Matematika | Analízis » Analízis kiskérdések és válaszok

Matematika tételek 1. Mit értünk egy f: RR függvény x0-beli deriváltján? Az x0-beli differenciálhányados a függvénygörbe ottani érintőjének meredekségét adja meg. f ( x ) − f ( x 0) f’(x0) = limx0 x − x0 2. Adjon meg olyan függvényt, amely nem differenciálható valamely x0-ban! Pl. f(x) = x függvény 0-ban nem differenciálható 1 f(x) = xsin , f(0) = 0 függvény esetén 0-ban nem differenciálható x f(x) = x függvény 0-ban nem differenciálható 3. Mit értünk egy f: RR függvény x0-beli baloldali differenciálhányadosán? f ( x ) − f ( x 0) Az f ’ (x0) = lim x0-0 bal oldali határértéket az f függvény x − x0 tartozó bal oldali differenciálhányadosának nevezzük. x0 ponthoz 4. Fogalmazza meg az inverz függvények deriválási szabályát! Ha f invertálható és folytonos x0 egy környezetében, x0-ban differenciálható és f ’(x0) ≠ 0, akkor az inverz f-1 függvény is differenciálható y0 = f(x0)-ban, és 1 (f

-1)’(y0) = f ( f − 1( y 0)) 5. Hogyan deriválhatók a törtként előálló függvények? f Ha f és g differenciálható x0-ban és g(x0) ≠ 0, akkor   is differenciálható x0-ban és g f f ( x0) g ( x0) − f ( x0) g ( x0)   ’(x0) = g 2( x0) g 6. Fogalmazza meg az összetett függvényekre vonatkozó deriválási szabályt! Legyen f és g olyan, hogy g o f értelmezett, és f differenciálható x0-ban, g differenciálható f (x0)-ban. Ekkor g o f differenciálható x0-ban, és (g o f)’ (x0) = g’(f (x0))f ’(x0) 7. Mit értünk egy függvény adott pont örüli n-edrendű Taylor polinomján? Az n-szer differenciálható f:[a;b]R függvény x0 ∈ (a,b)-beli n-edrendű Taylor polinomjának nevezzük az n f ( k )( x 0) Tn(x) = ∑ (x – x0)k n-edfokú polinomot, ahol f(0) = f. k ! k =0 8. Hogyan állítható elő az n-edrendű Taylor polinom maradéktagja? Ha f (n+1)-szer differenciálható x0 egy környezetében, akkor

az n-edrendű Taylor polinom maradéktagja Rn(x) = f ( n + 1)(ξ ) (x – x0)n+1 (n + 1)! 9. Milyen esetekben alkalmazható a L’Hospital szabály? Tegyük fel, hogy az (x0, b) nyílt intervallumon értelmezett, s ott differenciálható f és g függvényekre limxx0+0f(x) = 0 és limxx0+0g(x) = 0, továbbá g’(x) ≠ 0 teljesül. Ha a f ( x) f ( x) = A határérték létezik, akkor a limxx0+0 határérték is létezik, s e két limxx0+0 g ( x) g ( x) határérték egyenlő. Tegyük fel, hogy az (x0, b) nyílt intervallumon értelmezett, s ott differenciálható f és g f ( x) függvényekre limxx0+0f(x) = ∞ és limxx0+0g(x) = ∞. Ha a limxx0+0 = A határérték g ( x) f ( x) létezik, akkor a limxx0+0 határérték is létezik, s e két határérték egyenlő. g ( x) 10. Mikor mondunk egy f:[a;b]R függvényt konvexnek, illetve konkávnak? Legyen f: [a,b] R egy differenciálható függvény. f pontosan akkor konvex, ha f ’ monoton nő. f pontosan akkor konkáv, ha f

