T  1   2 /1.101/   rad     , T  s   s  összefüggésekkel definiált rezgésszám és periódusidő használata. A rezgésszám az időegység alatti rezgések számával, míg a periódusidő egy teljes rezgés idejével egyenlő. Most behelyettesítéssel ellenőrizzük le, hogy az x( t )  A sin(t  0 ) függvény valóban megoldása-e a mozgás differenciálegyenletének!   cx  m x  cA sin(t  0 )  mA 2 sin(t  0 )  c m /1.102/ Tehát valóban megoldás, azzal a feltétellel, hogy   c . Így közvetve sikerült m meghatároznunk, hogy a rugó és test adataitól hogyan függ a körfrekvencia értéke. Érdemes megjegyezni, hogy  értéke, így a lengés szaporasága, független a mozgásjellemzők kezdeti értékétől. 12. mintafeladat Egy vízszintes helyzetű, egyik végénél rögzített csavarrugó szabad végéhez m tömegű, pontszerű

testet erősítünk. A test a rugóerő hatása alatt, a tökéletesen sima síkon 53 ellenállásmentesen elmozdulhat. A mozgás az x0 koordinátájú pontból, v0 kezdeti pályasebességgel indul, a rugó terheletlen hosszához tartozó 0 pont irányába. Adatok: N  c  20000  m m  2kg x0  0,1m v0 0 m x x0 m v0  10  s Kérdések: a, Számítsuk ki a létrejövő harmonikus lengés körfrekvenciájának és frekvenciájának értékét! b, Határozza meg a kezdőfázis és amplitúdó értékét? c, Írjuk fel a mozgás x (t ) kitérés-idő függvényét és határozzuk meg a kitérés értékét a t  5s időpillanatban! Megoldás: a,    c 1 1  15,92   100  ,   2 m s s b, Írjuk fel a t  0 időpillanatban a kitérés-idő és pályasebesség-idő függvényeket! t  0  ban t  0  I . x0  A sin0 II . v0  A cos0 

v0  A cos 0  Az I és II . egyenletet négyzetre emelve és összeadva, gyövonás után megkapjuk az amplitúdó értékét: A  x0  2 I . sin  0  v0 2 2  0 ,1412m x0  3  0 ,707   01  ,  02  4 4 A A két megoldás közül csak  02 elégíti ki a II -es egyenletet, így a kezdőfázis tényleges értéke 3 0  . 4 1 3   c, A kitérés-idő függvény: y  0 ,141sin 100 t  m s 4   1 3   t  5 s -ban  y  0 ,1m sin 100 5 s    0 ,1m sin( 502,35 )  0 ,0416m s 4   Eddig csak azzal az esettel foglalkoztunk, amikor a kezdősebesség párhuzamos a rugó hossztengelyével. Ekkor a pálya a hossztengelyre illeszkedő egyenes Most megvizsgáljuk az 54 általánosabb esetet, amikor a kezdősebesség tetszőleges, a vízszintes síkba eső vektor (30. ábra). z y r0 Fn v0 x Fr m mg 30. ábra Az egyszerűség kedvéért feltételezzük,

hogy a rugó terheletlen hossza nulla. Ekkor a rugóerő az alábbi alakban írható: F r  cr A mozgásegyenlet:   F i   c r  m g  F n  ma  m r /1.103/ i      cx   0   0   m ax   m x              cy  0  0  m a        x   m y  0    m g  F   0   0       n     A fenti vektoregyenlet az alábbi három skaláregyenletet adja:  I.  c x  m x /1.104/  II.  c y  m y III. Fn  mg  0 /1.105/ /1.106/ Az első és második egyenlet megoldása: x( t )  Ax sin(t  0 x ) /1.107/ y( t )  Ay sin(t  0 y ) /1.108/ Az Ax , Ay ,  0 x ,  0 y paraméterek, a kezdeti x0 , y0 és v0 x , v0 y mozgásjellemzőkből meghatározhatók. 55 A harmadik egyenlet egy egyensúlyi egyenlet, amelyből az F n kényszererő

