Fizika | Felsőoktatás » Mozgásegyenlet forgó koordinátarendszerben

Mozgásegyenlet forgó koordináta rendszerben Vizsgáljuk meg egy m tömegű test mozgását Descartes-féle koordináta rendszerben. Legyen a     test irányvektora r , amely az időtől függ, r = r (t). Fejezzük ki az r vektort az egységvektorok segítségével.   r   ri  e ( i ) (1) i Keressük meg ennek a testnek a sebességét és gyorsulását.    dr v   ri  e ( i ) dt i  d 2t  a  2   ri  e ( i ) dr i (2) (3) innen a Newton harmadik törvénye alapján a testre ható erő nagysága   m a  F (4) Válasszunk most olyan rendszert, ahol az e(i) egységvektorok időben változnak, például állandó  szögsebességgel forognak. Most ugyanúgy definiálhatjuk ebben a forgó rendszerben az r vektor komponenseit mint azt az (1)-ben megtettük, de emeljük ki ennek időbeni változását.   r (t )   ri (t )  e ( i ) (t ) (5) i Tegyük fel, hogy a test nyugalomban

van a forgó koordináta rendszerben az inercia rendszerből nézve. Ekkor az r i komponensek állandóak, csak az egységvektorok változnak időben, oly módon hogy mindig „azonos helyen tartsák a testet”. Tartsuk meg a sebességre és gyorsulásra eddig megismert képleteinket (2), (3).   v R   ri (t )  e ( i ) (t ) (6)   aR   ri (t )  e ( i ) (t ) (7) i i   Valójában az itt lévő két mennyiség a v R és aR nem valós sebesség és gyorsulás, hanem csak a forgórendszerhez viszonyított. Ezekből azonban kiszámítható a „valós sebesség és gyorsulás” értéke. Deriváljuk az (5)-ös egyenletet az idő szerint  (i ) dri  dr d  d   e   ri e ( i )  v R   ri e ( i ) dt dt dt i dt i i (8) Oldal : 1 / 7  (i ) d 2ri  dri d  ( i ) d 2r d 2 (i ) 2  e   e  r i dt 2 i dt dt i i dt 2 e dt 2 (9)  dr d  d2   aR  2 i  e ( i ) 

 ri 2 e ( i ) dt dt i dt i (10) Ezzel leírtuk a forgó rendszerben a a test sebességét és gyorsulását. Milyen erők hatnak ebben a rendszerben? A (10)-es képlet megadja a test valós gyorsulását, amely a (4)-es képlet szerint F/m-mel egyenlő, ahol F a testre ható „valós fizikai erők” összege. Számítsuk ki a (10)-es képletből az a R „gyorsulás” értékét.   dr d  d2  aR  F / m  2 i  e ( i )   ri 2 e ( i ) dt dt i dt i (11) Tehát a „látszólagos” gyorsulás három komponens összege, az F/m és másik két tag összege. Vizsgáljuk meg ezen tagokat állandó szögsebességgel forgó rendszerben. Az e(i) egységvektor állandó  szögsebeséggel forog. Most már csak az e(i) első és második időszerinti deriváltját számítsuk ki! d (i )  ( i ) e   e dt (12) A második derivált kiszámításához használjuk a szorzatszabályt, figyelembe véve, hogy a forgás sebessége állandó. 

   d  d  ( i )  d  ( i )  d  ( i )  e    e  0    (  e ( i ) ) e   dt  dt dt  dt (13) Helyettesítsük vissza a (13)-as egyenletet a (11)-esbe.   dr      aR  F / m  2 i   e ( i )   ri   (  e ( i ) ) i dt i (14)   dr      F / m  2   i e ( i )    (   ri e ( i ) ) i dt i (15)        F / m  2  v R    (  r ) (16) Ebből tehát látható, hogy a forgó koordináta rendszerben ható erők        maR  F  2m  v R  m  (  r ) (17) = fizikai erő + Coriolis erő + centrifugális erő Oldal : 2 / 7 Tehát nyugodtan használhatjuk a newtoni mechanikát forgó rendszerben is, ha figyelembe vesszük Coriolis és centrifugális erőt. Ha már megismertük az alapvető erőket és összefüggéseket, térjünk át a