’ monoton csökken. Egy kétszer differenciálható f: [a,b] R függvény pontosan akkor konvex, ha f ’’ ≥ 0, illetve pontosan akkor konkáv, ha f ’’ ≤ 0. 11. Mit nevezünk egy függvény inflexiós pontjának? Adjon meg olyan függvényt, melynek van inflexiós pontja! Az olyan x ∈ D pontokat, amely egy baloldali környezetében a függvény konvex (konkáv), egy jobboldali környezetében pedig konkáv (konvex), azaz f konvexitása x0ban „vált”, inflexiós pontnak nevezzük. A sin x függvény esetén 0, π, 2π, inflexiós pontok. 12. Fogalmazzon meg elegendő feltételeket egy f: RR függvény x0-beli minimalitására! Legyen f (n+1)-szer folytonosan differenciálható x0-ban, és tegyük fel, hogy f ’(x0) = 0, , f (n)(x0) = 0, f (n+1)(x0) ≠ 0. Ha n+1 páros szám, akkor f (n+1) (x0) > 0 esetén f-nek x0-ban helyi minimuma van, míg f (n+1) (x0) < 0 esetén helyi maximuma van. Ha n+1 páratlan szám, akkor f-nek x0-ban nincs helyi szélsőértéke.

Gyakran már a második derivált vizsgálata is elegendő: ha f ’(x0) = 0 és f ’’(x0) > 0, akkor f-nek x0-ban helyi minimuma van, míg f ’(x0) = 0, f ’’(x0) < 0 esetén helyi maximuma van. 13. Mondja ki Lagrange tételét! Mi ennek a szemléletes jelentése? Ha az f: [a,b] R folytonos függvény differenciálható az (a,b) nyílt intervallum minden pontjában, akkor van olyan ξ ∈ (a,b), hogy f (b) − f (a ) = f ’(ξ) b−a Szemléletes jelentése: a differenciálható függvények esetében a húrral párhuzamos érintőt is lehet húzni. 14. Milyen kapcsolatban van egy függvény monotonitása a deriváltjával? Legyen f differenciálható az (a,b) intervallumon. Ekkor - ha f ’ > 0 minden x ∈ (a,b)-re, akkor f monoton növekvő, - ha f ’ < 0 minden x ∈ (a,b)-re, akkor f monoton csökkenő, - ha f ’ = 0 minden x ∈ (a,b)-re, akkor f konstans. - Ha f differenciálható x0-ban és f monoton növekvő x0 egy környezetében, akkor f ’(x0)

> 0. - Ha f differenciálható x0-ban és f monoton csökkenő x0 egy környezetében, akkor f ’(x0) < 0. - Ha f differenciálható D egy x0 belső pontjában, és f-nek ott helyi szélsőértéke van, akkor f ’(x0) = 0. 15. Milyen kapcsolatban van egy függvény konvexitása a deriváltjával? Az [a,b]-n differenciálható függvények esetében a konvexitás a deriváltfüggvény monotonitásával függ össze, ezért kétszeri differenciálhatóság esetén a második derivált előjelével. Legyen f: [a,b]R egy differenciálható függvény. f pontosan akkor konvex, ha f ’ monoton nő. f pontosan akkor konkáv, ha f ’ monoton csökken. Egy kétszer differenciálható f: [a,b] R függvény pontosan akkor konvex, ha f ’’>0, illetve pontosan akkor konkáv, ha f ’’< 0. 16. Adja meg a távolság, a környezet, a nyílt halmaz és a zárt halmaz fogalmát Rn-ben! Az Rn-ben szokásos skaláris szorzat vagy norma segítségével két Rn-beli x és y vektor

távolságát így definiáljuk: d(x,y) = x – y = ( x − y, x − y ) = ( x1 − y1) 2 + . + ( xn − yn) 2 Legyen x0 ∈ Rn és ε > 0. x0 ε sugarú nyílt környezetének nevezzük a G(x0,ε) = {y ∈ Rn d(x0,y) < ε} halmazt. A ⊂ Rn tetszőleges részhalmazának egy x0∈A pontját A belső pontjának nevezzük, ha van x0-nak olyan ε > 0 sugarú nyílt G(x0,ε) környezete, hogy G(x0,ε) ⊂ A. A-t nyíltnak mondjuk, ha bármely pontja belső pontja. A zárt, ha komplementere nyílt. 17. Mit jelent a vektorsorozat konvergenciája Rn-ben? Az xk ∈ Rn sorozat konvergens és határértéke az x0 pont, ha x0-nak bármely nyílt környezetében a sorozatnak az összes tagja benne van véges sok kivételével, más szóval ha bármely ε > 0 -hoz van olyan k0 ∈ N küszöbindex, hogy minden k > k0 esetén xk ∈ G(x0, ε), azaz ||xk – x0|| < ε. 18. Hogyan jellemezhető egy vektorsorozat konvergenciája a komponenssorozatokkal? Egy xk∈ Rn