nagysága x  adódik. Most határozzuk meg a mozgás pályáját abban a speciális esetben, ha r 0   0  , 0 0 v 0    (31. ábra)  v0  z v0 x0 r0  y . v0 x 31. ábra Ekkor: Ax  sin 0 x  x0  2 v0 x  2 2  x0 , Ay  x0   1  0 x  , 2 Ax y0  2 sin 0 y  v0 y  2 2  v0  y0  0  0 y  0 Ay A kitérés-idő függvények:   x  x0 sin t    x0 cos(t ) , 2  y v0  sin( t ) Az időt, mint paramétert kiküszöbölve: x2 x0 2  y2  v0      1 2 /1.109/ Ez egy ellipszis egyenlete, amelynek egyik féltengelye x0 , a másik féltengelye v0  hosszúságú. A mozgást emiatt szokás elliptikus lengőmozgásnak nevezni 1.263 Kényszermozgás adott görbén, homogén gravitációs erőtérben Ha az anyagi pont egy adott sík- vagy térgörbén végez kényszermozgást, akkor

célszerű a mozgásegyenletet természetes koordinátarendszerben felírni, az alábbiak szerint: F i  ma i 56     Fei   ae   a   i        Fni   m a n   m v 2 / R   i  a   0   b     Fbi   i   /1.110/  Felhasználva, hogy v  s , a  s az alábbi skaláris mozgásegyenleteket kapjuk:   Fei  m s I. /1.111/ i 2 II.  Fni  m i s R III.  Fbi  0 /1.112/ /1.113/ i A II. egyenletben R a simuló kör sugara az adott pontban 1.2631 Kényszermozgás egyenes vonalú pályán Most vizsgáljuk meg a legegyszerűbb esetet, amikor a pálya egyenes vonalú. Ekkor a simuló kör sugara a pálya minden pontjában végtelen ( R   ). Ekkor a mozgásegyenletek:   Fei  m a  m s /1.114/ i F 0 /1.115/ F 0 /1.116/ ni i bi i 13. mintafeladat Egy m tömegű, pontszerű testet

egyenes vonalú, a vízszintessel  szöget bezáró, érdes kényszerpályán állandó F erővel, t ideig húzunk felfelé. Adatok: F m F  5kN , m  500kg  , v0  0   , s t  3s ,  0  0 ,3 ,   0 ,1 ,  m m   30 ,   10 g  9 ,81 2  s   57 0 ,  Kérdések: a, Elegendő-e a megadott erő nagysága a test megmozdításához? b, Ha igen, akkor mekkora a test gyorsulása, és a talaj által kifejtett kényszererő nagysága a mozgás során? c, Mekkora lesz a test pályasebessége t idő elteltével, ha kezdetben nulla volt? (A feladatot oldja meg az impulzustétel felhasználásával is!) d, Mekkora s pályaszakaszt fut be a test a megadott t idő alatt. e, Határozzuk meg az egyes erők által a s pályaszakaszon külön-külön végzett munkákat! f, Határozzuk meg a munkatétel felhasználásával a test pályasebességét a s pályasz

befutását követően! Megoldás: a, Feltételezzük az egyensúlyt: n F sin  Fn F F cos   Fk e Ft mg cos  mg sin   Egyensúlyi egyenlet: F i mg  F  Fg  Fk  0 i  F cos     m g sin     Ft   0           F sin      m g cos    Fn    0   0     0  0  0         I. F cos   mg sin   Ft  0  Ft  F cos   mg sin  II. F sin   mgcos  Fn  0  Fn  mgcos  F sin  A test nyugalomban marad, ha: Ft  0 Fn Azaz: F cos  mg sin  0 ( mgcos  F sin  ) 5000 cos 10   500  9 ,81 sin 30   0,3( 500 9,81cos 30  5000sin 10 ) 2471,53N   1013,88N   A test elmozdul. b, n F sin  Fn F F cos   Fk Fs mg cos  mg sin   58 mg e Mozgásegyenlet: F i  F  F g

 F k  ma i  F cos     m g sin     Fs   m a          F sin      m g cos    Fn    0   0     0   0  0         I. F cos  mgsin  Fs  ma II. F sin   mg cos  Fn  0  Fn  mgcos  F sin  A kényszererő komponensei közötti kapcsolat: III. Fs  Fn F cos   m g sin   ( m g cos  F sin  ) m  4 ,27 2  m s  A kényszererő nagysága: I. a  Fk  Fs  Fn  ( Fn )2  Fn  ( Fn )2  Fn  Fn  2  1  3396,45N  2 2 2 2 c, m v  v0  at  4 ,27  3  12,81  s Impulzustétellel:  Fei t  ( F cos   Fs  mg sin  )t  ( F cos   ( mgcos  F sin  )  mg sin  )t  i  mv  mv0  mv Tehát:  F cos   ( m g cos  F sin 