Föld felületén végzett mozgásokra a Földhöz kötött koordinátarendszerhez viszonyítva. Mit fogunk elhanyagolni? - a Naprendszer összes bolygójának a hatását, beleértve a Nap hatását is - a levegő ellenállását a test mozgására - a gravitációs állandó változását a magassággal A Föld szögsebessége  = 2/(24*3600) = 7,2722.10-5 sec-1 A Föld tömege M = 5,976.1024 kg, sugara R = 6 378 150 m A gravitációs állandó  = 6,6742.10-11 m3/kgs2 Legyen a földi koordináta rendszer S‘ és ennek középpontja O’. Vegyünk egy másik rendszert is, azt ahonnan a testet pályára állíthatjuk, legyen ez S”, és ennek talppontja O”. A mozgásegyenletet a korábban bemutatott képletek alapján állítjuk össze. F g a gravitációs erő G a súlyerő F c a centrifugális erő        ma  Fg  m  (  r )  2m(  v ) (18) A fenti egyenlet egyes összetevőit becsüljük meg úgy hogy az egyes tagokat

osztjuk a test tömegével. Az első tag az F g /m (g - nehézségi gyorsulás), ennek értéke Fg / m   M  9.806 m / s 2 2 R (19) A második (centrifugális) és harmadik (Coriolis) tag becslését a nehézségi gyorsulás értékéhez viszonyítjuk. Fc   2R 3 2R  0,00344 és Fcor  v  1,483  10 5  v M M (20) Látható, hogy a Coriolis-erő kisebb a centrifugális erőhöz viszonyítva, ha v R 2  232 m / sec . Most a föld középpontú rendszerből S’ térjünk át a föld felszíni rendszerbe S”. Ehhez használjuk a következő transzformációs egyenleteket. r  rO O "  r ", v  v ", a  a" (21) Oldal : 3 / 7  ahol rO O "  R  nR , itt R a Föld sugara, n R az O’ és O” pontokat összekötő irányvektor, amely a Föld középpontjából és az S” rendszer talppontjába irányul. Ha a test mozgása során csak kis magasságokat ér el, azaz r” R, akkor a

(18)-as egyenlet átírható a következő alakba.        ma "  Fg  mR  (  nr )  2m(  v ")       mM  ma "   2 nR  mR  (  nr )  2m(  v ") R (22) (23) A (22)-es egyenlet jobb oldalán lévő első két tag a test tömegével arányos és független az S” rendszer helyzetétől és test sebességétől. Ezért e két tag összegét jelöljük G-vel Azaz ahol G = m.g (24)   M  g   2 nR   2R cos  n R (25) n  - egységvektor, merőleges a Föld forgástengelyére, a forgástenglytől az O” pontig mutat.  – a földi szélesség, azaz az adott pontot és a Föld középpontját összekötő egyenes és az egyenlítő által bezárt szög. Ezzel eljutottunk a Föld felületének közelében végzett mozgásegyenlethez.     ma "  mg  2m(  v ") (26) Eső (emelkedő) testek elhajlása a

helyi függőlegestől Ismert tény, hogy az eső testek a helyi függőlegestől eltérő pályán esnek. Ezt használták fel korábban a Föld forgásának bizonyítására is. Próbáljuk most megvizsgálni ezt a jelenséget kvantitatíve is. Az ejtés (hajítás) elegendően kis földrajzi területen megy végbe, és elhanyagoljuk az atmoszféra légellenállását. A mozgás a  földrajzi szélességen zajlik, vizsgálatot az S” rendszerben végezzük hasonlóan az előzőekben leírthoz. A (26)-os egyenletet írjuk fel a Descartes-féle koordináta rendszerben is. A tengelyeket irányítsuk úgy, hogy az O”z” tengely legyen a helyi függőleges O”x” tengely mutasson délre O”y” tengely mutasson keletre.     a "  g  2(  v ") (26a) Ebben a rendszerben a konstans vektorok  és g vetülete az alábbi g = (0, 0, -g) valamint  = (-.cos, 0, sin) (27) ezután írjuk fel a (26a) egyenletet egyes komponenseit