sorozat pontosan akkor konvergens, ha az i-dik komponensekből képzett sorozat konvergens minden i = 1, 2, , n esetén. 19. Mit nevezünk egy f: Rn R függvény határértékének az értelmezési tartományának x0 torlódási pontjában? Legyen x0 ∈ Rn az f: D ⊂ Rn R függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. f x0-beli határértéke A ∈ R, ha A bármely ε < 0 sugarú nyílt környezetéhez van x0-nak olyan δ > 0 sugarú nyílt környezete, hogy bármely x ∈ G(x0, δ) x ≠ x0, x ∈ D esetén f(x) ∈ G(A, ε). Jele: lim xx0 f(x) = A 20. Mikor nevezzük az f: Rn R függvényt totálisan differenciálhatónak x0 ∈ Rn-ben? Ha f: D ⊂ Rn R függvény x0 ∈ D egy környezetében parciálisan differenciálható és a parciális deriváltfüggvények x0-ban folytonosak, akkor f x0-ban totálisan is differenciálható. 21. Mit értünk egy n változós f függvény x0-beli első változó szerinti parciális differenciálhányadosán? Legyen

f: D ⊂ Rn R és x0 ∈ D. Az f függvényt x0-ban differenciálhatónak mondjuk, ha van olyan a ∈ Rn, hogy f ( x) − f ( x 0) − ( a, x − x 0) lim xx0 = 0. x − x0 Ilyenkor a-t f x0-beli differenciálhányadosának vagy deriváltjának mondjuk és Df(x0)-lal jelöljük. 22. Milyen kapcsolatban van a többváltozós függvények totális és parciális differenciálhatósága? A függvény totális és parciális differenciálhatósága szoros kapcsolatban áll egymással, de nem azonos. A totális differenciálhatóságból következik a parciális, de fordítva csak akkor, ha a parciális deriváltfüggvények folytonosak is. 23. Milyen feltételek teljesülése esetén van egy kétváltozós függvénynek szélsőértéke valamely (x0, y0) pontban? Az f: D ⊂ R2 R kétváltozós függvénynek helyi szélsőértéke van (x0, y0)-ban, ha van (x0, y0)-nak olyan G((x0, y0), ε) nyílt környezete, hogy bármely (x, y)∈D∩G((x0,y0), ε) – ra f(x,y)< f(x0, y0) (helyi

maximum) vagy bármely (x, y)∈D∩G((x0,y0), ε)-ra f(x,y)> f(x0, y0) (helyi minimum). 24. Milyen feltételek fennállása esetén következtethetünk arra, hogy egy f(x,y) függvénynek helyi maximuma van (x0, y0)-ban? Az f: D ⊂ R2 R kétváltozós függvénynek helyi szélsőértéke van (x0, y0)-ban, ha van (x0, y0)-nak olyan G((x0, y0), ε) nyílt környezete, hogy bármely (x, y)∈D∩G((x0,y0), ε) – ra f(x,y)< f(x0, y0) 25. Mit értünk a feltételes szélsőérték-probléma Lagrange függvényén? Ha f függvénynek g(x,y)=c feltétel mellett szélsőértéke van, akkor ha képzünk belőle egy Lagrange függvényt és: L(x,y, λ) = f(x,y) – λ(g(x,y) – c), akkor a Lagrange függvény parciális deriváltjai mindegyike 0. Әxf(x0,y0) = λӘxg(x0,y0) Әyf(x0,y0) = λӘyg(x0,y0) ӘλL = g(x,y) 26. Mikor mondjuk, hogy F primitív függvénye f-nek? A f egyváltozós függvényhez keresünk olyan F ugyanott értelmezett és mindenütt differenciálható