)  m g sin   m v t  12,81  m   s d, a 4 ,27 2 s  v0 t  t 2   3  19 ,21m 2 2 e, WF  F cos   s  94590,78J  WFg  mg sin s  47112,6J  WFk  Fs s    Fn  s  ( mgcos  F sin  )  s  64922,28J  f, Munkatétel: m 1 1 i WFi  WF  WFg  WFk  2 m v2  2 m v0 2  v  12,81 s  14. mintafeladat Az összekapcsolt m1 , m 2 tömegpontok, miután az ábrán látható elrendezésben magukra hagyjuk őket, elmozdulnak. Az m 2 tömegpont és a talaj közti csúszási súrlódási tényező  , 59 az m1 tömegpont és a talaj közti súrlódás elhanyagolható. A testeket egymáshoz kapcsoló kötél, és a dob ideálisak (a kötél súlytalan, nyújthatatlan, tökéletesen hajlékony, a dob súlytalan, ellenállásmentesen forog, a kötél a dobon nem csúszik meg). n2 Adatok: n1 m1

 70kg, m2  100kg ,  0  0 ,25 ,   0 ,2 ,   60 , FK2 K1 K 2 m2 F K1 m h  20m , g  9 ,81 2  . s  m1 e1 e2 ,  0 m2 g m1 g h  Mekkora az 1-es test sebessége a lejtő alján? Mennyi ideig tart a mozgás? Első megoldás: Mivel a kötél nem nyúlik meg, a két test gyorsulásának nagysága minden pillanatban egyenlő egymással. Mivel a kötél és dob súlytalan, valamint a dob ellenállásmentesen forog, a kötél két végén a kötélerők azonos nagyságúak. Tehát: a 1  a 2  a , K 1  K 2  K a, Írjuk fel a testek mozgásegyenleteit az ábrán felvett koordinátarendszerekben, és határozzuk meg gyorsulásuk nagyságát! 1-es test: F i  F g 1  F k 1  K 1  m1 a 1 i  m1 g sin    0    K   m1a            m1 g cos    Fn1    0    0     0   0   0  0 

       I. m1 g sin   K  m1 a II.  m1 g cos  Fn1  0 2-es test: F i  F g 2  F k 2  K 2  m2 a 2 i  0    Fs   K   m 2 a            m 2 g    Fn 2    0    0   0   0  0  0          III.  Fs  K  m2a IV.  m2 g  Fn 2  0  Fn 2  m2 g A kényszererő komponensei közötti kapcsolat: V. Fs  Fn 2 III. K  m2 a  Fs  m2 a  m2 g I. m1 g sin   ( m2 a  m2 g )  m1 a 60 I. m1 g sin   m2 g  m1 a  m2 a  ( m1  m2 )a m g sin   m2 g m I. a  1  2,34 2  m1  m2 s  h A lejtő hossza: s  sin  0  h a 2h A mozgás időtartama: s   v0 t  t 2  t   4 ,44s a sin  2 sin  0  m A test sebessége a lejtő alján: v1  v0  at  10,39 

s Második megoldás: Írjuk fel mindkét testre a munkatételt pálya menti mennyiségekkel! 1-es test: I. W i  m1 gh  Ks  i 1 2 m1 v1 2 0     1 2  m1 v0 2 2-es test: 0     1 1 II. Wi  Ks  Fs s  Ks  m2 gs  m2 v1 2  m2 v0 2 2 2 i m  m2 2 h  1 v1 I+II. m1 gh  m2 g sin  2 2m1 gh sin   2 m2 gh m v1   10,39  sin  ( m1  m2 ) s 0  v A mozgás időtartama: v1  v0  at  t  1  4 ,44s  a 1.2632 Kényszermozgás körpályán Körmozgás esetén a mozgásegyenletek: I.  F ei  ma m s /1.117/ i 2 v2 s II.  Fni  m m R R i III.  Fbi  0 i A II. egyenletben R a körpálya sugara 61 /1.118/ /1.119/ 15. mintafeladat Az ábrán látható függőleges síkú, súrlódásmentes, R sugarú körpálya felső, A pontjából nyugalomból indulva lecsúszik egy m tömegű, pontszerű

test. A B  R Határozzuk meg, hogy a test az ábrán látható  szög mely értékénél hagyja el a pályát! Megoldás: A h mg cos  R cos  B Fk   m g sin  n mg e A test mozgásegyenlete: F i  F g  F k  ma i  m g sin    0   a       2   m g cos     Fn   m v / R     0   0  0       I. mg sin   ma v2 v2  Fn  m g cos  m R R A test akkor hagyja el a pályát, amikor a pálya által kifejtett nyomóerő nagysága nullára csökken. Vagyis a pályaelhagyás pillanatában: 2 2 v v Fn1  m g cos 1  m 1  0  cos 1  1 R gR A pályaelhagyáshoz tartozó v 1 sebességet a munkatétellel tudjuk kiszámolni. A szintkülönbség az A pont és a pályaelhagyás helye között: II. m g cos  Fn  m  62 cos 1  R  h1  h1  R1  cos  R Mivel az Fn kényszererő