is               yj   zk  )  (g x i  g y j  g z k )  2(x i  y j  z k )  ( xi   yj   zk  ) ( xi (28) Oldal : 4 / 7 Végezzük el a fenti egyenlet jobb oldalán a vektoriális szorzást és írjuk fel a (28)-as egyenletet komponenseit. x  2 y  sin y  2 ( x  sin  z  cos ) z  g  2 y  cos (29) integráljuk egyszer időszerint az egyenletet a megfelelő kezdeti feltételek szerint. x  x 0  2 ( y  y 0 )sin y  y 0  2 ( x  x0 )sin  ( z  z0 )cos  (30) z  gt  z0  2( y  y 0 )cos az kapott x, y , z értékeket helyettesítsük be a (29)-es egyenletbe. Mivel  értéke kicsi, ezért az 2-es tagokat elhanyagolhatjuk. A behelyettesítés után kapjuk a következő egyenletet x  2 y 0 sin

y  2  x 0 sin  ( gt  z0 )cos  (31) z  g  2 y 0 cos Újból integráljuk az egyenletet időszerint, legyen x0  y 0  0 és megkapjuk a következő egyenletrendszert. x   y 0t 2 sin  x 0t t3 cos  ( x 0 sin  z0 cos )t 2  y 0t 3 t2 z  ( g  2 y 0 cos )  z0t  z0 2 y  g (32) Ez a mozgás egyenlet általános megoldása. Vizsgáljuk meg most az egyes speciális eseteket 1. Ejtés z=H magasságból A kezdeti feltételek z0  H , a sebesség komponensei szintén nullák x 0  y 0  z0  0 . Ezeket behelyettesítve kapjuk, hogy x  0, y  1 1 gt 3 cos , z   gt 2  H 3 2 (33) 1/ 2  2H  Az esés idejét a z=0 behelyettesítésével nyerhetjük t     g  ami azonos a középiskolai tanulmányunkból már megismert képlettel. Az esés távolságára pedig azt kapjuk, hogy Oldal :

5 / 7 y  1  2H    3 g  3/2 g cos , ami pozitív érték, azaz a test a keleti irányba esik! Most végezzünk néhány numerikus számítást, és ezt ábrázoljuk grafikonon (45°-os földrajzi szélességen, cos H [m] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t [sec] 1.4 2.0 2.5 2.9 3.2 3.5 3.8 4.0 4.3 4.5 y [mm] 0.49 1.38 2.54 3.92 5.47 7.20 9.07 11.08 13.22 15.48 Az eltérés kicsi, de azért mérhető. Ezt el is végezték mély barlangokban, és az elmélettel összevethető eredményeket kaptak. 2. Függőleges hajítás felfelé, z 0 =w 0 sebességgel Ebben az esetben a kezdeti feltételek z0  0, x 0  y 0  0, és z0  w 0  0 . A megoldás a behelyettesítések után. gt 3 1 x  0, y   cos (  w 0t 2 ), z   gt 2  w 0t 3 2 A mozgás teljes idejére kapjuk t  (34) 2w 0 . g 4 w 03  cos , ami negatív érték, tehát a test nyugatra esik Az földetérés

távolsága y   3 g2 le. Itt is végezzünk numerikus számításokat, az eredményt grafikonon ábrázoljuk Oldal : 6 / 7 w 0 [m/sec] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t [sec] 2.0 4.1 6.1 8.2 10.2 12.2 14.3 16.3 18.4 20.4 y [mm] -0.71 -5.70 -19.25 -45.63 -89.13 -154.01 -244.57 -365.07 -519.80 -713.03 Mindkét esetben a mozgás a z-y síkban megy végbe, és ebben a síkban történik az elhajlás kelet illetve nyugat felé. Az elhajlás mindkét esetben a Coriolis-erő következménye Oldal : 7 / 7