függvényt, melynek a deriváltfüggvénye éppen f: F’ = f. Ha F primitív függvénye f-nek, akkor F(x) + C is az, (ahol C egy konstans függvényt jelöl), hiszen a konstans függvény deriváltja 0. 27. Írja le a parciális integrálás szabályát határozatlan integrálok esetén! ∫ f ’g = fg - ∫ f g’ A parciális integrálás szabályát akkor célszerű alkalmazni az f ’g alakú integrandus határozatlan integráljának meghatározására, ha fg’ határozatlan integráljának felismerése könnyebbnek tűnik. 28. Írja le a helyettesítéses integrálás szabályát határozatlan integrálok esetén! ∫ f (x) dx = ∫ f (g(t)) g’(t) dt (g-1(x)) A helyettesítéssel való integrálás módszere a következő lépésből áll: - kiválasztjuk az x helyére helyettesítendő g(t) függvényt, meghatározzuk a g’(t) deriváltfüggvényt - ∫ f (x) dx –ben x helyébe g(t)-t, dx helyébe g’(t)dt-t írunk és kiszámítjuk a most adódó határozatlan

integrált (ennek t a változója) - végül t helyére visszahelyettesítjük a g-1(x) függvényt, s ezzel megkapjuk az x függvényeként adódó keresett határozatlan integrált. 29. Milyen kapcsolatban van a határozatlan integrál fogalma a függvények műveleteivel? A szorzatfüggvény deriválási szabályából kapjuk a parciális integrálás szabályát. Az összetett függvényderiválási szabályának megfelelője a helyettesítéssel való integrálás. 30. Milyen függvényt nevezünk racionális törtfüggvénynek? Azokat a függvényeket nevezzük racionális törtfüggvényeknek, amelyek két polinom hányadosaként állnak elő: akxk + .a1 x + a 0 f(x) = bnxn + .b1 x + b0 31. Hogyan határozhatjuk meg egy racionális törtfüggvény határozatlan integrálját? A racionális törtfüggvények határozatlan integráljai mindig meghatározhatók a parciális (vagy elemi) törtekre bontás segítségével. Speciális törtfüggvények esetében: 1 ∫ dx = ln x

– a + C x−a 1 /(1 − α ) 1 ∫ dx = +C ( x − a )α − 1 ( x − a )α 1 ∫ dx = arc tg x + C 1 + x2 1 1 ∫ dx = ln (1 + x2) + C 1 + x2 2 32. Mikor mondunk egy racionális törtfüggvényt elemi (parciális) törtnek? Tk.74-75 oldal 33. Mit nevezünk elsőrendű közönséges differenciálegyenletnek? Elsőrendű differenciálegyenletnek nevezzük az y’ = f (x,y) egyenletet, ahol f: I x J ⊂ R x R R kétváltozós folytonos függvény, I, J nyílt intervallumok. Az y: I* ⊂ R R függvény megoldása az előbbi differenciálegyenletnek, ha I ⊂ I, y(I) ⊂ J és minden x ∈ I esetén y’(x) = f(x, y (x)). 34. Mikor nevezünk egy elsőrendű közönséges differenciálegyenletet szétválasztható változójúnak (szeparibilisnek)? Egy differenciálegyenletet szétválasztható (változójú) differenciálegyenletnek nevezünk, ha y’ = g(x) h(y) alakra hozható. 35. Mikor nevezünk egy elsőrendű közönséges differenciálegyenletet lineárisnak? Elsőrendű