minden pontban merőleges a felületre: WFn  0J  A gravitációs tér által végzett munka: WFg  mgh1  mgR1  cos 1  Munkatétel: 0   1 1 2 2 Wi  WFn  WFg  m g R1  cos 1   2 m v1  2 m v0 v1  2 g  R1  cos 1  Tehát: v1 2 g  R1  cos 1  2   1  48,19   21  cos 1   cos  1  3 gR gR 2 cos 1  Az eredmény g értékétől független, így például a Holdon is ugyanennél a szögnél hagyná el a test a pályát. 1.2633 Kényszermozgás tetszőleges síkgörbén Itt a mozgásegyenletek az általános /1.111/, /1112/, /1113/ egyenletek 16. mintafeladat Térjünk vissza a 8. mintafeladathoz, és legyen a hullámvasúti kocsi tömege m  1000kg! A tömeg, és a 8-as mintafeladat eredményeinek ismeretében határozzuk meg a pálya által a kocsira kifejtett kényszererő (nyomóerő) nagyságát az A , B és C pontokban! Megoldás: y m 15

e A 10 n v 5 B 0 0 -5 -10 -15 10   x m 25 20 30 n C e 63 40 50 Először minden pontban meghatározzuk az érintő meredekségét, és abból az érintő x tengellyel bezárt  szögét ( 0     ). Az érintő meredeksége a pályát leíró f ( x ) függvény adott pontbeli, x szerinti deriváltjával egyenlő. Az f ( x ) függvény deriváltja az alábbi:          f ( x )   10  sin x    cos x  2  20    20   A pont: f ( 10 )  0 , azaz az érintő vízszintes, így az F nA nyomóerő függőleges irányú. A normális irányú mozgásegyenlet: 2 2 v v i Fin  mg  FnA  m RA  FnA  mg  m RA  m( g  a A )  1000( 9,81  0,99 )  8820N  A A B pont: f ( 20 )     tg       2,13rad  122,49 2 2 A normális irányú mozgásegyenlet: 2 vB i Fin  mgcos(   )  FnB

 m R B  FnB  mgcos(   )  m 2 vB  1000 9 ,81cos(  2,13 )  0  5268,95N  RB C pont: A nyomóerő hasonlóan számítható, mint az A és B pontok esetén. 1.264 Matematikai inga mozgása Egy anyagi pontot egy ideális (súlytalan, nyújthatatlan) fonállal nyugvó ponthoz rögzítve matematikai ingát kapunk. Mindaddig, amíg a fonál feszes, a pont mozgása egy gömbfelületre korlátozott, tehát kényszermozgás. A továbbiakban feltételezzük, hogy az ingára ható közegellenállási erő, és a felfüggesztési pontban ébredő súrlódás elhanyagolható. Ilyen feltételek mellett a magára hagyott inga csillapítatlanul végzi mozgását, azaz mozgási és helyzeti (potenciális) energiájának összege időben állandó. A kezdeti mozgásjellemzők értékétől függően az inga mozgása típusokba sorolható. 1.2641 Síkinga Ha a fonál és a kezdősebesség által meghatározott sík függőleges helyzetű, akkor az inga ebben

a síkban mozog, és síkingáról beszélünk (32. ábra) 64 e vB B K mg n v1 0 l h1 v0 h0 A 32. ábra Az síkinga mozgása lengőmozgás, ha a szögkitérés a   2    2 intervallumban változik, és forgómozgás, ha az inga eléri felső holtponti helyzetét (B pont) és körbefordul. Vizsgáljuk meg, milyen kezdeti mozgásjellemzők esetén jön létre lengő és forgómozgás! Írjuk fel a munkatételt az inga h0 , és h1 paraméterekkel jellemzett két helyzete között: 0  1 1 2 2 W  W  W i i Fg K  mg( h1  h0 )  2 mv1  2 mv0 /1.120/ Fejezzük ki a h1 paramétert a munkatételből, és legyen v1  0 : 2 h1  v0  h0 2g Lengőmozgás esetén h1  l , azaz: 2 v l  h1  0  h0 2g Az egyenlőtlenségből v0 -t kifejezve, megkapjuk a lengőmozgás feltételét: v0  2 g( l  h0 ) /1.121/ Most írjuk fel az inga felső, holtponti helyzetében a normális irányú mozgásegyenletet: v2 mg K