differenciálegyenletnek nevezzük az y’ + p(x)y = q(x) alakú egyenletet. Az egyenlet homogén, ha q(x) = 0 minden x-re. Általában inhomogénnak mondjuk 36. Hogyan oldhatjuk meg a lineáris differenciálegyenleteket? (Egy homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásai alteret alkotnak a differenciálható függvények terében, azaz bármely két megoldás összege is megoldás. Az is láthatóm, hogy ez az altér 1 dimenziós. Másrészt, ha egy inhomogén differenciálegyenlethez tekintjük a jobboldal lenullázásával keletkező homogén egyenletet, akkor megoldásaik halmaz között a következő kapcsolat áll fenn: az inhomogén két megoldásának különbsége megoldása lesz a homogénnak, s az inhomogén egy megoldásának és a homogén egy tetszőleges megoldásának összege az inhomogén megoldását adja. Ez azt jelenti, hogy elegendő megkeresnünk a homogén összes (általános) megoldását, továbbá az inhomogénnek egy konkrét (partikuláris)

megoldását, ezekből előállítható az inhomogén összes (általános) megoldás.) A, A homogén lineáris differenciálegyenlet mindig szétválasztható változójú: y’ = - p(x)y. 1 Ezért ∫ dy = - ∫p(x)dx, azaz ln|y| = - ∫p(x)dx + ln|C|, így a homogén egyenlet általános y megoldása: y(x) Ce -∫ p(x)dx B, Az inhomogén egyenletet az ún. állandók variálásának módszerével oldhatjuk meg Egy partikuláris megoldást keresünk Y(x) = C(x)e -∫ p(x)dx, alakban. Behelyettesítve az inhomogén egyenletbe C(x)-re egyszerű differenciálegyenletet kapunk: C’(x)= q(x)e ∫ p(x)dx, ahonnan C(x) határozatlan integrálással adódik. Így összességében az inhomogén egyenlet általános megoldását az y(x) = Ce ∫ p(x)dx {∫q(x)e ∫ p(x)dx dx + C} alakban kapjuk. 37. Hogyan oldhatjuk meg a szétválasztható változójú differenciálegyenleteket? Rendezzük bal oldalra az y-t tartalmazó kifejezéseket, jobb oldalra az x-et tartalmazókat. 1 y’(x) = g(x).

h( y ( x)) Mindkét oldal határozatlan integrálját képezve: 1 ∫ y’(x) = ∫g(x)dx + C h( y ( x)) A helyettesítéses integrálás szabálya alapján a baloldalt átalakíthatjuk: 1 ∫ dy(y(x)) = ∫g(x)dx + C h( y ) Ebből az egyenletből a keresett y(x) függvény kifejezhető. 38. Mit jelent egy kezdeti érték feltétel megadása egy adott differenciálegyenlethez? Hogyan határozhatjuk meg a kezdeti érték probléma megoldását? Kezdeti érték problémáról beszélünk, ha a differenciálegyenlet mellett adott egy (x0, y0) értékpár, s a differenciálegyenletnek olyan y(x) megoldását keressük, melyre y(x0) = y0. Ez azt jelenti, hogy a differenciálegyenlet végtelen sok megoldása közül azt kell kiválasztanunk, amely egy adott x0-nál a megadott y0 értéket veszi fel. 39. Mikor szorozható össze két mátrix, és hogyan végezzük el összeszorzásukat? Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az elsőnek annyi oszlopa van, mint ahány sora a

másodiknak. Az A ∈ Mkxn és a B ∈ Mnxk mátrixos szorzata az a C ∈ Mkxl mátrix, mely (i,j)-dik eleme: n Cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj = ∑a b is sj s =1 40. Mikor mondunk egy kvadratikus mátrixot invertálhatónak? Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak mondunk, ha létezik hozzá olyan B mátrix, hogy: AB = BA = E Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük, jele: A-1 41. Mikor nevezünk egy vektorrendszert lineárisan függőnek, illetve függetlennek? Egy a1, a2, , ak legalább kéttagú vektorrendszert lineárisan függőnek mondunk, ha valamely vektora lineáris kombinációja a vektorrendszer többi vektorának. Egyelemű vektorrendszert lineárisan függőnek akkor mondunk, ha a = 0. Egy a1, a2, , ak vektorrendszer lineárisan független, ha nem lineárisan függő. Ez azt jelenti legalább kéttagú vektorrendszer esetében, hogy közülük egyik sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjaként. 42. Mikor nevezünk egy vektorrendszert

generátorrendszernek? Egy a1, a2,, ak vektorrendszert generátorrendszernek nevezünk, ha a vektortér bármely b vektora előállítható lineáris kombinációval az a1, a2,, ak vektorokból, azaz ∃ a1,, ak ∈ R skalárok, hogy b = α1a1 ++ αkak. Ha egy V vektortérnek van véges tagszámú generátorrendszere, akkor V-t végesen generáltnak vagy véges dimenziósnak mondjuk. 43. Mikor nevezünk egy vektorrendszert bázisnak? a1,, ak vektorrendszer bázis, ha lineárisan független és generátorrendszer. 44. Mit nevezünk egy vektortér dimenziójának? Végesen generált vektortér bázisainak közös tagszámát a vektortér dimenziójának nevezzük. 45. Mit nevezünk egy vektorrendszer rangjának? Az α(a1,, ak) generált altér dimenzióját az a1,, ak vektorrendszer rangjának nevezzük. Jele: rg(a1,, ak). 46. Mit nevezünk egy vektorrendszer által generált altérnek? Egy adott a1,, ak vektorrendszer által generált altérnek mondjuk az a1,, ak vektorrendszer

tagjaiból képezhető összes lineáris kombinációk halmazát: α(a1,, ak) = {α1a1 ++ αkak α1,, αk ∈ R} 47. Mikor nevezünk egy lineáris egyenletrendszert határozottnak, határozatlannak, illetve ellenmondásosnak? Ha a lineáris egyenletrendszernek létezik megoldása, akkor megoldhatónak mondjuk. Ellenkező esetben ellentmondásosnak nevezzük. Ha pontosan egy megoldás létezik akkor az egyenletrendszert határozatlannak nevezzük. Ha több megoldása van, akkor határozatlannak mondjuk. Lineáris egyenletrendszer esetében belátható, hogy ilyenkor végtelen sok megoldása van. 48. Milyen átalakítások vezetnek ekvivalens egyenletrendszerekre? Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldásaik halmaza azonos. Átalakítások: először is, ha csak az egyik, pl. az első egyenletet változtatjuk úgy, hogy megszorozzuk valamely nullától különböző számmal, akkor az eredetivel ekvivalens egyenletrendszerhez jutunk. Másodjára,

ekvivalens egyenletrendszerhez jutunk akkor is, ha valamely, pl. első egyenletet úgy változtatjuk meg, hogy hozzáadjuk valamely másik, pl. második egyenletet 49. Hogyan derül ki Gauss elimináció során, hogy egy lineáris egyenletrendszer ellentmondásos? A trapéz alakról felismerhető, hogy van-e megoldása az egyenletrendszernek. Pontosan akkor megoldható, ha trapéz alakjában az (r+1)-dik egyenlettől kezdve, a jobb oldali konstansok mind 0-ák. 50. Hogyan derül ki Gauss elimináció során, hogy egy lineáris egyenletrendszer határozott/határozatlan? A megoldható esetében az egyenletrendszer akkor lesz határozatlan, ha r=n, azaz háromszög alakra jutottunk. Ha viszont r<n, akkor az egyenletrendszer határozatlan, hiszen az xr+1, xr+2,,xn. Ún szabad ismeretlenek tetszőleges értékét adva az egyenletrendszer határozottá válik. 51. Milyen feltételek esetén invertálható egy kvadratikus mátrix és számolható ki az inverze? Egy A kvadratikus mátrixot

invertálhatónak mondunk, ha létezik olyan B mátrix, hogy AB = BA = E. Ezt a B mátrixot A inverzmátrixának nevezzük, jele: A-1 Meg lehet mutatni, hogy ha A invertálható, akkor csak egyetlen inverze van. Viszont nem 0 0 mátrix sem. minden kvadratikus mátrix invertálható, pl. a 1 1 52. Mit tudunk az invertálható mátrixok rangjáról és determinánsáról? Determináns: egy kvadratikus mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Bizonyítás: ha invertálható, akkor van olyan B, hogy A*B = E, ezért a szorzástétel alapján 1 = det E = det (A*B) = det A det B, tehát det A nem lehet nulla. Az A mátrix rangja megegyezik maximális rendű nullától különböző aldeterminánsok rendjével. 53. Milyen átalakítást végezhetünk egy kvadratikus mátrixszal, hogy determinánsa ne változzon meg? Ha egy mátrix egy oszlopát (vagy sorát) úgy változtatjuk meg, hogy hozzáadjuk másik oszlopának (vagy sorának) skalárszorosát, akkor az új