 m l Forgómozgás akkor jön létre, ha a kötél a felső holtponti helyzetben – ebből adódóan végig a mozgás során – feszes marad. Ez akkor teljesül, ha: 65 2 v 0  K  m B  mg l A munkatételt felírva a h0 paraméterrel jellemzett, és a felső holtponti helyzet között, meghatározhatjuk a v B sebesség négyzetét: 0  1 1 2 2 W  W  W i i Fg K  mg( 2l  h0 )  2 mvB  2 mv0 vB  v0  2g( 2l  h0 ) 2 2 Ezt beírva a /123/ egyenlőtlenségbe: v  2 g( 2l  h0 ) 0 0 g l 2 Az egyenlőtlenségből v0 -t kifejezve, megkapjuk a forgómozgás feltételét: v0  g( 5l  2h0 ) /1.122/ Most írjuk fel a lengőmozgást végző síkinga mozgásegyenleteit természetes koordinátarendszerben (/1.117/, /1118/ egyenletek, 33 ábra): F i  m g  K  ma i   m g sin    0   m a2 v        m  m g cos  K      l    

ms    2   s  m  l      Ez két skaláregyenletet jelent:  I.  mgsin  m s /1.123/ 2 II.  m g cos  K  m s l /1.124/ Áttérve szögmennyiségekre ( s  l ) az I. egyenlet az alábbi alakban írható:    g sin   s  l  66 s  l  l K n e s mg sin   mg cos  mg 33. ábra Ha az inga szögkitérése kicsi (  max  5   0,087rad  ), akkor (ezrelék pontossággal) teljesül a sin    egyenlőség. Ekkor az érintő irányú mozgásegyenlet:   g( t )  l ( t ) /1.125/ Ez ugyanolyan szerkezetű differenciál egyenlet, mint amilyet a spirálrugóra rögzített anyagi pont esetén kaptunk az x és y koordinátákra. Tehát a megoldás is egyező, csak az x , y helyett a  változó szerepel: ( t )   m sin( wt   ) /1.126/ Az egyenletben  m a maximális szögkitérés, w a körfrekvencia, 

a kezdőfázis. (A változóütközést elkerülendő, a fenti mennyiségekre itt más jelöléseket kellett használni, mint a rezgőmozgás esetén). Ha a  ( t ) függvényt, és annak második deriváltját visszahelyettesítjük a /131/ egyenletbe, akkor megkapjuk a körfrekvenciára, abból pedig a lengésidőre (egy teljes lengés ideje) vonatkozó összefüggést: w g l /1.127/, T  2 l g /1.128/  A  m maximális szögkitérést, és a  kezdőfázist, a kezdeti 0 szögkitérésből és 0   0 szögsebességből hasonlóan meghatározhatjuk, mint az amplitúdót és a kezdőfázist a kezdeti x0 kitérésből és v0 sebességből a rugóhoz rögzített anyagi pont esetén (Lásd a 12. mintafeladat b részét). 67 A munkatételt felhasználva a /1.124/ összefüggésből a kötélerő is megadható, mint a  szögkitérés függvénye:  2 l  2  K  m l  mg cos  mg  0  3 cos  2 cos0 

g  /1.129/ A fenti összefüggés belátását az olvasóra bízzuk. 1.2642 Kúpinga Ha egy matematikai ingát 0 szöggel kitérítünk, majd vízszintes, a fonál irányára merőleges kezdősebességgel mozgásba hozzuk, akkor a kezdősebesség egy meghatározott v0 értéke esetén az inga egy 0 fél nyílásszögű kúp palástján mozog (34. ábra) 0 l b K n R e v0 mg 34. ábra Ebben az esetben kúpingáról beszélünk. Vizsgáljuk meg, hogyan függ a fenti v0 érték a 0 szögtől. Ehhez írjuk fel az inga mozgásegyenleteit a 34 ábrán látható természetes koordinátarendszerben! F i  m g  K  ma i 68 0  0     m a2     v0  0    K sin  0    m   m g  K cos   l 0      0       Ez az alábbi három skaláregyenletet jelenti: I. 0  ma /1.130/ II. K sin  0  m 2 v0 R /1.131/ III.  mg  K cos0  0  K

 A III-as egyenletből kifejezve K -t, és beírva a II-es egyenletbe: v0  R  g  tg0 /1.133/ A matematikai inga további mozgástípusaival itt nem foglalkozunk. 69 mg cos 0 /1.132/