mátrix determinánsa megegyezik az eredetiével. 54. Milyen elemi tulajdonságai vannak a mátrixok determinánsának? - oszlopvektoraiban additív det (a1 + a’1, a2,, an) = det (a1, a2,, an) + det (a1’, a2,, an) - skalárszorzó kiemelhető det (αa1, a2,, an) = αdet (a1, a2,, an) - bármely két oszlop felcserélésekor előjelet vált det (a1,, ai,, aj,, an) = - det (a1,, ai,, aj,, an) - az egységmátrix determinánsa 1 det E = det (e1, e2,, en) = 1 55. Írja fel a determinánsok kifejtési és ferde kifejtési tételét! Oszlop szerinti kifejtés: legyen j egy rögzített oszlopindex. Ekkor A  = a1jA1j + + anjAnj = n ∑ aijAij i =1 Sor szerinti kifejtés: legyen i egy rögzített sorindex. Ekkor A  = ai1Ai1 + + ainAin = n ∑ aijAij j =1 (Ezeket akkor célszerű használni, ha egy sorban vagy oszlopban relatíve sok nulla elem van.) Ferde kifejtési tétel: ha egy kiválasztott sor (vagy oszlop) elemeit egy másik kiválasztott sor (vagy oszlop)

megfelelő elemeihez tartozó algebrai aldeterminánsokkal szorozzuk, s e szorzatok összegét képezzük, 0-át kapunk. Ha j ≠ k Ha i ≠ k n 0 = a1jA1k + + anjAnk = ∑ aijAik ∑ aijAkj i =1 n 0 = ai1Ak1 + + ainAkn = j =1 56. Hogyan számítjuk ki egy kvadratikus mátrix inverzét az algebrai aldeterminánsokkal? Az algebrai aldeterminánsok segítségével kifejezhetjük az inverz mátrix elemeit: Aji A-1 = (bij); bij = A Ugyanis, az így megadott mátrixszal kiszámítva az A * A-1 szorzatmátrix (i,j)-dik elemét: n n 1 aikbkj = aikAjk = θij , ahol θij az egységmátrix elemeit jelöli. ∑ ∑ A k =1 k =1 57. Írja fel a determináns kiszámítási képletét a mátrix elemei segítségével! A mátrix determinánsa a következőképp számítható ki: A = ∑ (−1) ai11 ainn, ahol az összegzés kiterjed az 1, 2, , n számok összes i1.in permutációjára, tehát ez az összeg n! tagú. 58. Mit tudunk egy homogén egyenletrendszer megoldásainak

halmazáról? Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 : : ak1x1 + ak2xk + + aknxn = bk n ismeretlenes, k egyenletből álló egyenletrendszert, ahol a11, a12, , a1n, ak1, , akn, b1, ,bk adott valós számok. x1, , xn jelöli az ismeretleneket, az aij számokat a lineáris egyenletrendszer együtthatóinak mondjuk, míg a b1, b2, , bk számokat a konstansoknak. Amennyiben b1 = 0, , bk = 0, az egyenletrendszert homogénnak nevezzük; általában inhomogénak. A c1, c2, , cn valós számok egy megoldását adják az adott lineáris egyenletrendszerünknek, ha az ismeretlenek helyére helyettesítve a c1, c2, , cn számokat, igaz egyenlőségeket kapunk, más szóval c1, c2, , cn kielégíti az összes k darab egyenletet. 59. Milyen kapcsolatban van egy inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza a redukált homogén egyenletrendszerének megoldáshalmazának? Ugyanaz, mint a 61. 60. Adjon meg 2 példát

3 dimenziós vektortérre! Végesen generált vektortér bázisainak közös tagszámát a vektortér dimenziójának nevezzük 61. Hogyan szól a determinánsok kifejtési tétele? Az 58-ban van a leírása. 62. Fogalmazza meg a mátrixok rangszámtételét! Az A mátrix rangja megegyezik maximális rendű nullától különböző aldeterminánsok rendjével. 63. Mondja ki a Cramer szabályt! Egy n ismeretlenes n egyenletet tartalmazó lineáris egyenletrendszer pontosan akkor határozott, ha együtthatómátrixának determinánsa nem nulla. Ilyenkor az egyetlen megoldó szám-n-eset a következőképpen kaphatjuk: d1 , ahol d1 azon mátrix determinánsát jelöli, melyet az együtthatómátrixból úgy x1 = A kapunk, hogy az i-dik oszlopot a konstansok oszlopára cseréljük. 64. Mit nevezünk euklideszi térnek? Ha a valós vektortérnek van egy ún. belső szorzata (amely bármely két vektorhoz egy valós számot rendel), akkor euklideszi vektortérről beszélünk. 65. Hogyan

adhatjuk meg a szám-n-esek standard belső szorzatát? A valós szám-n-esek körében az x = (x1, , xn) és y = (y1, , yn) vektorok (standard) belső szorzatán az (x,y) = x1y1 + + xnyn valós számot értjük. Az x = (x1, , xn) vektor normájának nevezzük az ||x|| = ( x, x) = x12 + . + xn 2 A belső szorzatot szokták nevezni skaláris szorzatnak is, a normát pedig a vektor hosszának. 66. Mit értünk egy H altér ortogonális komplementerén? Az E euklideszi vektortér egy H alterének ortogonális komplementerén azon vektorok összességét értjük, melyek ortogonálisak H minden vektorára. H┴ = {x ∈ E | x ⊥ y ∀ y ∈ H} (Magyarul nevezhetnénk merőlegesen kiegészítő altérnek is.) 67. Mondjuk ki a Schwarz egyenlőtlenséget! Mikor teljesül az egyenlőség? Bármely x, y ∈ Rn esetén |(x, y)| < ||x|| * ||y||. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x és y lineárisan függő. 68. Mondja ki a Minkowski egyenlőtlenséget! Mikor teljesül az

egyenlőség? Bármely x, y vektor esetén ||x + y|| < ||x|| + ||y||. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az egyik vektor a másik nemnegatív számszorosa. 69. Hogyan és miért értelmezhetjük a vektorok szögét euklideszi vektortérben? A Schwarz egyenlőtlenség segítségével értelmezhetjük a vektorok szögét: a nullvektortól ( x, y ) különböző x, y vektorok szöge az az α szám, melyre cos α = x* y 70. Mit értünk euklideszi térben egy vektornak egy altérre eső merőleges vetületén? Hogyan számítható ki, ha az altérnek egy ortonormált bázisa adott? Adott L altér esetén tetszőleges x ∈ E vektorhoz egyértelműen található olyan x’ ∈ L és x’’∈ L┴, hogy x = x’ + x’’. Ugyanis, ha e1, , ek, ek+1, , en olyan ortonormált bázis E-ben, hogy e1, , ek L-nek albázisa, akkor x’ = (x, e1)e1 + + (x, ek)ek ∈ L x’’= (x, ek+1)ek+1 + + (x, en) en ∈ L┴ Ilyen esetben x’-t az x vektor L altérre eső merőleges

vetületének mondjuk. A merőleges vetület meghatározása bonyolultabb nem ortonormált bázis ismerete esetén. Tegyük fel, hogy L =α (b 1, b2, , bk), s x’-t x’ = β1b1 + + βkbk alakban keressük. Ekkor x–x’ ∈ L┴, ezért (bi, x–x’) = 0-nak kell teljesülni minden i = 1, , k esetén. 71. Írja le a Gram-Schmidt féle ortogonalizációs eljárást! Bármely b1, b2, , bn ∈ E bázishoz konstruálható olyan e1, e2, , en ortonormált bázis, melyre α (e1, , ek) = α (b1,